Πρόλογος 5. Πρόλογος του Μεταφραστή 9
|
|
- Ἰεζάβελ Αλεξίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Πρόλογος του Μεταφραστή 9 Μέρος I: Θεωρία κωδικοποίησης 1 Εισαγωγή στη θεωρία κωδικοποίησης Εισαγωγή Βασικές υποθέσεις Διόρθωση και ανίχνευση υποδειγμάτων λάθους Βαθμός πληροφορίας Τα αποτελέσματα της διόρθωσης και ανίχνευσης λαθών Εύρεση της πιο πιθανής κωδικολέξης που μεταδόθηκε Στοιχεία βασικής άλγεβρας Βάρος και απόσταση Αποκωδικοποίηση μέγιστης πιθανοφάνειας Αξιοπιστία της ΑΜΠ Κώδικες ανίχνευσης λαθών Κώδικες διόρθωσης λαθών Γραμμικοί κώδικες Γραμμικοί κώδικες Δύο σημαντικοί υποχώροι Ανεξαρτησία, βάση, διάσταση Μήτρες Βάσεις για τους C = S και C Γεννήτριες μήτρες και κωδικοποίηση Μήτρες ελέγχου ισοτιμίας Ισοδύναμοι κώδικες
2 16 Περιεχόμενα 2.9 Απόσταση γραμμικού κώδικα Σύμπλοκα Η ΑΜΠ για γραμμικούς κώδικες Αξιοπιστία της ΗΑΜΠ για γραμμικούς κώδικες Τέλειοι και σχετικοί κώδικες Μερικά φράγματα για κώδικες Τέλειοι κώδικες Κώδικες Hamming Επεκτεταμένοι κώδικες Ο επεκτεταμένος κώδικας Golay Αποκωδικοποίηση του επεκτεταμένου κώδικα Golay Ο κώδικας Golay Κώδικες Reed-Muller Γρήγορη αποκωδικοποίηση για τους κώδικες RM(1, m) Κυκλικοί γραμμικοί κώδικες Πολυώνυμα και λέξεις Εισαγωγή στους κυκλικούς κώδικες Γεννήτρια μήτρα και μήτρα ελέγχου ισοτιμίας για κυκλικούς κώδικες Εύρεση κυκλικών κωδίκων Δυϊκοί κυκλικοί κώδικες Κώδικες BCH Πεπερασμένα σώματα Ελάχιστα πολυώνυμα Κυκλικοί κώδικες Hamming Κώδικες BCH Αποκωδικοποίηση των 2-διορθωτικών κωδίκων BCH Κώδικες Reed-Solomon Κώδικες στο GF(2 r ) Κώδικες Reed-Solomon Αποκωδικοποίηση των κωδίκων Reed-Solomon Μέθοδος μετασχηματισμού για τους κώδικες Reed-Solomon Ο αλγόριθμος των Berlekamp-Massey Απαλοιφές
3 Περιεχόμενα 17 7 Κώδικες διόρθωσης ριπών Εισαγωγή Παρεμβολή Εφαρμογή σε συμπαγείς δίσκους Συνελικτικοί κώδικες Καταχωρητές ολίσθησης και πολυώνυμα Κωδικοποίηση συνελικτικών κωδίκων Αποκωδικοποίηση συνελικτικών κωδίκων Κολοβωμένη αποκωδικοποίηση Viterbi Κώδικες Reed-Mullerκαι Preparata Κώδικες Reed-Muller Αποκωδικοποίηση των κωδίκων Reed-Muller Επεκτεταμένοι κώδικες Preparata Κωδικοποίηση επεκτεταμένων κωδίκων Preparata Αποκωδικοποίηση επεκτεταμένων κωδίκων Preparata Μέρος II: Κρυπτογραφία 10 Κλασσική κρυπτογραφία Σχήματα κρυπτογράφησης Κρυπτογραφία συμμετρικού κλειδιού Κρυπτογραφήματα Feistel και DES New Data Seal Το Πρότυπο Κρυπτογράφησης Δεδομένων (DES) Βιβλιογραφικές σημειώσεις Ειδικά θέματα στην Άλγεβρα και τη Θεωρία Αριθμών Αλγόριθμοι, πολυπλοκότητα, και αριθμητική υπολοίπου Τετραγωνικά υπόλοιπα Έλεγχος για πρώτο Παραγοντοποίηση και τετραγωνικές ρίζες Το ρο του Pollard Τυχαία τετράγωνα Τετραγωνικές ρίζες Διακριτοί λογάριθμοι Μικρό βήμα - μεγάλο βήμα
4 18 Περιεχόμενα Λογισμός δεικτών Βιβλιογραφικές σημειώσεις Κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού Μονόδρομες συναρτήσεις και συναρτήσεις κατακερματισμού RSA Αποδείξιμη ασφάλεια ElGamal Κρυπτογραφικά πρωτόκολλα Ανταλλαγή κλειδιών Diffie -Hellman Αποδείξεις μηδενικής γνώσης Ρίψη νομισμάτων και νοητό πόκερ Βιβλιογραφικές σημειώσεις Α Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος 403 Β Παραγοντοποίηση του 1 + x n 407 Γ Παράδειγμα κωδικοποίησης συμπαγών δίσκων 409 Δ Λύσεις επιλεγμένων ασκήσεων 413 Βιβλιογραφία 433 Ευρετήριο 443
5 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στη θεωρία κωδικοποίησης 1.1 Εισαγωγή Η θεωρία κωδικοποίησης (coding theory) είναι η μελέτη μεθόδων για την αποδοτική και ακριβή μεταβίβαση πληροφοριών από το ένα μέρος στο άλλο. Η θεωρία έχει αναπτυχθεί για ποικίλες εφαρμογές, όπως η ελαχιστοποίηση του θορύβου από τις εγγραφές συμπαγών δίσκων (compact disc, CD), η μετάδοση οικονομικών πληροφοριών μέσω τηλεφωνικών γραμμών, η μετάδοση δεδομένων μεταξύ υπολογιστών ή μεταξύ μνήμης και κεντρικού επεξεργαστή, καθώς και η μετάδοση πληροφοριών από απομακρυσμένες πηγές, όπως είναι οι μετεωρολογικοί ή επικοινωνιακοί δορυφόροι ή το διαστημόπλοιο Voyager, το οποίο έστελνε στη Γη φωτογραφίες από τους πλανήτες Δία και Κρόνο. Το φυσικό μέσο μέσα από το οποίο μεταδίδεται η πληροφορία ονομάζεται κανάλι. Οι τηλεφωνικές γραμμές και η ατμόσφαιρα αποτελούν παραδείγματα καναλιών. Ανεπιθύμητες παρεμβολές, που αποκαλούνται θόρυβος (noise), ενδέχεται να προκαλέσουν διαφοροποίηση μεταξύ της μεταδιδόμενης και της παραληφθείσας πληροφορίας. Ο θόρυβος μπορεί να προκληθεί από ηλιακές κηλίδες, αστραπές, τσακίσματα της μαγνητικής ταινίας, βροχές μετεωριτών, φορτωμένες τηλεφωνικές γραμμές, τυχαία ραδιοφωνικά παράσιτα, κακή δακτυλογράφηση, περιορισμένη ακοή, μη καθαρή ομιλία, ή πολλές άλλες αιτίες. Η θεωρία κωδικοποίησης ασχολείται με το πρόβλημα της ανίχνευσης και της διόρθωσης των λαθών (ή σφαλμάτων) μετάδοσης που προκαλούνται από το θόρυβο στο κανάλι. Στο διάγραμμα που ακολουθεί παρέχεται μια χονδρική ιδέα ενός γενικού συστήματος μετάδοσης πληροφοριών. Πηγή πληροφοριών Μεταδότης (Κωδικοποιητής) Κανάλι επικοινωνίας Θόρυβος 19 Δέκτης (Αποκωδικοποιητής) Συλλέκτης πληροφοριών
6 20 1 Εισαγωγή στη θεωρία κωδικοποίησης Το πιο σημαντικό τμήμα του διαγράμματος για εμάς είναι ο θόρυβος, χωρίς τον οποίο δεν θα ήταν αναγκαία η θεωρία κωδικοποίησης. Στην πράξη, ο έλεγχος που έχουμε όσον αφορά το θόρυβο είναι η επιλογή ε- νός καλού καναλιού που θα χρησιμοποιηθεί για τη μετάδοση, καθώς και η χρήση διαφόρων φίλτρων θορύβου για την αντιμετώπιση συγκεκριμένων τύπων παρεμβολών που ενδέχεται να ανακύψουν. Αυτά είναι τεχνικά προβλήματα. Μόλις καταλήξουμε στο καλύτερο μηχανικό σύστημα για την επίλυση των συγκεκριμένων προβλημάτων, μπορούμε να επικεντρώσουμε την προσοχή μας στην κατασκευή του κωδικοποιητή (encoder) και του αποκωδικοποιητή (decoder). Η πρόθεσή μας είναι να τους κατασκευάσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να πετύχουμε: 1. γρήγορη κωδικοποίηση των πληροφοριών, 2. εύκολη μετάδοση των κωδικοποιημένων μηνυμάτων, 3. γρήγορη αποκωδικοποίηση των παραληφθέντων μηνυμάτων, 4. διόρθωση των λαθών που εισάγονται στο κανάλι, και 5. μέγιστη μετάδοση πληροφοριών ανά μονάδα χρόνου. Ο τέταρτος στόχος είναι και ο πρωταρχικός. Το πρόβλημα είναι ότι δεν είναι γενικά συμβατός με τον πέμπτο, και μπορεί επίσης να μην είναι ιδιαίτερα συμβατός με τους υπόλοιπους τρεις. Έτσι, κάθε λύση επιτυγχάνεται με εξισορρόπηση και των πέντε αντικειμενικών στόχων. Στις καθημερινές μας προσωπικές επικοινωνίες χρησιμοποιούμε τυπικά