1. 0, α) 0,23 β) 0, α) 82 β) 2,01. β) = 4 γ) = 8 δ) = 5. α) = 10 γ) =

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. 0,4375 2. α) 0,23 β) 0,263. 1. α) 82 β) 2,01. β) 2 + 2 = 4 γ) 5 + 3 = 8 δ) 3 + 2 = 5. α) 7 + 3 = 10 γ) 5 + 4 ="

Transcript

1 1316 Μοιράζοντας 1. 0, α) 0,23 β) 0, Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας µε το έκα 1. α) 82 β) 2,01 2. Οι αριθµοί µετακινούνται κατά µία θέση προς τα αριστερά. Οι αριθµοί µετακινούνται κατά δύο θέσεις προς τα δεξιά ιαδοχικοί αριθµοί 1320 Εµβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράµµου τ.εκ τ.εκ τ.εκ Στερεά σχήµατα 1. 6 κορυφές 2. 9 ακµές 1324 Αθροίσµατα στον πίνακα µε τα καρφάκια β) = 4 γ) = 8 δ) = Ίσα ποσά Να αντιγράψεις και να συµπληρώσεις τις παρακάτω ισότητες: α) = 10 γ) = β) = 7 δ) Είναι πιθανές πολλές απαντήσεις. 1

2 1328 Προβλήµατα χώρου Ένας µέσος εντεκάχρονος µπορεί να φτάσει περίπου τα 136 εκατοστά ιαδροµές Ας σχεδιάσουµε ένα Σούπερ Μάρκετ 1345 Παντογνώστης 1347 Τρόµινο Να παρατηρήσεις και να µαντέψεις 1. Portsmouth Le Havre 2. Dover Calais Southampton Cherbourg Felixtowe Zeebrugge Portmouth - Le Havre 3. Dover 2

3 1349 Χρονολογική γραµµή χρόνια Τροχοί Ο τροχός Β γυρίζει δεξιόστροφα. Ο τροχός Γ γυρίζει αριστερόστροφα. Ο τροχός γυρίζει αριστερόστροφα Σύνολα αντικειµένων 1. 8 χέρια ακροδάχτυλα 3. 6 καραµέλες σε κάθε πακέτο 1356 Πόσο κοστίζουν; λεπτά 2. 6 λεπτά 1357 Σηµεία που λείπουν : 6 = = = Τρεις στη σειρά Οποιαδήποτε κατάλληλη περιγραφή είναι αποδεκτή. 3

4 1363 Πλέγµατα εξαγώνων 1366 Ζεύγη Α 1367 Γραµµές 1, 3 ή 5 Να δεχτείς το 3 ή το Η ταινία του Mobius Η ταινία του Mobius έχει µία επιφάνεια Εννέα σύνδεσµοι Εργασίες στη σειρά 1. Πηγαίνεις στο σούπερ µάρκετ 2. Παίρνεις ένα καρότσι 3. Βάζεις τα πράγµατα που θέλεις στο καρότσι 4. Πηγαίνεις στο ταµείο 5. Βάζεις τα ψώνια σε σακούλα 1377 Ζάρια Το ανάπτυγµα (α) σχηµατίζει ένα ζάρι. 4

5 1378 Απεικονίσεις n 3n Οποιεσδήποτε 3 διαφορετικές µεταξύ τους απεικονίσεις, οι οποίες αποδίδουν τη σχέση 5 25 Π.χ. n n 2 n 5n n 30 n Ψάρεµα (0,0) (0,3) (2,3) (2,5) (6,5) (6,0) 1381 Χρήµατα λεπτά 2. α) 76 λεπτά β) 24 λεπτά 1383 Καλές προβλέψεις 1. Περίπου 82 εκ. 2. Λογικές εκτιµήσεις για το ύψος της αίθουσας ιαγώνιοι Α 2 Β 3 Γ Πίνακας πολλαπλασιασµού Ζαριά Β ( 3 5 ) διάστατη τρίλιζα 5

6 1388 ιπλασιάζω 16 τετραγωνικά εκατοστά Πίνακες πολλαπλασιασµού Αναποδογύρισε τους πίνακες = 28 και 4 7 = Ο αριθµός 29 είναι ένας πρώτος αριθµός µεγαλύτερος από το Ο αριθµός 39 δεν διαθέτει ζεύγη παραγόντων όπου και οι δύο παράγοντες να είναι µικρότεροι από το Κανονικότητες στον πίνακα πολλαπλασιασµού Εµπόδια 1404 Εξισώσεις δράσης 1. η = 7 2. η =16 3. η = Εξισώσεις 1. η = 9 2. η = η = 7 6

7 1406 Ισότητα και ανισότητα 1. Σωστό 2. Λάθος 3. Σωστό 4. Σωστό 1408 Ενδείξεις στο θερµόµετρο Fº Cº Α Β 46 8 Γ Μέσος όρος = 51p Ρωµαϊκή γραφή αριθµών Αριθµητική σπαζοκεφαλιά x 1413 Περίµετρος δώδεκα εκατοστών 10 ίντσες 1417 εκάδες ένα παιχνίδι για δύο παίκτες Να τοποθετήσεις το για να σχηµατίσεις

8 1421 Σχήµατα από τετράγωνα 1. Το σχήµα β) δεν είναι αποδεκτό. 2. Κάθε τετράγωνο πρέπει να εφαρµόζει απόλυτα στην πλευρά κάποιου άλλου τετραγώνου Ορθογώνια παραλληλόγραµµα µέσα σε κύκλους (α) και (β) είναι όµοια. (β) και (ε) είναι όµοια Προβλέψεις µε το κοµπιουτεράκι Μαντεύω το αποτέλεσµα της διαίρεσης 1) 15 2) 8 3) Μια πλούσια θεία Xρόνος Ποσά ( ) Σύνολο Σχέδιο Αιτία Β περισσότερα χρήµατα συνολικά. ή Α περισσότερα χρήµατα πιο σύντοµα. 8

9 1426 Γραµµές µε δεκαδικούς αριθµούς 1. α) β) 1. α) 1,3 β) 4, Τρίγωνα σε κύκλους (α), (δ) και (ε) είναι όµοια Άθροισµα και Γινόµενο Αριθµοί Άθροισµα Γινόµενο Παράγοντας; και =6 Ναι και =4,28 Όχι και =8 Ναι Πολλαπλάσια του 3 και του 9 1. Ναι, γιατί το άθροισµα των ψηφίων (του 36) είναι πολλαπλάσια του Ναι, γιατί το άθροισµα των ψηφίων (του 36) είναι πολλαπλάσια του Χοροπηδώ 32 9

10 1432 Τριγωνικές κανονικότητες Γωνίες προσανατολισµού Να διανύσεις 500 χµ. µε πορεία 242. Στη συνέχεια, να καλύψεις απόσταση 800χµ. µε πορεία Αντίστροφες γωνίες προσανατολισµού Προβλήµατα µε κυβάκια = Κανόνες στο τρίγωνο του Pascal ISBN και Λάθη 1. Λάθος µετατόπισης 2. (0 10) + ( 0 9) + (9 8) + (1 7) + (2 6) + ( 9 5) + (4 4) + (2 3) + (1 2) + (10 1) = : 11 = 15 υπόλοιπο 5 Το υπόλοιπο δεν είναι µηδέν, εποµένως υπάρχει κάποιο λάθος. 10

11 1455 Pinball (Παιχνίδι µε καρφάκια) 1. Κέρδος 2. Έσοδα λ = 7,50 ευρώ Έξοδα (6 50 λ) + (5 30 λ) + (8 15 λ) + (9 5 λ) = 6,15 ευρώ Κέρδος = 7,50 6,15 = 1,35 ευρώ 1461 Ψηφία στη θέση λέξεων Χαλασµένα πλήκτρα Μια πιθανή λύση: 2 6 : 2 = 1483 Το µεγαλύτερο γινόµενο = Κανονικότητες µε δεκαδικούς αριθµούς = 0,25 Μία ή περισσότερες από αυτές τις περιγραφές. = 1,25 Ο αριθµητής του κλάσµατος αυξάνεται κατά 4. = 2,25 Το ακέραιο µέρος του αριθµού αυξάνεται κατά 1. = 3,25 = 4,25 Το δεκαδικό µέρος του αριθµού είναι πάντα 0, Τριάδες και επτάδες 11

12 1511 Ορίζοντας περιοχές Όπως στο πρωτότυπο Το παιχνίδι των διαφορών = Παιχνίδι µε πέντε κάρτες Στερεά µε 4 κυβάκια Οποιαδήποτε τρία στερεά κατασκευασµένα από 5 κυβάκια όπως: 1528 Τοίχος κλασµάτων 2 12

13 1537 Συστήµατα εξισώσεων και ανισώσεων 1. και 2. όπως στο πρωτότυπο Επίλυση συστηµάτων εξισώσεων 4 1. x = 3, y = 3 2. x = 2, y = 5 Πρέπει να παρουσιάσεις δύο διαφορετικές µεθόδους Υπάρχει λύση; Υπάρχει µία και µοναδική λύση: x= 2 3, y= 0 13

14 1555 Κρυµµένο τριαντάφυλλο 1. Όχι 2. Υπάρχει ζυγός αριθµός σηµείων, κατά συνέπεια οι διάµετροι του κύκλου µπορούν να σχεδιαστούν. Ή κάτι παρόµοιο Εµβαδόν όµοιων σχηµάτων τ.εκ τ.εκ τ.εκ Προβλήµατα οµοιότητας 1. Μήκος στο πλακάκι = 81 = = 297εκ = Μετασχηµατισµοί Συµµετρία ως προς την ευθεία y= Συνδυαστικές συµµετρίες 1. Συµµετρία ως προς τον άξονα y 2. Συµµετρία ως προς τον άξονα y 3. Συµµετρία ως προς την ευθεία y = -x 4. Συµµετρία ως προς την ευθεία y = x 14

15 1564 Πλακάκια µε στρογγυλά σχέδια 5 κλειστές καµπύλες 1566 Τετραγωνικές ρίζες 20 = 4,472 Σωστό στα τρία δεκαδικά ψηφία. Είναι σηµαντικό να παρουσιάσεις τη µέθοδο δοκιµής και βελτίωσης που ακολούθησες Παίζοντας µε το πληκτρολόγιο = = = = = =9 2. Οι αριθµοί που αφαιρούνται προκύπτουν από γειτονικά πλήκτρα στο κοµπιουτεράκι. Το αποτέλεσµα είναι πάντα ιερεύνηση τετραγωνικών ριζών Η απάντηση προσεγγίζει όλο και περισσότερο τον αριθµό Αθροίσµατα µε ντόµινο 15

16 1592 ιερεύνηση µε δύο τοµές και 2 τρίγωνα 1 τετράπλευρο 1 πεντάγωνο 1613 Η Κίττυ κάνει υπολογισµούς Ηµέρα Ποσό (λεπτά) Ηµέρα Ποσό (λεπτά) Σύνολο 10,3 ευρώ 1614 Η Κίττυ και οι πιθανότητες 1615 Η λογική της Κίττυ 1618 Ονόµατα αριθµών Ο Χ είναι ο αριθµός Πόσα τετράγωνα; 14 τετράγωνα τετράγωνα τετράγωνα 1628 Οκτώ τετράγωνα Τα σχήµατα Α και Β Κατά µήκος της γραµµής 9 6 = 54 16

17 1631 Στόχος 100 Ο αριθµός 0,6 θα ήταν µια πολύ καλή επιλογή αλλά οποιοσδήποτε αριθµός ανάµεσα στους 0,2 και 0,9 είναι αποδεκτή απάντηση Μαρκαρισµένα πλήκτρα 1633 Ακολουθώντας τον Τάµεση 2 δεκάδες Θρίαµβος Ο κανόνας µπορεί να εφαρµοστεί σε οποιοδήποτε από τα παρακάτω ζεύγη αριθµών: 4 : 3 5 : 4 6 : 5 7 : 6 7 : 5 8 : 7 8 : 6 9 : 8 9 : 7 10 : 9 10 : 8 10 : 7 11 : : 9 11 : 8 12 : : : Τετράδες 1. 1,5 : 0,4 = 3, ,4 = 41,2 ή 5 0,3 = 41, Τρίγωνα από καλαµάκια 17

18 1646 Η Κίττυ και οι φίλες της Το λεωφορείο 86 φθάνει 3 λεπτά πιο αργά από το λεωφορείο 25. Ή κάτι ανάλογο Στο δρόµο για το σχολείο 1. Λάθος 2. Λάθος 3. Σωστό 4. Σωστό 1655 Το παιχνίδι µε τους παράγοντες 1. Οποιοιδήποτε δύο από 1, 2, 4, 8, 16, 32, 40, 50, 100, 200, 400, 800, Οποιοιδήποτε δύο από 1, 3, 11, 33, 121, Η ξεχασµένη διαίρεση 4 : Η Μυστηριώδης ιαίρεση 1659 Αντιστροφή µε το νου = Ο πρωταθλητής ψύλλος Περίπου 33 ώρες ή ώρες Φτάνω στο ένα Υπάρχουν και άλλες πιθανές απαντήσεις Το µεγαλύτερο και το µικρότερο

19 1664 Σκάκι Άλλες πιθανές απαντήσεις (x + 1) 1. Ναι (7+1) 2 = x = = Ναι (1,5 +1) 2 = 1,5 2 +2x1,5+1 2,5 2 = 2, ,25 = 6, Αποµιµήσεις 1672 Τα στερεά Soma Υπάρχουν αρκετές πιθανές απαντήσεις ΜΚ & ΕΚΠ =ΜΚ ΕΚΠ 19

20 1674 Ανατοµία τετραγώνου 1682 Μπερδεµένοι αριθµοί t = υνάµεις Ο αριθµός είναι ένας κύβος. Ο αριθµός είναι µόνον ένας τετράγωνος αριθµός. Ο αριθµός αποτελεί δύναµη στην τετάρτη Ένα κασόνι µε µπουκάλια για γάλα 1686 Τετράγωνα 1687 Ρέστα λεπτά λεπτά 3. 5 λεπτά + 5 λεπτά + 5 λεπτά +5 λεπτά +5 λεπτά +2 λεπτά +2 λεπτά + 2 λεπτά Υπάρχουν και άλλες πιθανές απαντήσεις Σηµαίες και κλάσµατα ή κάποιο άλλο ισοδύναµο κλάσµα 6 1 ή κάποιο ισοδύναµο κλάσµα 9 1 ή κάποιο ισοδύναµο κλάσµα Η λογική της Κίττυ 20

21 1696 Αποτελέσµατα δοκιµασίας αυτοκινήτων Όχηµα Α Όχηµα Β Όχηµα Γ Όχηµα 3 5 3, , Λόγοι µοτοσυκλετών εν θα ήταν ασφαλές. Η µικρότερη ταχύτητα της µοτοσυκλέτας για την έκτη ταχύτητα είναι περίπου ίδια µε την ανώτερη ταχύτητα της µοτοσυκλέτας για την πρώτη ταχύτητα. Ή κάτι ισοδύναµο. 3. Απαντήσεις που προσεγγίζουν τις παρακάτω:16-18mph (µίλια ανά ώρα), 29-31mph, 39-41mph, 49-51mph, 60-62mph Αναγνώριση Ένα σχήµα µε τρεις πλευρές, µε δύο γωνίες και δύο πλευρές ίσες. Ή κάτι παρόµοιο Το παιχνίδι του δεκαπέντε Υπάρχουν πολλές πιθανές απαντήσεις Βρες το δολοφόνο 21

22 1704 Συνδυαστική πιθανότητα = Σκέψου!! εν υπάρχει καµία πληροφορία για άτοµα που αγοράζουν ζάχαρη Μολύβια 1. Γ Β 1713 Υπό το µηδέν Υπάρχουν και άλλοι τρόποι Μείξεις συγκολλητικής ουσίας Λύση 5 1 του λίτρου µείγµα και του λίτρου νερό

23 1717 Πρόσθεσε ένα τετράγωνο 1720 Έκπληξη µε κυβάκια γρ λεπτά κυβάκια 1722 Πόσοι κύβοι; 1. 3 κύβοι (ή 4 κύβοι) 2. 6 κύβοι 3. 5 κύβοι 1723 Προσέγγιση Α. 0, ιαίρεση ψηφίων Ο αριθµός 163 δεν διαιρείται από το 3, αν και οι υπόλοιπες προϋποθέσεις ισχύουν όλες Το πλησιέστερο γινόµενο 61 και ιαιρώντας ζεύγη ύο οποιοιδήποτε αριθµοί του πίνακα, οι οποίοι, όταν διαιρεθούν µεταξύ τους, δίνουν αποτέλεσµα ανάµεσα στο 10 και το Κύκλοι µε σηµεία 23

24 1735 Εκατοστόµετρα 1. 4 εκατοστά εκατοστά εκατοστά 1736 Αλγεβρικά ζεύγη Πάντοτε ίσα Ποτέ ίσα Μερικές φορές ίσα Πάντοτε ίσα 1737 Η πορεία του έξι 1 1 3= = = = Λαβύρινθος υπολογιστών 3,1 0,6 = 1,86 3,1 0,9 4,1 = 11,439 0,3 4,1 = 1,23 0,3 0,9 0,6 = 0, Ξανά και ξανά 1740 Πόσο ζυγίζει περίπου; Ένα µολύβι 20 γρ. Ένα πακέτο ζάχαρη 1 κ Φτιάξε το µισό 24

25 1742 Το παιχνίδι του 20 Οποιοσδήποτε αριθµός ανάµεσα στους 0,75 και Γινόµενα µε δεκαδικούς αριθµούς 1. Οποιοιδήποτε 2 δεκαδικοί µε άθροισµα = 2,5 2. Το γινόµενό τους. 3. Οποιοιδήποτε άλλοι 2 δεκαδικοί µε άθροισµα =2,5 4. Το γινόµενό τους. 5. Το µεγαλύτερο γινόµενό τους Jingsaw µε δεκαδικούς Οποιαδήποτε τρία διαφορετικά ορθογώνια και το δεκαδικό άθροισµά τους Στοίβες Λίστες µε δεκαδικούς αριθµούς , 1.2, 1.8, 2.4, 3.0, , 4.8, 5.4, 6.0, Κάτω από ένα µεγεθυντικό φακό Κάµπια = 2 εκατοστά Ψύλλος = 0,5 εκατοστά 1753 Ζευγάρια που ταιριάζουν 1. Θ = 73 Κ = 73 Λ = Θ και Κ 25

26 1757 ίκτυα αερογραµµών. Χ.Κ. Μ. Σ Χ.Κ Μ Σ Μηνύµατα µε συντεταγµένες RIVER THAMES 1761 Προβλήµατα Gelosia 1762 Από το Α στο Β 4 1. (α) 3 (β) (α) 34 (β) Μπλεγµένα τετράπλευρα 1. COWK 2. HENQ 3. ABYF 4. MJTR 5. PSXU 6. GDIL Το γράµµα V δεν χρησιµοποιείται υο- υο Με τα Α και. 26

27 1766 Ιπτάµενοι µηχανικοί Μπίρµινχαµ (3 28 ) + (1 60 ) + (4 52 )=352 Μπρίστολ (3 72 ) + (2 60 ) + (4 28 )=448 Λονδίνο (3 96 ) + (2 52 ) + (1+28 )=420 Λίβερπουλ (2 28 ) + (1 72 ) + (4 96 )=512 Το Μπίρµινχαµ έχει το χαµηλότερο κόστος ταξιδιού Η οικογένεια Αλεξιάδη Ο Κώστας είναι τριών (3) ετών. Η κυρία Μακρή είναι τριάντα (30) ετών. Ο κύριος Μακρής είναι τριάντα τεσσάρων (34) ετών. Η γιαγιά είναι εξήντα (60) ετών Τα πρώτα Αιγυπτιακά Κλάσµατα ιερευνώντας τη συµµετρία 1781 Τρία από εννέα 1786 Ποιος αριθµός;

28 1790 Το κινέζικο τρίγωνο 1. Modulo Νιώθεις πείνα; 1. 3 (ή 5) 2. Μεταξύ 11 π.µ. και 12 το µεσηµέρι Gelosia για δεκαδικούς 1818 Φωτογραφίες από ελικόπτερο Απόσταση κατά µήκος του δρόµου σε µέτρα Χρόνος σε δευτερόλεπτα Οποιαδήποτε λογικά σχόλια. 28

29 1821 Προσπέραση δευτερόλεπτα. 2. Μετά από 4 δευτερόλεπτα Γινόµενο πρώτων αριθµών { 1,37,43,1597} ή Ακριβώς δέκα Αν ο φίλος διαλέξει το 1, εγώ θα διαλέξω το 0,5. Αν ο φίλος διαλέξει το 0,5, εγώ θα διαλέξω το 1. Με οποιονδήποτε τρόπο εγώ παίρνω ακριβώς 10. Ή µια ανάλογη εξήγηση Αλυσίδες περιττών και αρτίων αριθµών Αρχή της «εξοµάλυνσης» Η γραφική παράσταση θα πρέπει να δείχνει το αυτοκίνητο να µειώνει ταχύτητα, να αποκτά κανονική ταχύτητα ή να αυξάνει ταχύτητα, στη συνέχεια να τη µειώνει πάλι και να σταµατάει Κύκλοι και τελείες ή κάτι παρόµοιο 29

30 1839 Ποιο τραπουλόχαρτο λείπει; 1843 Πολύγωνα και ορθές γωνίες Άλλα σχήµατα είναι πιθανά επίσης. 4. Αδύνατο 1845 Σκιασµένες λωρίδες Πέντε διαφορετικοί τρόποι..... ή µόνο οι τρεις πρώτοι Συµµετρικά τρίγωνα Οποιαδήποτε τρία τρίγωνα µε τέσσερα µικρά τρίγωνα σκιασµένα, έτσι ώστε να σχηµατίζουν ένα συµµετρικό σχέδιο Η άλλη πλευρά Το σχήµα που δίνεται σε οποιαδήποτε θέση Τέσσερις κύβοι 30

31 1872 Πλάτη µε πλάτη 1873 Συµµετρία πολυγώνων Είναι δυνατόν να σχηµατιστούν και άλλα σχήµατα Πολλαπλάσια στα Urdu 1881 Προσθέσεις στα Χίντι 1895 Επίπεδα µοτίβα της Grace Chisholm Young 1897 Ποιος είναι ο φύλακας; Η κ. Πετρίδου είναι η δασκάλα του Γιάννη. 31

32 1898 Ποιος έχει το κοµπιουτεράκι; 1899 Λέξεις αριθµών (ή αριθµολέξεις ) 1902 Μικρό Μεσαίο Μεγάλο 1. Ο λόγος ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ ΠΛΕΥΡΑ/ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΠΛΕΥΡΑ είναι 0,41 µετά από στρογγυλοποίηση σε 2 δεκαδικά ψηφία για κάθε τρίγωνο. Μικρότερη πλευρά Μεγαλύτερη πλευρά Μικρήπλευρά µεγάληπλευρά α) β) γ) ,41 0,41 0,41 2. Ναι. Τα τρίγωνα είναι όµοια Βαµµένες ρόδες Περιφέρεια µικρού τροχού Πιτσιλιά χρώµατος ιπλή πιτσιλιά 1913 Αριθµοί Bengali 1915 Σχεδιάζοντας από µνήµης 32

33 1916 Ένα κόλπο µε τα πούλια του ντόµινο 1917 Ανερχόµενες κλίσεις 1. Κλίση = 5:12 = 0,42 2. εφ 35 = 0,7 3. Οι 100 είναι 10 περισσότερες από τις 90, οι 80 είναι 10 λιγότερες από τις 90. Εποµένως, η εφαπτοµένη της γωνίας είναι ίση αλλά αρνητική. Ή άλλες λογικές απαντήσεις Τριγωνοµετρικές γραµµές (i) α = 0,59 (ii) γ = 5,80 (iii) ε = 6,43 β = 0,81 δ = 1,55 ζ = 7, Σπαζοκεφαλιά µε πεντόµινο Ή οποιαδήποτε παρόµοια διευθέτηση τριών πεντόµινο Τέσσερα πεντόµινο Εννέα Pentominoes Απέναντι γωνίες Είναι απαραίτητες 6 στήλες. 33

34 1934 Μεταφορές σχηµάτων 1935 Γωνίες σε ηµικύκλια 1. (α) (ζ) (η) 2. (β) (γ) (ε) 3. (δ) (θ) 1937 Αριθµοί Panjabi 1940 ιερεύνηση διαίρεσης Τρεις αριθµοί από την ακολουθία: 3, 9, 15,, 6n + 3, ιαφορές 37 σειρές α) 469 β) n Άρτια και περιττά τριγωνικά σχέδια 34

35 1946 Πρόβληµα διαίρεσης Οποιαδήποτε αποδεκτή µέθοδος (χωρίς χρήση αριθµοµηχανής), για να δείξεις ότι: 255 : 17 = Τρισδιάστατες δοµές Μια πυραµίδα µε βάση πεντάγωνο y = x 2 1. y=-x 2 (δ) 2. y=3x 2 (α) 3. y= 4 1 x 2 (β) 4. y=- 8 1 x 2 (γ) 35

36 1949 Παιχνίδι µε την πυξίδα 1951 Όταν το x είναι; 1. α) y = 0,2 β) y = -0,2 2. Oποιαδήποτε περιγραφή ή σχέδιο που δείχνει κατανόηση της γραφικής παράστασης της εξίσωσης y = 1 είναι αποδεκτή. x 1952 Γραφικές παραστάσεις αντίστροφων συναρτήσεων 1 (α) 2. y = x 1 1 (β) 3. y = 1 x (γ) 1. y = 1 3x 1953 Σύνολα σηµάτων 1. Όχι. 2. Είναι πινακίδα που δείχνει κατεύθυνση ή είναι πινακίδα που παρέχει πληροφορίες. 36

37 1954 Αξονική συµµετρία 1955 Περιστροφική συµµετρία 1956 Φρενάρισµα πόδια (ft). 2. Ανάµεσα στα 60 και 65 µίλια την ώρα (mph) Σχηµατίζοντας το ένα Οποιεσδήποτε δύο από τις ακόλουθες παραστάσεις είναι σωστές:

38 1998 Οι σπείρες του Αρχιµήδη 1999 Ισογώνιες Σπείρες 2000 Fibonacci και οι σπείρες τετραγωνικής ρίζας 2001 Έλικας 2003 Ηµεροµηνίες γενεθλίων Στις 23 του µήνα ( = 23 ) 2013 Περίµετρος 2 π 10 = 62,8εκ Στόχος 24 Οποιεσδήποτε τρεις από τις παρακάτω παραστάσεις: ( ) ! + = 36 (2 2 ) = 36 ( 3+ 3) 3! = 36 4 (4 + 4 )2 = 36 ( )2 = = 36 6 ( )2 = 36 ( 8- (8+ 8) ) 2 = 36 9 (9 + 9 ) =

39 2017 Ένα δίκαιο παιχνίδι 2018 Σχεδιάζοντας την καµπύλη 2. Ακριβής γραφική παράσταση της 3. Οποιαδήποτε κατάλληλη περιγραφή της γραφικής παράστασης Λιγότερα πλήκτρα - 2, είναι τα λιγότερα πλήκτρα που µπορεί να χρησιµοποιήσει κανείς χωρίς οποιοδήποτε υπολογισµό µε το νου ή µε το πλήκτρο της ισότητας (=). Για παράδειγµα, 1- ( ( 7,8+5,4) : (0,54 6,2) )= ή 0,54 6,2 Min (7,8 + 5,4) : RM Min 1- RM= Είναι πιθανόν να χρησιµοποιηθούν και άλλα πλήκτρα Υπέρβαρο αποσκευών Υπέρβαση ορίου κιλών 0 κιλά 12 κιλά 4 κιλά Χρέωση ωρεάν 274,08 70, Στρίβοντας για ένα πολύγωνο : 9 = 40 ή κάποια ισοδύναµη απάντηση. 39

40 2026 Πυραµίδες αριθµών 2027 Όµοια τρίγωνα 1. Τα τρίγωνα Α, C και D 2. ιάφορες απαντήσεις. Για παράδειγµα: Οι αντίστοιχες πλευρές των τριγώνων A, C, D είναι ανάλογες, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Πυθαγόρα ή Το τρίγωνο Α αποτελεί µεγέθυνση του τριγώνου C µε συντελεστή κλίµακας. 2. Το τρίγωνο D είναι µεγέθυνση του τριγώνου C µε συντελεστή κλίµακας Σειρές 2031 Σχέδια µε ελικοειδή τετράγωνα Αριθµός σειρών Μήκος πλευράς τετραγώνου 22,4 εκ εκ Σκουλαρίκια 1. Συνολική ποσότητα σε ασήµι για ένα σκουλαρίκι: 0, , ,142 = 4,712cm 2 Συνολική ποσότητα σε ασήµι για δύο σκουλαρίκια: 9,424cm 2 ή 9,425cm 2 Το κόστος του ασηµιού για δύο σκουλαρίκια: 9,424 20p = 1,88 ευρώ Πόσο κοστίζουν δύο σκουλαρίκια µαζί µε κρίκους: 1, λεπτά = 1,98 ευρώ 2. 1,98 220% = 4,36 ευρώ ή 4,37 ευρώ, αν δεν υπάρχει ενδιάµεση στρογγυλοποίηση 2033 Είναι αλήθεια; Η πρότασή σου και τρεις λόγοι που αιτιολογούν γιατί είναι σωστή ή λανθασµένη. 40

41 2034 Πόσο πιθανό είναι; 1. Οποιαδήποτε λογική απάντηση είναι αποδεκτή για το πιο πιθανό. 2. Οποιαδήποτε λογική απάντηση είναι αποδεκτή για το λιγότερο πιθανό. 3. Κάθε λογική διάταξη των προτάσεων είναι αποδεκτή αρκεί οι απαντήσεις στις ερωτήσεις 1 και 2 να βρίσκονται στην αρχή και στο τέλος της διάταξης αντιστοίχως Βρίσκω ισοδύναµα κλάσµατα Για οποιαδήποτε τρία ισοδύναµα κλάσµατα, π.χ ,,, ,,, ,,, x y πείραµα 1. (α) 243 (β) 256 (γ) 125 (δ) Όχι 2041 Με επιστηµονικό τρόπο 1. 3, ή 3, , ή 7, , ή 5, , ή 9,

42 2042 Ακολουθίες 1. 7, 10, 13, 16, 19, Προσθέτεις , 6, 1, -4, -9, Αφαιρείς , 20, 200, 2000, Πολλαπλασιάζεις µε το ΕΧΕ * 5 ΕΧΕ ΕΧΕ ή 1 ΕΧΕ 5 ANS EXE EXE 2043 Κανονικότητες µοναδιαίων κλασµάτων (α) (β) 2046 Μεγέθυνση πενταγώνων τριγώνων 8 κοµµάτια 42

43 2047 Καρφάκια σε τετράγωνα = = = = = Απρόβλεπτες οµαλότητες 2050 ιανυσµατικά εµβαδά 1. 9 τετραγωνικές µονάδες 2. mv lw 2052 Ο τεµαχισµός του Πυθαγόρα 2053 Προσθέτω περιττούς αριθµούς (α) τρόποι (β) Αδύνατο 0 τρόποι (γ) τρόποι 43

44 πλευρές α) ορθογώνιο β) τετράπλευρο σε σχήµα χαρταετού γ) παραλληλόγραµµο δ) τετράγωνο ε) ρόµβος Οι απαντήσεις των µαθητών ορθότητα των απαντήσεων. µπορεί να είναι λίγο διαφορετικές. Να ελέγξεις την 2055 Ελλείψεις και αναδιπλώσεις Είναι λεπτότερο, πιο επίπεδο, λιγότερο σαν κύκλος (ή κάτι παρόµοιο) Βεντάλια 2059 Κανονικότητες µε ντόµινο ντόµινο. 2. Οποιαδήποτε λογική εξήγηση, π.χ. Πρόσθεσα αριθµούς από το ιαίρεσα το µε το Ο σάκος 1. 80εκ κατά προσέγγιση εκ κατά προσέγγιση. (96 : π = 30,56) 2061 Πειστικά επιχειρήµατα! 1. Τρία κατάλληλα παραδείγµατα. Για παράδειγµα, και οι δύο αριθµοί είναι µεταξύ του 0 και του 1, ή ένας αριθµός είναι αρνητικός, ένας είναι θετικός και οι δύο >1 (η απόλυτη τιµή τους). 2. Τρία κατάλληλα παραδείγµατα. Για παράδειγµα, και οι δύο είναι αρνητικοί ή 0,8 : 0,2 = 4 ή κάτι παρόµοιο. 44

45 2062 Εγγεγραµµένες γωνίες 1. x = 50º y = 50º z = 10º 2. x = 40º y = 40º z = 100º 2063 Ισλαµικά σχέδια 2064 Ρωσικός πολλαπλασιασµός Οποιοσδήποτε πολλαπλασιασµός που περιλαµβάνει έναν αριθµό της µορφής 2 1. Για παράδειγµα, = Όλοι οι αριθµοί που βρίσκονται στα αριστερά κάθε γινοµένου είναι περιττοί. Έτσι, κανένας δεν διαγράφεται Συρρικνώνοντας τη Γη 2066 Τελείες 2069 Ανατροπή 2070 Πύργοι από κάρτες 5 επίπεδα 2071 Μισά κυβάκια Β 45

46 2072 Αριθµοί Nepali 30-3= = = = = = =9 9-3=6 6-3=3 3-3= Κατασκευάζοντας λαβύρινθους Υπάρχουν πολλές πιθανές απαντήσεις Απέναντι, προσκείµενη πλευρά και υποτείνουσα 3,2 1. x = ηµ 42 = 4,782εκ. µε ακρίβεια 3 δεκαδικών ψηφίων 2,7 2. υποτείνουσα = ηµ 17 = 9,235 y = 9,235 x ηµ 51º = 7,177εκ µε ακρίβεια 3 δεκαδικών ψηφίων 2084 Εµβαδόν πολυγώνων (α) (β) Εµβαδόν = 12 τ.εκ. Εµβαδόν = 12,5 τ.εκ Χωρίς να βλέπεις 2090 Κανονικότητες µε σκιασµένα και µη σκιασµένα τρίγωνα 46

47 2091 Ορθογώνιο τρίγωνο ή όχι; V, X και Y 7, = 19,5 2 Ο κανόνας του Πυθαγόρα ισχύει, άρα είναι ορθογώνιο τρίγωνο. (Ή µια παρόµοια εξήγηση) Τετράγωνα, κύβοι και ρίζες Οριζόντια 1. Τετράγωνο του Κυβική ρίζα του Τετράγωνο του 20 Κάθετα 1. Τρίτη δύναµη (κύβος) του Τετράγωνο του Οικογένειες κλασµάτων 2099 Naksha 2100 οκιµάζοντας Οποιαδήποτε πρόβλεψη. Κατάλληλη καταγραφή της δοκιµασίας, όπως είναι ο πίνακας συχνοτήτων. Έγκυρη αιτιολόγηση του αποτελέσµατος των δοκιµασιών τους µε λόγια ή µε τη χρήση θεωρητικών πιθανοτήτων. P ( 5) = 10/36 P ( 8) = 15/36 47

48 2102 Είναι τύχη... ή δεξιοτεχνία; Απάντηση που είναι όµοια µε την παρακάτω: Θέµα τύχης Θέµα δεξιότητας Τζούντο Βελάκια Τραµπολίνο Επίσης, το δικό τους άθληµα και η αιτιολόγησή τους ιάταξη κύκλων Εµβαδόν ορθογωνίου = 200 τ.εκ. Eµβαδόν κύκλων = 157,080 τ.εκ. Eµβαδόν σκιασµένης περιοχής = 42,920 τ.εκ. Ποσοστό σκιασµένης περιοχής 42, = 21,460% Κατά µέσο όρο Το όριο είναι ή 15,3. Οποιαδήποτε κατάλληλη αιτιολόγηση της εργασίας µε υπολογιστή ή χρήση των γενικεύσεών τους. Στην πραγµατικότητα, η ακολουθία έχει ως εξής: 36, 5, 20,5, 12,75, 16, Ζεύγη ίσων κλασµάτων Α και Β και Γ 2108 Κινούµενα σχέδια Γιατί δεν µπορείς να συνδυάσεις κύκλους χωρίς κανένα κενό ή κάτι παρόµοιο. 48

49 2109 Μια άλλη τριγωνοµετρική γραµµή 1. Η ευθεία που αγγίζει έναν κύκλο σε ένα σηµείο ονοµάζεται εφαπτοµένη ή η ε εφαπτοµένη ισούται µε απέναντι πλευρά προσκείµενη πλευρά 2. 1 εφ 33º = 0, εφ 43º = 6, εφ 10º = 3, Jingsaws Περιστροφική συµµετρία α, β και δ 2127 Κώδικες των τριπλών κύβων Κόβοντας γωνίες 2134 Όµοια παραλληλόγραµµα Τα ορθογώνια β και γ είναι όµοια. Οι εξηγήσεις που µπορούν να δοθούν είναι του τύπου: Οι διαγώνιοι συµπίπτουν ή ότι ο λόγος της µεγάλης πλευράς προς τη µικρή πλευρά είναι 5 : Ποιες θα µπορούσαν να είναι οι τιµές του x; Πρέπει να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος της δοκιµής και της διόρθωσης. 1. x=-6, x=4 2. x=1, x=9 49

50 2137 Ηµίτονο Συνηµίτονο 1 p = 7 συν 42º = 5,202 q = 7 ηµ 42º = 4,684 r = 8,5 συν 63º = 7,574 s = 8,5 ηµ 63º = 3, Ποιο χέρι δουλεύει πιο σκληρά; 2139 Συµµετρία των τριπλών κύβων α) 1 β) 2 γ) Σχηµατίζοντας κύκλους 23,55 εκ. αν π=3,14 ή 23, εκ. αν έχει χρησιµοποιηθεί το πλήκτρο π 2144 Ηµίτονο Συνηµίτονο 2 1. w = 5 ηµ 37º = 3, = 3,009 µε ακρίβεια 3 δεκαδικών ψηφίων x = 5 συν 37º = 3, = 3,993 µε ακρίβεια 3 δεκαδικών ψηφίων 8 2. y = = 20, ηµ 23 = 20,474 µε ακρίβεια 3 δεκαδικών ψηφίων z = y συν 23º = 18, = 18,847 µε ακρίβεια 3 δεκαδικών ψηφίων 2145 Σταυροβελονιά Υπάρχουν πολλές πιθανές απαντήσεις. Για παράδειγµα, περιστροφή κατά 180, έπειτα συµµετρία σε κάθετο άξονα, στη συνέχεια µεταφορά ολόκληρου του µοτίβου κατά µήκος κατά 8 µονάδες. 50

51 2146 εν είναι δίκαιο 2148 Μετασχηµατισµός τριγώνων 1. Συµµετρία ως προς την ευθεία y = x x Απεικόνιση y y x 2. Περιστροφή 180º γύρω από το σηµείο (0, 0) x Αντίστροφη απεικόνιση y x y 3. Περιστροφή 90º σύµφωνα µε τη φορά των δεικτών του ρολογιού γύρω από το σηµείο (0, 0) x y Αντίστροφη απεικόνιση y x 2149 Κυκλική κάλυψη α) 380,182 τ.εκ., αν χρησιµοποιήσεις π = 3,142 ή 380,133 τ.εκ., αν χρησιµοποιήσεις το πλήκτρο π και στρογγυλοποιήσεις σε 3 δεκαδικά ψηφία. β) 95,045 τ.εκ., αν χρησιµοποιήσεις τον τύπο ή 380,182 : 4 = 95,033 τ.εκ. µε δεδοµένο ότι η ακτίνα του συγκεκριµένου κύκλου είναι το µισό της προηγούµενης Ο παράδεισος της πίτσας 1. Εµβαδόν µικρής πίτσας = 9 2 π = 254,5 τ.εκ. 2. Εµβαδόν µεγάλης πίτσας = 5 254,5 = 1272,5 τ.εκ. 3. Ακτίνα = 1272,5 : π = 20,125 ιάµετρος = 40,25 εκ Η ρίζα του προβλήµατος τ.εκ. 2. Οι απαντήσεις κυµαίνονται µεταξύ 90 και 105 τ.εκ εκ. 4. Οι απαντήσεις κυµαίνονται µεταξύ 8,1 και 8,5 εκ. 51

52 2154 Πράξεις µε ζάρια 1. Υπάρχουν πολλές πιθανές απαντήσεις. Για παράδειγµα: α) (6 : 3) + (5 4) x (2 1) = 3 β) (6 1) + (3 + 2) x (5 4) = Κλάσµατα τετραγώνων 2159 Μεταθέτοντας τριπλές κυβικές κατασκευές 2160 Ποιο είναι το µισό του µισού; Ισοδύναµα κλάσµατα είναι αποδεκτά Γωνίες και τρίγωνα 1. α = 64º 2. (α) =90 o (β) = 71 o 52

53 2164 Παρουσίαση πληροφοριών 1. (α) 48 ξέρουν κολύµπι (β) 16 δεν ξέρουν κολύµπι 2. φαγητό στο σχολείο φαγητό έξω φαγητό στο σπίτι φαγητό σε πακέτο 2166 Αντιστοιχίζοντας εξισώσεις 1. x = -2x + 5 και 2. 2x + y = Εύρος τιµών εµβαδού επιφάνειας 1. Κύκλος 2. Τρίγωνο Εύρος εµβαδού επιφάνειας Τετράγωνο = 62 τ.εκ. Κύκλος = 62,8 τ.εκ. Τρίγωνο = 55 τ.εκ. Ορθογώνιο = 55 τ.εκ Υπολογισµός της κυβικής ρίζας H πρώτη από τις προβλέψεις σου πρέπει να είναι ανάµεσα στο 5,8 και 5,9 και η δεύτερή σου πρόβλεψη πρέπει να είναι στη σωστή πλευρά της πρώτης τους πρόβλεψης. Π.χ 5,85 200,202 5,84 199, Ο πληθυσµός της Βρετανίας: 1880 και

54 2177 Μεταβολές πληθυσµού εκατοµµύρια Κάθε απάντηση από εκατοµµύρια είναι αποδεκτή εκατοµµύρια Κάθε απάντηση από εκατοµµύρια είναι αποδεκτή = 287 εκατοµµύρια ή η γραφή τους µε ψηφία 4. Ο πληθυσµός της Β.Α. Ασίας αυξάνεται ραγδαία Όγκος κ.εκ κ.εκ Φίδια και οχιές Οποιαδήποτε τέσσερα από τα παρακάτω: Πούλια στη σειρά Πιθανές λύσεις 54

55 2181 Μακριά παλάµη... µακρύ πέλµα; Ένα µεγαλύτερο δείγµα θα έδινε περισσότερες πληροφορίες, έτσι θα ήταν πιο εύκολο να αποφασίσεις. Ή µια παρόµοια εξήγηση 2183 Χρησιµοποιώντας τυποποιηµένη µορφή 1. 8, , (1, ) : ( ) = 497 δευτερόλεπτα 2184 υνάµεις ακεραίων = = = Ανεβαίνοντας τις σκάλες διαφορετικοί τρόποι. 55

56 2187 Πυθαγόρα συνέχεια 1. α) 2 1 (3 1) = 1,5 1 (4 2 ) = (5 3) = 7,5 2 1, ,5 Κανόνας ανάλογος του Πυθαγόρειου θεωρήµατος δεν ισχύει. β) 2 1 (3 1,5 ) = 2,25 1 ( 4 2) = (5 2,5) = 6,25 2 2, = 6,25 Κανόνας ανάλογος του Πυθαγόρειου θεωρήµατος ισχύει. 2. α) Κανόνας ανάλογος του Πυθαγόρειου θεωρήµατος ισχύει Μια τεκµηρίωση µπορεί να είναι η παρακάτω: Όλα τα ηµικύκλια είναι όµοια. Ή εµβαδόν ηµικυκλίου µε διάµετρο x = 0,5π ( 2 x ) 2 Αν ισχύει κανόνας ανάλογος του Πυθαγόρειου θεωρήµατος: 0,5 π ( 2 x ) 2 = 0,5 π ( 2 y ) 2 + 0,5 π ( 2 2 ) 2 0,5π (x 2 ) = 4 0,5π (y 2 +z 2 ), καθώς x 2 = y 2 + z 2, αυτό είναι σωστό. 4 β) Κανόνας ανάλογος του Πυθαγόρειου θεωρήµατος ισχύει. Μια αιτιολόγηση µπορεί να είναι η παρακάτω: Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όµοια Ή εµβαδόν ισόπλευρου τριγώνου πλευράς x = x x = x Αν ισχύει κάποιος κανόνας ανάλογος του Πυθαγόρειου θεωρήµατος: 3 x 2 3 = y z 2, επειδή x 2 = y 2 + z 2+, τότε αυτό είναι σωστό. 56

57 2188 Πληθυσµιακές πυραµίδες Πυραµίδα πληθυσµού Χώρα 1 Αφγανιστάν 2 Σιγκαπούρη 3 Ζιµπάµπουε 2189 Παράξενο παιχνίδι µε ζάρια Όχι, το παιχνίδι δεν είναι δίκαιο. Κάποια εξήγηση όπως: Ο παίκτης που ρίχνει το ζάρι έχει ένα πλεονέκτηµα επειδή οι τέσσερις από τους έξι αριθµούς που έχει το ζάρι είναι µεγαλύτεροι από το ιπλάσια 10 λεπτά 1 λεπτά 2 λεπτά 10 λεπτά 2 λεπτά 10 λεπτά Ή οποιαδήποτε άλλη λύση που να δίνει άθροισµα 35 λεπτά Γραφικές παραστάσεις σε αριθµοµηχανή 2195 Όσο ψηλότερα τόσο καλύτερα Κουτιά Οριγκάµι 57

58 2197 Μπλε στην έδρα 1. 8 κύβοι =24 έδρες 2198 Ελέγχοντας τα ζάρια Του Χρήστου 2200 Κυκλικά διαγράµµατα για το πρωϊνό 1. 31% 2. 42% 3. Απαντήσεις κατά προσέγγιση: Ζάχαρη 25% Άµυλο 35% Λιπαρά 10% Ίνες 20% ιάφορα 10% Να βεβαιωθείς ότι το σύνολο είναι ιανύσµατα και Τετράγωνα 58

59 2205 Σχηµατίζοντας το λεπτά 2. 5 λεπτά 2207 Πειράµατα µε φλιπεράκι Θεωρητικά, οι απαντήσεις θα έπρεπε να είναι Ο κεντρικός τοµέας θα έπρεπε να έχει τις περισσότερες. Είναι δυνατόν να πάρεις οποιουσδήποτε 3 αριθµούς µε άθροισµα το 400, αλλά αποτελέσµατα όπως ή είναι ιδιαιτέρως απίθανο να προκύψουν και µπορούν να αιτιολογηθούν µόνο ως «πιθανά» Η καλύτερη επίδοση 1. 1 η τάξη Μέσος όρος= 68:11=6,182 Επικρατούσα τιµή= 8 ιάµεσος= 7 Εύρος = 8 (10-2) 2 η τάξη Μέσος όρος= 78:13=6 Επικρατούσα τιµή= 9 ιάµεσος= 6 Εύρος = 6 (9-3) 2. Οι µαθητές της 1 ης τάξης ήταν καλύτεροι γιατί είχαν τον υψηλότερο µέσο όρο ή διάµεσο. 3. Οι µαθητές της 2 ης τάξης ήταν καλύτεροι γιατί είχαν την υψηλότερη επικρατούσα τιµή. ή είχαν το µικρότερο εύρος. 59

60 2209 Μίνι γεύµατα 1. (α) 2ψ+2κ (β) 1,80 ευρώ (γ) 1,30 ευρώ 2. (α) 5µ+2τ+1χ (β) 1,85 ευρώ (γ) 1,20 ευρώ 2210 Πιθαµή 2214 Ακολουθίες µε σχήµατα 2215 Ταυτότητες µε κύβους Κύβος διαστάσεων 6x6x6 από τον οποίο έχει αφαιρεθεί κύβος διαστάσεων 4x4x4: = = 152 Ορθογώνια παραλληλεπίπεδα µαζί µε κύβο: 3 ( ) = ( 3 48 ) + 8 = Μαγικοί κύκλοι 2218 ωδεκάεδρο Οριγκάµι 2219 Κύβος Origami 60

61 2221 Παιχνίδια συναρµολόγησης Α Πάντα σωστό Τα πιθανά ορθογώνια παραλληλόγραµµα µε 24 κοµµάτια είναι: ενδιάµεσα κοµµάτια ενδιάµεσα κοµµάτια ενδιάµεσα κοµµάτια ενδιάµεσα κοµµάτια Έτσι, το 8 είναι το µεγαλύτερο. Β δεν είναι σωστό Ο αριθµός των γωνιών θα είναι 2 για τα ορθογώνια µε πλάτος 1 και 4 για όλα τα υπόλοιπα Η συλλογή της Σελίνας Στα έντυπα πληρωµής µπορεί να αναγράφονται τα ακόλουθα ποσά: 1. 3,72 ευρώ 2. 2,50 ευρώ 3. 3,72 2,50 = 1,22 ευρώ 2225 Προστατέψτε τα άγρια ζώα 1 ευρώ λεπτά λεπτά λεπτά λεπτά λεπτά λεπτά 5 05 Σύνολο λεπτά η σειρά 1. 1 λεπτό 2. Στο µέσο 61

62 2229 ευτεροβάθµιες συναρτήσεις και πρώτοι αριθµοί 1. 23, πρώτος αριθµός 2. 43, πρώτος αριθµός 3. 23, 46, 69, 92, 115, 138,. Τρία τυχαία πολλαπλάσια του Εξ-αµάντια 2232 Τεµαχισµός κύβου εν υπάρχει δοκιµασία 2234 Ορίζοντας περιοχές y 1 x + y 7 y < 2x % Το 25 % των 1720 τ.χ. = 430 τ.χ Βρείτε την περίµετρο Θα πρέπει να έχουν αντιγράψει τα σχέδια µε ακρίβεια εκατοστά εκατοστά 62

63 2241 Κόβω σε κοµµάτια Ψαλιδιές (ψ) Κοµµάτια (κ) Κανόνας κ= 6ψ Σειρές και στήλες Πολλές πιθανές απαντήσεις, π.χ Το κόσκινο του Ερατοσθένη , 131, Το 121 δεν είναι πρώτος αριθµός γιατί έχει τρεις παράγοντες: 1, 11 και 121 Το 123 δεν είναι πρώτος αριθµός γιατί έχει τέσσερις παράγοντες: 1, 3, 41 και Περισσότερο, λιγότερο α = θ = κ β = ε = στ γ = ζ = λ δ = η = ι 63

64 2248 Ίχνη σαλιγκαριών 1. 7 εκατοστά εκατοστά εκατοστά Κλίσεις και τοµές 1. α) y = 3x + 1 β) y = -2x 2 γ) y = 3x 2 2. α) και γ) 3. β) και γ) 2253 Επιλύοντας ανισότητες 1. x > 5 2. x 2 3. x > 2 4. x Προσθέτουµε τη µονάδα 1. Αύξηση ( 22 > 21 ) Μείωση ( 4 5 < 2 4 ) 64

65 2257 Ορθογώνια τριγωνικά πρίσµατα τ.εκ τ.εκ Αντικαθιστώντας µε τύπους Όγκος = 3500 και µήκος = 20 Εµβαδόν τραπεζίου = = 175 Εµβαδόν τραπεζίου = 2 1 (α + β) υ Αν αντικαταστήσουµε α = 10 και υ = 7, τότε 175 = 2 1 (10 + x) 7 50 = 10 + x x = 40εκ Τα τετράγωνα του λογιστικού φύλλου Ρητοί αριθµοί 1. Πολλές πιθανές απαντήσεις Για παράδειγµα:,, κ.λπ α) β)

66 2271 Έχω τη δύναµη 1. α) β) 0,01 γ) α) 23 β) x y ( 1 : 3 ) ή άλλες σωστές πληκτρολογήσεις. 3. Η τέταρτη ρίζα του x ή κάτι ισοδύναµο αυτής Ευθείες, περιοχές και ανισότητες 1. x> 1 y> x y< 7-x ή κάτι ισοδύναµο. 2. Να ελέγξεις αν το σηµείο που επιλέχθηκε στην περιοχή ικανοποιεί τις 3 ανισότητες. Για παράδειγµα, (2,3) 2> 1 3> 2 3< Αλυσίδες µε θηλιές 1. Πάντα σωστό. 2. Οποιαδήποτε 3 παραδείγµατα στα οποία φαίνεται ότι όταν ο αρχικός αριθµός είναι άρτιος και ο αριθµός που προσθέτεις επίσης άρτιος, τότε σχηµατίζεται αλυσίδα από άρτιους αριθµούς. Π.χ. Αρχικός αριθµός Προστιθέµενος αριθµός Προβλήµατα άλγεβρας 1. 18ω = 22(ω 10 ) 2. ω = 55 55g 3. 45g 66

67 2277 Παρενθέσεις 1. (α) 3 α 2 + 3αβ (β) 3α (α+β) 3 3,4 (3,4 + -2) = 10,2 (1,4) = 14,28 3 α 2 + 3αβ 3(3,4) (3,4 ( -2)) = 3 11,56 + 3(-6,8) = 34, ,4 = 14,28 2. (α) 2 (1+2x+3y) (β) 2x+4x 2 +6xy 2 1,5+4(2,25)+6(1,5 (-4)) = = -24 2x(1+2x+3y) 3(1+3+(-12)) = Ίσες γωνίες ^ ^ ^ Α=Ε ^ Β= Η ^ ^ Γ=Θ 2281 Ταυτόχρονο ταίριασµα 1. x=5, y=2 2. y=-x y=2x+6 x=-2, y=2 67

68 2283 Άλµατα 1. Αλέξανδρος εκατοστά 145 εκατοστά 155 εκατοστά 160 εκατοστά 165 εκατοστά 2293 Αρνητικές ακολουθίες 1. 18, 13, 8, 3, -2, -7, -12, -17,... Κανόνας Αφαιρώ , -10, -7, -4, -1, 2, 5, 8,... Κανόνας Προσθέτω Άθροισµα, γινόµενο και διαφορά

69 2295 Ιστογράµµατα 1. α) Χαρτζιλίκι Συχνότητα Εύρος Πυκνότητα συχνότητας (σε ευρώ) διαστήµατος 0, ,5 2, , ,5 6, ,75 10, ,5 20,01-30, ,2 β) Χαρτζιλίκι (ευρώ) Πυκνότητα συχνότητας 2. Κάποια σχόλια ακολουθούν: Οι µαθητές στη Β Λυκείου παίρνουν, γενικά, περισσότερα χρήµατα από τους µαθητές της Γ Γυµνασίου. Περισσότεροι µαθητές της Β Λυκείου από εκείνους της Γ Γυµνασίου παίρνουν περισσότερα από 10 ευρώ. Περισσότεροι µαθητές της Γ Γυµνασίου παίρνουν λιγότερα από 2 ευρώ από εκείνους στη Β Λυκείου. 69

70 2297 Πιο δύσκολες αρνητικές ακολουθίες 1. 17, 9, 3, -1,. -3, -3, -1, 3, Κανόνας Αφαιρώ δύο λιγότερα κάθε φορά 2. 7, 5, 1, -7, -23, -55, -119, -247, Κανόνας Αφαιρώ τα διπλάσια κάθε φορά 2302 Γωνίες προσανατολισµού 1. Οι γωνίες προσανατολισµού µετριούνται πάντοτε σύµφωνα µε τη φορά των δεικτών του ρολογιού από το Βορρά. Είναι πάντοτε αριθµοί µε τρία ψηφία. 2. α. 400µ. β. 313 Να επιτρέψεις απόκλιση ± Αγαπηµένη γεύση παγωτού Η γεύση σοκολάτας Toffee είναι η «επικρατούσα τιµή» Ας αρχίσουµε µε 60 µοίρες Ακριβής κατασκευή γωνίας 60º. Ακριβής κατασκευή γωνίας 30º Πρόκληση αριθµών 91 70

71 2313 Αναποδογυρίζοντας τις κάρτες 1. Ο επόµενος αριθµός πρέπει να είναι µεγαλύτερος από το Έχουν µείνει δύο τραπουλόχαρτα που είναι µεγαλύτερα (8 και 9) και µόνο ένα που είναι µικρότερο (3) Περιγράφοντας ακολουθίες 1. 5, 11, 17, 23, 29, 35 Περιγραφή: Προσθέτεις , 256, 64, 16, 4, 1 Περιγραφή: ιαιρείς µε το , 5, 8, 12, 17, 23 Περιγραφή: Προσθέτεις 1 περισσότερο κάθε φορά 2315 Μετρώντας µε το χάρακα 1. 7 εκατοστά (περίπου) 2. α) Μια ευθεία γραµµή µήκους 12 εκατοστών β) 12 εκατοστά 3. α) 10 εκατοστά ( 3 εκ. + 7 εκ. ) β) 8 εκατοστά ( 6 εκ. + 2 εκ. ) 2318 Μια πρόκληση του µέσου όρου 10 πορτοκάλια 2319 Πίτσα ή µακαρονάδα; Πρώτο πιάτο εύτερο πιάτο Γεύµα 71

72 2320 Σπειροειδή σχέδια Το παιχνίδι της άλγεβρας Εργασία Κινήσεις Σύνολο και βαθµολογία 3+1= = (4 6) : 6= (4-5)= 2( 1) = (3 1) + 1 = Το παιχνίδι της άλγεβρας 2 Εργασία Κινήσεις Συνολικό σκορ = 16 4 (6-3) =3 2 =

73 2325 Οµαδοποίηση δεδοµένων Ολοκληρωµένες δραστηριότητες Μέση τιµή Συχνότητα Συχνότητα µέσης τιµής 5, , , ,5 35, , ,5 55, ,5 65, ,5 75, ,5 85, ,5 95, ,5 105, ,5 115, Σύνολο Μέσος όρος = = 66,077 73

1. 606 6 = 101 2. 45 3 = 42 3. 253 188 = 441. 321 + 123 234 + g 642 + g. g g g

1. 606 6 = 101 2. 45 3 = 42 3. 253 188 = 441. 321 + 123 234 + g 642 + g. g g g 1353 Σύνολα αντικειµένων 1. Πόσα χέρια; 2. Πόσα δάχτυλα; 3. Όλες οι καραµέλες είναι 30. Πόσες έχει το κάθε πακέτο; 1356 Πόσο κοστίζουν; 1. Πόσο κάνουν οι 4 καραµέλες όταν η µία καραµέλα κοστίζει 11 λεπτά;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1. Παρακάτω, παρουσιάζονται δύο τρόποι για να κατασκευάσεις ένα τετράγωνο, χρησιµοποιώντας µερικά από τα κοµµάτια τάνγκραµ.

1. Παρακάτω, παρουσιάζονται δύο τρόποι για να κατασκευάσεις ένα τετράγωνο, χρησιµοποιώντας µερικά από τα κοµµάτια τάνγκραµ. 0005 Τάνγκραµ. Παρακάτω, παρουσιάζονται δύο τρόποι για να κατασκευάσεις ένα τετράγωνο, χρησιµοποιώντας µερικά από τα κοµµάτια τάνγκραµ. 3. Τα µικρά τρίγωνα ταιριάζουν ακριβώς πάνω στο τετράγωνο, στο µεγάλο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Να χαράξεις µια διάµετρο στον κύκλο.. Να φέρεις τη µεσοκάθετο (βλέπε κάρτα 0211). Να διχοτοµήσεις τη γωνία (βλέπε κάρτα 0212)...

Να χαράξεις µια διάµετρο στον κύκλο.. Να φέρεις τη µεσοκάθετο (βλέπε κάρτα 0211). Να διχοτοµήσεις τη γωνία (βλέπε κάρτα 0212)... 70 Κατασκευές µε διαβήτη Σου δίνονται παρακάτω κάποια βοηθητικά στοιχεία για να µπορείς να δηµιουργήσεις ξανά τα σχέδια χρησιµοποιώντας χάρακα και διαβήτη. Το σχέδιο στο επάνω µέρος Να ξεκινήσεις µε έναν

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 70 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου Σχέσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών αριθµών 71 Εφαρµογές 72 73 74 75 76 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ (4) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Δευτέρα, 25/5/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Çëßáò Ã. ÊáñêáíéÜò - Έφη Ι. Σουλιώτου Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Α Τεύχος 1 Απαγορεύεται η αναπαραγωγή µέρους ή του συνόλου του παρόντος έργου µε οποιοδήποτε τρόπο ή µορφή, στο πρωτότυπο ή σε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟ ΓΙΑ ΑΥΤΟΝΟΜΗ ΜΑΘΗΣΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟ ΓΙΑ ΑΥΤΟΝΟΜΗ ΜΑΘΗΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΟΥΣΟΥΛΜΑΝΟΠΑΙΔΩΝ 2005-2007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟ ΓΙΑ ΑΥΤΟΝΟΜΗ ΜΑΘΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 2150-2325 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΠΟ ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥ SMILE MATHEMATICS, 1997 ΕΛΛΑΔΑ : Ξ ΚΟΙΝΟΤΙΚΌrwAnwΠΉΡΙΞΗΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Δ Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Δ Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Δ Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Περιεχόμενα Κεφάλαιο : Θυμάμαι ό,τι έμαθα από την Γ Τάξη... 5 Κεφάλαιο : Διαχειρίζομαι αριθμούς ως το 0.000... 8 Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ «Αναλυτικά Προγράμματα Μαθησιακών Δυσκολιών-Ενημέρωση-Ευαισθητοποίηση» ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Λιακόπουλος Ιωάννης1 και Λυπηρίδης Χαράλαμπος2 1liakopoulosjohn@gmail.com, 2xarislip@hotmail.com Επιβλέπων Καθηγητής: Λάζαρος Τζήμκας tzimkaslazaros@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Γ - Δ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Γ - Δ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Ποια από τις πιο κάτω προτάσεις είναι ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ; Α. 8 7 > 7 6 Β. 8 5 < 6 7 Γ. 7 0 < 8 8 Δ. 1 7 > 1 8 Ε. 60 7 > 60 8 2. Ο αδύναμος κρίκος μιας αλυσίδας είναι ο 7 ος από την αρχή της και ο 11 ος από

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρμογές αναλυτικών προγραμμάτων για τα Μαθηματικά στο Γυμνάσιο

Προσαρμογές αναλυτικών προγραμμάτων για τα Μαθηματικά στο Γυμνάσιο ΤΕΥΧΟΣ B ΣΧΕΔΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ «Αναλυτικά Προγράμματα Μαθησιακών Δυσκολιών-Ενημέρωση-Ευαισθητοποίηση»

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Θέματα: - Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων - Ερμηνεία πινάκων - Πιθανότητες

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Θέματα: - Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων - Ερμηνεία πινάκων - Πιθανότητες ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Θέματα: - Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων - Ερμηνεία πινάκων - Πιθανότητες 1 Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων 1. Η αγαπημένη γεύση παγωτού των παιδιών Γεύση

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΕΝΤΑΞΗ ΤΣΙΓΓΑΝΟΠΑΙΔΩΝ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ»

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΕΝΤΑΞΗ ΤΣΙΓΓΑΝΟΠΑΙΔΩΝ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ» ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΕΝΤΑΞΗ ΤΣΙΓΓΑΝΟΠΑΙΔΩΝ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ» ΒΟΛΟΣ 2007 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα