Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. Ηµεροµηνία: Τρίτη 5 Ιανουαρίου 2016 ιάρκειαεξέτασης: 3 ώρες

Transcript

1 ΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: ρίτη 5 Ιανοαρίο ιάρκειαεξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α. γ Α5. α ΛΑΘΟΣ Α. β ΣΩΣΟ Α. β γ ΛΑΘΟΣ Α. β ΣΩΣΟ ε ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ Β Β. Σωστ αάντηση η (β) Η ιιοσχνότητα καθενός αό τα τρία σστµατα µάζας εατηρίο είναι: k (I) m (II) (III) k k m m k k m m Παρατηρούµε ότι η ιιοσχνότητα το σστµατος (ΙΙ) είναι ίση µε τη σχνότητα το ιεγέρτη. Σνεώς το σύστηµα (ΙΙ) θα βρεθεί σε κατάσταση σντονισµού, µε αοτέεσµα να τααντώνεται µε το µέγιστο νατό άτος. B. Σωστ αάντηση η (β) Όταν ένα σώµα εκτεεί τατόχρονα ύο αές αρµονικές τααντώσεις ο γίνονται στην ίια ιεύθνση, γύρω αό το ίιο σηµείο ισορροίας µε ίιο άτος και αρασιες σχνότητες, ροκύτει µια ιιόµορφη ταάντωση µε σταθερ ερίοο και µεταβητό άτος αιώς έµε ως η κίνηση αροσιάζει ιακροτµατα. Ο χρόνος µεταξύ ύο ιαοχικών µηενισµών το άτος είναι η ερίοος το ιακροτµατος ο οογίζεται αό τη σχέση:

2 ενώ για την σχνότητα της ταάντωσης το σώµατος θα ισχύει: ω ω + ω + + και εοµένως. + ο θος των τααντώσεων ο εκτεεί το σώµα στη ιάρκεια της εριόο το ιακροτµατος είναι: + Ν ( ) + ' Όταν ιασιάζοµε τις σχνότητες έχοµε και για την νέα ιιόµορφη ταάντωση θα ισχύον: ' και ; ', οότε ' ' ' ' + + ( + ) + οότε το θος των τααντώσεων ο εκτεεί το σώµα στη ιάρκεια της νέας εριόο ιακροτµατος,θα ισχύει: ' + Ν ' ( ) + Αό τις σχέσεις ( ) και ( ) Ν ροκύτει ότι ' Ν

3 B. Σωστ αάντηση η (α) Αν η ταχύτητα ιάοσης των κµάτων, η χρονικ καθστέρηση είναι: d d d d t t t t d d d d + t d +,5 d 5,5 Η εξίσωση το άτος της ταάντωσης το σηµείο Μ µετά τη σµβο είναι: A A σν (d d ) A A σν ( 5, 5 ) A A σν (,5 ) A A σν(,5 ) A A σν( + ) A A σν A A A A Εοµένως (max) ω A (max) ω A ΘΕΜΑ Γ Γ. Αό την εξίσωση ( ) y,ηµ αt β (S.I.) ροκύτει: Α,m Όταν στο µέσο ιαίονται και τα ο κύµατα, ηµιοργείται στάσιµο κύµα. Αό την εξίσωση Μ, σν t (S.I.), ροκύτει ω rad/s. Η σχνότητα ταάντωσης των σηµείων το εαστικού µέσο είναι ίια, είτε ιαίεται το ένα, είτε και τα ο κύµατα, οότε: ω ω Η z Ισχύει είσης:,,m όο η ταχύτητα ιάοσης των κµάτων.

4 Εοµένως οι εξισώσεις των ο τρεχόντων κµάτων είναι: x y,ηµ t, 5x y,ηµ t (S.I.) x y,ηµ t +, 5x y,ηµ t + (S.I.) Η εξίσωση ταάντωσης των σηµείων το εαστικού µέσο κατά την τατόχρονη ιάοση και των ο κµάτων, αιώς η εξίσωση το στάσιµο κύµατος θα είναι: x t x y A σν ηµ y A σν ηµωt T x y, σν ηµ t, x y, σν ηµ t(s.i.) Γ. Όταν στο εαστικό µέσο αοκατασταθεί στάσιµο κύµα, η εξίσωση ταάντωσης κάθε σηµείο έχει τη µορφ: x t x y A σν ηµ η οοία, θέτοντας A A σν, T t γράφεται: y A ηµ T t αν A > : y A ηµ T t αν A < : y A t ηµ y A ηµ + T T Η ταχύτητα ταάντωσης το κάθε σηµείο θα εριγράφεται αό την εξίσωση: t ω A σν όταν A >, T t ω A σν + T όταν A <

5 Σγκρίνοντας την εξίσωση Μ, σνt (S.I.) ο µας όθηκε, µε τις αραάνω ροκύτει ως: AΜ > & ω AΜ, AΜ, AΜ,m (η. AΜ A ) Όµως: x x x A A σν A A σν σν x σν σν x οότε: k ± x k ± (k Z ) () Γνωρίζοµε είσης ως: x > (αφού βρίσκεται στον θετικό ηµιάξονα), µεταξύ της αρχς το άξονα Ο (ο θα είναι κοιία) και το Μ άρχον ο εσµοί και µια κοιία. εοµένο ως η αόσταση κοιίας εσµού είναι / και η αόσταση µεταξύ ο ιαοχικών εσµών είναι /, θα ρέει: 9 x > + x > x > και x < (αφού στη θέση x έχοµε τη η κοιία µεταξύ Ο και Μ). Εοµένως ρέει: A 9 < x / / < A A εσμοί 5 A

6 Θέτοντας στην εξίσωση () k, αίρνοµε: x (αορ.) x (αορ. αφού είναι < 9 ) Θέτοντας στην εξίσωση () k, αίρνοµε: 5 x + (αορ.) x (, εκτ) 5, Άρα: x x,5m Γ. Ο ησιέστερος στο Μ εσµός είναι ατός ο βρίσκεται στη θέση x/. ον ονοµάζοµε Κ. ο Μ βρίσκεται στην εάχιστη αόστασ το αό τον εσµό Κ, τη στιγµ ο και όα τα σηµεία ιέρχονται αό τη θέση ισορροίας. Σνεώς η εάχιστη αόσταση είναι: 5 9, ( ΚΜ ) min x x K ( ΚΜ ) min ( ΚΜ ) min,5 m A A A / εσμοί K A A Με βάση το αραάνω σχµα ροκύτει: max ΚΜ max + ( ) A ( ) ( ) ( ΚΜ ), +, ( ) 95, ΚΜ max max ( ΚΜ ), m

7 Γ. Όταν η σχνότητα των κµάτων µεταβηθεί, το Μ θα είναι η η κοιία στον θετικό ηµιάξονα Οx, µετά την κοιία στο σηµείο Ο. Με τη µεταβο της σχνότητας εν µεταβάεται η ταχύτητα ιάοσης των κµάτων, ο εξαρτάται µόνο αό το µέσο ιάοσης. Σνεώς (βέε σχµα αρακάτω) ισχύει: 5 5 Κ Κ, 5 Σνεώς το οσοστό µεταβος της σχνότητας είναι:, Π % Π % Π % A A ριν τη μεταβο σχνότητας 5 / A A A μετά τη μεταβο σχνότητας / A Ο ζητούµενος όγος θα είναι: E mω Α E mω Α E Α E Α E E E A E, A Α Α

8 E E, E E E 5 E ΘΕΜΑ. Στη ιάρκεια της ταάντωσης το σώµα ιέρχεται αό τη Θ.Ι. κάθε µισ ερίοο άρα µε βάση τα εοµένα, θα είναι T,5s,5s. H κκικ σχνότητα της ταάντωσης θα είναι:,5 ω ω rad s Η αόσταση d, µεταξύ των ακραίων θέσεων της ταάντωσης ισούται µε Α και έτσι: d,8 d A A A A, m Γνωρίζοµε ότι την t: x, m και αφού ειταχύνεται θα κινείται ρος τη Θ.Ι οότε < t Γενικά: x A ηµ ( ω t + ϕ ),, ηµϕ ο x, m ηµϕ ηµϕ ηµ, άρα: ϕ k + ϕ k + k + k Z εχόµαστε: ϕ <. Θέτοντας k αίρνοµε: ϕ rad ϕ rad ενώ κάθε άη τιµ το k, ίνει φ εκτός της εκτς εριοχς τιµών. Γνωρίζοµε είσης ότι για t: max > < σνϕ < σνϕ < max Άρα: ϕ rad

9 εικά η ζητούµενη εξίσωση είναι: x, ηµ t + (S.I.). Γνωρίζοντας την αγεβρικ τιµ της ύναµης εαναφοράς, οογίζοµε την αοµάκρνση αό τη θέση ισορροίας: D k Σ F Dx Σ F kx στη θέση ο µας ενιαφέρει: ΣF ( 5,) x x, m k Εει όµως η ενέργεια της ταάντωσης αραµένει σταθερ, η ενέργεια ταάντωσης στη θέση ο µας ενιαφέρει (x ) θα είναι ίση µε την ενέργεια της ταάντωσης στη θέση µέγιστης αοµάκρνσης (Θ.Μ.Α): E Θ Μ Α Ε DA m + Dx mω A m + mω x (.. ) ( x ) ω A ω x ( A x) ω ±ω A x ±,, ( ± ) ( ) ± ( ) ± 57,9 m s ± m x> ±,9 s ησιάζει τη Θ.Ι.. Αό τη σταθερά εαναφοράς της αρχικς ταάντωσης το σστµατος m -k, οογίζοµε την m : D k k D m ω m ω m m kg Εφαρµόζοµε την Α..Ο στον άξονα x x για το σύστηµα των Σ -Σ : P ο P ο P + P P και εφόσον το οσοστό αώειας µηχανικς ενέργειας κατά την κρούση είναι % το σσσωµάτωµα θα έχει µηενικ ταχύτητα αµέσως µετά την κρούση, οότε: P + P αγεβρικά m m m m m,9 9 m, s m,

10 . Μετά την κρούση το σύστηµα των ο σωµάτων θα εκτεέσει φθίνοσα ταάντωση γύρω αό την ίια θέση ισορροίας (µε ατ της ταάντωσης το m ), µε αρχικό άτος A x, m (αφού το σσσωµάτωµα εν έχει ταχύτητα αµέσως µετά την κρούση). Η ερίοος της φθίνοσας ταάντωσης θα ισούται µε την ερίοο της ας αρµονικς ταάντωσης το σστµατος των ο σωµάτων, αοσία αοσβέσεων, η: m + m +, T T T k T s 5 Εφόσον η ύναµη αόσβεσης όγω αέρα είναι της µορφς F -b, το άτος της ταάντωσης θα µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο και σνεώς: Λt t T A A A A Ae A A ln A ln e 5 e ln e A, A A A,8 m