ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΑΞΟΝΙΚΑ ΦΟΡΤΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΑΣΣΑΛΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ τ-w και P b -w b

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΑΞΟΝΙΚΑ ΦΟΡΤΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΑΣΣΑΛΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ τ-w και P b -w b"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΑΞΟΝΙΚΑ ΦΟΡΤΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΑΣΣΑΛΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ τ-w και P b -w b ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΓΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΦΟΗ ΑΝΝΑ-ΜΑΡΙΑ Πολιτικός Μηχανικός Διπλωματούχος Πανεπιστημίου Πατρών Επιβλέπων: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ, Καθηγητής ΠΑΤΡΑ, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2014

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Αρχικά θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντά μου κ. Γεώργιο Μυλωνάκη, Καθηγητή, του οποίου η επιστημονική καθοδήγηση και ηθική συμπαράσταση υπήρξε καθοριστική για την ολοκλήρωση της παρούσας διατριβής. Ευχαριστώ τους κ. Δημήτριο Ατματζίδη, Καθηγητή, και Γεώργιο Αθανασόπουλο, μέλη της τριμελούς επιτροπής, για την επιστημονική τους καθοδήγηση. Ευχαριστώ ιδιαίτερα, τον κ. Παπαντωνόπουλο Κωνσταντίνο, Ομότιμος Καθηγητή, για το ενδιαφέρον, την ηθική του υποστήριξη και τα ουσιαστικά σχόλια κατά τη διάρκεια της εργασίας μου. Ευχαριστώ θερμά τον συνάδελφο πολιτικό μηχανικό Εμμανουήλ Ψαρουδάκη για την πολύτιμη βοήθειά του, στις δυσκολίες που αντιμετώπισα κατά τη διάρκεια του προγραμματισμού. Τέλος ευχαριστώ τους φίλους μου για την ηθική τους υποστήριξη. i

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αντικείμενο της παρούσας διατριβής αποτελεί η ανάλυση της συμπεριφοράς αξονικά φορτιζόμενου πασσάλου υπό αξονική φόρτιση, η οποία μπορεί να οδηγήσει σε απώλεια φέρουσας ικανότητας. Συγκεκριμένα εξετάζεται η στατική δυσκαμψία του πασσάλου για τις περιπτώσεις ομοιογενούς και ανομοιογενούς εδάφους. Για την επίλυση του προβλήματος αναπτύχθηκε απλή αναλυτική ενεργειακή μέθοδος, η οποία βασίζεται στη θεωρία Winkler και στη χρήση συνάρτησης σχήματος, η οποία περιγράφει αξιόπιστα τις μετατοπίσεις κατά μήκος του πασσάλου. Το έδαφος γύρω από τον πάσσαλο προσομοιώνεται με κατακόρυφα γραμμικά ή μη ελατήρια τύπου Winkler, τα οποία εφαρμόζονται στην παρειά του πασσάλου αλλά και στη βάση του. Με επιλογή κατάλληλης συνάρτησης σχήματος και καμπυλών «τw» και «P b -w b» και μετά από επαναληπτική διαδικασία εφαρμογής της μεθόδου, επιτυγχάνεται με ικανοποιητική ακρίβεια η τιμή της δυσκαμψίας για κατακόρυφη μετακίνηση στην κεφαλή του πασσάλου. Η μέθοδος προγραμματίστηκε σε περιβάλλον Visual Basic 2007 κυρίως για λόγους διευκόλυνσης, παρουσίασης και σύγκρισης των αποτελεσμάτων με άλλες μεθόδους. ii

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ... ΠΕΡΙΛΗΨΗ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ... ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ... i ii iii vii xiii xv ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΟΡΓΑΝΩΣΗ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΑΣΣΑΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΟΚΕΙΝΤΑΙ ΣΕ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΦΟΡΤΙΣΗ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΑΞΟΝΙΚΑ ΦΟΡΤΙΖΟΜΕΝΩΝ ΠΑΣΣΑΛΩΝ ΣΕ ΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΕΔΑΦΟΣ Ορισμός του προβλήματος Βασική διαφορική εξίσωση αξονικά φορτιζομένου πασσάλου Γραμμική ελαστική λύση πασσάλου σε ομοιογενές έδαφος ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΑΞΟΝΙΚΑ ΦΟΡΤΙΖΟΜΕΝΩΝ ΠΑΣΣΑΛΩΝ ΣΕ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΕΔΑΦΟΣ Randolph & Wroth (1978) Rajapakse (1990) iv

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΣΣΑΛΟΥ 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΥΣΗΣ Μεταβαλλόμενη εδαφική στιφρότητα κατά μήκος του πασσάλου Ενεργειακή μέθοδος επίλυσης ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΩΔΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ - ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΑΜΠΥΛΕΣ "τ-w" ΚΑΙ "P b -w b " 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Η. Bolton Seed και Lymon C. Reese Υπερβολικό προσομοίωμα, Kraft et al (1981) Bustamante και Frank (1997) Προσαρμοσμένο υπερβολικό προσομοίωμα, Martin Fahey και John Carter, Chow Yean Khow (1986) ΕΜΠΕΙΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Προτεινόμενες "τ-w" και "Pb-w b " καμπύλες από το API (American Petroleum Institute) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΟΝΙΚΑ ΦΟΡΤΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΑΣΣΑΛΟΥ 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ v

6 5.2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΥΣΗΣ Συνεκτικό εδάφους με σταθερή αστράγγιστη διατμητική αντοχή με το βάθος (S u σταθερό) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ «τ-w» ΚΑΙ «P b -w b» 6.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΥΣΗΣ Μεταβαλλόμενη εδαφική στιφρότητα κατά μήκος του πασσάλου Καμπύλες τ-w και P b -w b ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΩΔΙΚΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ vi

7 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 2.1 Πάσσαλος υπό αξονική φόρτιση, εμπεδωμένος σε ομοιογενές έδαφος Παραμορφωμένη επιφάνεια εδάφους από το επιβαλλόμενο φορτίο στην κεφαλή του πασσάλου Προσομοίωμα Winkler. γεωμετρία του προβλήματος και σύμβαση προσήμων Κανονικοποιημένη στιφρότητα πασσάλου εμπεδωμένου σε ενιαίο στρώμα εδάφους για διάφορες τιμές της αδιάστατης στιφρότητας του ελατηρίου στη βάση, Ω Τρόπος παραμόρφωσης του εδάφους Στοιχειώδες τμήμα εδάφους Παραμόρφωση εδάφους στη βάση αξονικά φορτιζόμενου πασσάλου Σύστημα πασσάλου-εδάφους Σύστημα πασσάλου εδάφους (Rajapakse, 1990) Διαχωρισμένο σύστημα πασσάλου - εδάφους a)ελαστικό μέσο εδάφους B και ελαστικός πάσσαλος B Η στιφρότητα του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, L/r= Η στιφρότητα του πασσάλου σε σχέση με το μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας με L/r= Η στριφρότητα του πασσάλου σε σχέση με το μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας με L/r= Η στριφρότητα του πασσάλου σε σχέση με το μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας με L/r= Προσομοίωση πασσάλου υπό αξονική φόρτιση στην κεφαλή μέσω ελατηρίων Winkler.. 32 vii

8 3.2 Καμπύλη συνάρτησης σχήματος με το βάθος για διάφορες τιμές της μετατόπισης στη βάση, ψ b Μεταβολή του μέτρου ελαστικότητας του εδάφους E s με το βάθος Κανονικοποιημένη δυσκαμψία πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές της στιφρότητας του ελατηρίου στη βάση του Κανονικοποιημένη δύναμη στη βάση του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές της στιφρότητας του ελατηρίου στη βάση του Ανηγμένη βύθιση στη βάση του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές της στιφρότητας του ελατηρίου στη βάση του Κανονικοποιημένη στιφρότητα πασσάλου σαν συνάρτηση του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, L/r= Κανονικοποιημένη στιφρότητα πασσάλου σαν συνάρτηση του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, L/r= Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, G b /G sl = Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, G b /G sl = Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, G b /G sl = Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του, δείκτης ανομοιογένειας α=0.2. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978) Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του, δείκτης ανομοιογένειας α=0.4. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978) Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του, viii

9 δείκτης ανομοιογένειας α=0.6. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978) Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου, δείκτης ανομοιογένειας α=0.2 Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978) Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου, δείκτης ανομοιογένειας α=0.4 Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978).πασσάλου και δείκτη ανομοιογένειας α= Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου, δείκτης ανομοιογένειας α=0.6 Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978) Προσομοίωση πασσάλου υπό αξονική φόρτιση στην κεφαλη Καμπύλη απόκρισης και τέμνων μέτρο αντίδρασης πασσάλου σε κατακόρυφη φόρτιση Γενική μορφή καμπύλης απόκρισης πασσάλου σε κατακόρυφη φόρτιση κατά τους Seed & Reese (1957) Καθίζηση του πασσάλου προσομοιώνοντας το περιβάλλον έδαφος με ομόκεντρους κύκλους σε διάτμηση Καμπύλη «τ-w» κατά Kraft et al (1981) για διάφορες τιμές της παραμέτρου R f Καμπύλες «τ-w» και «q b -w b κατά Bustamante & Frank (1997) Καμπύλη «τ-w» κατά Fahey & Carter (1993) για διάφορες τιμές της παραμέτρου g Μεταβολή του μέτρου διάτμησης συναρτήσει της διατμητικής τάσης για διάφορες τιμές των παραμέτρων q και g. Σύγκριση με πραγματικές τιμές από δοκιμές σε κανονικά στερεοποιημένη άμμο από την περιοχή της πόλης Toyoura στην Ιαπωνία Καμπύλες «P b - w b» κατά Chow (1986) για διάφορες τιμές της παραμέτρου g ix

10 4.10 Θεωρητικές καμπύλες «P b - w b» εφαρμόζοντας τη θεωρία του Boussinesq's και το προσαρμοσμένο υπερβολικό μοντέλο των Fahey & Carter (1993) Συντελεστής ελατηρίου Winkler στην παρειά του πασσάλου συναρτήσει της ακτίνας του πασσάλου Καμπύλες «τ-w» κατά ΑPI (American Petroleum Institute) για μη συνεκτικά και συνεκτικά εδάφη Καμπύλη «P b -w b» κατά ΑPI (American Petroleum Institute) για συνεκτικά και μη συνεκτικά εδάφη Ελαστική πλήρως πλαστική καμπύλη «w» Το έδαφος γύρω από τον πάσσαλο προσομοιώνεται με ελαστικέςπλήρως πλαστικές καμπύλες «w» και «P b w b» Πλατικοποιημένο μέρος πασσάλου με μήκος L p Ελαστική περιοχή πασσάλου με μήκος L Lp Καμπύλη φορτίου - βύθισης στην κεφαλή του πασσάλου όταν w yb w y Εικόνα προγράμματος που δημιουργήθηκε στο excel για πάσσαλο τριβής Εικόνα προγράμματος που δημιουργήθηκε στο excel για πάσσαλο τριβής και αιχμής Καμπύλη φορτίου-καθίζησης πασσάλου τριβής για διάφορες τιμές του λόγου λυγηρότητας, L/ d Αδιάστατο μήκος πλαστικοποίησης συναρτήσει της καθίζησης στην κεφαλή του πασσάλου τριβής για διάφορες τιμές του λόγου λυγηρότητας, L/ d Καμπύλη φορτίου-καθίζησης πασσάλου αιχμής και τριβής για διάφορες τιμές του λόγο λυγηρότητας, L/ d, wyb wy Αδιάστατο μήκος πλαστικοποίησης συναρτήσει της καθίζησης στην κεφαλή του πασσάλου αιχμής και τριβής για διάφορες τιμές του λόγου λυγηρότητας, L/ d, wyb wy x

11 5.12 Καμπύλη φορτίου-καθίζησης πασσάλου αιχμής και τριβής για διάφορες τιμές του λόγου λυγηρότητας L/ d, wyb wy Αδιάστατο μήκος πλαστικοποίησης συναρτήσει της καθίζησης στην κεφαλή του πασσάλου αιχμής και τριβής για διάφορες τιμές του λόγου λυγηρότητας, L/ d, wyb wy Καμπύλη συνάρτησης σχήματος με το βάθος για διάφορες τιμές της μετατόπισης στη βάση, ψ b Μεταβολή του μέτρου ελαστικότητας του εδάφους E s με το βάθος Καμπύλη «τ-w» κατά Fahey & Carter (1993) για r m /r=50, g=0.25, q= Καμπύλη «τ-w» κατά API (1993) Καμπύλη «P b -w b» κατά Chow (1986) για g=0.25 και q= Καμπύλη «P b -w b» (API, 1993) για πάσσαλο από σκυρόδεμα, μήκους L=20 m σε άμμο Ελαστοπλαστικές καμπύλες «τ-w» και «P b -w b» Καμπύλη φορτίου - καθίζησης πασσάλου για το Παράδειγμα Καμπύλη φορτίου - καθίζησης πασσάλου για το Παράδειγμα1 (παράμετρος α ο μεταβαλλόμενη με το βάθος) Καμπύλη φορτίου-καθίζησης στην κεφαλή του πασσάλου Καμπύλη φορτίου-καθίζησης στην κεφαλή του πασσάλου Καμπύλη φορτίου-καθίζησης στην κεφαλή του πασσάλου για το Παράδειγμα Διακύμανση της αστράγγιστης διατμητικής αντοχής του εδάφους με το βάθος για το Παράδειγμα Καμπύλη φορτίου-καθίζησης στην κεφαλή του πασσάλου εμπεδωμένου σε ανομοιογενές συνεκτικό έδαφος Η μορφή των μετακινήσεων κατά μήκος του πασσάλου, ο οποίος υπόκειται σε αξονικό φορτίο P=1500 KN Η μορφή των μετακινήσεων κατά μήκος του πασσάλου, ο οποίος υπόκειται σε αξονικό φορτίο P=2500 KN Εδαφικές στρώσεις στην περιοχή διεξαγωγής της δοκιμαστικής xi

12 φόρτισης Καμπύλη φορτίου-καθίζησης από δοκιμαστική φόρτιση Καμπύλη φορτίου καθίζησης με βάση την προτεινόμενη λύση και σύγκριση με την πραγματική φόρτιση xii

13 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 2.1 Κανονικοποιημένο ολικό αναλαμβανόμενο φορτίο για διάφορες τιμές του συντελεστή ανομοιογένειας Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, G b /G sl = Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, G b /G sl = Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του, δείκτης ανομοιογένειας α=0.2. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978) Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του, δείκτης ανομοιογένειας α=0.4. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978) Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του, δείκτης ανομοιογένειας α=0.6. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978) Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου, δείκτης ανομοιογένειας α=0.2. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978) Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου, δείκτης ανομοιογένειας α=0.4. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978) Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου, δείκτης ανομοιογένειας α=0.6. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978) xiii

14 4.1 Παράμετροι σχεδιασμού σε μη συνεκτικά εδάφη, ΑPI (1993) Κατάταξη εδαφών με βάση τη φαινόμενη πυκνότητα (Bentley & Carter,1991) Χαρακτηριστικά πασσάλου Χαρακτηριστικά εδάφους Χαρακτηριστικά πασσάλου Χαρακτηριστικά εδάφους Χαρακτηριστικά πασσάλου Χαρακτηριστικά εδάφους Χαρακτηριστικά εδάφους Χαρακτηριστικά εδάφους xiv

15 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ L d r Ε p E s P ν s N : μήκος πασσάλου : διάμετρος πασσάλου : ακτίνα πασσάλου : μέτρο ελαστικότητας πασσάλου : μέτρο ελαστικότητας εδάφους : δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου : λόγος Poisson εδάφους : αριθμός διακριτών σημείων πασσάλου ψ b : παράμετρος συνάρτησης σχήματος, 0 ψ b 1 Α p k sl Κ b Κ k(z) : διατομή πασσάλου : συντελεστής ελατηρίου Winkler στην παρειά του πασσάλου, σε βάθος z=l : στριφρότητα ελατηρίου στη βάση του πασσάλου : στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου : συντελεστής ελατηρίου Winkler σε βάθος z α, n : δείκτες ανομοιογένειας εδάφους λ : κυματικός αριθμός πασσάλου για ανομοιογενές έδαφος μ : παράμετρος σχήματος (ανάλογη της παραμέτρου λ) w o w b w(z) P b G sl τ max τ(z) : βύθιση στην κεφαλή του πασσάλου : βύθιση στη βάση του πασσάλου : μετακίνηση σε βάθος z : δύναμη στην βάση του πασσάλου : μέτρο διάτμησης εδάφους στην επιφάνεια (z=0) : μέγιστη διατμητική τάση στην παρειά του πασσάλου : διατμητική τάση στην παρειά του πασσάλου σε βάθος z xv

16 q, g,r f : εμπειρικές παράμετροι καμπυλότητας συναρτήσεων "τ-w" και "P b -w b " r m S u γ φ k 1 K α δ α ο : μέγιστη ακτίνα από το κέντρο του πασσάλου στην οποία οι διατμητικές τάσεις είναι αμελητέες : αστράγγιστη διατμητική αντοχή : ειδικό βάρος εδάφους : γωνία τριβής του εδάφους : σταθερά εδαφικής αντίδρασης στην πλευρική φόρτιση πασσάλου : συντελεστής πλευρικής τάσης : τραχύτητα πασσάλου - εδάφους : αδιάστατη παράμετρος για τον προσδιορισμό της μέγιστης πλευρικής τάσης xvi

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΟΡΓΑΝΩΣΗ Η χρήση των πασσαλοθεμελιώσεων για την ανάληψη σημαντικά μεγάλων φορτίων των ανωδομών, ιδιαίτερα ευαίσθητων στην εκδήλωση ολικών ή διαφορικών καθιζήσεων, οδήγησε στην έναρξη διερεύνησης του επιστημονικού πεδίου της απόκρισης των πασσάλων. Οι πρώτες προσπάθειες προσδιορισμού της φέρουσας ικανότητας μεμονωμένου πασσάλου χρησιμοποιούν απλουστευμένες εξισώσεις ολοκλήρωσης της διατμητικής αντίστασης στην διεπιφάνεια πασσάλου-εδάφους και της ορθής τάσης στην αιχμή του πασσάλου. Είναι γνωστές ως γεωτεχνικές μέθοδοι δεδομένου ότι εστιάζουν κατά κύριο λόγο στα γεωτεχνικά δεδομένα, ενώ η υπολογιστική τους πλευρά περιορίζεται σε ελάχιστους απλούς υπολογισμούς. Η πλειοψηφία των ανωτέρω μεθόδων είναι ακόμη σε χρήση μαζί με αντίστοιχους κανονισμούς που τελούν υπό συνεχή εξέλιξη στις περισσότερες χώρες. Στην παρούσα διατριβή μελετάται η απόκριση μεμονωμένου πασσάλου υπό αξονική φόρτιση και παρουσιάζεται γραμμική και μη-γραμμική απλή επαναληπτική μέθοδος για την λύση του προβλήματος που στηρίζεται στη χρήση των καμπυλών «τ-w» και «P b -w b» για την προσομοίωση του εδάφους. Συγκεκριμένα στο κεφάλαιο 1 δίνεται μια εικόνα του περιεχομένου των κεφαλαίων που απαρτίζουν την εργασία. Στο κεφάλαιο 2 γίνεται μια σύντομη εισαγωγή για το συντελεστή Winkler. Στη συνέχεια περιγράφεται το πρόβλημα και παρουσιάζονται γραμμικές ελαστικές λύσεις για την απόκριση πασσάλου εμπεδωμένου σε ομοιογενές και σε ανομοιογενές έδαφος. Στο κεφάλαιο 3 παρουσιάζεται γραμμική ελαστική ενεργειακή λύση για το πρόβλημα της αξονικής φόρτισης πασσάλου εμπεδωμένου σε ομοιογενές και ανομοιογενές έδαφος. Στην συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσματα σε πίνακες και διαγράμματα και συγκρίνονται με τις ακριβέστερες υπάρχουσες λύσεις της βιβλιογραφίας. Στο κεφάλαιο 4 γίνεται αναφορά στη χρήση των καμπυλών «τ-w» και «P b - w b» για την προσομοίωση του εδάφους στη διεπιφάνεια πασσάλου - εδάφους και στη βάση του αντίστοιχα. Παρουσιάζονται οι θεωρητικές και οι εμπειρικές καμπύλες που υπάρχουν στην βιβλιογραφία. 1

18 Στο κεφάλαιο 5 αναπτύσσεται μη-γραμμική αναλυτική λύση για την απόκριση αξονικά φορτιζόμενου πασσάλου με χρήση ελαστοπλαστικών καμπυλών «τ-w» και «P b -w b» για την προσομοίωση του εδάφους γύρω από τον πάσσαλο. Στο κεφάλαιο 6 αναπτύσσεται απλή επαναληπτική μέθοδος για τον προσδιορισμό της απόκρισης του πασσάλου, ο οποίος υπόκειται σε αξονική φόρτιση. Η προσομοίωση του εδάφους γίνεται με χρήση μη-γραμμικών θεωρητικών και εμπειρικών καμπυλών «τ-w» και «P b -w b» Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο αλγόριθμος ο οποίος αναπτύχθηκε σε γλώσσα προγραμματισμού Visual Basic 2007 και τα αποτελέσματα Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο αλγόριθμος ο οποίος αναπτύχθηκε σε γλώσσα προγραμματισμού Visual Basic 2007 και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με τα αντίστοιχα προγραμμάτων πεπερασμένων στοιχείων και με τα αποτελέσματα δοκιμαστικήςφόρτισης. Στο κεφάλαιο 7 παρουσιάζονται τα γενικά συμπεράσματα, τα οποία προκύπτουν από την ανάλυση. 2

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΑΣΣΑΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΟΚΕΙΝΤΑΙ ΣΕ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΦΟΡΤΙΣΗ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μεταφορά των αξονικών φορτίων των ανωδομών σε βαθύτερα εδαφικά στρώματα μέσω των πασσάλων πραγματοποιείται πρακτικά με εκδήλωση πολύ μικρών καθιζήσεων. Η μέγιστη επιτρεπόμενη καθίζηση της θεμελίωσης σε συνδυασμό με τον γενικό έλεγχο ευστάθειας της κατασκευής είναι αυτή που θα αποτελέσει αυστηρό κριτήριο σχεδιασμού και συνεπώς πρέπει να υπολογίζεται με ακρίβεια. Το συνολικό αναλαμβανόμενο φορτίο εξαρτάται από την αντοχή του υλικού του πασσάλου, την διατμητική αντίσταση του περιβάλλοντος εδαφικού σχηματισμού, την κατανομή της κατά μήκος της διεπιφάνειας πασσάλου - εδάφους και τις ιδιότητες του περιβάλλοντος εδάφους. Η ευρέως χρησιμοποιούμενη μέθοδος για την προσομοίωση του εδάφους είναι η θεωρία Winkler. Πρόκειται για μια απλουστευμένη θεώρηση κατά την οποία το έδαφος προσομοιώνεται με σειρά ανεξάρτητων κατακόρυφων ελατηρίων που στηρίζονται σε άκαμπτη βάση. Συγκρίνοντας την πραγματική παραμορφωμένη εδαφική επιφάνεια με την προκύπτουσα από την ανάλυση Winkler, εντοπίζονται ομοιότητες, ωστόσο διακρίνονται και σημαντικές διαφορές. Η κυριότερη έγκειται στο ότι τα ελατήρια Winkler ενεργούν ανεξάρτητα μεταξύ τους. Αν κάποιο ελατήριο παραμορφωθεί, τα γειτονικά του μένουν ανεπηρέαστα, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την πραγματικότητα. Η πραγματική παραμορφωμένη επιφάνεια του εδάφους, έστω και αν προέρχεται από προσομοίωση βάσει παραδοχών ιδεατής γραμμικής ελαστικότητας, είναι συνεχής (Anoyiatis [16]). Αν και προσεγγιστικό, το μοντέλο Winkler είναι ευρέως διαδεδομένο για την ανάλυση τόσο αξονικά όσο και πλευρικά φορτιζόμενων πασσάλων, υποκείμενων σε στατικά και δυναμικά φορτία. Η δημοτικότητά του πηγάζει κυρίως από την ικανότητά του να (Mylonakis [10]): προσφέρει αποτελέσματα που βρίσκονται σε ικανοποιητική συμφωνία με πιο αυστηρές λύσεις 3

20 χειρίζεται τη μεταβολή των εδαφικών ιδιοτήτων με την ένταση της φόρτισης (μη γραμμικότητα) και το βάθος ή την οριζόντια απόσταση (ανομοιογένεια) επεκτείνεται και σε συνθήκες υπό δυναμική φόρτιση με την προσθήκη ομοιόμορφων κατανεμημένων αποσβεστήρων στο στρώμα των ελατηρίων απαιτεί λιγότερο υπολογιστικό φόρτο από ότι αυστηρότερες μέθοδοι πεπερασμένων ή συνοριακών στοιχείων. Το σημείο κλειδί για την σωστή εφαρμογή του προσομοιώματος Winkler εντοπίζεται στη σωστή εκτίμηση της σταθεράς των ελατηρίων Winkler. Στην περίπτωση του αξονικά φορτιζόμενου πασσάλου, ο συντελεστής των ελατηρίων ορίζεται ως εξής: f( z) kz ( ) (2.1) wz ( ) όπου f( z ) δηλώνει την κατακόρυφη εδαφική αντίδραση ανά μονάδα μήκους στη διεπιφάνεια πασσάλου-εδάφους και wz ( ) την αντίστοιχη μετακίνηση του εδάφους, σε βάθος z. Ο συντελεστής kz ( ) αναφέρεται ως μέτρο εδαφικής 2 αντίδρασης Winkler και έχει διαστάσεις δύναμη προς μήκος τετράγωνο [ FL ]. Ας σημειωθεί ότι ο συντελεστής k διαφέρει από τη σταθερά εδαφικής αντίδρασης k s που ορίζεται ως ο λόγος της πίεσης ("έλξης") προς την 3 αντίστοιχη μετακίνηση και έχει διαστάσεις δύναμης προς κυβικό μήκος [ FL ]. Είναι επίσης γνωστό ότι ο k δεν αποτελεί αποκλειστική ιδιότητα του εδάφους, αλλά εξαρτάται τόσο από τα χαρακτηριστικά του πασσάλου όσο και του εδάφους και μεταβάλλεται με το βάθος ακόμη και σε ομοιογενές έδαφος. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται λύσεις κλειστής μορφής για την απόκριση μεμονωμένου πασσάλου που υπόκειται σε στατική κατακόρυφη φόρτιση. 4

21 2.2 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΑΞΟΝΙΚΑ ΦΟΡΤΙΖΟΜΕΝΩΝ ΠΑΣΣΑΛΩΝ ΣΕ ΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΕΔΑΦΟΣ Ορισμός του προβλήματος Το σύστημα πασσάλου - εδάφους που υιοθετείται στην παρούσα ανάλυση εικονίζεται στο Σχ Συμπαγής, κατακόρυφος πάσσαλος, κυλινδρικής διατομής εντός ομοιογενούς εδαφικού μέσου, υπόκειται σε σταθερό αξονικό φορτίο στην κεφαλή, P. Ο πάσσαλος περιγράφεται από το μήκος του L, τη διάμετρο d και το μέτρο ελαστικότητας E p. Το έδαφος θεωρείται γραμμικώς ελαστικό μέσο, πάχους Η, λόγου Poisson ν s, πυκνότητα ρ s. Οι τάσεις και οι μετακινήσεις στη διατομή του πασσάλου θεωρούνται ομοιόμορφα κατανεμημένες, ενώ η επιφάνεια πασσάλου εδάφους θεωρείται τέλεια συγκολλημένη. P E S,v s E p,v p d Σχήμα 2.1 Πάσσαλος υπό αξονική φόρτιση, εμπεδωμένος σε ομοιογενές έδαφος. Το επιβαλλόμενο φορτίο στην κεφαλή του πασσάλου μεταφέρεται στο περιβάλλον έδαφος το οποίο παραμορφώνεται. Η παραμόρφωση του εδάφους γύρω από τον πάσσαλο μειώνεται με την απόσταση από το κέντρο του, όπως φαίνεται στο Σχ

22 Σχήμα 2.2 Παραμορφωμένη επιφάνεια εδάφους από το επιβαλλόμενο φορτίο στην κεφαλή του πασσάλου. Όσο πιο δύσκαμπτο είναι το έδαφος, τόσο μικρότερη θα είναι η παραμόρφωση του εδάφους και σαν αποτέλεσμα θα είναι μικρότερη και η καθίζηση του πασσάλου. Για την ανάπτυξη μιας ακριβής ανάλυσης η οποία συνδέει το φορτίο στην κεφαλή του πασσάλου με την αντίστοιχη καθίζηση στην κεφαλή, είναι απαραίτητο ο πάσσαλος, το έδαφος και η μεταξύ τους σχέση να προσομοιωθεί με τον καλύτερο δυνατό τρόπο, ώστε να πλησιάζει την πραγματικότητα. Στην ανάλυση που ακολουθείται θα χρησιμοποιηθεί το προσομοίωμα Winkler για την μοντελοποίηση του εδάφους, το οποίο χρησιμοποιείται και πολλές υπάρχουσες λύσεις της βιβλιογραφία (Randolph & Wroth 1978, Mylonakis & Gazetas 1998 κ.α). 6

23 2.2.2 Βασική διαφορική εξίσωση αξονικά φορτιζόμενου πασσάλου. Ο πάσσαλος προσομοιώνεται ως μονοαξονικό στοιχείο με ένα και μόνο βαθμό ελευθερίας, την αξονική μετακίνηση w, και αντίστοιχο εντατικό μέγεθος την αξονική δύναμη P. Η προσομοίωση του εδάφους γίνεται με χρήση κατακόρυφων γραμμικών ελατηρίων Winkler k(z) κατά μήκος του πασσάλου (Σχ. 2.3). Pz ( ) n(z) Pz ( ) P( z) dz z kz ( ) K bo Σχήμα 2.3 Προσομοίωμα Winkler. γεωμετρία του προβλήματος και σύμβαση προσήμων. Από την ισορροπία των δυνάμεων σ' ένα τυχαίο στοιχειώδες τμήμα πασσάλου μήκους, dz σε βάθος z (Σχ. 2.3) προκύπτει ότι: Pz ( ) dz n ( z ) 0 z (2.2) Η αξονική δύναμη P(z) στη διατομή του πασσάλου συνδέεται με την κατακόρυφη μετακίνηση του πασσάλου,w=w(z) μέσω των σχέσεων: 7

24 P A p p w z w P( z) EPAp z (2.3) όπου E p το μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου και A p το εμβαδόν της διατομής του. Η πλευρική εδαφική αντίσταση n(z) στη διεπιφάνεια πασσάλου-εδάφους ισούται με: n( z) k( z) w( z) dz όπου kz ( ) ο συντελεστής ελατηρίου Winkler. (2.4) Από τις Eξ. (2.3) και (2.4), η διαφορική εξίσωση του πασσάλου Εξ.(2.2) γράφεται στην παρακάτω μορφή: 2 wz ( ) EPAp k( z) w( z) 0 2 z (2.5) η οποία μεταπίπτει στη συνήθη διαφορική εξίσωση 2 wz ( ) 2 z 2 ( z) w( z) 0 (2.6) όπου, λ ονομάζεται παράμετρος Winkler, με διαστάσεις (Μήκος) -1 και δίνεται από την εξίσωση: kz ( ) ( z) (2.7) E A Η παράμετρος Winkler λ θα μπορούσε να εκφραστεί σαν ένας κυματαριθμός, ο οποίος ελέγχει τη μεταβολή της παραμόρφωσης του πασσάλου με το βάθος. Η διαφορική εξίσωση 2.5 μαζί με τις συνοριακές συνθήκες περιγράφει τη συμπεριφορά ενός αξονικά φορτιζόμενου πασσάλου. P p 8

25 2.2.3 Γραμμική ελαστική λύση πασσάλου σε ομοιογενές έδαφος Στη συνέχεια αναπτύσσεται η λύση της Eξ. (2.5) όπως παρουσιάστηκε από τους Mylonakis(1995) και Mylonakis και Gazetas (1998). Στην περίπτωση ομοιογενούς εδάφους ο συντελεστής ελατηρίου Winkler είναι σταθερός k(z)=k και ίσος με (Mylonakis & Gazetas 1998) k G S (2.8) όπου δ ένας αδιάστατος παράγοντας, ο οποίος προσδιορίζεται από τη σχέση: 2, (2.9) 2r ln( m ) d στην οποία r m η ακτινική απόσταση από το κέντρο του πασσάλου κατά την οποία οι διατμητικές τάσεις θεωρούνται αμελητέες (Randolph & Wroth 1978). Το έδαφος δεν παραμορφώνεται πέρα από αυτό το σημείο. όπου: L, το μήκος του πασσάλου ν s, ο λόγος Poisson του εδάφους r 2.5 L(1 ) (2.10) m ρ, ο λόγος του μέτρου διάτμησης σε βάθος L/2 προς το μέτρο διάτμησης σε βάθος L (για ομοιογενές έδαφος ρ=1) Η επίλυση της Εξ. 2.5 βασίζεται στην υπόθεση μιας λύσης της μορφής η οποία οφείλει να ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση. Συνεπώς η οικογένεια των λύσεων είναι της μορφής: όπου τα συνθήκες. C και 1 ' z 1 2 s λz e z w( z) C ' e C ' e (2.11) C ' 2 είναι σταθερές που προσδιορίζονται από τις συνοριακές Αν λάβουμε υπόψη μας τις σχέσεις που συνδέουν το υπερβολικό ημίτονο και το υπερβολικό συνημίτονο με την εκθετική συνάρτηση 9

26 e cosh z e sinh z z z e 2 e 2 z z (2.12) η Εξ. (2.11) γράφεται στην παρακάτω εναλλακτική μορφή: w( z) C cosh z C sinh z (2.13) 1 2 όπου τα C 1 και C 2 είναι νέες σταθερές που προσδιορίζονται από τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Η πρώτη συνθήκη αφορά τη δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου και συνδέεται με τη μετακίνηση μέσω της Εξ. (2.3) για z=0 : w P EPAp z z 0 (2.14) Οπότε η σταθερά C 2 είναι: C 2 P EA (2.15) p p Για τη δύναμη στη βάση του πασσάλου P b ισχύει ( z L): w Pb EP Ap Kbow( L) z z L (2.16) όπου Κ bo η στιφρότητα του ελατηρίου στη βάση του πασσάλου. Από την Εξ. (2.16) προκύπτει ότι C 1 P 1tanh L E A tanh L p P (2.17) όπου Ω είναι μια αδιάστατη παράμετρος η οποία ισούται με: K E A bo (2.18) Με αντικατάσταση των Εξ. (2.15) και (2.17) στην Εξ. (2.13) προκύπει ότι: P p 10

27 P 1tanh L w( z) cosh z sinh z E A tanh L p p (2.19) Η στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου ορίζεται ως: K P w. (2.20) o Οπότε με αντικατάσταση της Εξ. (2.19) για z=0 στην Εξ. (2.20) προκύπτει ότι: K tanh L E pap 1tanh L (2.21) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: πάσσαλος αιχμής εδραζόμενος επί άκαμπτης βάσης ( Kb L H) και K E A P p (2.22) tanh L πάσσαλος τριβής ή αιωρούμενος πάσσαλος στην ειδική περίπτωση που η αιχμή δεν συνεισφέρει στην φέρουσα ικανότητα του πασσάλου ( Kbo 0) K E A tanh L (2.23) p Οι Mylonakis & Gazetas (1998) προσέγγισαν με τον παραπάνω τρόπο τη στιφρότητα μεμονωμένου φορτιζόμενου πασσάλου σε ομοιογενές έδαφος και κατέληξαν στην Εξ. (2.21), η οποία παρουσιάζεται γραφικά στο Σχ. 2.4 σε σχέση με το αδιάστατο μήκος πασσάλο λl. Η στιφρότητα του πασσάλου κανονικοποιείται από την στιφρότητα ενός άπειρου μήκους πασσάλου E p A p λ και παρουσιάζεται για πέντε διαφορετικές τιμές της παραμέτρου Ω. p 11

28 Κανονικοποιημένη στιφρότητα πασσάλου, Κ/E p A p λ 2,0 1,5 1,0 0,5 Απειρομήκης πάσσαλος: Πάσσαλος τριβής: Πάσσαλος αιχμής: 0 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Αδιάστατο μήκος πασσάλου, λl Σχήμα 2.4 Κανονικοποιημένη στιφρότητα πασσάλου εμπεδωμένου σε ενιαίο στρώμα εδάφους για διάφορες τιμές της αδιάστατης στιφρότητας του ελατηρίου στη βάση, Ω. Οι παρατηρήσεις στις οποίες κατέληξαν ήταν: 1. Για την οριακή περίπτωση όπου το Ω=0 (δεν υπάρχει αντίδραση στη βάση, Κ bo =0) η στιφρότητα του πασσάλου τριβής αυξάνεται γραμμικά με το αδιάστατο μήκος πασσάλου λl έως την τιμή λl Αυτό σημαίνει ότι σ' ένα εύρος 0<λL<0.50 ο πάσσαλος είναι ουσιαστικά άκαμπτος. Όταν λl>0.50 ο πάσσαλος γίνεται σταδιακά πιο συμπιεστός και η στριφρότητά του αυξάνεται με πιο αργό ρυθμό, φθάνοντας το 90% της στριφρότητας του άπειρου μήκους πασσάλου στα λl Αυτή η τιμή προσδιορίζει το ενεργό μήκος κάτω από το οποίο η στριφρότητα του πασσάλου δεν αυξάνεται περαιτέρω με το βάθος. Αντικαθιστώντας λl=1.50 στην Εξ. (2.7) προκύπτει ότι: ( L / d) 1.75( E / E ) 1/2 active P s (2.24) Η εξίσωση αυτή είναι παρόμοια με αυτή που αναφέρεται από Poulos (1989), και για E p /E s =1000 δίνει ένα ενεργό μήκος πασσάλου της τάξεως των εξήντα διαμέτρων. Ως εκ τούτου, συγκριτικά με τους πλευρικά φορτιζόμενους πασσάλους, για τους οποίους το ενεργό μήκος είναι της τάξεως των δέκα διαμέτρων, στους αξονικά φορτιζομένους πασσάλους είναι αρκετά μεγάλο ώστε να έχει πρακτική σημασία. 2. Παρόμοιες παρατηρήσεις έγιναν και για πασσάλους τριβής με Ω=0.10 και Ω=0.20. Συγκεκριμένα, η κανονικοποιημένη στιφρότητα 12

29 του πασσάλου α)τείνει να εξισωθεί με την τιμή του Ω καθώς το μήκος του πασσάλου τείνει στο μηδέν (π.χ. η στιφρότητα ενός πασσάλου μηδενικού μήκους είναι ίση με τη στιφρότητα του ελατηρίου στη βάση του πασσάλου), β) αυξάνεται σχεδόν γραμμικά με το λl μέχρι την τιμή λl 0.50 και γ) φτάνει (ασυμπτωτικά) την οριακή του τιμή για λl 1.75 ανεξάρτητα από την τιμή του Ω. 3. Μια διαφορετική συμπεριφορά χαρακτηρίζει τους πασσάλους αιχμής. Η στιφρότητά τους είναι μια μονοτονικά φθίνουσα συνάρτηση του μήκους του πασσάλου. Είναι απλό να αποδειχθεί από την Εξ. (2.21), ότι το προϊόν της δυσκαμψίας ενός πασσάλου αιχμής (Ω= ) και ενός πασσάλου τριβής (Ω=0) του ίδιου μήκους είναι ίσο με το τετράγωνο της δυσκαμψίας ενός άπειρου μήκους πασσάλου. Αυτή η αξιοσημείωτη παρατήρηση γίνεται φανερή στο Σχ. 2.4, όπου παρατηρείται ότι η καμπύλη για Ω=1 είναι ο γεωμετρικός μέσος των καμπυλών Ω= και Ω=0. Στη συνέχεια παρουσιάζεται κλειστή αναλυτική λύση από τους Randolph και Worth (1978) για τον υπολογισμό της καθίζησης ενός αξονικά φορτιζόμενου πασσάλου. Η ανάλυση που αναπτύχθηκε είναι μια προσπάθεια να προσομοιωθεί ο τρόπος με τον οποίο μεταβιβάζεται το φορτίο που ασκείται στον πάσσαλο, στο περιβάλλον έδαφος. Η παραμόρφωση του εδάφους γύρω από τον πάσσαλο μπορεί να εξιδανικευθεί με ομόκεντρους κύκλους σε απλή διάτμηση όπως φαίνεται στο Σχ. 2.5 Σχήμα 2.5 Τρόπος παραμόρφωσης του εδάφους. 13

30 dr d z r dz dr r z z dz z Σχήμα 2.6 Στοιχειώδες τμήμα εδάφους. Θεωρώντας ισορροπία στην κατακόρυφη διεύθυνση σ' ένα στοιχειώδες τμήμα εδάφους (Σχ. 2.6) έχουμε: z ( r ) r 0 r z (2.25) όπου: η διατμητική τάση, σ z η ολική κατακόρυφη τάση και r η απόσταση από το κέντρο του πασσάλου (οι θλιπτικές τάσεις θεωρούνται θετικές). Όταν ο πάσσαλος φορτίζεται η αύξηση της διατμητικής τάσης στη διεπιφάνεια πασσάλου-εδάφους είναι πολύ μεγαλύτερη από την αύξηση της κατακόρυφης τάσης. Οπότε η Εξ. (2.25) απλοποιείται στην παρακάτω μορφή: ( r ) 0 r (2.26) Γράφοντας τη διατμητική τάση στη διεπιφάνεια πασσάλου εδάφους, όπου r=r o η ακτίνα του πασσάλου, ως τ=τ ο και ολοκληρώνοντας την Εξ. (2.26) προκύπτει ότι: r o (2.27) r Η διατμητική παραμόρφωση ισούται με (η μείωση της γωνίας θεωρείται θετική): 14

31 u w G z r (2.28) όπου u η ακτινική και w η κατακόρυφη μετακίνηση του εδάφους. Η βασική μετακίνηση είναι η κατακόρυφη και ο όρος u/ z αγνοείται. Από την ολοκλήρωση της Εξ. (2.28) προκύπτει ότι: w s ro dr G (2.29) r r o όπου w s είναι η καθίζηση του εδάφους στην διεπιφάνεια πασσάλου - εδάφους. Από την Εξ. (2.29) υπονοείται άπειρη καθίζηση πασσάλου με την ακτινική απόσταση r. Το συμπέρασμα αυτό είναι μη αποδεκτό γι' αυτό θεωρούμε ότι σε κάποια "μαγική" ακτίνα r m, οι διατμητικές τάσεις θεωρούνται αμελητέες(cooke 1974, Frank 1975). Οπότε η Εξ. (2.29) γράφεται στη μορφή w s r o r m ln G ro (2.30) Αλληλεπίδραση πάνω και κάτω στρώματος εδάφους Οι Randolph και Wroth στην ανάλυση τους θεωρούν πως το περιβάλλον έδαφος γύρω από τον πάσσαλο πρέπει να χωριστεί σε πάνω και κάτω στρώμα από ένα επίπεδο ΑΒ στη βάση του πασσάλου. Θεωρείται αρχικά ότι το πάνω στρώμα θα παραμορφωθεί από το επιβαλλόμενο φορτίο και το κάτω αποκλειστικά από το φορτίο στη βάση του. Το Σχ. 2.7 απεικονίζει την αναμενόμενη μορφή παραμόρφωσης του επιπέδου ΑΒ, το οποίο έχει χωριστεί σε δύο επίπεδα Α 1 Β 1 και Α 2 Β 2. Η παραμόρφωση των επιπέδων δεν είναι συμβατή και αυτό οδηγεί σε αλληλεπίδραση μεταξύ τους. Το κάτω στρώμα εδάφους παραμορφώνεται από τη βάση του πασσάλου λειτουργώντας σαν κρούση. Σε μεγάλη απόσταση από τον άξονα του πασσάλου, η δύναμη στη βάση του πασσάλου θα εμφανίζεται σαν σημειακό φορτίο και η παραμόρφωση του επιπέδου Α 2 Β 2 θα μειώνεται σχεδόν αντίστροφα με την απόσταση r από το κέντρο του πασσάλου. Επειδή η μείωση αυτή είναι ταχύτερη της λογαριθμική διακύμανσης, η οποία υπαινίσσεται από την Εξ. (2.29), το κάτω στρώμα εδάφους συγκρατεί την παραμόρφωση του πάνω στρώματος. Αυτό θα οδηγήσει σε αύξηση της κατακόρυφης τάσης σ z. Στην περίπτωση αυτή ο όρος σ z / z στην Εξ. (2.25) δεν απλοποιείται, δεδομένου ότι οι τάσεις αυτές μηδενίζονται στην ελεύθερη επιφάνεια. Παρατηρώντας την Εξ. (2.25), z 0 (θλίψη) οπότε z / z 0. Αυτό σημαίνει ότι / r(rτ)<0. Η ανισότητα αυτή υπονοεί πως ο ρυθμός 15

32 μείωσης της διατμητικής τάσης θα είναι ταχύτερος από αυτόν που δίνεται από την Εξ. (2.27). Η τιμή του όρου / r(rτ) μειώνεται καθώς μεγαλώνει η απόσταση από το επίπεδο Α 1 Β 1, με αποτέλεσμα να μειώνεται η απόσταση r m με το βάθος. Σχήμα 2.7 Παραμόρφωση εδάφους στη βάση αξονικά φορτιζόμενου πασσάλου. H μείωση της διατμητικής τάσης είναι αποτέλεσμα του μη μηδενικού όρου στην Εξ. (2.25). Από τη λύση του Boussinesq, οι μετακινήσεις που προκαλούνται από τη φορτιζόμενη επιφάνεια ελαστικού ημιχώρου με δεδομένο μέτρο διάτμησης G είναι ανάλογες του 1-ν s. Οπότε σύμφωνα με τους Randolph και Wroth, οι τάσεις που αναπτύσσονται από τη μη συμβιβαστότητα των παραμορφώσεων στο επίπεδο AB (Σχ. 2.7) θα διαφέρουν κατά κάποιο τρόπο αντίστροφα του 1-ν s. Για δεδομένη ακτίνα, ο όρος σ z / z θα είναι μικρός για χαμηλές τιμές του λόγου Poisson νs και μεγαλύτερος για υψηλότερες τιμές του λόγου Poisson. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα οι επιπτώσεις από την φόρτιση του πασσάλου να γίνονται αισθητές σε μεγαλύτερη ακτίνα οπότε και θεωρείται προσεγγιστικά ότι η "μαγική" ακτίνα r m είναι ανάλογη του 1-ν s. Η ακτίνα θα είναι επίσης ανάλογη με το μήκος του πασσάλου L. Οπότε r m =f(l(1-v s ). Η καθίζηση του εδάφους σε απόσταση r από το κέντρο του πασσάλου μπορεί να εκφραστεί (από Εξ. (2.30)) ως r o r wws ln G ro (2.31) 16

33 Η τιμή του λόγου Poisson ν s επηρεάζει την τιμή της ακτίνας r m. Η τιμή της καθίζησης w, υπολογιζόμενη με την Εξ. (2.31), τείνει στο μηδέν για r 52r o όταν ν s =0.5 και για r 93r o όταν ν s =0. Οπότε προτείνεται από τους συγγραφείς μία μέση τιμή της "μαγικής" ακτίνας. r 2.5 L(1 v ) (2.32) m Στην παρούσα διατριβή η διακύμανση της "μαγικής" ακτίνας αγνοείται και υιοθετείται η παραπάνω μέση τιμή. Η καθίζηση του εδάφους στη βάση του πασσάλου δίνεται από την εξίσωση: s w b Pb (1 ) n, (2.33) 4rG o η οποία είναι η προτεινόμενη λύση από τον Boussinesq για άκαμπτο πέδιλο σε ελαστικό ημιχώρο. Ο συντελεστής n ονομάζεται συντελεστής βάθους και εκφράζει την αλληλεπίδραση του πάνω και κάτω στρώματος εδάφους με σημείο αναφοράς τη βάση του πασσάλου. Ο συντελεστής βάθους n εισήχθη για να τροποποιηθεί η πρωτότυπη λύση που ισχύει για κρούση στην επιφάνεια ελαστικού ημιχώρου, προκειμένου να ληφθεί υπόψη η στιφρότητα του εδάφους πάνω από το επίπεδο της επιφάνειας φόρτισης. Όλες οι προτάσεις σε σχέση με τον συντελεστή n βασίζονται στην πρόταση του Fox (1948), την οποία επιβεβαίωσε αργότερα ο Banerjee (1970), ο οποίος θεωρώντας μία περιοχή φόρτισης μέσα στο έδαφος σε βάθος L, απέδειξε ότι για L/d>6, όπου d η διάμετρος της περιοχής φόρτισης, ο συντελεστής βάθους n ισούται με 0.5. Στην περίπτωση του πασσάλου, έρευνες έχουν αποδείξει ότι ο συντελεστής n στη βάση του είναι μεγαλύτερος από 0.85 (κοντά στην μονάδα). Στην παρούσα εργασία θεωρείται n=1. Ωστόσο, στην περίπτωση όπου η αντίσταση τριβής έχει ενεργοποιηθεί και η επιπλέον φόρτιση παραλαμβάνεται όλη από τη βάση του πασσάλου, ο συντελεστής επιρροής n ίσως θα έπρεπε να μειωθεί. Συγκεκριμένα, η βάση συμπεριφέρεται σαν ένας δίσκος στον πυθμένα της γεώτρησης και θα μπορούσε να πάρει προσεγγιστικά την τιμή 0.85(r/r b ) (κατά Randolph & Wrorth) όπου r η ακτίνα του πασσάλου και r b η ακτίνα στη βάση του. Παρουσίαση λύσης Η Εξ. (2.30) μπορεί να γραφεί στην παρακάτω μορφή, η οποία δίνει την καθίζηση του εδάφους κατά μήκος της παρειάς του πασσάλου: 17

34 o( zr ) o wz ( ) G (2.34) όπου: w(z): η καθίζηση του εδάφους τ ο (z): η διατμητική τάση στην παρειά του πασσάλου r o : η ακτίνα του πασσάλου G: το μέτρο διάτμησης του εδάφους και ζ=ln(r m /r o ) Από την Εξ. (2.3) προκύπτει ότι: w( z) P( z) P( z) P( z) z E A E r r h G 2 2 P p P o o 1 (2.35) όπου: h E G 1 P / (2.36) και Pz ( ) z 2 r ( z) o o (2.37) Ολοκληρώνοντας την Εξ.(2.35) και λαμβάνοντας υπόψη την Εξ. (2.37) προκύπτει ότι: 2 w( z) 1 P( z) 2 ( ) o z z r h G z r h G 2 2 o 1 o 1 (2.38) Από την Εξ. (2.34) και (2.38) προκύπτει η παρακάτω διαφορική εξίσωση: 2 wz ( ) 2 wz ( ) 0 z r h (2.39) Η λύση της εξίσωσης είναι της μορφής w(z)=c z e C e z όπου: 3 4 (2.40) 18

35 L L h1 ro 2 (2.41) Οι σταθερές C 3 και C 4 προσδιορίζονται από τις εξής συνοριακές συνθήκες: Pb (1 ) w( L) wb n (2.42) 4rG και o wz ( ) Pb z r h G zl 2 o 1 (2.43) Προσδιορίζοντας τις σταθερές από τις Εξ. (2.42) και (2.43) με αντικατάσταση στην Εξ. (2.40) προκύπτει ότι: 1 P b n(1 ) 1 n(1 ) 1 w( z) e e 2 ro G 4 ro h1 1 4 ro h1 1 ( Lz) ( Lz) 1 1 (2.44) Ο όρος (πr o h 1 μ 1 ) -1 είναι πολύ μικρός (<0.02) και παραλείπεται. Οπότε η Εξ. (2.44) απλοποιείται στην παρακάτω μορφή: Pb n(1 ) w( z) cosh 1( L z) wb cosh 1( L z) (2.45) rg 4 o Η καθίζηση στην κεφαλή του πασσάλου για z=0 είναι: w(0) w w cosh( L) (2.46) o b 1 Ολοκληρώνοντας την Εξ. (2.37) και αντικαθιστώντας σ' αυτήν τις Εξ. (2.34) και (2.45) προκύπτει ότι: 2 P b n(1 ) r o P( z) sinh 1( L z) cosh 1( L z) ro (2.47) Το φορτίο στην κεφαλή του πασσάλου με αντικατάσταση z=0 στην Εξ.(2.47) είναι: 2 P b n(1 ) r sinh o P 1L cosh 1L ro 41 2 (2.48) 19

36 Στη συνέχεια περιγράφεται η προτεινόμενη αναλυτική λύση από τον Mylonakis (2001) για τον προσδιορισμό της καθίζησης αξονικά φορτιζόμενου πασσάλου σε ομοιογενές έδαφος. Συγκριτικά με άλλες διαθέσιμες αναλυτικές λύσεις βασιζόμενες σε θεωρητικά μοντέλα, η προτεινόμενη λύση έχει σαφή πλεονεκτήματα. Συγκεκριμένα: 1. Λαμβάνει υπόψην της τη συνέχεια του μέσου, τόσο στην οριζόντια όσο και στην κατακόρυφη διεύθυνση. 2.Λαμβάνει υπόψην τον λόγο της στιφρότητας πασσάλου-εδάφους και τον λόγο μήκος-διάμετρος πασσάλου. 3.Δεν περιέχει εμπειρικές σταθερές. Ανάπτυξη λύσης Σχήμα 2.8 Σύστημα πασσάλου-εδάφους. Με βάση το πολικό σύστημα συντεταγμένων από ισορροπία των κατακόρυφων δυνάμεων σ' ένα τυχαίο εδαφικό στοιχείο σε βάθος z (Σχ. 2.9) προκύπτει ότι: ( rzr) z r 0 r z (2.49) όπου z η κατακόρυφη ορθή τάση και rz η διατμητική τάση. 20

37 Θεμελιώδης στην παρούσα ανάλυση είναι η υπόθεση ότι η ορθή τάση και η διατμητική τάση τ rz ελέγχονται αποκλειστικά από την κατακόρυφη μετακίνηση w. Η επιρροή της ακτινικής μετακίνησης u πάνω στις δύο αναφερόμενες τάσεις θεωρείται πολύ μικρή και αγνοείται. Οπότε αμελώντας την μεταβολή της κατακόρυφης ορθής τάσης ( σ z / z=0), οι σχέσεις τάσηςπαραμόρφωσης για τις σ z και τ rz είναι: z z M w z (2.50) rz G s w r (2.51) όπου M μία σχετική σταθερά και Από τις Εξ. (2.50) και (2.51) η Εξ. (2.49) είναι: Gs το μέτρο διάτμησης του εδάφους. 2 ( w w r ) n r 0 2 r r z (2.52) όπου n αδιάστατη παράμετρος για την οποία ισχύει: n 2 M G. (2.53) s Υποθέτοντας ότι η διακύμανση της κατακόρυφης ορθής τάσης z με το βάθος είναι αμελητέα ( σ z / z=0) η Εξ. (2.52) απλοποιείται στην παρακάτω μορφή: w ( r ) 0 r r (2.54) η οποία περιγράφει το μοντέλο της επίπεδης παραμόρφωσης. Η λύση της Εξ. (2.54) είναι w c ln r c (2.55) 1 2 Η Εξ. (2.55) οδηγεί στο λανθασμένο συμπέρασμα ότι η μετακίνηση είναι απεριόριστη σε μεγάλη απόσταση από τον πάσσαλο. Οι Randolph και Wroth το 1978, όπως αναφέραμε παραπάνω, για να ξεπεράσουν το πρόβλημα θεώρησαν μία "μαγική" ακτίνα r m, γύρω από τον πάσσαλο, πέρα από την οποία οι εδαφικές καθιζήσεις είναι μηδενικές. Η προτεινόμενη λύση της Εξ. (2.52) από τον Mylonakis το 2001 δεν θέτει αυτό το πρόβλημα. 21

38 Λύνοντας με διαχωρισμό των μεταβλητών την Εξ. (2.52) και λαμβάνοντας υπόψη τις συνοριακές συνθήκες μηδενικής ορθής τάσης στην ελεύθερη επιφάνεια και τον περιορισμό των μετακινήσεων σε μεγάλη ακτινική απόσταση από το κέντρο του πασσάλου, οδηγούμαστε στην λύση: w( r, z) BK ( anr)cos az (2.56) 0 όπου K 0 συμβολίζει την τροποποιημένη εξίσωση Bessel, μηδενικής τάξης, πρώτου είδους,a θετική μεταβλητή και B σταθερά η οποία προσδιορίζεται από τις οριακές συνθήκες. Λόγω της προσεγγιστικής φύσης της ανάλυσης, η ισορροπία κατά την οριζόντια διεύθυνση δεν ικανοποιείται στην συγκεκριμένη προσέγγιση, όπως και οι συνοριακές συνθήκες απαλοιφής των τάσεων στην ελεύθερη επιφάνεια. Παρ' όλα αυτά οι "παραβιάσεις" αυτές έχουν μικρή επιρροή στην λύση, όπως έχει αποδειχτεί από έρευνες σε παρόμοια προβλήματα (Tajimi 1969, Nogami & Novak 1976, Veletsos & Younan 1994). Διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: Απειρομήκης πάσσαλος Οι μετακινήσεις και οι τάσεις στο μέσο, για έναν απειρομήκη πάσσαλο, δίνονται ολοκληρώνοντας τις Εξ. (2.51) και (2.56) ως προς την θετική μεταβλητή a. Οπότε: w( r, z) BK ( anr)cos azda (2.57) 0 0 ( r, z) G n abk ( anr)cosazda (2.58) rz s Με αναφορά στον πάσσαλο, η διαφορική εξίσωση από την κατακόρυφη ισορροπία είναι wz ( ) Ep Ap d ( / 2, ) ( ) 2 rz d z F z z (2.59) όπου F(z) κατανεμημένες δυνάμεις κατά μήκος του πασσάλου. Οι F(z) καθορίζονται λύνοντας την δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου με ισοδύναμες δυνάμεις μέσω του μετασχηματισμού Cosine. 2P F( z) cos azda (2.60) 0 22

39 Από τις Εξ. (2.57) - (2.60) και θεωρώντας την επιφάνεια πασσάλου εδάφους τέλεια συγκολλημένη προτείνεται η παρακάτω λύση για την καθίζηση του πασσάλου. w( z) 2P K0( nad / 2)cos az da p p (2.61) 0 2 dng s a K0( nad / 2) 1( nad / 2) EpApa E A Πάσσαλος αιχμής Για ένα πάσσαλο πεπερασμένου μήκους κατά την επίλυση πρέπει να λάβουμε υπόψην την συνθήκη της μηδενικής μετακίνησης στη βάση του ομοιογενούς στρώματος εδάφους. Υποβάλλοντας αυτήν την απαίτηση στην Εξ. (2.56) προκύπτει ότι: a am (2m 1), m 0,1... (2.62) 2L το οποίο αντιστοιχεί στην λύση του προβλήματος ιδιοτιμών cos( al) 0. Ακολουθώντας την ίδια μέθοδο με τους απειρομήκης πασσάλους, η δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου δίνεται από τις σειρές Cosine ως 2P F( z) cos azda (2.63) m0 Η επίλυση της Εξ. (2.59) για την περίπτωση πασσάλου αιχμής προκύπτει αντικαθιστώντας τα ολοκληρώματα στις Εξ. (2.57) και Εξ. (2.58) με αθροίσματα και a=a m. Όπότε : wz ( ) 2P E A L K ( na d / 2)cosa z 0 m m (2.64) p p m0 2 dng s am K0( namd / 2) 1( namd / 2) E p Apam Η Εξ. (2.64) προκύπτει εύκολα από την Eξ. (2.61) αντικαθιστώντας το με L και το ολοκλήρωμα με σειρές λαμβάνοντας έτσι υπόψην τις διαφορές στις εξισώσεις υπολογισμού των δυνάμεων F( z ). 23

40 2.3 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΑΞΟΝΙΚΑ ΦΟΡΤΙΖΟΜΕΝΩΝ ΠΑΣΣΑΛΩΝ ΣΕ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΕΔΑΦΟΣ Οι λύσεις που παρουσιάστηκαν έως τώρα αντιπροσωπεύουν εδάφη των οποίων οι ελαστικοί παράμετροι είναι ομοιόμορφοι με το βάθος. Στην πραγματικότητα όμως σχεδόν όλα τα εδάφη παρουσιάζουν διακύμανση του μέτρου διάτμησης G s με το βάθος. Για το λόγο αυτό τα αναλυτικά μοντέλα που αναπτύσσονται θα πρέπει να λαμβάνουν υπόψην τους την κατακόρυφη ανομοιογένεια, ώστε να παρέχουν μια πιο ρεαλιστική και ακριβή λύση. Στις περισσότερες περιπτώσεις θεωρείται ότι το μέτρο διάτμησης αυξάνεται γραμμικά με το βάθος. Παρακάτω παρουσιάζονται οι προτάσεις των Randolph & Wroth (1978) και Rajapakse (1990) Randolph & Wroth (1978) Οι Randolph και Wroth για την ανάλυση της συμπεριφοράς αξονικά φορτιζόμενου πασσάλου σε ανομοιογενές έδαφος θεώρησαν ότι το μέτρο διάτμησης G s του εδάφους αυξάνεται γραμμικά με το βάθος. όπου m και b παράμετροι. G m( b z) (2.65) s Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η αλληλεπίδραση του πάνω και του κάτω στρώματος του επιπέδου ΑΒ (Σχ. 2.7) έχει σαν αποτέλεσμα την αύξηση της μεταβολής της ορθής τάσης σ z κατά μήκος του. Το μέγεθος της αύξησης εξαρτάται από την δυσκαμψία του εδάφους κοντά στον πάσσαλο. Στην περίπτωση ομοιόμορφης καθίζησης κατά μήκος του πασσάλου, η διατμητική παραμόρφωση σε συγκεκριμένη απόσταση από τον πάσσαλο παραμένει σταθερή. Οπότε η διατμητική τάση θα αυξάνεται περίπου γραμμικά με το βάθος. Η διακύμανση της διατμητικής τάσης έχει σαν αποτέλεσμα να μειωθεί το σχετικό μέγεθος των διατμητικών τάσεων συγκρινόμενο με την μεταβολή της κατακόρυφης τάσης σ z / z. Από την Εξ. (2.25) συνεπάγεται ότι η μείωση της διατμητικής τάσης θα είναι ταχύτερη με την απόσταση r συγκρινόμενη με την περίπτωση της κατακόρυφης ομοιογένειας. Αυτό σημαίνει πως η "μαγική ακτίνα" r m,όπου οι διατμητικές τάσεις θεωρούνται αμελητέες, θα είναι μικρότερη. Σ' ένα σημείο σε απόσταση r από τον πάσσαλο και σε βάθος z=l/2, η διατμητική τάση θα είναι περίπου η μισή από την αναμενόμενη στην περίπτωση της κατακόρυφης ομοιογένειας. Έτσι εκτιμάται πως και η "μαγική ακτίνα" r m, θα είναι στο μισό της αντίστοιχης τιμής της για την περίπτωση ομοιογενούς εδάφους. 24

41 Οπότε προτείνεται ο συντελεστής ανομοιογένειας ρ, ο οποίος ισούται με τον λόγο του μέτρου διάτμησης σε βάθος L/2 προς το μέτρο διάτμησης σε βάθος L. r 2.5 L(1 ) (2.66) για έναν απειρομήκη πάσσαλο σε ελαστικό ημιχώρο, ή m s r 2 L(1 ) (2.67) m στην περίπτωση όπου σε βάθος 2.5L υπάρχει άκαμπτο στρώμα εδάφους. Για ομοιογενές έδαφος είναι προφανές πως 1. Εφόσον θεωρούμε ότι το μέτρο διάτμησης αυξάνεται με το βάθος σύμφωνα με την Εξ. (2.65), G m( b z) και η διατμητική τάση θα αυξάνεται κατά παρόμοιο τρόπο s m ( b z) 1 (2.68) από την οποία σύμφωνα με την Εξ προκύπτει ότι: w s m 1 r r ln m o m ro (2.69) Η μετακίνηση της βάσης δίνεται από την εξίσωση: w b Pb(1 s) 4rG (2.70) o sl Η αντίσταση τριβής είναι: L L s 2 o o 2 o (2.71) P r dz r m L b Το ολικό αναλαμβανόμενο φορτίο είναι P P P (2.72) s Διαιρώντας την Εξ. (2.72) ως προς G sl r o w i και λαμβάνοντας υπόψην τις Εξ. (2.69) και (2.70) προκύπτει ότι: P P P G r w G r w G r w b s b (2.73) sl o o sl o s sl o b 25

42 P G r w 2 L 4 r (1 ) m r ln ro sl o o s o (2.74) Στον Πιν. 2.1 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της Εξ. (2.74) για διάφορες τιμές του συντελεστή ανομοιογένειας ρ και λόγο L/r o =40 και συγκρίνονται με τα αποτελέσματα ανάλυσης πεπερασμένων στοιχείων. Τα αποτελέσματα είναι σε καλή συμφωνία (απόκλιση μικρότερη του 2%). Επίσης παρατηρείται ότι στην περίπτωση που χρησιμοποιηθεί μία μέση τιμή για το μέτρο διάτμησης, η τιμή του G στα 2/3 L είναι αντιπροσωπευτική. s Πίνακας 2.1 Κανονικοποιημένο ολικό αναλαμβανόμενο φορτίο για διάφορες τιμές του συντελεστή ανομοιογένειας. Δείκτης εδαφικής ανομοιογένειας G G / sl/2 P G r w sl o ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ o sl Rajapakse 1990 Στη συνέχεια παρουσιάζεται ελαστική λύση κλειστής μορφής κατά τον Rajapakse (1990) για την απόκριση μεμονωμένου πασσάλου σε ανομοιογενές γραμμικό ελαστικό έδαφος. Η ανάλυση εξασφαλίζει το συμβιβαστό των μετατοπίσεων τόσο στην κατακόρυφη όσο και στην οριζόντια κατεύθυνση κατά μήκος της διεπιφάνειας πασσάλου-εδάφους. Η ανάλυση βασίζεται στο πολικό σύστημα συντεταγμένων (r,θ,z) με τον άξονα z κατά μήκος του πασσάλου. Το μέτρο διάτμησης διαφέρει με το βάθος σύμφωνα με την σχέση G G mz m 0 (2.75) s o όπου G o το μέτρο διάτμησης στην επιφάνεια του εδάφους και m μία παράμετρος. Το μέτρο ελαστικότητας του εδάφους ισούται για ν s =0.5 με E( z) 3 G( z) (2.76) 26

43 Σχήμα 2.9 Σύστημα πασσάλου εδάφους (Rajapakse, 1990). Το σύστημα πασσάλου εδάφους, που παρουσιάζεται γραφικά στο Σχ. 2.9 αναλύεται στο ελαστικό μέσο εδάφους B* και στον ελαστικό πάσσαλο B όπως φαίνεται στο Σχ Σχήμα 2.10 Διαχωρισμένο σύστημα πασσάλου - εδάφους α)ελαστικό μέσο εδάφους B* και β) ελαστικός πάσσαλος B. Χρησιμοποιώντας συνεχή μονοδιάστατη θεωρία η κατακόρυφη μετακίνηση w του πασσάλου B δίνεται από την εξίσωση 27

44 N w( z) a ( z / L) n n 1 (2.77) n1 όπου a 1, a 2.a N είναι ένα σύνολο γενικευμένων συντεταγμένων που χρειάζεται να προσδιοριστούν. Το άνω όριο των αθροισμάτων N θα προσδιορίζεται με βάση κάποια υπόθεση σύγκλισης. Η μονοδιάστατη καθίζηση w, η οποία δίνεται από την Εξ. (2.77) έχει σαν αποτέλεσμα μία ομοιόμορφη ακτινική παραμόρφωση ε r, η οποία εκφράζεται ως N z a ( n1) n2 (2.78) r p n n1 n1 L όπου ν p ο λόγος Poisson του πασσάλου. Η ακτινική παραμόρφωση οδηγεί σε μία ακτινική μετακίνηση που δίνεται από την εξίσωση: N z u ( r, z) ra ( n 1) n2 (2.79) p p n n1 n1 L Η θεώρηση της ακτινικής μετακίνησης στην ανάλυση δίνει μια κατάσταση ψευδό - δυσδιάστατης παραμόρφωσης του πασσάλου. Στην περίπτωση ενός άκαμπτου πασσάλου η καθίζηση δίνεται από την Εξ. (2.77) με N 1και στη περίπτωση αυτή είναι εμφανές ότι u 0. r Οι περισσότερες υπάρχουσες αναλύσεις αμελούν την ακτινική μετακίνηση του πασσάλου. Παλαιότερες έρευνες (Selvadurai & Rajapakse, 1985),σχετικά με άκαμπτους κυλίνδρους βυθισμένους σε ελαστικό μέσο, έχουν δείξει ότι η ακτινική μετακίνηση έχει αμελητέα επιρροή στην απόκριση πασσάλων μεγάλου μήκους. Λόγω του συμβιβαστού των μετατοπίσεων ανάμεσα στις επιφάνειες S - και S + των B και B* αντίστοιχα οι μετακινήσεις στην κατακόρυφη και οριζόντια διεύθυνση σ' ένα σημείο στην επιφάνεια S + θα δίνονται από τις Εξ. (2.77) και (2.79). Στα παρακάτω σχήματα παρουσιάζεται η επιρροή του δείκτη ανομοιογένειας στη στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου. Στη συνέχεια της διατριβής όπως και στα παρακάτω σχήματα θα θεωρείται r o =r η ακτίνα του πασσάλου. Η στιφρότητα παρουσιάζεται σε κανονικοποιημένη μορφή και ίση με: K p P w rg o (2.80) o sl 28

45 συναρτήσει του λόγου E E / G για διάφορες τιμές του λόγου λυγηρότητας p sl L/r. Παρατηρείται ότι η επιρροή του δείκτη ανομοιογένειας G / G με την αύξηση του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου είναι ομοιόμορφη για ένα δεδομένο λόγο λυγηρότητας. Επίσης παρατηρείται ότι μετά από μία συγκεκριμένη τιμή του λόγου E E η στιφρότητα του πασσάλου είναι u ανεξάρτητη της αύξησης του. Ο πάσσαλος μετά την τιμή αυτή είναι τελείως άκαμπτος. Η τιμή του E εξαρτάται από το δείκτη ανομοιογένειας και το λόγο u λυγηρότητας. Όταν αυξάνεται ο δείκτης ανομοιογένειας και ο λόγος λυγηρότητας αυξάνεται και η τιμή του E. Καθώς αυξάνεται η ανομοιογένεια u του εδάφους η στιφρότητα του πασσάλου μειώνεται. o sl Σχήμα 2.11 Η στιφρότητα του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, L/r=20. 29

46 Σχήμα 2.12 Η στιφρότητα του πασσάλου σε σχέση με το μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας με L/r=30. Σχήμα 2.13 Η στριφρότητα του πασσάλου σε σχέση με το μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας με L/r=40. 30

47 α= Σχήμα 2.14 Η στριφρότητα του πασσάλου σε σχέση με το μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας με L/r=20. Μέχρι στιγμής παρουσιάστηκαν λύσεις κλειστής μορφής για το πρόβλημα αξονικά φορτιζόμενου πασσάλου σε ομοιογενές έδαφος. Στην περίπτωση του ανομοιογενούς εδάφους δεν υπάρχει κλειστή λύση η οποία να καλύπτει όλα τα εδαφικά προφίλ. Οι υπάρχουσες λύσεις κλειστής μορφής ικανοποιούν συγκεκριμένη μορφή ανομοιογένειας. Στην παρούσα διατριβή παρουσιάζεται λύση κλειστής μορφής για γενική μορφή ανομοιογένειας του εδάφους. Η προτεινόμενη λύση βασίζεται σε ενεργειακές μεθόδους και επεκτείνεται στην περίπτωση μη γραμμικής ανάλυσης, περίπτωση που κατά κανόνα εφαρμόζεται, η οποία ανταποκρίνεται καλύτερα στην πραγματική φύση του προβλήματος. 31

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΠΑΣΣΑΛΟΥ 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο παρόν κεφάλαιο εξετάζεται η στατική απόκριση μεμονωμένου κατακόρυφου πασσάλου εμπεδωμένου σε ομοιογενές ή ανομοιογενές εδαφικό μέσο, ο οποίος υπόκειται σε σταθερό αξονικό φορτίο στην κεφαλή. Το πρόβλημα επιλύεται αναλυτικά με χρήση ενεργειακών μεθόδων και κατάλληλης συνάρτησης σχήματος, η οποία περιγράφει αξιόπιστα τις μετατοπίσεις κατά μήκος του πασσάλου. Το έδαφος προσομοιώνεται με κατακόρυφα γραμμικά ελατήρια Winkler. Το σύστημα πασσάλου - εδάφους που υιοθετείται εικονίζεται στο Σχ Σχήμα 3.1. Προσομοίωση πασσάλου υπό αξονική φόρτιση στην κεφαλή μέσω ελατηρίων Winkler. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με υπάρχουσες λύσεις κλειστής μορφής, οι οποίες παρουσιάστηκαν στο Kεφάλαιο 2. 32

49 3.2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΥΣΗΣ Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το πρόβλημα είναι η Eξ. (2.4), η οποία και επαναλαμβάνεται εδώ 2 wz ( ) EPAp k( z) w( z) 0 2 z (3.1) Για να προσδιοριστεί η στιφρότητα του πασσάλου είναι αναγκαία η χρήση μιας αδιάστατης συνάρτησης σχήματος η οποία περιγράφει τη μορφή των μετατοπίσεων κατά μήκος του πασσάλου ικανοποιώντας τις συνοριακές συνθήκες των μετατοπίσεων Οι συνοριακές συνθήκες στην κεφαλή και στη βάση του πασσάλου είναι: Για z=0 w P EPAp z z 0 (3.2) Για z=l w Pb EPAp z z L (3.3) Υποθέτοντας μοναδιαία μετακίνηση στην κεφαλή του πασσάλου και σταθερή τιμή του ελατηρίου στη βάση προκύπτει η συνάρτηση σχήματος ( b e ) e ( e b) e ( z) L L e e L z L z, (3.4) όπου μ είναι μια παράμετρος σχήματος ανάλογη του κυματαριθμού λ (Εξ. 2.6) σε ομοιογενές έδαφος. Για ανομοιογενές έδαφος, η παράμετρος σχήματος μ μπορεί να υπολογιστεί προσεγγιστικά, ως η μέση τιμή της παραμέτρου λ κατά μήκος του πασσάλου L: L 1 kz ( ) 1/2 [ ] dz (3.5) L 0 E A Η παράμετρος ψ b εκφράζει το λόγο μετακίνησης της βάσης προς τη μετακίνηση της κεφαλής του πασσάλου και κυμαίνεται από 0 (για πάσσαλο αιχμής) έως 1 (για ιδανικά επιπλέοντα πάσσαλο). P p 33

50 Η μορφή των μετατοπίσεων κατά μήκος του πασσάλου βάσει της Εξ. (3.2) παρουσιάζεται γραφικά στο Σχ για διάφορες τιμές της μετατόπισης στη βάση, ψ b. Συνάρτηση σχήματος, ψ(z) 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 0,0 0,2 Αδιάστατο βάθος, z/l 0,4 0,6 0,8 1,0 ψ b = ,2 Σχήμα 3.2. Καμπύλη συνάρτησης σχήματος με το βάθος για διάφορες τιμές της μετατόπισης στη βάση, ψ b Μεταβαλλόμενη εδαφική στιφρότητα κατά μήκος του πασσάλου Στην περίπτωση ανομοιογενούς εδαφικού υλικού θεωρούμε ότι η εδαφική στιφρότητα μεταβάλλεται με το βάθος ως εξής: z E ( ) [ (1 ) ] n s z EsL a a (3.6) L όπου Eso 1/ a ( ) n (3.7) E sl η αντίστοιχη σταθερά ανομοιογένειας, Ε so το μέτρο ελαστικότητας στην επιφάνεια του εδάφους και Ε sl σε βάθος L. 34

51 Η γραφική απεικόνιση της Εξ. 3.6 δίνεται στο Σχ. 3.3 για διάφορες τιμές των παραμέτρων α και n. E s (z)/e sl 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,0 0,2 0,4 z E ( ) [ (1 ) ] n s z EsL a a L 0,6 z/l 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 n=0 n<1 n=1 n>1 Σχήμα 3.3. Μεταβολή του μέτρου ελαστικότητας του εδάφους E s με το βάθος. Η τιμή n=0 αντιστοιχεί σε ομοιογενές έδαφος, η τιμή n<1 σε παραβολική μεταβολή του μέτρου ελαστικότητας με το βάθος και η τιμή n=1 σε γραμμική μεταβολή. Όσον αφορά τη σταθερά των ελατηρίων Winkler, θεωρούμε ότι η εξίσωση του συντελεστή στιφρότητας k(z) ακολουθεί την ίδια μεταβολή με το μέτρο ελαστικότητας του εδάφους, και μπορεί να γραφεί στη μορφή: z k( z) k [ (1 ) ] n sl a a (3.8) L όπου k sl η σταθερά του ελατηρίου Winkler σε βάθος L. Η σταθερά του κατανεμημένου ελατηρίου Winkler k sl μπορεί να συσχετιστεί με το μέτρο ελαστικότητας του εδάφους μέσω της σχέσης αναλογίας: k sl E (3.9) sl 35

52 όπου δ ένας αδιάστατος παράγοντας με τιμή της τάξεως του 0.5.(Randolph & Wroth 1978, Scott 1981) Ενεργειακή μέθοδος επίλυσης Υποθέτουμε προσεγγιστική συνάρτηση-λύση w*(z) η οποία οφείλει: 1. να είναι τουλάχιστον μία φορά παραγωγίσιμη 2. να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες των μετατοπίσεων. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της Εξ. (3.1) με την προσεγγιστική συνάρτηση - λύση w*(z) και ολοκληρώνουμε με το βάθος, από z=0 έως z=l. L 2 w E A w* dz k( z) ww* dz 0 P p 2 z 0 0 L (3.10) η οποία ονομάζεται ισχυρή μορφή της εξίσωσης κίνησης. Για να μεταπέσουμε σε μία πιο εύχρηστη μορφή ολοκληρώνουμε κατά παράγοντες τον πρώτο όρο. L zl w w w w* E A ( ) w* dz E A w* E A dz z z z z (3.11) P p P p P p 0 z0 0 Με αντικατάσταση στην Εξ. (3.8) προκύπτει η σχέση L ww* P( L) w( L) P(0) w(0) E A dz k( z) ww* dz 0 P p z z 0 0 L L (3.12) η οποία αντιστοιχεί στην ασθενή μορφή της εξίσωσης κίνησης. Έστω w*( z) w( z) w(0) ( z) (3.13) και P( L) P K w K w( L) K w(0) ( L) (3.14) b bo b bo bo όπου ψ(z) η αδιάστατη συνάρτηση σχήματος της Εξ.(3.4). Με αντικατάσταση στην Εξ. (3.12) προκύπτει: L 2 L 2 ( z) o o P p o o bo o z 0 0 (3.15) P w E A w dz k( z) w ( z) dz K w ( L) 36

53 ή ισοδύναμα, L L Po wo EP Ap ( z) dz k( z) ( z) dz Kbo ( L) 0 0 (3.16) Επομένως η στριφρότητα του πασσάλου είναι L L P p bo 0 0 (3.17) K E A ( z) dz k( z) ( z) dz K ( L) Η βύθιση στην κεφαλή του πασσάλου είναι w o P (3.18) K και η βύθιση σε βάθος z είναι (εξ ορισμού) w( z) w ( z) (3.19) o Υπολογισμός του λόγου μετακίνησης της βάσης προς τη μετακίνηση της κεφαλής του πασσάλου. Από την Εξ. (3.17) προκύπτει για z=l b wl ( ) w o (3.20) Αντικαθιστώντας την Εξ. (2.18) για z=0 και z=l στην Εξ. (3.20) προκύπτει: tanh L b cosh L sinh L (3.21) 1 tanh L Υπολογισμός του λόγου δύναμη στη βάση προς τη δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου. Ορίζοντας b Pb P (3.22) 37

54 ισχύει Pb Kbo wl ( ) Kbo b P K w K (3.23) o Από τις Εξ. (2.17) και (2.20) προκύπτει για τον λόγο Κ bo /K: 2 Kbo Kbo 1 tanh L tanh L K E A tanh L tanh L p p (3.24) Συνεπώς από τις Εξ. (3.21) και (3.22) προκύπτει ότι: 2 tanh L b b tanh L ή ισοδύναμα, (3.25) 2 tanh L tanh L b cosh L sinh L tanh L 1 tanh L (3.26) 38

55 3.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΩΔΙΚΑ Αναπτύχθηκε κώδικας για τον προσδιορισμό της δυσκαμψίας Κ του πασσάλου, βάσει της Εξ. (3.17), σε προγραμματιστικό περιβάλλον Microsoft Excel Visual Basic Για τον σκοπό αυτό, ο πάσσαλος υποδιαιρείται σε επιμέρους τμήματα στα όρια των οποίων αντιστοιχούν οι κόμβοι όπου εφαρμόζονται οι δυνάμεις και υπολογίζονται οι μετακινήσεις. Η διαδικασία αποτελείται από πέντε επαναλαμβανόμενα βήματα όπως παρουσιάζονται παρακάτω. Στο βήμα 1 επιλέγονται από τον χρήστη οι τιμές των παραμέτρων του προβλήματος ( χαρακτηριστικά πασσάλου και εδάφους) και ο αριθμός των επιμέρους τμημάτων στα οποία διακριτοποιείται ο πάσσαλος. Στο βήμα 2 γίνονται οι υπολογισμοί των ελατηριακών σταθερών κατά μήκος του πασσάλου k(z) και στη βάση του από γραμμική ελαστική θεωρία και υπολογίζεται η παράμετρος Winkler λ και η μέση παράμετρος Winkler μ κατά μήκος του πασσάλου. Στο βήμα 3 υποθέτουμε μια αρχική τιμή της ανηγμένης βύθισης στη βάση του πασσάλου, ψ b καθώς η τιμή της δεν είναι άμεσα προσδιορίσιμη (εκτός από την περίπτωση ομοιογενούς εδάφους).έτσι υποτίθεται σαν αρχική τιμή του ψ b η τιμή, η οποία δίνεται από την Εξ με αντικατάσταση του λ με μ. tanh L b cosh L sinh L (3.27) 1 tanh L Στο βήμα 4 υπολογίζεται αρχικά η στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου από την Εξ και στη συνέχεια η βύθιση στην κεφαλή του. Από την Εξ υπολογίζονται οι μετακινήσεις κατά μήκος του πασσάλου και στη συνέχεια από ισορροπία η δύναμη στη βάση του. Τέλος γίνεται επανεκτίμηση της τιμής του ψ b, με ένα ανεκτό υπολογιστικό σφάλμα της τάξεως του Στο βήμα 5 γίνεται έλεγχος για την τιμή του ψ b. Στην περίπτωση σύγκλισης το πρόγραμμα σταματάει και δίνονται τα αποτελέσματα, διαφορετικά επιστροφή στο βήμα 4 μέχρι να υπάρξει σύγκλιση. 39

56 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΒΗΜΑ 1 ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Μήκος πασσάλου: L, διάμετρος πασσάλου: d, μέτρο ελαστικότητας πασσάλου: E p, μέτρο ελαστικότητας εδάφους σε βάθος z=l: E sl, λόγος Poisson του εδάφους: ν s, αριθμός τμημάτων στα οποία διαιρείται ο πάσσαλος: N ΑΡΧΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Α: Διατομή πασσάλου (για κυλινδρικό ΒΗΜΑ πάσσαλο) 2 A d 4 k sl : Συντελεστής ελατηρίου Winkler στην παρειά του πασσάλουk 0.5E E d K 1 sl K b : Ελατήριο στη βάση του πασσάλου bo 2 2 sl sl h: Ύψος διακριτού τμήματος πασσάλουh L N 1 μ: μέση παράμετρος Winkler κατά μήκος του πασσάλου ( z) dz L L 0 ΒΗΜΑ 3 Αρχική υπόθεση της ανηγμένης βύθισης στη βάση του πασσάλου, ψ b tanh L b cosh L sinh L 1 tanh L 0 ψ b 1 Ανεκτό υπολογιστικό σφάλμα ε=

57 ΒΗΜΑ 4 Υπολογισμός συνολικής στριφρότητας πασσάλου: L L P p bo 0 0 K E A ( z) dz k( z) ( z) dz K ( L) Υπολογισμός μετακίνησης στην κεφαλή του πασσάλου: Υπολογισμός μετακινήσεων κατά μήκος του πασσάλου: w( z ) w ( z ) i o i z i i L, i 0,1,... N N Υπολογισμός δύναμης στη βάση του πασσάλου: L P P w k( z) ( z) dz b o 0 Εκτίμηση της βύθισης στη βάση i b i b 41

58 ΒΗΜΑ 5 ΝΑΙ i b i1 b i1 b ΟΧΙ Αν Αν i b i b τότε i 1 b i 1 b τότε 0.5 i i1 i1 i1 2 b b b b 10 i1 b 0.5 i i1 i1 i1 2 b b b b 10 i1 b ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΟ ΒΗΜΑ 4 STOP ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 42

59 3.4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ - ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ Η επιρροή του μήκους του πασσάλου και η τιμή του δείκτη ανομοιογένειας α στην στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου παρουσιάζονται σε πίνακες και διαγράμματα παρακάτω. Στα Σχ. 3.4 έως 3.6 παρουσιάζεται η στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου, το ποσοστό της δύναμης που μεταφέρεται στη βάση και η μετακίνηση της βάσης συναρτήσει του μήκους του πασσάλου για διάφορες τιμές της στιφρότητας του ελατηρίου στη βάση του. Η προτεινόμενη λύση συγκρίνεται με την ακριβή λύση του Mylonakis (1995) (Εξ. 2.18). 1,0 0,9 Κανονικοποιημένη στιφρότητα πασσάλου, K/E p A p λ 0,8 0,7 0,6 0,5 Ω=0.1 Ω=0.2 Ω=0.05 Mylonakis (1995) Προτεινόμενη λύση 0,4 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 Κανονικοποιημένο μήκος πασσάλου, λl Σχήμα 3.4 Κανονικοποιημένη δυσκαμψία πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές της στιφρότητας του ελατηρίου στη βάση του. 43

60 0,30 Κανονικοποιημένη δύναμη στη βάση του πασσάλου, P b /P 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 Ω=0.1 Ω=0.05 Ω=0.2 Mylonakis (1995) Προτεινόμενη λύση 0,00 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 Κανονικοποιημένο μήκος πασσάλου, λl Σχήμα 3.5 Κανονικοποιημένη δύναμη στη βάση του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές της στιφρότητας του ελατηρίου στη βάση του. 0,9 0,8 0,7 Ω=0.05 Mylonakis (1995) Προτεινόμενη λύση ψ b =w b /w o 0,6 0,5 0,4 Ω=0.2 0,3 0,2 Ω=0.1 0,1 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 Κανονικοποιημένο μήκος πασσάλου, λl Σχήμα 3.6 Ανηγμένη βύθιση στη βάση του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές της στιφρότητας του ελατηρίου στη βάση του. 44

61 Παρατηρούμε από τα σχήματα ότι τα αποτελέσματα του κώδικα είναι ακριβή (καθώς επιλέχτηκε από το πρώτο κιόλας βήμα η ακριβής τιμή του ψ b ). Αναφορικά με την συμπεριφορά του πασσάλου, παρατηρούμε από το Σχ. 3.4 ότι καθώς αυξάνεται το μήκος του αυξάνεται και η στιφρότητά του. Για μεγάλα μήκη πασσάλου (λl>2) η αύξηση του μήκους του πασσάλου και η τιμή της στιφρότητας του ελατηρίου της βάσης συμβάλλουν ελάχιστα στην στιφρότητα στην κεφαλή του. Από το Σχ. 3.5 παρατηρούμε ότι καθώς αυξάνεται το μήκος του πασσάλου, το ποσοστό δύναμης που μεταφέρεται στη βάση μειώνεται. Ενώ η αύξηση της στιφρότητας του ελατηρίου της βάσης του πασσάλου έχει σαν αποτέλεσμα την αύξηση του ποσοστού της δύναμης που μεταφέρεται σ' αυτήν. Από το Σχ. 3.6 παρατηρούμε ότι καθώς αυξάνεται το μήκος του πασσάλου αλλά και η στιφρότητα του ελατηρίου της βάσης, η μετακίνηση στη βάση του πασσάλου μειώνεται. Αναφορικά με ανομοιογενή εδάφη της μορφής της Εξ. 3.6, η επιρροή του δείκτη ανομοιογένειας στη στιφρότητα του πασσάλου παρουσιάζεται στα Σχ. 3.7 και3.8 για λόγο L/r = 20 και L/r = 40. Κανονικοποιημένη στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου, Κ/G sl r 50 L/r=20 α = Κανονικοποιημένο μέτρο ελαστικότητας πασσάλου, Ε p /G sl Σχήμα 3.7 Κανονικοποιημένη στιφρότητα πασσάλου σαν συνάρτηση του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, L/r=20 45

62 Κανονικοποιημένη στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου, Κ/G sl r L/r=40 80 α = Κανονικοποιημένο μέτρο ελαστικότητας πασσάλου, Ε p /G sl Σχήμα 3.8 Κανονικοποιημένη στιφρότητα πασσάλου σαν συνάρτηση του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, L/r=40. Από τα Σχ. 3.7 και 3.8 παρατηρούμε ότι: 1. Ο βαθμός ανομοιoγένειας έχει σημαντική επιρροή στη στριφρότητα του πασσάλου. 2. Ανεξάρτητα από το μήκος του πασσάλου, ο δείκτης ανομοιoγένειας επηρεάζει με τον ίδιο τρόπο τη στιφρότητα του. 3. Μετά από κάποια τιμή Ε p /G sl, ο πάσσαλος συμπεριφέρεται ως απόλυτα άκαμπτος. Η τιμή αυτή εξαρτάται από το βαθμό ανομοιoγένειας αλλά και από το μήκος του πασσάλου. Καθώς αυξάνεται το μήκος L του πασσάλου αλλά και ο δείκτης ανομοιoγένειας αυξάνεται και η τιμή Ε p /G sl. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η επιρροή του λόγου της δύναμης στη βάση προς τη δύναμη στην κεφαλή για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας σε σχέση με το μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου αλλά και με την αύξηση του μήκους του. 46

63 Πίνακας 3.1 Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α. E p /G sl P b /P o α=0.2 α=0.4 α=0.6 α= Πίνακας 3.2 Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, G b /G sl =1 G b /G sl =1 P b /P o L/r α=0.2 α=0.4 α=0.6 α= Πίνακας 3.3 Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, G b /G sl =10 G b /G sl =10 P b /P o L/r α=0.2 α=0.4 α=0.6 α= Πίνακας 3.4 Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, G b /G sl =0.1 G b /G sl =0.1 P b /P o L/r α=0.2 α=0.4 α=0.6 α=

64 0,18 0,16 α = 0.2 0, P b /P o 0,12 0, ,08 0,06 0, E p /G sl Σχήμα 3.9 Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α. 0,30 G b /G sl =1 0,25 P b /P o 0,20 0,15 α= ,10 0, L/r Σχήμα 3.10 Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, G b /G sl =1 48

65 0,9 G b /G sl =10 0,8 0,7 α= P b /P o 0,6 0,5 0,4 Σχήμα , L/r Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, G b /G sl =10 0,040 0,035 G b /G sl =0.1 0,030 P b /P o 0,025 0,020 α= ,015 0,010 0, L/r Σχήμα 3.12 Λόγος δύναμης στη βάση προς δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α, G b /G sl =0.1 49

66 Από τον Πίν. 3.1 και το Σχ. 3.9 παρατηρούμε ότι το ποσοστό της δύναμης που μεταφέρεται στη βάση αυξάνεται καθώς αυξάνεται το μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου. Επίσης παρατηρούμε ότι καθώς αυξάνεται ο δείκτης ανομοιογένειας, η δύναμη που μεταφέρεται στη βάση μειώνεται. Από τους Πίν. 3.2, 3.3, 3.4 και τα Σχ. 3.10, 3.11, 3.12 παρατηρούμε ότι καθώς αυξάνεται το μήκος του πασσάλου και η τιμή του δείκτη ανομοιογένειας, το ποσοστό της δύναμης που μεταφέρεται στη βάση μειώνεται. Ακόμα παρατηρείται ότι όσο αυξάνεται το μέτρο διάτμησης της βάσης αυξάνεται και το ποσοστό της δύναμης που μεταφέρεται σ αυτήν. Στη συνέχεια στους Πιν.3.5, 3.6, 3.7 και στα Σχ.13, 14, 15 παρουσιάζεται η στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α και συγκρίνεται με ακριβέστερες λύσεις της βιβλιογραφίας. Στους Πίν.3.8, 3.9, 3.10 και στα Σχ. 16, 17, 18 παρουσιάζεται η στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου για διάφορες τιμές του δείκτη ανομοιογένειας α και συγκρίνεται με ακριβέστερες λύσεις της βιβλιογραφίας. Η στιφρότητα του πασσάλου είναι κανονικοποιημένη ως προς το μέτρο διάτμησης σε βάθος L επί την ακτίνα του πασσάλου r, το μήκος του πασσάλου είναι κανονικοποιημένο ως προς την ακτίνα του πασσάλου και το μέτρο ελαστικότητας ως προς το μέτρο διάτμησης σε βάθος L. Πίνακας 3.5 Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του, δείκτης ανομοιογένειας α=0.2. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978). L/r Προτεινόμενη λύση K/G sl r α=0.2 Rajapakse (1990) Radolph & Wroth (1978)

67 Πίνακας 3.6 Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του, δείκτης ανομοιογένειας α=0.4. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978). L/r Προτεινόμενη λύση K/G sl r α=0.4 Rajapakse (1990) Radolph & Wroth (1978) Πίνακας 3.7 Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του, δείκτης ανομοιογένειας α=0.6. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978). L/r Προτεινόμενη λύση K/G sl r α=0.6 Rajapakse (1990) Radolph & Wroth (1978)

68 70 Κανονικοποιημένη στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου, Κ/G sl r α=0.2 Προτεινόμενη λύση Rajapakse (1990) Randolph & Wroth (1978) Κανονικοποιημένο μήκος πασσάλου, L/r Σχήμα 3.13 Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του, δείκτης ανομοιογένειας α=0.2. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978). 70 Κανονικοποιημένη στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου, Κ/G sl r α=0.4 Προτεινόμενη λύση Rajapakse (1990) Randolph & Wroth (1978) Κανονικοποιημένο μήκος πασσάλου, L/r Σχήμα 3.14 Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του, δείκτης ανομοιογένειας α=0.4. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978). 52

69 80 Κανονικοποιημένη στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου, Κ/G sl r α=0.6 Προτεινόμενη λύση Rajapakse (1990) Randolph & Wroth (1978) Κανονικοποιημένο μήκος πασσάλου, L/r Σχήμα 3.15 Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μήκους του, δείκτης ανομοιογένειας α=0.6. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978). Πίνακας 3.8 Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου, δείκτης ανομοιογένειας α=0.2. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978). E p /G sl Προτεινόμενη Λύση K/G sl r α=0.2 Rajapakse (1990) Randolph & Wroth (1978)

70 Πίνακας 3.9 Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου, δείκτης ανομοιογένειας α=0.4. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978). E p /G sl Προτεινόμενη Λύση K/G sl r α=0.4 Rajapakse (1990) Randolph & Wroth (1978) , , , , , Πίνακας 3.10 Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου, δείκτης ανομοιογένειας α=0.6. Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978). E p /G sl Προτεινόμενη Λύση K/G sl r α=0.6 Rajapakse (1990) Randolph & Wroth (1978) , , , , ,

71 55 Κανονικοποιημένη στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου, K/G sl r α= 0.2 Προτεινόμενη λύση Rajapakse (1990) Randolph & Wroth (1978) Κανονικοποιημένο μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου, E p /G sl Σχήμα 3.16 Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου, δείκτης ανομοιογένειας α=0.2 Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978). 60 Κανονικοποιημένη στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου, K/G sl r α= 0.4 Προτεινόμενη λύση Rajapakse (1990) Randolph & Wroth (1978) Κανονικοποιημένο μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου, E p /G sl Σχήμα 3.17 Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου, δείκτης ανομοιογένειας α=0.4 Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978). 55

72 Κανονικοποιημένη στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου, K/G sl r α= 0.6 Προτεινόμενη λύση Rajapakse (1990) Randolph & Wroth (1978) Κανονικοποιημένο μέτρο ελαστικότητας του πασσάλου, E p /G sl Σχήμα 3.18 Στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας του πασσάλου, δείκτης ανομοιογένειας α=0.6 Σύγκριση προτεινόμενης λύσης με Rajapakse(1990) και Randolph & Wroth (1978). Από τους Πιν. 3.5, 3.6, 3.7 και τα αντίστοιχα Σχ. 3.13, 3.14, 3.15 παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται το μήκος του πασσάλου αλλά και ο δείκτης ανομοιογένειας η απόκλιση μεταξύ των λύσεων μειώνεται. Από τους Πιν. 3.8, 3.9, 3.10 και τα αντίστοιχα Σχ. 3.16, 3.17, 3.18 παρατηρούμε ότι οι λύσεις βρίσκονται σε καλή συμφωνία μεταξύ τους. Όσο αυξάνει η τιμή του δείκτη ανομοιογένειας αυξάνεται και η απόκλιση μεταξύ των λύσεων η οποία κυμαίνεται γύρω στο 5% (σχετικά μικρή). 56

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ «τ-w» ΚΑΙ «P b -w b» 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η επιστημονική πρόοδος και η συσσωρευμένη εμπειρία οδήγησαν στη βελτίωση των μεθόδων προσέγγισης του προβλήματος με τη διατύπωση, κατά το τέλος της δεκαετίας του 1960 και τις αρχές της επόμενης δεκαετίας, μεθοδολογιών ικανών να προβλέψουν την κινηματική και εντατική κατάσταση πασσάλων υπό κατακόρυφη φόρτιση. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αριθμητικής προσέγγισης αποτελεί η μεθοδολογία «τ-w». Η μέθοδος πρωτοεμφανίστηκε κατά τις αρχές της δεκαετίας του Αποτελεί απλουστευμένη προσέγγιση κατά την οποία ο πάσσαλος προσομοιώνεται ως μονοαξονικό στοιχείο με ένα και μόνο βαθμό ελευθερίας, την αξονική μετακίνηση στην κεφαλή του και το αντίστοιχο εντατικό μέγεθος, την αξονική δύναμη. Ο πάσσαλος υποδιαιρείται σε επιμέρους τμήματα, στα όρια των οποίων ορίζονται οι κόμβοι, όπου εφαρμόζονται δυνάμεις και υπολογίζονται μετακινήσεις. Το έδαφος προσομοιώνεται με ελατηριακές σταθερές γραμμικής και μη-γραμμικής μορφής και ανάλογα με την τιμή των μετακινήσεων προσδιορίζονται και οι αντίστοιχες αντιστάσεις σε κάθε σημείο (Σχ. 4.1). 57

74 Σχήμα 4.1 Προσομοίωση πασσάλου υπό αξονική φόρτιση στην κεφαλή. Τα κατακόρυφα μη-γραμμικά ελατήρια στη διεπιφάνεια πασσάλου - εδάφους αντικαθιστούν την εδαφική αντίσταση στην παρειά του πασσάλου (ελατήρια τ-w) και το ελατήριο στη βάση του πασσάλου την αντίσταση αιχμής (P b -w b ). Ο λόγος της διατμητικής τάσης στην παρειά του πασσάλου «τ» προς την αντίστοιχη καθίζηση "w", σε συγκεκριμένο βάθος z, δίνει τον συντελεστή του ελατηρίου Winkler k(z)=τ/w (σε μονάδες F/L 3 ), ο οποίος καθορίζει την απόκριση του πασσάλου. Η σχέση της πλευρικής τάσης τ με τη μετακίνηση w, είναι μη-γραμμική και παρουσιάζεται στην καμπύλη «τ-w» του παρακάτω σχήματος : 58

75 Σχήμα 4.2 Καμπύλη απόκρισης και τέμνων μέτρο αντίδρασης πασσάλου σε κατακόρυφη φόρτιση. Ομοίως από τις καμπύλες «P b -w b», η δύναμη P b προς την καθίζηση w b στη βάση του πασσάλου ισούται με τη στιφρότητα του ελατηρίου K bο =P b /w b (σε μονάδες F/L 2 ) στη βάση του. Οι καμπύλες αλλάζουν ανάλογα με το βάθος και το είδος του εδάφους. Η δυσκολία εφαρμογής της μεθοδολογίας έγκειται στον προσδιορισμό των καμπυλών προσομοίωσης του εδάφους για τον οποίο μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι προτάσεις διαφόρων ερευνητών, οι οποίες παρουσιάζονται παρακάτω. 4.2 ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Η επιτυχία για την ανάπτυξη ρεαλιστικών «τ-w» και «P b -w b» καμπυλών για έναν πάσσαλο, εξαρτάται από την ακρίβεια του υπολογισμού της φέρουσας ικανότητας του εδάφους, των χαρακτηριστικών του, της κατανομής αυτών κατά μήκος του πασσάλου και της μετακίνησης του κατά τη φόρτιση. Οι πιο διαδεδομένες διαδικασίες για τον προσδιορισμό της σχέσης ανάμεσα στη διατμητική τάση στη διεπιφάνεια πασσάλου-εδάφους και την καθίζηση είναι συνήθως εμπειρικές και βασίζονται σε δεδομένα από δοκιμές σε κοντούς πασσάλους, συνήθως μικρότερους των 30 m. μήκους με διαμέτρους μικρότερες των 0,5 m. 59

76 Η διάμετρος του πασσάλου, η στριφρότητά του, το μήκος του και η μεταφορά των ασκούμενων δυνάμεων από το έδαφος στον πάσσαλο είναι συντελεστές που επηρεάζουν τη συμπεριφορά των καμπυλών Η. Bolton Seed και Lymon C. Reese Μία πρώτη προσέγγιση του προβλήματος έγινε από τους H. Bolton Seed και Lymon C. Reese το Στην εργασία τους παρουσιάζεται η διαδικασία κατά την οποία τα αποτελέσματα από δοκιμές πτερυγίου (F.V.T), καθορίζουν τη σχέση ανάμεσα στη φόρτιση και την καθίζηση του πασσάλου, κατά τη θεμελίωσή του σε συνεκτικά εδάφη. Οι δοκιμές έγιναν σε πασσάλους τριβής μικρού μεγέθους (διαμέτρου περίπου 0.15 μ. και μήκους 6 μ) εμπεδωμένους σε σκληρή άργιλο. Από τα πειραματικά δεδομένα αποδείχτηκε ότι οι περισσότερες καμπύλες «τ-w» παρουσιάζουν την παρακάτω μη-γραμμική μορφή (Σχ. 4.3). Σχήμα 4.3 Γενική μορφή καμπύλης απόκρισης πασσάλου σε κατακόρυφη φόρτιση κατά τους Seed & Reese (1957). Επιπροσθέτως κατέληξαν στα εξής παρακάτω συμπεράσματα: 1. Η φέρουσα ικανότητα των πασσάλων σε αργιλικά εδάφη αυξάνεται με το χρόνο καθώς η άργιλος στερεοποιείται. Η τελική φέρουσα ικανότητα του πασσάλου μπορεί να είναι και πέντε φορές μεγαλύτερη της αρχικής μετρούμενης τιμής. 60

77 2. Κατά την πασσάλωση, το έδαφος γύρω από το πάσσαλο διαταράσσεται με αποτέλεσμα να μειωθεί η αντοχή του. Η μείωση που παρατηρήθηκε είναι περίπου 70% της συνολικής αντοχής που θα έχανε από την πλήρη αναζύμωση της αργίλου. Η διατμητική δύναμη του επαναστερεοποιημένου εδάφους μετρήθηκε 60% υψηλότερη από τη διατμητική δύναμη στο αδιατάρακτο έδαφος. 3. Σε όλες τις δοκιμές, η αστοχία επήλθε στη διεπιφάνεια πασσάλου-εδάφους και όχι στο έδαφος όπως θεωρήθηκε αρχικά. 4. Η τιμή της φέρουσας ικανότητα του πασσάλου τριβής υπολογιζόμενη πολλαπλασιάζοντας τη βυθισμένη επιφάνεια με την αστράγγιστη διατμητική αντοχή του εδάφους ( την οποία προσδιορίζουμε από δοκιμές θλιπτικής αντοχής), πρέπει να θεωρείται προσεγγιστική παρ όλο που είναι πολύ κοντά στην πραγματική τιμή σε ορισμένες περιπτώσεις. 5. Οι καμπύλες φορτίου - καθίζησης μπορούν να προσδιοριστούν μέσω απλών αριθμητικών λύσεων, έχοντας προσεγγίσει τη σχέση ανάμεσα στη διατμητική τάση του εδάφους στη διεπιφάνεια πασσάλου - εδάφους και στην παραμόρφωση του εδάφους Υπερβολικό προσομοίωμα, Kraft et al (1981) Οι Kraft et al (1981) για τη δημιουργία ρεαλιστικών καμπυλών προσέγγισαν το πρόβλημα χωρίζοντάς το σε δύο στάδια, τις συνθήκες πριν και μετά την αστοχία. Οι καμπύλες πριν την αστοχία περιγράφονται από θεωρητικά μοντέλα βασιζόμενα στη θεωρία της ελαστικότητας, ενώ οι καμπύλες μετά την αστοχία βασίζονται στην παραμένουσα συμπεριφορά τάσης - παραμόρφωσης στη διεπιφάνεια πασσάλου - εδάφους. Πριν την αστοχία η θεωρητική προσέγγιση βασίζεται στις παραδοχές και τα συμπεράσματα όπως περιγράφηκαν από τους Randolph και Wroth (1978): 1. Η παραμόρφωση του εδάφους γύρω από τον πάσσαλο μπορεί να εξιδανικευτεί με ομόκεντρους κύκλους σε απλή διάτμηση όπως φαίνεται στο Σχ Η οριζόντια παραμόρφωση του εδάφους, ως αποτέλεσμα της φόρτισης, θεωρείται αμελητέα, συγκρινόμενη με τις κατακόρυφες παραμορφώσεις του εδάφους. 61

78 3. Οι διατμητικές τάσεις μειώνονται με την απόσταση από το κέντρο του πασσάλου με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει r r o, όπου τ η διατμητική τάση σε ακτίνα r, τ ο η διατμητική τάση στη διεπιφάνεια πασσάλου - εδάφους και r o η ακτίνα του πασσάλου. 4. Οι διατμητικές τάσεις θεωρούνται αμελητέες σε απόσταση r m από το κέντρο του πασσάλου. Το έδαφος δεν παραμορφώνεται πέρα από αυτό το σημείο. όπου: L, το μήκος του πασσάλου ν s, ο λόγος Poisson του εδάφους r 2.5 L(1 ) (4.1) m ρ, ο λόγος του μέτρου διάτμησης σε βάθος L/2 προς το μέτρο διάτμησης σε βάθος L s Φορτίο Καθίζηση λόγω φόρτισης Τμήμα πασσάλου Σχήμα 4.4 Καθίζηση του πασσάλου προσομοιώνοντας το περιβάλλον έδαφος με ομόκεντρους κύκλους σε διάτμηση. Οι παραπάνω παραδοχές οδηγούν στην εξίσωση: 62

79 w s ro r m dr G (4.2) r r o η οποία είναι η προτεινόμενη καμπύλη «τ-w» από τους Randolph & Wroth για γραμμικώς ελαστικό μέσο. Η υπερβολική μορφή της σχέσης διατμητικής τάσης - παραμόρφωσης δίνεται από την εξίσωση: 1 G o ult (4.3) όπου: γ: διατμητική παραμόρφωση G o : το αρχικό μέτρο διάτμησης του εδάφους( για παραμορφώσεις κάτω από 10-5 μ.) τ ult : η διατμητική τάση στην οποία η υπερβολική συνάρτηση τείνει ασυμπτωτικά τ : η διατμητική τάση που αντιστοιχεί στη διατμητική παραμόρφωση Οι Ducan και Chang (1970) κατέληξαν στην παρακάτω σχέση, η οποία συνδέει την ασυμπτωτική τιμή τ ult με τη μέγιστη διατμητική τάση τ max όπου: R (4.4) max f ult R f : εμπειρική παράμετρος του προτεινόμενου υπερβολικού μοντέλου που ονομάζεται λόγος αστοχίας. Αντικαθιστώντας την Εξ.(4.4) στην Εξ. (4.3) και γνωρίζοντας ότι τ=gγ προκύπτει: 63

80 R G Go 1 max f (4.5) όπου: G: μέτρο διάτμησης για την εφαρμοζόμενη διατμητική τάση G o : αρχικό μέτρο διάτμησης του εδάφους( για παραμορφώσεις κάτω από 10-5 μ.) τ: διατμητική τάση στην παρειά του πασσάλου τ max : μέγιστη διατμητική τάση στην παρειά του πασσάλου Λαμβάνοντας υπόψη την Εξ. 4.2, την Εξ. 4.5 και την κατανομή των τάσεων με την ακτινική απόσταση προτείνεται η παρακάτω καμπύλη «τ-w». r R m r r w ln G R 0 f 1 max f max (4.6) όπου w: καθίζηση τ: διατμητική τάση στην παρειά του πασσάλου r: ακτίνα του πασσάλου G 0 : αρχικό μέτρο διάτμησης του εδάφους( για παραμορφώσεις κάτω από 10-5 m.) r m : μέγιστη ακτίνα από το κέντρο του πασσάλου στην οποία οι διατμητικές τάσεις θεωρούνται αμελητέες τ max : μέγιστη διατμητική τάση στην παρειά του πασσάλου R f : εμπειρική παράμετρος του προτεινόμενου υπερβολικού μοντέλου 64

81 1,2 Κανονικοποιημένη διατμητική τάση, τ/τ max 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 Κανονικοποιημένη καθίζηση w/r Rf = Σχήμα 4.5 Καμπύλη «τ-w» κατά Kraft et al (1981) για διάφορες τιμές της παραμέτρου R f. Όταν R f = 0, η Εξ. (4.4) μετατρέπεται στην γραμμικώς ελαστική λύση κατά Randolph & Wroth (1978). Όταν R f = 0.9, έχει αποδειχθεί ότι η καμπύλη πλησιάζει περισσότερο την πραγματική συμπεριφρά του εδάφους. Η προτεινόμενη καμπύλη «P b -w b» από τους Kraft et al (1981) βασίζεται στην ελαστική λύση για κρούση (Randolph & Wroth, 1978). w b Pb (1 ) n (4.5) de s L όπου n παράμετρος η οποία ονομάζεται συντελεστής βάθους ( οι τιμές της σχολιάστηκαν στο Κεφάλιαο 2) Bustamante και Frank (1997) Οι Bustamante και Frank το 1997, αναφέρουν τους κανόνες σχεδιασμού αξονικά φορτιζόμενων μεμονομένων πασσάλων, όπως συστήνεται από τον Γαλλικό κανονισμό για θεμελιώσεις "Fascicule 62-V" (1993). Σύμφωνα με τον 65

82 κανονισμό προτείνονται οι καμπύλες «τ-w» και» «q b -w b» από τους Frank & Zhao (1982), οι οποίες παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα 4.6 Καμπύλες «τ-w» και «q b -w b κατά Bustamante & Frank (1997) Όπου: q s : πλευρική τάση στην διεπιφάνεια πασσάλου - εδάφους για το συγκεκριμένο βάθος q b : τάση στη βάση του πασσάλου. E Για αμμώδη εδάφη: k E 0.8 M M και kq 4.8 (4.6) b d d E Για συνεκτικά εδάφη: k E 2.0 M M και kq 11.0 (4.7) b d d με d τη διάμετρο του πασσάλου και Ε Μ το μέτρο παραμόρφωσης του εδάφους όπως δίνεται από τη δοκιμή πρεσσιομέτρου (PMT) Προσαρμοσμένο υπερβολικό προσομοίωμα Martin Fahey και John Carter, 1993 Η συμπεριφορά τάσης - παραμόρφωσης των άμμων είναι έντονα μη γραμμική ακόμα και για τάσεις πολύ μικρότερες από την αντοχή της. Οι Martin Fahey & John Carter, το 1993, εφάρμοσαν το υπερβολικό μοντέλο για την προσομοίωση της συμπεριφοράς της άμμου χρησιμοποιώντας συντελεστές 66

83 για την πιο ρεαλιστική μορφή της καμπύλης. Οι συντελεστές προσδιορίστηκαν από εργαστηριακές δοκιμές και δοκιμές πεδίου. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η συμπεριφορά τάσης - παραμόρφωσης της άμμου είναι έντονα μη γραμμική. Μόνο σε πολύ μικρές παραμορφώσεις έχουμε ελαστική συμπεριφορά η οποία παρουσιάζεται με το αρχικό μέτρο διάτμησης G o. Πέρα από την ελαστική περιοχή, η διατμητική τάση αυξάνεται μέχρι την αστοχία και η στριφρότητα εξαρτάται από την τιμή της διατμητικής τάσης. Για μεγαλύτερες παραμορφώσεις, οι ερευνητές πρότειναν την παρακάτω σχέση ανάμεσα στο αρχικό μέτρο διάτμησης και στο διατέμνον μέτρο διάτμησης: G G 1q 0 max g (4.8) Οι παράμετροι q και g είναι αυτοί που δίνουν την ευελιξία αλλαγής του σχήματος της καμπύλης. Η καμπύλη «τ-w» που προτείνεται είναι: r w ln Gg 0 1 q g rm q r max g max g (4.9) η οποία παρουσιάζεται γραφικά στο Σχ για διάφορες τιμές της παραμέτρου g. 67

84 Κανονικοποιημένη διατμητική τάση, τ/τ max 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 q=0.98 g= q=0.98 Κανονικοποιημένη βύθιση, w/r Σχήμα 4.7 Καμπύλη «τ-w» κατά Fahey & Carter (1993) για διάφορες τιμές της παραμέτρου g. 1,0 0,8 (0.8,1) (0.8,3) (0.8,0.5) (0.98,0.25) (1,1) NC Sand 0,6 G/G o 0,0 0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,4 0,2 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Σχήμα 4.8 τ/τ max Μεταβολή του μέτρου διάτμησης συναρτήσει της διατμητικής τάσης για διάφορες τιμές των παραμέτρων q και g. Σύγκριση με πραγματικές τιμές από δοκιμές σε κανονικά στερεοποιημένη άμμο από την περιοχή της πόλης Toyoura στην Ιαπωνία. 68

85 Η παράμετρος g επηρεάζει την καμπυλότητα του σχήματος, ενώ η παράμετρος q την κλίση της. Η τιμή g=0 αντιστοιχεί σε γραμμική ελαστική συμπεριφορά με G σταθερό. Για τιμή g=1, η καμπύλη ταυτίζεται με το απλό προτεινόμενο υπερβολικό μοντέλο από τους Kraft et al το 1981 (Εξ.(4.6)) και τότε q=r f. Στο Σχ. 4.8 παρουσιάζονται οι καμπύλες «τ-w» βάσει της Εξ. (4.8) για διάφορες τιμές των παραμέτρων q και g. Η διατμητική τάση είναι κανονικοποιημένη ως προς τη μέγιστη διατμητική τάση του εδάφους ενώ το μέτρο διάτμησης ως προς το αρχικό μέτρο διάτμησης. Στο Σχ. 4.8 παρουσιάζονται επίσης οι μετρήσεις από δοκιμή απλής διάτμησης σε κυλινδρικά δοκίμια κανονικά στερεοποιημένης άμμου από την περιοχή της Toyoura, όπως αναφέρονται στη δημοσίευση των Fahey και Carter το Όπως φαίνεται στο σχήμα, η μετρηθείσα καμπύλη ταιριάζει ικανοποιητικά με την καμπύλη για τιμές των παραμέτρων q= 0.98 και g = Από εργαστηριακές δοκιμές, οι Fahey και Carter (1993) παρατήρησαν ότι το μέτρο διάτμησης μειώνεται με πιο γρήγορο ρυθμό από το προτεινόμενο υπερβολικό μοντέλο των Kraft et al (1981). Η ίδια παρατήρηση είχε γίνει και από τον Randolph (1994), ο οποίος απέδειξε ότι τα πραγματικά εδάφη συχνά έχουν έναν πιο απότομο ρυθμό μείωσης του μέτρου διάτμησης με την αύξηση της διατμητικής τάσης. Η μείωση αυτή στο μέτρο διάτμησης G παρατηρείται όταν για πολύ μικρές παραμορφώσεις το αρχικό μέτρο διάτμησης δίνεται από δυναμικές δοκιμές (Randoplh 1994, Atkinson 2000). Το αρχικό μέτρο διάτμησης G ο, το οποίο προσδιορίζεται από τις συμβατικές δοκιμές εργαστηρίου, είναι μικρότερο από το υπολογιζόμενο με δυναμικές δοκιμές για πολύ μικρές παραμορφώσεις (Atkinson 2000). Η αιτία πιθανότατα βασίζεται στην ποιότητα του εδαφικού δείγματος λόγω διαταράξεων κατά την δειγματοληψία. Για το λόγο αυτό, όταν το αρχικό μέτρο διάτμησης που θα χρησιμοποιηθεί προκύπτει από εργαστηριακές δοκιμές, ίσως είναι κατάλληλο να εφαρμοστεί.το συμβατικό υπερβολικό μοντέλο κατά Kraft et al (1981). Όταν το αρχικό μέτρο διάτμησης που θα χρησιμοποιηθεί προσδιορίζεται από δυναμικές δοκιμές ενδείκνυται το υπερβολικό μοντέλο κατά Fahey και Carter (1993), (Randolph 1994). 69

86 4.2.5 Chow Yean Khow (1986) Η δημιουργία ενός μη-γραμμικού μοντέλου για την προσομοίωση της συμπεριφοράς του εδάφους στη βάση του πασσάλου, είναι αρκετά περίπλοκη σε σχέση με την προσομοίωση της μη-γραμμικής συμπεριφοράς του πασσάλου στην παράπλευρη επιφάνεια πασσάλου-εδάφους. Μία πρώτη προσέγγιση έγινε από τον Chow το Η προτεινόμενη καμπύλη είναι: w b K bo Pb g P b 1 q P b max (4.10) όπου Κ bo η στριφρότητα του ελατηρίου στη βάση του πασσάλου για γραμμικώς ελαστικό έδαφος, όπως αναφέρεται από τους Poulos και Davis (1990) βασιζόμενοι στη λύση του Boussinesq για άκαμπτο πέδιλο σε ελαστικό ημιχώρο. K bo Ed b (4.11) 1 2 s όπου: P b : η δύναμη στη βάση του πασσάλου P bmax : η μέγιστη δύναμη στη βάση του πασσάλου q και g: παράμετροι σχήματος 70

87 1,2 Κανονικοποιημένη δύναμη στηβάση του πασσάλου, P b /P bmax 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 q=0.98 g= ,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 Κανονικοποιημένη βύθιση στη βάση του πασσάλου, w b /r Σχήμα 4.9 Καμπύλες «P b - w b» κατά Chow (1986) για διάφορες τιμές της παραμέτρου g. Κανονικοποιημένη δύναμη στην βάση του πασσάλου, P b /P bmax 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 Kb Προσαρμοσμένο υπερβολικό μοντέλο q = 0.98, g =0.25 Υπερβολικό μοντέλο q= 0.95, g = 1 Γραμμικώς ελαστική λύση (Randolph & Wroth,1978 G o =300 MPa Eb d r o = v=0.3 P bmax =700 KN 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 Κανονικοποιημένη βύθιση στην βάση του πασσάλου, w b /d Σχήμα 4.10 Θεωρητικές καμπύλες «P b - w b» εφαρμόζοντας τη θεωρία του Boussinesq's και το προσαρμοσμένο υπερβολικό μοντέλο των Fahey & Carter (1993). 71

88 Παρατηρούμε από το Σχ ότι η μέγιστη αντίσταση αιχμής αναπτύσσεται στην περίπτωση του γραμμικού ελαστικού μοντέλου σε βύθιση στη βάση 0.13%d, στην περίπτωση του υπερβολικού μοντέλου σε βύθιση 4.4% d και στην περίπτωση του προτεινόμενου υπερβολικού μοντέλου κατά Chow (1986) σε βύθιση 10% d. Η μικρή τιμή της βύθισης για την ενεργοποίηση της αντίσταση αιχμής στο γραμμικό ελαστικό μοντέλο οφείλεται στην υψηλή τιμή του αρχικού μέτρου διάτμησης. Συντελεστής ελατηρίου Winkler στην παρειά του πασσάλου, k sl (KN/m 3 ) G o =50000 KPa τ max = 51.3 KN ν = 0.3 r m =29.75 m f = 0.98 g= Fahey & Carter (1993) Kraft et al (1981) 0 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 Ακτίνα πασσάλου, r (m) Σχήμα 4.11 Συντελεστής ελατηρίου Winkler στην παρειά του πασσάλου συναρτήσει της ακτίνας του πασσάλου. Από το Σχ παρατηρούμε ότι καθώς αυξάνεται η ακτίνα του πασσάλου, η στιφρότητα του ελατηρίου στην παρειά του πασσάλου μειώνεται. Λόγω της μεγαλύτερης ακτίνας, το έδαφος κατά την τοποθέτηση του πασσάλου υφίσταται μεγαλύτερη διατάραξη, που συνεπάγεται και μεγαλύτερη μείωση της αντοχής του. 72

89 4.3 ΕΜΠΕΙΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Προτεινόμενες «τ-w» και «P b -w b» καμπύλες από το API (American Petroleum Institute) 1993 Οι προτεινόμενες καμπύλες από το ΑPI (American Petroleum Institute,1993) βασίζονται σε μεγάλο όγκο πειραματικών δεδομένων από πασσάλους με κανονικές διαστάσεις σε μεγάλα τεχνικά έργα. Έχουν ευρεία εφαρμογή και χρησιμοποιούνται από διάφορα προγράμματα, όπως το Α-PILE (ENSOFT 1998). Στο Σχ παρουσιάζονται οι καμπύλες «τ-w» για συνεκτικά και μη συνεκτικά εδάφη. Η διατμητική τάση τ στην παρειά του πασσάλου είναι κανονικοποιημένη προς τη μέγιστη διατμητική τάση τ max στο συγκεκριμένο βάθος. Για τη χρήση της σωστής καμπύλης απαιτείται ο υπολογισμός της μέγιστης διατμητικής τάσης όπως προτείνεται από το ΑPI (1993). Συνεκτικά εδάφη Η πλευρική τάση υπολογίζεται από την εξίσωση όπου: s u : αστράγγιστη διατμητική αντοχή α ο : αδιάστατη παράμετρος 0.5 a o 0.5 για a o 0.5 για 1.0 a s (4.12) max o u (4.13) (4.14) su, ' vo (4.15) όπου σ' vo η κατακόρυφη ενεργός τάση στο συγκεκριμένο βάθος Μη συνεκτικά εδάφη Η πλευρική τάση υπολογίζεται από την εξίσωση max K a ' vo tan( ) (4.16) 73

90 όπου: K α : συντελεστής πλευρικής τάσης( σύμφωνα με το ΑPI(1993) K α =1 για κλειστό πυθμένα πασσάλου,κ α =0.8 για ανοικτό πυθμένα) σ' vo : κατακόρυφη ενεργός τάση στο συγκεκριμένο βάθος δ : τραχύτητα διεπιφάνειας πασσάλου - εδάφους, 5 φ: εσωτερική γωνία τριβής του εδάφους Στον Πιν. 4.1 προτείνονται από το API (1993), οριακές τιμές για την διατμητική τάση στη διεπιφάνεια πασσάλου - εδάφους σε μη συνεκτικά εδάφη. Στην περίπτωση όπου η τιμή της τραχύτητας στη διεπιφάνεια πασσάλουεδάφους δεν μπορεί να προσδιοριστεί μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι τιμές του Πιν

91 Κανονικοποιημένη τάση στην παρειά του πασσάλου, τ/τ max 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0, Βύθιση w, mm API (1993) Μη συνεκτικά εδάφη w,mm τ/τmax Κανονικοποιημένη τάση στην παρειά του πασσάλου, τ/τ max 1,2 1,0 0,8 0,6 Συνεκτικά εδάφη w/d τ/τmax , , to ,0 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 Κανονικοποιημένη βύθιση, w/d API(1993) Σχήμα 4.12 Καμπύλες «τ-w» κατά ΑPI (American Petroleum Institute) για μη συνεκτικά και συνεκτικά εδάφη. 75

92 Πίνακας 4.1 Παράμετροι σχεδιασμού σε μη συνεκτικά εδάφη, ΑPI (1993). Πυκνότητα Πολύ Χαλαρη Χαλαρή Μέτρια Χαλαρή Μέτρια Πυκνή Μέτρια Πυκνή Πυκνή Πολύ Πυκνή Πυκνή Πολύ Πυκνή Περιγραφή εδάφους Άμμος Ιλυώδης άμμος Ίλυς Άμμος Ιλυώδης άμμος Ίλυς Άμμος Ιλυώδης άμμος Άμμος Ιλυώδης άμμος Χαλίκι Άμμος Γωνία τραχύτητας πασσάλου εδάφους δ (ακτίνια) Οριακή διατμητική τάση Κpa Ν q Οριακή τιμή τάσης στην βάση ( Μpa) Στον Πιν. 4.2, ο οποίος παρέχεται για καθοδήγηση,. παρουσιάζεται η κατάταξη των εδαφών με βάση τη φαινόμενη πυκνότητά τους από τους Bentley & Carter (1991) Πίνακας 4.2 Κατάταξη εδαφών με βάση τη φαινόμενη πυκνότητα (Bentley & Carter,1991) ΑΜΜΟΙ & ΧΑΛΙΚΙΑ Φαινόμενη Πυκνότητα ΚΝ/m 3 Πολύ Χαλαρη Χαλαρή Μέτρια Πυκνότητας Πυκνή Πολύ πυκνή Στο Σχ παρουσιάζεται η καμπύλη «P b -w b», η οποία αντιπροσωπεύει συνεκτικά και μη συνεκτικά εδάφη. Η αντίσταση αιχμής P b στη βάση του πασσάλου είναι κανονικοποιημένη προς το οριακό φορτίο αιχμής P bmax. Για 76

93 τη χρήση της σωστής καμπύλης απαιτείται ο υπολογισμός του οριακού φορτίου αιχμής όπως προτείνεται από τo ΑPI (1993). 1,2 Κανονικοποιημένη αντίσταση αιχμής, Pb/Pbmax 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 w/d P b /P bmax ,0 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 Κανονικοποιημένη βύθιση, w/d Σχήμα 4.13 Καμπύλη «P b -w b» κατά ΑPI (American Petroleum Institute) για συνεκτικά και μη συνεκτικά εδάφη. Το οριακό φορτίο αιχμής στα συνεκτικά εδάφη δίνεται από τον τύπο P bmax 9 s (4.17) u όπου: s u : η αστράγγιστη διατμητική αντοχή Α: η διατομή της βάσης του πασσάλου Το οριακό φορτίο αιχμής στα μη συνεκτικά εδάφη υπολογίζεται από τον τύπο P ' N (4.18) bmax vo q όπου: σ' vo : η κατακόρυφη ενεργός τάση στο συγκεκριμένο βάθος Α: η διατομή της βάσης του πασσάλου. 77

94 Ν q : συντελεστής φέρουσας ικανότητας. tan 2 o Nq e tan 45 2 (4.19) όπου, φ: η εσωτερική γωνία τριβής του εδάφους στη βάση του πασσάλου. 4.4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάστηκαν θεωρητικές και εμπειρικές καμπύλες «τ-w» και «P b -w b», οι οποίες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν την συμπεριφορά του εδάφους γύρω από αξονικά φορτιζόμενο πάσσαλο. Οι θεωρητικές καμπύλες που παρουσιάστηκαν δεν περιλαμβάνουν την επίδραση της παραμένουσας τάσης. Η απουσία της δεν επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό τη φέρουσα ικανότητα του πασσάλου και θα μπορούσε να παραληφθεί. Όπως έχει αποδειχτεί από έρευνες, οι καμπύλες φορτίου-καθίζησης, οι οποίες προέκυψαν με τη χρήση των εμπειρικών και θεωρητικών καμπυλών για την προσομοίωση τους εδάφους, βρίσκονται σε καλή συμφωνία με τη μετρούμενη συμπεριφορά του πασσάλου στο πεδίο. Η μικρή απόκλιση από τις πραγματικές μετρήσεις μπορεί να οφείλεται στην επιλογή των παραμέτρων που προκύπτουν από εργαστηριακές δοκιμές, όπως π.χ. η γωνία τραχύτητας εδάφους-πασσάλου δ, στην οποία θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή. Με άλλα λόγια το πόσο καλά θα ανταποκριθεί το θεωρητικό μοντέλο με την πραγματικότητα εξαρτάται από τη σωστή επιλογή των χαρακτηριστικών του εδάφους. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη κατά το σχεδιασμό και παλαιότερες περιπτώσεις ώστε να επιβεβαιώνεται και να επεκτείνεται η μελέτη σε άλλου τύπου πασσάλους και σε διαφορετικές εδαφικές συνθήκες. 78

95 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΟΝΙΚΑ ΦΟΡΤΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΑΣΣΑΛΟΥ. 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάστηκαν καμπύλες «w» και «P b w b» για την προσομοίωση του εδάφους γύρω από τον πάσσαλο και στη βάση του αντίστοιχα. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, οι μεθοδολογίες για την εκτίμηση των καμπυλών είναι κυρίως εμπειρικές. Παρ όλα αυτά το θεωρητικό τους υπόβαθρο έχει δοθεί από τους Kraft et al Η υπερβολική μορφή των καμπυλών όπως παρουσιάστηκε από τους Seed & Reese (1957) και αργότερα από τον Kraft (1981) βρίσκεται σε καλή συμφωνία με τις πειραματικές προσεγγίσεις. Αν η καμπύλη τροποποιηθεί στην πιο εύχρηστη μορφή της ελαστικής πλήρως πλαστικής καμπύλης, όπως φαίνεται στο Σχ. 5.1, οδηγούμαστε σε λύση κλειστής μορφής για τον προσδιορισμό της βύθισης και του φορτίου στην κεφαλή του πασσάλου. Σχήμα 5.1. Ελαστική πλήρως πλαστική καμπύλη «w». Στο παρόν κεφάλαιο αναπτύσσεται αναλυτική μη-γραμμική λύση για αξονικά φορτιζόμενο πάσσαλο σε ομοιογενές έδαφος. Λαμβάνονται υπόψη οι παρακάτω βασικές παραδοχές: Πάσσαλος σταθερής διατομής. 79

96 Ελαστική συμπεριφορά υλικού του πασσάλου. Οι καμπύλες«w» και «P b w b» ακολουθούν ελαστική πλήρως πλαστική συμπεριφορά. Μέγιστη εδαφική αντίσταση σταθερή με το βάθος (υπερστερεοποιημένη άργιλος). 5.2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΥΣΗΣ Στο Σχ. 5.2 παρουσιάζεται ο πάσσαλος στον οποίο η ελαστική και η πλαστική περιοχή είναι διαχωρισμένες και L p το μήκος πλαστικοποίησης του πασσάλου. Τα ελατήρια Winkler στην παρειά του πασσάλου δίνονται από την καμπύλη «τ-w» και τα ελατήρια στη βάση του από την καμπύλη «P b -w b»,όπως εικονίζονται στο Σχ Σχήμα 5.2. Το έδαφος γύρω από τον πάσσαλο προσομοιώνεται με ελαστικές-πλήρως πλαστικές καμπύλες «w» και «P b w b». 80

97 5.2.1 Συνεκτικό εδάφος με σταθερή αστράγγιστη διατμητική αντοχή με το βάθος (S u σταθερό). Α. Ελαστική συμπεριφορά πάσσαλου Lp 0. Αρχικά, ο πάσσαλος και μέχρι τη στιγμή που αρχίζει να διαρρέει συμπεριφέρεται ελαστικά. Οπότε η στριφρότητά του δίνεται από την Εξ. (2.20), η οποία επαναλαμβάνεται εδώ: tanhl K EpAp 1tanhL (5.1) όπου : k Kbo,, k 0.5 s. E A EA P p P p Στην περίπτωση της υπερστερεοποιημένης αργίλου το μέτρο ελαστικότητας του εδάφους θεωρείται σταθερό με το βάθος. Επομένως και ο συντελεστής ελατηρίου Winkler είναι σταθερός με το βάθος. Η σχέση που συνδέει το φορτίο στην κεφαλή με τη βύθιση στην κεφαλή είναι: tanh L P E pap w 1tanh L. (5.3) Η παραπάνω σχέση ισχύει μέχρι τη στιγμή που το φορτίο στην κεφαλή θα ενεργοποιήσει τη βύθιση διαρροής της πλευράς του πασσάλλου w. Από τη μορφή της καμπύλης «w» στο Σχ. 5.2 έχουμε y w y k da S 0.5E max o u (5.4) s όπου τ max η μέγιστη διατμητική τάση στην παρειά του πασσάλου. Β. Πλαστική περιοχή 0<L p <L Από ισορροπία σ ένα στοιχειώδες τμήμα του πασσάλου σε βάθος z προκύπτει: 2 w ( z) E pap f 2 max( z) 0 z (5.5) 81

98 Σχήμα 5.3. Πλατικοποιημένο μέρος πασσάλου με μήκος L p. όπου fmax () z d max daosu Ολοκληρώνοντας δύο φορές την Εξ. (5.5) ως προς z και λύνοντας ως προς τη βύθιση προκύπτει η ομογενής λύση 2 daosu z w( z) C1z C2 (5.6) EA 2 p όπου οι σταθερές C 1 και C 2 προσδιορίζονται από τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος ως εξής: Για z 0 ισχύει: w(0) EpAp P z (5.7) P C1 (5.8) EA p p Για z Lp ισχύει: 82

99 w( L ) w (5.9) p y C 2 2 PLp daosu Lp wy (5.10) E A E A 2 p p p p Με αντικατάσταση των Εξ. (5.8) και (5.10) στην Εξ. (5.6) προκύπτει daosu 2 2 P w() z z Lp z Lp wy (5.11) 2E A E A p p p p Για z=0, η Εξ. (5.11 ) δίνει τη βύθιση του πασσάλου στην κεφαλή του: 2 PLp daosulp w wy. (5.12) E A 2E A p p p p Η αντίδραση στη βάση είναι ( z L ): p P( L ) E A p p p wl ( p) z (5.13) P( L ) P da S L (5.14) p o u p Γ.Ελαστική περιοχή Lp z L w b Σχήμα 5.4.Ελαστική περιοχή πασσάλου με μήκος L L. p 83

100 Σε βάθος μεγαλύτερο από z=l p o πάσσαλος συμπεριφέρεται ελαστικά. H στριφρότητά του δίνεται από την Εξ. (5.1) για μήκος L-L p : K tanh ( L Lp) E pap 1 tanh ( L L ) p (5.15) Οπότε η δύναμη στο πάνω τμήμα του πασσάλου ισούται με P( L ) Kw (5.16) p Με αντικατάσταση των Εξ. (5.14) και (5.15) στην Εξ. (5.16) προκύπτει: y tanh ( L Lp) P da S L E A w 1 tanh ( L L ) o u p p p y p (5.17) Λύνοντας την Εξ. (5.17) ως προς P και με αντικατάσταση στην Εξ. (5.12) προκύπτει η βύθιση στην κεφαλή του πασσάλου, η οποία είναι: 2 dasul p tanh ( L Lp) w Lp 1w 2E pap 1 tanh ( L Lp) y (5.18) και η αντίστοιχη δύναμη στην κεφαλή Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: EP Ap daosulp P wo wy (5.19) L 2 p Για πάσσαλο τριβής, 0, η βύθιση στην κεφαλή είναι: da S L w L L L w (5.20) 2 o o u p p tanh ( p) 1 2EA p p y Για πάσσαλο αιχμής,, η βύθιση στην κεφαλή είναι: da S L w L w 2 o u p 1 o p 1 y 2Ep Ap tanh ( L Lp) (5.21) Στη γενική περίπτωση, το ελατήριο της βάσης θα διαρρεύσει σε μεγαλύτερη βύθισή από αυτή των ελατηρίων που προσομοιώνουν την παραμόρφωση του εδάφους στην παρειά του πασσάλου, wyb wy. 84

101 Αυτό σημαίνει ότι όταν το μήκος πλαστικοποίησης ισούται με το μήκος του πασσάλου L p =L, θα έχει πλαστικοποιηθεί πλήρως η διεπιφάνεια πασσάλου εδάφους αλλά το ελατήριο στη βάση όχι. Η πλήρης αστοχία του συστήματος θα επέλθει όταν διαρρεύσει και το ελατήριο στη βάση. Οπότε η κλίση της καμπύλης φορτίου - καθίζησης από το σημείο της πλήρους κατάρρευσης της διεπιφάνειας φορτίου - καθίζησης και μετά θα είναι ευθεία με κλίση τη στιφρότητα του ελατηρίου στη βάση, όπου Wroth 1978), όπως φαίνεται στο Σχ K E d 2 bo b /1 ( Randolph και Όταν έχουμε πλήρη πλαστικοποίηση της διεπιφάνειας πασσάλου εδάφους, η βύθιση στην κεφαλή του πασσάλου w, δίνεται από την Εξ. (5.18) για Lp L. Οπότε προκύπτει yy 2 daosul wyy Lp 1wy 2EA (5.22) p p Το αντίστοιχο φορτίο P yy στην κεφαλή, είναι: EA P p daosul Pyy wyy wy (5.23) L 2 Το φορτίο αστοχίας δίνεται από την εξίσωση: P P da S L (5.24) f b,max o u και η βύθιση αστοχίας από την εξίσωση w P P f yy f wyy (5.25) Kb o 85

102 Σχήμα 5.5. Καμπύλη φορτίου - βύθισης στην κεφαλή του πασσάλου όταν w yb w y. Στην περίπτωση όπου η βύθιση διαρροής της βάσης είναι μικρότερη από τη βύθιση διαρροής της διεπιφάνειας πασσάλου - εδάφους w yb <w y, η βάση θα διαρρεύσει μετά τη διαρροή της διεπιφάνειας πασσάλου - εδάφους και πριν την πλήρη διαρροή της. Αυτό μπορεί να συμβεί στην περίπτωση όπου η άργιλος γύρω από τον πάσσαλο έχει μικρή αστράγγιστη διατμητική αντοχή 86

103 αλλά και στην περίπτωση που ο πάσσαλος εδράζεται σε έδαφος με μεγαλύτερο μέτρο ελαστικότητας E. b Για την επίλυση του προβλήματος ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία. Ο λόγος μετακίνησης της βάσης προς τη μετακίνηση της κεφαλής δίνεται από την εξ Οπότε για μήκος L L έχουμε Όπου: w p w (5.26) b b y tanh ( L Lp) b cosh ( L Lp) sinh ( L Lp) 1 tanh ( L L ) p (5.27) Η αντίστοιχη σχέση που συνδέει τη δύναμη στη βάση με τη δύναμη στην κεφαλή είναι: P P( L ) (5.28) b b p όπου για μήκος L L προκύπτει p 2 tanh ( L Lp) b b (5.29) tanh ( L L ) p και P( L ) P da S L (5.30) p o u p Για να ισχύει οποιαδήποτε υπόθεση αναφορικά με την τιμή του Κ b, θα πρέπει: P K w (5.31) b bo b K bo K P b bo (5.32) wb P da 2 osulp tanh ( L Lp) tanh ( L Lp) wy (5.33) 87

104 Υπολογισμός οριακού φορτίου και αντίστοιχης βύθισης Το μήκος πλαστικοποίησης του πασσάλου είναι οριακό φορτίο P b P. b,max Lp L και το αντίστοιχο Η Εξ. (5.6) δίνει τη βύθιση του πασσάλου με το βάθος 2 daosu z w( z) C1z C2 (5.34) EA 2 p p Οι συνοριακές συνθήκες που περιγράφουν το πρόβλημα είναι: w( L) w y (5.35) 2 daosul w y C1L C2 (5.36) 2EA p p P E A b,max p p wl ( ) z (5.37) P E A C da S L (5.38) b,max p p 1 o u Από τις Εξ. (5.32) και (5.35) προκύπτει P da S L b,max o u C1 (5.39) EA p p C 2 P L da S L 2 b,max o u w y (5.40) Ep Ap 2Ep Ap Η βύθιση κατά την αστοχία w f υπολογίζεται θέτοντας z 0 στην Εξ.(5.30) w w(0) C (5.41) f 2 w f P L da S L 2 b,max o u w y (5.42) Ep Ap 2Ep Ap Το φορτίο αστοχίας είναι P P da S L (5.43) f b,max o u 88

105 5.3 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Αναπτύχθηκε μη-γραμμική λύση κλειστής μορφής για κατακόρυφη φόρτιση πασσάλου σε ομοιογενές έδαφος. Για την προσομοίωση του εδάφους περιμετρικά από τον πάσσαλο και στη βάση του χρησιμοποιήθηκαν ελαστικές-πλήρως πλαστικές καμπύλες «w» και «P b w b». Για την καλύτερη παρουσίαση των αποτελεσμάτων δημιουργήθηκε κώδικας σε προγραμματιστικό περιβάλλον Microsoft Excel Visual Basic 2007, ο οποίος μας δίνει την καμπύλη φορτίου-καθίζησης για πασσάλους τριβής αλλά και πασσάλους αιχμής και τριβής (Σχ. 5.6 και 5.7). Στη συνέχεια, παρουσιάζονται οι καμπύλες φορτίου-καθίζησης στην κεφαλή του πασσάλου για πάσσαλο τριβής και για πάσσαλο αιχμής και τριβής. Η δύναμη στην κεφαλή του πασσάλου είναι κανονικοποιημένη ως προς το φορτίο αστοχίας, P/P f και η βύθιση στην κεφαλή του πασσάλου ως προς τη βύθιση κατά την αστοχία, w/w f. Παρουσιάζεται ακόμα η σχέση μεταξύ του μήκους πλαστικοποίησης του πασσάλου και της καθίζησης στην κεφαλή του, για διάφορες τιμές του δείκτη λυγηρότητας, L/ d. Παρατηρούμε από το Σχ. 5.8, ότι μέχρι τη στιγμή της διαρροής ο πάσσαλος τριβής συμπεριφέρεται ελαστικά. Παρατηρούμε επίσης ότι όσο αυξάνεται το μήκους του, όπως είναι λογικό, αυξάνεται και η περιοχή διαρροής μέχρι την αστοχία. Συγκεκριμένα στο Σχ. 5.9, όταν η τιμή της λυγηρότητα του πασσάλου τριβής είναι L/d=10, η περιοχή διαρροής κυμαίνεται από 0.95 έως 1 της τιμής του λόγου w/w f, ενώ για πάσσαλο με λυγηρότητα L/d=40 κυμαίνεται από 0.50 έως 1. Στο Σχ διακρίνονται οι εξής περιοχές: α)ελαστική περιοχή, όπου ο πάσσαλος συμπεριφέρεται ελαστικά μέχρι την στιγμή της διαρροής της διεπιφάνειας πασσάλου-εδάφους, β) ελαστοπλαστική περιοχή, όπου παρατηρείται η διαρροή της διεπιφάνειας πασσάλου-εδάφους μέχρι τη στιγμή που το μήκος πλαστικοποιήσης L p του πασσάλου ισούται με το μήκος του L, γ) και τέλος το κομμάτι μέχρι την αστοχία της βάσης όπου ο πάσσαλος πλαστικοποιείται πλήρως. Παρατηρούμε από το Σχ. 5.11, ότι όσο αυξάνει το μήκος του πασσάλου η βύθιση που απαιτείται για την πλήρη πλαστικοποίηση της διεπιφάνειας πασσάλου-εδάφους αυξάνεται. Στο Σχ παρουσιάζεται η καμπύλη φορτίου-καθίζησης πασσάλου τριβής και αιχμής, όπου το ελατήριο στη βάση έχει διαρρεύσει πριν την πλήρη πλαστικοποίηση της διεπιφάνειας πασσάλου εδάφους. Ο πάσσαλος συμπεριφέρεται ελαστικά μέχρι τη στιγμή της διαρροής της διεπιφάνειας πασσάλου - εδάφους και έπειτα μη-γραμμικά μέχρι τη στιγμή της πλήρους πλαστικοποίησης. 89

106 Σχήμα 5.6. Εικόνα προγράμματος που δημιουργήθηκε στο excel για πάσσαλο τριβής. 90

107 Σχήμα 5.7. Εικόνα προγράμματος που δημιουργήθηκε στο excel για πάσσαλο τριβής και αιχμής. 91

ΠIΝΑΚΑΣ ΠΕΡIΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠIΝΑΚΑΣ ΠΕΡIΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠIΝΑΚΑΣ ΠΕΡIΕΧΟΜΕΝΩΝ Πρόλογος...11 Πίνακας κυριότερων συμβόλων...13 ΚΕΦΑΛΑIΟ 1: Εισαγωγή 21 ΚΕΦΑΛΑIΟ 2: Απόκριση μεμονωμένου πασσάλου υπό κατακόρυφη φόρτιση 29 2.1 Εισαγωγή...29 2.2 Οριακό και επιτρεπόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ. Ν. Σαμπατακάκης Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας Παν/μιο Πατρών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ. Ν. Σαμπατακάκης Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας Παν/μιο Πατρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ κύριο ερώτημα ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΑΝΩΔΟΜΗΣ το γενικό πρόβλημα πως θα αντιδράσει η απεριόριστη σε έκταση εδαφική μάζα??? ζητούμενο όχι «θραύση» εδαφικής μάζας εύρος καθιζήσεων

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ 3. Παραδοχές Σήραγγα κυκλικής διατοµής (ακτίνα ) Συνθήκες επίπεδης παραµόρφωσης (κατά τον άξονα της σήραγγας z) Ισότροπη γεωστατική

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη: Στην ισότροπη γραμμική ελαστικότητα, οι τάσεις με τις αντίστοιχες παραμορφώσεις συνδέονται μέσω των κάτωθι σχέσεων:

Υπόδειξη: Στην ισότροπη γραμμική ελαστικότητα, οι τάσεις με τις αντίστοιχες παραμορφώσεις συνδέονται μέσω των κάτωθι σχέσεων: Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 5 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Π.Δ.407/80, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Σχέσεις τάσεων παραμορφώσεων στο έδαφος. Ημερομηνία: Δευτέρα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 10. Εσχάρες... 17 Γενικότητες... 17 10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας... 18 10.2 Στατική διάταξη και λειτουργία λοξών γεφυρών... 28 11. Πλάκες...

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυµα Σερρών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρµογών Τµήµα Πολιτικών οµικών Έργων Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Βαθιές θεµελιώσεις ιδάσκων: Κίρτας Εµµανουήλ Σέρρες, Σεπτέµβριος 2010 1

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1: Υπολογίστε τη συνισταμένη κατακόρυφη δύναμη σε οριζόντιο επίπεδο με για συγκεντρωμένο σημειακό φορτίο, σύμφωνα με το σχήμα.

ΑΣΚΗΣΗ 1: Υπολογίστε τη συνισταμένη κατακόρυφη δύναμη σε οριζόντιο επίπεδο με για συγκεντρωμένο σημειακό φορτίο, σύμφωνα με το σχήμα. Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 5 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Π.Δ.407/80, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Μετάδοση τάσεων στο έδαφος (8 η σειρά ασκήσεων). Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΠΟΙΗΣΗ - ΚΑΘΙΖΗΣΕΙΣ

ΣΤΕΡΕΟΠΟΙΗΣΗ - ΚΑΘΙΖΗΣΕΙΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ Διδάσκων: Κωνσταντίνος Λουπασάκης,

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Ε Ι Σ

Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Ε Ι Σ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών ομικών Έργων Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Ε Ι Σ Παραδόσεις Θεωρίας ιδάσκων: Κίρτας Εμμανουήλ Σέρρες, Σεπτέμβριος 2010 Τεχνολογικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 1: Διάταξη δοκιμίου και όργανα μέτρησης 1 BUILDNET

Σχήμα 1: Διάταξη δοκιμίου και όργανα μέτρησης 1 BUILDNET Παραμετρική ανάλυση κοχλιωτών συνδέσεων με μετωπική πλάκα χρησιμοποιώντας πεπερασμένα στοιχεία Χριστόφορος Δημόπουλος, Πολιτικός Μηχανικός, Υποψήφιος Διδάκτωρ ΕΜΠ Περίληψη Η εν λόγω εργασία παρουσιάζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι επίλυσης υπερστατικών φορέων: Μέθοδοι των δυνάµεων Τρίτη, 16, Τετάρτη, 17, Παρασκευή 19 Τρίτη, 23, και Τετάρτη 24 Νοεµβρίου 2004 Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο Ορισµού του Μέτρου Ελαστικότητας και του Μέτρου Παραµόρφωσης σε οµοιογενή εδαφικά υλικά

Πεδίο Ορισµού του Μέτρου Ελαστικότητας και του Μέτρου Παραµόρφωσης σε οµοιογενή εδαφικά υλικά Πεδίο Ορισµού του Μέτρου Ελαστικότητας και του Μέτρου Παραµόρφωσης σε οµοιογενή εδαφικά υλικά Α. Μουρατίδης Καθηγητής ΑΠΘ Λ. Παντελίδης Πολιτικός Μηχανικός, Υποψήφιος ιδάκτορας ΑΠΘ ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Το Μέτρο Ελαστικότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή... 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή... 1 Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή... 1 1.1 Ιστορική αναδρομή...1 1. Μικροδομή του χάλυβα...19 1.3 Τεχνολογία παραγωγής χάλυβα...30 1.4 Μηχανικές ιδιότητες χάλυβα...49 1.5 Ποιότητες δομικού χάλυβα...58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Μεταπτυχιακό πρόγραµµα σπουδών «Αντισεισµικός Σχεδιασµός Τεχνικών Έργων» Μάθηµα: «Αντισεισµικός Σχεδιασµός Θεµελιώσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Παραδόσεις Θεωρίας. Προσομοίωση φορέα με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. ιδάσκων: Κίρτας Εμμανουήλ. Σέρρες, Σεπτέμβριος 2008

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Παραδόσεις Θεωρίας. Προσομοίωση φορέα με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. ιδάσκων: Κίρτας Εμμανουήλ. Σέρρες, Σεπτέμβριος 2008 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΕΙ ΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Μπουκοβάλας. Φεβρουάριος 2015. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1

Γιώργος Μπουκοβάλας. Φεβρουάριος 2015. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1 3. Ανάλυση & Σχεδιασμός ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΝ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2015 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ και A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ και - Hunt Midwest (Subtroolis) και - Hunt Midwest (Subtroolis) Εφαρμογής - Η μέθοδος και (rooms and illars) ανήκει στην κατηγορία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ (ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΣ)

ΟΡΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ (ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΣ) Σχεδιασμός Θεμελιώσεων με Πασσάλους με βάση τον Ευρωκώδικα 7.1 Β. Παπαδόπουλος Τομέας Γεωτεχνικής ΕΜΠ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ ΜΕ ΠΑΣΣΑΛΟΥΣ ΟΡΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ (ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΣ) ΑΣΤΟΧΙΑΣ Απώλεια συνολικής ευστάθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι 10. Η μέθοδος των ειδώλων

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι 10. Η μέθοδος των ειδώλων ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι. Η μέθοδος των ειδώλων Περιγραφή της μεθόδου Σημειακό φορτίο και αγώγιμο επίπεδο Φορτίο μεταξύ δύο αγωγίμων ημιεπιπέδων Σημειακό φορτίο έξω από γειωμένη σφαίρα Σημειακό φορτίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ 2. ΣΤΑΤΙΚΗ Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στη δοκό του σχήματος: Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στον φορέα του σχήματος: Ασκήσεις υπολογισμού τάσεων Άσκηση 1 η (Αξονικός εφελκυσμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354

Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354 http://www.sofistik.gr/ Μεταλλικές και Σύμμικτες Κατασκευές Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354 Aξιότιμοι συνάδελφοι, Κυκλοφόρησε η νέα έκδοση του προγράμματος διαστασιολόγησης κόμβων μεταλλικών

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωκώδικας EΝ 1993 Σχεδιασμός Μεταλλικών Κατασκευών

Ευρωκώδικας EΝ 1993 Σχεδιασμός Μεταλλικών Κατασκευών Χάρης Ι. Γαντές Αναπληρωτής Καθηγητής Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχεδιασμός Κατασκευών με Ευρωκώδικες Εφαρμογές Εθνικά Προσαρτήματα Κέρκυρα Ιούνιος 2009 Περιεχόμενα παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης 5.1. Μορφές κάµψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης Η γενική κάµψη (ή κάµψη), κατά την οποία εµφανίζεται στο φορέα (π.χ. δοκό) καµπτική ροπή (Μ) και τέµνουσα δύναµη (Q) (Σχ. 5.1.α).

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ανοξείδωτοι Χάλυβες - Μέρος 1.4 του Ευρωκώδικα 3 Ιωάννη Ραυτογιάννη Γιώργου Ιωαννίδη

Ανοξείδωτοι Χάλυβες - Μέρος 1.4 του Ευρωκώδικα 3 Ιωάννη Ραυτογιάννη Γιώργου Ιωαννίδη Ανοξείδωτοι Χάλυβες - Μέρος 1.4 του Ευρωκώδικα 3 Ιωάννη Ραυτογιάννη Γιώργου Ιωαννίδη 1. Εισαγωγή Οι ανοξείδωτοι χάλυβες ως υλικό κατασκευής φερόντων στοιχείων στα δομικά έργα παρουσιάζει διαφορές ως προ

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωκώδικας 7 ENV 1997 Γεωτεχνικός Σχεδιασµός

Ευρωκώδικας 7 ENV 1997 Γεωτεχνικός Σχεδιασµός Ευρωκώδικας 7 ENV 1997 Γεωτεχνικός Σχεδιασµός 1. Αντικείµενο των Ευρωκωδίκων Οι οµικοί Ευρωκώδικες αποτελούν µια οµάδα προτύπων για τον στατικό και γεωτεχνικό σχεδιασµό κτιρίων και έργων πολιτικού µηχανικού.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση Δυναμική Μηχανών I 3 2 Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Μεταλλικών Κατασκευών

Σχεδιασμός Μεταλλικών Κατασκευών Χάρης Ι. Γαντές Αναπληρωτής Καθηγητής Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχεδιασμός Κατασκευών με Ευρωκώδικες Εφαρμογές Εθνικά Προσαρτήματα Κέρκυρα Ιούνιος 2009 Περιεχόμενα παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωμάτια

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωμάτια Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωμάτια Κ. Ν. Παπανικόλας, Ε. Στυλιάρης, Πανεπιστήμιο Αθηνών Εαρινό Εξάμηνο 2010-2011 Περιεχόμενα Ενέργεια κατά την α-διάσπαση Θεωρία της α-διάσπασης Χρόνοι

Διαβάστε περισσότερα

Αντισεισμικοί κανονισμοί Κεφ.23. Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών

Αντισεισμικοί κανονισμοί Κεφ.23. Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών Κεφ.23 Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών Ο αντισεισμικός σχεδιασμός απαιτεί την εκ των προτέρων εκτίμηση των δυνάμεων που αναμένεται να δράσουν επάνω στην κατασκευή κατά τη διάρκεια της ζωής της

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Οριακή κατάσταση αστοχίας έναντι ιάτµησης-στρέψης- ιάτρησης

Οριακή κατάσταση αστοχίας έναντι ιάτµησης-στρέψης- ιάτρησης Σχεδιασµός φορέων από σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Οριακή κατάσταση αστοχίας έναντι ιάτµησης-στρέψης- ιάτρησης Καττής Μαρίνος, Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ Λιβαδειά, 26 Σεπτεµβρίου 2009 1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο ) 2. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1 Εισαγωγή... 17

Περιεχόμενα. 1 Εισαγωγή... 17 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή... 17 1.1 Αντικείμενο... 17 1. Δομικά στοιχεία με σύμμικτη δράση... 17 1.3 Κτίρια από σύμμικτη κατασκευή... 19 1.4 Περιορισμοί... 19 Βάσεις σχεδιασμού... 1.1 Δομικά υλικά... 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευουλάκου Χαρίλαου

Παρασκευουλάκου Χαρίλαου Εθνικο Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Γεωτεχνικής National Technical University of Athens School of Civil Engineering Geotechnical Division Διπλωματική εργασία Παρασκευουλάκου Χαρίλαου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 7&8: ΦΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβριος 2008. Άσκηση 5 Δίνεται αμφίπακτη δοκός μήκους L=6,00m με διατομή IPE270 από χάλυβα S235.

Νοέμβριος 2008. Άσκηση 5 Δίνεται αμφίπακτη δοκός μήκους L=6,00m με διατομή IPE270 από χάλυβα S235. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Δομοστατικής Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Μάθημα : Σιδηρές Κατασκευές Ι Διδάσκοντες : Ι Βάγιας Γ. Ιωαννίδης Χ. Γαντές Φ. Καρυδάκης Α. Αβραάμ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός Καµπύλης Απόκρισης

Υπολογισµός Καµπύλης Απόκρισης Απόκριση Θεµελιώσεων µε Πασσάλους υπό Οριζόντια Φόρτιση Απόκριση Πασσάλων υπό Οριζόντια Φόρτιση Μενονωµένος Πάσσαλος Φέρουσα Ικανότητα Μέθοδος Broms Οµάδα Πασσάλων Υπολογισµός Καµπύλης Απόκρισης p-y µέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Οδηγία 5 Ανάλυση συµπαγών πλακών

Τεχνική Οδηγία 5 Ανάλυση συµπαγών πλακών CSI Hellas, εκέµβριος 2003 Τεχνική Οδηία 5 Ανάλυση συµπαών πλακών Η τεχνική οδηία 5 παρέχει βασικές πληροφορίες ια την πλακών. ανάλυση Γενικά. Το Adaptor αναλύει µόνο συµπαείς ορθοωνικές πλάκες, συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΠIΝΑΚΑΣ ΠΕΡIΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠIΝΑΚΑΣ ΠΕΡIΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠIΝΑΚΑΣ ΠΕΡIΕΧΟΜΕΝΩΝ Πρόλογος...13 Πίνακας κυριότερων συμβόλων...17 Εισαγωγή...25 ΚΕΦΑΛΑIΟ 1: Επιφανειακές θεμελιώσεις 33 1.1 Εισαγωγή...33 1.2 Διατάξεις Ευρωκώδικα ΕΝ 1997-1...35 1.3 Μεμονωμένα πέδιλα...39

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑ ΟΜΟΤΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΤΗΡΙΟ ΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΕΙΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Ακαδ. Έτος: 2012-2013 Μάθημα: Εφαρμογές Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Τρίτη, 27/11/2012 ιδάσκοντες:

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία επίλυσης εργασίας Εδαφομηχανικής (εαρινό εξάμηνο 2010-2011)

Μεθοδολογία επίλυσης εργασίας Εδαφομηχανικής (εαρινό εξάμηνο 2010-2011) Μεθοδολογία ίλυσης εργασίας Εδαφομηχανικής (εαρινό εξάμηνο 2010-2011) Στη συνέχεια δίνονται ενδεικτικά τα βήματα που πρέπει να γίνουν, όπως και κάποια σημεία που χρίζουν ιδιαίτερης προσοχής, κατά τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος CE07_S04 Πιστωτικές. Φόρτος εργασίας μονάδες:

Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος CE07_S04 Πιστωτικές. Φόρτος εργασίας μονάδες: Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Μεταλλικές Κωδικός CE07_S04 μαθήματος: Κατασκευές ΙI μαθήματος: Πιστωτικές Φόρτος εργασίας μονάδες: 5 150 (ώρες): Επίπεδο μαθήματος: Προπτυχιακό Μεταπτυχιακό Τύπος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΞΟΝΙΚΟΣ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ, ΘΛΙΨΗ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΞΟΝΙΚΟΣ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ, ΘΛΙΨΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΞΟΝΙΚΟΣ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ, ΘΛΙΨΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: Ο κύλινδρος που φαίνεται στο σχήμα είναι από χάλυβα που έχει ένα ειδικό βάρος 80.000 N/m 3. Υπολογίστε την θλιπτική τάση που ενεργεί στα σημεία Α και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ο προσδιορισµός των χαρακτηριστικών τιµών αντοχής του υλικού που ορίζονταιστηκάµψη, όπωςτοόριοδιαρροήςσεκάµψηκαιτοόριοαντοχής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ

ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ ΕΡΓΟ : ΡΥΘΜΙΣΗ ΒΑΣΕΙ Ν.4178/2013 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ ΘΕΣΗ : Λεωφόρος Χαλανδρίου και οδός Παλαιών Λατομείων, στα Μελίσσια του Δήμου Πεντέλης ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke:

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke: Άσκηση Μ Σπειροειδές ελατήριο Νόμος του Hooe και εξίσωση δυνάμεων Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooe: Οι ελαστικές τάσεις και οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Κεφάλαιο 4. Εδαφομηχανική - Μαραγκός Ν. (2009) σελ. 4.2

ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Κεφάλαιο 4. Εδαφομηχανική - Μαραγκός Ν. (2009) σελ. 4.2 ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Κεφάλαιο 4 Προσδιορισμός συνθηκών υπεδάφους Επιτόπου δοκιμές Είδη θεμελίωσης Εδαφομηχανική - Μαραγκός Ν. (2009) σελ. 4.1 Προσδιορισμός των συνθηκών υπεδάφους Με δειγματοληπτικές γεωτρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός ελαστικού άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Γενικά... 2 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου.... 2 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος.... 3 5. Στρεπτική ευαισθησία κτιρίου... 3 6. Εκκεντρότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

XΑΛΥΒΔOΦΥΛΛΟ SYMDECK 73

XΑΛΥΒΔOΦΥΛΛΟ SYMDECK 73 XΑΛΥΒΔOΦΥΛΛΟ SYMDECK 73 20 1 XΑΛΥΒΔΌΦΥΛΛΟ SYMDECK 73 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΜΜΙΚΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Σύμμικτες πλάκες ονομάζονται οι φέρουσες πλάκες οροφής κτιρίων, οι οποίες αποτελούνται από χαλυβδόφυλλα και επί τόπου έγχυτο

Διαβάστε περισσότερα

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών Πλαστική Κατάρρευση Δοκών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σταδιακή Μελέτη Πλαστικής Κατάρρευσης o Παράδειγμα 1 (ισοστατικός φορέας) o Παράδειγμα 2 (υπερστατικός φορέας) Αμεταβλητότητα Φορτίου Πλαστικής Κατάρρευσης Προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΣΕ ΠΟΛΥΩΡΟΦΑ ΚΤΙΡΙΑ ΜΕ ΜΕΙΚΤΟ ΦΕΡΟΝΤΑ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΣΕ ΠΟΛΥΩΡΟΦΑ ΚΤΙΡΙΑ ΜΕ ΜΕΙΚΤΟ ΦΕΡΟΝΤΑ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΣΕ ΠΟΛΥΩΡΟΦΑ ΚΤΙΡΙΑ ΜΕ ΜΕΙΚΤΟ ΦΕΡΟΝΤΑ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟ

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτικός οδηγός για κτίρια από φέρουσα λιθοδομή

Συνοπτικός οδηγός για κτίρια από φέρουσα λιθοδομή Συνοπτικός οδηγός για κτίρια από φέρουσα λιθοδομή Ευρωκώδικες Εγχειρίδιο αναφοράς Αθήνα, Μάρτιος 01 Version 1.0.3 Συνοπτικός οδηγός για κτίρια από φέρουσα λιθοδομή Με το Fespa έχετε τη δυνατότητα να μελετήσετε

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα