Εισαγωγή στην R Πρόχειρες Σηµειώσεις. Κωνσταντίνος Φωκιανός & Χαράλαµπος Χαραλάµπους Τµήµα Μαθηµατικών & Στατιστικής Πανεπιστήµιο Κύπρου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στην R Πρόχειρες Σηµειώσεις. Κωνσταντίνος Φωκιανός & Χαράλαµπος Χαραλάµπους Τµήµα Μαθηµατικών & Στατιστικής Πανεπιστήµιο Κύπρου"

Transcript

1 Εισαγωγή στην R Πρόχειρες Σηµειώσεις Κωνσταντίνος Φωκιανός & Χαράλαµπος Χαραλάµπους Τµήµα Μαθηµατικών & Στατιστικής Πανεπιστήµιο Κύπρου η Εκδοση : Φεβρουάριος η Εκδοση : Ιανουάριος 200

2 2

3 Περιεχόµενα Ι Στατιστικές Μέθοδοι στην R Ι Εισαγωγή στην R 3. Μία Εισαγωγική Περίοδος Βασικές έννοιες Αντικείµενα εδοµένων 2 2. ιανύσµατα Πίνακες Πίνακες µεγαλύτερης διάστασης (Arrays) Λίστες Παράγοντες Πλαίσια εδοµένων (Data Frames) Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R Αριθµητικές πράξεις και απλές συναρτήσεις Πράξεις ιανυσµάτων και Πινάκων Γραµµικό Σύστηµα Εξισώσεων Τυχαίοι Αριθµοί Άλλες Χρήσιµες Συναρτήσεις Γραφήµατα Απλά Γραφήµατα Γραφικές υνατότητες Είδη και Γραµµές Γραφικής Παράστασης Προσθήκη Πληροφοριών σε Γράφηµα Γραφήµατα Σε Μεγαλύτερες ιαστάσεις

4 5 Απλός Προγραµµατισµός στην R Λογικοί Τελεστές και Τελεστές Σύγκρισης Χρησιµοποιώντας Υποσύνολα των εδοµένων Κατασκευή Συναρτήσεων Προσοµοίωση Ο Ασθενής Νόµος των Μεγάλων Αριθµών Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Προσεγγίσεις της ιωνυµικής Κατανοµής Monte Carlo Ολοκλήρωση Βελόνα του Buffon Εµπειρική Σύγκριση Εκτιµητριών Στατιστική Συµπερασµατολογία Περιγραφική Στατιστική Συµπερασµατολογία για Ενα είγµα Συµερασµατολογία για υο είγµατα Συµπερασµατολογία για είγµατα Κατά Ζεύγη Ελεγχος Καλής Προσαρµογής Ελεγχος Υποθέσεων για Ποσοστά Πίνακες Συνάφειας Παράδειγµα Γραµµική Παλινδρόµηση Γραµµικά Μοντέλα στην R Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση Ανάλυση της ιακύµανσης Ανάλυση ιακύµανσης κατά ένα Παράγοντα Πολλαπλές Συγκρίσεις Λογιστική Παλινδρόµηση 35 0.Περιγραφή των εδοµένων Λογιστική Παλινδρόµηση Ανάλυση στην R Μοντέλο Probit

5 Τεχνικές Αναδειγµατοληψίας 47.Μέθοδος Jackknife Μέθοδος Bootstrap Εκτίµηση Συντελεστή Συσχέτισης Συντελεστές Παλινδρόµησης Ασκήσεις Μέρους Ι 59 ΙΙ Στατιστικές Μέθοδοι στην R ΙΙ 63 3 Ειδικά Γραφήµατα 65 3.Γραφήµατα Trellis Μέθοδος Newton-Raphson 73 4.Παράδειγµα Ανάλυση της Συνδιακύµανσης 8 5.Ανάλυση της Συνδιακύµανσης Εκτίµηση Μη-Γραµµικών Μοντέλων 85 6.Περιγραφή των εδοµένων Ανάλυση µε Μη-Γραµµικό Μοντέλο Poisson Παλινδρόµηση και Λογαριθµικά Γραµµικά Μοντέλα 9 7.Poisson Παλινδρόµηση Παράδειγµα Μη Παραµετρική Παλινδρόµηση 99 8.Τοπική Πολυωνυµική Παλινδρόµηση Εξοµαλυντές Splines Αθροιστική Απαραµετρική Παλινδρόµηση Ανάλυση Επιβίωσης Συνάρτηση Επιβίωσης Συνάρτηση Κινδύνου Μοντέλο αναλόγων συναρτήσεων κινδύνου Παράδειγµα

6 20 Ανάλυση σε Κύριες Συνιστώσες και ιαχωριστική Ανάλυση Ανάλυση σε Κύριες Συνιστώσες ιαχωριστική Ανάλυση Ανάλυση Κατά Συστάδες στην R Εισαγωγή Ιεραρχική Ανάλυση κατά Συστάδες Μεθοδολογία K-means (MacQueen) Partitioning Around Medoids (PAM) Self Organizing Maps (SOM) Fuzzy Analysis Clustering (Fanny) Παράδειγµα ανάλυσης δεδοµένων Βιβλιογραφία Ανάλυση Χρονοσειρών Ανάλυση Χρονοσειρών Παράδειγµα Παραδείγµατα Μεθόδων E-M Αλγόριθµου Πολυωνυµική Κατανοµή Ελεγχος Επιβίωσης Μοντέλο Πεπερασµένης Μίξης Κανονικών

7 Πρόλογος 2ης Εκδοσης Στην παρούσα έκδοση των Πρόχειρων Σηµειώσεων στην R συµπεριλαµβάνονται ϑέ- µατα τα οποία ανήκουν σε πιο εξειδικευµένα ϑέµατα Στατιστικής και η διδασκαλία τους γίνεται σε επίπεδο µεταπτυχιακού µαθήµατος. Πιο εδικά, έχουµε συµπεριλάβει µεθόδους ανάλυσης συνδιακύµανσης, Poisson λογαριθµικά µοντέλα, µη παραµετρική παλινδρόµηση, ανάλυση επιβίωσης, µέθοδοι ανάλυσης χρονοσειρών καθώς και µεθόδους ανάλυσης πολυδιάστατων δεδοµένων. Επίσης συµπεριλαµ- ϐάνονται ειδικές γραφικές παραστάσεις που µπορεί να κατασκευάσει η R καθώς και κάποια παραδείγµατα προγραµµατισµού µε εφαρµογές την µέθοδο Newton Raphson καθώς και τον αλγόριθµο EM. Ευελπιστούµε ότι η παρούσα έκδοση των σηµειώσεων ϑα είναι χρήσιµη για την εκµάθηση ποικίλων στατιστικών µεθόδων καθώς και για την καλύτερη κατανόηση του λογισµικού Ρ. Λευκωσία, Ιανουάριος 200 Κωνσταντίνος Φωκιανός Χαράλαµπος Χαραλάµπους

8 8

9 Πρόλογος ης Εκδοσης Οι σηµειώσεις αυτές αποτελούν µία εισαγωγή στην στατιστική γλώσσα προγραµ- µατισµού R η οποία αναπτύσσεται ϱαγδαία τα τελευταία χρόνια. Η R είναι ελεύθε- ϱα διαθέσιµη στην ιστοσελίδα και στηρίζεται στην ανάπτυξη προγραµµάτων µέσω πακέτων (packages) τα οποία διατίθενται πάλι ελεύθερα από χρήστες ανά τον κόσµο. Συνεπώς, είναι λογικό να γραφεί και ένα σύγγραµµα στα ελληνικά έτσι ώστε η R να γίνει ευρύτερα γνωστή µε ελεύθε- ϱο τρόπο. Το ϐιβλίο απευθύνεται πρωτίστως σε ϕοιτητές Μαθηµατικών τµηµάτων µε κατεύθυνση Στατιστική αλλά µπορεί να χρησιµεύσει και σε ϕοιτητές άλλων σχολών που το αντικείµενό τους συνάδει µε την Στατιστική. Απαραίτητη προϋπό- ϑεση για να διαβάσει ο αναγνώστης τις σηµειώσεις είναι η επιτυχής ολοκλήρωση εισαγωγικών µαθηµάτων Πιθανοτήτων και Στατιστικής. Η δοµή των σηµειώσεων έχει ως εξής. Τα κεφάλαια 5 εισάγουν το ϕοιτητή στις ϐασικές έννοιες της R, το κεφάλαιο 6 συζητά εφαρµογές στατιστικής ϑεω- ϱίας µέσω προσοµοιώσεων ενώ τα κεφάλαια 7 0 είναι αφιερωµένα σε ϐασικές στατιστικές µεθόδους ανάλυσης δεδοµένων. Το κεφάλαιο συζητά µεθόδους α- ναδειγµατοληψίας ενώ η παρουσίαση κλείνει µε παραδείγµατα και ασκήσεις. Τα µαθήµατα αυτά έχουν διδαχτεί σε προπτυχιακούς και µεταπτυχιακούς ϕοιτητές του τµήµατος Μαθηµατικών και Στατιστικής του Πανεπιστηµίου Κύπρου και η εµπειρία του πρώτου συγγραφέα είναι ότι οι όλα τα κεφάλαια µπορούν να γίνουν σε δεκατρία δίωρα εργαστήρια έχοντας τους ϕοιτητές να αλληλεπιδρούν µε τον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Σε αυτό το στάδιο δεν γίνεται προσπάθεια να γίνουν κατανοητές οι µαθηµατικές έννοιες αλλά να µπορεί ο αναγνώστης να εφαρµόζει τις πιο απλές στατιστικές µεθόδους. Φυσικά σε κάθε τέτοιο επιχείρηµα υπάρχουν ελλείψεις και λάθη. Τα προγράµµατα που παρουσιάζονται εδώ δεν έχουν κανένα πρόβληµα αφού έχουν δοκιµαστεί σε διάφορες πλατφόρµες. Οι ελλείψεις, κατά την ταπεινή µας γνώµη, είναι η απουσία µη παραµετρικής εκτιµήτριας συνάρτησης πυκνότητας πιθανότη-

10 τας, µη παραµετρικής παλινδρόµηση και ανάλυση της διακύµανσης και επιλογή και εκτίµηση µοντέλων. Ευελπιστώντας στην κατανόηση του αναγνωστικού κοινού, πιστεύουµε στην εποικοδοµητική κριτική η οποία ϑα ϐελτιστοποιήσει τις ανά χείρας σηµειώσεις και ϑα τις επιτρέψει να έχουν 2η, 3η έκδοση κ.ο.κ. Για τον αναγνώστη που ενδιαφέρεται να µάθει παραπάνω και να εξερευνήσει την R εις ϐάθος του προτείνουµε τα παρακάτω εγχειρίδια :. Richard A. Becker, John M. Chambers, and Allan R. Wilks. The New S Language. Chapman & Hall, London, John M. Chambers and Trevor J. Hastie. Statistical Models in S. Chapman & Hall, London, William N. Venables and Brian D. Ripley. Modern Applied Statistics with S. Fourth Edition. Springer, New York, William N. Venables and Brian D. Ripley. S Programming. Springer, New York, Frank E. Harrell. Regression Modeling Strategies, with Applications to Linear Models, Survival Analysis and Logistic Regression. 6. John Fox. An R and S-Plus Companion to Applied Regression. Sage Publications, Thousand Oaks, CA, USA, Julian J. Faraway. Linear Models with R. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, Φυσικά υπάρχουν πλήθος άλλα συγγράµµατα και ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης µπορεί να ϐρει περαιτέρω πληροφορίες στην ιστοσελίδα της R. Συµπερασµατικά, κανείς δεν µπορεί, την γνώµη του πρώτου συγγραφέα, να ισχυριστεί ότι µε το διάβασµα µερικών σηµειώσεων καθώς και µε λίγη εξάσκηση έµαθε να προγραµµατίζει, σε οποιαδήποτε γλώσσα προγραµµατισµού. Για να γίνει αυτό χρειάζεται συνεχής ενασχόληση, κριτική σκέψη και διαρκής εξερεύνηση. Λευκωσία, Ιανουάριος 2008 Κωνσταντίνος Φωκιανός Χαράλαµπος Χαραλάµπους 0

11 Μέρος I Στατιστικές Μέθοδοι στην R Ι

12

13 Κεφάλαιο Εισαγωγή στην R Ο κύριος σκοπός αυτών των σηµειώσεων είναι η εισαγωγή στην στατιστική γλώσσα προγραµµατισµού R. Η γλώσσα R είναι ελεύθερα διαθέσιµη από το διαδίκτυο και η υποστήριξή της γίνεται µέσω της εθελοντικής συνεισφοράς πολλών ανθρώπων ανά τον κόσµο, οι οποίοι είναι και υπεύθυνοι για την ανάπτυξή της. Η ιστοσελίδα περιέχει περαιτέρω πληροφορίες καθώς και συνδέσµους για τα σχετικά προγράµµατα που αφορούν την αποθήκευση και εκτέλεση του προγράµµατος σε διάφορα λειτουργικά συστήµατα. Σηµειωτέον, ότι η R µπορεί να τρέξει σε περιβάλλον Linux, Mac OS και Windows. Οπως ϑα δούµε, η R είναι µία γλώσσα προγραµµατισµού που χρησιµεύει κατεξοχήν στην επεξηγηµατική ανάλυση δεδοµένων καθώς και στην εφαρµογή διαφόρων στατιστικών µοντέλων. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί είτε µε κατευθείαν εντολές είτε µε προγράµµατα τα οποία µπορούν να αναπτυχθούν και να δοθούν για εκτέλεση. Σε αυτές τις σηµειώσεις ϑα µάθουµε πώς να προγραµµατίζουµε στην R καθώς και το πώς κατασκευάζονται ειδικές συναρτήσεις (functions) οι οποίες χρησιµεύουν για ανάπτυξη ιδίων προγραµµάτων. Περιληπτικά, ϑα δούµε τα παρακάτω Γενικές έννοιες που αφορούν την R. Πώς χρησιµοποιείται η R στην ανάλυση δεδοµένων. Προγραµµατισµός και ανάπτυξη στην R. 3