λέξεις, γραπτώς ή προφορικώς, που έχουν φτιαχτεί από ένα περιορισμένο αλφάβητο. Έχουμε πληροφορίες που θέλουμε να μεταδώσουμε τις κωδικοποιούμε σε ακολουθίες λέξεων, οι οποίες εκφράζονται έπειτα με γραπτό ή προφορικό τρόπο. Οι ακολουθίες αποστέλλονται μέσω ενός καναλιού, που είναι συνήθως το διάστημα από το στόμα μέχρι το αυτί ή από το στυλό μέχρι το χαρτί και στη συνέχεια μέχρι το μάτι. Ο θόρυβος μπορεί να προκληθεί από μη καθαρή ομιλία, περιορισμένη ακοή, εσφαλμένη γραμματική, ένα στερεοφωνικό που παίζει σε μεγάλη ένταση, ταυτόχρονη ομιλία από πολλά άτομα, ορθογραφικά λάθη, παρερμηνεία, ή μια ε- λαττωματική γραφομηχανή. Ο αποκωδικοποιητής είναι η δική μας ανάγνωση (ή ακρόαση) και η κατανόηση των παραληφθέντων μηνυμάτων. Διαθέτουμε ενσωματωμένους μηχανισμούς διόρθωσης λαθών που ούτε καν φανταζόμαστε. Έστω ότι λαμβάνουμε το μήνυμα «Apt natural. I have a gub.», ένα σημείωμα σε μια ληστεία από την ταινία «Take the money and run» (προβλήθηκε στην Ελλάδα με τίτλο «Ζητείται εγκέφαλος για ληστεία») του Woody Allen. Α- φού η αγγλική γλώσσα δεν χρησιμοποιεί όλες τις πιθανές λέξεις με οποιοδήποτε δεδομένο μήκος, θα αναγνωρίσουμε πιθανότατα ότι το «gub» δεν είναι αγγλική λέξη. Μπορούμε με ασφάλεια να υποθέσουμε ότι η λέξη που μεταδόθηκε είναι κα-
7 1.2 Βασικές υποθέσεις 21 τά κάποια έννοια παραπλήσια με το «gub». Άρα, είναι πιο πιθανό να ήταν «gut» ή «gun» ή «tub» παρά «firetruck» ή «rat». Από τα συμφραζόμενα και μόνο του μηνύματος θα επιλέξουμε το «gun» ως την πιο πιθανή λέξη. Η λέξη «Apt» υπάρχει στην αγγλική γλώσσα, αλλά πάλι από τα συμφραζόμενα θα τη διορθώσουμε σε «act». Αν τυχαίνει να είμαστε γνώστες της αγγλικής γλώσσας, θα διορθώσουμε επίσης το «natural» σε «naturally», αν και το συγκεκριμένο λάθος μπορεί να ο- φείλεται στην πηγή και όχι στο θόρυβο του καναλιού. Από τους παραπάνω τύπους λαθών, μπορούμε να ασχοληθούμε πιθανώς μόνο με τον πρώτο: δηλαδή να επιλέξουμε (να βρούμε) την πιο πιθανή λέξη που μεταδόθηκε. Η τυπική μέθοδος για την αντιμετώπιση των λαθών βασίζεται στον πλεονασμό (redundancy). Στην εποχή μας, πολλές επιχειρήσεις προσθέτουν συνήθως ψηφία ελέγχου σε αριθμούς αναγνώρισης (identification numbers). Αυτά είναι επιπλέον ψηφία που χρησιμοποιούνται για να ελεγχθεί η ορθότητα διαφόρων δεδομένων ή οι αριθμοί κάποιων λογαριασμών. Αυτή είναι μάλλον και η πιο γνωστή μέθοδος κωδικοποίησης στην καθημερινή ζωή. Θα ασχοληθούμε με πιο πολύπλοκες αλλά παρόμοιες ιδέες. 1.2 Βασικές υποθέσεις Θα διατυπώσουμε ορισμένους θεμελιώδεις ορισμούς και υποθέσεις που θα ισχύουν σε όλο το βιβλίο. Σε πολλές περιπτώσεις, οι πληροφορίες προς αποστολή μεταδίδονται με μια ακολουθία από μηδέν και άσους. Οι αριθμοί 0 και 1 αποκαλούνται ψηφία (digits). Μια δυαδική λέξη, ή απλά λέξη, είναι μια ακολουθία ψηφίων. Ο αριθμός των ψηφίων της λέξης αποτελεί το μήκος (length) αυτής. Άρα, η ακολουθία είναι μια λέξη μήκους 7. Η μετάδοση της λέξης πραγματοποιείται με την αποστολή των ψηφίων της, το ένα μετά το άλλο, μέσω ενός δυαδικού καναλιού (binary channel). Ο όρος «δυαδικό» αναφέρεται στο γεγονός ότι χρησιμοποιούνται μόνο δύο ψηφία, το 0 και το 1. Κάθε ψηφίο μεταδίδεται μηχανικά, ηλεκτρικά, μαγνητικά, ή διαφορετικά, με έναν από τους δύο τύπους εύκολα διαφοροποιήσιμων παλμών. Ο δυαδικός κώδικας (binary code) ορίζεται ως ένα σύνολο C από λέξεις. Ο κώδικας που αποτελείται από όλες τις λέξεις μήκους δύο είναι C = {00, 10, 01, 11}. Ο τμηματικός κώδικας (block code) είναι ένας κώδικας στον οποίο όλες οι λέξεις έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων αυτός ο αριθμός ονομάζεται μήκος του κώδικα. Θα μελετήσουμε μόνο τμηματικούς κώδικες. Άρα, για μας, ο όρος κώδικας θα αναφέρεται πάντα σε δυαδικό τμηματικό κώδικα. Οι λέξεις που ανήκουν σε δεδομένο
8 22 1 Εισαγωγή στη θεωρία κωδικοποίησης κώδικα C 0 θα αποκαλούνται κωδικολέξεις (ή κωδικές λέξεις). Θα συμβολίζουμε τον αριθμό των κωδικολέξεων σε έναν κώδικα C με C. Ασκήσεις Φτιάξτε μια λίστα με όλες τις λέξεις μήκους 3, μήκους 4, και μήκους Βρείτε ένα μαθηματικό τύπο για το συνολικό αριθμό των λέξεων μήκους n Έστω C ο κώδικας που αποτελείται από όλες τις λέξεις μήκους 6, οι οποίες έχουν άρτιο πλήθος άσων. Φτιάξτε μια λίστα με τις κωδικολέξεις του C. Είναι, επίσης, απαραίτητο να κάνουμε ορισμένες βασικές υποθέσεις για το κανάλι. Αυτές οι υποθέσεις θα μορφοποιήσουν αναγκαστικά τη θεωρία που διατυπώνουμε. Η πρώτη υπόθεση είναι ότι μια κωδικολέξη μήκους n που αποτελείται από 0 και 1 παραλαμβάνεται πάντα ως λέξη μήκους n που αποτελείται από 0 και 1, αλλά δεν αποκλείεται να είναι διαφορετική από τη λέξη που έχει αποσταλεί. Η δεύτερη είναι ότι μπορούμε να αναγνωρίσουμε την αρχή της πρώτης λέξης που μεταδόθηκε. Έτσι, αν χρησιμοποιήσουμε κωδικολέξεις μήκους 3 και λάβουμε την ακολουθία , θα ξέρουμε ότι λάβαμε κατά σειρά τις εξής λέξεις : 011, 011, 001. Αυτή η υπόθεση σημαίνει, ξανά για μήκος 3, ότι το κανάλι δεν μπορεί να παραδώσει την ακολουθία στο δέκτη, επειδή έχει χαθεί ένα ψηφίο στη συγκεκριμένη περίπτωση. Η τελευταία υπόθεση είναι ότι ο θόρυβος είναι διεσπαρμένος τυχαία (σε όλο το μήκος της ακολουθίας που παραλήφθηκε) αντί να εμφανίζεται σε δέσμες που ονομάζονται ριπές (bursts).¹ Δηλαδή, η πιθανότητα να έχει επηρεαστεί ένα τυχαίο ψηφίο κατά τη μετάδοση (λόγω θορύβου) είναι ίδια ακριβώς με την πιθανότητα οποιουδήποτε άλλου ψηφίου και δεν επηρεάζεται από λάθη που έχουν γίνει σε γειτονικά ψηφία. Αυτή η υπόθεση δεν είναι πολύ ρεαλιστική για πολλά είδη θορύβου, όπως οι αστραπές και οι γρατζουνιές σε CD. Θα μελετήσουμε τελικά και αυτόν τον τύπο θορύβου. Σε ένα τέλειο, ή αθόρυβο κανάλι, κάθε ψηφίο 0 ή 1 που αποστέλλεται είναι πάντοτε αυτό που παραλαμβάνεται. Αν όλα τα κανάλια ήταν τέλεια, η θεωρία κωδικοποίησης δεν θα ήταν απαραίτητη. Όμως ευτυχώς (ή ίσως, δυστυχώς) κανένα κανάλι δεν είναι τέλειο όλα τα κανάλια είναι θορυβώδη. Κάποια κανάλια είναι λιγότερο θορυβώδη, ή περισσότερο αξιόπιστα, από άλλα. Ένα δυαδικό κανάλι είναι συμμετρικό, αν τα 0 και 1 μεταδίδονται με την ίδια πιθανότητα λάθους δηλαδή η πιθανότητα να λάβουμε το σωστό ψηφίο είναι α- νεξάρτητη από το ποιο ψηφίο, 0 ή 1, μεταδίδεται. Η αξιοπιστία ενός δυαδικού ¹Σ.τ.Μ.: Ο όρος ριπή έχει καθιερωθεί στη βιβλιογραφία και υποδηλώνει ότι ένας μεγάλος αριθμός λαθών εμφανίζονται πολύ κοντά το ένα στο άλλο. Ουσιαστικά, πρόκειται για έναν καταιγισμό λαθών.
9 1.3 Διόρθωση και ανίχνευση υποδειγμάτων λάθους 23 συμμετρικού καναλιού (binary symmetric channel, ή ΔΣΚ για συντομία) είναι έ- νας πραγματικός αριθμός p, με 0 p 1, ο οποίος συμβολίζει την πιθανότητα να είναι το ψηφίο (0 ή 1) που παραλαμβάνεται ακριβώς εκείνο που έχει αποσταλεί. Αν λοιπόν το p συμβολίζει την πιθανότητα να είναι το ψηφίο που παραλαμβάνεται ίδιο με το ψηφίο που έχει αποσταλεί, τότε η πιθανότητα να μην είναι το ψηφίο που παραλαμβάνεται εκείνο που έχει αποσταλεί είναι ίση με 1 p. Το παρακάτω διάγραμμα αποσαφηνίζει τη λειτουργία ενός ΔΣΚ: 0 p 0 1 p 1 p 1 1 p Στις περισσότερες περιπτώσεις, είναι ίσως δύσκολο να υπολογίσουμε την ακριβή τιμή του p για δεδομένο κανάλι. Παρόλα αυτά, η πραγματική τιμή του p δεν επηρεάζει σημαντικά τη διατύπωση και το σχηματισμό της θεωρίας. Θα αποκαλούμε ένα κανάλι πιο αξιόπιστο από κάποιο άλλο, αν η αξιοπιστία του είναι μεγαλύτερη. Προσέξτε ότι για p = 1, δεν υπάρχει περίπτωση να αλλαχτεί κάποιο ψηφίο κατά την μετάδοση. Επομένως, το κανάλι είναι τέλειο και δεν μας ενδιαφέρει. Δεν θα μας απασχολήσουν επίσης τα κανάλια με p = 0. Οποιοδήποτε κανάλι με 0 < p 1/2 μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε κανάλι με 1/2 p < 1. Από τώρα και στο εξής θα υποθέτουμε πάντα ότι χρησιμοποιούμε ένα ΔΣΚ με αξιοπιστία p που ικανοποιεί τη σχέση 1/2 < p < 1. (Η περίπτωση p = 1/2 θα εξεταστεί στην Άσκηση ) Ασκήσεις Εξηγήστε γιατί ένα κανάλι με p = 0 δεν έχει ενδιαφέρον Εξηγήστε πώς μπορεί ένα κανάλι με πιθανότητα 0 < p 1/2 να μετατραπεί σε κανάλι με πιθανότητα 1/2 p < Τι μπορούμε να πούμε για ένα κανάλι με p = 1/2; 1.3 Διόρθωση και ανίχνευση υποδειγμάτων λάθους Θα μελετήσουμε τώρα τις δυνατότητες διόρθωσης και ανίχνευσης λαθών. Σε αυτή την ενότητα θα αναπτύξουμε διαισθητικά τις έννοιες που εμπλέκονται στη διόρθωση και την ανίχνευση λαθών, ενώ στις επόμενες ενότητες θα υιοθετήσουμε μια πιο τυπική θεώρηση. Ας υποθέσουμε ότι λαμβάνουμε μια λέξη που δεν είναι κωδικολέξη. Είναι προφανές ότι κάποιο λάθος έχει συμβεί κατά τη διάρκεια της μετάδοσης, άρα έχουμε
10 24 1 Εισαγωγή στη θεωρία κωδικοποίησης ανιχνεύσει ότι εμφανίστηκε ένα λάθος (ίσως αρκετά λάθη). Αν όμως λάβουμε μια κωδικολέξη, τότε είναι πιθανό ότι δεν υπήρξαν λάθη κατά τη διάρκεια της μετάδοσης, οπότε είναι αδύνατο να ανιχνεύσουμε κάποιο λάθος. Η έννοια της διόρθωσης ενός λάθους είναι πιο περίπλοκη. Όπως στο παράδειγμα της εισαγωγής όπου προτιμήσαμε να διορθώσουμε το «gub» σε «gun» παρά σε «rat», θα προσφύγουμε στη διαίσθησή μας για να προτείνουμε ότι κάθε παραληφθείσα λέξη, έστω w, θα πρέπει να διορθωθεί σε μια κωδικολέξη που απαιτεί να γίνουν όσο το δυνατόν λιγότερες αλλαγές στη w. (Σε επόμενη ενότητα θα δείξουμε ότι η πιθανότητα να έχει αποσταλεί μια τέτοια κωδικολέξη είναι μεγαλύτερη από ή ίση με την πιθανότητα να έχει αποσταλεί οποιαδήποτε άλλη λέξη). Για να εμπεδώσουμε αυτές τις ιδέες, θα μελετήσουμε συγκεκριμένους κώδικες. Παρατηρήστε ότι η υπόθεσή μας, σύμφωνα με την οποία δεν υπάρχει περίπτωση να χάνονται ή να δημιουργούνται ψηφία κατά τη διάρκεια της μετάδοσης, αποκλείει την αποκωδικοποίηση του «gub» σε «firetruck». Παράδειγμα Έστω ο κώδικας C 1 = {00, 01, 10, 11}. Κάθε λέξη που παραλαμβάνεται είναι κωδικολέξη και ο C 1 δεν μπορεί να ανιχνεύσει κάποιο λάθος. Επίσης, ο C 1 δεν διορθώνει λάθη, αφού κάθε παραληφθείσα λέξη δεν απαιτεί αλλαγές για να γίνει κωδικολέξη. Παράδειγμα Τροποποιούμε τον C 1 επαναλαμβάνοντας κάθε κωδικολέξη τρεις φορές. Ο νέος κώδικας είναι C 2 = {000000, , , }. Αυτό είναι ένα παράδειγμα επαναληπτικού κώδικα (repetition code). Έστω τώρα ότι λαμβάνουμε την ακολουθία Επειδή δεν είναι κωδικολέξη, μπορούμε να ανιχνεύσουμε ότι έχει συμβεί τουλάχιστον ένα λάθος. Η κωδικολέξη μπορεί να σχηματιστεί με αλλαγή ενός ψηφίου, αλλά όλες οι άλλες κωδικολέξεις σχηματίζονται με αλλαγή περισσότερων ψηφίων. Συνεπώς, υποθέτουμε ότι η είναι η πιο πιθανή κωδικολέξη που μεταδόθηκε, άρα διορθώνουμε την σε (Μια κωδικολέξη που μπορεί να σχηματιστεί από μια λέξη w με αλλαγή ελάχιστου πλήθους ψηφίων αυτής ονομάζεται κοντινότερη κωδικολέξη η ιδέα θα σχηματοποιηθεί αργότερα). Στην πραγματικότητα, αν μεταδοθεί οποιαδήποτε από τις κωδικολέξεις c C 2 και σημειωθεί ένα λάθος κατά την διάρκεια της μετάδοσης, τότε η μοναδική κοντινότερη κωδικολέξη της παραληφθείσας λέξης είναι η c άρα, όταν έχουμε ένα μόνο εσφαλμένο ψηφίο, θα προκύψει μια λέξη που μπορεί εύκολα να διορθωθεί στην αρχική κωδικολέξη που μεταδόθηκε.
