ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ"

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 4-5 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Νίκος Κυλάφης Πανεπιστήµιο Κρήτης //4 Σελίδα από 55

2 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Το µάθηµα της Γενικής Φυσικής Ι θα γίνεται κάθε ευτέρα και Τετάρτη : 3: και κάθε Παρασκευή : 4: Λόγω ακαδηµαϊκών υποχρεώσεων του διδάσκοντα, δυο ή τρία δίωρα δεν θα γίνουν σύµφωνα µε το Πρόγραµµα Η αναπλήρωσή τους θα γίνει από τον διδάσκοντα συγκεκριµένες ευτέρες, 8: : Οι ηµεροµηνίες αυτές θα ανακοινωθούν εγκαίρως από τον διδάσκοντα στην αίθουσα διδασκαλίας Σχετικά µε τις εξετάσεις του µαθήµατος, θα υπάρξουν δυο Πρόοδοι και ένα Τελικό ιαγώνισµα: η Πρόοδος: ευτέρα, 3 Νοεµβρίου 4, 8: 9: Θα εξεταστεί η ύλη των πέντε πρώτων εβδοµάδων η Πρόοδος: ευτέρα, 8 εκεµβρίου 4, 8: 9: Θα εξεταστεί η ύλη των επόµενων πέντε εβδοµάδων Τελικό ιαγώνισµα: Σύµφωνα µε το Πρόγραµµα Εξετάσεων Ιανουαρίου Κάθε Πρόοδος µετράει % του τελικού βαθµού και το Τελικό ιαγώνισµα µετράει 6% του τελικού βαθµού Προόδους θα δώσουν µόνο οι πρωτοετείς φοιτητές Οι φοιτητές των άλλων ετών θα δώσουν µόνο το τελικό διαγώνισµα Σελίδα από 55

3 Παράγωγος συνάρτησης: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η παράγωγος της συνάρτησης f ( ορίζεται ως: f ( = df ( d li f ( + f ( ιαφορικό συνάρτησης: Σχηµατίζοµε τι διαφορά f = f ( + f ( f ( + f ( = Στο όριο έχοµε το διαφορικό της συνάρτησης f ( Αόριστο ολοκλήρωµα: df df d = f ( d d dg( Έστω ότι f ( = = g ( Το αόριστο ολοκλήρωµα της f ( ορίζεται ως: d dg( f ( g( d d d = dg = Παραδείγµατα αορίστων ολοκληρωµάτων: Αν C είναι αυθαίρετη σταθερά, τότε: e d = e + C, a e d = e + C, a a a d = a+ a+ + C, a, d = ln + C, sin a d = cos a+ C, a Σελίδα 3 από 55

4 cos a d = sin a+ C a Ορισµένο ολοκλήρωµα: dg( Έστω ότι f ( = = g ( Το ορισµένο ολοκλήρωµα της f ( από = a µέχρι d = b ορίζεται ως: b a b dg( f ( d d = dg( = g( b) g( a) d a b a Σελίδα 4 από 55

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Η Μηχανική, όπως και η Ευκλείδεια Γεωµετρία, είναι Αξιωµατική Επιστήµη Ο Ευκλείδης έθεσε το αξίωµα ότι «από σηµείο εκτός ευθείας άγεται µια µόνο παράλληλος προς την ευθεία» Όλα τα θεωρήµατα, πορίσµατα και προβλήµατα της Ευκλείδειας Γεωµετρίας αποδεικνύονται αν δεχτούµε ότι ισχύει αυτό το αξίωµα Κατά όµοιο τρόπο, όλα τα θέµατα της Νευτώνειας Μηχανικής αποδεικνύονται αν δεχτούµε δυο αξιώµατα: Τον εύτερο και τον Τρίτο Νόµο του Νεύτωνα Ο Πρώτος Νόµος του Νεύτωνα είναι υποπερίπτωση του εύτερου Σκοπός αυτών των σηµειώσεων είναι να παρουσιάσουν τη Μηχανική ως Αξιωµατική Επιστήµη Έτσι, µε τη χρήση ιαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισµού θα αποδείξοµε όλα τα συµπεράσµατα της Μηχανικής Ορισµός: Σηµειακή µάζα ή υλικό σηµείο λέγεται η µάζα που δεν έχει διαστάσεις Είναι ένα νοητό κατασκεύασµα, αφού τα σώµατα που έχουν µάζα έχουν και διαστάσεις Όταν λοιπόν λέµε υλικό σηµείο µάζας θα εννοούµε ένα σώµα µε µάζα αλλά όλη η µάζα περιορίζεται σε ένα σηµείο Αξίωµα ή εύτερος Νόµος του Νεύτωνα: Αν σε υλικό σηµείο δρα µια δύναµη, τότε το γινόµενο της µάζας του υλικού σηµείου επί την επιτάχυνσή του ισούται µε τη δύναµη Αξίωµα ή Τρίτος Νόµος του Νεύτωνα: Αν δυο υλικά σηµεία και αλληλεπιδρούν, τότε η δύναµη που ασκεί το στο είναι ίση και αντίθετη µε αυτήν που ασκεί το στο Προσοχή: εν ισχύουν οι νόµοι του Νεύτωνα για εκτεταµένα στερεά σώµατα Επίσης, οι νόµοι του Νεύτωνα ισχύουν µόνο για παρατηρητές που είτε είναι ακίνητοι είτε κινούνται µε σταθερή ταχύτητα Αυτοί οι παρατηρητές λέγονται αδρανειακοί και το σύστηµα συντεταγµένων που χρησιµοποιούν λέγεται αδρανειακό Θα δούµε παρακάτω τι συµβαίνει όταν ένα στερεό σώµα έχει διαστάσεις ή όταν ο παρατηρητής δεν είναι αδρανειακός Ας µην ξεχνάµε, ότι ως όντα πάνω στη Γη, που περιστρέφεται περί τον άξονά της, δεν είµαστε αδρανειακοί παρατηρητές! Οι αδρανειακοί παρατηρητές είναι νοητοί παρατηρητές Σελίδα 5 από 55

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονοδιάστατες κινήσεις Το κύριο θέµα της Μηχανικής είναι η µελέτη της κίνησης σωµάτων όταν σ αυτά δρουν δυνάµεις Χάριν ευκολίας, πρώτα θα εξετάσοµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου πάνω σε µια ευθεία γραµµή, δηλαδή πάνω σε έναν άξονα, ας πούµε τον άξονα Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας που κινείται πάνω στον άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F Μας δίνεται ότι κάποια δεδοµένη στιγµή, ας πούµε =, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση και είχε ταχύτητα u Θέλοµε να βρούµε τη θέση του ( για όλους τους επόµενους χρόνους, δηλαδή > Σηµείωση: Σχεδόν σε όλα τα προβλήµατα της Μηχανικής, που θα εξετάσοµε σ αυτό το µάθηµα, θα µας δίνεται η δύναµη, η αρχική θέση και η αρχική ταχύτητα τού υλικού σηµείου και θα µας ζητείται η θέση τού σηµείου για όλους τους επόµενους χρόνους Άλλωστε, µε γνώση της θέσης τού υλικού σηµείου σε κάθε χρονική στιγµή έχοµε πλήρη γνώση της κίνησής του Πχ, για την ταχύτητά του αρκεί να παραγωγίσοµε τη συνάρτηση τής θέσης του Για κίνηση πάνω στον άξονα, η θέση του υλικού σηµείου είναι µια συνάρτηση του d( χρόνου (, η ταχύτητά του είναι η παράγωγος της θέσης του u ( = = ( d και η επιτάχυνσή του είναι η παράγωγος της ταχύτητάς του ή η δεύτερη παράγωγος du( d ( της θέσης του a ( = = u ( = = ( Έτσι, ο εύτερος Νόµος του d d Νεύτωνα λέει ή ή a= F () du( = F d () d ( = F d (3) Η δύναµη F δεν είναι απαραιτήτως σταθερή Μπορεί να εξαρτάται από τον χρόνο, τη θέση τού υλικού σηµείου, την ταχύτητά του και άλλα Ας γράψοµε λοιπόν F (,,) Έτσι, η εξίσωση (3), δηλαδή ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα, γίνεται d ( = F(,,) (4) d Ό,τι θέλοµε να µάθοµε για την κίνηση του υλικού σηµείου πρέπει να το µάθοµε από την εξίσωση (4) Άρα, για να µάθοµε τη θέση ( του υλικού σηµείου, πρέπει µε Σελίδα 6 από 55

7 κάποιο τρόπο να λύσοµε την εξίσωση (4) Επειδή η εξίσωση (4) έχει διαφορικά, λέγεται διαφορική εξίσωση Σε αντίθεση µε τις αλγεβρικές εξισώσεις, πχ που έχει λύσεις τούς αριθµούς a + b + c=, b± b 4ac =, a η διαφορική εξίσωση (4) έχει λύσεις συναρτήσεις ( Με άλλα λόγια, η εξίσωση (4) µας λέει το εξής: Από όλες τις συναρτήσεις του κόσµου (, θέλοµε εκείνη που όταν την παραγωγίσοµε δυο φορές ως προς τον χρόνο και την πολλαπλασιάσοµε µε τη µάζα να µας κάνει τη δύναµη F (,, ) Άρα, όλα τα προβλήµατα κίνησης υλικού σηµείου πάνω στον άξονα ανάγονται στην εξεύρεση της κατάλληλης ( Συνεπώς, αρκεί να µάθοµε πώς να βρίσκοµε την κατάλληλη ( για κάθε F (,, ) που µας δίνεται Αυτό ακριβώς θα κάνοµε παρακάτω Σελίδα 7 από 55

8 Σταθερές δυνάµεις Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας που κινείται πάνω στον άξονα υπό την επίδραση της σταθερής δύναµης F Η δύναµη F είναι αλγεβρική, δηλαδή µπορεί να είναι θετική ή αρνητική εν χρειάζεται να ξέροµε το πρόσηµό της Το αποτέλεσµα που θα βρούµε θα ισχύει τόσο για θετικές όσο και για αρνητικές F Ας θεωρήσοµε ότι την αρχική χρονική στιγµή =, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση και είχε ταχύτητα u Κι αυτές είναι αλγεβρικές ποσότητες Θέλοµε να βρούµε τη θέση του υλικού σηµείου για >, δηλαδή θέλοµε να βρούµε την ( Ζωγραφίζοµε τον άξονα µε φορά προς τα δεξιά και θεωρούµε ότι την τυχούσα χρονική στιγµή το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση ( Βάσει του εύτερου Νόµου του Νεύτωνα γράφοµε ή ή d ( = F d (5) du( = F d (6) du( F = d (7) Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (7) µε d και έχοµε du( F d = d (8) d Το αριστερό µέλος της εξίσωσης (8) είναι το διαφορικό της συνάρτησης u ( Έτσι γράφοµε F du = d (9) Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή u και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Σελίδα 8 από 55

9 Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (9) Το ολοκλήρωµα του αριστερού µέλους είναι u και το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους είναι γράφοµε F Έτσι F u ( = + c, () όπου c είναι µια αυθαίρετη πραγµατική σταθερά της ολοκλήρωσης Η u (, που δίνεται από την εξίσωση (), είναι λύση της εξίσωσης (6) και λέγεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (6) Αυτό µπορεί εύκολα να επαληθευτεί Αν βάλοµε τη λύση () στη διαφορική εξίσωση (6), βλέποµε ότι όντως την επαληθεύει, δηλαδή βρίσκοµε ότι F = F Η λύση () πρέπει να ισχύει για όλες τις χρονικές στιγµές, άρα και για την αρχική χρονική στιγµή = Θέτοντας = στην εξίσωση () έχοµε F u ( ) = + c Αλλά, µας δόθηκε από τις αρχικές συνθήκες ότι u ( ) = u Συνεπώς, c = u Με άλλα λόγια, από την αρχική συνθήκη u ( ) = u προσδιορίσαµε την αυθαίρετη σταθερά c Έτσι, η ζητούµενη ταχύτητα του υλικού σηµείου σε κάθε χρονική στιγµή είναι F u ( = + u () Για =, µας δίνει όντως ότι η ταχύτητα του υλικού σηµείου είναι u Η λύση () είναι η λύση του δοθέντος προβλήµατος µε τη δοθείσα αρχική συνθήκη u ( ) = u Λόγω του ότι η ταχύτητα είναι η χρονική παράγωγος της θέσης, η () γράφεται d( d F = + u () Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης () µε d και έχοµε d( F d = d+ ud (3) d Το αριστερό µέλος της εξίσωσης (3) είναι το διαφορικό της συνάρτησης ( Έτσι γράφοµε F d= d+ ud (4) Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Σελίδα 9 από 55

10 Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (4) Το ολοκλήρωµα του F αριστερού µέλους είναι και το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους είναι u + Έτσι γράφοµε F ( = + u+ c, (5) όπου c είναι µια αυθαίρετη πραγµατική σταθερά της ολοκλήρωσης Η (, που δίνεται από την εξίσωση (5), είναι λύση της εξίσωσης (5) και λέγεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (5) Αυτό µπορεί εύκολα να επαληθευτεί Αν βάλοµε τη λύση (5) στη διαφορική εξίσωση (5), βλέποµε ότι όντως την επαληθεύει, δηλαδή βρίσκοµε ότι F = F Η λύση (5) πρέπει να ισχύει για όλες τις χρονικές στιγµές, άρα και για την αρχική χρονική στιγµή = Θέτοντας = στην εξίσωση (5) έχοµε F ( ) = + c+ c Αλλά, µας δόθηκε από τις αρχικές συνθήκες ότι ( ) = Συνεπώς, c = Με άλλα λόγια, από την αρχική συνθήκη ( ) = προσδιορίσαµε την αυθαίρετη σταθερά c Έτσι, η ζητούµενη θέση του υλικού σηµείου σε κάθε χρονική στιγµή είναι F ( = + u+ (6) Για =, µας δίνει όντως ότι η θέση του υλικού σηµείου είναι Η λύση (6) είναι η λύση του δοθέντος προβλήµατος µε τις δοθείσες αρχικές συνθήκες u ( ) = u και ( ) = Παρατήρηση: Τη διαφορική εξίσωση (7) τη λύσαµε µε τη βοήθεια αορίστου ολοκληρώµατος και την εισαγωγή αυθαιρέτου σταθεράς c, την οποία υπολογίσαµε από την αρχική συνθήκη u ( ) = u Εξίσου καλά θα µπορούσαµε να λύσοµε τη διαφορική εξίσωση (7) µε τη βοήθεια ορισµένου ολοκληρώµατος Τα όρια ολοκλήρωσης είναι, για µεν την ταχύτητα, από την αρχική ταχύτητα u µέχρι την τυχούσα ταχύτητα u, για δε τον χρόνο, από την αρχική χρονική στιγµή µέχρι την τυχούσα χρονική στιγµή Έτσι, ολοκληρώνοντας κατά µέλη την εξίσωση (9) έχοµε u du= d u u = ( ) u( = + u F F που είναι η εξίσωση () Οµοίως, από την εξίσωση (4) έχοµε µε ολοκλήρωση κατά µέλη F u, Σελίδα από 55

11 F d= d+ ud = F + u = F + u +, που είναι η εξίσωση (6) Παράδειγµα : Υλικό σηµείο µάζας βρίσκεται στον κατακόρυφο άξονα z στη θέση z= z και ξεκινά τη χρονική στιγµή = την κίνησή του στον άξονα z µε αρχική ταχύτητα u= u Οι ποσότητες z και u είναι αλγεβρικές Στο υλικό σηµείο δρα η σταθερή δύναµη βαρύτητας της Γης, που έχει µέτρο F = g Α) Να σχεδιασθεί ο κατακόρυφος άξονας z µε φορά προς τα κάτω (δηλαδή η φορά του µοναδιαίου διανύτσµατος kˆ είναι προς τα κάτω) και να γραφεί η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου Β) Να λυθεί η εξίσωση κίνησης για την ταχύτητα και τη θέση του υλικού σηµείου στη γενική περίπτωσή της και να εφαρµοστούν σ αυτήν οι αρχικές συνθήκες Γ) Τι αλλάζει στα ερωτήµατα Α και Β αν πάρετε την αντίθετη φορά για τον άξονα z από αυτή που πήρατε στο ερώτηµα Α; Λύση: A) Ζωγραφίζοµε τον άξονα z µε φορά προς τα κάτω και θεωρούµε ότι την τυχούσα χρονική στιγµή το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση z ( Αυτό σηµαίνει ότι η δύναµη της βαρύτητας, που είναι προς τα κάτω, είναι θετική Έτσι, από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα γράφοµε την εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου d z( = g (7) d B) Ακολουθώντας τα βήµατα που κάναµε παραπάνω για τη σταθερή δύναµη F, γράφοµε du du = g d = g d du = g d du = g d+ c u( = g + c d d, (8) Σελίδα από 55

12 όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Αν θέλοµε, µπορούµε να προσδιορίσοµε τη σταθερά c χρησιµοποιώντας την αρχική συνθήκη u ( ) = u Αυτό όµως δεν είναι απαραίτητο να γίνει τώρα Από τον ορισµό της ταχύτητας έχοµε u( = dz d z= g = g + c d+ c dz d = g d+ cd dz = g d+ cd d d+ c z( = g + c + c, (9) όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες έχοµε u ) = u = g + c c =, () ( u z ( ) = z = g + c+ c c = z () Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος µε τις δοθείσες αρχικές συνθήκες, είναι z( = z u( = u + u + + g g, () Ω του θαύµατος!!! Χρησιµοποιώντας το πρώτο Αξίωµα της Μηχανικής, δηλαδή τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα, βρήκαµε τις γνωστές µας σχέσεις για τη θέση και την ταχύτητα υλικού σηµείου που κινείται πάνω στον κατακόρυφο άξονα z υπό την επίδραση σταθερού πεδίου βαρύτητας Οι εξισώσεις () περιγράφουν κατακόρυφη βολή µε αρχική ταχύτητα u Αν u >, η βολή είναι προς τα κάτω, δηλαδή προς τη θετική φορά του άξονα z Αν u <, η βολή είναι προς τα πάνω, δηλαδή προς την αρνητική φορά του άξονα z Γ) Αν πάροµε τον άξονα z να έχει φορά προς τα πάνω, τότε επειδή η δύναµη του βάρους είναι προς τα κάτω, σηµαίνει ότι η δύναµη είναι αρνητική, δηλαδή g! Έτσι, η εξίσωση κίνησης πρέπει να γραφεί ως d z = g d και η λύση της για τις δοθείσες αρχικές συνθήκες είναι (3) Σελίδα από 55

13 z( = z u( = u + u g g, (4) Παρατήρηση: Τόσο η λύση () όσο και η λύση (4) είναι σωστές Το πώς παίρνοµε τη φορά του άξονα είναι δική µας επιλογή Επιλέγοµε τη φορά που µας βολεύει Πάντως, λύση άσκησης Μηχανικής, χωρίς να πούµε ποια είναι η φορά του άξονα, δεν νοείται Σελίδα 3 από 55

14 υνάµεις εξαρτώµενες από τον χρόνο Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας που κινείται πάνω στον άξονα υπό την επίδραση της γενικής δύναµης F = F( Συγκεκριµένα παραδείγµατα θα δούµε πιο κάτω Ας θεωρήσοµε ότι την αρχική χρονική στιγµή =, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση και είχε ταχύτητα u Θέλοµε να βρούµε τη θέση του υλικού σηµείου για >, δηλαδή θέλοµε να βρούµε την ( Ζωγραφίζοµε τον άξονα µε φορά προς τα δεξιά και θεωρούµε ότι την τυχούσα χρονική στιγµή το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση ( Βάσει του εύτερου Νόµου του Νεύτωνα γράφοµε ή ή d ( = F( d (5) du( = F( d (6) du( = F( d (7) Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (7) µε d και έχοµε du( d = F( d (8) d Το αριστερό µέλος της εξίσωσης (8) είναι το διαφορικό της συνάρτησης u ( Έτσι γράφοµε du = F( d (9) Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή u και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη και έχοµε u ( = F( d+ c = G( + c, (3) Σελίδα 4 από 55

15 όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά και G ( είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της F ( Λόγω του ότι η ταχύτητα είναι η χρονική παράγωγος της θέσης, η (3) γράφεται d( d = G( + c (3) Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (3) µε d και έχοµε d( d = G( d+ cd (3) d Το αριστερό µέλος της εξίσωσης (3) είναι το διαφορικό της συνάρτησης ( Έτσι γράφοµε d= G( d+ cd (33) Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (33) Το ολοκλήρωµα του αριστερού µέλους είναι και το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους είναι G( d c H ( c + = +, όπου γράψαµε ότι H ( = G d ( ) Έτσι γράφοµε ( = H ( + c+ c, (34) όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Οι σταθερές c και c µπορούν να προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες u ( ) = u και ( ) = Παρατήρηση: Πρέπει να έχει ήδη γίνει αντιληπτό ότι η γενική λύση της ταχύτητας, που προκύπτει από µια ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης, έχει µια αυθαίρετη σταθερά ενώ η γενική λύση της θέσης, που προκύπτει από δυο ολοκληρώσεις της εξίσωσης κίνησης, έχει δυο αυθαίρετες σταθερές Οι σταθερές αυτές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες Παρότι η γενική λύση (34) είναι µια, αυτή περιγράφει άπειρα (!) προβλήµατα ιαφορετικές αρχικές συνθήκες οδηγούν σε διαφορετικές λύσεις Παράδειγµα : Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F = F ( / ), µε, όπου F, είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = > και έχει ταχύτητα u = u > Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Σελίδα 5 από 55

16 Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Γ) Τι αλλάζει αν κάποιος σας πει ότι οι ποσότητες, u είναι αρνητικές; Λύση: Α) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι: du = d F du d = F du= F d F 3 du = d c u( c + = + 3 F Η τελευταία γράφεται ως d d = F c 3 3 F F d = d+ cd d= d+ c d+ c F = + c + c (, όπου c,c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες έχοµε u = u( 4 F = ) = F ) = c c Σελίδα 6 από 55 = u F, 3 F u F 3 ( c c c Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος µε τις δοθείσες αρχικές συνθήκες είναι = F 3 u( = u + ( 3 3 ),

17 F F 4 ( = + u ( ) ( ) + ( 3 Η λύση γράφτηκε µε αυτόν τον τρόπο ώστε να φαίνεται αµέσως ότι για = ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες Β) Όντως για = έχουµε u ( ) = u και ( ) = Όλοι οι όροι στην έκφραση της ταχύτητας u ( έχουν διαστάσεις ταχύτητας διότι η δύναµη έχει διαστάσεις µάζα (Μ) µήκος (L) / χρόνος (T) Πχ, ο όρος L M F 3 έχει διαστάσεις T 3 L T = Τα σύµβολα M, L, T προέρχονται από τις 3 M T T λέξεις Mass, Lengh, Tie Οµοίως, όλοι οι όροι στην έκφραση της θέσης ( έχουν διαστάσεις µήκους Να ελέγξετε όλους τους όρους 3 Επειδή η δύναµη τείνει στο ± (ανάλογα µε το πρόσηµο της F ) καθώς, περιµένοµε ότι και η ταχύτητα του υλικού σηµείου και η θέση του θα τείνουν στο ± Όντως, για F, u ( ) = και ( ) = > Γ) Τίποτε Τα αποτελέσµατα είναι αλγεβρικά Αντικαθιστούµε ό,τι τιµές θέλοµε στα, u 4 ) Παράδειγµα 3: Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F = F /, µε, όπου F, είναι σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = και έχει ταχύτητα u= u Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση Α) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι: Σελίδα 7 από 55

18 d d du d du = F, d F F F d F = du= d ( ) du = + c u = + c F F F d + c d= d+ cd d= + c d+ c F ( = ln + c+ c, > = Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες έχουµε:, u = u( = ( F ) = F ) = F + c c = u + F ( = ln+ u ln + u F + + c c F + = + c F +, ln > u F + Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι: u( = u ( = + + F F ln, + u F + ( ), Β) Όντως για = έχουµε u ( ) = u και ( ) = Όλοι οι όροι της ταχύτητας u ( έχουν διαστάσεις ταχύτητας Εσείς να το επαληθεύσετε Οµοίως, όλοι οι όροι της θέσης ( έχουν διαστάσεις µήκους Πχ, L M T F ο όρος έχει διαστάσεις µήκους T T = L M Η ποσότητα που λογαριθµίζεται δεν έχει διαστάσεις, όπως πρέπει 3 Επειδή η δύναµη τείνει στο µηδέν σχετικά γρήγορα (ως / ) καθώς, περιµένουµε ότι η ταχύτητα του υλικού σηµείου θα τείνει σε µια οριακή τιµή και η F θέση του θα τείνει στο άπειρο Όντως, u( ) = u + και ( ) = Στο αποτέλεσµα για το ( ο γραµµικός όρος υπερισχύει του λογαριθµικού Παράδειγµα 4: Υλικό σηµείο µάζας βρίσκεται ακίνητο στη θέση = Για r r δρα πάνω του η δύναµη F = ( F / ) iˆ για και F = ( F / iˆ για Σελίδα 8 από 55

19 <, όπου F, είναι σταθερές µε κατάλληλες µονάδες και î είναι το µοναδιαίο διάνυσµα στον άξονα Α) Να βρεθεί η ταχύτητα του υλικού σηµείου για όλες τις τιµές του > Β) Σταµατά ποτέ το υλικό σηµείο και αν ναι πότε; Γ) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση: Α) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι du d du d = F = F,, < Πρώτα θα λύσοµε την εξίσωση κίνησης για du d F F 3 = du= d du d c u( c = + = +, 3 F F όπου c είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης για Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες έχοµε u ( ) = c = Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος για είναι F ( ) 3 u = Παρατηρούµε ότι 3 F u( ) = 3 Αυτή είναι η αρχική ταχύτητα για τη µελέτη της κίνησης του υλικού σηµείου για > Τώρα θα λύσουµε την εξίσωση κίνησης για > du d F F F = du = d du = d F + A u( = ln + A, όπου A είναι αυθαίρετη πραγµατική σταθερά Αυτή είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης για > Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες (δηλαδή για = ) έχοµε Σελίδα 9 από 55

20 F F F F u ( ) = ln + A= A= + ln 3 3 Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος για > είναι: F u ( = ln + 3 Β) Από τη λύση του προβλήµατος για > παρατηρούµε ότι για να γίνει η ταχύτητα µηδέν πρέπει F ln F + 3 = ή ln = 3 / ή e 3 = Γ) Οι αρχικές συνθήκες ικανοποιούνται διότι u ( ) = και u( ) = F / 3 Όλοι οι όροι της ταχύτητας έχουν όντως διαστάσεις ταχύτητας Εσείς να το επαληθεύσετε 3 Για, u ( ) =, διότι η δύναµη τείνει στο µηδέν µε αργό τρόπο, δηλαδή F / Άσκηση : Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την / επίδραση της δύναµης F = Fe, όπου F, είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = και έχει ταχύτητα u= u Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Απάντηση: Α) u( = u ( = F + F / ( e ) / F ( e ) + u + F u( ) = u + Β3) ( ) = Σελίδα από 55

21 Άσκηση : Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F = F ( / + / ), µε, όπου F, είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = > και έχει ταχύτητα u = u > Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Γ) Τι αλλάζει αν κάποιος σας πει ότι οι ποσότητες, u είναι αρνητικές; Απάντηση: u( = u Α) ( = F + 3 ( + u ( 3 3 F ) + F ) + 3 (, F ) + ( 4 4 F ) + ln Η λύση γράφτηκε µε αυτόν τον τρόπο ώστε να φαίνεται αµέσως ότι για = ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες Άσκηση 3: Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την / επίδραση της δύναµης F = F ( / + e ), µε, όπου F, είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και χρόνου αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = και έχει ταχύτητα u = Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Απάντηση: u( = ( = F F e 4 / + e / +, + Η λύση γράφτηκε µε αυτόν τον τρόπο ώστε να φαίνεται αµέσως ότι α) για = ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες και β) οι όροι µέσα στις παρενθέσεις είναι αδιάστατοι Άσκηση 4: Υλικό σηµείο µάζας κινείται κατά µήκος του άξονα υπό την επίδραση της δύναµης F = F sin( ω, όπου F,ω είναι θετικές σταθερές µε µονάδες δύναµης και κυκλικής συχνότητας αντιστοίχως Τη χρονική στιγµή = το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση = και έχει ταχύτητα u = u > Σελίδα από 55

22 Α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του υλικού σηµείου για > Β) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Απάντηση: F u( = u + ( cos( ω ) ω F ( = + u+ ( ω sin( ω ) ω Και εδώ η λύση γράφτηκε µε τέτοιο τρόπο ώστε οι όροι στην παρένθεση να είναι αδιάστατοι Β3) Η δύναµη είναι περιοδικά µεταβαλλόµενη (στην προκειµένη περίπτωση η δύναµη είναι αρµονική συνάρτηση) Αυτό σηµαίνει ότι η ταχύτητα θα είναι η αρχική u συν µια αρµονικά µεταβαλλόµενη ποσότητα Από τη λύση βλέποµε ότι η αρµονικά µεταβαλλόµενη ποσότητα βρίσκεται πάντοτε µεταξύ των τιµών και F /( ) Έτσι η ταχύτητα του υλικού σηµείου µεταβάλλεται αρµονικά µεταξύ ω των τιµών u και u + F /( ) Με άλλα λόγια, το υλικό σηµείο έχει µεταφορική ταχύτητα u + F /( ω) και επιπλέον αρµονική ταχύτητα µε πλάτος F /( ) Η θέση όµως του υλικού σηµείου για απειρίζεται διότι ανά πάσα ω ω στιγµή το υλικό σηµείο κινείται µε ταχύτητα τουλάχιστον u Σελίδα από 55

23 3 υνάµεις εξαρτώµενες από την ταχύτητα Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας που κινείται πάνω στον άξονα υπό την επίδραση της γενικής δύναµης F = F(u), όπου u είναι η στιγµιαία ταχύτητα του υλικού σηµείου Συγκεκριµένα παραδείγµατα θα δούµε πιο κάτω Ας θεωρήσοµε ότι την αρχική χρονική στιγµή =, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση και είχε ταχύτητα u Θέλοµε να βρούµε την ταχύτητα και τη θέση του υλικού σηµείου για > Ζωγραφίζοµε τον άξονα µε φορά προς τα δεξιά και θεωρούµε ότι την τυχούσα χρονική στιγµή το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση ( Βάσει του εύτερου Νόµου του Νεύτωνα γράφοµε ή du = F(u) (35) d du = F( u) (36) d Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (36) µε d και έχοµε du = F( u) d (37) ιαιρούµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (37) µε F (u) και έχοµε du = d (38) F( u) Ο λόγος που το κάναµε αυτό είναι για να χωρίσοµε τις µεταβλητές Αριστερά είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή u και δεξιά η ανεξάρτητη µεταβλητή Ολοκληρώνοµε αµφότερα τα µέλη της (38) και έχοµε du F( u) d+ = c Σελίδα 3 από 55 (39) Το αριστερό µέλος της (39) είναι µια συνάρτηση της ταχύτητας, ας πούµε I (u) Έτσι γράφοµε

24 I ( u) = + c (4) και, αν η I (u) δεν είναι πολύπλοκη συνάρτηση, λύνοµε την (4) ως προς u συναρτήσει του Μετά συνεχίζοµε όπως στα προηγούµενα (βλ εξισώσεις έως 5) Παράδειγµα 5: Μια βάρκα (θεωρούµενη σαν υλικό σηµείο) µάζας σύρεται σε µια λίµνη σε ευθεία γραµµή (ας πούµε τον άξονα ) υπό την επίδραση µιας σταθερής δύναµης F > Η τριβή του νερού είναι µια δύναµη που αντιτίθεται στην κίνηση και είναι ανάλογη της ταχύτητας της βάρκας µε σταθερά αναλογίας > Α) Να σχεδιάσετε τον οριζόντιο άξονα µε όποια φορά θέλετε και να γράψετε την εξίσωση κίνησης της βάρκας Β) Να βρείτε την ταχύτητα της βάρκας για >, αν για = η βάρκα ήταν ακίνητη Γ) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση: Α) Η εξίσωση κίνησης της βάρκας είναι Β) du d du d = F u F du du du = u = d = d d c, F F u u F = + u F F όπου c είναι πραγµατική σταθερά Συνεπώς, ln u F = + c ln u F = c u F = e e c όπου τη θετική σταθερά e c / u = c F e, µε αυθαίρετο πρόσηµο τη γράψαµε ως πραγµατική c e σταθερά c Με άλλα λόγια, η αυθαίρετη σταθερά c είναι ίση µε ± και την εισαγάγαµε χάριν ευκολίας Συνεπώς, Σελίδα 4 από 55

25 F = ( c e u Αυτή είναι η γενική λύση για την ταχύτητα Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες F έχοµε: u ( ) = ( c) = c = Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι F u( e =, Γ) Όντως, για = έχοµε u ( ) = Η δύναµη τριβής είναι F = u Άρα οι διαστάσεις του είναι L M δύναµη/ταχύτητα, δηλαδή T = L T το εκθετικό είναι αδιάστατο ενώ το τρ M T Με αυτές τις διαστάσεις, παρατηρούµε ότι F / έχει διαστάσεις ταχύτητας Έτσι, όλοι οι όροι της u( έχουν διαστάσεις ταχύτητας, δηλαδή L/T 3 Για, u ( ) = F / Αυτό είναι αναµενόµενο, διότι λόγω τριβής η βάρκα αποκτά οριακή ταχύτητα Παρατήρηση: Η άσκηση δεν µας το ζητάει, αλλά αν θέλαµε να υπολογίσοµε τη θέση της βάρκας ως συνάρτηση του χρόνου θα γράφαµε d d e F = και θα προχωρούσαµε όπως στα παραπάνω (βλ εξισώσεις έως 5) Παράδειγµα 6: Ένας αλεξιπτωτιστής (θεωρούµενος σαν υλικό σηµείο) µάζας πέφτει κατακόρυφα από ύψος h Θεωρήστε, χάριν ευκολίας, ότι ο αλεξιπτωτιστής ήταν αρχικά ( = ) ακίνητος Η τριβή του αέρα είναι µια δύναµη που αντιτίθεται στην κίνηση και είναι ανάλογη της ταχύτητας του αλεξιπτωτιστή µε σταθερά αναλογίας > Α) Να σχεδιάσετε τον κατακόρυφο άξονα z µε όποια φορά θέλετε και να γράψετε την εξίσωση κίνησης του αλεξιπτωτιστή Β) Να βρείτε την ταχύτητα του αλεξιπτωτιστή για > Γ) Να δείξετε ότι: ) τα αποτελέσµατά σας ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες, ) όλοι οι όροι στα αποτελέσµατά σας έχουν τις σωστές διαστάσεις και 3) στο όριο τα αποτελέσµατά σας δίνουν λογικά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Λύση: Α) Ας θεωρήσοµε τον άξονα z προς τα πάνω είτε το επόµενο παράδειγµα για άξονα z προς τα κάτω Σελίδα 5 από 55

26 du Η εξίσωση κίνησης του αλεξιπτωτιστή είναι d αλεξιπτωτιστή είναι προς τα κάτω, γι αυτό το γράψαµε ως = g u Το βάρος του g Η τριβή του αέρα αντιτίθεται στην κίνηση, δηλαδή έχει πρόσηµο αντίθετο της ταχύτητας, γι αυτό γράψαµε Β) du d ln u g u, χωρίς να µας νοιάζει αν η ταχύτητα είναι θετική ή αρνητική = g u g u du u+ g + = + c ln du = d = d g u + g u g + = g ( ) + = = c e u c e, + c u g g + = e du = u + g e c d+ c όπου c,c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Αυτή είναι η γενική λύση για την ταχύτητα Εφαρµόζοντας την αρχική συνθήκη έχοµε: g = u () = ( c ) c = Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι Το g / u ( = e, / στον εκθέτη έχει διαστάσεις χρόνου (διότι από τη σχέση F = u τρ οι διαστάσεις του είναι δύναµη/ταχύτητα, δηλαδή Μ/T) και λέγεται χαρακτηριστικός χρόνος Ο εκθέτης γράφτηκε µε αυτόν τον τρόπο ώστε να φαίνεται αµέσως ότι είναι αδιάστατος Γ) Όντως, για = έχοµε u ( ) = Το g / έχει διαστάσεις ταχύτητας Να το ελέγξετε Οι όροι στην παρένθεση δεν έχουν διαστάσεις 3 Αν το h είναι αρκετά µεγάλο, η πτώση του αλεξιπτωτιστή θα διαρκέσει πολύ χρόνο Άρα εξετάζοµε τη λύση για Βλέποµε ότι για, έχοµε u ( ) = g / Αυτό είναι αναµενόµενο, διότι η δύναµη τριβής µεγαλώνει κατά µέτρο όσο µεγαλώνει η ταχύτητα του αλεξιπτωτιστή Μετά από πάροδο αρκετού χρόνου (δηλαδή χρόνου αρκετά µεγαλύτερου από τον χαρακτηριστικό χρόνο Σελίδα 6 από 55

27 / /, ώστε το εκθετικό e να τείνει στο µηδέν), η δύναµη τριβής εξισορροπεί τη βαρύτητα Έτσι ο αλεξιπτωτιστής µετά την πάροδο χρόνου αρκετά µεγαλύτερου από τον χαρακτηριστικό χρόνο αποκτά οριακή ταχύτητα Η οριακή αυτή ταχύτητα είναι αρνητική, διότι ο αλεξιπτωτιστής κινείται προς τα κάτω ενώ η θετική φορά του άξονα είναι προς τα πάνω Παράδειγµα 7: Υλικό σηµείο µάζας βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα u Στο υλικό σηµείο δρουν η σταθερή βαρύτητα και η τριβή του αέρα που είναι ανάλογη της ταχύτητας του υλικού σηµείου µε σταθερά αναλογίας > Να βρεθεί η ταχύτητα του υλικού σηµείου για > Λύση: Ας θεωρήσοµε σ αυτή την άσκηση τον άξονα z προς τα κάτω du Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι d σηµείου είναι προς τα κάτω, γι αυτό το γράψαµε ως = g u Το βάρος του υλικού + g Η τριβή του αέρα αντιτίθεται στην κίνηση, δηλαδή έχει πρόσηµο αντίθετο της ταχύτητας, γι αυτό γράψαµε u, χωρίς να µας νοιάζει αν η ταχύτητα είναι θετική ή αρνητική, δηλαδή αν το υλικό σηµείο κινείται προς τα κάτω ή προς τα πάνω du d ln u g = g u g u du u g = + c ln du = d = d g u g u g = g ( ) = = + c e u c e, + c u g g du = u g = e e c d+ c όπου c,c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Αυτή είναι η γενική λύση για την ταχύτητα Εφαρµόζοντας την αρχική συνθήκη έχοµε: g u u = u() = (+ c) c = g Άρα η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος είναι Σελίδα 7 από 55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ταλαντώσεις Στο Παράδειγµα 9 είδαµε τη µελέτη της κίνησης υλικού σηµείου µάζας, που βρίσκεται στο ένα άκρο ελατηρίου µε το άλλο άκρο του ελατηρίου σταθερό Θα επανεετάσοµε το ίδιο πρόβληµα εδώ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς Στην Εισαγωγή στη Μηχανική, πριν το Κεφάλαιο 1, είδαµε ότι ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα ισχύει µόνο για αδρανειακούς παρατηρητές, δηλαδή για παρατηρητές που είτε

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Το έργο μίας από τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα. α. είναι μηδέν όταν το σώμα είναι ακίνητο β. έχει πρόσημο το οποίο εξαρτάται από τη γωνία

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004)

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004) Άσκηση (Μονάδες ) 4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: -5-4) Α) Αστροναύτης µάζας 6 Κg βρίσκεται µέσα σε διαστηµόπλοιο που κινείται µε σταθερή ταχύτητα προς τον Άρη. Σε κάποιο σηµείο του ταξιδιού βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις Α1 έως Α3 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: Α1. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ. Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ. Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2. ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί απλή αρμονική

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις Α. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Να γράψετε στο φύλλο των απαντήσεών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΝΤΕΛΗ. Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 29, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ

ΠΕΝΤΕΛΗ. Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 29, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ Τάξη Μάθημα Εξεταστέα ύλη Γ Λυκείου Φυσικη κατευθυνσης ΠΕΝΤΕΛΗ Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 29, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ( ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ( ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 013-014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ( ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΛΑΓΙΑ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΛΑΓΙΑ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΠΛΑΓΙΑ ΚΡΟΥΣΗ.. Σώμα που κινείται με κάποια ταχύτητα που σχηματίζει γωνία ως προς το κεκλιμένο επίπεδο συγκρούεται πλαστικά με άλλο σώμα δεμένο στο άκρο οριζοντίου ελατηρίου. Ξύλινο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 013-014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

Όλα τα θέματα των πανελληνίων στις μηχανικές ταλαντώσεις έως και το 2014 ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής

Όλα τα θέματα των πανελληνίων στις μηχανικές ταλαντώσεις έως και το 2014 ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής έως και το 04 ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα που αναφέρεται στην απλή αρμονική ταλάντωση και να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΝΤΕΛΗ ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ. 1. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της

ΠΕΝΤΕΛΗ ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ. 1. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της Τάξη Μάθημα Εξεταστέα ύλη Γ Λυκείου Φυσικη κατευθυνσης ΠΕΝΤΕΛΗ Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 29, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Έργο Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 1

Έργο Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 1 Έργο Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 2 Έργο, Κινητική Ενέργεια και Δυναμική Ενέργεια q Βέλος εκτοξεύεται από ένα τόξο: Ø Η δύναμη μεταβάλλεται καθώς το τόξο επανέρχεται στην αρχική του θέση

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΑ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΑ Σώμα είναι τοποθετημένο πάνω σε ορίζοντα δίσκο.ο δίσκος τιθεται σε οριζόντια αρμονικη ταλάντωση με συχνότητα f.αν ο συντελεστης μέγιστης στατικης τριβής μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε ένα σώµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ. Θα μελετήσουμε τώρα συστήματα που διεγείρονται σε ταλάντωση μέσω εξωτερικής ς που μπορεί να είναι (όπως θα δούμε παρακάτω) σταθερή, μεταβλητού

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος η δύναμη είναι μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας ΔΥΝΑΜΗ ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ µηχανική, χηµική, θερµότητα, βαρυτική, ηλεκτρική, µαγνητική, πυρηνική, ραδιοενέργεια, τριβής, κινητική, δυναµική Περιεχόµενα Κεφαλαίου 8 Συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

δ) µειώνεται το µήκος κύµατός της (Μονάδες 5)

δ) µειώνεται το µήκος κύµατός της (Μονάδες 5) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 011-01 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1 η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/1/11 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µίας από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Έργο και Ενέργεια. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 7 Έργο και Ενέργεια. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 7 Έργο και Ενέργεια Περιεχόµενα Κεφαλαίου 7 Το έργο σταθερής δύναµης Εσωτερικό Γινόµενο δύο διανυσµάτων Έργο µεταβλητής δύναµης Σχέση Ενέργειας και έργου 7-1 Το έργο σταθερής δύναµης Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Τοαπλόεκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε μια διάσταση

Κίνηση σε μια διάσταση Κίνηση σε μια διάσταση Θεωρούμε κίνηση κατά μήκος μιας ευθύγραμμης διαδρομής. Η απόσταση x του κινούμενου σώματος από ένα σημείο του άξονα της κίνησης που παραμένει ακίνητο χρησιμοποιείται ως συντεταγμένη.

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στο 1 ο κεφάλαιο Φυσικής Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Μηχανικές και Ηλεκτρικές ταλαντώσεις)

2 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στο 1 ο κεφάλαιο Φυσικής Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Μηχανικές και Ηλεκτρικές ταλαντώσεις) ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στο 1 ο κεφάλαιο Φυσικής Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Μηχανικές και Ηλεκτρικές ταλαντώσεις) ΘΕΜΑ 1 ο Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 4 επιλέξτε τη σωστή πρόταση 1. Ένα σώμα μάζας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. 1 η κατηγορια ερωτησεων 1. Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για ένα σημειακό αντικείμενο που εκτελεί Α.Α.Τ.φαινεται στο σχήμα : Με ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 1. Στο παρακάτω διάγραμμα απομάκρυνσης-χρόνου φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις για δύο σώματα 1 και 2 τα οποία εκτελούν Α.Α.Τ. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τις μέγιστες επιταχύνσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίου, 2013 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίμιο αποτελείται από πέντε (5) σελίδες και πέντε (5) θέματα. 2) Να απαντήσετε σε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 3ο Φυλλάδιο - Ορµή / Κρούση

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 3ο Φυλλάδιο - Ορµή / Κρούση Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Ορµή / Κρούση Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Σύστηµα Σωµάτων - Εσωτερικές & Εξωτερικές υνάµεις ύο ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

υναµική στο επίπεδο.

υναµική στο επίπεδο. στο επίπεδο. 1.3.1. Η τάση του νήµατος, πού και γιατί; Έστω ότι σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµούν δύο σώµατα Α και Β µε µάζες Μ=3kg και m=2kg αντίστοιχα, τα οποία συνδέονται µε ένα νήµα. Σε µια στιγµή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Μονάδες 8)

ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1 Β1. Στο σχολικό εργαστήριο μια μαθήτρια περιεργάζεται ένα ελατήριο και λέει σε συμμαθητή της: «Θα μπορούσαμε να βαθμολογήσουμε αυτό το ελατήριο και με τον τρόπο αυτό να κατασκευάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 13 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ B1 Η κίνηση δύο ατόµων ενός µορίου µπορεί να περιγραφεί προσεγγιστικά από ένα a 1 x ax δυναµικό της µορφής V = +, a >, όπου x> η σχετική απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

3. Σε στάσιμο κύμα δύο σημεία του ελαστικού μέσου βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών. Τότε τα σημεία αυτά έχουν

3. Σε στάσιμο κύμα δύο σημεία του ελαστικού μέσου βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών. Τότε τα σημεία αυτά έχουν ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑÏΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2: Α. Ένα σωματίδιο κινείται στο επίπεδο xy έτσι ώστε υ

ΘΕΜΑ 2: Α. Ένα σωματίδιο κινείται στο επίπεδο xy έτσι ώστε υ 3 η ΕΡΓΑΣΙΑ Τα θέματα είναι ισοδύναμα. Όπου απαιτείται δίνεται η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας ως g=9.8m/sec 2. Ημερομηνία Παράδοσης: 26/2/2006 ΘΕΜΑ 1: A. Σχεδιάστε τα διαγράμματα θέσης-χρόνου, ταχύτητας-χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Στι ερωτήσει - 4 να γράψετε στο τετράδιό σα τον αριθµό των ερώτηση και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τροχό κυλίεται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της 1. Ένα σώμα μάζας m =, kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 19 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 3 Απριλίου, 5 Ώρα: 1: - 13: Προτεινόµενες Λύσεις ΘΕΜΑ 1 (1 µονάδες) (α) Το διάστηµα που διανύει ο κάθε αθλητής είναι: X A = υ Α

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Μηχανικές Ταλαντώσεις.

1.1. Μηχανικές Ταλαντώσεις. 1.1. Μηχανικές. 1) Εξισώσεις ΑΑΤ Ένα υλικό σηµείο κάνει α.α.τ. µε πλάτος 0,1m και στην αρχή των χρόνων, βρίσκεται σε σηµείο Μ µε απο- µάκρυνση 5cm, αποµακρυνόµενο από τη θέση ισορροπίας. Μετά από 1s περνά

Διαβάστε περισσότερα

Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλο-βέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης.

Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλο-βέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης. Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ακίνητο ένα μήλο μάζας Μ = 200 g. Ένα μικρό βέλος μάζας m = 40 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου, υ 1 = 10 m / s, χτυπά το μήλο με αποτέλεσμα να το διαπεράσει. Αν γνωρίζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Οριζόντια Βολή Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Εισαγωγικές Εννοιες - Α Λυκείου Στην Φυσική της Α Λυκείου κυριάρχησαν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 15 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Μαΐου 15 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

10,0 0 11,5 0,5 13,0 1,0 15,0 1,5 16,0 2,0. www.ylikonet.gr 1

10,0 0 11,5 0,5 13,0 1,0 15,0 1,5 16,0 2,0. www.ylikonet.gr 1 σε µια διάσταση. Οµάδα Β. 1.2.1. Ελαστική παραµόρφωση και σκληρότητα ελατηρίου. Στο διάγραµµα δίνεται η γραφική παράσταση της δύναµης που ασκείται σε δύο ελατήρια σε συνάρτηση µε την επιµήκυνση των ελατηρίων.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σε

Διαβάστε περισσότερα