Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Πρίκας, Eκδόσεις Zήτη, Ιούνιος 2009, Θεσσαλονίκη

Transcript

1

2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Πρίκας Αθανάσιος Διδάκτωρ Φυσικής Στοιχειωδών Σωματίων Μύτικας Αιτωλοακαρνανίας, 3 19 Τηλ: aprikas@central.ntua.gr ISBN Copyright: Πρίκας, Eκδόσεις Zήτη, Ιούνιος 9, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.11/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη και συγγραφέα κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Bιβλιοπωλείο Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: (1 γραμ.) - Fax: info@ziti.gr Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ , Fax sales@ziti.gr

3 Πρόλογος Σ το βιβλίο αυτό ασχολούμαστε με τα αντικείμενα της Κυματικής και της Οπτικής, όπως αυτά διδάσκονται στα ΑΕΙ και ΑΤΕΙ. Το βιβλίο περιλαμβάνει σε κάθε κεφάλαιο τη θεωρία συνοπτικά, με περισσότερες επεξηγήσεις στα δυσκολότερα σημεία, μια σειρά λυμένων ασκήσεων (συνολικά 16) και τέλος ασκήσεις για επίλυση (συνολικά 41). Για τις τελευταίες δίνουμε αναλυτικές απαντήσεις (με επεξηγήσεις όπου χρειάζονται) στο τέλος του βιβλίου. Διαπραγματευόμαστε εκτός από τα «κλασικά» θέματα Κυματικής και Οπτικής, και το αντικείμενο των ταλαντώσεων, ως εισαγωγικό κομμάτι στις κυμάνσεις, όπως και περισσότερο εξειδικευμένα ζητήματα Κυματικής και Οπτικής (κύματα σε και 3 διαστάσεις, ανάλυση Fourier, εξισώσεις Fresnel, το φως στην ύλη κ.α.) Προσπαθήσαμε επίσης σε κάθε κεφάλαιο να παρουσιάσουμε μια ευρεία ποικιλία διαφορετικών ασκήσεων: Περισσότερο απλές εφαρμογές σε καθημερινά φυσικά προβλήματα, θέματα που απαιτούν περισσότερη «κρίση», προβλήματα που απαιτούν συγκεκριμένα, έστω και κοπιαστικά, μαθηματικά βήματα, όπως και προβλήματα που απαιτούν περισσότερο «εξωτικές» μαθηματικές τεχνικές. Στόχος μας είναι να καλύψουμε κάθε πιθανή εκπαιδευτική ανάγκη, όπως και να βοηθήσουμε ώστε το αντικείμενο της Κυματικής Οπτικής να γίνει κτήμα κάθε ενδιαφερόμενου, φοιτητή, εκπαιδευτικού, υποψήφιου κατατακτηρίων εξετάσεων. Πιστεύουμε ότι μόνο αν καταλαβαίνουμε το «τί, πώς και γιατί» της Φυσικής γινόμαστε ικανότεροι στην επίλυση προβλημάτων. Αθανάσιος Πρίκας athanasios_prikas@yahoo.gr

4 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ο ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1.1 Απλή αρμονική ταλάντωση Κινηματική της απλής αρμονικής ταλάντωσης Η διαφορική εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης (αλλιώς: «η δύναμη στην απλή αρμονική ταλάντωση» Μια άλλη διαφορική εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης (αλλιώς: «η ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση») Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση Σύνθεση (επαλληλία) ταλαντώσεων Τί είναι η σύνθεση ταλαντώσεων Δύο ταλαντώσεις στην ίδια διεύθυνση με ίδια συχνότητα n ταλαντώσεις με πλάτος A και σταθερή διαφορά φάσης ανά δύο ταλαντώσεις φ Δύο ταλαντώσεις στην ίδια διεύθυνση με διαφορετικές συχνότητες και ίσα πλάτη Δύο ταλαντώσεις με ίσες συχνότητες σε κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις Δύο ταλαντώσεις με διαφορετικές συχνότητες σε κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις (εικόνες Lissajous)... 8 Λυμένα Προβλήματα... 3 Προβλήματα για Λύση Φθίνουσες ταλαντώσεις Διαφορική εξίσωση για τον ταλαντωτή με απόσβεση Υποκρίσιμη απόσβεση Κρίσιμη και υπερκρίσιμη απόσβεση Μεγέθη που χαρακτηρίζουν τη μείωση πλάτους, ενέργειας κλπ Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Βασική θεωρία Συντονισμός γενικά Σύνθετη αντίσταση μηχανικού ταλαντωτή Ισχύς συντελεστής ποιότητας... 5 Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση... 57

5 6 Κυματική Οπτική 1.5 Σύζευξη ταλαντώσεων κανονικοί τρόποι ταλάντωσης Φυσική σημασία της σύζευξης Δύο εκκρεμή που συνδέονται με ελατήριο Βαθμοί ελευθερίας και ενεργειακοί όροι...59 Λυμένα Προβλήματα...61 Προβλήματα για Λύση Ηλεκτρικές ταλαντώσεις Αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις Φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις Κυκλώματα RLC εναλλασσόμενου...71 Λυμένα Προβλήματα...73 Προβλήματα για Λύση...76 Κεφάλαιο ο ΚΥΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ.1 Μαθηματική περιγραφή του κύματος Η συνάρτηση του κύματος Αρμονικό κύμα Ταχύτητα κύματος Διαφορική εξίσωση κύματος Μιγαδική συνάρτηση κύματος...77 Λυμένα Προβλήματα...78 Προβλήματα για Λύση Διάδοση κυμάτων σε διάφορα μέσα Ταχύτητα κύματος. Ανάκλαση και διάθλαση κυμάτων Ταχύτητα εγκάρσιου κύματος σε τεντωμένη χορδή Ταχύτητα διαμήκους κύματος (και ήχου) σε ρευστό (υγρό ή αέριο) Ταχύτητα διαμήκους κύματος σε ράβδο Ταχύτητα επιφανειακών κυμάτων σε ρευστά Ανάκλαση κυμάτων σε μία διάσταση Ανάκλαση και διάθλαση μονοδιάστατων κυμάτων σε περισσότερες από μία διαστάσεις...86 Λυμένα Προβλήματα...88 Προβλήματα για Λύση Ισχύς και ένταση στα μηχανικά κύματα Ισχύς κύματος σε χορδή Ένταση κύματος...1 Λυμένα Προβλήματα...11 Προβλήματα για Λύση Επαλληλία, σύνθετα κύματα, συμβολή, στάσιμα, ταχύτητα φάσης και ταχύτητα ομάδας Αρχή της επαλληλίας Σύνθετα κύματα Συμβολή Διακροτήματα Στάσιμα κύματα Φασική και ομαδική ταχύτητα, διασπορά...19

6 Περιεχόμενα 7 Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση Κεφάλαιο 3 ο ΗΧΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΜΗΚΗ ΚΥΜΑΤΑ 3.1 Ηχητικά κύματα, χαρακτηριστικά ήχου Ηχητικά κύματα Σφαιρικά ηχητικά κύματα Ισχύς ενός ηχητικού κύματος Ένταση ηχητικού κύματος Ένταση του ήχου σε db Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση Ταχύτητα ήχου, φαινόμενο Doppler Ταχύτητα του ήχου Ταχύτητα του ήχου σε επιμήκη σώματα (ράβδους) Φαινόμενο Doppler Κρουστικά κύματα Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση Στάσιμα ηχητικά κύματα Διακροτήματα Συμβολή Στάσιμα ηχητικά κύματα Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση Κεφάλαιο 4 ο ΜΕΡΙΚΑ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ 4.1 Κύματα σε και 3 διαστάσεις Συνάρτηση κύματος Διαφορική εξίσωση του κύματος σε ή 3 διαστάσεις Ταχύτητα κύματος σε μεμβράνη Επίπεδα, κυλινδρικά και σφαιρικά κύματα Χωρισμός μεταβλητών Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης Στάσιμα κύματα σε και 3 διαστάσεις Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση Κύματα σε περιοδικές δομές Φωνόνια Κύματα σε περιοδική δομή

7 8 Κυματική Οπτική Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση Χαρακτηριστική αντίσταση μέσου Χαρακτηριστική αντίσταση μέσου Συντελεστές ανάκλασης και διάδοσης Προσαρμογή σύνθετων αντιστάσεων Συντελεστές για διαμήκη κύματα Λυμένα Προβλήματα...17 Προβλήματα για Λύση Ανάλυση Fourier Σειρές Fourier Ολοκληρώματα Fourier Μιγαδικός μετασχηματισμός Fourier Το θεώρημα εύρους ζώνης Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση...18 Κεφάλαιο 5 ο ΦΥΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ 5.1 Από τον ηλεκτρομαγνητισμό στο φως, ενέργεια, ένταση, ορμή και πίεση ακτινοβολίας Σχέση φωτός και ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας Πότε είναι «αποδεκτή» μια ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Ισχύς ακτινοβολίας και το διάνυσμα Poynting Ενέργεια του ηλεκτρομαγνητικού κύματος Ορμή και πίεση ηλεκτρομαγνητικού κύματος Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση Ταχύτητα του φωτός Φαινόμενο Doppler στο φως Η ταχύτητα του φωτός στο κενό Το φαινόμενο Doppler Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση Η κβαντική φύση του φωτός Το κβάντο... Λυμένα Προβλήματα... Προβλήματα για Λύση...3

8 Περιεχόμενα 9 Κεφάλαιο 6 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ 6.1 Ανάκλαση, διάθλαση, ολική ανάκλαση, αρχή του Ήρωνα Fermat Ανάκλαση Δείκτης διάθλασης Διάθλαση Ολική ανάκλαση Διασκεδασμός Αρχή του ελάχιστου χρόνου (των Ήρωνα Fermat)... 5 Λυμένα Προβλήματα... 7 Προβλήματα για Λύση Επίπεδα κάτοπτρα Επίπεδα κάτοπτρα... Λυμένα Προβλήματα... Προβλήματα για Λύση Σφαιρικά κάτοπτρα Εύρεση ειδώλου Σύμβαση προσήμων Μεγέθυνση... 6 Λυμένα Προβλήματα... 7 Προβλήματα για Λύση Φακοί, διαθλαστικές επιφάνειες, συστήματα οπτικών οργάνων Τύπος των φακών Τύπος των κατασκευαστών των φακών Μεγέθυνση Σφαιρική διαθλαστική επιφάνεια Επίπεδη διαθλαστική επιφάνεια Συστήματα λεπτών φακών Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση Κεφάλαιο 7 ο ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ 7.1 Συμβολή Προϋποθέσεις συμβολής Συμβολή δύο σύμφωνων, μονοχρωματικών πηγών Συμβολή περισσότερων πηγών Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση Περίθλαση Περίθλαση από μια σχισμή Περίθλαση από δύο σχισμές Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση... 73

9 1 Κυματική Οπτική 7.3 Άλλες περιπτώσεις συμβολής (δακτύλιοι Νεύτωνα, νόμος Bragg, συμβολόμετρο Michelson, λεπτά πλακίδια, φράγματα) Η συμβολή σε διάφορες περιπτώσεις Συμβολόμετρο Michelson Νόμος του Bragg Φράγματα Περίθλαση από κυκλική οπή Διακριτική ικανότητα στην περίθλαση Συμβολή από λεπτά υμένια πλακίδια. Δακτύλιοι του Νεύτωνα...75 Λυμένα Προβλήματα...79 Προβλήματα για Λύση Πόλωση Γραμμική πόλωση Ο νόμος του Malus, Κυκλική και ελλειπτική πόλωση Τρόποι πόλωσης...9 Λυμένα Προβλήματα...91 Προβλήματα για Λύση...99 Κεφάλαιο 8 ο ΜΕΡΙΚΑ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΖΗΤΉΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ 8.1 Οι εξισώσεις Fresnel Οι εξισώσεις Fresnel...31 Λυμένα Προβλήματα...3 Προβλήματα για Λύση Το φως μέσα στην ύλη. Διασκεδασμός και απορρόφηση Ορισμοί μεγεθών Οι εξισώσεις του Maxwell σε μονωτές Η εξίσωση του κύματος Απορρόφηση, πρώτη προσέγγιση Ο δείκτης διάθλασης για αέριο ηλεκτρονίων. Διασκεδασμός και απορρόφηση σε μέταλλα και ιονισμένα αέρια...39 Λυμένα Προβλήματα Προβλήματα για Λύση ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π1 Μιγαδικοί αριθμοί Π Τριγωνομετρία Π3 Οι υπερβολικές συναρτήσεις...3 Π4 Δυναμοσειρές...31

10 Περιεχόμενα 11 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Κεφ. 1 ο Ταλαντώσεις 1.1 Απλή αρμονική ταλάντωση Σύνθεση (επαλληλία) ταλαντώσεων Φθίνουσες ταλαντώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Σύζευξη ταλαντώσεων κανονικοί τρόποι ταλάντωσης Ηλεκτρικές ταλαντώσεις Κεφ. ο Κύματα Βασικά χαρακτηριστικά.1 Μαθηματική περιγραφή του κύματος Διάδοση κυμάτων σε διάφορα μέσα ταχύτητα κύματος, Ανάκλαση και διάθλαση κυμάτων Ισχύς και ένταση στα μηχανικά κύματα Επαλληλία, σύνθετα κύματα, συμβολή, στάσιμα, ταχύτητα φάσης και ταχύτητα ομάδας Κεφ. 3 ο Ήχος και διαμήκη κύματα 3.1 Ηχητικά κύματα, χαρακτηριστικά ήχου Ταχύτητα ήχου, φαινόμενο Doppler Στάσιμα ηχητικά κύματα Διακροτήματα Συμβολή Κεφ. 4 ο Μερικά επιπλέον ζητήματα Κυματικής 4.1 Κύματα σε και 3 διαστάσεις Κύματα σε περιοδικές δομές φωνόνια Χαρακτηριστική αντίσταση μέσου Ανάλυση Fourier Κεφ. 5 ο Φύση του φωτός 5.1 Από τον ηλεκτρομαγνητισμό στο φως, ενέργεια, ένταση, ορμή και πίεση ακτινοβολίας Ταχύτητα του φωτός φαινόμενο Doppler στο φως Η κβαντική φύση του φωτός Κεφ. 6 ο Γεωμετρική Οπτική 6.1 Ανάκλαση, διάθλαση, ολική ανάκλαση, αρχή του Ήρωνα Fermat Επίπεδα κάτοπτρα Σφαιρικά κάτοπτρα Φακοί, διαθλαστικές επιφάνειες, συστήματα οπτικών οργάνων Κεφ. 7 ο Κυματική Οπτική 7.1 Συμβολή Περίθλαση... 35

11 1 Κυματική Οπτική 7.3 Άλλες περιπτώσεις συμβολής (δακτύλιοι Νεύτωνα, νόμος Bragg, συμβολόμετρο Michelson, λεπτά πλακίδια, φράγματα) Πόλωση Κεφ. 8 ο Μερικά επιπλέον ζητήματα Οπτικής 8.1 Οι εξισώσεις Fresnel Το φως μέσα στην ύλη. Διασκεδασμός και απορρόφηση...355

12 Κεφάλαιο 1 1.1: Απλή αρμονική ταλάντωση 13 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1.1 Απλή αρμονική ταλάντωση Θεωρία Κινηματική της απλής αρμονικής ταλάντωσης Ένα σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση όταν ικανοποιεί την εξίσωση: x= Asin( ωt+ φ ) (1.1.1) με x την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας, x max = A τη μέγιστη δυνατή απομάκρυνση ή πλάτος της ταλάντωσης, ω την κυκλική συχνότητα που εξαρτάται από την περίοδο T ή τη συχνότητα f μέσα από τις σχέσεις: π ω= =πf και φ την αρχική φάση η οποία δεν έχει ιδιαίτερη φυσική σημασία T και προκύπτει από το ότι ξεκινήσαμε να παρατηρούμε την κίνηση του κινητού όχι τη στιγμή που διερχόταν από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα αλλά κάποια άλλη στιγμή. Από την έπεται: dx υ = ωacos( ωt+ φ ) (1.1.) dt dυ d x a = =- ω Asin( ωt+ φ ) (1.1.3) dt dt με υ max = ωa και a max = ω A. Να σημειώσουμε ότι το «σταθερό» μέρος των ταλαντώσεων, αυτό δηλαδή που εμφανίζεται σε όλες τις σχέσεις είναι το sin( ωt + φ ) (είτε η αντίστοιχη παράσταση με το συνημίτονο). Το x και το A μπορεί να είναι όπως εδώ οι απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας, μπορεί να είναι γωνίες, μπορεί να είναι το φορτίο ενός πυκνωτή. Γενικά όποιο μέγεθος υπακούει στην λέμε ότι ταλαντώνεται αρμονικά.

13 14 Κεφάλαιο 1: Ταλαντώσεις Η διαφορική εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης (αλλιώς: «η δύναμη στην α.α.τ.») Από τη σύγκρισή των και της δεύτερης εξίσωσης της έπεται ότι: a=-ω x fi d x =- ωx (1.1.4) dt Όταν λοιπόν ένα φυσικό μέγεθος (απομάκρυνση, γωνία, φορτίο πυκνωτή) υπακούει στην (ισοδύναμα στην 1.1.1) θα λέμε ότι εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Το ω παίζει το ρόλο μιας θετικής σταθεράς. Έτσι, αν καταλήξουμε ότι στο απλό εκκρεμές, για παράδειγμα, η γωνία που σχηματίζει το νήμα με την dθ κατακόρυφο υπακούει στην εξίσωση: =- cθ, με c >, τότε η γωνία μετα- dt θ= θ sin ct+ φ, με άλλο βάλλεται με το χρόνο με μια σχέση της μορφής: max ( ) λόγια το σώμα εκτελεί όντως αρμονική ταλάντωση, με το c να είναι το ω. Η είναι η διαφορική εξίσωση της ταλάντωσης. Αν πολλαπλασιάσουμε την με τη μάζα του σώματος, τότε χρησιμοποιώντας το ο νόμο του Νεύτωνα θα πάρουμε: ΣF=- mω x=-dx, D= mω (1.1.5) Μια άλλη διαφορική εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης (αλλιώς: «η ενέργεια στην α.α.τ.»): Μπορεί να αποδείξει κανείς ότι ισχύει για την κινητική και τη δυναμική ενέργεια μιας ταλάντωσης: 1 1 K+ U = C mυ + Dx = C, 1 1 C= Etot. = Dxmax = mυ max (1.1.6) Γενικά ένα φυσικό μέγεθος x ταλαντώνεται αρμονικά με κυκλική συχνότητα ω αρκεί να ισχύει: x + ωx = σταθ. (1.1.7) με x = dx / dt.

14 1.1: Απλή αρμονική ταλάντωση 15 Λυμένα Προβλήματα Αποδείξτε ότι η γενικότερη λύση της είναι η Λύση: x= A sinωt+ A cosωt. 1 Εκφράστε τους συντελεστές A 1 και A συναρτήσει των A και φ. 1sin cos d x 1sin cos x= A ωt+ A ωt fi =-ω A ωt- ω A ωt=-ω x. dt Άρα η συγκεκριμένη συνάρτηση είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης. Μήπως η διαφορική εξίσωση έχει και άλλες «επιπλέον» λύσεις, οι οποίες δεν καλύπτονται από την παρακάτω συνάρτηση; x= A1sinωt+ Acos ωt. (1) Όχι. Διότι η είναι δεύτερης τάξης (δηλαδή περιλαμβάνει μέχρι και η παράγωγο), άρα οι σταθερές που θα εμφανίζονται στη λύση της θα είναι δύο, είτε οι A 1 και A της (1), είτε οι A και φ της Οι και η (1) είναι ισοδύναμες αρκεί να ικανοποιούνται κάποιες σχέσεις ανάμεσα στις δύο ομάδες σταθερών. Αυτές ακριβώς τις σχέσεις θα βρούμε τώρα. Αναπτύσσοντας το ημίτονο της έπεται: x= Acosφsinωt+ Asinφcosωt. () Συγκρίνοντας τις (1) και () έπεται: A1= Acosφ και A = Asinφ α) Ξεκινώντας από την 1.1.1, αποδείξτε τις και β) Ξεκινώντας από την 1.1.4, αποδείξτε την και την γ) Ξεκινώντας από την 1.1.7, αποδείξτε τις και Λύση: α) Αν x= Asin( ωt+ φ ) (1) τότε έπεται: d x =- ωasin( ωt+ φ ) =-ωx, dt

15 16 Κεφάλαιο 1: Ταλαντώσεις οπότε αποδείξαμε την Θα αποδείξουμε τώρα την Έχουμε: ωx = ωasin ( ωt+ φ ). () Επίσης από την (1) έπεται: x = ωacos( ωt+ φ ) fi x = ω A cos ( ωt+ φ ) (3) Προσθέτοντας τις () και (3) έπεται η β) d x dx =-ωxfi =-ωxfi dx =-ωxdtfi dt dt dx xdx =- xωxdt =- ωx dt=-ωxdxfi xdx =-ωxdxfi dt x x =- ω + cfi x + ω x = c1 (4) Έτσι αποδείξαμε από την την Θα συνεχίσουμε για να αποδείξουμε την Από την (4) έπεται: dx x = c1 -ω x fi dt=. (5) c -ω x 1 Αν δε θέλουμε να καταφύγουμε σε πίνακα για το δεξιό ολοκλήρωμα, θα το υπολογίσουμε. Θέτω ωx = c1 sin z, οπότε ο παρονομαστής του ολοκληρώματος της (5) γίνεται c 1 cosz c 1 coszdz, άρα τελικά από την (5) ω έπεται: z c1 c1 t + c = fi x = sinz = sin( ωt + ωc) ω ω ω δηλαδή έχει τη μορφή της γ) Στο δεύτερο σκέλος του ερωτήματος β ξεκινήσαμε από την και αποδείξαμε την Για να αποδείξουμε την από την παραγωγίζουμε την τελευταία: x + ωx = σταθ. fi d ( x + ωx ) = fi xx + ωxx = fi x =-ωx. dt

16 1.1: Απλή αρμονική ταλάντωση Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση με δεδομένα τα m, k και A να υπολογίσετε τις μέσες τιμές ως προς το χρόνο και ως προς την απόσταση: α) Της θέσης. β) Της ταχύτητας. γ) Της κινητικής ενέργειας. δ) Της δυναμικής ενέργειας. Λύση: Η μέση τιμή ενός φυσικού μεγέθους, έστω p, ως προς το χρόνο ορίζεται ως: p t = pdt dt, όπου το χρονικό διάστημα Δt = dt είναι ένα αντιπροσωπευτικό, για παράδειγμα ακέραιο πολλαπλάσιο της περιόδου, ή απλώς ένα πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα. Ομοίως, η μέση τιμή ενός μεγέθους ως προς τη θέση είναι: p x = pdx dx. Επειδή η αρχική φάση, δηλαδή το πότε αρχίσαμε να μετράμε το χρόνο, δεν παίζει ρόλο στα μέσα μεγέθη του συστήματος, θα την αγνοήσουμε. Να σημειώσουμε πάντως ότι για τη μέση τιμή ενός μεγέθους ως προς την απόσταση πρέπει να είμαστε λίγο περισσότερο προσεκτικοί, γιατί μπορεί ο χρόνος να μη γυρίζει πίσω, η απόσταση όμως γυρνάει. Δηλαδή, αν υπολογίσουμε τη μέση τιμή ενός μεγέθους ως προς την απόσταση κατά τη διάρκεια μιας περιόδου, όταν δηλαδή το κινητό κινείται από το -A στο A και ξανά πίσω στο -A, τότε κατά πάσα πιθανότητα η μέση τιμή αυτού του μεγέθους θα είναι μηδενική (εξαιρούνται μερικά μεγέθη όπως το έργο της τριβής που δεν είναι συναρτήσεις της θέσης). Για να βρούμε λοιπόν μέση τιμή ως προς τη θέση, θα ολοκληρώνουμε, για παράδειγμα από το -A μέχρι το A. Μάλιστα, λόγω της συμμετρίας που παρουσιάζουν μερικά μεγέθη (όσα είναι άρτιες συναρτήσεις της θέσης), θα μπορούσαμε να ολοκληρώσουμε και από το ως το A. Γενικά οι μέσες τιμές ως προς το χρόνο διαφέρουν από τις μέσες τιμές ως προς τη θέση, πράγμα που έχουμε συναντήσει και στη Μηχανική (μέση δύναμη ως προς το χρόνο = ώθηση δια χρόνος, μέση δύναμη ως προς την απόσταση = έργο δια απόσταση, ενώ οι δύο μέσες τιμές συμπίπτουν σπάνια, για παράδειγμα όταν η δύναμη είναι σταθερή.)

17 18 Κεφάλαιο 1: Ταλαντώσεις α) Άρα για τη θέση: x t πω / / ÊA πω ˆ ( cos ) sin Á - ωt A ωtdt Ë ω πω / π dt xdt = = = =, dt ω όπου π/ ω είναι η περίοδος. Επίσης, με όμοιο τρόπο: x x Ê x ˆ A Á xdx Ë -A -A = = =. A dx A -A A Αυτά τα αποτελέσματα είναι σύμφωνα με τη διαισθητική αντίληψη που έχουμε για τις μέσες τιμές. β) πω / ωacos ωtdt πω / (sin ) πω / π dt xdt A ωt x = = = =. t dt ω Επίσης: A xdx -A x. x A dx = - A Επειδή dx = xdt, άρα: T/4 T/4 cos -T/4 -T/4 x dt ω A ωtdt x = =. x A A Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα τον τύπο 1 cosacos b= [cos( a+ b) + cos( a-b )] (βλ. το μαθηματικό παράρτημα) που εδώ γράφεται: Άρα /4 / T (cos + 1) π ω -T/4 Êsin ˆ 1 1 cos ωt = cosωt +. ωa ωt dt ωa ωt π x = = Á + t = ωa. x 4 4 Ë ω 4 -π/ω

18 1.1: Απλή αρμονική ταλάντωση 19 γ) Προσέξτε ότι δε μπορούμε να πάρουμε τη μέση τιμή της ταχύτητας ή της θέσης, να την υψώσουμε στο τετράγωνο και έτσι να βρούμε έτσι τη μέση τιμή της κινητικής ή της δυναμικής ενέργειας. Άλλο πράγμα είναι το τετράγωνο του αθροίσματος (του ολοκληρώματος) και άλλο πράγμα το άθροισμα (το ολοκλήρωμα) των τετραγώνων. K t πω / 1 mx dt 3 mω A πω / cos πω / Kdt = = = ωtdt= dt dt 4π 3 mω A π 1 = = mω A, 4π ω 4 που μας δίνει το γνωστό αποτέλεσμα, ότι η μέση τιμή της κινητικής ενέργειας ως προς το χρόνο είναι ίση με το ήμισυ της ολικής ενέργειας του ταλαντωτή. Για τη μέση τιμή της κινητικής ενέργειας ως προς τη θέση: A T /4 1 Kdx /4 mx xdt -A -T m 3 T /4 3 cos x A -T/4 K = = = ω A ωtdt= dx A 4 -A m = ωa = mωa, 4 3ω 3 όπου το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται ως εξής: 3 1 cos Ê ˆ ωtdt = Á (1 -sin ) (sin ) Ë ωt d ωt. ω δ) Η μέση τιμή της δυναμικής ενέργειας ως προς το χρόνο θα μπορούσε να βρεθεί και με αφαίρεση της μέσης τιμής της κινητικής ενέργειας ως προς το χρόνο από την ολική ενέργεια, που είναι σταθερή. Με οποιονδήποτε τρόπο θα καταλήγαμε στο γνωστό μας αποτέλεσμα ότι U t Udt 1 = = mω A. dt 4 Επίσης με όμοιο τρόπο μπορούμε να βρούμε και τη μέση τιμή της δυναμικής ε- νέργειας ως προς την απόσταση, οπότε θα είχαμε ότι:

19 Κεφάλαιο 1: Ταλαντώσεις U 1 1 =. - =.- = - = x E tot x K x E tot K x ka 3 mω A = ka - ka = ka. 3 6 Θα δούμε τώρα αν η ολοκλήρωση δίνει τα ίδια αποτελέσματα. Όντως: U x A A 1 3 A Udx - kx dx A -A k x 1 ka A dx A A -A -A = = = = Ποια είναι η πιθανότητα να βρούμε ένα σωμάτιο που εκτελεί α.α.τ.: α) Με K E tot. β) Στην περιοχή x A /. γ) Με υ υ max /. Λύση: α) Σε κάθε χρονική στιγμή η κινητική ενέργεια του κινητού είναι μικρότερη ή ίση με την ολική ενέργεια. Άρα η σχέση που μας δίνει είναι σε κάθε χρονική στιγμή αληθής, δηλαδή η πιθανότητα να βρούμε το κινητό σε αυτή την κατάσταση είναι μονάδα. β) Θα περιορίσουμε τη μελέτη μας στην πρώτη περίοδο, αφού η κίνηση επαναλαμβάνεται. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι για ένα κινητό που εκτελεί α.α.τ. ισχύει: x = Asinωt, αφού η αρχική φάση δεν παίζει κανένα ρόλο στη δυναμική του προβλήματος. Θα βρούμε σε ποιες χρονικές στιγμές το κινητό περνά από τις θέσεις x = και x = A /. Για x= fi sinωt= fi t= k T. Οι αποδεκτές τιμές για το k ώστε ο χρόνος να είναι μικρότερος ή ίσος της μιας περιόδου είναι: k =,1,. Άρα 1 x= t =, x= x t = T /, t3 = = T και λοιπά. Για 1 T Ê 1ˆ x= A/ fi sin ωt= fi t= Ák + ή Ë 6 T Ê 5ˆ t= Ák +. Ë 6 Εδώ οι αποδεκτές τιμές για το k ώστε ο χρόνος να είναι μικρότερος ή ίσος της μιας περιόδου είναι k = είτε για την πρώτη είτε για τη δεύτερη λύση. Άρα, οι χρόνοι στους οποίους διέρχεται κατά την πρώτη περίοδο από τη θέση x = A /

20 1.1: Απλή αρμονική ταλάντωση 1 x= A/ x= A/ 1 x= / 1 x= A / x= A το κινητό είναι: t1 = T /1, t = 5 T /1. Άρα, στη διάρκεια της 1 ης περιόδου το κινητό βρίσκεται στην περιοχή x A / κατά τα χρονικά διαστήματα: Από t ως t (διάρκεια T /1 ) και από t ως t (διάρκεια πάλι T /1 ). Άρα κατά τη διάρκεια μιας περιόδου το κινητό βρίσκεται για χρόνο T/1 = T /6 στη ζητούμενη περιοχή και άρα η πιθανότητα εύρεσής του σε αυτή είναι 1/6. γ) Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να βρούμε τις χρονικές στιγμές κατά τη διάρκεια της πρώτης περιόδου κίνησης του κινητού, στις οποίες έχουμε: υmax T Ê 1ˆ υ= fi t= Ák + ή Ë 3 T Ê 1ˆ t= Ák -. Ë 3 Για την πρώτη περίπτωση το αποδεκτό k είναι το και για τη δεύτερη περίπτωση είναι το 1. Οι αντίστοιχοι χρόνοι είναι: t 1 = T /6 και t = 5 T /6, οπότε για t1 t t (διάρκεια T /3) το κινητό έχει υ υ max /, άρα η πιθανότητα να το εντοπίσουμε με αυτό το χαρακτηριστικό είναι T /3 = /3. T x= Η συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας ενός φυσικού συστήματος είναι η Ux ( ), η οποία παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο σε ένα σημείο x ενώ υπάρχουν οι παράγωγοι κάθε τάξεως σε αυτό το σημείο. Να αποδείξετε ότι για μικρές απομακρύνεις από τη θέση ισορροπίας το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να προσδιοριστεί η κυκλική του συχνότητα. Δίνεται η μάζα του συστήματος και το U ( x= x ) π. Λύση: Αναπτύσσουμε σε δυναμοσειρά τη συνάρτηση του δυναμικού γύρω από το x, οπότε έχουμε: 3 du 1 d U 1 d U 3 3 dx x= x! dx 3! dx x= x x= x U( x) = U( x ) + ( x- x ) + ( x- x ) + ( x- x ) +... Από αυτούς τους όρους, ο Ux ( ) είναι μια σταθερά και μπορούμε να τον απαλείψουμε, αφού μόνο οι διαφορές της δυναμικής ενέργειας έχουν φυσική σημασία και όχι οι απόλυτες τιμές της, ο όρος du dx x= x είναι μηδέν γιατί στο σημείο αυτό υπάρχει τοπικό ελάχιστο, και οι όροι που περιέχουν παραγώγους τρίτης ή

21 Κεφάλαιο 1: Ταλαντώσεις du 3 μεγαλύτερης τάξεως, όπως ο ( x - x) είναι αμελητέοι γιατί το 3! dx x= x x - x είναι πολύ μικρό (μικρές απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας) και αν υψωθεί και σε μια δύναμη γίνεται ακόμη μικρότερο. Άρα η δυναμική ενέργεια είναι της μορφής: U ( x= x) Ux ( ) = ( x-x ) και αν ορίσουμε μια καινούρια συντεταγμένη, τη X = x-x, αν δηλαδή αναφερόμαστε στις απομακρύνσεις από το σημείο ισορροπίας, τότε μπορούμε να γράψουμε: U( X) = U () X. Επίσης η ταχύτητα μπορεί να γραφεί: υ = = 1 dx dx dt dt. Άρα, έχουμε και την κινητική και τη δυναμική ενέργεια στη μορφή 1.1.6, με D= U () και άρα όντως το σώμα εκτελεί α.α.τ. με κυκλική συχνότητα: ω = U () m. Αν δε θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε την 1.1.6, μπορούμε να βρούμε τη δύναμη από τη σχέση της Μηχανικής: F =- du, η οποία έχει την κατάλληλη μορφή dx ώστε το σώμα να κάνει α.α.τ Ένα σώμα έχει δυναμική ενέργεια που δίνεται από τη σχέση: Ï1 Ô Dx x U = Ì. ÔÓ x < α) Περιγράψτε ένα φυσικό σύστημα το οποίο αντιστοιχεί σε αυτό το είδος της δυναμικής ενέργειας. β) Δώστε την εξίσωση της θέσης του κινητού. γ) Δείξτε ότι η κίνηση είναι περιοδική και βρείτε την περίοδό της. Δίνεται η ολική ενέργεια του συστήματος E. Λύση: α) Ας θεωρήσουμε ένα οριζόντιο ελατήριο το οποίο έχει φυσικό μήκος l, με το δεξιό του άκρο είναι ελεύθερο και το αριστερό του άκρο ακλόνητα στερεωμέ- tot

22 1.1: Απλή αρμονική ταλάντωση 3 νο. Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου υπάρχει ένας τοίχος, ο οποίος μόλις ακουμπά σε αυτό. Τοποθετούμε μια σημειακή μάζα στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου και το συσπειρώνουμε κατά A. Το ελατήριο αποσυμπιέζεται, και στο x = η σημειακή μάζα χτυπά στον ακλόνητο τοίχο. Αν η κρούση είναι ελαστική (αν θέλουμε να ορίζεται συνάρτηση δυναμικής ενέργειας, θα πρέπει όλες οι δυνάμεις στο σύστημα να είναι συντηρητικές και άρα θα πρέπει οι κρούσεις να είναι ελαστικές), τότε η σημειακή μάζα αναπηδά στον τοίχο με την ίδια ταχύτητα κατά μέτρο ( υ max ), με την οποία προσέκρουσε σε αυτόν. Είναι δηλαδή σαν το σύστημα να εκτελεί «μισή ταλάντωση». β) Η εξίσωση της θέσης για το σύστημα στο οποίο τη χρονική στιγμή μηδέν το ελατήριο θα είχε μηδενική συσπείρωση, θα ήταν: x= Asinωt. Το απόλυτο είναι η μόνη συνάρτηση η οποία μπορεί να αναπαραστήσει αυτές τις αναπηδήσεις του σωματίου. Το A θα βρεθεί από την ολική ενέργεια του συστήματος: 1 Etot = DA A= γ) Ισχύει: E D tot È Ê π ˆ AsinÍωÁt+ = Asinωt, Î Ë ω και ο π/ ω είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός για τον οποίο επαναλαμβάνεται η συνάρτηση, άρα αυτή είναι περιοδική με περίοδο ίση με τη μισή της περιόδου μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης, δηλαδή της περιοδικής κίνησης που θα εκτελούσε το κινητό αν δεν υπήρχε ο τοίχος. Αυτό είναι σύμφωνο με τη διαισθητική μας αντίληψη ότι το κινητό ολοκληρώνει αυτή την κίνηση στο μισό χρόνο που χρειάζεται για να ολοκληρώσει μια πλήρη ταλάντωση Ένα οριζόντιο ελατήριο που υπακούει στο νόμο του Hooke έχει φυσικό μήκος l και μάζα M και στο ελεύθερο άκρο του προσδένεται μάζα m. Να βρεθεί μια έκφραση για την ολική ενέργεια του συστήματος και να αποδειχθεί ότι αυτό μπορεί να εκτελεί α.α.τ. Να βρεθεί η κυκλική συχνότητά της. Λύση: Η δυναμική ενέργεια του συστήματος προκύπτει από το έργο του ελατηρίου. Αν το ελατήριο υπακούει στο νόμο του Hooke, τότε μπορεί να δείξει κανείς ότι: x U( x)= - kxdx = kx. 1

23 4 Κεφάλαιο 1: Ταλαντώσεις Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα της κινητικής ενέργειας της μάζας και της κινητικής του ελατηρίου. Η κινητική ενέργεια της m είναι 1 mυ. Θα βρούμε την κινητική ενέργεια του ελατηρίου. Η ταχύτητα του στοιχειώδους τμήματος του ελατηρίου που βρίσκεται στο ακλόνητο άκρο του είναι μηδενική. Η ταχύτητα του στοιχειώδους τμήματος που βρίσκεται στην πλευρά της μάζας m είναι όση και η ταχύτητα αυτής της μάζας. Η ταχύτητα u του κομματιού του ελατηρίου που απέχει απόσταση x από το ακλόνητο άκρο του έχει μια ενδιάμεση τιμή, και είναι ανάλογη αυτής της απόστασης, άρα u= x υ, άρα η κινητική ενέργεια από αυτό το στοιχειώδες τμήμα μάζας dm είναι: 1 x 1 x 1 M x ελ. ελ. l l l l dk = dm υ fi dk = ρdx υ = dx υ fi. l Mυ ελ 3 l 1 1 K = x dx= Mυ, 6 όπου θεωρήσαμε τη γραμμική πυκνότητα μάζας του ελατηρίου: ρ = dm dx, η οποία, προκειμένου για ομογενές ελατήριο, δίνει: ρ = M. Άρα η συνολική κινητική l ενέργεια του συστήματος είναι: 1 Ê M ˆ K = Ám+ υ. Ë 3 Βλέπουμε άρα ότι το άθροισμα δυναμικής και κινητικής ενέργειας είναι της μορφής και άρα όντως το σύστημα εκτελεί α.α.τ. Η περίοδος αυτής είναι η τετραγωνική ρίζα του σταθερού παράγοντα της δυναμικής ενέργειας προς το σταθερό παράγοντα της κινητικής ενέργειας: Ê M ˆ ω= D Ám + Ë. 3 l Να αποδειχθεί με δύο τρόπους (από τη συνισταμένη δύναμη και από την έκφραση για την ενέργεια του συστήματος) ότι μία σημειακή μάζα m προσδεμένη στο άκρο μη εκτατού νήματος μήκους l εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση για μικρές απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας.

24 1.1: Απλή αρμονική ταλάντωση 5 Λύση: Χρησιμοποιώντας τη δύναμη μπορούμε να δούμε ότι η συνιστώσα T- Bcosθ λειτουργεί ως κεντρομόλος δύναμη για την κίνηση της σημειακής μάζας και η συνιστώσα Bsin θ= mg x παίζει το θ l ρόλο της δύναμης επαναφοράς η οποία είναι ό- T ντως ανάλογη της απομάκρυνσης από τη θέση ι- B sinθ σορροπίας. B cosθ Η σταθερά αναλογίας της ταλάντωσης είναι: ω = mg m= g B l l. Μπορούμε σε ανάλογα συμπεράσματα να καταλήξουμε φτάνοντας σε μια εξίσωση όπως οι 1.1.6, 1.1.7: Η ενέργεια του απλού εκκρεμούς είναι η κινητική του και η δυναμική λόγω του βαρυτικού πεδίου, δηλαδή: 1 E= mx + mgl(1-cos θ). Χρησιμοποιώντας τη σχέση π cosa+ cosb= cos È Î ( a+ b) cos È ( - ) Î a b, μπορούμε το 1- cosθ= cos + cos( θ+ π ) να το γράψουμε: Êθ πˆ θ Ê xˆ 1 Á Á x 1- cosθ= cos + = sin = = Ë Ël l Άρα η ολική ενέργεια είναι της μορφής: 1 1 E = mx + mg x l και άρα όντως το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση..

25 6 Κεφάλαιο 1: Ταλαντώσεις Προβλήματα για Λύση Ένα σώμα βρίσκεται σε μια λακκούβα η οποία έχει σχήμα παραβολικό: Όταν απομακρυνόμαστε κατά x από το κατώτερο σημείο της και κατά τον οριζόντιο άξονα, τότε η αντίστοιχη απομάκρυνσή μας κατά τον κατακόρυφο άξονα είναι y = ax, όπου a μία γνωστή θετική σταθερά. Αποδείξτε ότι ένα σώμα που μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές μέσα στη λακκούβα, εκτελεί αρμονική ταλάντωση και προσδιορίστε την περίοδό της. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας Ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση διέρχεται από το σημείο x 1 με ταχύτητα ẋ 1 και από το σημείο x με ταχύτητα ẋ. Να προσδιοριστεί το πλάτος της ταλαντώσεως και η περίοδός της Αν για ένα κινητό που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ισχύει: x = Asinωt, σε ποιες χρονικές στιγμές: α) Η απομάκρυνση γίνεται μισή της μέγιστης. β) Η κινητική και η δυναμική ενέργεια εξισώνονται Αν δίνεται η περίοδος ενός κινητού που εκτελεί α.α.τ., ποιοι είναι οι χρόνοι που χρειάζεται για να μεταβεί το κινητό από τη θέση x1 = A /, αν σε αυτή κινείται με θετική ταχύτητα: α) Στην ίδια θέση για 1 η και η φορά. β) Στη θέση x =-A / για 1 η και η φορά. Παίζει ρόλο η αρχική φάση; Δίνονται οι αρχικές συνθήκες x και ẋ, δηλαδή η θέση και η ταχύτητα ενός ταλαντωτή στο χρόνο μηδέν. Δείξτε ότι συναρτήσει των αρχικών του συνθηκών, το πλάτος και η αρχική του φάση δίνονται από τις σχέσεις: Ê x ˆ ωx A= Áx +, φ = arctan. Ë ω ẋ Ας υποθέσουμε ότι η καρδιά ενός παράξενου είδους ζώου είναι περίπου σφαιρική με μέση ακτίνα r. Αυτή η ακτίνα ταλαντώνεται γύρω από τη

26 1.1: Απλή αρμονική ταλάντωση 7 «θέση ισορροπίας» και η ακριβής τιμή της δίνεται κάθε στιγμή από τη σχέση: r= r + Δr, με Δr = Δr sin ωt. α) Μπορούμε να πούμε ότι η ακτίνα ή η επιφάνεια ή ο όγκος της καρδιάς εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση; β) Ποιες είναι οι αντίστοιχες σχέσεις που μπορούμε να γράψουμε για την επιφάνεια S και τον όγκο V ; γ) Μπορούμε να πούμε ότι το ΔS και το ΔV εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση; Με ποια προϋπόθεση; δ) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας και του όγκου της καρδιάς συναρτήσει του χρόνου; Ποιο κλάσμα της περιόδου ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή η κινητική ενέργεια είναι μεγαλύτερη από τη μισή της μέγιστης; Ποιο κλάσμα της περιόδου η δυναμική ενέργεια είναι μεγαλύτερη από τη μισή της μέγιστης; Ποιο κλάσμα της περιόδου ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή η ταχύτητα του σώματος είναι μεγαλύτερη από τη μισή της μέγιστης; Δύο αρμονικοί ταλαντωτές περιγράφονται από τις σχέσεις: x1 = Asinωt και x = Asinωt. Ποιες είναι οι χρονικές στιγμές κατά τις οποίες οι δύο ταλαντωτές έχουν κοινές απομακρύνσεις;