Διακριτά Μαθηματικά Ι

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2 MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ -- Τυπικές Αποδείξεις -- Αποδεικτικές Μέθοδοι και Θεωρήματα (Σημειώσεις & Παρ. 1.3 βιβλίου EPP) 2 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Έλεγχος Ορθότητας Επιχειρημάτων ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ: Μια ακολουθία προτάσεων που καταλήγουν σε μια τελική πρόταση (το συμπέρασμα). ΕΡΩΤΗΣΗ: Πώς εξασφαλίζεται η εγκυρότητα ενός επιχειρήματος? ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ: Η εξασφάλιση της εγκυρότητας ενός επιχειρήματος από την ερμηνεία του συμπεράσματος (αγνοώντας τη δομή του επιχειρήματος). ΣΥΝΤΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ: Η εξασφάλιση της εγκυρότητας ενός επιχειρήματος από τη δομή του ίδιου του επιχειρήματος, αγνοώντας το περιεχόμενο (τη σημασία) του συμπεράσματος και/ή των επιμέρους προτάσεων. 2 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

3 Σημασιολογική Προσέγγιση (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΟΣ: 1. ΑΝ ο Σωκράτης είναι άνθρωπος ΤΟΤΕ (ο Σωκράτης) είναι θνητός. 2. Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος. Ο Σωκράτης είναι θνητός. p q (p q) Μορφή Επιχειρήματος: A A A 1. p q A Ψ Ψ 2. p Ψ Α Α q Ψ Ψ Α ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ: Γνωρίζω ότι (πράγματι) ο Σωκράτης είναι κάποιος συγκεκριμένος άνθρωπος (άρα, με ενδιαφέρουν ΜΟΝΟ οι γραμμές του πίνακα αλήθειας όπου α(p) = A) και επίσης ότι όλοι οι άνθρωποι είναι πράγματι θνητοί (άρα με ενδιαφέρουν ΜΟΝΟ οι γραμμές του πίνακα αλήθειας που έχουν α(p q) = Α). Με άλλα λόγια: Με ενδιαφέρει φρ ΜΟΝΟ η γραμμή 1 του πίνακα αλήθειας, που εξασφαλίζει α(p) = A) ΚΑΙ α(p q) = Α. Για τη γραμμή αυτή ισχύει ότι α(q)=α. 3 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ20 Μαθηματικά (201 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013) Σημασιολογική Προσέγγιση (ΙΙ) ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ: Με Χρήση Νόμων ΠΛ. Θέλω νδο { p q, p } =q q, ή ισοδύναμα, {(p q) p} =q : (p q) p Υπόθεση ( p q) p ( p p) (q p) Ν. αντικατάστασης Ν. επιμεριστικότητας α (q p) Ν. αποκλεισμού τρίτου: p p α q p Ν. απορρόφησης: α φ φ = q φ χ = φ, από πίνακες αλήθειας ΆΡΑ: { p q, p} = q 4 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ20 Μαθηματικά (201 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

4 Σημασιολογική Προσέγγιση (ΙIΙ) Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Λ.13: Επιβεβαιώστε ότι ΕΝ ΕΙΝΑΙ έγκυρο οποιοδήποτε επιχείρημα γράφεται στη μορφή: 1. p q r 2. q p r p r ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 ος τρόπος: Κάνουμε κοινό πίνακα αλήθειας για να διαπιστώσουμε τελικά ότι ΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ότι { p q r, q p r} = p r 2 ος τρόπος: είχνουμε ότι ΕΝ ΕΙΝΑΙ ταυτολογία ο τύπος: (p q r) (q p r) (p r) 5 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013) Σημασιολογική Προσέγγιση (ΙV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Λ.13 (συνέχεια): Παραθέτουμε την απόδειξη με βάση το 2 ο τρόπο. ( p q r) (q p r) (p r) Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ ΑΨ Ψ Α Α Α ΑΨ Α Α ΑΨΨ Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Α ΑΨ Α Ψ Α ΑΨΨ Ψ Α Ψ Ψ ΑΡΑ: Για α(p) = A, α(q) = α(r) = Ψ, ο τύπος γίνεται ψευδής, συνεπώς δεν είναι ταυτολογία, και άρα ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΕΓΚΥΡΟΣ ο ισχυρισμός του παραδείγματος. δί 6 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ με Σημασιολογική Προσέγγιση Πολλές φορές πρέπει (τελικά) να καταφεύγουμε σε πίνακες αλήθειας. Πάρα πολλοί κανόνες (πχ, Νόμοι της ΠΛ) που θα πρέπει να θυμόμαστε και να αξιοποιούμε (ώστε να αποφύγουμε τον πίνακα αλήθειας). Χρειαζόμαστε ένα μηχανικό τρόπο ελέγχου ορθότητας επιχειρημάτων, που να βασίζεται σε όσο το δυνατόν λιγότερα «δόγματα» και να διαθέτει (λίγους αλλά ισχυρούς) κανόνες παραγωγής γής νέας γνώσης. ΠΩΣ? Με τη Συντακτική Προσέγγιση!!! 7 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013) Προτασιακός Λογισμός ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.6: Ένα ζεύγος <Α,Κ> λέγεται αξιωματικό σύστημα για τον Προτασιακό Λογισμό αν το Α είναι σύνολο προτασιακών τύπων (τα αξιώματα, ή αξιωματικά σχήματα) και το Κ είναι σύνολο σχέσεων που αντιστοιχούν ν-άδες προτασιακών τύπων σε προτασιακούς τύπους (οι αποδεικτικοί κανόνες). ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.7: Το αξιωματικό σύστημα <Α 0,Κ 0 > ορίζεται ως εξής: Αξιώματα (ή Αξιωματικά Σχήματα ΑΣ) του Α 0 : εχόμαστε (ΜΟΝΟ) την αλήθεια των ακόλουθων συντακτικών μορφών: [ ΑΣ1 ] α (β α) [ ΑΣ2 ] [ α (β γ) ] [ (α β) (α γ) ] [ ΑΣ3 ] ( α β ) [ ( α β) α ] Κανόνας του Κ 0 : εχόμαστε (ΜΟΝΟ) την ισχύ των ακόλουθων ταυτολογικών συνεπαγωγών: [ Modus Ponens (MP) )] { α, α β } = β [ Modus Tollens (ΜΤ) ] { β, α β } = α 8 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

6 Τυπική Απόδειξη ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.8: Αν μας δίνεται ένα σύνολο προτασιακών τύπων Τ = { χ 1,..., χ κ }, που θεωρούμε ως ΑΡΧΙΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ, τυπική απόδειξη για έναν τύπο φ, λέγεται οποιαδήποτε πεπερασμένη ακολουθία προτασιακών τύπων φ 1,...,φ λ τ.ώ.: 1 λ 1. Ο τύπος φ να ταυτίζεται με τον φ λ, και 2. Για κάθε 1 μ λ, ο προτασιακός τύπος φ μ είτε ανήκει στο Α 0 Τ (ΑΣ ή αρχική υπόθεση), ή προκύπτει από τους τύπους του συνόλου Α 0 Τ 1 ν κ-1 { φ ν } κάνοντας χρήση του αποδεικτικού κανόνα Μodus Ρonens. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Τ φ ή { χ1,..., χκ } φ. ΑΝ {} φ (ή αλλιώς, φ) ΤΟΤΕ ο φ καλείται τυπικό θεώρημα. 9 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013) Παραδείγματα Τυπικών Αποδείξεων (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.14: Αποδείξτε ότι είναι τυπικό θεώρημα ο προτασιακός τύπος φ φ. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μας ζητείται να αποδείξουμε ότι φ φ. Θα πρέπει να βασιστούμε ΜΟΝΟ στους ΑΣ1,ΑΣ2,ΑΣ3ΑΣ2 ΑΣ3 και στα ΜΡ ΜΤ, αφού το σύνολο των αρχικών μας υποθέσεων είναι ΚΕΝΟ. Ας δούμε όμως πώς μπορούμε να το κάνουμε: 1. { φ [(φ φ) φ] } { [φ (φ φ)] (φ φ) } ΑΣ2 2. φ [(φ φ) φ] ΑΣ1 3. [φ (φ φ)] (φ φ) 12ΜΡ 1,2ΜΡ 4. φ (φ φ) ΑΣ1 5. φ φ 3,4ΜΡ 10 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

7 Παραδείγματα Τυπικών Αποδείξεων (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.15: Αποδείξτε ότι για οποιοδήποτε ζεύγος προτασιακών τύπων φ,ψ, ισχύει ότι: { φ } [( ψ φ) ψ]. Ο συμβολισμός παραπέμπει σε παροχή ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ. ΣΚΕΠΤΙΚΟ (όχι τυπική απόδειξη): Ζητούμενο = [( ψ φ) ψ]. Τι θα χρειαζόμαστε για να αποδείξουμε το ζητούμενο? Ομοιότητα με συμπέρασμα ΚΑΠΟΙΑΣ μορφής του ΑΣ3: [ ψ φ] [( ψ φ) ψ] ΑΡΑ: Θα αρκούσε νδο (δεδομένων των αρχικών υποθέσεων) ισχύει ο τύπος ψ φ. Αυτό όμως «θυμίζει» ΑΣ1: φ ( ψ φ) για το οποίο αληθεύει η υπόθεση της συνεπαγωγής (δόθηκε σαν αρχική υπόθεση). Ποια είναι λοιπόν η ζητούμενη τυπική απόδειξη??? 11 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013) Παραδείγματα Τυπικών Αποδείξεων (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.15 (συνέχεια): Αποδείξτε ότι για οποιοδήποτε ζεύγος προτασιακών τύπων φ,ψ, ισχύει: { φ φ } [( ψ φ) ψ] ] ημιουργώ την τυπική απόδειξη, ακολουθώντας ανάποδα το προηγούμενο σκεπτικό: 1. φφ Υπόθεση 2. φ φ ( ψ φ) ψ ΑΣ1 3. ψ φ 1,2ΜΡ 4. ( ψ φ ) [ ( ψ φ) ψ ] ΑΣ3 5. ( ψ φ) ψ 3,4ΜΡ 12 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

8 Παραδείγματα Τυπικών Αποδείξεων (ΙV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.16: Αν εφαρμόσουμε τον ΑΣ3 για τους υποτύπους φ και ψ = χ έχουμε: ( φ χ) [( φ χ) φ]. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι επίσης ισχύει: ( φ χ) [( φ χ) φ] (ως άμεση εφαρμογή του ΑΣ3)? ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ΟΧΙ (αν θέλουμε να είμαστε απόλυτα ακριβείς με το αξιωματικό σύστημα που θεωρούμε). 13 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013) Επιπρόσθετοι Αποδεικτικοί Κανόνες Γενίκευση: { φ } = φ χ Ειδίκευση: { φ χ } = φ Απαλοιφή: { φ χ, φ } = χ ιαχωρισμός Περιπτώσεων: { φ χ, φ ψ, χ ψ } = ψ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Οι συγκεκριμένοι κανόνες ΕΝ ΕΙΝΑΙ απαραίτητοι (βλ. παρακάτω Θεωρήματα Εγκυρότητας Πληρότητας) για να αποδείξουμε την ορθότητα ενός επιχειρήματος, αλλά μερικές φορές βοηθούν. ΑΣΚΗΣΗ: Αποδείξτε τον ιαχωρισμό Περιπτώσεων με χρήση Νόμων της ΠΛ (σημασιολογική προσέγγιση). 14 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

9 Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (Ι) ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΛ.2 [Θεώρημα της Απαγωγής]: Για οποιοδήποτε ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ σύνολο προτασιακών τύπων Τ Τ(Γ 0 ), και οποιουσδήποτε προτασιακούς τύπους φ,ψ Τ(Γ 0 ), ΑΝ Τ {φ} - ψ ΤΟΤΕ Τ - (φ ψ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.17: Αξιοποιώντας το Θ. της Απαγωγής, να αποδείξετε τα ακόλουθα ΤΥΠΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ: Τ.Θ. ιπλής Άρνησης: φ φ ΚΑΙ φ φ Τ.Θ. Μεταβατικότητας: (φ ψ) [ (ψ χ) (φ χ) ] Τ.Θ. Αντιθετοαναστροφής: (φ ψ) (ψ φ) 15 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013) Απόδειξη για Τ.Θ. Αντιθετοαναστροφής Τ.Θ. Αντιθετοαναστροφής: (φ ψ) (ψ φ) Αρκεί νδο (2 Χ Θ.Απαγωγής): { φ ψ, ψ } φ 1. ψ Υπόθεση 2. φ ψ Υπόθεση 3. ( φ φ ψ) [( φ φ ψ) φ] ΑΣ3 4. φ φ Τ.Θ. - α α 5. ( φ φ) [ (φ ψ) ( φ ψ)] Τ.Θ. - (α β) [(β γ) (α γ)] 6. (φ ψ) ( φ ψ) 4,5ΜΡ 7. φ ψ 2,6ΜΡ 8. ( φ ψ) φ 7,3ΜΡ 9. ψ ( φ ψ) ΑΣ1 10. φ ψ 1,9ΜΡ 11. φ 10,8ΜΡ 16 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

10 ΑΣΚΗΣΗ: Νδο 1. (φ ψ) ( φ ψ) 2. (φ ψ) (φ ψ) Εξάσκηση στην Απαγωγή ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1. Αρκεί νδο (Θ. Απαγωγής) : { φ ψ } φ ψ 1. φ ψ Υπόθεση 2. φ φ Τ.Θ. ιπλής Άρνησης 3. [ φ φ] [ (φ ψ) ( φ ψ) ] Τ.Θ. Μεταβατικότητας 4. (φ ψ) ( φ φ ψ) 23ΜΡ 2,3 5. φ ψ 1,4 ΜΡ 2. Όμοια απόδειξη (αφήνεται ως εξάσκηση). 17 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013) Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (ΙΙ) ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΛ.3 [Θεώρημα της Αντιθετοαναστροφής]: Για κάθε σύνολο προτασιακών τύπων Τ Τ(Γ 0 ) και οποιουσδήποτε προτασιακούς τύπους φ,ψ Τ(Γ 0 ), ισχύει ότι: Τ {φ} ψ ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ Τ {ψ} φ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.18: Για οποιουσδήποτε προτασιακούς τύπους φ,ψ, νδο είναι τυπικό θεώρημα του ΠΛ ο τύπος: φ [ ψ (φ ψ) ] ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αρκεί νδο: {φ, ψ } (φ ψ) ( Θ. Απαγωγής x2 ) Ισοδύναμο με: {φ, φ ψ } ψ (Θ. Αντιθετοαναστροφής). 1.φ Υπόθεση 2.φ ψ Υπόθεση 3.ψ 1,2ΜΡ 4.ψ ψ ψψ Τυπικό Θεώρημα α α 5. ψ 3,4ΜΡ 18 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

11 Συνεπή και Αντιφατικά Σύνολα ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.9: Ένα σύνολο προτασιακών τύπων Τ Τ(Γ( 0 ) είναι συνεπές αν και μονο αν ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ προτασιακός τύπος ψ Τ(Γ 0 ) τέτοιος ώστε Τ ψ ΚΑΙ Τ ψ. ιαφορετικά το Τ είναι αντιφατικό. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Λ.19: Έστω ένας οποιοσδήποτε τύπος φ. Το σύνολο {φ, φ} είναι αντιφατικό αφού ισχύει ότι {φ, φ} φ, και βέβαια ισχύει επίσης ότι {φ, φ} φ. ΕΡΩΤΗΣΗ: Τι σχέση έχει η συνέπεια / αντιφατικότητα με την ικανοποιησιμότητα / μη ικανοποιησιμότητα ενός συνόλου τύπων Τ? 19 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013) Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (ΙΙΙ) ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΛ.4 [Θεώρημα της Απαγωγής Σε Άτοπο]: Για κάθε πεπερασμένο σύνολο προτασιακών τύπων Τ και οποιοδήποτε προτασιακό τύπο φ, ισχύει ότι: ΑΝ το Τ {φ} είναι αντιφατικό ΤΟΤΕ Τ φ. 20 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

12 Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (ΙV) ΠΡΟΤΑΣΗ Λ.5 [Θεώρημα Εγκυρότητας -- Πληρότητας]: Για οποιοδήποτε σύνολο προτασιακών τύπων Τ = {φ 1,...,φ κ }, και οποιοδήποτε προτασιακό τύπο ψ, ισχύει ότι: ΑΝ Τ ψ ΤΟΤΕ Τ = ψ ΑΝ Τ = ψ ΤΟΤΕ Τ ψ (θ. Εγκυρότητας) (θ. Πληρότητας) ΑΣΚΗΣΗ: Εξηγήστε για ποιον λόγο ένα σύνολο προτασιακών τύπων είναι μη ικανοποιήσιμο οήσμο ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ Ο ΑΝ είναι αντιφατικό. 21 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013) Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (V) ΠΡΟΤΑΣΗ Λ.6 [Θεώρημα Συμπάγειας]: Έστω Τ ένα άπειρο σύνολο προτασιακών τύπων. Αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του Τ είναι ικανοποιήσιμο, τότε και το Τ είναι ικανοποιήσιμο. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω (για χάρη της απαγωγής γής σε ΑΤΟΠΟ) ) ότι κάθε πεπερασμένο Τ 0 Τ είναι ικανοποιήσιμο, αλλά το Τείναι μη ικανοποιήσιμο. α : μια οποιαδήποτε αντίφαση. τ = α α : μια ταυτολογία. Τ {τ} =Τ { α} : ΜΗ ικανοποιήσιμο Τ {τ} =Τ { α} : Αντιφατικό (θ. Πληρότητας). Τ τ : (θ. απαγωγής σε άτοπο). Σ = { ψ 1,..., ψ κ } : (Πεπερασμένο) σύνολο των βημάτων τυπικής απόδειξης. Τ 0 = Σ Τ : Πεπερασμένο υποσύνολο αρχικών υποθέσεων. Τ 0 α : Από ορισμό του Σ. Τ 0 = α : (θ. Εγκυρότητας). Τ 0 = α = τ : Οποιοδήποτε σύνολο τύπων συνεπάγεται μια ταυτολογία. Το Τ 0 ΕΝ είναι ικανοποιήσιμο (ΑΤΟΠΟ) 22 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

13 Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (Ι) ΑΣΚΗΣΗ ΕΠ.1 Έστω φ, ψ προτασιακοί τύποι. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι; i. Αν {φ ψ} ψ φ, τότε ο προτασιακός τύπος (φ ψ) ( ψ φ) είναι τυπικό θεώρημα. ii. Το {φ ψ} ψ φ αποτελεί άμεση συνέπεια της εφαρμογής του Θεωρήματος Απαγωγής στο (φ ψ) ( ψ φ). iii. Έστω ότι (φ ψ) ( ψ φ). Το γεγονός ότι ο προτασιακός τύπος (φ ψ) ) ( ψ φ) ) είναι ταυτολογία αποτελεί άμεση συνέπεια του θεωρήματος εγκυρότητας του προτασιακού λογισμού. iv. Η ισοδυναμία των {φ ψ, ψ} φ και {φ ψ, φ} ψ αποτελεί άμεση συνέπεια του Θεωρήματος Αντιθετοαναστροφής. 23 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013) Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙΙ) ΑΣΚΗΣΗ ΕΠ.2 Έχετε ξεχάσει τα γυαλιά σας και κάνετε τους εξής συλλογισμούς: (α) ΑΝ τα γυαλιά είναι στο τραπέζι της κουζίνας γκζ ΤΟΤΕ τα είδα την ώρα του πρωινού επρ (β) ιάβαζα εφημερίδα στο καθιστικό εκθ Ή (διάβαζα εφημερίδα) στην κουζίνα εκζ (γ) ΑΝ διάβαζα εφημερίδα στο καθιστικό εκθ ΤΟΤΕ τα γυαλιά είναι στο σοτραπεζάκι του καφέ γκφ (δ) ΕΝ είδα τα γυαλιά μου κατά τη διάρκεια του πρωινού επρ (ε) ΑΝ διάβαζα το βιβλίο μου στο κρεβάτι βκρ ΤΟΤΕ τα γυαλιά μου είναι στο κομοδίνο γκμ (ζ) ΑΝ διάβαζα εφημερίδα στην κουζίνα ΤΟΤΕ τα γυαλιά μου είναι στο τραπέζι της κουζίνας εκζ γκζ Βρείτε πού είναι τα γυαλιά. ώστε τυπική απόδειξη για την ορθότητα του επιχειρήματός σας. 24 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

14 Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙII) ΑΠΑΝΤΗΣΗ άσκησης 2: 1. γκζ επρ Υπόθεση 2. εκθ εκζ εκθ εκζ εκθ εκζ Υπόθεση 3. εκθ γκφ Υπόθεση 4. επρρ Υπόθεση 5. βκρ γκμ Υπόθεση 6. εκζ γκζ Υπόθεση 7. γκζ 1,4 Modus Tollens 8. εκζ 6,7 Modus Tollens 9. εκθ 2,8 Modus Tollens 10. εκθ εκθ Τ.Θ. φ φ 11. εκθ 9,10 Modus Ponens 12. γκφ 11,3 Modus Ponens Τα γυαλιά βρίσκονται στο τραπεζάκι του καφέ. 25 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013) Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙV) ΑΣΚΗΣΗ ΕΠ.3 Έστω p1 και p2 προτασιακές μεταβλητές. Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι σωστές? Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας. (1) Ο προτασιακός τύπος (p1 p2) ( p2 p1) είναι ταυτολογία. (2) Ο προτασιακός τύπος (p1 p2) ( p1 p2) είναι αντίφαση. (3) p1 p1 = p2 p2. (4) (p1 p1) p2 = p2. 26 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

15 Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (V) ΑΣΚΗΣΗ ΕΠ.4 Εξετάστε μεταξύ των τύπων φ = p (q r) και χ = (p q) r, αν κάποιος συνεπάγεται ταυτολογικά τον άλλον. Τεκμηριώστε την απάντηση που θα δώσετε. 27 Τμήμα Πληροφορικής Μηχσνικών Η/Υ Παν/μίου & Πληροφορικής Ιωαννίνων Παν/μίου / ΠΛΥ210: Ιωαννίνων ιακριτά / ΜΥΥ204: Μαθηματικά : ιακριτά (2013)

16 Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

17 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

18 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.