1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ"

Transcript

1 Μια Εισαγωγή στη Θεωρία Παιγνίων Κώστας Στροπωνιάτης ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ A ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 1

2 Επιβλέπων Βαγγέλης Φελουζής Επιτροπή Χρήστος Νικολόπουλος Νίκος Παπαλεξίου 2

3 Περιεχόµενα 1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΥΟ ΑΤΟΜΩΝ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΜΙΚΤΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Βασικές γεωµετρικές έννοιες Το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα των τετραγωνικών παιχνιδιών Ιδιότητες των ευνοϊκών στρατηγικών Στρατηγικές που κυριαρχούν ή κυριαρχούνται Γραφική µέθοδος εύρεσης λύσης

4 4

5 Κεφάλαιο 1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΥΟ ΑΤΟΜΩΝ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ Ορισµός 1 Το σύστηµα Γ = (X, Y, K), όπου X, Y είναι µη-κενά σύνολα και K είναι µία συνάρτηση, K : X Y R, καλείται παιχνίδι δύο ατόµων µηδενικού αθροίσµατος. Το σύνολο X είναι το σύνολο όλων των δυνατών κινήσεων, που ϑα ονοµάζονται και στρατηγικές, του πρώτου παίκτη και αντίστοιχα το σύνολο Y είναι το σύνολο όλων των δυνατών κινήσεων, που ϑα ονοµάζονται και αυτές στρατηγικές, του δεύτερου παίκτη. Η συνάρτηση K(x, y) καθορίζει πόσο ϑα είναι το «κέρδος» του πρώτου παίκτη αν αυτός παίξει την στρατηγική x ενώ ο δεύτερος έχει παίξει τη στρατηγική y. Το «κέρδος» του δεύτερου παίκτη καθορίζεται να είναι ίσο µε K(x, y). Αν για παράδειγµα K(x, y) = 10 αυτό σηµαίνει ότι όταν ο πρώτος παίκτης παίξει x και ο δεύτερος y τότε ο πρώτος χάνει 10 πόντους τους οποίους κερδίζει ο δεύτερος. Σε κάθε παιχνίδι το άθροισµα των κερδών είναι 0 που εξηγεί και τον όρο «παιχνίδι µηδενικού αθροίσµατος». Το Ϲευγάρι (x, y) ονοµάζεται µια περίπτωση του παιχνιδιού. Η συνάρτηση Κ καλείται εξόφληση (κέρδος) του παίκτη 1. Το παιχνίδι δύο ατόµων µηδενικού αθροίσµατος µπορεί να περιγραφεί πλήρως από ένα (πεπερασµένο ή άπειρο) X Y πίνακα [(K(x, y)] x X,y Y. Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα εστιάσουµε την προσοχή µας σε παιχνίδια µε δύο παίκτες που ο καθένας έχει πεπερασµένο σύνολο στρατηγικών. Ο πίνακας αυτός ονοµάζεται και πίνακας του παιχνιδιού. Ορισµός 2 Τα παιχνίδια δύο παικτών µηδενικού αθροίσµατος στα οποία και οι δύο παίκτες έχουν πεπερασµένο πλήθος στρατηγικών καλούνται τετραγωνικά παιχνίδια ή παιχνίδια πίνακα. 5

6 Παράδειγµα. Το συγκεκριµένο παράδειγµα είναι γνωστό ώς το παιχνίδι του Colonel Blotto. Το παιχνίδι αυτό παίζεται από δύο παίκτες που ο ένας ονοµάζεται Β (ή Colonel Blotto) και ο αντίπαλος του Α. Ο Colonel Blotto (Β) έχει m στρατιώτες και ο αντίπαλος του (Α) έχει n στρατιώτες και υπερασπίζεται δύο οχυρά στα οποία κατανέµει τους στρατιώτες αυτούς. Κάθε κατανοµή στα δύο οχυρά είναι µια στρατηγική του Α την οποία αγνοεί ο Β. Ο Β κατανέµει επίσης τους m στρατιώτες του σε δύο µέρη τα οποία στέλνει για να καταλάβουν τα οχυρά του Α. Ο Β καταλαµβάνει ένα οχυρό στην περίπτωση που ϑα στείλει περισσότερους στρατιώτες στο οχυρό από αυτούς που έχει τοποθετήσει ο Α στο συγκεκριµένο οχυρό. Σε περίπτωση που έχει στείλει περισσότερους στρατιώτες από αυτούς που έχει τοποθετήσει ο Α καθορίζουµε ότι κερδίζει τόσους πόντους όσοι είναι οι στρατιώτες του Α σύν έναν (για την κατάληψη του οχυρού). Αν έχει στείλει λιγότερους χάνει τόσους πόντους όσους ο αριθµός των στρατιωτών που έστειλε και ακόµα έ- ναν (επειδή έχασε το οχυρό), τους οποίους κερδίζει ο Α. Στη περίπτωση που και οι δύο παίκτες έχουν τοποθετήσει τον ίδιο ακριβώς αριθµό στρατιωτών σε ένα οχυρό, τότε έχουµε ισοπαλία και καθένας κερδίζει µηδέν. Η κίνηση (στρατηγική) κάθε παίκτη καθορίζεται από ένα Ϲευγάρι (a, b) όπου a είναι ο αριθµός των στρατιωτών που τοποθετεί στο πρώτο οχυρό και b είναι ο αριθµός των στρατιωτών που τοποθετεί στο δεύτερο οχυρό. Αν ο Α έχει n στρατιώτες συνολικά και ο Β έχει m στρατιώτες συνολικά τότε σε µια στρατηγική (a, b) του A ϑα έχουµε a + b = n και σε µια στρατηγική (a, b) του B ϑα έχουµε a + b = m. Ας υποθέσουµε ότι m > n. Ο Β έχει τις ακόλουθες m + 1 στρατηγικές : x 0 = (m, 0) δηλαδή να στείλει όλους τους στρατιώτες του στο πρώτο οχυρό είτε x 1 = (m 1, 1) δηλαδή να στείλει m 1 στρατιώτες στο πρώτο οχυρό και έναν στρατιώτη στο δεύτερο,..., x m = (0, m) δηλαδή να στείλει όλους τους στρατιώτες του στο δεύτερο οχυρό. Αντίστοιχα ο Α έχει τις n + 1 στρατηγικές y 0 = (n, 0) y 1 = (n 1, 1),..., y n = (0, n). Συνεπώς µπορούν να προκύψουν συνολικά (n + 1) (m + 1) διαφορετικές περιπτώσεις στο παιχνίδι. Σύµφωνα µε τον ορισµό λοιπόν το σύνολο X περιέχει τις στρατηγικές του Β, δηλαδή τα στοιχεία x 0, x 1,...,x m ενώ το σύνολο Y περιέχει τις στρατηγικές του Α δηλαδή τα y 0, y 1,..., y n. Η συνάρτηση K ορίζεται ως εξής : Θα συµβολίζουµε µε K 1 το κέρδος του Β στο πρώτο οχυρό και K 2 το κέρδος του στο δεύτερο οχυρό. Ας υποθέσουµε ότι ο Β διαλέγει την στρατηγική x 0 = (m, 0) και ο Α την y 0 = (n, 0). Τότε η εξόφληση (κέρδος) του Β στο πρώτο οχυρό είναι : K 1 (x 0, y 0 ) = n + 1. Στο δεύτερο οχυρό το κέρδος του, K 2 (x 0, y 0 ), είναι µηδέν. Το συνολικό κέρδος του Β και στα δύο οχυρά είναι K(x 0, y 0 ) = K 1 (x 0, y 0 ) + K 2 (x 0, y 0 ) = n + 1 6

7 Εστω τώρα οτι ο Β διαλέγει την x 0 = (m, 0) και ο Α διαλέγει την y 1 = (n 1, 1), τότε εφόσον m > n 1 ϑα έχουµε ότι K(x 0, y 1 ) = K 1 (x 0, y 1 ) + K 2 (x 0, y 1 ) = [(n 1) + 1] + (0 1) = n 1. Με παρόµοιο τρόπο παίρνουµε γενικά K(x 0, y j ) = [(n j) + 1] + (0 1) = n j, 1 j n Περαιτέρω, αν ο Β διαλέξει την στρατηγική x 1 και ο (Α) την y 0 τότε, αν m 1 > n, έχουµε K(x 1, y 0 ) = K 1 (x 1, y 0 ) + K 2 (x 1, y 0 ) = (n + 1) + (0 + 1) = n + 2. Επίσης Γενικότερα K(x 1, y 1 ) = (n 1) = n K(x 1, y j ) = (n j) = n j 1, 2 j n. Μία εφαρµογή του παραπάνω παραδείγµατος : Εστω οτι ο Β έχει 4 στρατιώτες (m = 4) και ο Α έχει 3 στρατιώτες (n = 3). Τότε το κέρδος του Β όπως προκύπτει από τους παραπάνω κανονισµούς του παιχνιδιού δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα : y 0 y 1 y 2 y 3 x x x x x Παρατήρηση : εν είναι όλα τα παιχνίδια δύο παιχτών µηδενικού αθροίσµατος. Εστω οτι έχουµε ένα παιχνίδι n παιχτών, P 1, P 2,..., P n και έστω p i, (i = 1,..., n) η εξόφληση του P i στο τέλος του παιχνιδιού.τότε αν p i = 0 λέµε οτι το παιχνίδι είναι µηδενικού αθροίσµατος.το παιχνίδι του Colonel Blotto είναι µηδενικού αθροίσµατος. Ας υποθέσουµε οτι έχουµε ένα παιχνίδι µηδενικού αθροίσµατος 2 παικτών Γ = (X, Y, K) µε πίνακα εξόφλησης m n a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn 7

8 Κάθε παίκτης σε ένα παιχνίδι πίνακα, αποβλέπει στην µεγιστοποίηση του κέρδους του, επιλέγοντας την κατάλληλη στρατηγική. Για τον P 1, η εξόφληση του εξαρτάται από την συνάρτηση K(x, y) = a ij και για τον P 2 εξαρτάται από την K(x, y) = a ij. Με άλλα λόγια ο στόχος του P 1 στο παιχνίδι είναι ακριβώς αντίθετος απο αυτόν του P 2. Αυτό που πρέπει να έχουµε υπόψην µας είναι οτι η εξόφληση κάθε παίκτη εξαρτάται και απο την επιλογή του αντιπάλου. Αν ο P 1 διαλέξει την γραµµή i τότε το ελάχιστο που µπορεί να κερδίσει είναι το min a ij. j Άρα λοιπόν µελετώντας όλες τις δυνατές επιλογές, µπορεί να εγγυηθεί στον εαυτό του το max min a ij. Με ανάλογο τρόπο σκέψης,το µέγιστο που µπορεί να χάσει i j ο P 2 διαλέγοντας τη στήλη j ειναι το max a ij και µπορεί να εγγυηθεί στον εαυτό του, εξετάζοντας όλες τις στήλες, το min j i max i Η αρχή κατασκευής µιάς στρατηγικής ϐασισµένη στην ελαχιστοποίηση των µέγιστων απωλειών καλείται αρχή minimax. Παρόµοια η αρχή κατασκευής µιάς στρατηγικής ϐασισµένη στην µεγιστοποίηση των έλαχιστων απωλειών καλείται αρχή maximin. Τα minimax και maximin του παιχνιδιού Γ = (X, Y, K) µε πίνακα τον A µπορούν να ϐρεθούν από το επόµενο σχήµα. a ij. max i a i1 max i a i2... max i a in min j a 1j a 11 a a 1n min j a 2j a 21 a a 2n..... min j a mj a m1 a m2... a mn Παράδειγµα 1: Εστω το τετραγωνικό παιχνίδι µε πίνακα A = Σύµφωνα µε τα παραπάνω έχουµε οτι : max min a ij = 3 i j min max a ij = 3. j i Οι ποσότητες max i min j a ij και min j Παραδείγµατος χάριν στο παράδειγµα 1 έχουµε max i Οµως σε ένα παιχνίδι µε πίνακα A = max a ij άλλοτε είναι ίσες και άλλοτε όχι. i [ ] min j a ij = 3 = min j max a ij. i

9 έχουµε max min a ij = 1 και min max a ij = 1. Πρέπει λοιπόν να αναζητήσουµε i j j i µία ικανή και αναγκαία συνθήκη για το πότε ισχύει η ισότητα. Λήµµα 1 Σ ενα παιχνίδι µηδενικού αθροίσµατος Γ = (X, Y, K) ισχύει : max min x X y Y K(x, y) min max y Y x X K(x, y) Απόδειξη. Εστω x X µία τυχαία στρατηγική του P 1. Τότε έχουµε οτι K(x, y) max K(x, y) x X οπότε και min K(x, y) min y Y max y Y x X K(x, y) Οµως το min max y Y x X στο οτι για κάθε x X ισχύει K(x, y) είναι κάποιος σταθερός αριθµός, οπότε καταλήγουµε max min x X y Y K(x, y) min max y Y x X K(x, y) Σ ενα παιχνίδι Γ = (X, Y, K) είναι ϕυσικό να ϑεωρήσουµε οτι υπάρχει ένα σηµείο (x, y ) X Y από το οποίο κάθε παρέκκλιση να µην δίνει κανένα επιπλέον πλεονέκτηµα και στους δύο παίχτες. Ενα τέτοιο σηµείο ονοµάζεται σηµείο ισορροπίας ή σαγµατικό σηµείο. Ορισµός 3 Σ ενα παιχνίδι δύο ατόµων µηδενικού αθροίσµατος Γ = (X, Y, K), το σηµείο (x, y ) καλείται σαγµατικό σηµείο αν : K(x, y ) K(x, y ) K(x, y) x X, y Y. Το σύνολο των σαγµατικών σηµείων στο παιχνίδι Γ ϑα συµβολίζεται µε Z(Γ), όπου Z(Γ) X Y. Από το παράδειγµα 1 έχουµε οτι το σηµείο (2, 2) είναι σαγµατικό σηµείο και K(2, 2) = 3. Θεώρηµα 1 Εστω (x 1, y 1) και (x 2, y 2) σαγµατικά σηµεία ενός παιχνιδιού Γ. Τότε : (1) K(x 1, y 1) = K(x 2, y 2) (2) (x 1, y 2 ) Z(Γ) και (x 2, y 1 ) Z(Γ) 9

10 Απόδειξη. Θα αποδείξουµε την (1) πρωτα. Από τον ορισµό του σαγµατικού σηµείου για όλα τα x X και y Y έχουµε : K(x, y1 ) K(x 1, y 1 ) K(x 1, y) (1.1) K(x, y2 ) K(x 2, y 2 ) K(x 2, y) (1.2) Αν αντικαταστήσουµε τα x και y µε x 2 και y 2 µε x 1 και y 1 τότε παίρνουµε : αντίστοιχα στην (1.1) και στην (1.2) K(x 2, y 1 ) K(x 1, y 1 ) K(x 1, y 2 ) K(x 2, y 2 ) K(x 2, y 1 ), από το οποίο προκύπτει οτι K(x 1, y 1) = K(x 2, y 2) = K(x 2, y 1) = K(x 1, y 2) (1.3) Για την (2) έχουµε : Εστω το σηµείο (x 2, y1). Από τις (1.1) και (1.3) προκύπτει οτι K(x, y1 ) K(x 1, y 1 ) = K(x 2, y 1 ) = K(x 2, y 2 ) K(x 2, y) x X, y Y. Άρα (x 2, y 1 ) Z(Γ). Παρόµοια το σηµείο (x 2, y 1 ) Z(Γ). Απο το παραπάνω ϑεώρηµα συµπεραίνουµε οτι η συνάρτηση εξόφλησης έχει την ίδια τιµή σε όλα τα σαγµατικά σηµεία ενός παιχνιδιού Γ. Ορισµός 4 Εστω (x, y ) ένα σαγµατικό σηµειό ενός παιχνιδιού Γ. u = K(x, y ) καλείται η τιµή του παιχνιδιού. Ο αριθµός Η δεύτερη συνθήκη του παραπάνω ϑεωρήµατος εννοεί το εξής : Άς συµβολίσουµε µε X και Y τις προβολές του συνόλου Z(Γ) πάνω στα X και Y αντίστοιχα, X = {x : x X, y Y, (x, y ) Z(Γ)} Y = {y : y Y, x X, (x, y ) Z(Γ)} Τότε το σύνολο Z(Γ) ισούται µε το καρτεσιανό γινόµενο X Y. Λήµµα 2 Εστω Γ = (X, Y, K) και Γ = (X, Y, K ) δύο παιχνίδια µηδενικού α- ϑροίσµατος και K = βk + α, β > 0, α = const, β = const. Τότε Z(Γ ) = Z(Γ) και u Γ = βu Γ + α 10

11 Απόδειξη. Εστω (x, y ) ένα σαγµατικό σηµείο του παιχνιδιού Γ. Τότε για κάθε x X και για κάθε y Y ϑα έχουµε K (x, y ) = βk(x, y ) + α βk(x, y) + α = K (x, y) K (x, y ) = βk(x, y ) + α βk(x, y ) + α = K (x, y ) Άρα (x, y ) Z(Γ ), οπότε Εστω τώρα (x, y ) σαγµατικό σηµείο του Γ, τότε Z(Γ) Z(Γ ) (1) K (x, y ) = βk(x, y )+α K(x, y ) = 1 β K (x, y ) α β 1 β K (x, y) α β = K(x, y) και K(x, y ) = 1 β K (x, y ) α β 1 β K (x, y ) α β = K(x, y ). Άρα (x, y ) Z(Γ), οπότε Z(Γ ) Z(Γ) (2) Από τις (1) και (2) ϑα έχουµε πως Z(Γ) = Z(Γ ). Το παραπάνω λήµµα δηλώνει την στρατηγική ισοδυναµία των δύο παιχνιδιών τα οποία διαφέρουν µόνο στην συνάρτηση εξόφλησης και την κλίµακα µέτρησης τους. Θεώρηµα 2 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη σαγµατικού σηµείου σε ένα παιχνίδι Γ = (X, Y, K) είναι : (1) Οι ποσότητες min max y Y x X K(x, y) και max (2) min y Y max x X K(x, y) = K(x, y ) = max min x X y Y min x X y Y K(x, y) υπάρχουν και K(x, y) Απόδειξη. Εστω (x, y ) σαγµατικό σηµείο του παιχνιδιού. Τότε γιά κάθε x X και y Y έχουµε : K(x, y ) K(x, y ) (3) K(x, y ) K(x, y) (4) Από την (3) συµπεραίνουµε οτι το max K(x, x X y ) K(x, y ) Από την (4) συµπεραίνουµε οτι το K(x, y ) min y Y K(x, y) Άρα max K(x, x X y ) K(x, y ) min y Y K(x, y) (5) Οµως min max y Y x X K(x, y) max x X K(x, y ) 11

12 και min y Y K(x, y) max min x X y Y K(x, y) Άρα απο την (5) καταλήγουµε στο εξής : min max K(x, y) y Y x X K(x, y ) max Οµως από το λήµµα (1) ισχύει οτι max min x X y Y K(x, y) min max y Y x X min x X y Y K(x, y) K(x, y) Τελικά min max K(x, y) = y Y x X K(x, y ) = max Γιά το αντίστροφο του ϑεωρήµατος : Εστω x 0 X το οποίο µεγιστοποιεί το min τέτοιο ώστε να ελαχιστοποιεί το max x X min K(x 0, y) = max y Y max K(x, y 0) = min x X min x X y Y K(x, y) K(x, y) και έστω ένα τυχαίο y 0 Y y Y K(x, y). ηλαδή ισχύουν τα εξής : min x X y Y max y Y x X Θα δείξουµε οτι το σηµείο (x 0, y 0 ) είναι σαγµατικό σηµείο. Από την υπόθεση έχουµε οτι max min x X y Y K(x, y) = min max y Y x X K(x, y) (6) K(x, y) (7) K(x, y), οπότε από τις (5) και (7) έχουµε οτι min K(x 0, y) = max K(x, y 0) (8) y Y x X Οµως από τον ορισµό του ελάχιστου σηµείου έχουµε : οπότε από την (8) έχουµε οτι Άρα και για κάθε x X ϑα ισχύει οτι min K(x 0, y) K(x 0, y 0 ) y Y max K(x, y 0) K(x 0, y 0 ) x X K(x, y 0 ) K(x 0, y 0 ) 12

13 Με παρόµοιο τρόπο καταλήγουµε στο οτι για κάθε y Y Άρα το (x 0, y 0 ) είναι σαγµατικό σηµείο. K(x 0, y 0 ) K(x 0, y) Σηµείωση : Ενα σαγµατικό σηµείο ενός πίνακα είναι ένα Ϲευγάρι ακεραίων i, j τέτοιο ώστε το a ij να είναι ταυτόχρονα το minimum κάθε γραµµής και το maximum κάθε στήλης. [ ] Παράδειγµα 2: Ο πίνακας A = έχει σαγµατικό σηµείο στο a 12 = 11 εφόσον το 11 είναι το minimum της πρώτης γραµµής και το maximum της δεύτερης στήλης. Ο πίνακας A = [ έχει δύο σαγµατικά σηµεία ένα στο (1,1) και ένα στο (1,3) Οµως ο πίνακας [ ] A = έχει ένα µόνο σαγµατικό σηµείο στο (1,1), το a 11 = 12. ] 13

14 14

15 Κεφάλαιο 2 ΜΙΚΤΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ 2.1 Εστω ένα τετραγωνικό παιχνίδι Γ µε πίνακα [ 1 1 A = 1 1 ] Προφανώς ο A δεν έχει σαγµατικό σηµείο εφόσον max min max y Y x X K(x, y) = 1. min x X y Y K(x, y) = 1 Άρα οι προηγούµενες µέθοδοι δεν αρκούν για την εύρεση ευνοϊκών στρατηγικών των δύο παικτών. Με άλλα λόγια, οι στρατηγικές maximin και minimax, όπως ορίστηκαν παραπάνω, δεν είναι οι ευνοικότερες και για τους δύο παίκτες. Ε- ποµένως το ερώτηµα που τίθεται είναι πως µπορεί να παιχτεί το συγκεκριµένο παιχνίδι. Παρατηρούµε οτι όποια γραµµή και αν διαλέξει ο P 1 είτε ϑα κερδίσει 1 είτε ϑα χάσει 1. Ανάλογα αποτελέσµατα ϑα έχει και ο P 2 οποιαδήποτε στήλη διαλέξει. Ε- πίσης, αν ο P 2 καταλάβει τον τρόπο παιξίµατος του P 1 τότε µπορεί να εξασφαλίσει στον εαυτό του οτι ο P 1 ϑα τον πληρώνει συνέχεια 1. Άρα λοιπόν το πιό σηµαντικό για τον P 1 είναι να καταφέρει να δυσκολέψει τον αντίπαλο του να µαντέψει την την επόµενη κίνηση του. Ενας τρόπος για να το πετύχει είναι να χρησιµοποιήσει κάποια συσκευή τύχης. Παραδείγµατος χάριν ϑα µπορούσε, ο P 1, να χρησιµοποιήσει ένα νόµισµα έτσι ώστε όταν έρχονται γράµµατα να παίζει τη γραµµή 1 και όταν έρχεται κορώνα να παίζει την γραµµή 2. Εστω ότι ο P 2 παίζει τη στήλη 1. Τότε το µέσο κέρδος ή η αναµενόµενη τιµή του P 1 είναι : ( 1) = Το ίδιο ϑα είναι το µέσο κέρδος του P 1 αν ο P 2 παίξει την στήλη 2.Κατά µέσο όρο λοιπόν ο P 1 κερδίζει µηδέν, ανεξαρτήτως της επιλογής του P 2. Ταυτόχρονα ο P 1 ελαχιστοποιεί την πιθανότητα να ανακαλύψει ο P 2 τον τρόπο που παίζει. 15

16 Γενικότερα : Άν ο P 1 χρησιµοποιούσε µε πιθανότητα x την πρώτη γραµµή και µε πιθανότητα 1 x την δεύτερη, το µέσο κέρδος του ϑα ήταν, υποθέτοντας ότι ο P 2 παίζει τη πρώτη στήλη, ή αν ο P 2 παίζει την δεύτερη στήλη x 1 + (1 x) ( 1) = 2x 1 x ( 1) + (1 x) 1 = 1 2x. Παρατηρούµε ότι αν x > 1 2 τότε 1 2x < 0, δηλαδή ο P 1 ϑα είχε αναµενόµενο κέρδος λιγότερο του µηδενός. Άν τώρα x < 1 τότε 2x 1 < 0, δηλαδή πάλι αναµενόµενο κέρδος λιγότερο του 2 µηδενός. Άρα λοιπόν ο καλύτερος τρόπος για τον P 1 να παίξει το παιχνίδι είναι να χρησιµοποιήσει κάθε γραµµή µε πιθανότητα 1. Με ανάλογο τρόπο σκέψης, ο ευνοϊκότερος 2 τρόπος παιξίµατος για τον P 2 είναι να χρησιµοποιήσει κάθε στήλη µε πιθανότητα 1. 2 Ορισµός 5 Η τυχαία µεταβλητή της οποίας οι τιµές είναι στρατηγικές ενός παίχτη καλείται µικτή στρατηγική. Εστω το παιχνίδι Γ = (X, Y, K) µε πίνακα A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn Λέγοντας µικτή στρατηγική του P 1 εννοούµε ένα m-διάστατο διάνυσµα X = (x 1, x 2,..., x m ) όπου x i R, 0 x i 1, i = 1,..., m και m i=1 x i = 1. Τα x i είναι πιθανότητες µε τις οποίες ο P 1 χρησιµοποιεί τις γραµµές 1, 2..., m. Παρόµοια µια µικτή στρατηγική του P 2 είναι ένα n-διάστατο διάνυσµα Y = (y 1, y 2,..., y n ), όπου y i R, 0 y i 1 και n j=1 y i = 1. Από εδώ και στο εξής ϑα καλούµε τις αρχικές στρατηγικές των δύο παιχτών ως γνήσιες στρατηγικές. Τα σύνολα των µικτών στρατηγικών των παιχτων P 1 και P 2 ϑα τα συµβολίζουµε µε S m και S n αντίστοιχα. Είναι ϕανερό οτι µία στρατηγική U = (u 1, u 2,..., u m ) S m όπου u i = 1 για κάποιο i = 1, 2..., m και u j = 0, για κάθε j i, είναι ισοδύναµη µε την επιλογή της γραµµης i µε πιθανότητα 1. Άρα λοιπόν µπορούµε να πούµε οτι το σύνολο των µικτών στρατηγικών ενός παίχτη είναι επέκταση του συνόλου των γνήσιων στρατηγικών του. 16

17 Ορισµός 6 Το Ϲευγάρι των µικτών στρατηγικών (X, Y ) σε ένα παιχνίδι Γ, καλείται περίπτωση στις µικτές στρατηγικές. Είµαστε έτοιµοι τώρα να ορίσουµε την εξόφληση (την αναµενόµενη εξόφληση) του P 1, σε ένα σηµείο (X, Y ),σε ένα παιχνίδι Γ. Άν ο P 1 χρησιµοποιήσει την µικτή στρατηγική X = (x 1, x 2,..., x m ) και ο P 2 την Y = (y 1, y 2,..., y n ), τότε η αναµενόµενη τιµή της εξόφλησης του P 1 δίνεται από τον τύπο m n K(X, Y ) = a ij x i y j i=1 Σηµειώνουµε ότι αν ο P 1 χρησιµοποίησει µία γνήσια στρατηγική a i = (a i1,..., a in ) και ο P 2 µία µικτή στρατηγική Y, τότε ϑα έχουµε : j=1 K(a i, Y ) = n a ij y j = a i Y j=1 ή αν ο P 1 χρησιµοποίησει µία µικτή στρατηγική X και ο P 2 µία γνήσια στρατηγική a j = (a 1j,..., a mj ), ϑα έχουµε : K(X, a j ) = m a ij x i = a j X i=1 Συµπερασµατικά, από ένα παιχνίδι Γ = (X, Y, F ) ( όπου F η συνάρτηση εξό- ϕλησης του Γ για τον P 1 ) καταλήξαµε σε ένα νέο παιχνίδι Γ = (S m, S n, K) όπου S m και S n είναι το σύνολο των µικτών στρατηγικών στο παιχνίδι Γ και K η συνάρτηση εξόφλησης (η αναµενόµενη τιµή της εξόφλησης) στις µικτές στρατηγικές. Το παιχνίδι Γ καλείται η µικτή επέκταση του παιχνιδιού Γ, Γ Γ. Παράδειγµα : Εστω το παιχνίδι µε πίνακα [ ] Το παιχνίδι δεν έχει σαγµατικό σηµείο ϐασιζόµενοι στην ϑεώρια των maximin και minimax, εφόσον min K(x, y) = 3 και max K(x, y) = 2. Άρα ϑα max y Y x X min x X y Y εργάστουµε µε τον παραπάνω τρόπο : Εστω x και 1 x οι πιθανότητες να χρησιµοποιήσει ο P 1 την γραµµή 1 και 2 αντίστοιχα και y, 1 y οι πιθανότητες να χρησιµοποιήσει ο P 2 τις στήλες 1 και 2 αντίστοιχα. Το αναµενόµενο κέρδος για τον P 1 είναι : K(X, Y ) = 1 x y+3 x (1 y)+4 (1 x) y+2(1 x) (1 y) = 4 x y+x+2 y+2 17

18 ή αλλιώς K(X, Y ) = 4 (x 1 2 ) (y 1 4 ) Από εδώ είναι ϕανερό οτι αν ο P 1 διαλέξει x = 1, τότε ϑα έχει αναµενόµενο 2 κέρδος 5 2 ανεξαρτήτως τι ϑα παίξει ο P 2. Παρόµοια ο P 2 παίζοντας y = 1 4 µπορεί να εξασφαλίσει οτι το κέρδος του P 1 δεν ϑα υπερβεί τα 5. Άρα λοιπόν ϕαίνεται 2 λογικό να πούµε οτι µία ευνοϊκή µικτή στρατηγική για τον P 1 είναι η X = ( 1, 1) 2 2 και για τον P 2 η Y = ( 1, 3). 4 4 Ορισµός 7 Το σηµείο (X, Y ) σε ένα παιχνίδι Γ είναι σαγµατικό σηµείο και ο αριθµός u = K(X, Y ) είναι η τιµή του παιχνιδιού, αν για κάθε x X και y Y ισχύει K(X, Y ) K(X, Y ) K(X, Y ) Στο προηγούµενο παράδειγµα παρατηρούµε από την οτι για κάθε (X, Y ) µε 0 X, Y 1, K(X, Y ) = 4 (x 1 2 ) (y 1 4 ) K(X, 1 4 ) K(1 2, 1 4 ) K(1 2, Y ) οπότε το σηµείο ( 1 2, 1 4 ) είναι σαγµατικό σηµείο του παιχνιδιού και u = 5 2 είναι η τιµή του. 2.2 Βασικές γεωµετρικές έννοιες Ονοµάζουµε Ευκλείδιο χώρο διάστασης n το σύνολο R n όλων των διατεταγµένων n-αδων (x 1, x 2,..., x n ) πραγµατικών αριθµών, οι οιποίες ονοµάζονται σηµεία ή διανύσµατα του χώρου. Αν x = (x 1, x 2,..., x n ) και y = (y 1,..., y n ) είναι δύο διανύσµατα και λ πραγµατικός αριθµός τότε ορίζουµε x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) λx = (λx , λx n ). Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων δίνεται από τον τύπο : x, y = x y = n x i y i. i=1 18

19 Η νόρµα ενός σιανύσµατος ορίζεται ο αριθµός : x = x x = n i=1 Οι ϐασικές ιδιότητας της νορµας είναι οι παρακάτω : x 0 x = 0 x = 0 λx = λ x x + y x + y Η νόρµα και το εσωτερικό γινόµενο συνδέονται µε την παρακάτω ϐασική ανισότητα (ανισότητα των Cauchy-Bouniakovski): x y x y Ορισµός 8 Εστω x = (x 1, x 2,..., x n ) και y = (y 1, y 2,..., y n ) δύο σηµεία του R n. Τότε η απόσταση, d(x, y), µεταξύ των x και y δίνεται από τον τύπο d(x, x) = x y = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2 x 2 i Ορισµός 9 Ενα υποσύνολο A του R n ονοµάζεται ϕραγµένο, αν υπάρχει ένας πραγµατικός αριθµός M τέτοιος ώστε, για κάθε x, y A, d(x, y) M Ορισµός 10 Ονοµάζουµε ανοιχτή σφαίρα ακτίνας r > 0 και κέντρου x 0 R n, το σύνολο, S(x 0, r) = {x R n : d(x 0, x) < r} Ορισµός 11 Θα λέµε οτι ένα υποσύνολο A του R n είναι ανοιχτό αν για κάθε x A υπάρχει ένας αριθµός r > 0 ούτως ώστε S(x, r) A Ορισµός 12 Θα λέµε οτι ένα υποσύνολο A του R n είναι κλειστό αν, το συµπλή- ϱωµα του, R n A, είναι ανοιχτό. Ορισµός 13 Ενα σηµείο x ϑα λέγεται συνοριακό σηµείο ενός συνόλου A R n, αν κάθε ανοιχτή σφαίρα µε κέντρο το x περιέχει τουλάχιστον ένα σηµείο του A και ένα σηµείο του R n A 19

20 Θα λέµε ότι µια ακολουθία σηµείων του χώρου (x) n συγκλίνει στο σηµείο x αν lim x n x = 0. n Ενα σύνολο A είναι κλειστό αν και µόνο αν κάθε ακολουθία σηµείων του που συγκλίνει ϑα συγκλίνει σε σηµείο του συνόλου, ή ισοδύναµα µια ακολουθία σηµείων του δε µπορεί να συγκλίνει έξω από το σύνολο. Ενα σύνολο λέγεται συµπαγές αν κάθε κάλυψη του µε ανοιχτά σύνολα έχει πεπερασµένη υποκάλυψη ή ισοδύναµα αν κάθε ακολουθία από στοιχεία του έχει µια υπακολουθία που συγκλίνει µέσα στο σύνολο. Μια συνάρτηση f : R n R m λέγεται συνεχής αν αν για κάθε ακολουθία (x) i στοιχείων του R n µε lim x i = x ισχύει ότι lim i f(x i ) = f(x). Μια συνάρτηση f είναι συνεχής αν και µόνο αν οι αντίστροφες εικόνες ανοικτών είναι ανοικτά σύνολα ή ισοδύναµα αν και µόνο αν οι αντίστροφες εικόνες κλειστών είναι κλειστά σύνολα. Οι συνεχείς απεικονίσεις απεικονίζουν συµπαγή σύνολα σε συµπαγή. Θεώρηµα 3 Τα κλειστά και ϕραγµένα σύνολα του R n είναι συµπαγή. Η απόσταση ενός σηµείου b από ένα σύνολο A είναι ο αριθµός d(b, A) = inf{ x b : x A} Αν το A είναι συµπαγές σύνολο για κάθε b ϑα υπάρχει ένα x 0 A τέτοιο ώστε x 0 b = d(b, A). Ορισµός 14 Το σύνολο A του R n ϑα λέγεται κυρτό αν και µόνο αν όταν x, y A και λ R µε 0 λ 1. λx + (1 λ)y A Είναι εύκολο να δείξουµε πως ένα υποσύνολο A του R n είναι κυρτό αν, εκτός από τα σηµεία x 1,..., x k A, περιέχει και όλα τα σηµεία της µορφής x = k λ i x i i=1 όπου λ i 0, k i=1 λ i = 1. Το x ϑα καλείται κυρτός γραµµικός συνδυασµός των σηµείων x 1,..., x k. Παράδειγµα: Το σηµείο (0, 15) R 2 είναι κυρτός γραµµικός συνδυασµός των σηµείων (6, 12), ( 9, 15), (4, 16) µε λ 1 = 1 6, λ 2 = 1 3, λ 3 = 1 2, αντίστοιχα. 20

21 Ορισµός 15 Εστω ένα σύστηµα γραµµικών ανισοτήτων xm b όπου M είναι ένας m n πίνακας και b = (b 1,..., b n ) R n. Συµβολίζουµε επίσης µε X = {x : xm b} το σύνολο των λύσεων του παραπάνω συστήµατος. Το σύνολο X είναι κυρτό σύνολο σύµφωνα µε τον ορισµό που δώσαµε. Το σύνολο X καλείται κυρτό πολύεδρο το οποίο περιγράφεται πλήρως από το σύστηµα των γραµµικών ανισοτήτων xm b. Ορισµός 16 Ενα σηµείο x A, όπου A κυρτό σύνολο, ϑα λέγεται ακραίο σηµείο, αν από την συνθήκη λx 1 + (1 λ)x 2 A, x 1, x 2 A και 0 < λ < 1 συνεπάγεται οτι x 1 = x 2 = x Παρατήρηση : Ο ορισµός (14) αναφέρει οτι αν x A είναι ακραίο σηµείο, τότε δεν µπορεί να είναι ανάµεσα σε δύο άλλα σηµεία του κυρτού. Ενα ακραίο σηµείο ενός κυρτού συνόλου είναι πάντα συνοριακό σηµείο. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Θεώρηµα 4 Εστω X ένα κυρτό πολύεδρο το οποίο περιγράφεται πλήρως από το σύστηµα των γραµµικών ανισοτήτων xm b, όπου M είναι ένας m n πίνακας και b = (b 1,..., b n ) R n. Τότε το σύνολο X έχει ακραία σηµεία αν και µόνο αν rank M = m Θεώρηµα 5 Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το σηµείο x 0 X να είναι ακραίο σηµείο, είναι οτι το x 0 ϑα πρέπει να είναι λύση του συστήµατος, xm b. Τα δύο παραπάνω ϑεωρήµατα µας δίνουν έναν αλγόριθµο εύρεσης ακραίων σηµείων ενός συνόλου X. Ορισµός 17 Κυρτή ϑήκη ενός πεπερασµένου πλήθους σηµείων είναι το ελάχιστο κυρτό που περιέχει αυτά σηµεία. Θεώρηµα 6 Αν X είναι ένα υπόσύνολο του R n, τότε κάθε σηµείο της κυρτής ϑήκης του X µπορεί να εκφραστεί ως κυρτός γραµµικός συνδυασµός n + 1 σηµείων του X. Ορισµός 18 Εστω a 1,..., a n πραγµατικοί αριθµοί, όχι όλλοι µηδέν, και έστω b έ- νας οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. Τότε το σύνολο των σηµείων (x 1,..., x n ) R n για τα οποία ισχύει a 1 x a n x n = b καλείται υπερεπίπεδο. 21

22 Παράδειγµα: Το σύνολο των σηµείων (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 για τα οποία 2x 1 + 3x 2 7x 3 + x 4 = 7 είναι ένα υπερεπίπεδο του R 4. Ενα υπερεπίπεδο του R 3 ειναι ένα επίπεδο, ενα υπερεπίπεδο του R 2 είναι µία ευθεία γραµµη, ενώ ένα υπερεπίπεδο του R είναι ένα σηµείο. Άν a 1 x a n x n = b είναι η εξίσωση ενός υπερεπιπέδου, τότε αυτό χωρίζει τον χώρο R n σε δύο ηµιεπίπεδα : Το σύνολο των σηµείων (x 1,..., x n ) για τα οποία a 1 x a n x n > b και το σύνολο των σηµείων (x 1,..., x n ) για τα οποία a 1 x a n x n < b Η ένωση των δύο ηµιεπιπέδων είναι όλο R n. Θεώρηµα 7 Εστω X είναι ένα υπόσύνολο του R n και έστω x ένα σηµείο του R n το οποίο δεν ανήκει στο X. Τότε υπάρχει ένα υπερεπίπεδο, P, το οποίο περιέχει το x και το X είναι υποσύνολο ενός από τα δύο ηµιεπίπεδα που δηµιουργεί το P. 2.3 Το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα των τετραγωνικών παιχνιδιών Θα αποδείξουµε τώρα το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα των τετραγωνικών παιχνιδιών ή αλλιώς το ϑεώρηµα minmax. Θα δείξουµε δηλαδή ότι σε κάθε τετραγωνικό παιχνίδι, οι ποσότητες max min K(X, Y ) x S m y S n και min y S n max x S m K(X, Y ) υπάρχουν και είναι ίσες. Πρώτα όµως ϑα αποδείξουµε ένα λήµµα που αφορά τους πίνακες και ϑα µας ϐοηθήσει στην απόδειξη του ϑεωρήµατος. Λήµµα 3 Εστω A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn ένας πίνακας. Τότε είτε 22

23 (1) υπάρχει ένα στοιχείο X = (x 1, x 2,..., x m ) S m τέτοιο ώστε a 1j x 1 + a 2j x a mj x m 0, j = 1,..., n ή (2) υπάρχει ένα στοιχείο Y = (y 1, y 2,..., y n ) S n τέτοιο ώστε a i1 y 1 + a i2 y a in y m 0, i = 1,..., m Απόδειξη. Θα χρησιµοποιήσουµε στην απόδειξη τα δέλτα σύµβολα του Kronecker, τα οποία ορίζονται ως εξής : { δij = 0 αν i j δ ii = 1 Θέτουµε δ (1) = [δ 11 δ δ m1 ] δ (2) = [δ 12 δ δ m2 ]. δ (m) = [δ 1m δ 2m... δ mm ] ηλαδή το δ (i), γιά i = 1,..., m, είναι ένα σηµείο του R m του οποίου η i-οστή συντεταγµένη είναι 1 και όλες οι υπόλοιπες είναι 0. Επίσης ϑέτουµε a (1) = [a 11 a a m1 ] a (2) = [a 12 a a m2 ]. a (n) = [a 1n a 2n... a mn ] ηλαδή το a (j), γιά j = 1,..., n, είναι το σηµείο του οποίου οι συντεταγµένες είναι τα στοιχεία της j στήλης του πίνακα. Εστω τώρα C η κυρτή ϑήκη του συνόλου των m + n σηµείων δ (1),..., δ (m), a (1),..., a (n). Εστω z = (0, 0,..., 0) η αρχή των αξόνων του R m. ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις : z C ή z / C. Άν z C, τότε το z γράφεται ώς γραµµικός των σηµείων δ (1),..., δ (m), a (1),..., a (n). Άρα υπάρχει ένα στοιχείο (u 1,..., u m, v 1,..., v n ) S m+n, µε u u m + v v n = 1, u 1,..., u m, v 1,..., v n 0, τέτοιο ώστε u 1 δ (1) + u 2 δ (2) u m δ (m) + v 1 a (1) + v 2 a (2) v n a (n) = z (1) Η σχέση (1) σηµαίνει οτι έχουµε u 1 δ i u m δ im + v 1 a i v n a in = 0 23

24 γιά κάποιο i = 1,..., m. Οπότε από τον ορισµό των συµβόλων δέλτα έχουµε οτι, u i + v 1 a i v n a in = 0 (2) γιά κάποιο i = 1,..., m. Οµως το u i είναι µη-αρνητικό, άρα από την (2) έχουµε v 1 a i v n a in 0 (3) γιά κάποιο i = 1,..., m Επιπρόσθετα, Άν ήταν όµως v v n 0 v v n = 0 τότε ϑα είχαµε v 1 =... = v n = 0 εφόσον v j 0 γιά κάθε j = 1,..., n και από την (2) καταλήγουµε στο οτι και u i = 0, το οποίο αντιβαίνει το γεγονός οτι (u 1,..., u m, v 1,..., v n ) S m+n, (u u m + v v n = 1). Άρα λοιπόν v v n > 0 (4) Θέτουµε y 1 = v 1 v v n y 2 =. v 2 v v n (5) Από τις (3) και (4) καταλήγουµε στο οτι v n y n = v v n y 1 a i y n a in 0 για κάποιο i = 1,..., m. Εφόσον y y n = 1 και y j > 0 για κάθε j = 1,..., n καταλήγουµε στο οτι το διάνυσµα (y 1,..., y n ) ανήκει στο S n Άρα η συνθήκη (2) του λήµµατος αποδείχθηκε. Εστω τωρα οτι z / C. Τότε από το ϑεώρηµα (7) υπάρχει ένα υπερεπίπεδο το οποίο περιέχει το z και το σύνολο C ϐρίσκεται εξόλοκλήρου σε ένα από τα δύο 24

25 ηµιεπίπεδα που σχηµατίζει το υπερεπίπεδο. Άς υποθέσουµε οτι η εξίσωση του υπερεπιπέδου είναι : b 1 t b m t m = b m+1 Εφόσον το z = (0,..., 0) ανήκει στο υπερεπίπεδο έχουµε οτι b b m 0 = b m+1 δηλαδή b m+1 = 0 οπότε η εξίσωση του υπερεπιπέδου είναι b 1 t b m t m = 0 (6) και µπορούµε να υποθέσουµε οτι κάθε σηµείο (t 1,..., t m ) του συνόλου C ικανοποιεί την ανισότητα b 1 t b m t m > 0 (7) Άν τα σηµεία του C ικανοποιούσαν την ανισότητα c 1 t c m t m < 0 ϑα πολλαπλασιάζαµε µε -1 και ϑα παίρναµε την ( c 1 )t ( c m )t m > 0 καταλήγοντας πάλι στην (7), αντικαθιστώντας τα c i µε b i Τα σηµεία δ (1),..., δ (m) ανήκουν στο C, οπότε έχουµε b 1 δ 1i b m δ mi > 0 γιά κάποιο i = 1,..., m Αυτό σηµαίνει (από τον ορισµό των σηµείων δέλτα) οτι b i > 0 (8) γιά κάποιο i = 1,..., m Οµως και τα σηµεία a (1),..., a (n) ανήκουν στο σύνολο C, οπότε και b 1 a 1j b m a mj > 0 (9) γιά κάθε j = 1,..., n Από την (8) είναι ϕανερό οτι οπότε µπορούµε να ϑέσουµε b b m > 0 25

26 b 1 x 1 = b b m x 2 = b 2 b b m. b m x m = b b m Από τις (9) και (10) συµπεραίνουµε οτι (10) για κάποιο j = 1,..., n Οπότε και x 1 a 1j x m a mj > 0 (11) x 1 a 1j x m a mj 0 για κάποιο j = 1,..., n Από τις (8) και (10) καταλήγουµε στο οτι το διάνυσµα (x 1,..., x m ) ανήκει στο S m, οπότε η συνθήκη (1) του λήµµατος ικανοποιείται. Θεώρηµα 8 Εστω A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn ένας τυχαίος πίνακας και έστω K(X, Y ) η αναµενόµενη τιµή της εξόφλησης του P 1, γιά κάθε X = (x 1, x 2,..., x m ) S m και γιά κάθε Y = (y 1, y 2,..., y n ) S n τα οποία είναι µέλη των S m και S n αντίστοιχα, η οποία ορίζεται ώς εξής : m n K(X, Y ) = a ij x i y j i=1 j=1 Τότε οι ποσότητες και max X S m min Y S n K(X, Y ) min max K(X, Y ) Y S n X S m υπάρχουν και είναι ίσες. Απόδειξη. Για κάθε Y = (y 1, y 2,..., y n ) η αναµενόµενη τιµή της εξόφλησης K(X, Y ) είναι µία συνεχής συνάρτηση του X = (x 1, x 2,..., x m ) η οποία ορίζεται στο συµπαγές σύνολο S m R m. Άρα παρατηρούµε ότι το max K(X, Y ) X S m 26

27 υπάρχει για κάθε Y S n και µάλιστα είναι µία συνάρτηση που εξαρτάται από το Y. Εφόσον το σύνολο S n είναι και αυτό συµπαγές υποσύνολο του R n, συµπεραίνουµε οτι το min max K(X, Y ) υπάρχει. Παρόµοια µπορούµε να δείξουµε οτι Y S n X S m και το max min K(X, Y ) υπάρχει. X S m Y S n Άν η συνθήκη (1) του λήµµατος ικανοποιείται, τότε υπάρχει ένα στοιχείο X = (x 1, x 2,..., x m ) S m τέτοιο ώστε για κάποιο j = 1,..., n. Οπότε για κάθε Y S n, x 1 a 1j x m a mj 0 K(X, Y ) = n (x 1 a 1j x m a mj )y j 0. (12) j=1 Εφόσον η (12) ισχύει για κάθε Y S n, παρατηρούµε οτι min K(X, Y ) 0 Y S n οπότε και max min K(X, Y ) 0 (13) X S m Y S n Με παρόµοιο τρόπο συµπεραίνουµε οτι αν η συνθήκη (2) του παραπάνω λήµ- µατος ισχύει, τότε min max K(X, Y ) 0 (14) Y S n X S m Από την στιγµή που σίγουρα µία από τις δύο συνθήκες του λήµµατος ϑα ισχύει για τον πίνακα A, τότε τουλάχιστον µία από τις σχέσεις (13) και (14) ϑα πρέπει να είναι αληθής. Άρα η σχέση max min K(X, Y ) < 0 < min max K(X, Y ) (15) X S m Y S n Y S n X S m είναι ψευδής. Εστω τώρα A s, ο πίνακας που προκύπτει από τον A αφαιρώντας κάθε στοιχείο του µε s a 11 s a 12 s... a 1n s a 21 s a 22 s... a 2n s A =... a m1 s a m2 s... a mn s 27

28 και έστω K s (X, Y ) = m i=1 n (a ij s)x i y j (16) για κάθε X S m και Y S n, η αναµενόµενη συνάρτηση εξόφλησης του P 1 για τον πίνακα A s. Οπως δείξαµε οτι η (15) είναι ψευδής, µπορούµε να δείξουµε οτι και η σχέση j=1 max min K s (X, Y ) < 0 < min max K s (X, Y ) (17) X S m Y S n Y S n X S m είναι ψευδής. Από την (16) παρατηρούµε οτι και από τις (17) και (18) συµπεραίνουµε οτι η σχέση είναι ψευδής. Άρα και η K s (X, Y ) = K(X, Y ) s (18) max X S m min Y S n K(X, Y ) s < 0 < min Y S n max X S m K(X, Y ) s (19) max X S m min Y S n K(X, Y ) < s < min Y S n max X S m K(X, Y ) (20) είναι ψευδής. Καταλήξαµε λοιπόν στο οτι η (20) είναι ψευδής για κάθε s, οπότε και η σχέση είναι ψευδής. Άρα η max min K(X, Y ) < min max K(X, Y ) X S m Y S n Y S n X S m max min K(X, Y ) min max K(X, Y ) (21) X S m Y S n Y S n X S m είναι αληθής. Από το λήµµα (1) του πρώτου κεφαλαίου έχουµε επίσης οτι max min K(X, Y ) min max K(X, Y ) (22) X S m Y S n Y S n X S m Από τις (21) και (22) έχουµε το Ϲητούµενο, δηλαδή οτι max min K(X, Y ) = min max K(X, Y ) X S m Y S n Y S n X S m Παρατήρηση :Με το ϑεώρηµα (8) αποδεικνύουµε οτι κάθε τετραγωνικό παιχνίδι έχει τιµή και οτι κάθε παίχτης ενός παιχνιδιού έχει τουλάχιστον µία ευνοϊκή στρατηγική. 28

29 2.4 Ιδιότητες των ευνοϊκών στρατηγικών Παραθέτουµε µερικά ϑεωρήµατα που ϑα µας ϐοηθήσουν να ϐρίσκουµε ευνοϊκες στρατηγικές και για τους δύο παίχτες. Θεώρηµα 9 Εστω ένα τετραγωνικό παιχνίδι m n του οποίου η τιµή είναι u. Τότε ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το στοιχείο X S m να είναι ευνοϊκή στρατηγική για τον P 1 είναι η εξής : Για κάθε Y S n έχουµε u K(X, Y ). Παρόµοια, ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το στοιχείο Y S n να είναι ευνοϊκή στρατηγική για τον P 2 είναι η εξής : Για κάθε X S m έχουµε. u K(X, Y ) Απόδειξη. Άν X είναι µία ευνοϊκή στρατηγική γιά τον P 1, τότε υπάρχει ένα Y S n τέτοιο ώστε το (X, Y ) να είναι σαγµατικό σηµείο του παιχνιδιού. Άρα γιά κάθε Y S n, u = K(X, Y ) K(X, Y ) όπως ϑέλαµε να δείξουµε. Γιά το αντίστροφο, έστω X S m τέτοιο ώστε γιά κάθε Y S n u K(X, Y ) (23) Από το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα τών τετραγωνικών παιχνιδιών, υπάρχει ένα σηµείο (X, Y ) τέτοιο ώστε, γιά κάθε X S m και γιά κάθε Y S n K(X, Y ) K(X, Y ) K(X, Y ) (24) Από την υπόθεση όµως έχουµε οτι η τιµή του παιχνιδιού είναι u, οπότε Από τις (23) και (25) έχουµε ότι K(X, Y ) = u (25) K(X, Y ) K(X, Y ) (26) Αντικαθιστώντας το Y µε Y και το X µε X στη σχέση (24) παίρνουµε K(X, Y ) K(X, Y ) K(X, Y ) δηλαδή K(X, Y ) = K(X, Y ) (27) 29

30 Από τις (24), (26) και (27) έχουµε ότι K(X, Y ) K(X, Y ) K(X, Y ) δηλαδή το σηµείο (X, Y ) είναι σαγµατικό σηµείο του παιχνιδιού και η X είναι ευνοϊκή στρατηγική για τον P 1. Η απόδειξη του δεύτερου µέρους του ϑεώρηµατος γίνεται µε παρόµοιο τρόπο. Σηµείωση: Το επόµενο ϑεώρηµα µας παρέχει έναν γρήγορο τρόπο ώστε να ελέγχουµε την ορθότητα µιάς πιθανής λύσης. Θεώρηµα 10 Εστω ένα τετραγωνικό παιχνίδι m n, u ένας πραγµατικός αριθµός και κάποια X S m και Y S n. Τότε ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το u να είναι η τιµή του παιχνιδιού και τα X και Y ευνοϊκές στρατηγικές των P 1 και P 2 αντίστοιχα, είναι : γιά κάθε 1 i m και 1 j n όπου i = 1,..., m και j = 1,..., n K(a i, Y ) u K(X, a j ) Απόδειξη. Το αναγκαίο του ϑεώρηµατος προκύπτει από τον ορισµό του σαγ- µατικού σηµείου. Γιά το ικανό έχουµε : γιά κάθε X = (x 1, x 2,..., x m ) S m, m K(a i, Y )x i i=1 m ux i = u i=1 οπότε Παρόµοια, γιά κάθε Y = (y 1, y 2,..., y n ) S n έχουµε K(X, Y ) u (28) n K(X, a j )y j j=1 n uy j = u j=1 οπότε u K(X, Y ) (29) Αντικαθιστώντας µε X το X και µε Y το Y στις (28) και (29) αντίστοιχα, παίρνουµε ότι K(X, Y ) u και οπότε u K(X, Y ) u = K(X, Y ) (30) 30

31 Από τις (28), (29) και (30) έχουµε ότι K(X, Y ) K(X, Y ) = u K(X, Y ) δηλαδή το σηµείο (X, Y ) είναι σαγµατικό σηµείο και το u είναι η τιµή του παιχνιδιού. Θεώρηµα 11 Εστω ένα τετραγωνικό παιχνίδι m n του οποίου η τιµή είναι u. Τότε ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το στοιχείο X S m να είναι ευνοϊκή στρατηγική για τον P 1 είναι, γιά κάθε 1 j n, u K(X, a j ) Παρόµοια, ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το στοιχείο Y S n να είναι ευνοϊκή στρατηγική για τον P 2 είναι, γιά κάθε 1 i m,. K(a i, Y ) u Απόδειξη. Για το ευθύ, έστω X ευνοϊκή στρατηγική του P 1. Τότε υπάρχει µία ευνοϊκή στρατηγική Y του P 2 τέτοια ώστε το σηµείο (X, Y ) να είναι σαγµατικό σηµείο του παιχνιδιού. Άρα για κάθε X S m και Y S n, οπότε K(X, Y ) K(X, Y ) K(X, Y ) u = K(X, Y ) K(X, a j ) για κάθε 1 j n. Το αντίστροφο, έστω Y = (y 1,..., y n ) S n µία µικτή στρατηγική του P 2. Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της σχέσης u K(X, a j ) µε y j και προσθέτοντας έχουµε οτι n n uy j K(X, a j )y j ισοδύναµα j=1 j=1 u K(X, Y ) για κάθε Y S n Από το ϑεώρηµα (9), καταλήγουµε στο οτι η στρατηγική X είναι ευνοϊκή για τον P 1. 31

32 Θεώρηµα 12 Εστω ένα τετραγωνικό παιχνίδι m n και έστω (X, Y ) µία λύση του παιχνιδιού. Τότε max K(a i, Y ) = min 1 i m 1 j n K(X, a j ) Απόδειξη. Από το προηγούµενο ϑεώρηµα έχουµε ότι γιά κάθε 1 j n, u K(X, a j ) όπου u είναι η τιµή του παιχνιδιού, οπότε u min 1 j n K(X, a j ) Άν είχαµε ότι τότε ϑα είχαµε ότι γιά κάθε 1 j n οπότε ή u < min 1 j n K(X, a j ) n uyj < j=1 u < K(X, a j ) n K(X, a j )yj j=1 u < K(X, Y ) το οποίο αντιβαίνει την υπόθεση ότι η τιµή του παιχνιδιού είναι u. Άρα Με παρόµοιο τρόπο δείχνουµε ότι u = min 1 j n K(X, a j ) u = max 1 i m K(a i, Y ) Σηµείωση:Το επόµενο ϑεώρηµα είναι πολύ χρήσιµο όταν Ϲητείται η λύση ενός παιχνιδιού. Θεώρηµα 13 Εστω ένα τετραγωνικό παιχνίδι m n του οποίου η τιµή είναι u και έστω X = (x 1,..., x m) και Y = (y 1,..., y m) δύο ευνοϊκες στρατηγικές των P 1 και P 2 αντίστοιχα. Τότε, για οποιοδήποτε 1 i m για το οποίο ισχύει οτι K(a i, Y ) < u 32

33 έχουµε οτι x i = 0 Παρόµοια, για οποιοδήποτε 1 j n για το οποίο ισχύει u < K(X, a j ) έχουµε οτι y j = 0 Απόδειξη. Εστω οτι για κάποιο t = 1,..., m, K(a t, Y ) < u και οτι x t 0 Τότε, K(a t, Y )x t < ux t Οµως για k = 1,..., t 1, t + 1,..., m, έχουµε K(a k, Y ) u οπότε K(a k, Y )x k ux k Άρα δηλαδή, m K(a i, Y )x i < m i=1 i=1 K(X, Y ) < u ux i το οποίο είναι άτοπο, εφόσον το u είναι η τιµή του παιχνιδιού. Η απόδειξη του δεύτερου µέρους είναι παρόµοια. Θεώρηµα 14 Εστω ένα τετραγωνικό παιχνίδι m n και έστω X και Y στοιχεία των S m και S n αντίστοιχα. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Η X είναι ευνοϊκή στρατηγική για τον P 1 και η Y ευνοϊκή στρατηγική για τον P 2 (2) Αν X είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο του S m και Y ένα οποιοδήποτε στοιχείο του S n, τότε K(X, Y ) K(X, Y ) K(X, Y ) 33

34 (3) Αν a i και a j είναι γνήσιες στρατηγικές των P 1 και P 2 αντίστοιχα µε 1 i m και 1 j n, τότε K(a i, Y ) K(X, Y ) K(X, a j ) Θα δείξουµε τώρα µέσα από µερικά χαρακτηριστικά παραδείγµατα, πώς τα παραπάνω ϑεωρήµατα µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την εύρεση λύσης ενός παιχνιδιού. Παράδειγµα 1: Θέλουµε να ϐρούµε την τιµή και τις ευνοϊκές στρατηγικές των δύο παιχτών ενός παιχνιδιού µε πίνακα A = Το ϑεώρηµα µας εξασφαλίζει την ύπαρξη λύσης. Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα 10, αρκεί να ϐρούµε αριθµούς x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 και u που ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες : x 1 + x 2 + x 3 = 1 y 1 + y 2 + y 3 = 1 0 x 1, x 2, x y 1, y 2, y 3 1 1x 1 + ( 1)x 2 + ( 1)x 3 u ( 1)x 1 + ( 1)x 2 + 2x 3 u ( 1)x 1 + 3x 2 + ( 1)x 3 u 1y 1 + ( 1)y 2 + ( 1)y 3 u ( 1)y 1 + ( 1)y 2 + 3y 3 u ( 1)y 1 + 2y 2 + ( 1)y 3 u Εχουµε ακριβώς 2 6 πιθανές περιπτώσεις να αντικαταστήσουµε τις ανισότητες, στις παραπάνω σχέσεις, µε γνήσιες ανισότητες και ισότητες. Εστω οτι αντικαθιστούµε όλες τις ανισότητες µε ισότητες : Οπως επίσης και x 1 x 2 x 3 = u x 1 x 2 + 2x 3 = u x 1 + 3x 2 x 3 = u x 1 + x 2 + x 3 = 1 y 1 + y 2 + y 3 = 1 y 1 y 2 y 3 = u y 1 y 2 + 3y 3 = u y 1 + 2y 2 y 3 = u Λύνοντας ώς προς x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 και u ϐρίσκουµε οτι : x 1 = 6 13 x 2 = 3 13 x 3 = 4 13 y 1 = 6 13 y 2 = 4 13 y 3 = 3 13 u =

35 Άρα λοιπόν µία ευνοϊκή στρατηγική για τον P 1 είναι η X = ( 6, 3, 4 ) και για τον P 2 η Y = ( 6, 4, 3 1 ). Η τιµή του παιχνιδιού είναι η u = Παράδειγµα 2: Θέλουµε και πάλι να ϐρούµε την τιµή και τις ευνοϊκές στρατηγικές των δύο παιχτών ενός παιχνιδιού µε τον ακόλουθο πίνακα, A = Το ϑεώρηµα 8 µας εξασφαλίζει την ύπαρξη λύσης και από το ϑεώρηµα 10 αρκεί να ϐρούµε αριθµούς x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 και u που ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες : x 1 + x 2 + x 3 = 1 y 1 + y 2 + y 3 = 1 0 x 1, x 2, x y 1, y 2, y 3 1 3x 1 x 2 + 2x 3 u 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 u 4x 1 + 2x 2 + 6x 3 u 3y 1 2y 2 + 4y 3 u y 1 + 4y 2 + 2y 3 u 2y 1 + 2y 2 + 6y 3 u Παίρνουµε την πρώτη περίπτωση αντικαθιστώντας όλες τις ανισότητες µε ισότητες και έχουµε : 3x 1 x 2 + 2x 3 = u 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 = u 4x 1 + 2x 2 + 6x 3 = u 3y 1 2y 2 + 4y 3 = u y 1 + 4y 2 + 2y 3 = u 2y 1 + 2y 2 + 6y 3 = u Εύκολα παρατηρούµε οτι οι ισότητες δεν δίνουν λύση. Αυτό σηµαίνει οτι δεν µπο- ϱούµε να αντικαταστήσουµε ολες τις ανισότητες µε ισότητες. Άρα ϑα εξετάσουµε άλλη περίπτωση. Αντικαθιστούµε την πρώτη σχέση µε γνήσια ανισότητα και τις υπόλοιπες µε ισότητες και έχουµε : 3x 1 x 2 + 2x 3 > u 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 = u 4x 1 + 2x 2 + 6x 3 = u 3y 1 2y 2 + 4y 3 = u y 1 + 4y 2 + 2y 3 = u 2y 1 + 2y 2 + 6y 3 = u Από το ϑεώρηµα 13, εφόσον 3x 1 x 2 + 2x 3 > u, έχουµε οτι y 1 = 0. Οµως και πάλι δεν είναι δυνατόν να ϐρούµε λύση οπότε πρέπει να εξετάσουµε και άλλη περίπτωση. Συνεχίζοντας µε αυτό τον τρόπο καταλήγουµε στην παρακάτω περίπτωση : 3x 1 x 2 + 2x 3 = u 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 = u 4x 1 + 2x 2 + 6x 3 > u 3y 1 2y 2 + 4y 3 < u y 1 + 4y 2 + 2y 3 = u 2y 1 + 2y 2 + 6y 3 = u 35

36 Από το ϑεώρηµα 13, εφόσον 4x 1 + 2x 2 + 6x 3 > u, έχουµε οτι y 3 = 0. Επίσης από την 3y 1 2y 2 + 4y 3 < u έχουµε οτι x 1 = 0. Άρα έχουµε να λύσουµε το εξής σύστηµα : x 2 + 2x 3 = u y 1 + 4y 2 = u 4x 2 + 2x 3 = u 2y 1 + 2y 2 = u x 2 + x 3 = 1 y 1 + y 2 = 1 Λύνοντας το σύστηµα ϐρίσκουµε : Άρα το σύνολο των λύσεων είναι : x 2 = 0, x 3 = 1, y 1 = 2 5, y 2 = 3 5, u = 2 x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 1 y 1 = 2 5 y 2 = 3 5 y 3 = 0 u = 2 Άν αντικαταστήσουµε αυτές τις τιµές στις αρχικές ανισότητες ϑα διαπιστώσουµε οτι όλες ικανοποιούνται. Άρα η τιµή του παιχνιδιού είναι ίση µε 2. Το διάνυσµα X = (0, 0, 1) είναι µία ευνοϊκη στρατηγική για τον P 1 ενώ το διάνυσµα Y = ( 2 5, 3 5, 0) είναι µία ευνοϊκη στρατηγική για τον P Στρατηγικές που κυριαρχούν ή κυριαρχούνται Η δυσκολία εύρεσης λύσης σε ένα τετραγωνικό παιχνίδι αυξάνει ανάλογα µε την διάσταση του πίνακα του παιχνιδιού. Σε µερικές περιπτώσεις µπορούµε, µε α- πευθείας εξέταση του πίνακα, να απορρίψουµε κάποιες γνήσιες στρατηγικές πού δεν ϑα χρησιµοποιηθούν ποτέ και από κανένα παίχτη για την κατασκευή µιάς ευνοϊκής µικτής στρατηγικής. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα να µπορούµε να αντικαταστήσουµε τον αρχικό πίνακα µε ένα πίνακα µικρότερης διάστασης, κάνοντας έτσι το πρόβληµα εύρεσης λύσης ευκολότερο. Παράδειγµα: Εστω το τετραγωνικό παιχνίδι µε πίνακα A = Παρατηρούµε οτι κάθε στοιχείο της τρίτης γραµµής είναι µικρότερο από κάθε στοιχείο της δεύτερης γραµµής (στην αντίστοιχη στήλη). Άρα λοιπόν ϑα ήταν ευνοϊκότερο για τον P 1, ανεξαρτήτως τι ϑα παίξει ο P 2, να µην χρησιµοποιήσει καθόλου την τρίτη γραµµή για την κατασκευή µιας ευνοϊκής µικτής στρατηγικής 36

37 ή αλλιώς, να την χρησιµοποιήσει µε πιθανότητα µηδέν. Ετσι για να λύσουµε το αρχικό παιχνίδι αρκεί να λύσουµε το παιχνίδι µε πίνακα B = [ Η τιµή του παιχνιδιού δεν ϑα αλλάξει εφόσον ο P 2 έχει τις ίδιες ευνοϊκές στρατηγικές και στα δύο παιχνίδια (οι στήλες δεν µειώθηκαν) και για τον P 1, αν (x 1, x 2 ) µία ευνοϊκή µικτή στρατηγική του στο δεύτερο παιχνίδι τότε η (x 1, x 2, 0) είναι ευνοϊκή µικτή στρατηγική στο αρχικό παιχνίδι. Με παρόµοιο τρόπο, εφόσον κάθε στοιχείο της τρίτης στήλης είναι µέγαλύτερο από κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης (στην αντίστοιχη γραµµή) και λαµβάνοντας υπόψην οτι ο P 2 ϑέλει να ελαχιστοποιήσει το κέρδος του P 1, σβήνουµε την τρίτη στήλη. Ετσι, µπορούµε να ϐρούµε την λύση του αρχικού παιχνιδιού λύνοντας το παιχνίδι µε πίνακα Γ = [ Ορισµός 19 ϑα λέµε οτι η στρατηγική x του P 1 κυριαρχεί την στρατηγική x, σε ένα παιχνίδι Γ, αν ισχύει η ακόλουθη ανισότητα για κάθε γνήσια στρατηγική a j, 1 j n, του P 2 x a j x a j ]. ]. Παρόµοια, η στρατηγική y του P 2 κυριαρχεί την στρατηγική y, αν για κάθε γνήσια στρατηγική a i, 1 i m, του P 1 ισχύει η παρακάτω ανισότητα y a i y a i Ο παραπάνω ορισµός µπορεί να διατυπωθεί παρόµοια και για τις γνήσιες στρατηγικές των δύο παιχτών. Ορισµός 20 Μία γνήσια στρατηγική a i = (a i 1,..., a i n) του P 1, κυριαρχεί την στρατηγική a i = (a i 1,..., a i n) του P 1, όπου 1 i, i m, αν για κάθε j = 1,..., n ισχύει η ακόλουθη ανισότητα a i j a i j Παρόµοια µία γνήσια στρατηγική a j = (a 1j,..., a mj ) του P 2 κυριαρχεί µία άλλη στρατηγική a j = (a 1j,..., a mj ) του ίδιου παίχτη, 1 j, j, n, αν για κάθε i = 1,..., m ισχύει a j a j Άν οι παραπάνω ανισότητες ικανοποιούνται ως γνήσιες ανισότητες, τότε ϑα λέµε οτι οι στρατηγικές x και y είναι αυστηρά κυρίαρχες των στρατηγικών x και y αντίστοιχα. Παρόµοια ϑα λέµε οτι οι στρατηγικές a i και a j είναι αυστηρά κυρίαρχες των στρατηγικών a i και a j αντίστοιχα. 37

38 Ορισµός 21 Θα λέµε οτι η στρατηγική x (y ) του P 1 (P 2 ) κυριαρχείται, αν υπάρχει µία τουλάχιστον στρατηγική x x (y y ) του P 1 (P 2 ) η οποία κυριαρχεί την x (y ). Αλλιώς ϑα λέµε οτι η στρατηγική x (y ) είναι µία µη-κυριαρχηµένη στρατηγική. Θεώρηµα 15 Αν σε ένα τετραγωνικό παιχνίδι η στρατηγική w ενός παίχτη κυ- ϱιαρχεί µία ευνοϊκή στρατηγική w, τότε η w είναι και αυτή ευνοϊκή στρατηγική. Απόδειξη. Για να είµαστε πιό συγκεκριµµένοι, έστω x µία τυχαία στρατηγική του P 1 και x µία ευνοϊκή στρατηγική του ίδιου παίχτη. Από την κυριαρχία της x στην x έχουµε, για κάθε j = 1,..., n x a j x a j Οµως η στρατηγική x είναι ευνοϊκή, οπότε : Άρα η στρατηγική x είναι ευνοϊκη. u = min 1 j n x a j min 1 j n x a j min 1 j n x a j = u Συµπέρασµα : Μία ευνοϊκή στρατηγική µπορεί να κυριαρχείται µόνο από µία άλλη ευνοϊκή στρατηγική. Επίσης, καµία ευνοϊκή στρατηγική δεν µπορεί να κυριαρχείται αυστηρά. Θεώρηµα 16 Αν σε ένα τετραγωνικό παιχνίδι η στρατηγική w ενός παίχτη είναι ευνοϊκή, τότε η w δεν κυριαρχείται αυστηρά από καµία στρατηγική του ίδιου παίχτη. Απόδειξη. Εστω x µία ευνοϊκή στρατηγική του P 1 και u τιµή του παιχνιδιού. Υποθέτουµε οτι η x κυριαρχείται αυστηρά από κάποια στρατηγική x του P 1. Τότε για κάθε j = 1,..., n έχουµε x a j > x a j Άρα min 1 j n x a j > min 1 j n x a j Οµως η x είναι ευνοϊκή, οπότε min 1 j n x a j = u. Αυτό σηµαίνει οτι max x S m min 1 j n xaj > u το οποίο αντιτίθεται στο γεγονός οτι το u είναι η τιµή του παιχνιδιού. Άρα η x δεν κυριαρχείται αυστηρά. 38

39 Το αντίστροφο του ϑεωρήµατος δεν ισχύει γενικά. Παραδείγµατος χάριν στο παιχνίδι µε πίνακα [ ] οι δύο γνήσιες στρατηγικές του P 1, a 1, a 2, δεν κυριαρχούνται αυστηρά αλλά καµία από τις δύο δεν είναι ευνοϊκή. ϑα παρουσιάσουµε την ιδέα της επέκτασης µιάς µικτής στρατηγικής στην i- οστή ϑέση : Άν x = (x 1,..., x m ) S m και i = 1,..., m + 1, τότε η επέκταση στην i-οστή ϑέση της στρατηγικής x είναι το διάνυσµα x = (x 1,..., x i 1, 0, x i,..., x m ). Για παράδειγµα, η επέκταση του διανύσµατος ( 1, 2, 7 ) στην δεύτερη ϑέση, είναι το διάνυσµα ( 1, 0, 2, ). Η επέκταση του ( 1, 2, 7 ) στην πρώτη ϑέση, είναι το διάνυσµα (0, 1, 2, 7 1 ). Στην τέταρτη ϑέση, η επέκταση του (, 2, 7 ) είναι το διάνυσµα ( 1, 2, 7, 0) Στο παράδειγµα που δώσαµε στην αρχή της παραγράφου καταλήξαµε στο συµπέρασµα οτι για να λύσουµε το παιχνίδι µε πίνακα A = 6 2 7, αρκεί να λύσουµε το παιχνίδι µε πίνακα [ 1 7 Γ = 6 2 Οµως το παιχνίδι µε πίνακα τον Γ έχει τιµή u = 4 και τα διανύσµατα ( 2, 3) 5 5 και ( 1, 1) 2 2 είναι ευνοϊκες στρατηγικές των παιχτών P 1 και P 2 αντίστοιχα. Άρα το αρχικό παιχνίδι έχει και αυτό τιµή u = 4 και τα διανύσµατα ( 2, 3, 0) 5 5 και ( 1, 1, 0) είναι 2 2 ευνοϊκες στρατηγικές των παιχτών P 1 και P 2 αντίστοιχα. Μπορούµε να γενικεύσουµε τα παραπάνω στην περίπτωση που τα στοιχεία µιάς γραµµής, µπορεί να µην είναι όλα µικρότερα από τα στοιχεία µιάς άλλης γραµ- µής, αλλά να είναι όλα µικρότερα από κάποιο γραµµικό συνδυασµό των αντίστοιχων στοιχείων των άλλων γραµµών. ]. Παράδειγµα 1 Εστω το παιχνίδι µε πίνακα 24 0 A = Παρατηρούµε οτι καµία γνήσια στρατηγική a i, i = 1,..., m, δεν είναι αυστηρά κυρίαρχη στο παιχνίδι. Οµως τα στοιχεία της τρίτης γρµµής είναι µικρότερα από 39

40 κάποιο γραµµικό συνδυασµό των αντίστοιχων στοιχείων των άλλων γραµµών. ηλαδή 4 < και 5 < Άρα είναι ευνοϊκότερο για τον P 1 να µην χρησιµοποιήσει την τρίτη γραµµή. Για να λύσουµε λοιπόν το παιχνίδι µε πίνακα τον A, αρκεί να λύσουµε το παιχνίδι µε πίνακα B = [ Η τιµή αυτού του παιχνιδιού είναι u = 6 και οι στρατηγικές x = ( 1 4, 3 4 ) και y = ( 1 4, 3 4 ) είναι ευνοϊκές στρατηγικές των P 1 και P 2 αντίστοιχα. Άρα το παιχνίδι µε πίνακα τον A έχει τιµή u = 6 και οι στρατηγικές x = ( 1 4, 3 4, 0) και y = ( 1 4, 3 4, 0) είναι ευνοϊκές στρατηγικές των P 1 και P 2 αντίστοιχα. Παρόµοια, αν σε έναν πίνακα κάθε στοιχείο µιας συγκεκριµένης στήλης είναι µεγαλύτερο από κάποιο γραµµικό συνδυασµό των αντίστοιχων στοιχείων των υπόλοιπων στηλών, τότε αυτή η στήλη µπορεί να σβηστεί. Παράδειγµα 2 Εστω το παιχνίδι µε πίνακα [ A = Καµία γνήσια στρατηγική a j, j = 1,..., n,δεν είναι αυστηρά κυρίαρχη στο παιχνίδι. Οµως κάθε στοιχείο της τρίτης στήλης είναι µεγαλύτερο από ένα συκγεκριµένο γραµµικό συνδυασµό των αντίστοιχων στοιχείων των υπόλοιπων στηλών. ηλαδή ]. 6 > ]. και 7 > Οπότε, σβήνουµε τη τρίτη στήλη και λύνουµε το παιχνίδι µε πίνακα [ ] 10 0 B = 0 10, που ϑα µας δώσει και τις λύσεις του αρχικού παιχνιδιού. Θεώρηµα 17 Εστω Γ ένα τετραγωνικό παιχνίδι µε πίνακα A. Υποθέτουµε οτι η γνήσια στρατηγική a i = (a i1,..., a in ), για κάποιο i = 1,..., m, του P 1 κυριαρχείται από ένα γραµµικό συνδυασµό των άλλων γραµµών του πίνακα. Εστω A, ο πίνακας 40

41 που προέκυψε από τον A σβήνοντας την γραµµή i και έστω Γ το νέο παιχνίδι µε πίνακα τον A. Τότε, η τιµή του παιχνιδιού Γ είναι ίση µε την τιµή του παχνιδιού Γ. Κάθε ευνοϊκή στρατηγική του P 2 στο παιχνίδι Γ είναι επίσης ευνοϊκή και στο παιχνίδι Γ. Αν w µία ευνοϊκή στρατηγική του P 1 στο παιχνίδι Γ και x είναι η επέκταση του διανύσµατος w στην ϑέση i, τότε το x είναι µία ευνοϊκή στρατηγική του P 1 στο παιχνίδι Γ. Απόδειξη. Εστω A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn Υποθέτουµε, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, οτι η τελευταία γραµµή του πίνακα A κυριαρχείται από ένα γραµµικό συνδυασµό των άλλων γραµµών του πίνακα. ηλαδή υπάρχει ένα Z = (z 1,..., z m 1 ) S m 1 τέτοιο ώστε για κάθε j = 1,..., n m 1 a mj a ij z i (31) i=1 Εστω u η τιµή του παιχνιδιού Γ και έστω W = (w 1,..., w m 1 ) και Y = (y 1,..., y n ) ευνοϊκές στρατηγικές τών P 1 και P 2, αντίστοιχα, στο Γ. Από το ϑεώ- ϱηµα 10 έχουµε οτι n K(i, Y ) = a ij y j u (32) για κάθε i = 1,..., m 1 και j=1 u K(W, j) = m 1 i=1 a ij w i (33) για κάθε j = 1,..., n Για να αποδείξουµε το πρώτο µέρος του ϑεωρήµατος, αρκεί να δείξουµε οτι το u είναι επίσης η τιµή του παιχνιδιού Γ και οτι οι στρατηγικές W = (w 1,..., w m 1, 0) και Y = (y 1,..., y n ) είναι ευνοϊκές στρατηγικές των P 1 και P 2, αντίστοιχα, στο Γ. Από το ϑεώρηµα 10, αρκεί να δείξουµε οτι n K(i, Y ) = a ij y j u (34) για κάθε i = 1,..., m και οτι u K(W, j) = j=1 m 1 i=1 41 a ij w i + a mj 0 (35)

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης

Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Ανταγωνιστικές Οικονοµίες Ανταλλαγής

Ανταγωνιστικές Οικονοµίες Ανταλλαγής Κεφάλαιο 1 Ανταγωνιστικές Οικονοµίες Ανταλλαγής 1.1 Οικονοµία Ανταλλαγής Οπως και στο προηγουµενο κεφάλαιο, υποθέτουµε ότι ο χώρος αγα- ϑών είναι διατεταγµένος χώρος µε norm E και το σύνολο κατανάλωσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν :

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη Κεφάλαιο 1 ιατεταγµένοι χώροι 1.1 Κώνοι και διάταξη Εστω E γραµµικός χώρος. Ενα κυρτό, µη κενό υποσύνολο P του E είναι κώνος αν λ P για κάθε λ R +. Αν επιπλέον ισχύει P ( P) = {0} το P είναι οξύς κώνος

Διαβάστε περισσότερα

Ατοµική Θεωρία Ζήτησης

Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Κεφάλαιο 1 Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt204/nt204.html htts://sites.google.com/site/maths4eu/home/4

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε,

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί. Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {,, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3,,, 0,,, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς ανάλογα αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 23 Νεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αν N, να

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα