5: ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Σύνοψη Προαπαιτούμενη γνώση 1. Απόκριση σε εντολές ελέγχου

Transcript

1 5: ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Σύνοψη Το κεφάλαιο πραγματεύεται την ανάλυση της εγκάρσιας δυναμικής και τα μοντέλα χαμηλότερης τάξης με τα οποία μπορεί να προσεγγιστεί. Η ανάλυση που πραγματοποιείται είναι αντίστοιχη με το προηγούμενο κεφάλαιο 4 της διαμήκους δυναμικής. Επίσης, παρουσιάζονται εφαρμογές εξαγωγής των αποκρίσεων στα πεδία του χρόνου και της συχνότητας των μεγεθών που εμπλέκονται στην εγκάρσια δυναμική. Προαπαιτούμενη γνώση Πέρα από το υπόβαθρο που χρησιμοποιήθηκε και στο προηγούμενο κεφάλαιο, απαιτείται μια γενική εικόνα των συναρτήσεων μεταφοράς της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής, από το ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ Απόκριση σε εντολές ελέγχου Με την ίδια λογική όπως στη διαμήκη ανάλυση εξετάζεται και ο έλεγχος της εγκάρσιας δυναμικής και της δυναμικής διεύθυνσης του αεροσκάφους. Μόνο οι περιπτώσεις που διαφέρουν σημαντικά, θα παρουσιασθούν εδώ εκτεταμένα. Μέσω των μεθόδων που παρουσιάζονται αναλυτικά στο Παράρτημα Β, εξάγονται οι συναρτήσεις μεταφοράς της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής, οι οποίες προκύπτουν από τις αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης. Οι εξισώσεις κίνησης περιγράφουν πλήρως τη γραμμική, ασύμμετρη, δυναμική απόκριση της πλαγιολίσθησης, της περιστροφής (κλίσης) και της εκτροπής, ως προς τις εντολές εισόδου στα πηδάλια κλίσης και εκτροπής. Όπως και στις λύσεις που προκύπτουν στη διαμήκη δυναμική, οι δυναμικές ιδιότητες που καθορίζονται από τα χαρακτηριστικά ευστάθειας της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής του αεροσκάφους εμφανίζονται στην απόκριση των εμπλεκόμενων μεταβλητών κατάστασης του αεροσκάφους. Υπενθυμίζεται ότι η μοντελοποίηση και κατάστρωση των εξισώσεων, έγινε υπό την παραδοχή μικρών διαταραχών γύρω από μια κατάσταση ισορροπίας και οι συναρτήσεις μεταφοράς είναι γραμμικές. Η κατάσταση ισορροπίας αντιστοιχεί σε μόνιμη-σταθερή και οριζόντια πτήση. Δηλαδή όπως και στην ανάλυση της διαμήκους δυναμικής: W e = 0 U e V T e (5.1) Όπως παρουσιάζονται στο Παράρτημα Γ.3.2, από την επίλυση των εξισώσεων κίνησης προκύπτουν δύο ομάδες συναρτήσεων μεταφοράς που εκφράζουν τη σχέση των μεταβλητών κατάστασης ως προς τα δύο πιθανά σήματα εισόδου. Η πιο σημαντική διαφορά, σχετίζεται με το γεγονός ότι γενικά οι μορφές ευστάθειας της εγκάρσιαςδιεύθυνσης δυναμικής τείνουν να μην είναι τόσο ευδιάκριτες, εφόσον υφίσταται δυναμική σύζευξη σε μεγαλύτερο βαθμό από ότι στη διαμήκη ανάλυση. Αυτό συνεπάγεται περισσότερη προσοχή στην επιλογή των υποθέσεων που εισάγονται για την απλοποίηση της ανάλυσής τους. Αντίθετα με τη διαμήκη δυναμική, ένα μεγάλο πλεονέκτημα είναι ότι η εγκάρσια-διεύθυνσης δυναμική δεν μεταβάλλεται σημαντικά σε σχέση με τις συνθήκες πτήσης, λόγω της γεωμετρικής, άρα και αεροδυναμικής συμμετρίας ως προς το εγκάρσιο επίπεδο Oxz των πλείστων αεροσκαφών από την αρχική τους σχεδίαση. Οι εγκάρσιες-διεύθυνσης εξισώσεις κίνησης των μικρών διαταραχών γύρω από μια κατάσταση ισορροπίας που αναφέρονται στους άξονες του ανέμου (Θe αe = 0) δίνονται από την εξίσωση (5.2):

2 v y v y p y r y φ v p l { } = [ v l p l r l φ p l ] { r n v n p n r n φ r } + { δ l a δ r } { δ a } (5.2) n δ n a δ r δ r φ φ 0 0 Η λύση της εξίσωσης αυτής μας δίνει δύο σετ από συναρτήσεις μεταφοράς. Ως προς τα πηδάλια κλίσεως: v(s) δ a (s) = N δ v a (s) Δ(s) = k v (s + 1/T β1 )(s + 1/T β2 ) (s + 1/T s )(s + 1/T r )(s 2 + 2ζ d ω d s + ω 2 (5.3) d ) p(s) δ a (s) = N p δ a (s) Δ(s) = k p s(s 2 + 2ζ φ ω φ s + ω 2 φ ) (5.4) (s + 1/T s )(s + 1/T r )(s 2 + 2ζ d ω d s + ω 2 d ) r(s) δ a (s) = N δ r a (s) Δ(s) = k r (s + 1/T ψ )(s 2 + 2ζ ψ ω ψ s + ω 2 ψ ) (s + 1/T s )(s + 1/T r )(s 2 + 2ζ d ω d s + ω 2 (5.5) d ) φ(s) δ a (s) = N φ δ a (s) Δ(s) = k φ (s 2 + 2ζ φ ω φ s + ω 2 φ ) (5.6) (s + 1/T s )(s + 1/T r )(s 2 + 2ζ d ω d s + ω 2 d ) Και αντίστοιχα οι συναρτήσεις μεταφοράς που περιγράφουν την απόκριση ως προς το πηδάλιο διεύθυνσης: v(s) δ r (s) = N δ v r (s) Δ(s) = k v(s + 1/T β1 )(s + 1/T β2 )(s + 1/T β3 ) (s + 1/T s )(s + 1/T r )(s 2 + 2ζ d ω d s + ω 2 (5.7) d ) p(s) δ r (s) = N p δ r (s) Δ(s) = k p s(s + 1/T φ1 )(s + 1/T φ2 ) (5.8) (s + 1/T s )(s + 1/T r )(s 2 + 2ζ d ω d s + ω 2 d ) r(s) δ r (s) = N δ r r (s) Δ(s) = k r (s + 1/T ψ )(s 2 + 2ζ ψ ω ψ s + ω 2 ψ ) (s + 1/T s )(s + 1/T r )(s 2 + 2ζ d ω d s + ω 2 (5.9) d ) φ(s) δ r (s) = N φ δ r (s) Δ(s) = k φ (s + 1/T φ1 )(s + 1/T φ2 ) (5.10) (s + 1/T s )(s + 1/T r )(s 2 + 2ζ d ω d s + ω 2 d ) Η πολυωνυμική έκφραση του αριθμητή και του κοινού παρονομαστή προκύπτει όπως περιγράφεται στο Παράρτημα Γ.3.2. Τα πολυώνυμα παραγοντοποιούνται σε πραγματικές ρίζες και ζεύγη μιγαδικών ριζών. Οι ρίζες ερμηνεύονται ως χρονικές σταθερές, λόγοι απόσβεσης και φυσικές συχνότητες οπότε οι σχετικές πληροφορίες λαμβάνονται άμεσα από τις πιο πάνω εξισώσεις. Πρέπει επίσης να σημειωθεί, ότι οι όροι του αριθμητή και του παρονομαστή αποτελούν την τυπική μορφή που συναντάται στα περισσότερα συμβατικά αεροσκάφη. Παρατηρείται ότι η σημειολογία, όπως χρησιμοποιείται στο [3], αποκαλύπτει παρόμοιες τιμές για κάποιους αριθμητές τόσο στις συναρτήσεις μεταφοράς των πηδαλίων κλίσεως όσο και σε εκείνες του πηδαλίου διεύθυνσης, για παράδειγμα οι όροι kr,tψ,ζψ και ωψ εμφανίζονται τόσο στην N r δa (s) όσο και στην N r δr (s). Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι οι αριθμητές εξαρτώνται από την εξίσωση στην οποία γίνεται αναφορά, ενώ συνήθως έχουν αριθμητικές τιμές που είναι μοναδικά σχετιζόμενες με τις αντίστοιχες συναρτήσεις μεταφοράς. Έτσι, αυτή η σημειολογία χρησιμεύει μόνο στον καθορισμό του ρόλου κάθε όρου ως κέρδος, χρονική σταθερά, λόγο απόσβεσης ή συχνότητα. Όπως και προηγουμένως ο παρονομαστής που είναι κοινός σε όλες τις συναρτήσεις μεταφοράς, είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο το οποίο περιγράφει τα εγκάρσια-διεύθυνσης χαρακτηριστικά ευστάθειας του αεροσκάφους. Έτσι, η απόκριση όλων των μεταβλητών ως προς τα πηδάλια κλίσης ή διεύθυνσης καθορίζεται από τους όρους του παρονομαστή, δηλαδή τη χρονική σταθερά, τον λόγο απόσβεσης και τη y δ a y δr

3 φυσική συχνότητα. Οι διαφορές ανάμεσα σε κάθε μια από τις αποκρίσεις οφείλονται αποκλειστικά στους αντίστοιχους αριθμητές, όπως προαναφέρθηκε στο 4ο Κεφάλαιο. 2. Η χαρακτηριστική εξίσωση Για ένα τυπικό αεροσκάφος, το εγκάρσιο-διεύθυνσης χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι τέταρτης τάξης, καθορίζει τον κοινό παρονομαστή των συναρτήσεων μεταφοράς ενώ όταν εξισώνεται με το μηδέν προσδιορίζεται η χαρακτηριστική εξίσωση: As 4 + Bs 3 + Cs 2 + Ds + E = 0 (5.11) Η χαρακτηριστική εξίσωση (5.11) παραγοντοποιείται σε δύο πραγματικές ρίζες και σε ένα ζεύγος μιγαδικών ριζών : (s + 1 T s ) (s + 1 T r ) (s 2 + 2ζ d ω d s + ω d 2 ) = 0 (5.12) Από την έκφραση της χαρακτηριστικής εξίσωσης, διακρίνονται τρεις μορφές κίνησης, όπως καταγράφονται από τον Nelson [5]: Η μορφή του σπειροειδούς (spiral mode), η οποία είναι μία μη ταλαντωτική μορφή που περιγράφεται από την πρώτη πραγματική ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης (5.12) Η μορφή υποχώρησης της περιστροφής (roll subsidence), η οποία είναι επίσης μη ταλαντωτική μορφή και περιγράφεται από τη δεύτερη πραγματική ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης (5.12) Η μορφή της ολλανδικής περιστροφής (dutch roll) που είναι ταλαντωτική μορφή και περιγράφεται από το ζεύγος των μιγαδικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης (5.12). Οι εξισώσεις κίνησης από τις οποίες προέκυψε η χαρακτηριστική εξίσωση αναφέρονται στο σύστημα αξόνων του ανέμου, οπότε οι μορφές ευστάθειας που περιγράφονται με την εξίσωση (5.12) μας παρέχουν την πλήρη περιγραφή της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής του αεροσκάφους σε σχέση με το διάνυσμα της μόνιμης ολικής ταχύτητας V T και με τους περιορισμούς των μικρών διαταραχών που e τέθηκαν κατά την εξέλιξή του. Όταν οι εξισώσεις κίνησης αναφέρονται στο σωματόδετο σύστημα αναφοράς, η εξίσωση κατάστασης (5.2) είναι 5ης τάξης και η χαρακτηριστική εξίσωση είναι επίσης πέμπτης τάξης. Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο αναλύεται στους ακόλουθους παράγοντες: s (s + 1 T s ) (s + 1 T r ) (s 2 + 2ζ d ω d s + ω d 2 ) = 0 (5.13) Οι μορφές της ευστάθειας εξακολουθούν να ορίζονται με τον ίδιο τρόπο. Η διαφορά είναι η προσθήκη της μηδενικής ρίζας που υποδεικνύει ουδέτερη ευστάθεια ως προς την εκτροπή ή αλλιώς ως προς την πορεία (heading) που ακολουθεί το αεροσκάφος. Η μηδενική ρίζα προκύπτει από την προσθήκη της γωνίας εκτροπής ψ, στην εξίσωση κατάστασης. Η ερμηνεία της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής παραμένει η ίδια με προηγουμένως ενώ η επιπλέον πληροφορία απλά μας δίνει την ένδειξη ότι το αεροσκάφος δεν έχει συγκεκριμένη γωνία εκτροπής ή πορείας. Με άλλα λόγια, η εγκάρσια-διεύθυνσης δυναμική του αεροσκάφους επιλύεται γύρω από το διάνυσμα της μόνιμης ολικής ταχύτητας με την υπόθεση ότι το αεροσκάφος έχει μια αυθαίρετη διεύθυνση. Η ερμηνεία των μη μηδενικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι συνυφασμένη με τις ιδιότητες της κλασσικής διάταξης μάζαςελατηρίου-αποσβεστήρα όπως αναλύεται στο παράρτημα Β.2.2. Καθώς οι μορφές της ευστάθειας δεν είναι τόσο διακριτές, υφίσταται μεγαλύτερη σύζευξη ή αλληλεπίδραση των μορφών σε σχέση με την περίπτωση της διαμήκους δυναμικής. Έτσι, ενώ οι υποθέσεις που γίνονται κατά την επίλυση είναι

4 λιγότερο κατάλληλες, καθιερώθηκε ένας συνδυασμός αποδεκτών διαδικασιών οι οποίες ακολουθούνται και στη συνέχεια. Ο αντικειμενικός σκοπός βέβαια είναι ο εντοπισμός των αεροδυναμικών παραγόντων που κυριαρχούν σε κάθε μια από τις μορφές ευστάθειας. Η σύνδεση ανάμεσα στη δυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους και τα αεροδυναμικά του χαρακτηριστικά πραγματοποιείται, όπως προαναφέρθηκε, μέσω των παραγώγων ευστάθειας οι οποίες εμφανίζονται αντικαθιστώντας τις συντετμημένες παραγώγους από το παράρτημα Δ.3.1 συναρτήσει των διαστατών παραγώγων ευστάθειας, στην εξίσωση κατάστασης. Περαιτέρω ανάλυση είναι αδύνατη εκτός και εάν εφαρμοστούν πολύ μεγάλες παραδοχές. Για να αντιμετωπιστεί αυτή τη δυσκολία μπορεί να χρησιμοποιηθεί το μοντέλο μειωμένης τάξης όπως θα αναλυθεί σε επόμενη παράγραφο. 3. Οι μορφές της δυναμικής ευστάθειας Όπως ακριβώς και με τις μορφές της διαμήκους ευστάθειας, οποτεδήποτε το αεροσκάφος υφίσταται κάποια διαταραχή σε σχέση με την κατάσταση ισορροπίας εμφανίζονται οι μορφές της εγκάρσιας-διεύθυνσης ευστάθειας. Η διαταραχή μπορεί να προκληθεί από τους χειρισμούς του πιλότου, από μια μεταβολή στην ισχύ, μια μεταβολή στη διαμόρφωση του αεροσκάφους, όπως για παράδειγμα η έκταση του συστήματος προσγείωσης ή από κάποιο εξωτερικό παράγοντα όπως μια ριπή ανέμου ή μια ατμοσφαιρική ανατάραξη Η μορφή υποχώρησης της περιστροφής Η μορφή υποχώρησης της περιστροφής (roll subsidence mode), είναι ένα μη ταλαντωτικό εγκάρσιο χαρακτηριστικό το οποίο συνήθως είναι σημαντικά αποσυζευγμένο από τη μορφή του σπειροειδούς και της ολλανδικής περιστροφής. Επειδή είναι μη ταλαντωτικό περιγράφεται από μια και μόνη πραγματική ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, ενώ εμφανίζεται ως ένα εκθετικό χαρακτηριστικό καθυστέρησης στην κίνηση περιστροφής. Οι αρχές της μηχανικής της πτήσης που καθορίζουν αυτή τη συμπεριφορά απεικονίζονται στο σχήμα 5.1. Σχήμα 5.1 Βασικά μεγέθη στη μορφή υποχώρησης της περιστροφής

5 Στο σχήμα 5.1 απεικονίζεται η πρόσοψη του αεροσκάφους, εφόσον όπως ορίστηκε στο υποκεφάλαιο του Κεφ.1, θετική περιστροφή σημαίνει ότι η δεξιά πτέρυγα κινείται προς τα κάτω. Υποτίθεται ότι το αεροσκάφος έχει μόνο ένα βαθμό ελευθερίας, ως προς την περιστροφή, περί τον άξονα οx και ότι πετά σε αντισταθμισμένη πτήση με τις πτέρυγες οριζόντιες. Τότε, όταν το αεροσκάφος δεχτεί μια διαταραχή θετικής ροπής περιστροφής L θα ξεκινήσει να στρέφεται με γωνιακή επιτάχυνση p = φ σύμφωνα με τοn 2o νόμο του Νεύτωνα: F = m a T = I ω (5.14) Εφόσον το αεροσκάφος είναι εγκάρσια στατικά ευσταθές, οι αεροδυναμικοί μηχανισμοί θα δημιουργήσουν μια ροπή περιστροφής επαναφοράς προς την κατάσταση ισορροπίας. Αν καθοριστούν δείκτες 1 και 2 για τη δεξιά (κατερχόμενη) και την αριστερή (ανερχόμενη) ως προς τον πιλότο πτέρυγα αντίστοιχα, τότε κατά τη θετική περιστροφική κίνηση: Η κάθε πτέρυγα βλέπει μια συνιστώσα v n = p y της ολικής ταχύτητας V T, που είναι κάθετη στο επίπεδό της. Αυξάνεται η γωνία πρόσπτωσης της κατερχόμενης, δεξιάς πτέρυγας. Αντίστοιχα μειώνεται η γωνία πρόσπτωσης της ανερχόμενης αριστερής πτέρυγας. Η διαφορική άνωση που δημιουργείται, προκαλεί με τη σειρά της, την εμφάνιση μιας περιστροφικής ροπής επαναφοράς. Η διαφορική οπισθέλκουσα που δημιουργείται, προκαλεί με τη σειρά της ροπή εκτροπής, αλλά αυτή είναι τόσο μικρή ώστε μπορεί να αγνοηθεί. Μετά τη διαταραχή ο ρυθμός περιστροφής p αυξάνεται εκθετικά έως ότου η διορθωτική ροπή εξισορροπήσει τη ροπή που προκάλεσε η διαταραχή και το αεροσκάφος αποκτήσει τελικά ένα σταθερό ρυθμό περιστροφής. Στην πράξη αυτού του είδους η συμπεριφορά είναι περισσότερο μεταβατική παρά συνεχόμενη. Η φυσική συμπεριφορά που μόλις περιγράφηκε προκαλεί σταθεροποίηση σε όλα τα αεροσκάφη που επιχειρούν μέσα στα γραμμικά αεροδυναμικά όρια του φακέλου πτήσης τους. Για τον λόγο αυτό η συγκεκριμένη μορφή ευστάθειας μερικές φορές ονομάζεται και «απόσβεση της περιστροφής» (damping in roll). Σε μερικά μοντέρνα μαχητικά αεροσκάφη, που έχουν σχεδιαστεί ώστε να επιχειρούν σε κάποιες σημαντικά μη γραμμικές αεροδυναμικές συνθήκες πτήσης, για παράδειγμα σε γωνίες πρόσπτωσης που προσεγγίζουν τις 90, είναι δυνατόν οι φυσικές συνθήκες που καθορίζουν τη μορφή της περιστροφής να πάψουν να ισχύουν σχεδόν τελείως, όπως αναφέρεται στο [3]. Η συνεπαγόμενη απώλεια της ευστάθειας ως προς την περιστροφή μπορεί να οδηγήσει στο λεγόμενο roll departure, δηλαδή σε απώλεια ελέγχου του αεροσκάφους με την εμφάνιση συνεχόμενων περιστροφών που μπορεί να ακολουθηθεί από σύνθετες κινήσεις του αεροσκάφους ως προς τον κατακόρυφο ή τον εγκάρσιο άξονα αρκετά επικίνδυνης φύσης (δηλαδή πτήση κοντά στα όρια έναρξης περιδίνησης). Παρόλα αυτά σε ένα συμβατικό αεροσκάφος ο τύπος της περιστροφής παρουσιάζεται στον πιλότο ως μια καθυστέρηση στην απόκριση των πηδαλίων ως προς την κλίση του αεροσκάφους. Η χρονική σταθερά της καθυστέρησης εξαρτάται κατά μεγάλο βαθμό από τη ροπή αδράνειας διατοιχισμού Ix, καθώς και από τις αεροδυναμικές ιδιότητες της πτέρυγας ενώ είναι Τr ~ 1 sec.

6 3.2. Η μορφή του σπειροειδούς Το σπειροειδές (spiral mode), είναι επίσης μη ταλαντωτικό και καθορίζεται από την άλλη πραγματική ρίζα στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Η διέγερση αυτής της μορφής, έχει συνήθως αργή εξέλιξη, ενώ εμπλέκονται περίπλοκες συζευγμένες κινήσεις ως προς την εκτροπή, την κλίση και την πλαγιολίσθηση. Οι κυρίαρχες αρχές της μηχανική της πτήσης που προσδιορίζουν τη δυναμική αυτού του τύπου απεικονίζονται στο σχήμα 5.2. Τα χαρακτηριστικά αυτής της μορφής εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από την εγκάρσια στατική ευστάθεια, καθώς και από τη στατική ευστάθεια διεύθυνσης του αεροσκάφους, όπως παρουσιάστηκαν στο υποκεφάλαιο 4 του κεφαλαίου 2. Σχήμα 5.2 Η μορφή του σπειροειδούς Το σπειροειδές διεγείρεται -όπως και στην προηγούμενη μορφή της υποχώρησης της περιστροφής- μετά από μια διαταραχή της ροπής περιστροφής L, που η θετική φορά ορίζει ως κατερχόμενη τη δεξιά πτέρυγα και προκαλεί μια διαταραχή πλαγιολίσθησης β. Υποθέτοντας ότι το αεροσκάφος πετά αντισταθμισμένο σε οριζόντια πτήση: Η ροπή διαταραχής L, προκαλεί την εμφάνιση μια μικρής κλίσης γωνίας φ. Εφόσον δεν υπάρξει κάποια διορθωτική ενέργεια από τον πιλότο η κλίση προκαλεί πλαγιολίσθηση με ταχύτητα v, όπως φαίνεται στην εικόνα (a) του σχήματος 5.2. Η πλαγιολίσθηση θέτει το κάθετο σταθερό (fin) σε γωνία πρόσπτωσης β που έτσι παράγει άνωση και συνεπώς μια ροπή εκτροπής Ν, η οποία τείνει να επαναφέρει την κεφαλή του αεροσκάφους προς τη διεύθυνση της πλαγιολίσθησης. Η εκτροπή παράγει διαφορική άνωση κατά μήκος του εκπετάσματος των πτερύγων, που με τη σειρά της προκαλεί ανάλογη ροπή διατοιχισμού L και έτσι η δεξιά πτέρυγα κατέρχεται περαιτέρω επιδεινώνοντας το φαινόμενο. Αυτή η εξέλιξη φαίνεται στις εικόνες (b) και (c). Η επίδραση της δίεδρης γωνίας, λειτουργεί διορθωτικά με τη δημιουργία αντίθετης ροπής διατοιχισμού λόγω της πλαγιολίσθησης. Η άνωση στο κάθετο σταθερό, που συνήθως έχει σημείο εφαρμογής λίγο πάνω από τον άξονα Οx, προκαλεί επίσης μια μικρή διορθωτική ροπή. Κατά την εξέλιξη του φαινομένου, η επίδραση του κάθετου σταθερού, δηλαδή η στατική ευστάθεια διεύθυνσης και η επίδραση της δίεδρης γωνίας δηλαδή η εγκάρσια στατική ευστάθεια, αντιδρούν. Τυπικά οι απαιτήσεις που θέτουν οι κανονισμοί είναι

7 τέτοιες ώστε τα αντίθετα φαινόμενα που προκαλούνται πρέπει να αλληλοεξουδετερώνονται. Όταν η επίδραση της δίεδρης γωνίας υπερνικά την επίδραση του κάθετου σταθερού, η μορφή του σπειροειδούς είναι ευσταθής, ενώ όταν συμβαίνει το αντίθετο το σπειροειδές είναι ασταθές. Αφού λοιπόν αυτοί οι παράγοντες είναι σχεδόν ισοδύναμοι το σπειροειδές καθίσταται σχεδόν ουδέτερα ευσταθές ή και πλήρως ουδέτερα ευσταθές, δηλαδή ούτε αποκλίνον ούτε συγκλίνον. Όπως προαναφέρθηκε, αυτή η μορφή είναι μη ταλαντωτική, οπότε εμφανίζεται ως μια εκθετική σύγκλιση ή απόκλιση και αφού είναι σχεδόν ουδέτερη, η χρονική σταθερά είναι πολύ μεγάλη-περίπου 100 sec ή και περισσότερο. Αυτό σημαίνει ότι όταν το σπειροειδές είναι ευσταθές, η πτέρυγα επιστρέφει στον ορίζοντα πολύ αργά μετά από τη διαταραχή, ενώ όταν είναι ασταθές, ο ρυθμός της απόκλισης είναι επίσης πολύ αργός. Όταν είναι ουδέτερα ευσταθές, το αεροσκάφος απλά πετά σε μια στροφή με σταθερή κλίση. Αυτό που μας κινεί περισσότερο την προσοχή, για προφανείς λόγους, είναι φυσικά η ασταθής κατάσταση. Όταν εμφανιστεί το σπειροειδές το αεροσκάφος πετά με ένα ελαφρά αποκλίνον ίχνος πτήσης τόσο ως προς την κλίση όσο και ως προς την εκτροπή ενώ ταυτόχρονα, καθώς οι κατακόρυφες δυνάμεις δεν βρίσκονται σε ισορροπία, το αεροσκάφος χάνει και ύψος. Έτσι, το ασταθές ίχνος πτήσης είναι μια σπειροειδής βύθιση η οποία εφόσον δεν ελεγχθεί θα σταματήσει όταν το αεροσκάφος χτυπήσει το έδαφος! Όμως επειδή ο ρυθμός απόκλισης είναι πολύ αργός, οι περισσότεροι πιλότοι εύκολα αντιμετωπίζουν το σπειροειδές. Κατά συνέπεια το ασταθές σπειροειδές (σπειροειδής βύθιση-spiral departure) είναι δυνατόν να επιτραπεί με την προϋπόθεση ότι η χρονική σταθερά T s είναι επαρκώς μεγάλη. Από την άλλη όμως, επειδή το φαινόμενο εξελίσσεται πολύ αργά και οι επιταχύνσεις που αναπτύσσονται είναι πολύ μικρές, ο πιλότος έχει πολύ λίγες ενδείξεις ώστε να αντιληφθεί τι ακριβώς συμβαίνει με βάση το σύστημα ισορροπίας του ανθρώπινου οργανισμού. Έτσι, κατά τη σπειροειδή βύθιση, τα οπτικά ερεθίσματα (visual cues) από τον περιβάλλοντα χώρο-έδαφος, καθίστανται τα σημαντικότερα εφόδια που έχει ο πιλότος για να αντιληφθεί την κατάσταση, όπως σημειώνει και ο Nelson [5]. Πρέπει εδώ να τονιστεί ότι η σπειροειδής βύθιση, δεν είναι το ίδιο με την περιδίνηση. Η κίνηση του αεροσκάφους στην περιδίνηση, πραγματοποιείται με το αεροσκάφος σε πλήρως ανεπτυγμένη απώλεια στήριξης (stall), ενώ στη σπειροειδή βύθιση η πτέρυγα συνεχίζει να πετά κατά τη συνηθισμένη έννοια Η μορφή της ολλανδικής περιστροφής Η ολλανδική περιστροφή είναι ουσιαστικά μια κλασσική αποσβενόμενη ταλάντωση ως προς την εκτροπή περί τον άξονα Οz που εμφανίζει σύζευξη με την περιστροφή και σε λιγότερο βαθμό με την πλαγιολίσθηση. Η κίνηση λοιπόν που περιγράφεται με την ολλανδική περιστροφή, είναι μια σύνθετη αλληλεπίδραση ανάμεσα σε όλους τους βαθμούς ελευθερίας της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής. Τα χαρακτηριστικά του περιγράφονται από το ζεύγος των μιγαδικών ριζών στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο (5.12). Ουσιαστικά η ολλανδική περιστροφή, είναι το ισοδύναμο της εγκάρσιαςδιεύθυνσης δυναμικής, με τη μορφή της μικρής περιόδου της διαμήκους δυναμικής. Επειδή οι ροπές αδρανείας πρόνευσης και εκτροπής έχουν παρόμοιο μέγεθος οι συχνότητες της ολλανδικής περιστροφής και της μικρής περιόδου είναι παρόμοιες. Όμως, επειδή το κάθετο σταθερό είναι λιγότερο αποτελεσματικό ως αποσβεστήρας σε σχέση με το οριζόντιο σταθερό, η απόσβεση της είναι συνήθως μη επαρκής. Η μορφή αυτή ονομάστηκε έτσι, επειδή η κίνηση του αεροσκάφους μοιάζει με τη ρυθμική

8 κίνηση ενός Ολλανδού παγοδρόμου στα παγωμένα κανάλια της Ολλανδίας! Ένας κύκλος από την κίνηση του αεροσκάφους φαίνεται στο σχήμα 5.3 Σχήμα 5.3 Η μορφή της ολλανδικής περιστροφής Η φυσική κατάσταση που εμφανίζεται εδώ μπορεί να γίνει αντιληπτή πιο εύκολα εάν απεικονίζοντας το αεροσκάφος σαν να είναι αναρτημένο ως προς τη διεύθυνση από ένα ελατήριο που επενεργεί περί τον άξονα Οz. Τα χαρακτηριστικά ακαμψίας του ελατηρίου είναι αεροδυναμικά και προσδιορίζονται σε μεγάλο βαθμό από το κάθετο σταθερό. Καθώς το αεροσκάφος πετά αντισταθμισμένο σε ευθεία οριζόντια πτήση ισορροπίας, εφαρμόζεται μια ροπή διαταραχής Ν, ως προς την εκτροπή: Το αεροδυναμικό ισοδύναμο του ελατηρίου του κάθετου σταθερού, προκαλεί μια διορθωτική ροπή εκτροπής -Ν που καταλήγει στην κλασσική ταλάντωση. Όταν η ταλάντωση αυτή αναπτυχθεί πλήρως, η σχετική ταχύτητα του αέρα πάνω από τη δεξιά και την αριστερή πτέρυγα, μεταβάλλεται ανάλογα, με ταλαντωτικό τρόπο. Η συμπεριφορά της σχετικής ταχύτητας με τη σειρά της, προκαλεί ταλαντωτικές διαφορικές μεταβολές της άνωσης και της οπισθέλκουσας. Αυτή η αεροδυναμική σύζευξη προκαλεί μια ταλάντωση ως προς την περιστροφή, που υστερεί της ταλάντωσης ως προς την εκτροπή κατά 90. Λόγω της διαφοράς φάσης ανάμεσα στην κίνηση της εκτροπής και της περιστροφής, η πτέρυγα που προηγείται κατέρχεται ενώ η πτέρυγα που οπισθοχωρεί ανέρχεται, όπως φαίνεται στο σχήμα 6.5. Κατά συνέπεια, η κίνηση υποδηλώνεται από το ίχνος που σημειώνουν τα ακροπτερύγια ως προς τον ορίζοντα, το οποίο είναι συνήθως ελλειπτικό, κάτι που επίσης φαίνεται στο ίδιο σχήμα.

9 φ max ψ max < 1 (5.15) Αυτή η συνθήκη, υποδηλώνει ευσταθή ολλανδική περιστροφή. Αντίθετα όταν αυτός ο λόγος είναι μεγαλύτερος από ένα είναι πιθανόν να προκύψει ασταθής ολλανδική περιστροφή. Οποτεδήποτε οι πτέρυγες διαταράσσονται από την ισορροπία το αεροσκάφος αρχίζει να πλαγιολισθαίνει προς την πτέρυγα που είναι χαμηλότερα. Έτσι, η ταλαντωτική κίνηση ως προς τον διατοιχισμό κατά την ολλανδική περιστροφή, οδηγεί σε κάποιας έκτασης ταλαντωτική κίνηση ως προς την εκτροπή, αν και η ταχύτητα της πλαγιολίσθησης είναι γενικά μικρή. Οι αεροδυναμικές ιδιότητες του κάθετου σταθερού καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό τόσο την απόσβεση όσο και την ακαμψία στην εκτροπή, που με τη σειρά τους ορίζουν τα χαρακτηριστικά αυτής της μορφής της ευστάθειας. Έτσι, για ευσταθή ολλανδική περιστροφή, απαιτείται η ύπαρξη ενός μεγάλου κάθετου σταθερού στο αεροσκάφος. Δυστυχώς αυτό αντιτίθεται στην απαίτηση για ευσταθές σπειροειδές όπως έγινε εμφανές προηγουμένως. Συνεπώς κατά τη σχεδίαση, η μέση λύση που συνήθως προτιμάται είναι ελαφρώς ασταθές σπειροειδές και ολλανδική περιστροφή με φτωχή απόσβεση. Φυσικά η πολυπλοκότητα της υπονοεί ότι εκτός του κάθετου σταθερού υφίστανται και άλλοι αεροδυναμικοί παράγοντες (π.χ. η γεωμετρία της κύριας πτέρυγας) που διαμορφώνουν τα χαρακτηριστικά του, που μάλιστα παίζουν εξίσου σημαντικό ρόλο με το κάθετο σταθερό. Για αυτόν τον λόγο είναι εξαιρετικά δύσκολο να ποσοτικοποιηθούν όλοι οι παράγοντες που διαμορφώνουν τα χαρακτηριστικά της ολλανδικής περιστροφής. 4. Μοντέλο μειωμένης τάξης Σε αντίθεση με τις διαμήκεις εξισώσεις κίνησης είναι πιο δύσκολη η επίλυση των εξισώσεων της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής με κάποιου είδους προσέγγιση. Επειδή όπως προαναφέρθηκε, υφίσταται κάποιας μορφής σύζευξη στην κίνηση, άλλοτε περισσότερο και άλλοτε λιγότερο, οι τρεις μορφές δεν είναι τόσο διακριτές με επακόλουθο οι απλοποιήσεις να καταλήγουν σε απώλεια της ακρίβειας. Έτσι, ουσιαστικά τέτοιες προσεγγίσεις δεν έχουν πρακτική σημασία-εκτός από το να μας παρέχουν κάποια επιπλέον κατανόηση της μηχανικής της κίνησης κατά το εγκάρσιο επίπεδο και το επίπεδο διεύθυνσης. Όπως προαναφέρθηκε και σε αντιστοιχία με τη διαμήκη χαρακτηριστική εξίσωση, για την εγκάρσια-διεύθυνσης δυναμική το χαρακτηριστικό πολυώνυμο εκφράζεται ως: Δ(s) = As 4 + Bs 3 + Cs 2 + Ds + E = 0 (5.16) Δεδομένου βέβαια ότι οι εξισώσεις κίνησης αναφέρονται στους άξονες του ανέμου. Η πιο απλή και ταυτόχρονα η πιο ακριβής λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης μας παρέχει μια αρχική προσέγγιση μόνο για τις δύο πραγματικές λύσεις. Παρατηρείται ότι στα συμβατικά αεροσκάφη οι συντελεστές A, B, C, D και E δεν μεταβάλλονται σημαντικά με τις συνθήκες πτήσης. Τυπικά οι Α και Β είναι σχετικά μεγάλοι ενώ οι D και E είναι πολύ συχνά κοντά στο μηδέν. Επιπλέον έχει παρατηρηθεί ότι Β>>Α και E<<D οπότε οι λύσεις προσεγγίζονται από τις εξής εκφράσεις, όπως ορίζονται στο [3]: s + 1 T r s + B A και (5.17) s + 1 s + E T s D Για το ζεύγος των μιγαδικών ριζών που περιγράφουν την ολλανδική περιστροφή, δεν υφίστανται τέτοιες απλές προσεγγιστικές λύσεις. Με την εφαρμογή κάποιων επιπλέον υποθέσεων στις εκφράσεις για τα A, B, C, D και E, που δίνονται στο παράρτημα Γ.3.2, που βασίζονται στην παρατηρούμενη συμπεριφορά των μορφών

10 ευστάθειας σε πραγματικά αεροσκάφη, θα μπορούσαν να γίνουν πιο κατανοητοί οι αεροδυναμικοί παράγοντες που διαμορφώνουν την περιστροφή και το σπειροειδές. Ευτυχώς οι ίδιες πληροφορίες μπορούν να ληφθούν και από μια παλαιότερη μέθοδο που εμπλέκει τη μείωση της τάξης των εξισώσεων κίνησης. Οι εξισώσεις (5.17) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για πρόχειρο έλεγχο των λύσεων που προκύπτουν από τον υπολογιστή ή για την αρχική εκτίμηση των δύο μορφών εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής του αεροσκάφους Η προσέγγιση της περιστροφής Με την προϋπόθεση ότι η διαταραχή είναι μικρή, παρατηρείται ότι η μορφή της υποχώρησης της περιστροφής, εμπλέκει μόνο κίνηση διατοιχισμού με πολύ μικρή σύζευξη ως προς την πλαγιολίσθηση ή την εκτροπή. Έτσι, το μοντέλο της μειωμένης τάξης προκύπτει μηδενίζοντας τις παραγώγους ευστάθειας της πλάγιας δύναμης και της ροπής εκτροπής από την εγκάρσια-διεύθυνσης εξίσωση κατάστασης (5.2): v = r = 0 και y v = y p = y r = y φ = n v = n p = n r = n φ (5.18) = 0 Άρα: { p } = [ l p l φ φ 1 0 ] {p φ } + [l δ a l δr 0 0 ] {δ a } (5.19) δ r Επιπλέον, εφόσον αναφερόμαστε στο σύστημα αξόνων του ανέμου τότε lφ = 0 και η εξίσωση (5.19) καταλήγει στην εξίσωση της ροπής διατοιχισμού με ένα βαθμό ελευθερίας: p = l p p + l δa δ a + l δr δ r (5.20) φ = p (5.21) Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της εξίσωσης (5.20) με μηδενικές αρχικές συνθήκες και με την υπόθεση ότι το πηδάλιο διεύθυνσης διατηρείται σταθερό, δ r = 0 προκύπτει: sp(s) = l p p(s) + l δa δ a (s) (5.22) Τότε η συνάρτηση μεταφοράς του ρυθμού περιστροφής ως προς τα πηδάλια κλίσης είναι: p(s) δ a (s) = l δ a k p s l p s + 1 (5.23) T r Αυτή συνάρτηση μεταφοράς, είναι το μειωμένης τάξης ισοδύναμο της συνάρτησης μεταφοράς που δίνεται με την (5.4) και αποτελεί απλώς τη γνωστή καθυστέρηση φάσης (phase lag) με χρονική σταθερά Τr. Για κίνηση μικρών διαταραχών η εξίσωση (5.25) περιγράφει με ικανοποιητική ακρίβεια τα πρώτα 1 2 sec της απόκρισης διατοιχισμού ως προς τα πηδάλια κλίσης και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μέσο για τον προσδιορισμό των κυρίαρχων αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας που καθορίζουν τη χρονική σταθερά της μορφής της περιστροφής. Αντικαθιστώντας τις συντετμημένες αεροδυναμικές παραγώγους ευστάθειας από το παράρτημα Δ.3.1, η χρονική σταθερά της μορφής υποχώρησης της περιστροφής είναι κατά προσέγγιση: T r 1 = I 2 xi z I xz (5.24) l p I z L p + I xz Ñ p Η εξίσωση (5.24) μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω με την παρατήρηση ότι Ix Ixz και Iz Ixz ώστε να μας δώσει την κλασσική προσέγγιση για τη χρονική σταθερά της μορφής υποχώρησης της περιστροφής:

11 T r I x (5.25) L p όπου Ix είναι η ροπή αδρανείας διατοιχισμού και L p είναι η διαστατοποιημένη παράγωγος ευστάθειας που περιγράφει την αεροδυναμική απόσβεση ως προς την κλίση Η προσέγγιση του σπειροειδούς Επειδή το σπειροειδές είναι πολύ αργό ως προς την εξέλιξή του μετά από την εφαρμογή της διαταραχής, είναι σύνηθες να υποτίθεται ότι οι μεταβλητές κίνησης v, p και r είναι ψευδοστατικές σε σχέση με την κλίμακα χρόνου της μορφής αυτής. Επομένως: v = p = r = 0 (5.26) Και η εγκάρσια-διεύθυνσης εξίσωση κατάστασης μπορεί να γραφεί : 0 y v y p y r y φ v y δr y δ a l δ a n δ a 0 l { } = [ v l p l r l φ p l ] { 0 n v n p n r n φ r } + { δ n r } { δ a } (5.27) δr δ r φ φ 0 0 Επιπλέον υποθέτοντας άξονες αναφοράς τους άξονες ανέμου και ότι τα χειριστήρια διατηρούνται σταθεροποιημένα, έτσι ώστε η κίνηση να θεωρηθεί μη εξαναγκασμένη, τότε η εξίσωση κατάστασης απλοποιείται περαιτέρω: l φ = n φ = 0 και δ a = δ r = 0 (5.28) 0 y v y p y r y φ v 0 l v l p l r 0 p { } = [ ] { 0 n v n p n r 0 r } (5.29) φ φ Οι πρώτες τρεις γραμμές στην εξίσωση (5.29) μπορούν να ξαναγραφτούν, ώστε να μην περιλαμβάνουν τις μεταβλητές v και r, ώστε τελικά να προκύπτει μια εξίσωση μειωμένης τάξης στην οποία οι μόνες μεταβλητές θα είναι ο ρυθμός περιστροφής p και η γωνία φ: { 0 } = [ y v φ l p n r l r n p l v n p l p n v + y l r n v l v n p + y r r l r n v l v n r 1 0 y φ ] { p φ } (5.30) Ισχύει όμως ότι: y v, y p y r, y φ (5.31) Έτσι, η εξίσωση (5.30) απλοποιείται στην εξής: { 0 } = [ y l v n p l p n v r y φ l r n v l v n φ r ] { p φ } (5.32) 1 0 Επειδή φ = p, η εξίσωση (5.32) καταλήγει στην εξίσωση ενός βαθμού ελευθερίας που περιγράφει κατά προσέγγιση τη μη εξαναγκασμένη περιστροφική κίνηση η οποία εμπλέκεται στο σπειροειδές: φ + y φ(l r n v l v n r ) y r (l v n p l p n v ) φ = 0 (5.33) Ο μετασχηματισμός Laplace της εξίσωσης (5.33) με μηδενικές αρχικές συνθήκες είναι: φ(s) [s + y φ(l r n v l v n r ) y r (l v n p l p n v ) φ] φ(s) (s + 1 ) = 0 (5.34) T s Πρέπει να σημειωθεί ότι η (5.34) που αποτελεί πλέον την εγκάρσια-διεύθυνσης χαρακτηριστική εξίσωση είναι μειωμένης τάξης, ενώ διατηρεί μια πολύ χονδρική

12 περιγραφή μόνο των χαρακτηριστικών του σπειροειδούς. Μια προσεγγιστική έκφραση για τη χρονική σταθερά του σπειροειδούς είναι: T s y r(l v n p l p n v ) (5.35) y φ (l r n v l v n r ) Η χρονική σταθερά του σπειροειδούς μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας από το παράρτημα Δ.3.1 ενώ ισχύουν: Ỹ r mue y r U e V T e και y φ = g (5.36) Εφόσον αναφερόμαστε στους άξονες του ανέμου. Τότε προκύπτει: T s U e(l vñ p L pñ v ) g(l rñ v L vñ r ) V Te (L vn p L p N v ) (5.37) g(l r N v L v N r ) Για ευσταθές σπειροειδές πρέπει η χρονική σταθερά Τs να είναι θετική. Τυπικά για τα περισσότερα αεροσκάφη σε υποηχητική ταχύτητα ισχύει : (L v N p L p N v ) > 0 (5.38) H συνθήκη ώστε το σπειροειδές να είναι ευσταθές μπορεί να απλοποιηθεί στην κατά προσέγγιση κλασική απαίτηση: L v N r > L r N v (5.39) Εφόσον εκφράζοντας τις παραγώγους στην εξίσωση (5.39) με όρους των αεροδυναμικών ιδιοτήτων του σκάφους προκύπτει περαιτέρω ανάλυση της σχέσης αυτής. Αυτό σημαίνει ότι η επίδραση της δίεδρης γωνίας Lv και η απόσβεση ως προς την εκτροπή Nr, πρέπει να είναι μεγάλες ενώ η ακαμψία ως προς την εκτροπή Nv, πρέπει να είναι μικρή. Η ροπή διατοιχισμού λόγω του ρυθμού εκτροπής Lr, είναι συνήθως θετική και βέβαια σημαντική σε μέγεθος. Με απλά λόγια αεροσκάφη με μικρά κάθετα σταθερά και εύλογα μεγάλη δίεδρη γωνία είναι πιθανότερο να έχουν σταθερό σπειροειδές Η προσέγγιση της ολλανδικής περιστροφής Με σκοπό την κατάστρωση ενός μοντέλου μειωμένης τάξης για την περιγραφή της μορφή αυτής, είναι συνήθης η χονδρική παραδοχή ότι η κίνηση δεν εμπλέκει καμία ανάλογη κίνηση του αεροσκάφους ως προς την κλίση. Είναι σαφές ότι αυτό αντιφάσκει με ότι ειπώθηκε έως τώρα αλλά στηρίζεται στο γεγονός ότι η μορφή αυτή είναι κατά κύριο λόγο μια ταλάντωση ως προς την εκτροπή, ενώ η κίνηση διατοιχισμού προκαλείται, ως δευτερεύων φαινόμενο, από την αεροδυναμική σύζευξη. Πιθανόν δε στα περισσότερα αεροσκάφη ο λόγος της κλίσης προς την εκτροπή, στην ταλάντωση της ολλανδικής περιστροφής, είναι μικρότερος από τη μονάδα φτάνοντας σε κάποιες περιπτώσεις πολύ μικρότερες τιμές-γεγονός που δίνει στην υπόθεσή μας κάποιο βαθμό αξιοπιστίας. Έτσι, η εγκάρσια-διεύθυνσης εξίσωση κατάστασης μπορεί να απλοποιηθεί γράφοντας : p = p = φ = φ = 0 (5.40) Όπως και προηγουμένως υποθέτοντας τους άξονες ανέμου ως άξονες αναφοράς και εφόσον τα χειριστήρια διατηρηθούν σταθεροποιημένα έτσι, ώστε η κίνηση να μην είναι εξαναγκασμένη, τότε η εγκάρσια-διεύθυνσης εξίσωση κατάστασης μπορεί να απλοποιηθεί στην εξής: l φ = n φ = 0 και δ a = δ r = 0 (5.41) { v } = [ y v y r n v n r ] { v r } (5.42) r Φέρνοντας έτσι την εξίσωση (5.42) στην ακόλουθη μορφή: x d = [A d ]x d (5.43)

13 Το μοντέλο μειωμένης τάξης για τη χαρακτηριστική εξίσωση, που περιγράφει κατά προσέγγιση τα δυναμικά χαρακτηριστικά της ολλανδικής περιστροφής δίνεται από: Δ d (s) = det (si A d ) = s y v y r n v s n = 0 (5.44) r ή διαφορετικά: Δ d (s) = s 2 (n r + y v )s + (n r y v n v y r ) (5.45) Επομένως οι ιδιότητες απόσβεσης και συχνότητας της μορφής αυτής δίνονται κατά προσέγγιση από τις: 2ζ d ω d (n r + y v ) ω 2 } (5.46) d n r y v n v y r Σύμφωνα με το παράρτημα Δ.3.2 οι εκφράσεις πού δίνονται με την εξίσωση (5.46) μπορούν να επαναπροσδιοριστούν ως προς τις διαστατές αεροδυναμικές παραγώγους ευστάθειας. Περισσότερες προσεγγιστικές απλοποιήσεις μπορούν να συντελεστούν υποθέτοντας ότι Ỹ r mu e, έτσι ώστε y r U e V T και ότι τόσο η Ιx όσο και Ιz είναι e συνήθως πολύ μεγαλύτερες από την Ιxz κάτι που άλλωστε σχεδόν πάντα ισχύει. Έτσι λοιπόν: 2ζ d ω d ( Ñ r + Ỹ v I z m ) ω 2 d Ñ (5.47) r Ỹ v I z m V Ñ v Ñ v V Te I Te z I z } Με σύγκριση της απόσβεσης και της συχνότητας στην (5.47) με τις αντίστοιχες τιμές της διάταξης μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα είναι εύκολη η ταυτοποίηση του ρόλου εκείνων των αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας που κυριαρχούν στον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών της ολλανδικής περιστροφής. Για παράδειγμα η Ñ r αναφέρεται ως η παράγωγος ευστάθειας της απόσβεσης εκτροπής και η Ñ v αναφέρεται ως η παράγωγος ακαμψίας εκτροπής. Τόσο η μια όσο και η άλλη, εξαρτώνται από τον αεροδυναμικό σχεδιασμό και από τον λόγο όγκου VF του κάθετου σταθερού, όπως παρουσιάζεται με περισσότερη λεπτομέρεια στο υποκεφάλαιο 4 του κεφαλαίου 6. Αν και η προσέγγιση της ολλανδικής περιστροφής δίνει μια πολύ φτωχή εικόνα της πραγματικότητας αποτελεί πολύ χρήσιμο μέσο για την κατανόηση της φυσικής συμπεριφοράς της δυναμικής της μορφής, όπως επίσης και εκείνων των αεροδυναμικών παραμέτρων που την προσδιορίζουν. Βιβλιογραφία/Αναφορές [3] Michael V. Cook, Flight Dynamics Principles - A Linear Systems Approach to Aircraft Stability and Control, 2nd ed. Oxford, UK: Elsevier Ltd, [5] Robert C. Nelson, Flight Stability and Automatic Control, 2nd ed. Singapore: WCB/McGraw-Hill, 1998.

14 Παράδειγμα 5.1 Στο παράδειγμα αυτό μελετάται η εγκάρσια-διεύθυνσης δυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους Learjet 24. Οι συνθήκες πτήσης και οι τιμές των παραγώγων ευστάθειας δίνονται στο παράρτημα H.2, 2η περίπτωση (Πλεύση με μέγιστο βάρος), όπου το αεροσκάφος βρίσκεται σε ομαλή πτήση με Mach 0,7 στα ft. Οι εξισώσεις κίνησης αναφέρονται στους άξονες του ανέμου -οπότε το σύστημα μειώνεται σε 4ης τάξης- και απεικονίζονται με όρους των συντετμημένων μορφών των παραγώγων ευστάθειας στη μορφή του χώρου κατάστασης. Οι αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας και ελέγχου δίνονται στην αμερικάνικη σημειολογία, δηλαδή υπό τη μορφή αδιάστατων συντελεστών. Στα παραρτήματα Δ.3.1 και Δ.3.2, δίνονται οι σχέσεις μεταξύ των αδιάστατων, διαστατών και συντετμημένων παραγώγων. Τα δεδομένα αναφέρονται στους άξονες ευστάθειας. Εφόσον στη μόνιμη κατάσταση δεν υφίσταται πλαγιολίσθηση β, οι άξονες ευστάθειας ταυτίζονται με τους άξονες του ανέμου και δεν απαιτείται μετασχηματισμός τους. Τότε το σύστημα των εξισώσεων στον χώρο κατάστασης προκύπτει: v v p p { } = [ ] { r r } φ φ (Π5.1) [ ] { δ a } δ r 0 0 Επειδή είναι επιθυμητό η συνάρτηση μεταφοράς να περιγράφει τη γωνία πλαγιολίσθησης β και την ταχύτητα πλαγιολίσθησης v, η εξίσωση που περιγράφει την έξοδο επαυξάνεται όπως και στο παράδειγμα 4.1. Για μικρές διαταραχές: β = v V Te (Π5.2) Έτσι, η εξίσωση εξόδου γράφεται : v p y(t) = r (Π5.3) φ [ ] { β} Οι αριθμητικές τιμές των στοιχείων των μητρώων στις εξισώσεις (Π5.1) και (Π5.3) έχουν στρογγυλοποιηθεί στα πέντε δεκαδικά ψηφία ώστε να μπορούν να γραφούν με ευχέρεια στο κείμενο. Αυτό δεν πρέπει να γίνεται με τις εξισώσεις που εμπλέκονται στους υπολογισμούς διότι θα δημιουργηθεί σοβαρό λάθος. Με τη χρήση του λογισμικού Matlab λαμβάνονται δύο σετ από συναρτήσεις μεταφοράς, ως προς τη γωνία εκτοπισμού των πηδαλίων κλίσης (δa - aileron) και του πηδαλίου εκτροπής (δr - rudder). Παραγοντοποιώντας τους αριθμητές και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο με βάση τις ρίζες τους, ως προς τα πηδάλια κλίσης: v(s) δ a (s) = (s )(s ) (s )(s )(s 2 (Π5.4) s ) p(s) δ a (s) = s(s s ) (Π5.5) (s )(s )(s s ) r(s) δ a (s) = (s )(s s ) (Π5.6) (s )(s )(s s )

15 φ(s) δ a (s) = (s s ) (Π5.7) (s )(s )(s s ) β(s) δ a (s) = (s )(s ) (s )(s )(s 2 (Π5.8) s ) Και αντίστοιχα για το πηδάλιο εκτροπής: v(s) (s )(s )(s ) = δ r (s) (s )(s )(s 2 (Π5.9) s ) p(s) δ r (s) = s(s )(s ) (s )(s )(s 2 (Π5.10) s ) r(s) δ r (s) = (s )(s s ) (Π5.11) (s )(s )(s s ) φ(s) δ r (s) = (s )(s ) (s )(s )(s 2 (Π5.12) s ) β(s) (s )(s )(s ) = δ r (s) (s )(s )(s 2 (Π5.13) s ) Η πρώτη πραγματική ρίζα περιγράφει τη μορφή του σπειροειδούς με χρονική σταθερά: T s = = sec (Π5.14) Η δεύτερη πραγματική ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης περιγράφει τη μορφή υποχώρησης της περιστροφής με χρονική σταθερά: T r = = sec (Π5.15) Το ζεύγος των μιγαδικών ριζών που περιγράφει την ολλανδική περιστροφή: s 3,4 = ± i Ενώ τα χαρακτηριστικά της προκύπτουν: ζ d = ω d = rad sec Όπως παρατηρείται το σκάφος που εξετάζεται είναι αεροδυναμικά ευσταθές μιας και οι πραγματικές ρίζες είναι αρνητικές ενώ το ζεύγος των μιγαδικών ριζών έχει αρνητικά πραγματικά μέρη Απόκριση στα πηδάλια κλίσης Για τη διέγερση των μορφών ευστάθειας, εφαρμόζεται είσοδος μοναδιαίου παλμού των πηδαλίων κλίσης, διάρκειας δύο δευτερολέπτων. δ a (t) = { 1 π 180 [ ], 0 t ε, ε = 2 sec (Π5.16) 0 t > ε Η δυναμική απόκριση του αεροσκάφους ως προς όλες τις μεταβλητές που αναλύθηκαν προηγουμένως παρουσιάζεται στο σχήμα Π5.1.

16 Σχήμα Π5.1 Απόκριση αεροσκάφους σε μοναδιαίο παλμό των πηδαλίων κλίσης Εκ πρώτης όψεως η μορφή που φαίνεται ότι κυριαρχεί είναι η ολλανδική περιστροφή αφού η απόσβεσή της είναι χαμηλή. Επειδή οι μη ταλαντωτικές μορφές του σπειροειδούς και της υποχώρησης της περιστροφής δεν είναι τόσο εμφανείς και στην εγκάρσια-διεύθυνσης δυναμική υφίσταται δυναμική σύζευξη, είναι αρκετά δύσκολη η έκθεση αυτών των μορφών αναλυτικά και απαιτείται προσεκτική μελέτη των διαγραμμάτων της απόκρισης. Τόσο η υποχώρηση της περιστροφής όσο και το σπειροειδές εμφανίζονται να συγκλίνουν εκθετικά εφόσον και τα δύο είναι ευσταθή στο παρόν παράδειγμα. Η υποχώρηση της περιστροφής, με χρονική σταθερά Tr = sec, συγκλίνει σαφώς πολύ ταχύτερα από το σπειροειδές που έχει χρονική σταθερά Ts = sec. Η υποχώρηση της περιστροφής, φαίνεται πιο καθαρά στην απόκριση του ρυθμού περιστροφής p, όπου καθορίζει την εκθετική αύξηση στα 0 δευτερόλεπτα και την εκθετική επαναφορά όταν ο παλμός αφαιρεθεί στα 2 δευτερόλεπτα. Τα χαρακτηριστικά του σπειροειδούς είναι περισσότερο νωθρά και μπορούν να παρατηρηθούν στην απόκριση της στάσης διατοιχισμού φ, όπου εκεί καθορίζει τη μεγαλύτερη χρονική διάρκεια επαναφοράς στο μηδέν ( 300 sec). Όλες οι μεταβλητές απόκρισης που φαίνονται στο σχήμα Π5.1 τελικά μηδενίζονται στη χρονική κλίμακα του σπειροειδούς ( 250 sec) αφού το αεροσκάφος είναι ευσταθές.

17 Απόκριση στο πηδάλιο εκτροπής Στο σχήμα Π5.2 που ακολουθεί παρουσιάζεται η απόκριση του αεροσκάφους, σε είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας του πηδαλίου εκτροπής. δ r (t) = { A = 1 = π 180, t > 0 δ r (s) = A (Π5.17) 0, t < 0 s Σχήμα Π5.2 Απόκριση σε είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας του πηδαλίου εκτροπής Είναι ξανά εμφανές ότι η αποκρίσεις κυριαρχούνται από την ταλαντωτική μορφή της ολλανδικής περιστροφής. Όμως, η υποχώρηση της περιστροφής και το σπειροειδές είναι ακόμη πιο δυσδιάκριτα αφού εφαρμόστηκε είσοδος μοναδιαίας βαθμίδας που απλά προκαλεί την απόκλιση του αεροσκάφους από την αρχική κατάσταση ισορροπίας. Παρατηρώντας τις συναρτήσεις μεταφοράς (Π5.4) (Π5.13) φαίνεται ότι ένας αριθμός από αυτές περιέχει αριθμητές μη ελάχιστης φάσης (μηδενιστές στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο). Η επίδρασή τους στις αποκρίσεις είναι πολύ μικρή και γενικά δεν μπορούν να ανιχνευθούν στο σχήμα Π5.2 με εξαίρεση την απόκριση του ρυθμού περιστροφής p ως προς το πηδάλιο εκτροπής. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, η επίδραση του όρου μη ελάχιστης φάσης γίνεται αντιληπτή εξετάζοντας σε μεγέθυνση την έναρξη της απόκρισης, όπου ο ρυθμός περιστροφής φαίνεται να ξεκινά με αντίστροφο πρόσημο για περίπου ένα δευτερόλεπτο. Στην αεροναυπηγική ορολογία, το φαινόμενο αυτό ονομάζεται αντιστροφή της κλίσης (adverse roll) σε απόκριση του πηδαλίου εκτροπής.

18 Στο παράδειγμά εφαρμόστηκε μοναδιαία θετική είσοδος βαθμίδας στο πηδάλιο εκτροπής, που προκαλεί την εκτροπή του αεροσκάφους προς τα αριστερά, δηλαδή αρνητική απόκριση σύμφωνα με τη συμβολογία που ορίστηκε στο υποκεφάλαιο 2.1. του Κεφ.1. Τότε: Ο ρυθμός εκτροπής είναι επίσης αρνητικός. Η περιστροφή φ είναι αρνητική, όπως και ο ρυθμός περιστροφής p που προκαλείται από τη σύζευξη της περιστροφής με την εκτροπή. Όταν το πηδάλιο διεύθυνσης εκτρέπεται αρχικά, προκαλείται μια πλάγια δύναμη Y στο κέντρο πίεσης του κάθετου σταθερού, που με τη σειρά της προκαλεί μια ροπή εκτροπής Ν η οποία εξαναγκάζει το αεροσκάφος να στρέψει την κεφαλή του. Λόγω της απόστασης της εφαρμογής αυτής της δύναμης από τον άξονα οx, προκαλείται ροπή διατοιχισμού L, η οποία είναι η υπεύθυνη για την αρχική περιστροφή του αεροσκάφους αντίθετα (adverse roll) από την εφαρμογή του πηδαλίου εκτροπής. Αυτό συμβαίνει λόγω του ότι η ροπή αδράνειας διατοιχισμού Ιx είναι λίγο μικρότερη από εκείνη ως προς την εκτροπή Iz. Έτσι, το αεροσκάφος αποκρίνεται πιο άμεσα ως προς την κλίση και ξεκινά γρηγορότερα την ανεπιθύμητη πτώση της δεξιάς πτέρυγας. Καθώς η κίνηση της εκτροπής της κεφαλής του αεροσκάφους σταθεροποιείται, η ροπή διατοιχισμού που προκαλείται από τις αεροδυναμικές δυνάμεις τελικά υπερνικά την αντίστροφη ροπή που είχε αρχικά δημιουργηθεί και το αεροσκάφος περιστρέφεται αριστερόστροφα. Αυτή η συμπεριφορά παρατηρείται χαρακτηριστικά στα περισσότερα αεροσκάφη. Το μέγεθος του φαινομένου εξαρτάται από τον τύπο του αεροσκάφους και εφόσον δεν ελεγχθεί με προσεχτική σχεδίαση στα αρχικά στάδια της δυναμικής μελέτης μπορεί να οδηγήσει σε μη αποδεκτά χαρακτηριστικά ευκολίας χειρισμού. Ένα ανάλογο χαρακτηριστικό που ονομάζεται «ενάντια εκτροπή» (adverse yaw) σε απόκριση των πηδαλίων κλίσης, προκαλείται από τη διαφορική (differential) οπισθέλκουσα που σχετίζεται με την απόκλιση των πηδαλίων κλίσης και τη συνεπαγόμενη ροπή εκτροπής. Αυτό το χαρακτηριστικό εμφανίζεται σε πολλά αεροσκάφη. Στην περίπτωση του Learjet σε αυτές τις συνθήκες πτήσης, είναι ελάχιστη η εμφάνιση του, παρατηρώντας την έναρξη της απόκρισης του ρυθμού εκτροπής r ως προς τα πηδάλια κλίσης στο σχήμα Π Ιδιοδιανυσματική ανάλυση Σε κάθε μια από τις μεταβλητές κίνησης μπορεί να παρατηρηθούν οι μορφές της ευστάθειας από τα ιδιοδιανύσματα. Αντικαθιστώντας την πλευρική ταχύτητα v με την πλαγιολίσθηση στην εξίσωση κατάστασης (πίνακας Α του χώρου κατάστασης) προκύπτει: i i : β : p V = [ ] (Π5.18) i i : r i i : φ Οι πρώτες δύο στήλες είναι τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις ρίζες της ολλανδικής περιστροφής. Η τρίτη στην υποχώρηση της περιστροφής και η τέταρτη στο σπειροειδές. Υπολογίζοντας το μέτρο κάθε στοιχείου του πίνακα V κατασκευάζεται ο ακόλουθος πίνακας:

19 : β V : p = [ ] (Π5.19) : r : φ Φαίνεται και με αυτή τη μέθοδο ότι δεν είναι τόσο ξεκάθαρη η συμμετοχή των μορφών ευστάθειας στις μεταβλητές όπως στην περίπτωση της διαμήκους δυναμικής. Παρόλα αυτά παρατηρείται ότι: Στη γωνία πλαγιολίσθησης β και επομένως στην ταχύτητα v προφανώς κυριαρχεί η μορφή της ολλανδικής περιστροφής. Η μορφή της υποχώρησης της περιστροφής κυριαρχεί στον ρυθμό περιστροφής p σε σύζευξη με την ολλανδική περιστροφή. Στην απόκριση της περιστροφής φ το σπειροειδές είναι μεν η κυρίαρχη μορφή αλλά η επίδραση των άλλων μορφών είναι της ίδιας τάξης μεγέθους. Αυτές οι παρατηρήσεις ταιριάζουν με τις αποκρίσεις στα σχήματα Π5.1 και Π5.2, αν και η χαμηλή απόσβεση της ολλανδικής περιστροφής γενικά επισκιάζει την εμφάνιση των άλλων μορφών για κάποιες από τις μεταβλητές. Η ανάλυση με τη μέθοδο των ιδιοδιανυσμάτων πολλές φορές αποτελεί τον πιο αποτελεσματικό τρόπο για την ερμηνεία της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής απόκρισης σε αεροσκάφη που παρουσιάζουν υψηλή δυναμική σύζευξη των μορφών ευστάθειας. Εφαρμόζοντας το θεώρημα της τελικής τιμής στις συναρτήσεις μεταφοράς, μπορούν να υπολογιστούν οι τιμές μόνιμης κατάστασης των μεταβλητών κίνησης για είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας στο πηδάλιο εκτροπής. Για παράδειγμα: v(s) ss (s )(s )(s ) = lim s s 0 (s )(s )(s s ) 1 s π 180 = ft sec Έτσι, προκύπτουν οι τελικές τιμές: v ft sec = m/sec p 0 rad/sec r = rad/sec φ rad = { β} { rad = } (Π5.20) (Π5.21) Αυτές οι τιμές παρέχουν μια ένδειξη για την ευαισθησία του αεροσκάφους στο πηδάλιο εκτροπής. Όμοια μπορούν να υπολογιστούν για είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας στα πηδάλια κλίσης. Ασφαλώς όμως σε τέτοιες μεγάλες γωνίες το μοντέλο των μικρών διαταραχών παύει να ισχύει και στην πραγματικότητα εμφανίζονται σημαντικές μεταβολές στις αεροδυναμικές συνθήκες λειτουργίας που θα συνοδεύουν την απόκριση. Οι πραγματικές τελικές τιμές θα είναι χωρίς αμφιβολία διαφορετικές ενώ μπορούν να επιβεβαιωθούν μαθηματικά μόνο από κάποιο μη γραμμικό μοντέλο εξομοίωσης (simulation). Οπότε γίνονται προφανείς οι περιορισμοί του μοντέλου των μικρών διαταραχών που χρησιμοποιείται στην εγκάρσια-διεύθυνσης δυναμική απόκριση του αεροσκάφους και υπογραμμίζεται η απαιτούμενη προσοχή που πρέπει να επιδεικνύεται κατά την ερμηνεία του Μοντέλα μειωμένης τάξης Η χαρακτηριστική εξίσωση του πλήρους μοντέλου προέκυψε: D(s) = s s s s (Π5.22)

20 Σε αντιστοιχία με την έκφραση που δίνεται από την εξίσωση (5.21) οι προσεγγιστικές τιμές για τις χρονικές σταθερές της μορφής υποχώρησης της περιστροφής και του σπειροειδούς: Τ r A B = = sec T s D E = = sec (Π5.23) Η κατά προσέγγιση τιμή για τη χρονική σταθερά της μορφής της υποχώρησης της περιστροφής έχει κάποια μικρή απόκλιση από την ακριβή τιμή των sec, ενώ η προσεγγιστική χρονική σταθερά για το σπειροειδές είναι πολύ κοντά στην ακριβή τιμή των sec. Ο προσεγγιστική συνάρτηση μεταφοράς για τον ρυθμό περιστροφής σε σχέση με τα πηδάλια κλίσης που δίνεται από την (Π5.24) μπορεί να εκτιμηθεί λαμβάνοντας τις τιμές για τις συντετμημένες παραγώγους ευστάθειας lp και l δa από τα δεδομένα του παραδείγματος: p(s) δ a (s) = l δ a s l p = k p s + 1 T r = s (Π5.24) Από την εξίσωση (Π5.24) η προσεγγιστική τιμή για τη χρονική σταθερά της μορφής της υποχώρησης της περιστροφής: T r = sec (Π5.25) Αυτή η χρονική σταθερά είναι πιο κοντά στην τιμή που δίνει το πλήρες μοντέλο, σαφώς όμως υπάρχει και πάλι κάποια απόκλιση. Η βραχυπρόθεσμη απόκριση του ρυθμού περιστροφής p του αεροσκάφους Learjet 24, σε μοναδιαία είσοδο βαθμίδας των πηδαλίων κλίσης, φαίνεται στο σχήμα Π5.3, όπου γίνεται σύγκριση με την απόκριση του πλήρους μοντέλου. ΣχήμαΠ5.3 Απόκριση γωνιακής ταχύτητας περιστροφής Φαίνεται λοιπόν ότι για τα πρώτα δύο σχεδόν δευτερόλεπτα η ταύτιση των δύο διαγραμμάτων είναι εξαιρετική, κάτι που επιβεβαιώνει την υπόθεση με την οποία προέκυψε το προσεγγιστικό μοντέλο για την υποχώρηση της περιστροφής. Η προσεγγιστική τιμή της χρονικής σταθεράς, που υπολογίζεται με την αντικατάσταση των κατάλληλων παραγώγων ευστάθειας και ροπών αδρανείας διατοιχισμού στην έκφραση που δίνεται από την εξίσωση (Π5.15), είναι σχεδόν η ίδια με την τιμή που δίνεται από την εξίσωση (Π5.25). Αυτό επιβεβαιώνει την εγκυρότητα των υποθέσεων που έγιναν κάνει κατά την κατάστρωση του μοντέλου. Η προσέγγιση της χρονικής σταθεράς του σπειροειδούς, μπορεί να γραφεί ως προς τις συντετμημένες παραγώγους ευστάθειας:

21 Τ s V T e (l v n p l p n v ) = sec (Π5.26) g(l r n v l v n r ) Βέβαια αυτή η τιμή έχει κάποια απόκλιση από την ακριβή τιμή των sec. Αυτό όμως δεν είναι τόσο σημαντικό μιας και το σπειροειδές έχει πολύ αργή εξέλιξη συγκριτικά με τις τυπικές δραστηριότητες που αφορούν τον χειρισμό του αεροσκάφους. Η κλασσική απαίτηση για την ευστάθεια του σπειροειδούς η οποία δίνεται από την ανισότητα της σχέσης (5.39) ικανοποιείται: l v n r > l r n v > 0,0005 Παρατηρείται η ομοιότητα αυτών των τιμών, κάτι που υπονοεί ότι η μορφή αυτή προσεγγίζει στο να είναι ουδέτερα ευσταθής στη χρονική κλίμακα της κανονικής μεταβατικής απόκρισης. Αυτή η παρατήρηση είναι τυπική για ένα συμβατικό αεροσκάφος όπως Learjet 24. Προσεγγίσεις για τον λόγο απόσβεσης και τη φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση της ολλανδικής περιστροφής λαμβάνονται με αντικατάσταση των αντίστοιχων τιμών για τις συντετμημένες παραγώγους ευστάθειας στις εκφράσεις που δίνονται από τις εξισώσεις (5.47): ω d n r y v n v y r = sec ζ d (n r + y v ) = Η προσέγγιση για τη φυσική συχνότητα συγκρίνεται άνετα με την ακριβή τιμή που είναι rad/s. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο για την τιμή του λόγου απόσβεσης Απόκριση Συχνότητας Στη συνέχεια εξετάζεται η απόκριση συχνότητας του αεροσκάφους Learjet 24. Ο συνολικός αριθμός των διαγραμμάτων Bode που πρέπει να εξεταστούν είναι δέκα ενώ οι αντίστοιχες συναρτήσεις μεταφοράς δίνονται από τις σχέσεις (Π5.27) και (Π5.28). Οι ουσιώδεις πληροφορίες βέβαια είναι δυνατό να ληφθούν από ένα μικρότερο αριθμό συναρτήσεων μεταφοράς, έξι για το συγκεκριμένο παράδειγμα. Συγκεκριμένα, επαναλαμβάνονται οι εξής από τις συναρτήσεις μεταφοράς (Π5.4)-(Π5.13) που αναφέρονται στους άξονες του ανέμου: β(s) δ a (s) = (s )(s ) (s )(s )(s s ) p(s) δ a (s) = s(s s ) (Π5.27) (s )(s )(s s ) r(s) δ a (s) = (s )(s s ) (s )(s )(s s ) και β(s) (s )(s )(s ) = δ r (s) (s )(s )(s s ) p(s) δ r (s) = s(s )(s ) (s )(s )(s 2 (Π5.28) s ) r(s) δ r (s) = (s )(s s ) (s )(s )(s s ) Στο σχήμα Π5.4 παρουσιάζονται τα διαγράμματα Bode των ΣΜ ως προς τα πηδάλια κλίσης, ενώ με κόκκινη διακεκομμένη γραμμή σημειώνεται η συχνότητα της ολλανδικής περιστροφής.