ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I."

Transcript

1 ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc

2

3 Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii cu termeni pozitivi 6 3. Probleme propuse spre rezolvre 9 Cpitolul 2. Formul lui Tylor 2. Polinomul lui Tylor: definiţie, proprietăţi 2 2. Formul lui Tylor Forme le restului formulei lui Tylor Aplicţii le formulei lui Tylor Probleme propuse spre rezolvre 3 Cpitolul 3. Integrl Riemnn 33. Diviziuni le unui intervl compct Integrl Riemnn Proprietăţi de monotonie le integrlei Riemnn Primitive: definiţi primitivei şi primitivbilităţii Metode de integrre Probleme propuse spre rezolvre 47 Bibliogrfie 49 Glosr 5 iii

4

5 CAPITOLUL Serii de numere rele Noţiune de serie este extensi nturlă noţiunii de sumă finită. Studiul seriilor se reduce l studiul unor şiruri de numere. Determinre sumei unei serii se reduce l clculul unei limite. Însumre progresiilor geometrice infinite cu rţi mi mică în modul decât se efectu dej din ntichitte (Arhimede). Divergenţ seriei rmonice fost stbilită de învăţtul itlin Mengoli în 65. Seriile pr constnt în clculele svnţilor din secolul l XVIII-le, dr necordându-se totdeun tenţi necesră problemelor convergenţei. O teorie rigurosă seriilor început cu lucrările lui Guss (82), Bolzno (87) şi, în sfârşit, Cuchy (82) cre dă pentru prim dtă definiţi vlbilă şi zi, sumei unei serii convergente şi stbileşte teoremele de bză.. Noţiuni generle În cest prgrf vom defini noţiunile de serie de numere, serie convergentă, serie divergentă, sumă unei serii de numere. Definiţi.. Se numeşte serie de numere rele orice pereche ordontă ((u n ), (s n )) n N unde (u n ) n N este un şir de numere rele, ir s n = u + u u n, oricre r fi n N. Prin trdiţie seri ((u n ), (s n )) se noteză n su u n Nu n su u n su u + u u n +... n su, când nu este pericol de confuzie, se noteză simplu prin un. Numărul rel u n, (n N) se numeşte termenul generl l seriei ir şirul (u n ) şirul termenilor seriei numeşte sum prţilă de rng n seriei sumelor prţile le seriei u n. u n, u n. Numărul rel s n, (n N) se u n, ir şirul (s n ) şirul

6 2. SERII DE NUMERE REALE Definiţi..2 Spunem că seri u n = ((u n ), (s n )) este convergentă dcă şirul (s n ) l sumelor prţile este convergent. Orice serie cre nu este convergentă se numeşte divergentă. Dcă şirul (s n ) l sumelor prţile le seriei u n = ((u n ), (s n )) re limit s R {+, }, tunci spunem că seri u n re sum s (su că s este sum seriei u n ) şi vom scrie u n = s. Exemplul..3 (..) Seri n (n + ) re termenul generl u n = / (n (n + )), (n N) şi sum prţilă de rng n N eglă cu s n = u + + u n = n (n + ) = n +. Întrucât şirul sumelor prţile este convergent, şeri (..) este convergentă. Deorece lim s n =, sum seriei (..) este ; prin urmre n scriem n (n + ) =. Exemplul..4 form (..2) Se numeşte serie geometrică (de rţie q) orice serie de q n, unde q este un număr rel fixt. Evident termenul generl l seriei geometrice (..2) este u n = q n, (n N), ir sum prţilă de rng n N este q n s n = + q + + q n = q, dcă q n, dcă q =. De ici deducem imedit că seri geometrică (..2) este convergentă dcă şi numi dcă q <. Dcă q <, tunci seri geometrică (..2) re sum

7 / ( q) şi scriem. NOŢIUNI GENERALE 3 q n = q. Dcă q, tunci seri geometrică (..2) este divergentă; în cest cz seri re sum + şi scriem q n = +. Dcă q, tunci seri geometrică (..2) este divergentă şi nu re sumă. Studiul unei serii comportă două probleme: ) Stbilire nturii seriei, dică fptului că seri este convergentă su divergentă. 2) În czul în cre seri este convergentă, determinre sumei seriei. Dcă pentru rezolvre primei probleme dispunem de criterii de convergenţă şi divergenţă, pentru rezolvre celei de dou probleme nu dispunem de metode de determinre sumei unei serii decât pentru câtev serii prticulre.în cele ce urmeză vom d câtev criterii de convergenă şi divergenţă pentru serii. Teorem..5 (criteriul generl de convergenţă, criteriul lui Cuchy) Seri u n este convergentă dcă şi numi dcă pentru fiecre număr rel ε > există un număr nturl n ε cu propriette că oricre r fi numerele nturle n şi p cu n n ε vem u n+ + u n u n+p < ε. Demonstrţie. Fie s n = u + + u n, oricre r fi n N. Atunci seri u n este convergentă dcă şi numi dcă şirul (s n ) l sumelor prţile este convergent, prin urmre, în bz teoremei lui Cuchy, dcă şi numi dcă şirul (s n ) este fundmentl, dică dcă şi numi dcă oricre r fi numărul rel ε > există un număr nturl n ε cu propriette că oricre r fi numerele nturle n şi p cu n n ε vem s n+p s n < ε. Întrucât s n+p s n = u n+ + u n u n+p, oricre r fi n, p N, teorem este demonstrtă. Exemplul..6 (..3) Seri n, numită seri rmonică, este divergentă şi re sum +.

8 4. SERII DE NUMERE REALE Soluţie. Presupunem prin bsurd că seri rmonică (..3) este convergentă; tunci, în bz criteriului generl de convergenţă (teorem..5), pentru ε = /2 > există un număr nturl n cu propriette că oricre r fi numerele nturle n şi p cu n n vem n n + p < 2. De ici, luând p = n = n N, obţinem (..4) n < n + n 2. Pe de ltă prte, din n + k n + n, oricre r fi k N, k n deducem n n = n + n 2n 2 şi deci ineglitte (..4) nu re loc. Acestă contrdicţie ne conduce l concluzi că seri rmonică (..3) este divergentă. Deorece şirul (s n ) l sumelor prţile este strict crescător vem că n = +. Exemplul..7 (..5) este convergentă. Seri sin n 2 n Soluţie. Fie u n = (sin n) /2 n, oricre r fi n N; tunci pentru fiecre n, p N vem u n+ + u n u n+p = sin (n + ) sin (n + p) 2 n n+p sin (n + ) sin (n + p) 2 n n+p 2 n n+p = ( 2 ) p = 2 n < 2 n. Fie ε >. Întrucât şirul (/2n ) este convergent către, deducem că există un număr nturl n ε cu propriette că /2 n < ε, oricre r fi numărul nturl n n ε. Atunci u n+ + u n u n+p < 2 n < ε, oricre r fi numerele nturle n, p cu n n ε. Prin urmre seri (..5) este convergentă.

9 Teorem..8 convergent către zero.. NOŢIUNI GENERALE 5 Dcă seri u n este convergentă, tunci şirul (u n ) este Demonstrţie. Fie ε > ; tunci, în bz criteriului generl de convergenţă l lui Cuchy (teorem..5), există un număr nturl n ε cu propriette că u n+ + u n u n+p < ε, oricre r fi n, p N cu n n ε. Dcă ici luăm p =, obţinem că u n+ < ε, oricre r fi n N, n n ε, de unde deducem că u n < ε, oricre r fi n N, n n ε + ; prin urmre şirul (u n ) converge către. Observţi..9 Reciproc teoremei..8, în generl, nu este devărtă în sensul că există serii u n cu şirul (u n ) convergent către şi totuşi seri nu este convergentă. De exemplu seri rmonică (..3) este divergentă deşi şirul (/n) este convergent către. Teorem.. Fie m un număr nturl. Atunci seri u n este convergentă dcă şi numi dcă seri n=m u n este convergentă. Demonstrţie. Fie s n = u + +u n, oricre r fi n N şi t n = u m + +u n, oricre r fi n N n m. Atunci seri u n este convergentă dcă şi numi dcă şirul (s n ) n N este convergent, prin urmre dcă şi numi dcă şirul (t n ) n m este convergent, şdr dcă şi numi dcă seri convergentă. Teorem.. Dcă u n şi n=m u n este v n sunt serii convergente şi şi b sunt numere rele, tunci seri (u n + bv n ) este convergentă şi re sum u n + b v n. Demonstrţie. Evident, pentru fiecre număr nturl n vem ( n n ) ( n ) (u k + bv k ) = u k + b v k, k= k= de unde, în bz proprietăţilor şirurilor convergente, obţinem firmţi teoremei. k=

10 6. SERII DE NUMERE REALE Exemplul..2 Întrucât seriile 2 n şi 3 n sunt convergente şi u sum 2 respectiv 3/2, deducem că seri ( 2 n ) ( 3 n = 2 2 n ) 3 3 n este convergentă şi re sum (/2) 2 (/3) (3/2) = /2. Definiţi..3 Fie u n o serie convergentă cu sum s, n un număr nturl şi s n = u + +u n sum prţilă de rng n seriei rel r n = s s n se numeşte restul de ordinul n l seriei Teorem..4 u n. Numărul u n. Dcă seri u n este convergentă, tunci şirul (r n ) l resturilor ei este convergent către. Demonstrţie. Fie s = u n. Deorece şirul (s n ) l sumelor prţile le seriei u n este convergent către s = lim s n şi r n = s s n, oricre r fi n n N, vem că şirul (r n ) este convergent către. 2. Serii cu termeni pozitivi Dcă u n este o serie de numere rele convergentă, tunci şirul (s n ) l sumelor prţile este mărginit. Reciproc cestei firmţii, în generl nu este devărtă în sensul că există serii divergente cre u şirul sumelor prţile mărginit. Într-devăr, seri ( ) n re şirul sumelor prţile cu termenul generl s n, (n N) egl cu {, dcă n este pr s n =, dcă n este impr. Evident şirul (s n ) este mărginit ( s n, oricre r fi n N) deşi seri ( ) n este divergentă (şirul (s n ) nu este convergent). Dcă seri u n re termenii numere rele pozitive, tunci şirul (s n ) l sumelor prţile este crescător; în cest cz fptul că şirul (s n ) este mărginit este echivlent cu fptul că şirul (s n ) este convergent.

11 2. SERII CU TERMENI POZITIVI 7 Scopul cestui prgrf este de d criterii de convergenţă pentru ş numitele serii cu termeni pozitivi. Definiţi.2. Se numeşte serie cu termeni pozitivi orice serie cre re propriette că u n > oricre r fi n N. Pentru seriile cu termeni pozitivi re loc următore firmţie. Teorem.2.2 Dcă u n o serie cu termeni pozitivi, tunci Seri u n re sumă şi { n } u n = sup u k : n N. k= u n 2 Seri ( n ) u n este convergentă dcă şi numi dcă şirul u k l k= sumelor prţile este mărginit. Demonstrţie. Pentru fiecre n N punem n s n := u k. Şirul (s n ) este crescător şi tunci, în bz teoremei lui Weierstrss reltivă l şirurile monotone, firmţi este dovedită. 2 Dcă seri u n este convergentă, tunci şirul sumelor prţile (s n ) k= este convergent şi deci mărginit. Dcă şirul (s n ) este mărginit, tunci, întrucât el este monoton, deducem că şirul (s n ) este convergent şi prin urmre seri u n este convergentă. Teorem.2.3 (primul criteriu l comprţiei) Dcă u n şi v n sunt serii cu termeni pozitivi cu propriette că există un număr rel > şi un număr nturl n stfel încât (.2.) u n v n oricre r fi n N, n n, tunci: Dcă seri v n este convergentă, tunci seri u n este convergentă. 2 Dcă seri u n este divergentă, tunci seri v n este divergentă.

12 8. SERII DE NUMERE REALE Demonstrţie. Pentru fiecre n N, fie s n = u +...+u n şi t n = v +...+v n ; tunci din (.2.) vem că (.2.2) s n s n + (v n v n ), oricre r fi n N, n n. Dcă seri v n este convergentă, tunci şirul (t n ) este mărginit, prin urmre există un număr rel M > cu propriette că t n M, oricre r fi n N. Acum din (.2.2) deducem că pentru fiecre n N, n n u loc ineglităţile s n s n + (t n t n ) s n + t n t n s n + t n s n + M, de unde rezultă că şirul (s n ) este mărginit. Atunci, în bz teoremei.2.2, seri u n este convergentă. 2 Presupunem că seri u n este divergentă. Dcă seri v n r fi convergentă, tunci în bz firmţiei, seri u n r fi convergentă, cee ce contrzice ipotez că seri u n este divergentă. Aşdr seri v n este divergentă. Exemplul.2.4 Seri n /2 este divergentă. Într-devăr, din ineglitte n n devărtă oricre r fi n N, obţinem că n n /2, oricre r fi n N. Cum seri rmonică n este divergentă, în bz teoremei.2.2, firmţi 2, deducem că seri n /2 este divergentă. Teorem.2.5 (l doile criteriu l comprţiei) Dcă sunt serii cu termeni pozitivi cu propriette că există u n şi v n (.2.3) lim n tunci Dcă tunci seriile tunci: 2 Dcă u n şi lim n u n v n [, + ], u n v n ], + [, v n u ceeşi ntură. lim n u n v n =,

13 u n este convergentă. ) Dcă seri b) Dcă seri 3 Dcă tunci: ) Dcă seri v n este convergentă. b) Dcă seri 2. SERII CU TERMENI POZITIVI 9 v n este convergentă, tunci seri u n este divergentă, tunci seri lim n u n v n = +, u n este convergentă, tunci seri v n este divergentă, tunci seri v n este divergentă. u n este divergentă. Demonstrţie. Fie := lim (u n/v n ) ], + [; tunci există un număr n nturl n cu propriette că u n v n < 2, oricre r fi n N, n n, de unde deducem că (.2.4) v n (2/) u n, oricre r fi n N, n n şi (.2.5) u n (3/2) v n, oricre r fi n N, n n. Dcă seri u n este convergentă, tunci în bz primului criteriu l comprţiei (teorem.2.3), plicbil pentru că re loc (.2.4), obţinem că seri v n este convergentă. Dcă seri v n este convergentă, tunci ţinând sem de (.2.5), în bz primului criteriu l comprţiei (teorem.2.3) rezultă că seri u n este convergentă. 2 Dcă lim n (u n/v n ) =, tunci există un număr nturl n stfel încât u n /v n <, oricre r fi n N, n n, de unde deducem că u n v n, oricre r fi n N, n n. Aplicăm cum primul criteriu l comprţiei. 3 Dcă lim n (u n/v n ) = +, tunci există un număr nturl n stfel încât u n /v n >, oricre r fi n N, n n, de unde deducem că v n u n, oricre r fi n N, n n. Aplicăm cum primul criteriu l comprţiei.

14 . SERII DE NUMERE REALE Exemplul.2.6 deducem că seriile Seri lim n n 2 n 2 este convergentă. n 2 = ], + [, n (n + ) şi Într-devăr, din n(n+) u ceeşi ntură. Cum seri n(n+) este convergentă (vezi exemplul..3), obţinem că seri convergentă. Teorem.2.7 (l treile criteriu l comprţiei) Dcă u n şi n 2 este v n sunt serii cu termeni pozitivi cu propriette că există un număr nturl n stfel încât: u n+ (.2.6) v n+, oricre r fi n N, n n, u n v n tunci: Dcă seri u n este convergentă. 2 Dcă seri v n este convergentă, tunci seri u n este divergentă, tunci seri v n este divergentă. Demonstrţie. Fie n N, n n + ; tunci din (.2.6) vem succesiv: u n + v n + u n v n u n v n, u n v n de unde, prin înmulţire membru cu membru, obţinem Aşdr u n u n v n v n. u n u n v n v n, oricre r fi n N, n n. Aplicăm cum primului criteriu l comprţiei (teorem.2.3). Teorem este demonstrtă. Teorem.2.8 (criteriul condensării l lui Cuchy) Fie u n o serie cu termeni pozitivi cu propriette că şirul (u n ) l termenilor seriei este descrescător. Atunci seriile u n şi 2 n u 2 n u ceeşi ntură.

15 2. SERII CU TERMENI POZITIVI Demonstrţie. Fie s n := u + u u n sum prţilă de rng n N seriei u n şi fie S n := 2u u n u 2 n sum prţilă de rng n N seriei 2 n u 2 n. Presupunem că seri 2 n u 2 n este convergentă; tunci şirul (S n ) l sumelor prţile este mărginit, prin urmre există un număr rel M > stfel încât S n M, oricre r fi n N. Pentru răt că seri u n este convergentă, în bz teoremei.2.2, este suficient să rătăm că şirul (s n ) l sumelor prţile este mărginit. Deorece seri u n este cu termeni pozitivi, din n 2 n+, (n N) deducem că s n s 2 n+ = u + (u 2 + u 3 ) + (u u 7 ) + + (u 2 n + u 2 n u 2 n+ ). Întrucât şirul (u n ) este descrescător, urmeză că u 2 k > u 2 k + > > u 2 k+, oricre r fi k N şi deci s n se pote delimit mi deprte stfel s n s 2 n+ u + 2 u u n u 2 n = = u + S n u + M. Aşdr şirul (s n ) este mărginit şi deci seri u n este convergentă. Presupunem cum că seri u n este convergentă; tunci şirul (s n ) l sumelor prţile le seriei u n este mărginit, prin urmre există un număr rel M > stfel încât s n M, oricre r fi n N. Pentru răt că seri 2 n u 2 n este convergentă, este suficient să rătăm că şirul (S n ) este mărginit. Fie deci n N. Atunci s 2 n = u + u 2 + (u 3 + u 4 ) + (u 5 + u 6 + u 7 + u 8 ) + + prin urmre vem ineglităţile + (u 2 n u 2 n) u + u 2 + 2u u n u 2 n u + 2 S n 2 S n, S n 2s 2 n 2M. Aşdr şirul (S n ) este mărginit şi deci seri 2 n u 2 n este convergentă.

16 2. SERII DE NUMERE REALE Exemplul.2.9 Seri, unde R, n numită seri rmonică generliztă, este divergentă pentru şi convergentă pentru >. Soluţie. Într-devăr, dcă, tunci şirul termenilor seriei (n ) nu converge către zero şi deci seri este divergentă. Dcă >, tunci n şirul termenilor seriei (n ) este descrescător convergent către zero şi deci putem plic criteriul condensării; seriile şi 2 n u ceeşi ntură. Întrucât 2n (2 n ) = ( ) n 2, oricre r fi n N, deducem că seri 2 n (2 n ) este de fpt seri geometrică ( ) n 2, divergentă pentru şi convergentă pentru >. Urmeză că seri n este divergentă pentru şi convergentă pentru >. Teorem.2. (criteriul rportului, criteriul lui D Alembert) Fie n (2 n ) u n o serie cu termeni pozitivi. Dcă există un număr rel q [, [ şi un număr nturl n stfel încât: u n+ q oricre r fi n N, n n, u n tunci seri u n este convergentă. 2 Dcă există un număr nturl n stfel încât: u n+ u n oricre r fi n N, n n, tunci seri u n este divergentă. Demonstrţie. Aplicăm l treile criteriu l comprţiei (teorem.2.7, firmţi ), luând v n := q n, oricre r fi n N. Avem u n+ q = v n+, oricre r fi n N, n n, u n v n ir seri v n este convergentă, prin urmre seri u n este convergentă. 2 Din u n+ /u n deducem că u n+ u n, oricre r fi n N, n n, prin urmre şirul (u n ) nu converge către ; tunci, în bz teoremei..8, seri u n este divergentă.

17 Teorem SERII CU TERMENI POZITIVI 3 (consecinţ criteriului rportului) Fie termeni pozitivi pentru cre există lim n Dcă tunci seri 2 Dcă tunci seri lim n u n este convergentă. lim n u n este divergentă. Demonstrţie. Fie := lim n u n+ u n. u n+ u n <, u n+ u n >, u n+ u n. Evident. u n o serie cu Întrucât [, [ deducem că există un număr rel q ], [. Atunci, din ], q[ rezultă că există un număr nturl n stfel încât u n+ u n ], q[, oricre r fi n N, n n. Urmeză că u n+ u n q, oricre r fi n N, n n. Aplicând cum criteriul rportului, obţinem că seri u n este convergentă. 2 Dcă <, tunci există un număr nturl n stfel încât u n+ u n, oricre r fi n N, n n. Aplicând cum criteriul rportului, obţinem că seri u n este divergentă. Exemplul.2.2 (.2.7) este convergentă. Seri (n!) 3 (3n)! Soluţie. Avem că lim n u n+ u n = 27 <, şi tunci, în bz consecinţei criteriului rportului, seri (.2.7) este convergentă. Observţi.2.3 u n există li- u mit lim n+ n u n Dcă pentru seri cu termeni pozitivi şi este eglă cu, tunci consecinţ criteriului rportului nu

18 4. SERII DE NUMERE REALE u n+ u n decide dcă seri u n este convergentă su divergentă; există serii convergente, dr şi serii divergente pentru cre lim =. Într-devăr, pentru n seriile n şi n 2 vem, în mbele czuri, lim =, prim serie n u n+ u n fiind divergentă (vezi exemplul..3) şi dou serie fiind convergentă (vezi exemplul.2.6). Teorem.2.4 (criteriul rdiclului, criteriul lui Cuchy) Fie u n o serie cu termeni pozitivi. Dcă există un număr rel q [, [ şi un număr nturl n stfel încât (.2.8) n u n q, oricre r fi n N, n n, tunci seri u n este convergentă. 2 Dcă există un număr nturl n stfel încât (.2.9) n u n, oricre r fi n N, n n, tunci seri u n este divergentă. Demonstrţie. Presupunem că există q [, [ şi n N stfel încât (.2.8) să ibă loc. Atunci u n q n, oricre r fi n N, n n. Aplicăm cum primul criteriu l comprţiei (teorem.2.3, firmţi ), luând v n := q n,oricre r fi n N şi := q. Întrucât seri q n este convergentă, obţinem că seri u n este convergentă. 2 Din (.2.9) deducem că u n, oricre r fi n N, n n, prin urmre şirul (u n ) nu converge către ; tunci, în bz teoremei..8, seri u n este divergentă. Teorem.2.5 (consecinţ criteriului rdiclului) Fie u n o serie cu termeni pozitivi pentru cre există lim n un. n Dcă lim n tunci seri u n este convergentă. n un <,

19 2 Dcă 2. SERII CU TERMENI POZITIVI 5 lim n tunci seri u n este divergentă. n un >, Demonstrţie. Fie := lim n un. Evident. n Întrucât [, [ deducem că există un număr rel q ], [. Atunci, din ], q[ rezultă că există un număr nturl n stfel încât n un ], q[, oricre r fi n N, n n. Urmeză că n un q, oricre r fi n N, n n. Aplicând cum criteriul rdiclului, obţinem că seri u n este convergentă. 2 Dcă <, tunci există un număr nturl n stfel încât n un, oricre r fi n N, n n. Aplicând cum criteriul rdiclului, obţinem că seri u n este divergentă. Exemplul.2.6 Seri ( 3 (.2.) n 3 + 3n ) n n 3 n 2 +. este convergentă. Soluţie. Avem lim n n un = lim n ( 3 n 3 + 3n n 3 n 2 + ) = 4 3 >. şi deci, în bz consecinţei criteriului rdiclului, seri (.2.) este divergentă. Observţi.2.7 Dcă pentru seri cu termeni pozitivi u n există limit lim n un şi este eglă cu, tunci consecinţ criteriului rdiclului nu n decide dcă seri u n este convergentă su divergentă; există serii conver- gente, dr şi serii divergente pentru cre lim n un =. Într-devăr, pentru n seriile n şi n 2 vem, în mbele czuri, lim n un =, prim serie n fiind divergentă (vezi exemplul..3) şi dou serie fiind convergentă (vezi exemplul.2.6).

20 6. SERII DE NUMERE REALE Teorem.2.8 (criteriul lui Kummer) Fie u n o serie cu termeni pozitivi. Dcă există un şir ( n ) n N, de numere rele pozitive, există un număr rel r > şi există un număr nturl n cu propriette că (.2.) n u n u n+ n+ r, oricre r fi n N, n n, tunci seri u n este convergentă. 2 Dcă există un şir ( n ), de numere rele pozitive cu propriette că seri este divergentă şi există un număr nturl n stfel încât n (.2.2) n u n u n+ n+, oricre r fi n N, n n, tunci seri u n este divergentă. Demonstrţie. Pentru fiecre număr nturl n, notăm cu s n := u + u u n sum prţilă de rng n seriei u n. Presupunem că există un şir ( n ), de numere rele pozitive, există un număr rel r > şi există un număr nturl n stfel încât (.2.) re loc. Să observăm că relţi (.2.) este echivlentă cu (.2.3) n u n n+ u n+ ru n+, oricre r fi n N, n n. Fie n N, n n + ; tunci din (.2.3) vem succesiv: n u n n +u n + ru n +, n u n n u n ru n, de unde, prin dunre membru cu membru, obţinem n u n n u n r(u n u n ). De ici deducem că, pentru fiecre număr nturl n n vem n n n s n = u k = u k + u k s n + ( n u r ) n nu n k= k= k=n + s n + r n u n, prin urmre şirul (s n ) l sumelor prţile le seriei bz teoremei.2.2, seri u n este convergentă. u n este mărginit. În

21 2. SERII CU TERMENI POZITIVI 7 2 Presupunem că există un şir ( n ), de numere rele pozitive, cu propriette că seri este divergentă şi există un număr nturl n stfel n încât (.2.2) re loc. Evident (.2.2) este echivlentă cu Deorece seri seri u n este divergentă. n+ n u n+ u n, oricre r fi n N, n n. Teorem este demonstrtă. Teorem.2.9 n este divergentă, conform criteriului l III-le l comprţiei (criteriul lui Rbe-Duhmel) Fie u n o serie cu termeni pozitivi. Dcă există un număr rel q > şi un număr nturl n stfel încât ( ) un (.2.4) n q oricre r fi n N, n n, u n+ tunci seri u n este convergentă. 2 Dcă există un număr nturl n stfel încât ( ) un (.2.5) n oricre r fi n N, n n, u n+ tunci seri u n este divergentă. Demonstrţie. În criteriul lui Kummer (teorem.2.8) să luăm n := n, oricre r fi n N; obţinem ( ) u n un n n+ = n. u n+ u n+ Dcă luăm r := q >, tunci, întrucât (.2.) este echivlentă cu (.2.4), deducem că seri u n este convergentă. 2 Cum seri n (.2.5), obţinem că seri u n este divergentă. este divergentă şi (.2.2) este echivlentă cu

22 8. SERII DE NUMERE REALE Teorem.2.2 (consecinţ criteriului lui Rbe-Duhmel) Fie u n o serie cu termeni pozitivi pentru cre există limit ( ) lim n un. n u n+ Dcă tunci seri u n este convergentă. 2 Dcă tunci seri u n este divergentă. Demonstrţie. Fie ( ) lim n un >, n u n+ ( ) lim n un <, n u n+ ( ) b := lim n un. n u n+ Din b > deducem că există un număr rel q ], b[. Atunci b ]q, b+[ implică existenţ unui număr nturl n stfel încât ( ) un n ]q, b + [, oricre r fi n N, n n, u n+ de unde obţinem că (.2.4) re loc. Aplicând cum criteriul lui Rbe- Duhmel, rezultă că seri u n este convergentă. 2 Dcă b <, tunci există un număr nturl n stfel încât (.2.5) să ibă loc. Aplicând cum criteriul lui Rbe-Duhmel, rezultă că seri u n este divergentă. Exemplul.2.2 Seri n!, unde >, ( + ) ( + n ) este convergentă dcă şi numi dcă > 2. Soluţie. Avem u n+ lim = n u n şi deci consecinţ criteriului rportului nu decide ntur seriei. Deorece lim n n ( un u n+ ) =,

23 3. PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE 9 în bz consecinţei criteriului lui Rbe-Duhmel, dcă > 2, tunci seri dtă este convergentă, ir dcă < 2 seri dtă este divergentă. Dcă = 2, tunci seri dtă devine n+ cre este divergentă. Aşdr seri dtă este convergentă dcă şi numi dcă > 2. Exemplul.3. ( ) ln + n d) Exemplul.3.2 ) Exemplul.3.3 ) d) n=2 3. Probleme propuse spre rezolvre Stbiliţi ntur şi sum seriilor: ) ; b) rctn ( ) n 2 n ; e) 2n 2 n ; f) Stbiliţi ntur seriilor 9 + n 2n + ; b) n 2 + n + ; c) 2 n + 3 n 2 n+ + 3 n+ ; c) Stbiliţi ntur seriilor: 2n ; b) n 3 n ; e) g) sin n ; (ln n) h) (2n ) 2 ; c) n. ; f) 4 n 2 n 4 ; n=2 ln ( n ) 2 ; (3n 2) (3n + ). 2n + 2n. 4n 2 ; n n ; i) Exemplul.3.4 Stbiliţi ntur seriilor: n (n!) 2 ) ; b) n! (2n)! ; c) n! n n ; d) f) (n!) 2 2 n2 ; g) Exemplul.3.5 ) e)... ( + n) ; h) 3... (2n ) 3 n 2 n 3. 2 n n! n n ; e) Pentru fiecre >, studiţi ntur seriei: n + n ; b) n ; c) ln n ; d) n! ( n 2 + n + n 2 ) n ; f) 3 n 2 n + n ; g) 3 n n! n n ; (4 + 3n) (2 + 4n). n n n ; n + n n.

24 2. SERII DE NUMERE REALE Exemplul.3.6 Pentru fiecre, b >, studiţi ntur seriei: n ) n + b n ; b) 2 n n + b n ; c) n b n n + b n ; d) (2 + ) (3 + ) (n + ) (2b + ) (3b + ) (nb + ). Exemplul.3.7 Stbiliţi ntur seriilor: (2n )!! ) (2n)!! 2n + ; b) (2n )!! ; c) (2n)!! ( n ) n. n! e Exemplul.3.8 Pentru fiecre >, studiţi ntur seriilor: n! ) ( + )... ( + n) ; b) ( n) n n! ; c) n n. Observţi.3.9 Pentru detlii puteţi consult [5]..

25 CAPITOLUL 2 Formul lui Tylor. Polinomul lui Tylor: definiţie, proprietăţi Formul lui Tylor, utiliztă în specil în proximre funcţiilor prin polinome, este un din cele mi importnte formule din mtemtică. Definiţi 2.. Fie D o submulţime nevidă mulţimii R, x D şi f : D R o funcţie derivbilă de n ori în punctul x. Funcţi (polinomilă) T n;x f : R R definită prin (T n;x f) (x) = f (x ) + f (x )! (x x ) + f (x ) 2! (x x ) f (n) (x ) (x x ) n, oricre r fi x R, n! se numeşte polinomul lui Tylor de ordin n tşt funcţiei f şi punctului x. Observţi 2..2 Polinomul lui Tylor de ordin n re grdul cel mult n. Exemplul 2..3 vem Pentru funcţi exponenţilă f : R R definită prin f (x) = exp x, oricre r fi x R, f (k) (x) = exp x, oricre r fi x R şi k N. Polinomul lui Tylor de ordin n tşt funcţiei exponenţile, exp : R R, şi punctului x = este oricre r fi x R. Exemplul 2..4 vem (T n; exp) (x) = +! x + 2! x2 + + n! xn, Pentru funcţi f : R\{ } R definită prin f (x) =, oricre r fi x R\{ }, + x f (k) (x) = ( ) k k!, oricre r fi x R\{ } şi k N. k+ ( + x) 2

26 22 2. FORMULA LUI TAYLOR Polinomul lui Tylor de ordin n tşt funcţiei f şi punctului x = este (T n; f) (x) = x + x 2 + ( ) n x n, oricre r fi x R. Evident T n;x f este o funcţie indefinit derivbilă pe R şi, pentru orice x R, vem (T n;x f) (x) = (T n;x f) (x) = = f () (x ) + f (2) (x )! = ( T n ;x f ) (x), = f (2) (x ) + f (3) (x )! = ( T n 2;x f ) (x), (x x ) + + f (n) (x ) (n )! (x x ) n = (x x ) + + f (n) (x ) (n 2)! (x x ) n 2 = (T n;x f) (n ) (x) = = f (n ) (x ) + f (n) (x ) (x x ) = (! = T ;x f (n )) (x), De ici deducem că (T n;x f) (n) (x) = = f (n) (x ) = ( = T ;x f (n)) (x), (T n;x f) (k) (x) =, oricre r fi k N, k n +. (T n;x f) (k) (x ) = f (k) (x ), oricre r fi k {,,, n} şi (T n;x f) (k) (x ) =, oricre r fi k N, k n +. Prin urmre, polinomul lui Tylor de ordin n tşt funcţiei f şi punctului x cât şi derivtele lui până l ordinul n coincid în x cu funcţi f şi respectiv cu derivtele ei până l ordinul n.

27 2. FORMULA LUI TAYLOR Formul lui Tylor Definiţi 2.2. Fie D o submulţime nevidă mulţimii R, x D şi f : D R o funcţie derivbilă de n ori în punctul x. Funcţi R n;x f : D R definită prin (R n;x f) (x) = f (x) (T n;x f) (x), oricre r fi x D se numeşte restul Tylor de ordinul n tşt funcţiei f şi punctului x. Orice eglitte de form f = T n;x f + R n;x f, unde pentru R n;x f este dtă o formulă de clcul, se numeşte formulă Tylor de ordinul n corespunzătore funcţiei f şi punctului x. În cest cz R n;x f se numeşte restul de ordinul n l formulei lui Tylor. Deorece f şi T n;x f sunt derivbile de n ori în x, rezultă că şi restul R n;x f = f T n;x f este o funcţie derivbilă de n ori în x şi (R n;x f) (k) (x ) =, oricre r fi k {,,, n}. Pe de ltă prte, funcţi R n;x f : D R fiind derivbilă în x este continuă în x şi deci există lim (R n;x f) (x) = (R n;x f) (x ) =. x x Acest însemnă că pentru fiecre număr rel ε > există un număr rel δ > stfel încât oricre r fi x D pentru cre x x < δ vem f (x) (T n;x f) (x) < ε. Prin urmre, pentru vlorile lui x D, suficient de propite de x, vlore f (x) pote fi proximtă prin (T n;x f) (x). În cele ce urmeză, vom preciz cest rezultt. Teorem Fie I un intervl din R, x I şi f : I R o funcţie derivbilă de n ori în punctul x. Atunci lim x x (R n;x f) (x) (x x ) n =. Demonstrţie. Aplicând de n ori regul lui l Hôpitl şi ţinând sem că f (n ) (x) f (n ) (x ) lim = f (n) (x ), x x x x obţinem lim x x (R n;x f) (x) (x x ) n = lim x x = lim x x f (x) (T n;x f) (x) (x x ) n = f (x) (T n;x f) (x) n (x x ) n =

28 24 2. FORMULA LUI TAYLOR = lim x x f (n ) (x) (T n;x f) (n ) (x) n! (x x ) f (n ) (x) f (n ) (x ) f (n) (x ) (x x ) = lim = x x n! (x x ) [ ] = n! lim f (n ) (x) f (n ) (x ) f (n) (x ) =. x x x x Dcă notăm cu α n;x f : I R funcţi definită prin (R n;x f) (x) (α n;x f) (x) = (x x ) n, dcă x I\{x }, dcă x = x, tunci, din teorem rezultă că funcţi α n;x f este continuă în punctul x. Aşdr re loc următore firmţie cunoscută sub numele de teorem lui Tylor şi Young. Teorem (teorem lui Tylor-Young) Fie I un intervl din R, x I şi f : I R o funcţie. Dcă funcţi f este derivbilă de n ori în punctul x, tunci există o funcţie α n;x f : I R cre stisfce următorele proprietăţi: (α n;x f) (x ) =. 2 Funcţi α n;x f este continuă în punctul x. 3 Pentru fiecre x I re loc eglitte: f (x) = (T n;x f) (x) + (x x ) n (α n;x f) (x). Exemplul Pentru funcţi exponenţilă, exp : R R, formul lui Tylor-Young, pentru x =, re form: exp x = +! x + 2! x2 + + n! xn + x n (α n; f) (x), oricre r fi x R, unde Exemplul lim (α n;f) (x) = (α n; f) () =. x Pentru funcţi f : R\{ } R definită prin f (x) =, oricre r fi x R\{ }, + x formul lui Tylor-Young, pentru x =, re form: + x = x + x ( ) n x n + x n (α n; f) (x), oricre r fi x R\{ }, unde lim (α n;f) (x) = (α n; f) () =. x =

29 3. FORME ALE RESTULUI FORMULEI LUI TAYLOR 25 În bz teoremei 2.2.2, dcă I este un intervl din R, x I şi f : I R este o funcţie derivbilă de n ori în x, tunci, pentru fiecre x I, vem (2.2.) f (x) = (T n;x f) (x) + o ((x x ) n ) pentru x x. Aşdr următore teoremă re loc. Teorem Fie I un intervl din R, x I şi f : I R o funcţie. Dcă funcţi f este derivbilă de n ori în punctul x, tunci pentru orice x I, eglitte (2.2.) re loc. Relţi (2.2.) se numeşte formul lui Tylor cu restul sub form lui Peno. 3. Forme le restului formulei lui Tylor Vom răt, în continure, că restul R n;x f l formulei lui Tylor se pote scrie sub form (R n;x f) (x) = (x x ) p K, unde p N şi K R. Fie I un intervl din R, f : I R o funcţie derivbilă de (n + ) ori pe I, p un număr nturl şi x şi x două puncte distincte din I. Fie K R stfel încât să vem f (x) = f (x ) + f () (x )! (x x ) + f (2) (x ) 2!... + f (n) (x ) (x x ) n + (x x ) p K. n! Funcţi ϕ : I R, definită, pentru orice t I, prin ϕ (t) = f (t) + f () (t)! (x x ) (x t) + f (2) (t) (x t) f (n) (t) (x t) n + 2! n! + (x t) p K, este derivbilă pe I, deorece tote funcţiile din membrul drept sunt derivbile pe I. Întrucât ϕ (x ) = ϕ (x) = f (x), deducem că funcţi ϕ stisfce ipotezele teoremei lui Rolle pe intervlul închis cu extremităţile x şi x; tunci există cel puţin un punct c cuprins strict între x şi x stfel încât ϕ (c) =. Deorece ϕ (x t)n (t) = f (n+) (t) p (x t) p K, oricre r fi t I,. n! eglitte ϕ (c) = devine de unde rezultă (x c) n f (n+) (c) p (x c) p K =, n! K = (x c)n p+ f (n+) (c). n!p

30 26 2. FORMULA LUI TAYLOR Prin urmre, restul R n;x f re form (R n;x f) (x) = (x x ) p (x x ) n p+ f (n+) (c). n!p Aşdr m demonstrt următore firmţie, tribuită mtemticinului englez Brook Tylor (8 ugust decembrie 73), şi cunoscută sub numele de teorem lui Tylor. Teorem 2.3. (teorem lui Tylor) Fie I un intervl din R, f : I R o funcţie derivbilă de n + ori pe I, x I şi p N. Atunci pentru fiecre x I\{x }, există cel puţin un punct c cuprins strict între x şi x stfel încât f (x) = (T n;x f) (x) + (R n;x f) (x), unde (2.3.) (R n;x f) (x) = (x x ) p (x c) n p+ f (n+) (c). n!p Form generlă restului, dtă în formul (2.3.), fost obţinută, în mod independent, de Schlömilch şi Roche, de cee restul scris sub form (2.3.) se numeşte restul lui Schlömilch-Roche. Două czuri prticulre fuseseră obţinute nterior de Lgrnge şi Cuchy. Cuchy obţine pentru rest formul: (2.3.2) (R n;x f) (x) = (x x ) (x c) n f (n+) (c), n! cre, evident, este restul lui Schlömilch-Roche pentru p =. Lgrnge obţine pentru rest formul: (2.3.3) (R n;x f) (x) = (x x ) n+ f (n+) (c). (n + )! cre, evident, este restul lui Schlömilch-Roche pentru p = n +. Dcă f este o funcţie polinomilă de grdul n, tunci, pentru orice x R, (R n;x f) (x) =, oricre r fi x R. Acest fost czul studit de Tylor. Trdiţi conscrt numele de formul lui Tylor pentru tote czurile studite, fră de unul singur: I şi x =. Acest cz fusese, studit nterior lui Tylor de Mclurin. Trdiţi conscrt următore definiţie. Definiţi Formul lui Tylor de ordin n corespunzătore funcţiei f şi punctului x =, cu restul lui Lgrnge, se numeşte formul lui Mclurin.( ).

31 Exemplul Mclurin este unde Avem 3. FORME ALE RESTULUI FORMULEI LUI TAYLOR 27 Pentru funcţi exponenţilă exp : R R formul lui exp x = +! x + 2! x2 + + n! xn + (R n; f) (x), (R n; exp) (x) = xn+ exp (c), cu c < x. (n + )! (R n; exp) (x) = Cum pentru fiecre x R, deducem că seri + x n x n+ x n+ exp (c) < exp x, x R. (n + )! (n + )! lim n x n+ exp x =, (n + )! n! = +! x + 2! x2 + + n! xn +, este convergentă pentru orice x R, şi sum ei este exp x, dică exp x = +! x + 2! x2 + + n! xn +, oricre r fi x R. Similr obţinem că pentru orice >,, x = + ln! x + ln2 x lnn x n +, x R. 2! n! Deorece în teorem 2.3., c este cuprins strict între x şi x, deducem că numărul θ = c x ], [ x x şi c = x + θ (x x ). Atunci restul R n;x f se pote exprim şi stfel: (2.3.4) (2.3.5) (R n;x f) (x) = (x x ) n+ ( θ) n p+ f (n+) (x + θ (x x )), n!p (Schlömilch Roche) (R n;x f) (x) = (x x ) n+ ( θ) n f (n+) (x + θ (x x )) n! (Cuchy) (2.3.6) (R n;x f) (x) = (x x ) n+ f (n+) (x + θ (x x )) (n + )! (Lgrnge). Aşdr m obţinut următore teoremă.

32 28 2. FORMULA LUI TAYLOR Teorem Fie I un intervl din R, f : I R o funcţie derivbilă de n + ori pe I, x I şi p N. Atunci pentru fiecre x I\{x }, există cel puţin un număr θ ], [ stfel încât să vem f (x) = (T n;x f) (x) + (R n;x f) (x), unde (R n;x f) (x) este dt de (2.3.4). Dcă p =, obţinem (2.3.5), ir dcă p = n+ tunci (R n;x f) (x) este dt de (2.3.6). Exemplul formul lui Mclurin este unde Pentru funcţi f : R R definită prin f (x) = exp x, oricre r fi x R, exp x = +! x + 2! x2 + + n! xn + (R n; f) (x), R n; f (x) = xn+ exp (θx), θ ], [, x R. (n + )! Exemplul Pentru funcţi f : R\{ } R definită prin f (x) =, oricre r fi x R\{ }, + x formul lui Mclurin re form: + x = x + x2 + ( ) n x n unde + (R n; f) (x), R n; f (x) = ( ) n+ x n+ n+2, θ ], [, x R\{ }. ( + θx) 4. Aplicţii le formulei lui Tylor Folosind formul lui Tylor, putem stbili ineglităţi cre ltfel se deduc destul de greu. Teorem 2.4. Următorele firmţii sunt devărte: Pentru fiecre număr nturl n, vem + x! + x2 2! + + xn < exp x, n! oricre r fi x ], + [. 2 Oricre r fi numerele nturle n şi m, vem + x! + + x2n (2n )! < exp x < + x! + + x2m (2m)!, oricre r fi x ], [.

33 4. APLICAŢII ALE FORMULEI LUI TAYLOR 29 Demonstrţie. În bz formulei lui Mclurin, pentru fiecre x R, vem exp x = (T n; exp) (x) + Întrucât, pentru fiecre x ], + [, deducem că xn+ exp (θx), unde θ ], [. (n + )! x n+ exp (θx) >, (n + )! exp x > (T n; exp) (x), oricre r fi x ], + [. Celellte firmţii se demonstreză similr. Teorem Fie n şi p două numere nturle, I R un intervl, x un punct interior intervlului I şi f : I R o funcţie cre stisfce următorele condiţii: (i) funcţi f este de n + p ori derivbilă pe intervlul I, (ii) funcţi f (n+p) : I R este continuă în punctul x. Atunci există limit şi lim x x lim x x ( ) f(x) (Tn ;x f) (x) (p) (x x ) n ( ) f(x) (Tn ;x f) (x) (p) (x x ) n = p! (p + n)! f (p+n) (x ). Demonstrţie. În bz formulei lui Leibniz, pentru fiecre x I, vem ( ) f(x) (Tn ;x f) (x) (p) (x x ) n = [ ] (p) = (f(x) (T n ;x f) (x)) (x x ) n = ( ) p ( = p ) k (f Tn ;x f) (p k) (k) (x) k= (x x ) n = p ( = p k) (f Tn ;x f) (p k) (x) ( )k (n + k )! k= (n )!(x x ) n+k = ( ) p = ( ) k (n + k )! p (f T (x x ) n+p n ;x f) (p k) (x) (x x ) p k. (n )! k k=

34 3 2. FORMULA LUI TAYLOR unde Trecând l limită şi plicând de n ori regul lui l Hôpitl obţinem: ( ) f(x) (Tn ;x f) (x) (p) lim x x (x x ) n = = lim x x p! p k = p (n+p)!(x ) p k= k j= ( ) j (n + k j )! (n )! ( ) k p k f (p+n k) (x) (x x ) p k, ( (p k + j)! p (p k)! k j )( ) n, j oricre r fi k {,..., p}. Deorece, pentru fiecre k {,..., p}, vem p k = p!n (p k)! k j= ( ) j (n + k j )! j! (n j)! (k j)! =, deducem că lim x x ( ) f(x) (Tn ;x f) (x) (p) (x x ) n = p! = lim x x (n + p)! (x x ) p f (p+2) (x) (x x ) p = p! = (p + n)! f (p+2) (x ). Observţi Teorem rămâne devărtă şi dcă punctul x este extremitte intervlului I. Formul lui Mclurin, ne jută, de multe ori să clculăm limite cre ltfel se clculeză greu. Exemplul Soluţie. Avem Să se clculeze L := lim x ( + x ) 3 ( 2 + x ) 2 3 (sin 2 x) x. 3 ( + x) = + x + o (x), pentru x.! şi tunci ( ) 3 + x 2 3 ( ) = +! x 2 + o x 2, pentru x,

35 şi Întrucât 5. PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE 3 ( ) 2 + x 3 2 ( ) = +! x 3 + o x 3, pentru x. urmeză că ( + x ) 3 ( 2 + x 3 şi tunci deorece (sin x) 2 x 3 ( ) ( ) ( ) o x 2 o x 3 = o x 2, pentru x L := lim x ) 2 + = ( 3! x 2 + o x ) ( 2 2! x 3 o x ) 3 (sin 2 x) x 3 ) 3x 2 2x 3 + o ( x 2 = (sin 2 x) x = 3 ( 3 2x o x ) 2 /x 2 = ) 2. x 3 2 ( sin x x ( 3 2x o x ) 2 /x 2 ( sin x x lim x ) 2 x 3 2 = 3, ( o x ) 2 x 2 =. = 5. Probleme propuse spre rezolvre Exemplul 2.5. Scrieţi polinomul lui Tylor de ordinul n = 2m tşt funcţiei sinus, sin : R R, şi punctului x =. Exemplul Scrieţi polinomul lui Tylor de ordinul n = 2m tşt funcţiei cosinus, cos : R R şi punctului x =. Exemplul Scrieţi formul lui Mclurin de ordinul n pentru funcţi sinus, sin : R R. Exemplul Scrieţi formul lui Mclurin de ordinul n pentru funcţi cosinus, cos : R R. Exemplul Scrieţi formul lui Mclurin de ordinul n pentru funcţi f :], + [ R definită prin f (x) = ln ( + x), oricre r fi x ], + [.

36 32 2. FORMULA LUI TAYLOR Exemplul Scrieţi formul lui Mclurin de ordinul n pentru funcţi f :], + [ R definită prin unde r R. f (x) = ( + x) r, oricre r fi x ], + [, Exemplul Fie f :], + [ R funcţi definită prin f(x) = /x, oricre r fi x ], + [. Să se scrie formul lui Tylor de ordinul n corespunzătore funcţiei f şi punctului x =. Exemplul Să se scrie formul lui Mclurin de ordinul n corespunzătore funcţiei: ) f : ], + [ R definită prin f(x) = x ln( + x), oricre r fi x ], + [; b) f :], [ R definită prin f(x) = x ln( x), oricre r fi x ], [; c) f :], [ R definită prin f(x) = 3x + 4, oricre r fi x ], [; d) f :] /2, + [ R definită prin f(x) = / 2x +, oricre r fi x ] /2, + [. Exemplul Să se scrie formul lui Tylor de ordinul n corespunzătore funcţiei f şi punctului x, dcă: ) f : ], + [ R este definită prin f(x) = /x, oricre r fi x ], + [ şi x = 2; b) f : R R este definită prin f(x) = cos(x ), oricre r fi x R şi x =. Exemplul 2.5. Să se determine funcţi polinomilă f : R R de grdul 4 pentru cre vem: f() = 2, f () =, f () = 6, f () = 6, f iv () = 72. Exemplul 2.5. sin (x sin x) ) lim x + x 3 ; Exemplul tn 4x 4 tn 3x ) lim x 3 sin 4x 4 sin 3x ( 2 c) lim x sin 2 + ln (cos x) Să se clculeze următorele limite: b) lim x sin 3x + 4 sin 3 x 3 ln ( + x) ( e x ; ) sin x Să se clculeze următorele limite: ; b) lim x x + ( + ) x + x b+ x b ; x + ) ; d) lim x 2 (2 x + 3 x 2) tn π 4x. Observţi Pentru mi multe detlii puteţi consult [5] şi [2].

37 CAPITOLUL 3 Integrl Riemnn Noţiune de integrlă părut din nevoi prctică de determin ri unor figuri plne, precum şi din considerente de fizică. Clculul integrl, ş cum îl concepem zi, fost dezvoltt în secolul l XVII-le de către Newton şi Leibniz. Newton numeşte fluxiune - derivt şi fluentă - primitiv. Leibniz introduce simbolurile d şi şi deduce regulile de clcul le integrlelor nedefinite. Definiţi rigurosă integrlei, c limit sumelor integrle, prţine lui Cuchy (82). Prim demonstrţie corectă existenţei integrlei unei funcţii continue este dtă de Drboux în 875. În dou jumătte secolului l XIX-le, Riemnn, Du Bois-Reymond şi Lebesque du condiţii pentru integrbilitte funcţiilor discontinue. În 894, Stieltjes introduce o nouă integrlă, ir în 92, Lebesque formuleză noţiune mi generlă de integrlă.. Diviziuni le unui intervl compct Definiţi 3.. Fie, b R cu < b. Se numeşte diviziune intervlului [, b] orice sistem ordont = (x, x,..., x p ) de p + puncte x, x,..., x p din intervlul [, b] cu propriette că = x < x < < x p < x p = b. Dcă = (x, x,..., x p ) este o diviziune intervlului [, b], tunci x, x,..., x p se numesc puncte le diviziunii. Vom not cu Div [, b] mulţime formtă din tote diviziunile intervlului [, b], deci Div [, b] = { : este diviziune intervlului [, b]}. Dcă = (x, x,..., x p ) este o diviziune intervlului [, b], tunci numărul = mx{x x, x 2 x,..., x p x p } se numeşte norm diviziunii. Exemplul 3..2 Sistemele = (, ), 2 = (, /3, ), 3 = (, /4, /2, 3/4, ) 33

38 34 3. INTEGRALA RIEMANN sunt diviziuni le intervlului [, ]. Aceste diviziuni u normele =, 2 = 2/3, 3 = /4. Teorem 3..3 Fie, b R cu < b. Pentru fiecre număr rel ε > există cel puţin o diviziune intervlului [, b] cu propriette că < ε. Demonstrţie. Fie ε > şi p un număr nturl cu propriette că (b ) /p < ε. Dcă h = (b ) /p, tunci sistemul ordont = (, + h, + 2h,, + (p ) h, b) este o diviziune intervlului [, b]. Mi mult = h < ε. Definiţi ( 3..4 Fie, b R cu < b şi = (x, x,..., x p ) şi = x, x,, ) x q două diviziuni le intervlului [, b]. Spunem că diviziune este mi fină decât diviziune şi scriem (su ) dcă {x, x,, x q} {x, x,, x p }. Teorem următore firmă că prin trecere l o diviziune mi fină, norm diviziunii nu creşte. Teorem 3..5 Fie, b R cu < b şi şi două diviziuni le intervlului [, b]. Dcă diviziune este mi fină decât diviziune, tunci. Demonstrţie. Este imedită. Observţi 3..6 Dcă, Div [, b], tunci din nu rezultă, în generl, că. Definiţi 3..7 Fie, b R cu < b. Dcă = ( x, x,, p) x şi = ( x, x,..., x q) sunt diviziuni le intervlului [, b], tunci diviziune = (x, x,, x r ) intervlului [, b] le cărei puncte sunt elementele mulţimii {x, x,..., x p} {x, x,, x q}, lute în ordine strict crescătore, se numeşte reuniune lui cu şi se noteză cu. Teorem 3..8 Fie, b R cu < b. Dcă şi sunt diviziuni le intervlului [, b], tunci şi. 2 şi. Demonstrţie. Este imedită. Definiţi 3..9 Fie, b R cu < b şi = (x, x,..., x p ) Div[, b]. Se numeşte sistem de puncte intermedire tşt diviziunii orice sistem ξ = (ξ, ξ 2,..., ξ p ) de p puncte ξ, ξ 2,..., ξ p [, b] cre stisfc relţiile x i ξ i x i, oricre r fi i {,..., p}.

39 2. INTEGRALA RIEMANN 35 Vom not cu Pi ( ) mulţime formtă din tote sistemele de puncte intermedire tşte diviziunii, deci Pi ( ) = {ξ : ξ este sistem de puncte intermedire tşt diviziunii }. 2. Integrl Riemnn Definiţi 3.2. Fie, b R cu < b, = (x, x,..., x p ) o diviziune intervlului [, b], ξ = (ξ, ξ 2,..., ξ p ) un sistem de puncte intermedire tşt diviziunii şi f : [, b] R o funcţie. Numărul rel p σ (f;, ξ) = f (ξ i ) (x i x i ) i= se numeşte sum Riemnn tştă funcţiei f diviziunii şi sistemului ξ. Definiţi Fie, b R cu < b şi f : [, b] R. Spunem că funcţi f este integrbilă Riemnn pe [, b] (su, simplu, integrbilă) dcă oricre r fi şirul ( n ) n N de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi oricre r fi şirul (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) este convergent. Teorem Fie, b R cu < b şi f : [, b] R. Funcţi f este integrbilă Riemnn pe [, b] dcă şi numi dcă există un număr rel I cu propriette că pentru fiecre şir ( n ) n N de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi pentru fiecre şir (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) este convergent către I. ( Demonstrţie. Necesitte. Fie n) şirul de diviziuni cu termenul generl: n N n = (, + h, + 2h,... + (n ) h, b), (n N) şi (ξ n ) n N şirul cu termenul generl: ξ n = (, + h, + 2h,... + (n ) h), (n N) unde h := b n. Evident, pentru fiecre n N vem: n Div [, b], n = (b ) n şi ξn Pi ( n ).

40 36 3. INTEGRALA RIEMANN ( Atunci şirul σ (f; n, ξ )) n ( σ (f; n, ξ )) n n N este convergent; fie I R limit şirului n N. Vom răt că oricre r fi şirul ( n ) n N de diviziuni le intervlului [, b] cu lim n n = şi oricre r fi şirul (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) este convergent către I. Fie deci ( n ) n N un şir de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi fie (ξ n ) n N un şir de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N). Atunci şirurile ( n ) n N, ( ξ n) n N, unde n = { k, dcă n = 2k k, dcă n = 2k +, ξ n = { ξk, dcă n = 2k ξ k, dcă n = 2k +, u următorele proprietăţi: i) n Div [, b], ξ n Pi ( n ), oricre r fi n N; ii) lim n n =. In bz ipotezei, şirul ( σ ( f; n, ξ n)) este convergent; fie I limit ( n N lui. Tinând sem că şirul σ (f; n, ξ )) n este subşir l şirului convergent ( σ ( f; n, ξ n)) n N, deducem că I = I. Intrucât (σ (f; n, ξ n )) n N este subşir l şirului convergent ( σ ( f; n, ξ n)) n N, obţinem că şirul (σ (f; n, ξ n )) n N converge către I. Suficienţ rezultă imedit din definiţie. Teorem (unicitte integrlei) Fie, b R cu < b şi f : [, b] R. Atunci există cel mult un număr rel I cu propriette că pentru fiecre şir ( n ) n N de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi pentru fiecre şir (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) este convergent către I. Prin urmre, fiind dtă o funcţie f : [, b] R putem ve numi un din următorele două situţii: ) există un număr rel I cu propriette că pentru fiecre şir ( n ) n N de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi fiecre şir (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) este convergent către I. In cest cz, în bz teoremei 3.2.4, numărul rel I este unic. Numărul rel I se v numi integrl Riemnn funcţiei f pe intervlul [, b] şi se v not cu: I := n N f (x) dx. b) Nu există nici un număr rel I cu propriette că pentru fiecre şir ( n ) n N de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi fiecre şir

41 3. PROPRIETĂŢI DE MONOTONIE ALE INTEGRALEI RIEMANN 37 (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) este convergent către I. In cest cz funcţi f nu este integrbilă Riemnn pe [, b]. Prin urmre o funcţie f : [, b] R nu este integrbilă Riemnn pe [, b] dcă şi numi dcă oricre r fi numărul rel I există un şir ( n ) n N de diviziuni n Div [, b], (n N) cu lim n n = şi un şir (ξ n ) n N de sisteme ξ n Pi ( n ), (n N), cu propriette că şirul (σ (f; n, ξ n )) n N l sumelor Riemnn σ (f; n, ξ n ), (n N) nu converge către I. Exemplul Fie, b R cu < b. Funcţi f : [, b] R definită prin {, dcă x [, b] Q f (x) =, dcă x [, b] \Q, nu este integrbilă Riemnn pe [, b]. Folosim metod reducerii l bsurd; presupunem că funcţi f este integrbilă Riemnn pe [, b]. Atunci există un număr rel I cu propriette că oricre r fi numărul rel ε > există un număr rel η > stfel încât pentru orice diviziune Div [, b] cu < η şi pentru orice sistem ξ Pi ( ) vem σ (f;, ξ) I < ε. Fie ε := (b ) /4. Atunci există un număr rel η > stfel încât pentru orice diviziune Div [, b] cu < η şi pentru orice sistem ξ Pi ( ) vem σ (f;, ξ) I < ε. 3. Proprietăţi de monotonie le integrlei Riemnn Teorem 3.3. Fie, b R cu < b şi f : [, b] R o funcţie integrbilă Riemnn pe [, b]. Dcă f (x), oricre r fi x [, b], tunci f (x) dx. Demonstrţie. Fie ( n ) n un şir de diviziuni n = ( x n, x n,..., x n m n ) Div [, b], (n N) cu lim n n = şi (ξ n ) n un şir de sisteme ξ n = ( ξ n, ξ n 2,..., ξ n m n ) P i ( n ), (n N). Din fptul că funcţi f este integrbilă Riemnn pe [, b], vem că (3.3.) lim n σ (f; n, ξ n ) = f (x) dx.

42 38 3. INTEGRALA RIEMANN Pe de ltă prte, funcţi f fiind pozitivă, pentru orice număr nturl n vem σ (f; n, ξ n ) = m n i= f (ξ n i ) ( x n i x n i ) şi deci, în bz teoremei de trecere l limită în ineglităţi, din (3.3.) deducem concluzi teoremei. Teorem Fie, b R cu < b şi f, g : [, b] R două funcţii integrbile Riemnn pe [, b]. Dcă tunci f (x) g (x), oricre r fi x [, b], f (x) dx g (x) dx. Demonstrţie. Funcţi f g stisfce ipotezele teoremei 3.3.; tunci Intrucât (f g) (x) dx = teorem este demonstrtă. (f g) (x) dx. f (x) dx g (x) dx Teorem Fie, b R cu < b şi f : [, b] R o funcţie integrbilă Riemnn pe [, b] şi m, M două numere rele cu propriette că: Atunci m f (x) M, oricre r fi x [, b]. m (b ) f (x) dx M (b ). Demonstrţie. Aplicând teorem funcţiei f şi funcţiilor constnte m şi M, obţinem m (b ) = mdx f (x) dx Mdx = M (b ). Teorem Fie, b R cu < b. Dcă funcţi f : [, b] R este integrbilă Riemnn pe [, b], tunci funcţi f este integrbilă Riemnn pe [, b] şi re loc ineglitte (3.3.2) f (x) dx f (x) dx.

43 4. PRIMITIVE: DEFINIŢIA PRIMITIVEI ŞI A PRIMITIVABILITĂŢII 39 Demonstrţie. Funcţi f fiind integrbilă Riemnn pe [, b] este mărginită pe [, b], prin urmre există un număr rel M > cu propriette că f (x) M, oricre r fi x [, b]. Fie g : [ M, M] R funcţi definită prin g (t) = t, oricre r fi t [ M, M]. Deorece pentru orice t, t [, b] vem g ( t ) g ( t ) = t t t t, rezultă că funcţi g este lipschitzină şi tunci funcţi f = g f este integrbilă Riemnn pe [, b]. Pentru dovedi ineglitte (3.3.2), să considerăm un şir ( n ) n de diviziuni n Div [, b], (n N) cu propriette că lim n n = şi un şir de sisteme ξ n P i ( n ), (n N). Din fptul că funcţiile f şi f sunt integrbile Riemnn pe [, b], rezultă (3.3.3) lim σ (f; n n, ξ n ) = Intrucât, pentru fiecre n N, vem f (x) dx şi lim n σ ( f ; n, ξ n ) = σ (f; n, ξ n ) σ ( f ; n, ξ n ), f (x) dx. din (3.3.3), în bz teoremei de trecere l limită în ineglităţi, deducem că ineglitte (3.3.2) re loc. 4. Primitive: definiţi primitivei şi primitivbilităţii În cest cpitol vom introduce o clsă importntă de funcţii rele şi nume cls funcţiilor cre dmit primitive. Conceptul de primitivă legă între ele două concepte fundmentle le Anlizei Mtemtice: derivt şi integrl. Vom bord probleme de ntură clittivă privind studiul existenţei primitivelor precum şi de ntur clcultorie reltive l metode de clcul de primitive. Definiţi 3.4. Fie D o submulţime nevidă mulţimii numerelor rele R, f : D R o funcţie şi I o submulţime nevidă mulţimii D. Spunem că funcţi f dmite primitive (su că este primitivbilă) pe I dcă există o funcţie F : I R stfel încât: i) funcţi F este derivbilă pe I; ii) F (x) = f (x), oricre r fi x I. Dcă funcţi f dmite primitive pe mulţime de definiţie D, tunci spunem simplu că funcţi f dmite primitive (su că este primitivbilă).

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM IAŞI 27 2 Cuprins 1 Integrle improprii 9 1.1 Introducere............................ 9 1.2 Definiţi integrlei improprii................... 1 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL (material incomplet, în curs de redactare) Paul GEORGESCU

ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL (material incomplet, în curs de redactare) Paul GEORGESCU ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL (mteril incomplet, în curs de redctre) Pul GEORGESCU Cuprins PRIMITIVE. Primitive................................... Operţii cu funcţii cre dmit primitive................ 7.3

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

, să scriem un program pentru a afla rangul n 1 începând de la care

, să scriem un program pentru a afla rangul n 1 începând de la care Serii - lbrtr Ştiid că = k = k π = π π s = . =; S=S./.^;ed» [,S] s =.. Fie seri ; să scriem u prgrm

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.

Polinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi. Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

REZIDUURI ŞI APLICAŢII

REZIDUURI ŞI APLICAŢII Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

1. Bazele aritmetice al calculatoarelor numerice

1. Bazele aritmetice al calculatoarelor numerice . Bzele ritmetice l clcultorelor numerice.. Sisteme de numerţie Un sistem de numerţie (SN) este formt din totlitte regulilor de reprezentre numerelor cu jutorul unor simboluri numite cifre. SN sunt de

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu DIDACTICA MATEMATICĂ SUPLIMENT AL GAZETEI MATEMATICE ANUL al V-lea Nr. 2/2015 Modele de lecţii Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu de Eugen Păltănea Propunem o tematică

Διαβάστε περισσότερα

ISBN , 2009

ISBN , 2009 .... 2009 681.3.06(075.3) 32.973.26 721 367.. 367 : -. :.., 2009. 419.:.,. ISBN 978-5-88874-943-2. :. -,.,. (2006 2009),,,,.. 11-, -. matsievsky@newmail.ru. 681.3.06(075.3) 32.973.26 721 ISBN 978-5-88874-943-2..,

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 _Toc9083498. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA.. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 3. ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 8 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA. 5. ΌΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI Marius Coman mariuscoman13@gmail.com 1 Copyright 2013 de Marius Coman Education Publishing 1313 Chesapeake Avenue Columbus, Ohio 43212 USA Tel. (614)

Διαβάστε περισσότερα

K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE FIZICĂ Elemente de termodinamica ş.l. dr. Marius COSTACHE 1 ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ 1) Noţiuni introductive sistem fizic = orice porţiune de materie, de la o microparticulă la întreg Universul, porţiune

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ Anexa nr. 2 Extras din Metodologia organizării şi desfăşurării admiterii în Academia Forţelor Terestre Nicolae

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Δευτέρα 9 Ιανουαρίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Δευτέρα 9 Ιανουαρίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Δευτέρα 9 Ιανουαρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Τρίτη 4 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Ανάλυση. Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Ανάλυση. Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Ανάλυση Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στη Μαρία και στα παιδιά μας, Μυρτώ-Ασπασία και Δημήτρη. i ii Προκαταρκτικά. Το αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για κάθε κεφάλαιο των σημειώσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες)

ΘΕΜΑ 1. Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες) ΘΕΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες) ΕΠΙΛΥΣΗ: Ο φορέας χωρίζεται στα τμήματα Α και Β. Το τμήμα Α είναι τριαρθρωτό τόξο. Απομονώνοντας το Α και

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA AkoloujÐec sunrt sewn A. N. Ginnkìpouloc, Tm m Sttistik c OPA Eisgwg Στη διάλεξη αυτή θα μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης ακολουθίων συναρτήσεων και συγκεκριμένα την έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης.

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

FEDERATION OF INDUSTRIAL

FEDERATION OF INDUSTRIAL ΟΒΕΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΤΟΥΠΑΛΛΗΛΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΕΙΩΝ (OBES) ФЕДЕРАЦИЯ НА СЪЮЗИТЕ НА ИНДУСТРИАЛНИТЕ РАБОТНИЦИ И СЛУЖИТЕЛИ FEDERAŢIA GREACĂ A SINDICATELOR LUCRĂTORILOR DIN INDUSTRIE Γιώργος αντιπρόεδρος

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu CUPRINS CAPITOLUL 1 - OBIECT ŞI DOMENIU DE APLICARE...2 CAPITOLUL 2 -

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ

Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ . Μέθοδος Frobenius Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ d w Γενική µορφή της γραµµικής.ε. ης τάξης: dz + P (z)dw + Q(z)w = dz Μορφή της.ε. όταν το σηµείο z = z είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο d w dz

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR ŞI LUCRǍRI DE LABORATOR Simina Mariş Liliana Brǎescu Timişoara 007 Introducere Procesul de

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Για την κωδικοποίηση της αρμανικής. Prof. Dr. Thede KAHL POLIS ART CAFE ΑΘΗΝΑ 23 IAN 2014

Για την κωδικοποίηση της αρμανικής. Prof. Dr. Thede KAHL POLIS ART CAFE ΑΘΗΝΑ 23 IAN 2014 Για την κωδικοποίηση της αρμανικής Prof. Dr. Thede KAHL POLIS ART CAFE ΑΘΗΝΑ 23 IAN 2014 Τάσεις και περίοδοι στην κωδικοποίηση της αρμανικής 1. Ελληνοποίηση (1700-1840) 2. Ρουμανική προπαγάνδα (1820-1945)

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE COLEGIUL UCECOM SPIRU HARET BUCURESTI UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE Elev : Popa Maria Clasa :a-xi-a A Indrumator:prof.Chirescu Emil APLICATII PRACTICE CE POT FI REALIZATE

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ÑÏÕÌÁÍÉÁ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Εισαγωγή Η Δημοκρατία της Ρουμανίας έχει έκταση 238.000 χλμ² και πληθυσμό ο οποίος ξεπερνά τα 21 εκατομμύρια κατοίκους. Το επίσημο νόμισμά της

Διαβάστε περισσότερα

I. ANDREESCU ŞT. MOCANU PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR

I. ANDREESCU ŞT. MOCANU PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR NDREESCU ŞT OCNU PROBLEE DE REZSTENŢ TERLELOR BUCUREŞT 00 PREFŢĂ Proiectre cu succes elementelor de construcţii de mşini este imposibilă fără o cunoştere profundă Reistenţei terilelor legere formei, dimensiunilor

Διαβάστε περισσότερα

Senzori de temperatură de imersie

Senzori de temperatură de imersie 1 781 1781P01 Symaro Senzori de temperatură de imersie QAE21... Senzori pasivi pentru determinarea temperaturii apei în conducte sau vase. Utilizare Senzorii de temperatură de imersie QAE21 sunt destinaţi

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Editura EduSoft Bacău

Editura EduSoft Bacău Bogdan Pătruţ Carmen Violeta Muraru APLICAŢII ÎN C şi C++ Editura EduSoft Bacău - 2006 Copyright 2006 Editura EduSoft Toate drepturile asupra prezentei ediţii sunt rezervate Editurii EduSoft. Reproducerea

Διαβάστε περισσότερα

Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette)

Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette) Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette) Εξετάζουμε την επίπεδη ροή που λαμβάνει μεταξύ δύο επίπεδων πλακών οι οποίες έχουν απόσταση κατά την διεύθυνση y, h (h=ύψος.) Το μήκος

Διαβάστε περισσότερα

PROCEDEE UTILIZATE ÎN CONTABILITATEA DE GESTIUNE

PROCEDEE UTILIZATE ÎN CONTABILITATEA DE GESTIUNE PROCEDEE UTILIZATE ÎN CONTABILITATEA DE GESTIUNE Determinarea costurilor implică utilizarea, de cele mai multe ori, a unor algoritmi matematici ce generează obţinerea unor informaţii punctuale în momentul

Διαβάστε περισσότερα

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f( ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F( για την οποία ισχύει F (=f(. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F(= = df

Διαβάστε περισσότερα