ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ"

Transcript

1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ο ορισµός της οικονοµετρίας περιλαµβάνει την εµπειρική εκτίµηση των οικονοµικών σχέσεων. Χρησιµοποιώντας δηλαδή την οικονοµική θεωρία την στατιστική θεωρία αλλά και τα απαραίτητα σετ δεδοµένων από ένα δείγµα ενός πληθυσµού ελέγχει αλλά και µέτρα τις ορισµένες σχέσεις ανάµεσα σε διάφορες οικονοµικές µεταβλητές. Οι σκοποί της οικονοµετρίας είναι βασικά τρεις: Πρώτον ο έλεγχος της οικονοµικής θεωρίας ως προς την εµπειρική της τεκµηρίωση παράλληλα µε την διερεύνηση των οποίων δυνατοτήτων για αναδιατύπωση κάποιων σχέσεων η οποία και καλείται διαρθρωτική ανάλυση ( structural analysis), δεύτερον η διατύπωση εναλλακτικών προτάσεων οικονοµικής πολιτικής (policy evaluation)και τρίτον η διενέργεια προβλέψεων όσον αφορά την εξέλιξη των διάφορων τιµών ορισµένων οικονοµικών µεγεθών σε περιοχές του δείγµατος εκτίµησης (forecasting). Αναφερόµενοι στην οικονοµετρική ανάλυση θα πρέπει να τονίσουµε και τα στάδια αυτής. Το πρώτο στάδιο αφορά την εξειδίκευση του υποδειγµατος δηλαδή στον καθορισµό των µεταβλητών που θα το απαρτίζουν, στην καταγραφή αυτών σε εξωγενείς και ενδογενείς καθώς και στην µαθηµατική διατύπωση του υποδείγµατος. Το δεύτερο στάδιο αναφέρεται στην κατάλληλη επιλογή των οικονοµετρικών τεχνικών για την εκτίµηση των συντελεστών των µεταβλητών µας και ονοµάζεται εκτίµηση του υποδείγµατος. Τέλος το τρίτο στάδιο αφορά των έλεγχο του υποδείγµατος µε την παράλληλη εφαρµογή οικονοµικών, στατιστικών αλλά και οικονοµετρικών κριτηρίων για το έλεγχο των αποτελεσµάτων της εκτιµήσεως. Κύριος σκοπός αυτών των σηµειώσεων είναι µια πρώτη γνωριµία του φοιτητή µε τις προκαταρκτικές έννοιες της οικονοµετρίας, το θεωρητικό υπόβαθρο αυτής καθώς και η ενασχόληση και επίλυση κάποιων προβληµάτων. Τα προβλήµατα αυτά θα επιλύονται µε δυο τρόπους πρώτα υπολογιστικά και δεύτερον χρησιµοποιώντας το λογισµικό στατιστικό πρόγραµµα SPSS. Ανεξάρτητα από τους οποιονδήποτε ελέγχους αν αξιολογήσουµε ένα οικονοµετρικό υπόδειγµα αυτό αξιολογείται ως προς την ικανότητα του από την επίδοση του σε προβλέψεις των ενδογενών µεταβλητών που αυτό χρησιµοποιεί. Ασφαλώς ένα υπόδειγµα το οποίο και θεωρείται «καλό» σύµφωνα µε τα κριτήρια των ελέγχων δεν είναι απαραίτητο και να δίνει ακριβείς και ασφαλείς προβλέψεις.

2 Σχήµα - ιαδικασία Οικονοµετρικής Αναλύσεως. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ

3 9.5 Παρουσίαση του απλού διµετάβλητου γραµµικού υποδείγµατος. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ας υποθέσουµε ότι κάποιος επιχειρηµατίας αποφασίζει να αγοράσει ένα κατάστηµα εµπορίας ποτών,εµβαδού S το οποίο βρίσκεται σε µια συνοικία ενός πληθυσµού P. Ο επιχειρηµατίας αυτός γνωρίζει ότι τα κέρδη του µαγαζιού είναι γραµµική εξάρτηση της επιφάνειας αλλά και του πληθυσµού που βρίσκεται. Επίσης γνωρίζει το κέρδος 3 γειτονικών καταστηµάτων όµοιας επιχειρηµατικότητας. Σε τι κέρδος µπορεί να ελπίζει αν το κατάστηµα που ενδιαφέρεται να αγοράσει είναι 5 τ.µ; Ο επιχειρηµατίας έχει τα εξής στοιχεία στην διάθεση του. ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ( εκ.κατ.) ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ(τ.µ) ΚΕΡ ΟΣ (Χιλ.ευρω) Αναφερόµενοι στο παραπάνω πρόβληµα θα προσπαθήσουµε να κάνουµε µια απλή εισαγωγή στην έννοια της οικονοµετρίας δίνοντας µια απλή αλλά και περιεκτική διάσταση για το τι είναι και σε τι µπορεί να µας βοηθήσει. Η παραπάνω οικονοµική σχέση µπορεί να παρασταθεί "στοχαστικά" ως εξής και να εκτιµηθεί µε βάση ένα οικονοµετρικό µοντέλο: Υ =F(Χ,ε) = a +β Χ ι + ε ι () Όπου Υ είναι η εξαρτηµένη (Dependent) µεταβλητή, ενώ Χ ι είναι η ανεξάρτητη (Independent) µεταβλητή, ε ι είναι η στοχαστική µεταβλητή και α,β είναι σταθεροί συντελεστές. Η σχέση απεικονίζει δυο 3

4 βασικά χαρακτηριστικά : Την εξαρτηµένη µεταβλητή Υ η οποία µεταβάλλεται συστηµατικά σαν αποτέλεσµα της µεταβολής της ανεξάρτητης µεταβλητής Χ. ι. Αυτή η συστηµατική σχέση περιγράφεται από την ευθεία γραµµή της σχέσης (). Τις διασκορπισµένες παρατηρήσεις γύρω από την ευθεία γραµµή οι οποίες οφείλονται στο γεγονός ότι: Εκτός από την µεταβλητή Χ υπάρχουν και άλλον παράγοντες που επηρεάζουν την µεταβλητή Υ και υπάρχει συµφυής µεταβλητικότητα της Υ, καθώς και ότι τα υποδείγµατα παλινδρόµησης ενσωµατώνουν τα δύο χαρακτηριστικά της στοχαστικής σχέσης όταν υποθέσουµε ότι: Για κάθε επίπεδο της ανεξάρτητης µεταβλητής Χ υπάρχει µία κατανοµή πιθανότητας (Probability Distribution) της εξαρτηµένης µεταβλητής Υ, και οι µέσοι αυτών των κατανοµών πιθανοτήτων µεταβάλλονται συστηµατικά για κάθε µεταβολή της Χ. Παρέχοντας όπως θα δούµε παρακάτω µια εκτίµηση για το µοντέλο () θα µπορέσουµε να απαντήσουµε στο ερώτηµα µας. 9.5 Οι υποθέσεις του απλού γραµµικού υποδείγµατος. Σε γενική µορφή µπορούµε να ξαναδιατυπώσουµε το προς εκτίµηση υπόδειγµα ως Υ=f(X, ε i )= α + βχ, + ε i ι =,,...,η Όπου: Υ: ονοµάζεται εξαρτηµένη ή ερµηνευόµενη µεταβλητή. Χ: είναι η ανεξάρτητη ή ερµηνευτική µεταβλητή και i: είναι µία αντιπροσωπευτική από τις η παρατηρήσεις του δείγµατος. Η παραπάνω σχέση ονοµάζεται εξίσωση γραµµικής παλινδρόµησης και οι υποθέσεις που συνιστούν το κλασσικό γραµµικό υπόδειγµα παλινδρόµησης είναι οι εξής:. Η συναρτησιακή µορφή του υποδείγµατος είναι γραµµική: Υ = α+ βχ +ε, δηλαδή ότι η µαθηµατική µορφή η οποία και συνδέει την ανεξάρτητη µε την εξαρτηµένη µεταβλητή είναι γραµµικής µορφής. 4

5 Η γραµµικότητα αυτή αναφέρεται στους συντελεστές παλινδρόµησης και όχι στις µεταβλητές του υποδείγµατος.. Ο µέσος του όρου σφάλµατος είναι µηδέν: E (ε i /Χ i )=0, δηλαδή η µεταβλητή ε ι είναι µια τυχαία µεταβλητή η οποία και µπορεί να παίρνει τόσο αρνητικές αλλά και θετικές τιµές αλλά η µέση της τιµή (µαθηµατική ελπίδα), υπό τον περιορισµό ότι η τιµή των ανεξάρτητων µεταβλητών είναι δεδοµένες, είναι µηδέν. Η σηµασία της υπόθεσης αυτής συνίσταται στο γεγονός ότι οι µη εµφανείς παράγοντες οι οποίοι και υπολογίζονται στον διαταρακτικό όρο δεν επηρεάζουν συστηµατικά την µέση τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής. 3. Η διακύµανση όλων των όρων σφάλµατος είναι η ίδια σταθερά Var (ε i /Χ i )=σ. Η υπόθεση αυτή µας λέει ότι η διασπορά των τιµών της τυχαίας µεταβλητής γύρω από τον µέσο της δεν αλλάζει όταν µεταβάλλεται η τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής Χ ι. Όταν η διακύµανση παραµένει σταθερή ο διαταρακτικός όρος χαρακτηρίζεται οµοσκεδαστικός ενώ όταν η διακύµανση δεν είναι σταθερή ετεροσκεδαστικός. Οµοσκεδαστικότητα. (Πηγή:Οικονοµετρία Α.Ανδρικοπουλου) Ετεροσκεδαστικότητα (Πηγή:Οικονοµετρία Α.Ανδρικοπουλου) 5

6 4. Η συνδιακύµανση µεταξύ των όρων σφάλµατος είναι µηδέν: Cov (ε i,ε j )=0. Cov( ε, ε ) = E[ ε E( ε )][ ε E( ε )] = E( ε, ε ) = 0 i j i i j j i j ηλαδή η σχέση αυτή µας λέει ότι οι διαταρακτικοί όροι χαρακτηρίζονται από την απουσία της αυτοσυσχέτισης καθώς και ότι για κάθε Χ ι οι αποκλίσεις των κάθε τιµών Υ από τις µέσες τιµές δεν µας δίνουν υποδείγµατα των κάτωθι µορφών. 5. Η συνδιακύµανση των όρων σφάλµατος και των παρατηρήσεων της ανεξάρτητης µεταβλητής είναι πάντα µηδέν: Cον ( ε i,χ ι )=0, για κάθε ί,j =,,.,.,η +ε ι Η υπόθεση αυτή µας τονίζει η ανεξάρτητη µεταβλητή Χ δεν είναι στοχαστική και πως οι τιµές παραµένουν σταθερές σε µια επαναληπτική διαδικασία. 6

7 6. Οι όροι σφάλµατος, ανεξάρτητοι µεταξύ τους, ακολουθούν την κανονική κατανοµή: ε i ~ Ν(0,σ ) µε µέσο µ=0 και διασπορά σ. Η τελευταία υπόθεση τίθεται για µικρά δείγµατα, όπου µικρά δείγµατα στην οικονοµετρία θεωρούνται αυτά µε αριθµό παρατηρήσεων κάτω από 30 ή κάτω από 0. Η υπόθεση αυτή δεν είναι αναγκαία για µεγάλα δείγµατα, αφού βάσει του κεντρικού οριακού θεωρήµατος εi N(0, σ ).Η υπόθεση 6 µας διευκολύνει στην στατιστική επαγωγή και την κατασκευή ελέγχων υποθέσεων σχετικά µε την συµπεριφορά των εκτιµητριών. Οι υποθέσεις αυτές µπορούν να συνοψισθούν στο ΣΧΗΜΑ []. Υ Υ = a +β Χ ι + ε ι +ε ι -ε ι Σχήµα Χ Χ Χ 3 Χ Η υπόθεση της γραµµικότητας σηµαίνει ότι, όσον αφορά το προσδιορισµό, τα σηµεία των ζευγών των παρατηρήσεων (Χ i, Υ i ) θα βρίσκονται γύρω ευθεία γραµµή, Υ= α+ β Χ, στον διαγραµµατικό χώρο (Χ, Υ). Με άλλα λόγια οι µέσοι Ε(Υ ι /Χ =Χ ι ) των κατανοµών f(υ ι /Χ) θα βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Η υπόθεση αυτή δεν είναι τόσο προσδιοριστική όσο φαίνεται, γιατί αναφέρεται στον τρόπο που οι προς εκτίµηση παράµετροι εισέρχονται στην εξίσωση, και όχι αναγκαστικά στην γραµµικότητα της σχέσης µετά: και Υ. Οι υποθέσεις αυτές βασικές για την µέθοδο της ελαχιστοποίησης των τετράγωνων (OLS) περιλαµβάνονται στο γνωστό θεώρηµα των Gauss-Markov. 7

8 9.5 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ 3. Η Ελαχιστοποίηση των Τετραγώνων των Καταλοίπων Σκοπός της εκτίµησης της συναρτησιακής µας σχέσης Υ, = α + βχ, + ε i =Ε(Υ ι / Χ ι ) + ε ι είναι η εκτίµηση των αγνώστων παραµέτρων, άρα και η εκτίµηση του προσδιοριστικού µέρους της εξίσωσης που συµβολίζεται σαν Υ ι = α+ βχι όπου α, β είναι οι εκτιµήτριες των παραµέτρων α και β αντίστοιχα. Το µη ερµηνευµένο µέρος ει αγνώστου όρου σφάλµατος ε ι (βλ.σχημαa []). = Y Yι, ονοµάζεται κατάλοιπο και αποτελεί µια εκτίµηση του i Για να βρούµε όµως τιµές για τις άγνωστες παραµέτρους χρειαζόµαστε κάποιο κριτήριο προσαρµογής το οποίο και να µας δίνει εκτιµήτριες οι οποίες έχουν κάποιες συγκεκριµένες ιδιότητες, όσον αφορά την σχέση τους µε τις αντίστοιχες παραµέτρους. Σα κριτήριο πολύ συχνά χρησιµοποιείται η µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων, η όποια συνίσταται στην ελαχιστοποίηση των τετραγώνων των καταλοίπων: n ν ε = Υ α βχ ι ι ι i= = ι min ( ) Οι συνθήκες πρώτης τάξης ως προς τα α, β δίνουν: n ε i= α ι ν = ( Υι α βχι )( ) δηλαδή ε ι = 0 ι= n ε i= β ι ν = ( Υ ι α βχ ι )( Χ ι ) δηλαδή Χ ιε ι = 0 ι= Υπάρχουν και άλλα κριτήρια όπως η µέθοδος της µέγιστης πιθανοφάνειας. 8

9 Αυτές υπό την κάτωθι µορφή συνιστούν τις ονοµαζόµενες κανονικές εξισώσεις ελαχίστων τετραγώνων: n nα β Υ = + i i= i= n Χ i n n n ΧΥ i i = αχ i+ βχi i= i= i= Η λύση αυτών µας δίνει τις εκτιµήτριες ελάχιστων τετράγωνων ως εξής: α = Υ β Χ β = ν ν ( Χ Χ) Υ ( Χ Χ)( Υ Υ ) ι ι ι ι ι= ι= ν = ν ( Χι Χ ) ( Χι Χ ) ι= ι= = s s xy x X iyi nxy i= όπου: sx, y = n n και s = n i= x X i nx n Έχοντας εκτιµήσει τις παραµέτρους α και β έχει προσδιοριστεί και η ευθεία παλινδροµήσεως Υ = α+ βχ που ονοµάζεται ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. ι ι Θα πρέπει σε αυτό το σηµείο να αναφέρουµε ότι οι εκτιµητές αυτοί ικανοποιούν τα εξής:. Είναι αµερόληπτοι εκτιµητές (Α.Ε) του πληθυσµού δηλ. E( a) = a και E( β ) = β.. Έχουν την µικρότερη δυνατή διακύµανση µεταξύ όλων των αµερόληπτων εκτιµητών. 3. Είναι συνεπείς εκτιµητές δηλ. όταν το µέγεθος του δείγµατος είναι άπειρο Ν τότε α α, β β 9

10 Σηµείωση Η παρατηρούµενη τιµή Υ είναι η πραγµατική τιµή της µεταβλητής, ενώ η Y είναι η τιµή που περιµένουµε για το δοθέν Χ ι, είναι δηλαδή η εκτιµηθείς τιµή. Όσο η διαφορά της εκτιµηθείσας τιµής από την πραγµατική είναι µικρή τόσο καλύτερο είναι το µοντέλο. Ερµηνεία της παραµέτρου β Το β είναι η κλίση της ευθείας και ονοµάζεται συντελεστής παλινδροµήσεως ή γωνιακός συντελεστής. Προσδιορίζει τη αναµενόµενη µεταβολή που επέρχεται στην εξαρτηµένη µεταβλητή όταν η ανεξάρτητη µεταβληθεί κατά µια µονάδα. Όταν ο συντελεστής παλινδροµήσεως είναι θετικός αριθµός, τότε η εξάρτηση είναι θετική, ενώ όταν είναι αρνητικός η εξάρτηση είναι αρνητική. Ας δούµε και γραφικά τι παριστάνει η εκτίµηση του µοντέλου µας. Υ (Χ ι,υ ι ) Υ ι ε i. Y i.... Υ... (Σχήµα ) Y ˆ ˆ i = a +β X i Χ Χ ι 0

11 4. ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΕΣ ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ. Τυπικό σφάλµα εκτίµησης (standard error of the estimate) Γνωρίζουµε ότι οι εκτιµητές µε την µέθοδο της ελαχιστοποίησης των τετράγωνων είναι αµερόληπτοι εκτιµητές όπως περιγράψαµε και στην προηγούµενη ενότητα. Η διακύµανση των εκτιµητών αυτών δίνεται από τους εξής τύπους: = se β = Var( β ) ( ( )) ν ι= σ ( X X ) i, Var a x ( ) = ( se( a)) = σ ( + ) ν n ( X i X ) ι= () Η τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης είναι γνωστή και ως τυπικό σφάλµα ( s.e). Από τις υποθέσεις των Gauss-Markov γνωρίζουµε ότι ε i ~ Ν(0,σ ). Αν λοιπόν στηριχτούµε στην υπόθεση αυτή τότε, β N( β,( se( β )), a N( a,( se( a)) () Μπορούµε να κανονικοποιήσουµε τώρα την παράσταση µας αφαιρώντας τον µέσο και διαιρώντας µε το τυπικό σφάλµα. Άρα, β β ( se( β )) Ν(0,) και α α ( se( α)) Ν(0,) (3) Θα θέλαµε λοιπόν να χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις τόσο για την δηµιουργία διαστηµάτων εµπιστοσύνης αλλά και για την δηµιουργία ελέγχου υποθέσεων, αλλά αυτό δεν είναι εφικτό καθώς τα ( se( β )), ( se( a )) δεν µπορούν να υπολογιστούν. Τα πραγµατικά τυπικά σφάλµατα δεν µπορούν να εκτιµηθούν καθώς εξετάζοντας την σχέση () η διασπορά σ εκφράζει την διασπορά των υπολοίπων. Όµως εµείς δεν παρατηρούµε τα ε ι αλλά τα ει. Από την σχέση Υ= α+ βχ ι + ε i και λύνοντας ως προς τα ι ε, ε i =Υ α βχ όπου σ ι RSS = = σ = είναι εκτιµητής του σ. n n n ε ι RSS

12 Γνωρίζουµε ότι η µαθηµατική ελπίδα των υπολοίπων Ε(ε ι )=0. Για να πάρουµε την διακύµανση θα πρέπει να διαιρέσω µε το n-. Γιατί παράµετροι είναι αναγκαίοι να εκτιµηθούν για να βρω τα υπόλοιπα. Έχουµε λοιπόν ότι σ = RSS n όπου είναι εκτιµητής του σ άρα σ είναι εκτιµητής του σ. Χρησιµοποιωντας λοιπόν σ πάρουµε να εκτιµήσουµε το αληθινό τυπικό σφάλµα, έχοντας τα εκτιµώµενα τυπικά σφάλµατα ese( β ) = σ ν ι= ( X X ) i x ese( a) = σ + ) ν n ( X X ) ι= i Κανονικοποιώντας τώρα θα έχουµε ότι, β β a a t( n ) και t( n ) ese( β ) ese( a) Σηµείωση Σε αυτό το σηµείο τονίζουµε ότι τα εκτιµώµενα τυπικά σφάλµατα τα οποία και ακολουθούν µια t- student κατανοµή (εφόσον το δείγµα µας αποτελείται από λιτότερες από τριάντα παρατηρήσεις) µε n- βαθµούς ελευθέριας έναντι των τυπικών σφαλµάτων τα οποία ακολουθούν µια κανονική κατανοµή. Στην περίπτωση όπου το δειγµα µας αποτελείται από τριάντα και παραπάνω παρατηρήσεις θα χρησιµοποιήσουµε το κριτήριο της Ζ µεταβολής. Στην πραγµατικότητα όµως και στις δυο περιπτώσεις δεν ξεχωρίζουµε τα εκτιµώµενα τυπικά σφάλµατα από τα τυπικά σφάλµατα χρησιµοποιώντας το σύµβολο s.e. ιαστήµατα εµπιστοσύνης Το.Ε διάστηµα εµπιστοσύνης για το συντελεστή β i ορίζεται ως εξής υπό την προϋπόθεση ότι η µεταβλητή βι βι µας ακολουθεί την t-κατανοµή µε Ν-Κ βαθµούς ελευθέριας: σι P[ t t t ] = a ( a /, N k ) ( a /, N k ) Η κανονικοποιηµένη ποσότητα ακολουθεί t κατανοµή µε n- βαθµούς ελευθερίας.

13 βι βι P[ t( a /, N k ) t( a /, N k )] = a σι P[ β t σ β β + t σι ] = a ι ( a /, N k ) ι ι ι ( a /, N k ) Το 00(-α)% Ε για την εκτιµηθείς τιµή της άγνωστης παρατηρήσεως Υ για δοθέν Χ ι δίνεται: yˆ ± t( n ), a / ( x x) s (+ + n ( xi x) i ) Όπου α = επίπεδο σηµαντικότητας. Σηµείωση Ανάλογα µε τον έλεγχο αξιοπιστίας των συντελεστών του µοντέλου µας χρησιµοποιούµε την t- κατανοµή ή την κανονική κατανοµή αναλόγως µε τον πληθυσµό του δείγµατος µας σε σχέση µε τον αριθµό 30. 3

14 5. ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΣΤΟ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ. Α. ΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Στον δίπλευρο έλεγχο σκοπός µας είναι η διερεύνηση της παρακάτω υποθέσεως: Εάν υπάρχει στατιστικά σηµαντική σχέση ανάµεσα στην εξαρτηµένη και στην ανεξάρτητη µεταβλητή. Με αλλά λόγια εάν η κλίση της συνάρτησης παλινδρόµησης µας θα είναι θετική ή αρνητική µε βάση την συναρτησιακή σχέση ανάµεσα στα Χ,Υ. Ο έλεγχος διαµορφώνεται ως εξής: Η 0 : β=0 (Μηδενική Υπόθεση;) Η : β f 0 (Εναλλακτική Υπόθεση;) Β. ΕΞΙΟΣ ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ας υποθέσουµε ότι µε βάση την οικονοµική θεωρία αναµένουµε ότι ο συντελεστής βι είναι θετικός και θέλουµε να διαπιστώσουµε εµπειρικά αν ο β; είναι, πρώτο, θετικός και, δεύτερο, στατιστικά σηµαντικός. Σε αυτή την περίπτωση, οι Η 0 και Η, υποθέσεις εκφράζονται ως εξής: Η 0 : β=0 (Μηδενική Υπόθεση;) Η : β f 0 (Εναλλακτική Υπόθεση;) Γ. ΑΡΙΣΤΕΡΟΣ ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ας υποθέσουµε ότι µε βάση την οικονοµική θεωρία αναµένουµε ότι ο συντελεστής βι είναι αρνητικός και θέλουµε να διαπιστώσουµε εµπειρικά αν ο β; είναι, πρώτο, είναι αρνητικός και δεύτερο, στατιστικά σηµαντικός. Σε αυτή την περίπτωση, οι Η 0 και Η, υποθέσεις εκφράζονται ως εξής: Η 0 : β=0 (Μηδενική Υπόθεση; ) Η : β p 0 (Εναλλακτική Υπόθεση;) Η θεωρία των ελέγχων έχει αναπτυχθεί σε προηγούµενο κεφάλαιο. 4

15 6. ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΣΤΟ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ. Η ακρίβεια σε ένα γραµµικό µοντέλο µετριέται από τα τυπικά σφάλµατα (standard error-s.e). Για παράδειγµα όσο µικρότερο είναι το se( β ) τόσο πιο ακριβής είναι και η εκτίµηση της κλίσης. Ο τύπος για το standard error του συντελεστή κλίσης δίνεται ως εξής: σ se( β ) = σ = ( Χ Χ) ( Χ Χ) ι ι ι ι όµως ( X i X ) i Var( X ) = ( X i X ) = ( n ) Var( X ) και ισχύει ότι σ var( ε) n i Άρα ο τύπος γίνεται: se( β ) = var( ε) ( n ) Var( X ) Σε αυτό το σηµείο πρέπει να αναφέρουµε ότι η ακρίβεια εξαρτάται από τρεις κύριους παράγοντες. a. Από το µέγεθος του δείγµατος. Αφού το n εµφανίζεται και στον παρανοµαστή του κλάσµατος όσο µεγαλύτερο είναι το µέγεθος τόσο και µικρότερη η τιµή του standard error άρα τόσο πιο ακριβής η εκτίµηση αυτού. b. Επίσης όσο µεγαλύτερη είναι η απόκλιση του Χ τόσο και µικρότερη η τιµή του standard error άρα τόσο πιο ακριβής η εκτίµηση αυτού. c. Var (ε). Όσο µεγαλύτερη είναι η απόκλιση των ε i στην κατακόρυφη διεύθυνση τόσο το λιγότερο ακριβής είναι η εκτίµηση του standard error of the slope parameter. 5

16 7. ΙΑΦΟΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. Παλινδρόµηση καλείται η µέθοδος εκτίµησης µιας µεταβλητής, της εξαρτηµένης από άλλες ανεξάρτητες µεταβλητές. Έτσι αν η Υ µεταβλητή πρόκειται να εκτιµηθεί από τις Χ i, i =,,p µε βάση µια εξίσωση, η εξίσωση αυτή καλείται εξίσωση παλινδρόµησης. Είδη εξισώσεων παλινδρόµησης Απλό γραµµικό µοντέλο Υ = α + βx Γενικό γραµµικό µοντέλο Υ = β ο + β x + β x + + β p x p Πολυωνυµικό µοντέλο Υ = β ο + β x + β x + + β p x p Εκθετικό µοντέλο Υ = exp (β ο + β x + β x + + β p x p ) Το εκθετικό µοντέλο αυτό µε έναν λογαριθµικό µετασχηµατισµό µετατρέπεται σε γραµµικό. Αναφερόµενοι στο εκθετικό µοντέλο θα παρουσιάσουµε το εξής παράδειγµα. Ας θεωρήσουµε την εξής συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas όπου Q είναι το παραγόµενο προϊών, L είναι το εργατικό δυναµικό, K είναι το κεφαλαίο και A, b, a σταθερές. Q a b = AK L () Η εξίσωση αυτή µε την υπάρχουσα µορφή θα λέγαµε ότι είναι αρκετά δύσκολο να εκτιµηθεί όποτε προσπαθούµε να την µετασχηµατίσουµε σε κάποια άλλη µορφή. Η ιδία της όµως η µορφή (εκθετική) µας επιτρέπει να την λογαριθµοποιήσουµε οπότε: a b Q= AK L ln Q= ln A+ a ln K+ bln L () Παρατηρούµε ότι η εξίσωση () είναι σε γραµµική µορφή, άρα ποιο εύκολο να εκτιµηθεί. Κατάλληλοι µετασχηµατισµοί µπορούν να εφαρµοστούν και σε άλλα µοντέλα µετατρέποντας τα σε γραµµικά. 6

17 8. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. Είναι γνωστό ότι, ε =Υ Υ ι = ( Υ Υ) ( Υι Υ) ι ι ι ( Υ Υ ) = ( Υ Υ ι ) + ( Υι Υ) ι ι ( ι ) ( ι ι ) ( ι ) ( ι ι )( ι ) ( Υι Υ ) = ( Υι Υ ι ) + ( Υι Υ) Υ Υ = Υ Υ + Υ Υ + Υ Υ Υ Υ διότι ( Υ Υι )( Υι Υ ) = 0 άρα ι Αθροίσµατα τετραγώνων-(total Sum of Squares) Το άθροισµα n = ( i ) =ΑΤΠ i= SST Y Y ονοµάζεται συνολικό άθροισµα τετραγώνων και εκφράζει την ολική µεταβολή (total variation).είναι ένα µέτρο της συνολικής µεταβολής για την εξαρτηµένη µεταβλητή. Το άθροισµα αυτό αναλύεται σε δυο άλλες συνιστώσες, εκ των οποίων η µια οφείλεται στην παλινδρόµηση και η άλλη εκφράζει το υπόλοιπο µεταβολής (residual variation) και είναι η µεταβολή που οφείλεται σε άλλους παράγοντες εκτός από το x. Παρατηρήστε ότι εάν διαιρέσουµε τον SST µε το n- έχουµε την Var(Y). Άθροισµα Τετραγώνων Παλινδρόµησης-(Explained Sum Of Squares). Το άθροισµα που οφείλεται στην παλινδρόµηση (SS due to regression) και εξηγείται από αυτήν δίνεται από τον εξής τύπο: n = ( i ) =ΣΤΑ ESS Y Y i= Άθροισµα Τετραγώνων των Καταλοίπων-(Residual Sum of Squares). n n ( ˆ i i ) ε i= i= RSS = y y = =ΑΤΚ ι Εποµένως ισχύει: TSS = ESS+ RSS Στο παρακάτω σχήµα θα προσπαθήσουµε να αναλύσουµε την µεταβλητικότητα της Υ και τα συστατικά αυτής, 7

18 Υ ι Υι Υ Υι Υ= ει Y i = a+ β Χ ι Υ Υ ι Y Χ ι Χ Η µεταβλητικοτητα της εξαρτηµένης µεταβλητής παρουσιάζετε στον κάτωθι πίνακα. Πηγή Άθροισµα Βαθµοί Ελευθέριας Μεταβλητικοτητας Τετράγωνων Παλινδρόµηση ΑΤΠ Κ- ΑΤΠ/κ- Χ Κατάλοιπα ΑΤΚ Ν-κ ΑΤΚ/Ν-κ ε ΣΤΑ Ν- ΣΤΑ/Ν- 8

19 R συντελεστής προσδιορισµού. Η αναλογία της µεταβλητικότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής που ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση ονοµάζεται συντελεστής προσδιορισµού ( coefficient of determination) και δίνεται από τον τύπο: R ESS =, όπου TSS 0 R Ο συντελεστής προσδιορισµού R µετράει το ποσοστό της µεταβλητικότητας της µεταβλητής Υ η οποία και ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση του δείγµατος. Ο συντελεστής προσδιορισµού R συµπίπτει µε το r, όπου r ο δειγµατικός συντελεστής συσχέτισης στο απλό γραµµικό µοντέλο. Επίσης όταν το R είναι κοντά στην µονάδα τότε µιλάµε ότι το µοντέλο µας είναι καλό στην ερµηνεία της απόκλισης του Υ,υπάρχει τέλεια προσαρµογή της ευθείας παλινδροµήσεως (Fit Model). Πρόβληµα χρησιµοποιώντας το R. Πολλοί ερευνητές χρησιµοποιούν το συντελεστή προσαρµογής ως ένα ιδανικό κριτήριο για την επιλογή ενός οικονοµετρικού µοντέλου. Είναι όµως αυτό σωστό; Το πρόβληµα µε τον συντελεστή προσδιορισµού είναι ότι αυξάνει µε την προσθήκη µιας προσθετής ερµηνευτικής µεταβλητής στο µοντέλο µας. Για παράδειγµα εάν στο παράδειγµα της κατανάλωσης φαγητού µε το οικογενειακό εισόδηµα εµείς προσθέσουµε την µεταβλητή της ύπαρξης τηλεφωνικής γραµµής θα παρατηρήσουµε τι η τιµή του R θα αυξηθεί. Άρα καταλαβαίνουµε ότι η χρήση του R για την επιλογή ενός οικονοµετρικού µοντέλου θα είναι ένα κίνητρο για την προσθήκη και άλλων επεξηγηµατικών µεταβλητών. Η λύση σε αυτό το πρόβληµα είναι η χρήση του adjusted R. Πρώτα ας θεωρήσουµε ότι: R ESS TSS RSS RSS = = = TSS TSS TSS Adjusted R είναι µια κανονικοποιηµένη µορφή της τελικής έκφρασης: 9

20 RSS /( n k) R = TSS /( n ), όπου κ ο αριθµός των παραµέτρων του µοντέλου µας. F έλεγχος Ο έλεγχος αυτός εξετάζει τη γραµµική παλινδρόµηση µεταξύ των Χ και Υ. ηλαδή, εδώ έχουµε τον εξής έλεγχο υποθέσεων: Η ο : όλοι οι συντελεστές παλινδρόµησης εκτός από το α είναι µηδέν. έναντι Η : όλοι οι συντελεστές είναι διαφορετικοί του µηδενός. Μεθοδολογία: Για τον έλεγχο της Η ο υπολογίζεται ο παρακάτω λόγος: SSR MSR n R / k F = = = MSE SSE ( R ) / N k Το F ακολουθεί την F-κατανοµή µε (, n-) β.ε. Ο έλεγχος αυτός απεικονίζετε ως εξής: F(f) H 0 δεκτή Η δεκτή Εδώ κ= οι παράµετροι µας ο σταθερός όρος και η κλίση. 0

21 Συντελεστής Συσχέτισης. Ο συντελεστής συσχέτισης (Correlation Coefficient) είναι ένας δείκτης που µετράει τον βαθµό της γραµµής συσχέτισης ανάµεσα στις µεταβλητές Χ και Υ και ορίζεται σαν η τετραγωνική ρίζα του συντελεστή προσδιορισµού, δηλαδή, r=± R = ( X X )( Y Y ) ( X X ) ( Y Y ). Αν και υπάρχει τόσο στενή σχέση ανάµεσα στον συντελεστή προσδιορισµού, r, και τον συντελεστή συσχέτισης, R, υπάρχει όµως σηµαντική διαφορά ως προς την ερµηνεία τους και, φυσικά, τις ιδιότητες του. Συγκεκριµένα, ο συντελεστής προσδιορισµού είναι πάντοτε θετικός και η τιµή του βρίσκεται ανάµεσα στη µονάδα και το µηδέν. Αντίθετα ο συντελεστής συσχέτισης κυµαίνεται µεταξύ της αρνητικής και θετικής µονάδας. ηλαδή : Όταν r= τότε υπάρχει πλήρης θετική συσχέτιση ανάµεσα στην Υ και Χ, όταν r=- υπάρχει πλήρης αρνητική συσχέτιση, και όταν r=0,οι µεταβλητές Υ και Χ δεν συσχετίζονται. Ο συντελεστής συσχέτισης είναι συµµετρικός, r xy = r, δεν εξαρτάται από τον γραµµικό yx µετασχηµατισµό των µεταβλητών του υποδείγµατος, και έχει µόνο εφαρµογή όταν η σχέση ανάµεσα στην Υ και Χ είναι γραµµική. Ο συντελεστής συσχέτισης του δείγµατος είναι ένας εκτιµητή: του συντελεστή συσχέτισης στον πληθυσµό,

22 ΑΣΚΗΣΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ο ρόλος όπως είδαµε της οικονοµετρίας είναι να προσδιορίσει ποσοτικά, οικονοµικά αλλά και άλλα µοντέλα. Αρχικά θα προσπαθήσουµε µε ένα απλό παράδειγµα να κάνουµε µια εισαγωγή στην εκτίµηση ενός οικονοµετρικού υποδείγµατος. Παράδειγµα. Σύµφωνα µε τον νόµο του Άγγλου οικονοµολόγου Engel (848) όσο το εισόδηµα ενός νοικοκυριού αυξάνει τόσο η κατανάλωση σε φαγητό αυξάνει κατ αναλογία ή η εισοδηµατική ελαστικότητα για την ζήτηση για φαγητό είναι µεγαλύτερη του µηδενός αλλά µικρότερη της µονάδας. Το οικονοµικό µοντέλο που περιγράφει αυτήν την σχέση δίνεται ως εξής: Κατανάλωση σε Φαγητό =β +β *εισόδηµα, όπου β >0 και 0<β <. Οι οικονοµέτρες θα προσπαθήσουν να εκτιµήσουν τα β,β. Επίσης θα προσπαθήσουν να προσδιορίσουν το κατά πόσον εµπιστοσύνη µπορούµε να έχουµε σε αυτές τις εκτιµήσεις τους (χρησιµοποιώντας τυπικές αποκλίσεις). Έπειτα θα χρησιµοποιήσουν τεστ για την ισχύ του νόµου του Engel. Για να γίνουν όλα αυτά θα χρησιµοποιήσουν το κάτωθι οικονοµετρικό µοντέλο. Κατανάλωση σε Φαγητό =β + β *εισόδηµα +ε i. Το Απλό Γραµµικό Μοντέλο. Πολλές φορές µας ενδιαφέρει η στατιστική ανεξαρτησία κάποιων µεταβλητών είτε αυτές είναι ανεξάρτητες ή και εξαρτηµένες. Στην περίπτωση όπου υπάρχει µόλις µια επεξηγηµατική µεταβλητή το διµετάβλητο οικονοµετρικό µοντέλο (Gujarati) είναι το κατάλληλο για την εκτίµηση. Ας θεωρήσουµε το κάτωθι σετ των δεδοµένων για το άνωθι παράδειγµα. Εισόδηµα (Χ): Κατανάλωση σε Φαγητό (Υ):

23 Καταναλωση σε Φαγητο 90 Εισοδηµα KATANALW EISODIMA Παραπάνω δίνεται ένα διάγραµµα διασποράς των δεδοµένων. Η επεξηγηµατική µεταβλητή Χ απεικονίζεται στον οριζόντιο άξονα χχ ενώ η εξαρτηµένη µεταβλητή στον κάθετο. Κάθε νοικοκυριό απεικονίζεται από ένα σηµείο στο διάγραµµα µας. Βέβαια είναι φανερή η θετική και θα λέγαµε γραµµική σχέση µεταξύ των δυο αυτών µεταβλητών το ερώτηµα που υφίσταται εδώ είναι µε ποιον τρόπο θα καταφέρουµε να εκτιµήσουµε αυτήν την θετική σχέση µεταξύ των δυο αυτών µεταβλητών. Το οικονοµετρικό µοντέλο που θα χρησιµοποιήσουµε είναι το εξής: Υ= β + β Χ+ ε ι =,,...,η όπου () ι Υ ι : το εισόδηµα του νοικοκυριού i. β : σταθερός όρος. β : κλίση. n: το µέγεθος του δείγµατος. Χ ι : η κατανάλωση φαγητού του νοικοκυριού i. ε i : ο διαταρακτικός όρος του νοικοκυριού i. 3

24 Κύριο µέληµα µας είναι η εκτίµηση των β, β που ονοµάζονται και µεταβλητές του υποδείγµατος µας. Η µέθοδος η οποία και θα χρησιµοποιηθεί είναι η µέθοδος (OLS, ordinaryυ least square) ελαχίστων τετραγώνων η οποία και θα αναλυθεί εκτενέστερα αργότερα. Σύµφωνα µε αυτήν οι εκτιµήσεις των παραµέτρων β, β συµβολίζονται ως β, β και δίνονται από τους εξής τύπους: β = ν ι= ν ι= ( Χ Χ) Υ ι ( Χ Χ ) ι ι () β = Υ β Χ (3) Για τον υπολογισµό αυτών σχεδιάζουµε το κάτωθι πίνακα. Χ Υ Χ Χ Χ Χ ( ) ( ) Χ Χ Υ ι= Χ= 00 8 Υ= ι= ( Χ Χ) 8 ι= ( Χ Χ) Υ Χ= 75 Υ= 75 4

25 Χρησιµοποιώντας λοιπόν έναν τέτοιο πίνακα µπορούµε να υπολογίσουµε µε ένα απλό κοµπιουτεράκι τα β, β. Πως όµως µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το SPSS για τον ; υπολογισµό των β, β Πριν προχωρήσουµε στον υπολογισµό των συντελεστών ας δούµε πως µπορούµε να απεικονίσουµε το διάγραµµα διασποράς µε την βοήθεια του SPSS. Επιλέξτε Graphs από τη γραµµή µενού στην κορυφή του παραθύρου, για να εµφανίσετε ένα πτυσσόµενο µενού (Εικόνα ). Έπειτα επιλέξτε scatter και εν συνεχεία simple και, Define, για να ορίσετε το διάγραµµα διασποράς το οποίο θέλετε. Στο menu που εµφανίζεται και στον άξονα των ψ εισάγετε την µεταβλητή katanalwsh ενώ στον χχ εισάγετε την µεταβλητή eisodhma. Επιλέγοντας το κουµπί titles µπορείτε να δώσετε τίτλο στο διάγραµµα διασποράς, ενώ µε το κουµπί OK έχουµε την γραφική απεικόνιση του. Ας περάσουµε τώρα στον υπολογισµό των συντελεστών. Εικονα 5

26 Στο παράθυρο του Data Editor καταχωρίστε τα δεδοµένα συγκεκριµένα τα Χ,Υ ή φορτώστε το ανάλογο αρχείο εάν τα δεδοµένα σας είναι σε µορφή π.χ excel. Επιλέξτε Analyze από τη γραµµή µενού στην κορυφή του παραθύρου, για να εµφανίσετε ένα πτυσσόµενο µενού (Εικόνα ). Από αυτό το πτυσσόµενο µενού, επιλέξτε Regression (Παλινδρόµηση) για να ανοίξετε ένα µικρότερο µενού. Από το νέο µενού επιλέξτε Linear (Γραµµική) για να ανοίξετε το πλαίσιο διαλόγου που αναφέρετε ως Linear Regression. Επιλέξτε τη µεταβλητή katanalw και πατήστε στο κουµπί δίπλα στο πλαίσιο κειµένου Dependent : (Εξαρτηµένη) για να την προσθέσετε εκεί. Επιλέξτε τη µεταβλητή Eisodima" και πατήστε στο κουµπί δίπλα στο πλαίσιο κειµένου Independent (ανεξάρτητη) για να την προσθέσετε εκεί. Πατήστε στο κουµπί Statistics και προσέξτε να είναι επιλεγµένη η επιλογή των estimates, εάν όχι την επιλέγετε εσείς. Με αυτόν τον τρόπο υπολογίζεται τους εκτιµητές των β, β.επιλεγοντας Continue επιστρέφουµε στο αρχικό menu όπου πατώντας το κουµπί Ο έχουµε καταφέρει να υπολογίσουµε τις εκτιµήσεις παίρνοντας τον ακόλουθο πίνακα. Model (Constant) EISODIMA Unstandardized Coefficients a. Dependent Variable: KATANALW Coefficients a Standardized Coefficients 95% Confidence Interval for B B Std. Error Beta t Sig. Lower Bound Upper Bound 8,3 7,7 3,673,00 9,453 47,89,04,06,854 4,09,007,04,68 (Πίνακας ) Από τον πίνακα έχουµε ότι β = 8.3, β = 0.04 Άρα το οικονοµετρικό µας µοντέλο έχει την εξής µορφή: Υ= β+ βχ+ ε ι Υ= 8,3 + 0,04 Χ Σύµφωνα µε αυτό το µοντέλο και παρατηρώντας το Σχήµα µπορούµε να αναρωτηθούµε εάν το σηµείο στην γραµµή παλινδρόµησης ανταποκρίνεται στην εκάστοτε παρατήρηση ι. Βέβαια δεν µπορούµε να το ισχυριστούµε αυτό αλλά µπορούµε να πούµε ότι η γραµµή παλινδρόµησης εκφράζει την πρόβλεψη για την κατανάλωση φαγητού δεδοµένου του εισοδήµατος που µια οικογένεια µπορεί να έχει. Η πραγµατική 6

27 κατανάλωση φαγητού για κάθε οικογένεια εκφράζεται ως Υ ι, ενώ η διαφορά (απόσταση ) µεταξύ της γραµµής παλινδρόµησης (fitted value) και της εκάστοτε παρατήρησης εκφράζει το υπόλοιπο (κατάλοιπο) ε ι. Εάν το υπόλοιπο είναι θετικό µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η πραγµατική κατανάλωση φαγητού για κάθε νοικοκυριό είναι µεγαλύτερη από ότι το µοντέλο προβλέπει και αντιστρόφως. Θα πρέπει όµως σε αυτό το σηµείο να αναφέρουµε το κατά πόσο ταιριαστό είναι το µοντέλο το οποίο και έχουµε επιλέξει για την εκτίµηση των µεταβλητών µας. Αναφερόµενοι στην θεωρία µας και πάλι θα πρέπει να τονίσουµε την ύπαρξη των συντελεστών προσδιορισµού και το κατά πόσον είναι πιο κοντά αριθµητικά στην µονάδα. Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate Model Summary (b) Durbin- Change Statistics Watson R Square Change F Change df df Sig. F Change,854,730,685 8,387,730 6,33 6,007 (a) a Predictors: (Constant), EISODIMA b Dependent Variable: KATANALW Με βάση το SPSS θα έχουµε ότι R=0.854, R =0.730 και Adjusted R = Σχολιάζοντας λοιπόν τον συντελεστή προσδιορισµού να αναφέρουµε ότι το 85.4% της συνολικής µεταβλητικότητας ερµηνεύεται από το εισόδηµα των καταναλωτών ενώ το υπόλοιπο 4.6 % από υπόλοιπους παράγοντες. Εκτός όµως από αυτό µας ενδιαφέρει και αν ισχύουν και κάποιες υποθέσεις που αφορούν το µοντέλο µας. Για παράδειγµα ερωτάµε εάν το οικογενειακό εισόδηµα επηρεάζει την δαπάνη σε φαγητό. Για να εξετάσουµε αυτήν την ερώτηση θα χρησιµοποιήσουµε την κατασκευή ενός ελέγχου υπόθεσης ως εξής: Έλεγχος υπόθεσης ουρών- ίπλευρος (Two tailed test) Η 0 : β =0 (Μηδενική Υπόθεση; το εισόδηµα έχει καµία επίδραση στην δαπάνη για φαγητό.) Η : β 0 (Εναλλακτική Υπόθεση; Το εισόδηµα δεν έχει καµία επίδραση) Είναι ένα t-test από το οποίο και βρίσκουµε ότι : β t= = = 4.09 Τα αποτελέσµατα περιέχονται στον πίνακα. se( β )

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i )

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i ) Άσκηση Ο επόμενος πίνακας δίνει τους βαθμούς φοιτητών (Χ i ) στις εισαγωγικές εξετάσεις ενός κολεγίου και τους αντίστοιχους βαθμούς τους (Υ i ) στο τέλος της πρώτης χρονιάς φοίτησης στο συγκεκριμένο κολέγιο.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 7. Παλινδρόµηση Γενικά Επέκταση της έννοιας της συσχέτισης: Πώς µπορούµε να προβλέπουµε τη µια µεταβλητή από την άλλη; Απλή παλινδρόµηση (simple regression): Κατασκευή µοντέλου πρόβλεψης

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ SOS & ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ www.dap papei.gr 2 ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Τι θα γράψω: Στις εξετάσεις τα θέματα περιλαμβάνουν ερωτήσεις και ασκήσεις (κυρίως ασκήσεις) όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος... v

Περιεχόμενα. Πρόλογος... v Περιεχόμενα Πρόλογος... v 1 Χρήση της έκδοσης 10 του SPSS για Windows και καταχώριση δεδομένων... 1 2 Περιγραφή μεταβλητών: πίνακες και γραφήματα... 19 3 Περιγραφή μεταβλητών αριθμητικά: μέσοι όροι, διακύμανση,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ.

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Smple Lear Regresso) Να κατανοηθεί η έννοια της παλινδρόµησης Ποιες οι προϋποθέσεις για να εφαρµοσθεί η γραµµική παλινδρόµηση; Τι είναι το γραµµικό µοντέλο και πως εκτιµούνται

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή 2013 [Πρόλογος] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 2012-2013 Μ.Επ. ΟΕ0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Μαρί-Νοέλ Ντυκέν, Επ. Καθηγητρία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ 1. Εισαγωγή Όπως έχουμε τονίσει, η κατανόηση του τρόπου με τον οποίο προσδιορίζεται η τιμή ενός αγαθού απαιτεί κατανόηση των δύο δυνάμεων της αγοράς, δηλαδή της ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

γένεση των µετακινήσεων

γένεση των µετακινήσεων 3 γένεση των µετακινήσεων εισαγωγή το υπό διερεύνηση θέµα: πόσες µετακινήσεις ξεκινούν από κάθε ζώνη? πόσες µετακινήσεις κάνει ένας µετακινούµενος κατά την διάρκεια µιας µέσης εβδοµάδας? Ανάλυση κατά ζώνη

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ πόσες μετακινήσεις δημιουργούνται σε και για κάθε κυκλοφοριακή ζώνη; ΟΡΙΣΜΟΙ μετακίνηση μετακίνηση με βάση την κατοικία μετακίνηση με βάση άλλη πέρα της κατοικίας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΕΒΔΟΜΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2008-2009

Διαβάστε περισσότερα

Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος

Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος ΜΑΘΗΜΑ 2ο Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος 1. Κατανόηση του προβλήματος με τη σχετική επιστήμη (όπως οικονομία, διοίκηση, γενικές επιστήμες) π.χ το πρόβλημα της κατανάλωσης κάποιας περιοχής σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. ΜΑΘΗΜΑ 12 Συµπερασµατολογία για την επίδραση πολλών µεταβλητών σε µια ποσοτική (Πολλαπλή Παλινδρόµηση) [µέρος 2ο]

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. ΜΑΘΗΜΑ 12 Συµπερασµατολογία για την επίδραση πολλών µεταβλητών σε µια ποσοτική (Πολλαπλή Παλινδρόµηση) [µέρος 2ο] Ενότητα 2 ιαφάνειες Μαθήµατος: 2- Ενότητα 2 ιαφάνειες Μαθήµατος: 2-2 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο.6. είκτες µερικής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL (a) 2.882 E04 (e) (g) (h) ERROR (b) (d) (f) TOTAL (c) 4.063 E04 R SQUARE (i) PARAMETER

SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL (a) 2.882 E04 (e) (g) (h) ERROR (b) (d) (f) TOTAL (c) 4.063 E04 R SQUARE (i) PARAMETER ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Θεωρήστε το παράδειγμα που αναφέρεται στη συσχέτιση του βαθμού ικανοποίησης των εργαζομένων σε ένα εργαστήριο σε σχέση με τις οκτώ μεταβλητές που ορίστηκαν εκεί. (Χ =ηλικία, Χ =φύλο, Χ =εβδομαδιαίος

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην οικονοµία των µεταφορών

Εισαγωγή στην οικονοµία των µεταφορών 1 Εισαγωγή στην οικονοµία των µεταφορών Βασικές συνιστώσες της οικονοµικής ανάλυσης στις µεταφορές Ζήτηση, Προσφορά και αλληλεπίδραση προσφοράς και ζήτησης Εξωτερικές αλληλεπιδράσεις, κοινωνικό κόστος

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων Βασίλης Βασδέκης - Στέλιος Ψαράκης Αθήνα 005 Πείραµα Είναι µια δοκιµή ή ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ SPSS Το SPSS είναι ένα στατιστικό πρόγραμμα γενικής στατιστικής ανάλυσης αρκετά εύκολο στη λειτουργία του. Για να πραγματοποιηθεί ανάλυση χρονοσειρών με τη βοήθεια του SPSS θα πρέπει απαραίτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19. 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21

Πρόλογος... 15. Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19. 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 1.1 Τι είναι η οικονομετρία... 21 1.2 Σκοποί της οικονομετρίας... 24 1.3 Οικονομετρική

Διαβάστε περισσότερα