ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 103

Transcript

1 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 03 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 6.. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 4, έγινε µια καταρχήν διαπραγµάτευση του προβλήµατος εύρεσης των ιδιοτιµών και ιδιοµορφών ενός ταλαντούµενου συστήµατος πολλών Β.Ε. Είναι προφανές ότι η λύση του προβλήµατος είναι εύκολη σε περιπτώσεις συστηµάτων στα οποία η περιγραφή της ταλαντωτικής κίνησης µπορεί να γίνει χρησιµοποιώντας µόνο Β.Ε. Στην περίπτωση αυτή η χαρακτηριστική εξίσωση συχνοτήτων είναι διτετράγωνη και οι λύσεις της προσδιορίζονται εύκολα. Το ίδιο ισχύει µε αυξηµένη δυσκολία - και σε περιπτώσεις 3 Β.Ε όπου µπορεί να χρησιµοποιηθεί µία επαναληπτική µέθοδος. Εάν ο αριθµός των Β.Ε. αυξηθεί, τότε η διαδικασία προσδιορισµού των ιδιοτιµών και των ιδιοµορφών του συστήµατος αποτελεί εργασία επίπονη και πολύπλοκη. Τα τελευταία χρόνια και παράλληλα µε την ανάπτυξη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών χρησιµοποιούνται µέθοδοι που προσφέρουν προσεγγιστικούς τρόπους υπολογισµού των φυσικών κυκλικών συχνοτήτων, ιδιοτιµών και ιδιοµορφών για τις περιπτώσεις αυτές. Ορισµένες από αυτές υπολογίζουν µόνο την πρώτη (βασική) ιδιοτιµή καθώς και την αντίστοιχη ιδιοµορφή. Άλλες πάλι υπολογίζουν όλες τις ιδιοτιµές και τις ιδιοµορφές είτε µε διαδοχικό τρόπο είτε συνολικά µετά την ολοκλήρωση της σχετικής µεθόδου. µέχρι κάποια τάξη η συνολικά κλπ. Επειδή στα πλαίσια ενός µαθήµατος δεν µπορούν να αναλυθούν όλες οι γνωστές µέθοδοι, έγινε µια επιλογή από τις πλέον χρησιµοποιούµενες και οι οποίες στην συνέχεια παρουσιάζονται. Θα πρέπει να τονιστεί ότι καµία από αυτές δεν παρουσιάζει βέλτιστη συµπεριφορά για όλες τις περιπτώσεις προβληµάτων και εποµένως στην επιλογή της κατάλληλης µεθόδου σηµαντικό ρόλο παίζουν η εµπειρία του µηχανικού και η φύση του προβλήµατος. Η µέθοδος Raylegh βασίζεται στο οµώνυµο πηλίκο για το οποίο ήδη έγινε αναφορά (βλ. σχετικά στην ενότητα 4.5) και προσεγγίζει το άνω όριο της τιµής

2 04 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ της πρώτης ιδιοτιµής ενός πολυβάθµιου συστήµατος σε αντίθεση µε την µέθοδο Duerley που κάνει το ίδιο αλλά από την πλευρά του κάτω ορίου της. Σε όλα τα ταλαντούµενα συστήµατα που εξετάζονται µε διακριτό τρόπο, ο αριθµός των ιδιοτιµών είναι ίσος µε τον αριθµό των Β.Ε. του συστήµατος. Επιπλέον, οι ιδιοτιµές του συστήµατος είναι ποσότητες διατεταγµένες κατά µια αύξουσα σειρά ξεκινώντας από την πρώτη. Τα δεδοµένα αυτά χρησιµοποιεί η επαναληπτική µέθοδος πινάκων 63 που παρέχει µε διαδοχικό τρόπο τις ιδιοτιµές και ιδιοµορφές του προβλήµατος. Αντίθετα η µέθοδος Jacob που είναι και αυτή επαναληπτική παρέχει - µόνο µετά την ολοκλήρωσή της - ταυτόχρονα όλες τις ιδιοτιµές και ιδιοµορφές. Τέλος η µέθοδος Holzer παρέχει την δυνατότητα προσδιορισµού των ιδιοτιµών και ιδιοµορφών µε σάρωση του πεδίου ορισµού των φυσικών κυκλικών συχνοτήτων παρέχοντας ένα ζεύγος ιδιοτιµών ιδιοµορφών κάθε φορά. Όλες οι προαναφερθείσες µέθοδοι αναλύονται διεξοδικά παρακάτω. 6.. Η µέθοδος Raylegh Η µέθοδος Raylegh είναι µια µέθοδος που βασίζεται σε ενεργειακά µεγέθη και βρίσκει εφαρµογή και σε διακριτά και σε συνεχή ταλαντούµενα συστήµατα. Η ικανότητα της είναι η προσεγγιστική εύρεση της πρώτης ιδιοτιµής (ή της πρώτης φυσικής κυκλικής συχνότητας) 64. Στην ενότητα 4.5 όπου αναλύεται το θέµα της ορθογωνικότητας των ιδιοµορφών ορίζεται το πηλίκο του Raylegh (βλ. σχέση (4.7) το οποίο αποτελεί την βάση της µεθόδου. Με βάση το θεώρηµα της επέκτασης (βλ. σχέση (4.8)), ένα αυθαίρετο διάνυσµα { X } µπορεί να γραφεί σαν γραµµικός συνδυασµός των κανονικοποιηµένων ιδιοµορφών ταλάντωσης ως εξής: { X} σ { X} = (6.) = Εάν το πηλίκο Raylegh γραφεί για το ανωτέρω αυθαίρετο διάνυσµα 65 τότε η τιµή του δεν θα είναι ίσο µε κάποια ιδιοτιµή του συστήµατος. Έτσι θα είναι: ({ X},{ X} ) ( ) [ K ] ω X, X [ M ] R({ X}) =, =,,..., (6.) Αντικατάσταση από την (6.) στην (6.) θα δώσει: 63 Η µέθοδος αυτή είναι γνωστή και ως µέθοδος Stodla. 64 Μια πιο ακριβής διατύπωση θα έκανε λόγο για «τον προσδιορισµό ενός άνω ορίου για την τιµή της πρώτης ιδιοτιµής» 65 που θα πρέπει να πληροί οπωσδήποτε την συνθήκη { X} { X}, =,,...

3 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 05 R({ X}) = = σ X, σ X σ ω = = [ K ] = σ{ X}, { X} σ σ = = [ M ] = (6.3) Το σφάλµα της µεθόδου κατά τον προσδιορισµό της ης ιδιοτιµής εξαρτάται σηµαντικά από το διάνυσµα { X που διαλέγει κανείς για να προσεγγίσει την η } appr ιδιοµορφή. Εάν το διάνυσµα αυτό εκλεγεί έτσι ώστε να είναι κοντά στην ιδιοµορφή { X }, τότε σύµφωνα µε τη σχέση (6.), η σταθερά σ που σχετίζεται µε την - ιδιοµορφή θα είναι πολύ µεγαλύτερη από όλες τις άλλες. Άρα θα είναι: f = σ / σ για =,,..,, +,.., (6.4) και κατά συνέπεια διαιρώντας τους όρους του κλάσµατος στο δεξιό µέρος µε και βγάζοντας κοινό παράγοντα στον αριθµητή το ως: Εάν σχηµατισθεί η διαφορά: () R X ω ω f ω f appr. = + + = ω = + ω σ ω - η (6.3) µπορεί να γραφεί (6.5) ( ). f f = ω = + ω ( ) ω ω L X = R X R( X ) = ω appr appr + f + f ω = = ω = + ω ω ω + > 0 (6.6) τότε προκύπτει το συµπέρασµα ότι η προσεγγιστική τιµή για την - ιδιοτιµή είναι µεγαλύτερη της ακριβούς. Έστω παραπέρα ότι =. Τότε: ( ) appr ( ) appr ω ω L X = R X R. ( X ) = ω + f ω = f 0 > = ω = ω ( appr. ) Άρα (6.7) L X > ω και η τιµή που βρίσκει η µέθοδος είναι πάντα υψηλότερη από την η ιδιοτιµή. Σε αλγοριθµική µορφή, η µέθοδος Raylegh λειτουργεί ως εξής: Θέσε µια αρχική τιµή { X appr. } για την η ιδιοµορφή { X } και

4 06 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Υπολόγισε την προσεγγιστική τιµή της ω = ω µε βάση τη σχέση: ({ X},{ X} ) { X},{ X} K ( ) [ ] [ M ] Η µέθοδος προσεγγίζει την ακριβή τιµή τόσο περισσότερο όσο πιο κοντά βρίσκεται η αρχική πρόβλεψη στην ακριβή τιµή της ης ιδιοµορφής. Για ορισµένα µηχανολογικά συστήµατα όπως άξονες η δοκούς που φέρουν συγκεντρωµένες µάζες ή αδράνειες (σφονδύλους, τροχαλίες, γρανάζια, τύµπανα, κλπ.) µία καλή προσέγγιση της ης ιδιοµορφής για εγκάρσιες ταλαντώσεις αποτελεί το διάνυσµα των στατικών αποκλίσεων των µαζών του συστήµατος λόγω ίδιου βάρους. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να προσδιορισθεί η θεµελιώδης φυσική συχνότητα του συστήµατος του σχήµατος 3. µέσω της µεθόδου Raylegh όταν = = 3 = και m = m = m3 = m (Τα και m θεωρούνται δεδοµένα). ΛΥΣΗ: Οι ιαφορικές Εξισώσεις που περιγράφουν την εξαναγκασµένη στρεπτική ταλάντωση του συστήµατος προκύπτουν εύκολα και είναι: Ο πίνακας µαζών του συστήµατος θα είναι: m M = 0 m 0 = m 0 0 [ ] 0 0 m3 0 0 (Kg) (Α.5.) Ο προσδιορισµός του πίνακα στιβαρότητας του ανωτέρω συστήµατος έχει ήδη γίνει στην άσκηση 9 χρησιµοποιώντας συντελεστές επιρροής στιβαρότητας (βλ. σχετικά) και είναι ίσος προς: [ K] 0 = 0 (N/m) (Α.5.) Θεωρούµε παραπέρα το σύστηµα ως ευρισκόµενο σε στατική ισορροπία υπό την επίδραση των βαρών των µαζών του. Τότε θα είναι:. Μάζα m : F ΚΜ.. = 0 mg x ( x x ) = 0 (N) (Α.5.3)

5 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 07 όπου x, x είναι οι στατικές µετατοπίσεις των µαζών m και m αντίστοιχα. Με παρόµοιο τρόπο θα είναι:. Μάζα m : F ΚΜ.. = 0 mg + ( x x ) ( x x ) 3 = 0 (N) (Α.5.4) όπου x 3 είναι η στατική µετατόπιση της µάζας m 3 και 3. Μάζα m 3 : F ΚΜ.. = 0 mg + ( x x ) 3 3 = 0 (N) (Α.5.5) Οι παραπάνω εξισώσεις αποτελούν µη οµογενές γραµµικό σύστηµα ως προς x, x, 3 x και η λύση του θα είναι: { X } sd 3 3 F mg = 5 = (m) (Α.5.6) Το διάνυσµα { X } sd µπορεί να αποτελέσει το διάνυσµα-προσέγγιση της ης ιδιοµορφής και µπορεί να χρησιµοποιηθεί στο πηλίκο του Raylegh (βλ. σχέση (4.7) για να προκύψει η πρώτη ιδιοτιµή ως εξής: R ({} x ) sd 0 3 { 3 5 6} 5 { X} [ K]{ X} 0 6 sd sd = = = 0. { X} [ M]{ X} m sd sd { 3 5 6} m (rad/sec) (Α.5.7) και εποµένως η πρώτη (θεµελιώδης) φυσική κυκλική συχνότητα θα είναι: ω = m = m (rad/sec) (Α.5.8) Πρόταση για παραπέρα εργασία: Να υπολογίσετε την ακριβή τιµή της θεµελιώδους φυσικής κυκλικής συχνότητας. Τι παρατηρείτε;

6 08 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 6.3. Η µέθοδος Duerley Η µέθοδος Duerley υπολογίζει - ή ακριβέστερα παρέχει το κάτω όριο της τιµής της ης ιδιοτιµής - ενός συστήµατος Β.Ε. µε βάση τις ιδιοτιµές των υποσυστηµάτων που το απαρτίζουν. Αν υποτεθεί ότι έχει ήδη προσδιορισθεί πίνακας ευκαµψίας [ A ] (βλ. σχετικά στην ενότητα 3.5) τότε µπορεί να προσδιορισθεί ο δυναµικός πίνακας [ D ] του συστήµατος. Ανάπτυξη της ορίζουσας του πίνακα των συντελεστών στην σχέση (4.0) θα δώσει ένα πολυώνυµο βαθµού ως προς λ. Εάν θα ισχύει ότι : λ, λ,..., λ είναι οι λύσεις του πολυωνύµου αυτού, τότε λ + λ λ = α m + α m α m (6.8) όπου υποθέσαµε ότι ο πίνακας της µάζας είναι διαγώνιος και α, =,,..., είναι οι συντελεστές επιρροής ευκαµψίας. Επειδή όµως λ λ, =,3,..,, αυτό σηµαίνει ότι ο αριστερός όρος της (6.8) µπορεί να παρασταθεί µόνο µε το λ, θεωρώντας τους υπόλοιπους όρους σχετικά µικρούς και άρα: λ αm+ αm αm (6.9) Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή σαν σχέση του Duerley. Είναι προφανές από την παραπάνω προσέγγιση ότι η µέθοδος δίνει προσεγγιστική τιµή για την ω πάντοτε µικρότερη από την ακριβή τιµή. Ο δεξιός όρος της (6.9) αποτελείται από άθροισµα όρων που περιλαµβάνουν µάζες. Οι όροι αυτή είναι ουσιαστικά οι αντίστροφοι των τετραγώνων των φυσικών κυκλικών συχνοτήτων ταλάντωσης ανεξάρτητων συστηµάτων το καθένα µε µάζα m,,,..., ελατήριου / α, =,,..., (N/m). ηλ.: λ at α m... at at at = (Kg) και σταθερά =. Άρα η (6.9) γράφεται: λ = λ + λ + + λ (6.0) Σε αλγοριθµική µορφή, η µέθοδος Duerley λειτουργεί ως εξής: Υπολόγισε τους συντελεστές επιρροής ευκαµψίας Σχηµάτισε τον διαγώνιο πίνακα µάζας Υπολόγισε τις φυσικές κυκλικές συχνότητες,,... προσδιόρισε το λ Υπολόγισε την ω µε βάση τη σχέση: λ = / ω λ λ λ και κατόπιν at at at

7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 09 ΑΣΚΗΣΗ 6 Να προσδιορισθεί η θεµελιώδης φυσική συχνότητα του συστήµατος του σχήµατος 3. µέσω της µεθόδου Duerley όταν = = 3 = και m = m = m3 = m (Τα και m θεωρούνται δεδοµένα). ΛΥΣΗ: Ο πίνακας µαζών του συστήµατος θα είναι: m M = 0 m 0 = m 0 0 [ ] 0 0 m3 0 0 (Kg) (Α.6.) Ο πίνακας ευκαµψίας του συστήµατος µπορεί να προσδιορισθεί εύκολα. Πράγµατι θα είναι: [ ] [ ] A K = = (m/n) 3 (Α.6.) Σύµφωνα µε την µέθοδο Duerley θα είναι: λ αm+ αm αm (Α.6.3) και m m 3 3m λ = αm = m=, λ = αm = m=, λ at at 3 = α at 33m3 = m= (Α.6.4) Άρα: και τελικά: m m 3m 6m λ + + = (Α.6.5) 6m λ = ω = (Α.6.6) m ω Εν γένει παρατηρούµε ότι ω < ω < ω. Εάν συγκριθεί η τιµή που Du erley exact Raylegh προκύπτει µε τη µέθοδο Raylegh (βλ. άσκηση 5) µε την ακριβή τιµή / m, προκύπτει σφάλµα 5 ( ) που θεωρείται αρκετά µικρό. Εάν γίνει σύγκριση της ίδιας τιµής µε το αποτέλεσµα της µεθόδου Duerley, το σφάλµα είναι περίπου 8. (%) και είναι σχετικά µεγάλο.

8 0 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 6.3. Η επαναληπτική µέθοδος πινάκων Η σχέση (4.0) αποτελεί διατύπωση του προβλήµατος των ιδιοτιµών και ιδιοµορφών. Εάν υποθέσουµε ότι υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα µαζών τότε ισχύει η σχέση (4.6) η οποία µπορεί να γραφεί ως: [ M] [ K]{ Χ} ω { Χ} = (N) (6.) Ο πίνακας [ M ] [ K] σχηµατίζεται βάσει του πίνακα στιβαρότητας του συστήµατος και εποµένως η παραπάνω σχέση αποτελεί διατύπωση του προβλήµατος των ιδιοτιµών και ιδιοµορφών ως προς τον πίνακα στιβαρότητας. Κατά την επίλυσή του η χαµηλότερη ως προς την τάξη ιδιοτιµή αντιστοιχεί στην χαµηλότερη ως προς την τιµή φυσική κυκλική συχνότητα. Το ίδιο πρόβληµα µπορεί να διατυπωθεί σύµφωνα µε την σχέση (4.9). Στην περίπτωση αυτή θα είναι: { Χ} = [ A][ M]{ Χ} (6.) ω Ο πίνακας [ A][ M ] σχηµατίζεται βάσει του πίνακα ευκαµψίας του συστήµατος και εποµένως η παραπάνω σχέση αποτελεί διατύπωση του προβλήµατος των ιδιοτιµών και ιδιοµορφών ως προς τον πίνακα ευκαµψίας. Κατά την επίλυσή του η χαµηλότερη ως προς την τάξη ιδιοτιµή αντιστοιχεί στην υψηλότερη ως προς την τιµή φυσική κυκλική συχνότητα. Η επαναληπτική µέθοδος πινάκων είναι γνωστή και ως µέθοδος Stodla και µπορεί να χρησιµοποιηθεί και µε τις δύο προαναφερθείσες διατυπώσεις. Εάν υποτεθεί ότι ακολουθείται η διατύπωση ως προς την ευκαµψία, τότε επιλέγεται καταρχήν ένα αυθαίρετο διάνυσµα ως προσεγγιστικό διάνυσµα της ης ιδιοµορφής έστω { X }. Ο πρώτος δείκτης στο διάνυσµα αυτό σηµαίνει την τάξη της ιδιοµορφής και ο δεύτερος τον δείκτη του κύκλου επανάληψης. Επιπλέον γίνεται η παραδοχή ότι το πρώτο στοιχείο του { X }, δηλαδή το X., είναι ίσο προς. Άρα το { X } θα είναι {... } είναι:.. X X. Εάν θέσουµε το { X } στο δεξιό µέρος της (6.) θα { R} [ A][ M]{ Χ} = (6.3) Με την υπόθεση ότι είναι: λ = / ω και σύµφωνα µε την σχέση (6.) θα πρέπει να λχ. = λ = R. (6.4)

9 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Από την παραπάνω σχέση µπορεί να προσδιορισθεί η τιµή της λ. Κατόπιν θα πρέπει να κανονικοποιηθεί το διάνυσµα { R } το οποίο θα αποτελέσει το διάνυσµα δοκιµής { Χ } για τον επόµενο κύκλο της µεθόδου. Εάν { Χ} = { Χ} τότε δεν θα υπάρξει επόµενος κύκλος αφού η µέθοδος θα έχει συγκλίνει στην η ιδιοµορφή. Εάν δεν υπάρχει σύγκλιση τότε κατά τον δεύτερο κύκλο θα είναι: { R} = [ A][ M]{ Χ} (6.5) για τον τρίτο: λχ. = λ = R. (6.6) ( ) { Χ} = orm { R} (6.7) 3 { R} = [ A][ M]{ Χ} (6.8) 3 3 λ3χ.3 = λ3 = R.3 (6.9) ( ) { Χ} = orm { R} (6.0) 4 3 και οι κύκλοι θα συνεχιστούν µέχρι την επίτευξη σύγκλισης. Έστω p ο αριθµός των απαιτούµενων κύκλων. Τότε θα είναι: λ = λ, ω = / λ, ω = / λ,{ X} = { X} (6.) p p p p Μπορεί να αποδειχθεί ότι, όταν ακολουθείται η διατύπωση ως προς την ευκαµψία, η µέθοδος των πινάκων συγκλίνει στην πρώτη ιδιοµορφή του συστήµατος. Πράγµατι, σύµφωνα µε το θεώρηµα της επέκτασης που ήδη αναφέρθηκε (βλ. σχέση (4.8)), κάθε διάνυσµα διαστάσεων ( ) µπορεί να εκφραστεί σαν γραµµικός συνδυασµός των ιδιοµορφών ταλάντωσης άρα το ίδιο ισχύει και για το διάνυσµα { X }. Εποµένως θα είναι: { X} { X} = σ (6.) όπου { X}, =,,..., είναι οι ιδιοµορφές του συστήµατος και σ, =,,..., συντελεστές βαρύτητας που δείχνουν το βαθµό συµµετοχής της κάθε ιδιοµορφής στην διαµόρφωσης του διανύσµατος { X }. Επειδή είναι: = ( ) ( ) p p ( p ) ( p ) { Χ} = [ A][ M]{ Χ} = [ A][ M] { Χ} =... = [ A][ M] { Χ} (6.3) αντικατάσταση από την (6.) στην (6.3) θα δώσει:

10 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ { Χ} σ [ A][ M] X p ( ) = (6.4) p = Εάν λ = / ω, η σχέση (6.) ισχύει για την - ιδιοµορφή: λ { Χ} = [ A][ M]{ Χ} (6.5) Πολλαπλασιάζοντας τα µέλη της παραπάνω σχέσης µε [ A][ M ] θα είναι: ( ) λ A M Χ = λ Χ = A M Χ (6.6) [ ][ ] [ ][ ] Επαναλαµβάνοντας τον παραπάνω πολλαπλασιασµό p - φορές θα προκύψει τελικά: ( ) p p [ A][ M] { Χ} = λ { Χ} (6.7) Εάν αντικαταστήσουµε στην (6.4) από την (6.7) η πρώτη θα γίνει: { Χ} σλ{ Χ} = (6.8) p p = Επειδή όσο αυξάνεται η τάξη του λ τόσο µειώνεται η τιµή του, αυτό σηµαίνει ότι καθώς αυξάνεται ο αριθµός των κύκλων p από όλους τους όρους του αθροίσµατος του δεξιού µέλους της (6.8) µόνο ο πρώτος θα είναι σηµαντικός. Άρα: p p p = = (6.9) { Χ} σλ{ Χ} σλ{ Χ} και εποµένως το διάνυσµα { Χ } p θα προσοµοιώνει την η ιδιοµορφή. Η λειτουργία της επαναληπτικής µεθόδου πινάκων συγκλίνει θεωρητικά καθώς το p, αλλά ποτέ δεν είναι απαραίτητο να πάρουµε πάρα πολλές επαναλήψεις. Στην πραγµατικότητα ο αριθµός των απαιτούµενων επαναλήψεων εξαρτάται:. από την αρχικά εκλεγόµενη τιµή δοκιµής { X }, δηλαδή κατά πόσο βρίσκεται αρκετά κοντά στην τιµή της πρώτης ιδιοµορφής { X } και. από το πόσο καλά διαχωρισµένες είναι οι τιµές της ης και της ης ιδιοτιµής. Με την παρούσα µέθοδο µπορεί κανείς να υπολογίσει και τις υπόλοιπες ιδιοτιµές και ιδιοµορφές. Ο υπολογισµός τους µπορεί να ξεκινήσει µόλις ολοκληρωθεί ο προσδιορισµός της ης ιδιοτιµής και ιδιοµορφής. Θα πρέπει οπωσδήποτε να

11 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 3 απαλείψουµε την εξάρτηση του διανύσµατος δοκιµής από την η ιδιοµορφή 66. Εάν επιτύχουµε αυτό τότε η εκ νέου εφαρµογή της µεθόδου θα οδηγήσει στην η ιδιοτιµή και ιδιοµορφή. Κατόπιν θα απαλειφθεί η εξάρτηση του διανύσµατος δοκιµής από την η ιδιοµορφή και θα συνεχίσουµε για τον προσδιορισµό της 3 ης ιδιοτιµής και ιδιοµορφής και ούτω καθεξής µέχρι να προσδιορισθούν όλες οι ιδιοτιµές και ιδιοµορφές του συστήµατος. Έστω ότι { X } είναι ένα αυθαίρετο διάνυσµα προσεγγιστικό της ης ιδιοµορφής. Για το διάνυσµα αυτό θα ισχύει η σχέση (6.): { X} { X} = σ (6.30) Σύµφωνα µε την αρχή της ορθογωνικότητας για τα διανύσµατα και σε συνδυασµό µε την (6.30) θα είναι: ({ X},{ X} ) = { X} [ M] { X} = { X},{ X} = ( ) [ M ] [ M ] = X και { X } σ σ (6.3) Εάν το διάνυσµα { X } - που προσεγγίζει την η ιδιοµορφή - είναι ανεξάρτητο της ης ιδιοµορφής τότε θα είναι σύµφωνα µε την σχέση (4.6): ( ) X, X = 0 (6.3) [ M ] Η παραπάνω σχέση µπορεί να γραφεί ως εξής: cx + cx cx = 0 (6.33)... µε { c} = c c... c = X [ M] (6.34) ιαιρώντας τα µέλη της (6.33) µε c θα είναι: c c X + X X = 0 (6.35)... c c και c c X = X... X (6.36)... c c 66 Εάν δεν γίνει αυτό τότε η µέθοδος θα συγκλίνει πάντοτε στην η ιδιοτιµή και κατά συνέπεια στην η ιδιοµορφή.

12 4 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εάν c g =, =,3,..., τότε: c X. = g X. + g3x g X. (6.37) Επιπλέον µπορούν να γραφούν οι παρακάτω σχέσεις: X = 0X + X + 0 X X X = 0X + 0 X + X X X = 0X + 0X + 0 X... + X (6.38) Οι σχέσεις (6.37) και (6.38) µπορούν να γραφούν ως: = (6.39) { X} [ G]{ X} όπου 0 g g3... g [ G] = (6.40) είναι ο πίνακας απαλοιφής της ης ιδιοµορφής (παρατηρήστε την πρώτη στήλη του πίνακα αυτού). Άρα η σχέση (6.3) θα γραφεί ως εξής: = (6.4) { R} [ A][ M][ G]{ Χ} και σύµφωνα µε την διαδικασία που ακολουθήθηκε για την η ιδιοµορφή θα είναι: και για τον δεύτερο κύκλο: λχ. = λ = R. (6.4) ( ) { Χ} = orm { R} (6.43) = (6.44) { R} [ A][ M][ G]{ Χ} λχ. = λ = R. (6.45) ( ) { Χ} = orm { R} (6.46) 3 και οι κύκλοι θα συνεχιστούν µέχρι την επίτευξη σύγκλισης. Για να προχωρήσουµε στην 3 η ιδιοµορφή θα πρέπει να απαλειφθούν οι δύο προηγούµενες. Για να γίνει

13 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 5 αυτό θα ακολουθηθεί η διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω αλλά και για τις δύο ιδιοµορφές. Έτσι θα είναι: ( ) X, X = 0 (6.47) 3 [ M ] ( ) X, X = 0 (6.48) 3 [ M ] και ο πίνακας απαλοιφής της ης και ης ιδιοµορφής θα είναι: 0 0 g3 g4 g 0 0 g3 g4 g [ G] = (6.49) (παρατηρήστε τώρα τις δύο πρώτες στήλες). Γενικεύοντας την παραπάνω διαδικασία προκύπτει το συµπέρασµα ότι για τον προσδιορισµό της - ιδιοµορφής θα πρέπει να γίνει απαλοιφή των προηγούµενων ( ) ιδιοµορφών και ο αντίστοιχος πίνακας θα έχει µηδενικές τις πρώτες ( ) στήλες του. Σε αλγοριθµική µορφή, η επαναληπτική µέθοδος πινάκων λειτουργεί ως εξής: Θέσε τον µετρητή της τάξεως της ιδιοµορφής ίσο προς Θέσε τον πίνακα απαλοιφής [ G ] 0 ίσο προς τον µοναδιαίο πίνακα Όσο ο είναι µικρότερος ή ίσος του πλήθους των Β.Ε. o Θεώρησε αρχικό αυθαίρετο διάνυσµα προσέγγισης της ιδιοµορφής µε o το πρώτο στοιχείο του ίσο προς Αρχή επανάληψης: Πολλαπλασίασε το προσεγγιστικό διάνυσµα µε το γινόµενο των o o πινάκων [ A][ M][ G] ( ) και θέσε ως τρέχουσα τιµή της ιδιοτιµής το πρώτο στοιχείο του προκύπτοντος αποτελέσµατος Κανονικοποίησε το παραπάνω αποτέλεσµα Θέσε αυτό ως προσεγγιστικό διάνυσµα Μέχρις ότου να επιτευχθεί σύγκλιση Τύπωσε την -ιδιοτιµή και την -ιδιοµορφή o Αύξησε το κατά o Τέλος επανάληψης Υπολόγισε τον νέο πίνακα απαλοιφής

14 6 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 7 Να προσδιορισθεί η θεµελιώδης φυσική κυκλική συχνότητα του συστήµατος του σχήµατος 3. µέσω της επαναληπτικής µεθόδου πινάκων όταν = = 3 = και m = m = m3 = m (Τα και m θεωρούνται δεδοµένα). Κατόπιν να προσδιορισθούν οι υπόλοιπες ιδιοτιµές, φυσικές κυκλικές συχνότητες και ιδιοµορφές. ΛΥΣΗ:. Για τον προσδιορισµό της πρώτης κυκλικής φυσικής συχνότητας απαιτείται καταρχήν ο πίνακας µαζών του συστήµατος που είναι: m M = 0 m 0 = m 0 0 [ ] 0 0 m3 0 0 (Kg) (Α.7.) Ο πίνακας ευκαµψίας του συστήµατος µπορεί να προσδιορισθεί εύκολα. Πράγµατι θα είναι: [ ] [ ] A K = = (m/n) 3 (Α.7.) και ο δυναµικός πίνακας θα είναι: m [ D] = [ A][ M] = (Kgm/N) 3 (Α.7.3) Ο πίνακας απαλοιφής [ G ] 0 θα είναι ίσος προς: 0 0 [ G] = 0 0 (Α.7.4) Έστω ότι λαµβάνεται ως αρχικό αυθαίρετο διάνυσµα το { 3}. Τότε θα είναι: και λ 6 m/ { R} = [ A][ M]{ Χ} = [ D]{ Χ} = 6 4 (Α.7.5) =. Με κανονικοποίηση θα είναι: ( ) { Χ} = orm { R} = (Α.7.6) και ο δεύτερος κύκλος υπολογισµών θα δώσει:

15 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 7 { R} = [ A][ M]{ Χ} = [ D]{ Χ} = (Α.7.7) =. Με κανονικοποίηση θα είναι: και λ m/ Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο: 3 ( ) { Χ} = orm { R} = (Α.7.8) { R} = [ A][ M]{ Χ} = [ D]{ Χ} = λ3 = m/ ( ) { Χ} = orm { R} = { R} = [ A][ M]{ Χ} = [ D]{ Χ} = λ4 = m/ ( ) { Χ} = orm { R} = και ούτω καθεξής. Μετά από 8 συνολικά κύκλους η µέθοδος συγκλίνει και δίνει: λ = λ8 = m/ (Α.7.9) 8 { X} = { Χ} = (Α.7.0) και άρα η πρώτη φυσική κυκλική συχνότητα θα είναι: ω = / m/ = / m (Α.7.). Για να προσδιορισθούν οι υπόλοιπες ιδιοτιµές, φυσικές κυκλικές συχνότητες και ιδιοµορφές θα πρέπει να προσδιορισθεί ο πίνακας απαλοιφής της ης ιδιοµορφής. Σύµφωνα µε την σχέση (6.34) θα είναι: δηλαδή: { c} = c c... c = X [ M] (Α.7.) 0 0 { c} = m 0 0 = m (Α.7.3) c.809 c.470 g = 0, g = =.809, g.470 = = = = (Α.7.4) 3 3 c c

16 8 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εποµένως ο πίνακας απαλοιφής της ης ιδιοµορφής θα είναι: [ G] = (Α.7.5) Σύµφωνα µε την διαδικασία που ακολουθήθηκε για την η ιδιοµορφή έστω ότι λαµβάνεται ως αρχικό αυθαίρετο διάνυσµα για την η ιδιοµορφή το { }. Τότε: { R} = [ A][ M][ G] { Χ} = [ D][ G] { Χ} = λ =.0489 m/ ( ) { Χ} = orm { R} = { R} = [ A][ M][ G] { Χ} = [ D][ G] { Χ} = λ = m/ ( ) { Χ} = orm { R} = και ούτω καθεξής. Μετά από 4 κύκλους η µέθοδος συγκλίνει και δίνει: λ = λ4 = m/ (Α.7.6) 4 { X} = { Χ} = (Α.7.7) και άρα η δεύτερη φυσική κυκλική συχνότητα θα είναι: Πρόταση για παραπέρα εργασία: ω = / m/ =.47 / m (Α.7.8) Να υπολογίσετε την τρίτη ιδιοτιµή καθώς και την αντίστοιχη φυσική κυκλική συχνότητα και να προσδιορίσετε την ιδιοµορφή. Σχεδιάστε τις ιδιοµορφές. Τι παρατηρείτε; 6.3. Η µέθοδος Jacob Η επαναληπτική µέθοδος πινάκων που αναπτύχθηκε παραπάνω υπολογίζει σε κάθε επανάληψη της µια ιδιοτιµή και µια ιδιοµορφή. Αντιθέτως η µέθοδος Jacob δίνει

17 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 9 ταυτοχρόνως όλες τις ιδιοτιµές και τις ιδιοµορφές και βασίζεται στην αρχή ότι κάθε συµµετρικός πίνακας έχει πραγµατικές ιδιοτιµές και µπορεί να µετατραπεί σε ένα διαγώνιο πίνακα στον οποίο τα στοιχεία της διαγωνίου είναι οι ιδιοτιµές του συστήµατος. Η µετατροπή αυτή γίνεται µέσω κατάλληλων πινάκων περιστροφής [ L ] οι οποίοι µετά από κάποιο αριθµό επαναλήψεων - µηδενίζουν τα εκτός κυρίας διαγωνίου στοιχεία του αρχικού συµµετρικού πίνακα και τελικά τον καθιστούν διαγώνιο. Για την µελέτη της µεθόδου θεωρείται η διατύπωση του προβλήµατος των ιδιοτιµών και ιδιοµορφών σύµφωνα µε την σχέση (6.). Ο πίνακας [ A][ M ] σχηµατίζεται βάσει του πίνακα ευκαµψίας του συστήµατος και εποµένως η παραπάνω σχέση αποτελεί διατύπωση του προβλήµατος των ιδιοτιµών και ιδιοµορφών ως προς τον πίνακα ευκαµψίας. Κατά την επίλυσή του η χαµηλότερη ως προς την τάξη ιδιοτιµή αντιστοιχεί στην υψηλότερη ως προς την τιµή φυσική κυκλική συχνότητα. Έστω ότι [ D] [ A][ M] συστήµατος 67. = είναι ο δυναµικός πίνακας του Εάν [ L ] είναι ο πίνακας περιστροφής που αντιστοιχεί στην -επανάληψη (κύκλο) της µεθόδου, τότε ο πίνακας αυτός θα µετασχηµατίζει τον τροποποιηµένο από όλους τους προηγούµενους κύκλους - [ D σύµφωνα µε την σχέσεις: ] [ D] = [ L] [ D] [ L] + [ D] = [ L] [ D] [ L] (6.50) και είναι ένας τροποποιηµένος µοναδιαίος Γενικά, ο [ L ] έχει διάσταση ( ) πίνακας [ I ]. Η τροποποίηση έγκειται στην εισαγωγή τεσσάρων τριγωνοµετρικών όρων περιστροφής στις θέσεις (,),(, j),( j,),( j, j ) του πίνακα (στην παρακάτω σχέση σηµαίνονται οι θέσεις των σειρών και των στηλών): j cos( θ) s( θ) 0 j 0 0 s( θ) cos( θ) (6.5) 67 Ο πίνακας αυτός έχει την ιδιότητα να είναι συµµετρικός.

18 0 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η γωνία θ προκύπτει από την σχέση: ta( θ ) = d d j. d.. jj (6.5) όπου τα στοιχεία... πίνακα [ D ] d, d, d, =,,...,, j =,,..., ανήκουν στον δυναµικό j jj. Οι τιµές των και j λαµβάνονται µε τρόπο ώστε στον επόµενο κύκλο να µηδενιστεί ο µεγαλύτερος εκτός κύριας διαγωνίου όρος της [ D π.χ. για να µηδενισθεί ο όρος d.35 του πίνακα [ D] λαµβάνεται: ]. Έτσι, ta( θ) = d d d (6.53) Ο στόχος της µεθόδου είναι ο σταδιακός µηδενισµός όλων των εκτός κύριας διαγωνίου όρων. Σε κάθε κύκλο επιλέγεται προς µηδενισµό ο µεγαλύτερος και ο οποίος πράγµατι µηδενίζεται στον επόµενο κύκλο. Ταυτόχρονα όµως όροι που είχαν µηδενισθεί σε προηγούµενους κύκλους εµφανίζονται να έχουν και πάλι µη µηδενική αλλά σχετικά µικρή τιµή. Με την σταδιακή όµως αύξηση του αριθµού των κύκλων επιτυγχάνεται η σταδιακή µείωση όλων των εκτός κύριας διαγωνίου όρων. Η µέθοδος τερµατίζει όταν όλοι οι όροι αυτοί γίνουν µικρότεροι µίας ελάχιστης προκαθορισµένης τιµής 68. Στο σηµείο αυτό ο δυναµικός πίνακας θα έχει µετασχηµατισθεί σε διαγώνιο. Έστω ότι αυτό συµβαίνει στον κύκλο p.τότε θα είναι: ω =, =,,..., (6.54) d p. µε: [ D] = [ L] [ L] [ L] [ L] [ L] [ D][ L][ L] [ L] [ L] [ L] (6.55) p p p και [ L] = [ L][ L] [ L] p (6.56) Από τις στήλες του τελευταίου πίνακα θα προκύψουν οι ιδιοµορφές. Σε αλγοριθµική µορφή, η επαναληπτική µέθοδος πινάκων λειτουργεί ως εξής: Θέσε τον µετρητή των κύκλων j ίσο προς 68 Η τιµή αυτή καθορίζεται κατά την έναρξη της µεθόδου.

19 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Θέσε τον δυναµικό πίνακα [ D ] ίσο προς τον δυναµικό πίνακα του συστήµατος Καθόρισε το όριο της τιµής τερµατισµού e Όσο κάποιο στοιχείο του [ D ] j είναι µεγαλύτερο του e o o Προσδιόρισε το µεγαλύτερο εκτός κύριας διαγωνίου στοιχείο του άνω τριγωνικού του [ D ] Προσδιόρισε την σειρά και την στήλη j της θέσης του παραπάνω στοιχείου o Υπολόγισε την γωνία θ j o Σχηµάτισε τον πίνακα [ L ] j o Υπολόγισε τον πίνακα [ D ] j+ o Υπολόγισε τον πίνακα [ L ] o Αύξησε το κατά Τέλος επανάληψης Τύπωσε τις ιδιοτιµές και ιδιοµορφές ΑΣΚΗΣΗ 8 Να προσδιορισθούν οι ιδιοτιµές, φυσικές κυκλικές συχνότητες και ιδιοµορφές του συστήµατος του σχήµατος 3. µέσω της µεθόδου Jacob όταν = = 3 = και m = m = m3 = m (Τα και m θεωρούνται δεδοµένα). ΛΥΣΗ:. Για τον προσδιορισµό της πρώτης κυκλικής φυσικής συχνότητας απαιτείται καταρχήν ο πίνακας µαζών του συστήµατος που είναι: m M = 0 m 0 = m 0 0 [ ] 0 0 m3 0 0 (Kg) (Α.8.) Ο πίνακας ευκαµψίας του συστήµατος µπορεί να προσδιορισθεί εύκολα. Πράγµατι θα είναι: [ ] [ ] A K = = (m/n) 3 (Α.8.) και ο δυναµικός πίνακας θα είναι:

20 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ m [ D] = [ A][ M] = (Kgm/N) 3 (Α.8.3) Παρατηρούµε ότι στον άνω τριγωνικό του [ D ] το µεγαλύτερο στοιχείο είναι το d =.Άρα: ος κύκλος: [ D] = [ D] 3 d d33 3 d ta( θ ) = =, θ = ( ο ) 0 0 [ L] = ος κύκλος: [ D] = [ L] [ D] [ L] = d.3635 ta( θ ) = =, θ = d d ( ο ) 0 0 [ L] = [ D] 3 = [ L] [ D] [ L] = και ούτω καθεξής. Μετά από 39 κύκλους και µε τιµή ελέγχου ίση προς e = η µέθοδος συγκλίνει και δίνει: λ = m/, λ = m/, λ = m/ (Α.8.4) 3 ω = / m/ = / m ω = / m/ =.4699 / m ω = / m/ =.8093 / m 3 (Α.8.5)

21 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 3 { X} = { X} = { X} = (Α.8.6) 6.3. Η µέθοδος Holzer Η µέθοδος Holzer είναι µέθοδος προσδιορισµού των ιδιοτιµών και των ιδιοµορφών ταλάντωσης ενός πολυβάθµιου συστήµατος και βασίζεται σε µια επαναληπτική διαδικασία που ξεκινά µε µια αρχική αυθαίρετη τιµή για την η ιδιοτιµή. Είναι µέθοδος ελέγχου σφάλµατος (try-ad-error method) που τερµατίζεται όταν οι περιορισµοί που έχουν τεθεί για το σύστηµα ικανοποιηθούν. Μπορεί να εφαρµοσθεί σε συστήµατα που µπορούν να αναχθούν ή έχουν εξαρχής την µορφή συστηµάτων "σειριακής" διάταξης των µαζών και των ελαστικών στοιχείων (βλ. σχήµα 6.). 0 x (t) x (t) - x (t) m m m [ () ()] x t x t α. Σύστηµα µε µάζες και ελατήρια. [ () ()] x t x t + m mx () t x (t) β. Η εφαρµογή του ου νόµου του Newto. Σχήμα 6.. Πολυβάθμιο σύστημα μαζών και ελατηρίων. Σε ένα τέτοιο σύστηµα, η κίνηση της -µάζας περιγράφεται από την.ε.: ( ) ( ) mx = x x x x (6.57) + Η κίνηση της ης και της νιοστής µάζας εξαρτάται από το είδος στήριξης του συστήµατος στα άκρα. Εάν υποτεθεί ότι υπάρχει σταθερή στήριξη και ως προς τα δυο άκρα, τότε θα είναι: και ( ) mx = x x x (6.58) 0

22 4 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ( ) mx = x x x (6.59) Η αποδοχή αυτού του είδους στήριξης δεν αναιρεί τη γενικότητα της ανάλυσης που ακολουθεί. Με διαφορετικές συνθήκες στα άκρα απλώς µεταβάλλονται οι σχέσεις (6.58, 6.60). Εάν υποθέσουµε ότι οι µετατοπίσεις είναι αρµονικές χρονικές συναρτήσεις της µορφής xt ( ) = Xs( ωt ) και αντικαταστήσουµε τα x( t) στις.ε. του προβλήµατος της µορφής της σχέσης (6.8) και στις σχέσεις (6.9,6.30), µπορούµε κατόπιν να αθροίσουµε τις εξισώσεις που προκύπτουν κατά µέλη. Το αποτέλεσµα της άθροισης είναι η σχέση: ω mx j j = X 0 + X (6.3) j= Η πρώτη από τις εξισώσεις που προέκυψαν µπορεί να γραφεί: (6.3) X = X + X m X ( ω ) 0 και η δεύτερη που περιέχει το X 3 µπορεί να λυθεί ως προς αυτό. Τότε: (6.33) X 3 = X + 0X ω mjx j j= Η παραπάνω σχέση µπορεί να γραφεί -µετά από επαναλήψεις-ως εξής: X = X + 0X ω mjx j (6.34) j= ως προς X και: (6.35) X X X m X = + + ω j j j=+

23 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 5 ως προς X. Και οι δυο αυτές σχέσεις αποτελούν εναλλακτικές εκφράσεις της σχέσης ανάµεσα στις ιδιοµορφές της µεθόδου του Holzer. Εάν λοιπόν θεωρήσουµε καταρχήν τα X, ω ίσα µε κάποιες αυθαίρετες τιµές, τότε από την (6.34) µπορούµε να υπολογίσουµε τα X, X,...Τα εύρη αυτά µαζί µε την 3 τιµή της ω πρέπει να ικανοποιούν την (6.3) αλλιώς η διαδικασία επαναλαµβάνεται µέχρι να ικανοποιηθεί αυτή η συνθήκη. Μπορούµε εναλλακτικά να ξεκινήσουµε µε το X και το ω και να χρησιµοποιήσουµε τη σχέση (6.35) αλλά και πάλι θα πρέπει να επαληθεύσουµε την (6.3). Η (6.3) µπορεί να θεωρηθεί και σαν µια εξίσωση µε άγνωστο το ω. Επειδή λοιπόν η µέθοδος είναι του είδους try-ad-error, µπορούµε να δίνουµε τιµές σε κάποιο πεδίο τιµών για το ω και να παρακολουθούµε τη διαφορά: (6.36) R( ω) = ω mx X X j= j j 0 η οποία θα γίνεται 0 -µε κάποιο σφάλµα- για κάποιες τιµές του ω που είναι και οι ζητούµενες. Τελικά, η µέθοδος Holzer λειτουργεί ως εξής:.θέσε αρχική τιµή στο ω και στο X (σχέση 6.34) η στο X (σχέση 6.33)..Εξέτασε την τιµή της R( ω). 3.Εάν η τιµή της R( ω) δεν είναι κοντά στο 0, επανέλαβε τα βήµατα -. Εάν η τιµή της R( ω) είναι 0 µε κάποιο µικρό σφάλµα ε, τότε η ω είναι ιδιοτιµή και τα X, X, X,... σχηµατίζουν την αντίστοιχη ιδιοµορφή. Συνέχισε µε τα βήµατα - 3 για τον υπολογισµό της εποµένης ιδιοτιµής και της αντίστοιχης ιδιοµορφής.

24 6 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