ΤΜΠΔΡΙΦΟΡΔ ΜΑΘΗΣΩΝ Γ' ΓΤΜΝΑΙΟΤ Δ ΑΠΟΓΔΙΞΔΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΩΝ ΓΔΩΜΔΣΡΙΑ ΜΔ ΣΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GEOGEBRA. Πεπίλητη. Ειζαγυγή

Transcript

1 Χ. Λεμονίδηρ, Χ., Αποζηόλος (2011). Σςμπεπιθοπέρ μαθηηών Γ Γςμναζίος ζε αποδείξειρ πποβλημάηων γεωμεηπίαρ με ηο ππόγπαμμα Geogebra. Εςκλείδηρ Γ, ηεύσορ 74, ζελ , ΤΜΠΔΡΙΦΟΡΔ ΜΑΘΗΣΩΝ Γ' ΓΤΜΝΑΙΟΤ Δ ΑΠΟΓΔΙΞΔΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΩΝ ΓΔΩΜΔΣΡΙΑ ΜΔ ΣΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GEOGEBRA Πεπίλητη Αθνύ πξνεγήζεθε κηα ηξίσξε δηδαθηηθή παξέκβαζε γηα ηελ εμνηθείσζε νθηώ (8) καζεηώλ ηεο Γ γπκλαζίνπ κε ην ινγηζκηθό δπλακηθήο γεσκεηξίαο GeoGebra, εξεπλήζεθε 1) ε ηθαλόηεηα ησλ καζεηώλ ζηε θαηαζθεπή γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ, 2) ν βαζκόο ζηνλ νπνίν νη καζεηέο ρξεζηκνπνίεζαλ ην ινγηζκηθό αιιά θαη ν ηξόπνο κε ηνλ νπνίν ην ρξεζηκνπνίεζαλ γηα ηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ γεσκεηξίαο, 3) ν βαζκόο ζηνλ νπνίν νη καζεηέο επέιεμαλ ηελ εκπεηξηθή απόδεημε ζε ζρέζε κε ηελ επαγσγηθή (ηππηθή καζεκαηηθή) απόδεημε θαη 4) ε άπνςε ησλ καζεηώλ αιιά θαη ηνπ εθπαηδεπηηθνύ γηα ηελ ελδερόκελε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα Σα απνηειέζκαηα έδεημαλ όηη: 1) ε ζύληνκε (ηξίσξε) δηδαθηηθή παξέκβαζε ήηαλ αξθεηή γηα λα απνθηήζνπλ νη καζεηέο ηελ ηθαλόηεηα λα δεκηνπξγνύλ κε ην GeoGebra, κε ζρεηηθή επθνιία, γεσκεηξηθά ζρήκαηα παξόκνηα κε απηά πνπ θαινύληαη λα ζρεδηάζνπλ ζηελ ζπκβαηηθή δηδαζθαιία ζηελ ηάμε ηνπο, 2) ην ινγηζκηθό ρξεζηκνπνηήζεθε επξέσο από όινπο ηνπο καζεηέο γηα ηελ δηεξεύλεζε ησλ πξνβιεκάησλ, ηε δεκηνπξγία ζπιινγηζκώλ θαη ηελ εμαγσγή ζπκπεξαζκάησλ, 3) ζηελ ζπληξηπηηθή πιεηνςεθία ησλ καζεηώλ, ε εκπεηξηθή απόδεημε πνπ πξνζθέξεηαη κέζα από ην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνύ, πξνηηκήζεθε αληί ηεο ηππηθήο καζεκαηηθήο απόδεημεο, παξά ην γεγνλόο όηη νη καζεηέο κέρξη θαη ηελ δηεμαγσγή ηεο έξεπλαο ήηαλ εμνηθεησκέλνη κόλν κε ηελ ηππηθή απόδεημε, θαη 4) ε άπνςε ησλ καζεηώλ αιιά θαη ηεο θαζεγήηξηαο γηα ηελ ελδερόκελε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα ήηαλ πνιύ ζεηηθή. Ειζαγυγή Η απμαλόκελε δηείζδπζε ησλ Σερλνινγηώλ ηεο Πιεξνθνξίαο θαη ησλ Δπηθνηλσληώλ (ΣΠΔ) ζηελ θνηλσλία δελ ήηαλ δπλαηόλ λα αθήζεη αλεπεξέαζην θαη ηνλ ηνκέα ηεο εθπαίδεπζεο. Σα ινγηζκηθά αιιά θαη γεληθόηεξα ηα πεξηβάιινληα κάζεζεο (κηθξόθνζκνη) πνπ πξνζθέξνπλ νη ΣΠΔ ζπλερώο εμειίζζνληαη θαη πξνζθέξνπλ όιν θαη πεξηζζόηεξεο δπλαηόηεηεο κάζεζεο αιιά θαη δπλαηόηεηεο ζρεδηαζκνύ κεγαιύηεξεο πνηθηιίαο δξαζηεξηνηήησλ γηα ηνπο καζεηέο. Σηο ηειεπηαίεο ηξεηο δεθαεηίεο, νη (ηερλνινγηθνί) καζεκαηηθνί κηθξόθνζκνη πνπ έρνπλ δεκηνπξγεζεί πξνζθέξνπλ θαηλνηόκνπο ηξόπνπο δηεμαγσγήο δξαζηεξηνηήησλ γηα ηελ δηδαζθαιία ηεο γεσκεηξίαο (C. Laborde, C. Kynigos et all, 2006). ηηο κέξεο καο, ε ζπλεηζθνξά ηεο ηερλνινγίαο ζηελ 1

2 δηδαζθαιία ηεο γεσκεηξίαο γίλεηαη πεξηζζόηεξν αληηιεπηή σο άξξεθηα ζπλδεδεκέλε κε ηηο δπλακηθά κεηαβαιιόκελεο δηαδξαζηηθέο γξαθηθέο αλαπαξαζηάζεηο πνπ πξνζθέξνπλ ηα ινγηζκηθά δπλακηθήο γεσκεηξίαο (Dynamic Geometry Environments ή DGE) (C. Laborde, C. Kynigos et all, 2006). Σα DGE ινγηζκηθά επηηξέπνπλ ζην καζεηή λα εξγαζηεί ζε έλα πεξηβάιινλ (κηθξόθνζκν) όπνπ κπνξεί λα πεηξακαηηζηεί θαη λα θαηαζθεπάζεη ζρήκαηα ζε πνιύ ιηγόηεξν ρξόλν από όηη ζηελ πεξίπησζε ραξηίκνιύβη θαη κε κεγάιε αθξίβεηα. Σα πξώηα ινγηζκηθά δπλακηθήο γεσκεηξίαο (DGE), εθκεηαιιεπόκελα ηελ κεγάιε πξόνδν πνπ έγηλε ζηελ γξαθηθή απεηθόληζε ησλ ππνινγηζηώλ, έθαλαλ ηελ εκθάληζή ηνπο ηελ δεθαεηία ηνπ 1980 (C. Laborde, C. Kynigos et all, 2006). Σν θύξην πιενλέθηεκα ησλ ινγηζκηθώλ δπλακηθήο γεσκεηξίαο ζε ζρέζε κε άιια (ππνινγηζηηθά ε ζπκβαηηθά πεξηβάιινληα) είλαη όηη νη καζεηέο κπνξνύλ λα θαηαζθεπάζνπλ ζύλζεηα γεσκεηξηθά ζρήκαηα θαη κπνξνύλ εύθνια λα εθηειέζνπλ ζε πξαγκαηηθό ρξόλν έλα κεγάιν θάζκα κεηαζρεκαηηζκώλ πάλσ ζε απηά ηα ζρήκαηα, ώζηε νη καζεηέο λα έρνπλ πξόζβαζε ζε κηα κεγάιε πνηθηιία παξαδεηγκάησλ, αζύγθξηηα κεγαιύηεξε από απηήλ πνπ πξνζθέξνπλ ηα ζπκβαηηθά ή ηα ζηαηηθά ππνινγηζηηθά πεξηβάιινληα (R. Marrades and A. Gutierrez, 2001, p.96). Γίλνπλ ηελ δπλαηόηεηα ηεο δεκηνπξγίαο κηαο νηθνγέλεηαο (ζεηξάο) ζρεκάησλ - αληί γηα έλα κόλν ζηαηηθό ζρήκα - ηα νπνία λα αλαπαξηζηνύλ ηηο γεσκεηξηθέο θαηαζθεπέο θαη ηηο ζρέζεηο ηνπο (C. Laborde, C. Kynigos et all, 2006). Γίλνπλ έηζη ηελ δπλαηόηεηα ζηνπο καζεηέο λα πεξάζνπλ από ην "εηδηθό" ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ ζρήκαηνο ζην "γεληθό", ην νπνίν είλαη ην δεηνύκελν ζηα καζεκαηηθά, θαη ην νπνίν πεξηγξάθεηαη από όια ηα ζρήκαηα ηεο νηθνγέλεηαο πνπ κπνξνύλ λα θαηαζθεπαζηνύλ κε ηελ δπλαηόηεηα ηνπ dragging (ζύξζηκν). Από επηζηεκνινγηθή άπνςε, ηα DGE ινγηζκηθά, απνηεινύλ ηελ γέθπξα κεηαμύ ηεο εκπεηξηθήο θαη ηεο ζεσξεηηθήο δηάζηαζεο ηεο γεσκεηξίαο (C. Laborde, C. Kynigos et all, 2006). Καηά ην dragging (ζύξζηκν κε ην "πνληίθη") ελόο ζηνηρείνπ θάπνηνπ γεσκεηξηθνύ ζρήκαηνο πνπ έρεη θαηαζθεπαζηεί ζηνλ κηθξόθνζκν ελόο πεξηβάιινληνο DGE, ην ζρήκα αιιάδεη κνξθή αιιά όιεο νη γεσκεηξηθέο ζρέζεηο πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ ζηελ θαηαζθεπή δηαηεξνύληαη. Έηζη, ηα ινγηζκηθά δπλακηθήο γεσκεηξίαο, δίλνπλ ηελ δπλαηόηεηα ζηνπο καζεηέο λα εμεξεπλήζνπλ έλα γεσκεηξηθό πξόβιεκα, λα ειέγμνπλ εκπεηξηθά θαη λα επαιεζεύζνπλ ή λα απνξξίςνπλ ηνπο ζπιινγηζκνύο (εηθαζίεο ηνπο) (C. Laborde, C. Kynigos et all, 2006; R. Marrades and A. Gutierrez, 2001). Απηή ε δπλαηόηεηα δηεξεύλεζεο πνπ πξνζθέξνπλ ηα DGE ινγηζκηθά δηεπθνιύλεη ηελ ζπλεξγαζία ησλ καζεηώλ ζηελ αλαδήηεζε ηεο ιύζεο ελόο πξνβιήκαηνο θαη επνκέλσο δηεπθνιύλεη ηελ εξγαζία ησλ καζεηώλ ζε νκάδεο (νκαδνζπλεξγαηηθή δηδαζθαιία). Σν 2006 ππήξραλ πεξίπνπ 70 γλσζηά DGE ινγηζκηθά (πεξηβάιινληα) παγθνζκίσο, κε ηα πεξηζζόηεξα από απηά λα είλαη θιώλνη ή απόγνλνη δέθα βαζηθώλ ινγηζκηθώλ. Οη πεξηζζόηεξεο κέρξη ηώξα έξεπλεο εζηηάζηεθαλ ζηα ινγηζκηθά Cabri-Geometry θαη Geometer s Sketchpad. Σν πξώην είλαη γαιιηθό θαη ην δεύηεξν ακεξηθάληθν. Ιδηαίηεξα ζηελ ειιεληθή βηβιηνγξαθία, νη πεξηζζόηεξεο έξεπλεο εζηηάδνληαη ζην γαιιηθό Cabri-Geometry, γηα ην νπνίν ην ΤΠΔΠΘ έρεη απνθηήζεη άδεηεο ρξήζεηο γηα ζπγθεθξηκέλν αξηζκό εγθαηαζηάζεσλ ηνπ ινγηζκηθνύ ζε ειιεληθά ζρνιεία θαη έρεη δηαλείκεη ην 2

3 ινγηζκηθό ζε αξθεηά ειιεληθά ζρνιεία. Γελ είλαη γλσζηό θαηά πόζν ην ειιεληθό θξάηνο ζα ζπλερίδεη λα πιεξώλεη γηα ηελ αλαβάζκηζε ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ ινγηζκηθνύ ζην κέιινλ ή γηα ηελ αγνξά ησλ πηζαλώλ κειινληηθώλ ηνπ εθδόζεσλ. Σα ίδηα ηζρύνπλ θαη γηα ην δεύηεξν ινγηζκηθό, ην Geometer s Sketchpad - ε άδεηα ρξήζεο ηνπ, όπσο θαη ηνπ Cabri-Geometry, παξέρεηαη κόλν θαηόπηλ πιεξσκήο. Σν ινγηζκηθό GeoGebra ηελ παξνύζα έξεπλα ρξεζηκνπνηήζεθε ην ινγηζκηθό GeoGebra πνπ είλαη θαη απηό έλα ινγηζκηθό δπλακηθήο γεσκεηξίαο (DGE) αιιά πνπ εκθαλίζηεθε πνιύ αξγόηεξα από ηα παξαπάλσ δύν ινγηζκηθά. Γεκηνπξγήζεθε ην 2001 από ην Florida Atlantic University ησλ ΗΠΑ κε ζθνπό λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα ηε δηδαζθαιία θαη κάζεζε ησλ καζεκαηηθώλ ζην ζρνιείν θαη κεηαθξάζηεθε ζηα ειιεληθά ην Έρεη ιάβεη αξθεηά δηεζλή βξαβεία ζπκπεξηιακβαλνκέλσλ θαη ησλ βξαβείσλ ινγηζκηθνύ εθπαίδεπζεο ηεο Δπξώπεο θαη ηεο Γεξκαλίαο. Δπεηδή δεκηνπξγήζεθε ζρεηηθά πξόζθαηα, δελ ππάξρνπλ πνιιέο έξεπλεο γηα ηελ ρξήζε ηνπ ζηε δηδαζθαιία. ηα πιενλεθηήκαηά ηνπ GeoGebra ζε ζρέζε κε ηα παξαπάλσ δύν αιιά θαη κε ηα πεξηζζόηεξα DGE ινγηζκηθά ζπγθαηαιέγνληαη ηα παξαθάησ. Δίλαη έλα ινγηζκηθό ηύπνπ "ΔΛ-ΛΑΚ" (Διεύζεξν Λνγηζκηθό - Λνγηζκηθό Αλνηθηνύ Κώδηθα) θαη δηαηίζεηαη εληειώο δσξεάλ. Απηό απνηειεί κηα θάπνηα εγγύεζε γηα ηε κειινληηθή ύπαξμε ηνπ ινγηζκηθνύ, ηε ζπλερή βειηίσζή ηνπ θαη ηελ δσξεάλ δηάζεζή ηνπ ζην κέιινλ. Όινη νη καζεηέο κπνξνύλ δσξεάλ θαη εύθνια λα ην "θαηεβάζνπλ" κέζσ ηνπ δηαδηθηύνπ θαη λα ην εγθαηαζηήζνπλ ζηνπο ππνινγηζηέο ηνπο. Η επίζεκε δηθηπαθή δηεύζπλζε από όπνπ κπνξνύκε λα "θαηεβάζνπκε" ην ινγηζκηθό είλαη: Σν GeoGebra έρεη ηελ δπλαηόηεηα λα ζπλδπάδεη ηε γεσκεηξία κε ηελ άιγεβξα. Πέξαλ ηεο δπλαηόηεηαο θαηαζθεπήο γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ, παξέρεη θαη ηελ δπλαηόηεηα εηζαγσγήο αιγεβξηθώλ εμηζώζεσλ ηηο νπνίεο αλαπαξηζηά γεσκεηξηθά. Η νλνκαζία GeoGebra πξνέξρεηαη από ηηο ιέμεηο Geometry θαη Algebra θαη επηζεκαίλεη αθξηβώο απηή ηνπ ηελ δπλαηόηεηα. Παξέρεη έλαλ κηθξόθνζκν δπλακηθήο γεσκεηξίαο ν νπνίνο ελώ δελ πζηεξεί ζε δπλαηόηεηεο από ηνπο κηθξόθνζκνπο πνπ πξνζθέξνπλ ηα ινγηζκηθά Cabri geometry θαη Scetchpad είλαη παξάιιεια πνιύ εύθνινο ζηε ρξήζε ηνπ. Η επηθάλεηα δηεπαθήο ηνπ (interface) είλαη ιηηή, εύθνια θαηαλνεηή αθόκε θαη από ηνλ αξράξην ρξήζηε θαη εκθαλίδεη ρξήζηκεο ππνδείμεηο θάζε θνξά πνπ ν δείθηεο ηνπ πνληηθηνύ πεξλάεη πάλσ από θάζε θνπκπί ηεο νζόλεο. Καηά ηελ άπνςε ηνπ γξάθνληα, ην πεξηβάιινλ δηεπαθήο ηνπ είλαη πεξηζζόηεξν εύθνιν ζηε ρξήζε θαη θαηαλνεηό από ηα πεξηβάιινληα δηεπαθήο ησλ παξαπάλσ δύν ινγηζκηθώλ. ε αληίζεζε κε ηα πεξηζζόηεξα DGE ινγηζκηθά, είλαη ζπκβαηό κε ηα πεξηζζόηεξν γλσζηά ιεηηνπξγηθά ζπζηήκαηα (windows, Linux θαη Mac). Απόδειξη και σπήζη δςναμικών ππογπαμμάηυν 3

4 Αξρηθά νη έξεπλεο γηα ηηο επηπηώζεηο ηεο ρξήζεο ησλ DGE ινγηζκηθώλ, εζηηάζηεθαλ ζηελ αιιειεπίδξαζε ηνπ καζεηή κε ηνλ ππνινγηζηή. Σειεπηαία όκσο γίλεηαη όιν θαη πεξηζζόηεξν θαλεξό όηη ζεκαληηθό ξόιν παίδεη ην είδνο ησλ δξαζηεξηνηήησλ πνπ θαηαζθεπάδεη ν εθπαηδεπηηθόο, ν ξόινο ηνπ εθπαηδεπηηθνύ γεληθόηεξα, αιιά θαη ην γεληθόηεξν πεξηβάιινλ ηεο ηάμεο (C. Laborde, C. Kynigos et all, 2006). Έρεη δηαπηζησζεί όηη ηo πεξηβάιινλ ελόο DGE ινγηζκηθνύ πξνάγεη ηελ πνιιαπιή πξνζέγγηζε ελόο καζεκαηηθνύ πξνβιήκαηνο αιιά θαη ηελ θαιύηεξε θαηαλόεζε ησλ καζεκαηηθώλ ελλνηώλ ζε ζρέζε κε ην πεξηβάιινλ ραξηί κνιύβη (Κνξδάθε, Μ. θαη Μπαισκέλνπ, Α., 2003; Jones, 1998). Η εξγαζία ζην πεξηβάιινλ ελόο DGE ινγηζκηθνύ θαίλεηαη λα ελζνπζηάδεη ηνπο καζεηέο (Holzl R, 1996). Σα ινγηζκηθά δπλακηθήο γεσκεηξίαο δίλνπλ ηελ επθαηξία ζηνπο καζεηέο λα παίμνπλ, λα εξεπλήζνπλ θαη λα κάζνπλ καζεκαηηθά. Η έθπιεμε πνπ κπνξνύλ λα δεκηνπξγήζνπλ ζηνπο καζεηέο νη παξαηεξήζεηο ηνπο κέζα ζην πεξηβάιινλ ελόο DGE ινγηζκηθνύ αλαθνξηθά κε ηηο ζρέζεηο ή ηελ κνξθή ηνπ ζρήκαηνο πνπ παξνπζηάδνληαη θαηά ην dragging, κπνξεί λα ηνπο νδεγήζεη ζηελ αλαδήηεζε ηεο απόδεημεο (Arcavi Α. θαη Hadas Ν. 2000). ην άξζξν ησλ R. Marrades and A. Gutierrez, 2000, πεξηγξάθεηαη ν ηξόπνο κε ηνλ νπνίν ηέζζεξεηο (4) νιιαλδνί καζεηέο γπκλαζίνπ, ειηθίαο εηώλ, εξγαδόκελνη ζε νκάδεο δύν αηόκσλ, αλαδήηεζαλ θαη απέδεημαλ ηηο ιύζεηο δηαθόξσλ γεσκεηξηθώλ πξνβιεκάησλ εξγαδόκελνη ην πεξηβάιινλ ηνπ Cabri Geometry. Ο θύξηνο ζθνπόο ησλ εξεπλεηώλ ήηαλ λα αλαιύζνπλ (εξεπλήζνπλ) ηελ πνηθηινκνξθία ησλ απνδείμεσλ πνπ ρξεζηκνπνίεζαλ νη καζεηέο ζηελ επίιπζε γεσκεηξηθώλ πξνβιεκάησλ εξγαδόκελνη ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνύ Cabri. Έλα από ηα ζπκπεξάζκαηα ησλ εξεπλεηώλ ήηαλ όηη ην πεξηβάιινλ επλόεζε ηελ δηεξεύλεζε ησλ πξνβιεκάησλ θαη ηελ αλεύξεζε απνδείμεσλ, αιιά νη καζεηέο πξνηίκεζαλ ηελ εκπεηξηθή απόδεημε κέζα από ην dragging ηνπ ινγηζκηθνύ αληί ηεο επαγσγηθήο ηππηθήο απόδεημεο. ηελ έξεπλά ηνπο ην δείγκα ήηαλ κηθξό θαη νη καζεηέο ήηαλ θαινί γλώζηεο ηνπ ινγηζκηθνύ (Cabri) κηα πνπ είραλ εξγαζηεί γηα κήλεο πάλσ ζε απηό ηελ πξνεγνύκελε ρξνληά. Έλαο από ηνπο ζηόρνπο θαη ηεο παξνύζαο έξεπλαο ήηαλ επίζεο λα δηαπηζησζεί θαηά πόζνλ νη καζεηέο πξνηηκνύλ ηελ εκπεηξηθή έλαληη ηεο επαγσγηθήο απόδεημεο. Έηζη ε παξνύζα έξεπλα - κε ηνλ αξηζκό ησλ ζπκκεηερόλησλ καζεηώλ λα αλέξρεηαη ζηνπο νθηώ (8) - ζα κπνξνύζε ίζσο λα εληζρύζεη ηα επξήκαηα ηεο παξαπάλσ έξεπλαο ησλ R. Marrades and A. Gutierrez, (2000). Οη νξηζκνί γηα ηνπο όξνπο απόδεημε, εκπεηξηθή απόδεημε, θαη επαγσγηθή ή καζεκαηηθή (ηππηθή) απόδεημε, είλαη απηνί πνπ δίλνληαη ζην άξζξν ησλ Marrades θαη Gutierrez, (2000) θαη παξνπζηάδνληαη ζηελ ζπλέρεηα. Ωο απόδεημε ζεσξείηαη θάζε επηρείξεκα πνπ δίλεηαη από ηνλ καζεηή γηα λα πείζεη ηνπο άιινπο (π.ρ. ζπκκαζεηέο, εθπαηδεπηηθό) γηα ηελ αιήζεηα κηαο πξόηαζεο ή ελόο ζπκπεξάζκαηνο. Ωο εκπεηξηθή απόδεημε ζεσξείηαη θάζε απόδεημε πνπ ραξαθηεξίδεηαη από ηελ ρξήζε παξαδεηγκάησλ (ζπγθεθξηκέλσλ ζρεκάησλ) σο ην θύξην (ίζσο θαη ην κόλν) ζηνηρείν γηα λα πείζνπκε θάπνηνλ γηα ηελ αιήζεηα ηεο πξόηαζεο. Οη καζεηέο θαηαιήγνπλ ζε ζπκπεξάζκαηα κεηά ηελ 4

5 παξαηήξεζε θάπνηαο ζρέζεο ή θαηάζηαζεο ζε έλα ή πεξηζζόηεξα παξαδείγκαηα (ζρήκαηα) πνπ εκθαλίδνληαη θαηά ηελ δηαδηθαζία ηνπ dragging θαη ρξεζηκνπνηνύλ απηά ηα παξαδείγκαηα γηα λα δηθαηνινγήζνπλ ηελ αιήζεηα ηεο πξόηαζεο. Με άιια ιόγηα επηρεηξεκαηνινγνύλ όηη "αθνύ ζπκβαίλεη θάηη ζε θάπνηα ζρήκαηα πνπ δεκηνπξγήζεθαλ κε ην dragging, ζα ζπκβαίλεη θαη ζε όια". Γειαδή από ην "εηδηθό" ζπκπεξαίλνπλ ην "γεληθό". Ωο επαγσγηθή ή ηππηθή καζεκαηηθή απόδεημε, ζεσξείηαη ε ηππηθή-αθεξεκέλε απόδεημε πνπ θηλείηαη κέζα ζε έλα ζύζηεκα αμησκάησλ θαη ζεσξείηαη απνδεθηή από ηνπο επαγγεικαηίεο καζεκαηηθνύο. Υαξαθηεξίδεηαη από απνπιαηζηνπνίεζε (decontextualization) ησλ επηρεηξεκάησλ πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη γηα λα απνδείμνπλ ηελ αιήζεηα ηεο πξόηαζεο. Σα επηρεηξήκαηα βαζίδνληαη ζε ελδνγελείο ηδηόηεηεο ηνπ πξνβιήκαηνο, ζε ζεσξεηηθή ζθέςε θαη ζε ινγηθέο επαγσγέο πνπ ζηνρεύνπλ ζην λα επαιεζεύζνπλ ηελ πξόηαζε. Όηαλ ρξεζηκνπνηνύληαη παξαδείγκαηα (ζπγθεθξηκέλα ζρήκαηα), απηό γίλεηαη γηα λα νξγαλσζνύλ ηα επηρεηξήκαηα αιιά ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ παξαδείγκαηνο δελ ιακβάλνληαη ππόςε ζηελ αηηηνιόγεζε ηεο αιήζεηαο ηεο πξόηαζεο. Η επηρεηξεκαηνινγία αθνξά ην "γεληθό" θαη όρη ην "εηδηθό" (ζπγθεθξηκέλν) ζρήκα. Η έπεςνα Η παξνύζα έξεπλα δηεμάρζεθε ζην πιαίζην κηαο κεηαπηπρηαθήο εξγαζίαο ελόο εθ ησλ αξζνγξάθσλ (ηνπ Υ. Απνζηόινπ) ζην παλεπηζηήκην ηεο Γπηηθήο Μαθεδνλίαο, ζην κάζεκα "Η δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθώλ κε ρξήζε ΤΠΔ" ηνπ ηκήκαηνο ηεο Γεκνηηθήο Δθπαίδεπζεο γηα ην 1 ν εμάκελν ηνπ παλεπηζηεκηαθνύ έηνπο Η έξεπλα πξαγκαηνπνηήζεθε ζε γπκλάζην ηεο πόιεο ηεο Κνδάλεο ηνπ λνκνύ Κνδάλεο ην Φεβξνπάξην ηνπ Επεςνηηικά επυηήμαηα Σα εξσηήκαηα πνπ ζηνρεύεη λα απαληήζεη ε έξεπλα είλαη ηα παξαθάησ: 1. ε πνην βαζκό είλαη ηθαλνί νη καζεηέο ηεο Γ γπκλαζίνπ λα θαηαζθεπάζνπλ γεσκεηξηθά ζρήκαηα απμαλόκελεο δπζθνιίαο, κεηά από κηα ηξίσξε δηδαθηηθή παξέκβαζε γηα ηελ εμνηθείσζή ηνπο κε ην ινγηζκηθό δπλακηθήο γεσκεηξίαο GeoGebra; 2. ε πνην βαζκό νη καζεηέο ζα ρξεζηκνπνηήζνπλ ην ινγηζκηθό αιιά θαη κε πνηνλ ηξόπν ζα ην ρξεζηκνπνηήζνπλ γηα ηελ επίιπζε γεσκεηξηθώλ πξνβιεκάησλ; 3. ε πνην βαζκό νη καζεηέο ζα επηιέμνπλ ηελ εκπεηξηθή απόδεημε πνπ πξνζθέξεη ην πεξηβάιινλ ηνπ Geogebra ζε ζρέζε κε ηελ επαγσγηθή (ηππηθή καζεκαηηθή) απόδεημε; 4. Πνηα ζα είλαη ε άπνςε ησλ καζεηώλ αιιά θαη ηνπ εθπαηδεπηηθνύ γηα ηελ ελδερόκελε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα; 5

6 Μεθοδολογία έπεςναρ Οη ζπκκεηέρνληεο ηελ έξεπλα ζπκκεηείραλ νθηώ (8) καζεηέο ηεο Γ' ηάμεο Γπκλαζίνπ, ειηθίαο εηώλ. Όινη ήηαλ καζεηέο ηνπ ίδηνπ ηκήκαηνο θαη γλσξίδνληαλ κεηαμύ ηνπο. Η επηινγή ηνπ δείγκαηνο έγηλε κε ηελ εμήο δηαδηθαζία: ηελ νινκέιεηα ηνπ ηκήκαηνο, νη καζεηέο θιήζεθαλ λα δειώζνπλ πνηνη επηζπκνύζαλ λα ζπκκεηάζρνπλ ζε έξεπλα, όπνπ ζα θαινύληαλ λα ιύζνπλ ηξία (3) πξνβιήκαηα γεσκεηξίαο ζε θάπνηεο ώξεο ηνπ πξνγξάκκαηνο ησλ ζρνιηθώλ καζεκάησλ. Έγηλε ζαθέο όηη ε όιε δηαδηθαζία ζα δηαξθνύζε 3-4 δηδαθηηθέο ώξεο θαη όηη ήηαλ πηζαλόλ λα παξακείλνπλ ζην ζρνιείν θαη πέξαλ ηνπ ζρνιηθνύ σξαξίνπ. Από ηνπο καζεηέο πνπ πξνζθέξζεθαλ, ε θαζεγήηξηα ησλ καζεκαηηθώλ, επέιεμε καζεηέο δηαθνξεηηθήο επίδνζεο, από κέηξηνπο σο άξηζηνπο. Με ηε βνήζεηα ηεο θαζεγήηξηαο ησλ καζεκαηηθώλ, νη καζεηέο ρσξίζζεθαλ ζε νκάδεο αλά δύν, θαη ε θάζε νκάδα απαξηίζζεθε από καζεηέο παξαπιήζηαο επίδνζεο ώζηε λα πξνθύςνπλ νκάδεο δηαθνξεηηθήο επίδνζεο ζηα καζεκαηηθά, από κέηξηαο επίδνζεο έσο άξηζηεο. Οη ηέζζεξεο νκάδεο 1 πνπ ζπκκεηείραλ ήηαλ νη 1) Μ+Ν, 2) Γ+Β, 3) Ν+, θαη 4) Μ+Γ,. Σα πξνβιήκαηα Σα πξνβιήκαηα πνπ δόζεθαλ ζηνπο καζεηέο επηιέρζεθαλ κε ηελ ηε βνήζεηα ηεο θαζεγήηξηαο ησλ καζεκαηηθώλ έηζη ώζηε λα αληαπνθξίλνληαη ζηηο δπλαηόηεηεο ησλ καζεηώλ θαη ζηελ ύιε πνπ είραλ δηδαρζεί έσο ηελ δηεμαγσγή ηεο έξεπλαο. Γόζεθε ηδηαίηεξε πξνζνρή ώζηε ηα πξνβιήκαηα λα είλαη ηέηνηα ώζηε λα εθκεηαιιεύνληαη ηηο δπλαηόηεηεο πνπ πξνζθέξεη ην dragging ηνπ GeoGebra. Σα πξνβιήκαηα δόζεθαλ κε ηέηνηα ζεηξά ώζηε ε δπζθνιία θαηαζθεπήο ησλ ζρεκάησλ ηνπο λα είλαη θιηκαθσηή (απμαλόκελε). Γειαδή πξώηα δόζεθε απηό ηνπ νπνίνπ ην ζρήκα κπνξνύζε λα θαηαζθεπαζηεί επθνιόηεξα θαη ηειεπηαίν απηό ηνπ νπνίνπ ην ζρήκα απαηηνύζε ηελ κεγαιύηεξε δπζθνιία. Δίλαη ζεκαληηθό ζε απηό ην ζεκείν λα εηπσζεί όηη όια αλεμαηξέησο ηα πξνβιήκαηα ηνπ βηβιίνπ πνπ είραλ γλσξίζεη νη καζεηέο κέρξη ηόηε, δηαηππώλνπλ θάπνηα πξόηαζε ε νπνία "δίλεηαη" όηη ηζρύεη ζε έλα γεσκεηξηθό ζρήκα θαη απιά δεηνύλ από ηνπο καζεηέο λα απνδείμνπλ ηελ αιήζεηα απηήο ηεο πξόηαζεο αθνινπζώληαο ηελ επαγσγηθή (ηππηθή καζεκαηηθή) απόδεημε. Με άιια ιόγηα νη καζεηέο κέρξη ηελ δηεμαγσγή ηεο έξεπλαο είραλ αληηκεησπίζεη κόλν πξνβιήκαηα όπνπ ε απάληεζε/απνηέιεζκα ήηαλ γλσζηή εθ ησλ πξνηέξσλ θαη όπνπ απηό πνπ δεηνύληαλ από απηνύο ήηαλ ε επαγσγηθή (ηππηθή καζεκαηηθή) απόδεημή ηεο. Όπσο πεξηγξάθεηαη παξαθάησ, εμεγήζεθε ζηνπο καζεηέο ε δπλαηόηεηα εμεξεύλεζεο πνπ πξνζθέξεη ην dragging κέζα από ην ινγηζκηθό. Δπίζεο εμεγήζεθε ζε απηνύο όηη ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα ηνπο δνζνύλ ζα είλαη δηαθνξεηηθά από απηά ηνπ ζρνιηθνύ βηβιίνπ θαη όηη ζα δεηεζεί πξώηα από απηνύο λα αλαθαιύςνπλ ηε δεηνύκελε ζρέζε θαη κεηά λα απνδείμνπλ ηελ ηζρύ ηεο. 1 Υάξηλ ηεο αλσλπκίαο ησλ καζεηώλ, ε θάζε νκάδα νλνκάδεηαη από ηα αξρηθά ησλ κηθξώλ νλνκάησλ ησλ καζεηώλ. 6

7 ζρήκα): ηε ζπλέρεηα παξνπζηάδνληαη ηα 4 πξνβιήκαηα (ε εθθώλεζε θαη ην ζπλνδεπηηθό γεσκεηξηθό 1 ν πξόβιεκα: Πόηε νη δηρνηόκνη ελόο ηξηγώλνπ ηέκλνληαη όιεο ζην ίδην ζεκείν? 2ν πξόβιεκα Σην παξαθάησ ζρήκα, ε θνξπθή Δ ηνπ ηξηγώλνπ ΔΒΓ βξίζθεηαη ζε ηπραίν ζεκείν πάλσ ζηελ επζεία πνπ νξίδεηαη από ηα ζεκεία Α θαη Γ ηνπ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ. Υπάξρεη θάπνηα ζρέζε κεηαμύ ηνπ εκβαδνύ ηνπ ηξηγώλνπ θαη ηνπ εκβαδνύ ηνπ ηεηξαγώλνπ? 3ν πξόβιεκα Τη ηηκέο κπνξεί λα πάξεη ε εγγεγξακκέλε ζε θύθιν γσλία πνπ βαίλεη ζηε δηάκεηξό ηνπ? Με άιια ιόγηα, ηη ηηκέο κπνξεί λα πάξεη ε γσλία DEB όηαλ ην Δ κεηαθηλείηαη πάλσ ζηελ πεξηθέξεηα ηνπ θύθινπ? 7

8 Η δηαδηθαζία Γηα λα γίλεη εθηθηή ε παξνύζα έξεπλα απαηηήζεθαλ ζπλνιηθά έμη (6) δηδαθηηθέο ώξεο. Από απηέο νη ηξείο (3) πξώηεο αθηεξώζεθαλ γηα ηελ εμνηθείσζε ησλ καζεηώλ κε ην ινγηζκηθό GeoGebra, θαη νη ππόινηπεο ηξεηο (3) γηα ηελ δηεμαγσγή ηνπ θπξίνπ κέξνπο ηεο έξεπλαο πνπ αθνξά ηελ θαηαζθεπή γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ θαη ηελ επίιπζε γεσκεηξηθώλ πξνβιεκάησλ. Από ηηο ηξεηο (3) πξώηεο δηδαθηηθέο ώξεο πνπ αθηεξώζεθαλ γηα ηελ εμνηθείσζε ησλ καζεηώλ κε ην ινγηζκηθό, νη δύν (2) πξώηεο αθηεξώζεθαλ γηα λα παξνπζηαζηεί ην ινγηζκηθό ζηνπο καζεηέο θαη ε ηειεπηαία (3 ε ώξα), γηα λα αζρνιεζνύλ νη ίδηνη νη καζεηέο κε ην ινγηζκηθό θαη λα εμνηθεησζνύλ κε απηό. Δμεγήζεθε ζηνπο καζεηέο όηη έλα γεσκεηξηθό ζρήκα, εθόζνλ θαηαζθεπαζηεί ζσζηά κε ην GeoGebra, δηαηεξεί πάληα ηηο ηδηόηεηέο ηνπ θαηά ην dragging (ζύξζηκν), θαη όηη ην dragging είλαη έλαο ηξόπνο γηα λα ειέγμνπκε ηελ νξζόηεηα ηεο θαηαζθεπήο ηνπ ζρήκαηνο. ηηο δύν πξώηεο ώξεο πνπ αθηεξώζεθαλ γηα ηελ επίδεημε ηνπ ινγηζκηθνύ, θαιύθζεθαλ νη βαζηθόηεξεο ιεηηνπξγίεο ηνπ ινγηζκηθνύ θαη δόζεθε ηδηαίηεξε πξνζνρή κέζα ζε απηέο λα πεξηιακβάλνληαη θαη νη ιεηηνπξγίεο πνπ είλαη απαξαίηεηεο γηα ηελ θαηαζθεπή ησλ ζρεκάησλ ησλ ηξηώλ (3) πξνβιεκάησλ. ηελ 3 ε δηδαθηηθή ώξα, νη καζεηέο ρσξίζηεθαλ ζηηο νκάδεο κε ηηο νπνίεο ζπκκεηείραλ ζην θύξην κέξνο ηεο έξεπλαο θαη θαηαζθεύαζαλ κόλνη ηνπο ηα γεσκεηξηθά ζρήκαηα πνπ επηζπκνύζαλ. Η θαζεγήηξηά ηνπο δήηεζε κέζα ζηηο θαηαζθεπέο ηνπο λα ζπκπεξηιάβνπλ θαη βαζηθά ζρήκαηα, όπσο ηξίγσλα θαη θύθινπο. Όπνηε δεηνύζαλ βνήζεηα, από ηελ θαζεγήηξηά ηνπο, ηνπο δηλόηαλ βνήζεηα θαη ηνπο εμεγνύληαλ πώο λα μεπεξλνύλ ην θαηαζθεπαζηηθό πξόβιεκα πνπ αληηκεηώπηδαλ. Γηα ηελ δηεμαγσγή ηεο έξεπλαο (επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ), αθηεξώζεθαλ νη ηξεηο (3) ηειεπηαίεο από ηηο ζπλνιηθά έμη (6) δηδαθηηθέο ώξεο πνπ αθηέξσζαλ νη καζεηέο. Γηα όια ηα πξνβιήκαηα αθνινπζήζεθε ε ίδηα δηαδηθαζία πνπ πεξηγξάθεηαη παξαθάησ. ε 1 η θάζη δόζεθε ζηνπο καζεηέο ην πξόβιεκα ηππσκέλν ζε ραξηί, καδί κε έλα "ηπραίν" ζρήκα (απηό πνπ αθνινπζεί ηελ εθθώλεζε ησλ πξνβιεκάησλ) πνπ αληαπνθξίλνληαλ ζην πξόβιεκα θαη 8

9 δεηήζεθε από ηελ θάζε νκάδα λα θαηαζθεπάζεη κέζα από ην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνύ έλα δηθό ηεο ζρήκα - ην ίδην ή δηαθνξεηηθό - πνπ λα αληαπνθξίλεηαη ζην πξόβιεκα. ηόρνο απηήο ηεο θάζεο ήηαλ λα δηαπηζησζεί ε ηθαλόηεηα ησλ καζεηώλ λα ζρεδηάζνπλ κε ην ινγηζκηθό κεηά ηελ ηξίσξε δηδαθηηθή παξέκβαζε (πνπ αθνξνύζε ηελ ιεηηνπξγία ηνπ ινγηζκηθνύ). Γελ δόζεθε θακηά απνιύησο βνήζεηα ζηνπο καζεηέο ζηελ θαηαζθεπή ησλ ζρεκάησλ. ηηο πεξηπηώζεηο πνπ δήηεζαλ βνήζεηα, απιά ηνπο εηπώζεθε όηη πξέπεη λα εζηηάζνπλ ηελ πξνζνρή ηνπο ζηα βήκαηα πνπ ζα αθνινπζήζνπλ αιιά θαη ζηελ ζεηξά κε ηελ νπνία ζα ηα αθνινπζήζνπλ. Όηαλ ε θάζε νκάδα ζεώξεζε όηη θαηαζθεύαζε ην γεσκεηξηθό ζρήκα πνπ αληαπνθξίλνληαλ ζην πξόβιεκα, δεηήζεθε από ηελ νκάδα λα απνζεθεύζεη ην αξρείν ηνπ GeoGebra πνπ δεκηνύξγεζε 2 θαη λα παξνπζηάζεη ην ζρήκα πνπ δεκηνύξγεζε 3. ηελ ζπλέρεηα, πάξζεθε ζπλέληεπμε από ηελ θάζε νκάδα, ε νπνία ερνγξαθήζεθε, θαη από ηνπο καζεηέο δεηήζεθε λα απαληήζνπλ πξνθνξηθά ζηα παξαθάησ ηξία εξσηήκαηα 4 : 1. Πνηα βήκαηα αθνινπζήζαηε γηα λα θαηαζθεπάζεηε ην ζρήκα? 2. Ση δπζθνιίεο αληηκεησπίζαηε? 3. Πνην ήηαλ ην εκπόδην πνπ δελ κπνξέζαηε λα μεπεξάζεηε? (γηα ηηο νκάδεο πνπ δελ κπόξεζαλ λα νινθιεξώζνπλ ην ζρήκα) ηελ ζπλέρεηα, ζε όζεο νκάδεο δελ ζα θαηάθεξλαλ λα νινθιεξώζνπλ ή λα δεκηνπξγήζνπλ έλα ζρήκα πνπ λα αληαπνθξίλεηαη ζην πξόβιεκα, απνθαζίζηεθε λα δνζεί βνήζεηα 5 έηζη ώζηε λα νινθιεξσζεί ην ζρήκα θαη λα πεξάζνπλ όιεο νη νκάδεο καδί ζηελ 2 ε θάζε ηνπ πξνβιήκαηνο πνπ ήηαλ ε δηεξεύλεζε ηνπ πξνβιήκαηνο θαη ε επίιπζή ηνπ. ε απηή ηε 2η θάζη, δεηήζεθε από ηνπο καζεηέο λα απαληήζνπλ ζηα εξσηήκαηα ηνπ πξνβιήκαηνο. Με άιια ιόγηα λα ιύζνπλ ην πξόβιεκα. Απηό, ζηελ πεξίπησζε ησλ πξνβιεκάησλ πνπ δόζεθαλ, ζήκαηλε λα δηαηππώζνπλ ζπιινγηζκνύο θαη λα θαηαιήμνπλ ζε ζπκπεξάζκαηα γηα ηε ζρέζε κεηαμύ θάπνησλ ζηνηρείσλ ηνπ γεσκεηξηθνύ ζρήκαηνο. Ο ζηόρνο ζε απηή ηε θάζε ήηαλ λα εξεπλεζεί ν βαζκόο ζηνλ νπνίν νη καζεηέο ρξεζηκνπνίεζαλ ην dragging ηνπ ινγηζκηθνύ, κε πνην ηξόπν ην ρξεζηκνπνίεζαλ, θαη πόζν απηό ηνπο βνήζεζε λα θηάζνπλ ζε θάπνην ζπκπέξαζκα ή λα βξνπλ ηελ απάληεζε ζην εξώηεκα ηνπ πξνβιήκαηνο. 2 Σν GeoGebra έρεη ηελ ηδηόηεηα, καδί κε ηελ απνζήθεπζε ηνπ αξρείνπ λα απνζεθεύεη θαη ηα βήκαηα θαηαζθεπήο ηνπ ζρήκαηνο (ηζηνξηθό θαηαζθεπήο). Έηζη ν γξάθσλ είρε ζηε ζπλέρεηα ηελ επρέξεηα λα κειεηήζεη θαη λα αλαιύζεη ηελ δηαδξνκή πνπ αθνινύζεζαλ νη καζεηέο ζηελ θαηαζθεπή ηνπ γεσκεηξηθνύ ζρήκαηνο 3 Δίρε πξναπνθαζηζζεί λα ππάξρεη πεξηνξηζκόο ρξόλνπ γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ ζρήκαηνο θαη απνθαζίζζεθε λα δνζεί κέγηζηνο ρξόλνο πεξίπνπ 20 ιεπηώλ ζηνπο καζεηέο γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ θάζε γεσκεηξηθνύ ζρήκαηνο. 4 Σα εξσηήκαηα δηαηππώζεθαλ είηε αθξηβώο σο έρνπλ είηε κε παξεκθεξή ηξόπν, αλάινγα θάζε θνξά κε ηελ ξνή ηεο ζπδήηεζεο θαη ηηο απαληήζεηο πνπ έδηλαλ νη καζεηέο πξνεγεζέληα εξσηήκαηα 5 Σειηθά δελ ρξεηάζηεθε 9

10 Όηαλ ε θάζε νκάδα ζεώξεζε όηη απάληεζε (έιπζε) ην πξόβιεκα, πάξζεθε πάιη ζπλέληεπμε από ηελ θάζε νκάδα, ε νπνία ερνγξαθήζεθε θαη δεηήζεθε από ηνπο καζεηέο λα απαληήζνπλ πξνθνξηθά ζηα παξαθάησ ηξία εξσηήκαηα 6 : 4. Πνηα είλαη ε ηειηθή απάληεζε (ή απαληήζεηο) πνπ δώζαηε ζην πξόβιεκά ζαο? 5. Πόζν ζαο βνήζεζε ην ινγηζκηθό λα δώζεηε απάληεζε ζην εξώηεκα ηνπ πξνβιήκαηνο ή λα θηάζεηε ζε θάπνην ζπκπέξαζκα? 6. Με πνην ηξόπν (πσο) ζαο βνήζεζε? ηελ ζπλέρεηα, ζηελ 3 η θάζη, δεηήζεθε από ηνπο καζεηέο λα απαληήζνπλ γξαπηά ή πξνθνξηθά ζην παξαθάησ εξώηεκα: 7. Πσο ζα απνδείμεηε όηη ε απάληεζή ζαο (ζην πξόβιεκα) - ε ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο - αιεζεύεη ζε θάζε πεξίπησζε? ηηο πεξηζζόηεξεο πεξηπηώζεηο, κεηά ηελ απάληεζε ησλ καζεηώλ ζε απηό ην εξώηεκα, ην εξώηεκα επαλαδηαηππώζεθε πξνθνξηθά γηα δεύηεξε θνξά γηα λα γίλεη μεθάζαξν ζηνπο καζεηέο ην λόεκά ηνπ θαη λα δηαζθαιηζζεί κε απηόλ ηνλ ηξόπν όηη νη καζεηέο θαηαλννύλ όηη ην δεηνύκελν είλαη κηα γεληθεπκέλε ιύζε ζην πξόβιεκα θαη όρη κηα ιύζε πνπ αθνξά ην ζπγθεθξηκέλν ζρήκα πνπ θαηαζθεύαζαλ. Ο ζηόρνο απηήο ηεο θάζεο ήηαλ λα δηαπηζησζεί ζε πνην βαζκό νη καζεηέο - πνπ είραλ ζπλεζίζεη ζηελ κέρξη ηώξα δηδαζθαιία ηνπο ζην ζρνιείν λα ρξεζηκνπνηνύλ ηελ επαγσγηθή (ηππηθή καζεκαηηθή) απόδεημε - επέιεμαλ λα ρξεζηκνπνηήζνπλ ηελ εκπεηξηθή απόδεημε πνπ πξνζθέξεη ην ινγηζκηθό αληί ηεο επαγσγηθήο. ην ηέινο ηεο 3 εο θάζεο, δεηήζεθε από ηνπο καζεηέο λα ηεθκεξηώζνπλ ηελ απόδεημή ηνπο θαη ε πξνθνξηθή ηνπο απάληεζε ερνγξαθήζεθε. Μηα πεξίπνπ βδνκάδα κεηά ηελ επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ, δόζεθε ζηνπο νθηώ (8) καζεηέο έλα εξσηεκαηνιόγην ηξηώλ εξσηήζεσλ πνπ ν θαζέλαο κόλνο ηνπ απάληεζε γξαπηά. Η πξώηε από ηηο ηξεηο εξσηήζεηο ήηαλ εξώηεζε πνιιαπιώλ επηινγώλ θαη νη ππόινηπεο δύν ήηαλ εξσηήζεηο αλνηθηνύ ηύπνπ. Αθνινπζνύλ νη εξσηήζεηο απηνύ ηνπ εξσηεκαηνινγίνπ. 1. Πόζν θαιή βξίζθεηε ηελ ηδέα λα ρξεζηκνπνηεζεί ην ινγηζκηθό ζην κάζεκα ζε θαζεκεξηλή βάζε? (Αλαθεξόκαζηε ζηελ πεξίπησζε πνπ όινη ζα έρεηε κπξνζηά ζαο έλαλ ππνινγηζηή ζηνλ νπνίν λα κπνξείηε ζα ρξεζηκνπνηείηε ην ινγηζκηθό) 2. Τη ζαο ελζνπζίαζε από ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ? 3. Τη όθεινο λνκίδεηε όηη ζα έρεηε εζείο από ηελ ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ? Σν ηειεπηαίν ζηάδην ηεο έξεπλαο πεξηιάκβαλε ην εξσηεκαηνιόγην πνπ δόζεθε ζηελ θαζεγήηξηα ησλ καζεκαηηθώλ ε νπνία ήηαλ παξνύζα ζε όιε ηε δηαδηθαζία ηεο έξεπλαο, όπσο θαη ζηηο 3 ώξεο ηεο 6 Σα εξσηήκαηα δηαηππώζεθαλ είηε αθξηβώο σο έρνπλ είηε κε παξεκθεξή ηξόπν, αλάινγα θάζε θνξά κε ηελ ξνή ηεο ζπδήηεζεο θαη ηηο απαληήζεηο πνπ έδηλαλ νη καζεηέο πξνεγεζέληα εξσηήκαηα 10

11 αξρηθήο δηδαθηηθήο παξέκβαζεο πνπ αθνξνύζαλ ηελ εμνηθείσζε ησλ καζεηώλ κε ην ινγηζκηθό. Σν εξσηεκαηνιόγην πεξηειάκβαλε ηέζζεξεο (4) εξσηήζεηο από ηηο νπνίεο ε πξώηε ήηαλ εξώηεζε πνιιαπιώλ επηινγώλ θαη νη ππόινηπεο ηξεηο ήηαλ εξσηήζεηο αλνηθηνύ ηύπνπ. Αθνινπζνύλ νη εξσηήζεηο απηνύ ηνπ εξσηεκαηνινγίνπ. 1. Πόζν θαιή βξίζθεηε ηελ ηδέα λα ρξεζηκνπνηεζεί ην ινγηζκηθό ζην κάζεκα ζε θαζεκεξηλή βάζε? (Αλαθεξόκαζηε ζηελ πεξίπησζε πνπ όινη νη καζεηέο ζα έρνπλ κπξνζηά ηνπο έλαλ ππνινγηζηή ζηνλ νπνίν λα κπνξνύλ ζα ρξεζηκνπνηνύλ ην ινγηζκηθό). 2. Ση ζαο ελζνπζίαζε από ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ? 3. Ση όθεινο λνκίδεηε όηη ζα κπνξνύζαλ λα έρνπλ νη καζεηέο από ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ? 4. Ση είδνπο πξνβιήκαηα λνκίδεηε όηη ζα κπνξνύζαλ λα πξνθύςνπλ από ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα? Σν πιηθό Σν πιηθό πξνήιζε από: 1. Σν απνζεθεπκέλν αξρείν ηνπ GeoGebra ην νπνίν πεξηέρεη ην ζρήκα ην νπνίν θαηάθεξαλ λα ζρεδηάζνπλ νη καζεηέο γηα ην θάζε πξόβιεκα. Σν θάζε αξρείν πεξηέρεη θαη ην ηζηνξηθό (βήκα-βήκα) ηεο θαηαζθεπήο ηνπ ζρήκαηνο ("πξσηόθνιιν ζηνηρείσλ θαηαζθεπήο"). 2. Σελ πξνθνξηθή (ερνγξαθεκέλε) ζπλέληεπμε από θάζε νκάδα ζην ηέινο ηεο θάζε θάζεο (1 εο, 2 εο θαη 3 εο ). 3. Σηο όπνηεο γξαπηέο απαληήζεηο έδσζαλ νη καζεηέο ζην ηέινο ηεο 3 εο θάζεο 4. Σηο γξαπηέο ζεκεηώζεηο ηνπ γξάθνληα θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο εξγαζίαο ησλ καζεηώλ 5. Σα ζπκπιεξσκέλα εξσηεκαηνιόγηα ησλ καζεηώλ αιιά θαη ηεο δηδάζθνπζαο θαζεγήηξηαο Αποηελέζμαηα Πξώηα παξνπζηάδνληαη ηα απνηειέζκαηα πνπ πξνέθπςαλ από ηελ εξγαζία ησλ καζεηώλ αλά δύν ζε νκάδεο ζηελ επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ θαη ζηε ζπλέρεηα αθνινπζεί ε παξνπζίαζε ησλ απαληήζεσλ ησλ καζεηώλ αιιά θαη ηεο θαζεγήηξηαο ζηηο εξσηήζεηο ησλ εξσηεκαηνινγίσλ Α) Αποηελέζμαηα πος πποέκςταν από ηην επίλςζη ηυν πποβλημάηυν Η αλάιπζε ησλ πιηθνύ δείρλεη όηη: Οη καζεηέο, ζπλεξγάζηεθαλ (ζηελ νκάδα ηνπο), αλαδήηεζαλ θαη θαηέιεμαλ ζηνλ ηξόπν θαηαζθεπήο ηνπ ζρήκαηνο κέζα από δηαθνξεηηθέο επηινγέο πνπ είδαλ όηη ήηαλ δηαζέζηκεο ζε απηνύο. Οη δηαθνξεηηθέο νκάδεο ζηηο πεξηζζόηεξεο ησλ πεξηπηώζεσλ επηλόεζαλ δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο ("δξόκνπο") γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ γεσκεηξηθνύ ζρήκαηνο. ε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο (όια ηα πξνβιήκαηα αιιά θαη όιεο νη νκάδεο) νη καζεηέο (νκάδεο) θαηάθεξαλ κε ζρεηηθή επθνιία λα ζρεδηάζνπλ έλα ζρήκα πνπ λα αληαπνθξίλεηαη ζην αληίζηνηρν πξόβιεκα. 11

12 Απιθμόρ μαθητών Σν ινγηζκηθό ρξεζηκνπνηήζεθε επξέσο από όιεο ηηο νκάδεο γηα ηελ δηεξεύλεζε ησλ πξνβιεκάησλ, ηελ δεκηνπξγία αιιά θαη ηνλ έιεγρν ζπιινγηζκώλ θαη ζπκπεξαζκάησλ. Η ηειηθή απάληεζε ζην πξόβιεκα δόζεθε ζρεδόλ ζε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο κέζα από ηελ δπλαηόηεηα ηνπ dragging πνπ πξνζθέξεη ην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνύ. Γειαδή, νη καζεηέο πξνηίκεζαλ ηελ εκπεηξηθή αληί ηεο επαγσγηθήο απόδεημεο ηνπ πξνβιήκαηνο. ε δύν κόλν πεξηπηώζεηο, (πξόβιεκα 3 ν, νκάδεο 1 ε θαη 3 ε ), ε απάληεζε ήηαλ γλσζηή από ηελ ζεσξεία πνπ είραλ δηδαρζεί ζην ζρνιείν (ε εγγεγξακκέλε ζε θύθιν γσλία πνπ βαίλεη ζηε δηάκεηξν ηνπ θύθινπ είλαη νξζή) αιιά δελ γλώξηδαλ γηαηί απηό ζπκβαίλεη. Αθόκε θαη ζε απηέο ηηο πεξηπηώζεηο ην ινγηζκηθό ρξεζηκνπνηήζεθε γηα λα ειέγμεη-επηβεβαηώζεη ηνλ γλσζηό "θαλόλα". ηε ζπλέρεηα ζρνιηάδεηαη ε άπνςε ησλ καζεηώλ αιιά θαη ηεο θαζεγήηξηαο ησλ καζεκαηηθώλ γηα ηελ ελδερόκελε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα. Β) Αποηελέζμαηα πος πποέκςταν από ηιρ απανηήζειρ ηυν μαθηηών αλλά και ηηρ καθηγήηπιαρ ζηα επυηήμαηα ηυν επυηημαηολογίυν. Β.1) Οη απαληήζεηο ησλ καζεηώλ: ην 1 ν εξώηεκα "Πόζν θαιή βξίζθεηε ηελ ηδέα λα ρξεζηκνπνηεζεί ην ινγηζκηθό ζην κάζεκα ζε θαζεκεξηλή βάζε? (Αλαθεξόκαζηε ζηελ πεξίπησζε πνπ όινη ζα έρεηε κπξνζηά ζαο έλαλ ππνινγηζηή ζηνλ νπνίν λα κπνξείηε ζα ρξεζηκνπνηείηε ην ινγηζκηθό)" νη καζεηέο απάληεζαλ σο εμήο: Έμη (6) καζεηέο επέιεμαλ ην πέληε (ίγνπξα πνιύ θαιή) θαη δύν (2) καζεηέο επέιεμαλ ην 4 (ίγνπξα θαιή). Αθνινπζεί ε δηαγξακκαηηθή απεηθόληζε ηνπ ηξόπνπ πνπ απάληεζαλ νη καζεηέο. Απαντήσειρ μαθητών στο 1ο επώτημα "Πόζο θαιή βρίζθεηε ηελ ηδέα λα τρεζηκοποηεζεί ηο ιογηζκηθό ζηο κάζεκα ζε θαζεκερηλή βάζε?" Δεν είναι καλή, ηο μάθημα θα γίνει σειπόηεπο Δεν θα έσει διαθοπά. Δεν μποπώ να πω αν θα είναι καλή ή κακή Μάλλον καλή Σίγοςπα καλή Σίγοςπα πολύ καλή Απάντηση πος επέλεξαν οι μαθητέρ 12

13 Απιθμόρ μαθητών Απιθμόρ μαθητών Οη απαληήζεηο ησλ καζεηώλ ζην 2 ν ζπλνςίζζεθαλ θαη παξνπζηάδνληαη ζην δηάγξακκα πνπ αθνινπζεί. εξώηεκα "Τη ζαο ελζνπζίαζε από ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ?" Απαντήσειρ μαθητών στο 2ο επώτημα "Τη ζας ελζοσζίαζε από ηε τρήζε ηοσ ιογηζκηθού?" Η εύκολη, γπήγοπη και Η εύκολη, γπήγοπη και ακπιβήρ καηαζκεςή ζσημάηων ακπιβήρ καηαζκεςή ζσημάηων αλλά και καλύηεπη καηανόηζη ηος πποβλήμαηορ Απάντηση πος επέλεξαν οι μαθητέρ Η Δςναηόηηηα επαλήθεςζηρ ηων γεωμεηπικών ζσέζεων Οη απαληήζεηο ησλ καζεηώλ ζην 3 ν εξώηεκα "Τη όθεινο λνκίδεηε όηη ζα έρεηε εζείο από ηελ ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ?" ζπλνςίζζεθαλ θαη παξνπζηάδνληαη ζην δηάγξακκα πνπ αθνινπζεί. Απαντήσειρ μαθητών στο 3ο ππόβλημα "ηη όθειος λοκίδεηε όηη ζα έτεηε εζείς από ηελ τρήζε ηοσ ιογηζκηθού?" Καλύηεπη καηανόηζη και άλλα π λεονεκηήμαηα Απάντηση πος επέλεξαν οι μαθητέρ Εξοικονόνηζη σπόνος 13

14 Β.2) Οη απαληήζεηο ηεο θαζεγήηξηαο: ην 1 ν εξώηεκα "Πόζν θαιή βξίζθεηε ηελ ηδέα λα ρξεζηκνπνηεζεί ην ινγηζκηθό ζην κάζεκα ζε θαζεκεξηλή βάζε? (Αλαθεξόκαζηε ζηελ πεξίπησζε πνπ όινη νη καζεηέο ζα έρνπλ κπξνζηά ηνπο έλαλ ππνινγηζηή ζηνλ νπνίν λα κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηνύλ ην ινγηζκηθό)" ε θαζεγήηξηα απάληεζε "Σίγνπξα θαιή". ην 2 ν εξώηεκα "ηη ζαο ελζνπζίαζε από ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ" ε θαζεγήηξηα απάληεζε: "Τν όηη νη καζεηέο πξνζπάζεζαλ λα βγάινπλ ζπκπεξάζκαηα κέζα από παξαδείγκαηα πνπ ηνπο δόζεθαλ, ρσξίο θάπνηα θαηεύζπλζε από ηνλ θαζεγεηή" ην 3 ν εξώηεκα "ηη όθεινο λνκίδεηε όηη ζα κπνξνύζαλ λα έρνπλ νη καζεηέο από ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ?" ε θαζεγήηξηα απάληεζε: "Με ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ νη καζεηέο κε πνιιά παξαδείγκαηα θαη ζε ιίγν ρξόλν, κπνξνύλ επνπηηθά λα δηαπηζηώζνπλ ηελ αιήζεηα κηαο πξόηαζεο θαη λα ηελ ελζπκνύληαη ώζηε λα ηελ ρξεζηκνπνηνύλ γηα ηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ-αζθήζεσλ. Δπί πιένλ, θεξδίδνπλ ρξόλν ζηνλ ζσζηό θαη αθξηβή ζρεδηαζκό ησλ δηαθόξσλ ζρεκάησλ ώζηε λα έρνπλ πεξηζζόηεξν ρξόλν λα ζθεθηνύλ ηελ επίιπζε ησλ αζθήζεσλ" ην 4 ν εξώηεκα "ηη είδνπο πξνβιήκαηα λνκίδεηε όηη ζα κπνξνύζαλ λα πξνθύςνπλ από ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα?" ε θαζεγήηξηα απάληεζε: "ππάξρεη ην ελδερόκελν θάπνηνη καζεηέο λα επαλαπαπηνύλ θαη λα κελ εκβαζύλνπλ ζηηο έλλνηεο ησλ καζεκαηηθώλ, λα ηα ζεσξήζνπλ όια απιά θαη λα ζθέθηνληαη επηθαλεηαθά" Σςμπεπάζμαηα ηε ζπδήηεζε πνπ αθνινπζεί ζρνιηάδνληαη πξώηα ηα επξήκαηα πνπ πξνέθπςαλ από ηελ εξγαζία ησλ καζεηώλ ζηα πξνβιήκαηα (εξεπλεηηθά εξσηήκαηα 1-3) θαη αθνινπζεί ν ζρνιηαζκόο ησλ απαληήζεσλ ησλ καζεηώλ αιιά θαη ηεο θαζεγήηξηαο ζηα εξσηεκαηνιόγηα (4 ν εξεπλεηηθό εξώηεκα ) Α) πκπεξάζκαηα από ηελ εξγαζία ησλ καζεηώλ κε ηα πξνβιήκαηα ( εξεπλεηηθά εξσηήκαηα 1-3): Από ηελ έξεπλα θαίλεηαη λα πξνθύπηνπλ ηα παξαθάησ. Σν ινγηζκηθό έδσζε ηελ επθαηξία ζηνπο καζεηέο λα ζπλεξγαζηνύλ (ζηελ νκάδα) θαη λα δηεξεπλήζνπλ ηα πξνβιήκαηα. Αληηιήθζεζαλ όηη ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνύ κπνξνύλ λα επηιέμνπλ πεξηζζόηεξνπο ηξόπνπο θαηαζθεπήο ηνπ δεηνύκελνπ γεσκεηξηθνύ ζρήκαηνο αιιά θαη λα δώζνπλ εκπεηξηθέο απνδείμεηο όπσο θαη λα επηβεβαηώζνπλ ηνπο ζπιινγηζκνύο θαη ηα ζπκπεξάζκαηά ηνπο ή ηηο επαγσγηθέο απνδείμεηο ηνπο. Δίδακε όηη νη καζεηέο (νκάδεο) θαηάθεξαλ κε ζρεηηθή επθνιία λα ζρεδηάζνπλ ηα δεηνύκελα γεσκεηξηθά ζρήκαηα. Από απηό κπνξνύκε λα ζπκπεξάλνπκε όηη νη καζεηέο κπνξνύλ εύθνια λα εμνηθεησζνύλ κε ην ζπγθεθξηκέλν ινγηζκηθό θαη λα ην ρξεζηκνπνηήζνπλ γηα ηελ θαηαζθεπή 14

15 γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ. πλεπώο ζηελ πεξίπησζε πνπ θάπνηνο εθπαηδεπηηθόο απνθαζίζεη λα ρξεζηκνπνηήζεη ην GeoGebra ζην κάζεκα ηεο γεσκεηξίαο, δελ ζα πξέπεη λα ηνλ απαζρνιήζεη ην αλ νη καζεηέο ζα κπνξέζνπλ εύθνια λα εμνηθεησζνύλ κε απηό, ηνπιάρηζηνλ όζνλ αθνξά ηελ θαηαζθεπή γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ. Θα ηνικνύζακε λα πξνβιέςνπκε όηη ζε πεξίπησζε πνπ νη καζεηέο ρξεζηκνπνηήζνπλ ην ινγηζκηθό ζε θαζεκεξηλή βάζε ζην κάζεκα, ηόηε κάιινλ ζα απνθηήζνπλ ηελ ηθαλόηεηα λα ζρεδηάδνπλ πνιύπινθα ζρήκαηα πνπ ζην πεξηβάιινλ ραξηί-κνιύβη ζα ήηαλ πνιύ δύζθνιν λα θαηαζθεπαζηνύλ. Από ηνλ ηξόπν κε ηνλ νπνίν νη καζεηέο ρξεζηκνπνίεζαλ ην dragging ηνπ ινγηζκηθνύ κπνξνύκε λα ζπκπεξάλνπκε όηη ην GeoGebra κπνξεί λα απνηειέζεη έλα πνιύ ζεκαληηθό εξγαιείν ζηελ δηδαζθαιία ηεο γεσκεηξίαο ζην γπκλάζην γηαηί κπνξεί λα δώζεη ηελ δπλαηόηεηα λα δεκηνπξγεζνύλ πξνβιήκαηα ή δξαζηεξηόηεηεο πνπ απαηηνύλ δηεξεύλεζε. Σέηνηα πξνβιήκαηα ζα κπνξνύζαλ λα πξνάγνπλ ηελ θαηαλόεζε ησλ γεσκεηξηθώλ ελλνηώλ θαη ηελ ζπλεξγαζία ησλ καζεηώλ αιιά θαη λα θάλνπλ ην κάζεκα ηεο γεσκεηξίαο πεξηζζόηεξν ελδηαθέξνλ. Σέηνηα πξνβιήκαηα δελ ππάξρνπλ ζηα ησξηλά ζρνιηθά βηβιία. Σν ζεκαληηθόηεξν ίζσο εύξεκα ηεο έξεπλαο είλαη όηη νη καζεηέο, παξόηη κέρξη ηώξα γλώξηδαλ κόλν ηελ επαγσγηθή (ηππηθή καζεκαηηθή) απόδεημε, ζηελ ζπληξηπηηθή ηνπο πιεηνςεθία δελ ηελ επέιεμαλ γηα λα αηηηνινγήζνπλ-ηεθκεξηώζνπλ ηελ αιήζεηα ηεο πξόηαζεο-απάληεζεο ηνπ πξνβιήκαηνο ζηελ νπνία θαηέιεμαλ. Αληί απηήο, πξνηίκεζαλ ηελ εκπεηξηθή απόδεημε πνπ πξνζθέξεη ην dragging ηνπ GeoGebra. Δμαίξεζε απνηειεί κόλν κία πεξίπησζε (2 ν πξόβιεκα, 1 εο νκάδα). Οη νθηώ (8) καζεηέο πνπ ζπκκεηείραλ ζηελ έξεπλα δελ είραλ κέρξη ηώξα γλσξίζεη ηελ εκπεηξηθή απόδεημε ζην ζρνιείν θαη νύηε ππάξρνπλ πξνβιήκαηα ζην ζρνιηθό βηβιίν πνπ λα δεηνύλ ή λα απνδέρνληαη θάπνηαο κνξθήο εκπεηξηθή απόδεημε. Σν γεγνλόο απηό νδεγεί ζε δύν ζθέςεηο-ζπκπεξάζκαηα. Από ηελ κηα κεξηά θαίλεηαη λα ππάξρεη επξύ πεδίν ζηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ σο εξγαιείν απόδεημεο γεσκεηξηθώλ πξνβιεκάησλ ζηελ πεξίπησζε πνπ ε εκπεηξηθή απόδεημε είλαη ην δεηνύκελν. Δπίζεο θαίλεηαη όηη νη καζεηέο ζα ην ρξεζηκνπνηνύζαλ κε κεγάιε επθνιία ζα ην πξνηηκνύζαλ γηα λα βξνπλ ηηο απαληήζεηο ζε παξόκνηα πξνβιήκαηα θαη λα ηηο ηεθκεξηώζνπλ. Ίζσο ν ιόγνο γηα απηό λα είλαη όηη ηελ ζεσξνύλ σο ηελ "επθνιόηεξε ιύζε". Από ηελ άιιε όκσο, θαίλεηαη λα ππάξρεη ζνβαξόο θίλδπλνο λα εγθαηαιείςνπλ νη καζεηέο θάζε πξνζπάζεηα λα ηεθκεξηώζνπλ ηελ αιήζεηα ηεο καζεκαηηθήο ηνπο πξόηαζεο ρξεζηκνπνηώληαο ηελ επαγσγηθή (ηππηθή καζεκαηηθή) απόδεημε θαη αληί απηνύ λα θαηαθύγνπλ ζηελ εκπεηξηθή απόδεημε ε νπνία δελ είλαη απνδεθηή από ηνπο επαγγεικαηίεο καζεκαηηθνύο. Με άιια ιόγηα, ε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα είλαη πηζαλόλ λα δπζρεξάλεη ην πέξαζκα από ηελ εκπεηξηθή ζηελ επαγσγηθή απόδεημε πνπ είλαη ε γελίθεπζε ηεο ιύζεο θαη ην ηειηθό δεηνύκελν ζηα καζεκαηηθά. Απηόο ν θίλδπλνο έρεη επηζεκαλζεί θαη από ηνπο Chazan, 1993; Healy, Θα πξέπεη ν εθπαηδεπηηθόο λα ζπλεηδεηνπνηήζεη απηό ην ελδερόκελν, λα μεθαζαξίζεη πνηνο είλαη ν ζηόρνο ηνπ θάζε καζήκαηόο ηνπ, θαη ζηελ πεξίπησζε ρξήζεο ηνπ ινγηζκηθνύ, λα εμεγεί ζηνπο καζεηέο ηνπ πνην είλαη ην δεηνύκελν ζε θάζε πεξίπησζε όπσο θαη ην ηη είλαη απνδεθηό θαη ηη όρη. 15

16 ηε ζπλέρεηα ζρνιηάδεηαη ε άπνςε ησλ καζεηώλ αιιά θαη ηεο θαζεγήηξηαο ησλ καζεκαηηθώλ γηα ηελ ελδερόκελε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα. Β) πκπεξάζκαηα από ηηο απαληήζεηο ησλ καζεηώλ αι ιά θαη ηεο θαζεγήηξηαο ζηηο εξσηήζεηο ησλ εξσηεκαηνινγίσλ ( 4 ν εξεπλεηηθό εξώηεκα): Από ηελ έξεπλα θαίλεηαη λα πξνθύπηνπλ ηα παξαθάησ: Όινη αλεμαηξέησο νη καζεηέο αιιά θαη ε θαζεγήηξηα βξίζθνπλ είηε "ζίγνπξα θαιή" είηε "ζίγνπξα πνιύ θαιή" ηελ ηδέα λα ρξεζηκνπνηεζεί ην ινγηζκηθό ζην κάζεκα ζε θαζεκεξηλή βάζε κε ηελ δεύηεξε επηινγή λα ππεξέρεη ζεκαληηθά ζε πνζνζηό. Απηό ζεκαίλεη όηη ζε πεξίπησζε πνπ επηρεηξεζεί ε εηζαγσγή ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα κε ηνλ ηξόπν πνπ επηρεηξήζεθε ζηελ έξεπλα, ε απνδνρή ηνπ ζα είλαη πνιύ ζεηηθή. Από ηηο απαληήζεηο ησλ καζεηώλ ζην εξώηεκα "ηη ζαο ελζνπζίαζε από ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ?" πξνθύπηεη όηη νη πεξηζζόηεξνη καζεηέο είδαλ ην ινγηζκηθό σο έλα πνιύ εύθνιν ζηε ρξήζε ζρεδηαζηηθό εξγαιείν γηα ηελ θαηαζθεπή γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ. Με δεδνκέλν όκσο όηη ην ινγηζκηθό απαηηεί ηελ αθνινπζία ζπγθεθξηκέλσλ βεκάησλ καζεκαηηθήο ζθέςεο θαη θαηαλόεζε ησλ ζρέζεσλ ησλ ζηνηρείσλ ελόο γεσκεηξηθνύ ζρήκαηνο γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ, κπνξνύκε λα ππνζέζνπκε όηη ην όθεινο γηα ηνπο καζεηέο ζα είλαη θαη ε θαιύηεξε θαηαλόεζε ησλ ζρεκάησλ θαη ησλ ζρέζεσλ ησλ επί κέξνπο ζηνηρείσλ πνπ ηα ζπγθξνηνύλ. Από ηελ απάληεζε ηεο θαζεγήηξηαο ζην ίδην εξώηεκα, θαίλεηαη όηη ε θαζεγήηξηα ελζνπζηάζηεθε από ηελ επθαηξία πνπ έδσζε ην ινγηζκηθό ζηνπο καζεηέο λα απηελεξγήζνπλ θαη λα εξγαζηνύλ ρσξίο ηελ άκεζε θαζνδήγεζε - επίβιεςε ηνπ δηδάζθνληα - πξάγκα πνπ θάλεθε λα είλαη πξσηόγλσξν γηα απηήλ. Μπνξνύκε λα ζπκπεξάλνπκε όηη ε ελδερόκελε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα, ζα παξάζρεη ηελ δπλαηόηεηα ή ηνπιάρηζηνλ ζα επλνήζεη ηελ δηεμαγσγή καζεηνθεληξηθώλ (νκαδνζπλεξγαηηθώλ) δηδαζθαιηώλ. Αλ θξίλνπκε από ηελ αληίδξαζε ηεο ζπγθεθξηκέλεο θαζεγήηξηαο, κπνξνύκε λα πνύκε όηη ε αμηνπνίεζε ηνπ ινγηζκηθνύ κε ηνλ ηξόπν πνπ έγηλε ζηελ έξεπλα, ζα έρεη ζεηηθή απνδνρή από ηνπο εθπαηδεπηηθνύο. Έλα ηέηνην ζπκπέξαζκα όκσο είλαη παξαθηλδπλεπκέλν επεηδή ην δείγκα ηεο έξεπλαο είλαη πνιύ κηθξό έλαο κόλν εθπαηδεπηηθόο. Από ηηο απαληήζεηο ησλ καζεηώλ ζην εξώηεκα "ηη όθεινο λνκίδεηε όηη ζα έρεηε εζείο από ηελ ελδερόκελε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα?" ζπκπεξαίλνπκε όηη νη καζεηέο αληηκεησπίδνπλ πνιύ ζεηηθά ηελ πηζαλή εηζαγσγή ηνπ ινγηζκηθνύ ζηελ δηδαζθαιία θαη εθηηκνύλ όηη ην ινγηζκηθό ζα κπνξνύζε λα απνηειέζεη έλα ζεκαληηθό εξγαιείν ζηελ δηδαζθαιία ηεο γεσκεηξίαο. Γελ αληηιακβάλνληαη ην ινγηζκηθό κόλν σο εξγαιείν ζρεδίαζεο γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ αιιά θαη σο εξγαιείν θαιύηεξεο θαηαλόεζεο ηνπ καζήκαηνο ηεο γεσκεηξίαο. Από ηελ απάληεζε ηεο θαζεγήηξηαο ζην αλάινγν εξώηεκα "ηη όθεινο λνκίδεηε όηη ζα κπνξνύζαλ λα έρνπλ νη καζεηέο από ηελ ελδερόκελε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα?" πξνθύπηεη όηη ε θαζεγήηξηα δηέθξηλε ηελ δπλαηόηεηα ησλ καζεηώλ λα δηαπηζηώλνπλ εκπεηξηθά ηελ αιήζεηα κηαο πξόηαζεο θαη ζεώξεζε όηη απηή ε δηαπίζησζε ζα βνεζήζεη ζηελ θαιύηεξε απνκλεκόλεπζε ώζηε λα κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί θαη ζε άιια πξνβιήκαηα ζην κέιινλ. Καη ε ίδηα, όπσο θαη νη πεξηζζόηεξνη καζεηέο, 16

17 είδε ηελ "εμνηθνλόκεζε ρξόλνπ" σο έλα βαζηθό όθεινο πνπ ζα πξνθύςεη ζε πεξίπησζε ρξήζεο ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα. Από ηελ απάληεζε ηεο θαζεγήηξηαο ζην ηειεπηαίν εξώηεκα "ηη είδνπο πξνβιήκαηα λνκίδεηε όηη ζα κπνξνύζαλ λα πξνθύςνπλ από ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα?" πξνθύπηεη όηη θαη ε θαζεγήηξηα δηέθξηλε ηνλ θίλδπλν ζηνλ νπνίν έγηλε αλαθνξά πξνεγνπκέλσο. Γειαδή δηέθξηλε θαη ε ίδηα ηελ πηζαλόηεηα λα εγθαηαιείςνπλ νη καζεηέο ηελ πξνζπάζεηα λα ηεθκεξηώζνπλ ηελ αιήζεηα ηεο καζεκαηηθήο ηνπο πξόηαζεο ρξεζηκνπνηώληαο ηελ επαγσγηθή απόδεημε θαη αληί απηνύ λα θαηαθύγνπλ ζηελ εκπεηξηθή απόδεημε. Σύνοτη Μηα ζύληνκε (ηξίσξε) δηδαθηηθή παξέκβαζε γηα λα επηδεηρζεί ζηνπο καζεηέο ε ιεηηνπξγία ηνπ GeoGebra, ήηαλ αξθεηή γηα λα απνθηήζνπλ νη καζεηέο ηελ ηθαλόηεηα λα δεκηνπξγνύλ κε ην GeoGebra θαη κάιηζηα κε ζρεηηθή επθνιία, γεσκεηξηθά ζρήκαηα παξόκνηα κε απηά πνπ θαινύληαη λα ζρεδηάζνπλ ζηελ ζπκβαηηθή δηδαζθαιία ζηελ ηάμε ηνπο. ηελ πξνζπάζεηά ηνπο λα επηιύζνπλ νη καζεηέο ηα ηξία γεσκεηξηθά πξνβιήκαηα πνπ ηνπο δόζεθαλ, όινη ηνπο θαη ζε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο ρξεζηκνπνίεζαλ επξέσο ην ινγηζκηθό γηα ηελ δηεξεύλεζε ησλ πξνβιεκάησλ, ηελ δεκηνπξγία ζπιινγηζκώλ θαη εμαγσγή ζπκπεξαζκάησλ. ηελ ζπληξηπηηθή πιεηνςεθία ησλ καζεηώλ, ε εκπεηξηθή απόδεημε πνπ πξνζθέξεηαη κέζα από ην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνύ, πξνηηκήζεθε αληί ηεο επαγσγηθήο (ηππηθήο καζεκαηηθήο) απόδεημεο, παξά ην γεγνλόο όηη νη καζεηέο κέρξη θαη ηελ δηεμαγσγή ηεο έξεπλαο ήηαλ εμνηθεησκέλνη κόλν κε ηελ ηππηθή απόδεημε. Η άπνςε ησλ καζεηώλ αιιά θαη ηεο θαζεγήηξηαο γηα ηελ ελδερόκελε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα ήηαλ πνιύ ζεηηθή. Απηό πνπ ελζνπζίαζε ηνπο πεξηζζόηεξνπο καζεηέο από ηελ ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ, ήηαλ ε εύθνιε θαη γξήγνξε θαηαζθεπή ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ. Κάπνηνπο άιινπο ηνπο ελζνπζίαζε ε δπλαηόηεηα πνπ πξνζθέξεη ην ινγηζκηθό γηα ηελ εκπεηξηθή απόδεημεο ησλ πξνβιεκάησλ αιιά θαη γηα ηελ θαιύηεξε θαηαλόεζή ηνπο. Οη πεξηζζόηεξνη καζεηέο ζεώξεζαλ όηη ην όθεινο πνπ ζα πξνθύςεη γηα απηνύο από ηελ ελδερόκελε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ ζην κάζεκα, ζα είλαη πξώηα ε θαιύηεξε θαηαλόεζε ηνπ καζήκαηνο ηεο γεσκεηξίαο θαη ζηελ ζπλέρεηα ε εμνηθνλόκεζε ρξόλνπ από ηελ γξήγνξε θαηαζθεπή ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ. Η θαζεγήηξηα ελζνπζηάζηεθε από ην βαζκό ζηνλ νπνίν ην ινγηζκηθό πξνάγεη ηελ απηόλνκε εξγαζία ησλ καζεηώλ θαηά ηελ δηάξθεηα ηνπ καζήκαηνο. Ωο όθεινο από ηελ ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνύ δηέθξηλε - θαη απηή όπσο θαη νη καζεηέο - ηελ εμνηθνλόκεζε ρξόλνπ ζηελ θαηαζθεπή ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ. Γηέθξηλε θαη ε ίδηα ηελ πξνηίκεζε πνπ έδεημαλ νη καζεηέο γηα ηελ εκπεηξηθή απόδεημε έλαληη ηεο ηππηθήο καζεκαηηθήο απόδεημεο θαη επεζήκαλε ηνλ θίλδπλν λα εγθαηαιείςνπλ νη καζεηέο ηελ δεύηεξε γηα ράξε ηεο πξώηεο. 17

18 Πποηάζειρ για πεπαιηέπυ έπεςνα ηελ παξνύζα έξεπλα ζπκκεηείρε κόλν έλαο εθπαηδεπηηθόο (ε δηδάζθνπζα ην κάζεκα ηεο γεσκεηξίαο θαζεγήηξηα). Γηα λα κπνξέζνπκε λα έρνπκε κηα πεξηζζόηεξν αζθαιή εθηίκεζε γηα ηελ άπνςε ησλ εθπαηδεπηηθώλ γηα ηελ ελδερόκελε ρξήζε ηνπ GeoGebra ζην κάζεκα ηεο γεσκεηξίαο, απαηηείηαη πεξηζζόηεξε έξεπλα ε νπνία ζα θαηαγξάςεη ηηο γλώκεο θαη άιισλ εθπαηδεπηηθώλ ζηα ηέζζεξα εξσηήκαηα ηνπ εξσηεκαηνινγίνπ. Οη καζεηέο πνπ ζπκκεηείραλ αλήθνπλ όινη ζηελ Γ γπκλαζίνπ θαη είλαη καζεηέο θαιήο έσο θαη άξηζηεο επίδνζεο. Έηζη ηα ζπκπεξάζκαηα αθνξνύλ ηελ Γ ηάμε θαη ζρεηηθά θαιήο επίδνζεο καζεηέο. Μέλεη λα εξεπλεζεί ην θαηά πόζν ηα ζπκπεξάζκαηα ηζρύνπλ γηα άιιεο ηάμεηο ηεο δεπηεξνβάζκηαο εθπαίδεπζεο ή γηα αδύλαηνπο καζεηέο. Βιβλιογπαθία Abelson, H., & DiSessa, A. (1981). Turtle geometry: The computer as a medium for exploring mathematics. Cambridge, MA, USA: MIT Press. Arcavi A. θαη Hadas N. (2000). Computer mediated learning: An example of an approach: International Journal of Computers for Mathematical Learning. 5: Chazan, D.: 1993, High school geometry students justification for their views of empirical evidence and mathematical proof, Educational Studies in Mathematics 24, Healy, L.: 2000, Identifying and explaining geometrical relationship: Interactions with robust and soft Cabri constructions, Proceedings of the 24th PME International Conference Vol. 1, Hiroshima, Japan, pp Holzl, R., (1996). How does dragging affect the learning of geometry: International Journal of Computers for Mathematical Learning, 1(2), Jones K. (1998), The Mediation of Learning within a Dynamic Geometry Environment. In: A. Olivier & K. Newstead (Eds), Proceedings of the 22nd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. University of Stellenbosch, South Africa. 3: Laborde, C., Kynigos, C., Hollebrands, K., and Rudolf Strasser, R., (2006). Teaching and Learning Geometry with Technology. In, Eds. Gutiηrrez, A., Boero, P.,. Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education Past, Present and Future. PME. Sense Publishers, pp Marrades, R., & Gutiηrrez, A. (2000). Proofs produced by secondary school students learning geometry in a dynamic computer environment. Educational Studies in Mathematics, 44(1 2), Ισάλλνπ Γ.,. & Λνπθία, Λ., (2007). Ο ξόινο ησλ ινγηζκηθώλ δπλακηθνύ πεξηβάιινληνο ζηε δηδαζθαιία ηεο γεσκεηξίαο αμηνπνίεζε ηνπ Cabri-Geometry. Σκήκα Δπηζηεκώλ ηεο Αγσγήο, Παλεπηζηήκην Κύπξνπ 18

19 Κνξδάθε, Μ. θαη Μπαισκέλνπ, Α. (2003).Πξνζεγγίζεηο καζεηώλ ζηελ εγγξαθή κηαο θιάζεο ηζνδύλακσλ ηξηγώλσλ ζε νξζνγώλην θαη κειέηε ηεο ζρέζεο επηθάλεηαο θαη πεξηκέηξνπ ηνπο κε ηε ρξήζε εξγαιείσλ ηνπ Cabri-Geometry II. 6ν Παλειιήλην πλέδξην Γηδαθηηθήο ησλ Μαζεκαηηθώλ θαη Πιεξνθνξηθήο ζηελ εθπ/ζε. Βόινο Οθησβξίνπ,