ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ"

Transcript

1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ο ορισµός της οικονοµετρίας περιλαµβάνει την εµπειρική εκτίµηση των οικονοµικών σχέσεων. Χρησιµοποιώντας δηλαδή την οικονοµική θεωρία την στατιστική θεωρία αλλά και τα απαραίτητα σετ δεδοµένων από ένα δείγµα ενός πληθυσµού ελέγχει αλλά και µέτρα τις ορισµένες σχέσεις ανάµεσα σε διάφορες οικονοµικές µεταβλητές. Οι σκοποί της οικονοµετρίας είναι βασικά τρεις: Πρώτον ο έλεγχος της οικονοµικής θεωρίας ως προς την εµπειρική της τεκµηρίωση παράλληλα µε την διερεύνηση των οποίων δυνατοτήτων για αναδιατύπωση κάποιων σχέσεων η οποία και καλείται διαρθρωτική ανάλυση ( structural analysis), δεύτερον η διατύπωση εναλλακτικών προτάσεων οικονοµικής πολιτικής (policy evaluation)και τρίτον η διενέργεια προβλέψεων όσον αφορά την εξέλιξη των διάφορων τιµών ορισµένων οικονοµικών µεγεθών σε περιοχές του δείγµατος εκτίµησης (forecasting). Αναφερόµενοι στην οικονοµετρική ανάλυση θα πρέπει να τονίσουµε και τα στάδια αυτής. Το πρώτο στάδιο αφορά την εξειδίκευση του υποδειγµατος δηλαδή στον καθορισµό των µεταβλητών που θα το απαρτίζουν, στην καταγραφή αυτών σε εξωγενείς και ενδογενείς καθώς και στην µαθηµατική διατύπωση του υποδείγµατος. Το δεύτερο στάδιο αναφέρεται στην κατάλληλη επιλογή των οικονοµετρικών τεχνικών για την εκτίµηση των συντελεστών των µεταβλητών µας και ονοµάζεται εκτίµηση του υποδείγµατος. Τέλος το τρίτο στάδιο αφορά των έλεγχο του υποδείγµατος µε την παράλληλη εφαρµογή οικονοµικών, στατιστικών αλλά και οικονοµετρικών κριτηρίων για το έλεγχο των αποτελεσµάτων της εκτιµήσεως. Κύριος σκοπός αυτών των σηµειώσεων είναι µια πρώτη γνωριµία του φοιτητή µε τις προκαταρκτικές έννοιες της οικονοµετρίας, το θεωρητικό υπόβαθρο αυτής καθώς και η ενασχόληση και επίλυση κάποιων προβληµάτων. Τα προβλήµατα αυτά θα επιλύονται µε δυο τρόπους πρώτα υπολογιστικά και δεύτερον χρησιµοποιώντας το λογισµικό στατιστικό πρόγραµµα SPSS. Ανεξάρτητα από τους οποιονδήποτε ελέγχους αν αξιολογήσουµε ένα οικονοµετρικό υπόδειγµα αυτό αξιολογείται ως προς την ικανότητα του από την επίδοση του σε προβλέψεις των ενδογενών µεταβλητών που αυτό χρησιµοποιεί. Ασφαλώς ένα υπόδειγµα το οποίο και θεωρείται «καλό» σύµφωνα µε τα κριτήρια των ελέγχων δεν είναι απαραίτητο και να δίνει ακριβείς και ασφαλείς προβλέψεις.

2 Σχήµα - ιαδικασία Οικονοµετρικής Αναλύσεως. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ

3 9.5 Παρουσίαση του απλού διµετάβλητου γραµµικού υποδείγµατος. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ας υποθέσουµε ότι κάποιος επιχειρηµατίας αποφασίζει να αγοράσει ένα κατάστηµα εµπορίας ποτών,εµβαδού S το οποίο βρίσκεται σε µια συνοικία ενός πληθυσµού P. Ο επιχειρηµατίας αυτός γνωρίζει ότι τα κέρδη του µαγαζιού είναι γραµµική εξάρτηση της επιφάνειας αλλά και του πληθυσµού που βρίσκεται. Επίσης γνωρίζει το κέρδος 3 γειτονικών καταστηµάτων όµοιας επιχειρηµατικότητας. Σε τι κέρδος µπορεί να ελπίζει αν το κατάστηµα που ενδιαφέρεται να αγοράσει είναι 5 τ.µ; Ο επιχειρηµατίας έχει τα εξής στοιχεία στην διάθεση του. ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ( εκ.κατ.) ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ(τ.µ) ΚΕΡ ΟΣ (Χιλ.ευρω) Αναφερόµενοι στο παραπάνω πρόβληµα θα προσπαθήσουµε να κάνουµε µια απλή εισαγωγή στην έννοια της οικονοµετρίας δίνοντας µια απλή αλλά και περιεκτική διάσταση για το τι είναι και σε τι µπορεί να µας βοηθήσει. Η παραπάνω οικονοµική σχέση µπορεί να παρασταθεί "στοχαστικά" ως εξής και να εκτιµηθεί µε βάση ένα οικονοµετρικό µοντέλο: Υ =F(Χ,ε) = a +β Χ ι + ε ι () Όπου Υ είναι η εξαρτηµένη (Dependent) µεταβλητή, ενώ Χ ι είναι η ανεξάρτητη (Independent) µεταβλητή, ε ι είναι η στοχαστική µεταβλητή και α,β είναι σταθεροί συντελεστές. Η σχέση απεικονίζει δυο 3

4 βασικά χαρακτηριστικά : Την εξαρτηµένη µεταβλητή Υ η οποία µεταβάλλεται συστηµατικά σαν αποτέλεσµα της µεταβολής της ανεξάρτητης µεταβλητής Χ. ι. Αυτή η συστηµατική σχέση περιγράφεται από την ευθεία γραµµή της σχέσης (). Τις διασκορπισµένες παρατηρήσεις γύρω από την ευθεία γραµµή οι οποίες οφείλονται στο γεγονός ότι: Εκτός από την µεταβλητή Χ υπάρχουν και άλλον παράγοντες που επηρεάζουν την µεταβλητή Υ και υπάρχει συµφυής µεταβλητικότητα της Υ, καθώς και ότι τα υποδείγµατα παλινδρόµησης ενσωµατώνουν τα δύο χαρακτηριστικά της στοχαστικής σχέσης όταν υποθέσουµε ότι: Για κάθε επίπεδο της ανεξάρτητης µεταβλητής Χ υπάρχει µία κατανοµή πιθανότητας (Probability Distribution) της εξαρτηµένης µεταβλητής Υ, και οι µέσοι αυτών των κατανοµών πιθανοτήτων µεταβάλλονται συστηµατικά για κάθε µεταβολή της Χ. Παρέχοντας όπως θα δούµε παρακάτω µια εκτίµηση για το µοντέλο () θα µπορέσουµε να απαντήσουµε στο ερώτηµα µας. 9.5 Οι υποθέσεις του απλού γραµµικού υποδείγµατος. Σε γενική µορφή µπορούµε να ξαναδιατυπώσουµε το προς εκτίµηση υπόδειγµα ως Υ=f(X, ε i )= α + βχ, + ε i ι =,,...,η Όπου: Υ: ονοµάζεται εξαρτηµένη ή ερµηνευόµενη µεταβλητή. Χ: είναι η ανεξάρτητη ή ερµηνευτική µεταβλητή και i: είναι µία αντιπροσωπευτική από τις η παρατηρήσεις του δείγµατος. Η παραπάνω σχέση ονοµάζεται εξίσωση γραµµικής παλινδρόµησης και οι υποθέσεις που συνιστούν το κλασσικό γραµµικό υπόδειγµα παλινδρόµησης είναι οι εξής:. Η συναρτησιακή µορφή του υποδείγµατος είναι γραµµική: Υ = α+ βχ +ε, δηλαδή ότι η µαθηµατική µορφή η οποία και συνδέει την ανεξάρτητη µε την εξαρτηµένη µεταβλητή είναι γραµµικής µορφής. 4

5 Η γραµµικότητα αυτή αναφέρεται στους συντελεστές παλινδρόµησης και όχι στις µεταβλητές του υποδείγµατος.. Ο µέσος του όρου σφάλµατος είναι µηδέν: E (ε i /Χ i )=0, δηλαδή η µεταβλητή ε ι είναι µια τυχαία µεταβλητή η οποία και µπορεί να παίρνει τόσο αρνητικές αλλά και θετικές τιµές αλλά η µέση της τιµή (µαθηµατική ελπίδα), υπό τον περιορισµό ότι η τιµή των ανεξάρτητων µεταβλητών είναι δεδοµένες, είναι µηδέν. Η σηµασία της υπόθεσης αυτής συνίσταται στο γεγονός ότι οι µη εµφανείς παράγοντες οι οποίοι και υπολογίζονται στον διαταρακτικό όρο δεν επηρεάζουν συστηµατικά την µέση τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής. 3. Η διακύµανση όλων των όρων σφάλµατος είναι η ίδια σταθερά Var (ε i /Χ i )=σ. Η υπόθεση αυτή µας λέει ότι η διασπορά των τιµών της τυχαίας µεταβλητής γύρω από τον µέσο της δεν αλλάζει όταν µεταβάλλεται η τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής Χ ι. Όταν η διακύµανση παραµένει σταθερή ο διαταρακτικός όρος χαρακτηρίζεται οµοσκεδαστικός ενώ όταν η διακύµανση δεν είναι σταθερή ετεροσκεδαστικός. Οµοσκεδαστικότητα. (Πηγή:Οικονοµετρία Α.Ανδρικοπουλου) Ετεροσκεδαστικότητα (Πηγή:Οικονοµετρία Α.Ανδρικοπουλου) 5

6 4. Η συνδιακύµανση µεταξύ των όρων σφάλµατος είναι µηδέν: Cov (ε i,ε j )=0. Cov( ε, ε ) = E[ ε E( ε )][ ε E( ε )] = E( ε, ε ) = 0 i j i i j j i j ηλαδή η σχέση αυτή µας λέει ότι οι διαταρακτικοί όροι χαρακτηρίζονται από την απουσία της αυτοσυσχέτισης καθώς και ότι για κάθε Χ ι οι αποκλίσεις των κάθε τιµών Υ από τις µέσες τιµές δεν µας δίνουν υποδείγµατα των κάτωθι µορφών. 5. Η συνδιακύµανση των όρων σφάλµατος και των παρατηρήσεων της ανεξάρτητης µεταβλητής είναι πάντα µηδέν: Cον ( ε i,χ ι )=0, για κάθε ί,j =,,.,.,η +ε ι Η υπόθεση αυτή µας τονίζει η ανεξάρτητη µεταβλητή Χ δεν είναι στοχαστική και πως οι τιµές παραµένουν σταθερές σε µια επαναληπτική διαδικασία. 6

7 6. Οι όροι σφάλµατος, ανεξάρτητοι µεταξύ τους, ακολουθούν την κανονική κατανοµή: ε i ~ Ν(0,σ ) µε µέσο µ=0 και διασπορά σ. Η τελευταία υπόθεση τίθεται για µικρά δείγµατα, όπου µικρά δείγµατα στην οικονοµετρία θεωρούνται αυτά µε αριθµό παρατηρήσεων κάτω από 30 ή κάτω από 0. Η υπόθεση αυτή δεν είναι αναγκαία για µεγάλα δείγµατα, αφού βάσει του κεντρικού οριακού θεωρήµατος εi N(0, σ ).Η υπόθεση 6 µας διευκολύνει στην στατιστική επαγωγή και την κατασκευή ελέγχων υποθέσεων σχετικά µε την συµπεριφορά των εκτιµητριών. Οι υποθέσεις αυτές µπορούν να συνοψισθούν στο ΣΧΗΜΑ []. Υ Υ = a +β Χ ι + ε ι +ε ι -ε ι Σχήµα Χ Χ Χ 3 Χ Η υπόθεση της γραµµικότητας σηµαίνει ότι, όσον αφορά το προσδιορισµό, τα σηµεία των ζευγών των παρατηρήσεων (Χ i, Υ i ) θα βρίσκονται γύρω ευθεία γραµµή, Υ= α+ β Χ, στον διαγραµµατικό χώρο (Χ, Υ). Με άλλα λόγια οι µέσοι Ε(Υ ι /Χ =Χ ι ) των κατανοµών f(υ ι /Χ) θα βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Η υπόθεση αυτή δεν είναι τόσο προσδιοριστική όσο φαίνεται, γιατί αναφέρεται στον τρόπο που οι προς εκτίµηση παράµετροι εισέρχονται στην εξίσωση, και όχι αναγκαστικά στην γραµµικότητα της σχέσης µετά: και Υ. Οι υποθέσεις αυτές βασικές για την µέθοδο της ελαχιστοποίησης των τετράγωνων (OLS) περιλαµβάνονται στο γνωστό θεώρηµα των Gauss-Markov. 7

8 9.5 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ 3. Η Ελαχιστοποίηση των Τετραγώνων των Καταλοίπων Σκοπός της εκτίµησης της συναρτησιακής µας σχέσης Υ, = α + βχ, + ε i =Ε(Υ ι / Χ ι ) + ε ι είναι η εκτίµηση των αγνώστων παραµέτρων, άρα και η εκτίµηση του προσδιοριστικού µέρους της εξίσωσης που συµβολίζεται σαν Υ ι = α+ βχι όπου α, β είναι οι εκτιµήτριες των παραµέτρων α και β αντίστοιχα. Το µη ερµηνευµένο µέρος ει αγνώστου όρου σφάλµατος ε ι (βλ.σχημαa []). = Y Yι, ονοµάζεται κατάλοιπο και αποτελεί µια εκτίµηση του i Για να βρούµε όµως τιµές για τις άγνωστες παραµέτρους χρειαζόµαστε κάποιο κριτήριο προσαρµογής το οποίο και να µας δίνει εκτιµήτριες οι οποίες έχουν κάποιες συγκεκριµένες ιδιότητες, όσον αφορά την σχέση τους µε τις αντίστοιχες παραµέτρους. Σα κριτήριο πολύ συχνά χρησιµοποιείται η µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων, η όποια συνίσταται στην ελαχιστοποίηση των τετραγώνων των καταλοίπων: n ν ε = Υ α βχ ι ι ι i= = ι min ( ) Οι συνθήκες πρώτης τάξης ως προς τα α, β δίνουν: n ε i= α ι ν = ( Υι α βχι )( ) δηλαδή ε ι = 0 ι= n ε i= β ι ν = ( Υ ι α βχ ι )( Χ ι ) δηλαδή Χ ιε ι = 0 ι= Υπάρχουν και άλλα κριτήρια όπως η µέθοδος της µέγιστης πιθανοφάνειας. 8

9 Αυτές υπό την κάτωθι µορφή συνιστούν τις ονοµαζόµενες κανονικές εξισώσεις ελαχίστων τετραγώνων: n nα β Υ = + i i= i= n Χ i n n n ΧΥ i i = αχ i+ βχi i= i= i= Η λύση αυτών µας δίνει τις εκτιµήτριες ελάχιστων τετράγωνων ως εξής: α = Υ β Χ β = ν ν ( Χ Χ) Υ ( Χ Χ)( Υ Υ ) ι ι ι ι ι= ι= ν = ν ( Χι Χ ) ( Χι Χ ) ι= ι= = s s xy x X iyi nxy i= όπου: sx, y = n n και s = n i= x X i nx n Έχοντας εκτιµήσει τις παραµέτρους α και β έχει προσδιοριστεί και η ευθεία παλινδροµήσεως Υ = α+ βχ που ονοµάζεται ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. ι ι Θα πρέπει σε αυτό το σηµείο να αναφέρουµε ότι οι εκτιµητές αυτοί ικανοποιούν τα εξής:. Είναι αµερόληπτοι εκτιµητές (Α.Ε) του πληθυσµού δηλ. E( a) = a και E( β ) = β.. Έχουν την µικρότερη δυνατή διακύµανση µεταξύ όλων των αµερόληπτων εκτιµητών. 3. Είναι συνεπείς εκτιµητές δηλ. όταν το µέγεθος του δείγµατος είναι άπειρο Ν τότε α α, β β 9

10 Σηµείωση Η παρατηρούµενη τιµή Υ είναι η πραγµατική τιµή της µεταβλητής, ενώ η Y είναι η τιµή που περιµένουµε για το δοθέν Χ ι, είναι δηλαδή η εκτιµηθείς τιµή. Όσο η διαφορά της εκτιµηθείσας τιµής από την πραγµατική είναι µικρή τόσο καλύτερο είναι το µοντέλο. Ερµηνεία της παραµέτρου β Το β είναι η κλίση της ευθείας και ονοµάζεται συντελεστής παλινδροµήσεως ή γωνιακός συντελεστής. Προσδιορίζει τη αναµενόµενη µεταβολή που επέρχεται στην εξαρτηµένη µεταβλητή όταν η ανεξάρτητη µεταβληθεί κατά µια µονάδα. Όταν ο συντελεστής παλινδροµήσεως είναι θετικός αριθµός, τότε η εξάρτηση είναι θετική, ενώ όταν είναι αρνητικός η εξάρτηση είναι αρνητική. Ας δούµε και γραφικά τι παριστάνει η εκτίµηση του µοντέλου µας. Υ (Χ ι,υ ι ) Υ ι ε i. Y i.... Υ... (Σχήµα ) Y ˆ ˆ i = a +β X i Χ Χ ι 0

11 4. ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΕΣ ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ. Τυπικό σφάλµα εκτίµησης (standard error of the estimate) Γνωρίζουµε ότι οι εκτιµητές µε την µέθοδο της ελαχιστοποίησης των τετράγωνων είναι αµερόληπτοι εκτιµητές όπως περιγράψαµε και στην προηγούµενη ενότητα. Η διακύµανση των εκτιµητών αυτών δίνεται από τους εξής τύπους: = se β = Var( β ) ( ( )) ν ι= σ ( X X ) i, Var a x ( ) = ( se( a)) = σ ( + ) ν n ( X i X ) ι= () Η τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης είναι γνωστή και ως τυπικό σφάλµα ( s.e). Από τις υποθέσεις των Gauss-Markov γνωρίζουµε ότι ε i ~ Ν(0,σ ). Αν λοιπόν στηριχτούµε στην υπόθεση αυτή τότε, β N( β,( se( β )), a N( a,( se( a)) () Μπορούµε να κανονικοποιήσουµε τώρα την παράσταση µας αφαιρώντας τον µέσο και διαιρώντας µε το τυπικό σφάλµα. Άρα, β β ( se( β )) Ν(0,) και α α ( se( α)) Ν(0,) (3) Θα θέλαµε λοιπόν να χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις τόσο για την δηµιουργία διαστηµάτων εµπιστοσύνης αλλά και για την δηµιουργία ελέγχου υποθέσεων, αλλά αυτό δεν είναι εφικτό καθώς τα ( se( β )), ( se( a )) δεν µπορούν να υπολογιστούν. Τα πραγµατικά τυπικά σφάλµατα δεν µπορούν να εκτιµηθούν καθώς εξετάζοντας την σχέση () η διασπορά σ εκφράζει την διασπορά των υπολοίπων. Όµως εµείς δεν παρατηρούµε τα ε ι αλλά τα ει. Από την σχέση Υ= α+ βχ ι + ε i και λύνοντας ως προς τα ι ε, ε i =Υ α βχ όπου σ ι RSS = = σ = είναι εκτιµητής του σ. n n n ε ι RSS

12 Γνωρίζουµε ότι η µαθηµατική ελπίδα των υπολοίπων Ε(ε ι )=0. Για να πάρουµε την διακύµανση θα πρέπει να διαιρέσω µε το n-. Γιατί παράµετροι είναι αναγκαίοι να εκτιµηθούν για να βρω τα υπόλοιπα. Έχουµε λοιπόν ότι σ = RSS n όπου είναι εκτιµητής του σ άρα σ είναι εκτιµητής του σ. Χρησιµοποιωντας λοιπόν σ πάρουµε να εκτιµήσουµε το αληθινό τυπικό σφάλµα, έχοντας τα εκτιµώµενα τυπικά σφάλµατα ese( β ) = σ ν ι= ( X X ) i x ese( a) = σ + ) ν n ( X X ) ι= i Κανονικοποιώντας τώρα θα έχουµε ότι, β β a a t( n ) και t( n ) ese( β ) ese( a) Σηµείωση Σε αυτό το σηµείο τονίζουµε ότι τα εκτιµώµενα τυπικά σφάλµατα τα οποία και ακολουθούν µια t- student κατανοµή (εφόσον το δείγµα µας αποτελείται από λιτότερες από τριάντα παρατηρήσεις) µε n- βαθµούς ελευθέριας έναντι των τυπικών σφαλµάτων τα οποία ακολουθούν µια κανονική κατανοµή. Στην περίπτωση όπου το δειγµα µας αποτελείται από τριάντα και παραπάνω παρατηρήσεις θα χρησιµοποιήσουµε το κριτήριο της Ζ µεταβολής. Στην πραγµατικότητα όµως και στις δυο περιπτώσεις δεν ξεχωρίζουµε τα εκτιµώµενα τυπικά σφάλµατα από τα τυπικά σφάλµατα χρησιµοποιώντας το σύµβολο s.e. ιαστήµατα εµπιστοσύνης Το.Ε διάστηµα εµπιστοσύνης για το συντελεστή β i ορίζεται ως εξής υπό την προϋπόθεση ότι η µεταβλητή βι βι µας ακολουθεί την t-κατανοµή µε Ν-Κ βαθµούς ελευθέριας: σι P[ t t t ] = a ( a /, N k ) ( a /, N k ) Η κανονικοποιηµένη ποσότητα ακολουθεί t κατανοµή µε n- βαθµούς ελευθερίας.

13 βι βι P[ t( a /, N k ) t( a /, N k )] = a σι P[ β t σ β β + t σι ] = a ι ( a /, N k ) ι ι ι ( a /, N k ) Το 00(-α)% Ε για την εκτιµηθείς τιµή της άγνωστης παρατηρήσεως Υ για δοθέν Χ ι δίνεται: yˆ ± t( n ), a / ( x x) s (+ + n ( xi x) i ) Όπου α = επίπεδο σηµαντικότητας. Σηµείωση Ανάλογα µε τον έλεγχο αξιοπιστίας των συντελεστών του µοντέλου µας χρησιµοποιούµε την t- κατανοµή ή την κανονική κατανοµή αναλόγως µε τον πληθυσµό του δείγµατος µας σε σχέση µε τον αριθµό 30. 3

14 5. ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΣΤΟ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ. Α. ΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Στον δίπλευρο έλεγχο σκοπός µας είναι η διερεύνηση της παρακάτω υποθέσεως: Εάν υπάρχει στατιστικά σηµαντική σχέση ανάµεσα στην εξαρτηµένη και στην ανεξάρτητη µεταβλητή. Με αλλά λόγια εάν η κλίση της συνάρτησης παλινδρόµησης µας θα είναι θετική ή αρνητική µε βάση την συναρτησιακή σχέση ανάµεσα στα Χ,Υ. Ο έλεγχος διαµορφώνεται ως εξής: Η 0 : β=0 (Μηδενική Υπόθεση;) Η : β f 0 (Εναλλακτική Υπόθεση;) Β. ΕΞΙΟΣ ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ας υποθέσουµε ότι µε βάση την οικονοµική θεωρία αναµένουµε ότι ο συντελεστής βι είναι θετικός και θέλουµε να διαπιστώσουµε εµπειρικά αν ο β; είναι, πρώτο, θετικός και, δεύτερο, στατιστικά σηµαντικός. Σε αυτή την περίπτωση, οι Η 0 και Η, υποθέσεις εκφράζονται ως εξής: Η 0 : β=0 (Μηδενική Υπόθεση;) Η : β f 0 (Εναλλακτική Υπόθεση;) Γ. ΑΡΙΣΤΕΡΟΣ ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ας υποθέσουµε ότι µε βάση την οικονοµική θεωρία αναµένουµε ότι ο συντελεστής βι είναι αρνητικός και θέλουµε να διαπιστώσουµε εµπειρικά αν ο β; είναι, πρώτο, είναι αρνητικός και δεύτερο, στατιστικά σηµαντικός. Σε αυτή την περίπτωση, οι Η 0 και Η, υποθέσεις εκφράζονται ως εξής: Η 0 : β=0 (Μηδενική Υπόθεση; ) Η : β p 0 (Εναλλακτική Υπόθεση;) Η θεωρία των ελέγχων έχει αναπτυχθεί σε προηγούµενο κεφάλαιο. 4

15 6. ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΣΤΟ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ. Η ακρίβεια σε ένα γραµµικό µοντέλο µετριέται από τα τυπικά σφάλµατα (standard error-s.e). Για παράδειγµα όσο µικρότερο είναι το se( β ) τόσο πιο ακριβής είναι και η εκτίµηση της κλίσης. Ο τύπος για το standard error του συντελεστή κλίσης δίνεται ως εξής: σ se( β ) = σ = ( Χ Χ) ( Χ Χ) ι ι ι ι όµως ( X i X ) i Var( X ) = ( X i X ) = ( n ) Var( X ) και ισχύει ότι σ var( ε) n i Άρα ο τύπος γίνεται: se( β ) = var( ε) ( n ) Var( X ) Σε αυτό το σηµείο πρέπει να αναφέρουµε ότι η ακρίβεια εξαρτάται από τρεις κύριους παράγοντες. a. Από το µέγεθος του δείγµατος. Αφού το n εµφανίζεται και στον παρανοµαστή του κλάσµατος όσο µεγαλύτερο είναι το µέγεθος τόσο και µικρότερη η τιµή του standard error άρα τόσο πιο ακριβής η εκτίµηση αυτού. b. Επίσης όσο µεγαλύτερη είναι η απόκλιση του Χ τόσο και µικρότερη η τιµή του standard error άρα τόσο πιο ακριβής η εκτίµηση αυτού. c. Var (ε). Όσο µεγαλύτερη είναι η απόκλιση των ε i στην κατακόρυφη διεύθυνση τόσο το λιγότερο ακριβής είναι η εκτίµηση του standard error of the slope parameter. 5

16 7. ΙΑΦΟΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. Παλινδρόµηση καλείται η µέθοδος εκτίµησης µιας µεταβλητής, της εξαρτηµένης από άλλες ανεξάρτητες µεταβλητές. Έτσι αν η Υ µεταβλητή πρόκειται να εκτιµηθεί από τις Χ i, i =,,p µε βάση µια εξίσωση, η εξίσωση αυτή καλείται εξίσωση παλινδρόµησης. Είδη εξισώσεων παλινδρόµησης Απλό γραµµικό µοντέλο Υ = α + βx Γενικό γραµµικό µοντέλο Υ = β ο + β x + β x + + β p x p Πολυωνυµικό µοντέλο Υ = β ο + β x + β x + + β p x p Εκθετικό µοντέλο Υ = exp (β ο + β x + β x + + β p x p ) Το εκθετικό µοντέλο αυτό µε έναν λογαριθµικό µετασχηµατισµό µετατρέπεται σε γραµµικό. Αναφερόµενοι στο εκθετικό µοντέλο θα παρουσιάσουµε το εξής παράδειγµα. Ας θεωρήσουµε την εξής συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas όπου Q είναι το παραγόµενο προϊών, L είναι το εργατικό δυναµικό, K είναι το κεφαλαίο και A, b, a σταθερές. Q a b = AK L () Η εξίσωση αυτή µε την υπάρχουσα µορφή θα λέγαµε ότι είναι αρκετά δύσκολο να εκτιµηθεί όποτε προσπαθούµε να την µετασχηµατίσουµε σε κάποια άλλη µορφή. Η ιδία της όµως η µορφή (εκθετική) µας επιτρέπει να την λογαριθµοποιήσουµε οπότε: a b Q= AK L ln Q= ln A+ a ln K+ bln L () Παρατηρούµε ότι η εξίσωση () είναι σε γραµµική µορφή, άρα ποιο εύκολο να εκτιµηθεί. Κατάλληλοι µετασχηµατισµοί µπορούν να εφαρµοστούν και σε άλλα µοντέλα µετατρέποντας τα σε γραµµικά. 6

17 8. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. Είναι γνωστό ότι, ε =Υ Υ ι = ( Υ Υ) ( Υι Υ) ι ι ι ( Υ Υ ) = ( Υ Υ ι ) + ( Υι Υ) ι ι ( ι ) ( ι ι ) ( ι ) ( ι ι )( ι ) ( Υι Υ ) = ( Υι Υ ι ) + ( Υι Υ) Υ Υ = Υ Υ + Υ Υ + Υ Υ Υ Υ διότι ( Υ Υι )( Υι Υ ) = 0 άρα ι Αθροίσµατα τετραγώνων-(total Sum of Squares) Το άθροισµα n = ( i ) =ΑΤΠ i= SST Y Y ονοµάζεται συνολικό άθροισµα τετραγώνων και εκφράζει την ολική µεταβολή (total variation).είναι ένα µέτρο της συνολικής µεταβολής για την εξαρτηµένη µεταβλητή. Το άθροισµα αυτό αναλύεται σε δυο άλλες συνιστώσες, εκ των οποίων η µια οφείλεται στην παλινδρόµηση και η άλλη εκφράζει το υπόλοιπο µεταβολής (residual variation) και είναι η µεταβολή που οφείλεται σε άλλους παράγοντες εκτός από το x. Παρατηρήστε ότι εάν διαιρέσουµε τον SST µε το n- έχουµε την Var(Y). Άθροισµα Τετραγώνων Παλινδρόµησης-(Explained Sum Of Squares). Το άθροισµα που οφείλεται στην παλινδρόµηση (SS due to regression) και εξηγείται από αυτήν δίνεται από τον εξής τύπο: n = ( i ) =ΣΤΑ ESS Y Y i= Άθροισµα Τετραγώνων των Καταλοίπων-(Residual Sum of Squares). n n ( ˆ i i ) ε i= i= RSS = y y = =ΑΤΚ ι Εποµένως ισχύει: TSS = ESS+ RSS Στο παρακάτω σχήµα θα προσπαθήσουµε να αναλύσουµε την µεταβλητικότητα της Υ και τα συστατικά αυτής, 7

18 Υ ι Υι Υ Υι Υ= ει Y i = a+ β Χ ι Υ Υ ι Y Χ ι Χ Η µεταβλητικοτητα της εξαρτηµένης µεταβλητής παρουσιάζετε στον κάτωθι πίνακα. Πηγή Άθροισµα Βαθµοί Ελευθέριας Μεταβλητικοτητας Τετράγωνων Παλινδρόµηση ΑΤΠ Κ- ΑΤΠ/κ- Χ Κατάλοιπα ΑΤΚ Ν-κ ΑΤΚ/Ν-κ ε ΣΤΑ Ν- ΣΤΑ/Ν- 8

19 R συντελεστής προσδιορισµού. Η αναλογία της µεταβλητικότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής που ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση ονοµάζεται συντελεστής προσδιορισµού ( coefficient of determination) και δίνεται από τον τύπο: R ESS =, όπου TSS 0 R Ο συντελεστής προσδιορισµού R µετράει το ποσοστό της µεταβλητικότητας της µεταβλητής Υ η οποία και ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση του δείγµατος. Ο συντελεστής προσδιορισµού R συµπίπτει µε το r, όπου r ο δειγµατικός συντελεστής συσχέτισης στο απλό γραµµικό µοντέλο. Επίσης όταν το R είναι κοντά στην µονάδα τότε µιλάµε ότι το µοντέλο µας είναι καλό στην ερµηνεία της απόκλισης του Υ,υπάρχει τέλεια προσαρµογή της ευθείας παλινδροµήσεως (Fit Model). Πρόβληµα χρησιµοποιώντας το R. Πολλοί ερευνητές χρησιµοποιούν το συντελεστή προσαρµογής ως ένα ιδανικό κριτήριο για την επιλογή ενός οικονοµετρικού µοντέλου. Είναι όµως αυτό σωστό; Το πρόβληµα µε τον συντελεστή προσδιορισµού είναι ότι αυξάνει µε την προσθήκη µιας προσθετής ερµηνευτικής µεταβλητής στο µοντέλο µας. Για παράδειγµα εάν στο παράδειγµα της κατανάλωσης φαγητού µε το οικογενειακό εισόδηµα εµείς προσθέσουµε την µεταβλητή της ύπαρξης τηλεφωνικής γραµµής θα παρατηρήσουµε τι η τιµή του R θα αυξηθεί. Άρα καταλαβαίνουµε ότι η χρήση του R για την επιλογή ενός οικονοµετρικού µοντέλου θα είναι ένα κίνητρο για την προσθήκη και άλλων επεξηγηµατικών µεταβλητών. Η λύση σε αυτό το πρόβληµα είναι η χρήση του adjusted R. Πρώτα ας θεωρήσουµε ότι: R ESS TSS RSS RSS = = = TSS TSS TSS Adjusted R είναι µια κανονικοποιηµένη µορφή της τελικής έκφρασης: 9

20 RSS /( n k) R = TSS /( n ), όπου κ ο αριθµός των παραµέτρων του µοντέλου µας. F έλεγχος Ο έλεγχος αυτός εξετάζει τη γραµµική παλινδρόµηση µεταξύ των Χ και Υ. ηλαδή, εδώ έχουµε τον εξής έλεγχο υποθέσεων: Η ο : όλοι οι συντελεστές παλινδρόµησης εκτός από το α είναι µηδέν. έναντι Η : όλοι οι συντελεστές είναι διαφορετικοί του µηδενός. Μεθοδολογία: Για τον έλεγχο της Η ο υπολογίζεται ο παρακάτω λόγος: SSR MSR n R / k F = = = MSE SSE ( R ) / N k Το F ακολουθεί την F-κατανοµή µε (, n-) β.ε. Ο έλεγχος αυτός απεικονίζετε ως εξής: F(f) H 0 δεκτή Η δεκτή Εδώ κ= οι παράµετροι µας ο σταθερός όρος και η κλίση. 0

21 Συντελεστής Συσχέτισης. Ο συντελεστής συσχέτισης (Correlation Coefficient) είναι ένας δείκτης που µετράει τον βαθµό της γραµµής συσχέτισης ανάµεσα στις µεταβλητές Χ και Υ και ορίζεται σαν η τετραγωνική ρίζα του συντελεστή προσδιορισµού, δηλαδή, r=± R = ( X X )( Y Y ) ( X X ) ( Y Y ). Αν και υπάρχει τόσο στενή σχέση ανάµεσα στον συντελεστή προσδιορισµού, r, και τον συντελεστή συσχέτισης, R, υπάρχει όµως σηµαντική διαφορά ως προς την ερµηνεία τους και, φυσικά, τις ιδιότητες του. Συγκεκριµένα, ο συντελεστής προσδιορισµού είναι πάντοτε θετικός και η τιµή του βρίσκεται ανάµεσα στη µονάδα και το µηδέν. Αντίθετα ο συντελεστής συσχέτισης κυµαίνεται µεταξύ της αρνητικής και θετικής µονάδας. ηλαδή : Όταν r= τότε υπάρχει πλήρης θετική συσχέτιση ανάµεσα στην Υ και Χ, όταν r=- υπάρχει πλήρης αρνητική συσχέτιση, και όταν r=0,οι µεταβλητές Υ και Χ δεν συσχετίζονται. Ο συντελεστής συσχέτισης είναι συµµετρικός, r xy = r, δεν εξαρτάται από τον γραµµικό yx µετασχηµατισµό των µεταβλητών του υποδείγµατος, και έχει µόνο εφαρµογή όταν η σχέση ανάµεσα στην Υ και Χ είναι γραµµική. Ο συντελεστής συσχέτισης του δείγµατος είναι ένας εκτιµητή: του συντελεστή συσχέτισης στον πληθυσµό,

22 ΑΣΚΗΣΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ο ρόλος όπως είδαµε της οικονοµετρίας είναι να προσδιορίσει ποσοτικά, οικονοµικά αλλά και άλλα µοντέλα. Αρχικά θα προσπαθήσουµε µε ένα απλό παράδειγµα να κάνουµε µια εισαγωγή στην εκτίµηση ενός οικονοµετρικού υποδείγµατος. Παράδειγµα. Σύµφωνα µε τον νόµο του Άγγλου οικονοµολόγου Engel (848) όσο το εισόδηµα ενός νοικοκυριού αυξάνει τόσο η κατανάλωση σε φαγητό αυξάνει κατ αναλογία ή η εισοδηµατική ελαστικότητα για την ζήτηση για φαγητό είναι µεγαλύτερη του µηδενός αλλά µικρότερη της µονάδας. Το οικονοµικό µοντέλο που περιγράφει αυτήν την σχέση δίνεται ως εξής: Κατανάλωση σε Φαγητό =β +β *εισόδηµα, όπου β >0 και 0<β <. Οι οικονοµέτρες θα προσπαθήσουν να εκτιµήσουν τα β,β. Επίσης θα προσπαθήσουν να προσδιορίσουν το κατά πόσον εµπιστοσύνη µπορούµε να έχουµε σε αυτές τις εκτιµήσεις τους (χρησιµοποιώντας τυπικές αποκλίσεις). Έπειτα θα χρησιµοποιήσουν τεστ για την ισχύ του νόµου του Engel. Για να γίνουν όλα αυτά θα χρησιµοποιήσουν το κάτωθι οικονοµετρικό µοντέλο. Κατανάλωση σε Φαγητό =β + β *εισόδηµα +ε i. Το Απλό Γραµµικό Μοντέλο. Πολλές φορές µας ενδιαφέρει η στατιστική ανεξαρτησία κάποιων µεταβλητών είτε αυτές είναι ανεξάρτητες ή και εξαρτηµένες. Στην περίπτωση όπου υπάρχει µόλις µια επεξηγηµατική µεταβλητή το διµετάβλητο οικονοµετρικό µοντέλο (Gujarati) είναι το κατάλληλο για την εκτίµηση. Ας θεωρήσουµε το κάτωθι σετ των δεδοµένων για το άνωθι παράδειγµα. Εισόδηµα (Χ): Κατανάλωση σε Φαγητό (Υ):

23 Καταναλωση σε Φαγητο 90 Εισοδηµα KATANALW EISODIMA Παραπάνω δίνεται ένα διάγραµµα διασποράς των δεδοµένων. Η επεξηγηµατική µεταβλητή Χ απεικονίζεται στον οριζόντιο άξονα χχ ενώ η εξαρτηµένη µεταβλητή στον κάθετο. Κάθε νοικοκυριό απεικονίζεται από ένα σηµείο στο διάγραµµα µας. Βέβαια είναι φανερή η θετική και θα λέγαµε γραµµική σχέση µεταξύ των δυο αυτών µεταβλητών το ερώτηµα που υφίσταται εδώ είναι µε ποιον τρόπο θα καταφέρουµε να εκτιµήσουµε αυτήν την θετική σχέση µεταξύ των δυο αυτών µεταβλητών. Το οικονοµετρικό µοντέλο που θα χρησιµοποιήσουµε είναι το εξής: Υ= β + β Χ+ ε ι =,,...,η όπου () ι Υ ι : το εισόδηµα του νοικοκυριού i. β : σταθερός όρος. β : κλίση. n: το µέγεθος του δείγµατος. Χ ι : η κατανάλωση φαγητού του νοικοκυριού i. ε i : ο διαταρακτικός όρος του νοικοκυριού i. 3

24 Κύριο µέληµα µας είναι η εκτίµηση των β, β που ονοµάζονται και µεταβλητές του υποδείγµατος µας. Η µέθοδος η οποία και θα χρησιµοποιηθεί είναι η µέθοδος (OLS, ordinaryυ least square) ελαχίστων τετραγώνων η οποία και θα αναλυθεί εκτενέστερα αργότερα. Σύµφωνα µε αυτήν οι εκτιµήσεις των παραµέτρων β, β συµβολίζονται ως β, β και δίνονται από τους εξής τύπους: β = ν ι= ν ι= ( Χ Χ) Υ ι ( Χ Χ ) ι ι () β = Υ β Χ (3) Για τον υπολογισµό αυτών σχεδιάζουµε το κάτωθι πίνακα. Χ Υ Χ Χ Χ Χ ( ) ( ) Χ Χ Υ ι= Χ= 00 8 Υ= ι= ( Χ Χ) 8 ι= ( Χ Χ) Υ Χ= 75 Υ= 75 4

25 Χρησιµοποιώντας λοιπόν έναν τέτοιο πίνακα µπορούµε να υπολογίσουµε µε ένα απλό κοµπιουτεράκι τα β, β. Πως όµως µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το SPSS για τον ; υπολογισµό των β, β Πριν προχωρήσουµε στον υπολογισµό των συντελεστών ας δούµε πως µπορούµε να απεικονίσουµε το διάγραµµα διασποράς µε την βοήθεια του SPSS. Επιλέξτε Graphs από τη γραµµή µενού στην κορυφή του παραθύρου, για να εµφανίσετε ένα πτυσσόµενο µενού (Εικόνα ). Έπειτα επιλέξτε scatter και εν συνεχεία simple και, Define, για να ορίσετε το διάγραµµα διασποράς το οποίο θέλετε. Στο menu που εµφανίζεται και στον άξονα των ψ εισάγετε την µεταβλητή katanalwsh ενώ στον χχ εισάγετε την µεταβλητή eisodhma. Επιλέγοντας το κουµπί titles µπορείτε να δώσετε τίτλο στο διάγραµµα διασποράς, ενώ µε το κουµπί OK έχουµε την γραφική απεικόνιση του. Ας περάσουµε τώρα στον υπολογισµό των συντελεστών. Εικονα 5

26 Στο παράθυρο του Data Editor καταχωρίστε τα δεδοµένα συγκεκριµένα τα Χ,Υ ή φορτώστε το ανάλογο αρχείο εάν τα δεδοµένα σας είναι σε µορφή π.χ excel. Επιλέξτε Analyze από τη γραµµή µενού στην κορυφή του παραθύρου, για να εµφανίσετε ένα πτυσσόµενο µενού (Εικόνα ). Από αυτό το πτυσσόµενο µενού, επιλέξτε Regression (Παλινδρόµηση) για να ανοίξετε ένα µικρότερο µενού. Από το νέο µενού επιλέξτε Linear (Γραµµική) για να ανοίξετε το πλαίσιο διαλόγου που αναφέρετε ως Linear Regression. Επιλέξτε τη µεταβλητή katanalw και πατήστε στο κουµπί δίπλα στο πλαίσιο κειµένου Dependent : (Εξαρτηµένη) για να την προσθέσετε εκεί. Επιλέξτε τη µεταβλητή Eisodima" και πατήστε στο κουµπί δίπλα στο πλαίσιο κειµένου Independent (ανεξάρτητη) για να την προσθέσετε εκεί. Πατήστε στο κουµπί Statistics και προσέξτε να είναι επιλεγµένη η επιλογή των estimates, εάν όχι την επιλέγετε εσείς. Με αυτόν τον τρόπο υπολογίζεται τους εκτιµητές των β, β.επιλεγοντας Continue επιστρέφουµε στο αρχικό menu όπου πατώντας το κουµπί Ο έχουµε καταφέρει να υπολογίσουµε τις εκτιµήσεις παίρνοντας τον ακόλουθο πίνακα. Model (Constant) EISODIMA Unstandardized Coefficients a. Dependent Variable: KATANALW Coefficients a Standardized Coefficients 95% Confidence Interval for B B Std. Error Beta t Sig. Lower Bound Upper Bound 8,3 7,7 3,673,00 9,453 47,89,04,06,854 4,09,007,04,68 (Πίνακας ) Από τον πίνακα έχουµε ότι β = 8.3, β = 0.04 Άρα το οικονοµετρικό µας µοντέλο έχει την εξής µορφή: Υ= β+ βχ+ ε ι Υ= 8,3 + 0,04 Χ Σύµφωνα µε αυτό το µοντέλο και παρατηρώντας το Σχήµα µπορούµε να αναρωτηθούµε εάν το σηµείο στην γραµµή παλινδρόµησης ανταποκρίνεται στην εκάστοτε παρατήρηση ι. Βέβαια δεν µπορούµε να το ισχυριστούµε αυτό αλλά µπορούµε να πούµε ότι η γραµµή παλινδρόµησης εκφράζει την πρόβλεψη για την κατανάλωση φαγητού δεδοµένου του εισοδήµατος που µια οικογένεια µπορεί να έχει. Η πραγµατική 6

27 κατανάλωση φαγητού για κάθε οικογένεια εκφράζεται ως Υ ι, ενώ η διαφορά (απόσταση ) µεταξύ της γραµµής παλινδρόµησης (fitted value) και της εκάστοτε παρατήρησης εκφράζει το υπόλοιπο (κατάλοιπο) ε ι. Εάν το υπόλοιπο είναι θετικό µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η πραγµατική κατανάλωση φαγητού για κάθε νοικοκυριό είναι µεγαλύτερη από ότι το µοντέλο προβλέπει και αντιστρόφως. Θα πρέπει όµως σε αυτό το σηµείο να αναφέρουµε το κατά πόσο ταιριαστό είναι το µοντέλο το οποίο και έχουµε επιλέξει για την εκτίµηση των µεταβλητών µας. Αναφερόµενοι στην θεωρία µας και πάλι θα πρέπει να τονίσουµε την ύπαρξη των συντελεστών προσδιορισµού και το κατά πόσον είναι πιο κοντά αριθµητικά στην µονάδα. Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate Model Summary (b) Durbin- Change Statistics Watson R Square Change F Change df df Sig. F Change,854,730,685 8,387,730 6,33 6,007 (a) a Predictors: (Constant), EISODIMA b Dependent Variable: KATANALW Με βάση το SPSS θα έχουµε ότι R=0.854, R =0.730 και Adjusted R = Σχολιάζοντας λοιπόν τον συντελεστή προσδιορισµού να αναφέρουµε ότι το 85.4% της συνολικής µεταβλητικότητας ερµηνεύεται από το εισόδηµα των καταναλωτών ενώ το υπόλοιπο 4.6 % από υπόλοιπους παράγοντες. Εκτός όµως από αυτό µας ενδιαφέρει και αν ισχύουν και κάποιες υποθέσεις που αφορούν το µοντέλο µας. Για παράδειγµα ερωτάµε εάν το οικογενειακό εισόδηµα επηρεάζει την δαπάνη σε φαγητό. Για να εξετάσουµε αυτήν την ερώτηση θα χρησιµοποιήσουµε την κατασκευή ενός ελέγχου υπόθεσης ως εξής: Έλεγχος υπόθεσης ουρών- ίπλευρος (Two tailed test) Η 0 : β =0 (Μηδενική Υπόθεση; το εισόδηµα έχει καµία επίδραση στην δαπάνη για φαγητό.) Η : β 0 (Εναλλακτική Υπόθεση; Το εισόδηµα δεν έχει καµία επίδραση) Είναι ένα t-test από το οποίο και βρίσκουµε ότι : β t= = = 4.09 Τα αποτελέσµατα περιέχονται στον πίνακα. se( β )

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ-ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ- ΠΟΛΛΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Σηµειώσεις: Θωµόπουλος Γιώργος Ρογκάκος Γιώργος Καθηγητής: Κουνετάς

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Περιεχόμενα Εισαγωγή Το πρόβλημα - Συντελεστής συσχέτισης Μοντέλο απλής γραμμικής παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο Παράδειγμα 1 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις πωλήσεις (ζήτηση) ενός προϊόντος Υ (σε κιλά) από το delicatessen μιας περιοχής και τις αντίστοιχες τιμές Χ του προϊόντος (σε ευρώ ανά κιλό) για μια ορισμένη χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή

Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή Επιστηµονική Επιµέλεια ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας, Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Εισαγωγή Ανάλυση Παλινδρόµησης και Συσχέτιση Απλή

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται Κεφάλαιο 10 Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να προβλέψουμε τις τιμές μιας μεταβλητής από τις τιμές μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i )

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i ) Άσκηση Ο επόμενος πίνακας δίνει τους βαθμούς φοιτητών (Χ i ) στις εισαγωγικές εξετάσεις ενός κολεγίου και τους αντίστοιχους βαθμούς τους (Υ i ) στο τέλος της πρώτης χρονιάς φοίτησης στο συγκεκριμένο κολέγιο.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 7. Παλινδρόµηση Γενικά Επέκταση της έννοιας της συσχέτισης: Πώς µπορούµε να προβλέπουµε τη µια µεταβλητή από την άλλη; Απλή παλινδρόµηση (simple regression): Κατασκευή µοντέλου πρόβλεψης

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 11. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις:

Άσκηση 11. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις: Άσκηση. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις: X X X X Y 7 50 6 7 6 6 96 7 0 5 55 9 5 59 6 8 8 5 0 59 7 7 8 8 5 5 0 7 69 9 6 6 7 6 9 5 7 6 8 5 6 69 8 0 50 66 0 0 50 8 59 76 8 7 60 7 87 6 5 7 88 9 8 50 0 5

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολλαπλή Παλινδρόμηση Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Ανάλυση Δεδομένων (Εργαστήριο) Διαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού

Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Viola adorata Σκηνή Πρώτη Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους (µέρος Ι). Ο µέσος όρος

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ SOS & ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ www.dap papei.gr 2 ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Τι θα γράψω: Στις εξετάσεις τα θέματα περιλαμβάνουν ερωτήσεις και ασκήσεις (κυρίως ασκήσεις) όπου

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ.

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Smple Lear Regresso) Να κατανοηθεί η έννοια της παλινδρόµησης Ποιες οι προϋποθέσεις για να εφαρµοσθεί η γραµµική παλινδρόµηση; Τι είναι το γραµµικό µοντέλο και πως εκτιµούνται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος... v

Περιεχόμενα. Πρόλογος... v Περιεχόμενα Πρόλογος... v 1 Χρήση της έκδοσης 10 του SPSS για Windows και καταχώριση δεδομένων... 1 2 Περιγραφή μεταβλητών: πίνακες και γραφήματα... 19 3 Περιγραφή μεταβλητών αριθμητικά: μέσοι όροι, διακύμανση,

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης

Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης Πέτρος Ρούσσος Πρόγραμμα Ψυχολογίας, ΦΠΨ, ΕΚΠΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1 Ορολογία Προβλεπτικές μεταβλητές ή παράγοντες (predictors) Μεταβλητή κριτήριο (criterion) Απλή και πολλαπλή παλινδρόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Άσκηση 1: Μια τράπεζα ενδιαφέρεται να μελετήσει την αποταμιευτική συμπεριφορά των πελατών της. Θεωρείται ως δεδομένο ότι η ετήσια αποταμίευση των πελατών της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ 7o MH ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ-ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011-2012 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή 2013 [Πρόλογος] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 2012-2013 Μ.Επ. ΟΕ0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Μαρί-Νοέλ Ντυκέν, Επ. Καθηγητρία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Α εξάμηνο 2010-2011 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Ποιοτικές και Ποσοτικές μέθοδοι και προσεγγίσεις για την επιστημονική έρευνα users.sch.gr/abouras

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 14 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 1 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Παραµετρικό στατιστικό κριτήριο για τη µελέτη της επίδρασης µιας ανεξάρτητης µεταβλητής στην εξαρτηµένη Λογική παρόµοια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 6: Συσχέτιση και παλινδρόμηση εμπειρική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 6. Συσχέτιση

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 6. Συσχέτιση ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 6. Συσχέτιση Γενικά Υπάρχει σχέση ανάµεσα σε δύο (ή περισσότερες) µεταβλητές; Αν υπάρχει σχέση ποια η φύση της σχέσης αυτής; Συσχέτιση: µέτρο σχέσης ανάµεσα σε µεταβλητές Θετικά συσχετισµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ-ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΠΟΛΛΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2012-2013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο

Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο Χρήσιμες Οδηγίες Με την βοήθεια του λογισμικού E-views να απαντήσετε στα ερωτήματα των επόμενων σελίδων, (οι απαντήσεις πρέπει να περαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να κατανοηθεί η έννοια της εκτίµησης σηµείου και της εκτίµησης διαστήµατος. Επίσης να κατανοηθεί η έννοια της δειγµατικής κατανοµής παραµέτρου και να υπολογισθούν µε χρήση της Κεντρικού

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ: ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Το Γενικευμένο Γραμμικό Υπόδειγμα (Α) ΔΙΑΛΕΞΗ 05 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν,

Διαβάστε περισσότερα

γένεση των µετακινήσεων

γένεση των µετακινήσεων 3 γένεση των µετακινήσεων εισαγωγή το υπό διερεύνηση θέµα: πόσες µετακινήσεις ξεκινούν από κάθε ζώνη? πόσες µετακινήσεις κάνει ένας µετακινούµενος κατά την διάρκεια µιας µέσης εβδοµάδας? Ανάλυση κατά ζώνη

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011 Πάτρα, 7 Ιανουαρίου 011 Γενικά Πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές. Παράδειγµα 1 OZON 300 80 60 40 0 00 180 150 00 50 300 350 400 450 CFC 1 Από το

Διαβάστε περισσότερα

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model)

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) ΜΑΘΗΜΑ 4 ο 1 Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) Αυτοσυσχέτιση (Serial Correlation) Lagrange multiplier test of residual

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό διερευνούµε αν το να είναι κανείς υποψήφιος παλαιοτέρων ετών, που έχει δώσει τουλάχιστον µια φορά εξετάσεις, του προσδίδει

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( µε τις λύσεις ) Όταν µας δίνονται σε έναν πίνακα στοιχεία του κόστους π.χ. το Q και το

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τον έλεγχο της υπόθεσης της ισότητα δύο μέσων τιμών με εξαρτημένα δείγματα. Εξαρτημένα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα