ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ"

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 4-5 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Νίκος Κυλάφης Πανεπιστήµιο Κρήτης //4 Σελίδα από 55

2 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Το µάθηµα της Γενικής Φυσικής Ι θα γίνεται κάθε ευτέρα και Τετάρτη : 3: και κάθε Παρασκευή : 4: Λόγω ακαδηµαϊκών υποχρεώσεων του διδάσκοντα, δυο ή τρία δίωρα δεν θα γίνουν σύµφωνα µε το Πρόγραµµα Η αναπλήρωσή τους θα γίνει από τον διδάσκοντα συγκεκριµένες ευτέρες, 8: : Οι ηµεροµηνίες αυτές θα ανακοινωθούν εγκαίρως από τον διδάσκοντα στην αίθουσα διδασκαλίας Σχετικά µε τις εξετάσεις του µαθήµατος, θα υπάρξουν δυο Πρόοδοι και ένα Τελικό ιαγώνισµα: η Πρόοδος: ευτέρα, 3 Νοεµβρίου 4, 8: 9: Θα εξεταστεί η ύλη των πέντε πρώτων εβδοµάδων η Πρόοδος: ευτέρα, 8 εκεµβρίου 4, 8: 9: Θα εξεταστεί η ύλη των επόµενων πέντε εβδοµάδων Τελικό ιαγώνισµα: Σύµφωνα µε το Πρόγραµµα Εξετάσεων Ιανουαρίου Κάθε Πρόοδος µετράει % του τελικού βαθµού και το Τελικό ιαγώνισµα µετράει 6% του τελικού βαθµού Προόδους θα δώσουν µόνο οι πρωτοετείς φοιτητές Οι φοιτητές των άλλων ετών θα δώσουν µόνο το τελικό διαγώνισµα Σελίδα από 55

3 Παράγωγος συνάρτησης: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η παράγωγος της συνάρτησης f ( ορίζεται ως: f ( = df ( d li f ( + f ( ιαφορικό συνάρτησης: Σχηµατίζοµε τι διαφορά f = f ( + f ( f ( + f ( = Στο όριο έχοµε το διαφορικό της συνάρτησης f ( Αόριστο ολοκλήρωµα: df df d = f ( d d dg( Έστω ότι f ( = = g ( Το αόριστο ολοκλήρωµα της f ( ορίζεται ως: d dg( f ( g( d d d = dg = Παραδείγµατα αορίστων ολοκληρωµάτων: Αν C είναι αυθαίρετη σταθερά, τότε: e d = e + C, a e d = e + C, a a a d = a+ a+ + C, a, d = ln + C, sin a d = cos a+ C, a Σελίδα 3 από 55

4 cos a d = sin a+ C a Ορισµένο ολοκλήρωµα: dg( Έστω ότι f ( = = g ( Το ορισµένο ολοκλήρωµα της f ( από = a µέχρι d = b ορίζεται ως: b a b dg( f ( d d = dg( = g( b) g( a) d a b a Σελίδα 4 από 55

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Η Μηχανική, όπως και η Ευκλείδεια Γεωµετρία, είναι Αξιωµατική Επιστήµη Ο Ευκλείδης έθεσε το αξίωµα ότι «από σηµείο εκτός ευθείας άγεται µια µόνο παράλληλος προς την ευθεία» Όλα τα θεωρήµατα, πορίσµατα και προβλήµατα της Ευκλείδειας Γεωµετρίας αποδεικνύονται αν δεχτούµε ότι ισχύει αυτό το αξίωµα Κατά όµοιο τρόπο, όλα τα θέµατα της Νευτώνειας Μηχανικής αποδεικνύονται αν δεχτούµε δυο αξιώµατα: Τον εύτερο και τον Τρίτο Νόµο του Νεύτωνα Ο Πρώτος Νόµος του Νεύτωνα είναι υποπερίπτωση του εύτερου Σκοπός αυτών των σηµειώσεων είναι να παρουσιάσουν τη Μηχανική ως Αξιωµατική Επιστήµη Έτσι, µε τη χρήση ιαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισµού θα αποδείξοµε όλα τα συµπεράσµατα της Μηχανικής Ορισµός: Σηµειακή µάζα ή υλικό σηµείο λέγεται η µάζα που δεν έχει διαστάσεις Είναι ένα νοητό κατασκεύασµα, αφού τα σώµατα που έχουν µάζα έχουν και διαστάσεις Όταν λοιπόν λέµε υλικό σηµείο µάζας θα εννοούµε ένα σώµα µε µάζα αλλά όλη η µάζα περιορίζεται σε ένα σηµείο Αξίωµα ή εύτερος Νόµος του Νεύτωνα: Αν σε υλικό σηµείο δρα µια δύναµη, τότε το γινόµενο της µάζας του υλικού σηµείου επί την επιτάχυνσή του ισούται µε τη δύναµη Αξίωµα ή Τρίτος Νόµος του Νεύτωνα: Αν δυο υλικά σηµεία και αλληλεπιδρούν, τότε η δύναµη που ασκεί το στο είναι ίση και αντίθετη µε αυτήν που ασκεί το στο Προσοχή: εν ισχύουν οι νόµοι του Νεύτωνα για εκτεταµένα στερεά σώµατα Επίσης, οι νόµοι του Νεύτωνα ισχύουν µόνο για παρατηρητές που είτε είναι ακίνητοι είτε κινούνται µε σταθερή ταχύτητα Αυτοί οι παρατηρητές λέγονται αδρανειακοί και το σύστηµα συντεταγµένων που χρησιµοποιούν λέγεται αδρανειακό Θα δούµε παρακάτω τι συµβαίνει όταν ένα στερεό σώµα έχει διαστάσεις ή όταν ο παρατηρητής δεν είναι αδρανειακός Ας µην ξεχνάµε, ότι ως όντα πάνω στη Γη, που περιστρέφεται περί τον άξονά της, δεν είµαστε αδρανειακοί παρατηρητές! Οι αδρανειακοί παρατηρητές είναι νοητοί παρατηρητές Σελίδα 5 από 55

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονοδιάστατες κινήσεις Το κύριο θέµα της Μηχανικής είναι η µελέτη της κίνησης σωµάτων όταν σ αυτά δρουν δυνάµεις Χάριν ευκολίας, πρώτα θα εξετάσοµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου πάνω σε µια ευθεία γραµµή, δηλαδή πάνω σε έναν άξονα, ας πούµε τον άξονα Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας που κινείται πάνω στον άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F Μας δίνεται ότι κάποια δεδοµένη στιγµή, ας πούµε =, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση και είχε ταχύτητα u Θέλοµε να βρούµε τη θέση του ( για όλους τους επόµενους χρόνους, δηλαδή > Σηµείωση: Σχεδόν σε όλα τα προβλήµατα της Μηχανικής, που θα εξετάσοµε σ αυτό το µάθηµα, θα µας δίνεται η δύναµη, η αρχική θέση και η αρχική ταχύτητα τού υλικού σηµείου και θα µας ζητείται η θέση τού σηµείου για όλους τους επόµενους χρόνους Άλλωστε, µε γνώση της θέσης τού υλικού σηµείου σε κάθε χρονική στιγµή έχοµε πλήρη γνώση της κίνησής του Πχ, για την ταχύτητά του αρκεί να παραγωγίσοµε τη συνάρτηση τής θέσης του Για κίνηση πάνω στον άξονα, η θέση του υλικού σηµείου είναι µια συνάρτηση του d( χρόνου (, η ταχύτητά του είναι η παράγωγος της θέσης του u ( = = ( d και η επιτάχυνσή του είναι η παράγωγος της ταχύτητάς του ή η δεύτερη παράγωγος du( d ( της θέσης του a ( = = u ( = = ( Έτσι, ο εύτερος Νόµος του d d Νεύτωνα λέει ή ή a= F () du( = F d () d ( = F d (3) Η δύναµη F δεν είναι απαραιτήτως σταθερή Μπορεί να εξαρτάται από τον χρόνο, τη θέση τού υλικού σηµείου, την ταχύτητά του και άλλα Ας γράψοµε λοιπόν F (,,) Έτσι, η εξίσωση (3), δηλαδή ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα, γίνεται d ( = F(,,) (4) d Ό,τι θέλοµε να µάθοµε για την κίνηση του υλικού σηµείου πρέπει να το µάθοµε από την εξίσωση (4) Άρα, για να µάθοµε τη θέση ( του υλικού σηµείου, πρέπει µε Σελίδα 6 από 55

7 κάποιο τρόπο να λύσοµε την εξίσωση (4) Επειδή η εξίσωση (4) έχει διαφορικά, λέγεται διαφορική εξίσωση Σε αντίθεση µε τις αλγεβρικές εξισώσεις, πχ που έχει λύσεις τούς αριθµούς a + b + c=, b± b 4ac =, a η διαφορική εξίσωση (4) έχει λύσεις συναρτήσεις ( Με άλλα λόγια, η εξίσωση (4) µας λέει το εξής: Από όλες τις συναρτήσεις του κόσµου (, θέλοµε εκείνη που όταν την παραγωγίσοµε δυο φορές ως προς τον χρόνο και την πολλαπλασιάσοµε µε τη µάζα να µας κάνει τη δύναµη F (,, ) Άρα, όλα τα προβλήµατα κίνησης υλικού σηµείου πάνω στον άξονα ανάγονται στην εξεύρεση της κατάλληλης ( Συνεπώς, αρκεί να µάθοµε πώς να βρίσκοµε την κατάλληλη ( για κάθε F (,, ) που µας δίνεται Αυτό ακριβώς θα κάνοµε παρακάτω Σελίδα 7 από 55

8 Σταθερές δυνάµεις Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας που κινείται πάνω στον άξονα υπό την επίδραση της σταθερής δύναµης F Η δύναµη F είναι αλγεβρική, δηλαδή µπορεί να είναι θετική ή αρνητική εν χρειάζεται να ξέροµε το πρόσηµό της Το αποτέλεσµα που θα βρούµε θα ισχύει τόσο για θετικές όσο και για αρνητικές F Ας θεωρήσοµε ότι την αρχική χρονική στιγµή =, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση και είχε ταχύτητα u Κι αυτές είναι αλγεβρικές ποσότητες Θέλοµε να βρούµε τη θέση του υλικού σηµείου για >, δηλαδή θέλοµε να βρούµε την ( Ζωγραφίζοµε τον άξονα µε φορά προς τα δεξιά και θεωρούµε ότι την τυχούσα χρονική στιγµή το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση ( Βάσει του εύτερου Νόµου του Νεύτωνα γράφοµε ή ή d ( = F d (5) du( = F d (6) du( F = d (7) Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (7) µε d και έχοµε du( F d = d (8) d Το αριστερό µέλος της εξίσωσης (8) είναι το διαφορικό της συνάρτησης u ( Έτσι γράφοµε F du = d (9) Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή u και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Σελίδα 8 από 55

9 Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (9) Το ολοκλήρωµα του αριστερού µέλους είναι u και το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους είναι γράφοµε F Έτσι F u ( = + c, () όπου c είναι µια αυθαίρετη πραγµατική σταθερά της ολοκλήρωσης Η u (, που δίνεται από την εξίσωση (), είναι λύση της εξίσωσης (6) και λέγεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (6) Αυτό µπορεί εύκολα να επαληθευτεί Αν βάλοµε τη λύση () στη διαφορική εξίσωση (6), βλέποµε ότι όντως την επαληθεύει, δηλαδή βρίσκοµε ότι F = F Η λύση () πρέπει να ισχύει για όλες τις χρονικές στιγµές, άρα και για την αρχική χρονική στιγµή = Θέτοντας = στην εξίσωση () έχοµε F u ( ) = + c Αλλά, µας δόθηκε από τις αρχικές συνθήκες ότι u ( ) = u Συνεπώς, c = u Με άλλα λόγια, από την αρχική συνθήκη u ( ) = u προσδιορίσαµε την αυθαίρετη σταθερά c Έτσι, η ζητούµενη ταχύτητα του υλικού σηµείου σε κάθε χρονική στιγµή είναι F u ( = + u () Για =, µας δίνει όντως ότι η ταχύτητα του υλικού σηµείου είναι u Η λύση () είναι η λύση του δοθέντος προβλήµατος µε τη δοθείσα αρχική συνθήκη u ( ) = u Λόγω του ότι η ταχύτητα είναι η χρονική παράγωγος της θέσης, η () γράφεται d( d F = + u () Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης () µε d και έχοµε d( F d = d+ ud (3) d Το αριστερό µέλος της εξίσωσης (3) είναι το διαφορικό της συνάρτησης ( Έτσι γράφοµε F d= d+ ud (4) Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Σελίδα 9 από 55

10 Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (4) Το ολοκλήρωµα του F αριστερού µέλους είναι και το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους είναι u + Έτσι γράφοµε F ( = + u+ c, (5) όπου c είναι µια αυθαίρετη πραγµατική σταθερά της ολοκλήρωσης Η (, που δίνεται από την εξίσωση (5), είναι λύση της εξίσωσης (5) και λέγεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (5) Αυτό µπορεί εύκολα να επαληθευτεί Αν βάλοµε τη λύση (5) στη διαφορική εξίσωση (5), βλέποµε ότι όντως την επαληθεύει, δηλαδή βρίσκοµε ότι F = F Η λύση (5) πρέπει να ισχύει για όλες τις χρονικές στιγµές, άρα και για την αρχική χρονική στιγµή = Θέτοντας = στην εξίσωση (5) έχοµε F ( ) = + c+ c Αλλά, µας δόθηκε από τις αρχικές συνθήκες ότι ( ) = Συνεπώς, c = Με άλλα λόγια, από την αρχική συνθήκη ( ) = προσδιορίσαµε την αυθαίρετη σταθερά c Έτσι, η ζητούµενη θέση του υλικού σηµείου σε κάθε χρονική στιγµή είναι F ( = + u+ (6) Για =, µας δίνει όντως ότι η θέση του υλικού σηµείου είναι Η λύση (6) είναι η λύση του δοθέντος προβλήµατος µε τις δοθείσες αρχικές συνθήκες u ( ) = u και ( ) = Παρατήρηση: Τη διαφορική εξίσωση (7) τη λύσαµε µε τη βοήθεια αορίστου ολοκληρώµατος και την εισαγωγή αυθαιρέτου σταθεράς c, την οποία υπολογίσαµε από την αρχική συνθήκη u ( ) = u Εξίσου καλά θα µπορούσαµε να λύσοµε τη διαφορική εξίσωση (7) µε τη βοήθεια ορισµένου ολοκληρώµατος Τα όρια ολοκλήρωσης είναι, για µεν την ταχύτητα, από την αρχική ταχύτητα u µέχρι την τυχούσα ταχύτητα u, για δε τον χρόνο, από την αρχική χρονική στιγµή µέχρι την τυχούσα χρονική στιγµή Έτσι, ολοκληρώνοντας κατά µέλη την εξίσωση (9) έχοµε u du= d u u = ( ) u( = + u F F που είναι η εξίσωση () Οµοίως, από την εξίσωση (4) έχοµε µε ολοκλήρωση κατά µέλη F u, Σελίδα από 55

11 F d= d+ ud = F + u = F + u +, που είναι η εξίσωση (6) Παράδειγµα : Υλικό σηµείο µάζας βρίσκεται στον κατακόρυφο άξονα z στη θέση z= z και ξεκινά τη χρονική στιγµή = την κίνησή του στον άξονα z µε αρχική ταχύτητα u= u Οι ποσότητες z και u είναι αλγεβρικές Στο υλικό σηµείο δρα η σταθερή δύναµη βαρύτητας της Γης, που έχει µέτρο F = g Α) Να σχεδιασθεί ο κατακόρυφος άξονας z µε φορά προς τα κάτω (δηλαδή η φορά του µοναδιαίου διανύτσµατος kˆ είναι προς τα κάτω) και να γραφεί η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου Β) Να λυθεί η εξίσωση κίνησης για την ταχύτητα και τη θέση του υλικού σηµείου στη γενική περίπτωσή της και να εφαρµοστούν σ αυτήν οι αρχικές συνθήκες Γ) Τι αλλάζει στα ερωτήµατα Α και Β αν πάρετε την αντίθετη φορά για τον άξονα z από αυτή που πήρατε στο ερώτηµα Α; Λύση: A) Ζωγραφίζοµε τον άξονα z µε φορά προς τα κάτω και θεωρούµε ότι την τυχούσα χρονική στιγµή το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση z ( Αυτό σηµαίνει ότι η δύναµη της βαρύτητας, που είναι προς τα κάτω, είναι θετική Έτσι, από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα γράφοµε την εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου d z( = g (7) d B) Ακολουθώντας τα βήµατα που κάναµε παραπάνω για τη σταθερή δύναµη F, γράφοµε du du = g d = g d du = g d du = g d+ c u( = g + c d d, (8) Σελίδα από 55

12 όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Αν θέλοµε, µπορούµε να προσδιορίσοµε τη σταθερά c χρησιµοποιώντας την αρχική συνθήκη u ( ) = u Αυτό όµως δεν είναι απαραίτητο να γίνει τώρα Από τον ορισµό της ταχύτητας έχοµε u( = dz d z= g = g + c d+ c dz d = g d+ cd dz = g d+ cd d d+ c z( = g + c + c, (9) όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες έχοµε u ) = u = g + c c =, () ( u z ( ) = z = g + c+ c c = z () Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος µε τις δοθείσες αρχικές συνθήκες, είναι z( = z u( = u + u + + g g, () Ω του θαύµατος!!! Χρησιµοποιώντας το πρώτο Αξίωµα της Μηχανικής, δηλαδή τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα, βρήκαµε τις γνωστές µας σχέσεις για τη θέση και την ταχύτητα υλικού σηµείου που κινείται πάνω στον κατακόρυφο άξονα z υπό την επίδραση σταθερού πεδίου βαρύτητας Οι εξισώσεις () περιγράφουν κατακόρυφη βολή µε αρχική ταχύτητα u Αν u >, η βολή είναι προς τα κάτω, δηλαδή προς τη θετική φορά του άξονα z Αν u <, η βολή είναι προς τα πάνω, δηλαδή προς την αρνητική φορά του άξονα z Γ) Αν πάροµε τον άξονα z να έχει φορά προς τα πάνω, τότε επειδή η δύναµη του βάρους είναι προς τα κάτω, σηµαίνει ότι η δύναµη είναι αρνητική, δηλαδή g! Έτσι, η εξίσωση κίνησης πρέπει να γραφεί ως d z = g d και η λύση της για τις δοθείσες αρχικές συνθήκες είναι (3) Σελίδα από 55

13 z( = z u( = u + u g g, (4) Παρατήρηση: Τόσο η λύση () όσο και η λύση (4) είναι σωστές Το πώς παίρνοµε τη φορά του άξονα είναι δική µας επιλογή Επιλέγοµε τη φορά που µας βολεύει Πάντως, λύση άσκησης Μηχανικής, χωρίς να πούµε ποια είναι η φορά του άξονα, δεν νοείται Σελίδα 3 από 55

14 υνάµεις εξαρτώµενες από τον χρόνο Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας που κινείται πάνω στον άξονα υπό την επίδραση της γενικής δύναµης F = F( Συγκεκριµένα παραδείγµατα θα δούµε πιο κάτω Ας θεωρήσοµε ότι την αρχική χρονική στιγµή =, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση και είχε ταχύτητα u Θέλοµε να βρούµε τη θέση του υλικού σηµείου για >, δηλαδή θέλοµε να βρούµε την ( Ζωγραφίζοµε τον άξονα µε φορά προς τα δεξιά και θεωρούµε ότι την τυχούσα χρονική στιγµή το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση ( Βάσει του εύτερου Νόµου του Νεύτωνα γράφοµε ή ή d ( = F( d (5) du( = F( d (6) du( = F( d (7) Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (7) µε d και έχοµε du( d = F( d (8) d Το αριστερό µέλος της εξίσωσης (8) είναι το διαφορικό της συνάρτησης u ( Έτσι γράφοµε du = F( d (9) Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή u και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη και έχοµε u ( = F( d+ c = G( + c, (3) Σελίδα 4 από 55

15 όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά και G ( είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της F ( Λόγω του ότι η ταχύτητα είναι η χρονική παράγωγος της θέσης, η (3) γράφεται d( d = G( + c (3) Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (3) µε d και έχοµε d( d = G( d+ cd (3) d Το αριστερό µέλος της εξίσωσης (3) είναι το διαφορικό της συνάρτησης ( Έτσι γράφοµε d= G( d+ cd (33) Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (33) Το ολοκλήρωµα του αριστερού µέλους είναι και το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους είναι G( d c H ( c + = +, όπου γράψαµε ότι H ( = G d ( ) Έτσι γράφοµε ( = H ( + c+ c, (34) όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Οι σταθερές c και c µπορούν να προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες u ( ) = u και ( ) = Παρατήρηση: Πρέπει να έχει ήδη γίνει αντιληπτό ότι η γενική λύση της ταχύτητας, που προκύπτει από µια ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης, έχει µια αυθαίρετη σταθερά ενώ η γενική λύση της θέσης, που προκύπτει από δυο ολοκληρώσεις της εξίσωσης κίνησης, έχει δυο αυθαίρετες σταθερές Οι σταθερές αυτές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες Παρότι η γενική λύση (34) είναι µια, αυτή περιγράφει άπειρα (!) προβλήµατα ιαφορετικές αρχικές συνθήκες οδηγούν σε διαφορετικές λύσεις Παράδειγµα : Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F = F ( / ), µε, όπου F, είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = > και έχει ταχύτητα u = u > Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Σελίδα 5 από 55

16 Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Γ) Τι αλλάζει αν κάποιος σας πει ότι οι ποσότητες, u είναι αρνητικές; Λύση: Α) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι: du = d F du d = F du= F d F 3 du = d c u( c + = + 3 F Η τελευταία γράφεται ως d d = F c 3 3 F F d = d+ cd d= d+ c d+ c F = + c + c (, όπου c,c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες έχοµε u = u( 4 F = ) = F ) = c c Σελίδα 6 από 55 = u F, 3 F u F 3 ( c c c Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος µε τις δοθείσες αρχικές συνθήκες είναι = F 3 u( = u + ( 3 3 ),

17 F F 4 ( = + u ( ) ( ) + ( 3 Η λύση γράφτηκε µε αυτόν τον τρόπο ώστε να φαίνεται αµέσως ότι για = ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες Β) Όντως για = έχουµε u ( ) = u και ( ) = Όλοι οι όροι στην έκφραση της ταχύτητας u ( έχουν διαστάσεις ταχύτητας διότι η δύναµη έχει διαστάσεις µάζα (Μ) µήκος (L) / χρόνος (T) Πχ, ο όρος L M F 3 έχει διαστάσεις T 3 L T = Τα σύµβολα M, L, T προέρχονται από τις 3 M T T λέξεις Mass, Lengh, Tie Οµοίως, όλοι οι όροι στην έκφραση της θέσης ( έχουν διαστάσεις µήκους Να ελέγξετε όλους τους όρους 3 Επειδή η δύναµη τείνει στο ± (ανάλογα µε το πρόσηµο της F ) καθώς, περιµένοµε ότι και η ταχύτητα του υλικού σηµείου και η θέση του θα τείνουν στο ± Όντως, για F, u ( ) = και ( ) = > Γ) Τίποτε Τα αποτελέσµατα είναι αλγεβρικά Αντικαθιστούµε ό,τι τιµές θέλοµε στα, u 4 ) Παράδειγµα 3: Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F = F /, µε, όπου F, είναι σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = και έχει ταχύτητα u= u Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση Α) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι: Σελίδα 7 από 55

18 d d du d du = F, d F F F d F = du= d ( ) du = + c u = + c F F F d + c d= d+ cd d= + c d+ c F ( = ln + c+ c, > = Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες έχουµε:, u = u( = ( F ) = F ) = F + c c = u + F ( = ln+ u ln + u F + + c c F + = + c F +, ln > u F + Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι: u( = u ( = + + F F ln, + u F + ( ), Β) Όντως για = έχουµε u ( ) = u και ( ) = Όλοι οι όροι της ταχύτητας u ( έχουν διαστάσεις ταχύτητας Εσείς να το επαληθεύσετε Οµοίως, όλοι οι όροι της θέσης ( έχουν διαστάσεις µήκους Πχ, L M T F ο όρος έχει διαστάσεις µήκους T T = L M Η ποσότητα που λογαριθµίζεται δεν έχει διαστάσεις, όπως πρέπει 3 Επειδή η δύναµη τείνει στο µηδέν σχετικά γρήγορα (ως / ) καθώς, περιµένουµε ότι η ταχύτητα του υλικού σηµείου θα τείνει σε µια οριακή τιµή και η F θέση του θα τείνει στο άπειρο Όντως, u( ) = u + και ( ) = Στο αποτέλεσµα για το ( ο γραµµικός όρος υπερισχύει του λογαριθµικού Παράδειγµα 4: Υλικό σηµείο µάζας βρίσκεται ακίνητο στη θέση = Για r r δρα πάνω του η δύναµη F = ( F / ) iˆ για και F = ( F / iˆ για Σελίδα 8 από 55

19 <, όπου F, είναι σταθερές µε κατάλληλες µονάδες και î είναι το µοναδιαίο διάνυσµα στον άξονα Α) Να βρεθεί η ταχύτητα του υλικού σηµείου για όλες τις τιµές του > Β) Σταµατά ποτέ το υλικό σηµείο και αν ναι πότε; Γ) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση: Α) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι du d du d = F = F,, < Πρώτα θα λύσοµε την εξίσωση κίνησης για du d F F 3 = du= d du d c u( c = + = +, 3 F F όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης για Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες έχοµε u ( ) = c = Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος για είναι F ( ) 3 u = Παρατηρούµε ότι 3 F u( ) = 3 Αυτή είναι η αρχική ταχύτητα για τη µελέτη της κίνησης του υλικού σηµείου για > Τώρα θα λύσουµε την εξίσωση κίνησης για > du d F F F = du = d du = d F + A u( = ln + A, όπου A είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης για > Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες (δηλαδή για = ) έχοµε Σελίδα 9 από 55

20 F F F F u ( ) = ln + A= A= + ln 3 3 Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος για > είναι: F u ( = ln + 3 Β) Από τη λύση του προβλήµατος για > παρατηρούµε ότι για να γίνει η ταχύτητα µηδέν πρέπει F ln F + 3 = ή ln = 3 / ή e 3 = Γ) Οι αρχικές συνθήκες ικανοποιούνται διότι u ( ) = και u( ) = F / 3 Όλοι οι όροι της ταχύτητας έχουν όντως διαστάσεις ταχύτητας Εσείς να το επαληθεύσετε 3 Για, u ( ) =, διότι η δύναµη τείνει στο µηδέν µε αργό τρόπο, δηλαδή F / Άσκηση : Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την / επίδραση της δύναµης F = Fe, όπου F, είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = και έχει ταχύτητα u= u Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Απάντηση: Α) u( = u ( = F + F / ( e ) / F ( e ) + u + F u( ) = u + Β3) ( ) = Σελίδα από 55

21 Άσκηση : Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F = F ( / + / ), µε, όπου F, είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = > και έχει ταχύτητα u = u > Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Γ) Τι αλλάζει αν κάποιος σας πει ότι οι ποσότητες, u είναι αρνητικές; Απάντηση: u( = u Α) ( = F + 3 ( + u ( 3 3 F ) + F ) + 3 (, F ) + ( 4 4 F ) + ln Η λύση γράφτηκε µε αυτόν τον τρόπο ώστε να φαίνεται αµέσως ότι για = ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες Άσκηση 3: Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την / επίδραση της δύναµης F = F ( / + e ), µε, όπου F, είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = και έχει ταχύτητα u = Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Απάντηση: u( = ( = F F e 4 / + e / +, + Η λύση γράφτηκε µε αυτόν τον τρόπο ώστε να φαίνεται αµέσως ότι α) για = ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες και β) οι όροι µέσα στις παρενθέσεις είναι αδιάστατοι Άσκηση 4: Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F = F sin( ω, όπου F,ω είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και κυκλικής συχνότητας αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = και έχει ταχύτητα u = u > Σελίδα από 55

22 Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Απάντηση: F u( = u + ( cos( ω ) ω F ( = + u+ ( ω sin( ω ) ω Και εδώ η λύση γράφτηκε µε τέτοιο τρόπο ώστε οι όροι στην παρένθεση να είναι αδιάστατοι Β3) Η δύναµη είναι περιοδικά µεταβαλλόµενη (στην προκειµένη περίπτωση η δύναµη είναι αρµονική συνάρτηση) Αυτό σηµαίνει ότι η ταχύτητα θα είναι η αρχική u συν µια αρµονικά µεταβαλλόµενη ποσότητα Από τη λύση βλέποµε ότι η αρµονικά µεταβαλλόµενη ποσότητα βρίσκεται πάντοτε µεταξύ των τιµών και F /( ) Έτσι η ταχύτητα του υλικού σηµείου µεταβάλλεται αρµονικά µεταξύ ω των τιµών u και u + F /( ) Με άλλα λόγια, το υλικό σηµείο έχει µεταφορική ταχύτητα u + F /( ω) και επιπλέον αρµονική ταχύτητα µε πλάτος F /( ) Η θέση όµως του υλικού σηµείου για απειρίζεται διότι ανά πάσα ω ω στιγµή το υλικό σηµείο κινείται µε ταχύτητα τουλάχιστον u Σελίδα από 55

23 3 υνάµεις εξαρτώµενες από την ταχύτητα Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας που κινείται πάνω στον άξονα υπό την επίδραση της γενικής δύναµης F = F(u), όπου u είναι η στιγµιαία ταχύτητα του υλικού σηµείου Συγκεκριµένα παραδείγµατα θα δούµε πιο κάτω Ας θεωρήσοµε ότι την αρχική χρονική στιγµή =, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση και είχε ταχύτητα u Θέλοµε να βρούµε την ταχύτητα και τη θέση του υλικού σηµείου για > Ζωγραφίζοµε τον άξονα µε φορά προς τα δεξιά και θεωρούµε ότι την τυχούσα χρονική στιγµή το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση ( Βάσει του εύτερου Νόµου του Νεύτωνα γράφοµε ή du = F(u) (35) d du = F( u) (36) d Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (36) µε d και έχοµε du = F( u) d (37) ιαιρούµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (37) µε F (u) και έχοµε du = d (38) F( u) Ο λόγος που το κάναµε αυτό είναι για να χωρίσοµε τις µεταβλητές Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή u και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη της (38) και έχοµε du F( u) d+ = c Σελίδα 3 από 55 (39) Το αριστερό µέλος της (39) είναι µια συνάρτηση της ταχύτητας, ας πούµε I (u) Έτσι γράφοµε

24 I ( u) = + c (4) και, αν η I (u) δεν είναι πολύπλοκη συνάρτηση, λύνοµε την (4) ως προς u συναρτήσει του Μετά συνεχίζοµε όπως στα προηγούµενα (βλ εξισώσεις έως 5) Παράδειγµα 5: Μια βάρκα (θεωρούµενη σαν υλικό σηµείο) µάζας σύρεται σε µια λίµνη σε ευθεία γραµµή (ας πούµε τον άξονα ) υπό την επίδραση µιας σταθερής δύναµης F > Η τριβή του νερού είναι µια δύναµη που αντιτίθεται στην κίνηση και είναι ανάλογη της ταχύτητας της βάρκας µε σταθερά αναλογίας > Α) Να σχεδιάσετε τον οριζόντιο άξονα µε όποια φορά θέλετε και να γράψετε την εξίσωση κίνησης της βάρκας Β) Να βρείτε την ταχύτητα της βάρκας για >, αν για = η βάρκα ήταν ακίνητη Γ) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση: Α) Η εξίσωση κίνησης της βάρκας είναι Β) du d du d = F u F du du du = u = d = d d c, F F u u F = + u F F όπου c είναι πραγµατική σταθερά Συνεπώς, ln u F = + c ln u F = c u F = e e c όπου τη θετική σταθερά e c / u = c F e, µε αυθαίρετο πρόσηµο τη γράψαµε ως πραγµατική c e σταθερά c Με άλλα λόγια, η αυθαίρετη σταθερά c είναι ίση µε ± και την εισαγάγαµε χάριν ευκολίας Συνεπώς, Σελίδα 4 από 55

25 F = ( c e u Αυτή είναι η γενική λύση για την ταχύτητα Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες F έχοµε: u ( ) = ( c) = c = Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι F u( e =, Γ) Όντως, για = έχοµε u ( ) = Η δύναµη τριβής είναι F = u Άρα οι διαστάσεις του είναι L M δύναµη/ταχύτητα, δηλαδή T = L T το εκθετικό είναι αδιάστατο ενώ το τρ M T Με αυτές τις διαστάσεις, παρατηρούµε ότι F / έχει διαστάσεις ταχύτητας Έτσι, όλοι οι όροι της u( έχουν διαστάσεις ταχύτητας, δηλαδή L/T 3 Για, u ( ) = F / Αυτό είναι αναµενόµενο, διότι λόγω τριβής η βάρκα αποκτά οριακή ταχύτητα Παρατήρηση: Η άσκηση δεν µας το ζητάει, αλλά αν θέλαµε να υπολογίσοµε τη θέση της βάρκας ως συνάρτηση του χρόνου θα γράφαµε d d e F = και θα προχωρούσαµε όπως στα παραπάνω (βλ εξισώσεις έως 5) Παράδειγµα 6: Ένας αλεξιπτωτιστής (θεωρούµενος σαν υλικό σηµείο) µάζας πέφτει κατακόρυφα από ύψος h Θεωρήστε, χάριν ευκολίας, ότι ο αλεξιπτωτιστής ήταν αρχικά ( = ) ακίνητος Η τριβή του αέρα είναι µια δύναµη που αντιτίθεται στην κίνηση και είναι ανάλογη της ταχύτητας του αλεξιπτωτιστή µε σταθερά αναλογίας > Α) Να σχεδιάσετε τον κατακόρυφο άξονα z µε όποια φορά θέλετε και να γράψετε την εξίσωση κίνησης του αλεξιπτωτιστή Β) Να βρείτε την ταχύτητα του αλεξιπτωτιστή για > Γ) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση: Α) Ας θεωρήσοµε τον άξονα z προς τα πάνω είτε το επόµενο παράδειγµα για άξονα z προς τα κάτω Σελίδα 5 από 55

26 du Η εξίσωση κίνησης του αλεξιπτωτιστή είναι d αλεξιπτωτιστή είναι προς τα κάτω, γι αυτό το γράψαµε ως = g u Το βάρος του g Η τριβή του αέρα αντιτίθεται στην κίνηση, δηλαδή έχει πρόσηµο αντίθετο της ταχύτητας, γι αυτό γράψαµε Β) du d ln u g u, χωρίς να µας νοιάζει αν η ταχύτητα είναι θετική ή αρνητική = g u g u du u+ g + = + c ln du = d = d g u + g u g + = g ( ) + = = c e u c e, + c u g g + = e du = u + g e c d+ c όπου c,c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Αυτή είναι η γενική λύση για την ταχύτητα Εφαρµόζοντας την αρχική συνθήκη έχοµε: g = u () = ( c ) c = Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι Το g / u ( = e, / στον εκθέτη έχει διαστάσεις χρόνου (διότι από τη σχέση F = u τρ οι διαστάσεις του είναι δύναµη/ταχύτητα, δηλαδή Μ/T) και λέγεται χαρακτηριστικός χρόνος Ο εκθέτης γράφτηκε µε αυτόν τον τρόπο ώστε να φαίνεται αµέσως ότι είναι αδιάστατος Γ) Όντως, για = έχοµε u ( ) = Το g / έχει διαστάσεις ταχύτητας Να το ελέγξετε Οι όροι στην παρένθεση δεν έχουν διαστάσεις 3 Αν το h είναι αρκετά µεγάλο, η πτώση του αλεξιπτωτιστή θα διαρκέσει πολύ χρόνο Άρα εξετάζοµε τη λύση για Βλέποµε ότι για, έχοµε u ( ) = g / Αυτό είναι αναµενόµενο, διότι η δύναµη τριβής µεγαλώνει κατά µέτρο όσο µεγαλώνει η ταχύτητα του αλεξιπτωτιστή Μετά από πάροδο αρκετού χρόνου (δηλαδή χρόνου αρκετά µεγαλύτερου από τον χαρακτηριστικό χρόνο Σελίδα 6 από 55

27 / /, ώστε το εκθετικό e να τείνει στο µηδέν), η δύναµη τριβής εξισορροπεί τη βαρύτητα Έτσι ο αλεξιπτωτιστής µετά την πάροδο χρόνου αρκετά µεγαλύτερου από τον χαρακτηριστικό χρόνο αποκτά οριακή ταχύτητα Η οριακή αυτή ταχύτητα είναι αρνητική, διότι ο αλεξιπτωτιστής κινείται προς τα κάτω ενώ η θετική φορά του άξονα είναι προς τα πάνω Παράδειγµα 7: Υλικό σηµείο µάζας βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα u Στο υλικό σηµείο δρουν η σταθερή βαρύτητα και η τριβή του αέρα που είναι ανάλογη της ταχύτητας του υλικού σηµείου µε σταθερά αναλογίας > Να βρεθεί η ταχύτητα του υλικού σηµείου για > Λύση: Ας θεωρήσοµε σ αυτή την άσκηση τον άξονα z προς τα κάτω du Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι d σηµείου είναι προς τα κάτω, γι αυτό το γράψαµε ως = g u Το βάρος του υλικού + g Η τριβή του αέρα αντιτίθεται στην κίνηση, δηλαδή έχει πρόσηµο αντίθετο της ταχύτητας, γι αυτό γράψαµε u, χωρίς να µας νοιάζει αν η ταχύτητα είναι θετική ή αρνητική, δηλαδή αν το υλικό σηµείο κινείται προς τα κάτω ή προς τα πάνω du d ln u g = g u g u du u g = + c ln du = d = d g u g u g = g ( ) = = + c e u c e, + c u g g du = u g = e e c d+ c όπου c,c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Αυτή είναι η γενική λύση για την ταχύτητα Εφαρµόζοντας την αρχική συνθήκη έχοµε: g u u = u() = (+ c) c = g Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι Σελίδα 7 από 55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ταλαντώσεις Στο Παράδειγµα 9 είδαµε τη µελέτη της κίνησης υλικού σηµείου µάζας, που βρίσκεται στο ένα άκρο ελατηρίου µε το άλλο άκρο του ελατηρίου σταθερό Θα επανεετάσοµε το ίδιο πρόβληµα εδώ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Συστήµατα µεταβλητής µάζας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Συστήµατα µεταβλητής µάζας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Συστµατα µεταβλητς µάζας Μέχρι τώρα µελετσαµε την κίνηση υλικού σηµείου µε συγκεκριµένη µάζα m, η οποία παραµένει σταθερ. Θα εξετάσοµε τώρα την περίπτωση που η µάζα δεν είναι σταθερ, αλλά µεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παγκόσµια έλξη ύναµη µεταξύ υλικών σηµείων Σε ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων θεωρούµε δυο σηµειακές µάζες και Η µάζα είναι ακίνητη στην αρχή των αξόνων και η µάζα βρίσκεται στη διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ιατήρηση ορµής Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες και και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ε_3.Φλ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο απαντητικό φύλλο τον αριθµό της πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 3, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης

Εργασία 3, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης Εργασία ΦΥΕ 4-4 Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Ένας κυκλικός δίσκος µάζας M και ακτίνας R µπορεί να περιστρέφετε χωρίς τριβές γύρω από έναν οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ένα αβαρές νήµα είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI).

1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI). 1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI). Να βρείτε: α. το πλάτος της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. β.

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Σοφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περισοφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς Πριν το κάνοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24 Εκφώνηση άσκησης 6. Ένα σώμα, μάζας m, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχοντας ολική ενέργεια Ε. Χωρίς να αλλάξουμε τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, προσφέρουμε στο σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς Στην Εισαγωγή στη Μηχανική, πριν το Κεφάλαιο 1, είδαµε ότι ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα ισχύει µόνο για αδρανειακούς παρατηρητές, δηλαδή για παρατηρητές που είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 6 Ιανουαρίου, Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα - ( μονάδες) Ένα όχημα, μαζί με ένα κανόνι που είναι ακλόνητο πάνω σε αυτό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση Κεφάλαιο 1 Κίνηση σε μία διάσταση Κινηματική Περιγράφει την κίνηση, αγνοώντας τις αλληλεπιδράσεις με εξωτερικούς παράγοντες που ενδέχεται να προκαλούν ή να μεταβάλλουν την κίνηση. Προς το παρόν, θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

υ r 1 F r 60 F r A 1

υ r 1 F r 60 F r A  1 2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. 4.2.1. Θεώρηµα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. ΘΜΚΕ. Ένα σώµα µάζας m=2kg ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε µια στιγµή δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύνα- µης, το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Το έργο μίας από τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα. α. είναι μηδέν όταν το σώμα είναι ακίνητο β. έχει πρόσημο το οποίο εξαρτάται από τη γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος. σώματος αλλά και συστήματος. Μια καλοκαιρινή περιπλάνηση. Τα δυο σώµατα Α και Β µε ίσες µάζες g, ηρεµούν όπως στο σχήµα, ό- που το ελατήριο έχει σταθερά 00Ν/, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h0,45 από το έδαφος.

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 05 Έργο και Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ102 1 Όταν μια δύναμη δρα σε ένα σώμα που κινείται,

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ).

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ). 1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ). *1. Μια κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004)

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004) Άσκηση (Μονάδες ) 4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: -5-4) Α) Αστροναύτης µάζας 6 Κg βρίσκεται µέσα σε διαστηµόπλοιο που κινείται µε σταθερή ταχύτητα προς τον Άρη. Σε κάποιο σηµείο του ταξιδιού βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Σάββατο 12 Νοεμβρίου Απλή Αρμονική Ταλάντωση - Κρούσεις. Σύνολο Σελίδων: Επτά (7) - Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες. Θέμα Α.

Σάββατο 12 Νοεμβρίου Απλή Αρμονική Ταλάντωση - Κρούσεις. Σύνολο Σελίδων: Επτά (7) - Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες. Θέμα Α. Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Νοεμβρίου 016 Απλή Αρμονική Ταλάντωση - Κρούσεις Σύνολο Σελίδων: Επτά (7) - Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Ονοματεπώνυμο: Θέμα Α. Στις ημιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα m=1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνεται στο σχήμα.

1. Ένα σώμα m=1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνεται στο σχήμα. Γενικές ασκήσεις Θέματα εξετάσεων από το 1ο κεφάλαιο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Ένα σώμα m=1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνεται στο σχήμα α Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις Α1 έως Α3 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: Α1. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

7. Ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η σταθερά επαναφοράς συστήματος είναι.

7. Ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η σταθερά επαναφοράς συστήματος είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) 6α. Σφαίρα μάζας ισορροπεί δεμένη στο πάνω άκρο κατακόρυφου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 01 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 01 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Σελίδα από ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ () ΘΕΜΑ Α Α. Με την πάροδο του χρόνου και καθώς τα αμορτισέρ ενός αυτοκινήτου παλιώνουν και φθείρονται:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Κυλιόµενος κύλινδρος πέφτει πάνω σε οριζόντιο στερεωµένο ελατήριο. 3 m/sec. Να εξετάσετε στην περίπτωση αυτή αν, τη

Κυλιόµενος κύλινδρος πέφτει πάνω σε οριζόντιο στερεωµένο ελατήριο. 3 m/sec. Να εξετάσετε στην περίπτωση αυτή αν, τη Κυλιόµενος κύλινδρος πέφτει πάνω σε οριζόντιο στερεωµένο ελατήριο m υ ο k R Α Ο οµογενής κύλινδρος του σχήµατος έχει µάζα m = 8 kg, ακτίνα R και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο έτσι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν δίνονται οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα σώμα, υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και από τη σχέση (ΣF=m.α ) την επιτάχυνσή του.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Ε_3.Φλ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο απαντητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ. Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ. Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2. ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί απλή αρμονική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ.) Τ ι γνωρίζετε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Σε πολλές περιπτώσεις ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, δηλαδή συμμετέχει σε περισσότερες από μία κινήσεις. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17-10-11 ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΣΕΙΡΑ Α Θέµα 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 19 Ταλαντώσεις Απλή αρμονική κίνηση ΦΥΣ102 1 Ταλαντώσεις Ελατηρίου Όταν ένα αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

F Στεφάνου Μ. 1 Φυσικός

F Στεφάνου Μ. 1 Φυσικός F 1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν δίνονται οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα σώμα, υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και από τη σχέση (ΣF=m.α ) την επιτάχυνσή του. Αν ασκούνται σε αρχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. Διαφορά μετρήσεων από εκτιμήσεις μετρήσεων. Όταν επιλύοµε ένα αντίστροφο πρόβληµα υπολογίζοµε ένα διάνυσµα παραµέτρων est m το οποίο αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης

Εργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης Εργασία ΦΥΕ - N Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Θεωρήστε ότι στα σηµεία υπάρχουν τέσσερα φορτία το καθένα Α Να βρεθεί το ηλεκτρικό δυναµικό που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο του άξονα Β Να βρεθεί η ένταση του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΝΤΕΛΗ. Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 29, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ

ΠΕΝΤΕΛΗ. Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 29, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ Τάξη Μάθημα Εξεταστέα ύλη Γ Λυκείου Φυσικη κατευθυνσης ΠΕΝΤΕΛΗ Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 29, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ- ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ- ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ σύγχρονο Φάσµα Group προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. µαθητικό φροντιστήριο Γραβιάς 85 ΚΗΠΟΥΠΟΛΗ 50.51.557 50.56.296 25ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 50.27.990 50.20.990 25ης Μαρτίου 74 Πλ.ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ 50.50.658

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις Α. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Να γράψετε στο φύλλο των απαντήσεών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναµικό-Δυναµική ενέργεια

Δυναµικό-Δυναµική ενέργεια Διάλεξη 5η Δυναµικό-Δυναµική ενέργεια Σε προηγούµενο κεφάλαιο εξετάσαµε την περίπτωση µονοδιάστατης κίνησης σε πεδίο δυνάµεων εξαρτώµενο από τη θέση Είδαµε ότι υπάρχει τότε µια ιδιόµορφη ποσότητα που διατηρείται:

Διαβάστε περισσότερα

Περι - Φυσικής. Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 17 Μάη Θέµα Α. Ενδεικτικές Λύσεις

Περι - Φυσικής. Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 17 Μάη Θέµα Α. Ενδεικτικές Λύσεις Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 17 Μάη 2015 Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η επιτάχυνση ενός κινητού εκφράζει το : (ϐ) πόσο γρήγορα µεταβάλλεται η ταχύτητά του. Α.2. Οταν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ

ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ Έργο και Ενέργεια ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ Έστω ένα σωμάτιο πάνω στο οποίο εξασκείται μια σταθερή δύναμη F. Έστω ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη κατά την διεύθυνση του διανύσματος F. Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 6 Ιανουαρίου, Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση Γενικές Οδηγίες: ) Είναι πολύ

Διαβάστε περισσότερα

Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο

Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Το πρόβλημά μας είναι να προσδιορίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων του εκκρεμούς στο πρόβλημα που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα υπό την προϋπόθεση ότι η δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αμελητέας μάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Διατήρηση ορμής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Διατήρηση ορμής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Διατρηση ορμς Ας θεωρσομε δυο υλικά σημεία και, με μάζες και αντιστοίχως, που βρίσκονται την τυχούσα χρονικ στιγμ στις αντίστοιχες διανυσματικές ακτίνες r και r και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο διατήρησης της ορµής πρέπει:

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο διατήρησης της ορµής πρέπει: Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο διατήρησης της ορµής πρέπει: Να γνωρίζει ποιες δυνάµεις λέγονται εσωτερικές και ποιες εξωτερικές ενός συστήµατος σωµάτων. Να γνωρίζει ποιο σύστηµα λέγεται µονωµένο.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς σ τ ι ς μ η χ α ν ι κ έ ς τ α λ α ν τ ώ σ ε ι ς

Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς σ τ ι ς μ η χ α ν ι κ έ ς τ α λ α ν τ ώ σ ε ι ς Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς σ τ ι ς μ η χ α ν ι κ έ ς τ α λ α ν τ ώ σ ε ι ς 1. Δύο σώματα ίδιας μάζας εκτελούν Α.Α.Τ. Στο διάγραμμα του σχήματος παριστάνεται η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε κάθε σώμα σε συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 013-014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ( ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ( ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 013-014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ( ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συναρτησιακού (functional).

Η έννοια του συναρτησιακού (functional). ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (CALCULUS OF VARIATIONS) Η έννοια του συναρτησιακού (fnctionl). Ορισµός : Εάν σε κάθε συνάρτηση που ανήκει σε κάποιο χώρο συναρτήσεων A, αντιστοιχεί µέσω κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΛΑΓΙΑ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΛΑΓΙΑ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΠΛΑΓΙΑ ΚΡΟΥΣΗ.. Σώμα που κινείται με κάποια ταχύτητα που σχηματίζει γωνία ως προς το κεκλιμένο επίπεδο συγκρούεται πλαστικά με άλλο σώμα δεμένο στο άκρο οριζοντίου ελατηρίου. Ξύλινο

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση ΙΙ - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση ΙΙ - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση ΙΙ - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η απλή αρµονική ταλάντωση είναι κίνηση : (δ) ευθύγραµµη περιοδική Α.2. Σώµα εκτελεί απλή αρµονική

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ Α ΚΑΙ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Από τη Φυσική της Α' Λυκείου

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ Α ΚΑΙ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Από τη Φυσική της Α' Λυκείου ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ Α ΚΑΙ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Από τη Φυσική της Α' Λυκείου Δεύτερος νόμος Νεύτωνα, και Αποδεικνύεται πειραματικά ότι: Η επιτάχυνση ενός σώματος (όταν αυτό θεωρείται

Διαβάστε περισσότερα

Όπου m είναι η μάζα του σώματος και υ η ταχύτητά του.

Όπου m είναι η μάζα του σώματος και υ η ταχύτητά του. 1 ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΙΣΧΥΣ Η ενέργεια είναι από εκείνες τις έννοιες που δύσκολα ορίζονται στη Φυσική. Ένα σώμα μπορεί να έχει, να παίρνει ή να δίνει ενέργεια. Η ίδια η ενέργεια μπορεί να μετατρέπεται από μια

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Ταλαντώσεις Θέμα Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Α1. Αν μεταβληθεί η ολική ενέργεια της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα