ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

Transcript

1 ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc

2

3 Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii cu termeni pozitivi 6 3. Probleme propuse spre rezolvre 9 Cpitolul 2. Formul lui Tylor 2. Polinomul lui Tylor: definiţie, proprietăţi 2 2. Formul lui Tylor Forme le restului formulei lui Tylor Aplicţii le formulei lui Tylor Probleme propuse spre rezolvre 3 Cpitolul 3. Integrl Riemnn 33. Diviziuni le unui intervl compct Integrl Riemnn Proprietăţi de monotonie le integrlei Riemnn Primitive: definiţi primitivei şi primitivbilităţii Metode de integrre Probleme propuse spre rezolvre 47 Bibliogrfie 49 Glosr 5 iii

4

5 CAPITOLUL Serii de numere rele Noţiune de serie este extensi nturlă noţiunii de sumă finită. Studiul seriilor se reduce l studiul unor şiruri de numere. Determinre sumei unei serii se reduce l clculul unei limite. Însumre progresiilor geometrice infinite cu rţi mi mică în modul decât se efectu dej din ntichitte (Arhimede). Divergenţ seriei rmonice fost stbilită de învăţtul itlin Mengoli în 65. Seriile pr constnt în clculele svnţilor din secolul l XVIII-le, dr necordându-se totdeun tenţi necesră problemelor convergenţei. O teorie rigurosă seriilor început cu lucrările lui Guss (82), Bolzno (87) şi, în sfârşit, Cuchy (82) cre dă pentru prim dtă definiţi vlbilă şi zi, sumei unei serii convergente şi stbileşte teoremele de bză.. Noţiuni generle În cest prgrf vom defini noţiunile de serie de numere, serie convergentă, serie divergentă, sumă unei serii de numere. Definiţi.. Se numeşte serie de numere rele orice pereche ordontă ((u n ), (s n )) n N unde (u n ) n N este un şir de numere rele, ir s n = u + u u n, oricre r fi n N. Prin trdiţie seri ((u n ), (s n )) se noteză n su u n Nu n su u n su u + u u n +... n su, când nu este pericol de confuzie, se noteză simplu prin un. Numărul rel u n, (n N) se numeşte termenul generl l seriei ir şirul (u n ) şirul termenilor seriei numeşte sum prţilă de rng n seriei sumelor prţile le seriei u n. u n, u n. Numărul rel s n, (n N) se u n, ir şirul (s n ) şirul

6 2. SERII DE NUMERE REALE Definiţi..2 Spunem că seri u n = ((u n ), (s n )) este convergentă dcă şirul (s n ) l sumelor prţile este convergent. Orice serie cre nu este convergentă se numeşte divergentă. Dcă şirul (s n ) l sumelor prţile le seriei u n = ((u n ), (s n )) re limit s R {+, }, tunci spunem că seri u n re sum s (su că s este sum seriei u n ) şi vom scrie u n = s. Exemplul..3 (..) Seri n (n + ) re termenul generl u n = / (n (n + )), (n N) şi sum prţilă de rng n N eglă cu s n = u + + u n = n (n + ) = n +. Întrucât şirul sumelor prţile este convergent, şeri (..) este convergentă. Deorece lim s n =, sum seriei (..) este ; prin urmre n scriem n (n + ) =. Exemplul..4 form (..2) Se numeşte serie geometrică (de rţie q) orice serie de q n, unde q este un număr rel fixt. Evident termenul generl l seriei geometrice (..2) este u n = q n, (n N), ir sum prţilă de rng n N este q n s n = + q + + q n = q, dcă q n, dcă q =. De ici deducem imedit că seri geometrică (..2) este convergentă dcă şi numi dcă q <. Dcă q <, tunci seri geometrică (..2) re sum

7 / ( q) şi scriem. NOŢIUNI GENERALE 3 q n = q. Dcă q, tunci seri geometrică (..2) este divergentă; în cest cz seri re sum + şi scriem q n = +. Dcă q, tunci seri geometrică (..2) este divergentă şi nu re sumă. Studiul unei serii comportă două probleme: ) Stbilire nturii seriei, dică fptului că seri este convergentă su divergentă. 2) În czul în cre seri este convergentă, determinre sumei seriei. Dcă pentru rezolvre primei probleme dispunem de criterii de convergenţă şi divergenţă, pentru rezolvre celei de dou probleme nu dispunem de metode de determinre sumei unei serii decât pentru câtev serii prticulre.în cele ce urmeză vom d câtev criterii de convergenă şi divergenţă pentru serii. Teorem..5 (criteriul generl de convergenţă, criteriul lui Cuchy) Seri u n este convergentă dcă şi numi dcă pentru fiecre număr rel ε > există un număr nturl n ε cu propriette că oricre r fi numerele nturle n şi p cu n n ε vem u n+ + u n u n+p < ε. Demonstrţie. Fie s n = u + + u n, oricre r fi n N. Atunci seri u n este convergentă dcă şi numi dcă şirul (s n ) l sumelor prţile este convergent, prin urmre, în bz teoremei lui Cuchy, dcă şi numi dcă şirul (s n ) este fundmentl, dică dcă şi numi dcă oricre r fi numărul rel ε > există un număr nturl n ε cu propriette că oricre r fi numerele nturle n şi p cu n n ε vem s n+p s n < ε. Întrucât s n+p s n = u n+ + u n u n+p, oricre r fi n, p N, teorem este demonstrtă. Exemplul..6 (..3) Seri n, numită seri rmonică, este divergentă şi re sum +.

8 4. SERII DE NUMERE REALE Soluţie. Presupunem prin bsurd că seri rmonică (..3) este convergentă; tunci, în bz criteriului generl de convergenţă (teorem..5), pentru ε = /2 > există un număr nturl n cu propriette că oricre r fi numerele nturle n şi p cu n n vem n n + p < 2. De ici, luând p = n = n N, obţinem (..4) n < n + n 2. Pe de ltă prte, din n + k n + n, oricre r fi k N, k n deducem n n = n + n 2n 2 şi deci ineglitte (..4) nu re loc. Acestă contrdicţie ne conduce l concluzi că seri rmonică (..3) este divergentă. Deorece şirul (s n ) l sumelor prţile este strict crescător vem că n = +. Exemplul..7 (..5) este convergentă. Seri sin n 2 n Soluţie. Fie u n = (sin n) /2 n, oricre r fi n N; tunci pentru fiecre n, p N vem u n+ + u n u n+p = sin (n + ) sin (n + p) 2 n n+p sin (n + ) sin (n + p) 2 n n+p 2 n n+p = ( 2 ) p = 2 n < 2 n. Fie ε >. Întrucât şirul (/2n ) este convergent către, deducem că există un număr nturl n ε cu propriette că /2 n < ε, oricre r fi numărul nturl n n ε. Atunci u n+ + u n u n+p < 2 n < ε, oricre r fi numerele nturle n, p cu n n ε. Prin urmre seri (..5) este convergentă.

9 Teorem..8 convergent către zero.. NOŢIUNI GENERALE 5 Dcă seri u n este convergentă, tunci şirul (u n ) este Demonstrţie. Fie ε > ; tunci, în bz criteriului generl de convergenţă l lui Cuchy (teorem..5), există un număr nturl n ε cu propriette că u n+ + u n u n+p < ε, oricre r fi n, p N cu n n ε. Dcă ici luăm p =, obţinem că u n+ < ε, oricre r fi n N, n n ε, de unde deducem că u n < ε, oricre r fi n N, n n ε + ; prin urmre şirul (u n ) converge către. Observţi..9 Reciproc teoremei..8, în generl, nu este devărtă în sensul că există serii u n cu şirul (u n ) convergent către şi totuşi seri nu este convergentă. De exemplu seri rmonică (..3) este divergentă deşi şirul (/n) este convergent către. Teorem.. Fie m un număr nturl. Atunci seri u n este convergentă dcă şi numi dcă seri n=m u n este convergentă. Demonstrţie. Fie s n = u + +u n, oricre r fi n N şi t n = u m + +u n, oricre r fi n N n m. Atunci seri u n este convergentă dcă şi numi dcă şirul (s n ) n N este convergent, prin urmre dcă şi numi dcă şirul (t n ) n m este convergent, şdr dcă şi numi dcă seri convergentă. Teorem.. Dcă u n şi n=m u n este v n sunt serii convergente şi şi b sunt numere rele, tunci seri (u n + bv n ) este convergentă şi re sum u n + b v n. Demonstrţie. Evident, pentru fiecre număr nturl n vem ( n n ) ( n ) (u k + bv k ) = u k + b v k, k= k= de unde, în bz proprietăţilor şirurilor convergente, obţinem firmţi teoremei. k=

10 6. SERII DE NUMERE REALE Exemplul..2 Întrucât seriile 2 n şi 3 n sunt convergente şi u sum 2 respectiv 3/2, deducem că seri ( 2 n ) ( 3 n = 2 2 n ) 3 3 n este convergentă şi re sum (/2) 2 (/3) (3/2) = /2. Definiţi..3 Fie u n o serie convergentă cu sum s, n un număr nturl şi s n = u + +u n sum prţilă de rng n seriei rel r n = s s n se numeşte restul de ordinul n l seriei Teorem..4 u n. Numărul u n. Dcă seri u n este convergentă, tunci şirul (r n ) l resturilor ei este convergent către. Demonstrţie. Fie s = u n. Deorece şirul (s n ) l sumelor prţile le seriei u n este convergent către s = lim s n şi r n = s s n, oricre r fi n n N, vem că şirul (r n ) este convergent către. 2. Serii cu termeni pozitivi Dcă u n este o serie de numere rele convergentă, tunci şirul (s n ) l sumelor prţile este mărginit. Reciproc cestei firmţii, în generl nu este devărtă în sensul că există serii divergente cre u şirul sumelor prţile mărginit. Într-devăr, seri ( ) n re şirul sumelor prţile cu termenul generl s n, (n N) egl cu {, dcă n este pr s n =, dcă n este impr. Evident şirul (s n ) este mărginit ( s n, oricre r fi n N) deşi seri ( ) n este divergentă (şirul (s n ) nu este convergent). Dcă seri u n re termenii numere rele pozitive, tunci şirul (s n ) l sumelor prţile este crescător; în cest cz fptul că şirul (s n ) este mărginit este echivlent cu fptul că şirul (s n ) este convergent.

11 2. SERII CU TERMENI POZITIVI 7 Scopul cestui prgrf este de d criterii de convergenţă pentru ş numitele serii cu termeni pozitivi. Definiţi.2. Se numeşte serie cu termeni pozitivi orice serie cre re propriette că u n > oricre r fi n N. Pentru seriile cu termeni pozitivi re loc următore firmţie. Teorem.2.2 Dcă u n o serie cu termeni pozitivi, tunci Seri u n re sumă şi { n } u n = sup u k : n N. k= u n 2 Seri ( n ) u n este convergentă dcă şi numi dcă şirul u k l k= sumelor prţile este mărginit. Demonstrţie. Pentru fiecre n N punem n s n := u k. Şirul (s n ) este crescător şi tunci, în bz teoremei lui Weierstrss reltivă l şirurile monotone, firmţi este dovedită. 2 Dcă seri u n este convergentă, tunci şirul sumelor prţile (s n ) k= este convergent şi deci mărginit. Dcă şirul (s n ) este mărginit, tunci, întrucât el este monoton, deducem că şirul (s n ) este convergent şi prin urmre seri u n este convergentă. Teorem.2.3 (primul criteriu l comprţiei) Dcă u n şi v n sunt serii cu termeni pozitivi cu propriette că există un număr rel > şi un număr nturl n stfel încât (.2.) u n v n oricre r fi n N, n n, tunci: Dcă seri v n este convergentă, tunci seri u n este convergentă. 2 Dcă seri u n este divergentă, tunci seri v n este divergentă.

12 8. SERII DE NUMERE REALE Demonstrţie. Pentru fiecre n N, fie s n = u +...+u n şi t n = v +...+v n ; tunci din (.2.) vem că (.2.2) s n s n + (v n v n ), oricre r fi n N, n n. Dcă seri v n este convergentă, tunci şirul (t n ) este mărginit, prin urmre există un număr rel M > cu propriette că t n M, oricre r fi n N. Acum din (.2.2) deducem că pentru fiecre n N, n n u loc ineglităţile s n s n + (t n t n ) s n + t n t n s n + t n s n + M, de unde rezultă că şirul (s n ) este mărginit. Atunci, în bz teoremei.2.2, seri u n este convergentă. 2 Presupunem că seri u n este divergentă. Dcă seri v n r fi convergentă, tunci în bz firmţiei, seri u n r fi convergentă, cee ce contrzice ipotez că seri u n este divergentă. Aşdr seri v n este divergentă. Exemplul.2.4 Seri n /2 este divergentă. Într-devăr, din ineglitte n n devărtă oricre r fi n N, obţinem că n n /2, oricre r fi n N. Cum seri rmonică n este divergentă, în bz teoremei.2.2, firmţi 2, deducem că seri n /2 este divergentă. Teorem.2.5 (l doile criteriu l comprţiei) Dcă sunt serii cu termeni pozitivi cu propriette că există u n şi v n (.2.3) lim n tunci Dcă tunci seriile tunci: 2 Dcă u n şi lim n u n v n [, + ], u n v n ], + [, v n u ceeşi ntură. lim n u n v n =,

13 u n este convergentă. ) Dcă seri b) Dcă seri 3 Dcă tunci: ) Dcă seri v n este convergentă. b) Dcă seri 2. SERII CU TERMENI POZITIVI 9 v n este convergentă, tunci seri u n este divergentă, tunci seri lim n u n v n = +, u n este convergentă, tunci seri v n este divergentă, tunci seri v n este divergentă. u n este divergentă. Demonstrţie. Fie := lim (u n/v n ) ], + [; tunci există un număr n nturl n cu propriette că u n v n < 2, oricre r fi n N, n n, de unde deducem că (.2.4) v n (2/) u n, oricre r fi n N, n n şi (.2.5) u n (3/2) v n, oricre r fi n N, n n. Dcă seri u n este convergentă, tunci în bz primului criteriu l comprţiei (teorem.2.3), plicbil pentru că re loc (.2.4), obţinem că seri v n este convergentă. Dcă seri v n este convergentă, tunci ţinând sem de (.2.5), în bz primului criteriu l comprţiei (teorem.2.3) rezultă că seri u n este convergentă. 2 Dcă lim n (u n/v n ) =, tunci există un număr nturl n stfel încât u n /v n <, oricre r fi n N, n n, de unde deducem că u n v n, oricre r fi n N, n n. Aplicăm cum primul criteriu l comprţiei. 3 Dcă lim n (u n/v n ) = +, tunci există un număr nturl n stfel încât u n /v n >, oricre r fi n N, n n, de unde deducem că v n u n, oricre r fi n N, n n. Aplicăm cum primul criteriu l comprţiei.

14 . SERII DE NUMERE REALE Exemplul.2.6 deducem că seriile Seri lim n n 2 n 2 este convergentă. n 2 = ], + [, n (n + ) şi Într-devăr, din n(n+) u ceeşi ntură. Cum seri n(n+) este convergentă (vezi exemplul..3), obţinem că seri convergentă. Teorem.2.7 (l treile criteriu l comprţiei) Dcă u n şi n 2 este v n sunt serii cu termeni pozitivi cu propriette că există un număr nturl n stfel încât: u n+ (.2.6) v n+, oricre r fi n N, n n, u n v n tunci: Dcă seri u n este convergentă. 2 Dcă seri v n este convergentă, tunci seri u n este divergentă, tunci seri v n este divergentă. Demonstrţie. Fie n N, n n + ; tunci din (.2.6) vem succesiv: u n + v n + u n v n u n v n, u n v n de unde, prin înmulţire membru cu membru, obţinem Aşdr u n u n v n v n. u n u n v n v n, oricre r fi n N, n n. Aplicăm cum primului criteriu l comprţiei (teorem.2.3). Teorem este demonstrtă. Teorem.2.8 (criteriul condensării l lui Cuchy) Fie u n o serie cu termeni pozitivi cu propriette că şirul (u n ) l termenilor seriei este descrescător. Atunci seriile u n şi 2 n u 2 n u ceeşi ntură.

15 2. SERII CU TERMENI POZITIVI Demonstrţie. Fie s n := u + u u n sum prţilă de rng n N seriei u n şi fie S n := 2u u n u 2 n sum prţilă de rng n N seriei 2 n u 2 n. Presupunem că seri 2 n u 2 n este convergentă; tunci şirul (S n ) l sumelor prţile este mărginit, prin urmre există un număr rel M > stfel încât S n M, oricre r fi n N. Pentru răt că seri u n este convergentă, în bz teoremei.2.2, este suficient să rătăm că şirul (s n ) l sumelor prţile este mărginit. Deorece seri u n este cu termeni pozitivi, din n 2 n+, (n N) deducem că s n s 2 n+ = u + (u 2 + u 3 ) + (u u 7 ) + + (u 2 n + u 2 n u 2 n+ ). Întrucât şirul (u n ) este descrescător, urmeză că u 2 k > u 2 k + > > u 2 k+, oricre r fi k N şi deci s n se pote delimit mi deprte stfel s n s 2 n+ u + 2 u u n u 2 n = = u + S n u + M. Aşdr şirul (s n ) este mărginit şi deci seri u n este convergentă. Presupunem cum că seri u n este convergentă; tunci şirul (s n ) l sumelor prţile le seriei u n este mărginit, prin urmre există un număr rel M > stfel încât s n M, oricre r fi n N. Pentru răt că seri 2 n u 2 n este convergentă, este suficient să rătăm că şirul (S n ) este mărginit. Fie deci n N. Atunci s 2 n = u + u 2 + (u 3 + u 4 ) + (u 5 + u 6 + u 7 + u 8 ) + + prin urmre vem ineglităţile + (u 2 n u 2 n) u + u 2 + 2u u n u 2 n u + 2 S n 2 S n, S n 2s 2 n 2M. Aşdr şirul (S n ) este mărginit şi deci seri 2 n u 2 n este convergentă.

16 2. SERII DE NUMERE REALE Exemplul.2.9 Seri, unde R, n numită seri rmonică generliztă, este divergentă pentru şi convergentă pentru >. Soluţie. Într-devăr, dcă, tunci şirul termenilor seriei (n ) nu converge către zero şi deci seri este divergentă. Dcă >, tunci n şirul termenilor seriei (n ) este descrescător convergent către zero şi deci putem plic criteriul condensării; seriile şi 2 n u ceeşi ntură. Întrucât 2n (2 n ) = ( ) n 2, oricre r fi n N, deducem că seri 2 n (2 n ) este de fpt seri geometrică ( ) n 2, divergentă pentru şi convergentă pentru >. Urmeză că seri n este divergentă pentru şi convergentă pentru >. Teorem.2. (criteriul rportului, criteriul lui D Alembert) Fie n (2 n ) u n o serie cu termeni pozitivi. Dcă există un număr rel q [, [ şi un număr nturl n stfel încât: u n+ q oricre r fi n N, n n, u n tunci seri u n este convergentă. 2 Dcă există un număr nturl n stfel încât: u n+ u n oricre r fi n N, n n, tunci seri u n este divergentă. Demonstrţie. Aplicăm l treile criteriu l comprţiei (teorem.2.7, firmţi ), luând v n := q n, oricre r fi n N. Avem u n+ q = v n+, oricre r fi n N, n n, u n v n ir seri v n este convergentă, prin urmre seri u n este convergentă. 2 Din u n+ /u n deducem că u n+ u n, oricre r fi n N, n n, prin urmre şirul (u n ) nu converge către ; tunci, în bz teoremei..8, seri u n este divergentă.

17 Teorem SERII CU TERMENI POZITIVI 3 (consecinţ criteriului rportului) Fie termeni pozitivi pentru cre există lim n Dcă tunci seri 2 Dcă tunci seri lim n u n este convergentă. lim n u n este divergentă. Demonstrţie. Fie := lim n u n+ u n. u n+ u n <, u n+ u n >, u n+ u n. Evident. u n o serie cu Întrucât [, [ deducem că există un număr rel q ], [. Atunci, din ], q[ rezultă că există un număr nturl n stfel încât u n+ u n ], q[, oricre r fi n N, n n. Urmeză că u n+ u n q, oricre r fi n N, n n. Aplicând cum criteriul rportului, obţinem că seri u n este convergentă. 2 Dcă <, tunci există un număr nturl n stfel încât u n+ u n, oricre r fi n N, n n. Aplicând cum criteriul rportului, obţinem că seri u n este divergentă. Exemplul.2.2 (.2.7) este convergentă. Seri (n!) 3 (3n)! Soluţie. Avem că lim n u n+ u n = 27 <, şi tunci, în bz consecinţei criteriului rportului, seri (.2.7) este convergentă. Observţi.2.3 u n există li- u mit lim n+ n u n Dcă pentru seri cu termeni pozitivi şi este eglă cu, tunci consecinţ criteriului rportului nu

18 4. SERII DE NUMERE REALE u n+ u n decide dcă seri u n este convergentă su divergentă; există serii convergente, dr şi serii divergente pentru cre lim =. Într-devăr, pentru n seriile n şi n 2 vem, în mbele czuri, lim =, prim serie n u n+ u n fiind divergentă (vezi exemplul..3) şi dou serie fiind convergentă (vezi exemplul.2.6). Teorem.2.4 (criteriul rdiclului, criteriul lui Cuchy) Fie u n o serie cu termeni pozitivi. Dcă există un număr rel q [, [ şi un număr nturl n stfel încât (.2.8) n u n q, oricre r fi n N, n n, tunci seri u n este convergentă. 2 Dcă există un număr nturl n stfel încât (.2.9) n u n, oricre r fi n N, n n, tunci seri u n este divergentă. Demonstrţie. Presupunem că există q [, [ şi n N stfel încât (.2.8) să ibă loc. Atunci u n q n, oricre r fi n N, n n. Aplicăm cum primul criteriu l comprţiei (teorem.2.3, firmţi ), luând v n := q n,oricre r fi n N şi := q. Întrucât seri q n este convergentă, obţinem că seri u n este convergentă. 2 Din (.2.9) deducem că u n, oricre r fi n N, n n, prin urmre şirul (u n ) nu converge către ; tunci, în bz teoremei..8, seri u n este divergentă. Teorem.2.5 (consecinţ criteriului rdiclului) Fie u n o serie cu termeni pozitivi pentru cre există lim n un. n Dcă lim n tunci seri u n este convergentă. n un <,

19 2 Dcă 2. SERII CU TERMENI POZITIVI 5 lim n tunci seri u n este divergentă. n un >, Demonstrţie. Fie := lim n un. Evident. n Întrucât [, [ deducem că există un număr rel q ], [. Atunci, din ], q[ rezultă că există un număr nturl n stfel încât n un ], q[, oricre r fi n N, n n. Urmeză că n un q, oricre r fi n N, n n. Aplicând cum criteriul rdiclului, obţinem că seri u n este convergentă. 2 Dcă <, tunci există un număr nturl n stfel încât n un, oricre r fi n N, n n. Aplicând cum criteriul rdiclului, obţinem că seri u n este divergentă. Exemplul.2.6 Seri ( 3 (.2.) n 3 + 3n ) n n 3 n 2 +. este convergentă. Soluţie. Avem lim n n un = lim n ( 3 n 3 + 3n n 3 n 2 + ) = 4 3 >. şi deci, în bz consecinţei criteriului rdiclului, seri (.2.) este divergentă. Observţi.2.7 Dcă pentru seri cu termeni pozitivi u n există limit lim n un şi este eglă cu, tunci consecinţ criteriului rdiclului nu n decide dcă seri u n este convergentă su divergentă; există serii conver- gente, dr şi serii divergente pentru cre lim n un =. Într-devăr, pentru n seriile n şi n 2 vem, în mbele czuri, lim n un =, prim serie n fiind divergentă (vezi exemplul..3) şi dou serie fiind convergentă (vezi exemplul.2.6).

20 6. SERII DE NUMERE REALE Teorem.2.8 (criteriul lui Kummer) Fie u n o serie cu termeni pozitivi. Dcă există un şir ( n ) n N, de numere rele pozitive, există un număr rel r > şi există un număr nturl n cu propriette că (.2.) n u n u n+ n+ r, oricre r fi n N, n n, tunci seri u n este convergentă. 2 Dcă există un şir ( n ), de numere rele pozitive cu propriette că seri este divergentă şi există un număr nturl n stfel încât n (.2.2) n u n u n+ n+, oricre r fi n N, n n, tunci seri u n este divergentă. Demonstrţie. Pentru fiecre număr nturl n, notăm cu s n := u + u u n sum prţilă de rng n seriei u n. Presupunem că există un şir ( n ), de numere rele pozitive, există un număr rel r > şi există un număr nturl n stfel încât (.2.) re loc. Să observăm că relţi (.2.) este echivlentă cu (.2.3) n u n n+ u n+ ru n+, oricre r fi n N, n n. Fie n N, n n + ; tunci din (.2.3) vem succesiv: n u n n +u n + ru n +, n u n n u n ru n, de unde, prin dunre membru cu membru, obţinem n u n n u n r(u n u n ). De ici deducem că, pentru fiecre număr nturl n n vem n n n s n = u k = u k + u k s n + ( n u r ) n nu n k= k= k=n + s n + r n u n, prin urmre şirul (s n ) l sumelor prţile le seriei bz teoremei.2.2, seri u n este convergentă. u n este mărginit. În

21 2. SERII CU TERMENI POZITIVI 7 2 Presupunem că există un şir ( n ), de numere rele pozitive, cu propriette că seri este divergentă şi există un număr nturl n stfel n încât (.2.2) re loc. Evident (.2.2) este echivlentă cu Deorece seri seri u n este divergentă. n+ n u n+ u n, oricre r fi n N, n n. Teorem este demonstrtă. Teorem.2.9 n este divergentă, conform criteriului l III-le l comprţiei (criteriul lui Rbe-Duhmel) Fie u n o serie cu termeni pozitivi. Dcă există un număr rel q > şi un număr nturl n stfel încât ( ) un (.2.4) n q oricre r fi n N, n n, u n+ tunci seri u n este convergentă. 2 Dcă există un număr nturl n stfel încât ( ) un (.2.5) n oricre r fi n N, n n, u n+ tunci seri u n este divergentă. Demonstrţie. În criteriul lui Kummer (teorem.2.8) să luăm n := n, oricre r fi n N; obţinem ( ) u n un n n+ = n. u n+ u n+ Dcă luăm r := q >, tunci, întrucât (.2.) este echivlentă cu (.2.4), deducem că seri u n este convergentă. 2 Cum seri n (.2.5), obţinem că seri u n este divergentă. este divergentă şi (.2.2) este echivlentă cu

22 8. SERII DE NUMERE REALE Teorem.2.2 (consecinţ criteriului lui Rbe-Duhmel) Fie u n o serie cu termeni pozitivi pentru cre există limit ( ) lim n un. n u n+ Dcă tunci seri u n este convergentă. 2 Dcă tunci seri u n este divergentă. Demonstrţie. Fie ( ) lim n un >, n u n+ ( ) lim n un <, n u n+ ( ) b := lim n un. n u n+ Din b > deducem că există un număr rel q ], b[. Atunci b ]q, b+[ implică existenţ unui număr nturl n stfel încât ( ) un n ]q, b + [, oricre r fi n N, n n, u n+ de unde obţinem că (.2.4) re loc. Aplicând cum criteriul lui Rbe- Duhmel, rezultă că seri u n este convergentă. 2 Dcă b <, tunci există un număr nturl n stfel încât (.2.5) să ibă loc. Aplicând cum criteriul lui Rbe-Duhmel, rezultă că seri u n este divergentă. Exemplul.2.2 Seri n!, unde >, ( + ) ( + n ) este convergentă dcă şi numi dcă > 2. Soluţie. Avem u n+ lim = n u n şi deci consecinţ criteriului rportului nu decide ntur seriei. Deorece lim n n ( un u n+ ) =,

23 3. PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE 9 în bz consecinţei criteriului lui Rbe-Duhmel, dcă > 2, tunci seri dtă este convergentă, ir dcă < 2 seri dtă este divergentă. Dcă = 2, tunci seri dtă devine n+ cre este divergentă. Aşdr seri dtă este convergentă dcă şi numi dcă > 2. Exemplul.3. ( ) ln + n d) Exemplul.3.2 ) Exemplul.3.3 ) d) n=2 3. Probleme propuse spre rezolvre Stbiliţi ntur şi sum seriilor: ) ; b) rctn ( ) n 2 n ; e) 2n 2 n ; f) Stbiliţi ntur seriilor 9 + n 2n + ; b) n 2 + n + ; c) 2 n + 3 n 2 n+ + 3 n+ ; c) Stbiliţi ntur seriilor: 2n ; b) n 3 n ; e) g) sin n ; (ln n) h) (2n ) 2 ; c) n. ; f) 4 n 2 n 4 ; n=2 ln ( n ) 2 ; (3n 2) (3n + ). 2n + 2n. 4n 2 ; n n ; i) Exemplul.3.4 Stbiliţi ntur seriilor: n (n!) 2 ) ; b) n! (2n)! ; c) n! n n ; d) f) (n!) 2 2 n2 ; g) Exemplul.3.5 ) e)... ( + n) ; h) 3... (2n ) 3 n 2 n 3. 2 n n! n n ; e) Pentru fiecre >, studiţi ntur seriei: n + n ; b) n ; c) ln n ; d) n! ( n 2 + n + n 2 ) n ; f) 3 n 2 n + n ; g) 3 n n! n n ; (4 + 3n) (2 + 4n). n n n ; n + n n.

24 2. SERII DE NUMERE REALE Exemplul.3.6 Pentru fiecre, b >, studiţi ntur seriei: n ) n + b n ; b) 2 n n + b n ; c) n b n n + b n ; d) (2 + ) (3 + ) (n + ) (2b + ) (3b + ) (nb + ). Exemplul.3.7 Stbiliţi ntur seriilor: (2n )!! ) (2n)!! 2n + ; b) (2n )!! ; c) (2n)!! ( n ) n. n! e Exemplul.3.8 Pentru fiecre >, studiţi ntur seriilor: n! ) ( + )... ( + n) ; b) ( n) n n! ; c) n n. Observţi.3.9 Pentru detlii puteţi consult [5]..

25 CAPITOLUL 2 Formul lui Tylor. Polinomul lui Tylor: definiţie, proprietăţi Formul lui Tylor, utiliztă în specil în proximre funcţiilor prin polinome, este un din cele mi importnte formule din mtemtică. Definiţi 2.. Fie D o submulţime nevidă mulţimii R, x D şi f : D R o funcţie derivbilă de n ori în punctul x. Funcţi (polinomilă) T n;x f : R R definită prin (T n;x f) (x) = f (x ) + f (x )! (x x ) + f (x ) 2! (x x ) f (n) (x ) (x x ) n, oricre r fi x R, n! se numeşte polinomul lui Tylor de ordin n tşt funcţiei f şi punctului x. Observţi 2..2 Polinomul lui Tylor de ordin n re grdul cel mult n. Exemplul 2..3 vem Pentru funcţi exponenţilă f : R R definită prin f (x) = exp x, oricre r fi x R, f (k) (x) = exp x, oricre r fi x R şi k N. Polinomul lui Tylor de ordin n tşt funcţiei exponenţile, exp : R R, şi punctului x = este oricre r fi x R. Exemplul 2..4 vem (T n; exp) (x) = +! x + 2! x2 + + n! xn, Pentru funcţi f : R\{ } R definită prin f (x) =, oricre r fi x R\{ }, + x f (k) (x) = ( ) k k!, oricre r fi x R\{ } şi k N. k+ ( + x) 2

26 22 2. FORMULA LUI TAYLOR Polinomul lui Tylor de ordin n tşt funcţiei f şi punctului x = este (T n; f) (x) = x + x 2 + ( ) n x n, oricre r fi x R. Evident T n;x f este o funcţie indefinit derivbilă pe R şi, pentru orice x R, vem (T n;x f) (x) = (T n;x f) (x) = = f () (x ) + f (2) (x )! = ( T n ;x f ) (x), = f (2) (x ) + f (3) (x )! = ( T n 2;x f ) (x), (x x ) + + f (n) (x ) (n )! (x x ) n = (x x ) + + f (n) (x ) (n 2)! (x x ) n 2 = (T n;x f) (n ) (x) = = f (n ) (x ) + f (n) (x ) (x x ) = (! = T ;x f (n )) (x), De ici deducem că (T n;x f) (n) (x) = = f (n) (x ) = ( = T ;x f (n)) (x), (T n;x f) (k) (x) =, oricre r fi k N, k n +. (T n;x f) (k) (x ) = f (k) (x ), oricre r fi k {,,, n} şi (T n;x f) (k) (x ) =, oricre r fi k N, k n +. Prin urmre, polinomul lui Tylor de ordin n tşt funcţiei f şi punctului x cât şi derivtele lui până l ordinul n coincid în x cu funcţi f şi respectiv cu derivtele ei până l ordinul n.

27 2. FORMULA LUI TAYLOR Formul lui Tylor Definiţi 2.2. Fie D o submulţime nevidă mulţimii R, x D şi f : D R o funcţie derivbilă de n ori în punctul x. Funcţi R n;x f : D R definită prin (R n;x f) (x) = f (x) (T n;x f) (x), oricre r fi x D se numeşte restul Tylor de ordinul n tşt funcţiei f şi punctului x. Orice eglitte de form f = T n;x f + R n;x f, unde pentru R n;x f este dtă o formulă de clcul, se numeşte formulă Tylor de ordinul n corespunzătore funcţiei f şi punctului x. În cest cz R n;x f se numeşte restul de ordinul n l formulei lui Tylor. Deorece f şi T n;x f sunt derivbile de n ori în x, rezultă că şi restul R n;x f = f T n;x f este o funcţie derivbilă de n ori în x şi (R n;x f) (k) (x ) =, oricre r fi k {,,, n}. Pe de ltă prte, funcţi R n;x f : D R fiind derivbilă în x este continuă în x şi deci există lim (R n;x f) (x) = (R n;x f) (x ) =. x x Acest însemnă că pentru fiecre număr rel ε > există un număr rel δ > stfel încât oricre r fi x D pentru cre x x < δ vem f (x) (T n;x f) (x) < ε. Prin urmre, pentru vlorile lui x D, suficient de propite de x, vlore f (x) pote fi proximtă prin (T n;x f) (x). În cele ce urmeză, vom preciz cest rezultt. Teorem Fie I un intervl din R, x I şi f : I R o funcţie derivbilă de n ori în punctul x. Atunci lim x x (R n;x f) (x) (x x ) n =. Demonstrţie. Aplicând de n ori regul lui l Hôpitl şi ţinând sem că f (n ) (x) f (n ) (x ) lim = f (n) (x ), x x x x obţinem lim x x (R n;x f) (x) (x x ) n = lim x x = lim x x f (x) (T n;x f) (x) (x x ) n = f (x) (T n;x f) (x) n (x x ) n =

28 24 2. FORMULA LUI TAYLOR = lim x x f (n ) (x) (T n;x f) (n ) (x) n! (x x ) f (n ) (x) f (n ) (x ) f (n) (x ) (x x ) = lim = x x n! (x x ) [ ] = n! lim f (n ) (x) f (n ) (x ) f (n) (x ) =. x x x x Dcă notăm cu α n;x f : I R funcţi definită prin (R n;x f) (x) (α n;x f) (x) = (x x ) n, dcă x I\{x }, dcă x = x, tunci, din teorem rezultă că funcţi α n;x f este continuă în punctul x. Aşdr re loc următore firmţie cunoscută sub numele de teorem lui Tylor şi Young. Teorem (teorem lui Tylor-Young) Fie I un intervl din R, x I şi f : I R o funcţie. Dcă funcţi f este derivbilă de n ori în punctul x, tunci există o funcţie α n;x f : I R cre stisfce următorele proprietăţi: (α n;x f) (x ) =. 2 Funcţi α n;x f este continuă în punctul x. 3 Pentru fiecre x I re loc eglitte: f (x) = (T n;x f) (x) + (x x ) n (α n;x f) (x). Exemplul Pentru funcţi exponenţilă, exp : R R, formul lui Tylor-Young, pentru x =, re form: exp x = +! x + 2! x2 + + n! xn + x n (α n; f) (x), oricre r fi x R, unde Exemplul lim (α n;f) (x) = (α n; f) () =. x Pentru funcţi f : R\{ } R definită prin f (x) =, oricre r fi x R\{ }, + x formul lui Tylor-Young, pentru x =, re form: + x = x + x ( ) n x n + x n (α n; f) (x), oricre r fi x R\{ }, unde lim (α n;f) (x) = (α n; f) () =. x =

29 3. FORME ALE RESTULUI FORMULEI LUI TAYLOR 25 În bz teoremei 2.2.2, dcă I este un intervl din R, x I şi f : I R este o funcţie derivbilă de n ori în x, tunci, pentru fiecre x I, vem (2.2.) f (x) = (T n;x f) (x) + o ((x x ) n ) pentru x x. Aşdr următore teoremă re loc. Teorem Fie I un intervl din R, x I şi f : I R o funcţie. Dcă funcţi f este derivbilă de n ori în punctul x, tunci pentru orice x I, eglitte (2.2.) re loc. Relţi (2.2.) se numeşte formul lui Tylor cu restul sub form lui Peno. 3. Forme le restului formulei lui Tylor Vom răt, în continure, că restul R n;x f l formulei lui Tylor se pote scrie sub form (R n;x f) (x) = (x x ) p K, unde p N şi K R. Fie I un intervl din R, f : I R o funcţie derivbilă de (n + ) ori pe I, p un număr nturl şi x şi x două puncte distincte din I. Fie K R stfel încât să vem f (x) = f (x ) + f () (x )! (x x ) + f (2) (x ) 2!... + f (n) (x ) (x x ) n + (x x ) p K. n! Funcţi ϕ : I R, definită, pentru orice t I, prin ϕ (t) = f (t) + f () (t)! (x x ) (x t) + f (2) (t) (x t) f (n) (t) (x t) n + 2! n! + (x t) p K, este derivbilă pe I, deorece tote funcţiile din membrul drept sunt derivbile pe I. Întrucât ϕ (x ) = ϕ (x) = f (x), deducem că funcţi ϕ stisfce ipotezele teoremei lui Rolle pe intervlul închis cu extremităţile x şi x; tunci există cel puţin un punct c cuprins strict între x şi x stfel încât ϕ (c) =. Deorece ϕ (x t)n (t) = f (n+) (t) p (x t) p K, oricre r fi t I,. n! eglitte ϕ (c) = devine de unde rezultă (x c) n f (n+) (c) p (x c) p K =, n! K = (x c)n p+ f (n+) (c). n!p

30 26 2. FORMULA LUI TAYLOR Prin urmre, restul R n;x f re form (R n;x f) (x) = (x x ) p (x x ) n p+ f (n+) (c). n!p Aşdr m demonstrt următore firmţie, tribuită mtemticinului englez Brook Tylor (8 ugust decembrie 73), şi cunoscută sub numele de teorem lui Tylor. Teorem 2.3. (teorem lui Tylor) Fie I un intervl din R, f : I R o funcţie derivbilă de n + ori pe I, x I şi p N. Atunci pentru fiecre x I\{x }, există cel puţin un punct c cuprins strict între x şi x stfel încât f (x) = (T n;x f) (x) + (R n;x f) (x), unde (2.3.) (R n;x f) (x) = (x x ) p (x c) n p+ f (n+) (c). n!p Form generlă restului, dtă în formul (2.3.), fost obţinută, în mod independent, de Schlömilch şi Roche, de cee restul scris sub form (2.3.) se numeşte restul lui Schlömilch-Roche. Două czuri prticulre fuseseră obţinute nterior de Lgrnge şi Cuchy. Cuchy obţine pentru rest formul: (2.3.2) (R n;x f) (x) = (x x ) (x c) n f (n+) (c), n! cre, evident, este restul lui Schlömilch-Roche pentru p =. Lgrnge obţine pentru rest formul: (2.3.3) (R n;x f) (x) = (x x ) n+ f (n+) (c). (n + )! cre, evident, este restul lui Schlömilch-Roche pentru p = n +. Dcă f este o funcţie polinomilă de grdul n, tunci, pentru orice x R, (R n;x f) (x) =, oricre r fi x R. Acest fost czul studit de Tylor. Trdiţi conscrt numele de formul lui Tylor pentru tote czurile studite, fră de unul singur: I şi x =. Acest cz fusese, studit nterior lui Tylor de Mclurin. Trdiţi conscrt următore definiţie. Definiţi Formul lui Tylor de ordin n corespunzătore funcţiei f şi punctului x =, cu restul lui Lgrnge, se numeşte formul lui Mclurin.( ).

31 Exemplul Mclurin este unde Avem 3. FORME ALE RESTULUI FORMULEI LUI TAYLOR 27 Pentru funcţi exponenţilă exp : R R formul lui exp x = +! x + 2! x2 + + n! xn + (R n; f) (x), (R n; exp) (x) = xn+ exp (c), cu c < x. (n + )! (R n; exp) (x) = Cum pentru fiecre x R, deducem că seri + x n x n+ x n+ exp (c) < exp x, x R. (n + )! (n + )! lim n x n+ exp x =, (n + )! n! = +! x + 2! x2 + + n! xn +, este convergentă pentru orice x R, şi sum ei este exp x, dică exp x = +! x + 2! x2 + + n! xn +, oricre r fi x R. Similr obţinem că pentru orice >,, x = + ln! x + ln2 x lnn x n +, x R. 2! n! Deorece în teorem 2.3., c este cuprins strict între x şi x, deducem că numărul θ = c x ], [ x x şi c = x + θ (x x ). Atunci restul R n;x f se pote exprim şi stfel: (2.3.4) (2.3.5) (R n;x f) (x) = (x x ) n+ ( θ) n p+ f (n+) (x + θ (x x )), n!p (Schlömilch Roche) (R n;x f) (x) = (x x ) n+ ( θ) n f (n+) (x + θ (x x )) n! (Cuchy) (2.3.6) (R n;x f) (x) = (x x ) n+ f (n+) (x + θ (x x )) (n + )! (Lgrnge). Aşdr m obţinut următore teoremă.

32 28 2. FORMULA LUI TAYLOR Teorem Fie I un intervl din R, f : I R o funcţie derivbilă de n + ori pe I, x I şi p N. Atunci pentru fiecre x I\{x }, există cel puţin un număr θ ], [ stfel încât să vem f (x) = (T n;x f) (x) + (R n;x f) (x), unde (R n;x f) (x) este dt de (2.3.4). Dcă p =, obţinem (2.3.5), ir dcă p = n+ tunci (R n;x f) (x) este dt de (2.3.6). Exemplul formul lui Mclurin este unde Pentru funcţi f : R R definită prin f (x) = exp x, oricre r fi x R, exp x = +! x + 2! x2 + + n! xn + (R n; f) (x), R n; f (x) = xn+ exp (θx), θ ], [, x R. (n + )! Exemplul Pentru funcţi f : R\{ } R definită prin f (x) =, oricre r fi x R\{ }, + x formul lui Mclurin re form: + x = x + x2 + ( ) n x n unde + (R n; f) (x), R n; f (x) = ( ) n+ x n+ n+2, θ ], [, x R\{ }. ( + θx) 4. Aplicţii le formulei lui Tylor Folosind formul lui Tylor, putem stbili ineglităţi cre ltfel se deduc destul de greu. Teorem 2.4. Următorele firmţii sunt devărte: Pentru fiecre număr nturl n, vem + x! + x2 2! + + xn < exp x, n! oricre r fi x ], + [. 2 Oricre r fi numerele nturle n şi m, vem + x! + + x2n (2n )! < exp x < + x! + + x2m (2m)!, oricre r fi x ], [.

33 4. APLICAŢII ALE FORMULEI LUI TAYLOR 29 Demonstrţie. În bz formulei lui Mclurin, pentru fiecre x R, vem exp x = (T n; exp) (x) + Întrucât, pentru fiecre x ], + [, deducem că xn+ exp (θx), unde θ ], [. (n + )! x n+ exp (θx) >, (n + )! exp x > (T n; exp) (x), oricre r fi x ], + [. Celellte firmţii se demonstreză similr. Teorem Fie n şi p două numere nturle, I R un intervl, x un punct interior intervlului I şi f : I R o funcţie cre stisfce următorele condiţii: (i) funcţi f este de n + p ori derivbilă pe intervlul I, (ii) funcţi f (n+p) : I R este continuă în punctul x. Atunci există limit şi lim x x lim x x ( ) f(x) (Tn ;x f) (x) (p) (x x ) n ( ) f(x) (Tn ;x f) (x) (p) (x x ) n = p! (p + n)! f (p+n) (x ). Demonstrţie. În bz formulei lui Leibniz, pentru fiecre x I, vem ( ) f(x) (Tn ;x f) (x) (p) (x x ) n = [ ] (p) = (f(x) (T n ;x f) (x)) (x x ) n = ( ) p ( = p ) k (f Tn ;x f) (p k) (k) (x) k= (x x ) n = p ( = p k) (f Tn ;x f) (p k) (x) ( )k (n + k )! k= (n )!(x x ) n+k = ( ) p = ( ) k (n + k )! p (f T (x x ) n+p n ;x f) (p k) (x) (x x ) p k. (n )! k k=

34 3 2. FORMULA LUI TAYLOR unde Trecând l limită şi plicând de n ori regul lui l Hôpitl obţinem: ( ) f(x) (Tn ;x f) (x) (p) lim x x (x x ) n = = lim x x p! p k = p (n+p)!(x ) p k= k j= ( ) j (n + k j )! (n )! ( ) k p k f (p+n k) (x) (x x ) p k, ( (p k + j)! p (p k)! k j )( ) n, j oricre r fi k {,..., p}. Deorece, pentru fiecre k {,..., p}, vem p k = p!n (p k)! k j= ( ) j (n + k j )! j! (n j)! (k j)! =, deducem că lim x x ( ) f(x) (Tn ;x f) (x) (p) (x x ) n = p! = lim x x (n + p)! (x x ) p f (p+2) (x) (x x ) p = p! = (p + n)! f (p+2) (x ). Observţi Teorem rămâne devărtă şi dcă punctul x este extremitte intervlului I. Formul lui Mclurin, ne jută, de multe ori să clculăm limite cre ltfel se clculeză greu. Exemplul Soluţie. Avem Să se clculeze L := lim x ( + x ) 3 ( 2 + x ) 2 3 (sin 2 x) x. 3 ( + x) = + x + o (x), pentru x.! şi tunci ( ) 3 + x 2 3 ( ) = +! x 2 + o x 2, pentru x,

35 şi Întrucât 5. PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE 3 ( ) 2 + x 3 2 ( ) = +! x 3 + o x 3, pentru x. urmeză că ( + x ) 3 ( 2 + x 3 şi tunci deorece (sin x) 2 x 3 ( ) ( ) ( ) o x 2 o x 3 = o x 2, pentru x L := lim x ) 2 + = ( 3! x 2 + o x ) ( 2 2! x 3 o x ) 3 (sin 2 x) x 3 ) 3x 2 2x 3 + o ( x 2 = (sin 2 x) x = 3 ( 3 2x o x ) 2 /x 2 = ) 2. x 3 2 ( sin x x ( 3 2x o x ) 2 /x 2 ( sin x x lim x ) 2 x 3 2 = 3, ( o x ) 2 x 2 =. = 5. Probleme propuse spre rezolvre Exemplul 2.5. Scrieţi polinomul lui Tylor de ordinul n = 2m tşt funcţiei sinus, sin : R R, şi punctului x =. Exemplul Scrieţi polinomul lui Tylor de ordinul n = 2m tşt funcţiei cosinus, cos : R R şi punctului x =. Exemplul Scrieţi formul lui Mclurin de ordinul n pentru funcţi sinus, sin : R R. Exemplul Scrieţi formul lui Mclurin de ordinul n pentru funcţi cosinus, cos : R R. Exemplul Scrieţi formul lui Mclurin de ordinul n pentru funcţi f :], + [ R definită prin f (x) = ln ( + x), oricre r fi x ], + [.

36 32 2. FORMULA LUI TAYLOR Exemplul Scrieţi formul lui Mclurin de ordinul n pentru funcţi f :], + [ R definită prin unde r R. f (x) = ( + x) r, oricre r fi x ], + [, Exemplul Fie f :], + [ R funcţi definită prin f(x) = /x, oricre r fi x ], + [. Să se scrie formul lui Tylor de ordinul n corespunzătore funcţiei f şi punctului x =. Exemplul Să se scrie formul lui Mclurin de ordinul n corespunzătore funcţiei: ) f : ], + [ R definită prin f(x) = x ln( + x), oricre r fi x ], + [; b) f :], [ R definită prin f(x) = x ln( x), oricre r fi x ], [; c) f :], [ R definită prin f(x) = 3x + 4, oricre r fi x ], [; d) f :] /2, + [ R definită prin f(x) = / 2x +, oricre r fi x ] /2, + [. Exemplul Să se scrie formul lui Tylor de ordinul n corespunzătore funcţiei f şi punctului x, dcă: ) f : ], + [ R este definită prin f(x) = /x, oricre r fi x ], + [ şi x = 2; b) f : R R este definită prin f(x) = cos(x ), oricre r fi x R şi x =. Exemplul 2.5. Să se determine funcţi polinomilă f : R R de grdul 4 pentru cre vem: f() = 2, f () =, f () = 6, f () = 6, f iv () = 72. Exemplul 2.5. sin (x sin x) ) lim x + x 3 ; Exemplul tn 4x 4 tn 3x ) lim x 3 sin 4x 4 sin 3x ( 2 c) lim x sin 2 + ln (cos x) Să se clculeze următorele limite: b) lim x sin 3x + 4 sin 3 x 3 ln ( + x) ( e x ; ) sin x Să se clculeze următorele limite: ; b) lim x x + ( + ) x + x b+ x b ; x + ) ; d) lim x 2 (2 x + 3 x 2) tn π 4x. Observţi Pentru mi multe detlii puteţi consult [5] şi [2].

37 CAPITOLUL 3 Integrl Riemnn Noţiune de integrlă părut din nevoi prctică de determin ri unor figuri plne, precum şi din considerente de fizică. Clculul integrl, ş cum îl concepem zi, fost dezvoltt în secolul l XVII-le de către Newton şi Leibniz. Newton numeşte fluxiune - derivt şi fluentă - primitiv. Leibniz introduce simbolurile d şi şi deduce regulile de clcul le integrlelor nedefinite. Definiţi rigurosă integrlei, c limit sumelor integrle, prţine lui Cuchy (82). Prim demonstrţie corectă existenţei integrlei unei funcţii continue este dtă de Drboux în 875. În dou jumătte secolului l XIX-le, Riemnn, Du Bois-Reymond şi Lebesque du condiţii pentru integrbilitte funcţiilor discontinue. În 894, Stieltjes introduce o nouă integrlă, ir în 92, Lebesque formuleză noţiune mi generlă de integrlă.. Diviziuni le unui intervl compct Definiţi 3.. Fie, b R cu < b. Se numeşte diviziune intervlului [, b] orice sistem ordont = (x, x,..., x p ) de p + puncte x, x,..., x p din intervlul [, b] cu propriette că = x < x < < x p < x p = b. Dcă = (x, x,..., x p ) este o diviziune intervlului [, b], tunci x, x,..., x p se numesc puncte le diviziunii. Vom not cu Div [, b] mulţime formtă din tote diviziunile intervlului [, b], deci Div [, b] = { : este diviziune intervlului [, b]}. Dcă = (x, x,..., x p ) este o diviziune intervlului [, b], tunci numărul = mx{x x, x 2 x,..., x p x p } se numeşte norm diviziunii. Exemplul 3..2 Sistemele = (, ), 2 = (, /3, ), 3 = (, /4, /2, 3/4, ) 33

38 34 3. INTEGRALA RIEMANN sunt diviziuni le intervlului [, ]. Aceste diviziuni u normele =, 2 = 2/3, 3 = /4. Teorem 3..3 Fie, b R cu < b. Pentru fiecre număr rel ε > există cel puţin o diviziune intervlului [, b] cu propriette că < ε. Demonstrţie. Fie ε > şi p un număr nturl cu propriette că (b ) /p < ε. Dcă h = (b ) /p, tunci sistemul ordont = (, + h, + 2h,, + (p ) h, b) este o diviziune intervlului [, b]. Mi mult = h < ε. Definiţi ( 3..4 Fie, b R cu < b şi = (x, x,..., x p ) şi = x, x,, ) x q două diviziuni le intervlului [, b]. Spunem că diviziune este mi fină decât diviziune şi scriem (su ) dcă {x, x,, x q} {x, x,, x p }. Teorem următore firmă că prin trecere l o diviziune mi fină, norm diviziunii nu creşte. Teorem 3..5 Fie, b R cu < b şi şi două diviziuni le intervlului [, b]. Dcă diviziune este mi fină decât diviziune, tunci. Demonstrţie. Este imedită. Observţi 3..6 Dcă, Div [, b], tunci din nu rezultă, în generl, că. Definiţi 3..7 Fie, b R cu < b. Dcă = ( x, x,, p) x şi = ( x, x,..., x q) sunt diviziuni le intervlului [, b], tunci diviziune = (x, x,, x r ) intervlului [, b] le cărei puncte sunt elementele mulţimii {x, x,..., x p} {x, x,, x q}, lute în ordine strict crescătore, se numeşte reuniune lui cu şi se noteză cu. Teorem 3..8 Fie, b R cu < b. Dcă şi sunt diviziuni le intervlului [, b], tunci şi. 2 şi. Demonstrţie. Este imedită. Definiţi 3..9 Fie, b R cu < b şi = (x, x,..., x p ) Div[, b]. Se numeşte sistem de puncte intermedire tşt diviziunii orice sistem ξ = (ξ, ξ 2,..., ξ p ) de p puncte ξ, ξ 2,..., ξ p [, b] cre stisfc relţiile x i ξ i x i, oricre r fi i {,..., p}.

39 2. INTEGRALA RIEMANN 35 Vom not cu Pi ( ) mulţime formtă din tote sistemele de puncte intermedire tşte diviziunii, deci Pi ( ) = {ξ : ξ este sistem de puncte intermedire tşt diviziunii }. 2. Integrl Riemnn Definiţi 3.2. Fie, b R cu < b, = (x, x,..., x p ) o diviziune intervlului [, b], ξ = (ξ, ξ 2,..., ξ p ) un sistem de puncte intermedire tşt diviziunii şi f : [, b] R o funcţie. Numărul rel p σ (f;, ξ) = f (ξ i ) (x i x i ) i= se numeşte sum Riemnn tştă funcţiei f diviziunii şi sistemului ξ. Definiţi Fie, b R cu < b şi f : [, b] R. Spunem că funcţi f este integrbilă Riemnn pe [, b] (su, simplu, integrbilă) dcă oricre r fi şirul ( n ) n N de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi oricre r fi şirul (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) este convergent. Teorem Fie, b R cu < b şi f : [, b] R. Funcţi f este integrbilă Riemnn pe [, b] dcă şi numi dcă există un număr rel I cu propriette că pentru fiecre şir ( n ) n N de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi pentru fiecre şir (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) este convergent către I. ( Demonstrţie. Necesitte. Fie n) şirul de diviziuni cu termenul generl: n N n = (, + h, + 2h,... + (n ) h, b), (n N) şi (ξ n ) n N şirul cu termenul generl: ξ n = (, + h, + 2h,... + (n ) h), (n N) unde h := b n. Evident, pentru fiecre n N vem: n Div [, b], n = (b ) n şi ξn Pi ( n ).

40 36 3. INTEGRALA RIEMANN ( Atunci şirul σ (f; n, ξ )) n ( σ (f; n, ξ )) n n N este convergent; fie I R limit şirului n N. Vom răt că oricre r fi şirul ( n ) n N de diviziuni le intervlului [, b] cu lim n n = şi oricre r fi şirul (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) este convergent către I. Fie deci ( n ) n N un şir de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi fie (ξ n ) n N un şir de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N). Atunci şirurile ( n ) n N, ( ξ n) n N, unde n = { k, dcă n = 2k k, dcă n = 2k +, ξ n = { ξk, dcă n = 2k ξ k, dcă n = 2k +, u următorele proprietăţi: i) n Div [, b], ξ n Pi ( n ), oricre r fi n N; ii) lim n n =. In bz ipotezei, şirul ( σ ( f; n, ξ n)) este convergent; fie I limit ( n N lui. Tinând sem că şirul σ (f; n, ξ )) n este subşir l şirului convergent ( σ ( f; n, ξ n)) n N, deducem că I = I. Intrucât (σ (f; n, ξ n )) n N este subşir l şirului convergent ( σ ( f; n, ξ n)) n N, obţinem că şirul (σ (f; n, ξ n )) n N converge către I. Suficienţ rezultă imedit din definiţie. Teorem (unicitte integrlei) Fie, b R cu < b şi f : [, b] R. Atunci există cel mult un număr rel I cu propriette că pentru fiecre şir ( n ) n N de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi pentru fiecre şir (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) este convergent către I. Prin urmre, fiind dtă o funcţie f : [, b] R putem ve numi un din următorele două situţii: ) există un număr rel I cu propriette că pentru fiecre şir ( n ) n N de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi fiecre şir (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) este convergent către I. In cest cz, în bz teoremei 3.2.4, numărul rel I este unic. Numărul rel I se v numi integrl Riemnn funcţiei f pe intervlul [, b] şi se v not cu: I := n N f (x) dx. b) Nu există nici un număr rel I cu propriette că pentru fiecre şir ( n ) n N de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi fiecre şir

41 3. PROPRIETĂŢI DE MONOTONIE ALE INTEGRALEI RIEMANN 37 (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) este convergent către I. In cest cz funcţi f nu este integrbilă Riemnn pe [, b]. Prin urmre o funcţie f : [, b] R nu este integrbilă Riemnn pe [, b] dcă şi numi dcă oricre r fi numărul rel I există un şir ( n ) n N de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi un şir (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), cu propriette că şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) nu converge către I. Exemplul Fie, b R cu < b. Funcţi f : [, b] R definită prin {, dcă x [, b] Q f (x) =, dcă x [, b] \Q, nu este integrbilă Riemnn pe [, b]. Folosim metod reducerii l bsurd; presupunem că funcţi f este integrbilă Riemnn pe [, b]. Atunci există un număr rel I cu propriette că oricre r fi numărul rel ε > există un număr rel η > stfel încât pentru orice diviziune Div [, b] cu < η şi pentru orice sistem ξ Pi ( ) vem σ (f;, ξ) I < ε. Fie ε := (b ) /4. Atunci există un număr rel η > stfel încât pentru orice diviziune Div [, b] cu < η şi pentru orice sistem ξ Pi ( ) vem σ (f;, ξ) I < ε. 3. Proprietăţi de monotonie le integrlei Riemnn Teorem 3.3. Fie, b R cu < b şi f : [, b] R o funcţie integrbilă Riemnn pe [, b]. Dcă f (x), oricre r fi x [, b], tunci f (x) dx. Demonstrţie. Fie ( n ) n un şir de diviziuni n = ( x n, x n,..., x n m n ) Div [, b], (n N) cu lim n n = şi (ξ n ) n un şir de sisteme ξ n = ( ξ n, ξ n 2,..., ξ n m n ) P i ( n ), (n N). Din fptul că funcţi f este integrbilă Riemnn pe [, b], vem că (3.3.) lim n σ (f; n, ξ n ) = f (x) dx.

42 38 3. INTEGRALA RIEMANN Pe de ltă prte, funcţi f fiind pozitivă, pentru orice număr nturl n vem σ (f; n, ξ n ) = m n i= f (ξ n i ) ( x n i x n i ) şi deci, în bz teoremei de trecere l limită în ineglităţi, din (3.3.) deducem concluzi teoremei. Teorem Fie, b R cu < b şi f, g : [, b] R două funcţii integrbile Riemnn pe [, b]. Dcă tunci f (x) g (x), oricre r fi x [, b], f (x) dx g (x) dx. Demonstrţie. Funcţi f g stisfce ipotezele teoremei 3.3.; tunci Intrucât (f g) (x) dx = teorem este demonstrtă. (f g) (x) dx. f (x) dx g (x) dx Teorem Fie, b R cu < b şi f : [, b] R o funcţie integrbilă Riemnn pe [, b] şi m, M două numere rele cu propriette că: Atunci m f (x) M, oricre r fi x [, b]. m (b ) f (x) dx M (b ). Demonstrţie. Aplicând teorem funcţiei f şi funcţiilor constnte m şi M, obţinem m (b ) = mdx f (x) dx Mdx = M (b ). Teorem Fie, b R cu < b. Dcă funcţi f : [, b] R este integrbilă Riemnn pe [, b], tunci funcţi f este integrbilă Riemnn pe [, b] şi re loc ineglitte (3.3.2) f (x) dx f (x) dx.

43 4. PRIMITIVE: DEFINIŢIA PRIMITIVEI ŞI A PRIMITIVABILITĂŢII 39 Demonstrţie. Funcţi f fiind integrbilă Riemnn pe [, b] este mărginită pe [, b], prin urmre există un număr rel M > cu propriette că f (x) M, oricre r fi x [, b]. Fie g : [ M, M] R funcţi definită prin g (t) = t, oricre r fi t [ M, M]. Deorece pentru orice t, t [, b] vem g ( t ) g ( t ) = t t t t, rezultă că funcţi g este lipschitzină şi tunci funcţi f = g f este integrbilă Riemnn pe [, b]. Pentru dovedi ineglitte (3.3.2), să considerăm un şir ( n ) n de diviziuni n Div [, b], (n N) cu propriette că lim n n = şi un şir de sisteme ξ n P i ( n ), (n N). Din fptul că funcţiile f şi f sunt integrbile Riemnn pe [, b], rezultă (3.3.3) lim σ (f; n n, ξ n ) = Intrucât, pentru fiecre n N, vem f (x) dx şi lim n σ ( f ; n, ξ n ) = σ (f; n, ξ n ) σ ( f ; n, ξ n ), f (x) dx. din (3.3.3), în bz teoremei de trecere l limită în ineglităţi, deducem că ineglitte (3.3.2) re loc. 4. Primitive: definiţi primitivei şi primitivbilităţii În cest cpitol vom introduce o clsă importntă de funcţii rele şi nume cls funcţiilor cre dmit primitive. Conceptul de primitivă legă între ele două concepte fundmentle le Anlizei Mtemtice: derivt şi integrl. Vom bord probleme de ntură clittivă privind studiul existenţei primitivelor precum şi de ntur clcultorie reltive l metode de clcul de primitive. Definiţi 3.4. Fie D o submulţime nevidă mulţimii numerelor rele R, f : D R o funcţie şi I o submulţime nevidă mulţimii D. Spunem că funcţi f dmite primitive (su că este primitivbilă) pe I dcă există o funcţie F : I R stfel încât: i) funcţi F este derivbilă pe I; ii) F (x) = f (x), oricre r fi x I. Dcă funcţi f dmite primitive pe mulţime de definiţie D, tunci spunem simplu că funcţi f dmite primitive (su că este primitivbilă).