11 1.3 Διόρθωση και ανίχνευση υποδειγμάτων λάθους 25 Παράδειγμα Τροποποιούμε τον C 1 προσθέτοντας ένα τρίτο ψηφίο σε κάθε κωδικολέξη έτσι ώστε το πλήθος των άσων σε κάθε κωδικολέξη να είναι άρτιο. Ο κώδικας που προκύπτει είναι C 3 = {000, 011, 101, 110}. Το επιπλέον ψηφίο λέγεται ψηφίο ελέγχου ισοτιμίας (parity-check digit).² Ας υποθέσουμε ότι παραλαμβάνεται η ακολουθία 010 αφού δεν είναι μια κωδικολέξη, έχουμε ανιχνεύσει την εμφάνιση ενός λάθους. Καθεμία από τις κωδικολέξεις 110, 000 και 011 μπορεί να σχηματιστεί με την αλλαγή ενός ψηφίου της παραληφθείσας λέξης. Σε επόμενες ενότητες θα ξεχωρίσουμε τον τρόπο που χειριζόμαστε τις παραληφθείσες λέξεις που είναι κοντινότερες σε μια μοναδική κωδικολέξη (η ο- ποία είναι η κωδικολέξη που έχει κατά πάσα πιθανότητα αποσταλεί), όπως ίσχυε στο Παράδειγμα 1.3.2, και τις παραληφθείσες λέξεις που είναι κοντινότερες σε πολλές κωδικολέξεις, όπως συμβαίνει σε τούτο εδώ το παράδειγμα. Είναι αρκετό σε αυτό το στάδιο να παρατηρήσουμε ότι φαίνεται πιο λογικό να διορθώσουμε την 010 σε μια από τις 110, 000, ή 011 παρά στην 101. Ασκήσεις Έστω C ο κώδικας που περιέχει όλες τις κωδικολέξεις μήκους 3. Αν παραληφθεί η 001, βρείτε ποια είναι η πιο πιθανή κωδικολέξη που έχει αποσταλεί Στις κωδικολέξεις του κώδικα στην Άσκηση 1.3.4, προσθέστε ένα ψηφίο ελέγχου ισοτιμίας και χρησιμοποιήστε τον κώδικα C που προκύπτει για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις. (α) Αν λάβουμε την ακολουθία 1101, μπορούμε να ανιχνεύσουμε κάποιο λάθος; (β) Αν λάβουμε την 1101, ποιες κωδικολέξεις είναι πιο πιθανό να έχουν μεταδοθεί; (γ) Υπάρχει κάποια λέξη με μήκος 4 που δεν ανήκει στον κώδικα, αλλά είναι κοντινότερη σε μια μοναδική κωδικολέξη; Επαναλάβετε κάθε κωδικολέξη του κώδικα C που ορίστηκε στην Άσκηση τρεις φορές για να σχηματίσετε έναν επαναληπτικό κώδικα με μήκος 9. Βρείτε τις κοντινότερες κωδικολέξεις στις παρακάτω παραληφθείσες λέξεις: (α) (β) (γ) (δ) ²Σ.τ.Μ.: Ο όρος θα μπορούσε να αποδοθεί και ως ψηφίο ελέγχου αρτιότητας, αλλά χρησιμοποιούμε τον όρο όπως έχει καθιερωθεί στην ελληνική βιβλιογραφία.
12 26 1 Εισαγωγή στη θεωρία κωδικοποίησης Βρείτε το μέγιστο αριθμό κωδικολέξεων με μήκος n = 4 σε έναν κώδικα στον οποίο μπορεί να ανιχνευτεί κάθε μοναδικό λάθος (δηλαδή, ένα μόνο εσφαλμένο ψηφίο κατά την παραλαβή της κωδικολέξης) Επαναλάβετε την Άσκηση για n = 5, n = 6, και για οποιοδήποτε n. 1.4 Βαθμός πληροφορίας Με βάση την τελευταία ενότητα, είναι φανερό ότι η προσθήκη νέων ψηφίων σε κωδικολέξεις μπορεί να βελτιώσει τις δυνατότητες διόρθωσης και ανίχνευσης λαθών του κώδικα. Ωστόσο, όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος των κωδικολέξεων, τόσο περισσότερος χρόνος απαιτείται για τη μετάδοση κάθε μηνύματος. Ο βαθμός πληροφορίας (information rate) ή απλά βαθμός ενός κώδικα είναι ένας αριθμός που σχεδιάστηκε να μετράει το ποσοστό κάθε κωδικολέξης που μεταφέρει (δηλαδή περιέχει) το πραγματικό μήνυμα. Ο βαθμός πληροφορίας για έναν κώδικα C μήκους n ορίζεται (για δυαδικούς κώδικες) ως 1 n log 2 C. Επειδή μπορούμε να υποθέσουμε ότι 1 C 2 n, είναι φανερό ότι ο βαθμός πληροφορίας κυμαίνεται μεταξύ 0 και 1 είναι ίσος με 1 αν κάθε λέξη είναι μια κωδικολέξη, και ίσος με 0 αν ισχύει C = 1. Για παράδειγμα, οι βαθμοί πληροφορίας για τους κώδικες C 1, C 2, και C 3 της προηγούμενης ενότητας, είναι 1, 1/3, και 2/3 αντίστοιχα. Καθένας από αυτούς τους βαθμούς φαίνεται να σχετίζεται λογικά με τους αντίστοιχους κώδικες, αφού μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα πρώτα 2 από τα 6 ψηφία σε κάθε κωδικολέξη του C 2 μεταφέρουν το μήνυμα, όπως και τα πρώτα 2 από τα 3 ψηφία σε κάθε κωδικολέξη του C 3. Ασκήσεις Βρείτε το βαθμό πληροφορίας για κάθε κώδικα στις Ασκήσεις 1.3.4, 1.3.5, και Τα αποτελέσματα της διόρθωσης και ανίχνευσης λαθών Για να τονίσουμε τα πολύ θετικά αποτελέσματα που έχει η προσθήκη ενός ψηφίου ελέγχου ισοτιμίας στη δυνατότητα ενός κώδικα να ανιχνεύει λάθη, θεωρούμε τους παρακάτω κώδικες. Ας υποθέσουμε ότι όλες οι 2 11 λέξεις μήκους 11 είναι κωδικολέξεις κατά συνέπεια, κανένα λάθος δεν πρόκειται να ανιχνευτεί. Έστω ότι η αξιοπιστία του κα-
13 1.5 Τα αποτελέσματα της διόρθωσης και ανίχνευσης λαθών 27 ναλιού είναι p = και ότι τα ψηφία αποστέλλονται με ρυθμό 10 7 ψηφία ανά δευτερόλεπτο. Επομένως, η πιθανότητα εσφαλμένης μετάδοσης μιας λέξης είναι χονδρικά ίση με 11p 10 (1 p), κατά προσέγγιση ίση με 11/10 8. Άρα, περίπου = 0.1 λέξεις ανά δευτερόλεπτο θα μεταδίδονται εσφαλμένα χωρίς να μπορούν να ανιχνευτούν. Δηλαδή μια ολόκληρη εσφαλμένη λέξη κάθε 10 δευτερόλεπτα, 6 λέξεις το λεπτό, 360 λέξεις την ώρα, ή 8640 λέξεις τη μέρα! Αυτό δεν είναι πολύ καλό. Ας υποθέσουμε τώρα ότι εισάγουμε ένα ψηφίο ελέγχου ισοτιμίας σε κάθε κωδικολέξη, οπότε το πλήθος των άσων σε καθεμία από τις 2048 κωδικολέξεις είναι άρτιο. Κάθε λέξη με ένα λάθος θα ανιχνεύεται πάντα, άρα τουλάχιστον 2 λάθη θα πρέπει να εμφανιστούν σε κάποια λέξη ώστε αυτή να μεταδοθεί εσφαλμένα χωρίς να το αντιληφθούμε. Η πιθανότητα να εμφανιστούν τουλάχιστον δύο λάθη είναι ίση με 1 p 12 12p 11 (1 p), δηλαδή κατά προσέγγιση ίση με ( 12 2 )p10 (1 p) 2, το οποίο είναι περίπου 66 για p = Άρα, = λέξεις ανά δευτερόλεπτο θα μεταδίδονται εσφαλμένα χωρίς να ανιχνεύονται. Αυτό σημαίνει ένα σφάλμα κάθε 2000 μέρες! Αν είμαστε πρόθυμοι να ελαττώσουμε το βαθμό πληροφορίας επιμηκύνοντας τον κώδικα από 11 σε 12, είναι πολύ πιθανό να ανακαλύπτουμε τα λάθη. Για να αποφασίσουμε αν αυτά τα λάθη συνέβησαν πραγματικά, ίσως χρειαστεί να ζητήσουμε την επαναμετάδοση του μηνύματος. Από φυσικής άποψης, αυτό σημαίνει ότι η μετάδοση πρέπει να καθυστερήσει μέχρι να λάβουμε την επιβεβαίωση, ή ότι τα μηνύματα πρέπει να αποθηκεύονται προσωρινά μέχρι να απαιτήσουμε επαναμετάδοση και οι δύο περιπτώσεις μπορεί να έχουν υψηλό κόστος σε χρόνο ή αποθηκευτικό χώρο. Υπάρχουν βέβαια και οι περιπτώσεις που η επαναμετάδοση είναι αδύνατη, όπως για παράδειγμα στην αποστολή του Voyager, καθώς και όταν χρησιμοποιούμε CD. Επομένως, αξίζει να ενσωματώνουμε δυνατότητες διόρθωσης λαθών μέσα στον κώδικα, παρά την περαιτέρω αύξηση του μήκους των λέξεων. Αυτές οι δυνατότητες μπορεί να δυσκολέψουν την κωδικοποίηση και αποκωδικοποίηση, αλλά θα μας βοηθήσουν να αποφύγουμε το κρυφό κόστος σε χρόνο ή αποθηκευτικό χώρο που προαναφέραμε. Ένας απλός τρόπος για να ενσωματώσουμε τη διόρθωση λαθών είναι να φτιάξουμε έναν επαναληπτικό κώδικα στον οποίο κάθε κωδικολέξη μεταδίδεται τρεις φορές διαδοχικά. Οπότε, αν υποθέσουμε ότι το πολύ ένα εσφαλμένο ψηφίο εμφανίζεται σε κάθε κωδικολέξη των 33 ψηφίων, τότε δύο τουλάχιστον από τις τρεις επαναλήψεις θα είναι σωστές. Επειδή οι συγκρίσεις των τριών εντεκαψήφιων λέξεων είναι σχετικά εύκολη διαδικασία, το μοναδικό μειονέκτημα είναι η μείωση του βαθμού πληροφορίας από 1 σε 1/3.
14 28 1 Εισαγωγή στη θεωρία κωδικοποίησης Όμως, το 1/3 είναι μόνο 1/3. Ίσως υπάρχει καλύτερος τρόπος. Παρακάτω θα δούμε ότι είναι δυνατόν να διορθώνουμε κάθε μοναδικό εσφαλμένο ψηφίο εισάγοντας 4 μόνο επιπλέον ψηφία σε κάθε κωδικολέξη των 11 ψηφίων. Ο κώδικας που παράγεται έχει βαθμό πληροφορίας ίσο με 11/15 η βελτίωση είναι σημαντική, με την προϋπόθεση ότι τα πρόσθετα κόστη κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης δεν είναι απαγορευτικά. Συνεπώς, η αποστολή μας είναι να σχεδιάζουμε κώδικες με λογικούς βαθμούς πληροφορίας, χαμηλό κόστος κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης, και συγκεκριμένες δυνατότητες διόρθωσης ή ανίχνευσης λαθών ώστε να μην απαιτείται επαναμετάδοση του μηνύματος. 1.6 Εύρεση της πιο πιθανής κωδικολέξης που μεταδόθηκε Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνολική αντίληψη της διαδικασίας μετάδοσης, γνωρίζοντας τόσο την κωδικολέξη v που έχει αποσταλεί όσο και τη λέξη w που παραλαμβάνεται. Για δεδομένες κωδικολέξεις v και w, έστω ότι ϕ p (v, w) είναι η πιθανότητα να παραληφθεί η λέξη w, αν η κωδικολέξη v αποσταλεί μέσω ενός ΔΣΚ με αξιοπιστία p. Αφού υποθέτουμε ότι ο θόρυβος κατανέμεται τυχαία, μπορούμε να μεταχειριστούμε τη μετάδοση κάθε ψηφίου ως ανεξάρτητο γεγονός. Ά- ρα, αν οι v και w διαφωνούν σε d ψηφία, τότε n d ψηφία έχουν μεταδοθεί σωστά και d ψηφία έχουν μεταδοθεί εσφαλμένα, συνεπώς ϕ p (v, w) = p n d (1 p) d. Παράδειγμα Έστω C ένας κώδικας μήκους 5. Τότε για κάθε κωδικολέξη v στο C, η πιθανότητα να παραληφθεί σωστά η v είναι ϕ p (v, v) = p 5. Έστω ότι η κωδικολέξη ανήκει στον C. Τότε και αν p = 0.9, τότε Ασκήσεις ϕ p (10101, 01101) = p 3 (1 p) 2 ϕ 0.9 (10101, 01101) = (0.9) 3 (0.1) 2 = Υπολογίστε τη ϕ 0.97 (v, w) για καθένα από τα παρακάτω ζεύγη των v και w: (α) v = , w = (β) v = , w = (γ) v = 00101, w = (δ) v = 00000, w = 00000
15 1.6 Εύρεση της πιο πιθανής κωδικολέξης που μεταδόθηκε 29 (ε) v = , w = (στ) v = 10110, w = (ζ) v = , w = Στην πράξη, γνωρίζουμε τη λέξη w που παραλαμβάνεται, αλλά δεν ξέρουμε την κωδικολέξη v που έχει πραγματικά αποσταλεί. Ωστόσο, κάθε κωδικολέξη v προσδιορίζει μια αντιστοίχιση πιθανοτήτων ϕ p (v, w) για τις λέξεις w. Κάθε τέτοια αντιστοίχιση είναι ένα μαθηματικό μοντέλο και επιλέγουμε το μοντέλο (δηλαδή την κωδικολέξη v) που συμφωνεί περισσότερο με την παρατήρηση σε αυτή την περίπτωση, εκείνη για την οποία η παραληφθείσα λέξη καθίσταται η πιο πιθανή. Δηλαδή, υποθέτουμε ότι η v έχει αποσταλεί όταν παραληφθεί η w αν ισχύει ϕ p (v, w) = max{ϕ p (u, w) u C}. Το παρακάτω θεώρημα παρέχει ένα απλό κριτήριο για την εύρεση μιας τέτοιας κωδικολέξης v. Θεώρημα Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ΔΣΚ με 1/2 < p < 1. Έστω v 1 και v 2 δύο κωδικολέξεις και w μια λέξη, όλες με μήκος n. Υποθέτουμε ότι οι v 1 και w διαφωνούν σε d 1 θέσεις (ψηφία), και οι v 2 και w σε d 2 θέσεις. Τότε: ϕ p (v 1, w) ϕ p (v 2, w) αν και μόνο αν d 1 d 2. Απόδειξη: Έχουμε ήδη αποδείξει ότι ϕ p (v 1, w) ϕ p (v 2, w) ανν p n d 1 (1 p) d 1 p n d 2 (1 p) d 2 ανν ( p 1 p )d 2 d 1 p 1 ανν d 2 d 1 (αφού ισχύει 1 p > 1). Η παραπάνω απόδειξη ορίζει τυπικά τη διαδικασία διόρθωσης λέξεων που είχαμε υιοθετήσει μέχρι τώρα ως μια ενστικτωδώς λογική διαδικασία: διορθώνουμε τη λέξη w στην κωδικολέξη που διαφωνεί με τη w σε όσο το δυνατόν λιγότερες θέσεις, αφού μια τέτοια κωδικολέξη είναι εκείνη που έχει κατά πάσα πιθανότητα αποσταλεί, δεδομένου ότι λάβαμε τη w. Παράδειγμα Αν η λέξη w = παραληφθεί μέσω ενός ΔΣΚ με p = 0.98, ποια από τις κωδικολέξεις 01101, 01001, 10100, είναι πιθανότερο να έχει αποσταλεί; v d (πλήθος διαφορετικών ψηφίων με τη w) το μικρότερο d Με χρήση του παραπάνω πίνακα και σύμφωνα με το Θεώρημα 1.6.3, η είναι η πιο πιθανή λέξη που έχει αποσταλεί. Σημειώστε ότι δεν είναι ανάγκη να γνωρίζουμε την ακριβή τιμή της αξιοπιστίας p για να εφαρμόσουμε το Θεώρημα το μόνο που πρέπει να γνωρίζουμε είναι ότι p > 1/2.
16 30 1 Εισαγωγή στη θεωρία κωδικοποίησης Ασκήσεις Έστω ότι παραλαμβάνεται η λέξη w = μέσω ΔΣΚ με αξιοπιστία p = Ποια από τις ακόλουθες κωδικολέξεις είναι πιο πιθανό να έχει αποσταλεί; , , , , Ποια από τις 8 κωδικολέξεις του κώδικα στην Άσκηση είναι πιθανότερο να έχει αποσταλεί αν παραληφθεί η w = ; Αν C = {01000, 01001, 00011, 11001} και παραληφθεί η λέξη w = 10110, ποια κωδικολέξη είναι πιο πιθανό να έχει αποσταλεί; Επαναλάβετε την Άσκηση 1.6.7, αφού αντικαταστήσετε τον C με {010101, , , , } και τη w με Ποια από τις κωδικολέξεις , , , , είναι πιθανότερο να έχει αποσταλεί αν παραληφθεί η w = ; Στο Θεώρημα υποθέτουμε ότι 1/2 < p < 1. Τι θα αλλάξει στη διατύπωση του Θεωρήματος 1.6.3, αν αντικαταστήσουμε αυτή την υπόθεση με (α) 0 < p < 1/2, (β) p = 1/2; 1.7 Στοιχεία βασικής άλγεβρας Ένα πρόβλημα στο οποίο θα πρέπει να στρέψουμε την προσοχή μας είναι να α- νακαλύψουμε έναν αποδοτικό τρόπο για να βρίσκουμε την κωδικολέξη που είναι κοντινότερη σε οποιαδήποτε παραληφθείσα λέξη. Αν ο κώδικας έχει πάρα πολλές κωδικολέξεις, τότε δεν είναι πρακτικό να συγκρίνουμε κάθε παραληφθείσα λέξη w με κάθε κωδικολέξη διαδοχικά για να βρούμε ποια κωδικολέξη συμφωνεί περισσότερο με τη w. Για παράδειγμα, αν ο κώδικας περιέχει 2 12 κωδικολέξεις (όπως στην αποστολή του Voyager), τότε μια τέτοια διαδικασία αποκωδικοποίησης δεν θα μπορούσε ποτέ να συμβαδίσει με την εισερχόμενη πληροφορία. Για να ξεπεράσουμε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να εισαγάγουμε κάποια δομή στους κώδικες. Έστω K = {0, 1} και έστω K n το σύνολο όλων των δυαδικών λέξεων με μήκος n. Ορίζουμε τη (δυαδική) πρόσθεση και το (δυαδικό) πολλαπλασιασμό στοιχείων του K ως εξής: = 0, = 1, = 1, = = 0, 1 0 = 0, 0 1 = 0, 1 1 = 1.
Πρόλογος 5. Πρόλογος του Μεταφραστή 9
Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Πρόλογος του Μεταφραστή 9 Μέρος I: Θεωρία κωδικοποίησης 1 Εισαγωγή στη θεωρία κωδικοποίησης 19 1.1 Εισαγωγή................................. 19 1.2 Βασικές υποθέσεις............................
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής
Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Εργαστήριο Επεξεργασίας Σημάτων και Τηλεπικοινωνιών Ασύρματες και Κινητές Επικοινωνίες Κωδικοποίηση καναλιού Τι θα δούμε στο μάθημα Σύντομη εισαγωγή Γραμμικοί κώδικες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 7: Κωδικοποίηση καναλιού με γραμμικούς κώδικες block. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Θεωρία Πληροφορίας Διάλεξη 7: Κωδικοποίηση καναλιού με γραμμικούς κώδικες block Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Τεχνικές Διόρθωσης Λαθών Κώδικες εντοπισμού λαθών Κώδικες εντοπισμού
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 10 : Κωδικοποίηση καναλιού Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Απόσταση και βάρος Hamming Τεχνικές και κώδικες ανίχνευσης &
Διαβάστε περισσότεραΚαναλιού. Καναλιού. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Κατηγορίες Κωδικών Καναλιού. Τι πετυχαίνει η Κωδ. Καναλιού. Κωδικοποίηση Καναλιού.
Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Πηγή Δεδομένων Κωδικοποίηση Καναλιού Κώδικας Πηγής Κώδικας Καναλιού Διαμόρφωση Κανάλι Δέκτης Δεδομένων Αποκωδ/ση Πηγής Αποκωδ/ση Καναλιού Αποδιαμόρφωση Κωδικοποίηση Καναλιού
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9
Πρόλογος 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 7 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 1.1 Η αριθµητική υπολοίπων.............. 10 1.2 Η πολυωνυµική αριθµητική............ 14 1.3 Θεωρία πεπερασµένων οµάδων και σωµάτων.... 17 1.4 Πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 10: Κωδικοποίηση καναλιού με συνελικτικούς κώδικες. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Θεωρία Πληροφορίας Διάλεξη 10: Κωδικοποίηση καναλιού με συνελικτικούς κώδικες Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Κωδικοποίηση καναλιού: Σύντομη επανάληψη Συνελικτικοί κώδικες Ιστορική
Διαβάστε περισσότεραΤηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ Διάλεξη 13: Συνελικτικοί Κώδικες Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Κώδικες: Εισαγωγή Συνελικτικοί κώδικες Ατζέντα Ιστορική αναδρομή Μαθηματικό υπόβαθρο Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Θεωρία Πληροφορίας Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλο Επικοινωνίας Δεδομένων. Επικοινωνίες Δεδομένων Μάθημα 6 ο
Μοντέλο Επικοινωνίας Δεδομένων Επικοινωνίες Δεδομένων Μάθημα 6 ο Εισαγωγή Με τη βοήθεια επικοινωνιακού σήματος, κάθε μορφή πληροφορίας (κείμενο, μορφή, εικόνα) είναι δυνατόν να μεταδοθεί σε απόσταση. Ανάλογα
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή 2. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές 3. Οι κρυπταλγόριθμοι και οι ιδιότητές τους
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή... 1 1.1. Ορισμοί και ορολογία... 2 1.1.1. Συμμετρικά και ασύμμετρα κρυπτοσυστήματα... 4 1.1.2. Κρυπτογραφικές υπηρεσίες και πρωτόκολλα... 9 1.1.3. Αρχές μέτρησης κρυπτογραφικής
Διαβάστε περισσότεραNέες Τεχνολογίες. στις Επικοινωνίες
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Nέες Τεχνολογίες στις Επικοινωνίες Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Κώδικες Διόρθωσης Λαθών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir, Adlemann, 1977) Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κρυπτοσύστημα
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 9 : Κανάλι-Σύστημα Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Χωρητικότητα Χ ό καναλιού Το Gaussian κανάλι επικοινωνίας Τα διακριτά
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)
Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης Θεωρία Ρυθμού-Παραμόρφωσης Θεώρημα Κωδικοποίησης Πηγής: αν έχω αρκετά μεγάλο μπλοκ δεδομένων, μπορώ να φτάσω κοντά στην εντροπία Πιθανά Προβλήματα: >
Διαβάστε περισσότεραΒασικές λειτουργίες Ανίχνευση πλαισίων Τι κάνει το επίπεδο ζεύξης Χρησιμοποιεί τις υπηρεσίες του φυσικού επιπέδου, ήτοι την (ανασφαλή) μεταφορά δεδομέ
Αρχές σχεδιασμού, μοντέλα αναφοράς, τυποποίηση Μιλτιάδης Αναγνώστου 19 Μαΐου 2011 1/41 Βασικές λειτουργίες Ανίχνευση πλαισίων Επίδραση του θορύβου Παραδείγματα 2/41 Βασικές λειτουργίες Ανίχνευση πλαισίων
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Κωδικοποίηση πηγής- καναλιού Μάθημα 9o
Μάθημα Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Κωδικοποίηση πηγής- καναλιού Μάθημα 9o ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τομέας Επικοινωνιών και Επεξεργασίας Σήματος Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Θ.Ε. ΠΛΗ22 (2012-13) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #4. Έκδοση v2 με διόρθωση τυπογραφικού λάθους στο ερώτημα 6.3 Στόχος: Βασικό στόχο της 4 ης εργασίας αποτελεί η εξοικείωση με τα μέτρα ποσότητας πληροφορίας τυχαίων
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού
Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικού Mετσόβιου Πολυτεχνείου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 3 : Πηγές Πληροφορίας Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 : Πηγές Πληροφορίας Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Διακριτές Πηγές Πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΣΕ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΔΙΚΤΥΑ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΣΕ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ: Κυκλικός Έλεγχος Πλεονασμού CRC codes Cyclic Redundancy Check codes Ο μηχανισμός ανίχνευσης σφαλμάτων στις επικοινωνίες
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι Ελέγχου Σφαλμάτων
Μέθοδοι Ελέγχου Σφαλμάτων Έλεγχος Ισοτιμίας (Parity Check) Άθροισμα Ελέγχου (Checksum) Έλεγχος κυκλικού πλεονασμού (CRC- Cyclic Redundancy Check) Μερικά μπορεί να μεταφερθούν λάθος, πχ λόγω θορύβου Θα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδο ύνδεσης Δεδομένων (Data Link Layer DLL)
101001 101001 Επίπεδο ύνδεσης Δεδομένων (Data Link Layer DLL) Είναι το δεύτερο επίπεδο στη διαστρωμάτωση του OSI (μετρώντας από κάτω) Ασχολείται με την αποδοτική και αξιόπιστη επικοινωνία μεταξύ δύο γειτονικών
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣΟΡ Κεφάλαιο 1 : Εισαγωγή στη Θεωρία ωία Πληροφορίας Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Έννοια της πληροφορίας Άλλες βασικές έννοιες Στόχος
Διαβάστε περισσότεραΚωδικοποίηση Πηγής. Η λειτουργία ενός συστήματος επικοινωνίας (γενικό διάγραμμα):
Κωδικοποίηση Πηγής Η λειτουργία ενός συστήματος επικοινωνίας (γενικό διάγραμμα): Coder Decoder Μεταξύ πομπού-καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΤετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ
Τετάρτη 5-12/11/2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΣ: ΤΡΟΧΙΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 1. Παράσταση και οργάνωση δεδομένων
Διαβάστε περισσότεραEE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015
EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 13 Δ. Τουμπακάρης 30 Μαΐου 2015 EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια Παράδοση:
Διαβάστε περισσότεραΓνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.
Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ INTERNET
ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ INTERNET Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Μετάδοσης Κώδικες 2 Κώδικες Κωδικοποίηση Δεδομένων: Όπως έχει ήδη αναφερθεί, προκειμένου τα δεδομένα να γίνουν κατανοητά από ένα ηλεκτρονικό
Διαβάστε περισσότερα3/40. (acknowledged connectionless), (acknowledged connection oriented) 4/40
Το επίπεδο συνδέσμου μετάδοσης δεδομένων Μιλτιάδης Αναγνώστου 5 Απριλίου 2013 1/40 Επίδραση του θορύβου Παραδείγματα 2/40 Τι κάνει το επίπεδο ζεύξης ή συνδέσμου μετάδοσης δεδομένων Χρησιμοποιεί τις υπηρεσίες
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ 5. Εισαγωγή Ο σκοπός κάθε συστήματος τηλεπικοινωνιών είναι η μεταφορά πληροφορίας από ένα σημείο (πηγή) σ ένα άλλο (δέκτης). Συνεπώς, κάθε μελέτη ενός τέτοιου συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΑναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική
Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική «Λογικές» πράξεις, μάσκες Πώς βρίσκουμε το υπόλοιπο μιας διαίρεσης με το 4; διαίρεση με 4 = δεξιά ολίσθηση 2 bits Το υπόλοιπο
Διαβάστε περισσότεραΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.4/4η ΟΣΣ/ Κώδικες ελέγχου Σφαλμάτων /
βλ. αρχείο PLH22_OSS4_slides διαφάνειες 47-57 ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.4/4η ΟΣΣ/ Κώδικες ελέγχου Σφαλμάτων/ Ν.Δημητρίου σελ. 1 ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.4/4η ΟΣΣ/ Κώδικες ελέγχου Σφαλμάτων/ Ν.Δημητρίου σελ. 2 ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.4/4η
Διαβάστε περισσότεραΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ (2)
ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ () P e συνάρτηση των S/N και r b (B) Συμβάσεις κανονισμοί για τα S, B Φασματική πυκνότητα θορύβου καθορισμένη Πολυπλοκότητα και κόστος συστήματος ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΝΑΛΙΟΥ Καλά
Διαβάστε περισσότερα«ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ»
ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ «ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ» Αρχιτεκτονικές υλικού χαμηλής ισχύος για την αποκωδικοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΚωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης
Κωδικοποίηση Πηγής Coder Decoder Μεταξύ πομπού και καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας της πηγής με εναλλακτικά σύμβολα ή λέξεις. Κωδικοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ιστορία Ασύμμετρης Κρυπτογραφίας Η αρχή έγινε το 1976 με την εργασία των Diffie-Hellman
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές διόρθωσης και ανίχνευσης σφαλµάτων
Τεχνικές διόρθωσης και ανίχνευσης σφαλµάτων Εντοπισµός σφαλµάτων Εντοπισµός ιόρθωση Προστίθενται bit πλεονασµού Αν µπορεί διορθώνει, (forward error correction) αλλιώς ζητά επανεκποµπή (backward error correction)
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα
Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Ένα συνδυαστικό λογικό κύκλωμα συντίθεται από λογικές πύλες, δέχεται εισόδους και παράγει μία ή περισσότερες εξόδους. Στα συνδυαστικά λογικά κυκλώματα οι έξοδοι σε κάθε χρονική
Διαβάστε περισσότεραΜέρος Β - Δίκτυα. Ασκήσεις I. Ποιος ο ρόλος του πομπού και του δέκτη στο μοντέλο επικοινωνίας που α- πεικονίζεται στο σχήμα που ακολουθεί; Μ Δεδομένα
Μέρος Β - Δίκτυα 1 η Διδακτική Ενότητα Μοντέλο επικοινωνίας δεδομένων - Κώδικες - Σήματα Προβλεπόμενες διδακτικές ώρες: 1 Λέξεις Κλειδιά ASCII BCD Unicode αναλογικό σήμα ΕΛΟΤ-928 επικοινωνία δεδομένων
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Πληροφορίας: Κωδικοποίηση Πηγής Ψηφιακή Μετάδοση Υπάρχουν ιδιαίτερα εξελιγμένες τεχνικές αναλογικής μετάδοσης (που ακόμη χρησιμοποιούνται σε ορισμένες εφαρμογές) Επίσης,
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ
ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ Θέματα μελέτης Ορθότητα και απόδοση αλγορίθμων Παρουσίαση και ανάλυση αλγορίθμου για πρόσθεση Al Khwarizmi Αλγόριθμοι Το δεκαδικό σύστημα εφευρέθηκε στην Ινδία περίπου το
Διαβάστε περισσότεραΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.4/4η ΟΣΣ/ Ν.Δημητρίου 1
(*) Οι σημειώσεις αυτές συνοψίζουν τα βασικά σημεία της παρουσίασης PLH22_OSS4_slides_2015_2016 που είναι διαθέσιμη στο study.eap.gr ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.4/4η ΟΣΣ/ Ν.Δημητρίου 1 ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.4/4η ΟΣΣ/ Ν.Δημητρίου
Διαβάστε περισσότερα* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.
Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 8: Μετάδοση Δεδομένων. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών
Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 8: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Κατανόηση του τρόπου με τον οποίο στέλνεται ένα πακέτο δεδομένων
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα κωδικοποίησης πηγής
Κωδικοποίηση Kωδικοποίηση πηγής Θεώρημα κωδικοποίησης πηγής Καθορίζει ένα θεμελιώδες όριο στον ρυθμό με τον οποίο η έξοδος μιας πηγής πληροφορίας μπορεί να συμπιεσθεί χωρίς να προκληθεί μεγάλη πιθανότητα
Διαβάστε περισσότεραΤο μόνο, ίσως, μειονέκτημά τους είναι ότι το μήκος τους υπόκειται σε περιορισμό από το πλήθος των στοιχείων του σώματος επί του οποίου ορίζονται.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κώδικες Reed-Solomo και συναφείς κώδικες To 1959 o Hocqueghe και, ανεξάρτητα, το 1960 οι Bose Ray-Chaudhuri επινόησαν μια κατηγορία κωδίκων τους λεγόμενους BCH κώδικες. Οι κώδικες αυτοί είναι
Διαβάστε περισσότεραΑριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3: Εισαγωγή στους αλγορίθμους - διαγράμματα ροής
Κεφάλαιο 3: Εισαγωγή στους αλγορίθμους - διαγράμματα ροής Αλγόριθμος (algorithm) λέγεται μία πεπερασμένη διαδικασία καλά ορισμένων βημάτων που ακολουθείται για τη λύση ενός προβλήματος. Το διάγραμμα ροής
Διαβάστε περισσότεραΤηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ Διάλεξη 11: Κωδικοποίηση Πηγής Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα 1. Αλγόριθμοι κωδικοποίησης πηγής Αλγόριθμος Fano Αλγόριθμος Shannon Αλγόριθμος Huffman
Διαβάστε περισσότερα//009 Βασικές εργασίες του επιπέδου ζεύξης ηµιουργία πλαισίων Έλεγχος σφαλµάτων Έλεγχος ροής Σχέση µεταξύ πακέτων (επιπέδου δικτύου) και πλαισίων (επι
//009 Επίπεδο ζεύξης δεδοµένων Εφαρµογών Παρουσίασης Συνόδου ιακίνησης ικτύου Ζεύξης Ζεύξης Φυσικό Τι κάνει το επίπεδο ζεύξης Χρησιµοποιεί τις υπηρεσίες του φυσικού επιπέδου, ήτοι την (ανασφαλή) µεταφορά
Διαβάστε περισσότεραΔραστηριότητες σχετικά με κρυπτογραφία και ελέγχους ισοτιμίας
Δραστηριότητες σχετικά με κρυπτογραφία και ελέγχους ισοτιμίας Δραστηριότητα 6: Κωδικοί και κρυπτογραφία Το αντικείμενο της δραστηριότητας αυτής είναι η κατανόηση από την πλευρά των μαθητών μερικών στοιχειωδών
Διαβάστε περισσότεραΔίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης
Δίαυλος Πληροφορίας Η λειτουργία του διαύλου πληροφορίας περιγράφεται από: Τον πίνακα διαύλου μαθηματική περιγραφή. Το διάγραμμα διάυλου παραστατικός τρόπος περιγραφής. Πίνακας Διαύλου Κατασκευάζεται με
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Θ.Ε. ΠΛΗ22 (2012-13) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #5 Στόχος Βασικό στόχο της 5 ης εργασίας αποτελεί η εξοικείωση με τις έννοιες και τα μέτρα επικοινωνιακών καναλιών (Κεφάλαιο 3), καθώς και με έννοιες και τεχνικές της
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής
Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
Διαβάστε περισσότεραD. G. Hoffman, D. A. Leonard, C. C. Lindner, K. T. Phelps, C. A. Rodger, J. R. Wall
Πρόλογος Ετούτο εδώ το ϐιβλίο σχεδιάστηκε για να διδαχθεί η Θεωρία Κωδίκων µε έναν ορθό µαθηµατικό τρόπο σε ϕοιτητές της Μηχανικής, της Επιστήµης των Η/Υ και των Μαθηµατικών. ιαφέρει από τα πιο πολλά κείµενα
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1 1.0 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
ΕΝΟΤΗΤΑ 1 1.0 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γενικά οι τεχνολογίες είναι επιστήμες που αξιοποιούν τις γνώσεις, τα εργαλεία και τις δεξιότητες για επίλυση προβλημάτων με πρακτική εφαρμογή. Η Τεχνολογία
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία PROJECT Συνοπτική Παρουσίαση του Κβαντικού Αλγόριθμου Παραγοντοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ενδιαφέροντες'' Κώδικες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ενδιαφέροντες'' Κώδικες Πολλές φορές προηγουμένως, αναφερθήκαμε στις ιδιότητες που έχει ένας κώδικας, π.χ. ως προς την αποτελεσματικότητά του να ανιχνεύει ή (και) να διορθώνει λάθη, ως προς
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Συστημάτων Πολυμέσων
Θέματα Συστημάτων Πολυμέσων Ενότητα # 6: Στοιχεία Θεωρίας Πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος K. Πολύζος Τμήμα: Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Επιστήμη των Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΔύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:
Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Κοντογιάννης ΠΕ19
Ενότητα2 Προγραμματιστικά Περιβάλλοντα Δημιουργία Εφαρμογών 5.1 Πρόβλημα και Υπολογιστής Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Πρόβλημα θεωρείται κάθε ζήτημα που τίθεται προς επίλυση, κάθε κατάσταση που μας απασχολεί
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Λογική Σχεδίαση
Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΈνα αναλογικό σήμα περιέχει άπειρες πιθανές τιμές. Για παράδειγμα ένας απλός ήχος αν τον βλέπαμε σε ένα παλμογράφο θα έμοιαζε με το παρακάτω:
Σημειώσεις Δικτύων Αναλογικά και ψηφιακά σήματα Ένα αναλογικό σήμα περιέχει άπειρες πιθανές τιμές. Για παράδειγμα ένας απλός ήχος αν τον βλέπαμε σε ένα παλμογράφο θα έμοιαζε με το παρακάτω: Χαρακτηριστικά
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία πληροφοριών. Τεχνολογία Πολυµέσων 07-1
Θεωρία πληροφοριών Εισαγωγή Αµοιβαία πληροφορία Εσωτερική πληροφορία Υπό συνθήκη πληροφορία Παραδείγµατα πληροφορίας Μέση πληροφορία και εντροπία Παραδείγµατα εντροπίας Εφαρµογές Τεχνολογία Πολυµέσων 07-
Διαβάστε περισσότεραΚατακερματισμός (Hashing)
Κατακερματισμός (Hashing) O κατακερματισμός είναι μια τεχνική οργάνωσης ενός αρχείου. Είναι αρκετά δημοφιλής μέθοδος για την οργάνωση αρχείων Βάσεων Δεδομένων, καθώς βοηθάει σημαντικά στην γρήγορη αναζήτηση
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ψηφιακή Σχεδίαση
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Ψηφιακή Σχεδίαση Ενότητα 9: Ελαχιστοποίηση και Κωδικοποίηση Καταστάσεων, Σχεδίαση με D flip-flop, Σχεδίαση με JK flip-flop, Σχεδίαση με T flip-flop Δρ. Μηνάς
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εντολές επιλογής Εντολές επανάληψης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εντολές επιλογής Εντολές επανάληψης Εισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο αναπτύξαμε προγράμματα, τα οποία ήταν πολύ απλά και οι εντολές των οποίων εκτελούνται η μία μετά την άλλη. Αυτή η σειριακή
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων
Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 5: To Μοντέλο Αναφοράς O.S.I.
Μάθημα 5: To Μοντέλο Αναφοράς O.S.I. 5.1 Γενικά Τα πρώτα δίκτυα χαρακτηρίζονταν από την «κλειστή» αρχιτεκτονική τους με την έννοια ότι αυτή ήταν γνωστή μόνο στην εταιρία που την είχε σχεδιάσει. Με τον
Διαβάστε περισσότεραΥπάρχουν δύο τύποι μνήμης, η μνήμη τυχαίας προσπέλασης (Random Access Memory RAM) και η μνήμη ανάγνωσης-μόνο (Read-Only Memory ROM).
Μνήμες Ένα από τα βασικά πλεονεκτήματα των ψηφιακών συστημάτων σε σχέση με τα αναλογικά, είναι η ευκολία αποθήκευσης μεγάλων ποσοτήτων πληροφοριών, είτε προσωρινά είτε μόνιμα Οι πληροφορίες αποθηκεύονται
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραPr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)
Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,
Διαβάστε περισσότεραA Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου
A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Πληροφορίας: Χωρητικότητα Καναλιού Χωρητικότητα Καναλιού Η θεωρία πληροφορίας περιλαμβάνει μεταξύ άλλων: κωδικοποίηση πηγής κωδικοποίηση καναλιού Κωδικοποίηση πηγής: πόση
Διαβάστε περισσότεραΒ Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής
Διαβάστε περισσότεραE [ -x ^2 z] = E[x z]
1 1.ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτήν την διάλεξη θα πάμε στο φίλτρο με περισσότερες λεπτομέρειες, και θα παράσχουμε μια νέα παραγωγή για το φίλτρο Kalman, αυτή τη φορά βασισμένο στην ιδέα της γραμμικής
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 5 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ. url:
στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 5 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ email: leo@mail.ntua.gr url: http://users.ntua.gr/leo Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΠρωτόκολλα Διαδικτύου
Πρωτόκολλα Διαδικτύου Ερωτήσεις Ασκήσεις Επικοινωνίες Δεδομένων Μάθημα 3 ο Ερωτήσεις 1. Τι είναι το intranet και ποια τα πλεονεκτήματα που προσφέρει; 2. Τι δηλώνει ο όρος «TCP/IP»; 3. Να αναφέρετε τα πρωτόκολλα
Διαβάστε περισσότερα1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης
1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων Τα σύγχρονα συστήµατα επικοινωνίας σε πολύ µεγάλο ποσοστό διαχειρίζονται σήµατα ψηφιακής µορφής, δηλαδή, σήµατα που δηµιουργούνται από ακολουθίες δυαδικών ψηφίων. Τα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Stream ciphers Η διαδικασία κωδικοποίησης για έναν stream cipher συνοψίζεται παρακάτω: 1.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 13: Αλγόριθμοι-Μεγάλων ακεραίων- Εκθετοποίηση- Πολλαπλασιασμός πινάκων -Strassen Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. 2 Αριθμητικά συστήματα
Περιεχόμενα Πρόλογος 1 Εισαγωγή 1.1 Το μοντέλο Turing 1.2 Το μοντέλο von Neumann 1.3 Συστατικά στοιχεία υπολογιστών 1.4 Ιστορικό 1.5 Κοινωνικά και ηθικά ζητήματα 1.6 Η επιστήμη των υπολογιστών ως επαγγελματικός
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 29 / σελίδα 28
Πρόβλημα 29 / σελίδα 28 Πρόβλημα 30 / σελίδα 28 Αντιμετάθεση / σελίδα 10 Να γράψετε αλγόριθμο, οποίος θα διαβάζει τα περιεχόμενα δύο μεταβλητών Α και Β, στη συνέχεια να αντιμεταθέτει τα περιεχόμενά τους
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 2ο Αναπαράσταση Δεδομένων
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 2ο Αναπαράσταση Δεδομένων 1 2.1 Τύποι Δεδομένων Τα δεδομένα σήμερα συναντώνται σε διάφορες μορφές, στις οποίες περιλαμβάνονται αριθμοί,
Διαβάστε περισσότεραd k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Καλογερόπουλος Παναγιώτης
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΠΑΛΜΟΚΩΔΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ - PCM (ΜΕΡΟΣ Α)
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΠΑΛΜΟΚΩΔΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ - PCM (ΜΕΡΟΣ Α) 3.1. ΣΚΟΠΟΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σκοπός της εργαστηριακής αυτής άσκησης είναι η μελέτη της παλμοκωδικής διαμόρφωσης που χρησιμοποιείται στα σύγχρονα τηλεπικοινωνιακά
Διαβάστε περισσότεραΌρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη
Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Μέχρι στιγμής εξετάσθηκαν μέθοδοι ταξινόμησης µε πολυπλοκότητα της τάξης Θ ) ή Θlog ). Τι εκφράζει
Διαβάστε περισσότεραΠαλμοκωδική Διαμόρφωση. Pulse Code Modulation (PCM)
Παλμοκωδική Διαμόρφωση Pulse Code Modulation (PCM) Pulse-code modulation (PCM) Η PCM είναι ένας στοιχειώδης τρόπος διαμόρφωσης που δεν χρησιμοποιεί φέρον! Το μεταδιδόμενο (διαμορφωμένο) σήμα PCM είναι
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Συστημάτων Πολυμέσων
Θέματα Συστημάτων Πολυμέσων Ενότητα # 5: Βασική Θεωρία Πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Πολύζος Τμήμα: Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Επιστήμη των Υπολογιστών Άδειες χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα