Πτυχιακή εργασία. Υπολογιστική Σχετικότητα και εφαρµογές σε αστροφυσικούς πίδακες. του Νίκου Τσακίρη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πτυχιακή εργασία. Υπολογιστική Σχετικότητα και εφαρµογές σε αστροφυσικούς πίδακες. του Νίκου Τσακίρη"

Transcript

1 Πτυχιακή εργασία Υπολογιστική Σχετικότητα και εφαρµογές σε αστροφυσικούς πίδακες του Νίκου Τσακίρη Φοιτητή του τµήµατος Φυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης Επιβλέπων καθηγητής Νικόλαος Στεργιούλας Επίκουρος καθηγητής του τµήµατος Φυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη Σεπτέµβριος 003

2 Υπολογιστική Σχετικότητα

3 Υπολογιστική Σχετικότητα 3 Ευχαριστίες Η διπλωµατική αυτή εργασία συνολικά χρειάστηκε ένα εξάµηνο για να ολοκληρωθεί. Καθ όλη τη διάρκεια αυτού του εξαµήνου η συµβολή του επιβλέποντα καθηγητή κ. Νικόλαου Στεργιούλα υπήρξε καθοριστική. Θέλω λοιπόν να τον ευχαριστήσω θερµά για τις ώρες που αφιέρωσε στο να µε καθοδηγεί και να µε βοηθάει, τόσο µε τις συµβουλές του, όσο και µε την αµέριστη συµπαράστασή του. (Eυχαριστίες στον καθηγητή Jose-Antonio Font του Πανεπιστηµίου της Valencia για τις συζητήσεις που είχαµε σχετικά µε τη µέθοδο HLLE).

4 Υπολογιστική Σχετικότητα 4 Περίληψη Η εργασία αυτή διαπραγµατεύεται κατά κύριο λόγο τη µελέτη και την εφαρµογή διάφορων µεθόδων της υπολογιστικής σχετικότητας σε αστροφυσικά προβλήµατα. Γίνεται µία εκτενής αναφορά στο θεωρητικό υπόβαθρο σύγχρονων µεθόδων της υπολογιστικής ρευστοµηχανικής στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας και στη συνέχεια µε τη βοήθεια της γλώσσας C, δηµιουργούνται τα αντίστοιχα υπολογιστικά προγράµµατα, µε σκοπό την εξαγωγή των απαραίτητων αποτελεσµάτων και ασφαλώς τη σύγκρισή τους. Το πεδίο δοκιµής των αριθµητικών µεθόδων είναι ένα κλασικό πρόβληµα της ρευστοδυναµικής, γνωστό ως σωλήνας δηµιουργίας κρουστικών κυµάτων (shock tube). Τέλος γίνεται µία αναφορά σε ένα από τα πιο ενδιαφέροντα προβλήµατα της σύγχρονης αστροφυσικής, τους πίδακες.

5 Υπολογιστική Σχετικότητα 5 Κρουστικό κύµα το οποίο διαδίδεται στο εσωτερικό ενός αστροφυσικού πίδακα (προσοµοίωση µε τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή)

6 Υπολογιστική Σχετικότητα 6 Περιεχόµενα Εισαγωγή Αριθµητικές µέθοδοι στη Νευτώνεια Ρευστοδυναµική. Εξισώσεις ρευστοδυναµικής. 9. Το πρόβληµα των αρχικών τιµών του Riemann. 0.. To φυσικό πρόβληµα Το µαθηµατικό πρόβληµα Σφάλµατα αριθµητικών µεθόδων Κεντρικές διαφορές Σωλήνας κρουστικών κυµάτων και κεντρικές διαφορές Αποτελέσµατα προγράµµατος κεντρικών διαφορών Η µέθοδος των Lax Wendroff Σωλήνας κρουστικών κυµάτων και Lax Wendroff Αποτελέσµατα προγράµµατος Lax Wendroff....6 Η µέθοδος του Godunov 7.7 Αλγόριθµος αναδόµησης επίλυσης µέσου όρου 9.7. Περιορισµοί κλίσεων.. 30 Περιορισµός κλίσης Minmod.. 3 Περιορισµός κλίσης ΜC Περιορισµός κλίσης Van Leer Περιορισµός κλίσης Superbee Σύγκριση των περιορισµών κλίσης Προσεγγιστικές λύσεις για το πρόβληµα του Riemann H µέθοδος HLLE Εφαρµογή αριθµητικών µεθόδων στο σωλήνα κρουστικών κυµάτων Η µέθοδος του Godunov Χωρίς περιορισµό κλίσης Περιορισµός κλίσης Minmod Περιορισµός κλίσης MC 4 Aριθµητικές µέθοδοι στην Ειδική Σχετικότητα. Σχετικιστικές εξισώσεις ρευστοδυναµικής 45.. Μονοδιάστατες εξισώσεις ρευστοδυναµικής.46.. Μετασχηµατισµός των συστηµάτων συντεταγµένων Το πρόβληµα του σωλήνα κρουστικών κυµάτων Η σχετικιστική µέθοδος HLLE Εφαρµογές του σχετικιστικού HLLE 56 A. Mε περιορισµό κλίσης minmod.. 56

7 Υπολογιστική Σχετικότητα 7 B. Mε περιορισµό κλίσης MC Σύγκριση σχετικιστικού HLLE µε minmod και MC Αστροφυσικοί πίδακες.. 67 Παράρτηµα Α.. 7 Παράρτηµα Β.. 74 Παράρτηµα Γ.. 78 Παράρτηµα.. 84 Βιβλιογραφία... 99

8 Υπολογιστική Σχετικότητα 8 Εισαγωγή Η εργασία αυτή αφορά τη µελέτη των αριθµητικών µεθόδων που έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια µε σκοπό την επίλυση των εξισώσεων που διέπουν τη συµπεριφορά των ρευστών. Η µελέτη των ρευστών είναι ένας ταχέως αναπτυσσόµενος κλάδος της σύγχρονης φυσικής καθώς βρίσκει εφαρµογές σε µία πληθώρα διαφορετικών φαινοµένων, που δεν έχουν κάποια σχέση µεταξύ τους. Τέτοια φαινόµενα µπορεί να είναι είτε η κίνηση ενός υγρού, όπως το νερό, είτε οι γαλαξιακοί πίδακες. Έχει αναπτυχθεί το κατάλληλο θεωρητικό πλαίσιο που επιτρέπει τη µελέτη αυτών των φαινοµένων. Πρόκειται κυρίως για συστήµατα διαφορικών εξισώσεων, που δεν είναι συχνά δυνατό να λυθούν αναλυτικά. Για το λόγο αυτό η µελέτη των ρευστών έχει συνδεθεί τόσο έντονα µε την αριθµητική ανάλυση, καθώς η τελευταία µε έµµεσο έστω τρόπο καταφέρνει να προσφέρει λύσεις σε ανάλογα προβλήµατα. Η εργασία αυτή λοιπόν αφορά τη µελέτη των ρευστών, κατά βάθος όµως επιχειρεί µία επισκόπηση των κυριότερων αριθµητικών µεθόδων που έχουν αναπτυχθεί και δοκιµαστεί σε πολύ δυσκολότερα προβλήµατα, από αυτά που παρατίθενται εδώ, µε σηµαντική επιτυχία. Αρχικά λοιπόν επιχειρείται η εφαρµογή συγκεκριµένων αριθµητικών µεθόδων σε ένα κλασικό πρόβληµα της ρευστοδυναµικής, αυτό του shock tube, στο πλαίσιο της Νευτώνειας µηχανικής. Στη συνέχεια οι ίδιες αριθµητικές µέθοδοι δοκιµάζονται στο ίδιο πάντα πρόβληµα, στο πλαίσιο όµως πλέον της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Σε κάθε περίπτωση παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των µεθόδων, σχολιάζονται και ασφαλώς συγκρίνονται µεταξύ τους, µε σκοπό την εύρεση της πλέον κατάλληλης, για κάθε σκοπό, µεθόδου και την εξαγωγή ολοένα και πιο αξιόπιστων αποτελεσµάτων. Σηµαντικός αρωγός σε αυτή την προσπάθεια για την παρουσίαση των αριθµητικών µεθόδων είναι η επιστήµη της πληροφορικής. Η χρήση των υπολογιστών και κάποιας γλώσσας προγραµµατισµού είναι απαραίτητα στοιχεία για την εκτέλεση των επαναληπτικών υπολογισµών και διαδικασιών που απαιτούν οι αριθµητικές µέθοδοι.

9 Υπολογιστική Σχετικότητα 9 Κεφάλαιο Αριθµητικές µέθοδοι στη Νευτώνεια Ρευστοδυναµική Οι διαφορικές εξισώσεις κατέχουν κυρίαρχο ρόλο στην επιστήµη της Φυσικής από τη στιγµή που ο Νεύτωνας εισήγαγε το δεύτερο νόµο της κίνησης. Η µελέτη τους από την εποχή εκείνη είναι εντατική, αν και στις περισσότερες περιπτώσεις η ακριβής και αναλυτική τους λύση είναι δύσκολο να προσδιοριστεί. Οι φυσικοί σε ανάλογες περιπτώσεις αναζητούν προσεγγιστικές λύσεις, οι οποίες προκύπτουν µε τη συνδροµή ενός ιδιαίτερου κλάδου των Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών, γνωστού ως Αριθµητική Ανάλυση, που ασχολείται µε τη διακριτοποίηση συνεχών προβληµάτων. Τα διακριτά σχήµατα ή αλλιώς αριθµητικές µέθοδοι επιτρέπουν την αντικατάσταση των διαφορικών τελεστών µε µια σειρά από αλγεβρικές πράξεις. Επιπλέον η ανάπτυξη των υπολογιστών τις τελευταίες δεκαετίες έχει δώσει νέα ώθηση στην ανάπτυξη παρόµοιων µεθόδων και κατά συνέπεια στην ολοένα και συχνότερη εφαρµογή τους στη σύγχρονη Φυσική, αν και οι βασικές ιδέες χρονολογούνται αιώνες πριν. Ήδη το 748 οι Clairaut, Lalande και Lapaute µε τη χρήση αριθµητικών µεθόδων επιχείρησαν να προβλέψουν επακριβώς την επιστροφή του κοµήτη του Halley λαµβάνοντας υπόψη τους τις επιδράσεις του ία και του Κρόνου στην τροχιά του. Ο Lalande έγραψε Για έξη µήνες υπολογίζαµε από το πρωί έως το βράδυ, µερικές φορές ακόµα και κατά τη διάρκεια των γευµάτων. Ως συνέπεια αυτής της κατάστασης αρρώστησα σοβαρά και η κατάσταση της υγείας µου ποτέ πια δεν ήταν ίδια µε πριν. Η βοήθεια που µας προσέφερε η κυρία Lapaute ήταν καταλυτική, αφού χωρίς τη συνδροµή της δεν θα είχαµε ποτέ τολµήσει να αναλάβουµε ένα τόσο µεγαλεπήβολο έργο. Ήταν απαραίτητο να υπολογίσουµε την απόσταση καθενός από τους δύο πλανήτες, το ία και τον Κρόνο, από τον κοµήτη, ξεχωριστά για κάθε διαδοχική µοίρα, για 50 χρόνια. Η πρόβλεψή τους για το περιήλιο του κοµήτη στις 3 Απριλίου του 749 απείχε µόνο 3 µέρες από την πραγµατική ηµεροµηνία. Στο παρόν κεφάλαιο γίνεται αναφορά στις αριθµητικές µεθόδους που χρησιµοποιούνται ευρύτατα για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων υπερβολικού τύπου. Παρουσιάζονται χαρακτηριστικές µέθοδοι, οι οποίες διακρίνονται τόσο για τη διαφορετική τους φιλοσοφία, όσο και για την ακρίβειά τους.

10 Υπολογιστική Σχετικότητα 0 Ενδεικτικά αναφέρονται η µέθοδος των κεντρικών διαφορών, η µέθοδος Lax-Wendroff και η µέθοδος TVD. Κάθε µία από αυτές εφαρµόζεται στο πρόβληµα του µονοδιάστατου σωλήνα κρουστικών κυµάτων (shock tube), οπότε υπάρχει η δυνατότητα της άµεσης σύγκρισής τους.. Εξισώσεις ρευστοδυναµικής Η κίνηση του ρευστού περιγράφεται µε τη βοήθεια ενός συστήµατος νόµων διατήρησης της µάζας (εξίσωση συνέχειας), της ορµής (εξισώσεις του Euler) και της ενέργειας. Η διαφορική µορφή των εξισώσεων αυτών σε καρτεσιανές συντεταγµένες (, tx, x, x), είναι ρ + t x Εξίσωση συνέχειας ( ρv ) 0 i i 3 = (3.) Εξίσωση ορµής ( ρv j ) t + ( ρvv i j + pδij)= 0 (3.) x i Εξίσωση ενέργειας ( ) 0 e + e+ p vi t x = (3.3) i Η φυσική κατάσταση λοιπόν ενός ρευστού καθορίζεται από την πυκνότητά του µακροσκοπική ταχύτητά του v και την πυκνότητα ολικής ενέργειας, ρ, την e = ρ + ε (3.4) όπου ε είναι η πυκνότητα εσωτερικής θερµοδυναµικής ενέργειας. Για ένα ιδανικό αέριο, η πίεση p, συνδέεται µε την πυκνότητα εσωτερικής ενέργειας µέσω της καταστατικής εξίσωσης v ( ) p = Γ ε, (3.5) όπου Γ είναι ο λόγος των θερµοχωρητικοτήτων. Μία άλλη θερµοδυναµική µεταβλητή ιδιαίτερης σηµασίας είναι η ταχύτητα του ήχου, η οποία δίνεται από τη σχέση (ισχύει για ισεντροπικές µεταβολές ιδανικού αερίου) c s c s P ΓP = ρ ρ (3.6) Πρέπει να διευκρινίσουµε ότι οι εξισώσεις του Euler, µε τη µορφή που παρατίθενται, είναι ιδιαίτερα απλουστευµένες καθώς έχουν αφαιρεθεί όροι που περιγράφουν φαινόµενα όπως η βαρύτητα, η θέρµανση και η ψύξη. Οι παραπάνω νόµοι διατήρησης σε διαφορική µορφή δεν καταφέρνουν να αποδώσουν πιστά ασυνέχειες, καθώς οι παράγωγοι των φυσικών ποσοτήτων απειρίζονται. Λύσεις µε ασυνέχειες ονοµάζονται ασθενείς λύσεις των εξισώσεων στη διαφορική µορφή. Είναι

11 Υπολογιστική Σχετικότητα ενδεικτικό ότι η διαφορική µορφή περιγράφει πλήρως τη ροή σε οµαλές περιοχές, όµως η ολοκληρωτική µορφή είναι απαραίτητη για την περιγραφή ασυνεχειών.. Πρόβληµα των αρχικών τιµών του Riemann.. Το φυσικό πρόβληµα Θεωρούµε ένα ιδανικό ρευστό (π.χ. αέριο) µε αδιαβατικό δείκτη Γ, το οποίο κινείται σε ένα χώρο όπου απουσιάζει (ή αγνοούµε) το βαρυτικό πεδίο. Το ρευστό βρίσκεται µέσα σε ένα µονοδιάστατο σωλήνα ουσιαστικά, ο οποίος χωρίζεται σε δύο τµήµατα µε τη βοήθεια ενός διαφράγµατος απειροστού πάχους. Σε κάθε τµήµα του σωλήνα οι συνθήκες πίεσης και η πυκνότητα του ρευστού διαφέρουν. Και στα δύο τµήµατα όµως η ταχύτητα του ρευστού είναι αρχικά ίση προς µηδέν. Το πρόβληµα του Riemann συνίσταται στη µελέτη της εξέλιξης του ρευστού στο εσωτερικό του σωλήνα για διαφορετικές αρχικές συνθήκες, από τη στιγµή που αποµακρύνεται το διάφραγµα. Γενικά το πρόβληµα των αρχικών τιµών του Riemann προϋποθέτει την ύπαρξη ενός νόµου διατήρησης της µορφής µε αρχικές συνθήκες u=u ( ρ,v,p) t x ( ) 0 u+ f u = (3.7) (,0) u x u = u l r για x < x, (3.8) για x > x Τη χρονική στιγµή λοιπόν t=0, δύο περιοχές του ρευστού µε πιέσεις p, p5 και πυκνότητες ρ,ρ αντίστοιχα, χωρίζονται µε ένα διάφραγµα. Για t=0 το διάφραγµα 5 αποµακρύνεται απότοµα. O Riemann απόδειξε ότι µε την αποµάκρυνση του διαφράγµατος έχουµε το σχηµατισµό κρουστικών κυµάτων, µίας ασυνέχειας επαφής καθώς και κυµάτων αραίωσης. Κατά την εξέλιξη του αερίου στο εσωτερικό του σωλήνα διαµορφώνονται τέσσερις διαφορετικές καταστάσεις, ανάµεσα στις οποίες ξεχωρίζουν ο σχηµατισµός των κρουστικών κυµάτων, των κυµάτων αραίωσης και της συµπαγούς ασυνέχειας. Στην περίπτωση που µελετάµε θεωρούµε ότι η λύση του προβλήµατος του σωλήνα κρουστικών κυµάτων (ή πρόβληµα των αρχικών συνθηκών του Riemann) έχει την εξής δοµή: ένα κύµα αραίωσης που κινείται προς τα αριστερά, ένα κρουστικό κύµα που κινείται προς τα δεξιά και το οποίο ακολουθείται από µία ασυνέχεια επαφής. Η κατάσταση αυτή σκιαγραφείται στο σχήµα (.).

12 Υπολογιστική Σχετικότητα t Σχήµα.: Αναπαράσταση της λύσης του προβλήµατος των αρχικών τιµών του Riemann στη ρευστοδυναµική. x

13 Υπολογιστική Σχετικότητα 3 Η αρχική κατάσταση τη χρονική στιγµή t=0 παριστάνεται στο πρώτο διάγραµµα, το οποίο αποτελείται από δύο σταθερές καταστάσεις () και (5) µε p > p5, ρ > ρ5 και v = v =,που χωρίζονται µε ένα διάφραγµα. Με την αποµάκρυνση αυτού του 5 0 διαχωριστικού σηµειώνεται εξέλιξη της ροής του ρευστού, όπως αυτή παρουσιάζεται στο δεύτερο σχήµα. Συγκεκριµένα µε ανοικτό µπλε χρώµα παριστάνεται η εξέλιξη της πυκνότητας, µε κόκκινο η µεταβολή της ταχύτητας, µε πράσινο η ροή της πυκνότητας και µε σκούρο µπλε χρώµα η ενέργεια. Το σχήµα αυτό είναι ένα στιγµιότυπο της εξέλιξης των παραπάνω µεταβλητών, όπως προκύπτει από τη λύση του προβλήµατος των αρχικών τιµών του Riemann. Υπάρχουν οι εξής διαφορετικές καταστάσεις I. στην περιοχή () οι τιµές των µεταβλητών είναι ίσες µε τις αρχικές ( ρ,p,v). II. η περιοχή () παριστάνει τα όρια κίνησης του κύµατος αραίωσης III. στα τµήµατα (3) και (4) υπάρχει µία σταθερή περιοχή τιµών, η οποία διακόπτεται από µία ασυνέχεια επαφής. Η ύπαρξή της γίνεται κυρίως αντιληπτή στα διαγράµµατα της πυκνότητας και της ενέργειας. IV. στην περιοχή (5), όµοια µε την περιοχή (), οι τιµές των µεταβλητών είναι όµοιες µε τις αρχικές ( ρ 5,p 5,v5). Το κρουστικό κύµα που σχηµατίζεται είναι η διαχωριστική επιφάνεια ανάµεσα στις περιοχές (4) και (5). Το τρίτο σχήµα είναι ένα χωροχρονικό διάγραµµα, όπου παριστάνονται το κρουστικό κύµα (συνεχής γραµµή) και η ασυνέχεια επαφής (διακεκοµµένη γραµµή), που κινούνται προς τα δεξιά. Το πλήθος των συνεχών γραµµών παριστάνει ένα κύµα αραίωσης που κινείται προς τα αριστερά. Η ροή στο εσωτερικό ενός σωλήνα µε ανάλογα χαρακτηριστικά διακρίνεται για τις έντονες µεταβολές της σε ό,τι αφορά τις τιµές των καταστατικών σταθερών, όπως η θερµοκρασία. Συγκεκριµένα στην περιοχή της χαµηλής πίεσης µπορεί να αυξηθεί κατά µερικές εκατοντάδες βαθµούς Kelvin. Γενικότερα, οι καταστατικές σταθερές υπολογίζονται µε τη βοήθεια της στατιστικής µηχανικής και µε τις εξής υποθέσεις ότι υπάρχει θερµοδυναµική ισορροπία ότι η ροή στο εσωτερικό του σωλήνα είναι µονοδιάστατη ότι η επίδραση των τοιχωµάτων του σωλήνα µπορεί να αγνοηθεί ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες της στατιστικής Boltzmann ότι οι νέες τιµές των ποσοτήτων που µας ενδιαφέρουν µπορούν να υπολογιστούν µε τη βοήθεια µίας προσεγγιστικής µεθόδου

14 Υπολογιστική Σχετικότητα 4 Σχήµα.: Πρότυπος πειραµατικός σωλήνας για τη µελέτη του τρόπου σχηµατισµού των κρουστικών κυµάτων.. Το µαθηµατικό πρόβληµα Μαθηµατικώς η κίνηση του αερίου στο εσωτερικό του σωλήνα µπορεί να περιγραφεί µε τη βοήθεια ενός συστήµατος νόµων διατήρησης της µάζας, της ορµής και της ενέργειας. Η διαφορική µορφή των εξισώσεων αυτών σε µία διάσταση είναι ρ + t x Εξίσωση συνέχειας ( ρv) 0 m t x ρv p Εξίσωση ορµής + ( + ) = (3.9) = 0 (3.0) e + + = t x Εξίσωση ενέργειας ( e p) v 0 (3.) p όπου m = ρv και e= + ρv. γ Με βάση τις εξισώσεις αυτές είναι δυνατή η περιγραφή της εξέλιξης της κατάστασης ενός ρευστού στο εσωτερικό ενός σωλήνα κρουστικών κυµάτων.

15 Υπολογιστική Σχετικότητα 5 Σχήµα.3: Κρουστικά κύµατα στο εσωτερικό ενός σωλήνα µήκους. πυκνότητας (µπλε χρώµα). πίεσης (κόκκινο χρώµα) 3. ταχύτητας (πράσινο χρώµα) 4. ενέργειας (γαλάζιο χρώµα).3 Σφάλµατα αριθµητικών µεθόδων Τα σφάλµατα που παρουσιάζονται στις αναλυτικές λύσεις οφείλονται στη χρήση προσεγγιστικών θεωρητικών µοντέλων καθώς και στην ατελή παρουσίαση των φυσικών διεργασιών. Όταν δηµιουργείται ένα µοντέλο που προσοµοιώνει µία φυσική διαδικασία, εµφανίζει σφάλµατα που οφείλονται καταρχάς στις αδυναµίες των αναλυτικών λύσεων. Επιπλέον η χρησιµοποίηση των αριθµητικών µεθόδων προσθέτει νέα σφάλµατα στη πορεία της προσοµοίωσης, τα οποία οφείλονται στην ελλιπή υπολογιστική ακρίβεια και στη µη ικανοποιητική απόδοση συνεχών διαδικασιών, όπως οι παραγωγίσεις ως προς το χρόνο και τις χωρικές συντεταγµένες. Κατά κύριο λόγο η χρήση αριθµητικών µεθόδων προκαλεί την εµφάνιση δύο κατηγοριών σφαλµάτων.. Σφάλµατα διάχυσης (diffusive errors) Οφείλονται στην ίδια τη φύση των εξισώσεων που χρησιµοποιούνται. Εµφανίζονται κυρίως σε περιοχές όπου αναµένονται ασυνέχειες και προκαλούν την οµαλότερη απόδοσή τους.

16 Υπολογιστική Σχετικότητα 6 Σχήµα.4: Χαρακτηριστικό σφάλµα διάχυσης. Σφάλµατα διαταραχών (fluctuation errors) Σε µερικές περιπτώσεις η εµφάνιση ενός αριθµητικού λάθους, εφόσον το υπολογιστικό πρόγραµµα δε διαθέτει τις κατάλληλες ασφαλιστικές δικλείδες, είναι δυνατό να µεταδίδεται σε κάθε βήµα, να διογκώνεται και να προκαλεί την εµφάνιση ταλαντώσεων (oscillations) και διαταραχών µε αποτέλεσµα σε ορισµένες περιπτώσεις να καθίσταται δυσδιάκριτη ακόµα και η ίδια η φυσική διαδικασία. Σχήµα.5: Χαρακτηριστικό σφάλµα διαταραχών.4 Κεντρικές διαφορές Πρόκειται για την απλούστερη αριθµητική µέθοδο που µπορεί να εφαρµοστεί για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Παρά την ευκολία που παρουσιάζει της κυρίως στον προγραµµατισµό και στην κατανόηση, διακρίνεται για τη χαµηλή της ακρίβεια και την έλλειψη σταθερότητας. Η φιλοσοφία της µεθόδου βασίζεται στον ορισµό της παραγώγου της πραγµατικής συνάρτησης, f( x), df f ( x + h) f ( x) lim (3.) dx h 0 h Στη µέθοδος των κεντρικών διαφορών (finite difference method) ουσιαστικά παραλείπουµε το όριο και θεωρούµε την ποσότητα h αρκετά µικρή, αλλά πεπερασµένη. Με τον τρόπο αυτό καταφέρνουµε να υπολογίσουµε της τιµές των παραγώγων σε διάφορες θέσεις x 0 αριθµητικά, γνωρίζοντας της τιµές της συνάρτησης f( x) εκατέρωθεν των θέσεων αυτών συµµετρικά. Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε

17 Υπολογιστική Σχετικότητα 7 df f ( x + x) f ( x) dx x (3.3) όπου είναι h= x. Οι προσεγγιστικές σχέσεις των κεντρικών διαφορών µπορούν ακόµα να προκύψουν µε τη βοήθεια του θεωρήµατος Taylor. fi+ fi xfi = + Oh ( ) h fi fi xfi = + Oh ( ) h fi+ fi xfi = + O( h ) h 3fi 4fi + fi xfi = + Oh ( ) h fi fi+ + fi+ xfi = + Oh ( ) h fi fi + fi xfi = + Oh ( ) h fi+ fi + fi xfi = + Oh ( ) h 3 fi+ fi+ + fi fi xfi = + Oh ( ) 3 h 4 fi+ 4fi+ + 6fi 4fi + fi xfi = + Oh ( ) 4 h fi+ 3+ 4fi+ 5fi+ + fi xfi = + Oh ( ) h fi 5fi + 4fi fi 3 xfi = + Oh ( ) h 3 3fi+ 4 4fi+ 3 4fi+ + 8fi+ 5fi xfi = + Oh ( ) 3 h 3 5fi 8fi + 4fi 4fi 3+ 3fi 4 xfi = + Oh ( ) 3 h fπίνακας.: Τύποι κεντρικών διαφορών i+ + 8fi+ 8fi + fi 4 xfi = + Oh ( ) h.4. Σωλήνας κρουστικών κυµάτων και κεντρικές διαφορές

18 Υπολογιστική Σχετικότητα 8 Οι εξισώσεις του Euler είναι δυνατό να λυθούν µε τη βοήθεια των προσεγγιστικών τύπων που προβλέπει η θεωρία των κεντρικών διαφορών. Η προσέγγιση που εφαρµόζεται στην υπολογιστική φυσική των ρευστών έχει δύο συνιστώσες, τη διακριτοποίηση τόσο του χρόνου όσο και του χώρου. Η χρονική εξέλιξη λαµβάνει χώρα σε διακριτά βήµατα ενώ ο χώρος διαιρείται σε στοιχειώδεις όγκους ή κελιά, όπου οι διατηρήσιµες ποσότητες αποθηκεύονται. Ουσιαστικά οι εξισώσεις λύνονται σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων προγραµµατίζοντας υπολογιστικά τη ροή της µάζας, της ορµής και της ενέργειας στα όρια των κελιών και για καλά καθορισµένα χρονικά βήµατα. Γνωρίζουµε ότι οι εξισώσεις µετασχηµατίζονται στο εξής σύστηµα σε διαφορική µορφή, το οποίο περιγράφει ένα µονοδιάστατο νόµο διατήρησης u F ( u) + = 0 t x ρ ρv όπου u = ρv οι διατηρήσιµες φυσικές ποσότητες και F ( u) = ρv + p οι ροές. e ( e+ p) v Σε ολοκληρωτική µορφή ο παραπάνω µονοδιάστατος νόµος διατήρησης γράφεται (3.4) t x x Fu ( ) uxtdx (, ) + dx= 0 x (3.5) x x Η διαδικασία της διακριτοποίησης στη µέθοδο των κεντρικών διαφορών πραγµατοποιείται µε βάση την εξίσωση διατήρησης στη διαφορική της µορφή παρά στην ολοκληρωτική. Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε u u = t u t t+ t t n n (3.6) Fu ( ) = t F F x t t n+ n (3.7) Προκύπτει τελικά η σχέση u F F = ) t (3.8) x t t t+ t t n+ n n un ( και µε βάση τη σχέση αυτή θα προσπαθήσουµε να παρακολουθήσουµε την εξέλιξη του µονοδιάστατου προβλήµατος του σωλήνα κρουστικών κυµάτων..4. Αποτελέσµατα προγράµµατος κεντρικών διαφορών Θεωρούµε ένα µονοδιάστατο σωλήνα µήκους 0 µονάδων. Στο µέσο του ( x = 5) είναι τοποθετηµένο το διάφραγµα (Σχήµα.). Για να απλοποιήσουµε το πρόγραµµα υποθέτουµε ότι το κρουστικό κύµα, που θα δηµιουργηθεί µετά την αφαίρεση του

19 Υπολογιστική Σχετικότητα 9 διαφράγµατος δεν θα αγγίξει τα άκρα της περιοχής προσοµοίωσης. Οι αρχικές συνθήκες είναι x 5 ρ = 0.5 x > 5, x 5 p = 0. x > 5 και v = 0. (3.9) ιαιρούµε το χώρο σε N = 000 συνολικά σηµεία, τα οποία ισαπέχουν µεταξύ τους απόσταση x και σχηµατίζουν το µονοδιάστατο πλέγµα. Το x ορίζεται ως εξής x = x x N max min (3.0) Για την επιλογή του χρονικού βήµατος θα πρέπει να λάβουµε υπόψη µας τη συνθήκη των Courant - Friedrichs - Lewyor (CFL condition). Σύµφωνα µε αυτή δεν µπορούµε να επιλέγουµε αυθαίρετες τιµές για το χρονικό και το χωρικό βήµα, παρά µόνο τις τιµές εκείνες που ικανοποιούν τον περιορισµό t v (3.) x p γ p όπου v = cs = είναι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου. Ασφαλώς στο πρόβληµα ρ ρ του σωλήνα κρουστικών κυµάτων οι τιµές της πίεσης και της πυκνότητας που χρησιµοποιούµε για τον υπολογισµό του v είναι οι µικρότερες, δηλαδή αυτές που αντιστοιχούν στις αρχικές τιµές πίεσης 5 και πυκνότητας 5 κατά το σχήµα.. Επιλέγουµε λοιπόν ως χρονικό βήµα t = Ο αδιαβατικός δείκτης είναι Γ=.4. Το πρόγραµµα που αφορά τη µελέτη του προβλήµατος του µονοδιάστατου σωλήνα κρουστικών κυµάτων µε τη µέθοδο των κεντρικών διαφορών στη γλώσσα C. Με τη βοήθεια του προγράµµατος επιχειρούµε να µελετήσουµε τη χρονική εξέλιξη των παραµέτρων του συστήµατός µας, δηλαδή της πυκνότητας, της ταχύτητας, της πίεσης και της ενέργειας. Στις γραφικές παραστάσεις (κατασκευάστηκαν µε τη βοήθεια του προγράµµατος γραφικών Origin), που ακολουθούν παριστάνονται οι ποσότητες αυτές όπως προκύπτουν για 0 χρονικά βήµατα. Είναι ουσιαστικά στιγµιότυπα της εξέλιξης των κρουστικών κυµάτων στο εσωτερικό του µονοδιάστατου σωλήνα τη χρονική στιγµή t = 0.04 µετά την αποµάκρυνση του διαφράγµατος. Οι γραφικές παραστάσεις επιβεβαιώνουν την έλλειψη ακρίβειας και σταθερότητας που εµφανίζει η µέθοδος των κεντρικών διαφορών. Παρατηρούµε σε καθένα από τα στιγµιότυπα ότι πρόκειται για µεθόδους που εµφανίζουν έντονες διαταραχές σε µικρό χρονικό διάστηµα, µε αποτέλεσµα η λύση σύντοµα να τείνει στο άπειρο. Προφανώς οι κεντρικές διαφορές, παρά τη χαρακτηριστική τους απλότητα, δεν είναι ικανές να οδηγήσουν σε αξιόπιστες λύσεις.

20 Υπολογιστική Σχετικότητα 0 Σχήµα.6: Στιγµιότυπο της πυκνότητας τη χρονική στιγµή t=0.04. Παρατηρούµε το σχηµατισµό διαταραχών, οι λεπτοµέρειες των οποίων διακρίνονται στο µικρό διάγραµµα. Η αριθµητική µέθοδος των κεντρικών διαφορών σε σύντοµο χρονικό διάστηµα παύει να είναι αξιόπιστη. Σχήµα.7: Στιγµιότυπο της πίεσης για t=0.04 και λεπτοµέρεια των διαταραχών.

21 Υπολογιστική Σχετικότητα Σχήµα.8: Στιγµιότυπο της ταχύτητας για t=0.04 και λεπτοµέρεια των διαταραχών. Στιγµιότυπο της ταχύτητας για t= Στιγµιότυπο της ταχύτητας για t=0.04,5,0 Ταχύτητα Ταχύτητα,5,0 0,5 0,0 0-0, x 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 x Σχήµα.9: Στιγµιότυπο της ενέργειας για t=0.04 και λεπτοµέρεια των διαταραχών.

22 Υπολογιστική Σχετικότητα.5 Η µέθοδος των Lax Wendroff Η µέθοδος των Lax-Wendroff (Lax και Wendroff 960) διακρίνεται για τη δεύτερης τάξης ακρίβειά της τόσο ως προς το χρόνο, όσο και ως προς το χώρο. Πρόκειται ουσιαστικά για µία βελτίωση της µεθόδου των κεντρικών διαφορών για την επίλυση υπερβολικών εξισώσεων, όπου οι εµπνευστές της κατάφεραν να εξαλείψουν κατά ένα µεγάλο ποσοστό τις αστάθειες που εµφανίζονταν στη µέθοδο που περιγράφηκε στο τµήµα.4. Αναπτύσσουµε κατά Taylor u u t 3 u( x, t+ t) = u( x, t) + t+ +Ο ( t ) (3.) t t και αντικαθιστούµε τις χρονικές παραγώγους µε τις χωρικές παραγώγους, χρησιµοποιώντας τους νόµους διατήρησης. Προκύπτει λοιπόν F F F u t 3 u( x, t+ t) = u( x, t) t+ +Ο( t ) (3.3) x x u u x Χρησιµοποιώντας τις κεντρικές διαφορές παίρνουµε τελικά t t t t t t t+ t t Fn+ F n Fn+ Fn Fn F n v t un = un t+ x x x x (3.4) Παρατηρούµε ότι σε σχέση µε τις κεντρικές διαφορές, έχει προστεθεί ένας επιπλέον t t t t Fn+-Fn Fn -F n- v t όρος - x x x, ο οποίος ουσιαστικά λειτουργεί διορθωτικά µε αποτέλεσµα η µέθοδος να παρέχει πιο αξιόπιστα αποτελέσµατα. F Στη σχέση (3.4) ο όρος v είναι η ιδιοτιµή της Ιακωβιανής u..5. Σωλήνας κρουστικών κυµάτων και η µέθοδος των Lax Wendroff Η σχέση (3.4) παρουσιάζει δυσκολίες σε ότι αφορά την εφαρµογή της για τη µελέτη του προβλήµατος του σωλήνα κρουστικών κυµάτων, καθώς απαιτεί επίπονους υπολογισµούς για τον υπολογισµό της Ιακωβιανής των ροών F. Για το λόγο αυτό έχουν αναπτυχθεί διάφορες παραλλαγές της. Για τη µελέτη του προβλήµατος θα χρησιµοποιήσουµε µία ιδιαίτερη µορφή της µεθόδου των Lax Wendroff, η οποία βασίζεται σε µία διαδικασία δύο βηµάτων. Οι σχέσεις που θα χρησιµοποιήσουµε είναι οι εξής

23 Υπολογιστική Σχετικότητα 3 t u u u F+ (3.5) n+ n n n n = ( i+ + i ) ( i Fi i+ x ) n n n n t ui = ui F F (3.6) x i+ i Όπως ήδη αναφέρθηκε στην παράγραφο.4.., η µεταβλητή u παριστάνει τις διατηρήσιµες φυσικές ποσότητες u=u ρ,ρv,e ενώ η µεταβλητή u=u ( ρ,m,e ) ή ( ) F παριστάνει τη ροή των παραπάνω ποσοτήτων. Στις παραπάνω σχέσεις οι όροι n+, n, n+ παριστάνουν τις διάφορες χρονικές στιγµές, ενώ οι όροι i+,i,i+ τις αντίστοιχες κυψελίδες..5. Aποτελέσµατα προγράµµατος Lax Wendroff Η µέθοδος των Lax Wendroff είναι δεύτερης τάξης και σύµφωνα µε τις σχέσεις (3.5), (3.6) χρειάζονται δύο ξεχωριστοί αριθµητικοί υπολογισµοί για να υπολογίσουµε ένα πλήρες χρονικό βήµα. Για το πρόγραµµα συνολικά χρησιµοποιήσαµε N=000χωρικά σηµεία, ενώ ο µονοδιάστατος σωλήνας έχει µήκος 0 µονάδες. Οι αρχικές συνθήκες είναι όµοιες µε του προγράµµατος των κεντρικών διαφορών, σχέσεις (3.9). Σύµφωνα λοιπόν µε τη σχέση (3.0) και µε τη συνθήκη CFL (σχέση (3.)) ορίζουµε τόσο το χωρικό βήµα x, όσο και το χρονικό t. Συγκεκριµένα επιλέγουµε t= Είναι Γ=.4.Τα αποτελέσµατα του προγράµµατος παρουσιάζονται στα διαγράµµατα που ακολουθούν στις επόµενες σελίδες. Πρέπει να επισηµάνουµε ότι η προσοµοίωση των κρουστικών κυµάτων µε τη βοήθεια της µεθόδου των Lax Wendroff προσεγγίζει µε αρκετά µεγάλη ακρίβεια την αναλυτική λύση του προβλήµατος. Μάλιστα η συµπεριφορά της µεθόδου στα σηµεία εκείνα που έχουµε απότοµες µεταβολές των τιµών των ποσοτήτων, κρίνεται εξαιρετική. Βέβαια υπάρχουν σε ορισµένα σηµεία εµφανείς διαταραχές, οι οποίες οφείλονται σε αριθµητικά σφάλµατα. Το πρόβληµα αυτό µπορεί να ξεπεραστεί αν στις σχέσεις,(3.5),(3.6) προσθέσουµε επιπλέουν όρους που περιγράφουν το ιξώδες του ρευστού. Σε γενικές γραµµές για τη µέθοδο των Lax Wendroff οφείλουµε να επισηµάνουµε τα εξής ότι για να είναι ευσταθής πρέπει να ισχύει η συνθήκη CFL, σχέση (3.) ότι εµφανίζει σφάλµατα τόσο διαταραχών, όσο και διάχυσης ότι είναι αρκετά ακριβής και προσφέρει ικανοποιητικά αποτελέσµατα

24 Υπολογιστική Σχετικότητα 4 Σχήµα.0: Χρονική εξέλιξη της πυκνότητας. Τα τέσσερα παρακάτω διαγράµµατα αποτελούν στιγµιότυπα της πυκνότητας, σε διαφορετικές χρονικές στιγµές. Παρατηρούµε το σχηµατισµό του κρουστικού κύµατος, της ασυνέχειας επαφής και του κύµατος αραίωσης. Επιπλέον είναι ευδιάκριτα τόσο τα φαινόµενα διάχυσης, όσο και τα φαινόµενα διαταραχών, που οφείλονται σε αριθµητικά σφάλµατα της µεθόδου.

25 Υπολογιστική Σχετικότητα 5 Σχήµα.: Χαρακτηριστικά στιγµιότυπα της πίεσης

26 Υπολογιστική Σχετικότητα 6 Σχήµα.: Χαρακτηριστικά στιγµιότυπα της ταχύτητας Είναι εµφανής ο σχηµατισµός µίας περιοχής όπου η ταχύτητα έχει σταθερή τιµή, ενός είδους πλατό καθώς και η ύπαρξη αριθµητικών σφαλµάτων που προκαλούν τις διαταραχές.

27 Υπολογιστική Σχετικότητα 7 Σχήµα.3: Χαρακτηριστικά στιγµιότυπα της ενέργειας.

28 Υπολογιστική Σχετικότητα 8.6 Η µέθοδος του Godunov Οι αριθµητικές µέθοδοι που αφορούν τους νόµους διατήρησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στη διαφορική µορφή των νόµων αυτών. Το κύριο χαρακτηριστικό των µεθόδων αυτών είναι ότι απαιτούν τη διακριτοποίηση του χώρου σε δύο διαφορετικά είδη πλεγµάτων. Υποθέτουµε ότι µας απασχολεί ο µονοδιάστατος χώρος. Αρχικά ο χώρος διαιρείται σε ένα πλήθος ακέραιων κυψελίδων, που ορίζονται µε τέτοιο τρόπο, ώστε το καθένα από αυτά να έχει ως όρια τα[ x, x+ x] [ xi, x i + ], όπου x είναι η διάσταση του κάθε κελιού. Στη συνέχεια κατασκευάζουµε ένα δεύτερο πλέγµα, στο οποίο οι x x κυψελίδες έχουν όρια x, x+ x, x και ονοµάζονται υπολογιστικές i i+ κυψελίδες. Με τη βοήθεια αυτών των στοιχειωδών κυψελίδων στις οποίες διαιρείται ο χώρος εισάγουµε τους µέσους όρους των ποσοτήτων u=u ( ρ,ρv,e ). Γράφουµε λοιπόν u n i xi+ / = u( x, t ) x n dx (3.7) xi / Οι νόµοι διατήρησης µπορούν να γραφούν µε τη µορφή n+ n t ui = ui F F (3.8) x i+ i όπου η «αριθµητική ροή F» ορίζεται ως tn+ F = f u x, t dt i+ i t + tn (3.9) Οι τρεις παραπάνω σχέσεις αποτελούν την πρώιµη µορφή της µεθόδου του Godunov που παρουσίαζε σηµαντικές δυσκολίες σε ότι αφορά κυρίως τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος (3.9). Η κύρια συµβολή του Godunov στην ανάπτυξη ολοένα και πιο αξιόπιστων αριθµητικών µεθόδων έγκειται στο ότι επινόησε µία ιδιαίτερη τεχνική για να u x,t µε µία υπολογίζει το ολοκλήρωµα των ροών αντικαθιστώντας τη συνάρτηση ( ) n σταθερή συνάρτηση u% ( x,t n ). Αυτή η προσέγγιση µας επιτρέπει να θεωρούµε τα µεµονωµένα κελιά σα µία ακολουθία από σωλήνες κρουστικών κυµάτων και εποµένως µπορούµε να λύσουµε το πρόβληµα των αρχικών συνθηκών του Riemann σε κάθε ένα από αυτά. Απαραίτητη προϋπόθεση για να λειτουργήσει η µέθοδος και να δώσει αξιόπιστα αποτελέσµατα είναι να µην αλληλεπιδρούν τα γειτονικά κύµατα και η οποία εξασφαλίζεται µε τη βοήθεια της συνθήκης των Courant - Friedrichs - Lewyor (συνθήκη CFL ). Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να υπολογίσουµε τοπικά τη λύση u% x,t κάθε σωλήνα κρουστικών κυµάτων για t>t n και κατά συνέπεια τις τιµές των i+ ροών f=f ρv,ρv +p,e+pv και των αριθµητικών ροών F. Εφαρµόζοντας τη σχέση ( ( ) )

29 Υπολογιστική Σχετικότητα 9 (3.8) µπορούµε να βρούµε τις µέσες τιµές των ποσοτήτων την επόµενη χρονική στιγµή n+ u. Η διαδικασία της µεθόδου του Godunov περιληπτικά είναι η εξής. Με τη βοήθεια των µέσων όρων u( x,t n ) u κατασκευάζουµε µία σταθερή συνάρτηση n i % µε σκοπό να προσεγγίσουµε τη λύση στις υπολογιστικές κυψελίδες x,x. i- i+. Το πρόβληµα των αρχικών συνθηκών του Riemann λύνεται στα άκρα των κυψελίδων x,x i- i+, δίνοντας τη λύση u(x,t) % για t n<t<tn. + n+ 3. Η λύση u% ( x,t n+ ) χρησιµοποιείται για να υπολογίσουµε την ποσότητα u i,που αντιστοιχεί στην επόµενη χρονική στιγµή. u n i+ u u n i u n i- x i- x i-/ x i x i+/ x i+ x n u i + u n u i n ui x i- x i-/ x i x i+/ x i+ x Σχήµα.4: Μονοδιάστατο πλέγµα, διάκριση σε ακέραιες και υπολογιστικές κυψελίδες, αρχικές τιµές και ορισµός των µέσων όρων u n i

30 Υπολογιστική Σχετικότητα 30.7 Αλγόριθµος αναδόµησης επίλυσης µέσου όρου Έχουν αναπτυχθεί πολυάριθµες αριθµητικές µέθοδοι, οι οποίες βασίζονται στη φιλοσοφία της µεθόδου του Godunov, δηλαδή στη λύση του προβλήµατος των αρχικών τιµών του Riemann στα άκρα της κάθε κυψελίδας. Για το λόγο αυτό εισάγουµε τις u( x,t) συναρτήσεις %, οι οποίες ορίζονται στο διάστηµα x, x και προέρχονται από i i+ n τις µέσες τιµές u i. Το άκρο λοιπόν x µίας κυψελίδας είναι η διαχωριστική γραµµή i+ ανάµεσα σε δύο διαφορετικές καταστάσεις του ρευστού, αυτής που βρίσκεται ακριβώς r l δεξιά του άκρου u% και ακριβώς αριστερά του u%. i+ i+ u r u u r u l u l x i- x i-/ x i x i+/ x i+ x Σχήµα.5: Ορισµός των δεξιών και αριστερών καταστάσεων Εάν θεωρήσουµε ότι l r u% = u i και u = ui + i+ i+ % (3.30) ουσιαστικά καταλήγουµε στην αρχική µορφή της µεθόδου Godunov, η οποία έχει πρώτης τάξης ακρίβεια. Η σύγκλιση της µεθόδου µπορεί να βελτιωθεί εάν l r χρησιµοποιήσουµε µια διαφορετική προσέγγιση για τον προσδιορισµό των u,u % % από αυτή των σχέσεων (3.30). Σε µία τέτοια περίπτωση η επιλογή των προσεγγίσεων αυτών πρέπει να γίνεται µε ιδιαίτερη προσοχή, ώστε να αποφεύγονται ανεπιθύµητες διαταραχές και αριθµητικά σφάλµατα στην περιοχή που εµφανίζονται οι ασυνέχειες. Μία δυνατή προσέγγιση είναι η γραµµική, η οποία οδηγεί σε µεθόδους δεύτερης τάξης ακρίβειας και µία πιθανή µορφή της είναι η εξής l l dx u% = ui si x xi u% = ui si i+ i+ i+ (3.3)

31 Υπολογιστική Σχετικότητα 3 και r r dx u% = ui+ si+ x xi+ u% = ui+ + si+ i+ i+ i+ (3.3) όπου η κλίση ορίζεται ως u = u i+ i si xi+ xi (3.33) Η επιλογή όµως αυτής της προσέγγισης προκαλεί διαταραχές στα κρουστικά κύµατα µε αποτέλεσµα η µέθοδος να αποδεικνύεται ασταθής. Για την αποφυγή λοιπόν αυτών των ανεπιθύµητων διαταραχών έχουν αναπτυχθεί διάφορες µέθοδοι, γνωστές ως περιορισµοί κλίσεων, οι οποίες πρακτικά εµποδίζουν την εµφάνιση αυτών των διαταραχών κοντά στις ασυνέχειες. Η θεωρητική θεµελίωση αυτών των µεθόδων επιτυγχάνεται µε τη βοήθεια µίας µαθηµατικής ιδιότητας γνωστής ως TVD (ακρωνύµιο του total variation diminishing)..7. Περιορισµοί κλίσεων Η συνθήκη TVD προτάθηκε το 983 από τον Harten, είναι µη γραµµική και εξασφαλίζει σταθερότητα σε αριθµητικές µεθόδους. Η ολική απόκλιση µίας λύσης, που ορίζεται ως εξής N t t ( ) i+ t TV u = u u (3.34) i i= είναι ένα µέτρο για τον αριθµό των διαταραχών που εµφανίζει η u. Η άµεση σύνδεση ανάµεσα στην ολική απόκλιση και το συνολικό αριθµό των διαταραχών γίνεται πιο εµφανής σύµφωνα µε τον εξής ορισµό, ισοδύναµο µε τον προηγούµενο t ( ) = ( max min ) (3.35) TV u u u όπου το κάθε µέγιστο υπολογίζεται θετικά δύο φορές και αντίστοιχα κάθε ελάχιστο αρνητικά δύο φορές. Ο σχηµατισµός διαταραχών που οφείλονται αποκλειστικά σε δυσλειτουργία των αριθµητικών µεθόδων προκαλεί την εµφάνιση νέων µεγίστων και ελαχίστων, µε αποτέλεσµα η ολική απόκλιση να αυξάνει. Η συνθήκη TVD TV u ( t + t ) TV ( u t ) (3.36) εξασφαλίζει ότι ο αριθµός των διαταραχών είναι φραγµένος. Ουσιαστικά οι περιορισµοί των κλίσεων χρησιµοποιούνται για τον προσδιορισµό νέων κλίσεων της µορφής σ i=σi s,s i- i+, οπότε πλέον οι σχέσεις (3.3) και (3.3) γράφονται

32 Υπολογιστική Σχετικότητα 3 l l dx u% = ui σi x xi u% = ui σi i+ i+ i+ (3.37) r r dx u% = ui σ i + x xi + u% = ui + σi + i+ i+ i+ (3.38) Στη συνέχεια παρουσιάζονται τέσσερις από τους πλέον διαδεδοµένους περιορισµούς κλίσεων. Περιορισµός κλίσης Minmod (Minmod limiter) Πρόκειται για τον πλέον κοινό περιορισµό κλίσης και ο οποίος χρησιµοποιείται εκτενώς στη ρευστοδυναµική. Εισήχθη από τον Van Leer και οι νέες κλίσεις προκύπτουν ως εξής σ = min mod s, s (3.39) i i i+ όπου είναι s i+ u = x i+ i+ ui x i (3.40) Η συνάρτηση min mod λειτουργεί ως εξής ( a) ( a b) sgn min, sgn(a)=sgn(b) min mod( ab, ) = 0 για κάθε άλλη περίπτωση (3.4) και η συνάρτηση sgn ( a) ουσιαστικά υπολογίζει το πρόσηµο της νέας κλίσης a 0 sgn( a) + > a < 0 (3.4) Περιορισµός κλίσης µονότονων κεντρικών διαφορών (MC limiter) Εισήχθη επίσης από τον Van Leer και οι νέες κλίσεις είναι οι εξής σ = minmod s, s,s (3.43) i i i i+ Η συνάρτηση minmod γράφεται για την περίπτωση αυτή sgn( a) min( a, b, c) εαν sgn(a)=sgn(b) και sgn(b)=sgn(c) min mod( abc,, ) = (3.44) 0 για κάθε άλλη περίπτωση

33 Υπολογιστική Σχετικότητα 33 Περιορισµός κλίσης Van Leer (Van Leer limiter) Πρόκειται για ένα περιορισµό κλίσης που πρότεινε ο Van Leer και γράφεται ως εξής σ ι = s s s i+ i + s i+ i (3.45) Στην περίπτωση που ο παρανοµαστής είναι µηδέν τότε είναι σ ι = 0. Περιορισµός κλίσης Superbee (Superbee limiter) Εισήχθη από τον Roe και γράφεται σι () () ( σi i ) = max mod, σ (3.46) όπου και σ σ () i () i = min mod s, s (3.47) i+ i = min mod s, s (3.48) i+ i και ( ab) max mod, ( a) ( a b) sgn max, εαν sgn(a)=sgn(b) = 0 για κάθε άλλη περίπτωση (3.49).7. Σύγκριση των περιορισµών κλίσης Στο σηµείο αυτό επιχειρείται µία σύγκριση των µεθόδων που αναπτύχθηκαν θεωρητικά στις παραγράφους.7 και.7.. Συγκεκριµένα θα γίνει εµφανές µε ποιο τρόπο καθεµία από τις µεθόδους αυτές προσεγγίζει µία γνωστή δοσµένη συνάρτηση και επιπλέον θα γίνουν αντιληπτές οι αδυναµίες τους. Υποθέτουµε ότι έχουµε τη συνάρτηση ( ) q x = sin ( x) x / π 0 x > / (3.50)

34 Υπολογιστική Σχετικότητα 34 Παρατηρούµε ότι στο σηµείο x = η συνάρτηση εµφανίζει µία ασυνέχεια, µία απότοµη δηλαδή µεταβολή. Η ύπαρξη αυτής της ασυνέχειας δεν είναι τυχαία, αλλά µας επιτρέπει να µελετήσουµε τη σύγκλιση και τη συµπεριφορά της κάθε µεθόδου στο συγκεκριµένο σηµείο. Τα συµπεράσµατα που εξάγονται είναι δυνατό να αξιοποιηθούν κατάλληλα για τη µελέτη του προβλήµατος αρχικών τιµών του Riemann µέσα σε ένα σωλήνα κρουστικών κυµάτων. Στο σχήµα της επόµενης σελίδας παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της προσπάθειας προσέγγισης της συνάρτησης q x. Η κόκκινη διακεκοµµένη γραµµή παριστάνει τη ( ) συνάρτηση ενώ η µαύρη και συνεχής γραµµή παριστάνει αντίστοιχα το αποτέλεσµα κάθε µεθόδου. Οι µέθοδοι που χρησιµοποιήθηκαν είναι οι εξής A. η µέθοδος του Godunov (παράγραφος.6) B. αναδόµηση των µεταβλητών χωρίς τη χρήση περιορισµού κλίσης C. αναδόµηση των µεταβλητών µε τη βοήθεια περιορισµού minmod D. αναδόµηση των µεταβλητών µε τη βοήθεια περιορισµού MC Παρατηρούµε ότι µε τη χρήση των περιορισµών κλίσης είναι δυνατό να επιτύχουµε µία αρκετά ικανοποιητική προσεγγιστική λύση, ιδιαίτερα ακριβή. Μάλιστα τόσο στην περίπτωση της µεθόδου του Godunov, όσο και στην περίπτωση της χρήσης των περιορισµών minmod και MC παρατηρούµε ότι καταφέρνουν να αποδώσουν µε σηµαντική πιστότητα την υπάρχουσα ασυνέχεια. Στην περίπτωση C. που δε χρησιµοποιήθηκε περιορισµός κλίσης εµφανίζεται µία διαταραχή κοντά στην ασυνέχεια, η οποία µπορεί να θεωρηθεί υπεύθυνη για την αστάθεια της µεθόδου.

35 Υπολογιστική Σχετικότητα 35,0 0,8 q 0,6 0,4 A. 0, 0,0,4,,0 0,8 q 0,6 0,4 B. 0, 0,0,0 0,8 0,6 q 0,4 C. 0, 0,0,0 0,8 0,6 q D. 0,4 0, 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 x Σχήµα.6: Παρουσίαση τεσσάρων διαφορετικών αριθµητικών µεθόδων για την sin ( π x) x / προσέγγιση της συνάρτησης q( x) = 0 x > /

36 Υπολογιστική Σχετικότητα 36.8 Προσεγγιστικές λύσεις για το πρόβληµα του Riemann Η εύρεση της ακριβούς λύσης για το πρόβληµα των αρχικών συνθηκών του Riemann στην περίπτωση των ρευστών παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες. Η αναλυτική λύση του προβλήµατος είναι µεν γνωστή, απαιτεί δε τη λύση µη γραµµικών εξισώσεων, µία διαδικασία που χρειάζεται επίπονες προσπάθειες για τον υπολογιστικό προγραµµατισµό της. Μάλιστα πρόκειται για µία διαδικασία, η οποία πρέπει να επαναλαµβάνεται διαρκώς για κάθε κυψελίδα, κατά τη διάρκεια ενός χρονικού βήµατος. Το ευτυχές είναι ότι η µέθοδος του Godunov, όπως περιγράφηκε νωρίτερα, δεν απαιτεί την ακριβή λύση του προβλήµατος Riemann, καθώς χρησιµοποιεί τους µέσους όρους των διατηρήσιµων ποσοτήτων u. Λαµβάνοντας υπόψη λοιπόν το υπολογιστικό κόστος για τη λύση του ακριβούς προβλήµατος, έχουν αναπτυχθεί διάφορες µέθοδοι που προσεγγιστικά είναι δυνατό να παρέχουν αξιόπιστες λύσεις για το πρόβληµα του Riemann.Οι µέθοδοι αυτές δεν λύνουν το πρόβληµα των αρχικών τιµών για τα ρευστά ως αυτό έχει, παρά λύνουν ένα απλοποιηµένο σύστηµα εξισώσεων. ιακρίνουµε τις εξής µεθόδους για την προσεγγιστική επίλυση του προβλήµατος του Riemann i. τις µη γραµµικές µεθόδους, οι οποίες αντικαθιστούν τα κύµατα αραίωσης µε ασυνέχειες και αποδίδουν µε αρκετή ακρίβεια τα χαρακτηριστικά των κρουστικών κυµάτων ii. τις µεθόδους τύπου HLLE (Hartex Lax Van Leer Einfeldt), οι οποίες απλοποιούν τη δοµή του προβλήµατος Riemann χρησιµοποιώντας µόνο µία ενδιάµεση κατάσταση ανάµεσα σε δύο κρουστικά κύµατα, τα οποία συνδέουν τις αρχικές δεξιές και αριστερές καταστάσεις. iii. τις γραµµικοποιηµένες µεθόδους, τύπου Roe και Marquina, οι οποίες ουσιαστικά αναζητούν τη λύση ενός γραµµικού συστήµατος, που συνδέεται άµεσα µε τις αρχικές εξισώσεις του προβλήµατος Riemann. Θα ασχοληθούµε µε τις µεθόδους τύπου HLLE. Στο παρακάτω σχήµα παρατηρούµε ένα στιγµιότυπο της εξέλιξης των κρουστικών κυµάτων της πίεσης (ανοικτό µπλε χρώµα), της ταχύτητας (κόκκινο χρώµα), της πυκνότητας (πράσινο χρώµα) και της ενέργειας (σκούρο µπλε χρώµα). () () (3) (4) (5) Σχήµα.7: Εξέλιξη της πυκνότητας, της ταχύτητας, της πίεσης, της ενέργειας στο εσωτερικό ενός σωλήνα κρουστικών κυµάτων Τα ξεχωριστά τµήµατα που διακρίνονται στο παραπάνω σχήµα παριστάνουν τη λύση του προβλήµατος των αρχικών τιµών του Riemann για µία συγκεκριµένη χρονική στιγµή. Οι δύο αρχικές καταστάσεις που προβλέπει το πρόβληµα συνδέονται από δύο ενδιάµεσες καταστάσεις (3, 4) και δύο κύµατα ( και διαχωριστική επιφάνεια περιοχών

37 Υπολογιστική Σχετικότητα 37 4,5), τα οποία µπορεί να είναι είτε κρουστικά κύµατα είτε τύπου αραίωσης. Μία προσέγγιση για την απλοποίηση του προβλήµατος είναι η εξάλειψη των κυµάτων αραίωσης και η υπόθεση πως υπάρχουν αποκλειστικά κρουστικά κύµατα. Με τον τρόπο αυτό απλοποιούνται οι εξισώσεις που πρέπει να λυθούν, καθιστώντας λιγότερο επίπονη τη χρήση των διαφόρων αριθµητικών µεθόδων..8. Η µέθοδος HLLE Για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήµατος µε τη βοήθεια κάποιας αριθµητικής µεθόδου το αρχικό βήµα είναι η διαίρεση του χώρου σε κελιά ή κυψελίδες, τα οποία ανάλογα µε τη φύση του προβλήµατος συνθέτουν ένα µονοδιάστατο ή πολυδιάστατο πλέγµα. Στην περίπτωση που το υπό µελέτη πρόβληµα εξελίσσεται σε µία διάσταση ο χώρος διαιρείται σε υπολογιστικές x, x και ακέραιες [ xi, x i + ] κυψελίδες. i i+ Η µέθοδος Harten Lax VanLeer Einfeldt βασίζεται στην υπόθεση του Godunov, σύµφωνα µε την οποία οι τρεις διατηρήσιµες ποσότητες (πυκνότητα µάζας,ορµής και ενέργειας) έχουν µία σταθερή τιµή µέσα σε κάθε υπολογιστική κυψελίδα του µονοδιάστατου πλέγµατος (σχέσεις (3.30)). Με τον τρόπο αυτό δηµιουργείται µία διαδοχή από τοπικά προβλήµατα αρχικών τιµών του Riemann, καθένα από τα οποία x, x + (σχήµα.4). Η λύση αυτών των προβληµάτων µπορεί να εντοπίζεται στα κελιά ( ) i i χρησιµοποιηθεί για να προσδιοριστούν οι τιµές των ροών των διατηρήσιµων ποσοτήτων ανάµεσα στις κυψελίδες και κατά συνέπεια και οι τιµές των ίδιων των ποσοτήτων την επόµενη χρονική στιγµή. Το γεγονός που καθιστά ιδιαίτερα ελκυστική τη µέθοδο του HLLE είναι ότι δεν απαιτεί τον υπολογισµό των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων της Ιακωβιανής. Επιπλέον η µορφή της µεθόδου HLLE διαφέρει από αυτή του προβλήµατος των αρχικών τιµών του Riemann στο ότι εισάγει µία νέα ενδιάµεση κατάσταση στις προϋπάρχουσες (,,, ) < l u x bt l l r lr = l r r u x> bt r u x t u u u bt x bt (3.5) όπου τα b και b προκύπτουν από τη σύνθεση της ταχύτητας του ρευστού v και της l r ταχύτητας µε την οποία κινείται ο ήχος µέσα στο ρευστό Είναι λοιπόν c s. br = v+ c s και b l = v c s (3.5) Η ενδιάµεση κατάσταση ορίζεται µε τη βοήθεια της απαίτησης για διατήρηση της ενέργειας σε κάθε υπολογιστικό κελί u lr ( ) ( ) bu r bu f u + f u = b b r l r l l r l (3.53)

38 Υπολογιστική Σχετικότητα 38 Η αριθµητική ροή είναι F i+ l r r l ( ) ( ) + ( ) + + br f u bl f u brbl u u = b b + r l (3.54) όπου b εαν b < l l εαν bl bl = 0 0 > 0 και b εαν b > + r r εαν br br = 0 0 < 0 (3.55),(3.56) Η µέθοδος HLLE αποδεικνύεται πως είναι αρκετά διαχυτική και δεν κατορθώνει να συλλάβει µε ακρίβεια τις ασυνέχειες, όπως τα κρουστικά κύµατα. Παρόλα αυτά εξακολουθεί να αποτελεί µία σηµαντική προσεγγιστική λύση στο πρόβληµα των αρχικών τιµών του Riemann για δύο τουλάχιστον λόγους. Η µέθοδος HLLE είναι πολύ απλή και δεν απαιτεί σίγουρα επίπονες υπολογιστικές προσπάθειες. Η ιδιότητά της αυτή την καθιστά ιδανική σα πρώτη προσέγγιση σε ένα πρόβληµα ή σαν ένα είδος ελέγχου της απόδοσης πιο πολύπλοκων µεθόδων. Είναι πολύ χρήσιµη για τη µελέτη φυσικών προβληµάτων. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην ιδιότητά της να αποδίδει στην πυκνότητα και στην ενέργεια αποκλειστικά θετικά τιµές κατά τη συνολική διάρκεια της υπολογιστικής διαδικασίας. Πολλές άλλες µέθοδοι δεν εµφανίζουν αυτό το χαρακτηριστικό µε αποτέλεσµα να παράγουν λύσεις µε µη αποδεκτές, από φυσικής άποψης, τιµές. Το φαινόµενο αυτό γίνεται εντονότερο σε δύο ή τρεις διαστάσεις..9 Εφαρµογή αριθµητικών µεθόδων στο σωλήνα κρουστικών κυµάτων Στην παράγραφο αυτή µελετώνται οι αριθµητικές µέθοδοι, που αναπτύχθηκαν θεωρητικά πριν, σε µία πιο πρακτική βάση. Συγκεκριµένα εφαρµόζονται στην περίπτωση του σωλήνα κρουστικών κυµάτων, οπότε µέσω της σύγκρισης των αποτελεσµάτων είναι δυνατό να εξαχθούν χρήσιµα συµπεράσµατα για την ακρίβεια και την αξιοπιστία τους..9. Η µέθοδος του Godunov Εφαρµόζουµε τη µέθοδο του Godunov, χρησιµοποιώντας το HLLE. Έχουµε τέσσερα διαγράµµατα, όπου το (a.) παριστάνει την πυκνότητα, το (b.) την πίεση, το (c.) την ταχύτητα και το (d.) την ενέργεια. Ουσιαστικά πρόκειται για στιγµιότυπα της εξέλιξης των αντίστοιχων µεταβλητών για χρόνο ίσο προς., που αντιστοιχεί σε 300 χρονικά βήµατα της µεθόδου. Παρατηρούµε ότι η µέθοδος καταφέρνει να αποδώσει το

39 Υπολογιστική Σχετικότητα 39 κρουστικό κύµα αρκετά ικανοποιητικά και µάλιστα σε βάθος χρόνου, ωστόσο στην περιοχή της ασυνέχειας επαφής εµφανίζει φαινόµενα διάχυσης. Άλλωστε πρόκειται για µία µέθοδο µε ακρίβεια πρώτης τάξης Σχήµα.8: Μελέτη του προβλήµατος του σωλήνα κρουστικών κυµάτων µε τη µέθοδο HLLE, χρησιµοποιώντας την αναδόµηση του Godunov (a πυκνότητα, b πίεση, c ταχύτητα, d ενέργεια)

40 Υπολογιστική Σχετικότητα Χωρίς περιορισµό κλίσης Για το συγκεκριµένο πρόγραµµα χρησιµοποιήθηκαν οι σχέσεις (3.57), (3.58) και για την προσεγγιστική λύση του προβλήµατος του Riemann εφαρµόστηκε η µέθοδος HLLE. ιακρίνονται τα διαγράµµατα της πυκνότητας (a.), της ταχύτητας (b.), της πίεσης (c.) και της ενέργειας (d.) για t=..παρατηρούµε ότι η αριθµητική αυτή µέθοδος προκαλεί διαταραχές και εποµένως είναι ασταθής. Οι διαταραχές διακρίνονται στα διαγράµµατα c και d, ως πιο σκούρες περιοχές, ενώ στα c,d εµφανίζονται οι λεπτοµέρειες. Σχήµα.9: Μελέτη του προβλήµατος του σωλήνα κρουστικών κυµάτων µε τη µέθοδο HLLE, χωρίς τη χρήση περιορισµού κλίσης. (a πυκνότητα, b ταχύτητα, c πίεση, d ενέργεια, c. και d. λεπτοµέρειες)

41 Υπολογιστική Σχετικότητα Περιορισµός κλίσης Minmod Στη συγκεκριµένη εφαρµογή χρησιµοποιήθηκαν ο περιορισµός κλίσης minmod και η µέθοδος HLLE. Πρόκειται για περιορισµό ης τάξης και παρέχει σαφέστατη βελτίωση σε σχέση µε το χωρίς περιορισµό πρόγραµµα, καθώς αποκόπτει τις διαταραχές, που οφείλονται σε αριθµητικά σφάλµατα. Σχήµα.0: Στιγµιότυπα (για t=. ) της πυκνότητας (a.), της ταχύτητας (b.), της πίεσης (c.) και της ενέργειας (d.). Είναι αποτελέσµατα του συνδυασµού των µεθόδων του περιορισµού κλίσης minmod και του HLLE.

42 Υπολογιστική Σχετικότητα Περιορισµός κλίσης MC Χρησιµοποιήθηκε ο περιορισµός κλίσης MC ενώ, όµοια µε πριν, για την προσεγγιστική επίλυση του προβλήµατος του Riemann επιλέχθηκε η µέθοδος HLLE. Παρατηρούµε ότι η µέθοδος εµφανίζει φαινόµενα διάχυσης, καθώς προσεγγίζει την ασυνέχεια επαφής και το κρουστικό κύµα µε κλίση µικρότερη από την κανονική. Σχήµα.: Στιγµιότυπα (για t=. ) της πυκνότητας (a.), της ταχύτητας (b.), της πίεσης (c.) και της ενέργειας (d.). Είναι αποτελέσµατα του συνδυασµού των µεθόδων του περιορισµού κλίσης MC και του HLLE.

43 Υπολογιστική Σχετικότητα 43 Godunov MC Σχήµα.3 Πυκνότητα,0 0,8 0,6 0,4 0, Μέθοδος Godunov Περιορισµός κλίσης MC 0, x Στο συγκεκριµένο διάγραµµα γίνεται σύγκριση των διαγραµµάτων της πυκνότητας, όπως προκύπτουν για την ίδια χρονική στιγµή (t =.). Παρατηρούµε ότι και οι δύο µέθοδοι εµφανίζουν παρόµοια αποτελέσµατα στην περιοχή του κύµατος αραίωσης και καταφέρνουν να το αποδώσουν ικανοποιητικά. Και οι δύο µέθοδοι αδυνατούν να αποδώσουν µε ακρίβεια την ασυνέχεια επαφής και εµφανίζουν µικρότερη κλίση από την πραγµατική. Στην περιοχή του κρουστικού κύµατος η µέθοδος του Godunov είναι αρκετά αξιόπιστη, ενώ το πρόγραµµα µε τον περιορισµό κλίσης MC εξακολουθεί να εµφανίζει µικρότερη κλίση. Σε γενικές γραµµές πάντως η HLLE για απλά προβλήµατα λειτουργεί ικανοποιητικά. Χωρίς περιορισµό κλίσης Minmod Πίεση,0 0,8 0,6 0,4 0, Χωρίς περιορισµό κλίσης Minmod 0, x Σχήµα.4 Συγκρίνουµε τα διαγράµµατα της πίεσης, όπως αυτά προκύπτουν χωρίς περιορισµό κλίσης και µε minmod. Παρατηρούµε ότι και στις δύο περιπτώσεις η εξέλιξη της πίεσης σχεδόν ταυτίζεται. Βέβαιο είναι εµφανές πως η χρήση του minmod βελτιώνει το τελικό αποτέλεσµα, καθώς εξαλείφονται σε µεγάλο βαθµό οι διαταραχές που εµφανίζονταν χωρίς τη χρήση του περιορισµού κλίσης και η εξέλιξη της πίεσης αποδίδεται µε µεγαλύτερη πιστότητα. MC Minmod

44 Υπολογιστική Σχετικότητα 44 Πυκνότητα,0 0,8 0,6 0,4 0, MC Minmod 0, X Σχήµα.5 Στο διπλανό σχήµα παρατίθενται τα διαγράµµατα της πυκνότητας, όπως προκύπτουν για τους περιορισµούς κλίσης MC και minmod. Παρατηρούµε ότι τα δύο διαγράµµατα ουσιαστικά ταυτίζονται, ενώ εµφανίζουν και παρόµοια φαινόµενα διάχυσης στις περιοχές της ασυνέχειας επαφής και του κρουστικού κύµατος. Πρακτικά όµως το minmod εµφανίζει πιο έντονα φαινόµενα διάχυσης σε σχέση µε το MC ή το superbee. Τα παραπάνω διαγράµµατα είναι αποτέλεσµα του υπολογιστικού προγραµµατισµού των αριθµητικών µεθόδων που αναφέρθηκαν.ο προγραµµατισµός έγινε µε τη βοήθεια της γλώσσας C, ενώ τα διαγράµµατα σχεδιάστηκαν µε τη βοήθεια του πακέτου γραφικών Origin. Τα δεδοµένα (αρχικές συνθήκες των ρ,p,v, µήκος του σωλήνα κρουστικών κυµάτων, αριθµός σηµείων, κ.τ.λ.) είναι πανοµοιότυπα για όλα τα προγράµµατα. Επιπλέον για την καλύτερη σύγκριση των αποτελεσµάτων, όλα τα διαγράµµατα είναι στιγµιότυπα που αφορούν την ίδια χρονική στιγµή. Το µήκος του µονοδιάστατου σωλήνα επιλέχθηκε ίσο προς 0 µονάδες. Το διάφραγµα τοποθετείται ακριβώς στο κέντρο. Οι αρχικές τιµές του προβλήµατος είναι x 5 ρ = 0.5 x > 5, x 5 p = 0. x > 5 και v = 0. (3.59) Το µονοδιάστατο πλέγµα αποτελείται από 000 σηµεία, οπότε σύµφωνα µε τη σχέση (3.0), υπολογίζεται το x και µάλιστα είναι x= Η ταχύτητα του ήχου δίνεται από τη σχέση (3.), και οι τιµές της πίεσης και της πυκνότητας που αντικαθιστούµε είναι οι µικρότερες, δηλαδή p=0. και ρ=0.5. Στη συνέχεια µε τη βοήθεια της συνθήκης CFL είναι δυνατό να αποδοθεί τιµή στο χρονικό βήµα. Επιλέγεται τελικά t=0.004 (πρακτικά µία καλή επιλογή για το χρονικό βήµα είναι να κυµαίνεται στο x 50%-40% της τιµής του λόγου ). Ο αδιαβατικός δείκτης είναι ίσος προς. v Γ=.4 Τέλος είναι σε κάθε περίπτωση σηµαντικό να θυµόµαστε ότι το αποτέλεσµα που προκύπτει από την εφαρµογή των µεθόδων που προσεγγίζουν τη λύση του προβλήµατος του Riemann ( π.χ. HLLE) είναι ακριβώς προσεγγιστικό. Για το λόγο αυτό είναι δυνατό σε ορισµένες περιπτώσεις η λύση να µην είναι φυσικώς αποδεκτή. Το ευτυχές είναι ότι όταν µία τέτοια προσεγγιστική µέθοδος αποτυγχάνει, ίσως µία άλλη να λειτουργεί οµαλά και να παράγει σωστά αποτελέσµατα. Για σύνθετα λοιπόν προβλήµατα είναι δυνατή και ίσως απαραίτητη η εφαρµογή περισσοτέρων από µίας προσεγγιστικών µεθόδων, ώστε να αλληλοσυµπληρώνονται.

45 Υπολογιστική Σχετικότητα 45

46 Υπολογιστική Σχετικότητα 46 Κεφάλαιο Αριθµητικές µέθοδοι στην ειδική σχετικότητα Η σχετικότητα είναι ένα απαραίτητο εργαλείο στα χέρια των φυσικών, στην προσπάθειά τους να περιγράψουν αστροφυσικά φαινόµενα σχετικά µε συµπαγή αντικείµενα. Ανάλογα φαινόµενα είναι η κατάρρευση του πυρήνα των αστέρων, τα πάλσαρς, οι αστέρες νετρονίων, συστήµατα αστέρων νετρονίων, ο σχηµατισµός µελανών οπών, τα κβάζαρς, οι πίδακες (jets), οι εκρήξεις ακτίνων γάµµα (GRB). Στην περίπτωση που συναντώνται ισχυρά βαρυτικά πεδία, όπως συµβαίνει κοντά σε µία µελανή οπή, πρέπει να ληφθούν υπόψη οι προβλέψεις της γενικής θεωρίας της σχετικότητας. Επίσης η παραγωγή βαρυτικών κυµάτων που οφείλεται κατά κύριο λόγο σε αυτά τα φαινόµενα, είναι δυνατό να ερµηνευθεί µόνο στο πλαίσιο της γενικής σχετικότητας. Υπάρχουν όµως ορισµένα σχετικιστικά φαινόµενα, τα οποία σχετίζονται µε ροές που κινούνται µε µεγάλες ταχύτητες, αλλά µέσα σε πιο ασθενή βαρυτικά πεδία. Σε ανάλογες περιπτώσεις είναι δυνατό να µελετηθούν αυτά τα φαινόµενα, ή τουλάχιστον κάποιες πλευρές τους, στο πλαίσιο της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, αγνοώντας τις επιδράσεις της γενικής θεωρίας.. Σχετικιστικές εξισώσεις ρευστοδυναµικής Οι εξισώσεις,που περιγράφουν την κίνηση ενός σχετικιστικού ρευστού δίνονται από τους παρακάτω πέντε νόµους διατήρησης και ( ρ u µ ) = 0 (.) ; µ T µν = ; ν 0 (.) όπου (µ,ν=0,...,3) και ;µ συµβολίζει τη συναλλοίωτη παράγωγο. Επιπλέον ρ είναι η πυκνότητα της µάζας ηρεµίας του ρευστού (rest mass density), είναι η τετραταχύτητά του και T µν είναι ο τανυστής τάσης ενέργειας ορµής. Για ένα τέλειο ρευστό ο τανυστής γράφεται µ u T µν = ρhu µ u ν + pg µν (.3)

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων Κεφάλαιο Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων. Εισαγωγή Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα

Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα 7 7.1 Εισαγωγή Οι διαδικασίες υψηλών ενεργειών που περιγράφηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, καθώς και η επιτάχυνση σωματιδίων σε υψηλές ενέργειες η οποία θα περιγραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη : Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων Χειμερινό εξάμηνο 008 Προηγούμενη παρουσίαση... Γράψαμε τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας.

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 21 Μαίου 2009 Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. Επίσης γράψετε το password σας. Στο τέλος της εξέτασης θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 20/5/2000 Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Είδαµε ότι όταν η Χαµιλτονιανή συνάρτηση δεν εξαρτάται άµεσα από το χρόνο τότε αυτή διατηρείται κατά την κίνηση και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική

ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική 4 η Εργασία Επιστροφή: 24/3/13 Yπενθύµιση: Οι εργασίες πρέπει να επιστρέφονται µε e-mail που θα στέλνετε από το πανεπιστηµιακό σας λογαριασµό το αργότερο µέχρι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Για ένα φυσικό σύστηµα που περιγράφεται από τις συντεταγµένες όπου συνεχής συµµετρία είναι ένας συνεχής µετασχηµατισµός των συντεταγµένων που αφήνει αναλλοίωτη

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα.

2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα. 2.1 Τρέχοντα Κύµατα. Οµάδα. 2.1.41. Κάποια ερωτήµατα πάνω σε µια κυµατοµορφή. Ένα εγκάρσιο αρµονικό κύµα, πλάτους 0,2m, διαδίδεται κατά µήκος ενός ελαστικού γραµµικού µέσου, από αριστερά προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT ΕΝΤΡΟΠΙΑ-ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNO Η εντροπία είναι το φυσικό µέγεθος το οποίο εκφράζει ποσοτικά το βαθµό αταξίας µιας κατάστασης ενός θερµοδυναµικού συστήµατος. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Η εντροπία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 20/5/2000 Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Είδαµε ότι όταν η Χαµιλτονιανή συνάρτηση δεν εξαρτάται άµεσα από το χρόνο τότε αυτή διατηρείται κατά την κίνηση και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γ ΕΚ ΟΣΗΣ Μετά την τρίτη έκδοση του βιβλίου µου µε τα προβλήµατα Μηχανικής για το µάθηµα Γενική Φυσική Ι, ήταν επόµενο να ακολουθήσει η τρίτη έκδοση και του παρόντος βιβλίου µε προβλήµατα Θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers)

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers) 1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exangers) Οι εναλλάκτες θερµότητας είναι συσκευές µε τις οποίες επιτυγχάνεται η µεταφορά ενέργειας από ένα ρευστό υψηλής θερµοκρασίας σε ένα άλλο ρευστό χαµηλότερης θερµοκρασίας.

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 5 Ιανουαρίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Την Κινηµατική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων χωρίς να ενδιαφέρεται για τις δυνάµεις που ενεργούν στα σώµατα)

ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Την Κινηµατική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων χωρίς να ενδιαφέρεται για τις δυνάµεις που ενεργούν στα σώµατα) ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΕΙ / Λ, ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΙΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η Μηχανική, εκτός απο θεωρητικός, είναι και εφηρµοσµένος κλάδος της Φυσικής. Αποτελεί την ραχοκοκαλιά της σύγχρονης Μηχανολογίας και διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Χάος και Φράκταλ. ιδάσκων: Α.Μπούντης, Καθηγητής Ασκήσεις ΟΜΑ Α Α 1) Να δειχθεί ότι η οικογένεια των κλειστών καµπυλών x x e = c τείνει 2 1)

Χάος και Φράκταλ. ιδάσκων: Α.Μπούντης, Καθηγητής Ασκήσεις ΟΜΑ Α Α 1) Να δειχθεί ότι η οικογένεια των κλειστών καµπυλών x x e = c τείνει 2 1) Χάος και Φράκταλ ιδάσκων: ΑΜπούντης, Καθηγητής Ασκήσεις ΟΜΑ Α Α + ) ) Να δειχθεί ότι η οικογένεια των κλειστών καµπυλών e = c τείνει σε εκείνη των ελλείψεων ξ ξ + = K, όταν, ) b, a) Τα Κ,c είναι b a αυθαίρετες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ Άνοιξη 2007 Εισαγωγή Σκοπός της παρούσης ενότητας ασκήσεων είναι η αφοµοίωση των εισαγωγικών παραδόσεων του µαθήµατος «Υπόγεια Υδραυλική», της σύνδεσης της ύλης παραδόσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ιάθλαση µέσω πρίσµατος Φασµατοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσµατος

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ιάθλαση µέσω πρίσµατος Φασµατοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσµατος Ο1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ιάθλαση µέσω πρίσµατος Φασµατοσκοπικά χαρακτηριστικά πρίσµατος 1. Εισαγωγή Όταν δέσµη λευκού φωτός προσπέσει σε ένα πρίσµα τότε κάθε µήκος κύµατος διαθλάται σύµφωνα µε τον αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-V ΑΣΚΗΣΗ Α2 - JOULE-THOMSON

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-V ΑΣΚΗΣΗ Α2 - JOULE-THOMSON ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ-V ΑΣΚΗΣΗ Α2 - JOULE-THOMSON Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι:

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι: Όριο συνάρτησης στο Στα παρακάτω θα προσεγγίσουμε την διαισθητικά με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων και πινάκων τιμών. 4 4 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f ) = και πεδίο ορισμού το σύνολο ) ) η οποία μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου*

Παρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου* Παρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου* Κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσου το οποίο ταυτίζεται µε τον άξονα χ χ, διαδίδονται κατά αντίθετη φορά, δύο εγκάρσια αρµονικά κύµατα, ίδιου πλάτους και ίδιας

Διαβάστε περισσότερα

u u u u u u u u u u u x x x x

u u u u u u u u u u u x x x x Βασικοί συµβολισµοί και σχέσεις ϕ ϕ ui & ϕ=, ϕ, i=, ui, j= t x x u1 u1 u1 x1 x2 x u 3 1, 1 ui, j ui, j u1, 1 ui, j ui, j u u u u u u u u u u u i 2 2 2 i, j= = i, j 2, 2 i, j = i, j 2, 2 i, j = x j x1 x2

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ 1 ο ΘΕΜΑ (1,5 Μονάδες) Στην παράδοση είχε παρουσιαστεί η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης «καθαρής συναγωγής» σε µία διάσταση, η µαθηµατική δοµή της οποίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα