PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache"

Transcript

1 PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

2 2 *

3 Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, anul I. Problemele au un grad de dificultate moderat şi considerăm că în actuala formă, testele sunt utile pentru pregătirea examenelor de către studenţi şi pentru alcătuirea subiectelor de examen pentru cadrele didactice. Multe dintre probleme au conţinut aplicativ şi fac apel la inţelegerea intutitivă a noţiunilor. Culegerea este considerată de noi doar un punct de plecare pentru alcătuirea unei baze de date cu subiecte pentru verificarea matematică a studenţilor. Autorii 3

4 Test 1 1. a) Există o serie convergentă a n şi o serie divergentă b n cu proprietatea a n b n, n? b) Există o serie convergentă a n şi o serie divergentă b n cu proprietatea a n b n, n? c) Există un şir de funcţii indefinit derivabile care converge uniform către 0 şi pentru care şirul derivatelor este divergent? 2. Stabiliţi convergenţa absolută a seriei n 1 ), cu ajutorul dezvoltărilor lim- ( 2 + x 3. Să se calculeze lim n itate. 2x( e x 1) 1 x 2 4. Să se studieze natura seriei de funcţii b) 2 3 n + b( 1) n n, b > 0. n x 2 + 2, x R. n 5. Să se determine mulţimea de convergenţă pentru seria de puteri ( ) n 2 e nx. n n 1 Test 2 1. a) Să se arate că suma dintre o serie convergentă şi una divergentă este o serie divergentă. Există serii divergente a căror sumă este convergentă? Dacă da, daţi un exemplu. b) Se poate ca x n să fie divergentă, în timp ce n 1 n 1x 2 n este convergentă? Dar x 2 n să fie divergentă şi n convergentă? Exemplificaţi. n 1 n 1x 2. Să se studieze natura seriei n 2 e n. 3. Să se studieze convergenţa şi absolut convergenţa seriei n+1 (n + 1)n+1 ( 1). n n+2 n (1 + x) x e 4. Folosind dezvoltări limitate, să se calculeze lim. x 0 x

5 5 5. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri Test 3 n+1 (2n 1)2n ( 1) (3n 2) (x 2n 1)n. n 1 1. Să se studieze natura seriei ( (n + 1)(n + a) n) n, a Studiaţi convergenţa uniforma a seriei 2 n x n 3 n + x 2n. 3. Calculaţi suma seriei n 0 (n+1) 2 n! 4. Să se arate că funcţia definită pe R 2 prin f(x, y) = xy2 x 2 +y 4 pentru (x, y) (0, 0) şi f(0, 0) = 0 este diferneţiabilă dar nu de clasă C Dezvoltaţi în serie Fourier pe [ π, π] funcţia f(x) = sin x 2. Test 4 1. Studiaţi convergenţa seriei ( ) n a n2 + n + 1, a > 0. n 2 2. Studiaţi convergenţa punctuală şi uniformă a şirului de funcţii f n : R R, f n (x) = x2 n 1+nx 2. 3x 3. Dezvoltaţi în serie de puteri f(x) =, precizând domeniul de x 2 +5x+6 definiţie şi domeniile de convergenţă punctuală, respectiv uniformă. 4. Fie f : R 2 R dată prin f(x, y) = xy3 pentru (x, y) (0, 0) şi x 2 +y 2 f(0, 0) = 0. Arătaţi că f C 1 (R 2 ). Calculaţi derivatele parţiale de ordin 2 în origine. Este f de clasă C 2?

6 6 5. Demonstraţi că x2 +y 2 4 e x+y 2, x 0, y 0. Test 5 1. Să se studieze natura seriei numerice a n n! n n, a 0. [ ( 2. Să se calculeze limita lim x x 2 ln )] cu ajutorul dezvoltărilor x x limitate. 3. Dacă seria x n x n 1, unde x n R, este convergentă, atunci n=2 (x n ) n 1 e convergent. Reciproca nu e adevărată. Daţi un contraexemplu. 4. Să se studieze convergenţa simplă şi uniformă a şirului de funcţii f n : [ 1, 1] R, f n (x) = x. 1+nx 2 5. Să se studieze natura seriei de funcţii : Test 6 1. Să se studieze natura seriei numerice ( ) n 2 n + 1 a n, a > 0. n x 2, x R, n 1. (1 + x 2 ) n cu ajutorul dezvoltărilor limi- 2. Să se calculeze limita lim tate. e x 2 x 0 2 cos x x 4 3. Să se studieze convergenţa simplă şi uniformă a şirului de funcţii f n : R + R, f n (x) = e nx sin nx. 4. Să se studieze seria de funcţii ( 1) n x n 3 x, x R Să se precizeze numărabilitatea mulţimilor Z, Q, R.

7 7 Test 7 1. Să se determine mulţimea de convergenţă şi suma seriei ( ) ( 1) n 1 2n 1 1 x. n(2n 1) 1 2x 2. Fie f(x, y) = { xy x2 y 2 x 2 +y 2, dacă (x, y) (0, 0) 0, dacă (x, y) = (0, 0) Să se arate că 2 f nu este continuă în origine, 2 f (0, 0) 2 f (0, 0). x y x y y x 3. Să se calculeze dz şi d 2 z în punctul M 0 (2, 0, 1) pentru funcţia z = f(x, y) definită implicit prin 2x 2 + 2y 2 + z 2 8xz z + 8 = Să se determine inff(x, y) şi supf(x, y), pentru funcţia f(x, y) = x 2 + D D +y 2 3x 2y + 1, unde D : x 2 + y Să se arate că M([a, b]) = { f : [a, b] R/fmărginită } este spaţiu metric complet. Test 8 1. Să se studieze convergenţa seriei n 2 a n n n!, a > Să se stabilească mulţimea de convergenţă şi să se calculeze suma seriei n(x 1) n 5 n. n 1 3. Se consideră funcţia f(x, y) = { x 3, x 2 +y2 dacă (x, y) (0, 0) 0, dacă (x, y) = (0, 0) Să se arate că este diferenţiabilă în (0,0). 4. Să se determine extremele funcţiei f(x, y, z) = sin x+sin y+sin z sin(x+y+z), (x, y, z) (0, π) (0, π) (0, π). 5. Fie f : A R, unde A R 2 mulţime deschisă, o funcţie diferenţiabilă într-un punct a A. Arătaţi că f este continuă în punctul a.

8 8 Test 9 1. Să se stabilească natura seriei n 2 (a 1+ n+1 n n+2 1), a > 0, a 1. n + 1 cu ajutorul dezvoltărilor limi- 2. Să se calculeze limita lim x 0 tate. 1 + x Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei x R \ { 1 2}. 4. Fie funcţia f(x, y) = { x 2 xy sin x2 y 2 x 2 +y 2, dacă (x, y) (0, 0) 0, dacă (x, y) = (0, 0) (a) Să se arate că f este de clasă C 1 pe R 2 ; ( ) n ( ) n 1 x, n 1 2x (b) Să se arate că f are derivate parţiale mixte de ordinul II în orice punct şi să se calculeze 2 f şi 2 f în origine; este funcţia f de clasă x y y x C 2 pe R 2? 5. Să se arate că funcţia z(x, y) definită de relaţia Φ(x az, y bz) = = 0, a, b R verifică ecuaţia a z + b z = 1. x y Test Să se studieze natura seriei ( 1) n+1, α R. n α+ 1 n e 2x + e 2x 2 2. Să se calculeze limita lim cu ajutorul dezvoltărilor limitate. x 0 x 2 3. Există o funcţie f : R R derivabilă de două ori astfel ca f 0 şi f < 0? 4. Să se arate că funcţia f(x, y) = { xy 2 +sin(x 3 +y 5 ) x 2 +y 4, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) este continuă parţial în origine, dar nu este continuă în acest punct.

9 9 5. Să se arate că R este spaţiu metric complet. Test Să se studieze natura seriei n 1 [ ( e 1 + n) 1 n ] p, p R. 2. Să se arate că şirul de funcţii (f n ) n,f n : (1, ) R, f n (x) = (n 2 + 1) sin 2 π + nx nx este uniform convergent. n 3. Să se calculeze sin 32 cu precizia Să se studieze continuitatea funcţiei { x 2 +y 2, (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y , (x, y) = (0, 0) 5. Să se găsească extremele funcţiei f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 cu legătura 2x + 3y z = 1. Test Să se studieze natura seriei (n 1 n 1) α, α R fixat. n=2 2. Să se arate că şirul de funcţii (f n ) n,f n : R R, f n (x) = 1 arctan xn n converge uniform pe R, dar [ lim f n (x)] x=1 lim f n n n(1). 3. Fie I un interval din R, f : I R derivabilă de trei ori pe I cu f continuă. Să se arate că f f(x 0 + h) + f(x 0 h) 2f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h 2 4. Să se arate că funcţia f(x, y) = { xy+x 2 y ln x+y x 2 +y 2, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) este continuă parţial în origine, însă nu e continuă în raport cu ansamblul variabilelor în acest punct. 5. Să se arate că f : R 2 R, f(x, y) = (1 + e y ) cos x y e y are o infinitate de maxime locale şi nici un minim local.

10 10 Test Să se studieze natura seriei a ln n, a > Studiaţi convergenţa simplă şi uniformă a şirului de funcţii f n : [0, π 2 ] R,f n(x) = n sin n x cos x. 3. Stabiliţi convergenţa uniformă a seriei de funcţii R. 2x arctan x 2 + n, x 4 4. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri n=0 ( 1) n 1 3 n n 2 tann x, x ( π 2, π ) Să se rezolve următoarea limită cu ajutorul dezvoltărilor limitate Test Să se studieze convergenţa seriei n 1 l = lim x 0 (1 + sin x) 1 x. a(a + 1)... (a + n 1) b(b + 1)... (b + n 1) (c 2)n, a, b > 0, c > Să se studieze convergenţa punctuală şi uniformă a şirului de funcţii f n : (, 0) R, f n (x) = enx 1 e nx Să se precizeze convergenţa punctuală şi uniformă a seriei n 2 (x n + x n ), x n! [ ] 1 2, Să se determine suma seriei n=0 ( 1) n, cu ajutorul seriilor de puteri. 2 2n n! 5. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia f(x) = 1 2+cos x pe R.

11 11 Test Să se determine in coordonate polare forma operatorului diferenţial xy f f + xy3 x y. 2. Să se determine extremele locale ale funcţiei 3. Să se calculeze : f(x, y, z) = x + y2 4x + z2 y + 2, x, y, z > 0. z I(a) = π 2 0 ln(a 2 sin 2 θ)dθ, a > Să se calculeze integrala de suprafaţă I = zdσ, unde Σ este porţiunea Σ din paraboloidul z = x2 +y 2, decupată de cilindrul x 2 + y 2 = Calculaţi fluxul câmpului vectorial v = xi + z 2 j + y 2 k prin suprafaţa laterală a conului z 2 = x 2 + y 2 mărginit de planul z = 1, pentru z 0. Test Fie (a n ) n un şir de numere pozitive. an a n+1 a) Arătaţi că dacă seria n este convergentă. b) Este reciproca adevărată? Justificaţi. a n este convergentă, atunci seria n 2. Aflaţi punctul cu coordonata z cea mai mare din intersecţia suprafeţei x 2 = y 2 + z 2 cu planul x + y + z = Aflaţi în coordonate cilindrice forma operatorului diferenţial y f x + xy2 z 5 f y + x3 yz 2 f z. 4. Calculaţi volumul mărginit de suprafeţele x 2 + z 2 = 2z, x 2 + z 2 = = 3y, y = 0.

12 12 5. Să se determine circulaţia câmpului de vectori v = xi + (x + y)j + (x + y + z)k de-a lungul curbei Γ : x 2 + y 2 = R 2, z = x + y. Test Să se arate că dacă seria n a 2 n este convergentă, unde (a n ) n este un şir de numere reale, atunci seria n a n n este convergentă. 2. Studiaţi convergenţa uniformă a şirului de funcţii f n : [ 1, 1] R, f n (x) = nxn +1. nx n a) Demonstraţi formula lui Legendre Γ(p)Γ ( ) p = π Γ(2p). 2 2p 1 (Indicaţie: Se porneşte de la definiţia funcţiei B a lui Euler, făcând schimbarea de variabilă 1 x = t.) b) Folosind punctul a), calculaţi I n = 1 0 x n 1 x 2 dx. 4. Calculaţi π 0 ln(1 2r cos x + r2 )dx, r < 1 folosind o integrală cu parametru. 5. Să se calculeze următoarea integrală, cu ajutorul funcţiilor Γ şi B: I = π 2 sin x cos 2 xdx. Test a) Determinaţi seria Fourier asociată funcţiei f(x) = e tx. b) Studiaţi convergenţa acesteia. 1 c) Calculaţi valoarea seriei n 2 + t Dacă f este o funcţie definită pe o vecinătate V a punctului (0, 0) şi îndeplineşte relaţia f(x, y) x 2 + y 2, atunci f este diferenţiabilă în origine. 3. a) Calculaţi I n = 1 0 b) Este seria x 2n+1 1 x 2 dx. I n convergentă? Justificaţi răspunsul.