14 . Μία Εισαγωγική Περίοδος Οι παρακάτω εντολές ϑα δώσουν µία πρώτη γεύση από το τι µπορεί να κάνει η R. Καταρχάς µπορεί να µην γίνονται κατανοητές οι εντολές αυτές, αλλά τυχόν σύγχυση ϑα ϕύγει όταν προχωρήσουµε στα παρακάτω κεφάλαια. Πρώτο Παράδειγµα x <- rnorm(50) Προσοµοίωση δύο τυχαίων τυπικών κανονικών y <- rnorm(x) διανυσµάτων x και y. hull <- chull(x,y) Υπολογισµός κυρτού περιβλήµατος των δεδοµένων plot(x,y) Κατασκευάζει τη γραφική παράσταση των σηµείων στο επίπεδο polygon(x[hull], y[hull],dens=5) και σηµειώνει το κυρτό τους περίβληµα. objects() Βλέπει ποια αντικείµενα της R υπάρχουν µέσα στο αρχείο Data. rm(x,y) Αφαιρεί τα αντικείµενα x και y. y x Σχήµα.: Πρώτο παράδειγµα. 4

15 εύτερο Παράδειγµα x <- :20 ηµιουργεί το διάνυσµα x = (, 2,..., 20). w <- +sqrt(x)/2 ηµιουργεί το διάνυσµα των ϐαρών των τυπικών αποκλίσεων. dummy <- data.frame(x=x, Κατασκευάζει ένα πλαίσιο δεδοµένων µε 2 στήλες y=x+rnorm(x)*w) x και y και το παρουσιάζει. dummy objects() Βλέπει ποια αντικείµενα της R υπάρχουν µέσα στο αρχείο Data. fm <- lm(y~x, data=dummy) Εφαρµόζει απλή γραµµική παλινδρόµιση της y ως προς x summary(fm) και παρουσιάζει τα αποτελέσµατα fm <- lm(y~x, data=dummy, Εφαρµόζει σταθµισµένη παλινδρόµιση. weight=/w^2) lrf <- loess(y~x, data=dummy) Κάνει απαραµετρική παλινδρόµιση. attach(dummy) Άµεσα προσβάσιµες στήλες πλαισίου δεδοµένων. plot(x,y) Κάνει την γραφική παράσταση του x συναρτήσει του y. lines(x, fitted(lrf)) Προσθέτει στο γράφηµα το µοντέλο από την απαραµετρική παλινδρόµηση. abline(0,,lty=3) Προσθέτει στο γράφηµα την πραγµατική γραµµή παλινδρόµισης. abline(coef(fm)) Η γραµµή από την απλή γραµµική παλινδρόµηση. abline(coef(fm), lty=4) Η γραµµή από την σταθµική παλινδρόµηση. Οποιαδήποτε στιγµή µπορείτε να τυπώσετε αντίγραφο της γραφικής παράστασης πατώντας στο παράθυρο Graph και επιλέγοντας το Print. detach() Αφαιρεί τις στηλες του πλαισίου δεδοµένων απο τη λίστα αντικειµένων. plot(fitted(fm), resid(fm), Γραφική παράσταση των υπολοίπων xlab="fitted Values", για έλεγχο της ετεροσκεδαστικότητας. ylab="residuals", main= "Residuals vs Fitted") qqnorm(resid(fm), main= QQ plot των υπολοίπων. "Residuals QQ Plot") rm(fm,fm,lrf,x,dummy) 5

16 Residuals vs Fitted Residuals QQ Plot y Residuals Sample Quantiles x Fitted Values Theoretical Quantiles Σχήµα.2: εύτερο παράδειγµα. Τρίτο Παράδειγµα Γραφικές δυνατότητες της R: διάγραµµα ισουψών και 3-διάστατες γραφικές πα- ϱαστάσεις. x <- seq(-pi,pi,length=50) y <- x Το ίδιο µε το x. f <- outer(x,y, function(x,y) x είναι διάνυσµα µε 50 ισαπέχοντες τιµές στο ( π, π). Ορίζουµε ένα πίνακα f του οποίου οι γραµµές και οι στήλες έχουν δείκτες x και y αντίστοιχα, cos(y)/(+x^2)) και ικανοποιούν τη εξίσωση cos(y)/( + x 2 ). oldpar <- par() par(pty="s") Φυλάει τις εξ ορισµού γραφικές παραµέτρους. Καθορίζει την περιοχή του γραφήµατος σε τετράγωνο. contour(x,y,f) Κάνει το διάγραµµα ισουψών της f. contour(x,y,f, nlevels=5, add=t) Προσθέτει στο διάγραµµα πιο ψηλή ευκρίνεια. fa <- (f-t(f))/2 f a είναι το ασσύµετρο κοµµάτι της f. contour(x,y, fa, nlevels=5) ηµιουργεί το διάγραµµα ισουψών της f a. par(oldpar) persp(x,y,f) persp(x,y,fa) image(x,y, f) image(x,y,fa) objects(); rm(x,y,f,fa) q() Εξοδος από R. Επαναφέρει τις εξ ορισµού γραφικές παραµέτρους. ηµιουργεί προοπτική απεικόνιση και υψηλού επιπέδου γραφική παράσταση. Αφαιρεί τα υπάρχοντα αντικείµενα. 6

17 f Contour of f Contour of f Contour of fa Higher Resolution Σχήµα.3: Τρίτο παράδειγµα (Ι). Perspective of f Perspective of fa fa y y x x High image of f High image of fa y y x x Σχήµα.4: Τρίτο παράδειγµα (ΙΙ). 7

18 .2 Βασικές έννοιες Η R εφαρµόζει µια διάλεκτο της γλώσσας S η οποία ειναι µια διερµηνέας γλώσσα προγραµµατισµού. Αυτό σηµαίνει ότι οι εντολές διαβάζονται και µετά εκτελούνται αµέσως. Αντίθετα, η C και η Fortran είναι µεταγλωτίστριες γλώσσες προγραµ- µατισµού στις οποίες ολοκληρωµένα προγράµµατα µεταφράζονται µε τη ϐοήθεια ενός µεταγλωτιστή στην κατάλληλη γλώσσα µηχανής. Το µεγάλο πλεονέκτηµα των διερµηνέων γλωσσών προγραµµατισµού είναι ότι επιτρέπουν σταδιακή ανάπτυξη. Με άλλα λόγια, µια συνάρτηση µπορεί να δηµιουργηθεί, να εκτελεσθεί και µετά να δηµιουργηθεί µια καινούργια συνάρτηση η οποία καλεί την πρηγούµενη κ.ο.κ. Σηµειώστε όµως ότι µεταγλωτισµένος κώδικας τρέχει πιο γρήγορα και χρειάζεται λιγότερη µνήµη από το διερµηνευµένο κώδικα. Η αλληλεπίδραση µε την R επιτυγχάνεται πληκτρολογώντας εκφράσεις, τις οποίες ο διερµηνέας αξιολογεί και µετά τις εκτελεί. Για παράδειγµα > sqrt function(x) x^0.5 > sqrt(2) [].4424 ή log function(x, base = ) { y <-.Internal(log(x), "do_math", T, 06) if(missing(base)) y else y/.internal(log(base), "do_math", T, 06) } > log(0) [] Αξίζει να σηµειωθεί ότι η R είναι ευαίσθητη στα κεφαλαία γράµµατα. Αυτό ση- µαίνει οτι το x και το X είναι διαφορετικά αντικείµενα. Μια συνάρτηση καλείται συνήθως γράφοντας το όνοµα της ακολουθούµενο από µια λίστα ορισµάτων. Για παράδειγµα 8

19 > plot(fdeaths) > mean(fdeaths) [] Οι µαθηµατικές πράξεις είναι συναρτήσεις µε δύο ορίσµατα τα οποία έχουν ειδικό κάλεσµα. Π.χ. > 2+5 [] 7 > 3*6.8 [] 20.4 > 2.6/6 [] 2. Ενα από τα σύµβολα που χρησιµοποιείται πιο συχνά είναι το σύµβολο εγχώ- ϱησης <-, το οποίο καταχωρεί στις µεταβλητές συγκεκριµένες τιµές (π.χ. αριθµό, διάνυσµα, πίνακα, πλαίσιο δεδοµένων κ.α.) ή αποτελέσµατα πράξεων. test <- 4 > test [] 4 Ακόµη ένα πολύ συνηθισµένο σύµβολο στην R είναι το σύµβολο δείκτη [, το οποίο χρησιµοποιείται για να εξάγει υποσύνολα από ένα αντικείµενο, π.χ. > letters [] "a" "b" "c" "d" "e" "f" "g" "h" "i" "j" "k" "l" "m" "n" "o" [6] "p" "q" "r" "s" "t" "u" "v" "w" "x" "y" "z" > letters[3] [] "c" > letters[-3] [] "a" "b" "d" "e" "f" "g" "h" "i" "j" "k" "l" "m" "n" "o" "p" [6] "q" "r" "s" "t" "u" "v" "w" "x" "y" "z" Επίσης µπορεί να υπολογιστεί η λογική τιµή µιας πρότασης, όπως > j <- :26 > j<5 [] TRUE TRUE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE [] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE [2] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE 9

20 > letters[j<5] [] "a" "b" "c" "d" Η τοποθέτηση δεικτών είναι πολύ σηµαντική στην αποτελεσµατική χρήση της R γιατί δίνει έµφαση στο να επεξεργάζεται αντικείµενα δεδοµένων σαν ολοκληρωµένες οντότητες, παρά σαν µια συλλογή από ξεχωριστές παρατηρήσεις. Σαν τελευταία εισαγωγική σηµείωση, τονίζεται ότι κάθε έκφραση της R ερ- µηνεύεται από τον αξιολογητή και επιστρέφει ένα αντικείµενο δεδοµένων. Τα αντικείµενα δεδοµένων έχουν τις παρακάτω µορφές : λογική (logical) αριθµητική (numeric) µιγαδική (complex) κειµένου (character) Οι µορφές είναι γραµµένες από αυτήν που παρέχει την λιγότερη πληροφορία εώς εκείνη που παρέχει την περισσότερη πληροφορία. Οταν είναι ανάγκη να συνδυάσεις διαφορετικές µορφές, τότε η R χρησιµοποιεί εκείνη µε την περισσότερη πληροφορία. Το επόµενο παράδειγµα επεξηγεί αυτό το σκεπτικό : > -3.6 [] -3.6 > "Munich" [] "Munich" > c(t, F, T) [] T F T > c(-2, pi, 2) [] > c(t, pi, F) [] > c(t, pi, "Munich") [] "TRUE" " " "Munich" > mode(c(t, pi, "Munich")) [] "character" 20

21 Κεφάλαιο 2 Αντικείµενα εδοµένων Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται εισαγωγή στην ιδέα των αντικειµένων δεδοµένων. Τα αντικείµενα δεδοµένων είναι οι διάφορες µορφές στις οποίες µπορούν να ϕυλαχθούν δεδοµένα στην R. Οι κύριες µορφές αντικειµένων δεδοµένων που υπάρχουν στην R είναι τα ακόλουθα : διάνυσµα (vector) πίνακας (matrix) πίνακας µεγαλύτερης διάστασης (array) λίστα (list) παράγοντας (factor) χρονοσειρές (time series) πλαίσιο δεδοµένων (data frame). Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα αναπτυχθούν όλες οι πιο πάνω µορφές αντικειµένων, εκτός από τις χρονοσειρές οι οποίες ϑα αναλυθούν σε επόµενο κεφάλαιο. 2. ιανύσµατα Το πιο απλό είδος αντικειµένου είναι το διάνυσµα. Το διάνυσµα είναι απλά ένα διατεταγµένο σύνολο τιµών σε σειρά. Η εσωτερική διάταξη του διανύσµατος υποδεικνύει ότι υπάρχει ένας κατάλληλος τρόπος µε τον οποίο µπορούν να εξαχθούν 2

22 µερικά ή όλα από τα στοιχεία του. Ο πιο εύκολος τρόπος για να προσδιοριστεί ένα διάνυσµα είναι µέσω της εντολής c. Για παράδειγµα, > x <- c(,3,4,5) > x [] > length(x) [] 4 > mode(x) [] "numeric" > names(x) NULL > y <- c( c(2,3), c(,-6)) > y [] Ενας άλλος τρόπος, ο οποίος µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την κατασκευή διανύσµατος, ειδικά στην περίπτωση που είναι αναγκαίο να γίνει επανάληψη κάποιων τιµών, δίνεται µε τη ϐοήθεια της συνάρτησης rep. Η συνάρτηση rep() καθορίζει είτε το πόσες ϕορές ϑα γίνει η επανάληψη µε το όρισµα times, είτε το µέγεθος του διανύσµατος µε το όρισµα length. > rep(na,6) [] NA NA NA NA NA NA > rep(x, 3) [] > rep(x, c(,2,2,3)) [] Οπως παρατηρούµε στο τελευταίο παράδειγµα όταν το όρισµα times είναι ένα διάνυσµα µε το ίδιο µέγεθος µε το διάνυσµα των τιµών οι οποίες ϑα επαναληφθούν, τότε κάθε τιµή επαναλαµβάνεται τις αντίστοιχες ϕορές. Επιπλέον, ο τελεστής ακολουθίας : παράγει µία ακολουθία τιµών οι οποίες απέχουν µεταξύ τους µία µονάδα. > :3 [] > -3:6 []

23 >.:5 [] > 4:-5 [] Γενικότερα, µε τη ϐοήθεια της συνάρτησης seq µπορούµε να κατασκευάσουµε µία ακολουθία αριθµών µε οποιαδήποτε διαφορά µεταξύ των τιµών. Το επόµενο παράδειγµα επεξηγεί πως χρησιµοποιείται : > seq(-,2, 0.5) [] > seq(-,2, length=2) [] [5] [9] > seq(, by=0.5, length=2) [] Πίνακες Οι πίνακες χρησιµοποιούνται για να τακτοποιήσουν τιµές κατά γραµµές και στήλες σε ένα ορθογώνιο πίνακα. Στην ανάλυση δεδοµένων, οι διάφορες µεταβλητές συνήθως παρουσιάζονται σε διαφορετικές στήλες και οι διάφορες περιπτώσεις ή τιµές παρουσιάζονται σε διαφορετικές γραµµές. Οι πίνακες διαφέρουν από τα διανύσµατα γιατί έχουν διαστάσεις και σε αυτούς µπορεί να εφαρµοστεί η συνάρτηση διάστασης dim. Για να δηµιουργηθεί ένας πίνακας από ένα διάνυσµα, χρησιµοποιείται η συνάρτηση διάστασης dim εκχωρώντας ένα διάνυσµα µε 2 ακέραιους αριθµούς οι οποίοι αντιστοιχούν στον αριθµό των γραµµών και των στηλών του πίνακα, αντίστοιχα. > matr <- rep(:4, rep(3,4)) > matr [] > dim(matr) <- c(3,4) > matr [,] [,2] [,3] [,4] [,]

24 [2,] [3,] > matr2 <- seq(-2,2,length=25) > matr2 [] [8] [5] [22] > dim(matr2) <- c(5,5) > matr2 [,] [,2] [,3] [,4] [,5] [,] [2,] [3,] [4,] [5,] Συχνά χρειάζεται να συνδεθούν µεταξύ τους διάφορα διανύσµατα ή πίνακες για να δηµιουργηθεί ένας καινούργιος πίνακας. Αυτό γίνεται εφικτό µε τη ϐοήθεια των συναρτήσεων rbind και cbind. > matr3 <- rbind(c(,2,-), c(-3,,5)) > matr3 [,] [,2] [,3] [,] 2 - [2,] -3 5 > matr4 <- cbind(c(,2,-), c(-3,,5)) > matr4 [,] [,2] [,] -3 [2,] 2 [3,] - 5 > matr5 <- cbind(c(,2,-), c(-3,3,2,0)) Warning messages: Number of rows of result is not a multiple of vector length (arg ) in: cbind(c(, 2,-), c(-3, 3, 2, 0)) > matr5 [,] [,2] 24

25 [,] -3 [2,] 2 3 [3,] - 2 [4,] 0 Στην περίπτωση σύνδεσης διανυσµάτων µε διαφορετικά µεγέθη, η χρήση των συναρτήσεων cbind ή rbind, δίνει σαν αποτέλεσµα τις τιµές των µικρότερων από αυτά να επαναλαµβάνονται κυκλικά έτσι ώστε ο πίνακας να συµπληρωθεί εντελώς. matr6 <- cbind(matr, matr4) > matr6 [,] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,] [2,] [3,] > matr6 <- cbind(matr, matr3) Error in cbind(matr, matr3): Number of rows of matrices and lengths of names vectors must match (see arg 2) Ενας εναλλακτικός τρόπος για να δηµιουργηθεί ένας πίνακας είναι µε τη συνάρτηση matrix, η οποία παίρνει ως ορίσµατα τον αριθµό των γραµµών (nrow) και των στηλών (ncol). > matr7 <- matrix(:28, nrow=7, ncol=4) > matr7 [,] [,2] [,3] [,4] [,] [2,] [3,] [4,] [5,] [6,] [7,] > matr8 <- matrix(-5:6, ncol=3, byrow=t) > matr8 [,] [,2] [,3] [,]

26 [2,] -2-0 [3,] 2 3 [4,] > matrix(:23, nrow=7, ncol=4) [,] [,2] [,3] [,4] [,] [2,] [3,] [4,] [5,] [6,] [7,] Warning messages: Replacement length not a multiple of number of elements to replace in: data[:ll] <-old > matrix(:23, nrow=7) [,] [,2] [,3] [,4] [,] [2,] [3,] [4,] [5,] [6,] [7,] Warning messages: Replacement length not a multiple of number of elements to replace in: data[:ll] <-old Το όρισµα byrow είναι πολύ χρήσιµο όταν γίνεται η ανάγνωση των δεδοµένων από ένα αρχείο κειµένου (text file). Τέλος δίνονται µερικές εντολές οι οποίες χρησιµοποιούνται στην αναγνώριση του µεγέθους, των διαστάσεων και τη µορφή των τιµών του πίνακα, αλλά και πως µπορούν να δοθούν ονόµατα στις γραµµές και τις στήλες του. > matr8 [,] [,2] [,3] [,] [2,]

27 [3,] 2 3 [4,] > length(matr8) [] 2 > dim(matr8) [] 4 3 > mode(matr8) [] "numeric" > dimnames(matr8) NULL > dimnames(matr8) <- list(c("a","b","c","d"), c("k","k2","k3")) > matr8 K K2 K3 A B -2-0 C 2 3 D Πίνακες µεγαλύτερης διάστασης (Arrays) Τα arrays γενικεύουν τους πίνακες επεκτείνοντας την έννοια της διάστασής τους σε παραπάνω από δύο. Κατά συνέπεια, µεγαλώνει και η διάσταση της συνάρτηση dim. Για παράδειγµα, αν οι γραµµές και οι στήλες ενός πίνακα (matrix) είναι το µήκος και το πλάτος µιας ορθογώνιας διευθέτησης τιµών ισων διαστάσεων κύβου, τότε το µήκος, το πλάτος και το ύψος εκπροσωπούν τις διαστάσεις ενός πίνακα τριών διαστάσεων (three way array). εν υπάρχει κανένας περιορισµός στον αριθµό των διαστάσεων ενός πίνακα µεγαλύτερης διάστασης. > arr <- array( c(2:9,2:9,2:9), dim=c(2,4,3)) > arr,, [,] [,2] [,3] [,4] [,] [2,] ,, 2 [,] [,2] [,3] [,4] 27

28 [,] [2,] ,, 3 [,] [,2] [,3] [,4] [,] [2,] Η πρώτη διάσταση (γραµµές) συµπληρώνεται πρώτη. Αυτό είναι το ίδιο µε το να τοποθετούνται οι τιµές στήλη µε στήλη. Η δεύτερη διάσταση συµπληρώνεται δεύτερη. Η τρίτη διάσταση συµπληρώνεται µε τη δηµιουργία ενός πίνακα για κάθε επίπεδο της τρίτης διάστασης. Στους πίνακες µεγαλύτερης διάστασης εφαρµό- Ϲονται οι ίδιες εντολές για την αναγνώριση του µεγέθους, των διαστάσεων και τη µορφή των τιµών τους όπως και στην περίπτωση των πινάκων, αλλά και µε τον ίδιο τρόπο δίνονται ονόµατα στις διαστάσεις τους. > length(arr) [] 24 > mode(arr) [] "numeric" > dim(arr) [] > dimnames(arr) NULL 2.4 Λίστες Ως αυτό το σηµείο, όλα τα αντικείµενα δεδοµένων τα οποία έχουν περιγραφτεί είναι ατοµικά. Αυτό σηµαίνει ότι περιέχουν µόνο µιας µορφής δεδοµένα. Οµως, είναι αρκετές εκείνες οι περιπτώσεις στις οποίες υπάρχει η ανάγκη να δηµιουργηθούν αντικείµενα δεδοµένων τα οποία περιέχουν διάφορες µορφές τιµών. Η λύση προσφέρεται µέσω των αντικειµένων λίστας ( list) τα οποία αποτελούνται α- πό διάφορες συνιστώσες, η κάθε µια από τις οποίες περιέχει διαφορετική µορφή δεδοµένων. > group <- c(rep(,), rep(2,7)) 28

29 > group2 <- c(23,45,67,76,-8,3.5,2.9,4) > groups <- list(case=group, control=group2, descrip="an example") > groups $case: [] $control: [] $descrip: [] "An example" Για την εξαγωγή µιας συνιστώσας της λίστας χρησιµοποιούµε το σύµβολο $ ή [[ ]]. > groups$case [] > groups$control [] > groups[[]] [] > groups[[2]] [] > groups[[2]][:2] [] > length(groups) [] 3 > mode(groups) [] "list" > names(groups) [] "case" "control" "descrip" 2.5 Παράγοντες Για σκοπούς ανάλυσης δεδοµένων, µερικές από τις µεταβλητές µπορεί να µην είναι ποσοτικές αλλά ποιοτικές ή κατηγορικές. Μερικά παραδείγµατα τέτοιων µεταβλητών είναι το ϕύλο µε τιµές άντρας ή γυναίκα, η οικογενειακή κατάσταση µε τιµές ελεύθερος, παντρεµένος ή χωρισµένος. 29

30 Οι κατηγορικές µεταβλητές παρουσιάζονται στην R µε το αντικείµενο δεδοµένων που λέγεται παράγοντας (factor). Για να κατασκευαστεί ένας παράγοντας εφαρ- µόζεται η συνάρτηση factor. Παρατίθενται µερικά παραδείγµατα : > gender <- c("male", "female", "male", "male", "female", "female", "male") > gender [] "male" "female" "male" "male" "female" "female" "male" > factor(gender) [] male female male male female female male > intensity <- factor(c("hi", "Med", "Lo", "Hi", "Hi", "Lo"), + levels=c("hi","lo")) > intensity [] Hi NA Lo Hi Hi Lo > levels(intensity) [] "Hi" "Lo" > intensity <- factor(c("hi", "Med", "Lo", "Hi", "Hi", "Lo"), + levels=c("hi","lo"), labels=c("highdose", "LowDose")) > intensity [] HighDose NA LowDose HighDose HighDose LowDose Αν η σειρά των κατηγοριών του παράγοντα είναι σηµαντική, τότε χρησιµοποιείται η συνάρτηση ordered. > intensity <- ordered(c("hi", "Med", "Lo", "Hi", "Hi", "Lo"), + levels=c("lo", "Med", "Hi")) > intensity [] Hi Med Lo Hi Hi Lo Lo < Med < Hi Ενας παράγοντας µπορεί να κατασκευαστεί επίσης και από µια συνεχή µεταβλητή µε τη ϐοήθεια της συνάρτησης cut. > fact <- rnorm(0) > fact <- cut(fact, breaks=c(-5,-,,2,4)) > fact [] (-,] (-5,-] (-5,-] (-,] (-,] (-5,-] (-,] (-,] (-5,-] [0] (-,] Levels: (-5,-] (-,] (,2] (2,4] > fact2 <- cut(fact, breaks=5) 30

31 > fact2 [] (-0.429,-0.066] (-.67,-.25] (-.25,-0.84] (-0.429,-0.066] [5] (-0.84,-0.429] (-.25,-0.84] (-0.066,0.396] (-0.066,0.396] [9] (-.67,-.25] (-0.429,-0.066] 5 Levels: (-.67,-.25] (-.25,-0.84] (-0.84,-0.429]... (-0.066,0.396] Κάποιες άλλες χρήσιµες εντολές στην περίπτωση των παραγόντων είναι οι ακόλου- ϑες : > length(intensity) [] 6 > mode(intensity) [] "numeric" > names(intensity) NULL > levels(intensity) [] "Lo" "Med" "Hi" > class(intensity) [] "ordered" "factor" 2.6 Πλαίσια εδοµένων (Data Frames) Το κύριο πλεονέκτηµα του πλαισίου δεδοµένων είναι ότι επιτρέπει τον συνδυασµό δεδοµένων διαφορετικών µορφών µέσα σε ένα αντικείµενο για να χρησιµοποιηθεί για ανάλυση και µοντελοποίηση. Η ιδέα του πλαισίου δεδοµένων είναι η ταξινόµηση των τιµών κατά µεταβλητή (στήλη) ανεξάρτητα της µορφής τους. Επειτα, όλες οι παρατηρήσεις ενός συγκεκριµένου συνόλου µεταβλητών ταξινοµούνται σε πλαίσιο δεδοµένων. Για παράδειγµα, παρατίθενται 3 τυχαίες παρατηρήσεις (γραµµές) του πλαισίου δεδοµένων solder το οποίο υπάρχει µέσα στο πακέτο της R faraway. Η επιλογή τυχαίου δείγµατος γίνεται µέσω της συνάρτησης sample. > library("faraway") > test <- sample(:900, 3) > solder[test,] Opening Solder Mask PadType Panel skips 73 S Thin B3 L L Thin B3 L8 793 S Thick B6 L6 7 3

32 372 L Thick A3 D L Thick A3 L L Thick B6 D M Thin A6 L L Thick A3 D M Thin A6 L S Thick B6 W L Thick A.5 L L Thick A3 D L Thick B6 D4 Η µεταβλητή skips είναι συνεχής ενώ οι υπόλοιπες είναι διάφοροι παράγοντες factors. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να κατασκευαστεί ένα πλαίσιο δεδοµένων : read.table διαβάζει δεδοµένα από ένα εξωτερικό αρχείο (δοκιµάστε το µε ένα δικό σας αρχείο), data.frame τοποθετεί µαζί αντικείµενα διαφόρων µορφών. as.data.frame µετατρέπει αντικείµενα συγκεκριµένης µορφής σε αντικεί- µενο της τάξης data.frame. Σε αυτό το σηµείο ϑα εξεταστεί µόνο ο δεύτερος τρόπος. > my.logic<-sample(c(t,f),size=20,replace=t) > my.logic [] TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE TRUE FALSE FALSE TRUE [3] TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE > my.complex<-rnorm(20)+runif(20)*i > my.complex [] i i i [4] i i i [7] i i i [0] i i i [3] i i i [6] i i i [9] i i > my.numeric<-rnorm(20) > my.numeric 32

Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα αναπτυχθούν όλες οι πιο πάνω µορφές αντικειµένων, εκτός από τις χρονοσειρές οι οποίες ϑα αναλυθούν σε επόµενο κεφάλαιο.

Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα αναπτυχθούν όλες οι πιο πάνω µορφές αντικειµένων, εκτός από τις χρονοσειρές οι οποίες ϑα αναλυθούν σε επόµενο κεφάλαιο. Κεφάλαιο 2 Αντικείµενα εδοµένων Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται εισαγωγή στην ιδέα των αντικειµένων δεδοµένων. Τα αντικείµενα δεδοµένων είναι οι διάφορες µορφές στις οποίες µπορούν να ϕυλαχθούν δεδοµένα στην

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην R Πρόχειρες Σηµειώσεις. Κωνσταντίνος Φωκιανός & Χαράλαµπος Χαραλάµπους Τµήµα Μαθηµατικών & Στατιστικής Πανεπιστήµιο Κύπρου

Εισαγωγή στην R Πρόχειρες Σηµειώσεις. Κωνσταντίνος Φωκιανός & Χαράλαµπος Χαραλάµπους Τµήµα Μαθηµατικών & Στατιστικής Πανεπιστήµιο Κύπρου Εισαγωγή στην R Πρόχειρες Σηµειώσεις Κωνσταντίνος Φωκιανός & Χαράλαµπος Χαραλάµπους Τµήµα Μαθηµατικών & Στατιστικής Πανεπιστήµιο Κύπρου η Εκδοση: Φεβρουάριος 2008 2η Εκδοση: Ιανουάριος 200 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση. Κεφάλαιο 6. 6.1 Ο Ασθενής Νόµος των Μεγάλων Αριθµών. X = 1 n

Προσοµοίωση. Κεφάλαιο 6. 6.1 Ο Ασθενής Νόµος των Μεγάλων Αριθµών. X = 1 n Κεφάλαιο 6 Προσοµοίωση Αυτό το κεφάλαιο συµπληρώνει το προηγούµενο κεφάλαιο το οποίο αναφερόταν στο πώς µπορεί να γίνει απλός προγραµµατισµός στην R. Θα χρησιµοποιηθούν οι έννοιες του προγραµµατισµού για

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πρότυπο Πρόγραµµα Master Εξάµηνο Σπουδών Κωδικός Τίτλος Μαθήµατος ιδακτικές Μονάδες 1 ο Εξάµηνο ΜΑΣ650 Μαθηµατική Στατιστική 10 ΜΑΣ655 ειγµατοληψία 10 ΜΑΣ658 Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 5ο Aντώνης Σπυρόπουλος Πράξεις μεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρική Παλινδρόµηση

Μη Παραµετρική Παλινδρόµηση Κεφάλαιο 18 Μη Παραµετρική Παλινδρόµηση Το παραδοσιακό παραµετρικό µοντέλο δίνεται από την εξίσωση y i = f(β, x i ) + ε i, όπου β = (β 1,..., β p ) το διάνυσµα των παραµέτρων που ϑα εκτιµηθούν, και x i

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΕΜΦΕ 14-15 i. Έστω yi ο αριθμός των προσπαθειών κάθε μαθητή μέχρι να πετύχει τρίποντο. Ο αριθμός των προσπαθειών πριν ο μαθητής να πετύχει τρίποντο θα είναι xi = yi - 1, i = 1,,18. 2 2 3 2 1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Newton-Raphson

Μέθοδος Newton-Raphson Κεφάλαιο 14 Μέθοδος Newton-Raphson Θα συζητήσουµε υπολογισµό της εκτιµήτριας µεγίστης πιθανοφάνειας µε τη µέ- ϑοδο Newton-Raphson. Αν και υπάρχουν περιπτώσεις για τις οποίες η λύση µπορεί να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 3 Iανουαρίου 004. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών Τύπων. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Βασική δομή ενός προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι

= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι Άσκηση 1 i) Σε κάθε παρατήρηση περιλαμβάνεται ένας έλεγχος (ο τελευταίος) κατά τον οποίο εμφανίστηκε το πρώτο ελαττωματικό της παραγωγικής διαδικασίας. Επομένως, ο αριθμός ελέγχων που έγιναν πριν εμφανιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 Πρόλογος... xv Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 1.1.Ιστορική Αναδρομή... 1 1.2.Βασικές Έννοιες... 5 1.3.Πλαίσιο ειγματοληψίας (Sampling Frame)... 9 1.4.Κατηγορίες Ιατρικών Μελετών.... 11 1.4.1.Πειραµατικές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου)

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) 1. Εισαγωγή Χαρακτηριστικά της γλώσσας Τύποι δεδοµένων Γλώσσα προγραµµατισµού

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Βασικά Μαθηματικά

Γραφικά Υπολογιστών: Βασικά Μαθηματικά 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Βασικά Μαθηματικά Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Εισαγωγή Ένα μεγάλο κομμάτι των γραφικών αφορά βασίζονται-

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση

Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση 1. Γενικά Η εξάσκηση στο Εργαστήριο προϋποθέτει τη γνώση των εντολών (τουλάχιστον) τις οποίες καλείται ο σπουδαστής κάθε φορά να εφαρµόσει. Αυτές παρέχονται µέσω της Θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Παλινδρόµηση

Λογιστική Παλινδρόµηση Κεφάλαιο 10 Λογιστική Παλινδρόµηση Στο κεφάλαιο αυτό ϑα δούµε την µέθοδο της λογιστικής παλινδρόµησης η οποία χρησιµεύει στο να αναπτύξουµε σχέση µίας δίτιµης ανεξάρτητης τυχαίας µετα- ϐλητής και συνεχών

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Τυπικές χρήσεις της Matlab Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΗΣ 2007 - ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ

ΜΑΗΣ 2007 - ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΗΣ 2007 - ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ: ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από δύο Ενότητες Α και Β. ΕΝΟΤΗΤΑ Α - Αποτελείται από δέκα (10) ερωτήσεις. Κάθε ορθή απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧ Οικονομετρικά Πρότυπα Διαφάνεια 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : Αντικείμενο: Εισαγωγή στο στατιστικό πακέτο R και στις δυνατότητές του για δημιουργία γραφημάτων. Χρήση του λογισμικού RStudio.

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : Αντικείμενο: Εισαγωγή στο στατιστικό πακέτο R και στις δυνατότητές του για δημιουργία γραφημάτων. Χρήση του λογισμικού RStudio. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διδάσκων: Δρ. Γκόγκος Χρήστος Μάθημα: Πληροφορική ΙI (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 εαρινό εξάμηνο ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΑΡΙΘΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις

Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις 2016-2017 Εισαγωγή στη Matlab Matlab

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Βασικές έννοιες προγραµµατισµού Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Ελεγκτικής. ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Management Information Systems Εργαστήριο 2 Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα (Risky Business 1)

Παράδειγµα (Risky Business 1) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 3 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Συµπεράσµατα για την αβεβαιότητα Θέµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Παλινδρόµηση

Γραµµική Παλινδρόµηση Κεφάλαιο 8 Γραµµική Παλινδρόµηση Η γραµµική παλινδρόµηση είναι ένα από τα πιο σηµαντικά ϑέµατα της Στατιστική ϑεωρείας. Στη συνέχεια αυτή η πολύ γνωστή µεθοδολογία ϑα αναπτυχθεί στην R µέσω των τύπων για

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία του MATLAB

Βασικά στοιχεία του MATLAB ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Εξοικείωση µε το περιβάλλον του MATLAB και χρήση βασικών εντολών και τεχνικών δηµιουργίας προγραµµάτων, συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 012. JavaScripts

ΕΠΛ 012. JavaScripts ΕΠΛ 012 JavaScripts Γλώσσα JavaScript (JS) ηµιουργεί δυναµικές ιστοσελίδες και αλληλεπιδράσεις µε το χρήστη εν είναι Java, αλλά είναι αντικειµενοστραφής (απλό µοντέλο υποκειµένων) Objects, properties (τιµές

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ Ι ΡΥΜΑΤΑ Μάθηµα: Πληροφορική Ηµεροµηνία και ώρα εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ακέραιοι αριθμοί (int) Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ακέραιοι αριθμοί (int) Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 1 Τύποι δεδομένων Η γλώσσα προγραμματισμού C++ υποστηρίζει τους παρακάτω τύπους δεδομένων: 1) Ακέραιοι αριθμοί (int). 2) Πραγματικοί αριθμοί διπλής ακρίβειας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της ιακύµανσης

Ανάλυση της ιακύµανσης Κεφάλαιο 9 Ανάλυση της ιακύµανσης Η ανάλυση της διακύµανσης είναι µια από τις πλέον σηµαντικές µεθόδους για ανάλυση δεδοµένων. Η µέθοδος αυτή αναφέρετε στη διαµέριση του συνολικού αθροίσµατος τετραγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT. -Ενσωματωμένες συναρτήσεις. -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD. -Προτεραιότητα πράξεων

Κεφάλαιο 1. Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT. -Ενσωματωμένες συναρτήσεις. -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD. -Προτεραιότητα πράξεων Κεφάλαιο 1 Αρχή ήμισυ παντός. Πλάτων, 427-347 π.χ., Φιλόσοφος Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT -Ενσωματωμένες συναρτήσεις -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD -Προτεραιότητα πράξεων 1 Λογικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Εντολές. 2.2. Σχόλια. 2.3. Τύποι Δεδομένων

2.1. Εντολές. 2.2. Σχόλια. 2.3. Τύποι Δεδομένων 2 Βασικές Εντολές 2.1. Εντολές Οι στην Java ακολουθούν το πρότυπο της γλώσσας C. Έτσι, κάθε εντολή που γράφουμε στη Java θα πρέπει να τελειώνει με το ερωτηματικό (;). Όπως και η C έτσι και η Java επιτρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση Στα µαθητικά και φοιτητικά µας χρόνια, έχουµε γνωριστεί µε µία ποικιλία από µαθηµατικά προβλήµατα των οποίων µαθαίνουµε σταδιακά τις λύσεις Παραδείγµατος χάριν,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 8 Επεξεργασία Σήματος με την Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 8 Επεξεργασία Σήματος με την Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 8 Επεξεργασία Σήματος με την Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Βασική δομή ενός προγράμματος στο LabVIEW. Εμπρόσθιο Πλαίσιο (front

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 Μάθημα: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη, 6 Ιουνίου 2006 07:30 10:30

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συµπερασµατολογία

Στατιστική Συµπερασµατολογία Κεφάλαιο 7 Στατιστική Συµπερασµατολογία Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µια εισαγωγή σε µερικές απλές στατιστικές µεθόδους σε προβλήµατα συµπερασµατολογίας σε ένα και δύο δείγµατα. Το πρώτο µέρος α- ναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Υπο-προγράμματα στη Fortran

Υπο-προγράμματα στη Fortran ΦΥΣ 145 - Διαλ.05 1 Υπο-προγράμματα στη Fortran q Mέχρι τώρα τα προβλήματα και τα προγράμματα που έχουμε δεί ήταν αρκετά απλά και επομένως ένα και μόνο πρόγραμμα ήταν αρκετό για να τα λύσουμε q Όταν τα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη Υπολογιστών. Εισαγωγή στην Python

Εισαγωγή στην Επιστήμη Υπολογιστών. Εισαγωγή στην Python Εισαγωγή στην Επιστήμη Υπολογιστών Εισαγωγή στην Python Python scripts Ένα πρόγραμμα στην Python (συχνά αποκαλείται script) αποτελείται από μία ακολουθία ορισμών και εντολών. H ακολουθία των ορισμών και

Διαβάστε περισσότερα