Stredná priemyselná škola Poprad. Výkonové štandardy v predmete MATEMATIKA všetky odbory 1. až 4.ročník
|
|
- Παλλάς Βιτάλη
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Výkonové štandardy v predmete MATEMATIKA všetky odbory 1. až 4.ročník ÚVOD Vzdelávací štandard z matematiky pre stredné odborné školy so štvorročným štúdiom patrí medzi základné pedagogické dokumenty, slúžiace spolu s učebným plánom a učebnými osnovami na riadenie a reguláciu výchovy a vzdelávania v učebnom predmete matematika. Matematika, to nie sú len čísla. Za každým výrokom, funkciou alebo rovnicou sa skrýva život. Komu sa podarí pochopiť abstraktnú matematiku a previesť ju na konkrétnu situáciu, ten vyhráva a pre neho matematika bude pomocníčkou a zábavou. Východiskom pre tvorbu štandardov boli novovytvorené učebné osnovy matematiky pre stredné odborné školy so štvorročným štúdiom, schválené súčasne so vzdelávacím štandardom. Zmyslom vzdelávacieho štandardu z matematiky pre stredné odborné školy so štvorročným štúdiom je koordinovať v najnutnejšej miere rozsah a úroveň vyučovania tohto predmetu tak, aby sa neobmedzovala osobnosť učiteľa a aby sa neobmedzoval najmä jeho tvorivý prístup k vyučovaniu. Predkladaný štandard sa nezaoberá metodikou vyučovania ani jeho časovým harmonogramom, či hodinovou dotáciou jednotlivých tematických celkov. Je to predloha, ktorá určuje úroveň, rozsah a hĺbku vedomostí. Štandardy nezohľadňujú progresivitu a vývojové tendencie jednotlivých tematických celkov, snažia sa len dôsledne mapovať súčasný stav vyučovania matematiky. Autori predpokladajú, že vzdelávacie štandardy z matematiky sa budú pravidelne upravovať, pričom základom úprav budú konkrétne skúsenosti zo stredných škôl. 1.ZÁKLADY MATEMATIKY 1.1. VÝROKY A MNOŽINY Výrok, pravdivostná hodnota výroku, pravdivý a nepravdivý výrok, hypotéza, jednoduchý a zložený výrok, základné logické spojky (a, alebo, ak - tak, vtedy a len vtedy), negácia výroku. Negácia, obmena a obrátenie implikácie, základné metódy dôkazov (priamy a nepriamy dôkaz). Existenčný a všeobecný kvantifikátor. Množina, prvky množiny, základné spôsoby určovania množín, podmnožina, rovnosť množín, zjednotenie, prienik, doplnok, základné vlastnosti množinových operácií a ich súvis s logickými spojkami a operátormi. Počet prvkov množiny, prázdna a neprázdna množina, konečná a nekonečná množina, Vennove diagramy. Intervaly (otvorený, polouzavretý, uzavretý, neohraničený zľava alebo sprava) a operácie s nimi. Rozoznať, ktoré vety (gramatické) sú výroky, určiť ich pravdivostnú hodnotu. Správne chápať význam logických spojok, určiť pravdivostnú hodnotu výrokov. Utvoriť negáciu zloženého výroku. Správne chápať výroky, ktoré obsahujú slová: každý, žiadny, aspoň, práve, najviac a tvoriť ich negácie. Použitie kvantifikátorov. Zapísať a určiť množinu vymenovaním jej prvkov, charakteristickou vlastnosťou alebo množinovými operáciami.
2 Určiť vzťahy medzi množinami a znázorniť ich pomocou Vennovych diagramov. Poznať pojem interval, jeho zápis, ovládať množinové operácie s intervalmi a dokázať ich pohotovo používať TEÓRIA ČÍSEL Číslo, číslica, prirodzené (N), celé (Z), nezáporné (N ), záporné (Z 0 ), racionálne (Q), iracionálne (I), reálne (R) čísla, n - ciferné číslo, ciferný súčet, zlomky (čitateľ, menovateľ, spoločný menovateľ, základný tvar zlomku, zložený zlomok, hlavná zlomková čiara ), desatinný rozvoj (konečný, nekonečný, periodický ), čísla e a π, nekonečno, číselná os, znázorňovanie čísel, komutatívny, asociatívny a distributívny zákon, mocnina, exponent a základ mocniny, odmocnina, absolútna hodnota čísla, desiatková a dvojková sústava. Rozoznať pojmy číslo a číslica (cifra), ciferný súčet, skrátený a rozvinutý zápis v desiatkovej sústave, určiť jeho rád. Rozoznať na konkrétnych číslach konečný a nekonečný desatinný rozvoj reálneho čísla, nekonečný periodický rozvoj, racionálne a iracionálne číslo VÝRAZY Konštanta, premenná, znaky operácií, výraz, obor definície výrazu, obor premennej, rovnosť výrazov, hodnota výrazu, prepis slovného textu, tvorenie výrazov, výrazy s reálnymi číslami, výrazy s konštantami a premennými. Mnohočlen, koeficient, člen, stupeň a hodnota mnohočlena, operácie s mnohočlenmi, vynímanie pred zátvorku, rozklad mnohočlena na súčin (koreňový činiteľ ), krátenie výrazu, výrazy s neznámou v menovateli (algebrické) zlomky, výrazy s mocninami, odmocninami. Úpravy výrazov. Tvoriť výrazy, zapísať slovný text pomocou konštánt, premenných a znakov operácií. Vyjadriť slovami obsah jednoduchého textu zapísaného matematickou symbolikou. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmu mnohočlen, člen, koeficient a stupeň mnohočlena. Sčítať, odčítať, násobiť mnohočleny, vydeliť mnohočlen lineárnym dvojčlenom (koreňovým činiteľom). Určiť obor definície výrazu a vyčísliť jeho hodnotu pre konkrétne reálne číslo. Definovať mocninu s racionálnym exponentom. Ovládať základné pravidlá počítania s týmito mocninami. 2. ROVNICE A NEROVNICE 2.1. LINEÁRNE ROVNICE A NEROVNICE Rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc, neznáma, koeficienty, obor rovnice, koreň rovnice, riešenie rovnice (ako postup), množina riešení rovnice, ekvivalentná úprava, skúška správnosti, vyjadrenie neznámej zo vzorcov. Lineárna rovnica, lineárna nerovnica, sústava lineárnych rovníc s 2 a 3 neznámymi, rovnice a nerovnice v súčinovom a podielovom tvare. Lineárne rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou. Iracionálne rovnice.
3 Ovládať pojmy neznáma, koeficient, obor rovnice, obor nerovnice, množina všetkých koreňov. Matematizácia slovnej úlohy vedúcej k rovniciam, nerovniciam a ich sústavám, overiť výsledky a interpretovať ich s ohľadom na pôvodnú úlohu. Využiť ekvivalentné úpravy pri riešení lineárnych rovníc a nerovníc s jednou neznámou. Využiť ekvivalentné úpravy pri vyjadrení neznámej zo vzorca. Správne postupovať pri riešení rovníc s neznámou v menovateli. Riešiť jednoduché typy rovníc s neznámou v odmocnenci. Riešiť jednoduché typy rovníc a nerovníc s absolútnou hodnotou. Zapísať riešenie nerovnice pomocou intervalov. Efektívne riešiť sústavu 2 (3) lineárnych rovníc s 2 (3) neznámymi. Poznať grafické znázornenie sústavy 2 lineárnych rovníc s 2 neznámymi a chápať geometrický význam jej riešenia KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE Rovnica, nerovnica, sústava rovníc, neznáma, koeficienty, obor rovnice, koreň rovnice, riešenie rovnice (ako postup), množina riešení rovnice, dôsledková a ekvivalentná úprava, skúška správnosti.kvadratická rovnica, riešenie úpravou na štvorec, vzorec na riešenie kvadratickej rovnice. Počet koreňov a jeho súvis s diskriminantom. Kvadratická nerovnica a jej riešenie. Efektívne riešiť všetky typy kvadratických rovníc. Poznať a aplikovať vzťahy medzi koreňmi a koeficientami kvadratickej rovnice. Poznať úlohu diskriminantu kvadratickej rovnice. Rozložiť na súčin kvadratický trojčlen. Poznať riešenie kvadratickej nerovnice. Správne riešiť jednoduché typy nerovníc v súčinovom a podielovom tvare GONIOMETRICKÉ ROVNICE Rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc, neznáma, koeficienty, obor rovnice, koreň rovnice, riešenie rovnice (ako postup), množina riešení rovnice, dôsledková a ekvivalentná úprava, skúška správnosti, vyjadrenie neznámej zo vzorcov. Rovnice a nerovnice v súčinovom a podielovom tvare. Goniometrické rovnice, základné goniometrické nerovnice. Súvis riešenia goniometrickej rovnice s jednotkovou kružnicou a grafom príslušnej goniometrickej funkcie. Riešiť základné goniometrické rovnice v R. Vysvetliť postup pri riešení zložitejších goniometrických rovníc, pri riešení aplikovať goniometrické vzorce a vlastnosti goniometrických funkcií.
4 S použitím jednotkovej kružnice alebo grafu funkcie vyriešiť jednoduché goniometrické nerovnice LOGARITMICKÉ A EXPONENCIÁLNE ROVNICE Rovnica, neznáma, koeficienty, obor rovnice, koreň rovnice, riešenie rovnice (ako postup), množina riešení rovnice, dôsledková a ekvivalentná úprava, skúška správnosti, exponenciálne a logaritmické rovnice. Súvis vlastností exponenciálnych a logaritmických funkcií s riešením exponenciálnych a logaritmických rovníc. Správne riešiť základné exponenciálne a logaritmické rovnice. Správne riešiť zložitejšie exponenciálne a logaritmické rovnice. Vysvetliť riešenie exponenciálnej rovnice pomocou jej logaritmovania. 3. FUNKCIE 3.1. ZÁKLADNÉ POJMY Funkčná závislosť, funkcia ako predpis (priradenie), vlastnosti funkcií, zložená funkcia. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov funkcia, predpis funkcie, obor definície a obor hodnôt, argument, funkčná hodnota a graf funkcie. Rozoznať v slovnom texte funkčnú závislosť a matematicky ju sformulovať. Určiť (aspoň z grafu funkcie ) vlastnosti funkcie (monotónnosť, párnosť a nepárnosť, periodičnosť) LINEÁRNA FUNKCIA Funkčná závislosť, funkcia ako predpis (priradenie), vlastnosti funkcií, zložená funkcia. Lineárna funkcia, obor definície a obor hodnôt, graf, nulový bod. Monotónnosť a ohraničenosť lineárnej funkcie, konštantná funkcia. Definovať lineárnu funkciu, poznať jej obor definície a obor hodnôt. Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument. Načrtnúť graf funkcie y = kx + q na základe geometrického významu parametrov k, q. Rozhodnúť o monotónnosti lineárnej funkcie podľa hodnoty parametra k KVADRATICKÁ FUNKCIA Funkčná závislosť, funkcia ako predpis (priradenie), vlastnosti funkcií, zložená funkcia. Kvadratická funkcia a jej graf (parabola, vrchol a os paraboly), nulové body kvadratickej funkcie, monotónnosť a ohraničenosť. Grafy kvadratickej funkcie. Súvis kvadratickej rovnice a nerovnice s grafom príslušnej kvadratickej funkcie.
5 Definovať kvadratickú funkciu, poznať jej obor definície a obor hodnôt. Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument. Nájsť vrchol a os paraboly, ktorá je grafom kvadratickej funkcie, určiť jej nulové body a načrtnúť ju LINEÁRNA LOMENÁ FUNKCIA, MOCNINOVÁ FUNKCIA Funkčná závislosť, funkcia ako predpis (priradenie), vlastnosti funkcií, Nepriama úmernosť, lineárna lomená funkcia. Graf ľubovoľnej lineárnej lomenej funkcie, určenie asymptot. Definícia mocniny, odmocniny, mocninová (odmocninová) funkcia tvaru y = ax b + c, kde b Z, a, c R, 1 ( y = ax b + c, kde b N, a, c R ) Definovať lineárne lomenú funkciu, opísať vzťah medzi lineárne lomenou funkciou a nepriamou úmernosťou. Vedieť načrtnúť graf a podľa neho určiť vlastnosti funkcií. Určiť nulové body a asymptoty grafu ľubovoľnej lineárnej lomenej funkcie Definovať mocninovú funkciu, poznať jej vlastnosti, graf EXPONENCIÁLNE A LOGARITMICKÉ FUNKCIE Funkčná závislosť, funkcia ako predpis (priradenie), vlastnosti funkcií, zložená funkcia. Mocniny s reálnym exponentom, definícia exponenciálnej funkcie, jej základné vlastnosti. Vplyv základu na priebeh exponenciálnej funkcie, graf exponenciálnej funkcie, funkcia y = e x. Logaritmická funkcia ako funkcia inverzná k exponenciálnej, jej vlastnosti. Dekadický a prirodzený logaritmus, základné vlastnosti logaritmov. Používanie dekadických logaritmov pri zjednodušovaní numerických výpočtov. Definovať exponenciálnu funkciu, poznať jej obor definície a obor funkčných hodnôt, určiť jej základné vlastnosti, načrtnúť graf. Opísať na konkrétnych príkladoch súvislosť priebehu exponenciálnej funkcie s hodnotou jej základu a, načrtnúť jej graf. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch súvislosť priebehu exponenciálnej a logaritmickej funkcie ako funkcií navzájom inverzných. Definovať logaritmus a opísať pravidlá logaritmovania súčinu, podielu, mocniny a odmocniny Aplikovať pravidlá logaritmovania pri logaritmovaní i odlogaritmovaní výrazov GONIOMETRICKÉ FUNKCIE Funkčná závislosť, funkcia ako predpis (priradenie), vlastnosti funkcií, zložená funkcia. Goniometrické funkcie ostrého uhla, goniometrické funkcie ľubovoľného uhla (na jednotkovej kružnici). Grafy a základné vlastnosti goniometrických funkcií, ich periodičnosť. Súmernosti na jednotkovej kružnici ako zdroj objavovania ďalších vlastností týchto funkcií, súčtové vzorce. Grafy
6 funkcií typu y = a. f(bx + c) + d.využitie goniometrických funkcií pri riešení pravouhlého trojuholníka, sínusová a kosínusová veta. Definovať goniometrické funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens, poznať ich definičné obory, obory hodnôt, určiť hodnotu goniometrických funkcií ľubovoľného uhla na jednotkovej kružnici, na grafe a výpočtom s využitím kalkulačky. Poznať graf goniometrickej funkcie tvaru y = a.f(bx + c) + d,vedieť z grafov vyčítať ich vlastnosti (definičný obor, obor hodnôt, intervaly monotónnosti, extrémy, periódu). 2 2 Vedieť používať základné vzťahy : sin x + cos x = 1, tg x.cot g x = 1, sin x + y = sin x.cos y + cosx. sin cos x + y = cos x.cos y sin x. sin ( ) y ( ) y Vedieť použiť goniometrické funkcie pri riešení pravouhlého trojuholníka, sínusovú a kosínusovú vetu pri riešení všeobecného trojuholníka. 4. PLANIMETRIA Ťažnica, výška, kružnica vpísaná a opísaná trojuholníku, ťažisko, priesečník výšok. Základné polohové vzťahy a jednoduché metrické úlohy, uhly v kružnici, stredový, obvodový uhol a vzťahy medzi nimi, Talesova veta. Podobnosť trojuholníkov, vety o podobnosti trojuholníkov, pomer obvodov a obsahov podobných trojuholníkov, Euklidove a Pytagorova veta. Obsahy rovinných útvarov, štvoruholníkov, obvod a obsah kruhu i jeho častí. Aktívne ovládať pojmy uhol, veľkosť uhla (v stupňovej i oblúkovej miere), orientovaný uhol. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov obvodový a stredový uhol, sformulovať vetu o ich vzťahu. Interpretovať Talesovu vetu ako dôsledok vety o stredovom a obvodovom uhle. Definovať trojuholník, klasifikovať trojuholníky. Euklidove a Pytagorova veta. Riešiť úlohy o trojuholníku s využitím vlastnosti osi strán a uhlov, ťažníc, polomerov vpísanej a opísanej kružnice. Aktívne ovládať pojmy kružnica, kruh, tetiva, oblúk, odsek, výsek, medzikružie. Klasifikovať štvoruholníky. 5. STEREOMETRIA 5.1. POLOHOVÉ VLASTNOSTI PRIAMOK A ROVÍN Základné útvary v priestore, bod, priamka, rovina, vzájomná poloha dvoch priamok, rovnobežnosť priamok, vzájomná poloha priamky a roviny, dvoch rovín, vzájomná poloha troch rovín. Základné pravidelné kolmé telesá : kocka, hranol, ihlan, štvorsten, zrezaný hranol, zrezaný ihlan. Rotačné telesá :valec, kužeľ, guľa, zrezaný kužeľ, časti gule. Ich povrchy a objemy. Siete základných telies.
7 Axiómy. Vymenovať základné geometrické útvary v priestore bod, priamka, rovina a definovať vzťahy medzi nimi. Klasifikovať vzájomnú polohu dvoch priamok, priamky a roviny, dvoch rovín. Klasifikovať rovnobežnosť priamok a rovín. Klasifikovať odchýlku dvoch priamok, kolmosť dvoch priamok. Klasifikovať odchýlku dvoch rovín, kolmosť dvoch rovín, odchýlku priamky a roviny, kolmosť priamky a roviny POVRCH A OBJEM GEOMETRICKÝCH TELIES Základné pravidelné kolmé telesá : kocka, hranol, ihlan, štvorsten, zrezaný hranol, zrezaný ihlan. Rotačné telesá :valec, kužeľ, guľa, zrezaný kužeľ, časti gule. Ich povrchy a objemy. Povrch a objem základných hranatých telies. Povrch a objem valca, kužeľa a gule. Povrch a objem zrezaných hranatých telies. Povrch a objem zrezaných rotačných telies a časti gule 5.3. SIETE GEOMETRICKÝCH TELIES Tvorba sieti základných geometrických telies. Siete pravidelných hranolov. Siete pravidelných ihlanov. Siete rotačného valca, kužeľa a zrezaného kužeľa. 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIA 6.1. VEKTOROVÁ ALGEBRA Karteziánska sústava súradníc na priamke, v rovine a v priestore. Bod a jeho súradnice. Stred úsečky a jeho súradnice, vzdialenosť dvoch bodov (dĺžka úsečky). Definícia vektora, umiestnenie vektora (chápať vektor ako posunutie). Grafická interpretácia sčítania a odčítania vektorov, opačný vektor, jednotkový vektor, nulový vektor. Násobenie vektora reálnym číslom, lineárna kombinácia vektorov. Súradnice a veľkosť vektora, odchýlka vektorov a ich skalárny súčin.
8 Vysvetliť, opísať a na konkrétnom príklade demonštrovať zavedenie súradnicovej sústavy na priamke, v rovine a priestore. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov vektor, jednotkový vektor a umiestnenie vektora. Interpretovať geometricky súčet a rozdiel vektorov, súčin reálneho čísla a vektora. Vypočítať súradnice vektora určeného dvojicou bodov. Definovať pojem veľkosť vektorov, určiť skalárny súčin vektorov. Určiť odchýlku dvoch vektorov, určiť vektor kolmý na daný vektor. Určiť vektor rovnobežný s daným vektorom LINEÁRNE ÚTVARY Analytické vyjadrenie úsečky, polpriamky, priamky v rovine i priestore (parametrické vyjadrenie, všeobecný a smernicový tvar), smerový a normálový vektor priamky, smernica a smerový uhol priamky. Vzájomná poloha bodu a priamky, vzájomná poloha dvoch priamok, odchýlka priamok, vzdialenosť bodu od priamky (v rovine). Analytické vyjadrenie polroviny, roviny (parametrické vyjadrenie, všeobecný tvar), normálový vektor roviny. Vzájomná poloha bodu a roviny, priamky a roviny, vzájomná poloha dvoch a troch rovín. Odchýlka priamky a roviny, odchýlka dvoch rovín, vzdialenosť bodu od roviny. Kolmica na rovinu. Vypočítať súradnice stredu úsečky. Vypočítať vzdialenosť dvoch bodov a aplikovať to v konkrétnych situáciách. Vysvetliť pojmy smerový uhol priamky, smerový a normálový vektor priamky, normálový vektor roviny a využívať ich vzájomné prepojenie. Napísať analytické vyjadrenie priamky danej dvoma bodmi a využiť predchádzajúce poznatky. Vzájomná poloha bodu a priamky, vzdialenosť bodu od priamky, vzájomná poloha dvoch priamok uhol, kolmosť, rovnobežnosť. Správne postupovať pri riešení úloh a interpretovať dosiahnuté znalosti KVADRATICKÝ ÚTVAR V ROVINE Rovnica kružnice (stredový a všeobecný tvar). Vzájomná poloha bodu a kružnice, vzájomná poloha priamky a kružnice. Rovnica dotyčnice ku kružnici. Analytické vyjadrenie kružnice jej stredový a všeobecný tvar. Klasifikovať analytickou metódou vzájomnú polohu priamky a kružnice. 1. KOMBINATORIKA
9 Kombinatorické pravidlo súčtu a súčinu, permutácie (poradia), variácie, kombinácie, faktoriál, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník. Základné vlastnosti kombinačných čísel a Pascalovho trojuholníka. Binomická veta. Permutácie, variácie, kombinácie Vysvetliť pojem faktoriál a kombinačné číslo a vedieť ich vyčísliť. Riešiť jednoduché kombinatorické úlohy systematickým vypísaním všetkých možností s využitím vhodného organizačného princípu. Riešiť zložitejšie kombinatorické úlohy rozložením na jednoduchšie úlohy využitím kombinatorického pravidla súčtu a súčinu, či pomocou základných vzorcov pre počet variácií, permutácií a kombinácií. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov permutácie, variácie a kombinácie bez opakovania Vyčísliť hodnotu konkrétneho kombinačného čísla buď priamo z definície alebo pomocou vlastností Pascalovho trojuholníka. Sformulovať a aktívne ovládať binomickú vetu. 8. PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 8.1 PRAVDEPODOBNOSŤ Jav, pravdepodobnosť javu, náhodný, istý, nemožný a opačný jav. Prienik a zjednotenie javov. Klasická definícia pravdepodobnosti. Použitie Bernouliho schémy pri riešení príkladov z praxe. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov náhodný jav, istý jav, nemožný jav, opačný jav. Aplikovať základný vzorec na výpočet pravdepodobnosti pre javy, ktorých počet je možné určiť jednoduchým výpočtom alebo kombinatorickou úvahou. 8.2 ŠTATISTIKA Štatistický súbor, znak, rozsah súboru, absolútna a relatívna početnosť. Priemerná hodnota, aritmetický, geometrický, harmonický a vážený priemer. Modus, medián, rozptyl, smerodajná odchýlka. Tabuľka rozdelenia početnosti, histogram. Charakterizovať na konkrétnych príkladoch pojmy štatistický súbor, štatistická jednotka a znak. Určiť rozsah daného štatistického súboru.
10 Vykonať triedenie štatistického súboru podľa kvalitatívneho, alebo kvantitatívneho znaku. Určiť absolútne a relatívne početnosti znakov (tried) a zostaviť tabuľku početnosti. Graficky znázorniť rozdelenie početnosti. Vypočítať priemer, vážený priemer, modus, medián, rozptyl a smerodajnú odchýlku. Určiť geometrický priemer. ROZŠIRUJÚCE UČIVO V PODOBE MODULOV Modul č. 1: TEÓRIA ČÍSEL (len pre variant A) Deliteľ, násobok, deliteľnosť, znaky deliteľnosti, prvočíslo, zložené číslo, prvočíselný rozklad, najmenší spoločný násobok (NSN), najväčší spoločný deliteľ (NSD)a vzťah medzi nimi, základné vlastnosti deliteľnosti. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmu prvočíslo, zložené číslo, deliteľ, násobok, súdeliteľné a nesúdeliteľné čísla. Sformulovať pravidlá deliteľnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 a 10. Určiť najmenší spoločný násobok a najväčší spoločný deliteľ prirodzených čísel. Modul č. 2: PLANIMETRIA II 2.1. ZÁKLADNÉ ROVINNÉ ÚTVARY Základné útvary v rovine, polpriamka, uhol, polrovina, dvojice uhlov, pravý uhol, incidencia, rovnobežnosť. Konvexné a nekonvexné útvary, trojuholník, štvoruholníky, konvexné n - uholníky, kružnica. Zhodnosť trojuholníkov, vety o zhodnosti trojuholníkov, vzťahy medzi stranami a uhlami. Množiny bodov danej vlastnosti, kružnica a dotyčnica kružnice. Definovať geometrické útvary (úsečka, uhol, rovinný pás, trojuholník, štvoruholník, konvexný n - uholník, kružnica, kruh) pomocou množinových operácií alebo pomocou charakteristickej vlastnosti. Rozoznať dvojice uhlov (vrcholové, doplnkové, susedné, striedavé) a tieto poznatky aktívne využívať pri výpočtových úlohách o veľkostiach uhlov ZOBRAZENIA Zhodné a podobné zobrazenia v rovine (osová a stredová súmernosť, otáčanie, posúvanie, identita, rovnoľahlosť), obraz úsečky, priamky a kružnice v jednotlivých zobrazeniach, samodružné body a útvary, stred a os súmernosti útvaru. Skladanie osových súmerností. Rovnoľahlosť, rovnoľahlosť kružníc. Konštrukčné úlohy, rozbor, počet riešení. Geometrické zobrazenia.
11 Používanie viet o podobnosti a zhodnosti trojuholníkov pri výpočtoch prvkov geometrických útvarov. Konštrukčné úlohy riešené pomocou geometrických zobrazení. Modul č. 4: 4.1. POSTUPNOSTI FUNKCIE, ROVNICE A NEROVNICE III Postupnosť, spôsoby jej určenia (vrátane rekurentného). Monotónnosť, ohraničenosť a graf postupnosti, limita postupnosti (intuitívne). Aritmetická a geometrická postupnosť, diferencia a kvocient, súčet prvých n členov postupnosti. Aplikácia poznatkov o postupnostiach pri riešení slovných úloh. Poznať pojem postupnosť, symboliku, určiť ľubovoľný člen postupnosti, konečná a nekonečná postupnosť, spôsoby určenia postupnosti (vzorcom pre n - tý člen i rekurentne), znázorniť graficky. Určiť monotónnosť a ohraničenosť daných postupností (využite grafy). Chápať pojem limita postupnosti a intuitívne rozhodnúť, či postupnosť má alebo nemá limitu (využiť geometrickú interpretáciu). Aktívne ovládať základné vzťahy aritmetickej i geometrickej postupnosti. Aplikovať poznatky o postupnostiach v praktických úlohách, poznať najmä aplikáciu geometrickej postupnosti v situáciách s pravidelným rastom či poklesom veličín (úrokovanie, pôžičky, splátky, ).
1 Logika a dôkazy. 2 Množiny. 3 Teória čísel. 4 Premenné a výrazy. 5 Rovnice, nerovnice a ich sústavy. Pojmy:
1 Logika a dôkazy výrok, axióma, definícia, úsudok, hypotéza, tvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia výroku, konjunkcia, disjunkcia, implikácia, ekvivalencia, vyplýva, je ekvivalentné,
Διαβάστε περισσότεραTEÓRIA. Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín,
TEÓRIA Množiny a operácie s nimi Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín, Vennove diagramy, disjunktné množiny, konečná a nekonečná množina,
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015
MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015 Mgr. Valeria Godovičová 1. Mesiac 1 Úvodná hodina Telo 2-5 Druhá a tretia mocnina - čo už poznáme - opačné čísla a ich mocniny SEPTEMBER
Διαβάστε περισσότεραŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV, PLUHOVÁ 8, BRATISLAVA. VZDELÁVACÍ ŠTANDARD S EXEMPLIFIKAČNÝMI ÚLOHAMI Z MATEMATIKY PRE GYMNÁZIUM štvorročné štúdium
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV, PLUHOVÁ 8, 80 00 BRATISLAVA VZDELÁVACÍ ŠTANDARD S EXEMPLIFIKAČNÝMI ÚLOHAMI Z MATEMATIKY PRE GYMNÁZIUM štvorročné štúdium Vypracoval: RNDr. Marian Hanula Posúdili členovia Ústrednej
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno - vzdelávací plán. Cvičenia z matematiky. pre 9. ročník
výchovno vzdelávací plán Cvičenia z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 1 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok:
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραOsnovy pre slovensko-francúzske sekcie gymnázií Matematika
Osnovy pre slovensko-francúzske sekcie gymnázií Matematika CIELE Ciele matematiky na bilingválnom gymnáziu sa v zásade nelíšia od cieľov klasických slovenských gymnázií. Hlavným rozdielom je získanie schopnosti
Διαβάστε περισσότεραUčebné osnovy. Predmet: Matematika vo francúzskom jazyku. 1. ročník 2. ročník 3. ročník 4. ročník 5. ročník Spolu počet h týždenne.
Gymnázium Ľudovíta Štúra v Trenčíne Učebné osnovy Stupeň vzdelania: ISCED 3A Študijný odbor: 7902 J gymnázium Zameranie školského vzdelávacieho programu: bilingválne štúdium Predmet: Matematika vo francúzskom
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu
Február Mesiac Týždeň Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 8, časť Stupeň vzdelania: ISCED 2 - nižšie sekundárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika
Διαβάστε περισσότεραZákladná škola Sačurov, Školská 389, Sačurov Tematický výchovno-vzdelávací plán z matematiky pre 9. ročník
Základná škola Sačurov, Školská 389, 094 13 Sačurov Tematický výchovno-vzdelávací plán z matematiky pre 9. ročník Vypracované podľa učebných osnov ŠkVP A schválených radou školy dňa 28.8.2008 s platnosťou
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραGymnázium v Košiciach, Opatovská 7 MATEMATIKA
Gymnázium v Košiciach, Opatovská 7 MATEMATIKA ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV, PLUHOVÁ 8, 80 00 BRATISLAVA VZDELÁVACÍ ŠTANDARD S EXEMPLIFIKAČNÝMI ÚLOHAMI Z MATEMATIKY PRE GYMNÁZIUM (štvorročné štúdium) Vypracoval:
Διαβάστε περισσότεραTC Obsahový štandard Výkonový štandard
Celé čísla. Počtové operácie s celými číslami UČEBNÉ OSNOVY ÔSMY ROČNÍK TC Obsahový štandard Výkonový štandard Pojem celé číslo Kladné a záporné čísla, kladné a záporné desatinné čísla Opačné čísla Absolútna
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραtretej odmocniny ( x ), mocniny čísla 10, n-tá mocnina ľubovoľného čísla (a n ) pre konkrétne hodnoty n, n je prirodzené číslo.
Mocniny a odmocniny, zápis veľkých čísel Školský vzdelávací program matematika 9. ročník 1. Obsah vzdelávania učebného predmetu v 9. ročníku (rozšírený počet hodín ) Tematický celok Témy Druhá a tretia
Διαβάστε περισσότεραTéma Pojmy Spôsobilosti
OBSAH VZDELÁVANIA 1.ročník (Prima) 4 hod. týždenne + 0,5 RH / 148,5 hod. ročne Tematický celok počet hodín Obsahový štandard Výkonový štandard Prostriedky hodnotenia Téma Pojmy Spôsobilosti Opakovanie
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραCIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2016 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 21. 12. 2016 pod číslom 2016-25786/49974:1-10B0
Διαβάστε περισσότεραŠtátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
Štátny pedagogický ústav, Pluhová 8, 830 00 Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY Bratislava 2008 ÚVOD Cieľové požiadavky z matematiky sú rozdelené vo väčšine kapitol
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno-vzdelávací plán. z matematiky. pre 9. ročník
výchovnovzdelávací plán z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 5 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok: 2014/2015
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραTéma c. 1. Výroková logika a logika výrokových foriem (predikátovej logiky). Množinovo-logický rozbor slovného textu
Téma c. 1 Výroková logika a logika výrokových foriem (predikátovej logiky). Množinovo-logický rozbor slovného textu A) Výrok a jeho vlastnosti. Výroky tvorené z jednoduchých výrokov pomocou logických operátorov.
Διαβάστε περισσότεραTézy matematika. 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy. 2. Výroky a ich pravdivostné hodnoty
Tézy matematika 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy 1. Vysvetlite obsah pojmov množina, prázdna množina, disjunktné množiny, popíšte vzťahy medzi množinami (podmnožina, rovnosť množín) a operácie s množinami
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno-vzdelávací plán z matematiky pre 6.ročník ZŠ
Tematický výchovno-vzdelávací plán z matematiky pre 6.ročník ZŠ (spracovaný v súlade s UO matematiky schválenými Ministerstvom školstva Slovenskej republiky dňa 3. apríla 1997 rozhodnutím číslo 1640/97-151
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραVzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami 2. STUPEŇ ZŠ - ISCED 2. Základná škola Pavla Horova Michalovce
Základná škola Pavla Horova Michalovce ŠKOLSKÝ ROK: 2016/2017 9. ROČNÍK Matematika Vypracoval: Mgr. Ľubomíra Bérešová, RNDr. Eva Ciglianová, Mgr. Mária Hinďošová, Mgr. Tatiana Markušová Obsah Charakteristika
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραObsahový štandard. 6 základné počtové výkony (operácie); základné vedomosti z geometrie
Tematický výchovno-vzdelávací plán: MATEMATIKA Školský rok: 017/018 Škola: Súkromné športové gymnázium Trenčianske Teplice Ročník: 3. Trieda 3. OA Týždenne: 4 hodiny (ŠVP) Ročne: 13 hodín (ŠVP) Vypracované
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραMatematika gymnázium so štvorročným a päťročným vzdelávacím programom MATEMATIKA
MATEMATIKA ÚVOD Vzdelávací štandard pre učebný predmet matematika nepredstavuje iba súhrn katalógov, ktoré stanovujú výkony a obsah vyučovacieho predmetu, ale je to predovšetkým program rôznych činností
Διαβάστε περισσότεραMatematika gymnázium so štvorročným a päťročným vzdelávacím programom MATEMATIKA
MATEMATIKA ÚVOD Vzdelávací štandard pre učebný predmet matematika nepredstavuje iba súhrn katalógov, ktoré stanovujú výkony a obsah vyučovacieho predmetu, ale je to predovšetkým program rôznych činností
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραMatematika gymnázium s osemročným vzdelávacím programom MATEMATIKA ÚVOD
MATEMATIKA ÚVOD Vzdelávací štandard pre učebný predmet matematika chápeme ako program vytvárajúci priestor na rozvíjanie individuálnych učebných ciest žiakov. Pre učiteľov slúži najmä na orientáciu v cieľoch,
Διαβάστε περισσότεραMatematika gymnázium s osemročným vzdelávacím programom MATEMATIKA ÚVOD
MATEMATIKA ÚVOD Vzdelávací štandard pre učebný predmet matematika chápeme ako program vytvárajúci priestor na rozvíjanie individuálnych učebných ciest žiakov. Pre učiteľov slúži najmä na orientáciu v cieľoch,
Διαβάστε περισσότεραCIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE BRATISLAVA 2012 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky dňa
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραMinisterstvo školstva Slovenskej republiky. Učebné osnovy MATEMATIKA. pre 5. až 9. ročník základnej školy
Ministerstvo školstva Slovenskej republiky Učebné osnovy MATEMATIKA pre 5. až 9. ročník základnej školy Inováciu učebných osnov koordinoval: PhDr. L. Bálint, CSc. Schválilo Ministerstvo školstva Slovenskej
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραMocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník
1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA CIELE UČEBNÉHO PREDMETU I. CHARAKTERISTIKA UČEBNÉHO PREDMETU
MATEMATIKA I. CHARAKTERISTIKA UČEBNÉHO PREDMETU Učebný predmet matematika je zameraný na rozvoj matematickej kompetencie tak, ako ju formuloval Európsky parlament: Matematická kompetencia je schopnosť
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA CIELE UČEBNÉHO PREDMETU I. CHARAKTERISTIKA UČEBNÉHO PREDMETU
MATEMATIKA I. CHARAKTERISTIKA UČEBNÉHO PREDMETU Učebný predmet matematika je zameraný na rozvoj matematickej kompetencie tak, ako ju formuloval Európsky parlament: Matematická kompetencia je schopnosť
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότεραObsahový a výkonový štandard MATEMATIKA
Obsahový a výkonový štandard MATEMATIKA Matematika, 1.ročník Numerácia v obore prirodzených čísel do 100 dvojice, vzťah rovnako nerovnako, viac menej kvalita čísel počítanie po jednom, po dvoch... poznávanie
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραZákladná škola Jána Hollého s materskou školou Madunice. Prehľad učiva matematiky. základnej školy
Základná škola Jána Hollého s materskou školou Madunice Prehľad učiva matematiky základnej školy Obsah strana 1. Prirodzené, celé, racionálne, reálne čísla... 1 2. Operácie s racionálnymi číslami... 2
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότεραVýroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety
Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výrok je každá oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme pomocou symbolov: A, B,
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY MATEMATIKY 1 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY MATEMATIKY 1 Kitti Vidermanová, Júlia Záhorská Eva Barcíková, Michaela Klepancová NITRA 2013 Názov: Základy matematiky 1 Edícia Pírodovedec.
Διαβάστε περισσότεραVýrazy a ich úpravy. -17x 6 : -17 koeficient; x premenná; 6 exponent premennej x. 23xy 3 z 5 = 23x 1 y 3 z 5 : 23 koeficient; x; y; z premenné;
Výrazy a ich úpravy Počtový výraz je matematický zápis, ktorým vyjadrujeme počtové operácie s číslami a poradie v akom majú byť prevedené. Napr.: ( (5 1,76)+5):0,4. Počtové výrazy sa pomenovávajú podľa
Διαβάστε περισσότεραMatematika nižšie stredné vzdelanie MATEMATIKA
ÚVOD MATEMATIKA Vzdelávací štandard pre učebný predmet matematika nepredstavuje iba súhrn katalógov, ktoré stanovujú výkony a obsah vyučovacieho predmetu, ale je to predovšetkým program rôznych činností
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότερα3. ročník. 1. polrok šk. roka 2016/2017
Príklady z MAT 3. ročník 1. polrok šk. roka 016/017 GONIOMETRIA 1. Načrtnite grafy daných funkcií na intervale 0, : f: y= tg x, g: y = -3.cos x, h: y = sin (x + ) -1. Určte hodnoty ostatných goniometrických
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότεραMatematika test M-1, 2. časť
M O N I T O R 001 pilotné testovanie maturantov MONITOR 001 Matematika test M-1,. časť forma A Kód školy: Číslo žiaka A B C F H I K L M O P S Kód A B C F H I triedy: 01 0 03 04 05 06 07 08 09 10 11 1 13
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,
9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραŠkolský vzdelávací program matematika 8. ročník. 1. Obsah vzdelávania učebného predmetu v 8. ročníku (rozšírený počet hodín ) Obsahový štandard
Celé čísla. Počtové výkony s celými číslami Školský vzdelávací program matematika 8. ročník 1. Obsah vzdelávania učebného predmetu v 8. ročníku (rozšírený počet hodín ) Tematický celok Témy Kladné a záporné
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραUčebné osnovy: Matematika. Ročník: 9., Počet hodín : 4+2 hodín týždenne, spolu 198 hodín ročne ŠVP:
Učebné osnovy: Matematika Ročník: 9., Počet hodín : ŠVP: ŠkVP: 4+2 hodín týždenne, spolu 198 hodín ročne Štátny vzdelávací program pre 2. stupeň ZŠ v Slovenskej republike Základná škola 2. stupeň Základná
Διαβάστε περισσότεραMaturitné otázky z matematiky
Gmnázium Pavla Horova Michalovce Maturitné otázk z matematik školský rok 00 / 00 . VÝROKY A MNOŽINY Maturitné otázk a príklad z matematik, Gmnázium Pavla Horova, Michalovce Výrok a jeho negácia. Kvantifikované
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραVzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami 2. STUPEŇ ZŠ - ISCED 2. Základná škola Pavla Horova Michalovce
Základná škola Pavla Horova Michalovce ŠKOLSKÝ ROK: 2016/2017 8. ROČNÍK Matematika Vypracoval: Mgr. Ľubomíra Bérešová, RNDr. Eva Ciglianová, Mgr. Mária Hinďošová, Mgr. Tatiana Markušová Obsah Charakteristika
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem zrezaného ihlana
Povrch a objem zrezaného ihlana Ak je daný jeden ihlan a zobereme rovinu rovnobežnú s postavou, prechádzajúcu ihlanom, potom táto rovina rozdelí teleso na dve telesá. Jedno teleso je ihlan (pôvodný zmenšený
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ OSNOVY. Matematika. Názov predmetu: Ročník: piaty šiesty siedmy ôsmy deviaty. Časový rozsah výučby:
UČEBNÉ OSNOVY Názov predmetu: Ročník: Časový rozsah výučby: a) daný štátnym 4 h. týždenne vzdelávacím programom 132 h. ročne b) voliteľný školou 1 h. týždenne 33 h. ročne Stupeň vzdelania: Forma štúdia:
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka
Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť
Διαβάστε περισσότεραMaturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium
Jozef Vozár Maturitné úlohy Z Matematiky Pre gymnázium I. (Úlohy s výberom odpovede) OBSAH ÚVOD K ÚVODU... 4 ÚVOD... 4 1. ZÁKLADY MATEMATIKY... 6 1.1 Logika a množiny... 6 Požiadavky na vedomosti a zručnosti...
Διαβάστε περισσότεραVzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami 2. STUPEŇ ZŠ - ISCED 2. Základná škola Pavla Horova Michalovce
Základná škola Pavla Horova Michalovce ŠKOLSKÝ ROK: 2015/2016 7. ROČNÍK Matematika Vypracoval: Mgr. Ľubomíra Bérešová, RNDr. Eva Ciglianová, Mgr. Mária Hinďošová Obsah Charakteristika predmetu.... 2 Ciele
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem hranola
Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραISCED 2 nižšie sekundárne vzdelávanie slovenský jazyk. ISCED 2 nižšie sekundárne vzdelávanie slovenský jazyk
MATEMATIKA UČEBNÉ OSNOVY Názov predmetu Časový rozsah výučby Ročník Názov ŠVP Názov ŠkVP Stupeň vzdelania Vyučovací jazyk MATEMATIKA 3,5/1,5 hodín týždenne, spolu 165 hodín ročne. siedmy ŠVP pre nižšie
Διαβάστε περισσότερα