13 13 4. Calculaţi x x 3 dx. 5. Calculaţi π 2 0 ln(cos2 x + m 2 sin 2 x)dx, m R +, folosind o integrală cu parametru. Test Determinaţi seria de puteri a funcţiei f(x) = arctan x în jurul originii şi domeniul de convergenţă. Determinaţi f (2n+1) (0). 2. Determinaţi maximul funcţiei ( presiune termodinamică ) f(x, y, z) = = x ln x y ln y z ln z + x + y + 2z, unde x, y, z R +, x + y + z = Presupunem că R e regiunea plană mărginită de hiperbolele xy = = 1, xy = 3, x 2 y 2 = 1, x 2 y 2 = 4. Găsiţi momentul de inerţie I 0 = D (x2 + y 2 )dxdy al acestei regiuni. 4. Fie a > 0, b > 0 şi fie Γ intersecţia cilindrului x 2 + y 2 = a 2 cu planul x a + z = 1. Să se calculeze, (aplicând formula lui Stokes), circulaţia b câmpului vectorial V = x i + (y x) j + (z x y) k de-a lungul curbei Γ (orientarea pe Γ nu este precizată ). 5. O placa plană de formă pătrată cu masă omogenă exercită forţa de atracţie newtoniană asupra unui punct material de masă aflat pe diagonala pătratului (sau pe prelungurea acesteia). Aflaţi această forţă în funcţie de latura pătratului şi distanţa punctului la centrul pătratului. Test Să se demonstreze că dacă x 2 + y 2 + z 2 1, atunci 1 3 x 3 + y 3 + z Fie a n = 1 0 xn (1 x) n dx. Este seria 2 n a n convergentă? 3. Calculaţi aria domeniului mărginit a cărui frontieră este determinată de x 2 + y 2 2, x y 2, x y Să se calculeze circulaţia câmpului vectorial V = (y 2 + z 2 )i + (x 2 + z 2 )j + (x 2 + y 2 )k pe curba Γ : x 2 + y 2 + z 2 = R 2, ax + by + cz = 0.

14 14 5. Să se calculeze fluxul câmpului v = 3x 2 z i + (y 2 2z) j + z 3 k prin suprafaţa deschisă x y 2 + z 2 9 = 1, z > 0. utilizând teoerma Gauss- Ostrogradski. Test Să se demonstreze că x 1 + x x n = 1, x i > 0, i = 1, n, atunci n x i ln x i ln 1 n. i=1 2. Ce devine ecuaţia x 2 2 z x 2 z 2 y2 = 0 prin schimbarea de variabile y 2 (x, y) (u, v), unde u = xy, v = x y. 3. Să se calculeze direct şi aplicând formula Green-Riemann: xydx + x2 2 dy, Γ = {(x, y) x2 + y 2 = 1, x 0 y} Γ {(x, y) x + y = 1, x 0, y 0}. 4. Fie a, b, c trei numere strict pozitive. Să se calculeze fluxul câmpului vectorial: V = x(xy + az)i y(xy az)j + z 3 k prin suprafaţa Σ de ecuaţie: ( x 2 a 2 + y2 b 2 ) 2 + z2 c 2 = Consideraţi f : D R 2 R dată de f(x, y) = 1 unde D este 1 xy pătratul descris de x + y 1. Calculaţi f(x, y)dxdy: D a) dezvoltănd mai întâi funcţia în serie de puteri în xy; b) folosind teorema Fubini. Deduceţi de aici valoarea seriei Test n 2 1. Studiaţi convergenţa integralei 1 sin x 3 dx.

15 2. Determinaţi extremele funcţiei z = z(x, y) definită implicit prin x 2 + y 2 + z 2 + 2x 4y + z + 3 = Consideraţi D = { (x, y)/ x, y 1 } şi f : D R 2 R de clasă C 1 în D. Arătaţi că ( ) f(1, 1) + f( 1, 1) + f( 1, 1) + f(1, 1) f(x, y) 4 sup f D x + f y 4. Calculaţi cu formula Green-Riemann integrala : I = x2 + y 2 dx+y[xy+ln(x+ (x 2 + y 2 )]dy, (C) : x 2 +y 2 4x 6y+12 = 0 C 5. Să se calculeze integrale curbilinie cu ajutorul formulei lui Stokes : I = (y z)dx + (z x)dy + (x y)dz, unde C este elipsa obţinută C prin intersecţia cilindrului x 2 + y 2 = 1 cu planul x + z = 1, parcursă astfel încât proiecţia curbei C pe planul xoy să fie orientată pozitiv Test Fie (a n ) n 1 un şir de numere reale strict pozitive. Să se studieze natura a a n seriei a a n 2. Să se determine extremele funcţiei definită implicit de z = z(x, y) prin ecuaţia x 2 + y 2 + z 2 xy yz + 2x + 2y + 2z 2 = Calculaţi aria figurii cuprinse între curbele x = y, x = 2y, xy = 3, xy = Fie V = (x 2 + y 4)i + 3xyj + (2xz + z 2 )k şi fie semisfera Σ = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 16, z 0}. Să se calculeze fluxul câmpului rot (V ) prin Σ, orientată cu normala exterioară (la sferă ). 5. Fie D discul centrat în origine de rază 1 în plan. Arătaţi că (x 2 + y 2 ) n lim dxdy = 0, n 1 + x 2 + y2 D folosind eventual un disc de rază mai mică pe care funcţia dată converge uniform la 0. 15

16 16 Test Calculaţi fluxul câmpului F = r a r prin suprafaţa cilindrului mărginit de x 2 + z 2 = 4, y = 0, z + y = Calculaţi aria decupată din suprafaţa y = x 2 z 2 de cilindrul x 2 +y 2 = Calculaţi volumul corpului mărginit de suprafeţele date prin z = 10 x 2, y = x 2, z = 0, x 2 + y 2 = z. 4. Calculaţi circulaţia câmpului F = (x 2, y 2, z 2 ) de-a lungul elipsei determinată de intersecţia cilindrului x 2 + y 2 = 9 cu planul x + y + z = Segmentele variabile AB unde A(a, 0, 0) şi B(0, a, 1), a [0, 1] descriu o suprafaţă Σ. Calculaţi fluxul unui câmp vectorial constant constant prin Σ. Test Calculaţi (x 2 + y 2 + 1) 1 dxdx D unde D este regiunea din primul cadran mărginită de curbele de ecuaţii y = 1, y = 2, y = x 2, y = 2x 2 (Folosiţi eventual o schimbare de x 2 x 2 variabilă). 2. Calculaţi fluxul câmpului F = r 2 ( r a ) ( a este un vector constant) prin suprafaţa laterală a tetraedrului mărginit de planele axelor de coordonate şi de x + 2y + 3z = Calculaţi volumul corpului mărginit de suprafeţele date prin y = x 2 + 4z 2, y = 5 z Calculaţi circulaţia câmpului F = (3xyz, 5xy, 2y) de-a lungul elipsei determinată de intersecţia cilindrului z 2 + x 2 = 9 cu planul y = z Formulaţi şi demonstraţi formula Green pentru un suprafaţa mărginită de x = 1, x = 2, y = 1, y = x Test Calculaţi volumul corpului mărginit de suprafeţele date prin y = z 2, z = y 2, x + y + z = 2, x = 0.

17 2. Calculaţi integrala unde D este regiunea determinată de parabolele x = y 2, x = 3y 2 şi dreapta x + y = Calculaţi fluxul câmpului F = (x 3, y 3, z 3 ) prin suprafaţa cilindrului mărginit de x 2 + y 2 = 9, z = 1, z = Calculaţi circulaţia câmpului F = (3y, 2x, 4x) de-a lungul elipsei determinată de intersecţia cilindrului x 2 + y 2 = 4 cu planul z = x. 5. Formulaţi şi demonstraţi formula Gauss-Ostrogradski pentru paralelipipedul definit prin 1 x 2, 2 y 3, 0 z 2. Test Calculaţi volumul corpului mărginit de suprafeţele date prin x 2 + y 2 + z 2 = 2, z = x 2 + y Calculaţi fluxul câmpului F = (2x, 2y, 3) prin suprafaţa mărginită de paraboloidul z = 4 x 2 y 2 şi planul x + y + z = Calculaţi circulaţia câmpului F = (3z, 5x, 2y) de-a lungul elipsei determinată de intersecţia cilindrului x 2 + y 2 = 1 cu planul z = y Formulaţi şi demonstraţi formula Gauss-Ostrogradski pentru cilindrul definit prin x 2 + y 2 1, 0 z Folosiţi formula Taylor cu rest de ordin 1 (teorema de medie) pentru a demonstra următoarul rezultat: Fie f : [0, 1] [0, 1] R +, diferenţiabilă cu f, f [0, 1] şi f(0, 0) = 0. Atunci x y f(x, y)dxdx 1. [0,1] 2 Test Fie z = z(x, y) funcţie definită implicit de ecuaţia x 2 + y 2 + 2x 4y + z 2 + z + 3 = 0. Să se studieze extremele acesteia Calculaţi folosind eventual o integrala Beta. 0 4 x (1 + x) 2 dx

18 18 3. Să se calculeze ca integrală cu parametru unde a < 1. I(a) = π 2 0 ln ( ) 1 + a cos x 1 1 a cos x cos x dx, 4. Să se calculeze cu formula Green-Riemann Γ (x + y)2 dx (x 2 + y 2 )dy, unde Γ este sfertul de cerc x 2 + y 2 = 1, x > 0, y > Să se calculeze fluxul câmpului v = (y z) i + (z x) j + (x y) k prin suprafaţa deschisă x 2 + y 2 = 4 z, z > 0 utilizând teoerma Gauss-Ostrogradski. Test Fie f, g : (0, 1] R funcţii de clasă C 1 astfel încât g este descrescătoare cu limita 0 în 0 iar funcţia dată de F (x) = 1 f(t)dt să fie mărginită. x Arătaţi că integrala 1 f(t)g(t)dt este convergentă Folosind teorema funcţiilor implicite determinaţi extremele funcţie z = z(x, y) definită de (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 2 x 2 z 2. Suprafaţa descrisă de ultima ecuaţie este compactă? 3. Să se calculeze fluxul câmpului F = (x + y, y + z, z + x) prin suprafaţa sferei unitate aflată în primul octant (x, y, z 0). 4. Calculaţi volumul corpului aflat în ineriorul sferei x 2 + y 2 + z 2 = 4 şi a cilindrului x 2 + y 2 2x = 0. Se cere desenul. 5. Se consideră o curbă de clasă C 1 ce închide un domeniu convex D din plan şi conţine originea şi fie n un număr natural nenul. Din origine se duc dreptele d k de pante 2kπ n, k = 0, 1,..., n 1 şi fie r i lungimea segmentului determinat de fiecare de origine şi intersecţia cu curba. Ce reprezintă aproximativ expresia s n = π n n k=0 r2 k? Arătaţi că lim n n s n D 2π rdrdθ = π r(θ) r (θ) drdθ unde r = r(θ) este parametrizarea curbei în coordonate polare. 0

19 19 Test Fie (f n ) n, f n : [0, 1] R un şir de funcţii de clasă C 1 cu f n (1) = 1 pentru orice n N astfel încât şirul (f n) n să fie uniform convergent. Demonstraţi că (f n ) n este uniform convergent şi limita este de clasă C 1. Se cer detaliile. 2. Să se calculeze ca integrală cu parametru I(a) = π 2 0 a 0. arctg (atgx) dx, unde tg x 3. Să se calculeze fluxul rotorului câmpului F = (x + y, y + z, z + x) prin suprafaţa x 2 + 2y 2 + 4z 2 = 1 situată deasupra planului xoy. 4. Calculaţi volumul corpului mărginit de suprafeţele x 2 + y 2 = 4a 2, x 2 + y 2 2ay = 0, x + y + z = 3, x 0, z 0 şi a (0, 1). 5. Se consideră un domeniu convex în plan cu frontiera de clasă C 1 şi din origine fascicolul tuturor dreptelor y = m k x cu m k = 2kπ1000, k = 1, Unele dintre aceste drepte intersectează figura prin segmente cu lungimea totală L. Puteţi determina aproximativ aria figurii în funcţie de L? Ce rezultat din teoria integralei vă inspiră problema? Test Determinaţi extremele funcţiei y = y(x) definită implicit prin x 3 +y 3 = 2xy. 2. Calculaţi fluxul câmpului F = (2x, y, z) prin suprafaţa y 2 + z 2 = ax, 0 x a orientată după normala ce face un unghi ascuţit cu semiaxa negativă Ox. 3. Determinaţi circulaţia câmpului v = yz i +2xz j x 2 k prin conturul format din intersecţia elipsoidului 4x 2 + y 2 + 4z 2 = 8 cu planul z = 1 parcurs în sens pozitiv faţă de normala exterioară a elipsoidului. 4. Se consideră o sferă cu raza de 100m situată într-un sistem cartezian cu unitatea de măsură 1m. Găsiţi o aproximaţie pentru numărul de puncte de coordonate întregi din sferă. Aproximativ cât de mare este eroarea? Justificaţi. 5. Fie f : [0, 1] R R de clasă C 1. Calculaţi derivata funcţiei F (y) = sin y 0 f(x, y)dx. Demonstraţi rezultatul.

20 20 Test Calculaţi volumul corpului mărgnit de sfera x 2 +y 2 +z 2 = 4 şi paraboloidul z = x 2 + y Calculaţi circulaţia câmpului F (x, y, z) = (x, y, z) de-a lungul curbei date de r(t) = (sin t, cos t, t), t [0, 2π]. 3. Calculaţi fluxul câmpului F = (xy, yz, zx) prin suprafaţa teraedrului mărginit de planele x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0 orientată după normala exterioară. 4. Formulaţi şi demonstraţi formula lui Green pentru curba plană descrisă de r = 2+cos θ în coordonate polare. Reprezentaţi în prealabil această curbă.. 5. Se consideră un domeniu convex în plan cu frontiera de clasă C1 şi din origine fascicolul tuturor dreptelor y = m k x cu m k = 2π. Unele dintre 1000 aceste drepte intersectează figura prin segmente cu lungimea totală L. Puteţi determina aproximativ aria figurii în funcţie de L? Ce rezultat din teoria integralei vă inspiră problema? Test Determinaţi extremele funcţiei f : K R, f(x, y, z) = x + y + z unde K = {(x, y, z) x 2 y 2 + z 2 2x 2 }. 2. Găsiţi forma expresiei în coordonate sferice. x f x + y f y + z f z 3. Calculaţi aria suprafeţei decupate de z = x 2 + y 2 din sfera x 2 + y 2 + z 2 = 2x. 4. Calculaţi fluxul câmpului F = ( r a ) 2 r prin suprafaţa decupată de planul x + y + z = 1 din sfera unitate. 5. Calculaţi aria figurii cuprinse între curbele xy = 1, xy = 2, x y = 1, x y = 2.

21 21 Test Determinaţi extremele funţiei f : K R, f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 unde K = {(x, y, z) xyz 2}. 2. Găsiţi forma expresiei 2 f x y + 2 f z 2 în coordonatele (u, r, t), x = ur, y = u + t, z = u r. 3. Să se studieze extremele locale ale funcţiei f(x, y, z) = x 2 y + y 2 z + z 2 x pe porţiunea din planul x + y + z = 1 cu x, y, z > 1. Ce se schimba daca regiunea din planul de mai sus este descrisă de x, y, z 0? 4. Calculaţi folosind eventual o integrala Beta x 6 dx 5. Să se calculeze cu formula Green-Riemann (x + y)dx (x y)dy, Γ unde Γ este cercul x 2 + y 2 = x. Test Fie z = z(x, y) funcţie definită implicit de ecuaţia x 2 + y 2 + z 2 xz yz + 2x + 2y + 2z 2 = 0. Să se studieze extremele acesteia. Calculaţi 2 f x 2 (0, 0). 2. Calculaţi folosind eventual o integrala Beta x 4 dx 3. Să se calculeze ca integrală cu parametru I(a) = π 2 0 unde a < 1. ln 1+a sin x 1 a sin x 1 sin x dx, 4. Să se calculeze cu formula Green-Riemann Γ e x2 a 2 + y2 b 2 ( ydx+xdy), unde Γ este sfertul de elipsă x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, x > 0, y > Să se calculeze fluxul rot v prin Σ, unde v = (x 2 +y 4) i +(3xy) j + (2xz+z 2 ) k, după normala exterioară, utilizând teorema Stokes, pentru Σ : x 2 + y 2 + z 2 = 16, z 0.

22 22 Test Să se studieze extremele locale ale funcţiei f(x, y, z) = xyz cu condiţiile x + y + z = 5, xy + yz + zx = 8. Daţi o interpretare geometrică. 2. Studiaţi convergenţa integralei 1 sin x 2 dx. 3. Să se calculeze ca integrală cu parametru I(a) = 1 1 unde a 1. 1 (x 2 +a 2 ) dx, 1 x 2 4. Determinaţi circulaţia câmpului F = r f(r) a pe cercul de centru (1, 1, 1) şi rază 2 din planul x + y + 2z = 4, unde f : R R este de clasă C Să se calculeze cu formula Green-Riemann Γ (x + y)2 dx (x y)dy, unde Γ este dată de x = cos t, y = 2 sin t, t [0, π]. Test Fie (X, X, µ) un spaţiu cu măsură, A X şi f : X X o funcţie măsurabilă. Demonstaraţi că χ A fdµ = µ(f 1 (A)). 2. Calculaţi D xydxdy unde D = {(x, y) x, y 0, x + y 1}. 3. Calculaţi circulaţia câmpului F = (x 2 y 2, y, z) pe cercul obţinut din intersecţia planului z = 1/2 cu sfera x 2 + y 2 + z 2 = Calculaţi volumul corpului mărginit de (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = x 2 y. 5. Să se calculeze fluxul câmpului v = 3x 2 zi + (y 2 2z)j + z 3 k prin suprafaţa exterioară a semisferei unitate x 2 +y 2 +z 2 = 1, z 0 utilizând teorema Gauss-Ostrogradski.

23 Test Fie f : R 2 R dată de f(x, y) = x3 y 2 pentru (x, y) (0, 0) şi x 4 +y 2 f(0, 0) = 0. Să se studieze continuitatea şi diferenţiabilitatea. 2. Să se determine extremele funcţiei y = y(x) definită implicit de (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y Calculaţi fluxul câmpului F = (xy, yz, zx) prin suprafaţa decupată din sfera unitate de suprafaţa z = x 2 + y Folosind derivarea integralelor cu parametru, să se calculeze 0 arctg ax x(1 + x 2 ) dx. 5. Formulaţi şi demonstraţi formula Green-Riemann pentru un disc. Test Calculaţi aria suprafeţei decupate de z 2 = x 2 + y 2 din paraboloidul x = 1 y 2 z Determinaţi circulaţia câmpului F = a r pe cercul de centru ( 1, 1, 1) şi rază 1 din planul x + y + 2z = Calculaţi fluxul câmpului F = ( r a )(a r ) prin suprafaţa decupată de paraboloidul z = x 2 + y 2 din sfera unitate. 4. Calculaţi aria figurii cuprinse între curbele y = x, y = 2x, y = x 3, y = 2x 3 5. Formulaţi şi demonstraţi formula Gauss-Ostrogradski pentru un cub cu feţele paralele cu axele de coordonate. Alte probleme 1. Pentru mulţimi de numere reale mărginite A, B, sunt adevărate relaţiile sup(a + B) = sup A + sup B, inf(a + B) = inf A + inf B, sup(a B) = sup A inf B? Fie (a n ) n, (b n ) n şirurile date de a n = 1 + ( 1) n, b n = a n 1. Avem sup(a n + b n ) = 1 şi sup a n = sup b n = 2. Este o contradicţie cu afirmaţiile de mai sus? 23

24 24 2. Determinaţi inf şi sup pentru mulţimile A = { } { mn 2n 2 + m m, n Z, 2 mm2 + n 2 0 şib = sin πx } x x R 3. a) Arătaţi că f : N N N, f(n, m) = 2 n (2m + 1) este o bijecţie de la N N la N. b) Explicitaţi o bijecţie între intervalele (0, 1] şi [0, 1]. 4. Arătaţi că următoarele mulţimi sunt dense în R: A = { n 2 m m, n Z, m 0 }, B = {m + nα m, n Z} pentru α / Q C = {sin n + m n, m Z}. 5. a) Arătaţi că există o putere a lui 2005 diferită de 1, care începe cu cifrele Puteti evalua cu calculatorul prima putere a lui 2 care începe cu 22? b) Arătaţi că dacă α/β este iraţional mulţimea valorilor şirului [αn + βm] când m, n N conţine toate numerele naturale de la un anumit rang. Care este valoarea de la care toate numerele naturale sunt valori ale şirului dacă α = 5, β = 2005? Folosiţi calculatorul. 6. Determinaţi mulţimea punctelor limită ale şirurilor definite de termenii generali: a n = n sin nπ + 1 [ ] 3, a n = n2 + 1 n 2 + 1, n + 1 n n a n = sin ln n, a n = (1) n n n 6 + 1, a n = (1 + 1 n )( 1)nn, a n = sin n n, a n = sin n Determinaţi în fiecare caz limsup şi liminf. Folosiţi calculatorul spre a verifica. Ce procent dintre valorile sin n, n = 1, 2, se găsesc în intervalul [1/10, 2/10]. Ce rezultat postulaţi? 7. Este mulţimea tuturor şirurilor formate cu 0 şi 1 o mulţime numărabilă? Dar mulţimea tuturor numerelor reale ce sunt rădăcini de polinoame cu coeficienţi întregi?

25 8. Fie α (0, 1) şi un şir (a n ) n pentru care lim(a n+1 αa n ) = 0. Arătaţi că lim a n = 0. Deduceţi că un şir cu termeni pozitivi (a n ) pentru care există t (0, 1) astfel încât a n+1 ta n + (1 t)a n 1 pentru orice n este convergent. 9. Pentru un şir cu lim(a n+1 a n ) = 0, mulţimea punctelor limită este un interval. 10. Arătaţi că şirul defnit prin a 1 = 1, a n+1 = ln(1 + a n ) satisface lim na n = 2. Folosind calculatorul găsiţi un şir b n pentru care lim b n (na n 2) există, este finită şi nenulă. Demonstraţi apoi rezultatul postulat. Să se studieze convergenţa şirului dat de a 1 = 1.5 şi a n+1 = a2 n + 3 2a n Determinaţi o funcţie exponenţială e(n). n N cu baza subunitară, pentru care a n 3 e(n). 11. Construiţi numeric graficul şirurilor date de Ce observaţi? a n = en n! 2πnn n, b n = n, c n = ln n. 12. Arătaţi că şirul (x n ) n definit prin x n = sin sin sin n n 2, este şir Cauchy. Sudiaţi numeric graficul (se poate folosi şi un program tabelar). 13. Dacă (a n ) n este un şir mărginit de numere reale, studiaţi natura seriei a n n(n + 3). n 14. Studiaţi convergenţa seriilor 1 (ln ln n) ln n, (2n 1)!! (2n)!! n, sin π n

26 Arătaţi că seria sin nx este convergentă pentru orice x. Folosind calculatorul ghiciţi suma f(x) pentru x (0, n 2π). Acelaşi lucru pentru ( 1) n, x ( π, π). x nπ 16. Studiaţi convergenţa punctuală şi uniformă a şirurilor de funcţii f n : I R date prin: a) I = [0, 1], f n (x) = 2nx 1+n 2 x 2 ; b) I = R, f n (x) = n cos x 2+n cos x, c) I = [0, 1], f n (x) = 1 pentru x = 1 n şi f(x) = 0 în rest. 17. Studiaţi convergenţa (punctuală, uniformă, absolută punctuală) a seriilor: a) x n 1+x n, x 1; b) sin nx n 2 +x 2 ; c) ( 1) n n+x Dezvoltaţi în serie Taylor următoarele funcţii: f(x) = xarcsin x 1 x 2 ; f(x) = (1 + x 2 )arctg x; f(x) = ln(1+x) ; stabilind şi mulţimile de convergenţă. 1+x 19. Se cere raza de convergenţă a seriilor de puteri 4 n C n 2n x n, 2 n 2 x n! x n 2 n + 3 n 20. Calculaţi n=0 x 2n n(2n 1), n 2 1 (2n)!! xn, n=0 n n + 1 xn, x 4n (4n)! n 2 2 n (x 2)n 1.

27 21. Determinaţi punctele de extrem ale funcţiilor: (a) f(x, y) = a(x+y) 1 x 2 +y 2 ; (b) f(x, y, z) = 2x 2 + y 2 + z 4 xy xz; (c) f(x 1, x 2,..., x n ) = x 1 x 2 2 x n n(1 x 1 2x 2 nx n ), x i > Dacă y = ϕ(x) este funcţia implicită definită de ecuaţiile date (se va verifica existenţa lui ϕ), să se calculeze ϕ (x 0 ) în punctele indicate: (a) x 2 + 3xy y 2 = 3, (x 0, y 0 ) = (1, 1); (b) x 3 y cos y = 0, (x 0, y 0 ) = (1, 0); (c) x 3 + xy 2 + x = 0, x 0 = 1; 23. Determinaţi punctele de extrem ale funcţiilor definite implicit prin: a) xe xy = 1; b) x 4 + y 4 = x 2 + y Determinaţi punctele de extrem ale funcţiilor implicite z = ϕ(x, y) pentru relaţiile: (a) x 4 + y 4 + z 4 = 2(x 2 + y 2 + z 2 ); (b) 2x 2 + 6y 2 + 2z 2 + 8xz 4x 8y + 3 = Demonstraţi existenţa funcţiilor implicite z = ϕ(x, y) pentru relaţiile următoare în punctele indicate, calculând diferenţiale acestora: (a) z 3 xyz = a 3, (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 0, a); (b) sin xy + sin z + sin zx = 3, x 0 = 1, y 0 = π Determinaţi punctele în a căror vecinătate sistemul următor are soluţie unică xy cos z = a xz sin y = b x 2 z 2 = c 27. Sistemul de ecuaţii x + y u v = 2 x 3 + y 3 + u 3 = xyuv + 9 defineşte funcţiile u = u(x, y), v = v(x, y) într-o vecinătate a punctului (1, 2). Determinaţi derivatele parţiale ale lui u, v în aceste puncte. 27

28 Scrieţi în coordonate polare formula expresiei: 2 f x f y f x y dacă f = f(x, y), iar f(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ). 29. Aceeaşi problemă pentru f = f(x, y, z), transformarea în coordonate sferice. 30. Studiaţi diferenţiabilitatea şi existenţa derivatelor parţiale pentru funcţiile următoare: (a) f : R 2 R, f(x, y) = x2 y x 2 +y 2 pentru (x, y) (0, 0) şi (f(0, 0) = 0. (b) f : R 2 R 2 ; f(x, y) = ( xy, x + y). 31. Fie f : R 2 R o funcţie de clasă C 1. Dacă f(0, 0) = 0 şi ( ) 2 ( ) 2 f f + 1 x y pe mulţimea A = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 5 }, să se arate că f(1, 2) Fie f : R 2 R de clasă C 2 care verifică relaţiile 2 f x 2 = 2 f y 2, f x (x, 2x) = x2, f(x, 2x) = x. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul 2 ale funcţiei f pe mulţimea A = { (x, y) R 2 2x y = 0 }. 33. Fie A M 2 (R). Considerând identificarea M 2 R 4 ca spaţii vectoriale normate, calculaţi diferenţiala funcţiei f : M 2 (R) M 2 (R) definită prin f(x) = XAX, într-un punct X 0 M 2 (R). 34. Reprezentaţi grafic planul tangent la curba descrisă de z = xy sin x întrun punctul (12, π/6, π). (In Maple plot3d({f(x, y), g(x, y)}, x=a..b,y=c..d); pentru reprezentarea suprafeţelor descrise de f şi g în acelaşi sistem de axe pe [a, b] [c, d]). 35. Folosind notaţiile vectoriale r = (x, y, z), r = r, considerăm f : R 3 R dată de f( r ) = r r a ( produsul scalar), unde a R 3 este dat. Determinaţi gradientul lui f. Poate fi acesta nul?

29 Folosind diferenţaila calculaţi aproximativ sin 31 o + tan 44 o. 37. Ordonaţi crescător numerele: 1, 99 1,97 ; 1, 98 1,98 ; 1, 97 1,99 ; 1, 98 1, Un avion este urmărit de două radare aflate pe două port-avioane aflate la distanţa de 100 mile unul de celălalt. Locul de analiză al datelor se afla la jumătatea distanţei în linie dreapta între cele două port-avioane. La un anumit moment se determină că avionul se află la distanţa de 500 de mile şi se indepărtează cu 1000 mile/oră faţă de primul radar şi se află la distanţa de 500 mile apropiindu-se cu 100 mile/oră faţă de cel de-al doilea radar. Care este viteza avionului faţă de punctul de observaţie? Se apropie sau se îndepărtează de acesta? Scrieţi un program care având ca date iniţiale distanţele la radar şi vitezele faţă de acesta să producă în fiecare moment viteza faţă de punctul de observaţie. 39. Fie f(x, y) = sin xy definită pe D = [0, 1] [0, 1]. Folosind aproximarea f (x, y) = n ( f(x + 1, y) f(x, y)) şi analoaga pentru f, scrieţi un x n y program pentru calculul aproximativ al derivatelor parţiale şi a diferenţialei lui f pe D, cu 3 zecimale exacte (Indicaţie: alegeţi reţeaua punctelor (k/n, p/n), 0 k, p n, cu n suficient de mare determinat cu teorema lui Lagrange. Folosiţi apoi formula de mai sus ca pe o relaţie de recurenţă). 40. Fie f : R 2 R cu f(0, 0) = 0, derivabilă parţial în orice punct şi astfel că f, f 1. Arătaţi că f(x, y) x + y pentru orice x, y R. x y 41. Este oare adevărat că x y + y x > 1 pentru orice x, y > 0? 42. Dacă numerele pozitive a, b, c satisfac a x 1+x 2 + bx 2 + x 3 + c x 3+x 1 3 pentru orice x 1, x 2, x 3 R, arătaţi că a = b = c = Care dintre numere e mai mare 7 8 sau 8 sqrt7? rezultatul obţinut numeric. Încercaţi să demonstraţi

30 Bibliografie [1] A. Angot, Complemente de matematici pentru inginerii din electrotehnică şi din telecomunicaţii, Ed.Tehnică, Bucureşti, [2] R. Bădescu, C. Maican, Integrale utilizate în mecanică, fizică tehnică şi calculul lor, Ed.Tehnică, Bucureşti, [3] D. M. Bressoud, A Radical Approach to Real Analysis, Mathematical Association of America, [4] Gh. Bucur, E. Câmpu, S. Găină, Culegre de probleme de calcul diferential si integral, vol II-III, Editura Tehnică, [5] J. Cavailles, Studii asupra teoriei mulţimilor, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, [6] S. Chiriţă, Probleme de matematici superioare, Ed.Did. şi Ped., Bucureşti, [7] I. Colojoară, R. Miculescu, C. Mortici, Analiză matematică.teorie.metode.aplicaţii, Ed.Art, Bucureşti, [8] T.-L. Costache, Analiză matematică. Noţiuni teoretice. Aplicaţii, Ed.Printech, Bucureşti, [9] T.-L. Costache, M. Olteanu, Subiecte examen. Analiză matematică, Ed.Printech, Bucureşti, [10] T.-L. Costache, Analiză matematică. Culegere de probleme, Ed.Printech, Bucureşti, [11] G. M. Fihtenholţ, Curs de calcul diferenţial şi integral (vol II-III), Ed.Tehnică, Bucureşti, [12] D. Filipescu, E. Grecu, R. Medinţu, Matematici generale pentru subingineri.culegere de probleme, Ed.Did. şi Ped., Bucureşti,

31 BIBLIOGRAFIE 31 [13] P. Flondor, N. Donciu, Algebră şi analiză matematică. Culegere de probleme, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, [14] S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercises de mathématiques des oraux de l École polytechnique et des Écoles normales supérieures. Analyse 2, Cassini, Paris, [15] B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted, Contraexemple în analiză, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, [16] A. Halanay, R. Gologan, D. Timotin, Elemente de analiză matematică, vol. I-II, Matrix Rom, [17] A. Niţă, T. Stănăşilă, 1000 de probleme rezolvate şi exerciţii fundamentale pentru studenţi şi elevi, Ed.ALL, Bucureşti, [18] M. Olteanu, Analiză matematică. Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate, Ed.Printech, Bucureşti, [19] M. Roşculeţ, C. Bucur, M. Craiu, R. Trandafir, M. Toma, I. Tofan, Culegere de probleme de analiză matematică, Edd. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, [20] P. N. de Souza, J.-N. Silva, Berkeley Problems in Mathematics, Springer, [21] R. D. Stuart, Introducere în analiza Fourier cu aplicaţii în tehnică, Ed.Tehnică, Bucureşti, [22] R. Trandafir, Probleme de matematici pentru ingineri, Ed.Tehnică, Bucureşti, [23] C. Udrişte, E. Tănăsescu, Minime şi maxime ale funcţiilor reale de variabile reale, Ed.Tehnică, Bucureşti, 1980.

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Επιμέλεια: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Άσκηση 1 Δίνοντας το ολοκλήρωμα στη Mathematica παίρνουμε την τιμή του: 0 40 100 140558 z 2z 15

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] FIMM

EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] FIMM Alocare în medie 4 minute/subiect. Punctaj: 1/4 judecata, 1/4 formula finală, 1/4 rezultatul numeric, 1/4 aspectul. EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] IM 1. Un automobil cu dimensiunile H=1.5m, l=2m, L=4m, puterea

Διαβάστε περισσότερα

Mecanica. Unde acustice. Seminar

Mecanica. Unde acustice. Seminar Mecanica. Unde acustice Seminar Notiuni de mecanica Domenii ale mecanicii Cinematica Studiul miscarii fara a lua in consideratie cauzele ei Corpul considerat un punct material (dimensiuni neglijabile comparativ

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. γραμμικές 1 ης τάξης, Σ.Δ.Ε. Bernoulli και Riccatti Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare:

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare: 1 2 Fiind o aplicaţie din pachetul Microsoft Office, Microsoft Excel prezintă o interfaţă asemănătoare cu editorul de text Microsoft Word având aceeaşi organizare a sistemului de meniuri şi a barelor de

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - exerciţii

Statisticǎ - exerciţii Statisticǎ - exerciţii Ştefan Balint, Tǎnasie Loredana 1 Noţiuni de bazǎ Exerciţiu 1.1. Presupuneţi cǎ lucraţi pentru o firmǎ de sondare a opiniei publice şi doriţi sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care,

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ Anexa nr. 2 Extras din Metodologia organizării şi desfăşurării admiterii în Academia Forţelor Terestre Nicolae

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 007-8 ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΑ: α) R. A. SERWAY, PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS,

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode Cuprins I. Noţiuni teoretice: sursa de tensiune continuă, redresoare de tensiune, stabilizatoare de tensiune II. Modul de lucru: Realizarea practică a unui redresor de tensiune monoalternanţă. Realizarea

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE FIZICĂ Elemente de termodinamica ş.l. dr. Marius COSTACHE 1 ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ 1) Noţiuni introductive sistem fizic = orice porţiune de materie, de la o microparticulă la întreg Universul, porţiune

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã Emil Budescu BIOMECANICA GENERALã IASI 03 C U P R I N S pag. I. Introducere în biomecanica 3. Obiectul de studiu 3. Terminologie 7 3. Aspecte de baza ale biomecanicii 4. Aspecte de baza ale anatomiei si

Διαβάστε περισσότερα

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium PVC &aluminium D oor Panels + accessories 1 index panels dimensions accessories page page page page 4-11 12-46 48-50 51 2 Η εταιρία Dorland με έδρα τη Ρουμανία, από το 2002 ειδικεύεται στην έρευνα - εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

MĂRIMI ELECTRICE Voltul (V)

MĂRIMI ELECTRICE Voltul (V) SINTEZE DE BACALAUREAT ELECTRICITATE www.manualdefizica.ro NR. DENUMIREA MĂRIMII FIZICE UNITATEA DE MĂSURĂ 1. Lungimea (l) metrul (m). Masa (m) kilogramul (kg) ELECTRICITATEA. MĂRIMI ȘI UNITĂȚI DE MĂSURĂ

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE COLEGIUL UCECOM SPIRU HARET BUCURESTI UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE Elev : Popa Maria Clasa :a-xi-a A Indrumator:prof.Chirescu Emil APLICATII PRACTICE CE POT FI REALIZATE

Διαβάστε περισσότερα

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU FIZICA CAPITOLUL: LCTICITAT CUNT CONTINUU. Curent electric. Tensiune electromotoare 3. Intensitatea curentului electric 4. ezistenţa electrică; legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit 4.. Dependenţa

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

Maşina sincronă. Probleme

Maşina sincronă. Probleme Probleme de generator sincron 1) Un generator sincron trifazat pentru alimentare de rezervă, antrenat de un motor diesel, are p = 3 perechi de poli, tensiunea nominală (de linie) U n = 380V, puterea nominala

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI Tema 3. Distilarea și extracția. Obiectivele cursului: În cadrul acestei teme vor fi discutate următoarele subiecte: - operația unitară de concentrare a amestecurilor

Διαβάστε περισσότερα

ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE

ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE STRUCTURA SI FUNCTIILE COMENZII NUMERICE ELEMENTE DE PROGRAMARE A CN ENA_SEM - Curs 2 1 FUNCTIILE COMENZII NUMERICE Realizarea unor traiectorii

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 _Toc9083498. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA.. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 3. ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 8 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA. 5. ΌΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα