4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti

Transcript

1 Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický popis závislosti jednej veličiny na inej veličine. Predtým ako zavedieme deiníciu unkcie, je potrebné zaviesť niekoľko označení a symbolov, ktoré nám zjednodušia a spresnia vyjadrovanie a ormulovanie pojmov.. Množinové symboly Budeme používať nasledovné matematické symboly: Prvok: A, A leží v A, neleží v A Podmnožina: A B, A B A je časťou B Množina vytvorená prvkami: {a,b,c} množina je vytvorená prvkami a, b, c Prázdna množina: {}= prázdna množina Zjednotenie množín: A B {; A alebo B} Prienik množín: A B {; A a B} Príklad. Nech A={; > 0} a B={; 5}. Potom platí: A B, A B=A, A B=B.. Intervaly reálnych čísel, vnútro intervalu V tejto časti uvedieme významné podmnožiny množiny reálnych čísel. Týmito množinami sú intervaly: otvorené, uzavreté, sprava otvorené zľava uzavreté, sprava uzavreté zľava otvorené, neohraničené. Ak a,b R, a<b, potom nasledujúce podmnožiny množiny R nazývame intervaly: (a,b) = {; a < < b}, a,b = {; a b}, a,b) = {; a < b}, (a,b, = {; a < b}, (a, ) = {; > a}, a, ) = {; a}, (-,b) = {; < b}, (-,b = {; b}, a nakoniec celá množina R a ľubovoľná jednobodová množina. Prvý interval sa nazýva otvorený, druhý uzavretý, ďalšie sú polootvorené, resp. neohraničené. Uzavretý interval má dva krajné body, ktoré do neho patria, otvorený má taktiež dva krajné body, ktoré do neho nepatria. Polootvorené intervaly majú iba jeden krajný bod a R nemá krajný bod. Vnútro intervalu je tento interval bez krajných bodov. Napríklad vnútro intervalu 0, je interval (0, ) a vnútro intervalu R je R. Príklad. Zapíšte nasledujúce intervaly ako množiny a potom ich graicky znázornite: -,),, ), (-,5). 6

2 -,) = {; - <},, ) = {; }, (-,5) = {; < 5}, Obr... Deinícia reálnej unkcie reálnej premennej Reálna unkcia reálnej premennej deinovaná na množine A (podmnožine reálnych čísel) je pravidlo (predpis), ktorým každému prvku z množiny A priradíme jediný prvok y z množiny R (hodnota unkcie v bode ). Zapisujeme y=(), resp. :A R. Poznámka: Funkciu môžeme považovať za nejaké zariadenie (čierna skrinka), do ktorej vchádza a vychádza (). Obr.. Príklad.. + Nech unkcia je daná predpisom =,. Potom: 5+ + ( 5) = = ( ) = = 5 5 z + + ( z) =, z ( ) =, z ( ) ( ) = = = = =,, ( 5 )( ) 5. Deiničný obor a obor hodnôt unkcie Množina A sa nazýva deiničný obor unkcie. Množina všetkých hodnôt unkcie sa nazýva obor hodnôt unkcie. Ak nie je deiničný obor daný a unkcia je daná vzorcom, tak jej deiničným oborom rozumieme prirodzený deiničný obor, t.j. množinu všetkých čísel, pre ktoré má daný vzorec zmysel. Príklad.. Nájdite deiničné obory unkcií = 5, g hodnoty týchto unkcií v bode =0. = a h + =. Nájdite aj 5 6

3 =... nakoľko pod odmocninou nesmie byť záporné číslo, deiničný obor unkcie 5 získame riešením nerovnice D( ) = 5; ) g =... nakoľko pod odmocninou nesmie byť záporné číslo a v menovateli nesmie 0 byť nula, deiničný obor unkcie g získame riešením sústavy nerovníc 0 Z prvej nerovnice vyplýva. Teraz vyriešime druhú nerovnicu. 0 ( 0) ( > 0) ( 0) ( < 0) ( 0) ( > ) ( 0) ( < ) ( > ) ( 0) ;0 ; Z riešenia oboch nerovníc vyplýva, že D( g ) = ;0 ( ; ) h + = 5... nakoľko hodnota menovateľa nesmie byť nulová, deiničný obor unkcie h získame riešením nerovnosti 5 0 ( 5 ) D( h) = R { 0;5}.5 Gra unkcie Gra unkcie y = je množina bodov [, y ] (roviny), pre ktoré platí y Príklad.5. Dané sú unkcie a. = +, deinovaná na intervale (-,, b. F =. = +, deinovaná na intervale (-,. Nakreslite ich gray a určte obor hodnôt. Pretože obe unkcie majú tvar = a+ b, sú tieto unkcie lineárne a preto je ich graom priamka alebo jej časť. y = + Gra lineárnej unkcie zostrojíme tak, že určíme hodnotu unkcie v dvoch rôznych bodoch. F ( ) - ( ) = ( ) + = = + = 7 F = + = F = + = y = + Z graov unkcií vidíme, že obory hodnôt sú H( ) = (;7, ;) H F =. Obr.. 6

4 Príklad.6. Daná je unkcia y = ( 6), kde deiničný obor je interval (0,6). Nakreslite gra tejto unkcie. Určte obor hodnôt tejto unkcie. Funkciu najskôr upravíme: y = ( 6) = 6. Pretože unkcia má tvar y = a + b+ c, kde a=, b= 6, c= 0, je táto unkcia kvadratická a jej graom je parabola. b b Vrchol paraboly má súradnice V ; a a, ( 6) ( 6) teda V ; = ; = ; 6 = [ ; 9]. Nakoľko a > 0, parabola je otvorená smerom nahor. Priesečníky paraboly s osou získame riešením rovnice ( ) = 0, teda 6= 0. D b ac = = 6 0= 6 D = 6 = 6 b+ D ( 6) + 6 = = = 6 a b D ( 6) 6 = = = 0 a Teda priesečníky s osou sú [ 6;0 ] a [ ] Priesečník s osou y je [ 0;c ], teda [ 0;0 ]. 0;0. Z grau unkcie vidíme, že obor hodnôt je H = 9;0. Obr.. ) ( 6) y =.6 Ohraničená unkcia (zdola, zhora) Hovoríme, že unkcia ( ) je zdola ohraničená na množine A, ak eistuje číslo a, že pre každé A platí a (). Hovoríme, že unkcia ( ) je zhora ohraničená na množine A, ak eistuje číslo b, že pre každé A platí () b. Funkcia je ohraničená ak je ohraničená aj zdola aj zhora. y = Príklad.7. Funkcia y = na intervale nie zhora a na intervale 0; je ohraničená zdola, ale ;, resp. ; ) je ohraničená. Obr..5 65

5 Príklad.8. Dokážte, že unkcia y = je na celom + y = svojom deiničnom obore ohraničená. + Zrejme deiničným oborom unkcie je množina všetkých reálnych čísel, nakoľko výraz + nadobúda pre všetky reálne čísla kladné (a teda nenulové) hodnoty. Obr..6 Dokážeme, že výraz nadobúda iba hodnoty z intervalu (0;. + Zrejme < 0 + < +. Pretože výraz nadobúda iba hodnoty z intervalu (0;, daná unkcia je ohraničená na + celom svojom deiničnom obore..7 Monotónne unkcie Hovoríme, že unkcia deinovaná na množine A je: a. rastúca na A pre každé, A, < je ( ) < ( ); b. klesajúca na A pre každé, A, < je ( ) > ( ); c. nerastúca na A pre každé, A, < je ( ) ( ); d. neklesajúca na A pre každé, A, < je ( ) ( ). Poznámka: Rastúca a klesajúca unkcia sa nazývajú rýdzomonotónne unkcie. Príklad.9. Rastúce unkcie: y = e y = + Obr..7a Obr..7b 66

6 y= Obr..7c Klesajúce unkcie: y = e y = + Obr..8a Obr..8b Príklad.0. Vyšetrite monotónnosť unkcie y = 5 na celom jej deiničnom obore. Vieme, že deiničným oborom tejto unkcie je interval ; ). Nech < sú ľubovoľné čísla z intervalu ; ). Potom dostávame: y = 5 0 < < 5 > 5 >. Obr..9 Tým sme ukázali, že pre všetky < z intervalu,+ ) platí >, čo v zmysle deinície dokazuje, že unkcia y = 5 je na celom deiničnom obore klesajúca. 67

7 .8 Operácie s unkciami Dve unkcie a g sa rovnajú (píšeme = g ) práve vtedy, ak sa rovnajú ich deiničné obory (ako množiny) a pre každé z deiničného oboru platí = g. Nech sú dané dve unkcie a g s príslušnými deiničnými obormi D( ) a D množina D =D( ) D g. Nech g je neprázdna množina. Potom pre každé D možno deinovať nasledujúce unkcie: h = + g, h = - g, h =. g a za predpokladu, že D( ) D( g) platí g 0, aj unkciu h = g. Funkciu h nazývame súčtom unkcií a g a označujeme ju + g. Funkciu h nazývame rozdielom unkcií a g a označujeme ju - g. Funkciu h nazývame súčinom unkcií a g a označujeme ju. g. Napokon, unkciu h nazývame podielom unkcií a g a označujeme ju g. Príklad.. Zistite, či sa nasledujúce unkcie a g rovnajú: a) =, g = b) =, g = + D = D g = R 0. Naviac, pre každé a) Deiničným oborom oboch unkcií je množina { } platí =, teda = g. Preto sa unkcie a g rovnajú. D = R, zatiaľ čo deiničným oborom číslo R { 0} b) Deiničným oborom unkcie je množina { } unkcie g je množina D( g) nerovnajú sa ani unkcie a g. = R. Nakoľko deiničné obory unkcií a g sa nerovnajú,.9 Zložená unkcia Nech je na množine M deinovaná unkcia g. Nech pre každé M je hodnota g D(). Potom možno na množine M deinovať unkciu h nasledovne: M g. Funkciu h nazývame h( ) = [ ] zloženou unkciou, utvorenou z unkcií a g. Označujeme ju [ g ]. Funkciu nazývame vonkajšou zložkou a unkciu g vnútornou zložkou zloženej unkcie h. Upozorňujeme čitateľa, že zložená unkcia môže byť utvorená z viacerých ako dvoch častí. Presnejšie povedané, vonkajšia zložka alebo vnútorná zložka g môžu byť zase zložené unkcie. Obr..0 68

8 Príklad.., 0 ( ) = = = Nech ( ) =, g = +. Nájdite ( ), ( ), ( ), ( ) g g g g. ( g ) = ( + ) =, + g( ) g + = = + = ( ) g g = g + = + + = +.0 Inverzná unkcia Nech je reálna unkcia. Budeme hovoriť, že unkcia je prostá na množine M D, ak pre každú dvojicu, M, Veta.: Každá rýdzomonotónna unkcia je prostá. Nech je reálna unkcia, ktorá je prostá na M D. Označme neprázdnej množine znakom ( M ) obraz množiny M pri zobrazení unkciou (t.j. ( M ) = yy ; =, M ). { } Potom unkciu, ktorá každému y ( M) platí: ( ) ( ). priradí práve to M, ktoré unkcia zobrazila na bod y ( M), nazývame inverznou unkciou k unkcii a označujeme ju. Obr.. Poznamenajme, že výraz neznamená mocninu unkcie, ale je to iba zaužívaný symbol na označenie inverznej unkcie. Teda inverzná unkcia je vlastne spätné zobrazenie množiny ( M ) na množinu M. Nech je prostá unkcia na celom svojom deiničnom obore D( ). Nech hodnôt tejto unkcie. Priamo z deinície inverznej unkcie vidno, že platí: H je obor Veta.: Nech je prostá unkcia. Potom pre každé a D( ) platí: [ ( a) ] a každé b H( ) platí: ( b) = b. [ ] Príklad.. Dokážte, že unkcia = + je prostá a vypočítajte k nej inverznú unkciu. Zrejme deiničným oborom unkcie je množina všetkých reálnych čísel. Dokážeme, že pre každú dvojicu, R, platí:. = a pre 69

9 Nech, R, + +. Inverznú unkciu nájdeme tak, že v rovnici y = + navzájom zameníme premenné a y a potom vyjadríme premennú y v závislosti od. Teda: = y+ = y y =. Potom =. Pozorný čitateľ si môže klásť otázku, prečo možno určiť inverznú unkciu iba k unkcii prostej. (Ak by napríklad k unkcii y = eistovala inverzná unkcia, na akú hodnotu by zobrazila bod?) Poznamenajme však, že ak nejaká unkcia nie je prostá na celom svojom deiničnom obore, môže byť prostá na nejakej podmnožine tohto deiničného oboru. A na takejto podmnožine už môžeme hovoriť o inverznej unkcii. Inverznou unkciou k unkcii = + je unkcia Konkrétne unkcia y= nie je prostá na D( ) =R, ale je prostá napr. na intervale 0; ).Tu teda možno hovoriť o inverznej unkcii, ktorou, ako sa ľahko zistí, je na tomto intervale unkcia y =. Nech je unkcia, ku ktorej eistuje inverzná unkcia -. Ak bod [a,b] leží na grae unkcie (t.j. (a)=b), potom z deinície inverznej unkcie platí, že bod [b, a] leží na grae unkcie -, lebo - (b)=a. Z tohto aktu môžeme usúdiť, že gra unkcie - je zrkadlovým obrazom grau unkcie podľa priamky y =. Obr... Párne a nepárne unkcie Nech deiničný obor D( ) unkcie ( ) má nasledujúcu vlastnosť: Ak D( ), tak aj ( ) D( ). Potom hovoríme, že: a) ( ) je párna unkcia, ak pre každé D( ) platí ( ) = ( ), b) ( ) je nepárna unkcia, ak pre každé D( ) platí ( ) = Príklad. Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť nasledujúcich unkcií: + a) = b) = + c) = d) =. y = y = y= 70

10 a) + = ( ) ( ) = = = = ( ) b) = + = () ( ) = ( ) + ( ) = Pretože neplatí ani () = ( ), ani c) = je nepárna ( ) = ( ) = = d) = je párna ( ) = ( ) = = = + je nepárna =, unkcia nie je ani párna, ani nepárna. = + Obr..a Obr..b = = Obr..c Obr..d 7

11 Poznámka. Gra párnej unkcie je súmerný vzhľadom na os y, gra nepárnej unkcie je súmerný vzhľadom na začiatok súradnicovej sústavy.. Periodické unkcie Nech je unkcia s deiničným oborom D ( ) a p je kladné reálne číslo. Funkcia sa nazýva periodická s periódou p, ak. D( ) + p D( ), p D( ),. D( ) : ( + p) =. Najmenšia perióda p sa nazýva základnou periódou. Napríklad unkcie sin a cos majú periódy π,π,6π,... a ich základná perióda je π. Podobne unkcie tg a cotg majú periódy π, π,π,... a ich základná perióda je π. Obr..a Obr..b Obr..c Príklad.5 Určte základnú periódu pre unkcie a) y = sin b) y = sin a) Predpokladajme, že p je perióda. Má platiť: sin = sin ( + p), čiže α β α + β sin ( + p) sin = 0. Použijeme vzorec sinα sin β = sin cos. Potom 7

12 p 6+ p sin ( + p) sin = sin ( + p) sin = sin cos = 0. Aby tento vzťah p p platil pre ľubovoľné, musí platiť sin = 0 = k π, k Z. Pre k = dostaneme π p =. Gra unkcie je znázornený na obr p b) Predpokladajme, že p je perióda. Má platiť: sin = sin, čiže + p α β α + β sin sin = 0. Opäť použijeme vzorec sinα sin β = sin cos. Potom + p p + p sin sin = sin cos = 0. Aby tento vzťah platil pre ľubovoľné, musí 8 8 p p platiť sin = 0 = k π, k Z. Pre k = dostaneme p = 8π. Gra unkcie je znázornený 8 8 na obr..6. Obr..5 Obr..6 7

13 . Úlohy Načrtnite gra uvedenej unkcie, určte jej deiničný obor, obor hodnôt, základné vlastnosti (intervaly monotónnosti, ohraničenosť, maimum/minimum, párnosť/nepárnosť, prostosť, periodickosť). Určte rovnicu inverznej unkcie, ak eistuje (okrem goniometrických). V príkladoch - načrtnite gray inverzných unkcií.. : y = : y = ln : y = ( 5). : y = 6 + π. : y = 8 8. : y = 5. : y = sin. : y = ( ) + 5. : y = + cos 9. : y = 5. : y = 6 π 5. : y = tg 0. : y = + log : y = +. : y = 7 pre = 0 y = 7 0 = 7 pre = y = 7 = D= R; H = R klesajúca nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna prostá nie je periodická. : y = log ( + ) 6. : y = cotg... graom je priamka prechádzajúca bodmi [0;7] a [;] y = 7 y = : = 7 y y = 7 7 y = 7 y = 7

14 . : y = 6 Priesečníky s osou : 6= 0 D =.. 6 = 5 D = 5 b± D ( ) ± 5, = = a. = = Vrchol: b ( ) = = = a = 6 y 5 y = 6 = 5 5 D = R; H = ; ; zdola ohraničená číslom klesajúca na intervale ; ; rastúca na intervale ; nemá maimum; má minimum v bode 5 0 =, ymin = nie je ani párna ani nepárna; nie je prostá; nie je periodická y = 6 Pretože unkcia nie je prostá na celom svojom deiničnom obore, neeistuje k nej inverzná unkcia. Ak by sme však uvažovali unkciu iba na intervale ;, potom by bola prostá a eistovala by k nej inverzná unkcia -. 5 y= + + y y : = = + = y y y = y + + = y y= y = 6. : y = 8 Priesečníky s osou : = 8 0 8= = = = Vrchol: b 0 = = = 0 a y = y = = 8 : = 8 y y y 8 = = 8 y = y = 8 75

15 D= R; H = ;8 ( rastúca na intervale ( ;0 klesajúca na intervale 0; ) zhora ohraničená číslom 8 nemá minimum má maimum v bode 0 = 0, yma = 8 je párna; nie je nepárna nie je prostá nie je periodická y = 8 y = Pretože unkcia nie je prostá na celom svojom deiničnom obore, neeistuje k nej inverzná unkcia. Ak by sme však uvažovali unkciu iba na intervale 0; ), potom by bola prostá a eistovala by k nej inverzná unkcia -. y = 8. : y = 5 Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ; 5. y ( ) : = 5 D= R; H = R rastúca nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna prostá nie je periodická ( ) y = 5 : ( y ) = 5 ( y ) + 5= y + 5 = y 5 = + + y = 76

16 5. y : = 6 y = Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor 0; 6. y : = 6 D= R; H = 6; klesajúca na intervale ( ;0 rastúca na intervale 0; ) zdola ohraničená číslom -6 nemá maimum má minimum v bode 0 = 0, ymin = 6 je párna; nie je nepárna nie je prostá; nie je periodická ) Pretože unkcia nie je prostá na celom svojom deiničnom obore, neeistuje k nej inverzná unkcia. Ak by sme však uvažovali unkciu iba na intervale 0; ), potom by bola prostá a eistovala by k nej inverzná unkcia - : = y = y y = : y = + Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( ; 0). D= R { ; } H = R { 0} klesajúca na intervale ( ; ) a na intervale ( ; ) nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá; nie je periodická : y + = = y = y+ y = 6 y = y = + 77

17 7. : y = : y = = = Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( ; ). { ; } { } D= R H = R rastúca na intervale ( ; ) ; a na intervale nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá nie je periodická : 8 8 = = y+ y+ y + 8 = = y y = 8 y = + 8 y = 8. : y = 5 Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( ; 5). D= R; H = ( 5; ) rastúca zdola ohraničená číslom -5 nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá nie je periodická : = 5 y + 5 = log 5 log y y ( + ) = ( ) ( ) log + 5 = y y = log y = y = 5 78

18 9. : y = + Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( ;0). D= R; H = ( 0; ) klesajúca zdola ohraničená číslom 0 nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá nie je periodická : y+ = log/ = log/ log/ = y+ y = log / y+ 0. : y = + log5 Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y = log 5. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( 0; ). D= ( 0; ); H = R rastúca nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá nie je periodická : = + log5 y log5 y = log5 y 5 = 5 y = 5 y = + y = y = + log 5 y = log 5 79

19 . : y = log ( + ) Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y = log. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( ;0). D= ( ; ); H = R klesajúca nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá nie je periodická ( ) y= log + : / ( y ) = log + = = y + y = log/( y+ ) y = log. : y = ln( 5) D= 0; ; H = R rastúca nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna ani nepárna je prostá nie je periodická y = ln 5 : ( y) = ln 5 e e = e ( y) ln 5 = 5y e y = 5 80

20 π. : y = sin D= R; H = ; rastúca na intervaloch 0+ kππ ; + kπ ; k Z klesajúca na intervaloch π + kπ;π + kπ ; k Z zdola ohraničená číslom, zhora ohraničená číslom maimum v bodoch ma = π + kπ; k Z; yma = minimum v bodoch min = 0+ kπ ; k Z; ymin = je párna, nie je nepárna nie je prostá je periodická s najmenšou periódou π. : y = + cos Najskôr urobíme gra pomocnej unkcie : y cos =. Gra unkcie získame z grau unkcie posunutím o vektor ( 0; ). D= R; H = ; rastúca na intervaloch π + kπ;π + kπ ; k Z klesajúca na intervaloch 0+ kππ ; + kπ ; k Z zdola ohraničená číslom, zhora ohraničená číslom maimum v bodoch ma = 0+ kπ ; k Z; yma = minimum v bodoch min = π + kπ ; k Z; ymin = je párna, nie je nepárna nie je prostá je periodická s najmenšou periódou π y = + cos y = cos 8

21 π 5. : y = tg + π Gra unkcie : y = tg + získame z grau unkcie : y = tg posunutím o vektor π 0;. Z dôvodu prehľadnosti je znázornený iba gra unkcie. π π y = tg + D= R + kπ ; k Z ; H = R 6 π π π poznámka: - + = 6 rastúca na intervaloch π 7π + kπ; + kπ ; k Z 6 6 nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna, ani nepárna nie je prostá je periodická s najmenšou periódou π 6. : y = cotg Gra unkcie : y = cotg získame z grau unkcie : y cotg = posunutím o vektor ( 0; ). Z dôvodu prehľadnosti je znázornený iba gra unkcie. D= R { 0 + kπ ; k Z} ; H = R rastúca na intervaloch ( 0 + kππ ; + kπ) ; k Z nie je ohraničená nemá maimum ani minimum nie je ani párna, ani nepárna nie je prostá je periodická s najmenšou periódou π y= cotg 8