Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ."

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε πως µια τ.µ. µεταβάλλεται όταν αλλάζει µια άλλη µεταβλητή (τυχαία ή µη). Πρώτα ϑα µελετήσουµε τη σχέση δύο τ.µ. και. Συχνά στη µελέτη ενός τεχνικού συστήµατος ή ϕυσικού ϕαινοµένου ενδιαφερόµαστε να προσδιορίσουµε τη σχέση µεταξύ δύο µεταβλητών. Για παράδειγµα στην παρασκευή σκυροδέµατος µας ενδιαφέρει η σχέση της αντοχής συµπίεσης και της αντοχής κάµψης. Θα προσδιορίσουµε και ϑα εκτιµήσουµε το συντελεστή συσχέτισης που µετράει τη γραµµική συσχέτιση δύο τ.µ.. Στη συνέχεια ϑα µελετήσουµε τη συναρτησιακή σχέση εξάρτησης µιας τ.µ. ως προς µια άλλη µεταβλητή. Η σχέση αυτή είναι πιθανοκρατική κι ορίζεται µε την κατανοµή της για κάθε τιµή της. Για παράδειγµα η διατµητική αντοχή του αργίλου είναι τ.µ. µε κατανοµή που µεταβάλλεται µε το ϐάθος τους εδάφους. Συνήθως η µεταβολή αφορά µόνο τη µέση τιµή (και σπανιότερα και τη διασπορά), γι αυτό κι η περιγραφή της κατανοµής της ως προς τη περιορίζεται στη δεσµευµένη µέση τιµή E( ) και γίνεται µε τη λεγόµενη ανάλυση παλινδρόµησης. Θα µελετήσουµε την απλή γραµµική παλινδρόµηση, δηλαδή ϑα περιοριστούµε να εκτιµήσουµε τη γραµµική σχέση για τη µέση τιµή E( ) ως προς µια τ.µ.. 4. Συσχέτιση δύο τ.µ. ύο τ.µ. και µπορεί να συσχετίζονται µε κάποιο τρόπο. Αυτό συµβαίνει όταν επηρεάζει η µία την άλλη, ή αν δεν αλληλοεπηρεάζονται όταν επηρεάζονται και οι δύο από µια άλλη µεταβλητή. Για παράδειγµα η αντοχή συµπίεσης σκυροδέµατος και η περιεκτικότητα του σε τσιµέντο µπορούν να ϑεωρηθούν σαν δύο τ.µ. που συσχετίζονται, όπου η αντοχή συµπίεσης εξαρτάται από την περιεκτικότητα σε τσιµέντο (το αντίθετο δεν έχει πρακτική σηµασία). Μ- πορούµε επίσης να ϑεωρήσουµε τη συσχέτιση της αντοχής συµπίεσης και της αντοχής κάµψης σκυροδέµατος, αλλά τώρα δεν εξαρτάται η µια από την άλλη παρά εξαρτιούνται κι οι δύο από τον τρόπο παρασκευής του σκυροδέµατος, π.χ. από την περιεκτικότητα σε τσιµέντο. Στη συνέχεια ϑα ϑεωρήσουµε ότι οι δύο τ.µ. και είναι συνεχείς. Για διακριτές τ.µ. µπορούµε πάλι να ορίσουµε µέτρο συσχέτισης τους αλλά δε ϑα µας απασχολήσει εδώ. 67

