ΣΤΡΕΨΗ. Κεφάλαιο Εισαγωγή

Transcript

1 19 Κεφάλαιο 8 ΣΤΡΕΨΗ 8.1 Εισαγωγή Όταν ένα δοµικό στοιχείο καταπονείται µε ροπές των οποίων τα διανύσµατα είναι παράλληλα προς τον άξονα του στοιχείου, δηλαδή προκαλούν συστροφή του στοιχείου ως προς τον άξονα αυτόν, τότε λέµε ότι το στοιχείο υφίσταται στρέψη. Απλό παράδειγµα στρέψης έχουµε όταν προσπαθούµε µε ένα κατσαβίδι να βιδώσουµε µια βίδα. Αν φανταστούµε ότι η βίδα δεν στρίβει (π.χ. επειδή έχει τερµατίσει, έχει φθάσει στο τέλος της) αλλά εµείς καταβάλλουµε προσπάθεια να στρίψουµε τη λαβή του κατσαβιδιού, τότε στην πραγµατικότητα καταπονούµε όλο το κατσαβίδι σε στρέψη (το ίδιο συµβαίνει και όταν η βίδα στρίβει σχετικά δύσκολα, µε µόνη διαφορά ότι η ροπή στρέψης που επιβάλλουµε είναι µικρότερη απ ότι στην περίπτωση που το άκρο του κατσαβιδιού δεν στρίβει). Όπως θα δούµε στο κεφάλαιο αυτό, κύρια αποτελέσµατα της στρέψης σε δοµικά στοιχεία είναι η σχετική στροφή των διατοµών και η ανάπτυξη διατµητικών τάσεων πάνω στο επίπεδο κάθε διατοµής. Βασικός στόχος του κεφαλαίου είναι ο υπολογισµός των τάσεων αυτών και των στροφών. Η ανάλυση θα είναι λεπτοµερής για σχετικά απλές περιπτώσεις δοµικών στοιχείων συµπαγών διατοµών (π.χ. κυλινδρικά στοιχεία) ή λεπτότοιχων διατοµών, ενώ για άλλες περιπτώσεις όπου οι σχετικές µέθοδοι ανάλυσης απαιτούν προχωρηµένες θεωρίες (π.χ. στοιχεία ορθογωνικών διατοµών) θα περιορισθούµε στην παρουσίαση ορισµένων βασικών αποτελεσµάτων. 8. Εφαρµογή της µεθόδου των τοµών για την κατασκευή διαγραµµάτων ροπής στρέψης Ο υπολογισµός τάσεων και παραµορφώσεων προϋποθέτει ότι είναι γνωστή η ροπή στρέψης σε όλο το µήκος ενός δοµικού στοιχείου. Η ροπή αυτή δίνεται από το διάγραµµα ροπής στρέψης, το οποίο προκύπτει µέσω εφαρµογής των εξισώσεων ισορροπίας και της µεθόδου των τοµών, όπως ακριβώς ισχύει και για τα διαγράµµατα αξονικής δύναµης, ροπών κάµψης και τεµνουσών. Θετική ροπής στρέψης σε µία διατοµή θεωρείται αυτή µε διάνυσµα πάνω στον άξονα x του δοµικού στοιχείου

2 0 αριστερόστροφο. Οµοίως, θετική θεωρείται και η γωνία στροφής της διατοµής αν είναι αριστερόστροφη (Σχ. 8.1β). φ x T T(x) (α) (β) Σχ. 8.1 (α) Φόρτιση δοµικού στοιχείου σε στρέψη. (β) Ορισµός θετικής ροπής στρέψης και θετικής στροφής σε διατοµή. Αν το δοµικό στοιχείο που καταπονείται σε στρέψη είναι πρισµατικό (δηλαδή µε σταθερή διατοµή) και η ροπή στρέψης σταθερή κατά µήκος του, τότε η στρέψη καλείται οµοιόµορφη. Σε αντίθετη περίπτωση (π.χ. µεταβλητή διατοµή ή/και µεταβλητή ροπή στρέψης κατά µήκος του στοιχείου) καλείται ανοµοιόµορφη. Τέλος αν η στρέψη δρα απουσία άλλων εντατικών µεγεθών (π.χ. τέµνουσα, κάµψη) τότε ονοµάζεται καθαρή. Παράδειγµα 8.1 Ο πρόβολος του Σχ. 8. καταπονείται σε ροπή στρέψης 40 knm στο ελεύθερο άκρο και 60 knm στο µέσον τού µήκους l (µε φορά όπως στο σχήµα). Να εξαχθεί το διάγραµµα ροπών στρέψης. Εφαρµόζοντας τη συνθήκη ισορροπίας ροπών (στρέψης) υπολογίζουµε την αντίδραση στη διατοµή της πάκτωσης (Σχ. 8.β): Σ T = T A = 0 TA = 0 knm Ακολούθως κάνουµε µια τοµή µεταξύ των σηµείων A και B σε τυχαία θέση, σε απόσταση x από την αρχή του άξονα, και µελετάµε την ισορροπία του τµήµατος από το Α µέχρι τη θέση της τοµής (Σχ. 8.γ). Έτσι προκύπτει ότι η ροπή στρέψης στην τοµή είναι: 0 x l / : T ( x) = 0 knm (δεξιόστροφη)

3 1 Τέλος κάνουµε µια τοµή µεταξύ των σηµείων Β και C σε τυχαία θέση, σε απόσταση x από την αρχή του άξονα, και µελετάµε και πάλι την ισορροπία του τµήµατος από το Α µέχρι τη θέση της τοµής (Σχ. 8.δ). Η ροπή στρέψης που προκύπτει στην τοµή αυτή είναι: l / x l : T ( x) = = + 40 knm (αριστερόστροφη) Το τελικό διάγραµµα ροπής στρέψης δίνεται στο Σχ. 8.ε. Παρατηρούµε ότι η στρέψη στον πρόβολο είναι ανοµοιόµορφη. Μπορεί όµως να θεωρηθεί ως οµοιόµορφη για καθένα από τα δύο τµήµατα ΑΒ και BC. Α Β 60 knm C 40 knm x (α) Τ Α 60 knm 40 knm x (β) 0 knm 0 knm x 0 knm 60 knm 40 knm x (γ) (δ) 0 knm Α _ Β + 40 knm C (ε) Σχ. 8. Παράδειγµα στρέψης προβόλου.

4 8. Ελαστική στρέψη δοµικών στοιχείων κυκλικής διατοµής Θεωρούµε ένα ευθύγραµµο δοµικό στοιχείο µήκους dx κυκλικής διατοµής σε οµοιόµορφη στρέψη µε ροπή T (Σχ. 8.α). Για την ανάλυση του στοιχείου κάνουµε τρεις βασικές κινηµατικές (γεωµετρικές) υποθέσεις: (α) Kάθε επίπεδη διατοµή πριν από τη στρέψη παραµένει επίπεδη και µετά την εφαρµογή της ροπής στρέψης, δηλαδή δεν υφίσταται στρέβλωση (έτσι όλες οι διατοµές παραµένουν παράλληλες µεταξύ τους). (β) Η σχετική στροφή δύο διατοµών είναι ανάλογη της µεταξύ τους απόστασης. (γ) Kάθε ακτίνα της διατοµής πριν τη στρέψη ( O 1 D στο Σχ. 8.α) παραµένει ευθεία και µετά τη στρέψη ( O 1 D ). Μία ακόµα υπόθεση είναι ότι για τον καταστατικό νόµο του υλικού ισχύει ο νόµος του Hooke. T dx C Ο B B Ο D Ο 1 c C Ε γ max γ max D D F F γ max D d φ T (β) (α) (γ) τ Σχ. 8. Στρέψη κυλίνδρου και διατµητικές παραµορφώσεις. (α) (β) Σχ. 8.4 Παραµόρφωση κυλίνδρου λόγω στρέψης. Αποτέλεσµα των κινηµατικών υποθέσεων είναι ότι το υποθετικό επίπεδο DO 1 O C του Σχ. 8.α µετακινείται στη θέση O O C, ενώ οι ακτίνες O 1 D και O B στρέφονται D 1

5 στις νέες θέσεις O 1 D και O B, αντίστοιχα. Έτσι το υλικό του κυλίνδρου υφίσταται διατµητική παραµόρφωση γ (Σχ. 8.β), η οποία είναι µέγιστη στην εξωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου και µειώνεται γραµµικά όσο πλησιάζουµε προς τον άξονα. Ενδεικτικό της εικόνας παραµόρφωσης του κυλίνδρου λόγω στρέψης είναι και το Σχ Με βάση το νόµο του Hooke, το υλικό καταπονείται µε διατµητικές τάσεις τ = Gγ (Σχ. 8.γ). Οι τάσεις αυτές δρουν πάνω στο επίπεδο κάθε διατοµής του κυλίνδρου, έχουν φορά κάθετη στην ακτίνα που συνδέει το κέντρο του κύκλου µε το σηµείο όπου δρουν και έχουν µέγεθος το οποίο µεταβάλλεται γραµµικά µε την απόσταση από το κέντρο του κύκλου (Σχ. 8.5). Ολοκληρώνοντας τις διατµητικές τάσεις πάνω στη διατοµή θα πρέπει να καταλήξουµε στη ροπή στρέψης T. Έτσι η συνθήκη ισορροπίας τάσεων ροπής στρέψης δίνει: da = ρ τ max da = T da = T A A c c τρ τ maxρ ρ (8.1) A Το τελευταίο ολοκλήρωµα στην παραπάνω σχέση αποτελεί την πολική ροπή αδράνειας J της διατοµής [βλ. εξ. (6.18)], οπότε η µέγιστη διατµητική τάση είναι και η διατµητική τάση σε απόσταση ρ από το κέντρο είναι Tc τ max = (8.) J Tρ τ = (8.) J da ρ τ max c D ρ O c τ max Σχ. 8.5 ιατµητικές τάσεις σε διατοµή κυλίνδρου λόγω στρέψης.

6 4 Ακολούθως θα γίνει ο προσδιορισµός της σχετικής γωνίας στροφής µεταξύ δύο διατοµών. Από το Σχ. 8.α και για πολύ µικρές γωνίες γ max και d φ (σε rad) µπορούµε να εκφράσουµε το τόξο D D είτε ως γ maxdx είτε ως dφ c, οπότε dx max dx γ γ = dφ c dφ = max (8.4) c Από το νόµο του Hooke γ = / G και µε βάση την εξ. (8.) γράφουµε: max τ max Tdx d φ = (8.5) GJ Η εξ. (8.5) δίνει τη σχετική γωνία στροφής µεταξύ δύο διατοµών του κυλίνδρου που απέχουν µεταξύ τους απειροστά µικρή απόσταση dx. Έτσι, για να βρούµε τη σχετική γωνία στροφής (σε rad) µεταξύ δύο τυχαίων διατοµών, έστω Α και Β, αρκεί να ολοκληρώσουµε την εξ. (8.5): όπου φ A και B B T φ = φb φa = dφ = dx (8.6) A AGJ φ B η γωνία στροφής των διατοµών Α και Β ως προς κάποιο σύστηµα αναφοράς. Στην εξ. (8.6) η ροπή στρέψης, η πολική ροπή αδράνειας, ακόµα και το µέτρο διάτµησης του υλικού µπορεί να είναι συναρτήσεις του x, δηλαδή να µεταβάλλονται κατά µήκος του δοµικού στοιχείου µεταξύ των Α και Β. Αν το δοµικό στοιχείο µεταξύ των διατοµών Α και Β µπορεί να χωρισθεί σε n τµήµατα όπου το κάθε τµήµα i έχει ροπή στρέψης T i, µήκος L i, υλικό µέτρου διάτµησης αδράνειας J i, η εξ. (8.6) µπορεί να γραφεί: G i και διατοµή µε πολική ροπή = n Ti Li φ (8.7) i = 1G i Ji Για πρισµατικά δοµικά στοιχεία (από ένα µόνο υλικό) το γινόµενο GJ δίνει ένα µέτρο τού πόσο δύσκολα παραµορφώνεται το δοµικό στοιχείο λόγω στρέψης και ονοµάζεται δυστρεψία. Οι παραπάνω σχέσεις έχουν εφαρµογή και στην περίπτωση στοιχείων µε κοίλες κυκλικές διατοµές (Σχ. 8.6), διότι καµµία από τις υποθέσεις που έγιναν παραπάνω δεν παραβιάζεται. Μόνη εξαίρεση αποτελεί το ολοκλήρωµα της εξ. (8.1), το οποίο θα πρέπει να υπολογισθεί ως J c 4 4 πc πb = ρ da = πρ dρ = (8.8) A b

7 5 Σχ. 8.6 ιατµητικές τάσεις σε κοίλη διατοµή κυλίνδρου λόγω στρέψης. Αν το κυλινδρικό στοιχείο αποτελείται από δύο υλικά, ένα στο εσωτερικό και ένα εξωτερικά (Σχ. 8.7α), η παραπάνω ανάλυση είναι ορθή µέχρι και τον προσδιορισµό της κατανοµής των παραµορφώσεων (γραµµικά αυξανόµενες από τον άξονα του κυλίνδρου µέχρι την εξωτερική επιφάνεια). Εφαρµογή του νόµου του Hooke ξεχωριστά για κάθε υλικό θα δώσει τις διατµητικές τάσεις του Σχ. 8.7β, οι οποίες στο σηµείο Β θα εµφανίζουν ένα άλµα. O λόγος των τάσεων στα δύο υλικά στη θέση B (ας φανταστούµε τις τάσεις σε απειροστή απόσταση προς το εξωτερικό και προς το εσωτερικό του Β) θα είναι ίσος µε το λόγο των µέτρων διάτµησης G 1 / G για τα δύο υλικά. (α) (β) Σχ. 8.7 ιατµητικές τάσεις σε διατοµή κυλίνδρου από δύο διαφορετικά υλικά. Κλείνοντας την ενότητα αυτή υπενθυµίζουµε ότι για την ανάλυση του προβλήµατος στρέψης έγινε, όπως σε όλα τα µέχρι τώρα προβλήµατα, χρήση των τριών βασικών συνθηκών: ισορροπίας, γεωµετρικών (κινηµατικών) και του καταστατικού νόµου του

8 6 υλικού. Ένα τελευταίο σχόλιο αφορά στην αρχή του Saint Venant, βάσει της οποίας τυχόν ανωµαλίες στην κατανοµή των διατµητικών τάσεων εµφανίζονται µόνο σε µικρή περιοχή του δοµικού στοιχείου, που φθάνει µέχρι απόσταση από το σηµείο εφαρµογής της ροπής στρέψης περίπου ίση µε τη διάµετρο του κυλίνδρου. 8.4 Μορφή αστοχίας κυλινδρικών στοιχείων λόγω στρέψης Στα παραπάνω είδαµε ότι οι διατµητικές τάσεις λόγω στρέψης δρουν πάνω στο επίπεδο των διατοµών που είναι κάθετες στον άξονα x, µε φορά αυτήν της ροπής στρέψης. Οι ίδιες τάσεις αναπτύσσονται και πάνω σε κάθετα σε αυτό επίπεδα, Σχ. 8.8, οπότε ένα µικρό στοιχειώδες τµήµα στην εξωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου βρίσκεται σε κατάσταση καθαρής διάτµησης, µε τάσεις όπως φαίνονται στο Σχ. 8.γ ή στο Σχ. 8.8α. Αν το υλικό του κυλίνδρου είναι όλκιµο και η θεωρία που περιγράφει την αστοχία του είναι αυτή της µέγιστης διατµητικής τάσης (Ενότ. 5.), όπως ισχύει κατά προσέγγιση για ορισµένα µεταλλικά υλικά (π.χ. χάλυβας, αλουµίνιο), τότε η µορφή αστοχίας του κυλίνδρου λόγω στρέψης θα χαρακτηρίζεται από θραύση πάνω σε µία διατοµή του κυλίνδρου. Υπεύθυνη για τη θραύση αυτή θα είναι η µέγιστη διατµητική τάση (Σχ. 8.9 αριστερά), η οποία θα οδηγήσει τελικά στη µορφή θραύσης του Σχ. 8.10α. Η µορφή αυτή χαρακτηρίζεται από επιφάνεια θραύσης περίπου επίπεδη και κάθετη στον άξονα του κυλίνδρου. Άξονας (α) (β) (γ) Σχ. 8.8 ιατµητικές τάσεις πάνω σε διατοµή κυλινδρικού στοιχείου και σε κάθετα επίπεδα. Η εντατική κατάσταση στο αριστερό στοιχείο του Σχ. 8.9 είναι ισοδύναµη µε αυτήν που φαίνεται στο δεξιό στοιχείο, στο οποίο δρουν οι κύριες τάσεις (εφελκυστικές και θλιπτικές) υπό γωνία 45 ο ως προς αυτήν των διατµητικών (Σχ. 4.4). Αν το υλικό του κυλίνδρου είναι ψαθυρό, οπότε για την αστοχία του ισχύει η θεωρία της µέγιστης κύριας

9 7 τάσης (Ενότ. 5.4), η αστοχία του υλικού θα επέλθει µέσω θραύσης όταν η µέγιστη κύρια τάση γίνει ίση µε την εφελκυστική αντοχή του υλικού. Επειδή δε η επιφάνεια θραύσης στα ψαθυρά υλικά είναι κάθετη στις κύριες εφελκυστικές τάσεις, η µορφή αστοχίας ενός κυλίνδρου από ψαθυρό υλικό έχει τη χαρακτηριστική ελικοειδή µορφή του Σχ. 8.10β ή 8.10γ 1 (σε κάθε σηµείο της επιφάνειας η µέγιστη κύρια τάση δρα κάθετα στην επιφάνεια στο σηµείο αυτό). Επιφάνεια θραύσης για για όλκιµο υλικό υλικό Επιφάνεια θραύσης για ψαθυρό υλικό Σχ. 8.9 Εντατική κατάσταση σε στοιχεία της εξωτερικής επιφάνειας κυλίνδρου σε στρέψη και επιφάνειες θραύσης για όλκιµα και ψαθυρά υλικά. (α) (β) (γ) Σχ Επιφάνεια θραύσης λόγω στρέψης (α) σε χάλυβα (όλκιµο υλικό), (β) σε χυτοσίδηρο (ψαθυρό υλικό) και (γ) σε ασβεστόλιθο (ψαθυρό υλικό). Παράδειγµα 8. Να υπολογισθεί η µέγιστη διατµητική τάση στον πρόβολο του Παραδείγµατος 8.1. Η διάµετρος του στοιχείου είναι 100 mm. 1 Αυτό µπορεί να φανεί εύκολα επιβάλλοντας στρέψη µε τα χέρια στα δύο άκρα µιας κιµωλίας!

10 8 Η διατµητική τάση θα είναι µέγιστη στην περίµετρο οποιασδήποτε διατοµής µεταξύ των σηµείων B και C, όπου η ροπή στρέψης είναι µέγιστη. Για την πολική ροπή αδράνειας της διατοµής έχουµε: 4 J = π 50 / = mm 4, οπότε τ max = = 0.9 MPa Παράδειγµα 8. Θεωρούµε κύλινδρο κοίλης διατοµής µε εξωτερική διάµετρο d o = 0 mm και εσωτερική διάµετρο d i = 16 mm (Σχ. 8.11). Υποθέτοντας ότι ο κύλινδρος καταπονείται σε ροπή στρέψης 40 Nm, ζητείται ο υπολογισµός της µέγιστης και της ελάχιστης διατµητικής τάσης. Σχ Μέγιστη και ελάχιστη διατµητική τάση σε κοίλη διατοµή. Η πολική ροπή αδράνειας της διατοµής είναι και από την εξ. (8.) έχουµε: 4 4 ( 10 8 ) = πc πb π J = = mm τ max = = 4.15 MPa τ min = = 4.5 MPa 969. ιαπιστώνουµε δηλαδή ότι οι διατµητικές τάσεις σε όλο το πάχος του κυλίνδρου λαµβάνουν τιµές που δεν διαφοροποιούνται ιδιαίτερα µεταξύ τους, σε αντίθεση µε την

11 9 περίπτωση συµπαγούς κυλίνδρου, όπου οι τάσεις µειώνονται γραµµικά µέχρι την τιµή µηδέν στο κέντρο, οπότε σηµαντική περιοχή του υλικού υφίσταται σχετικά µικρή καταπόνηση. Έτσι συµπεραίνουµε ότι η κοίλη διατοµή προσφέρεται περισσότερο (δηλαδή είναι οικονοµικότερη ) για την ανάληψη ροπής στρέψης σε σχέση µε τη συµπαγή. Παράδειγµα 8.4 Για το στοιχείο του Σχ. 8.1 να υπολογισθεί η στροφή της διατοµής αυτήν της διατοµής A A. B B σχετικά µε Σχ. 8.1 Παράδειγµα 8.4. Από την εξ. (8.6) έχουµε: T L B = 0 φ = φ φa = dx φ GJ TL GJ (8.9) Είναι αρκετά ενδιαφέρον να παρατηρήσουµε ότι η εξ. (8.9) έχει την ίδια ακριβώς µορφή µε την εξ. (.8), αρκεί να θεωρήσουµε την εξής αντιστοιχία: J A και φ, T P, G E. Έτσι µπορούµε να θεωρήσουµε ότι ένα στοιχείο σε στρέψη µπορεί να προσοµοιωθεί µε ένα στροφικό ελατήριο, Σχ. 8.1, το οποίο έχει στροφική σταθερά k t, κατ αντιστοιχία µε την εξ. (.9), ίση µε Το αντίστροφο του k t ορίζει την ευστρεψία, T GJ k t = = (8.10) φ L f t = 1/ kt. Σχ. 8.1 Σχηµατική παράσταση στροφικού ελατηρίου. Μία τελευταία ενδιαφέρουσα παρατήρηση είναι ότι η εξ. (8.9) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη µέτρηση του µέτρου διάτµησης ενός υλικού. Η µέτρηση αυτή

12 0 γίνεται υποβάλλοντας µία ράβδο κυκλικής διατοµής µε γνωστό µήκος και διάµετρο σε ροπή στρέψης και µετρώντας τη σχετική γωνία στροφής (Σχ. 8.14). Από την εξ. (8.9) είναι G = TL / Jφ. Τ Σχ Πειραµατική διάταξη στρέψης κυλινδρικής ράβδου. Παράδειγµα 8.5 Θεωρούµε τον πρόβολο µεταβλητής διατοµής του Σχ. 8.15α, ο οποίος φορτίζεται µε δύο ροπές στρέψης T B και T D στα σηµεία Β και D. Να υπολογισθεί η γωνία στροφής του ελεύθερου άκρου Α σε σχέση µε τη διατοµή πάκτωσης Ε. Το µέτρο διάτµησης του υλικού θεωρείται G = 80 GPa. Το πρώτο βήµα για την επίλυση του προβλήµατος είναι η εξαγωγή του διαγράµµατος ροπών στρέψης. Οι ροπές T B και T D προκαλούν αντίδραση στην πάκτωση T = = 1150 Nm. Ακολούθως γίνονται τοµές κατά µήκος του E στοιχείου και από τη συνθήκη ισορροπίας ροπών προσδιορίζεται η ροπή στρέψης σε κάθε τοµή: Τοµή µεταξύ Α-Β: T = 0. Τοµή µεταξύ Β-D (Σχ. 8.15β): T = T B = 150 Nm. Τοµή µεταξύ D-E: T = T A + T D = = 1150 Nm. Με βάση τα παραπάνω κατασκευάζεται το διάγραµµα ροπών στρέψης του Σχ. 8.15γ. Η πολική ροπή αδράνειας κάθε διατοµής είναι: Για το τµήµα ΑC: AC = π( 1.5) / = Για το τµήµα CE: = π ( ) ( 1.5) / = 4 J mm 4 [ 5 ] J mm 4 CE

13 1 (α) (β) (γ) ιάγραµµα ροπών στρέψης (δ) ιάγραµµα γωνιών στροφής Σχ Παράδειγµα 8.5. Η ζητούµενη γωνία στροφής θα υπολογισθεί εφαρµόζοντας την εξ. (8.6) για κάθε τµήµα του δοµικού στοιχείου στο οποίο η ποσότητα T / GJ είναι σταθερή και αθροίζοντας τα αποτελέσµατα. Τα τµήµατα στα οποία η παραπάνω ποσότητα είναι σταθερή είναι τα ΑΒ, BC, CD και DE, οπότε έχουµε: E = Tdx BT dx CT dx DT dx E = T dx φ φa φe E A A GJ A GJ AB B GJBC C GJCD D GJDE ( ) AB BC CD DE φ φ = = T = ABL φ GJ AB AB TBCL + GJ BC BC TCDL + GJ CD CD TDEL + GJ DE DE = ( ) =. 10 = rad (δεξιόστροφη)

14 Η µεταβολή της γωνίας στροφής κάθε διατοµής κατά µήκος του στοιχείου δίνεται στο Σχ. 8.15δ. 8.5 Εισαγωγή στην επίλυση στατικά αόριστων προβληµάτων Η επίλυση προβληµάτων µε στατικά αόριστους φορείς γίνεται κατ αντιστοιχία αυτών που περιλαµβάνει η Ενότ..11, µε αντικατάσταση αξονικών δυνάµεων µε ροπές στρέψης. Για την επίλυση στατικά αόριστων φορέων απαιτείται η διατύπωση εξισώσεων ώστε να εξασφαλίζονται οι συνθήκες ισορροπίας, η γεωµετρική συµβατότητα (συµβιβαστό παραµορφώσεων) και η ισχύς των καταστατικών νόµων. Ειδικά για τα προβλήµατα ενός βαθµού εξωτερικής στατικής αοριστίας, δηλαδή όταν οι άγνωστες ροπές στρέψης ως αντιδράσεις είναι δύο, η επίλυση γίνεται εύκολα αφαιρώντας τη µία αντίδραση, υπολογίζοντας τη γωνία στροφής φ ο στη θέση όπου αφαιρέθηκε η αντίδραση και τέλος επιβάλλοντας τη συνθήκη ότι η γωνία αυτή είναι µηδέν (µέθοδος των δυνάµεων ). Άλλα προβλήµατα µε εσωτερική στατική αοριστία (π.χ. όταν έχουµε δύο κυλίνδρους τον ένα µέσα στον άλλον), επιλύονται βάσει της συνθήκης ότι τα δοµικά στοιχεία έχουν την ίδια γωνία στροφής, µέσω της µεθόδου των µετακινήσεων. Η ίδια µέθοθος εφαρµόζεται και σε προβλήµατα µε πολλούς βαθµούς στατικής αοριστίας. Σχ Στρέψη δοµικού στοιχείου µε έναν βαθµό στατικής αοριστίας. Για την κατανόηση της µεθόδου επίλυσης στατικά αόριστων προβληµάτων θεωρούµε το αµφίπακτο δοµικό στοιχείο του Σχ Η ροπή στρέψης T προκαλεί αντιδράσεις T 1 και T, για τις οποίες η συνθήκη ισορροπίας δίνει:

15 T 1 + T + T = 0 Το συµβιβαστό των παραµορφώσεων οδηγεί στη συνθήκη φ AB = φbc όπου AB φ και φ BC η γωνία στροφής της διατοµής στο σηµείο Β ως προς τα (ακλόνητα) σηµεία Α και C, αντίστοιχα. Για γραµµικά ελαστικά υλικά η παραπάνω συνθήκη συνεπάγεται T L 1 G J TL = G J Τέλος, οι άγνωστες αντιδράσεις T 1 και T υπολογίζονται από την επίλυση του συστήµατος των παραπάνω δύο εξισώσεων. Παράδειγµα 8.6 Θεωρούµε ότι το δοµικό στοιχείο του Παραδείγµατος 8.5 έχει συνθήκες πάκτωσης και στα δύο άκρα (Σχ. 8.17α). δυνάµεων και να γίνει το διάγραµµα ροπών στρέψης. Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις µε τη µέθοδο των Έστω T A και T E οι άγνωστες αντιδράσεις. Εξ αυτών αφαιρούµε τη µία, έστω την T A, οπότε προκύπτει το δοµικό στοιχείο του Σχ. 8.17β, µε αντίδραση στο σηµείο Ε ίση µε T +. Από την επίλυση του Παραδείγµατος 8.5 η στροφή στο ελεύθερο άκρο είναι B T D ο =. 10 φ rad. Ακολούθως εφαρµόζεται η ροπή στρέψης T A στο αφόρτιστο στοιχείο (Σχ. 8.17γ) και υπολογίζεται η στροφή φ 1 στο ελεύθερο άκρο: φ Ti Li TA TA = = + i Gi Ji = T A( ) = TA rad όπου T A σε Nm. Από τη συνθήκη φ ο +φ 1 = 0 υπολογίζουµε T = 14 Νm, ενώ η εξίσωση ισορροπίας T T = 1150 Νm δίνει T = 1008 Νm. Με γνωστές τις δύο αντιδράσεις το A + E E διάγραµµα ροπών στρέψης υπολογίζεται βάσει της µεθόδου των τοµών και δίνεται στο Σχ. 8.17δ. Τέλος, µε γνωστή τη ροπή στρέψης σε κάθε τµήµα του δοµικού στοιχείου υπολογίζεται η γωνία στροφής των διατοµών Β, C και Ε (οι γωνίες στις διατοµές Α και E είναι φυσικά µηδέν, λόγω της πάκτωσης) και κατασκευάζεται το διάγραµµα γωνιών στροφής κατά µήκος του στοχείου (Σχ. 8.17ε). A

16 4 (α) (β) (γ) (δ) ιάγραµµα ροπών στρέψης (ε) ιάγραµµα γωνιών στροφής Σχ Στρέψη δοµικού στοιχείου µε ένα βαθµό στατικής αοριστίας. 8.6 Ανελαστική στρέψη στοιχείων κυκλικής διατοµής Η ανάλυση που παρουσιάσαµε παραπάνω ισχύει στην περίπτωση που τα υλικά είναι γραµµικά ελαστικά και εποµένως για ανελαστικά υλικά υλικά µπορεί να εφαρµοσθεί για τάσεις µόνο µέχρι το όριο αναλογίας. Όταν οι παραµορφώσεις ξεπεράσουν την παραµόρφωση του υλικού πέρα από την οποία παύει να ισχύει ο νόµος του Hooke, το υλικό αρχίζει να εισέρχεται στην πλαστική περιοχή. Αυτή η ανελαστικότητα του υλικού δεν επηρεάζει τις κινηµατικές συνθήκες και τις συνθήκες ισορροπίας του προβλήµατος, αλλά θα πρέπει να ληφθεί υπόψη στον καταστατικό νόµο του υλικού. Στα παραδείγµατα του Σχ βλέπουµε τρεις διαφορετικές περιπτώσεις καταστατικών νόµων του υλικού ενός κυλινδρικού δοµικού στοιχείου σε στρέψη. Η τάση σε κάθε σηµείο της διατοµής προκύπτει από την παραµόρφωση, η οποία µεταβάλλεται

17 5 γραµµικά µε την απόσταση από το κέντρο (Σχ. 8.18α), όπως ακριβώς και στην Ενότ. 8.. Έτσι η κατανοµή των τάσεων είναι όµοια µε τον καταστατικό νόµο του υλικού, µε µόνη διαφορά στην οριζόντια κλίµακα. Η συνολική ροπή στρέψης στη διατοµή δίνεται και πάλι από το ολοκλήρωµα της εξ. (8.1), µόνο που σε αυτό η σχέση τάσεων παραµορφώσεων δεν είναι γραµµική. (ε) (β) (α) (στ) Κατανοµή παραµορφώσεων (γ) (ζ) Σχέσεις τάσεων - παραµορφώσεων (δ) Κατανοµή τάσεων Σχ Κατανοµή τάσεων λόγω στρέψης σε διατοµή κυλίνδρου για ελαστικό, ανελαστικό και ελαστοπλαστικό υλικό. Η γωνία στροφής υπολογίζεται µε τη βοήθεια της εξ. (8.4), η οποία γράφεται στην εξής µορφή: dφ γ γ a = max = (8.11) dx c ρa όπου γ a η παραµόρφωση σε απόσταση ρ a από το κέντρο του κύκλου. Αν το υλικό της ράβδου είναι ελαστοπλαστικό µε τάση διαρροής σε διάτµηση τ y (Σχ. 8.19α) και οι παραµορφώσεις ξεπεράσουν αυτήν που αντιστοιχεί στη διαρροή, η κατανοµή των τάσεων κατά µήκος µίας ακτίνας στη διατοµή θα είναι αυτή του Σχ. 8.19β.

18 6 Έτσι η διατοµή χωρίζεται σε δύο περιοχές: µία κοντά στο κέντρο, όπου οι παραµορφώσεις είναι ελαστικές (δηλαδή τ τ y ), και µία στο υπόλοιπο τµήµα, όπου οι παραµορφώσεις είναι πλαστικές και η τάση είναι παντού τ y (Σχ. 8.0β). Η κεντρική περιοχή της διατοµής ονοµάζεται ελαστικός πυρήνας. τ y Τ Τ pl Ασύµπτωτη 4 T pl = T y T y τ y Παραµένουσα θ θ y (α) (β) (γ) Σχ (α) Καταστατικός νόµος, (β) κατανοµή τάσεων στη διατοµή και (γ) σχέση ροπής στρέψης γωνίας στροφής ανά µονάδα µήκους για στρέψη κυλίνδρου από ελαστοπλαστικό υλικό. c el τ y τ y τ y c (α) (β) (γ) Σχ. 8.0 Κατανοµή τάσεων κατά µήκος ακτίνας της διατοµής (α) κατά την εκκίνηση της διαρροής στην περίµετρο, (β) για µερική πλαστικοποίηση της διατοµής και (γ) για πλήρη πλαστικοποίηση. Η ροπή στρέψης που µόλις προκαλεί διαρροή στην περίµετρο του κύκλου (Σχ. 8.0α), T y, ονοµάζεται στρεπτική ροπή διαρροής και δίνεται από την εξ. (8.) µε τ max =τ y : Ty τ y J πc = = τ y (8.1) c Η ροπή στρέψης που αντιστοιχεί σε µερική πλαστικοποίηση της διατοµής (Σχ. 8.0β) είναι

19 7 T ( c c ) c c = el ρ y c el y el da = y ( d ) + y ( d ) = + A 0 c τ π τ π τρ τ ρ πρ ρ τ ρ ρ π ρ (8.1) el c el η οποία, για δεδοµένη ροπή στρέψης, µπορεί να επιλυθεί ως προς την ακτίνα του ελαστικού πυρήνα c el. Όταν οι παραµορφώσεις είναι πλαστικές σε µεγάλο τµήµα της διατοµής, ο ελαστικός πυρήνας περιορίζεται σηµαντικά και η συµβολή του στη ροπή στρέψης είναι πολύ µικρή. Τότε κατά προσέγγιση µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η πλαστικοποίηση έχει επεκταθεί σε όλη τη διατοµή, µε αντίστοιχη κατανοµή τάσεων αυτήν του Σχ. 8.0γ. Η ροπή στρέψης που αντιστοιχεί στις τάσεις αυτές ( τ y παντού) ονοµάζεται πλαστική ροπή στρέψης ή πλαστική στρεπτική ροπή, T pl, και είναι: Tpl c = c 4 da = y da = π τρ τ ρ τ y ρ( ρπdρ ) = τ y = Ty (8.14) A A 0 Τα παραπάνω αποτελέσµατα συνδυάζονται στο Σχ. 8.19γ, το οποίο δίνει τη σχέση ροπής στρέψης γωνίας στροφής ανά µονάδα µήκους ( d φ / dx ). Τέλος σηµειώνουµε ότι όπως ισχύει και για τις ροπές Ενότ. 6.7), οι T y και M y την M pl στην κάµψη (βλ. T pl αποτελούν χαρακτηριστικές ιδιότητες για την κυκλική διατοµή (αλλά και για κάθε άλλη διατοµή) που εξαρτώνται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της διατοµής και από την τάση διαρροής του υλικού (σε διάτµηση). Ο λόγος T / T καλείται πολικός συντελεστής σχήµατος. pl y 8.7 Στρέψη στοιχείων τυχαίας συµπαγούς διατοµής Η ανάλυση ενός δοµικού στοιχείου τυχαίας (µη κυκλικής) διατοµής σε στρέψη είναι αρκετά περίπλοκη, διότι στην περίπτωση αυτή οι διατοµές υφίστανται στρέβλωση, δηλαδή δεν ισχύει η βασική υπόθεση της επιπεδότητας των διατοµών, όπως φαίνεται χαρακτηριστικά στο Σχ. 8.1 για την ορθογωνική διατοµή. Η παρουσίαση της ανάλυσης για περιπτώσεις µη κυκλικών διατοµών ξεφεύγει από το στόχο του παρόντος συγγράµµατος, αλλά για λόγους πληρότητας θα δώσουµε τα αποτελέσµατα για την αρκετά συνηθισµένη περίπτωση της ορθογωνικής διατοµής. Λύσεις µε ακριβείς µεθόδους και λεπτοµέρειες για τυχαία διατοµή µπορεί να βρει κανείς σε βιβλία Ανώτερης Μηχανικής των Υλικών (π.χ. Seely and Smith 195, Hartog 1987) ή σε βιβλία Θεωρίας Ελαστικότητας (π.χ. Timoshenko and Goodier 1951, Boresi and Chong 1987). Το πρόβληµα αυτό επιλύθηκε για πρώτη φορά το 185 από το Γάλλο ερευνητή Saint Venant, γιαυτό και η στρέψη στοιχείων µη κυκλικής διατοµής καλείται και στρέψη Saint Venant.

20 8 Η µέγιστη διατµητική τάση λόγω στρέψης σε δοµικό στοιχείο ορθογωνικής διατοµής αναπτύσσεται στο µέσον των µεγάλων πλευρών (Σχ. 8.α) και όχι στα σηµεία που απέχουν τη µεγαλύτερη απόσταση από το κέντρο της διατοµής, δηλαδή στις γωνίες, όπως θα περιµέναµε µε βάση τα συµπεράσµατα για την κυκλική διατοµή. Στην πραγµατικότητα µάλιστα, οι διατµητικές τάσεις στις γωνίες είναι µηδέν. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα µέσω του Σχ. 8.β, στο οποίο βλέπουµε ότι µία µη µηδενική τάση στη γωνία του ορθογωνίου µπορεί να αναλυθεί σε συνιστώσες παράλληλες στις πλευρές της διατοµής και άρα να συνοδεύεται από τάσεις σε κάθετα επίπεδα, αυτά των εξωτερικών επιφανειών του στοιχείου. Όµως η ύπαρξη τάσεων σε εξωτερικές ελεύθερες επιφάνειες δεν είναι δυνατή, συνεπώς η διατµητική τάση στη γωνία είναι µηδέν. (α) (β) Σχ. 8.1 Στρέψη δοµικού στοιχείου ορθογωνικής διατοµής. h τ max b (α) (β) Σχ. 8. (α) Μέγιστες διατµητικές τάσεις σε ορθογωνική διατοµή και (β) απόδειξη ότι οι διατµητικές τάσεις στις γωνίες είναι µηδέν. Η τ max και η γωνία στροφής φ σε δοµικό στοιχείο µήκους L, µε ορθογωνική διατοµή b h, όπου h το µήκος της µεγαλύτερης πλευράς, είναι: T τ max = (8.15) αb h

21 9 φ = TL (8.16) βb hg όπου T η ροπή στρέψης και α, β σταθερές οι οποίες δίνονται στον Πίνακα 8.1. Πίν. 8.1 Σταθερές για τη στρέψη ορθογωνικών διατοµών. h/b α β Με ικανοποιητική προσέγγιση, οι σταθερές α και β µπορούν να υπολογισθούν και από τις παρακάτω σχέσεις: h α = b h +.95 b h 0.49 β = b (8.17) h b Μία εξαιρετικά ενδιαφέρουσα µέθοδος η οποία προσφέρεται για την κατανόηση της κατανοµής των διατµητικών τάσεων λόγω στρέψης σε τυχαία διατοµή βασίζεται στη λεγόµενη αναλογία της µεµβράνης Prandtl. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή, φανταζόµαστε µία οπή η οποία έχει το σχήµα της διατοµής του στοιχείου που καταπονείται σε στρέψη. Θεωρούµε ότι η οπή καλύπτεται από µία λεπτή µεµβράνη, η οποία φουσκώνει ελαφρά προς τη µία πλευρά, λόγω πίεσης κάθετα στο επίπεδο της µεµβράνης. Με βάση το σχήµα που λαµβάνει η µεµβράνη διατυπώνουµε τις εξής παρατηρήσεις: (α) Η διατµητική τάση σε κάθε σηµείο της διατοµής είναι ανάλογη της κλίσης που έχει η µεµβράνη στο ίδιο σηµείο. (β) Η διεύθυνση της διατµητικής τάσης σε ένα σηµείο της διατοµής είναι κάθετη στην εφαπτοµένη της µεµβράνης στο σηµείο αυτό. (γ) Η ροπή στρέψης στη διατοµή ισούται µε το διπλάσιο του όγκου τον οποίο περιβάλλει η µεµβράνη. Η παραπάνω αναλογία δείχνεται παραστατικά στο Σχ. 8. για ελλειπτική διατοµή και στο Σχ. 8.4 για λεπτότοιχη ορθογωνική διατοµή. Μάλιστα από το Σχ. 8.4α προκύπτει εύκολα ότι οι σηµαντικές διατµητικές τάσεις στη διατοµή είναι αυτές παράλληλα στις µεγάλες πλευρές, ενώ αυτές κάθετα είναι ασήµαντες. Επίσης, από τα Σχ. 8.4β,γ βλέπουµε ότι οι διατµητικές τάσεις αυξάνονται γραµµικά από το µέσον του πάχους µέχρι τις µεγάλες πλευρές, όπου λαµβάνουν τη µέγιστη τιµή τους. H µέθοδος αυτή αναπτύχθηκε από το Γερµανό µηχανικό L. Prandtl το 190.

22 40 Τάση Σχ. 8. Αναλογία της µεµβράνης Prandtl για στρέψη ελλειπτικής διατοµής. Μεµβράνη Μέγιστη κλίση οχείο υπό πίεση Τοµή (α) (β) (γ) Σχ. 8.4 Αναλογία της µεµβράνης Prandtl για στρέψη ορθογωνικης διατοµής. Μία τελευταία ενδιαφέρουσα παρατήρηση, η οποία προκύπτει από την αναλογία της µεµβράνης Prandtl, είναι ότι λεπτότοιχες ανοικτές διατοµές ιδίου πάχους t, όπως αυτές του Σχ. 8.5, είναι (περίπου) ισοδύναµες από άποψη αντοχής σε στρέψη (δηλαδή για δεδοµένη ροπή στρέψης αναπτύσσεται η ίδια µέγιστη διατµητική τάση), αρκεί οι άξονες των στοιχείων κάθε διατοµής να έχουν (περίπου) το ίδιο ανάπτυγµα ( L ). (α) (β) (γ) (δ) (ε) Σχ. 8.5 Λεπτότοιχες διατοµές ιδίου πάχους παραλαµβάνουν δεδοµένη ροπή στρέψης αναπτύσσοντας την ίδια µέγιστη τάση, αρκεί να έχουν το ίδιο εµβαδόν.

23 Στρέψη στοιχείων µε λεπτότοιχες κλειστές διατοµές (κοιλοδοκοί) Στην ενότητα αυτή θα µελετήσουµε τις τάσεις που αναπτύσσονται λόγω στρέψης καθώς και τη γωνία στροφής σε πρισµατικά στοιχεία των οποίων η διατοµή είναι λεπτότοιχη και κλειστή. Έστω ένα τέτοιο στοιχείο όπως δίνεται στο Σχ. 8.6α, υπό στρεπτική καταπόνηση λόγω ροπής T. Υποθέτουµε ότι οι διατµητικές τάσεις λόγω της ροπής στρέψης είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες κατά το (µικρό) πάχος της διατοµής και µελετάµε ένα µικρό στοιχείο µήκους dx στη διεύθυνση του άξονα x και µήκους ds στη διεύθυνση της µέσης περιµέτρου της διατοµής (ως περίµετρο θεωρούµε την καµπύλη που διέρχεται από το µέσον του πάχους). Το στοιχείο αυτό φαίνεται στο Σχ. 8.6α, αποµονωµένο στο Σχ. 8.6β και σε τοµή στο Σχ. 8.6γ (µε σκούρο χρώµα). t 1 t x T (α) (β) (γ) Σχ. 8.6 Στρέψη δοµικού στοιχείου κλειστής λεπτότοιχης διατοµής. Οι διατµητικές τάσεις πάνω στις τέσσερεις τοµές που ορίζουν το µικρό στοιχείο έχουν συνισταµένη F 1, F, F και F 4 (Σχ. 8.6β). Ισορροπία στη διεύθυνση x δίνει F 1 = F. Επίσης είναι F1 = τ tdx και F = τ 1 t1dx όπου τ και τ 1 οι διατµητικές τάσεις στις τοµές όπου συνισταµένη είναι η F 1 και η F, αντίστοιχα. Εποµένως είναι τ tdx = τ1t1dx ή τ t = τ1t1. Επειδή δε οι διαµήκεις τοµές έγιναν σε τυχαίες θέσεις, συµπεραίνουµε ότι το γινόµενο της διατµητικής τάσης σε οποιαδήποτε διαµήκη τοµή επί το πάχος του στοιχείου στη συγκεκριµένη τοµή είναι σταθερό. Η ποσότητα αυτή συµβολίζεται µε q και ονοµάζεται διατµητική ροή (µε µονάδες δύναµης ανά απόσταση). Στις γωνίες του στοιχείου του Σχ. 8.6β παρατηρούµε ότι οι διατµητικές τάσεις τ και τ δρουν σε κάθετα επίπεδα στο ίδιο σηµείο, εποµένως είναι ίσες, τ = τ. Για τον ίδιο λόγο είναι τ 1 = τ 4, οπότε έχουµε τ t = τ 4t1, δηλαδή η διατµητική ροή σε οποιοδήποτε σηµείο της διατοµής, δηλαδή το γινόµενο της διατµητικής τάσης επί το πάχος στο ίδιο σηµείο (µε άλλα λόγια, η συνισταµένη των διατµητικών τάσεων πάνω σε τµήµα της διατοµής µε µοναδιαίο µήκος) είναι σταθερή ποσότητα. Ένας

24 4 βολικός τρόπος για να γίνει η έννοια της διατµητικής ροής καλύτερα κατανοητή είναι να φαντασθούµε ότι το εξωτερικό και το εσωτερικό όριο της διατοµής αποτελούν τα τοιχώµατα ενός αγωγού µέσα στον οποίο ρέει νερό. Η ποσότητα νερού σε κάθε διατοµή του αγωγού, δηλαδή κατά την έννοια του πάχους της διατοµής, είναι σταθερή. Αν η διατµητική ροή q πολλαπλασιασθεί επί το στοιχειώδες µήκος ds πάνω στη διατοµή, θα µας δώσει τη συνισταµένη δύναµη των διατµητικών τάσεων πάνω σε αυτό το µήκος. Η δύναµη αυτή επί την απόστασή της r από τον άξονα x (Σχ. 8.6γ) δίνει µία στοιχειώδη ροπή, ενώ το άθροισµα (δηλαδή το ολοκλήρωµα) όλων αυτών των στοιχειωδών ροπών θα πρέπει να δώσει τη συνολική ροπή στρέψης T που δρα στη διατοµή. Έτσι γράφουµε: T = rqds = q rds (8.18) Στο σηµείο αυτό βολεύει να δώσουµε µία γεωµετρική ερµηνεία για την ποσότητα rds στο ολοκλήρωµα της εξ. (8.18). Όπως βλέπουµε στο Σχ. 8.6γ, το γινόµενο rds είναι το διπλάσιο του εµβαδού του σκιασµένου απειροστού τριγώνου µε βάση ds και ύψος r. Έτσι συµπεραίνουµε ότι το ολοκλήρωµα στην εξ. (8.18) ισούται µε δύο φορές το εµβαδόν A m της επιφάνειας που ορίζει η µέση περίµετρος της διατοµής (η επιφάνεια αυτή δίνεται στο Σχ. 8.7) και έχουµε: T T = Amq q = (8.19) Am ή, ισοδύναµα, T τ = (8.0) Amt Α m Σχ. 8.7 Ορισµός του εµβαδού A m.

25 4 Οι εξ. (8.19) (8.0) δίνουν τη διατµητική ροή και τη διατµητική τάση σε οποιοδήποτε σηµείο της διατοµής. Όπως είδαµε η διατµητική ροή είναι σταθερή αλλά η διατµητική τάση αυξοµειώνεται, ανάλογα µε το πάχος της διατοµής (όπου το πάχος της διατοµής µειώνεται η διατµητική τάση αυξάνεται, εποµένως στην περιοχή αυτή το υλικό καταπονείται εντονότερα). Ακολούθως θα υπολογίσουµε τη γωνία στροφής θ µεταξύ δύο διατοµών που απέχουν µοναδιαίο µήκος (οπότε θ = d φ / dx ). Ο υπολογισµός βασίζεται στην αρχή της διατήρησης ενέργειας της εξ. (.17), U = We, η οποία θα πρέπει φυσικά να εφαρµοσθεί µε νέες εκφράσεις για την ενέργεια παραµόρφωσης U και για το έργο των εξωτερικών φορτίων W e. Η ενέργεια παραµόρφωσης οφείλεται σε διατµητικές τάσεις και στις αντίστοιχες παραµορφώσεις, εποµένως δίνεται από την εξ. (.4). Το έργο των εξωτερικών φορτίων σε µοναδιαίο µήκος του δοµικού στοιχείου είναι, κατ αντιστοιχία µε την εξ. (.18), W e = Tθ /. Έτσι έχουµε: 1 dφ τ τ T ds dφ T = dx G G A G t dx V 8 m dv = tds = = T 4AmG ds t Αν η ροπή στρέψης είναι σταθερή σε µήκος L, η γωνία στροφής φ µεταξύ δύο διατοµών που απέχουν απόσταση L είναι φ = θl, δηλαδή: TL ds φ = 4A G t m (8.1) Η εξ. (8.1) µπορεί να ξαναγραφεί ώστε να είναι παρόµοια µε την εξ. (8.9): TL φ = (8.) GJ e όπου J e η ισοδύναµη πολική ροπή αδράνειας, ίση µε Je = 4Am ds t (8.) Συνδυάζοντας τις εξ. (8.19) και (8.1) µπορούµε να εκφράσουµε τη γωνία στροφής συναρτήσει της διατµητικής ροής: ql ds φ = (8.4) AmG t Τέλος, αν η διατοµή αποτελείται από n ευθύγραµµα τµήµατα σταθερού πάχους, ισχύει

26 44 ds t s t = n i i i (8.5) όπου si το µήκος (στο µέσον του πάχους) του τµήµατος i και t i το πάχος του τµήµατος i. Παράδειγµα 8.7 Θεωρώντας τον κύλινδρο του Παραδείγµατος 8. λεπτότοιχο, να υπολογισθεί η διατµητική τάση (για ροπή ίση και πάλι µε 40 Nm). Η µέση ακτίνα της διατοµής είναι 9 mm και το πάχος είναι mm. Από την εξ. (8.0) υπολογίζουµε: τ = = 9. MPa π 9 Παρατηρούµε ότι η τάση που υπολογίσθηκε (και που θεωρείται σταθερή στο πάχος της διατοµής) είναι περίπου ίση µε τη µέση τιµή της µέγιστης και της ελάχιστης τάσης του Παραδείγµατος 8.. Αν το πάχος του τοιχώµατος του κυλίνδρου ήταν µικρότερο, οι διαφορές µεταξύ τ max, τ min (µε βάση τη µέθοδο του Παραδείγµατος 8.) και τ (όπως υπολογίσθηκε εδώ) θα ήταν ασήµαντες. Παράδειγµα 8.8 Θεωρούµε ελαστική µεταλλική δοκό µήκους m µε τη λεπτότοιχη διατοµή του Σχ Η δοκός είναι πακτωµένη στο ένα άκρο και στο άλλο καταπονείται µε ροπή στρέψης T = 500 Νm. Να υπολογισθούν οι διατµητικές τάσεις και η στροφή της διατοµής στο άκρο. Για το υλικό του προβόλου είναι G = 80 GPa. Πρώτα υπολογίζουµε το εµβαδόν της µέσης περιµέτρου, A m = (100-)(150-4) = 1416 mm. Η ροπή στρέψης κατά µήκος του προβόλου είναι σταθερή και ίση µε T. Ακολούθως βρίσκουµε τη (σταθερή) διατµητική ροή: T q = = = N/mm A m 1416 Οι διατµητικές τάσεις στα οριζόντια τµήµατα είναι τ = / MPa και στα ορ = τ κατ = / = 5. MPa (Σχ. 8.8γ). κατακόρυφα είναι 88

27 45 4 mm 4.41 MPa 1 mm mm T = 500 Nm 100 mm 4.41 (α) (β) (γ) Σχ. 8.8 Στρέψη λεπτότοιχης δοκού για το Παράδειγµα 8.8. Για τον υπολογισµό της γωνίας στροφής χρησιµοποιούµε την εξ. (8.). n i s t i i ( 100 ) ( 150 4) ( 100 ) ( 150 4) = = Η ισοδύναµη πολική ροπή αδράνειας είναι: 6 J e = / = mm 4. Τέλος, η γωνία στροφής της διατοµής στο ελεύθερο άκρο (ως προς τη διατοµή στην πάκτωση, η οποία έχει µηδενική στροφή) είναι: ( ) ( 10 ) φ = =.7 10 rad 6 (80 10 ) ( ) 8.9 Στρέψη πολυκυψελικών διατοµών Στην περίπτωση που η διατοµή ενός δοµικού στοιχείου είναι λεπτότοιχη κλειστή και αποτελείται από περισσότερες της µιας κυψέλες (Σχ. 8.9), οι εξισώσεις που εξήχθησαν παραπάνω µπορούν να εφαρµοσθούν για κάθε κυψέλη ξεχωριστά, αρκεί ως ροπή στρέψης στις εξισώσεις αυτές για την κάθε κυψέλη να εισαχθεί η ροπή που καταπονεί την κυψέλη αυτή. Σχ. 8.9 Λεπτότοιχες κλειστές διατοµές µε δύο ή τρεις κυψέλες (π.χ. κιβωτιοειδείς διατοµές γεφυρών).

28 46 q q Τ 1 A m1 Τ Τ Τ Σχ. 8.0 Ροπές στρέψης και διατµητική ροή στις κυψέλες λεπτότοιχης κλειστής διατοµής. Έστω µία πολυκυψελική διατοµή, όπως αυτή του Σχ. 8.0, στην οποία η επιφάνεια που ορίζει η µέση περίµετρος στην κυψέλη i είναι A mi. Το σύνολο των κυψελών της διατοµής θεωρείται ίσο µε n. Κάθε κυψέλη παραλαµβάνει τµήµα T i της συνολικής ροπής στρέψης T, έτσι ώστε από ισορροπία να ισχύει: T = T1 + T + K + Tn = Am1q1 + Amq + K+ Amnqn (8.6) Στην εξ. (8.6) q i είναι η διατµητική ροή που αναπτύσσεται στην κυψέλη i λόγω ροπής T i. Ακολούθως θα πρέπει να προσέξουµε ότι αν ένα τοίχωµα µιας κυψέλης j είναι κοινό µε αυτό της γειτονικής j + 1, η τελική διατµητική ροή στο τοίχωµα αυτό θα ισούται µε το διανυσµατικό άθροισµα των διατµητικών ροών q j και j+ 1 q που εµφανίζονται στο τοίχωµα αυτό. Για παράδειγµα, αν η ροή σε δύο γειτονικές κυψέλες (έστω j η αριστερή και j + 1 η δεξιά) είναι αριστερόστροφη, η q j στο κοινό τοίχωµα θα είναι προς τα πάνω ενώ η q j+ 1 θα είναι προς τα κάτω, οπότε η τελική προς τα πάνω διατµητική ροή στο τοίχωµα αυτό θα είναι q j = q j q j + 1. Αν όµως ένα τοίχωµα µιας κυψέλης j δεν είναι κοινό µε αυτό κάποιας άλλης, η ροή σε αυτό θα είναι q = q. Στη συνέχεια κάνουµε την (εύλογη) υπόθεση ότι όλες οι επιµέρους κυψέλες έχουν την ίδια γωνία στροφής µε την πολυκυψελική διατοµή, δηλαδή: j j = φ1 = φ = K φ n (8.7) φ = Από την εξ. (8.4), µε τη ροή όµως q να βρίσκεται εντός του ολοκληρώµατος (διότι δεν είναι σταθερή πλέον σε κάθε κυψέλη λόγω των προαναφερθέντων περί κοινών και µη κοινών τοιχωµάτων), γράφουµε: L qi ds φ i = (8.8) A G t mi Οι εξ. (8.6) (8.7) δίνουν ένα σύστηµα n + 1 εξισώσεων µε n + 1 αγνώστους, τις ποσότητες q 1, q,..., q n και φ (σηµειωτέον ότι τα q i είναι εκφρασµένα συναρτήσει των

29 47 q i ). Από την επίλυση του συστήµατος προκύπτουν οι διατµητικές ροές (άρα και οι διατµητικές τάσεις) σε οποιοδήποτε τοίχωµα και η γωνία στροφής µεταξύ διατοµών. Παράδειγµα 8.9 Ο πρόβολος του Σχ. 8.1α µε τη δικυψελική διατοµή του Σχ. 8.1β καταπονείται σε ροπή στρέψης T = 10 knm. Το υλικό θεωρείται γραµµικά ελαστικό µε G = 80 GPa. Να υπολογισθεί η διατµητική τάση στους τρεις κατακόρυφους κορµούς της διατοµής. y 5 mm Κυψέλη T = 10 knm 5 mm 10 mm 5 mm 150 mm A x B Κυψέλη 1 5 mm m (α) 100 mm 80 mm (β) Σχ. 8.1 Στρέψη δικυψελικής διατοµής. Είναι: A m1 = ( )(150-5) = mm, A m = ( )(150-5) = 1687 mm. Αντικαθιστώντας στην εξ. (8.6): 10 = q q όπου οι διατµητικές ροές q 1 και q σε kn/m ή Ν/mm. Αριθµώντας τα τµήµατα κάθε κυψέλης όπως στο Σχ. 8.8β, από την εξ. (8.7) γράφουµε: 6 ( q q ) L 4 q1 si L q1 s1 q1 s q1 s 1 φ = = Am1G i 1 ti Am1G t1 t t t = 4 s 4 6 = ( q q ) 10 q q1 145 q = ( 86.5q 14. q ) 1 5 ( q q ) L 4 q si L q s1 1 s q s q s φ = = AmG i = 1 ti AmG t1 t t t4 4 = ( q q ) 10 q q 87.5 q

30 48 = ( 78.5q 14. q ) 5 1 Έτσι καταλήγουµε σε σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους: = q q ( 86.5q 14.5q ) = ( 78.5q 14. q ) Από τη λύση του συστήµατος προκύπτει q 1 = kn/m και q = kn/m. Αντικατάσταση των τιµών αυτών σε οποιαδήποτε από τις παραπάνω δύο εξισώσεις για τη γωνία στροφής δίνει φ = 10.6x10 - rad. Τέλος, οι τάσεις σε κάθε κατακόρυφο τµήµα (κορµό) της διατοµής υπολογίζονται διαιρώντας τη διατµητική ροή µε το πάχος κάθε τµήµατος: q Αριστερός κορµός: τ a = = = 6. 9 MPa (προς τα κάτω) t 5 Μεσαίος κορµός: ( ) q1 q τ b = = = 1.0 MPa (προς τα πάνω) t 10 q εξιός κορµός: τ c = = = 4. 4 MPa (προς τα πάνω) t 5 Η κατανοµή των τάσεων σε όλη τη διατοµή δίνεται στο Σχ MPa 4.4 MPa 1.0 MPa Σχ. 8. ιατµητικές τάσεις στη δικυψελική διατοµή Συνδυασµένη δράση ροπής στρέψης και τέµνουσας δύναµης Αν η καταπόνηση ενός δοµικού στοιχείου είναι τέτοια ώστε στις διατοµές να δρουν ροπές στρέψης σε συνδυασµό µε τέµνουσα δύναµη, τα αποτελέσµατα των δράσεων

31 49 προστίθενται σε κάθε σηµείο µιας διατοµής διανυσµατικά, δηλαδή εφαρµόζεται η αρχή της επαλληλίας (υπό την προϋπόθεση φυσικά ότι το υλικό είναι γραµµικά ελαστικό). Συνήθως η τέµνουσα δύναµη σε κάθε διατοµή δρα σε συνδυασµό µε ροπές κάµψης, οπότε εκτός από τις διατµητικές τάσεις αναπτύσσονται και ορθές. Όµως η επαλληλία ορθών και διατµητικών τάσεων θα συζητηθεί στο επόµενο κεφάλαιο. Στο παράδειγµα που ακολουθεί παρουσιάζεται η µέθοδος της επαλληλίας µόνο για τις διατµητικές τάσεις (λόγω στρέψης και τέµνουσας). Παράδειγµα 8.10 Για τον πρόβολο του Σχ. 8.α να υπολογισθεί η µέγιστη διατµητική τάση στη διατοµή Α-Β. Ο πρόβολος είναι σχήµατος κυλίνδρου µε διάµετρο 10 mm. (α) (β) Tc ( τ ) = ( τ ) max στρέψη J VS max = τέµνουσα It (γ) (δ) (ε) (στ) τ max Σχ. 8. ιατµητικές τάσεις λόγω συνδυασµού στρέψης και τέµνουσας. Στη διατοµή Α-Β αναπτύσσονται διατµητικές τάσεις λόγω κατακόρυφης τέµνουσας δύναµης και λόγω στρέψης. Εποµένως θα πρέπει κατ αρχήν να υπολογίσουµε τα µεγέθη αυτά. Αυτό γίνεται εύκολα κάνοντας µία τοµή στη θέση Α-Β και µελετώντας την ισορροπία του ελευθέρου σώµατος που προκύπτει (Σχ. 8.β). Η δρώσα τέµνουσα στη διατοµή είναι V = 50 N και η ροπή στρέψης είναι T = 0 Νm. Βέβαια στη διατοµή δρα και ροπή κάµψης M = 5 Νm, η οποία όµως δεν µας απασχολεί διότι δεν προκαλεί διατµητικές τάσεις αλλά µόνο ορθές.

32 50 Οι διατµητικές τάσεις λόγω στρέψης υπολογίζονται γενικά από την εξ. (8.). Οι µέγιστες εξ αυτών δρουν στα σηµεία της διατοµής πάνω στην περιφέρεια και έχουν φορά εφαπτοµενική στην ακτίνα του κύκλου µέχρι καθένα από τα σηµεία αυτά (Σχ. 8.γ). Η πολική ροπή αδράνειας της διατοµής είναι J = πc / = π 5 / = 981 mm 4, οπότε από την εξ. (8.) η µέγιστη διατµητική τάση λόγω στρέψης είναι Tc τ max στρέψη = = MPa J 981 ( ) = Οι διατµητικές τάσεις λόγω τέµνουσας υπολογίζονται από την εξ. (7.7). Οι µέγιστες εξ αυτών δρουν πάνω στον ουδέτερο άξονα (γραµµή ED του Σχ. 8.δ) και έχουν φορά προς τα κάτω. Η στατική ροπή της επιφάνειας πάνω από την ΕD (σκιασµένη επιφάνεια του Σχ. 8.δ) ισούται µε το εµβαδόν της επιφάνειας αυτής επί την απόσταση y του κέντρου βάρους της από τον ουδέτερο άξονα. Έτσι είναι πc πc 4c c S = y = = π 4 Επίσης είναι I = πc / 4 (Παράδειγµα 6.) και από την εξ. (7.7) µε t = c έχουµε: VS V c 4 4V 4 50 max τέµνουσα = MPa It c 4 ( τ ) = = = = 4. 5 πc 4 πc 4 π 5 Από τα Σχ. 8.γ-δ είναι προφανές ότι η διανυσµατική πρόσθεση των διατµητικών τάσεων λόγω στρέψης και κάµψης δεν χρειάζεται να γίνει σε πολλά σηµεία της διατοµής ώστε να βρεθεί η µέγιστη διατµητική τάση. Το σηµείο εκείνο στο οποίο τα διανύσµατα των δύο τάσεων έχουν την ίδια φορά είναι το Ε. Στο σηµείο αυτό αναπτύσσεται η µέγιστη διατµητική τάση, ίση µε = MPa.