Φύση του φωτός (κύμα ή σωμάτιο)

Transcript

1 Φύση του φωτός (κύμα ή σωμάτιο) Για τη μελέτη της συμπεριφοράς του φωτός απαιτείται η εισαγωγή κριτηρίων ως προς τα μεγέθη που περιγράφουν την διάδοση και την αλληλεπίδραση του φωτός με την ύλη. Κριτήρια (τα μεγέθη που υπεισέρχονται στα κριτήρια) που καθορίζουν την συμπεριφορά του φωτός Μ Ε Γ Ε Θ Η. Μήκος κύματος λ (κυματικό μέγεθος) Σύγκριση με διαστάσεις d της χρησιμοποιούμενης «συσκευής» 2. Ενέργεια φωτονίου Ε (=h ν) (σωματιδιακό μέγεθος) Σύγκριση με ενεργειακή ευαισθησία E ευαισθησία της χρησιμοποιούμενης «συσκευής»

2

3 . Κριτήρια Γεωμετρικής Οπτικής. λ << d E φωτονίου < Ε ευαισθησία Η έννοια της ακτίνας του φωτός

4 2. Κριτήρια Κυματικής Οπτικής. λ d E φωτονίου << Ε ευαισθησία Πλήρης περιγραφή των φαινομένων της ΣΥΜΒΟΛΗΣ & ΠΕΡΙΘΛΑΣΗΣ καθώς και της ΑΝΑΚΛΑΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ Οι δύο αυτοί κλάδοι της Γεωμετρικής και Κυματικής Οπτικής περιγράφουν τα φαινόμενα με όρους της Κλασσικής Φυσικής

5 3. Κριτήρια Σωματιδιακής εικόνας του Φωτός λ <<< d E φωτονίου >> Ε ευαισθησία Πλήρης περιγραφή των φαινομένων: Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο Φαινόμενο Compton κ.α. Ο τρίτος κλάδος αναφέρεται στην περιγραφή φαινομένων με όρους της Κβαντικής Φυσικής.

6 Κυματική συμπεριφορά της ύλης Ερώτημα: Η εικόνα της διττής φύσης του φωτός μπορεί να επεκταθεί και στη ύλη με την έννοια της διττής φύσης της ύλης; Λόγω της συμμετρίας στη φύση αφού το φώς μπορεί να συμπεριφερθεί ως σωματίδιο γεννάται το ερώτημα εάν και το σωματίδιο μπορεί να συμπεριφέρεται ως κύμα, δηλαδή, μπορεί η ύλη να εκδηλώνει κυματική συμπεριφορά; Το ερώτημα διατυπώθηκε πρώτα θεωρητικώς από τον de Broglie και προτάθηκε ότι ένα σωματίδιο μάζας m μπορεί να συμπεριφέρεται ως κύμα με μήκος κύματος λ=h/2pm (h η σταθερά του Blank). Αργότερα αποδείχθηκε και πειραματικά. Με την εισαγωγή της έννοιας της κυματοσυνάρτησης γίνεται ενοποίηση της περιγραφής της διττής (κυματική/σωματιδιακή) φύσης του φωτός και της ύλης.

7 ΑΝΑΚΛΑΣΗ & ΔΙΑΘΛΑΣΗ Αρχή του Ήρωνος (αρχή του ελαχίστου δρόμου). Πειραματική διαπίστωση: Ευθύγραμμη διάδοση του φωτός σε ομογενές και ισότροπο μέσον. 2. Γεωμετρικό αξίωμα: Η ευθεία συντομότερη κάθε άλλης γραμμής με τα ίδια άκρα Το φως κατά την διάδοσή του μεταξύ δύο σημείων «ακολουθεί» την διαδρομή του ελαχίστου δρόμου. Ανάκλαση, i=r Διάθλαση, sin(i)*n =sin(θ)*n 2 i n θ n 2

8 Πρώτη απόδειξη του Νόμου της Ανάκλασης Γεωμετρική απόδειξη (Βάσει της αρχής του Ήρωνος)

9 Δεύτερη απόδειξη του Νόμου της Ανάκλασης = minimum

10 η διατύπωση της αρχής του Fermat (αρχή του ελαχίστου χρόνου) Κατά την μετάβαση του φωτός από ένα σημείο σε ένα άλλο αυτό ακολουθεί το δρόμο εκείνο που καθιστά το χρόνο της διαδρομής ελάχιστο. 2 η διατύπωση της αρχής του Fermat Εισαγωγικές έννοιες: ον : Δείκτης Διάθλασης «η» υλικού: η=c 0 /c (όπου c 0 η ταχύτητα του φωτός στο κενό & c η ταχύτητα του φωτός στο μέσον) 2 ον : Οπτικός Δρόμος : για διαστήματα: S, S 2,, S i, S n διανυόμενα με ταχύτητες: υ, υ 2,, υ i, υ n σε χρόνους: t, t 2,, t i, t n Ο ολικός χρόνος είναι: t n i t i n Si n i i Si c n i C n i n S i i

11 Η παράσταση n i n i S i ορίζεται σαν ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΡΟΜΟΣ (ΟΔ) Για συνεχώς μεταβαλλόμενο δείκτη διάθλασης n=n(s) (π.χ. η περίπτωση διάδοση του φωτός στην ατμόσφαιρα) η γενικότερη έκφραση του ΟΔ γίνεται: B A n ( S) ds Διατύπωση της 2 ης Αρχής του Fermat: Κατά την μετάβαση του φωτός από ένα σημείο σε ένα άλλο αυτό ακολουθεί την διαδρομή που αντιστοιχεί στον ελάχιστο ΟΔ σε σύγκριση με εκείνους γειτονικών ισοδυνάμων διαδρομών. ΟΔ d( ) dx 0 Για ένα σύνολο γειτονικών διαδρομών εκατέρωθεν του χ x 0 x Παρατήρηση: /c *(ΟΔ) έχει διαστάσεις χρόνου

12 Άσκηση: Γιατί είναι ισοδύναμες οι 2 διατυπώσεις της Αρχής του Fermat; Ελάχιστος χρόνος: dt dx 0 Ελάχιστος ΟΔ: t c d dx dt dx Η ύπαρξη γειτονικών ισοδυνάμων διαδρομών

13 0 0 x x f Και ότι επίσης η f(x) έχει ακρότατο στο x=x 0. Αναλύοντας κατά Taylor έχουμε:... ) ( 2 ) ( ) ( ) ( x x x f x x x f x f x f x x Επειδή το x 0 είναι ακρότατο, (δηλαδή ) θα μπορούσε να ληφθεί f(x) f(x 0 ) ή σε καλύτερη προσέγγιση ) ( ) ( x f x t c... ) ( 2 ) ( ) ( x x x f x f x f x Που σημαίνει ότι το f(x) είναι ισοδύναμο με το f(x 0 ) + όροι 2 ης τάξης. Δηλαδή, υπάρχει ένα σύνολο γειτονικών διαδρομών που οι αντίστοιχοι ΟΔ είναι ισοδύναμοι μεταξύ τους. Έστω ότι:

14 Απόδειξη του νόμου της Ανάκλασης με την Αρχή του Fermat Βάση της ης διατύπωσης της Αρχής του Fermat: η & 2 η είναι ισοδύναμες με τις αντίστοιχες αποδείξεις που βασίζονται στην Αρχή του Ήρωνος λαμβάνοντας υπ όψιν ότι σε ομογενή και ισότροπο χώρο [t=/c S], δηλαδή: t S c η : t=min S=min 2 η : dt/dx=min ds/dx=min

15 3 η απόδειξη βάση της 2 ης διατύπωσης της Αρχής του Fermat: Στην απόδειξη αυτή προσπαθούμε να χρησιμοποιήσουμε αποκλειστικά την έννοια του ΟΔ. (..) C (..) C n( AC) n( CB) n( AC ) n( C B) ( ) Φέρνω καθέτους από το σημείο C πάνω στην AC που τέμνει στο σημείο Α, και από το σημείο C πάνω στην BC που τέμνει την BC στο σημείο B (Σχήμα 85). Επομένως: C A AC & CB CB () (AA + A C) + CB = AC + (C B +B B) Θεωρούμε ως περίπου ίσα τα AA =AC και BB =BC. Επομένως προκύπτει A C=C B. Από τα τρίγωνα AC C και B C C προκύπτει C Csin i C Csin r, 0 (θεωρώντας ότι για C C, τότε η γωνία C BC 90 ) οπότε i r.

16 η απόδειξη: Σ αυτή την απόδειξη χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι το επίπεδο ACB είναι κάθετο στην επιφάνεια διάθλασης (Σχήμα 89) αφού για οποιοδήποτε άλλο σημείο πάνω στην επιφάνεια οι δημιουργούμενοι ΟΔ είναι μεγαλύτεροι. ΔΙΑΘΛΑΣΗ Έστω t ο χρόνος που χρειάζεται το φως για να διανύσει την απόσταση AC και t 2 ο χρόνος που χρειάζεται για να διανύσει την απόσταση CB. Έχουμε λοιπόν : t = t AC =(χ 2 + ψ 2 ) ½ v - και t 2 = t CB = [(X-x) 2 + Ψ 2 ] ½ v 2 - όπου v και v 2 οι εκάστοτε ταχύτητες του φωτός στα δύο μέσα με δείκτες διάθλασης η και η 2 αντίστοιχα. Ο ολικός χρόνος για να διανύσει την απόσταση ACB θα είναι: t=t + t 2. Πρέπει να ισχύει t = min dt/dx = 0, οπότε dt/dx = χv - (χ 2 + ψ 2 ) -½ - (Χ-χ)v - 2 [(Χ-χ) 2 + Ψ 2 ] -½ = 0 sin i / v = sin θ / v 2 Ομως ισχύει : c = n v και c = n 2 v 2 οπότε : n sin i c - = n 2 sin θ c - οπότε, n sin i n2 sin Υπολογίζοντας στη συνέχεια τη δεύτερη παράγωγο βρίσκουμε ότι αυτή είναι θετική. Πράγματι: d 2 t/dx 2 = ψ 2 (χ 2 + ψ 2)-3/2 v - + Ψ 2 [(Χ-χ) 2 + Ψ 2 ] -3/2 v - 2 >0 που σημαίνει ελάχιστο δρόμο. Παρατήρηση: Από την αρχή του Fermat προκύπτει ένα πολύ σημαντικό συμπέρασμα. Στο κενό ισχύει: n = c/c =, ενώ σε οποιοδήποτε άλλο μέσο ισχύει: n 2 = c/v 2 = sin i / sin θ. Μετρώντας πειραματικά τις γωνίες βρίσκεται ότι πάντα i>θ,επομένως : c v 2 δηλαδή η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι μέγιστη.

17 H παραπάνω έκφραση γνωστή ως νόμος του Snell αποτελεί το νόμο της διάθλασης. 2 η απόδειξη: Ζητείται η διαδρομή φωτός από το Α στο Β στο συντομότερο δυνατό χρόνο. Έστω C το ζητούμενο σημείο. Έστω επίσης C ένα γειτονικό σημείο. Υποθέτουμε ότι τα C και C είναι πολύ κοντά μεταξύ τους (Σχήμα 87). ΔΙΑΘΛΑΣΗ Κατά συνέπεια οι γωνίες : C AC, C BC θα είναι πολύ μικρές. Φέρνουμε βοηθητικά τις : C A AC και CB BC οπότε προσεγγιστικά προκύπτει: AC =AA και ΒC=ΒB. Βάσει της διατύπωσης της αρχής του Fermat, ότι δηλαδή «Η διαδρομή που θα ακολουθήσει το φως είναι εκείνη στην οποία ο οπτικός δρόμος είναι περίπου ίσος με τον οπτικό δρόμο όλων των πιθανών γειτονικών διαδρομών». Αν C και C δύο τέτοιες διαδρομές (σχ.88), τότε: ( O..) ( O..) C Κατά συνέπεια προκύπτει για C πολύ κοντά στο C (Σχήμα 87): η (AC)+η 2 (CB)=η (AC )+η 2 (C B) η (AA )+η (A C)+η 2 (CB)=η (AC )+η 2 (C B )+η 2 (B B)η (A C)=η 2 (C B ) η (C Csin i)=η 2 (C Csin θ) C n sin in 2 sin

18 Ανάκλαση: Αρχή του Huygens: Ανάκλαση και Διάθλαση 90 ο Β A 90 ο i r i r Α Β r t BB =t AA συνάγεται ότι: ΑΑ =ΒΒ Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΒ & ΑΑ Β είναι ίσα. Ως εκ τούτου οι γωνίες ΒΑΒ & Α Β Α είναι ίσες, δηλαδή, i=r

19 t BB =t AA συνάγεται ότι: ΒΒ /υ =ΑΑ /υ 2 () Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΒ & ΑΑ Β έχουν κοινή υποτίνουσα την ΑΒ Ως εκ τούτου ΑΑ =ΑΒ sin(δ) & BB =ΑΒ sin(i) (2) Από () & (2): υ 2 /υ =ΑΑ /ΒΒ = ΑΒ sin(δ) / ΑΒ sin(i) Οπότε (c/n 2 ) / (c/n ) = sin(δ) / sin(i), δηλαδή n sin(i) = n 2 sin(δ), νόμος του Snell Διάθλαση: 90 ο Β υ (η ) υ 2 (η 2 ) i i Α 90 ο δ Β δ Α

20 Εφαρμογές της Αρχής του Fermat. Αρχή της αντίστροφης πορείας διάδοσης του φωτός (Reciprocity Principle) σαν συνέπεια της Αρχής του Fermat Η διαδρομή συντομότερου χρόνου είτε προς την μία κατεύθυνση είτε προς την αντίστροφη είναι, βάσει της αρχής του Fermat, πάντοτε η ίδια (η ελαχίστη). 2. Παράλληλη μετατόπιση φωτός κατά την δίοδο του μέσα από ορθογώνια πλάκα (ομογενές και ισότροπο υλικό) Α n = n 2 =n i Β θ i 2 Β: sin(i )=n sin(θ ) Γ: n sin(i 2 )= sin(θ 2 ) Αλλά, θ =i 2 n = Γ θ 2 Β sin(i ) = sin(θ 2 ), συνεπώς i = θ 2, δηλαδή ΓΔ // ΑΒ Δ Το φως επιλέγει την διαδρομή ΒΓ αντί της ΒΒ ώστε να ελαχιστοποιεί το χρόνο μέσα στο υλικό (όπου η ταχύτητα είναι μικρότερη).

21 3. Η ταχύτητα c του φωτός είναι η μεγίστη στη φύση. Από την πειραματική διαπίστωση ότι θ<i και το νόμο του Snell προκύπτει ότι η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι η μεγίστη στη φύση. n = n 2 =n i θ Από θ<i συνάγεται ότι: sin(i)/sin(θ)> Από Snell: sin(i)=n sin(θ) n > Αλλά επειδή n=c/υ συνάγεται c > υ για κάθε υλικό μέσο. Άρα c το μέγιστο στη φύση

22 4. Φαινόμενη ανύψωση βυθού & Φαινόμενη απομάκρυνση του παρατηρητή A 2 h δ n n 2 h Ο h δ A 2 α δ A n 2 h α α O I β A n Σχήμα 9 Σχήμα20 5. Ορική γωνία Για i 2 > i τότε θ 2 > θ Όταν θ=90 ο τότε Από Snell: sin(i ορική )=/n θ θ 2 θ 3 =90 ο i i 2 i ορική Ολική ανάκλαση (i >i ορικό )

23 6. Ευθύγραμμη διάδοση του φωτός. ΑΒ i Α ΑΒ 0 Β Όλες οι πιθανές διαδρομές ΑΒ i αλληλοεξουδετερώνονται στο Β λόγω πλήθους διαφορετικών φάσεων με αποτέλεσμα να συμβάλουν καταστρεπτικά. Υπάρχει όμως και ένα σύνολο ισοδυνάμων γειτονικών διαδρομών προς την ΑΒ 0 που διαφέρουν κατά μέγεθος 2 ης τάξης που συμβάλλουν στο Β ενισχυτικά. Η ευθύγραμμη διαδρομή ΑΒ 0 είναι και η διαδρομή ελαχίστου χρόνου.

24 Α Επίπεδα Κάτοπτρα. Σχηματισμός ειδώλου φωτεινού σημείου Γ Γ 2 Ι α β α 2 β 2 Κ γ Β Β 2 Ακτίνα ΑΒ Γ α =β α 2 =β 2 Αλλά β 2 =γ οπότε ΑΙ=ΙΑ Α Α 2 Ακτίνα ΑΒ 2 Γ 2 ομοίως οπότε ΑΙ=ΙΑ 2, ο.κ.ε. Δηλαδή, το Είδωλο του Α ως προς το κάτοπτρο είναι το συμμετρικό σημείο Α Σημειωτέον, το Α είναι φανταστικό, ως τομή των προεκτάσεων των πραγματικών ανακλωμένων ακτίνων.

25 2. Σχηματισμός ειδώλου γραμμικού αντικειμένου Α Γ Β Ι Κ Α Γ Β Το είδωλο των ΑΒ είναι το Α Β. Προφανώς και κάθε ενδιάμεσο σημείο της ΑΒ δίνει αντίστοιχο είδωλο στο Α Β

26 3. Σχηματισμός ειδώλου αντικειμένου Α Β Γ Κ Οποιοδήποτε σχήμα μέσω επιπέδου κατόπτρου απεικονίζεται: ον σε συμμετρική θέση 2 ον πίσω από το κάτοπτρο (φανταστικό) 3 ον διατηρώντας τις διαστάσεις του Γ Α Β

27 Γενικές ιδιότητες ειδώλου γραμμικού αντικειμένου μέσω επιπέδου κατόπτρου. ον Ε (είδωλο) φανταστικό 2 ον Ε ορθό 3 ον Ε ίσο με το Αντικείμενο. Ορίζουμε ως μεγέθυνση m το πηλίκο της απόστασης (q) του Ε από το Κ προς την απόσταση (p) του αντικειμένου από το Κ m=q/p=-.

28 Εφαρμογές / Ασκήσεις ον φανταστικό Αντικειμένο πραγματικό Είδωλο μέσω επιπέδου κατόπτρου Α Α Β Β Δέσμη συγκλίνουσα πίσω από επίπεδο κάτοπτρο (φανταστικό Α) σχηματίζει πραγματικό είδωλο έμπροσθεν του κατόπτρου. 2 ον Σχέση αριστεράς προς δεξιά παλάμη Το επίπεδο κάτοπτρο αντιστρέφει το αριστερά-δεξιά αλλά όχι και το πάνω κάτω.

29 Άσκηση η : Όταν επίπεδο κάτοπτρο στραφεί κατά γωνία φ περί άξονα κάθετο στο επίπεδό του τότε η ανακλώμενη ακτίνα στρέφεται κατά γωνία 2φ φ Α φ α α Ο β β θ Γ Κ Λύση: θ=β -(β-φ)=β -β+φ Αλλά α =β & α=β θ=α -α+φ=φ+φ=2φ

30 Άσκηση 2 η : Σχηματισμός ειδώλου φωτεινού σημείου μέσω συστήματος δύο καθέτων επιπέδων κατόπτρων. Κ Σ Σ Ο Κ 2 Σ 3 Σ 2 Διαπιστώστε ότι τα σημεία Σ, Σ, Σ 2 & Σ 3 βρίσκονται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας ΟΣ. Δείξτε ότι το Σ 3 σχηματίζεται είτε από ανάκλαση πρώτα στο Κ και ακολούθως στο Κ 2 είτε αντίστροφα. (Συνολικά 3 είδωλα)

31 Άσκηση 3 η : Δείξτε ότι η ακτίνα προσπίπτουσα στο εσωτερικό συστήματος δύο καθέτων επιπέδων κατόπτρων με οποιαδήποτε γωνία εξέρχεται πάντα αντιπαράλληλος προς την αρχική. 2θ θ θ 90-θ 90-θ χ=2θ Από το σχήμα φαίνεται ότι: χ=80-2(90-θ)=2θ Συνεπώς προσπίπτουσα και ανακλώμενη είναι αντιπαράλληλες.

32 Σφαιρικά Κάτοπτρα Κάθε σημείο της επιφάνειας σφαιρικού κατόπτρου θεωρείται στοιχειώδες επίπεδο κάτοπτρο. Το γωνιακό άνοιγμα σφαιρικού κατόπτρου θεωρείται πολύ μικρό Κορυφή του κατόπτρου καλείται ένα σημείο Ο, που βρίσκεται στο κέντρο της επιφάνειας του σχήματος. Η ευθεία ΚΟ, που ενώνει την κορυφή με το κέντρο Κ της σφαίρας, ονομάζεται κύριος άξονας. Κάθε άλλη ευθεία που διέρχεται από το κέντρο Κ ονομάζεται δευτερεύων άξονας, ενώ η γωνία ΛΚΜ καλείται άνοιγμα του κατόπτρου. Η ακτίνα καμπυλότητας της σφαίρας είναι R και το κέντρο καμπυλότητας (όπως ονομάζεται το κέντρο της σφαίρας) συμβολίζεται με Κ.

33 K γ α β E f I O R Κάθε ακτίνα παράλληλη στον κύριο άξονα, που ανακλάται πάνω στο σφαιρικό κάτοπτρο διέρχεται από το σημείο Ε,που καλείται κύρια εστία του κατόπτρου. Η απόσταση της εστίας από το οπτικό κέντρο, καλείται εστιακή απόσταση f. Η εστιακή απόσταση f είναι, πάντοτε, ίση με το μισό της ακτίνας R της σφαίρας, δηλαδή είναι : f=r/2 α=β (από ανάκλαση), α=γ (εντός ενναλάξ), άρα β=γ, δηλαδή ΙΕ=ΕΚ Και επειδή το γωνιακό άνοιγμα είναι μικρό ΙΕ ΟΕ Οπότε ΟΕ=ΕΚ=f=R/2

34 Όταν η δέσμη προσπίπτει παράλληλα προς ένα δευτερεύοντα άξονα, οι ακτίνες, μετά την ανάκλαση, συνέρχονται σε ένα σημείο ε το οποίο βρίσκεται πάνω στο δευτερεύοντα άξονα. Το σημείο αυτό ονομάζεται δευτερεύουσα εστία.όταν μεταβάλλεται η διεύθυνση της προσπίπτουσας δέσμης δημιουργούνται διάφορες δευτερεύουσες εστίες, οι οποίες κατά προσέγγιση, βρίσκονται όλες εντός ενός επιπέδου, που είναι κάθετο στον κύριο άξονα και περνάει από την κύρια εστία Ε. Το επίπεδο αυτό ονομάζεται εστιακό επίπεδο. Τα κοίλα σφαιρικά κάτοπτρα χαρακτηρίζονται γενικά από μικρό γωνιακό άνοιγμα.

35 ΤΥΠΟΣ ΤΩΝ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΚΑΤΟΠΤΡΩΝ Απεικόνιση φωτεινού σημείου Α (εύρεση του ειδώλου Α ) μέσω κοίλου σφαιρικού κατόπτρου. Γεωμετρική απόδειξη

36

37

38 Γενικά περί σχηματισμού ειδώλου σε σφαιρικά κάτοπτρα : Πορεία χαρακτηριστικών ακτίνων σε σφαιρικά κάτοπτρα (ΣΚ) ΚΟΙΛΑ ΚΥΡΤΑ Ο Ε Κ 4 Ο Ε Κ 2 2

39 2. Σχηματισμός ειδώλου Ε γραμμικού αντικειμένου Α μέσω σφαιρικού κατόπτρου ΚΟΙΛΑ Β Τα τρίγωνα ΑΒΚ & Α Β Κ είναι όμοια: Ο Α Κ Α Α Β /ΑΒ = Α Κ/ΑΚ () Β Τα τρίγωνα ΑΒO & Α Β O είναι όμοια: Α Β /ΑΒ = ΟΑ /ΟΑ (2) q p Από τις () & (2) προκύπτει ΟΑ /ΟΑ = Α Κ/ΑΚ ή q/p=(r-q)/(p-r) απ όπου: /p+/q=2/r=/f Εγκάρσια γραμμική μεγέθυνση m A B/AB=-q/p

40 ΚΥΡΤΑ Τα τρίγωνα ΑΒO & Α Β O είναι όμοια: Α Β /ΑΒ = ΟΑ /ΟΑ () Τα τρίγωνα ΑΒΚ & Α Β Κ είναι όμοια: B Α Β /ΑΒ = Α Κ/ΑΚ (2) B A Ο A Ε Κ Από τις () & (2) προκύπτει ΟΑ /ΟΑ = Α Κ/ΑΚ ή q/p=(r-q)/(p+r) απ όπου: /p-/q=-2/r=-/f p q Εγκάρσια γραμμική μεγέθυνση m A B/AB=-q/p

41 Σύμβαση των σημείων για σφαιρικά κάτοπτρα Οι αποστάσεις Π.Α. θετικές (p>0), Φ.Α. αρνητικές (p<0) Οι αποστάσεις Π.E. θετικές (q>0), Φ.E. αρνητικές (q<0) Οι εστιακές αποστάσεις: για κοίλα Κ. θετικές (f>0), για κυρτά Κ. αρνητικές (f<0) Ενιαίος τύπος σφαιρικών κατόπτρων: /p + /q = 2/R = /f

42 ) Α πραγματικό (p>r) Ε πραγματικό (q>0) Διερεύνηση του τύπου των κατόπτρων 2) Α πραγματικό (f<p<r) Ε πραγματικό (q>0) Ο E Α Β Κ Β Α Ο E p Α Β Κ A q p q B 3) Α πραγματικό (p<f) Ε πραγματικό (q<0) B A q Ο p A B Ε Κ Παρατηρήσεις: ) Για p>r το Ε είναι πραγματικό, ανεστραμμένο, μικρότερο του Α και σχηματίζεται μεταξύ Ε και Κ 2) Για f<p<r το Ε είναι πραγματικό, ανεστραμμένο, μεγαλύτερο του Α και σχηματίζεται πέραν του Κ 3) Για p<f το Ε είναι φανταστικό, ορθό, μεγαλύτερο του Α και σχηματίζεται πίσω από το Κ (/p - /q = /f)

43 ΚΥΡΤΑ Β Β Α Ο Α Ε Κ p q Για κάθε p>0 το Ε είναι φανταστικό, ορθό, μικρότερο του Α και σχηματίζεται πίσω από το Κ: (/p - /q = -/f)

44 Διάθλαση από σφαιρική επιφάνεια (Σφαιρικό Δίοπτρο) ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΔΙΟΠΤΡΟ : Είδωλα μπορούν να σχηματιστούν από τη διάθλαση, την οποία μπορούν να υποστούν φωτεινές ακτίνες όταν διέρχονται από τη διαχωριστική επιφάνεια δύο υλικών με διαφορετικό δείκτη διάθλασης. Μια τέτοια διάταξη που περιλαμβάνει δύο μέσα (σε επαφή το ένα με το άλλο) διαφορετικού δείκτη διάθλασης εκ των οποίων το ένα έχει σφαιρικό σχήμα, καλείται σφαιρικό δίοπτρο. Θεωρούμε λοιπόν ότι έχουμε δύο διαφανή μέσα, που έχουν δείκτες διάθλασης η και η 2 αντίστοιχα και χωρίζονται από σφαιρική επιφάνεια ακτίνας R(Σχήμα 05). Υποθέτουμε ότι το αντικείμενο βρίσκεται στη θέση Α και εκπέμπει ακτίνες, οι οποίες είναι παραξονικές και σχηματίζουν μικρή γωνία μεταξύ τους και με τον κύριο άξονα. Αυτές οι ακτίνες, μετά τη διάθλασή τους στην σφαιρική επιφάνεια, εστιάζονται σε ένα σημείο Ι όπου σχηματίζεται το είδωλο.

45 Άρα, t (AIA ) =t (AOA ), δηλαδή οι δύο ακτίνες από το Α φτάνουν ταυτόχρονα στο Α

46 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΕΙΔΩΛΩΝ (φωτεινού σημείου από διαθλαστική επιφάνεια)

47 Σύμβαση των σημείων για σφαιρική διαθλαστική επιφάνεια. Οι αποστάσεις Π.Α. θετικές (p>0), Φ.Α. αρνητικές (p<0) Οι αποστάσεις Π.E. θετικές (q>0), Φ.E. αρνητικές (q<0) Οι ακτίνες καμπυλότητας R: για κυρτή επιφάνεια θετικές (R>0), για κοίλη επιφάνεια αρνητικές (R<0) Ενιαίος τύπος σφαιρικών κατόπτρων: n /p + n 2 /q = (n 2 -n )/R

48

49

50 Σχηματισμός Ειδώλου γραμμικού αντικειμένου Α μέσω κατόπτρου n = n 2 =n Β Β Α Α q p m = -np/pn=- Δηλαδή το Είδωλο είναι φανταστικό, ορθό, ίσο με το Αντικείμενο και πέραν της διαθλαστική επιφάνειας.

51 Σχηματισμός Ειδώλου γραμμικού αντικειμένου Α μέσω κατόπτρου n =n n 2 = Β Β Α Α p q m = -pn/np=- Δηλαδή το Είδωλο είναι φανταστικό, ορθό, ίσο με το Αντικείμενο και πλησίον της διαθλαστική επιφάνειας.

52 ΦΑΚΟΙ Φακός είναι ένα διαφανές μέσον που περιορίζεται από δύο εν γένει καμπύλες επιφάνειες (η μία εξ αυτών μπορεί να είναι και επίπεδη) Είδη Φακών Συγκλίνοντες Αποκλίνοντες

53 Βασικές πληροφορίες για φακούς Δ.A. R Ε f Ε Κ f O Κ 2 R 2 K.A.

54 Τύπος των κατασκευαστών των φακών n = Ι n 2 = A p h Κ O d O Ε O Ε R f n R 2 q Κ 2 B AI IB AO ' n( O ' O OO '') O '' B h h AO OB AO ' O '' B n( O ' O OO '') 2p 2q h h ( AO ' AO) ( O '' B OB) n( O ' O OO '') 2p 2q h h OO ' OO '' n( O ' O OO '') 2p 2q h h ( n )( O ' O OO '') 2p 2q h h h h ( n )( ) 2 p 2q 2R 2R 2

55 2 ) ( R R n q p Κ Κ 2 O Ε Ε f Ι h d O O A B p q R R 2 n = n 2 = n Τύπος των κατασκευαστών των φακών 2 ) (,, R R n f f q p Η εστιακή απόσταση f του φακού εξαρτάται από το υλικό του φακού και από τα γεωμετρικά του στοιχεία f I Καλείται Ισχύς του φακού

56 Μια άλλη εκδοχή της προηγούμενης απόδειξης του τύπου των κατασκευαστών των φακών είναι: t AIB 2 2 h h 2p 2q c t AOB d d nd d c c c 2 2 h h d OO ' OO '' 2R 2R n d c h h n h h c 2p 2q c 2R 2R ( n ) p q R R

57 Σύμβαση των σημείων για φακούς. Οι αποστάσεις Π.Α. θετικές (p>0), Φ.Α. αρνητικές (p<0) Οι αποστάσεις Π.E. θετικές (q>0), Φ.E. αρνητικές (q<0) Εστιακή απόσταση: για συγκλίνοντα φακό θετική (f>0), για αποκλίνοντα αρνητική (f<0) Ενιαίος τύπος των φακών: /p + /q = (n-)(/r +/R 2 ) =/f

58 Συγκλίνων φακός : Πραγματικό Ε (p>f) 2: Φανταστικό Ε (p<f) Β Α Α Ε p Ο Ε q Α Β Β Α Ε Β q Ο p Ε p q f Είδωλο Πραγματικό, Ανεστραμμένο (m>0) Από τα όμοια τρίγωνα ΑΒΟ & Α Β Ο Προκύπτει ότι: m A' B' AB A' O AO q p p q f Είδωλο Φανταστικό, Ορθό ΠΑΝΤΑ > Α (m<0)

59 Αποκλίνων φακός : Φανταστικό Ε (p > f) 2: Φανταστικό Ε (p < f) Β Α p Β Ε Α p q Ο q f Ε Β Ε Α Β Α p q Ο Ε Είδωλο Φανταστικό, Ορθό ΠΑΝΤΑ < Α m<0 Είδωλο Φανταστικό, Ορθό ΠΑΝΤΑ < Α m<0

60 Άσκηση η : Να δειχθεί ότι η απόσταση δ μεταξύ ενός αντικειμένου και του πραγματικού του ειδώλου μέσω λεπτού συγκλίνοντος φακού, είναι πάντοτε μεγαλύτερη του τετραπλασίου της f του φακού. [2 η διατύπωση: Μεταξύ φωτεινού αντικειμένου ΑΒ και οθόνης «Κ» η απόσταση είναι ΑΚ=δ. Δείξτε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικές θέσεις μεταξύ ΑΒ και Κ όπου συγκλίνων φακός τοποθετούμενος σχηματίζει πραγματικό είδωλο επί της οθόνης. Ποιο το ανώτατο όριο της εστιακής απόστασης αυτού του φακού;] Β Α Λύση: Ε p 2 Απ όπου: p q f 0 δ Η λύση της οποίας είναι: Βρείτε τη λύση ως προς q f q Ε Α Β (Κ) p,2 p q f p q p p f f

61 Διερεύνηση: () Εάν Δ>0, δηλαδή, δ 2-4fδ >0 ή δ>4f τότε έχουμε δύο λύσεις και μάλιστα θετικές αφού (δ 2-4fδ >0) ήτοι υπάρχουν δύο θέσεις του φακού για τις οποίες λαμβάνουμε πραγματικό είδωλο επί της οθόνης (2) Εάν Δ=0, δηλαδή, δ 2-4fδ =0 ή δ=4f, ήτοι υπάρχει μία μόνο θέση του φακού (p,2 =p=d/2) για την οποία έχουμε πραγματικό είδωλο επί της οθόνης. Προφανώς, η θέση αυτή βρίσκεται στο δ/2. (3) Εάν Δ<0, δηλαδή, δ 2-4fδ <0 ή δ<4f, τότε οι λύσεις είναι μιγαδικές και απορρίπτονται. Δηλαδή, για δ<4f δεν υπάρχει πραγματικό είδωλο. Συμπεράσματα: () Εάν δ>4f έχουμε πραγματικό είδωλο για 2 τιμές του p. (2) Για να έχουμε πραγματικό είδωλο πρέπει δ 4f (ανώτατο όριο της εστιακής απόστασης του φακού είναι f max =δ/4)

62 Άσκηση 2 η : Ένας συγκλίνων φακός f=20cm απέχει d=80 cm από επίπεδο κάτοπτρο. Γραμμικό αντικείμενο ΑΒ=0cm βρίσκεται έμπροσθεν του φακού. (α) Να βρεθεί η θέση και το ύψος του τελικού ειδώλου μετά από διάθλαση μέσω του φακού και ανάκλαση από το κάτοπτρο. (β) Να λυθεί η ίδια άσκηση για d=40 cm Λύση: (Κ) (α) A B Ε > f d=80 cm Ε p q B p 2 q 2 B A A Φακός: p q f 30cm q 20cm q 60cm Κάτοπτρο: p2 d q 80cm 60cm 20cm q2 20cm A'' B'' A'' B'' A' B' m m mk AB A' B' AB Μεγέθυνση: q q2 60cm 20cm m 2 A'' B'' 20cm p p 30cm 20cm 2 Το τελικό είδωλο είναι φανταστικό, ανεστραμμένο, μεγέθους 20cm και βρίσκεται 20cm πίσω του Κ

63 (β) (Κ) d=40 cm A B Ε > f B Ε q 2 p 2 B p A A Φακός: p q f 30cm q q q 20cm 60cm Κάτοπτρο: Μεγέθυνση: m m p2 d q 40cm 60cm 20cm q2 20cm p2 20cm A'' B'' A'' B'' A' B' m mk AB A' B' AB q q2 60cm 20cm 2 A'' B'' p p 30cm 20cm 2 20cm Το τελικό είδωλο είναι πραγματικό, ανεστραμμένο, μεγέθους 20cm και βρίσκεται 20cm έμπροσθεν του Κ

64 Άσκηση 3 η : Δύο συγκλίνοντες φακοί εστιακών αποστάσεων f=20cm & f2=60cm, απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=80cm. Αντικείμενο ΑΒ=0cm τοποθετείται σε απόσταση p=30cm έμπροσθεν του πρώτου φακού. Ζητείται το είδος, η θέση και το μέγεθος του τελικού ειδώλου. Λύση: B Α d=80 cm > Ε Ε Α 2 A f Ο Ε 2 p 2 Ο 2 p q Β p q f 30cm 20cm Β 2 q 2 ος Φακός: q 60cm q 2 ος Φακός: p d q 80cm 60cm 20cm 2 p 2 q 2 f 2 20cm q 2 60cm q 2 30cm

65 Μεγέθυνση: m m A2 B AB q p 2 q p 2 2 A2 B A B 2 A B AB 60cm 30cm 30cm 20cm m m 2 3 A B cm Το τελικό είδωλο είναι φανταστικό, ανεστραμμένο, μεγέθους 30cm και βρίσκεται μεταξύ των δύο φακών. B Α d=80 cm > Ε Ε Α 2 A f Ο Ε 2 p 2 Ο 2 p q Β 2 q 2 Β

66 Γενικό συμπέρασμα: Η τελική μεγέθυνση συστήματος φακών, συστήματος κατόπτρων, ή συστήματος φακών/κατόπτρων είναι ίση με το γινόμενο των επιμέρους μεγεθύνσεων.