ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΥΠΕΡΚΡΙΣΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΟΙΧΤΟ ΑΓΩΓΟ ΜΕ ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΑΧΥΤΗΤΑΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΥΠΕΡΚΡΙΣΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΟΙΧΤΟ ΑΓΩΓΟ ΜΕ ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΑΧΥΤΗΤΑΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Ι. ΒΑΣΣΗΣ Πολιτικός Μηχανικός ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2015 ΠΑΤΡΑ 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. i

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα Διατριβή Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Υδραυλικής Μηχανικής, του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών, του Πανεπιστημίου Πατρών. Η εκπόνησή της δεν θα ήταν εφικτή χωρίς την παρουσία του επιβλέποντος κ. Αλέξανδρου Κ. Δημητρακόπουλου, καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών, τον οποίο ευχαριστώ θερμά για την βοήθειά και την καθοδήγησή του με καίριες επισημάνσεις. Καθώς και για το πολύ ευχάριστο και φιλικό περιβάλλον που πάντα καταφέρνει να δημιουργεί κατά τη συνεργασία μας και την προθυμία του να βοηθήσει και να συζητήσει κάθε απορία και προβληματισμό που προέκυπτε κατά τη διάρκεια διεξαγωγής της εργασίας μου. Εύχομαι, λοιπόν, από καρδιάς η συνεργασία μας να συνεχιστεί και στο μέλλον. Ιδιαίτερες ευχαριστίες αποδίδονται στα μέλη της τριμελούς εξεταστικής επιτροπής κ. Αθανάσιο Α. Δήμα, Καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστήμιου Πατρών και κ. Γεώργιο Μ. Χορς, Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστήμιου Πατρών για την ουσιαστική βοήθεια, τις εύστοχες παρατηρήσεις και το ενδιαφέρον τους καθ όλη την διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Ευχαριστίες αποδίδονται και στον κ. Νικόλαο Φουρνιώτη, Διπλωματούχο Πολιτικό Μηχανικό, Διδάκτορα του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών για την βοήθεια που μου προσέφερε κατά την εκπόνηση της παρούσας εργασίας. Επίσης, θερμά ευχαριστώ την υποψήφια διδάκτορα του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών κ. Θεοφανώ Κουτρουβέλη, για την πολύτιμη βοήθεια και το ευχάριστο κλίμα. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου για την αγάπη τους και την συμπαράσταση που μου προσφέρουν για να γίνουν τα όνειρα μου πραγματικότητα. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. ii

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία μελετάται αριθμητικά η ροή σε σήραγγα υπό συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας και έντονης κλίσης πυθμένα 1:10. Διερευνάται η δυνατότητα μείωσης της ταχύτητας ροής μέσω κατακόρυφων, πλευρικών στοιχείων τραχύτητας. Συγκεκριμένα γίνεται τρισδιάστατη προσομοίωση της ροής με χρήση του μοντέλου ANSYS Fluent και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με εκείνα που προέκυψαν από αντίστοιχο πείραμα που πραγματοποιήθηκε στο Εργαστήριο Υδραυλικής Μηχανικής του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Αφορμή για το συγκεκριμένο σχεδιασμό αποτέλεσε η διερεύνηση της εκτροπής των πλημμυρικών παροχών από ορεινή λεκάνη σε κατάντη ταμιευτήρα μέσω σήραγγας και συγκεκριμένα από το οροπέδιο Λασιθίου στον ταμιευτήρα του φράγματος Αποσελεμή. Με δεδομένα τα ανωτέρω, επιθυμείται να αποφευχθεί η κατασκευή βαθμίδων ή στοιχείων τραχύτητας στον πυθμένα και, επομένως, απαιτείται η μόρφωση «πτυχώσεων» στα τοιχώματα έτσι ώστε να αναπτυχθεί δευτερογενής ροή και με εισρόφηση αέρα. Η αποτελεσματικότητα του σχεδιασμού διερευνήθηκε σε υδραυλικό ομοίωμα κλίμακας 1:12.5 που βασίσθηκε σε συνθήκες δυναμικής ομοιότητας κατά Froude για χαρακτηριστικές τιμές παροχής. Η επεξεργασία των μετρήσεων έδειξε ότι με κατάλληλη διάταξη πλευρικών στοιχείων τραχύτητας ελέγχεται η τιμή της ταχύτητας και ικανοποιείται η απαίτηση μεγίστου βάθους ροής σε σχέση με τις διαστάσεις της σήραγγας. Για την υπολογιστική επίλυση του προβλήματος αξιοποιήθηκαν οι εξισώσεις Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS), ενώ για το κλείσιμο της τύρβης χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο δυο εξισώσεων k-ω, το οποίο επεξηγείται αναλυτικά. Η διαχείριση της ελεύθερης επιφάνειας έγινε με τη μέθοδο Volume of Fluid (VOF), ενώ η αριθμητική επίλυση βασίστηκε στη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων και πραγματοποιήθηκε με το υπολογιστικό πακέτο Fluent CFD της ANSYS inc. Για την ροή στον υπό εξέταση αγωγό η ροή είναι υπερκρίσιμη με κλίση πυθμένα S 0 = Για λόγους ελέγχου της ακρίβειας της αριθμητικής μεθόδου που χρησιμοποιήθηκε, αρχικά επιλύθηκε η περίπτωση τρισδιάστατου καναλιού ορθογωνικής διατομής χωρίς πλευρικά στοιχεία τραχύτητας και τα αποτελέσματα που 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. iii

4 προέκυψαν συγκρίθηκαν με αναλυτικά αποτελέσματα μονοδιάστατης ροής (κατακόρυφο επίπεδο) υπεράνω επίπεδου πυθμένα. Τα αποτελέσματα βρέθηκαν σε καλή συμφωνία μεταξύ τους, γεγονός που επιβεβαίωσε την καταλληλότητα της μεθόδου. Για το τρισδιάστατο πρόβλημα με τα κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας, η ανάλυση έδειξε ότι το διάμηκες προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας παρουσιάζει κυματισμούς σε όλη την περιοχή των στοιχείων τραχύτητας. Το βάθος ροής κατέρχεται σταδιακά από το αρχικό κρίσιμο βάθος μέχρι να φθάσει στο επίπεδο του βάθους των 0.06 m, το οποίο δεν είναι το ομοιόμορφο βάθος αφού η ροή συνεχίζει να επιταχύνεται. Επιπροσθέτως, παρατηρήθηκε η δημιουργία μιας περιοχής ανακυκλοφορίας της ροής ανάμεσα στα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. Τα αποτελέσματα που πρόεκυψαν από το αριθμητικό μοντέλο συγκρίθηκαν με τα πειραματικά αποτελέσματα και η συμφωνία μεταξύ αριθμητικών προβλέψεων και πειραματικών δεδομένων είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. iv

5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... ii ΠΕΡΙΛΗΨΗ... iii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ... viii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ... xv ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... xviii 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ ΣΕ ΑΝΟΙΧΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΥΡΒΩΔΕΙΣ ΡΟΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΔΙΕΠΟΥΝ ΤΗΝ ΤΥΡΒΩΔΗ ΡΟΗ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Οι εξισώσεις RANS Μέθοδοι προσέγγισης της ελεύθερης επιφάνειας Η μέθοδος VOF για την προσέγγιση της ελεύθερης επιφάνειας ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΛΕΙΣΙΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΤΥΡΒΗΣ Η έννοια του τυρβώδους ιξώδους Μοντέλα μηδενικής εξίσωσης Σταθερό τυρβώδες ιξώδες Συντελεστής τυρβώδους διαχύσεως Μοντέλα μήκους αναμείξεως Μοντέλα μιας εξίσωσης Το μοντέλο δύο εξισώσεων k ε Το μοντέλο δύο εξισώσεων k ω Άλλα μοντέλα κλεισίματος της τύρβης ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΕΙΣΟΔΟΥ-ΕΞΟΔΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΙΧΩΜΑΤΟΣ Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. v

6 3.2.1 Η διατμητική τάση πλησίον του τοιχώματος Τα μέσα προφίλ ταχύτητας Ο νόμος του τοιχώματος (law of the wall) Το ιξώδες υπόστρωμα Ο λογαριθμικός νόμος Ο νόμος αποκλίσεως της ταχύτητας (velocity-defect low) Επίδραση τραχύτητας του τοιχώματος Ορισμός συνοριακών συνθηκών στο τοίχωμα ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ FLUENT ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΤΟ ANSYS FLUENT Εισαγωγή στη μέθοδο υπολογισμού του Fluent Διαδικασία επίλυσης στο ANSYS Fluent Είδη επιλύτων (solvers) στο Fluent Διακριτοποίηση και επίλυση εξισώσεων μεταφοράς Διακριτοποίηση στον όγκο του ρευστού Σχήμα παρεμβολής QUICK Διακριτοποίηση των κλίσεων ή βαθμίδων (gradients) Η μέθοδος Least-Squares Cell-Based Μέθοδοι παρεμβολής για την πίεση Σύνδεση πίεσης και ταχύτητας Παράλληλη Επεξεργασία ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ ANSYS FLUENT ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. vi

7 6.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΛΕΓΜΑ Γενικά Δημιουργία αριθμητικού πλέγματος Ορισμός συνόρων Ρυθμίσεις προγράμματος και δημιουργία πλέγματος ΡΥΘΜΙΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΤΗ Εκκίνηση προγράμματος Έλεγχος ποιότητας πλέγματος και ρύθμιση για τη βαρύτητα Επιλογή μοντέλου τύρβης και ρευστού προσομοίωσης Ορισμός Οριακών Συνθηκών Ρυθμίσεις μεθόδου επίλυσης Ρυθμίσεις για τη σύγκλιση της λύσης Αρχικοποίηση της λύσης και υπολογισμός ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΚΑΝΑΛΙ ΧΩΡΙΣ ΕΜΠΟΔΙΑ ΚΑΝΑΛΙ ΜΕ ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΑΧΥΤΗΤΑΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. vii

8 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 3.1 Ομοιόμορφη ροή σε αγωγό μεγάλου πλάτους Σχήμα 3.2 Κατανομή της μέσης ταχύτητας πλησίον του τοιχώματος όπως προέκυψε από δεδομένα DNS των Kim et al. (1987): διακεκομμένη γραμμή για Re = 5,600, συνεχής για Re = 13,750 και διακεκομμένη με στίξεις γραμμή για την απεικόνιση της σχέσης U+= u+= y +. Pope (2000) Σχήμα 3.3 Κατανομή της μέσης ταχύτητας πλήσιον του τοιχώματος: συνεχής γραμμή όπως προέκυψε από δεδομένα DNS των Kim et al. (1987) για Re = 13,750, διακεκομμένη με στίξεις γραμμή για την απεικόνιση της σχέσης U+= u+= y +, διακεκομμένη γραμμή για την έκφραση του λογαριθμικού νόμου, Pope (2000) Σχήμα 3.4 Κατανομή της μέσης ταχύτητας για την περίπτωση πλήρους αναπτυγμένης ροής σε ανοικτό αγωγό, μετρούμενη από τους Wei and Willmarth (1989): για Re = 2,970, για Re = 14,914, για Re = 22,776 και για Re = 39,582. Ο λογαριθμικός νόμος εκφράζεται από την συνεχή γραμμή και U+= u Σχήμα 3.5 Ο συντελεστής τριβών f συναρτήσει του αριθμού Reynolds σε αγωγούς για διάφορες τραχύτητες. Η διακεκομμένη γραμμή εκφράζει το νόμο της τριβής για στρωτή ροή, ενώ η συνεχής τον νόμο του Prandtl για τυρβώδη ροή σε λείους αγωγούς. Τα πειραματικά δεδομένα προέρχονται από μετρήσεις του Nikuradse Σχήμα 3.6 Ο σταθερός προσθετικός όρος B στην έκφραση του λογαριθμικού νόμου συναρτήσει του ύψους τραχύτητας ks s αδιαστατοποιημένο με την ιξώδη κλίμακα μήκους δν. Η διακεκομμένη γραμμή εκφράζει την πλήρως τυρβώδη περιοχή με B = 8.5, η ευθεία γραμμή την λεία, ενώ τα πειραματικά δεδομένα προέρχονται από τον Nikuradse Σχήμα 4.1 Αγωγός μεγάλου μήκους υδροδοτούμενος από ταμιευτήρα Σχήμα 4.2 Καμπύλες κατάπτωσης, τύπου S Σχήμα 4.3 Σκαρίφημα της γεωμετρίας της ροής Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. viii

9 Σχήμα 5.1 Ροϊκό πεδίο αγωγού διακριτοποιημένο σε πεπερασμένο αριθμό όγκων ελέγχου (υπολογιστικό πλέγμα) Σχήμα 5.2 Στοιχεία πεπερασμένων όγκων στο Fluent Σχήμα 5.3 Δομημένο πλέγμα σε έναν αγωγό Σχήμα 5.4 Μη-δομημένο πλέγμα γύρω από αεροτομή Σχήμα 5.5 Βήματα ανάλυσης ενός προβλήματος με τη χρήση CFD Σχήμα 5.6 Αλγόριθμος επιλύτη Pressure-Based Segregate Σχήμα 5.7 Δυο γειτονικά κελιά ενός δισδιάτατου υπολογιστικού πεδίου με τα κέντρα τους c0 και c Σχήμα 5.8 Μονοδιάστατος όγκος ελέγχου Σχήμα 5.9 Υπολογισμός κέντρου βάρους κελιού Σχήμα 7.1 Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας σύμφωνα με τη μονοδιάστατη ανάλυση Σχήμα 7.2 Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος του μέσου του αγωγού (z = 0.138m), σε απλό κανάλι χωρίς εμπόδια Σχήμα 7.3 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στο μέσο του αγωγού (Ζ = 0.138m), σε απλό κανάλι χωρίς εμπόδια Σχήμα 7.4 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας κατά την εγκάρσια έννοια σε βάθος ροής y = 0.01 m Σχήμα 7.5 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας κατά την εγκάρσια έννοια σε βάθος ροής y = 0.02 m Σχήμα 7.6 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας κατά την εγκάρσια έννοια σε βάθος ροής y = m Σχήμα 7.7 Προοπτική όψη πεδίου ροής με τις δύο φάσεις του ρευστού Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. ix

10 Σχήμα 7.8 Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος του μέσου του αγωγού, Ζ = m Σχήμα 7.9 Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος της παρειάς των εμποδίων, Ζ = 0.03 m Σχήμα 7.10 Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος της παρειάς των εμποδίων, Ζ = m Σχήμα 7.11 Σύγκριση του προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος του άξονα του αγωγού με πειραματικές μετρήσεις από την εργασία των Α.Κ. Δημητρακόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς και Π.Χρ. Γιαννόπουλος (2007) Σχήμα 7.12 Κάτοψη του αγωγού και ορισμός διατομών σε ενδεικτικές θέσεις Σχήμα 7.13 Διατομές ανά περίπου 1m στην περιοχή με τα κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας Σχήμα 7.14 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X= m. (διατομή 1) Σχήμα 7.15 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Α) Σχήμα 7.16 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή 2) Σχήμα 7.17 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Β) Σχήμα 7.18 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m (διατομή 3) Σχήμα 7.19 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Γ) Σχήμα 7.20 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = (διατομή 4) Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. x

11 Σχήμα 7.21 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Δ) Σχήμα 7.22 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή 5) Σχήμα 7.23 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Ε) Σχήμα 7.24 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m (διατομή 6) Σχήμα 7.25 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m (διατομή ΣΤ) Σχήμα 7.26 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή 7) Σχήμα 7.27 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Ζ) Σχήμα 7.28 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή 8) Σχήμα 7.29 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Η) Σχήμα 7.30 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή 9) Σχήμα 7.31 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = 10.4 m. (διατομή Θ) Σχήμα 7.32 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = 0.01 m. 118 Σχήμα 7.33 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = 0.02 m. 118 Σχήμα 7.34 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. xi

12 Σχήμα 7.35 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = 0.01 m 119 Σχήμα 7.36 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = 0.01 m. 120 Σχήμα 7.37 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = 0.02 m 120 Σχήμα 7.38 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = 0.02 m 121 Σχήμα 7.39 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Σχήμα 7.40 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Σχήμα 7.41 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στον άξονα του αγωγού, Z = m Σχήμα 7.42 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στην παρειά των στοιχείων τραχύτητας, Z = 0.03 m Σχήμα 7.43 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στη μέση της παρειάς των στοιχείων τραχύτητας και του τοιχώματος του αγωγού, Z = m 123 Σχήμα 7.44 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στον άξονα του αγωγού, Z = m Σχήμα 7.45 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στον άξονα του αγωγού, Z = m 124 Σχήμα 7.46 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στην παρειά των στοιχείων τραχύτητας, Z = 0.03 m Σχήμα 7.47 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στη μέση της παρειάς των στοιχείων τραχύτητας και του τοιχώματος του αγωγού, Z = m 125 Σχήμα 7.48 Σύγκριση του προφίλ της διαμήκους ταχύτητας κοντά στον πυθμένα (y = 1 mm) κατά μήκος του άξονα του αγωγού με πειραματικές μετρήσεις από την εργασία των Α.Κ. Δημητρακόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς και Π.Χρ. Γιαννόπουλος (2007) Σχήμα 7.49 Σύγκριση του προφίλ της διαμήκους ταχύτητας κοντά στον πυθμένα (y = 2 mm) κατά μήκος του άξονα του αγωγού με πειραματικές μετρήσεις από την 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. xii

13 εργασία των Α.Κ. Δημητρακόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς και Π.Χρ. Γιαννόπουλος (2007) Σχήμα 7.50 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Σχήμα 7.51 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Σχήμα 7.52 Εστίαση στην εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Σχήμα 7.53 Εστίαση στην εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Σχήμα 7.54 Εστίαση στην εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Σχήμα 7.55 Εστίαση στην εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Σχήμα 7.56 Δημιουργία γραμμών ροής Σχήμα 7.57 Τρισδιάστατη απεικόνιση των γραμμών ροής σε ένα από τα εμπόδια 132 Σχήμα 7.58 Τρισδιάστατη απεικόνιση των γραμμών ροής σε ένα από τα εμπόδια 132 Σχήμα 7.59 Τρισδιάστατη απεικόνιση της κατανομής των διατμητικών τάσεων στα τοιχώματα και στον πυθμένα του καναλιού Σχήμα 7.60 Τρισδιάστατη απεικόνιση της κατανομής των διατμητικών τάσεων στον πυθμένα του καναλιού Σχήμα 7.61 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους Kg m 1s 1 σε βάθος Y = 0.01 m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.62 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους Kg m 1s 1 σε βάθος Y = 0.02 m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.63 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους Kg m 1s 1 σε βάθος Y = m με χρήση του μοντέλου k-ω Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. xiii

14 Σχήμα 7.64 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους σε βάθος Y = 0.01 m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.65 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους σε βάθος Y = 0.01 m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.66 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους σε βάθος Y = 0.02 m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.67 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους σε βάθος Y = 0.02 m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.68 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους σε βάθος Y = m 138 Σχήμα 7.69 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους σε βάθος Y = m. 138 Σχήμα 7.70 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους στον άξονα του αγωγού, Ζ = m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.71 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους στον άξονα του αγωγού, Ζ = m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.72 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους στην παρειά των εμποδίων, Ζ = 0.03 m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.73 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους στη μέση της παρειάς των εμποδίων και το τοίχωμα του αγωγού, Ζ = m με χρήση του μοντέλου k-ω Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. xiv

15 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Εικόνα 1.1 Κάτοψη αγωγού με κατακόρυφα στοιχεία τραχύτητας στα πλευρικά τοιχώματα Εικόνα 1.2 Άποψη της ροής στον αγωγό χωρίς λεκάνη καταστροφής ενέργειας Εικόνα 1.3 Άποψη από τα κατάντη της διαμόρφωσης της ελεύθερης επιφάνειας στον αγωγό Εικόνα 6.1 Δημιουργία νέου Project με Fluid Flow (FLUENT) Analysis Εικόνα 6.2 Εκκίνηση εφαρμογής κατασκευής γεωμετρίας Design Modeler Εικόνα 6.3 Δημιουργία αρχικού κύριου όγκου (box) Εικόνα 6.4 Τελική μορφή αρχικού όγκου Εικόνα 6.5 Διαστάσεις εμποδίου τραπεζοειδούς διατομής σε mm Εικόνα 6.6 Κατακόρυφο στοιχείο τραχύτητας, τραπεζοειδούς διατομής Εικόνα 6.7 Διάφορες απόψεις του ξύλινου εμποδίου, τραπεζοειδούς διατομής Εικόνα 6.8 Δημιουργία 1 ου τραπεζοειδούς εμποδίου Εικόνα 6.9 Δημιουργία 1 ου τραπεζοειδούς εμποδίου Εικόνα 6.10 Δημιουργία 1 ου τραπεζοειδούς εμποδίου Εικόνα 6.11 Δημιουργία τραπεζοειδούς εμποδίου Εικόνα 6.12 Δημιουργία τραπεζοειδούς εμποδίου Εικόνα 6.13 Δημιουργία τραπεζοειδούς εμποδίου Εικόνα 6.14 Τελικό σχήμα αγωγού Εικόνα 6.15 Δημιουργία νέου επιπέδου Plane Εικόνα 6.16 Διαχωρισμός αγωγού στο επίπεδο Plane Εικόνα 6.17 Εκκίνηση Ansys Meshing Εικόνα 6.18 Ορισμός επιφανειών συνόρων εισόδου (flow-inlet-1, flow-inlet-2) Εικόνα 6.19 Ορισμός επιφανειών συνόρων εξόδου (flow-outlets) Εικόνα 6.20 Ορισμός συνόρου ελεύθερης επιφάνειας και δεξιού τοιχώματος (free_surface_air, right-wall) Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. xv

16 Εικόνα 6.21 Ορισμός συνόρου αριστερού τοιχώματος και πυθμένα (right-wall, bottom) Εικόνα 6.22 Εισαγωγή Inflation στη γεωμετρία Εικόνα 6.23 Επιλογή γεωμετρίας για Inflation Εικόνα 6.24 Ρυθμίσεις Inflation για το εξωτερικό τοίχωμα Εικόνα 6.25 Ρυθμίσεις για το Ολικό Sizing Εικόνα 6.26 Τελικό πλέγμα της γεωμετρίας Εικόνα 6.27 Επιφάνειες εισόδου του νερού (Α) και του αέρα (Β) Εικόνα 6.28 Επιφάνεια εξόδου της ροής Εικόνα 6.29 Εστίαση σε ένα από τα εμπόδια Εικόνα 6.30 Τομή της γεωμετρίας στο επίπεδο yz Εικόνα 6.31 Κατά μήκος τομή της γεωμετρίας στο επίπεδο xy Εικόνα 6.32 Στρεβλότητα και αριθμός κελιών πλέγματος Εικόνα 6.33 Εκκίνηση Fluent στο Ansys Workbench Εικόνα 6.34 Ρυθμίσεις εκκίνησης του Fluent Εικόνα 6.35 Έλεγχος και αναφορά ποιότητας πλέγματος Εικόνα 6.36 Επιλογή τύπου ροής και καθορισμός συνιστωσών επιτάχυνσης της βαρύτητας Εικόνα 6.37 Προσομοίωση ελεύθερης επιφάνειας Εικόνα 6.38 Μοντέλο τύρβης SST k-ω..89 Εικόνα 6.39 Δημιουργία ρευστού με τις ιδιότητες του νερού Εικόνα 6.40 Πρωτεύουσα φάση - αέρας Εικόνα 6.41 Δευτερεύουσα φάση - νερό Εικόνα 6.42 Οριακή Συνθήκη εισόδου νερού Εικόνα 6.43 Οριακή Συνθήκη εισόδου αέρα Εικόνα 6.44 Οριακή Συνθήκη εισόδου Εικόνα 6.45 Οριακή συνθήκη εξόδου Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. xvi

17 Εικόνα 6.46 Οριακή συνθήκη εξόδου Εικόνα 6.47 Οριακή συνθήκη πυθμένα Εικόνα 6.48 Οριακή συνθήκη ελεύθερης επιφάνειας αέρα Εικόνα 6.49 Πίεση αναφοράς Εικόνα 6.50 Καθορισμός της ζώνης ισχύος των τιμών αναφοράς Εικόνα 6.51 Ρύθμιση μεθόδου επίλυσης Εικόνα 6.52 Συντελεστές υπό-χαλάρωσης Εικόνα 6.53 Ορισμός κριτηρίων σύγκλισης και παρακολούθησης υπολοίπων Εικόνα 6.54 Ορισμός σημείου για παρακολούθηση μεγέθους ταχύτητας Εικόνα 6.55 Ορισμός σημείου για παρακολούθηση τυρβώδους ιξώδους Εικόνα 6.56 Αρχικές συνθήκες σε όλο το πεδίο Εικόνα 6.57 Προσδιορισμός της συχνότητας αποθήκευσης των αποτελεσμάτων Εικόνα 6.58 Επιλογή αριθμού επαναλήψεων και ενημέρωσης της κονσόλας Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. xvii

18 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 2.1 Τιμές των συντελεστών στο κανονικό k ε μοντέλο Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. xviii

19 ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην εργασία αυτή διερευνάται αριθμητικά η δυνατότητα μείωσης της ταχύτητας ροής σε αγωγούς με ελεύθερη επιφάνεια και έντονη κατά μήκος κλίση πυθμένα, μέσω πλευρικών στοιχείων τραχύτητας. Συγκεκριμένα γίνεται τρισδιάστατη προσομοίωση της ροής με χρήση του μοντέλου ANSYS Fluent και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με εκείνα που προέκυψαν από αντίστοιχο πείραμα που διεξήχθη στο Εργαστήριο Υδραυλικής Μηχανικής του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Αφορμή για το συγκεκριμένο σχεδιασμό αποτέλεσε η διερεύνηση της εκτροπής των πλημμυρικών παροχών από κατάκλιση ορεινής λεκάνης σε κατάντη ταμιευτήρα μέσω σήραγγας και συγκεκριμένα από το οροπέδιο Λασιθίου στον ταμιευτήρα του φράγματος Αποσελεμή. Η συγκεκριμένη λύση επελέγη ως περιβαλλοντικά καταλληλότερη, ειδικά κατά τη φάση κατασκευής του έργου. Βασικές αρχές του σχεδιασμού είναι ότι η υπερχείλιση της κατακλυσμένης περιοχής θα παροχετευθεί υπό συνθήκες ελεύθερης ροής μέσω σήραγγας με την κατασκευαστικά μέγιστη δυνατή ενιαία κλίση (S=10%), η ταχύτητα ροής να είναι τέτοια ώστε να μην απαιτείται ειδική σύνθεση και προστασία του σκυροδέματος στον πυθμένα ή στα τοιχώματα και το έργο να είναι επισκέψιμο με μηχανικά μέσα για μακροχρόνια επιτήρηση και συντήρηση. Το συνολικό μήκος της σήραγγας είναι 3 km και η υψομετρική διαφορά μεταξύ εισόδου και εξόδου της σήραγγας είναι 300 m με αποτέλεσμα ο υπό μελέτη αγωγός να έχει κλίση 1:10. Η μέγιστη παροχή σχεδιασμού εκτιμάται ως 25 m 3 s. Στη μελέτη που έγινε προτείνεται αγωγός ορθογωνικής διατομής, μήκους m, με κατακόρυφα στοιχεία τραχύτητας, τραπεζοειδούς διατομής στα πλευρικά τοιχώματα. Η προτεινόμενη διάταξη της λεκάνης επιτρέπει την απρόσκοπτη κίνηση οχήματος κατά μήκος της σήραγγας για τυχόν επισκευές και συντήρηση. Λόγω των κατακόρυφων στοιχείων τραχύτητας, το πλάτος του αγωγού μεταβάλλεται μεταξύ 2.65 και 3.45 m με διάμηκες βήμα 1.60 m. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. 1

20 Ο στόχος της συγκεκριμένης σχεδίασης είναι η μείωση της ταχύτητας του ύδατος μέσω της αυξημένης τριβής που παρέχουν τα κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. Με βάση τα αποτελέσματα των μετρήσεων σε υδραυλικό ομοίωμα, διερευνήθηκε η επάρκεια των κατακόρυφων στοιχείων τραχύτητας στη διατήρηση του βάθους και της ταχύτητας του ύδατος σε τιμές τέτοιες ώστε να μην δημιουργούνται προβλήματα στη διαχρονική λειτουργία του έργου. Η κλίμακα του ομοιώματος επιλέχθηκε να είναι 1:12.5 και εξασφαλίζει συνθήκες δυναμικής ομοιότητας κατά Froude για το εύρος των παροχών που εξετάσθηκαν (Ettema et al., 2000). Με βάση την επιλεγείσα κλίμακα, η μέγιστη παροχή στο ομοίωμα είναι 45 l s. Στο υδραυλικό ομοίωμα όμως πραγματοποιήθηκαν μετρήσεις βάθους ροής και σημειακών ταχυτήτων σε κρίσιμες περιοχές και για παροχές 27.2 και 11 l s. Στην παρούσα εργασία επιλέχθηκε η περίπτωση για παροχή 27.2 l s. Η δοκιμή αυτή έγινε προκειμένου να ελεγχθεί η πιθανότητα επίτευξης ομοιόμορφης ροής στο συνολικό διαθέσιμο μήκος του ομοιώματος (8.6 m), το οποίο αντιστοιχεί σε μήκος πρωτότυπου αγωγού m. Στα κατάντη ο αγωγός συνεχίζεται για 2 m με το μέγιστο πλάτος. Άποψη της ελεύθερης επιφάνειας από τα κατάντη για αυτή τη γεωμετρία φαίνεται στην Εικόνα 1.3. Με δεδομένα τα ανωτέρω, επιθυμείται να αποφευχθεί η κατασκευή βαθμίδων ή στοιχείων τραχύτητας στον πυθμένα και, επομένως, απαιτείται η μόρφωση «πτυχώσεων» στα τοιχώματα έτσι ώστε να αναπτυχθεί δευτερογενής ροή και με εισρόφηση αέρα. Περαιτέρω, ο σχεδιασμός προβλέπει σε τακτά διαστήματα τοπική διεύρυνση της σήραγγας και κατασκευή λεκάνης καταστροφής ενέργειας με οδοντώσεις (Bureau of Reclamation, 1987, Γιαννόπουλος, 2007), πράγμα που δεν θα μας απασχολήσει στη συγκεκριμένη εργασία και θα μπορούσε να είναι θέμα μελλοντικής εργασίας. Εικόνα 1.1 Κάτοψη αγωγού με κατακόρυφα στοιχεία τραχύτητας στα πλευρικά τοιχώματα 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. 2

21 Εικόνα 1.2 Άποψη της ροής στον αγωγό χωρίς λεκάνη καταστροφής ενέργειας Εικόνα 1.3 Άποψη από τα κατάντη της διαμόρφωσης της ελεύθερης επιφάνειας στον αγωγό 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. 3

22 2. ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ ΣΕ ΑΝΟΙΧΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΥΡΒΩΔΕΙΣ ΡΟΕΣ Οι περισσότερες ροές στην φύση αλλά και σε καθημερινές πρακτικές εφαρμογές είναι τυρβώδεις. Παραδείγματα από την καθημερινή ζωή (π.χ. άνεμος, κίνηση νερού σε ποταμούς κλπ.) μας δίνουν μια διαισθητική κατανόηση του φαινομένου. Η τύρβη δημιουργείται μέσω της αστάθειας (instability) που αναπτύσσεται στις στρωτές ροές σε ανοικτούς αγωγούς και όχι μόνο, καθώς αυξάνεται η ταχύτητα ροής. Η αστάθεια αυτή ενισχύει τις διαταράξεις (perturbations) στις οποίες υπόκειται το ρευστό και οι οποίες προκαλούν την τύρβη. Οι διαταράξεις αυτές εισάγονται από την είσοδο του αγωγού ή από τυχόν ανωμαλίες στα τοιχώματά του. Το ιξώδες (ή συνεκτικότητα) του ρευστού έχει την τάση να εξομαλύνει (damp out) τις διαταράξεις, καθώς αυτές μεταφέρονται στα κατάντη και στην περίπτωση της στρωτής ροής πράγματι οι διαταράξεις αυτές εξαλείφονται (attenuated). Όμως αυξανομένης της ταχύτητας οι αδρανειακές δυνάμεις υπερισχύουν των δυνάμεων του ιξώδους, με αποτέλεσμα οι διαταράξεις αυτές να μην μπορούν να εξαλειφθούν πλέον, ενώ συχνά μπορεί ακόμα και να μεγεθυνθούν. Το φαινόμενο αυτό οδηγεί στη δημιουργία της τύρβης. Στην κλασική περίπτωση μελέτης της ροής σε κλειστό αγωγό, η αστάθεια οδηγεί στην "κατάρρευση" της ροής Poiseuille και στην δημιουργία τυρβώδους μη-παράλληλης ροής, στην οποία η κατανομή της ταχύτητας δεν ακολουθεί πλέον την τυπική παραβολική μορφή. Η φάση μεταβολής της στρωτής ροής σε τυρβώδη λέγεται και μεταβατική φάση. Η παράμετρος η οποία, μαζί με το μέγεθος και τον τύπο της διαταράξεως, ορίζει την έναρξη της τυρβώδους φάσεως της ροής, είναι ο αριθμός Reynolds, Re = VL/ν, όπου V κλίμακα ταχύτητας, L κλίμακα μήκους των στροβίλων και ν το ιξώδες. Σε υψηλούς αριθμούς Reynolds προκαλείται αστάθεια στη ροή η οποία δεν είναι δυνατόν να εξαλειφθεί από το ιξώδες του ρευστού. Η αστάθεια αυτή είναι υπαίτια για την δημιουργία της τύρβης, παράγοντας στροβίλους μεγάλης κλίμακας. Οι στρόβιλοι αυτοί είναι επίσης ασταθείς και προκαλούν την δημιουργία μικρότερων στροβίλων, και ούτω καθ εξής, έως ότου το ιξώδες γίνει σημαντικό στις μικρότερες κλίμακες. Αυτή η διαδικασία καταπτώσεως (cascade process), κατά την οποία 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. 4

23 στρόβιλοι μεγάλης κλίμακας εκφυλίζονται σε όλο και μικρότερης κλίμακας στροβίλους, συνεχίζεται ακατάπαυστα μέσα σε μια ροή υψηλού Reynolds αφαιρώντας με αυτόν τον τρόπο ενέργεια από τις μεγάλες κλίμακες και μεταβιβάζοντας την στις μικρότερες, μέχρις ότου αυτή η ενέργεια αναλωθεί (dissipated) από την δράση του ιξώδους στις μικρότερες κλίμακες. Συνεπώς η διαδικασία καταπτώσεως συνδέεται από μια μέση ροή ενέργειας (energy flux) από τις μεγαλύτερες στις μικρότερες κλίμακες. Η ροή αυτή ενέργειας ελέγχεται από τις μεγαλύτερες κλίμακες και καταλήγει στην ανάλωση μηχανικής ενέργειας από το ιξώδες στις μικρότερες κλίμακες (μετατροπή σε θερμότητα). Η τύρβη είναι εγγενώς τρισδιάστατη και η τυρβώδης ροή εμφανίζεται ως τυχαία στον χώρο και στο χρόνο και ως εκ τούτου δεν μπορεί να αναπαραχθεί πειραματικά επακριβώς. Παρ όλα αυτά η εμπειρία δείχνει ότι οι τυρβώδεις ροές μπορούν να περιγραφούν από τις ίδιες δυναμικές εξισώσεις που περιγράφουν και τις στρωτές ροές, με τις κατάλληλες, φυσικά, προσαρμογές. Στην ανάπτυξη που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με ασυμπίεστα, Νευτώνεια ρευστά. Επιπλέον, θα θεωρήσουμε ότι το ιξώδες και η πυκνότητα του ρευστού είναι σταθερά. Τότε η ταχύτητα και η πίεση περιγράφονται από τις εξισώσεις Navier Stokes, οι οποίες απαρτίζονται από τις εξισώσεις της ορμής στις τρείς διευθύνσεις ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και την εξίσωση της συνέχειας. Αυτές μπορούν να γραφούν ως (π.χ. Bernard & Wallace, 2002). Εξίσωση συνέχειας: Εξίσωση ορμής: U i dx i = 0 (2.1) ρ ( U i t + U U i j ) = σ ij + ρg x j x i (2.2) j όπου U i είναι στιγμιαίες ταχύτητες, g i = το διάνυσμα της επιτάχυνσης της βαρύτητας το οποίο παίρνει την μορφή ( 0, 0, -g ) αν οι άξονες επιλεγούν x 1, x 2 = οριζόντιο επίπεδο και x 3 = θετικός προς τα άνω. Ακόμη σ ij = τανυστής των τάσεων, 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. 5

24 ο οποίος για ένα ασυμπίεστο ρευστό εκφράζεται από την ακόλουθη καταστατική σχέση: σ ij = Pδ ij + d ij (2.3) όπου P = δυναμική πίεση, δ ij = το δέλτα του Kroneker, οριζόμενο ως: δ ij = { 1 για i = j 0 για i j (2.4) και είναι το διατμητικό τμήμα του τανυστή των τάσεων με d ij = 2 μ e ij (2.5) e ij = 1 2 ( U i x j + U j x i ) για i j (2.6) Βάσει των ανωτέρω, οι εξισώσεις ορμής λαμβάνουν την παρακάτω μορφή ρ ( U i t + U U i j ) = P + (μ U i ) + ρg x j x i x j x i (2.7) j Στην παρουσίαση των εξισώσεων χρησιμοποιείται τανυστικός συμβολισμός (tensor notation) και η σύμβαση του Einstein. Οι παραπάνω εξισώσεις πρέπει να συνοδεύονται από τις κατάλληλες αρχικές και συνοριακές συνθήκες. 2.2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΔΙΕΠΟΥΝ ΤΗΝ ΤΥΡΒΩΔΗ ΡΟΗ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Οι εξισώσεις RANS Λόγω, γενικώς, της αδυναμίας να επιλυθούν οι εξισώσεις Navier-Stokes για τυρβώδεις ροές, πλην αριθμητικών λύσεων με την μέθοδο DNS (Direct Numerical Simulation) για μικρούς αριθμούς Reynolds, είναι αναγκαία η μετατροπή τους σε εξισώσεις που να περιγράφουν τις μέσες τιμές των ποσοτήτων που μας ενδιαφέρουν. Ακολουθώντας την πρακτική που εισήγαγε ο O. Reynolds και εφαρμόζοντας την διαδικασία του μέσου όρου, η εξίσωση της συνέχειας λαμβάνει την εξής μορφή: 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. 6

25 Παρομοίως, η εξ. (2.2) λαμβάνει την μορφή: ρ ( U i t + U U i j U i dx i = 0 (2.8) x j ) = (σ x ij ρu ) i u j (2.9) j Σημειώνεται ότι στην εξ. (2.9) έχει αμεληθεί ο όρος της δυνάμεως πεδίου (ρg i ) αφού δεν επηρεάζεται από την διαδικασία του μέσου όρου, αν και θα εισαχθεί πάλι στις εξισώσεις ορμής, για την επίλυση του προβλήματος της παρούσας εργασίας. Ο όρος ρu i u j που εμφανίζεται στην εξ. (2.9) είναι προϊόν της διαδικασίας υπολογισμού του μέσου όρου για τον μεταγωγικό όρο ρu j ( U i x j ). Η τελική έκφραση της εξισώσεως της ορμής είναι η παρακάτω: ρ ( U i t + U U i j ) = P x j x i + (μ U i ρu ) x j x i u j (2.10) j Οι εξ. (2.8) και (2.10) αποτελούν τις Reynolds Averaged Navier - Stokes (RANS) εξισώσεις. Από την μορφή της εξ. (2.10) είναι προφανές ότι ο όρος ρu i u j συμπεριφέρεται στην εξίσωση της ορμής σαν μια επιπλέον τάση, η οποία δρα στο πεδίο ροής, εκτός από την μέση τάση, σ ij. Ο όρος αυτός ονομάζεται τανυστής των τάσεων Reynolds (ή τυρβωδών τάσεων) και παρακάτω, όπου απαιτηθεί, θα συμβολίζεται ως: σ ij t = ρu i u j (2.11) Οι εξ. (2.8) και (2.10) στην πραγματικότητα διέπουν την ροή ενός "φανταστικού" ασυμπίεστου ρευστού το οποίο κινείται με ταχύτητα U i (i = 1, 2, 3). Με τον όρο "φανταστικό" εδώ ερμηνεύεται το γεγονός ότι δεν υπάρχει πραγματικό ρευστό που να κινείται με την μέση ταχύτητα, U i. Η κατάστρωση μιας εξίσωσης ορμής για το ρευστό αυτό θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει δυο εσωτερικές δυνάμεις: μια που προέρχεται από τον μέσο τανυστή των τάσεων,, σ ij και μια άλλη που προέρχεται από τον τανυστή των τάσεων Reynolds. Έτσι, μπορεί να προκύψει η εξ. (2.9) σε αντίθεση με την ισορροπία δυνάμεων σε πραγματικό ρευστό, η οποία δίδει την εξ. (2.2). 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. 7

26 Θα πρέπει πάντως να υπενθυμίσουμε ότι, λόγω της προέλευσης των όρων ρu i u j από τους μεταγωγικούς όρους του αριστερού σκέλους της εξίσωσης της ορμής (εξ. (3.2)), στην πραγματικότητα αυτοί αντιπροσωπεύουν μεταφορά τυρβώδους x i ορμής στην διεύθυνση x j (ή και το αντίστροφο). Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των εξισώσεων RANS, εξ. (2.8) και (2.10), σε σχέση με τις εξισώσεις Navier Stokes, εξ. (2.1) και (2.7), είναι ότι οι πρώτες δεν αποτελούν ένα κλειστό σύστημα εξισώσεων, αφού δεν υπάρχει μια ευθεία σχέση που να συνδέει τον σ ij t με τις U i και P. Η εύρεση ενός τέτοιου "κλεισίματος" των εξισώσεων RANS μέσω ενός καταστατικού νόμου για τον σ ij t έχει αποτελέσει και εξακολουθεί να αποτελεί τον κύριο στόχο των μοντέλων τύρβης (π.χ. Δημητρακόπουλος, 2005) Μέθοδοι προσέγγισης της ελεύθερης επιφάνειας Η ανάλυση ροών με ελεύθερη επιφάνεια με την βοήθεια των τρισδιάστατων εξισώσεων RANS (Reynolds - Averaged Navier - Stokes) βρίσκει ιδιαίτερη εφαρμογή τα τελευταία χρόνια μετά την ανάπτυξη των σύγχρονων ισχυρών υπολογιστών. Ωστόσο, όλα τα μοντέλα επίλυσης που χρησιμοποιούν τις εξισώσεις RANS αντιμετωπίζουν το πρόβλημα προσέγγισης της ελεύθερης επιφάνειας, η οποία αποτελεί έναν δευτερεύοντα άγνωστο των εξισώσεων επίλυσης του προβλήματος. Έχουν αναπτυχθεί αρκετές μέθοδοι για την αντιμετώπιση του προβλήματος της ελεύθερης επιφάνειας, οι οποίες σε συνδυασμό με τις εξισώσεις RANS καταφέρνουν να δώσουν ολοκληρωμένες απαντήσεις στα προβλήματα ροών του τύπου αυτού. Ίσως η πιο απλή μέθοδος είναι η μέθοδος προσέγγισης της ελεύθερης επιφάνειας ως "άκαμπτο κάλυμμα" (rigid lid), η οποία θεωρεί την ελεύθερη επιφάνεια ως ένα επίπεδο συμμετρίας (symmetry plane) ή ως το αποτέλεσμα της δισδιάστατης μοντελοποίησης Saint - Venant (2-D Saint - Venant modelling). Η πρώτη παραλλαγή (επίπεδο συμμετρίας) είναι ευρέως χρησιμοποιούμενη για προσομοιώσεις μεγάλων υδατικών όγκων όπως λίμνες και θάλασσες, ενώ η δεύτερη (Saint-Venant) προτιμάται για την προσομοίωση ροών μικρότερης κλίμακας, όπως ποτάμια και ανοικτά κανάλια (Demuren & Rodi 1983, Fischer - Antze et al. 2001). Ωστόσο, σε κάθε περίπτωση είναι αδύνατο με τις παραπάνω μεθόδους να παρακολουθήσει κανείς πλήρως την μετακίνηση ή την παραμόρφωση της ελεύθερης επιφάνειας. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. 8

27 H ίσως αποτελεσματικότερη μέθοδος για την προσομοίωση προβλημάτων ελεύθερης επιφάνειας είναι η μέθοδος VOF (Volume of Fluid) των Hirt and Nicholls, (1981). Για την χρήση της μεθόδου απαιτούνται τρία πράγματα: μια μεθοδολογία (scheme) προκειμένου να καθοριστεί η θέση της ελεύθερης επιφάνειας, ένας αλγόριθμος που να παρακολουθεί την ελεύθερη επιφάνεια σαν μια κινούμενη διεπιφάνεια (sharp interface) η οποία κινείται διαμέσου του υπολογιστικού χώρου και ένα μέσο προκειμένου να καθοριστούν οι οριακές συνθήκες στην ελεύθερη επιφάνεια. Η χρήση της μεθόδου VOF επιβάλει, ωστόσο, κάποιους περιορισμούς. Στο υπολογιστικό πεδίο το οποίο αποτελείται από διάφορες φάσεις (π.χ. αέρας - νερό) θα πρέπει όλοι οι πεπερασμένοι όγκοι να είναι γεμάτοι με κάποια από τις δυο φάσεις ή με συνδυασμό τους. Η μέθοδος VOF δεν επιτρέπει κενές περιοχές στο υπολογιστικό πεδίο, όπου καμιά από τις δυο φάσεις, ή συνδυασμός τους, δεν είναι παρούσες. Επιπλέον, η μέθοδος απαιτεί η ροή να είναι ασυμπίεστη, ενώ οποιαδήποτε μοντελοποίηση μεταφοράς θερμότητας δεν είναι εφικτή. Η μέθοδος VOF εφαρμόζεται για την προσομοίωση της ροής σε ένα ανοιχτό κανάλι με τη βοήθεια μιας ζώνης αέρα που τοποθετείται πάνω από την επιφάνεια του νερού. Στην είσοδο του καναλιού θεωρείται ξεχωριστή εισαγωγή αέρα (air inflow) και νερού (water inflow), οι οποίες όμως επιλύονται ταυτόχρονα προκειμένου να γίνει πρόβλεψη της ελεύθερης επιφάνειας Η μέθοδος VOF για την προσέγγιση της ελεύθερης επιφάνειας Η μέθοδος VOF (Volume of Fluid) βασίζεται στην υπόθεση ότι δύο ή περισσότερα ρευστά δεν αναμιγνύονται. Για κάθε επιπλέον ρευστό εισάγεται μια νέα μεταβλητή, το ποσοστό όγκου κάθε ρευστού σε κάθε στοιχειώδη όγκο του ροϊκού πεδίου. Σε κάθε στοιχειώδη όγκο το άθροισμα των ποσοστών όγκου όλων των ρευστών ισούται με τη μονάδα. Όλες οι μεταβλητές και οι ιδιότητες σε κάθε στοιχειώδη όγκο αντιπροσωπεύουν μέσες τιμές σύμφωνα με το ποσοστό όγκου κάθε ρευστού. Αν θεωρήσουμε ως α q το ποσοστό όγκου του ρευστού q στον στοιχειώδη όγκο, τότε αν α q = 0, ο όγκος είναι άδειος από το ρευστό q, αν είναι α q = 1 είναι γεμάτος, ενώ αν 0 < α q < 1 ο όγκος είναι μερικώς κατειλημμένος από το ρευστό q. Τότε η εξίσωση ορμής επιλύεται σε όλο το ροϊκό πεδίο και το πεδίο ταχυτήτων το 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < 30. 9

28 οποίο προκύπτει διαμοιράζεται στις υπάρχουσες φάσεις. Η εξίσωση ορμής εξαρτάται από τα ποσοστά του όγκου των διαφόρων φάσεων μέσω των ιδιοτήτων της πυκνότητας ρ και του ιξώδους μ του ρευστού. Στο διφασικό σύστημα (αέρας - νερό) που εξετάζουμε και στο οποίο η φάση του αέρα θεωρείται κύρια και του νερού δευτερεύουσα, η πυκνότητα και το ιξώδες σε κάθε υπολογιστικό κελί δίνονται από τις εξισώσεις: ρ = α water ρ water + (1 α water ) ρ air (2.12) μ = α water μ water + (1 α water ) μ air (2.13) Οι εξισώσεις RANS ορίζονται με βάση το ποσοστό όγκου του κάθε ρευστού σαν ένα είδος μέσων τιμών των φυσικών ιδιοτήτων για το νερό και τον αέρα. Οι φυσικές, λοιπόν, ιδιότητες ρ και μ των εξισώσεων RANS αντικαθίστανται από τις εκφράσεις (2.12) και (2.13) και επιλύονται σε όλο το υπολογιστικό πεδίο (νερό και αέρα). Για τον προσδιορισμό της ελεύθερης επιφάνειας χρησιμοποιείται μια εξίσωση μεταφοράς του ποσοστού όγκου των ρευστών. Γενικότερα, για τη φάση q, η εξίσωση αυτή έχει την ακόλουθη μορφή: α q t + U α q i = 0 (2.14) x i Η εξίσωση (2.14) επιλύεται για κάθε ρευστό εκτός από εκείνο που ορίζεται ως κύριο. Για το κύριο ρευστό το ποσοστό όγκου υπολογίζεται με βάση τον ακόλουθο περιορισμό: Ν α q = 1 (2.15) q=1 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

29 2.3 ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΛΕΙΣΙΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΤΥΡΒΗΣ Η έννοια του τυρβώδους ιξώδους Όσον αφορά στις εξισώσεις RANS (εξ. 2.8 και 2.10), επισημαίνεται ότι το κύριο πρόβλημα προσομοίωσης ροών κατά την ανάλυση ενός σημείου (one point modelling) αποτελούν οι τάσεις Reynolds. Το παλαιότερο μοντέλο προσομοίωσης των τάσεων αυτών αποτελεί, μέχρι σήμερα, τον συνηθέστερο πρακτικό τρόπο αρχικής αντιμετώπισης του προβλήματος της τύρβης. Το μοντέλο αυτό βασίζεται στην υπόθεση ότι όπως οι διατμητικές τάσεις λόγω ιξώδους στην στρωτή ροή, έτσι και οι τυρβώδεις τάσεις, ή αλλιώς τάσεις Reynolds, είναι ανάλογες των βαθμίδων της μέσης ταχύτητας. Η ιδέα αυτή αποδίδεται στον Boussinesq (Rodi, 1980) και μαθηματικά εκφράζεται ως: ρu i u j = ρν t ( U i + U j ) 2 x j x i 3 ρkδ ij (2.16) όπου ν t είναι το τυρβώδες κινηματικό ιξώδες το οποίο, σε αντίθεση με το κινηματικό ιξώδες της στρωτής ροής (ν), δεν αποτελεί μια ιδιότητα του ρευστού, αλλά εξαρτάται από την κατάσταση της τύρβης. Ως εκ τούτου, το ν t μπορεί να διαφέρει σημαντικά από σημείο σε σημείο του ροϊκού πεδίου και από ροϊκό πεδίο σε ροϊκό πεδίο. Με k συμβολίζεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια ανά μονάδα μάζας. Η εξ. (2.16), λόγω της συμπεριφοράς του ν t, δεν αποτελεί αυτή καθ εαυτή μια καταστατική σχέση για το πρόβλημα κλεισίματος της τύρβης αλλά δίνει το πλαίσιο προς αυτή την κατεύθυνση. Το πρόβλημα τώρα εστιάζεται στον καθορισμό της κατανομής του ν t (π.χ. Δημητρακόπουλος, 2005). έκφραση: Αντικαθιστώντας την εξ. (2.16) στην εξ. (2.10) λαμβάνεται η παρακάτω U i t + U i U j = ( P x j x i ρ k) + ν 2 U i + [ν x j x j x t ( U i + U j )] (2.17) j x j x ι Αξίζει να σημειωθεί ότι ο δεύτερος όρος του δεξιού σκέλους της εξ. (2.17) έχει ενσωματωθεί στον όρο της πιέσεως, με αποτέλεσμα η επίδραση της στατικής πίεσης να αντικαθίσταται στις εξισώσεις ορμής από την φαινόμενη πίεση (P ρk). Έτσι, η διαδικασία επίλυσης των RANS εξισώσεων μπορεί να προχωρήσει χωρίς να 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

30 απαιτείται ο προσδιορισμός της k, δεδομένου ότι σε στερεά όρια ή ελεύθερες επιφάνειες ισχύει ότι k = 0 και επομένως μπορούν να προσδιοριστούν οι τιμές της P. Ωστόσο, ο προσδιορισμός της P σε εσωτερικά σημεία του ροϊκού πεδίου απαιτεί μια ξεχωριστή διαδικασία για τον προσδιορισμό της k. Η ιδέα του τυρβώδους ιξώδους συνελήφθη υπό την υπόθεση ότι υπάρχει μια αναλογία μεταξύ της μοριακής κινήσεως, η οποία διέπεται από τον νόμο του ιξώδους του Newton, και της τυρβώδους κινήσεως. Οι στρόβιλοι της τύρβης θεωρήθηκαν ότι κινούν "πακέτα" ρευστού τα οποία, όπως και τα μόρια, συγκρούονται και ανταλλάσσουν ορμή. Το μοριακό ιξώδες είναι ανάλογο προς τη μέση ταχύτητα και τον "μέσο ελεύθερο δρόμο" (mean free path) των μορίων. Αντιστοίχως, το τυρβώδες ιξώδες θεωρείται ανάλογο της χαρακτηριστικής ταχύτητας και της χαρακτηριστικής κλίμακας μήκους των μεγάλων στροβίλων. Έχει βεβαίως επισημανθεί (Rodi, 1980) ότι η αναλογία μεταξύ μοριακής και τυρβώδους κινήσεως δεν μπορεί να είναι ορθή, δεδομένου ότι αφενός οι στρόβιλοι δεν είναι άκαμπτα σώματα τα οποία διατηρούν την ταυτότητά τους και αφετέρου οι μεγάλοι στρόβιλοι, οι οποίοι είναι υπεύθυνοι για την μεταφορά της ορμής, έχουν "διαδρομές" (αντιστοίχως με τον μέσο ελεύθερο δρόμο των μορίων) που δεν είναι μικρές συγκρινόμενες με το μέγεθος του ροϊκού πεδίου, όπως προβλέπει και απαιτεί η αντίστοιχη θεωρία στο μοριακό επίπεδο. Παρ όλες όμως αυτές τις αντιρρήσεις, η ιδέα του τυρβώδους ιξώδους έχει δώσει ικανοποιητικά αποτελέσματα σε πρακτικές εφαρμογές, επειδή το ν t, όπως ορίζεται από την εξ. (2.16), μπορεί να προσδιοριστεί με ικανοποιητική ακρίβεια σε πολλές ροές. Εδώ επισημαίνεται ότι το τυρβώδες ιξώδες είναι ανάλογο της κλίμακας ταχυτήτων, u L, και της κλίμακας μήκους, L, που χαρακτηρίζει τους μεγάλους στροβίλους, δηλαδή ν t u L L (2.18) και ότι η κατανομή αυτών των κλιμάκων είναι αυτή η οποία μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά σε πολλές ροές. Η μεγαλύτερη επιτυχία της ιδέας του τυρβώδους ιξώδους ήταν στην πρόβλεψη δισδιάστατων ροών τύπου οριακού στρώματος. Στην περίπτωση αυτή η διατμητική τυρβώδης τάση που μας ενδιαφέρει είναι η τ = ρuv και η εξ. (2.16) δίδει: 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

31 τ = ρν t U y (2.19) όπου u, v οι διακυμάνσεις της ταχύτητας κατά την x (διαμήκη) και y (εγκάρσια) διεύθυνση της ροής αντίστοιχα. Όμως, ακόμα και γι αυτή την κατηγορία σχετικά απλών ροών, η ιδέα του τυρβώδους ιξώδους είναι πιθανόν να αστοχήσει. Για παράδειγμα, σε φλέβες προσκολλημένες σε τοίχωμα ή για ασύμμετρα διατμητικά στρώματα τοιχώματος (π.χ. ροές σε ορθογωνική διατομή με διαφορετική τραχύτητα σε κάθε τοίχωμα) υπάρχουν περιοχές της ροής όπου η διατμητική τάση, και η βαθμίδα της ταχύτητας, U y, έχουν αντίθετα πρόσημα. Σύμφωνα με την εξ. (2.19), απαιτείται αρνητική τιμή του ν t σ αυτές τις περιοχές, πράγμα όμως που δεν έχει φυσική έννοια αφού οι κλίμακες ταχύτητας και μήκους των μεγάλων στροβίλων είναι πάντοτε θετικές ποσότητες. Επιπλέον, σε ροές πολυπλοκότερες από τις ροές τύπου οριακού στρώματος, περισσότερες από μια τυρβώδεις τάσεις είναι σημαντικές. Η εξ. (2.16) έχει εισάγει το ν t ως ένα βαθμωτό μέγεθος, δηλαδή το τυρβώδες ιξώδες είναι το ίδιο για όλες τις συνιστώσες του τανυστή των τυρβωδών τάσεων. Αυτή η υπόθεση ισότροπου ν t είναι περιοριστική σε πολλές πολύπλοκες ροές. Συνεπώς, διαφορετικά τυρβώδη ιξώδη εισάγονται αρκετές φορές για την περιγραφή των τυρβωδών τάσεων σε διαφορετικές διευθύνσεις. Για παράδειγμα, σε μεγάλα υδατικά σώματα, το ν t καθορίζεται διαφορετικά για την μεταφορά ορμής (τυρβώδεις τάσεις) στην οριζόντια και την κατακόρυφη διεύθυνση. Παρ όλους όμως τους περιορισμούς και τις αστοχίες του, η ιδέα του τυρβώδους ιξώδους χρησιμοποιείται ευρύτατα και έχει δώσει ικανοποιητικά αποτελέσματα σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (π.χ. Δημητρακόπουλος, 2005) Μοντέλα μηδενικής εξίσωσης Πρόκειται για σχετικώς απλά μοντέλα, τα οποία χρησιμοποιούν την ιδέα του τυρβώδους ιξώδους και το προσδιορίζουν είτε απ ευθείας από πειράματα, είτε μέσω διαδοχικών δοκιμών, είτε από εμπειρικές σχέσεις, είτε μέσω της σύνδεσής τους με την κατανομή των μέσων ταχυτήτων. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

32 Σταθερό τυρβώδες ιξώδες Συντελεστής τυρβώδους διαχύσεως Σε μια πληθώρα περιπτώσεων μεγάλων υδατικών όγκων χρησιμοποιείται μια σταθερή τιμή για το ν t, η οποία προσδιορίζεται από κάποια διαδικασία προσαρμογής είτε κατευθείαν από πειράματα εξαπλώσεως χρωστικών ιχνηθετών (dye spreading experiments), είτε από διαθέσιμες εμπειρικές πληροφορίες, είτε από κάποια διαδικασία διαδοχικών δοκιμών (tuning) ώστε να υπάρχει συμφωνία μεταξύ υπολογισμών και μετρήσεων. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, αυτά δεν είναι στην πραγματικότητα μοντέλα τύρβης αλλά περιλαμβάνονται εδώ γιατί χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση υδραυλικών προβλημάτων. Το μοντέλο σταθερού ν t δεν παίζει ιδιαίτερο ρόλο στον υπολογισμό υδροδυναμικών ιδιοτήτων, διότι σε πολλές περιπτώσεις ροών σε μεγάλα υδατικά σώματα, οι όροι της τύρβης δεν είναι σημαντικοί στις εξισώσεις ορμής, οπότε το μοντέλο τύρβης έχει, ούτως ή άλλως, μικρή επίπτωση στο ροϊκό πεδίο. Ακόμη όμως και στην περίπτωση όπου οι όροι της τύρβης είναι σημαντικοί, η αριθμητική επίλυση των εξισώσεων βασίζεται σε τόσο αδρό πλέγμα οπότε δεν είναι δυνατή η ορθή προσομοίωση της τύρβης. Ακόμη πρέπει να επισημανθεί ότι σε τέτοιου τύπου μοντέλα πολλές φορές αναιρείται η υπόθεση ισότροπης συμπεριφοράς του ν t και συνεπώς, διαφορετικές τιμές υιοθετούνται για την οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση. Τέλος, η ιδέα σταθερού ν t έχει μεγαλύτερη αξία σε περιπτώσεις όπου εξετάζεται μόνο η οριζόντια μεταφορά ορμής μέσω υπολογισμών που στηρίζονται στις ολοκληρωμένες, ως προς το βάθος, εξισώσεις (π.χ. Rodi, 1980). Για ροές τοιχώματος, όπως για παράδειγμα η ροή σε ανοιχτούς αγωγούς, όπου η τύρβη προκαλείται από την ύπαρξη του στερεού ορίου, οι μέσες, κατά το βάθος, τιμές ν t συσχετίζονται ικανοποιητικά με την διατμητική ταχύτητα, U, και το βάθος ύδατος d με την σχέση: ν t = cu h (2.20) όπου c = εμπειρικός συντελεστής, εξαρτώμενος από την γεωμετρία της διατομής και την μορφολογία του αγωγού (π.χ. Fischer et al και Elhadi et al. 1984). Αξίζει να σημειωθεί η ομοιότητα της εξ. (2.20) με την εξ. (2.18), οπότε η U παίζει τον ρόλο της κλίμακας ταχύτητας και το βάθος h τον ρόλο της κλίμακας μήκους για τους μεγάλους στροβίλους. Θα πρέπει, τέλος, να επισημανθεί ότι το ν t δεν εκφράζει μόνο 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

33 την μεταφορά ορμής λόγω τύρβης αλλά και την μεταφορά λόγω διασποράς, η οποία οφείλεται στην διαφορά των μέσων, ως προς το βάθος, τιμών της ταχύτητας από τις αντίστοιχες πραγματικές κατανομές τους (Δημητρακόπουλος, 2005) Μοντέλα μήκους αναμείξεως Το πρώτο μοντέλο περιγραφής της κατανομής του τυρβώδους ιξώδους, και επομένως το πρώτο μοντέλο κλεισίματος της τύρβης, παρουσιάστηκε από τον Prandtl το 1925 (Rodi, 1980) και είναι γνωστό ως μοντέλο μήκους αναμείξεως του Prandtl. Ο Prandtl υπέθεσε ότι το τυρβώδες ιξώδες περιγράφεται από μια εξίσωση της μορφής: ν t = ν l m (2.21) όπου v είναι το μέτρο της διακύμανσης της ταχύτητας λόγω τύρβης και l m το μήκος αναμείξεως. Η έννοια του μήκους αναμείξεως έχει ως εξής: Σε ροές τύπου οριακού στρώματος, όταν ένα "πακέτο" ρευστού ταξιδεύει με την μέση ταχύτητα της θέσεώς του, αυτό μετατοπίζεται, λόγω τύρβης, στην εγκάρσια διεύθυνση από το επίπεδο y 1 στο επίπεδο y 2. Σ αυτήν την διαδικασία μετατοπίσεως, η μέση διαμήκης ταχύτητά του (δηλαδή η ταχύτητα στην αρχική θέση) διαφέρει από την ταχύτητα στη νέα θέση κατά ΔU ( U y)(y 2 y 1 ). Ως μήκος αναμίξεως ορίζεται η απόσταση (y 2 y 1 ) όπου η ΔU ισούται με την μέση τιμή των εγκαρσίων διακυμάνσεων, δηλαδή ν. Ο Prandtl θεώρησε ροές τύπου οριακού στρώματος με μόνη σημαντική τυρβώδη τάση την uv και βαθμίδα ταχύτητας ( U y) και βάσει του προηγούμενου ορισμού του μήκους αναμίξεως εξέφρασε το v ως: ν = l m U y (2.22) Συνδυασμός των εξ. (2.21) και (2.22) δίνει: ν t = l m 2 U y (2.23) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

34 Η εξ. (2.23) αποτελεί το μοντέλο του μήκους αναμείξεως του Prandtl. Η εξίσωση αυτή περιγράφει το ν t ως συνάρτηση της τοπικής βαθμίδας της μέσης ταχύτητας και εμπεριέχει μία μόνον άγνωστη παράμετρο, το μήκος αναμείξεως l m. Το μοντέλο αυτό έχει χρησιμοποιηθεί και ακόμα χρησιμοποιείται με μεγάλη επιτυχία για σχετικά απλές ροές, διότι το l m μπορεί να περιγραφεί σε πολλές περιπτώσεις μέσω απλών εμπειρικών σχέσεων. Αξίζει να σημειωθεί ότι το μοντέλου του μήκους αναμείξεως δεν αποδίδει καθόλου ικανοποιητικά σε περιπτώσεις όπου φαινόμενα όπως καμπυλότητα ροής, αποκόλληση, μεγάλες βαθμίδες πιέσεως, απότομες αλλαγές στην διάτμηση κλπ. είναι παρόντα (Bernard & Wallace 2002). Σε τέτοιες περιπτώσεις, απαιτείται εναλλακτικό σχήμα μοντελοποίησης της τύρβης (Δημητρακόπουλος 2005) Μοντέλα μιας εξίσωσης Προκειμένου να ξεπεραστούν οι περιορισμοί του μοντέλου του μήκους μείξεως, αναπτύχθηκαν μοντέλα κλεισίματος της τύρβης τα οποία λαμβάνουν υπ όψιν την μεταφορά ποσοτήτων της τύρβης, μέσω της επίλυσης διαφορικών εξισώσεων μεταφοράς γι αυτές τις ποσότητες. Ένα σημαντικό βήμα σ αυτή την κατεύθυνση ήταν ότι εγκαταλείφθηκε ο απ ευθείας συσχετισμός μεταξύ της κλίμακας των διακυμάνσεων της ταχύτητας και των βαθμίδων της μέσης ταχύτητας και προκρίθηκε ο προσδιορισμός της κλίμακας αυτής από μια εξίσωση μεταφοράς. Αν και έχουν αναπτυχθεί και μοντέλα τα οποία δεν κάνουν χρήση της ιδέας του τυρβώδους ιξώδους (π.χ. Rodi, 1993), στην παρούσα ανάλυση δεν θα ασχοληθούμε περαιτέρω με τέτοια μοντέλα. Αν οι διακυμάνσεις της ταχύτητας είναι αναγκαίο να χαρακτηριστούν από μια κλίμακα, η κλίμακα με το μεγαλύτερο νόημα από φυσικής πλευράς είναι η ποσότητα k, όπου k η τυρβώδης κινητική ενέργεια. Η ποσότητα k είναι το μέτρο της έντασης των τυρβωδών διακυμάνσεων στις τρεις διευθύνσεις. Αφού όμως η τυρβώδης κινητική ενέργεια, k, περιέχεται κυρίως στους στροβίλους μεγάλης κλίμακας, τότε η k είναι μια κλίμακα ταχύτητας για τους μεγάλους στροβίλους με χαρακτηριστική κλίμακα μήκους L. Τότε, και σύμφωνα με την εξ. (2.18), το τυρβώδες ιξώδες μπορεί να εκφρασθεί ως: 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

35 ν t = c μ kl (2.24) όπου c μ είναι μια εμπειρική σταθερά. Η εξ. (2.24) είναι γνωστή ως το μοντέλο Kolmogorov Prandtl γιατί αναπτύχθηκε ανεξάρτητα από τους Kolmogorov (1942) και τον Prandtl (1945). Οι ίδιοι ερευνητές πρότειναν ακόμα, τον προσδιορισμό της κατανομής της k από την επίλυση των εξισώσεων μεταφοράς γι αυτήν την ποσότητα. Η εξίσωση της τυρβώδους κινητικής ενέργειας μπορεί να γραφεί στην παρακάτω μορφή: k t + U k j = Π ε + ν x j 2 k x j x j ( pu i x i ρ + u u j u j ) i (2.25) 2 όπου ο πρώτος όρος του δεξιού σκέλους της εξ. (2.25): Π = u i U i j (2.26) x j είναι ο όρος παραγωγής τυρβώδους κινητικής ενέργειας. Κάνοντας χρήση της εξ. (2.16), η εξ. (2.26) μπορεί να γραφεί ως: U i Π = ν t ( U i + U j ) (2.27) x j x j x i Η εξ. (2.25), με την συνοδευτική εξ. (2.27), δεν ενδείκνυται για την προσομοίωση της μεταφοράς της ποσότητας k, διότι άγνωστες συσχετίσεις τυρβωδών διακυμάνσεων εξακολουθούν να ενυπάρχουν στους όρους της εξ. (2.25). Προκειμένου να ληφθεί ένα κλειστό σύνολο εξισώσεων, οι όροι θα πρέπει να περιγραφούν από μοντέλα. ε και ( pu i x i ρ + u u j u j ) i (2.28) 2 Για την ανάλωση της τυρβώδους κινητικής ενέργειας χρησιμοποιείται η βασική ιδέα του Richardson περί κατάπτωσης της τυρβώδους κινητικής ενέργειας και το γεγονός ότι ο ρυθμός ανάλωσης προκαθορίζεται από το πρώτο βήμα της διαδικασίας, δηλαδή την μεταφορά ενέργειας από τους μεγαλύτερους στροβίλους 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

36 στους επόμενους, οπότε και ε~ u 3 L L. Βάσει των ανωτέρω η ποσότητα ε προσομοιώνεται ως: k 3 2 ε = c D L (2.29) όπου c D είναι ένας εμπειρικός συντελεστής. Τέλος, ο τελευταίος όρος του δεξιού σκέλους της εξ. (2.25) και λόγω ελλείψεως μιας πιο τυπικής (formal) διαδικασίας προσομοίωσής του, μοντελοποιείται ως εξής: ( pu i x i ρ + u u j u j ν t k ) i = (2.30) 2 σ k x i όπου ο συντελεστής σ k μπορεί να θεωρηθεί ως ένας τυρβώδης αριθμός Prandtl της ποσότητας k. Βάσει των εξ. (2.27), (2.29) και (2.30), η εξ. (2.25) λαμβάνει την ακόλουθη μορφή, κατάλληλη για την προσομοίωση της μεταφοράς τυρβώδους κινητικής ενέργειας στα μοντέλα μιας εξισώσεως: k t + U k j = Π ε + [(ν + ν t ) k ] (2.31) x j x i σ k x ι όπου U i Π = ν t ( U i + U j ) (2.27) x j x j x i k 3 2 ε = c D L (2.29) ν t = c μ kl (2.24) Στις παραπάνω εξισώσεις, οι τιμές c μ = 1, c D = 0.08 και σ k = 1 θεωρούνται λογικές προσεγγίσεις για τις εμπειρικές αυτές σταθερές (π.χ. Rodi, 1980). 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

37 Το μοντέλο μιας εξίσωσης (εξ και 2.27, 2.29, 2.24) περιέχει την κλίμακα μήκους, L, των μεγάλων στροβίλων η οποία πρέπει να καθοριστεί ώστε το μοντέλο να είναι πλήρες. Ο καθορισμός αυτός διακρίνει τα διάφορα μοντέλα μιας εξίσωσης. Στα περισσότερα από αυτά, το μήκος L καθορίζεται από απλές εμπειρικές εξισώσεις, κατά παρόμοιο τρόπο με τον καθορισμό του μήκους αναμείξεως. Μια ανασκόπηση του προβλήματος δίνεται από τους Launder & Spalding (1972) και πιο πρόσφατες θεωρήσεις από τον Rodi (1993). Όμως, το μεγαλύτερο μειονέκτημα αυτού του μοντέλου σχετίζεται με τη δυσκολία εμπειρικού καθορισμού της κλίμακας L, ιδιαιτέρως σε πολύπλοκες ροές. Αντιθέτως, σε απλές ροές, τύπου οριακού στρώματος, διαπιστώνεται ότι το μοντέλο του μήκους αναμίξεως αποδίδει εξίσου καλά με το μοντέλο μιας εξισώσεως (Rodi 1993). Συνεπώς, η χρήση του μοντέλου μιας εξισώσεως έχει καταστεί εξαιρετικά περιορισμένη (Δημητρακόπουλος, 2005) Το μοντέλο δύο εξισώσεων k ε Για τους λόγους που αναφέρθησαν παραπάνω, οι οποίοι αφορούν στην δυσκολία καθορισμού της κλίμακας μήκους L, κάποιοι ερευνητές εστράφησαν προς την κατεύθυνση εναλλακτικών μοντέλων, τα οποία αφενός χρησιμοποιούν την ιδέα του τυρβώδους ιξώδους αφετέρου είναι αυτάρκη ως προς την απαίτηση εξωτερικού προσδιορισμού της κλίμακας L και μάλιστα διαθέτουν την ικανότητα αυτόματης επιλογής της κλίμακας αυτής. Το δημοφιλέστερο και πιο διαδεδομένο μοντέλο αυτής της κατηγορίας είναι το γνωστό μοντέλο k ε, το οποίο βασίζεται στον συνδυασμό των εξ. (2.24) και (2.29) για την απαλοιφή της κλίμακας L. Ο συνδυασμός αυτός δίνει: ν t = c μ k 2 ε (2.32) όπου c μ = c μ c D είναι μια εμπειρική σταθερά. Δεχόμενοι την εξ. (2.32) ως την βάση για το τυρβώδες ιξώδες, αμέσως προκύπτει η ανάγκη για την προσομοίωση της μεταφοράς των ποσοτήτων k και ε. Η εξίσωση μεταφοράς για την k έχει ήδη δοθεί στην προηγούμενη ενότητα και επαναλαμβάνεται εδώ: k t + U k j = Π ε + [(ν + ν t ) k ] (2.31) x j x i σ k x ι 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

38 όπου U i Π = ν t ( U i + U j ) (2.28 ) x j x j x i Σημειωτέον ότι ο όρος ε στην εξ. (2.31) δεν περιγράφεται από αλγεβρική σχέση, δεδομένου ότι η προσομοίωση της μεταφοράς της ε αποτελεί αναπόσπαστο μέρος του μοντέλου. Η διαδικασία μοντελοποίησης για την ποσότητα ε απαιτεί πολλές περισσότερες παραδοχές απ ότι η αντίστοιχη διαδικασία για την k εξίσωση. Μια αρκετά λεπτομερής παρουσίαση αυτής της διαδικασίας δίδεται από τους Bernard & Wallace (2002). Για τις ανάγκες της παρούσας ανάλυσης, δίνεται μόνο το τελικό αποτέλεσμα: ε t + U ε ε j = c x ε1 j k Π c ε 2 ε2 k + x i [(ν + ν t σ ε ) ε x i ] (2.33) Συνοψίζοντας, το μοντέλο k ε συμπληρώνει τις εξισώσεις RANS, εξ. (2.17), μέσω της προσομοίωσης του τυρβώδους ιξώδους από την εξ. (2.32) και τις εξισώσεις μεταφοράς για τις ποσότητες k και ε, δηλαδή τις εξ. (2.31), (2.33) και (2.28). Οι τιμές των εμπειρικών συντελεστών που καθορίζουν την κανονική (standard) μορφή του μοντέλου παρουσιάσθηκαν από τους Launder & Spalding (1972) και δίδονται στον Πίνακα 2.1. c μ c ε1 c ε2 σ k σ ε Πίνακας 2.1 Τιμές των συντελεστών στο κανονικό k ε μοντέλο Οι τιμές των συντελεστών έχουν προκύψει είτε μέσω βελτιστοποίησης των αποτελεσμάτων του μοντέλου μετά από σύγκριση με πειραματικές μετρήσεις, είτε λόγω απαίτησης συμφωνίας με πειραματικά αποτελέσματα ορισμένων απλών περιπτώσεων ροής. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

39 Σχετικά με τον συντελεστή c μ, λαμβάνεται υπόψη η συμπεριφορά διατμητικών ροών, στις οποίες η τύρβη ευρίσκεται σε κατάσταση τοπικής ισορροπίας. Τότε η εξ. (2.31) δίνει: Π = ε (2.34) Για ροές τύπου οριακού στρώματος, η εξ. (2.34) σε συνδυασμό με την εξ. (2.28) δίνει: ν t ( U 2 y ) = ε (2.35) η οποία, σε συνδυασμό με την εξ. (2.16) και (2.32) τελικά δίνει: c μ = ( uv 2 k ) (2.36) Σε τέτοιου τύπου ροές, πειραματικές μετρήσεις πλησίον του τοιχώματος έχουν δώσει τιμές uv k 0.3, οπότε από την εξ. (2.36) προκύπτει η τιμή c μ = Η τιμή του c ε2 έχει βασιστεί σε πειραματικά δεδομένα για την αποδόμηση (decay) τύρβης πλέγματος, η οποία δίδει τιμές για τον c ε2 στο διάστημα 1.8 έως 2.0. Τέλος, για ροές τοιχώματος και πλησίον του τοιχώματος ισχύουν τα ακόλουθα: (α) η διαμήκης ταχύτητα κατά την εγκάρσια διεύθυνση περιγράφεται από τον λογαριθμικό νόμο και η διατμητική τάση είναι περίπου σταθερή, (β) η παραγωγή τυρβώδους κινητικής ενέργειας είναι σε ισορροπία με την ανάλωση, δηλαδή δεν υπάρχει μεταγωγική ούτε διαχυτική μεταφορά k και (γ) δεν υπάρχει μεταγωγή της ανάλωσης και υπάρχει διαχυτική μεταφορά αυτής μόνο κατά την διεύθυνση εγκαρσίως του τοιχώματος. Βάση των ανωτέρω, η εξ. (2.33) τελικά δίνει: κ2 c ε1 = c ε2 (2.37) σ ε c μ Επομένως, η τιμή του c ε1 προσδιορίζεται, αφού έχουν πρώτα προσδιοριστεί οι τιμές των c ε2, σ ε και c μ. Σημειώνεται επίσης ότι η τιμή του c ε1 στον Πιν. 2.1 αντιστοιχεί στην τιμή κ για την σταθερά του von Karman. Τέλος, οι συντελεστές σ k και σ ε θεωρήθηκαν αρχικά ίσοι με μονάδα και στη συνέχεια τόσο αυτοί, όσο και ο συντελεστής c ε2, βαθμονομήθηκαν υπολογιστικά (βελτιστοποίηση) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

40 μέσω συγκρίσεως με διάφορα πειραματικά δεδομένα για ελεύθερες διατμητικές ροές, αλλά έχουν χρησιμοποιηθεί με ακόμα μεγαλύτερη επιτυχία για ροές τοιχώματος. Ανάλυση ευαισθησίας έχει δείξει ότι τα αποτελέσματα του μοντέλου είναι περισσότερο ευαίσθητα στις τιμές των c ε1 και c ε2. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι τιμές του κανονικού (standard) μοντέλου k ε αποτελούν έναν συμβιβασμό. Για κάθε ειδικό πρόβλημα είναι πολύ πιθανόν η ακρίβεια να μπορεί να βελτιωθεί μέσω αναπροσαρμογής των συντελεστών (π.χ. συζήτηση από Rodi, 1993 και Pope, 2000). Έχει όμως διαπιστωθεί ότι όταν k ε μοντέλα με αναπροσαρμοσμένους συντελεστές εφαρμόζονται σε ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων, τότε τα αποτελέσματά τους είναι κατώτερα των αποτελεσμάτων του κανονικού μοντέλου (Δημητρακόπουλος, 2005) Το μοντέλο δύο εξισώσεων k ω Το μοντέλο SST (shear stress transport (SST) formulation) k ω (Menter 1993) είναι ένα μοντέλο δύο εξισώσεων και έχει γίνει πολύ δημοφιλές. Αποτελεί ένα συνδυασμό του μοντέλου k ε και του μοντέλου k ω στις κανονικές τους μορφές. Πιο συγκεκριμένα πλησίον των τοιχωμάτων λειτουργεί σαν ένα μοντέλο k ω ενώ μακριά από αυτά σαν ένα μοντέλο k ε. Το k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και ορίζεται ως k = 1 u 2 iu i και το ω είναι ο ειδικός συντελεστής ανάλωσης της τυρβώδους κινητικής ενέργειας και ορίζεται ως ω = ε k. Το μοντέλο k ω παρουσιάζει πολύ καλή συμπεριφορά σε ροές με έντονη αποκόλληση και ανακυκλοφορία. Το τυρβώδες ιξώδες υπολογίζεται ως: μ t = α ρk ω (2.38) όπου α είναι ένας συντελεστής που μειώνει το τυρβώδες ιξώδες κάνοντας μια διόρθωση για μικρούς αριθμούς Reynolds: α = α ( α 0 + Re t R k ) (2.39) 1 + Re t R k όπου: 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

41 Re t = ρk μω (2.40) R k = 6 (2.41) α 0 = β i 3 (2.42) β i = (2.43) Οι αντίστοιχές εξισώσεις για τον υπολογισμό του k και του ω είναι οι εξής: (ρku x i ) = k (Γ i x k ) + G j x k Y k + S k (2.44) j (ρωu x i ) = ω (Γ i x ω ) + G j x ω Y ω + S ω (2.45) j όπου G k η παραγωγή κινητικής ενέργειας λόγω των παραγώγων των μέσων ταχυτήτων: και G ω η παραγωγή του ω: G k = ρu i u j U j x i (2.46) G ω = α ω k G k (2.47) όπου με α = α α (α 0 + Re t R ω ) (2.48) 1 + Re t R ω R ω = 2.95α (2.49) Τα Γ k και Γ ω αναπαριστούν την αποτελεσματική ανάμιξη των k και ω αντίστοιχα και υπολογίζονται από τις σχέσεις: 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

42 Γ k = μ + μ t σ k (2.50) Γ ω = μ + μ t σ ω (2.51) Τέλος τα Y k και Y ω αναπαριστούν την καταστροφή των k και ω αντίστοιχα λόγω τύρβης, ενώ τα S k και S ω είναι όροι πηγής Άλλα μοντέλα κλεισίματος της τύρβης Όπως επισημάνθηκε και παραπάνω, η ιδέα του τυρβώδους ιξώδους αστοχεί σε πολλές περιπτώσεις τυρβωδών ροών, αστοχία η οποία δεν οφείλεται μόνο στην πιθανή κακή επιλογή του ν t, αλλά κυρίως γιατί η όλη ιδέα είναι ακατάλληλη καμία τιμή του ν t δεν θα αποδώσει ικανοποιητικά αποτελέσματα. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα να οδηγηθούν διάφοροι ερευνητές στην προσπάθεια ανάπτυξης μοντέλων κλεισίματος της τύρβης, τα οποία δεν θα στηρίζονται στην εξ. (2.16). Υπάρχουν τρεις βασικοί άξονες για την βελτίωση της ικανότητάς μας να προβλέψουμε τις τυρβώδεις τάσεις, πέραν της εξ. (2.16). Ένας είναι να αναζητήσουμε εναλλακτικές σχέσεις, αντί της εξ. (2.16), οι οποίες προσομοιώνουν καλύτερα την πραγματική μηχανική συμπεριφορά της τυρβώδους μεταφοράς. Σ αυτήν την περίπτωση δίδεται ιδιαίτερη προσοχή στην κατανόηση των φυσικών μηχανισμών που διέπουν την τυρβώδη μεταφορά και στην επινόηση καταστατικών σχέσεων οι οποίες απεικονίζουν αυτή την κατανόηση. Αυτού του τύπου τα μοντέλα προσπαθούν να γενικεύσουν την γραμμική σχέση μεταξύ τάσεων και ρυθμού παραμορφώσεων και να συμπεριλάβουν μη γραμμικά φαινόμενα και είναι γνωστά ως μοντέλα μη γραμμικού τυρβώδους ιξώδους (non linear eddy viscosity models). Ο δεύτερος άξονας είναι να προσδιορίσουμε τις τυρβώδεις τάσεις (τάσεις Reynolds) από την λύση διαφορικών εξισώσεως που διέπουν τις τάσεις αυτές. Κάτι τέτοιο απαιτεί την προσομοίωση των φυσικών μηχανισμών που καθορίζουν την διατήρηση αυτών των τάσεων. Στενά συνδεδεμένη με τα δύο προηγούμενα, είναι μια τρίτη προσέγγιση όπου όροι βαθμίδων (gradient terms) στις διαφορικές εξισώσεις για τις τάσεις Reynolds, απαλείφονται από προσεγγίσεις (αλγεβρικά μοντέλα), οι οποίες μετατρέπουν τις 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

43 διαφορικές εξισώσεις σε αλγεβρικές εκφράσεις. Τα μοντέλα που προκύπτουν κατ αυτόν τον τρόπο ονομάζονται και μοντέλα αλγεβρικών τάσεων Reynolds. Όλα τα παραπάνω δεν θα αναπτυχθούν περαιτέρω. Για περισσότερες λεπτομέρειες μπορεί κανείς να αναζητήσει πληροφορίες σε συγγραφείς όπως οι Pope (2000), Rodi (1993), Mathiew & Scott (2000), Launder & Spalding (1972), Fischer (1979) καθώς και άλλες κλασικές εργασίες σχετιζόμενες με μοντέλα κλεισίματος της τύρβης. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

44 3. ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ 3.1 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΕΙΣΟΔΟΥ-ΕΞΟΔΟΥ Η κατανομή της ταχύτητας στην διατομή εισόδου (inlet) συνήθως ορίζεται ως συνοριακή συνθήκη. Επειδή όμως αυτή συνήθως είναι άγνωστη, επιλέγεται ως συνθήκη η μέση ταχύτητα U, όπως αυτή προκύπτει από μονοδιάστατη, ολοκληρωματική θεώρηση (π.χ. εξ. Manning). Τότε, το σύνορο επιλέγεται σε ικανή απόσταση από την περιοχή ενδιαφέροντος, ώστε να δοθεί η δυνατότητα στην ροή να αναπτυχθεί πλήρως. Εναλλακτικά, και για περιοχή όπου δεν υπάρχουν έντονες καμπυλότητες (στην οριζόντια ή κατακόρυφη διεύθυνση), μπορεί να δοθεί ως συνοριακή συνθήκη η υδροστατική κατανομή της πιέσεως. Οι τιμές της τυρβώδους κινητικής ενέργειας και του ρυθμού ανάλωσης κινητικής ενέργειας συνήθως δεν είναι γνωστές στην είσοδο. Σε περίπτωση όμως που είναι γνωστές θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν. Διαφορετικά, η τιμή της k δίνεται ως ένα μικρό ποσοστό της χρησιμοποιούμενης μέσης ταχύτητας k = (IU) 2 (3.1) όπου I = η ένταση της τύρβης η οποία θεωρείται ότι έχει τιμή της τάξεως του 3% (π.χ. Rameshwaran & Nadeu, 2004). Σχετικά με την ε, συνήθως χρησιμοποιείται ο βασικός ορισμός που προκύπτει από την διαδικασία καταπτώσεως της ενέργειας, ότι δηλαδή ε~ u 3 L L, όπου ως χαρακτηριστική ταχύτητα των μεγάλων στροβίλων χρησιμοποιείται η διατμητική ταχύτητα, U, και ως χαρακτηριστική κλίμακα μήκους περίπου το 1 10 του εύρους του διατμητικού στρώματος, το οποίο σε πλήρως ανεπτυγμένες ροές ανοικτών αγωγών ταυτίζεται με το βάθος (ή την υδραυλική ακτίνα για σύνθετες διατομές) της ροής. Ειδικότερα, για προσομοίωση με το μοντέλο k ε και αξιοποιώντας περαιτέρω την εξίσωση του τυρβώδους ιξώδους, ν t = c μ k 2 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y < ε, θεωρώντας ότι Π = ε πλησίον του τοιχώματος, είναι εύκολο να αποδειχτεί ότι U = c μ k 2 w, όπου k w η τιμή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας πλησίον του τοιχώματος (περιοχή ~30 < y + < 100). Θεωρώντας ότι η σχέση ισχύει για όλη την διατομή εισόδου, προκύπτει η

45 εξίσωση η οποία συνήθως χρησιμοποιείται για να εκφράσει την εκτίμηση της ε στην διατομή εισόδου (Rameshwaran & Nadeu 2004, Ferziger & Peric 2002 και Versteeg & Malalasekera 1995): 3 4 ε = c k3 2 μ 0.1h (3.2) Σημειώνεται ότι ο συντελεστής 0.1 στον παρονομαστή δίδεται και ως Όσον αφορά την διατομή εξόδου (outlet), μπορεί να χρησιμοποιηθεί η υδροστατική κατανομή της πιέσεως ως συνοριακή συνθήκη. Συνηθέστερα όμως και για πλήρως ανεπτυγμένη ροή εφαρμόζεται η συνθήκη όπου η βαθμίδα, όλων των σχετικών ποσοτήτων, στην διεύθυνση κάθετη προς την διατομή εξόδου τίθεται ίση με το μηδέν, δηλαδή : όπου n = η κάθετη διεύθυνση στη διατομή εξόδου. U i n = k n = ε n = 0 (3.3) 3.2 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΙΧΩΜΑΤΟΣ Παρακάτω παρουσιάζεται ο τρόπος διαχείρισης ροών πλησίον του τοιχώματος. Η ανάλυση εστιάζεται σε ομοιόμορφες, πλήρως ανεπτυγμένες ροές σε ανοικτούς αγωγούς, στους οποίους ο λόγος πλάτους προς βάθος είναι σημαντικός, Σχ Η ανάλυση είναι παρόμοια με αυτή που γίνεται για ροές οριακού στρώματος ή ροές σε αγωγούς ορθογωνικής διατομής. Αυτού του τύπου οι ροές έχουν καλυφθεί εκτενώς στην βιβλιογραφία. Περισσότερες λεπτομέρειες μπορεί να αναζητήσει κανείς σε πηγές όπως οι Bernard & Wallace (2002) και Pope (2000). 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

46 Σχήμα 3.1 Ομοιόμορφη ροή σε αγωγό μεγάλου πλάτους Η διατμητική τάση πλησίον του τοιχώματος Η συνολική διατμητική τάση, όπως αυτή περιγράφεται από την εξίσωση (3.4), είναι το άθροισμα της τάσεως λόγω ιξώδους και της τυρβώδους τάσεως. Επειδή, όμως, θέλουμε U = 0 στο τοίχωμα και συνακολούθως u = v = 0, είναι προφανές ότι η διατμητική τάση στο τοίχωμα οφείλεται αποκλειστικά στην επίδραση του ιξώδους, εξ. (3.5). τ = ρ (ν U y ) uv (3.4) τ w = ρ ν U y y=0 (3.5) Από τις ποσότητες τ w, ν (και την πυκνότητα ρ ) καθορίζουμε ιξώδεις κλίμακες που είναι κατάλληλες για κλίμακες ταχύτητας και μήκους στην περιοχή πλησίον του τοιχώματος. Αυτές είναι η διατμητική ταχύτητα: U τ w ρ (3.6) και η ιξώδης κλίμακα μήκους: δ ν ρ τ w = ν U (3.7) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

47 Ο αριθμός Reynolds που προκύπτει από τις παραπάνω κλίμακες είναι εκ ταυτότητος μονάδα, ενώ ο διατμητικός αριθμός Reynolds ορίζεται ως: Re = U h ν = h δ ν (3.8) Η απόσταση από το τοίχωμα, μετρούμενη σε ιξώδεις κλίμακες μήκους ορίζεται ως: y + = y δ ν = U y ν (3.9) Ουσιαστικά, το y + είναι ένας οιονεί τοπικός αριθμός Reynolds, επομένως η τιμή του είναι λογικό να καθορίζει την σχετική σπουδαιότητα της ιξώδους και της τυρβώδους διαδικασίας. Διαφορετικές περιοχές, ή στρώματα, καθορίζονται στην περιοχή πλησίον του τοιχώματος βάσει του y +. Στην ιξώδη περιοχή του τοιχώματος (viscous wall region), y + < 50, υπάρχει άμεση εξάρτηση της διατμητικής τάσης από το ιξώδες, ενώ αντιθέτως στο εξωτερικό στρώμα (outer layer), y + > 50 1, η επίδραση του ιξώδους είναι αμελητέα. Μέσα στην ιξώδη περιοχή ορίζεται το ιξώδες υπόστρωμα (viscous sub layer), y + < 5, όπου η τυρβώδης τάση είναι αμελητέα σε σχέση με την τάση λόγω ιξώδους. Καθώς ο αριθμός Reynolds της ροής αυξάνει, το ποσοστό βάθους της ροής που καταλαμβάνεται από την ιξώδη περιοχή του τοιχώματος μειώνεται, αφού δ ν h, μεταβάλλεται κατά Re 1, εξ. (3.8) Τα μέσα προφίλ ταχύτητας Μια πλήρως ανεπτυγμένη και ομοιόμορφη ροή σε ανοικτό αγωγό, καθορίζεται πλήρως από τις ποσότητες ρ, ν, h και θ, ή ισοδύναμα από τις ρ, ν, h και U, αφού η διατμητική ταχύτητα συνδέεται με τις παραπάνω ποσότητες μέσω της παρακάτω εξ. (3.10). τ w ρu 2 = ρgh sin θ (3.10) Βάσει του θεωρήματος Π του Buckingham και για τις μεταβλητές του προβλήματος, U, y, ρ,ν, h και U, μπορούν να κατασκευαστούν 3 αδιάστατες ομάδες μεταβλητών. Θεωρώντας ως εξαρτημένη αδιάστατη μεταβλητή την ποσότητα U U, προκύπτει: 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

48 U U = F o ( y h, Re ) (3.11) όπου Re έχει οριστεί από την εξ. (3.8) και F o = "παγκόσμια" αδιάστατη συνάρτηση που πρέπει να οριστεί. Παρόλο που η παραπάνω προσέγγιση φαίνεται απολύτως λογική, είναι προτιμότερο να προσεγγίσουμε το πρόβλημα κάπως διαφορετικά. Αντί για την U, θεωρούμε την βαθμίδα ταχύτητας, du dy, η οποία είναι η δυναμικά σημαντική παράμετρος (λόγω της παρουσίας της στην σχέση για την διατμητική τάση). Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω προκύπτει: du dy = U y Φ 1 ( y δ ν, y h ) (3.12) όπου Φ 1 = "παγκόσμια" αδιάστατη συνάρτηση. Η επιλογή των παραμέτρων βασίζεται στο ότι η δ ν είναι η ορθή κλίμακα μήκους στην ιξώδη περιοχή του τοιχώματος (y + < 50), ενώ το h είναι η ορθή κλίμακα στο εξωτερικό στρώμα (outer layer), όπου y + > 50. Η σχέση: (y δ ν ) (y h) = Re (3.13) δείχνει ότι οι δύο παράμετροι στην εξ. (3.12) περιέχουν τις ίδιες πληροφορίες με τις παραμέτρους της εξ. (3.11) Ο νόμος του τοιχώματος (law of the wall) Ο Prandtl (1945) υπέθεσε αξιωματικά [postulated] ότι για υψηλούς αριθμούς Reynolds και πλησίον του τοιχώματος (y h 1), υπάρχει ένα εσωτερικό στρώμα (inner layer) στο οποίο το προφίλ της μέσης ταχύτητας καθορίζεται μόνο από την ιξώδη κλίμακα μήκους, δ ν. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση Φ 1 στην εξ. (3.12) τείνει ασυμπτωτικά σε μια συνάρτηση του y δ ν καθώς το y h προσεγγίζει το μηδέν. Έτσι, η εξ. (3.12) γίνεται: Για y + y δ ν και U + οριζόμενη ως du dy = U y Φ I ( y ) καθώς y h 1 (3.14) δ ν 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

49 U + = U U (3.15) Η εξίσωση (3.14) μπορεί να γραφεί ως: du + dy + = 1 y + Φ I(y + ) (3.16) Το ολοκλήρωμα της εξ. (3.16) είναι ο νόμος του τοιχώματος U + = f w (y + ) (3.17) όπου: y + f w (y + ) = 1 y Φ 1 (y )dy (3.18) 0 Το σημαντικό στοιχείο εδώ δεν είναι η εξ. (3.18), αλλά το γεγονός ότι η U + εξαρτάται αποκλειστικά από το y + για y h 1. Για υψηλούς αριθμούς Reynolds υπάρχει πειραματική επιβεβαίωση (βλ. Pope, 2000), ότι η συνάρτηση f w είναι "παγκόσμια" για ροές σε κυκλικούς αγωγούς και για ροές τύπου οριακού στρώματος Το ιξώδες υπόστρωμα Η συνθήκη μη ολίσθησης στο στερεό όριο (τοίχωμα), U y=0, συνεπάγεται ότι f w (0) = 0, ενώ η εξ. (3.5) δίδει για την παράγωγο f w (0) = 1. Επομένως, η ανάπτυξη σε σειρά Taylor, για μικρό y +, της συνάρτησης f w (y + ), δηλαδή: f w (y + ) = f w (0) + y + f w (0) + 0(y +2 ) (3.19) δίνει: f w (y + ) = y + + 0(y +2 ) (3.20) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

50 Σχήμα 3.2 Κατανομή της μέσης ταχύτητας πλησίον του τοιχώματος όπως προέκυψε από δεδομένα DNS των Kim et al. (1987): διακεκομμένη γραμμή για Re = 5,600, συνεχής για Re = 13,750 και διακεκομμένη με στίξεις γραμμή για την απεικόνιση της σχέσης U + = u + = y +. Pope (2000) Στο Σχ. 3.2 φαίνεται η συμπεριφορά της U + πλησίον του τοιχώματος. Οι διαφορές από την γραμμική σχέση U + = y + είναι αμελητέες στο ιξώδες υπόστρωμα (y + < 5) και γίνονται σημαντικές (μεγαλύτερες του 25%) για y + > Ο λογαριθμικός νόμος Το εσωτερικό στρώμα συνήθως ορίζεται ως y h < 0.1~0.5. Για μεγάλους αριθμούς Reynolds, το εξωτερικό μέρος του εσωτερικού στρώματος αντιστοιχεί σε μεγάλες τιμές του y +. Για παράδειγμα, αν y = 0.1h τότε y + = 0.1(U h ν) = 0.1Re 1. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, για μεγάλες τιμές του y + η επίδραση του ιξώδους είναι αμελητέα. Επομένως, στην εξ. (3.14) η εξάρτηση της Φ Ι (y δ ν ) από το ν (μέσω του δ ν ) εξαφανίζεται, με αποτέλεσμα η Φ Ι να λαμβάνει σταθερά τιμή που συμβολίζεται ως κ 1. Τότε: Φ Ι = 1 κ για y h 1 και y+ 1 (3.21) Έτσι, η εξ. (3.16) γίνεται: η οποία μετά από ολοκλήρωση δίδει: du + dy + = 1 κy + (3.22) U + = 1 κ ln y+ + B (3.23) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

51 όπου Β είναι η σταθερά της ολοκληρώσεως. Η εξ. (3.23) αποτελεί τον λογαριθμικό νόμο και κ = σταθερά του von Karman. Γενικώς, στην βιβλιογραφία υπάρχει μια σχετική διαφοροποίηση για τις τιμές του Β και κ, αλλά είναι μέσα σε 5% απόκλιση από τις τιμές (Pope, 2000): κ = 0.41 Β = 5.2 Στο Σχ. 3.3 δίδεται η σύγκριση μεταξύ του λογαριθμικού νόμου και δεδομένων DNS για το εσωτερικό στρώμα. Είναι σαφές ότι υπάρχει εξαιρετική συμφωνία για y + > 30. Σχήμα 3.3 Κατανομή της μέσης ταχύτητας πλήσιον του τοιχώματος: συνεχής γραμμή όπως προέκυψε από δεδομένα DNS των Kim et al. (1987) για Re = 13,750, διακεκομμένη με στίξεις γραμμή για την απεικόνιση της σχέσης U + = u + = y +, διακεκομμένη γραμμή για την έκφραση του λογαριθμικού νόμου, Pope (2000) Ο λογαριθμικός νόμος αποκαλύπτεται με μεγαλύτερη σαφήνεια σε ημιλογαριθμικό διάγραμμα, Σχ Διαπιστώνεται ότι τα σημεία, ασχέτως αριθμού Reynolds, συμπίπτουν επί μιας γραμμής και ότι για y + > 30 τα δεδομένα συμφωνούν με τον λογαριθμικό νόμο. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

52 Σχήμα 3.4 Κατανομή της μέσης ταχύτητας για την περίπτωση πλήρους αναπτυγμένης ροής σε ανοικτό αγωγό, μετρούμενη από τους Wei and Willmarth (1989): για Re = 2,970, για Re = 14,914, για Re = 22,776 και για Re = 39,582. Ο λογαριθμικός νόμος εκφράζεται από την συνεχή γραμμή και U + = u + Η περιοχή μεταξύ του ιξώδους υποστρώματος (y + < 5) και της περιοχής ισχύος του λογαριθμικού νόμου (y + > 30), λέγεται ενδιάμεσο στρώμα (buffer layer). Το στρώμα αυτό είναι η περιοχή μετάβασης από το ιξώδες υπόστρωμα (επικρατεί το ιξώδες) στην τυρβώδη περιοχή Ο νόμος αποκλίσεως της ταχύτητας (velocity-defect low) Στο εξωτερικό στρώμα ( y + > 50 ), η υπόθεση ότι Φ(y δ ν, y h) είναι ανεξάρτητη του ν, υπονοεί ότι για μεγάλες τιμές του y δ ν, η Φ τείνει ασυμπτωτικά προς μια συνάρτηση του y h. Τότε η εξ. (3.12) γίνεται: ολοκλήρωση της εξ. (3.24) από y έως h δίδει: όπου du dy = U y Φ o ( y h ) (3.24) U max U U = F D ( y h ) (3.25) 1 F D ( y h ) = 1 y Φ o(y )dy y h (3.26) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

53 Εξ ορισμού, η απόκλιση της ταχύτητας είναι η διαφορά μεταξύ της μέγιστης ταχύτητας (στην ελεύθερη επιφάνεια) και της καθ ύψος τοπικής ταχύτητας U (y). Αντίθετα, με τη συνάρτηση f w (y + ) για τον νόμο του τοιχώματος, εδώ δεν προκύπτει ότι η F D είναι "παγκόσμια" συνάρτηση. Στην πραγματικότητα η συνάρτηση αυτή διαφέρει από ροή σε ροή. Για σχετικά υψηλούς αριθμούς Reynolds (περίπου Re = 20000), υπάρχει μια περιοχή επικαλύψεως μεταξύ του εσωτερικού στρώματος ( y h < ~0.1) και του εξωτερικού στρώματος (y + > 50). Σ αυτήν την ζώνη θα ισχύει τόσο η εξ. (3.14) όσο και η εξ. (3.24), οπότε: y du U dy = Φ Ι ( y ) = Φ δ ο ( y ν h ) για δ ν y h (3.27) Η εξ. (3.27) ικανοποιείται μόνον όταν Φ Ι = Φ ο = σταθερά, οπότε λαμβάνουμε: y du U dy = 1 κ για δ ν y h (3.28) Έτσι, προκύπτει και η μορφή του νόμου της απόκλισης, δηλαδή: U max U όπου Β 1 = σταθερά που εξαρτάται από την ροή. U = 1 κ ln (y κ ) + B 1 για y h 1 (3.29) Πρόσφατες έρευνες, (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993), έχουν δείξει ότι η παράμετρος Β 1 περιγράφεται καλύτερα μέσω μιας συνάρτησης ολκού (wake function), κατ αναλογία με όσα συμβαίνουν στα οριακά στρώματα. Η πιο κατάλληλη και ευρέως χρησιμοποιούμενη συνάρτηση είναι η εμπειρική σχέση που εδόθη από τον Coles (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993): Β 1 = 2Π c κ Έτσι, ο νόμος της αποκλίσεως μπορεί να γραφεί ως : cos2 ( π y 2h ) (3.30) + U max U = 1 κ ln (y κ ) + 2Π c κ cos2 ( π y 2h ) (3.31) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

54 + όπου U max = U max U και Π c είναι παράμετρος ισχύος του ολκού (wake strength parameter). Με βάση τα παραπάνω και τις περιγραφές των Nezu & Nakagawa (1993), μπορούμε να συνοψίσουμε τα χαρακτηριστικά της τύρβης στις διάφορες περιοχές της ροής: α) Περιοχή τοιχώματος ( y h < ~0.15 ): Εδώ, οι κλίμακες μήκους και ταχύτητας της τύρβης είναι ν U και U, αντίστοιχα. Φαινόμενα διαπήδυσης της τύρβης (bursting phenomena) παρουσιάζονται έντονα κοντά στο τοίχωμα, δηλαδή για y + < 5. Στην περιοχή αυτή (y + < 5) η παραγωγή τυρβώδους κινητικής ενέργειας είναι μεγαλύτερη του ρυθμού ανάλωσης (Π > ε). (β) Περιοχή της ελεύθερης επιφάνειας (0.6 < y h < 1): Σ αυτήν την περιοχή η δομή της τύρβης ελέγχεται από τις εξωτερικές κλίμακες, h και U max, της τύρβης. Η ανάλωση ενέργειας, ε, είναι μεγαλύτερη από την παραγωγή, Π. Συνεπώς, τυρβώδης ενέργεια πρέπει να διοχετεύεται από την περιοχή του τοιχώματος στην περιοχή της ελεύθερης επιφάνειας, μέσω τυρβώδους διαχύσεως. Χαρακτηριστικά της τύρβης, όπως, π.χ. η ένταση στην κατακόρυφη διεύθυνση, επηρεάζονται εντόνως από την ελεύθερη επιφάνεια. (γ) Ενδιάμεση περιοχή ( ~0.15 < y h < 0.6 ): Αυτή η περιοχή δεν επηρεάζεται σημαντικά από τις δύο προηγούμενες περιοχές. Μπορεί όμως να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί στην αδρανειακή υπό-περιοχή (inertial sub range) του φάσματος κλιμάκων της τύρβης. Οι κλίμακες μήκους και ταχύτητας της τύρβης είναι y και τ ρ, αντιστοίχως. Η περιοχή μπορεί να πει κανείς ότι διατηρεί ένα ισοζύγιο μεταξύ παραγωγής και ανάλωσης τυρβώδους ενέργειας (Π ε) και περιλαμβάνει και το τμήμα της περιοχής τοιχώματος για το οποίο y + > Επίδραση τραχύτητας του τοιχώματος Μέχρι τώρα έχουμε υποθέσει ότι το τοίχωμα του αγωγού είναι λείο. Στην πράξη, όμως, κάθε επιφάνεια παρουσιάζει κάποια τραχύτητα, η οποία χαρακτηρίζεται από μια κλίμακα μήκους (ύψους) των ανωμαλιών που προκαλούν την τραχύτητα, έστω k s. Για μια δεδομένη ροή, το βασικό ερώτημα που πρέπει να απαντηθεί είναι το εξής: Υπάρχει μια τιμή του k s (έστω k s ), κάτω από την οποία η ροή είναι ανεξάρτητη 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

55 της τραχύτητας, ώστε το τοίχωμα να θεωρείται υδραυλικώς λείο; Για k s > k s, πώς επηρεάζεται η ροή από την τραχύτητα; Ο Nikuradse έκανε πειράματα σε σωλήνες με προσκολλημένους κόκκους άμμου στο εσωτερικό τοίχωμα, σε πολύ πυκνή διάταξη. Τα μεγέθη των κόκκων (και επομένως η τραχύτητα) έπαιρναν τιμές από k s R = 1 15 έως k s R = 1 500, όπου R = η ακτίνα του σωλήνα. Οι μετρήσεις για τον συντελεστή τριβών (συντελεστή Darcy στην εξίσωση Darcy Weisbach) δίδονται στο Σχ Σχήμα 3.5 Ο συντελεστής τριβών f συναρτήσει του αριθμού Reynolds σε αγωγούς για διάφορες τραχύτητες. Η διακεκομμένη γραμμή εκφράζει το νόμο της τριβής για στρωτή ροή, ενώ η συνεχής τον νόμο του Prandtl για τυρβώδη ροή σε λείους αγωγούς. Τα πειραματικά δεδομένα προέρχονται από μετρήσεις του Nikuradse Παρατηρώντας προσεχτικά το Σχ. 3.5, φαίνεται ότι η τραχύτητα έχει αμελητέα επίδραση στην στρωτή περιοχή και σχετικώς μικρή επίδραση στην μεταβατική ζώνη. Μετά, οι καμπύλες ακολουθούν αρχικά το νόμο του Prandtl για λείους αγωγούς μέχρι κάποια τιμή του Re, πριν καμφθούν προς τα άνω και προσεγγίσουν μια ασυμπτωτική τιμή, η οποία είναι ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds και εξαρτάται μόνο από το λόγο k s R. Η παρατηρούμενη συμπεριφορά μπορεί να επεξηγηθεί με επέκταση του νόμου του τοιχώματος ώστε να συμπεριληφθεί και η τραχύτητα. Για δεδομένη τραχύτητα 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

56 του τοιχώματος, που χαρακτηρίζεται από το ύψος τραχύτητας k s, η βαθμίδα της ταχύτητας μπορεί να γραφεί ως: du dy = U y Φ ( y δ ν, y h, k s δ ν ) (3.32) όπου Φ είναι μια παγκόσμια, αδιάστατη συνάρτηση. Όπως και νωρίτερα, θεωρούμε ότι η Φ δεν εξαρτάται από το y h στο εσωτερικό στρώμα (y h < 0.1). Για υψηλούς αριθμούς Reynolds δύο ακραίες περιπτώσεις μπορούν να εξεταστούν. Αν k s δ ν είναι πολύ μικρό, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι η ροή δεν επηρεάζεται από την τραχύτητα, οπότε ανακτούμε το γνωστό νόμο του τοιχώματος du dy = U y Φ 1 ( y δ ν ) για k s δ ν και y h (3.33) Για μεγάλο y δ ν, η υπόθεση ότι η επίδραση του ιξώδους εξαφανίζεται, οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η Φ I τείνει ασυμπτωτικά σε σταθερή τιμή, Φ I ~ 1 κ, οπότε η εξ. (3.33) ολοκληρώνεται στον λογαριθμικό νόμο: όπου Β = "παγκόσμια" σταθερά. U U = U + = 1 κ ln ( y δ ν ) + Β για k s δ ν και y h (3.34) Στην δεύτερη ακραία περίπτωση, η κλίμακα τραχύτητας, k s, είναι μεγάλη σε σχέση με την κλίμακα ιξώδους, δ ν. Τότε, ο τοπικός αριθμός Reynolds (U k s ν = k s 1 ) είναι μεγάλος. Η μεταφορά ορμής από το υγρό προς το τοίχωμα δ ν πραγματοποιείται λόγω της δύναμης αντίστασης (drag) επί των στοιχείων τραχύτητας, η οποία σε υψηλούς αριθμούς Reynolds αποτελείται κυρίως από δυνάμεις πιέσεως παρά από δυνάμεις ιξώδους. Τότε, μπορεί να υποθέσει κανείς ότι το ιξώδες ν και επομένως το δ ν δεν είναι σημαντικές παράμετροι για το πρόβλημα. Έτσι η εξ. (3.32) μπορεί να γραφεί ως: du dy = U y Φ R ( y k s ) για δ ν k s και y h (3.35) όπου Φ R είναι μια παγκόσμια "αδιάστατη" συνάρτηση. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

57 Για y k s μπορεί να υποτεθεί ότι η τύρβη καθορίζεται από τοπικές διεργασίες ανεξάρτητες του k s, δηλαδή εκείνες τις διεργασίες που λαμβάνουν χώρα σε λείο τοίχωμα. Αυτό συνεπάγεται ότι το Φ R τείνει ασυμπτωτικά σε σταθερή τιμή ίση με 1 κ. Τότε η εξ. (3.35) ολοκληρώνεται στον λογαριθμικό νόμο: U + = 1 κ ln ( y k s ) + B 2 για δ ν k s και y h (3.36) όπου B 2 είναι "παγκόσμια" σταθερά. Για την γενική περίπτωση όπου k s είναι συγκρίσιμο με το δ ν, παρόμοιος συλλογισμός οδηγεί στο συμπέρασμα ότι για y δ ν και y k s το προφίλ της ταχύτητας εκφράζεται ως: U + = 1 κ ln ( y k s ) + Β ( k s δ ν ) (3.37) Όταν το τοίχωμα είναι υδραυλικώς λείο (k s δ ν 1 ), η εξ. (3.34) αντιστοιχεί στην εξ. (3.37) με: εξ. (3.37) με: Β ( k s δ ν ) = Β + 1 κ ln (k s δ ν ) (3.38) ενώ για το πλήρως τραχύ τοίχωμα (k s δ ν 1), η εξ. (3.36) αντιστοιχεί στην Β ( k s δ ν ) = Β 2 (3.39) Υπάρχουν πειράματα που επαληθεύουν την εξ. (3.37) και η σταθερά Β έχει καθοριστεί ως συνάρτηση του k s δ ν από τα δεδομένα του Nikuradse, Σχ Είναι προφανές ότι για k s δ ν k s U ν k + s > ~70 το τοίχωμα είναι πλήρως τραχύ, με Β 2 = Β ( ) = 8.5. Στο άλλο άκρο, οι μετρήσεις συμφωνούν με την εξ. (3.38) μέχρι k s δ ν k + s < ~5. Στην ενδιάμεση περιοχή έχουμε την μεταβατική ζώνη, όπου Β = Β (k s + ). 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

58 Σχήμα 3.6 Ο σταθερός προσθετικός όρος B στην έκφραση του λογαριθμικού νόμου συναρτήσει του ύψους τραχύτητας k s s αδιαστατοποιημένο με την ιξώδη κλίμακα μήκους δ ν. Η διακεκομμένη γραμμή εκφράζει την πλήρως τυρβώδη περιοχή με B = 8.5, η ευθεία γραμμή την λεία, ενώ τα πειραματικά δεδομένα προέρχονται από τον Nikuradse Ορισμός συνοριακών συνθηκών στο τοίχωμα Ακριβώς στο τοίχωμα του ανοικτού αγωγού η ταχύτητα U μηδενίζεται (λόγω της συνθήκης μη ολισθήσεως) και η κάθετη ταχύτητα είναι επίσης μηδενική. Λόγω όμως της ύπαρξης του ιξώδους υποστρώματος, η χρήση της συνθήκης μη ολισθήσεως θα απαιτούσε πολύ πυκνό υπολογιστικό πλέγμα (στην διεύθυνση κάθετα προς το τοίχωμα), προκειμένου να περιγραφεί σωστά (από υπολογιστικής απόψεως) το ιξώδες υπόστρωμα και η επίδραση του ιξώδους εντός αυτού. Προκειμένου να ξεπεραστεί αυτή η δυσκολία επινοήθηκε από τους Launder & Spalding (1974) η χρήση συναρτήσεων τοιχώματος (wall functions), όπου θεωρήθηκε ότι σε όλες τις ροές τοιχώματος το προφίλ της ταχύτητας πλησίον του τοιχώματος υπακούει τον λογαριθμικό νόμο. Έτσι, αντί να διακριτοποιήσουμε τις εξισώσεις της ορμής μέσω του ιξώδους υποστρώματος και μέχρι το τοίχωμα, το υπολογιστικό πλέγμα κατασκευάζεται έτσι ώστε ο πρώτος κόμβος (μετά τον κόμβο στο τοίχωμα) να τοποθετείται στην περιοχή ισχύος του λογαριθμικού νόμου, δηλαδή περίπου < y + p < 100. Έτσι, η U -εξίσωση της ορμής εφαρμόζεται για τον πρώτο όγκο ελέγχου, ο οποίος εφάπτεται του τοιχώματος και έχει ως κεντρικό κόμβο αυτόν 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

59 που ικανοποιεί την ανισότητα < y + p < 100. Η επίλυση του συστήματος των U - εξισώσεων προϋποθέτει μια αρχική εκτίμηση της διατμητικής τάσεως στο τοίχωμα ( τ w ), ή εναλλακτικά μια αρχική εκτίμηση της διατμητικής ταχύτητας, U. Η προκύπτουσα ταχύτητα στον πρώτο κόμβο χρησιμοποιείται στον λογαριθμικό νόμο, ο οποίος γράφεται εδώ στην γενική μορφή U p+ = U p U = 1 κ ln(ε y p + ) (3.40) προκειμένου να διορθωθεί η αρχική εκτίμηση για την διατμητική ταχύτητα, U. Υπενθυμίζεται, ότι η παράμετρος E λαμβάνει τιμές ορισμένες και από την υδραυλική συμπεριφορά του τοιχώματος (λείο ή τραχύ), σύμφωνα με την ανάλυση που έγινε στην ενότητα Οι οριακές συνθήκες για k και ε στον πρώτο κόμβο ορίζονται ως τύπου Dirichlet (δηλαδή γνωστές τιμές στον κόμβο p) και προκύπτουν από την υπόθεση ισορροπίας μεταξύ παραγωγής της τύρβης και ανάλωσής της. Αυτά οδηγούν στις τιμές: k p = U 2 c μ (3.41) ε p = U 3 κy p (3.42) Σημειώνεται, ότι η εξ. (3.42) μπορεί να αποτελέσει την βάση για την ερμηνεία της εξ. (3.2) για την διατομή εισόδου. Η εξ. (3.2) προκύπτει από την (3.42) για y h Το σημείο αυτό ανήκει στην περιοχή λήξεως της ισχύος του λογαριθμικού νόμου, όπου η παραγωγή Π και η ανάλωση ε βρίσκονται σε ισορροπία. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

60 4. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 4.1 ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Η βασική διαφορική εξίσωση της βαθμιαίας μεταβαλλόμενης ροής για δεδομένη σταθερή παροχή είναι: όπου: dy dx = J 0 J E 1 F 2 (4.1) J 0 = dz dx, η κατά μήκος κλίση του αγωγού J Ε = dη dx, η κλίση της γραμμής ενέργειας Στην περίπτωση που J 0 = J Ε, θα είναι: ή dy dx = 0, δηλαδή ομοιόμορφη ροή ή F = 1, δηλαδή κρίσιμη ροή. Στο Σχ. 4.1 απεικονίζεται αγωγός ΑΒ μεγάλου μήκους, ώστε οι κατάντη συνθήκες να μην επηρεάζουν τις συνθήκες εισόδου, ο οποίος υδροδοτείται από ταμιευτήρα με στάθμη της ελεύθερης επιφάνειας Η πάνω από τον πυθμένα του αγωγού στη διατομή Α. Η στάθμη Η θεωρείται σταθερή και ήρεμη. Σχήμα 4.1 Αγωγός μεγάλου μήκους υδροδοτούμενος από ταμιευτήρα Στη διατομή εισόδου Α είναι J 0 = dz dx = 0 και J Ε = 0, άρα στη διατομή αυτή θα ισχύει ή (dy dx) Α = 0, ή F Α = 1. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

61 Η κατά μήκος κλίση της του αγωγού J 0 είναι μεγάλη (10%), η ροή στην διατομή εισόδου Α επιταχύνεται, οπότε είναι (dy dx) A 0 και επομένως F Α = 1, δηλαδή στη διατομή εισόδου Α εμφανίζεται το κρίσιμο βάθος y c και η ροή τείνει προς τα κατάντη, με καμπύλη κατάπτωσης S 2, να βρει την ομοιόμορφη (υπερκρίσιμη) κατάσταση. Στην παρούσα εργασία μελετήθηκε το πρόβλημα της ροής από ταμιευτήρα σε αγωγό απότομης κλίσης. Αρχικά στο απλό τρισδιάστατο κανάλι χωρίς πλευρικά στοιχεία τραχύτητας η ροή διέρχεται υποχρεωτικά με κρίσιμο βάθος από τη διατομή εισόδου Α και μεταβαίνει στο ομοιόμορφο βάθος. Η μετάβαση αυτή γίνεται με καμπύλη κατάπτωσης S 2, χαρακτηριστικά της οποίας φαίνονται στο Σχ Ο προσδιορισμός του κρίσιμου, του κανονικού καθώς και του προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας γίνονται με τη βοήθεια προγράμματος Fortran το οποίο βρίσκεται στο Παράρτημα Α. Στην περίπτωσή μας το κρίσιμο βάθος είναι 0,099 m, το ομοιόμορφο 0,03645 m και η ροή πιάνει το ομοιόμορφο βάθος περίπου στα 4 m. Στη συνέχεια, όταν εξετάζουμε τον αγωγό με τα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε το ομοιόμορφο βάθος, ακόμα και μέσω του προγράμματος Fortran. Λόγω της σύνθετης γεωμετρίας του καναλιού στον οποίο υπάρχουν τα κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας δεν μπορούμε να βρούμε ακριβή λύση. Σχήμα 4.2 Καμπύλες κατάπτωσης, τύπου S 2 Η καμπύλη S 2 είναι συνήθως μικρού μήκους και δημιουργείται στην είσοδο αγωγού απότομης κλίσης (Σχ. 4.2) ή σε αλλαγή κλίσης του πυθμένα από ομαλή σε απότομη. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

62 4.2 ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σχήμα 4.3 Σκαρίφημα της γεωμετρίας της ροής Στην παρούσα εργασία μελετάται αριθμητικά η ροή υπό συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας και έντονης κλίσης πυθμένα 1:10. Θεωρούμε όμως αγωγό οριζόντιας κλίσης πυθμένα με το διάνυσμα της επιτάχυνσης της βαρύτητας κεκλιμένο, με συνιστώσες g x = m s 2 και g y = m s 2. Αυτή η θεώρηση αντιστοιχεί σε κανάλι με κλίση πυθμένα S 0 = 0.10 (όταν το διάνυσμα της επιτάχυνσης της βαρύτητας λαμβάνεται κατακόρυφο). Το κανάλι είναι πλάτους z = m και μήκους x = 10.6 m, ενώ το κανονικό βάθος ροής είναι d = m για παροχή Q = 27.2 l s. Η ταχύτητα εισόδου του νερού υπολογίστηκε ως: U water = Q B d = = m s (4.2) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

63 δεδομένου ότι είχαμε γνωστά την παροχή, το βάθος ροής και το πλάτος του καναλιού. Η ταχύτητα του αέρα θεωρήσαμε ότι ισούται με το 10% της ταχύτητας του νερού, δηλαδή: U air = 10% U water = m s (4.3) Σημειώνεται ότι η ταχύτητα του αέρα χρησιμοποιείται ως μέρος της επίλυσης με τη μέθοδο VOF, η οποία εξηγήθηκε στην ενότητα Επίσης όσον αφορά την τυρβώδη κινητική ενέργεια του νερού υπολογίστηκε ως: και του αέρα ως k water = (IU water ) 2 = ( ) 2 = m 2 s (4.4) k air = (IU air ) 2 = ( ) 2 = m 2 s (4.5) ενώ ο ρυθμός ανάλωσης της τυρβώδους κινητικής ενέργειας του νερού είναι: 3 4 ε water = c k water 3 2 μ 0.1 d = ( ) 3 2 = m 2 s 3 (4.6) και του αέρα ως 3 4 ε air = c k air 3 2 μ 0.1 d = ( ) 3 2 = m 2 s 3 (4.7) Με βάση τη μονοδιάστατη ανάλυση υπολογίστηκε η διατμητική τάση ως τ w = g ρ d S 0 = = Pa (4.8) και άρα U = τ w ρ = = 0.31 m s (4.9) Στο παρόν πρόβλημα η κλίση του πυθμένα λήφθηκε υπ όψιν μέσω του διανύσματος της επιτάχυνσης της βαρύτητας και έτσι ο πυθμένας θεωρήθηκε οριζόντιος. Έτσι οι δύο συνιστώσες του διανύσματος της επιτάχυνσης της βαρύτητας υπολογίστηκαν ως: g x = 9.81 sin(tan 1 S 0 ) = = m s 2 (4.10) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

64 g y = 9.81 cos(tan 1 S 0 ) = = m s 2 (4.11) Ακολούθως με βάση την τάση, υπολογίστηκε η θέση του πρώτου από τα τοιχώματα, υπολογιστικού κόμβου λαμβάνοντας υπ όψιν ότι το y + = 70 και άρα: y = y+ ν U = = mm (4.12) 0.31 Επειδή η τιμή αυτή είναι εξαιρετικά μικρή με σχέση με τις διαστάσεις του αγωγού, κάτι που θα μας δημιουργήσει πρόβλημα με το πλέγμα, δεχόμαστε ότι η θέση του πρώτου από τα τοιχώματα υπολογιστικού κόμβου είναι 1 mm. Στο παρόν πρόβλημα τέλος θεωρήθηκε ότι: k s k s = k s + ν U = = mm (4.13) 0.31 R h = = m (4.14) Re = = (4.15) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

65 5. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ FLUENT 5.1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΤΟ ANSYS FLUENT Στη συνέχεια θα αναφέρουμε τα βήματα που ακολουθούμε για την αριθμητική προσομοίωση ενός προβλήματος στο Fluent (ANSYS Fluent Theory Guide). Αρχικά γίνεται μια εισαγωγή στη μέθοδο υπολογισμού και τη μέθοδο των Πεπερασμένων Όγκων που χρησιμοποιεί το πρόγραμμα και στη συνέχεια αναλύεται ο τρόπος επίλυσης του προγράμματος, δηλαδή η διαδικασία και οι αλγόριθμοι υπολογισμού και παρεμβολής που χρησιμοποιεί για τον υπολογισμό των μεγεθών Εισαγωγή στη μέθοδο υπολογισμού του Fluent Με την υπολογιστική ρευστοδυναμική (Computational Fluid Dynamics ή CFD) μπορούμε να επιλύσουμε προβλήματα ροών ρευστών, μεταφοράς μάζας και θερμότητας, χημικές αντιδράσεις και διάφορα άλλα σχετικά φαινόμενα λύνοντας ένα σύστημα εξισώσεων που περιγράφουν το πρόβλημα με τη βοήθεια του υπολογιστή. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα οι εξισώσεις που λύνουμε, είναι η εξισώσεις RANS και η εξισώσεις μεταφοράς των μοντέλων τύρβης για τον υπολογισμό των k, ε και ω. Η ανάλυση ενός προβλήματος με τη χρήση CFD δεν αντικαθιστά την πειραματική μέθοδο, η οποία είναι αναγκαία για σύγκριση των αποτελεσμάτων των δυο μεθόδων, αλλά καλύπτει ένα μεγάλο μέρος της, εξοικονομώντας έτσι χρόνο και κόστος. Για την επίλυση των εξισώσεων ενός προβλήματος, το Fluent χρησιμοποιεί τη μέθοδο των Πεπερασμένων Όγκων. Με τη μέθοδο αυτή, το υπολογιστικό πεδίο, που στην περίπτωσή μας είναι ο όγκος που καταλαμβάνει το ρευστό, διακριτοποιείται σε ένα σύνολο από πεπερασμένους όγκους ελέγχου (Σχήμα 5.1) που ονομάζονται κελιά. Οι εξισώσεις που διέπουν το πρόβλημα λύνονται στο σύνολο των πεπερασμένων όγκων ελέγχου. Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις διακριτοποιούνται σε ένα σύστημα από Αλγεβρικές Εξισώσεις. Όλες οι Αλγεβρικές Εξισώσεις λύνονται αριθμητικά δομώντας έτσι το πεδίο της λύσης. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

66 Σχήμα 5.1 Ροϊκό πεδίο αγωγού διακριτοποιημένο σε πεπερασμένο αριθμό όγκων ελέγχου (υπολογιστικό πλέγμα) Το σύνολο των πεπερασμένων όγκων που αποτελούν τη γεωμετρία του προβλήματος που έχει διακριτοποιηθεί, ονομάζεται πλέγμα (mesh ή grid). Το πλέγμα πρέπει να είναι κατάλληλο για να μπορούμε να έχουμε σωστά αποτελέσματα. Αύξηση των κελιών του πλέγματος μας βοηθάει στο να πάρουμε πιο ακριβή αποτελέσματα αλλά αυξάνει το υπολογιστικό κόστος. Γι αυτό το λόγο πυκνώνουμε το πλέγμα επιλεκτικά, δηλαδή αυξάνουμε τα κελιά σε περιοχές όπου έχουμε μεγάλες μεταβολές της ταχύτητας, της πίεσης, της θερμοκρασίας κτλ. Σε ροές ρευστών συνήθως πυκνώνουμε το πλέγμα στα τοιχώματα και το αραιώνουμε όσο απομακρυνόμαστε από εκεί. Η τεχνική αυτή στο Fluent ονομάζεται Inflation. Το Fluent χρησιμοποιεί διάφορα στοιχεία πεπερασμένων όγκων (Σχήμα 5.2). Για δισδιάστατα υπολογιστικά πεδία υπάρχουν τα τριγωνικά και τα τετραπλευρικά στοιχεία για τη δημιουργία του πλέγματος. Για τρισδιάστατα έχουμε τα τετράεδρα, τα εξάεδρα, τα στοιχεία πυραμίδας και τα πρισματικά. Τα τετράπλευρα και τα εξάεδρα δίνουν καλύτερης ποιότητας αποτελέσματα με λιγότερα κελιά από ότι τα τριγωνικά και τα τετράεδρα αντίστοιχα, συνήθως όμως απαιτείται μεγαλύτερη προσπάθεια για τη δημιουργία πλέγματος με τετράπλευρα ή εξάεδρα. Σε σύνθετες γεωμετρίες η διακριτοποίηση είναι πιο εύκολη με χρήση τριγωνικών και τετραέδρων στοιχείων. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε υβριδικό πλέγμα με εξάεδρα και τετράεδρα αν θέλουμε να συνδυάσουμε τα πλεονεκτήματα και των δυο στοιχείων. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

67 Σχήμα 5.2 Στοιχεία πεπερασμένων όγκων στο Fluent Το πλέγμα μπορεί να είναι δομημένο (structured) και μη-δομημένο (unstructured). Το δομημένο πλέγμα (Σχήμα 5.3) είναι ομοιόμορφο, ώστε η θέση κάθε κελιού να περιγράφεται με δυο ή τρεις δείκτες (για δισδιάστατη και τρισδιάστατη τοπολογία, αντίστοιχα). Αντίθετα, το μη-δομημένο πλέγμα (Σχήμα 5.4) είναι ακανόνιστο, με αποτέλεσμα να απαιτείται μια εσωτερική βάση δεδομένων για την περιγραφή της θέσης κελιών, πλευρών και κόμβων, αλλά σε αντίθεση με το δομημένο, παρέχει ευελιξία σε πολύπλοκες γεωμετρίες. Σχήμα 5.3 Δομημένο πλέγμα σε έναν αγωγό 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

68 Σχήμα 5.4 Μη-δομημένο πλέγμα γύρω από αεροτομή Για την ανάλυση ενός προβλήματος με τη χρήση του CFD ακολουθούμε τα εξής βήματα: 1. Προσδιορίζουμε τους στόχους της μοντελοποίησης, δηλαδή τι αποτελέσματα αναμένουμε, τι φυσικά μοντέλα θα χρειαστούμε, τι απλοποιήσεις θα κάνουμε, τι βαθμός ακρίβειας απαιτείται κτλ. 2. Προσδιορίζουμε το πεδίο που θέλουμε να εξετάσουμε δηλαδή απομονώνουμε το τμήμα ενδιαφέροντος και κοιτάζουμε για τις απαραίτητες οριακές συνθήκες που πρέπει να έχουμε. 3. Κατασκευάζουμε τη γεωμετρία του προβλήματος, αφαιρώντας τα μη απαραίτητα χαρακτηριστικά ώστε να την απλοποιήσουμε όσο το δυνατόν περισσότερο γίνεται. 4. Δημιουργούμε το πλέγμα για την γεωμετρία μας χρησιμοποιώντας τους όγκους ελέγχου που αναφέραμε. 5. Καθορίζουμε τα φυσικά μοντέλα, τις ιδιότητες των υλικών, τις οριακές συνθήκες, αρχική συνθήκη κτλ. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

69 6. Επιλέγουμε τις κατάλληλες ρυθμίσεις για την επίλυση, αριθμητικά σχήματα, εργαλεία για τον έλεγχο σύγκλισης κτλ. 7. Υπολογισμός της λύσης. Οι διακριτοποιημένες εξισώσεις διατήρησης επιλύονται επαναληπτικά. Για να είναι αποδεκτή η λύση πρέπει να επιτύχουμε σύγκλιση της μεθόδου. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει τα υπόλοιπα να μειωθούν σημαντικά και οι τιμές συγκεκριμένων μεγεθών να σταθεροποιηθούν. 8. Ανάλυση των αποτελεσμάτων. Σε περίπτωση που τα αποτελέσματα είναι μη αποδεκτά θα πρέπει να βελτιώσουμε το μοντέλο υπολογισμού ξεκινώντας από το πλέγμα και ακολουθώντας τα υπόλοιπα βήματα. Στο Σχήμα 5.5 φαίνονται τα βήματα της διαδικασίας που αναφέραμε. Σχήμα 5.5 Βήματα ανάλυσης ενός προβλήματος με τη χρήση CFD Διαδικασία επίλυσης στο ANSYS Fluent Στη συνέχεια γίνεται αναφορά στο θεωρητικό υπόβαθρο που χρησιμοποιεί το Fluent για την επίλυση των εξισώσεων. Γίνεται αναφορά στους επιλύτες που 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

70 χρησιμοποιεί το πρόγραμμα, στις μεθόδους διακριτοποίησης και τα σχήματα παρεμβολής Είδη επιλύτων (solvers) στο Fluent Υπάρχουν 2 είδη επιλυτών διαθέσιμοι στο Fluent: α) Με βάση την πίεση (Pressure Based) β) Με βάση την πυκνότητα (Density Based) Οι αλγόριθμοι επίλυσης με βάση την πίεση είναι εφαρμόσιμοι σε ένα μεγάλο εύρος ροών, από ασυμπίεστες ροές χαμηλών ταχυτήτων μέχρι συμπιεστές ροές υψηλών ταχυτήτων. Είναι πιο ευέλικτοι και απαιτούν λιγότερη μνήμη. Οι αλγόριθμοι επίλυσης με βάση την πυκνότητα εφαρμόζονται κυρίως σε συμπιεστές ροές υψηλών ταχυτήτων με αναφλέξεις και υπερηχητικές ροές. Στους επιλύτες με βάση την πίεση είναι διαθέσιμοι 2 αλγόριθμοι: α) Διαχωριστικός (Segregated Solver) β) Συζευγμένος (Coupled Solver) Στον διαχωριστικό αλγόριθμο, η επίλυση των εξισώσεων γίνεται διαδοχικά και οι λύσεις της προηγούμενης εξίσωσης μεταβιβάζονται στην επόμενη. Στον συζευγμένο αλγόριθμο, οι εξισώσεις λύνονται ταυτόχρονα. Για το πρόβλημα της παρούσας διατριβής χρησιμοποιήθηκε ο pressure based segregated solver. Ο συγκεκριμένος αλγόριθμος απαιτεί λιγότερη μνήμη στον υπολογιστή επειδή για τις διακριτοποιημένες εξισώσεις απαιτείται να αποθηκεύονται μόνο μια φορά. Η σύγκλιση όμως είναι σχετικά πιο αργή από άλλους αλγόριθμους που λύνουν παράλληλα τις εξισώσεις Τα βήματα που ακολουθεί ο συγκεκριμένος αλγόριθμος φαίνονται στο Σχήμα 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

71 Σχήμα 5.6 Αλγόριθμος επιλύτη Pressure-Based Segregate Ποιο αναλυτικά: 1. Ενημερώνονται οι ιδιότητες του ρευστού όπως πυκνότητα, ιξώδες, τυρβώδες ιξώδες κλπ., με βάση την υπάρχουσα λύση. 2. Επιλύονται οι εξισώσεις ορμής διαδοχικά, χρησιμοποιώντας τις πρόσφατα ενημερωμένες τιμές πίεσης και ροής μάζας στις επιφάνειες. 3. Επιλύεται η διόρθωση της πίεσης χρησιμοποιώντας το πρόσφατα ενημερωμένο πεδίο ταχυτήτων και ροής μάζας ανά επιφάνεια. 4. Διορθώνονται οι ροές μάζας ανά επιφάνεια και το πεδίο ταχυτήτων χρησιμοποιώντας τη διορθωμένη πίεση από το προηγούμενο βήμα. 5. Επιλύονται οι εξισώσεις για πρόσθετα βαθμωτά μεγέθη, όπως τυρβώδεις ποσότητες και ενέργεια χρησιμοποιώντας τις τρέχουσες τιμές των μεταβλητών που επιλύονται. 6. Ελέγχεται η σύγκλιση των εξισώσεων. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

72 Διακριτοποίηση και επίλυση εξισώσεων μεταφοράς Το Fluent χρησιμοποιεί μία τεχνική που βασίζεται στους όγκους ελέγχου για να μετατρέψει μία γενική βαθμωτή εξίσωση μεταφοράς σε μια αλγεβρική εξίσωση που μπορεί να λυθεί αριθμητικά. Αυτή η τεχνική των όγκων ελέγχου συνιστά την ολοκλήρωση της εξίσωσης μεταφοράς σε κάθε όγκο ελέγχου, αποδίδοντας μία διακριτή εξίσωση που εκφράζει το νόμο της διατήρησης στη βάση ενός όγκου ελέγχου. Η διακριτοποίηση των εξισώσεων του προβλήματος μπορεί να παρουσιαστεί πολύ πιο εύκολα θεωρώντας τη μη μόνιμη εξίσωση διατήρησης μεταφοράς ενός βαθμωτού μεγέθους Φ. Αυτό μπορούμε να το δούμε στην επόμενη εξίσωση που είναι γραμμένη σε ολοκληρωτική μορφή για έναν αυθαίρετο όγκο V: V ρφ t dv + ρφv da = Γ Φ Φ da + S Φ V dv (5.1) όπου ρ : η πυκνότητα v : το διάνυσμα της ταχύτητας ( v = ui + vj στις 2 διαστάσεις) A : το διάνυσμα επιφανείας Γ Φ : ο συντελεστής διάχυσης του μεγέθους Φ Φ : παράγωγος κατά κατεύθυνση ή βαθμίδα ή κλίση του μεγέθους Φ ( Φ = ( Φ x) i + ( Φ y)j στις 2 διαστάσεις) S Φ : η πηγή του Φ ανά μονάδα όγκου Η εξίσωση (5.1) εφαρμόζεται σε κάθε όγκο ελέγχου στο υπολογιστικό πεδίο. Στο Σχήμα 5.7 βλέπουμε για τις 2 διαστάσεις ένα παράδειγμα ενός τέτοιου όγκου ελέγχου, το τριγωνικό κελί. Η διακριτοποίηση της εξίσωσης (5.1) σε ένα τέτοιο κελί δίνει: 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

73 ρφ t V + N faces ρ fv f Φ f A f f N faces = Γ Φ Φ f A f + S Φ V (5.2) f όπου N faces : ο αριθμός των πλευρών (2Δ) ή εδρών (3Δ) που περικλείουν το κελί Φ f : η ποσότητα του Φ που περνάει μέσα από την πλευρά ρ f v f A f : η ροή μάζας στην πλευρά A f : η επιφάνεια της πλευράς Φ f : η παράγωγος κατά διεύθυνση του Φ στην πλευρά V : ο όγκος του κελιού Σχήμα 5.7 Δυο γειτονικά κελιά ενός δισδιάτατου υπολογιστικού πεδίου με τα κέντρα τους c 0 και c 1 Στη συνέχεια λύνεται η διακριτοποιημένη εξίσωση μεταφοράς (5.2) που περιέχει το άγνωστο βαθμωτό μέγεθος Φ στο κέντρο του κελιού καθώς και τις άγνωστες τιμές του στα γειτονικά κελιά. Αυτή η εξίσωση γενικά θα είναι μια μηγραμμική ως προς τις μεταβλητές αυτές. Μια γραμμική μορφή της εξίσωσης (5.2) μπορεί να γραφεί ως: 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

74 α p Φ = nb α nb Φ nb + b (5.3) όπου η υπόστιξη nb αναφέρεται στα γειτονικά κελιά και α p, α nb είναι οι γραμμικοποιημένοι συντελεστές των Φ και Φ nb Διακριτοποίηση στον όγκο του ρευστού Εξ ορισμού, το Fluent αποθηκεύει τις διακριτές τιμές της βαθμωτής ποσότητας Φ στο κέντρο των κελιών. Για τους όρους μεταφοράς όμως χρειάζεται να γνωρίζουμε τις τιμές Φ f στις πλευρές ή έδρες (faces) και αυτό γίνεται με τη μέθοδο N faces της παρεμβολής. Οι όροι μεταφοράς στην εξίσωση (5.2) είναι οι ρ f v f Φ f A f f. Για την παρεμβολή χρησιμοποιείται ένα σχήμα που ονομάζεται upwind που σημαίνει ότι οι τιμές στις πλευρές Φ f, προέρχονται από τιμές των κελιών που βρίσκονται στα ανάντη σχετικά με τη διεύθυνση της ταχύτητας. Το Fluent παρέχει τη δυνατότητα επιλογής πολλών σχημάτων παρεμβολής για τους όρους μεταφοράς. Αυτά είναι: First-Order Upwind: Συγκλίνει ευκολότερα, μόνο πρώτης τάξης ακρίβεια. Power Law: Καλύτερη ακρίβεια από το First-Order για ροές όπου Re cell < 5 δηλαδή ροές με χαμηλό αριθμό Reynolds Second-Order Upwind: Ακρίβεια 2 ης τάξης, απαραίτητο για πλέγμα με τριγωνικά η τετραεδρικά στοιχεία. Όταν η ροή δεν είναι ευθυγραμμισμένη με το πλέγμα, η σύγκλιση μπορεί να είναι πιο αργή Monotone Upstream-Centered Schemes for Conservation Laws (MUSCL): Τοπικά 3ης τάξης σχήμα για μη δομημένα πλέγματα, περισσότερο ακριβές στη πρόβλεψη δευτερευουσών ροών, στροβίλων, δυνάμεων, κτλ. Quadratic Upwind Interpolation (QUICK): Εφαρμόζεται σε πλέγματα με τετράγωνα ή εξάεδρα κελιά και υβριδικά πλέγματα, χρήσιμο για ροές με στροβιλισμούς / ελικότητα, 3ης τάξης ακρίβεια σε ομοιόμορφο πλέγμα. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα χρησιμοποιήθηκε το σχήμα QUICK λόγω της ελικότητας της ροής αλλά και της μεγαλύτερης ακρίβειας που παρέχει. Σε αυτό το σχήμα θα αναφερθούμε αναλυτικά. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

75 Σχήμα παρεμβολής QUICK Για τετραγωνικά και εξαεδρικά πλέγματα, το Fluent παρέχει το σχήμα QUICK για υπολογισμό μιας υψηλότερης τάξης τιμή για την μεταφερόμενη μεταβλητή Φ σε μια πλευρά του κελιού. Το σχήμα QUICK βασίζεται σε ένα σταθμισμένο από second-order upwind και σε κεντρικές παρεμβολές της μεταβλητής. Για την πλευρά e του Σχήματος 5.8, εάν η ροή είναι από τα αριστερά προς τα δεξιά, μια τέτοια τιμή μπορεί να γραφεί ως: S d Φ e = θ [ Φ S c + S P + S c Φ d S c + S Ε ] + (1 θ) [ S u + 2S c Φ d S u + S P S c Φ c S u + S W ] (5.4) u όπου θ ο συντελεστής βάρους του σχήματος. Σχήμα 5.8 Μονοδιάστατος όγκος ελέγχου Η εξίσωση (5.4) για θ = 1 καταλήγει σε μια κεντρική δευτέρου βαθμού παρεμβολή, ενώ για θ = 0 παράγει μιας δεύτερης τάξης έμπροσθεν παρεμβολή. Το τυπικό σχήμα QUICK λαμβάνεται θέτοντας θ = 1. Η εφαρμογή στο Fluent 8 χρησιμοποιεί μια μεταβλητή, εξαρτώμενη από τη λύση τιμή του θ, επιλεγμένη έτσι ώστε να αποφεύγεται η εισαγωγή νέων ακρότατων λύσεων. Το σχήμα QUICK είναι τυπικά πιο ακριβές σε δομημένο πλέγμα προσανατολισμένο με τη διεύθυνση της ροής. Με το Fluent μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σχήμα QUICK για μη δομημένα και υβριδικά πλέγματα επίσης. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται το σχήμα διακριτοποίησης Second-Order Upwind στις πλευρές των μη εξαεδρικών κελιών. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

76 Διακριτοποίηση των κλίσεων ή βαθμίδων (gradients) Οι κλίσεις δεν χρειάζονται μόνο για τον υπολογισμό των τιμών ενός βαθμωτού μεγέθους στις πλευρές των κελιών, αλλά και για τον υπολογισμό δευτερευόντων όρων διάχυσης και παραγώγων ταχύτητας. Η κλίση Φ μιας μεταβλητής Φ, χρησιμεύει στη διακριτοποίηση των όρων μεταφοράς και διάχυσης N faces στις εξισώσεις διατήρησης για τη ροή. Είναι οι όροι ρ f v f Φ f A f f στην εξίσωση (5.2). Οι κλίσεις υπολογίζονται στο Fluent σύμφωνα με τις μεθόδους: Green-Gauss Cell-Based η οποία είναι η λιγότερο υπολογιστικά απαιτητική. Η λύση μπορεί να έχει λάθος στη διάχυση. Green-Gauss Node-Based η οποία είναι περισσότερο ακριβής, είναι υπολογιστικά απαιτητική, ελαχιστοποιεί τα λάθη στη διάχυση και συνίσταται για μη δομημένα πλέγματα. Least-Squares Cell-Based που είναι η εξ ορισμού μέθοδος του προγράμματος. Έχει την ίδια ακρίβεια και τις ιδιότητες με τη Node-Based για τις κλίσεις, αλλά είναι λιγότερο υπολογιστικά απαιτητική. Στο δικό μας πρόβλημα χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος Least-Squares Cell- Based για την διακριτοποίηση των κλίσεων η οποία και θα αναλυθεί Η μέθοδος Least-Squares Cell-Based Σε αυτή τη μέθοδο η λύση θεωρείται ότι μεταβάλλεται γραμμικά. Στο σχήμα 5.9, η αλλαγή στις τιμές των κελιών μεταξύ c 0 και c i κατά μήκος του διανύσματος δr i από το κέντρο βάρους του κελιού c 0 στο κελί c i, μπορεί να εκφρασθεί ως: ( Φ) c0 Δr i = (Φ ci Φ c0 ) (5.5) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

77 Σχήμα 5.9 Υπολογισμός κέντρου βάρους κελιού Εάν γράψουμε παρόμοιες εξισώσεις για κάθε κελί που περιβάλλει το κελί c 0, παίρνουμε το επόμενο σύστημα εξισώσεων γραμμένο σε συμπαγή μορφή: [J]( Φ) c0 = ΔΦ (5.6) όπου [J] είναι ο πίνακας των συντελεστών ο οποίος είναι καθαρά συνάρτηση της γεωμετρίας. Ο στόχος εδώ είναι να προσδιοριστεί η κλίση του κελιού ( Φ 0 = Φ x i + Φ y j + Φ z k ) λύνοντας το πρόβλημα ελαχιστοποίησης για το σύστημα των μη τετραγωνικών πινάκων συντελεστών σε μια κατεύθυνση των ελαχίστων τετραγώνων. Το παραπάνω γραμμικό σύστημα εξισώσεων είναι υπέρ-ορισμένο και μπορεί να λυθεί αποσυνθέτοντας των πίνακα των συντελεστών χρησιμοποιώντας τη διεργασία Gram-Schmidt. Αυτή η αποσύνθεση αποδίδει έναν πίνακα βαρών για κάθε κελί. Έτσι για το δικό μας κεντροειδές σχήμα σημαίνει ότι τα τρία στοιχεία από τα βάρη W x i0, W y i0, W z i0 παράγονται για καθεμιά από τις πλευρές του κελιού c 0. Επιπλέον, η κλίση στο κέντρο του κελιού μπορεί να υπολογιστεί πολλαπλασιάζοντας τους συντελεστές βαρύτητας από το διάνυσμα διαφοράς ΔΦ = (Φ ci Φ c0 ), 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

78 n (Φ x ) c0 = W i0 x (Φ ci Φ c0 ) i=1 n (Φ x ) c0 = W i0 x (Φ ci Φ c0 ) i=1 n (Φ x ) c0 = W i0 x (Φ ci Φ c0 ) i=1 (5.7) (5.8) (5.9) Σε μη δομημένα πλέγματα με στρεβλομένα κελιά, η ακρίβεια της μεθόδου είναι συγκρίσιμη με τη Green-Gauss Node-Based (και οι δυο είναι θεωρητικά καλύτερες από τη Green-Gauss Cell-Based). Η μέθοδος Least-Squares Cell-Based απαιτεί λιγότερη υπολογιστική ισχύ από την Green-Gauss Node-Based. Αυτά την καθιστούν την προκαθορισμένη μέθοδο για τις κλίσεις στον επιλύτη του Fluent Μέθοδοι παρεμβολής για την πίεση Οι μέθοδοι που αναφέρθηκαν είναι για τον υπολογισμό των άγνωστων μεταβλητών των εξισώσεων μεταφοράς του προβλήματος. Για παράδειγμα για την x- ορμή, μεταβλητή είναι η ταχύτητα u, οπότε αντικαθιστούμε στις παραπάνω εξισώσεις όπου Φ το u και στην περίπτωση που το πεδίο της πίεσης είναι γνωστό μπορούμε να λάβουμε το πεδίο ταχυτήτων. Όμως, το πεδίο της πίεσης και οι παροχές δεν είναι γνωστές από πριν και πρέπει να βρεθούν σαν ένα μέρος της λύσης. Το Fluent, χρησιμοποιεί ένα σχήμα, όπου η πίεση και η ταχύτητα μαζί αποθηκεύονται στα κέντρα των κελιών. Όμως επειδή χρειαζόμαστε την τιμή της πίεσης στις πλευρές (faces), είναι απαραίτητο ένα σχήμα παρεμβολής που να παίρνει την τιμή της πίεσης στο κέντρο του κελιού και να την υπολογίζει στις πλευρές του. Τα σχήματα παρεμβολής που είναι διαθέσιμα στο Fluent για τον διαχωριστικό επιλύτη με βάση την πίεση (pressure based segregated solver) είναι: Standard: Το προκαθορισμένο σχήμα. Έχει μειωμένη ακρίβεια σε ροές που παρουσιάζονται μεγάλες επιφανειακές κάθετες κλίσεις πίεσης κοντά σε όρια. Δεν πρέπει να χρησιμοποιείται όταν απότομες μεταβολές της πίεσης παρουσιάζονται στη ροή. Τότε πρέπει να χρησιμοποιείται το PRESTO! 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

79 PRESTO!: Χρησιμοποιείται για πολύ στροβιλώδεις / ελικοειδείς ροές, ροές που εμπεριέχουν απότομες μεταβολές της πίεσης ή σε πεδία με μεγάλη καμπυλότητα. Linear: Χρησιμοποιείται όταν οι άλλες επιλογές έχουν δυσκολίες στη σύγκλιση ή αφύσικη συμπεριφορά. Second-Order: Χρησιμοποιείται για συμπιεστές ροές. Body Force Weighted: Χρησιμοποιείται όταν οι δυνάμεις στα σώματα είναι μεγάλες ή όταν οι ροές είναι πολύ στροβιλώδεις Σύνδεση πίεσης και ταχύτητας Η σύνδεση πίεσης και ταχύτητας αναφέρεται σε έναν αριθμητικό αλγόριθμο ο οποίος χρησιμοποιεί έναν συνδυασμό των εξισώσεων της συνέχειας και της ορμής για να βγάλει μια εξίσωση για την πίεση ή για την διόρθωση της πίεσης όταν χρησιμοποιούμε επιλύτη βασισμένο στην πίεση. Στο Fluent είναι διαθέσιμοι 5 τέτοιοι αλγόριθμοι: Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations (SIMPLE). Είναι ο προκαθορισμένος αλγόριθμος του προγράμματος ο οποίος είναι πολύ σταθερός. SIMPLE-Consistent (SIMPLEC). Επιτρέπει ταχύτερη σύγκλιση για απλά προβλήματα. Pressure-Implicit with Splitting of Operators (PISO). Χρήσιμος για προβλήματα μη-μόνιμων ροών ή για πλέγματα που περιέχουν κελιά με μεγαλύτερη από τη μέση στρεβλότητα. Fractional Step Method (FSM) για μη μόνιμες ροές. Έχει παρόμοια χαρακτηριστικά με τον αλγόριθμο PISO. Coupled Algorithm. Ενεργοποιείται όταν έχει επιλεχθεί ο επιλύτης Pressure Based Coupled Solver. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

80 Παράλληλη Επεξεργασία Το Fluent, έχει τη δυνατότητα σαν πρόγραμμα να «τρέξει» παράλληλα σε πολλούς επεξεργαστές. Αυτό επιταχύνει τη διαδικασία της προσομοίωσης. Οι σύγχρονοι υπολογιστές μπορούν να διαθέτουν πολλούς επεξεργαστές ή έναν επεξεργαστή με πολλούς πυρήνες. Κάθε ένας από αυτούς μπορεί να αποτελέσει έναν κόμβο υπολογισμού για το Fluent. Το πλέγμα αυτόματα χωρίζεται σε τμήματα και κάθε ένας υπολογιστικός κόμβος απασχολείται με ένα τμήμα. Κάθε επεξεργαστής λύνει το πρόβλημα ξεχωριστά από τους υπόλοιπους και επικοινωνεί μαζί τους όταν απαιτείται η λήψη δεδομένων, που συνήθως αυτό συμβαίνει στα όρια των τμημάτων. Στο τέλος κάθε επαναληπτικής διαδικασίας, ελέγχει τον καταμερισμό το επεξεργαστικού φόρτου, ώστε αν υπάρχουν σημαντικές διαφορές να τις τροποποιήσει κατάλληλα. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

81 6. ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ ANSYS FLUENT Αρχικά ανοίγουμε την εφαρμογή Ansys Workbench. Από το Toolbox που βρίσκεται στο αριστερό τμήμα της οθόνης, πάμε στο μενού Analysis Systems, και επιλέγουμε το Fluid Flow (FLUENT), δηλαδή το πρόγραμμα με τη βοήθεια του οποίου θα προσομοιώσουμε τη ροή στον αγωγό. Με τον τρόπο αυτό δημιουργείται ένα νέο Project, το οποίο το ονομάζουμε channel. Εικόνα 6.1 Δημιουργία νέου Project με Fluid Flow (FLUENT) Analysis 6.1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Για την κατασκευή της γεωμετρίας χρησιμοποιήθηκε η εφαρμογή του πακέτου ANSYS με την ονομασία Design Modeler, στο περιβάλλον του οποίου θα διαμορφωθεί η γεωμετρία του αγωγού. Στο νέο Project που δημιουργήσαμε κάνουμε διπλό κλικ στην επιλογή Geometry (Εικόνα 6.2). 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

82 Εικόνα 6.2 Εκκίνηση εφαρμογής κατασκευής γεωμετρίας Design Modeler Η τεχνική που θα ακολουθήσουμε για την κατασκευή της επιθυμητής γεωμετρίας είναι η αφαίρεση μικρότερων όγκων κατάλληλου σχήματος από ένα αρχικό όγκο που θα δημιουργήσουμε. Ο αρχικός αυτός όγκος είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο διαστάσεων (10.6 m, 0.15 m, m). Για τη δημιουργία του, πηγαίνουμε στη γραμμή εργαλείων του Design Modeler και επιλέγουμε διαδοχικά Create Primitives Box (Εικόνα 6.3). Εικόνα 6.3 Δημιουργία αρχικού κύριου όγκου (box) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

83 Ακολούθως πρέπει να διαμορφώσουμε τον αρχικό όγκο που δημιουργήσαμε. Για το σκοπό αυτό πηγαίνουμε στο Details of Box1, όπου αρχικά στο πεδίο Base Plane δεν αλλάζουμε τη default επιλογή XYPlane και στο πεδίο Operation ορίζουμε την επιλογή Add Material. Ως σημείο αναφοράς (αρχή των αξόνων) ορίζουμε το σημείο (0, 0, 0) στο πεδίο Point 1 Definition και στη συνέχεια εισάγουμε τις διαστάσεις που επιθυμούμε, ήτοι (10.6 m, 0.15 m, m ) στο Diagonal Definition. Τελικά πηγαίνουμε ξανά στη γραμμή εργαλείων και πατάμε Generate ώστε να δημιουργηθεί ο όγκος που διαμορφώσαμε με τις παραπάνω επιλογές (Εικόνα 6.4). Εικόνα 6.4 Τελική μορφή αρχικού όγκου Μετά τη δημιουργία του κυρίου όγκου σειρά έχει η αφαίρεση όγκων κατάλληλου σχήματος που θα οδηγήσει στην τελική επιθυμητή μορφή. Όπως έχουμε αναφέρει, το μεγαλύτερο μέρος του αγωγού (8.6 m) αποτελείται από κατακόρυφα στοιχεία τραχύτητας, τραπεζοειδούς διατομής, τα οποία βρίσκονται στα πλευρικά τοιχώματα. Ενώ το υπόλοιπο κομμάτι του αγωγού προς τα κατάντη, τα τελευταία 2 m δηλαδή, έχει σχεδιαστεί με το μέγιστο πλάτος ήτοι m. Το σχήμα και οι διαστάσεις των εμποδίων φαίνονται στην Εικόνα 6.5 ενώ ακολουθούν και διάφορες απόψεις αυτών (Εικ. 6.6, 6.7). 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

84 Εικόνα 6.5 Διαστάσεις εμποδίου τραπεζοειδούς διατομής σε mm Εικόνα 6.6 Κατακόρυφο στοιχείο τραχύτητας, τραπεζοειδούς διατομής 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

85 Εικόνα 6.7 Διάφορες απόψεις του ξύλινου εμποδίου, τραπεζοειδούς διατομής Για να δημιουργηθούν τα κατακόρυφα αυτά στοιχεία τραχύτητας, η διαδικασία που ακολουθείται είναι κατά βάση η ίδια με αυτή που αναλύθηκε παραπάνω. Αρχικά πηγαίνουμε στη γραμμή εργαλείων όπου επιλέγουμε αυτή τη φορά διαδοχικά Create Primitives Parallelepiped. Στη συνέχεια, στο Details of Parallelepiped στο πεδίο Operation ορίζουμε την επιλογή Cut Material αντί για Add Material που είχε επιλεγεί στη δημιουργία του κυρίου όγκου, μια και αυτή τη φορά θέλουμε να αφαιρέσουμε όγκο. Αυτή είναι και η βασική διαφορά μεταξύ της παρούσας διαδικασίας και της προηγούμενης. Τα υπόλοιπα βήματα παραμένουν ίδια, δηλαδή ορίζεται το σημείο αναφοράς και οι διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου σε κάθε άξονα και τέλος πατάμε Generate ώστε να γίνει η αφαίρεση του όγκου. Τη διαδικασία αυτή την κάνουμε σε 3 μέρη για κάθε εμπόδιο. Αρχικά αφαιρούμε ένα παραλληλεπίπεδο διαστάσεων ( m x 0.15 m x 0.03 m). Το μήκος του ( m) δηλαδή είναι όσο και η μικρή πλευρά του τραπεζίου (Εικόνα 6.8). Αξίζει να σημειωθεί εδώ ότι ο αγωγός στα ανάντη ξεκινάει με το μέγιστο πλάτος και τα πρώτα εμπόδια που συναντά βρίσκονται σε απόσταση m από την αρχή του αγωγού. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

86 Εικόνα 6.8 Δημιουργία 1 ου τραπεζοειδούς εμποδίου Στη συνέχεια αφαιρούνται 2 παραλληλεπίπεδα διαστάσεων ( m x 0.15 m x 0.03 m) έτσι ώστε να διαμορφωθεί το εμπόδιο που είδαμε στην Εικόνα 6.5. Εικόνα 6.9 Δημιουργία 1 ου τραπεζοειδούς εμποδίου 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

87 Εικόνα 6.10 Δημιουργία 1 ου τραπεζοειδούς εμποδίου Με αυτήν ακριβώς τη διαδικασία λειτουργούμε και στο εμπόδιο που βρίσκεται ακριβώς απέναντι από το πρώτο που σχεδιάσαμε με τη μόνη διαφορά ότι αλλάζουν οι συντεταγμένες που δίνουμε στο Details of Parallelepiped. Αναλυτικά φαίνονται τα παραπάνω στις Εικόνες ( ) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

88 Εικόνα 6.11 Δημιουργία τραπεζοειδούς εμποδίου Εικόνα 6.12 Δημιουργία τραπεζοειδούς εμποδίου 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

89 Εικόνα 6.13 Δημιουργία τραπεζοειδούς εμποδίου Ακριβώς με αυτήν τη διαδικασία αφαιρούνται και τα υπόλοιπα παραλληλεπίπεδα ή καλύτερα δημιουργούνται τα υπόλοιπα εμπόδια στον αγωγό. Το κάθε εμπόδιο απέχει από το επόμενο m δημιουργώντας έτσι μια επαναληπτική διαδικασία. Ο αριθμός των εμποδίων φθάνει τα 67 για κάθε πλευρά του αγωγού σε μήκος 8.6 m. Αναλυτικά φαίνονται οι συντεταγμένες και των 134 εμποδίων στο Παράρτημα Ε. Με την αφαίρεση και του τελευταίου εμποδίου έχουμε πλέον το τελικό σχήμα του αγωγού, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (Εικόνα 6.14) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

90 Εικόνα 6.14 Τελικό σχήμα αγωγού Επειδή όμως στη συγκεκριμένη περίπτωση που θέλουμε να προσομοιώσουμε η ροή του νερού δεν καταλαμβάνει όλη την επιφάνεια εισόδου του αγωγού αλλά έχει βάθος m, πρέπει να «κόψουμε» την εν λόγω επιφάνεια στο επίπεδο αυτό, δημιουργώντας έτσι δύο επιφάνειες εισόδου, ώστε από τη μία να εισέρχεται η παροχή του νερού, ενώ από την άλλη θα έχουμε ροή αέρα. Για να γίνει αυτό, αρχικά πρέπει να «παγώσουμε» τη γεωμετρία που έχουμε κατασκευάσει, ώστε, παρά τις αλλαγές που θα πραγματοποιήσουμε, ο αγωγός να παραμείνει εν τέλει αδιαίρετος. Έτσι, πηγαίνουμε στη γραμμή εργαλείων, στο μενού Tools και επιλέγουμε Freeze. Τώρα μπορούμε να δημιουργήσουμε το επίπεδο στο οποίο θέλουμε να διαχωριστεί η επιφάνεια εισόδου του νερού από αυτή του αέρα. Επιλέγουμε, πάλι από την Toolbar, Create NewPlane και στο Details of Plane1, στο πεδίο Type διαλέγουμε FromPlane, ως BasePlane ορίζουμε το ZXPlane, στο πεδίο Transform 1 (RMB) επιλέγουμε Offset Global Y και στο FD1, Value1 δίνουμε τιμή m, αφού θέλουμε το νέο επίπεδο να είναι παράλληλο με αυτό της βάσης του αγωγού και σε απόσταση m πάνω από αυτό, όπως φαίνεται στην Εικόνα Τέλος, για να δημιουργηθεί το επίπεδο Plane1, κάνουμε κλικ στο κουμπί Generate που βρίσκεται στη γραμμή εργαλείων ANSYS Design Modeler. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

91 Εικόνα 6.15 Δημιουργία νέου επιπέδου Plane1 Ύστερα, θα κόψουμε τον αγωγό στο επίπεδο Plane1 που μόλις δημιουργήθηκε. Επιλέγουμε διαδοχικά Create Slice και στο παράθυρο Details of Slice1 διαλέγουμε Slice by Plane στο πεδίο Slice Type και ως Base Plane επιλέγουμε το Plane1 και πατάμε Apply. Και εδώ επιλέγουμε Generate για να ολοκληρωθεί η δημιουργία του Slice1 (Εικόνα 6.16). Εικόνα 6.16 Διαχωρισμός αγωγού στο επίπεδο Plane1 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

92 Παρατηρούμε ότι μετά το Slice στο Tree Outline το στοιχείο 1 Part,1 Body έχει μετατραπεί σε 2 Parts, 2 Bodies. Αυτό είναι μη επιθυμητό αφού το πρόγραμμα αντιλαμβάνεται δύο διαφορετικά τμήματα, ανεξάρτητα όμως μεταξύ τους, ενώ το ζητούμενο είναι τα δύο τμήματα του αγωγού να συνθέτουν ένα ενιαίο στοιχείο. Για να επιτευχθεί αυτό, πατάμε το εικονίδιο δίπλα στο στοιχείο 2 Parts, 2 Bodies ώστε να εμφανιστούν ξεχωριστά τα δύο αυτά τμήματα, τα επιλέγουμε και πηγαίνουμε στη γραμμή εργαλείων όπου από το μενού Tools ενεργοποιούμε το Form New Part. Έτσι τα δύο αυτά τμήματα ενώνονται σε έναν ενιαίο φορέα και στο TreeOutline εμφανίζεται πλέον το στοιχείο 1Part, 2 Bodies. Στο τέλος αυτό που απομένει είναι να δηλώσουμε τον όγκο που δημιουργήσαμε ως ρευστό. Οπότε, σε κάθε ένα από τα δύο αυτά τμήματα, στο Details of Body πηγαίνουμε στο πεδίο Fluid/Solid και επιλέγουμε Fluid, δηλώνοντας έτσι τον όγκο του τμήματος ως ρευστό. Η γεωμετρία του αγωγού είναι πλέον έτοιμη και προχωράμε στο επόμενο στάδιο που είναι η δημιουργία του αριθμητικού πλέγματος. 6.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΛΕΓΜΑ Γενικά Εφόσον η γεωμετρία του προβλήματος έχει καθοριστεί, εν συνεχεία είναι απαραίτητη η διαμόρφωση του υπολογιστικού πλέγματος. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να αποφασιστεί τι είδους πλέγμα θα χρησιμοποιηθεί στην ανάλυση. Η μονάδα Mesh δίνει τη δυνατότητα χρήσης εξαεδρικού/τετραπλευρικού ή τετραεδρικού/τριγωνικού πλέγματος για τρισδιάστατη/δισδιάστατη αντίστοιχα ανάλυση. Επιπλέον, επιτρέπει και τη δημιουργία υβριδικού πλέγματος που μπορεί να αποτελείται από συνδυασμό των παραπάνω ανάλογα με τις απαιτήσεις της γεωμετρίας και της φύσης του προβλήματος. Βασικό στοιχείο για την δημιουργία του υπολογιστικού πλέγματος αποτελεί ο βαθμός ανάλυσής του (resolution), ο οποίος μπορεί να ποικίλει σε κάθε τμήμα του πεδίου όπως και ο αριθμός των στοιχείων του πλέγματος που απαιτούνται για το δοθέν πρόβλημα. Στην επιλογή και των δύο αυτών χαρακτηριστικών του 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

93 υπολογιστικού πλέγματος, βασικό παράγοντα αποτελεί η υπολογιστική ισχύς που διαθέτει ο υπολογιστής που θα χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση. Παραδείγματος χάριν, προκύπτει εμπειρικά ότι ένας υπολογιστής μνήμης RAM 1 GB μπορεί να επεξεργαστεί μια γεωμετρία που διαθέτει το πολύ έως 10 6 υπολογιστικά κελιά (cells). Για σχετικά απλές γεωμετρίες τα τετραπλευρικά/εξαεδρικά πλέγματα δίνουν λύσεις υψηλής ακρίβειας χρησιμοποιώντας λιγότερα στοιχεία από ότι τα τριγωνικά/τετραεδρικά πλέγματα. Για συνθετότερες, όμως, γεωμετρίες τα τετραπλευρικά/εξαεδρικά πλέγματα δεν προσφέρουν κάποιο πλεονέκτημα, οπότε είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθούν τριγωνικά/τετραεδρικά πλέγματα. Ένας σημαντικός παράγοντας που επηρεάζει αρκετά την ποιότητα των αποτελεσμάτων της ανάλυσης αποτελεί η κατάλληλη πύκνωση του πλέγματος σε περιοχές όπου αυτό είναι αναγκαίο. Περιοχές πλησίον στερεού τοιχώματος, πίσω από εμπόδια και κοντά σε απότομες αλλαγές της γεωμετρίας, όπου αναμένονται σημαντικές μεταβολές των παραμέτρων της ροής, είναι μερικές από τις περιπτώσεις όπου απαιτείται υψηλότερη ανάλυση του υπολογιστικού πεδίου. Για τον περιορισμό της αριθμητικής διάχυσης η οποία μπορεί να επηρεάζει σημαντικά την ποιότητα της λύσης, θα πρέπει ο λόγος ύψους προς πλάτος των υπολογιστικών κελιών, Δy Δx, να μην είναι μεγαλύτερος του 1 10 εκτός από περιοχές όπου η ροή θεωρείται πλήρως αναπτυγμένη και ο λόγος αυτός μπορεί να λαμβάνει τιμές έως και 1 20 ή Δημιουργία αριθμητικού πλέγματος Από το Ansys Workbench και από το Project που έχουμε δημιουργήσει, ανοίγουμε την εφαρμογή Ansys Meshing (Εικόνα 6.17) με διπλό κλικ πάνω στο εικονίδιο Mesh. Στην Εικόνα 6.17 βλέπουμε ότι η κατάσταση δίπλα στη γεωμετρία έχει εκπληρωθεί και ότι απομένουν τα υπόλοιπα βήματα, δηλαδή το Mesh, το Setup, το Solution και το Results. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

94 Εικόνα 6.17 Εκκίνηση Ansys Meshing Ορισμός συνόρων Αφού ανοίξει η εφαρμογή, πρώτο μας βήμα είναι να ορίσουμε τις επιφάνειες που αποτελούν κάποιο όριο, όπως είσοδο ή έξοδο νερού, τοίχωμα και συμμετρία. Αυτό πραγματοποιείται με την επιλογή των επιφανειών που θέλουμε να ορίσουμε και έπειτα με δεξί κλικ και επιλογή του Create Named Selection δίνουμε το όνομα που θέλουμε για το όριο. Το Fluent μπορεί από την ονομασία να καταλάβει περί τίνος συνόρου πρόκειται. Αν το όνομα ξεκινάει από inlet το Fluent καταλαβαίνει ότι πρόκειται για είσοδο. Όμοια για outlet καταλαβαίνει έξοδο και για wall καταλαβαίνει τοίχο. Αρχικά ορίζουμε τις 2 εισόδους στον αγωγό ως flow-inlet-1 και flow-inlet-2 αντίστοιχα (Εικόνα 6.18) και την έξοδο στο τέλος του αγωγού ως flow-outlets όπως φαίνεται στην Εικόνα Έπειτα ορίζουμε τα τοιχώματα. Πρώτα ονομάζουμε ως bottom τον πυθμένα του αγωγού, right-wall το δεξί τοίχωμα και left-wall το αριστερό τοίχωμα. (Εικ. 6.20, 6.21). Την ελεύθερη επιφάνεια στον αέρα την ονομάζουμε free_surface_air. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

95 Εικόνα 6.18 Ορισμός επιφανειών συνόρων εισόδου (flow-inlet-1, flow-inlet-2) Εικόνα 6.19 Ορισμός επιφανειών συνόρων εξόδου (flow-outlets) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

96 Εικόνα 6.20 Ορισμός συνόρου ελεύθερης επιφάνειας και δεξιού τοιχώματος (free_surface_air, right-wall) Εικόνα 6.21 Ορισμός συνόρου αριστερού τοιχώματος και πυθμένα (right-wall, bottom) Ο ορισμός των συνόρων έχει ολοκληρωθεί. Επόμενο βήμα είναι οι ρυθμίσεις για τη δημιουργία του πλέγματος. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

97 6.2.4 Ρυθμίσεις προγράμματος και δημιουργία πλέγματος Αρχικά θα ξεκινήσουμε με την πύκνωση του πλέγματος στα τοιχώματα και το ύψος του πρώτου κελιού. Αυτό γίνεται με τη μέθοδο που ονομάζεται Inflation. Με τη μέθοδο αυτή δημιουργούνται στρώσεις από πυκνό εξαεδρικό πλέγμα κοντά στα τοιχώματα. Πάνω στο Outline κάνουμε δεξί κλικ στο Mesh και επιλέγουμε Insert Inflation (Εικ. 6.22). Για το Geometry επιλέγουμε και τους δύο όγκους του ρευστού και πατάμε Apply (Εικ. 6.23). Εικόνα 6.22 Εισαγωγή Inflation στη γεωμετρία 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

98 Εικόνα 6.23 Επιλογή γεωμετρίας για Inflation Στην συνέχεια στο Boundary Scoping Method αφήνουμε τη default επιλογή Geometry Selection και στο Boundary επιλέγουμε όλες τις επιφάνειες εκτός από αυτές της εισόδου και της εξόδου πατώντας στο τέλος Apply. Έπειτα στο Inflation Option επιλέγουμε First Layer Thickness, στο First Layer Height δίνουμε την τιμή m και στο Maximum Layers επιλέγουμε 7 στρώσεις. Τα υπόλοιπα τα αφήνουμε ως έχει. Το Inflation για το εξωτερικό τοίχωμα είναι έτοιμο (Εικ. 6.24). Εικόνα 6.24 Ρυθμίσεις Inflation για το εξωτερικό τοίχωμα 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

99 Εδώ να αναφέρουμε ότι το First Layer Thickness αναφέρεται στο πάχος του πρώτου κελιού από το τοίχωμα, το Maximum Layers αναφέρεται στις στρώσεις που θα έχει το Inflation και το Growth Rate αναφέρεται στο πως αυξάνεται το πάχος των κελιών και πως αυτό μεγαλώνει από στρώση σε στρώση. Οι ρυθμίσεις για τη δημιουργία πλέγματος τοπικά έχουν ολοκληρωθεί. Προχωράμε τώρα στις ρυθμίσεις που αναφέρονται ολικά για το πλέγμα. Επιλέγουμε το Mesh και στο Details of Mesh ανοίγουμε τις ρυθμίσεις για το Sizing και επιλέγουμε για το καθένα όπως ακριβώς φαίνεται στην Εικόνα Εικόνα 6.25 Ρυθμίσεις για το Ολικό Sizing To Relevance Center επιλέχθηκε Coarse. Στο Use Advanced Size Function επιλέχθηκε On και τεχνική Curvature που αναφέρεται στο πως κατανέμεται και μεγαλώνει το πλέγμα σε σημαντικές περιοχές με υψηλή καμπυλότητα και στενότητα. Τέλος ρυθμίστηκε η γωνία καμπυλότητας στις 12, το Growth Rate στο 1.2, το ελάχιστο μέγεθος των κελιών Min Size στο m, το μέγιστο μέγεθος των κελιών Max Size στο m και το μέγιστο μέγεθος επιφάνειας Max Face Size στο m. Με αυτές τις ρυθμίσεις δεν θα έχουμε κελιά που θα υπερβαίνουν το μέγεθος που ορίσαμε και με το Growth Rate τα κελιά θα μεγαλώνουν με μικρότερο ρυθμό. Πατώντας το Generate Mesh παίρνουμε το πλέγμα για τη γεωμετρία μας (Εικόνα 6.26). 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

100 Εικόνα 6.26 Τελικό πλέγμα της γεωμετρίας Παρακάτω παρουσιάζονται κάποιες χαρακτηριστικές εικόνες του πλέγματος, από τις διατομές εισόδου και εξόδου καθώς και μια εστίαση σε ένα από τα εμπόδια. Εικόνα 6.27 Επιφάνειες εισόδου του νερού (Α) και του αέρα (Β) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

101 Εικόνα 6.28 Επιφάνεια εξόδου της ροής Εικόνα 6.29 Εστίαση σε ένα από τα εμπόδια 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

102 Τέλος, κάνοντας τομές στη γεωμετρία μπορούμε να δούμε καλύτερα τις στρώσεις από το Inflation και την πύκνωση του πλέγματος στις διάφορες περιοχές (Εικ. 6.30, 6.31). Εικόνα 6.30 Τομή της γεωμετρίας στο επίπεδο yz Εικόνα 6.31 Κατά μήκος τομή της γεωμετρίας στο επίπεδο xy 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

103 Πριν προχωρήσουμε στις ρυθμίσεις του επιλύτη στο Fluent ελέγχουμε τα στατιστικά για να δούμε την ποιότητα του πλέγματος που δημιουργήθηκε. Μία σημαντική παράμετρος είναι αυτή της στρεβλότητας των κελιών (Skewness) η οποία πρέπει να είναι μικρότερη από 0.98 στο Fluent. Στο Details of Mesh, ανοίγουμε την καρτέλα Statistics και έπειτα στο Mesh Metric επιλέγουμε Skewness. Βλέπουμε ότι η μέγιστη στρεβλότητα είναι 0.88 μικρότερη του 0.98 και είναι αποδεκτή (Εικόνα 6.32). Επίσης βλέπουμε ότι ο αριθμός των κελιών είναι 3,322,072. Εικόνα 6.32 Στρεβλότητα και αριθμός κελιών πλέγματος Κλείνουμε την εφαρμογή Ansys Meshing και προχωρούμε στο επόμενο βήμα της ρύθμισης του επιλύτη. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

104 6.3 ΡΥΘΜΙΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΤΗ Εκκίνηση προγράμματος Επιστρέφοντας στο Ansys Workbench βλέπουμε ότι και το Mesh έχει ολοκληρωθεί, οπότε πατάμε διπλό κλικ πάνω στο Setup για να προχωρήσουμε στις ρυθμίσεις στο Fluent (Εικόνα 6.33). Εικόνα 6.33 Εκκίνηση Fluent στο Ansys Workbench Εμφανίζεται στην οθόνη μας ένα παράθυρο με κάποιες ρυθμίσεις που πρέπει να γίνουν για να ξεκινήσει το πρόγραμμα. Από αυτές επιλέγουμε Double Precision για να έχουμε διπλή ακρίβεια αποτελεσμάτων και παράλληλη επεξεργασία με 3 επεξεργαστές για ταχύτερη επίλυση (Εικόνα 6.34). Μπορούμε να τρέξουμε το πρόγραμμα με λιγότερους ή και περισσότερους επεξεργαστές. Αυτό εξαρτάται από την υπολογιστική ισχύ που έχουμε στη διάθεσή μας. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

105 Εικόνα 6.34 Ρυθμίσεις εκκίνησης του Fluent Έλεγχος ποιότητας πλέγματος και ρύθμιση για τη βαρύτητα Αφού το πρόγραμμα ξεκινήσει, το πρώτο πράγμα που κάνουμε είναι ο έλεγχος του πλέγματος (Problem Setup General Mesh Check). Σε περίπτωση που έχουμε κάποιον αρνητικό όγκο, τότε σημαίνει ότι το πλέγμα δεν είναι σωστό και πρέπει να διορθωθεί (Εικόνα 6.35). Παρόμοια ελέγχουμε και την ορθογωνική ποιότητα των κελιών (Problem Setup General Mesh Report Quality) η οποία είναι ο λόγος του μήκους των πλευρών του στοιχείου και είναι επιθυμητή να είναι κοντά στην τιμή 1. Κελιά που η ορθογωνική ποιότητά κοντά στο 0, θεωρούνται κακής ποιότητας κελιά. Εικόνα 6.35 Έλεγχος και αναφορά ποιότητας πλέγματος 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

106 Στη συνέχεια, καλούμαστε να εισάγουμε τις κατάλληλες παραμέτρους για την επίλυση της τρισδιάστατης τυρβώδους ροής. Αρχικά θα επιλέξουμε τον τύπο της λύσης. Για το σκοπό αυτό, στο πεδίο General επιλέγουμε Type Pressure-Based και Time Steady γιατί επιλύουμε για μόνιμη ροή (βλ. Εικόνα 6.36). Επειδή το κανάλι μας είναι υπό κλίση (S 0 = 0.10) θέτουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας στη διαμήκη έννοια ίση με g x = m s 2 και κατά τη κατακόρυφο ίση με g y = m s 2 και με αυτό τον τρόπο λαμβάνουμε υπόψη μας την επίδραση της κλίσης του καναλιού θεωρώντας στη συνέχεια οριζόντιο πυθμένα (βλέπε Κεφάλαιο 4) (Εικόνα 6.36). Εικόνα 6.36 Επιλογή τύπου ροής και καθορισμός συνιστωσών επιτάχυνσης της βαρύτητας Στη συνέχεια επιλέγουμε τη μέθοδο Volume of Fluid (VOF) για τη προσομοίωση της ελεύθερης επιφάνειας. Δηλαδή πηγαίνουμε στο menu Problem Setup Models Multiphase και πατάμε Edit. Στην καρτέλα που ανοίγει σαν σχήμα επίλυσης επιλέγουμε το άρρητο (Implicit), ενεργοποιούμε την παράμετρο Implicit Body Force και την επιλογή Open Channel Flow. Πατάμε OK (Εικόνα 6.37). 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

107 Εικόνα 6.37 Προσομοίωση ελεύθερης επιφάνειας Επιλογή μοντέλου τύρβης και ρευστού προσομοίωσης Εδώ επιλέγουμε το μοντέλο της τύρβης που θα χρησιμοποιήσουμε. Για την επίλυση της ροής χρησιμοποιείται το μοντέλο SST k-ω. Για να ορίσουμε το μοντέλο αυτό πηγαίνουμε στο menu Problem Setup Models Viscous k-ω SST, όπως φαίνεται στην Εικόνα Αφήνουμε τις προκαθορισμένες τιμές για τις σταθερές του μοντέλου. Εικόνα 6.38 Μοντέλο τύρβης SST k ω 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

108 Στη συνέχεια θέτουμε το νερό για το ρευστό της προσομοίωσης. Το υλικό που έχει προεπιλεγμένο το Fluent είναι ο αέρας, στη συγκεκριμένη περίπτωση όμως θέλουμε να έχουμε και μία ζώνη με νερό. Για το λόγο αυτό θα πρέπει να δημιουργήσουμε ένα ρευστό με τις ιδιότητες που επιθυμούμε. Από το menu Problem Setup επιλέγουμε το πεδίο Materials και πατάμε Create/Edit. Στην καρτέλα που ανοίγει, διαλέγουμε την επιλογή Fluent Database και επιλέγουμε το υλικό waterliquid κάτω από το πεδίο Fluent Fluid Materials. Πατάμε Copy και με αυτό τον τρόπο έχουμε αντιγράψει στην καρτέλα το νέο υλικό που έχει πυκνότητα Kg / m3 και ιξώδες Kg / ms και πατάμε Change/Create (Εικόνα 6.39). Εικόνα 6.39 Δημιουργία ρευστού με τις ιδιότητες του νερού Ακολούθως ορίζουμε στην επιλογή Phases κάτω από το Problem Setup ως πρωτεύουσα φάση (Primary Phase) τον αέρα (air) και ως δευτερεύουσα φάση (Secondary Phase) το νερό (water-liquid ) (Εικόνες 6.40, 6.41). 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

109 Εικόνα 6.40 Πρωτεύουσα φάση - αέρας Εικόνα 6.41 Δευτερεύουσα φάση - νερό Ορισμός Οριακών Συνθηκών Προχωράμε να ορίσουμε τις οριακές συνθήκες (Problem Setup Boundary Conditions) για την προσομοίωση. Κατά τη δημιουργία του αριθμητικού πλέγματος κατασκευάσαμε τις επιφάνειες εισόδου (inlet) και εξόδου (outlet), τον πυθμένα (bottom), την ελεύθερη επιφάνεια (free_surface_air) και τα στερεά τοιχώματα (right- 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

110 wall και left-wall), οπότε τώρα στο Fluent θα πρέπει να ορίσουμε τον τύπο του ορίου για τις επιφάνειες αυτές. Αρχικά θέτουμε την είσοδο του καναλιού σαν την επιφάνεια όπου εισάγεται η παροχή (flow-inlet-1 και flow-inlet-2) και για αυτό διαλέγουμε από το πεδίο Type την επιλογή velocity-inlet, όντας στην φάση mixture. Σε κάθε επιφάνεια flow-inlet-1 και flow-inlet-2 πατώντας το Edit δίνουμε το μέγεθος της ταχύτητας στην είσοδο ( m s για το νερό και m s =1/10 της ταχύτητας του νερού για τον αέρα) καθώς επίσης και τις τιμές της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (για το νερό και για τον αέρα αντίστοιχα) και του συντελεστή καταπτώσεως της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (για το νερό και για τον αέρα αντίστοιχα) (Εικόνα 6.42). Για τις λεπτομέρειες προσδιορισμού όλων των παραπάνω μεγεθών βλ. Κεφάλαιο 4. Εικόνα 6.42 Οριακή Συνθήκη εισόδου νερού 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

111 Εικόνα 6.43 Οριακή Συνθήκη εισόδου αέρα Αλλάζοντας τώρα τη φάση από mixture σε water πατάμε Edit (βλ. Eικόνα 6.44) και στη μεν επιφάνεια flow-inlet-2 στο πεδίο Multiphase θέτουμε το Volume Fraction ίσο με το μηδέν και στη δε επιφάνεια flow-inlet-1 στο πεδίο Multiphase θέτουμε το Volume Fraction ίσο με τη μονάδα. Με αυτό τον τρόπο ορίζουμε την περιοχή στην οποία εισάγεται νερό και την περιοχή που καταλαμβάνει ο αέρας (Εικόνα 6.44). Εικόνα 6.44 Οριακή Συνθήκη εισόδου 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

112 Στη συνέχεια θέτουμε την έξοδο του καναλιού σαν μια επιφάνεια (flowoutlets) στην οποία ισχύει η υδροστατική κατανομή της πίεσης και για αυτό διαλέγουμε από το πεδίο Type την επιλογή pressure-outlet. Στις καρτέλες της επιφάνειας flow-outles επιλέγουμε στο πεδίο Momentum σαν Specification Method το Intensity and Viscosity Ratio και θέτουμε σαν Backflow Turbulent Intensity 3% και σαν Backflow Turbulent Viscosity Ratio 3% (Εικόνα 6.45). Για τις λεπτομέρειες προσδιορισμού όλων των παραπάνω μεγεθών βλ. Κεφάλαιο 4. Εικόνα 6.45 Οριακή συνθήκη εξόδου Επίσης στο πεδίο multiphase ενεργοποιούμε την επιλογή Open channel και θέτουμε τον πυθμένα (bottom) στα 0m και την ελεύθερη επιφάνεια του νερού (free surface level) τα m (Εικόνα 6.46). 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

113 Εικόνα 6.46 Οριακή συνθήκη εξόδου Τώρα όσον αφορά τα τοιχώματα (right_wall, left_wall) και τον πυθμένα (bottom) θα λειτουργήσουμε παρόμοια αφού όλες ανήκουν στο Type wall. Τα όρια τύπου wall, έχουν ήδη ως οριακή συνθήκη αυτή του wall λόγω της ονομασίας που δώσαμε στο Ansys Meshing. Όλα τα τοιχώματα εξ ορισμού είναι με τη συνθήκη μη ολίσθησης δηλωμένα στο πρόγραμμα. Στις αντίστοιχες καρτέλες που ανοίγουν πατώντας Edit στο πεδίο Momentum επιλέγουμε Stationary Wall και No Slip για να ισχύει η συνθήκη μη ολίσθησης. Τέλος βάζουμε το ύψος τραχύτητας (roughness height) ίσο με και αφήνουμε την default επιλογή για τον συντελεστή τραχύτητας (roughness constant), δηλαδή 0.5 (Εικόνα 6.47). Για τις λεπτομέρειες προσδιορισμού όλων των παραπάνω μεγεθών βλ. Κεφάλαιο 4. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

114 Εικόνα 6.47 Οριακή συνθήκη πυθμένα Όσον αφορά την ελεύθερη επιφάνεια (freesurface_air) θέτουμε σαν τύπο την επιλογή symmetry (Εικόνα 6.48). Εικόνα 6.48 Οριακή συνθήκη ελεύθερης επιφάνειας αέρα Πριν εγκαταλείψουμε τις οριακές συνθήκες πηγαίνουμε στο πεδίο Operating Conditions (βλ. Εικόνα 6.49) και θέτουμε σαν πίεση αναφοράς (Operating Pressure) 0 Pa και σαν σημείο αναφοράς αυτής της πίεσης το σημείο με συντεταγμένες x = 0 m, 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

115 y = 0.15 m και z = m. Τέλος ενεργοποιούμε την επιλογή Specified Operating Density και πατάμε OΚ (Εικόνα 6.49). Εικόνα 6.49 Πίεση αναφοράς Στη συνέχεια ορίζουμε στο πεδίο Reference Values κάτω από το Problem Setup σαν ζώνη αναφοράς την ανάντη περιοχή του αέρα (domain-fluid _air) (Εικόνα 6.50). Εικόνα 6.50 Καθορισμός της ζώνης ισχύος των τιμών αναφοράς 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

116 6.3.5 Ρυθμίσεις μεθόδου επίλυσης Αφού ορίσαμε τις συνοριακές συνθήκες του προβλήμαοτος και τη ζώνη αναφοράς, επόμενο βήμα είναι οι ρυθμίσεις του επιλύτη και συγκεκριμένα της μεθόδου επίλυσης. Επιλέγουμε Solution Methods από το Solution και κάνουμε τις εξής ρυθμίσεις (Εικόνα 6.51): Pressure-Velocity Coupling Scheme PISO Spatial Discretization Gradient Least Squares Cell Based Pressure PRESTO! Momentum QUICK Volume Fraction Modified HRIC Turbulent Kinetic Energy QUICK Specific Dissipation Rate QUICK Εικόνα 6.51 Ρύθμιση μεθόδου επίλυσης 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

117 Στην επόμενη επιλογή για το Solution, το Solution Controls, εισάγουμε στους συντελεστές υπό-χαλάρωσης (Under Relaxation Factors) την τιμή 0.1 για τα μεγέθη Pressure, Momentum, Turbulent Kinetic Energy, Specific Dissipation Rate για το μοντέλο k ω και τα υπόλοιπα τα αφήνουμε ως έχουν. Με τη μείωση των συντελεστών υπό-χαλάρωσης επιτυγχάνεται καλύτερη ευστάθεια της επαναληπτικής διαδικασίας υπολογισμού αλλά η σύγκλιση γίνεται πιο αργή. Εικόνα 6.52 Συντελεστές υπό-χαλάρωσης Ρυθμίσεις για τη σύγκλιση της λύσης Για τη λύση που υπολογίζουμε πρέπει να δούμε αν συγκλίνει. Σύγκλιση επιτυγχάνεται όταν τα υπόλοιπα πέφτουν σε μια πολύ μικρή τιμή και όταν η τιμή ενός μεγέθους σε κάποιο σημείο παραμένει σταθερή. Από το Solutions επιλέγουμε Monitors (Solution Monitors Residuals Print, Plot Edit) και έπειτα επιλέγουμε τα υπόλοιπα των εξισώσεων που θέλουμε να παρακολουθούμε (Εικόνα 6.53). Θέτουμε επίσης τα κριτήρια σύγκλισης. Για την εξίσωσης της συνέχειας καλό είναι οι τιμή του υπολοίπου να πέφτει κάτω από 10-4, ενώ για τις εξισώσεις ορμής και μεταφορά κάτω από Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

118 Εικόνα 6.53 Ορισμός κριτηρίων σύγκλισης και παρακολούθησης υπολοίπων Σε όλες τις προσομοιώσεις παρακολουθούμε σε ένα σημείο (x = 3 m, y = 0.02 m, z = m) το μέγεθος της ταχύτητας και του τυρβώδους ιξώδους. Για να γίνει αυτό πρέπει να δημιουργήσουμε μια νέα οθόνη παρακολούθησης (Solution Monitors Surface Monitors Create ) για το μέγεθος που θέλουμε στο συγκεκριμένο σημείο όπως φαίνεται στην Eικόνα Εικόνα 6.54 Ορισμός σημείου για παρακολούθηση μεγέθους ταχύτητας 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

119 Εικόνα 6.55 Ορισμός σημείου για παρακολούθηση τυρβώδους ιξώδους Αρχικοποίηση της λύσης και υπολογισμός Το μόνο που απομένει είναι να δοθεί μια αρχική συνθήκη για να ξεκινήσει ο αλγόριθμος υπολογισμού του Fluent. Σε όλες τις προσομοιώσεις μας επιλέξαμε την υβριδική αρχικοποίηση (hybrid initialization) η οποία παρέχει μια γρήγορη προσέγγιση του πεδίου ροής από μια συλλογή μεθόδων. Αυτή η μέθοδος λύνει την εξίσωση του Laplace για να υπολογίσει τα πεδία πίεσης και ταχύτητας ενώ για όλες τις άλλες παραμέτρους εισάγονται αυτόματα οι μέσες τιμές τους στο υπολογιστικό πεδίο ή υπολογίζονται από μια μέθοδο παρεμβολής (ANSYS Fluent User's Guide). Για την υβριδική αρχικοποίηση της λύσης, επιλέγουμε Solution Solution Initialization Hybrid Initialization Initialize. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

120 Εικόνα 6.56 Αρχικές συνθήκες σε όλο το πεδίο Αυτό που απομένει να κάνουμε για να ξεκινήσει να τρέχει το πρόγραμμα είναι να καθορίσουμε την συχνότητα με την οποία θα αποθηκεύονται οι επαναλήψεις που εκτελούνται, στα αρχεία. Έτσι πηγαίνουμε στην επιλογή Calculation Activities στο Problem Setup και διαλέγουμε να αποθηκεύουμε τα αποτελέσματα μας ανά 500 επαναλήψεις (Εικόνα 6.57). Εικόνα 6.57 Προσδιορισμός της συχνότητας αποθήκευσης των αποτελεσμάτων 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

121 Τέλος θέτοντας τον αριθμό των επαναλήψεων σε μια αρκετά υψηλή τιμή για να μπορέσει να συγκλίνει η μέθοδος, ξεκινάμε τον υπολογισμό (Solution Run Calculation Calculate). Για τη συγκεκριμένη προσομοίωση ο συνολικός αριθμός των επαναλήψεων είναι και ο αριθμός ενημέρωσης της κονσόλας είναι 500. Τελικά επιλέγουμε Calculate και το Fluent ξεκινάει να επιλύει τη ροή με τα δεδομένα και τις αρχικές συνθήκες που αναφέρθηκαν παραπάνω (Εικόνα 6.58). Εικόνα 6.58 Επιλογή αριθμού επαναλήψεων και ενημέρωσης της κονσόλας 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

122 7. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ 7.1 ΚΑΝΑΛΙ ΧΩΡΙΣ ΕΜΠΟΔΙΑ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα, υπό μορφή διαγραμμάτων, που προέκυψαν από την αριθμητική επίλυση του τρισδιάστατου προβλήματος των κατακόρυφων πλευρικών στοιχείων τραχύτητας. Αρχικά δίνονται τα αποτελέσματα από την επίλυση της ροής σε κανάλι χωρίς κανένα εμπόδιο, τα οποία αποτελούν ένα είδος επαλήθευσης της αριθμητικής μεθόδου, η οποία χρησιμοποιήθηκε στη συνέχεια για την επίλυση της ροής στο κανάλι με τα κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. Στο Σχ. 7.1 παρουσιάζεται το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας σύμφωνα με τη μονοδιάστατη ανάλυση και στο Σχ. 7.2 παρουσιάζεται η διαμόρφωση της ελεύθερης επιφάνειας στο κανάλι χωρίς τα εμπόδια που προέκυψε από την υπολογιστική επίλυση. Στο γράφημα φαίνεται η ελεύθερη επιφάνεια του νερού, η οποία ξεκινάει από βάθος z = m το οποίο είναι κατά κάτι πιο μικρό από το κρίσιμο βάθος που υπολογίσαμε με βάση τη δισδιάστατη ανάλυση (βλ. Κεφάλαιο 4). Παρατηρείται όχι μόνο μια πτωτική τάση κατά τη διαμήκη έννοια αλλά και μια καμπύλωση κατά την εγκάρσια. Έχουμε δηλαδή μια καμπύλη τύπου S2 η οποία δημιουργείται στην είσοδο του αγωγού λόγω της απότομης κλίσης (S = 0.10). Αυτή η κλίση της ελεύθερης επιφάνειας είναι η επιπλέον κλίση από την κλίση του πυθμένα. Υπενθυμίζεται ότι στην παρούσα εργασία ο πυθμένας θεωρείται οριζόντιος αλλά το διάνυσμα της επιτάχυνσης της βαρύτητας κεκλιμένο. Η ροή δείχνει ότι πιάνει το ομοιόμορφο βάθος το οποίο ανέρχεται σε m, στη θέση x = 4 m και σταθεροποιείται στο επίπεδο αυτό. Πρέπει σ αυτό το σημείο να σημειώσουμε ότι κοντά στην επιφάνεια εξόδου του αγωγού, παρατηρείται μια μη-αναμενόμενη, μικρή άνοδος της στάθμης της ελεύθερης επιφάνειας. Αυτή η μικρή άνοδος η οποία επιλέξαμε να μην εμφανίζεται στο Σχ. 7.2 δεν είναι υδραυλικό άλμα αλλά εικάζουμε ότι οφείλεται τόσον στις οριακές συνθήκες που χρησιμοποιήθηκαν όσο και στην προσέγγιση της αριθμητικής επίλυσης. Ουσιαστικά, θεωρείται ότι η αριθμητική λύση δίδει αποτελέσματα πολύ παρόμοια με της δισδιάστατης ανάλυσης (δηλ. ομοιόμορφη ροή βάθους m) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

123 Σχήμα 7.1 Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας σύμφωνα με τη μονοδιάστατη ανάλυση Σχήμα 7.2 Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος του μέσου του αγωγού (z = 0.138m), σε απλό κανάλι χωρίς εμπόδια Στο Σχ. 7.3, δίνονται τα προφίλ της διαμήκους ταχύτητας στην περίπτωση του απλού καναλιού, χωρίς τα εμπόδια. Επιλέγονται τρεις θέσεις στον αγωγό, στα 1, 4 και 6 m από την αρχή του πεδίου επίλυσης. Φαίνεται ότι στην θέση x = 1 m το προφίλ της ταχύτητας δεν έχει προλάβει να αναπτυχθεί πλήρως σε αντίθεση με τις θέσεις x = 4 m και x = 6 m όπου πλέον το προφίλ της διαμήκους ταχύτητας είναι 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

124 πλήρως ανεπτυγμένο. Εξετάστηκαν αρκετές θέσεις στον αγωγό και βρέθηκε ότι το προφίλ της ταχύτητας γίνεται πλήρως ανεπτυγμένο μετά την θέση x = 4 m. Επομένως το μήκος εισόδου για πλήρη ανάπτυξη της ροής στο κανάλι προκύπτει ίσο με 4 m. Σχήμα 7.3 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στο μέσο του αγωγού (Ζ = 0.138m), σε απλό κανάλι χωρίς εμπόδια Στα Σχ. 7.4 έως 7.6 παρουσιάζονται τα προφίλ της διαμήκους ταχύτητας κατά την εγκάρσια διεύθυνση σε τρεις θέσεις κατά την κατακόρυφο (y = 0.01 m, y = 0.02 m, y = m). 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

125 Σχήμα 7.4 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας κατά την εγκάρσια έννοια σε βάθος ροής y = 0.01 m Σχήμα 7.5 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας κατά την εγκάρσια έννοια σε βάθος ροής y = 0.02 m 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

126 Σχήμα 7.6 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας κατά την εγκάρσια έννοια σε βάθος ροής y = m Παρατηρείται ότι η κατανομή της ταχύτητας ακολουθεί μια παραβολική κατανομή. Πλησίον των τοιχωμάτων μηδενίζεται λόγω της συνθήκης μη ολίσθησης και στο μέσον του πλάτους αποκτά τη μέγιστη τιμή της. 7.2 ΚΑΝΑΛΙ ΜΕ ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΑΧΥΤΗΤΑΣ Εν συνεχεία ακολουθούν τα διαγράμματα από τα αποτελέσματα των αριθμητικών προσομοιώσεων του καναλιού με τα κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας με χρήση του μοντέλου τύρβης k-ω. Η τυρβώδης ροή σε ανοικτό αγωγό υπό την παρουσία κατακόρυφων πλευρικών στοιχείων τραχύτητας χαρακτηρίζεται από κυματισμούς και στροβιλισμούς που δημιουργούνται όταν η ροή συναντά τα στοιχεία αυτά. Αυτή η περιοχή με τα εμπόδια είναι μήκους 8,6 m ενώ κατάντη αυτής υπάρχει μια περιοχή 2 m με το ευρύτερο πλάτος, m. Η ροή εισέρχεται στον αγωγό πλάτους m και μετά από λίγο συναντά το πρώτο εμπόδιο. Καθώς το πλάτος του αγωγού μικραίνει, η ταχύτητα αυξάνει και υπάρχει μια υπερύψωση της ελεύθερης επιφάνειας. Στη συνέχεια η ροή προσπερνά το εμπόδιο και έτσι καθώς μειώνεται το πλάτος του αγωγού, μειώνεται η ταχύτητα και υπάρχει μια πτώση της ελεύθερης επιφάνειας. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

127 Επομένως η συνεχόμενη αυξομείωση του πλάτους του αγωγού λόγω των κατακόρυφων στοιχείων τραχύτητας είναι η δημιουργός αιτία των κυματισμών. Ακόμη κατάντη των εμποδίων παρατηρούνται στρόβιλοι με αποτέλεσμα η ταχύτητα να αποκτά αρνητικές τιμές. Οι στροβιλισμοί αυτοί της ροής γίνονται εμφανή από τα σχήματα απεικόνισης της διατμητικής τάσης και διαμήκους ταχύτητας που ακολουθούν. Αρχικά, παρατίθενται εικόνες που παρουσιάζουν τη μορφή της ελεύθερης επιφάνειας της ροής, τόσο σε ολόκληρο τον όγκο του αγωγού όσο και σε επιλεγμένες τομές. Στο Σχήμα 7.7 παρουσιάζεται προοπτικά η αναλογία των δύο φάσεων της ροής στον όγκο του αγωγού, που ουσιαστικά ταυτίζεται με τη μορφή της ελεύθερης επιφάνειας της ροής, αφού η περιοχή που εμφανίζεται με κόκκινο χρώμα αποτελεί την περιοχή ροής του νερού σε αντίθεση με αυτή της ροής του αέρα που αντιστοιχεί στην περιοχή μπλε χρώματος. Παρατηρούμε ότι στην περιοχή των εμποδίων του αγωγού υπάρχει ένας παφλασμός που δημιουργείται όταν η ροή συναντά τα κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. Στα ανάντη βλέπουμε ότι υπάρχει μια ανύψωση της στάθμης του νερού. Αυτό είναι κάτι που περιμέναμε γιατί η ροή ξεκινάει από τα m, ύψος το οποίο έχει υπολογιστεί θεωρώντας πλάτος αγωγού m (βλ. Κεφάλαιο 4). Τώρα όμως που συναντά το πρώτο εμπόδιο και το πλάτος του αγωγού μικραίνει είναι λογικό να δημιουργείται μια υπερύψωση της ελεύθερης επιφάνειας μέχρι τα 0.11 m. Στη συνέχεια, η στάθμη της επιφάνειας ροής εμφανίζει σταδιακή πτώση έως το επίπεδο περίπου του 0.06 m, μέχρι το τέλος των εμποδίων. Κατάντη αυτών, φαίνεται ότι μετά την αναμενόμενη αρχική πτώση της στάθμης του νερού, η ροή, η οποία είναι και εδώ υπερκρίσιμη, κατέρχεται σε σχετικά σύντομο διάστημα (περίπου 1 m) στο επίπεδο του ομοιόμορφου βάθους του αγωγού χωρίς την ύπαρξη εμποδίων, που για το συγκεκριμένο τμήμα του αγωγού είναι περίπου m και σταθεροποιείται στο επίπεδο αυτό. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

128 Σχήμα 7.7 Προοπτική όψη πεδίου ροής με τις δύο φάσεις του ρευστού Η μορφή της ελεύθερης επιφάνειας της ροής γίνεται εμφανέστερη στις εικόνες που παρουσιάζουν την πλάγια όψη του αγωγού και διαμήκεις τομές (κατά τη διεύθυνση του x-άξονα) σε διάφορα επίπεδα. Στο Σχ. 7.8 παρουσιάζεται το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας στον άξονα του αγωγού και στα Σχ. 7.9 και 7.10 η μορφή της σε δύο διαμήκεις τομές. Στην πρώτη περίπτωση η τομή διέρχεται από τη μία παρειά των εμποδίων ενώ στη δεύτερη, η τομή διέρχεται από την απέναντι παρειά. Αμέσως μόλις η ροή εισέρχεται στον αγωγό, η τιμή του βάθους ροής ανεβαίνει στα 0.11 m περίπου και κατέρχεται σταδιακά στο επίπεδο των 0.06 m σε διάστημα προσεγγιστικά 2 m. Στις παρειές των εμποδίων, η τομή βρίσκεται πολύ κοντά στο τοίχωμα του αγωγού (συγκεκριμένα σε απόσταση 3 cm από αυτό). Εδώ φαίνεται ότι η παρουσία του τοιχώματος σε τόσο μικρή απόσταση επηρεάζει τη μορφή της ροής σε σχετικά σημαντικό βαθμό σε αντίθεση με ότι συμβαίνει κοντά στο μέσο του αγωγού, όπου η ροή παρουσιάζει πιο ομαλή μορφή. Πιο συγκεκριμένα, παρατηρείται μεγαλύτερη μείωση του βάθους ροής μετά το πέρας της περιοχής των εμποδίων στο επίπεδο του ομοιόμορφου βάθους, το οποίο φτάνει στα m, πιο απότομα σε σχέση με ότι συμβαίνει στο μέσο του πλάτους του αγωγού. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

129 Σχήμα 7.8 Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος του μέσου του αγωγού, Ζ = m Σχήμα 7.9 Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος της παρειάς των εμποδίων, Ζ = 0.03 m 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

130 Σχήμα 7.10 Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος της παρειάς των εμποδίων, Ζ = m Η μη-αναμενόμενη, μικρή άνοδος της στάθμης της ελεύθερης επιφάνειας που παρατηρείται κοντά στην επιφάνεια εξόδου της ροής δεν είναι υδραυλικό άλμα αλλά εικάζουμε ότι οφείλεται τόσο στις οριακές συνθήκες που χρησιμοποιήθηκαν όσο και στην προσέγγιση της αριθμητικής επίλυσης. Στο Σχ. 7.11, φαίνεται η διαμόρφωση της ελεύθερης επιφάνειας του νερού στο κανάλι με τα κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. Στο παρακάτω σχήμα το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας συγκρίνεται με πειραματικές μετρήσεις από την εργασία των Α.Κ. Δημητρακόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς και Π.Χρ. Γιαννόπουλος (2007). Η συμφωνία μεταξύ αριθμητικών προβλέψεων και πειραματικών δεδομένων είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική. Η μορφή της ελεύθερης επιφάνειας από την αριθμητική ανάλυση προσεγγίζεται αρκετά ικανοποιητικά με βάση τα στοιχεία που έχουμε από τις πειραματικές μετρήσεις. Στον κατακόρυφο άξονα του διαγράμματος θα μπορούσε να δοθεί κλίμακα με μεγαλύτερη ανάλυση, για να φαίνονται πιο έντονες οι διακυμάνσεις της ελεύθερης επιφάνειας. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

131 Σχήμα 7.11 Σύγκριση του προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος του άξονα του αγωγού με πειραματικές μετρήσεις από την εργασία των Α.Κ. Δημητρακόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς και Π.Χρ. Γιαννόπουλος (2007) Στο Σχ φαίνεται η κάτοψη του ανάντη μέρους του αγωγού με τα κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. Παρακάτω παρουσιάζεται η μορφή της ελεύθερης επιφάνειας σε ενδεικτικές θέσεις. Χωρίζουμε λοιπόν τον αγωγό σε διατομές οι οποίες είτε βρίσκονται στη μέση των εμποδίων (1, 2, 3,..., 9) είτε στη μέση του ευρύτερου πλάτους (Α, Β, Γ,, Θ). Προσπαθήσαμε να τις διαχωρίσουμε με σταθερή περίπου απόσταση από τη μία διατομή στην άλλη, περίπου 1 m. Σχήμα 7.12 Κάτοψη του αγωγού και ορισμός διατομών σε ενδεικτικές θέσεις 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

132 Εν συνεχεία, στα Σχ έως 7.31 παρουσιάζεται η μεταβολή της μορφής της ελεύθερης επιφάνειας ροής σε διάφορες διατομές του αγωγού (κατά τη διεύθυνση Ζ δηλαδή) σταθερής περίπου απόστασης μεταξύ τους, στη μέση των εμποδίων (διατομές 1,2,3,,9) και στη μέση του ευρύτερου πλάτους (Α, Β, Γ,, Θ). Γίνεται φανερό ότι σε όλη την περιοχή των πλευρικών εμποδίων, το βάθος ροής μεταβάλλεται και κατά πλάτος του αγωγού. Για παράδειγμα, στη θέση x = 1.0 m (διατομή 2) το βάθος ροής στο μέσο του πλάτους του αγωγού είναι 0.07 m ενώ στις παρειές των εμποδίων, πλησίον τοιχώματος, περίπου 0.09 m. Το αντίθετο συμβαίνει στη διατομή στη θέση x = 4.6 m (διατομή Ε) όπου το βάθος ροής είναι μικρότερο κοντά στα τοιχώματα του αγωγού από ότι στο μέσο του. Σχήμα 7.13 Διατομές ανά περίπου 1m στην περιοχή με τα κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

133 Σχήμα 7.14 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή 1) Σχήμα 7.15 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Α) Σχήμα 7.16 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή 2) Σχήμα 7.17 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Β) Σχήμα 7.18 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m (διατομή 3) Σχήμα 7.19 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Γ) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

134 Σχήμα 7.20 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = (διατομή 4) Σχήμα 7.21 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Δ) Σχήμα 7.22 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή 5) Σχήμα 7.23 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Ε) Σχήμα 7.24 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m (διατομή 6) Σχήμα 7.25 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m (διατομή ΣΤ) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

135 Σχήμα 7.26 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή 7) Σχήμα 7.27 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Ζ) Σχήμα 7.28 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή 8) Σχήμα 7.29 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή Η) Σχήμα 7.30 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = m. (διατομή 9) Σχήμα 7.31 Κατανομή της πυκνότητας σε εγκάρσια τομή στη θέση X = 10.4 m. (διατομή Θ). 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

136 Στα Σχ έως 7.34 παρουσιάζεται το πεδίο ταχυτήτων για Y = 0.01 m, Y = 0.02 m και Y = m για το μοντέλο τύρβης k ω, όπου διακρίνεται η διακύμανση των ταχυτήτων κατά την εγκάρσια διεύθυνση. Οι μέγιστες τιμές παρατηρούνται στην περιοχή πλησίον της εξόδου εκεί οπού η ροή δε συναντά τα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας, ενώ οι μικρότερες αρνητικές τιμές συναντώνται ανάμεσα στα εμπόδια όπου σχηματίζεται ο θύλακας ανακυκλοφορίας της ροής. Σχήμα 7.32 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = 0.01 m Σχήμα 7.33 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = 0.02 m Σχήμα 7.34 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

137 Στα Σχ έως Σχ. 7.40, δίνονται οι τυπικές εγκάρσιες κατανομές της διαμήκους ταχύτητας σε διαφορετικές διατομές (θέσεις) που εξετάσθηκαν με τη χρήση του μοντέλου τύρβης k ω. Επιλέχθηκαν οι διατομές 1, 2, 8, 9 οι οποίες βρίσκονται στη μέση των εμποδίων και οι διατομές Α, Β, Ζ, Η που είναι στη μέση του ευρύτερου πλάτους (βλ. Σχ. 7.12). Οι διατομές (8, 9 και Ζ, Η) επιλέγονται έτσι ώστε να έχει αναπτυχθεί πλήρως το πεδίο ροής στην περιοχή των κατακόρυφων πλευρικών στοιχείων τραχύτητας. Σχήμα 7.35 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = 0.01 m 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

138 Σχήμα 7.36 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = 0.01 m Σχήμα 7.37 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = 0.02 m 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

139 Σχήμα 7.38 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = 0.02 m Σχήμα 7.39 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

140 Σχήμα 7.40 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Παρατηρείται ότι η κατανομή της ταχύτητας ακολουθεί μια παραβολική κατανομή. Πλησίον των τοιχωμάτων μηδενίζεται λόγω της συνθήκης μη ολίσθησης και στο μέσον του πλάτους αποκτά τη μέγιστη τιμή της σε συμφωνία με τον λογαριθμικό νόμο της ταχύτητας. Στα Σχ έως 7.43 παρουσιάζεται το πεδίο ταχυτήτων για τον άξονα του αγωγού, στην παρειά των εμποδίων και στη μέση της παρειάς των εμποδίων και του τοιχώματος με χρήση του μοντέλου τύρβης k ω. Διακρίνεται η διακύμανση των ταχυτήτων κατά την κατακόρυφη διεύθυνση. Οι μέγιστες τιμές παρατηρούνται στον άξονα του αγωγού και στην περιοχή πλησίον της εξόδου εκεί οπού η ροή δε συναντά τα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

141 Σχήμα 7.41 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στον άξονα του αγωγού, Z = m Σχήμα 7.42 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στην παρειά των στοιχείων τραχύτητας, Z = 0.03 m Σχήμα 7.43 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στη μέση της παρειάς των στοιχείων τραχύτητας και του τοιχώματος του αγωγού, Z = m Στα Σχ έως Σχ. 7.47, δίνονται οι τυπικές κατακόρυφες κατανομές της διαμήκους ταχύτητας σε διαφορετικές διατομές (θέσεις) που εξετάσθηκαν με τη χρήση του μοντέλου τύρβης k ω. Επιλέχθηκαν οι διατομές 1, 2, 8, 9 οι οποίες 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

142 βρίσκονται στη μέση των εμποδίων και οι διατομές Α, Β, Ζ, Η που είναι στη μέση του ευρύτερου πλάτους (βλ. Σχ. 7.12). Οι διατομές (8, 9 και Ζ, Η) επιλέγονται έτσι ώστε να έχει αναπτυχθεί πλήρως το πεδίο ροής στην περιοχή των κατακόρυφων πλευρικών στοιχείων τραχύτητας. Σχήμα 7.44 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στον άξονα του αγωγού, Z = m Σχήμα 7.45 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στον άξονα του αγωγού, Z = m 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

143 Σχήμα 7.46 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στην παρειά των στοιχείων τραχύτητας, Z = 0.03 m Σχήμα 7.47 Κατανομή της διαμήκους ταχύτητας ως προς το βάθος στη μέση της παρειάς των στοιχείων τραχύτητας και του τοιχώματος του αγωγού, Z = m 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

144 Στα Σχ έως Σχ γίνεται σύγκριση του προφίλ της διαμήκους ταχύτητας στον πυθμένα κατά μήκος του άξονα του αγωγού με πειραματικές μετρήσεις από την εργασία των Α.Κ. Δημητρακόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς και Π.Χρ. Γιαννόπουλος (2007). Οι πειραματικές μετρήσεις έγιναν κοντά στον πυθμένα. Επειδή είναι δύσκολο να γνωρίζουμε ακριβώς πόσο κοντά στον πυθμένα, τα παρακάτω διαγράμματα έγιναν σε βάθος y = 1 mm και y = 2 mm που πιστεύουμε ότι είναι αρκετά κοντά στον πυθμένα αλλά και στην πραγματικότητα. Η συμφωνία μεταξύ αριθμητικών προβλέψεων και πειραματικών δεδομένων είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική. Και στα δύο διαγράμματα, η μορφή του προφίλ της ταχύτητας από την αριθμητική ανάλυση προσεγγίζεται αρκετά ικανοποιητικά με βάση τα στοιχεία που έχουμε από τις πειραματικές μετρήσεις. Σχήμα 7.48 Σύγκριση του προφίλ της διαμήκους ταχύτητας κοντά στον πυθμένα (y = 1 mm) κατά μήκος του άξονα του αγωγού με πειραματικές μετρήσεις από την εργασία των Α.Κ. Δημητρακόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς και Π.Χρ. Γιαννόπουλος (2007) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

145 Σχήμα 7.49 Σύγκριση του προφίλ της διαμήκους ταχύτητας κοντά στον πυθμένα (y = 2 mm) κατά μήκος του άξονα του αγωγού με πειραματικές μετρήσεις από την εργασία των Α.Κ. Δημητρακόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς και Π.Χρ. Γιαννόπουλος (2007) Σειρά έχει η παρουσίαση του πεδίου ταχυτήτων με τη μορφή βελών για y = m, για το μοντέλο τύρβης k ω. Στα Σχ έως 7.55 διακρίνεται η μεταβολή κατά το βάθος της ζώνης ανακυκλοφορίας της ροής και η διακύμανση των ταχυτήτων κατά την εγκάρσια διεύθυνση. Οι μέγιστες τιμές παρατηρούνται στον άξονα του αγωγού, ενώ οι μικρότερες αρνητικές τιμές συναντώνται ανάμεσα στα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. Κοντά στα τοιχώματα του αγωγού οι τιμές της ταχύτητας είναι μειωμένες σε σχέση με την ταχύτητα εισροής. Η ταχύτητες δε κυμαίνονται από -0.9 έως 3 m/s. Στο άξονα του αγωγού η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, με τιμές που φτάνουν τα 3 m/s περίπου. Στα Σχ, 7.54 και 7.55 γίνεται εστίαση σε ένα κομμάτι του αγωγού που περιέχει τα κατακόρυφα στοιχεία τραχύτητας για να φανεί καλύτερα η δημιουργία στροβίλων ανάμεσα στα στοιχεία αυτά. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

146 Σχήμα 7.50 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Σχήμα 7.51 Εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Σχήμα 7.52 Εστίαση στην εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

147 Σχήμα 7.53 Εστίαση στην εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

148 Σχήμα 7.54 Εστίαση στην εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m Σχήμα 7.55 Εστίαση στην εγκάρσια κατανομή της διαμήκους ταχύτητας σε βάθος Y = m 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

149 Στα Σχ και 7.58 δίνονται οι γραμμές ροής που διαμορφώνονται ανάμεσα στα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. Είναι εμφανής ο θύλακας ανακυκλοφορίας που δημιουργείται. Για να δημιουργήσουμε τις γραμμές ροής στον αγωγό (streamlines) επιλέγουμε το εικονίδιο που βρίσκεται στην γραμμή εργαλείων. Επιλέγουμε σε ποίον χώρο θέλουμε τις γραμμές ροής (domain fluid_water), από ποιά επιφάνεια να ξεκινάει (Start from flow inlet 1), πόσο πυκνές να είναι οι γραμμές (of Points ) και τέλος την μεταβλητή που θα εμφανίζεται η οποία είναι η ταχύτητα (Variable Velocity) (Σχ. 7.56). Tα αποτελέσματα φαίνονται στα Σχ και Σχήμα 7.56 Δημιουργία γραμμών ροής 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

150 Σχήμα 7.57 Τρισδιάστατη απεικόνιση των γραμμών ροής σε ένα από τα εμπόδια Σχήμα 7.58 Τρισδιάστατη απεικόνιση των γραμμών ροής σε ένα από τα εμπόδια Στα Σχ και 7.61 δίνεται σε αξονομετρική προβολή η κατανομή των διατμητικών τάσεων (πυθμένα και τοιχωμάτων) με χρήση του μοντέλου k ω. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

151 Σχήμα 7.59 Τρισδιάστατη απεικόνιση της κατανομής των διατμητικών τάσεων στα τοιχώματα και στον πυθμένα του καναλιού Σχήμα 7.60 Τρισδιάστατη απεικόνιση της κατανομής των διατμητικών τάσεων στον πυθμένα του καναλιού 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

152 Οι αρνητικές τιμές της διατμητικής τάσης στη χρωματική κλίμακα υποδηλώνουν την κατεύθυνση της ροής, δεδομένου ότι τα αποτελέσματα δίδονται για τις διατμητικές τάσεις που ασκεί το τοίχωμα στη ροή ενώ η θετική προσήμανση λαμβάνεται για διατμητικές τάσεις που ασκεί η ρoή στο τοίχωμα. Στα Σχ έως 7.63 παρουσιάζεται με τη μορφή ισοϋψών η μεταβολή του τυρβώδους ιξώδους σε οριζόντιες τομές σε διάφορές θέσεις ως προς το βάθος (Y = 0.01 m, Y = 0.02 m, Y = m) με τη χρήση του μοντέλου k ω. Σχήμα 7.61 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους Kg m 1 s 1 σε βάθος Y = 0.01 m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.62 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους Kg m 1 s 1 σε βάθος Y = 0.02 m με χρήση του μοντέλου k-ω 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

153 Σχήμα 7.63 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους Kg m 1 s 1 σε βάθος Y = m με χρήση του μοντέλου k-ω Διαπιστώνεται ότι η σημαντική αύξηση της έντασης της τύρβης αρχίζει να παρατηρείται αμέσως μετά τη θέση x = 2.5 m, ενώ η μέγιστη τιμή του τυρβώδους ιξώδους παρατηρείται κοντά στη θέση x = 8.6 m που βρίσκεται κατάντη της περιοχής με τα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. Επίσης με την αύξηση του βάθους η μέγιστη τιμή του τυρβώδους ιξώδους αυξάνει. Στα Σχ έως Σχ. 7.69, δίνονται οι τυπικές εγκάρσιες κατανομές του τυρβώδους ιξώδους σε διαφορετικές διατομές (θέσεις) που εξετάσθηκαν με τη χρήση του μοντέλου τύρβης k ω. Επιλέχθηκαν οι διατομές 1, 2, 8, 9 οι οποίες βρίσκονται στη μέση των εμποδίων και οι διατομές Α, Β, Ζ, Η που είναι στη μέση του ευρύτερου πλάτους (βλ. Σχ. 7.12). Οι διατομές (8, 9 και Ζ, Η) επιλέγονται έτσι ώστε να έχει αναπτυχθεί πλήρως το πεδίο ροής στην περιοχή των κατακόρυφων πλευρικών στοιχείων τραχύτητας. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

154 Σχήμα 7.64 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους σε βάθος Y = 0.01 m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.65 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους σε βάθος Y = 0.01 m με χρήση του μοντέλου k-ω 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

155 Σχήμα 7.66 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους σε βάθος Y = 0.02 m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.67 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους σε βάθος Y = 0.02 m με χρήση του μοντέλου k-ω 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

156 Σχήμα 7.68 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους σε βάθος Y = m Σχήμα 7.69 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους σε βάθος Y = m. Στα Σχ έως Σχ. 7.73, δίνονται οι τυπικές κατακόρυφες κατανομές του τυρβώδους ιξώδους σε διαφορετικές διατομές (θέσεις) που εξετάσθηκαν με τη χρήση του μοντέλου τύρβης k ω. Επιλέχθηκαν οι διατομές 1, 2, 8, 9 οι οποίες βρίσκονται στη μέση των εμποδίων και οι διατομές Α, Β, Ζ, Η που είναι στη μέση του ευρύτερου 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

157 πλάτους (βλ. Σχ. 7.12). Οι διατομές (8, 9 και Ζ, Η) επιλέγονται έτσι ώστε να έχει αναπτυχθεί πλήρως το πεδίο ροής στην περιοχή των κατακόρυφων πλευρικών στοιχείων τραχύτητας. Σχήμα 7.70 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους στον άξονα του αγωγού, Ζ = m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.71 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους στον άξονα του αγωγού, Ζ = m με χρήση του μοντέλου k-ω 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

158 Σχήμα 7.72 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους στην παρειά των εμποδίων, Ζ = 0.03 m με χρήση του μοντέλου k-ω Σχήμα 7.73 Εγκάρσια κατανομή του τυρβώδους ιξώδους στη μέση της παρειάς των εμποδίων και το τοίχωμα του αγωγού, Ζ = m με χρήση του μοντέλου k-ω 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

159 8. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Στην παρούσα διατριβή μελετήθηκε το πρόβλημα της ροής μέσα σε τρισδιάστατο κανάλι, στα τοιχώματα του οποίου υπήρχαν κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. Εξετάστηκε αγωγός οριζόντιας κλίσης πυθμένα με το διάνυσμα της επιτάχυνσης της βαρύτητας κεκλιμένο, κανονικού βάθους ροής d = 0,098 m, πλάτους y = 0,276 m και μήκους x = 10,6 m. Όσον αφορά τη γεωμετρία των στοιχείων τραχύτητας, είναι τραπεζοειδούς διατομής με μεγάλη πλευρά = 0,095 m και μικρή πλευρά = 0,0325 m, πλάτος 0,03 m και ύψος 0,15 m. Στην αρχή εξετάσαμε τον αγωγό χωρίς τα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας και τα αποτελέσματα που προέκυψαν ήρθαν σε συμφωνία με τα αποτελέσματα που βρήκαμε μέσω της μονοδιάστατης ανάλυσης. Στη συνέχεια εξετάσαμε τον αγωγό με τα κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. Στην περίπτωση αυτή όμως δεν υπήρχε η δυνατότητα να επαληθεύσουμε τα αποτελέσματα μέσω της μονοδιάστατης ανάλυσης, λόγω της σύνθετης γεωμετρίας του αγωγού. Εκμεταλλευτήκαμε όμως τα πειραματικά δεδομένα που είχαμε στη διάθεσή μας, τα οποία επαλήθευσαν σε ικανοποιητικό βαθμό τα αποτελέσματα της υπολογιστικής επίλυσης. Μελετήθηκαν το πεδίο των ταχυτήτων και της τύρβης σε οριζόντιες τομές σε διάφορα ύψη του βάθους ροής, καθώς επίσης η διαμόρφωση της ελεύθερης επιφάνειας του νερού, η κατανομή της διατμητικής τάσης στον πυθμένα και στα τοιχώματα του καναλιού με έμφαση την περιοχή των πλευρικών στοιχείων τραχύτητας καθώς και οι γραμμές ροής στην περιοχή ανάμεσα των στοιχείων αυτών. Τα σημαντικότερα συμπεράσματα τα οποία προέκυψαν από την ανάλυση αυτή συνοψίζονται παρακάτω. Η μελέτη της διαμόρφωσης της ελεύθερης επιφάνειας δείχνει ότι δημιουργούνται κυματισμοί στην περιοχή όπου υπάρχουν τα κατακόρυφα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας. Οι κυματισμοί αυτοί οφείλονται στην συνεχόμενη αυξομείωση του πλάτους του αγωγού λόγω των εμποδίων. Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας στον άξονα του αγωγού έρχεται σε συμφωνία με τις πειραματικές τιμές που δίνονται στην εργασία των Α.Κ. Δημητρακόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς και Π.Χρ. Γιαννόπουλος (2007). Δηλαδή στην περιοχή των στοιχείων τραχύητας, το βάθος ροής 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

160 κατέρχεται σταδιακά από το κρίσιμο βάθος στο επίπεδο των 0.06 m, το οποίο ταυτίζεται με αυτά που δείχνουν τα πειραματικά δεδομένα. Η μορφή της ελεύθερης επιφάνειας της ροής παρουσιάζει σημαντικές μεταβολές όχι μόνο κατά μήκος αλλά και κατά πλάτος του αγωγού, η οποία προκαλείται εξαιτίας της ύπαρξης των πλευρικών στοιχείων τραχύτητας. Η αυξομείωση του πλάτους του αγωγού δημιουργεί κυματισμούς με αποτέλεσμα την εγκάρσια μεταβολή του βάθους ροής. Στην κατάντη περιοχή του αγωγού, όπου δεν υπάρχουν εμπόδια, το βάθος ροής κατέρχεται σταδιακά μέχρι να φθάσει το επίπεδο του βάθους των m, ομαλοποιείται έτσι και η κατά πλάτος μορφή της. Από την κατανομή της ταχύτητας σε διάφορες οριζόντιες τομές φαίνεται ότι η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη στον άξονα του αγωγού. Επίσης είναι εμφανείς οι αρνητικές τιμές που αποκτά η ταχύτητα στην περιοχή ανακυκλοφορίας της ροής ανάμεσα στα στοιχεία τραχύτητας και τη δημιουργία στροβίλων. Ακόμα σύγκριση των προφίλ της ταχύτητας σε διάφορες τιμές του βάθους y δείχνει ότι η ροή έχει μια κατανομή ταχύτητας πλησίον του πυθμένα η οποία αυξάνει και γίνεται εντονότερη όσο πλησιάζουμε προς την ελεύθερη επιφάνεια. Η κατανομή της ταχύτητας κοντά στον πυθμένα έρχεται σε συμφωνία με τις πειραματικές τιμές που δίνονται στην εργασία των Α.Κ. Δημητρακόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς και Π.Χρ. Γιαννόπουλος (2007). Η ταχύτητα ροής κατά μήκος του αγωγού παρουσιάζει σημαντικά μεγαλύτερες τιμές στον άξονα του αγωγού σε σχέση με την περιοχή πλησίον των τοιχωμάτων, η παρουσία των οποίων την επιβραδύνει αισθητά. Όσον αφορά τις γραμμές ροής είναι εμφανής η συμφωνία με τις κατανομές των ταχυτήτων. Πιο συγκεκριμένα ανάμεσα στα πλευρικά στοιχεία τραχύτητας σχηματίζονται στρόβιλοι ανακυκλοφορίας. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

161 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ελληνική [1] Βαχαβιώλος - Καπράνος Π. Θεοφάνης - Άρης (2013), "Αριθμητική Προσομοίωση Τυρβώδους Ροής σε Συναρμογή Μετάβασης από Μονό σε Διπλό Ανοιχτό Αγωγό", Διπλωματική Εργασία, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, Πάτρα. [2] Γαλάνη Α. Κωνσταντίνα (2009), "Τρισδιάστατη Αριθμητική Προσομοίωση Τυρβώδους Ροής σε Ανοιχτό Αγωγό στον Πυθμένα του οποίου Ενυπάρχει Συστοιχία Θινών", Διατριβή Διπλώματος Ειδίκευσης, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, Πάτρα. [3] Δημητρακόπουλος Κ. Αλέξ., Χατζηθεοδώρου Χρ. (2009), "Στοιχεία Υδραυλικής", Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, Πάτρα. [4] Δημητρακόπουλος Κ. Αλέξ. (2006), "Περιβαλλοντική Υδραυλική, Πανεπιστημιακές παραδόσεις", Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, Πάτρα. [5] Α.Κ. Δημητρακόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς και Π.Χρ. Γιαννόπουλος, "Εργαστηριακή Διερεύνηση Αποτελεσματικότητας Διατάξεων Καταστροφής Ενέργειας στην Λειτουργία Ανοιχτού Αγωγού με Έντονη Κλίση Πυθμένα". [6] Κουτρουβέλη Θ.Ι., (2012), "Τρισδιάστατη Αριθμητική Προσομοίωση Τυρβώδους Ροής σε Ανοικτό Αγωγό με Εγκάρσιους Προβόλους", Διατριβή Διπλώματος Ειδίκευσης, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, Πάτρα. [7] Κωστίδου Ελένη, "Πειραματική διερεύνηση ροής σε ανοιχτό αγωγό με μεγάλα στοιχέια τραχύτητας", Διπλωματική Εργασία, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα. [8] Μουρούλη Δ. Αικατερίνη (2014), "Αριθμητική Προσομοίωση Ροής Ανέμου Γύρω από Κυβικό Εμπόδιο με Μη Δομημένο Πλέγμα", Διπλωματική Εργασία, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, Πάτρα 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

162 [9] Νουτσόπουλος Γ., Χριστοδούλου Γ. και Παπαθανασιάδης Τ. (2007) "Υδραυλική Ανοιχτών Αγωγών", Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα. [10] Ντζανής Σ. Ευστάθιος (2012), "Αριθμητική Προσομοίωση Τυρβώδους Ροής σε Δεξαμενή Άντλησης Θαλάσσιου Ύδατος Ψύξης", Διατριβή Διπλώματος Ειδίκευσης, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, Πάτρα [11] Δ.Α. Σωτηρόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς, Π.Χ. Γιαννόπουλος, Ν.Θ. Φουρνιώτης, και Α.Κ. Δημητρακόπουλος, "Πειραματική Μελέτη Αποτελεσματικότητας Διατάξεων Καταστροφής Ενέργειας σε Ανοιχτό Αγωγό Απότομης Κλίσης". [12] Δ.Α. Σωτηρόπουλος, Α.Α. Δήμας, Γ.Μ. Χορς, Π.Χ. Γιαννόπουλος, Ν.Θ. Φουρνιώτης, και Α.Κ. Δημητρακόπουλος, "Εργαστηριακή Μελέτη Αποτελεσματικότητας Διατάξεων Μείωσης Ταχύτητας Ροής σε Ανοιχτό Αγωγό με Έντονη Κλίση Πυθμένα", 1 ο Πανελλήνιο συνέδριο Φραγμάτων, ΤΕΕ, ΤΕΕ-Τμ. ΚΔΘ, Νοεμβρίου, 2008, Λάρισα. [13] Φουρνιώτης Θ. Νικόλαος (2005), "Αριθμητική Προσομοίωση Τυρβώδους Ροής σε Ανοιχτούς Αγωγούς με Συστοιχία Θινών στον Πυθμένα", Διατριβή Διπλώματος Ειδίκευσης, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, Πάτρα. Ξενόγλωσση Βιβλιογραφία [1] ANSYS FLUENT Theory Guide, [2] ANSYS FLUENT User s Guide, [3] Christodoulou, G. C. (2014), "Equivalent Roughness of Submerged Obstacles in Open-Channel Flows", Journal of Hydraulic Engineering, 140(2), pp [4] Chow, V.T., 1959, "Open Channel Hydraulics", McGraw-Hill Book Company, NY. [5] Evangelia D. Farsirotou, Athanasios J. Klonidis, and Johannes V. Soulis "Threedimensional numerical simulation of supercritical flow in expansion channel", 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

163 Proceedings of the 2013 International Conference on Applied Mathematics and Computational Methods in Engineering, pp [6] Introduction to Using ANSYS FLUENT in ANSYS Workbench: Fluid Flow and Heat Transfer in a Mixing Elbow. [7] Anastasios I. Stamou, Demetrios G. Chapsas & George C. Christodoulou (2008), "3-D numerical modeling of supercritical flow in gradual expansions", Journal of Hydraulic Research, 46:3, Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

164 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A - Πρόγραμμα FORTRAN για τον προσδιορισμό κρίσιμου και κανονικού βάθους, καθώς και του προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας S2 Program s2_s3profiles! Implicit None Real bw,n,s0,yc,yn,qq,f,q Real dx,xold,xnew,yold,ynew,yinit Integer iflag character*12 fname! write(*,*) 'iflag=1 compute only yc and yn' write(*,*) 'iflag nonequal to 1 compute surface profile also' write(*,*) 'type iflag' read(*,*) iflag write(*,*) 'output filename' read(*,'(a)') fname! open(6,file=fname,status='new')! write(*,*)'type Q,bw,n,S0,dx' read(*,*) Q,bw,n,S0,dx write(6,*) 'Q=',Q,' m3/s' write(6,*) 'b=',bw,' m' write(6,*) 'Manning n=',n write(6,*) 'S0=',S0 write(6,*) 'dx=',dx,' m' write(6,*) ' '!! compute critical depth! 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

165 yc=(q*q/(9.81*bw*bw))** write(*,*) 'y critical is=',yc write(6,*) 'yc=',yc,' m'!! compute normal depth! write(*,*)"dwse mia proseggistikh timh gia to kanoniko vathos yn" read(*,*) yn Do While (ABS(QQ(yn,bw,n,S0)-Q)>0.0001) yn=yn-(qq(yn,bw,n,s0)-q)/(qq(yn,bw,n,s0)*f(yn,bw)) End Do write(*,*) 'y normal is=',yn write(6,*) 'yn=',yn,' m' write(6,*) ' '! if(iflag.eq.1) goto 100! if (yn<yc) then write(*,*)"bottom slope is Steep"! compute S2 or S3 profile write(*,*)'type yinit' read(*,*) yinit! xold=0 yold=yinit! write(6,*) ' x (m) y (m)' write(6,*) xold,yold 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

166 ! 5 Call profil(bw,s0,yold,n,q,dx,ynew)! xnew=xold+dx write(6,*) xnew,ynew xold=xnew yold=ynew!! if(yold>1.01*yn.or.yold<0.99*yn) goto 5 else write(*,*)'bottom slope is Mild'! compute M3 profile write(*,*)'type yinit' read(*,*) yinit! xold=0 yold=yinit! write(6,*) ' x (m) y (m)' write(6,*) xold,yold! 10 Call profil(bw,s0,yold,n,q,dx,ynew)! xnew=xold+dx write(6,*) xnew,ynew xold=xnew yold=ynew! 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

167 if(yold<0.99*yc) goto 10 Endif 100 stop End Function QQ (yi,bw,n,s) Real*4 yi,bw,n,s QQ=1/n* bw*yi*(bw*yi/(bw+2*yi))**( ) * SQRT(S) End Function F (yi,bw) Real*4 yi,bw F=(5.0*bw+6.0*yi)/(3.0*yi*(bw+2.0*yi)) End Subroutine profil(b0,s0,yold,mn,q,dx,ynew) Implicit None Real b0,s0,yold,mn,q,y,q2,qn2,a,p,r,sf1,dy1,y2,sf2,dy2,dx,ynew!! compute profile with improved Euler! y=yold q2=q*q qn2=(mn*q)**2 a=y*b0 p=b0+2*y r=a/p sf1=qn2/(a*a*r**1.3333) dy1=(s0-sf1)/(1-(b0*q2)/(9.81*a**3)) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

168 End y2=y+dy1*dx a=y2*b0 p=b0+2*y2 r=a/p sf2=qn2/(a*a*r**1.333) dy2=(s0-sf2)/(1-(b0*q2)/(9.81*a**3)) ynew=y+0.5*(dy1+dy2)*dx 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

169 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Διαγράμματα ελεύθερης επιφάνειας και ταχύτητας για την πειραματική δοκιμή. Σχήμα 1: Το προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας κατά μήκος του μέσου του αγωγού, για την πειραματική δοκιμή. Σχήμα 2: Το προφίλ της ταχύτητας στον πυθμένα κατά μήκος του μέσου του αγωγού, για την πειραματική δοκιμή. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

170 Σχήμα 2: Το προφίλ της ταχύτητας στον πυθμένα κατά μήκος του μέσου του αγωγού, για την πειραματική δοκιμή. 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

171 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Οι πειραματικές μετρήσεις 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

172 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ - Τιμές συντελεστή τραχύτητας n του Manning (Chow, 1959) 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

173 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <

174 1 Κατά άλλους (π.χ. Nezu & Nakagawa, 1993) η ιξώδης περιοχή τοιχώματος ορίζεται για y <