2 68 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 4.. Ο συντελεστής συσχέτισης ρ Ο ϐαθµός της γραµµικής συσχέτισης δύο τ.µ. και µε διασπορά σ και σ αντίστοιχα και συνδιασπορά σ = Cov(, ) = E(, ) E()E( ), µετριέται µε τον συνετελεστή συσχέτισης (correlation coefficient) ρ που ορίζεται ως ρ = σ σ σ. (4.) Ο συντελεστής συσχέτισης ρ, όπως και η συνδιασπορά σ, εκφράζει το ϐαθµό και τον τρόπο που οι δύο µεταβλητές συσχετίζονται, δηλαδή πως η µία τ.µ. µεταβάλλεται ως προς την άλλη. Η σ παίρνει τιµές που εξαρτώνται από το πεδίο τιµών των και ενώ ο συντελεστής ρ παίρνει τιµές στο διάστηµα [, ]. Οι χαρακτηριστικές τιµές του ρ ερµηνεύονται ως εξής: ρ = : υπάρχει τέλεια ϑετική συσχέτιση µεταξύ των και, ρ = : δεν υπάρχει καµιά (γραµµική) συσχέτιση µεταξύ των και, ρ = : υπάρχει τέλεια αρνητική συσχέτιση µεταξύ των και. Οταν ρ = ± η σχέση είναι αιτιοκρατική κι όχι πιθανοκρατική γιατί γνωρίζοντας την τιµή της µιας τ.µ. γνωρίζουµε και την τιµή της άλλης τ.µ. ακριβώς. Οταν ο συνετελεστής συσχέτισης είναι κοντά στο ή η γραµµική συσχέτιση των δύο τ.µ. είναι ισχυρή (συνήθως χαρακτηρί- Ϲουµε ισχυρές τις συσχετίσεις όταν ρ >.9) ενώ όταν είναι κοντά στο οι τ.µ. είναι πρακτικά ασυσχέτιστες. Οπως ϕαίνεται από τον ορισµό στη σχέση (4.), ο συντελεστής συσχέτισης ρ δεν εξαρτάται από τη µονάδα µέτρησης των και και είναι συµµετρικός ως προς τις και. 4.. Σηµειακή εκτίµηση του συντελεστή συσχέτισης Οταν έχουµε παρατηρήσεις των δύο τ.µ. και κατά Ϲεύγη (x, y ),..., (x n, y n ), µ- πορούµε να εκτιµήσουµε τη συσχέτιση τους ποιοτικά από το διάγραµµα διασποράς (scatter diagram), που είναι η απεικόνιση των σηµείων (x i, y i ), i =,..., n, σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων. Στο Σχήµα 4. παρουσιάζονται τυπικά διαγράµµατα διασποράς για ισχυρές κι ασθενείς συσχετίσεις δύο τ.µ. και. Στα Σχήµατα 4.α και 4.δ η σχέση είναι τέλεια (ρ = και ρ = αντίστοιχα), στα Σχήµατα 4.ϐ και 4.ε είναι ισχυρή (ϑετική µε ρ =.97 κι αρνητική µε ρ =.97 αντίστοιχα) και στα Σχήµατα 4.γ και 4.Ϲ είναι λιγότερο ισχυρή (ϑετική µε ρ =.8 κι αρνητική µε ρ =.8 αντίστοιχα). Στο Σχήµα 4.η είναι ρ = γιατί οι τ.µ. και είναι ανεξάρτητες ενώ στο Σχήµα 4.ϑ είναι πάλι ρ = αλλά οι και δεν είναι ανεξάρτητες αλλά συσχετίζονται µόνο µη-γραµµικά. Τέλος για το Σχήµα 4.ι ο συντελεστής συσχέτισης δεν ορίζεται γιατί η είναι σταθερή (σ = στον ορισµό του ρ στην (4.)). Η σηµειακή εκτίµηση του συντελεστή συσχέτισης ρ του πληθυσµού από το δείγµα των n Ϲευγαρωτών παρατηρήσεων των και γίνεται µε την αντικατάσταση στη σχέση (4.) της συνδιασποράς σ και των διασπορών σ και σ από τις αντίστοιχες εκτιµήσεις από το δείγµα ˆρ r = s s s. (4.)

3 4.. ΣΥΣΧ ΕΤΙΣΗ ΥΟ Τ.Μ (α) 5 (β) 6 (γ) ρ = r = (δ) ρ = r = 3 ρ =.97 r = (ε) ρ =.97 r =.96 4 ρ =.8 r = (ζ) ρ =.8 r = (η) 5 3 (θ) (ι) ρ = r =.34.5 ρ,r = αoριστo ρ = r = Σχήµα 4.: ιάγραµµα διασποράς δύο τ.µ. και από n = παρατηρήσεις για ϑετική συσχέτιση στα σχήµατα (α), (ϐ) και (γ), για αρνητική συσχέτιση στα σχήµατα (δ), (ε) και (Ϲ) και για ασυσχέτιστες τ.µ. στα σχήµατα (η), (ϑ) και (ι). Σε κάθε σχήµα δίνεται η πραγµατική τιµή του συντελεστή συσχέτισης ρ κι η δειγµατική r. Στο (ι) ο συντελεστής συσχέτισης δεν ορίζεται. Οι αµερόληπτες εκτιµήτριες s, s και s δίνονται ως s = n (x i x)(y i ȳ) = n ( ) x i y i n xȳ (4.3) s = n (x i x) = n ( ) x i n x (4.4) όπου x και ȳ είναι οι δειγµατικές µέσες τιµές των και. Από τα παραπάνω προκύπτει η

4 7 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ έκφραση της εκτιµήτρια r r = x i y i n xȳ ( )( ). (4.5) x i n x yi nȳ Είναι προφανές πως η παραπάνω σχέση για το r δεν αλλάζει αν ϑεωρήσουµε τις µεροληπτικές εκτιµήτριες των σ, σ και σ. Στο Σχήµα 4. δίνεται ο δειγµατικός συντελεστής συσχέτισης r για κάθε περίπτωση. Επειδή το δείγµα είναι µικρό (n = ) η τιµή του r δεν είναι πάντα κοντά στην πραγµατική τιµή ρ. Αυτό συµβαίνει γιατί η εκτιµήτρια r όπως δίνεται στη σχέση (4.5) είναι µια τ.µ. που εξαρτάται από τις τιµές και το πλήθος των Ϲευγών των παρατηρήσεων. Για να εκφράσουµε τη συσχέτιση δύο τ.µ. χρησιµοποιούµε επίσης την ποσότητα r που λέγεται και συντελεστής προσδιορισµού (coefficient of determination) (εκφράζεται συνήθως σε ποσοστό %, r ). Ο συντελεστής προσδιορισµού δίνει το ποσοστό µεταβλητότητας των τιµών της που υπολογίζεται από τη (κι αντίστροφα) κι είναι ένας χρήσιµος τρόπος να συνοψίσουµε τη συσχέτιση δύο τ.µ.. Παράδειγµα 4. Θέλουµε να διερευνήσουµε τη συσχέτιση της αντοχής συµπίεσης κι αντοχής κάµψης σκυροδέµατος κάποιας παρασκευής. Γι αυτό πήραµε τις αντίστοιχες µετρήσεις από δείγµα δοκιµίων σκυροδέµατος που παρουσιάζονται στον Πίνακα 4.. Για να ϐρούµε τον συντελεστή συσχέτισης r υπολογίζουµε πρώτα τα παρακάτω x = 39.9 ȳ = 48.5 x i = 6856 yi = x i y i = Αντικαθιστώντας τα παραπάνω αποτελέσµατα στη σχέση (4.5) ϐρίσκουµε r = ( )( ) =.87. Η τιµή r =.87 υποδηλώνει ότι η αντοχή συµπίεσης κι η αντοχή κάµψης έχουν γραµµική ϑετική συσχέτιση αλλά όχι πολύ ισχυρή. Αυτό ϕαίνεται κι από το διάγραµµα διασποράς στο Σχήµα 4.. Η µεταβλητότητα της µιας τ.µ. (αντοχή συµπίεσης ή αντοχή κάµψης) µπορεί να εξηγηθεί από τη συσχέτιση της µε την άλλη κατά ποσοστό που δίνεται από το συντελεστή προσδιορισµού, που είναι r =.87 = 65%. Συµπεραίνουµε λοιπόν πως η γνώση της µιας τ.µ. δε µας επιτρέπει να προσδιορίσουµε την άλλη µε ακρίβεια. Πρέπει επίσης να σηµειωθεί ότι η εκτίµηση r του συνετελεστή συσχέτισης µπορεί να αλλάξει σηµαντικά µε την πρόσθεση ή αφαίρεση λίγων Ϲευγών παρατηρήσεων γιατί το µέγεθος του δείγµατος είναι µικρό. Για τον συντελεστή συσχέτισης ρ µπορούµε να υπολογίσουµε διαστήµατα εµπιστοσύνης αν ϑεωρήσουµε γνωστή την κατανοµή της εκτιµήτριας r. Μπορούµε επίσης να κάνουµε στατιστικό έλεγχο για κάποια τιµή r, αλλά εδώ δε ϑα ασχοληθούµε µε αυτά τα ϑέµατα.

5 4.. ΑΠΛ Η ΓΡΑΜΜΙΚ Η ΠΑΛΙΝ Ρ ΟΜΗΣΗ 7 Α/Α Αντοχή συµπίεσης x i (ksi) Αντοχή κάµψης y i (psi) Πίνακας 4.: εδοµένα αντοχής συµπίεσης (x i ) κι αντοχής κάµψης (y i ) σκυροδέµατος. 7 αντοχη καµψης y (psi) r= αντοχη συµπιεσης x (ksi) Σχήµα 4.: ιάγραµµα διασποράς για το δείγµα παρατηρήσεων αντοχής συµπίεσης κι αντοχής κάµψης σκυροδέµατος του Πίνακα Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Στη συσχέτιση που µελετήσαµε παραπάνω µετρήσαµε µε το συντελεστή συσχέτισης τη γραµ- µική συσχέτιση δύο τ.µ. και. Στην παλινδρόµηση που ϑα µελετήσουµε τώρα σχεδιάζουµε

6 7 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ την εξάρτηση µιας τ.µ., που την ονοµάζουµε εξαρτηµένη µεταβλητή (dependent variable), από κάποια άλλη µεταβλητή που την ονοµάζουµε ανεξάρτητη µεταβλητή (independent variable). Η ανεξάρτητη µεταβλητή δε ϑεωρείται τυχαία αλλά παίρνει καθορισµένες τιµές που διαλέγουµε εµείς ή δίνονται από το πρόβληµα που µελετάµε. Ενώ λοιπόν η συσχέτιση είναι συµµετρική ως προς τα και, στην παλινδρόµηση η εξαρτηµένη µεταβλητή καθοδηγείται από την ανεξάρτητη µεταβλητή. Γι αυτό και στην ανάλυση που κάνουµε παίζει ϱόλο ποιόν από τους δύο παράγοντες που µετράµε ορίζουµε σαν ανεξάρτητη µεταβλητή και ποιόν σαν εξαρτηµένη, όταν αυτές δεν ορίζονται ξεκάθαρα από το πρόβληµα. Για παράδειγµα, όταν µετράµε τη διατµητική αντοχή του αργίλου σε διάφορα ϐάθη, ϑέλουµε να µελετήσουµε την (γραµµική) εξάρτηση της διατµητικής αντοχής του αργίλου από το ϐάθος τους εδάφους και γι αυτό η διατµητική αντοχή του αργίλου είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή και το ϐάθος του εδάφους η ανεξάρτητη µεταβλητή. 4.. Το πρόβληµα της γραµµικής παλινδρόµησης Η εξαρτηµένη τ.µ. ακολουθεί κάποια κατανοµή µε αθροιστική συνάρτηση κατανοµής F (y = x), δεσµευµένη για κάθε τιµή x της µεταβλητής. Περιορίζουµε τη µελέτη του προβλήµατος στη µέση τιµή και υποθέτουµε εδώ ότι η εξάρτηση εκφράζεται από µια γραµµική σχέση E( = x) = α + βx (4.6) και η σχέση αυτή λέγεται γραµµική παλινδρόµηση της στη (linear regression) [οι τιµές της για κάθε τιµή = x παλινδροµούνται γύρω από το σηµείο y = E( = x) της ευθείας y = α + βx, δηλαδή οι τιµές της για κάθε τιµή της ϐρίσκονται πάνω και κάτω από αυτήν την ευθεία]. Το πρόβληµα της παλινδρόµησης είναι η εύρεση των παραµέτρων α και β που εκφρά- Ϲουν καλύτερα τη γραµµική εξάρτηση της από τη. Κάθε Ϲεύγος τιµών (α, β) καθορίζει µια διαφορετική γραµµική σχέση που εκφράζεται γεωµετρικά από ευθεία γραµµή και οι δύο παράµετροι ορίζονται ως: Ο σταθερός όρος α είναι η τιµή του y για x = (intercept). Ο συντελεστής β του x είναι η κλίση (slope) της ευθείας ή αλλιώς ο συντελεστής παλινδρόµησης (regression coefficient). Αν ϑεωρήσουµε τις παρατηρήσεις (x, y ),...,(x n, y n ) και το διάγραµµα διασποράς που τις απεικονίζει σαν σηµεία, µπορούµε να σχηµατίσουµε πολλές τέτοιες ευθείες που προσεγγίζουν την υποτιθέµενη γραµµική εξάρτηση της E( = x) ως προς, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 4.3. Για κάποια τιµή x i της αντιστοιχούν διαφορετικές τιµές y i της, σύµφωνα µε κάποια κατανοµή πιθανότητας F (y i = x i ), δηλαδή µπορούµε να ϑεωρήσουµε την y i σαν τ.µ. [ϑα ή- ταν σωστότερο να χρησιµοποιούσαµε το συµβολισµό i αντί y i, όπου ο δείκτης i ορίζει την εξάρτηση από το = x i, αλλά ϑα χρησιµοποιήσουµε εδώ τον ίδιο συµβολισµό y i για την τ.µ. και την παρατήρηση]. Η τ.µ. y i για κάποια τιµή x i της ϑα δίνεται κάτω από την υπόθεση της γραµµικής παλινδρόµησης ως y i = α + βx i + ǫ i, (4.7) όπου ǫ i είναι κι αυτή τ.µ., λέγεται σφάλµα παλινδρόµησης (regression error) κι ορίζεται ως η διαφορά της y i από τη δεσµευµένη µέση τιµή E( = x i ) (δες σχέση (4.6)).

7 4.. ΑΠΛ Η ΓΡΑΜΜΙΚ Η ΠΑΛΙΝ Ρ ΟΜΗΣΗ 73 y α3 β 3 y = + x y = + x α β y = + x α β β α Σχήµα 4.3: Ευθείες γραµµικής παλινδρόµησης x Για την ανάλυση της γραµµικής παλινδρόµησης κάνουµε τις παρακάτω υποθέσεις: Η µεταβλητή είναι ελεγχόµενη για το πρόβληµα που µελετάµε, δηλαδή γνωρίζουµε τις τιµές της χωρίς καµιά αµφιβολία. Η σχέση (4.6) ισχύει, δηλαδή η εξάρτηση της από τη είναι γραµµική. E(ǫ i ) = και Var(ǫ i ) = σ ǫ για κάθε τιµή x i της, δηλαδή το σφάλµα παλινδρόµησης έχει µέση τιµή µηδέν για κάθε τιµή της και η διασπορά του είναι σταθερή και δεν εξαρτάται από τη. Η τελευταία συνθήκη είναι ισοδύναµη µε τη συνθήκη Var( = x) = σ, δηλαδή ότι η διασπορά της εξαρτηµένης µεταβλητής είναι η ίδια για κάθε τιµή της και µάλιστα είναι σ = σ ǫ σ, όπως προκύπτει από τη σχέση (4.7), αφού οι παράµετροι α και β είναι σταθερές και το x i γνωστό. Η ιδιότητα αυτή λέγεται οµοσκεδαστικότητα (δες επίσης..4) και αντίθετα έχουµε ετεροσκεδαστικότητα όταν η διασπορά της (ή του σφάλµατος ǫ) µεταβάλλεται µε τη. Γενικά για να εκτιµήσουµε τις παραµέτρους της γραµµικής παλινδρόµησης µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, όπως ϑα δούµε παρακάτω, δεν είναι απαραίτητο να υποθέσουµε κάποια συγκεκριµένη δεσµευµένη κατανοµή F (y i = x i ) της ως προς τη. Αν ϑέλουµε όµως να υπολογίσουµε διαστήµατα εµπιστοσύνης για τις παραµέτρους ϑα χρειαστούµε να υποθέσουµε κανονική δεσµευµένη κατανοµή για τη. Επίσης οι παραπάνω υποθέσεις για γραµµική σχέση και σταθερή διασπορά αποτελούν χαρακτηριστικά πληθυσµών µε κανονική κατανοµή. Συνήθως λοιπόν σε προβλήµατα γραµµικής παλινδρόµησης υποθέτουµε ότι η δεσµευµένη κατανοµή της είναι κανονική = x N(α + βx, σ ).

8 74 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 4.. Σηµειακή εκτίµηση των παραµέτρων της γραµµικής παλινδρόµησης Λύση στο πρόβληµα της γραµµικής παλινδρόµησης µε τις υποθέσεις που ορίστηκαν παραπάνω αποτελεί ο προσδιορισµός της σταθερού όρου της παλινδρόµησης α και του συντελεστή της παλινδρόµησης β για να γνωρίζουµε την ευθεία της παλινδρόµησης αλλά και της διασποράς σ για να γνωρίζουµε το ϐαθµό µεταβλητότητας γύρω από την ευθεία. Εκτίµηση των παραµέτρων της ευθείας παλινδρόµησης Η εκτίµηση των παραµέτρων α και β γίνεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (method of least squares). Η µέθοδος λέγεται έτσι γιατί ϐρίσκει την ευθεία παλινδρόµησης µε παραµέτρους a και b έτσι ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των κατακόρυφων αποστάσεων των σηµείων από την ευθεία να είναι το ελάχιστο. Οι εκτιµήσεις των α και β δίνονται από την ελαχιστοποίηση του αθροίσµατος των τετραγώνων των σφαλµάτων min α,β ǫ i ή min α,β (y i α βx i ). (4.8) Για να λύσουµε αυτό το πρόβληµα ϑέτουµε τις µερικές παραγώγους ως προς τα α και β ίσες µε το µηδέν και καταλήγουµε στο σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους (y i α βx i ) α (y i α βx i ) β = = y i = nα + β x i y i = α από το οποίο παίρνουµε τις εκτιµήσεις των α και β b = s s x i x i + β, a = ȳ b x, (4.9) όπου s και s είναι η δειγµατική συνδιασπορά των και και η δειγµατική διασπορά της που ορίστηκαν στις σχέσεις (4.3) και (4.4) αντίστοιχα. Τα a και b ορίζουν την ευθεία, ŷ = a + bx, που λέγεται κι ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. x i Εκτίµηση της διασποράς των σφαλµάτων παλινδρόµησης Για κάθε δοθείσα τιµή x i µε τη ϐοήθεια της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων εκτιµούµε την τιµή ŷ i που γενικά είναι διαφορετική από την πραγµατική τιµή y i. Η διαφορά e i = y i ŷ i είναι η κατακόρυφη απόσταση της πραγµατικής τιµής από την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και λέγεται σφάλµα ελαχίστων τετραγώνων ή απλά υπόλοιπο (residual). Στο Σχήµα 4.4 απεικονίζονται τα υπόλοιπα της παλινδρόµησης. Το υπόλοιπο e i είναι η εκτίµηση του σφάλµατος παλινδρόµησης ǫ i αντικαθιστώντας απλά τις παραµέτρους παλινδρόµησης α και β µε τις εκτιµήσεις ελαχίστων τετραγώνων a και b στον ορισµό του σφαλµάτος ǫ i = y i α + βx i. Άρα η εκτίµηση της διασποράς σ του σφάλµατος

9 4.. ΑΠΛ Η ΓΡΑΜΜΙΚ Η ΠΑΛΙΝ Ρ ΟΜΗΣΗ 75 y y = a + bx y i e i= yi y ^i y ^i x i x Σχήµα 4.4: Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και υπόλοιπα (που είναι κι η δεσµεύµενη διασπορά της ως προς ) δίνεται από τη δειγµατική διασπορά s των υπολοίπων e i s = (y i ŷ i ), (4.) n όπου διαιρούµε µε n γιατί από τους ϐαθµούς ελευθερίας n του µεγέθους του δείγµατος αφαιρούµε δύο για τις δύο παραµέτρους που έχουν ήδη εκτιµηθεί. Η δειγµατική διασπορά s µπορεί να εκφραστεί ως προς τις δειγµατικές διασπορές των και και της συνδιασποράς τους, αν αντικαταστήσουµε τις εκφράσεις των a και b από την (4.9) στην παραπάνω σχέση (όπου ϑέτουµε ŷ i = a + bx i ) s = n ( ) s s n s = n n (s b s ) (4.) όπου και πάλι υποθέτουµε τις αµερόληπτες εκτιµήτριες για τις διασπορές. Παρατηρήσεις. Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων περνάει από το σηµείο ( x, ȳ) γιατί a + b x = ȳ b x + b x = ȳ. Άρα η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων µπορεί επίσης να οριστεί ως y i ȳ = b(x i x).. Η εκτίµηση των α και β µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων δεν προϋποθέτει σταθερή διασπορά και κανονική κατανοµή της εξαρτηµένης µεταβλητής για κάθε τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής. Οταν όµως ισχύουν οι δύο αυτές συνθήκες οι εκτιµήτριες ελαχίστων τετραγώνων a και b είναι οι εκτιµήτριες µεγίστης πιθανοφάνειας (κι άρα έχουν και τις επιθυµητές ιδιότητες εκτιµητριών).

10 76 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ 3. Αν η διασπορά της δεσµευµένης κατανοµής της αλλάζει µε τη, τότε η διαδικασία των ελαχίστων τετραγώνων πρέπει να διορθωθεί έτσι ώστε να δίνει περισσότερο ϐάρος στις παρατηρήσεις που αντιστοιχούν σε µικρότερη διασπορά. 4. Για κάθε τιµή x της µπορούµε να προβλέψουµε την αντίστοιχη τιµή y της από την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων, y = a + bx. Εδώ πρέπει να προσέξουµε ότι η τιµή x πρέπει να ανήκει στο εύρος τιµών της που έχουµε από το δείγµα. Για τιµές έξω από αυτό το διάστηµα η πρόβλεψη είναι επικίνδυνη. Επίσης οι προβλέψεις έχουν νόηµα όταν η διασπορά του σφάλµατος είναι σχετικά µικρή. Παράδειγµα 4. Θέλουµε να µελετήσουµε την αντοχή αλουµινίου και γι αυτό κάναµε ένα πεί- ϱαµα και µετρήσαµε την επιµήκυνση δοκιµίου αλουµινίου για διάφορες τάσεις. Τα αποτελέσµατα δίνονται στον Πίνακα 4.. ύναµη τάσης x i (kips) Επιµήκυνση δοκιµίου y i ( 3 inches) Πίνακας 4.: εδοµένα αντοχής αλουµινίου (y i ) για διαφορετικές τάσεις (x i ). Υποθέτουµε πως η παραµόρφωση του αλουµινίου εξαρτάται γραµµικά από την τάση και το διάγραµµα διασποράς στο Σχήµα 4.5 από το δείγµα επιβεβαιώνει αυτήν την υπόθεση. Για να επιµηκυνση αλoυµινιoυ y ( 3 inches) y 3 y = 6,65 +,99 x x δυναµη τασης x (kips) Σχήµα 4.5: ιάγραµµα διασποράς για τα δεδοµένα του Πίνακα 4. κι ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. εκτιµήσουµε τις παραµέτρους a και b της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων υπολογίζουµε πρώτα τα παρακάτω x = 4 ȳ = x i = 4 7 y i = x iy i = 35.5

11 4.. ΑΠΛ Η ΓΡΑΜΜΙΚ Η ΠΑΛΙΝ Ρ ΟΜΗΣΗ 77 και χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (4.3) και (4.4) για τη δειγµατική συνδιασπορά και διασπορά αντίστοιχα, ϐρίσκουµε Οι εκτιµήσεις b και a είναι s = 5.3 s = 4.67 s = b = =.99 a = = Από τη σχέση (4.) υπολογίζουµε την εκτίµηση διασποράς των σφαλµάτων παλινδρόµησης Τα αποτελέσµατα αυτά ερµηνεύονται ως εξής: s = 6 5 ( ) = b =.99: Για αύξηση της δύναµης τάσης κατά µία µονάδα µέτρησης ( kips) το δοκίµιο αλουµινίου επιµηκύνεται κατά περίπου. ίντσες (.99 3 inches).. a = 6.65: Οταν δεν ασκείται τάση στο δοκίµιο αλουµινίου (x = ), η επιµήκυνση του δοκιµίου είναι ίντσες, που ϕυσικά είναι αδύνατον. Αυτό συµβαίνει γιατί η τιµή x = δεν ανήκει στο διάστηµα τιµών δύναµης τάσης του πειράµατος. ε ϑα πρέπει λοιπόν να επιχειρήσουµε προβλέψεις για τιµές δύναµης τάσης µικρότερης του kips και µεγαλύτερης των 7 kips. 3. s = 7.75: Η διασπορά γύρω από την ευθεία παλινδρόµησης για κάθε τιµή του (στο διάστηµα τιµών του πειράµατος) εκτιµάται να είναι 7.75, ή αλλιώς το τυπικό σφάλµα της εκτίµησης της παλινδρόµησης είναι.78 3 ίντσες, που είναι µικρό σε σχέση µε το επίπεδο τιµών της και άρα το µοντέλο της γραµµική παλινδρόµησης εξηγεί ικανοποιητικά τη σχέση επιµήκυνσης αλουµινίου και τάσης και επιτρέπει καλές προβλέψεις. Με ϐάση το µοντέλο παλινδρόµησης που εκτιµήσαµε µπορούµε να προβλέψουµε την επιµήκυνση του αλουµινίου για κάθε δύναµη τάσης στο διάστηµα [, 7] kips. Στο Σχήµα 4.5 απεικονίζεται η πρόβλεψη της επιµήκυνσης για δύναµη τάσης x = 3.5 kips και είναι y = = 3.8. Για τις παραµέτρους α και β, καθώς και για τη διασπορά σ, µπορούµε να εκτιµήσουµε διαστήµατα εµπιστοσύνης και να κάνουµε στατιστικούς ελέγχους Σχέση του συντελεστή συσχέτισης και παλινδρόµησης Η παλινδρόµηση ορίζεται ϑεωρώντας την ανέξαρτητη µεταβλητή καθορισµένη και την εξαρτηµένη µεταβλητή τυχαία, ενώ για τη συσχέτιση ϑεωρούµε και τις δύο µεταβλητές και τυχαίες. Για τις µεταβλητές και της παλινδρόµησης, µπορούµε να αγνοήσουµε ότι η δεν είναι τ.µ. και να ορίσουµε το συντελεστή συσχέτισης ρ όπως και πριν. Η σχέση µεταξύ του r (της εκτιµήτριας του ρ από το δείγµα) και του συντελεστή της παλινδρόµησης b

12 78 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (της εκτιµήτριας του β από το δείγµα) δίνεται ως εξής (συνδιάζοντας τις σχέσεις r = s και s s b = s ) s r = b s ή b = r s. (4.) s s Και τα δύο µεγέθη, r και b, εκφράζουν ποιοτικά τη γραµµική συσχέτιση των µεταβλητών και, αλλά το b εξαρτάται από τη µονάδα µέτρησης των και ενώ το r παίρνει τιµές στο διάστηµα [, ]. Ετσι αν η συσχέτιση είναι ϑετική (r > ) τότε η κλίση της ευθείας παλινδρόµησης b είναι επίσης ϑετική, αν η συσχέτιση είναι αρνητική (r < ) τότε είναι b < και αν οι µεταβλητές και δε συσχετίζονται (r = ) τότε η ευθεία παλινδρόµησης είναι οριζόντια (b = ). Επίσης µπορούµε να εκφράσουµε το συντελεστή προσδιορισµού r ως προς τη δειγµατική διασπορά του σφάλµατος s και αντίστροφα s = n n s ( r ) ή r = n n s s. (4.3) Η παραπάνω σχέση δηλώνει πως όσο µεγαλύτερο είναι το r (ή το r ) τόσο µικρότερη είναι η διασπορά του σφάλµατος της παλινδρόµησης, δηλαδή τόσο καλύτερη είναι η πρόβλεψη που ϐασίζεται στην ευθεία παλινδρόµησης. Παράδειγµα 4.3 Στο παραπάνω παράδειγµα, ο συντελεστής συσχέτισης της επιµήκυνσης του αλουµινίου και της τάσης είναι r = s s s = =.995 που ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε κι από τις σχέσεις (4.) ή (4.3). Ο συντελεστής συσχέτισης δηλώνει την πολύ ισχυρή ϑετική συσχέτιση της επιµήκυνσης του αλουµινίου και της τάσης, που δε µπορούµε όµως εύκολα να συµπεράνουµε από την τιµή του συντελεστή παλινδρόµησης b =.99 ή την τιµή της διασποράς των σφαλµάτων s = 7.75 γιατί οι τιµές τους ορίζονται σε σχέση µε το πεδίο τιµών της επιµήκυνσης του αλουµινίου και της τάσης. Σ αυτό το κεφάλαιο ασχοληθήκαµε µόνο µε την απλή γραµµική παλινδρόµηση. Η µελέτη της παλινδρόµησης επεκτείνεται στη µή-γραµµική παλινδρόµηση, που αποτελεί γενικότερη και πιο ϱεαλιστική (αλλά και πιο πολύπλοκη) προσέγγιση για τον προσδιορισµό της εξάρτησης της από τη. Επίσης η τ.µ. µπορεί να εξαρτάται από περισσότερες από µια µεταβλητές που είναι το πρόβληµα της πολλαπλής παλινδρόµησης (γραµµική ή µή-γραµµική).

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση

Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση Στο προηγούµενο κεϕάλαιο µελετήσαµε τη διάδοση του σϕάλµατος από µια τυχαία µεταβλητή X σε µια τ.µ. Y που δίνεται ως συνάρτηση της X. Σε αυτό το κεϕάλαιο ϑα διερευνήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011 Πάτρα, 7 Ιανουαρίου 011 Γενικά Πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές. Παράδειγµα 1 OZON 300 80 60 40 0 00 180 150 00 50 300 350 400 450 CFC 1 Από το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, που ϑα δούµε παρακάτω, υπολογίζονται από τα στατιστικά δεδοµένα που έχουµε συλλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2 4.2. ΑΠΛ Η ΓΡΑΜΜΙΚ Η ΠΑΛΙΝ Ρ ΟΜΗΣΗ 79 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων 1. είξτε ότι η εκτιµήτρια s 2 της διασποράς σ 2 είναι αµερόληπτη. 2. ύο τυχαίες µεταβλητές X 1 και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. {x 1,..., x n } της X από ένα δείγµα µεγέθους n. Τότε η σηµειακή εκτίµηση της θ δίνεται

Κεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. {x 1,..., x n } της X από ένα δείγµα µεγέθους n. Τότε η σηµειακή εκτίµηση της θ δίνεται Κεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος που υπολογίζονται από τα δεδοµένα που έχουν συλλεχθεί, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΜΕΡΟΣ Β. για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς. ηµήτρης Κουγιουµτζής http://www.users.auth.gr/dkugiu/teach/electricengineer/

Στατιστική ΜΕΡΟΣ Β. για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς. ηµήτρης Κουγιουµτζής http://www.users.auth.gr/dkugiu/teach/electricengineer/ Στατιστική για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://www.users.auth.gr/dkugiu/teach/electricengineer/ E mail: dkugiu@gen.auth.gr Απρίλιος 2010 2 Στο Μέρος Α ασχοληθήκαµε µε την τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ απόκλιση από την κανονικότητα µπορεί να σηµαίνει Ύπαρξη θετικής ή αρνητικής ασυµµετρίας Ύπαρξη λεπτοκύρτωσης, δηλαδή παρουσία ακραίων τιµών που δεν είναι συµβατές

Διαβάστε περισσότερα

Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών

Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Στατιστική Λυµένες Ασκήσεις, Πολιτικοί Μηχανικοί Ιανουάριος 6 Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Μέρος Α Θεωρία Πιθανοτήτων Άσκηση [Θέµα στις εξετάσεις Φεβρουαρίου ]

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j. P i = p j.

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j. P i = p j. Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα δούµε πρώτα τρόπους να παρουσιάσουµε τα δεδοµένα µε στατιστικούς πίνακες και διαγράµµατα και µετά να συνοψίσουµε τα δεδοµένα υπολογίζοντας συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

2. Η τιµή της εκτιµήσεως της µεταβλητής στα σηµεία όπου υπάρχουν µετρήσεις να είναι η ίδια µε τη

2. Η τιµή της εκτιµήσεως της µεταβλητής στα σηµεία όπου υπάρχουν µετρήσεις να είναι η ίδια µε τη ΜΕΘΟ ΟΙ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ, ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΕΣ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Η παρεµβολή στο χώρο αποτελεί ένα σηµαντικό αντικείµενο µελέτης στη χαρτογραφία και σε όσους τοµείς της επιστήµης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ορεστιάδα 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Παράγωγες κατανοµές

Διαβάστε περισσότερα

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων ) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων Για να περιγράψουµε διακριτά ποσοτικά δεδοµένα µε λίγες τιµές ( σε περίπτωση πολλών τιµών τα θεωρούµε ως συνεχή) κάνουµε: Πίνακας συχνοτήτων Ραβδόγραµµα, Κυκλικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

T (K) m 2 /m

T (K) m 2 /m Ορθοί και λανθασµένοι τρόποι απεικονίσεως δεδοµένων σε διάγραµµα Από µετρήσεις σηµείου ζέσεως σειράς διαλυµάτων προκύπτουν τα εξής δεδοµένα: m /m.5..5..5.55.. Σύµφωνα µε την θεωρία τα δεδοµένα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Κεφάλαιο 8 1) Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα και τι είδους προβλήµατα παρουσιάζονται; ( 2, 4, σελίδες 370-372). 2) Γράψτε τον τύπο της διακύµανσης της κλίσης όταν

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ. Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j όπου x j x i για j i. P i =

Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1.1 Περιγραφή Στατιστικών εδοµένων. p i = f i n. (1.1) F i = f j όπου x j x i για j i. P i = Κεφάλαιο 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα δούµε πρώτα τρόπους να παρουσιάσουµε τα δεδοµένα µε στατιστικούς πίνακες και διαγράµµατα και µετά να συνοψίσουµε τα δεδοµένα υπολογίζοντας συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Πίνακας συνδιακύμανσης των παραμέτρων

3.9 Πίνακας συνδιακύμανσης των παραμέτρων Στην περίπτωσή µας έχοµε p= 1περιορισµό της µορφής : που γράφεται ως : ' = m + m z ' (3.47) 1 m Fm 1 = [1 z '] = [ '] = h m. (3.48) Η εξίσωση 3.46 στην περίπτωση αυτή χρησιµοποιώντας τους πίνακες που είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 6. Χρονοσειρές

Κεϕάλαιο 6. Χρονοσειρές Κεϕάλαιο 6 Χρονοσειρές Στο προηγούµενο κεϕάλαιο µελετήσαµε τη σχέση ενός µεγέθους µε άλλα µεγέθη καθώς και την εξάρτηση του µεγέθους (της εξαρτηµένης τυχαίας µεταβλητής) από άλλα µεγέθη (τις ανεξάρτητες

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ.

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Smple Lear Regresso) Να κατανοηθεί η έννοια της παλινδρόµησης Ποιες οι προϋποθέσεις για να εφαρµοσθεί η γραµµική παλινδρόµηση; Τι είναι το γραµµικό µοντέλο και πως εκτιµούνται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (για άριστα διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής A1. Σε γραµµική ΚΠ της µορφής Y =

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ 5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΟΦΑΕΙΑΣ 5. Η συνάρτηση μέγιστης πιθανοφάνειας Έστω µία τυχαία µεταβλητή η οποία αντιπροσωπεύει την µέτρηση κάποιας συγκεκριµένης ποσότητας µε πραγµατική αλλά άγνωστη τιµή θ σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Σφάλµα εξειδικεύσεως Αν η υπόθεση Α.1 ισχύει, τότε το υπόδειγµα παλινδρόµησης είναι σωστά εξειδικευµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11 ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 34 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: 17 Οικονομετρικά Εργαστήριο 15/5/11 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σκοπός του παρόντος µαθήµατος είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται Κεφάλαιο 10 Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να προβλέψουμε τις τιμές μιας μεταβλητής από τις τιμές μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα