Statisticǎ - exerciţii

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Statisticǎ - exerciţii"

Transcript

1 Statisticǎ - exerciţii Ştefan Balint, Tǎnasie Loredana 1 Noţiuni de bazǎ Exerciţiu 1.1. Presupuneţi cǎ lucraţi pentru o firmǎ de sondare a opiniei publice şi doriţi sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care, în eventualitatea organizǎrii de alegeri astǎzi, ar vota cu partidul de guvernǎmânt. definiţi populaţia statisticǎ pe care o eşantionaţi. Dar dacǎ v-ar interesa sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care, la viitoarele alegeri ar vota cu partidul de guvernǎmânt, care ar fi populaţia statisticǎ? Exerciţiu 1.2. O companie de asigurǎri doreşte sǎ determine proporţia medicilor care au fost implicaţi în ultimul an în una sau mai multe acţiuni judiciare de rele practici. Compania selecteazǎ întâmplǎtor în ultimul an una sau mai multe acţiuni judiciare de rele practici. Compania selecteazǎ întâmplǎtor 500 de medici care au practicat în ultimul an şi determinǎ proporţia. Identificaţi populaţia de interes. Exerciţiu 1.3. Un cercetǎtor este interesat sǎ compare salariul de încadrare pentru bǎrbaţii şi femeile care au un loc de muncǎ imediat dupǎ absolvirea facultǎţii. Sunt cercetaţi 100 de bǎrbaţi şi 100 de femei. Exerciţiu 1.4. Identificaţi trei tipuri diferite de variabile statistice ce pot fi colectate pentru a reflecta popularitatea a cinci publicaţii periodice similare. Exerciţiu 1.5. Pentru urmǎtoarele cazuri, precizaţi populaţia statisticǎ şi identificaţi variabila studiatǎ: a) timpiii de execuţie, în secunde a 400 de programe în Java; b) absenteismul (în zile al angajaţilor); b) profesia a 200 de salariaţi; d) numǎrul copiilor a 2000 de familii; Exerciţiu 1.6. Clasificaţi urmǎtoarele grupuri ca populaţie sau eşantion: - toate persoanele de peste 18 ani din România; - un grup de persoane din judeţul Alba; - toate persoanele din judeţul Cǎlǎraşi; 1

2 - 2 kg de mere; - toate merele din recolta acestui an; - câteva primǎrii din judeţul Timiş; de gospodǎrii din România; - o gǎleatǎ de apǎ dintr-o fântˆnǎ. Pentru fiecare populaţie definitǎ anterior daţi un exemplu de eşantion. Exerciţiu 1.7. Clasificaţi urmǎtoarele variabile în variabile calitative şi cantitative: - Numǎrul de persoane dintr-o gospodǎrie; - Statutul marital al unei persoane; - Numǎrul de studenţi dintr-o grupǎ care vin la seminar; - Culoarea maşinilor; - Lungimea sǎriturii unei broaşte; - Culoarea ochilor; - Chiria plǎtitǎ de chiriaşi; - Suprafaţa locuibilǎ într-un apartament; - Veniturile pensionarilor din Bucureşti; - Coeficienţii de inteligenţǎ a copiilor din Şcoala Generala Nr. 30, Timişoara; - Durata unei greve; - Orientarea politicǎ a persoanelor adulte. 2

3 2 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor. Prezentarea datelor. Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale Exerciţiu 2.1. O firmǎ este interesatǎ de timpul mediu al convorbirilor telefonice şi de distribuţia acestor timpi faţǎ de timpul mediu (dispersia) pe durata a 40 convorbiri telefonice consecutive. Timpii s-au rotunjit n minute s-a obţinut urmǎtorul set de date: 4, 6, 4, 4, 7, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 9, 8, 11, 12, 3, 2, 1, 1, 3, 9, 4, 5, 7, 7, 9, 10, 10, 1, 2, 2, 3, 11, 12, 10, 1, 1, 3, 4. Care este seria de distribuţie? Sǎ se realizeze diagrama cerc? Care sunt parametrii tendinţei centrale? Exerciţiu 2.2. Considerǎm urmǎtoarea serie de distribuţie cu date grupate: f x x a) Sǎ se realizeze histograma; b) Calculaţi media, intervalul median şi intervalul modal. Exerciţiu 2.3. Notele obţinute de 40 de studenţi sunt urmǎtoarele: 8; 10; 4; 9; 6; 8; 10; 7; 8; 3; 9; 6; 5; 4; 8; 7; 10; 9; 6; 5; 4; 3; 6; 9; 10; 8; 7; 7; 7; 6; 5; 5; 6; 7; 9; 10; 7; 6; 3; 4; 1) Sǎ se prezinte datele sub forma unui tabel statistic; 2) Sǎ se reprezinte grafic datele; 3) Sǎ se grupeze datele pe 4 intervale; 4) Sǎ se calculeze frecvenţele cumulate crescǎtor; 5) Sǎ se reprezinte seria de date. Exerciţiu 2.4. Se dau numǎrul de ani de pensie pentru 15 pensionari: Sǎ se calculeze modul şi mediana pentru aceste date. Sǎ se com pare aceste valori şi sǎ se precizeze care este cea mai potrivitǎ pentru a mǎsura tendinţa centralǎ a datelor. 3

4 Exerciţiu 2.5. Un analist financiar al unei firme este interesat în a determina salariul mediu acordat angajaţilor a 4 filiale ale firmei. Pentru aceasta el culege datele privind salariul mediu pe fiecare filialǎ şi fondurile de salarizare. Filiala Salariul mediu în filialǎ Fondul de salarizare (mii U.M.) (milioane U.M.) , , , ,60 Care este salariul mediu al unui salariat? Exerciţiu 2.6. Au fost înregistrate numǎrul de ore petrecute de studenţi cu învǎţatul: Numǎr ore Numǎr studenţi Sǎ se calculeze numǎrul mediu de ore petrecut de un student cu învǎţatul. Exerciţiu 2.7. Într-o şcoalǎ promovabilitatea elevilor a crescut astfel în perioada : în perioada a crescut de 1.05 ori, în perioada a crescut de ori, iar în perioada a crescut de ori. Care este valoarea medie a creşterii promovabilitǎţii? 4

5 3 Parametrii si statistici ai dispersiei. Parametrii si statistici factoriali ai variantei Exerciţiu 3.1. Considerǎm urmǎtorul set de date: 5,-7,2,0,-9,16,10,7. sǎ se calculeze: a) media aritmeticǎ şi pǎtraticǎ, mediana, modul; b) deviaţia medie absolutǎ a setului de date; c) Varianţa şi abaterea standard a setului de date; item[d)] Coeficientul de variaţie. Exerciţiu 3.2. Considerǎm urmǎtoarea serie de distribuţie cu frecvenţe: x f a) Calculaţi 3 parametrii ai tendinţei centrale; b) Determinaţi varianţa şi abaterea standard a setului de date; item[d)] Care este coeficientul de variaţie? Exerciţiu 3.3. Considerǎm urmǎtoarele valori: 19, 13, 20, 22, 19, 17 9, 10, 19, 13, 23, 15 22, 14, 18, 21, 20, 18 9, 15, 13, 10, 17, 19 Grupaţi datele, iar apoi calculaţi coeficientul de variaţie. Exerciţiu 3.4. Au fost înregistrate numǎrul de ore petrecute de studenţi cu învǎţatul: Sǎ se calculeze Numǎr ore Numǎr studenţi a) media aritmeticǎ şi pǎtraticǎ, mediana, modul; 5

6 b) deviaţia medie absolutǎ a setului de date; c) Varianţa şi abaterea standard a setului de date; item[d)] Coeficientul de variaţie. Exerciţiu 3.5. Persoanele unei firme sunt împǎrţite în trei grupe în funcţie de înǎlţime. Se cunosc urmǎtoarele date Grupa A Grupa B Grupa C Înǎlţimea medie a grupei (cm) Numǎrul de persoane Care este varianţa mediilor de grupǎ faţǎ de media generalǎ? Exerciţiu 3.6. Se dǎ o selectie de 150 de numere x 1 ; x 2 ;... ; x 150 cu Aceste numere se grupeazǎ în 8 intervale [80; 86]; [87; 93];... ; de lungime 6 unitǎţi. Ele se repartizeazǎ în aceste intervale dupǎ cum urmeazǎ: în primul interval avem 2 numere (n 1 = 2), în al doilea 23 de numere (n 2 = 23), n 3 = 22, n 4 = 65, n 5 = 20, n 6 = 10, n 7 = 0, n 8 = 8. Sǎ se calculeze varianţa fiecǎrei grupe, media varianţelor de grupǎ, varianţa mediilor de grupǎ faţǎ de media generalǎ şi varianţǎ totalǎ. 6

7 4 Parametrii si statistici ai pozitiei Exerciţiu 4.1. Se considerǎ urmǎtoarea serie statisticǎ ce prezintǎ nivelul de hemoglobinǎ în sânge pentru 60 de persoane presupuse sǎnǎtoase. Valorile sunt date atât pentru bǎrbaţi cât şi pentru femei (valorile pentru femei sunt marcate cu un asterisc în dreapta). 105* 110* 112* 112* 118* 119* 120* 120* 125* 126* 127* 128* 130* 132* 133* 134* 135* 138* 138* 138* 138* * * * 148* * * * 154* * a) Scrieţi serile de distribuţie cu frecvenţe pentru femei şi pentru bǎrbaţi; b) Determinaţi pentru fiacre dintre serii media aritmedticǎ şi varianţa; c) Calculaţi quantilele. d) Care este scorul standard? Exerciţiu 4.2. Se considerǎ urmǎtoarea serie de distribuţie cu grupare: Determinaţi quantilele şi scorul standard. Vechimea muncitoriloe Numǎr muncitori 4,5 3 10,5 4 16,5 6 22,5 5 28,5 2 Exerciţiu 4.3. Determinaţi quantilele centilele C 2 0 şi C 5 0 pentryu urmǎtoarea serie de distribuţie cu grupare Exerciţiu 4.4. Se considerǎ populaţia de la care se pot obţine urmǎtoarele date statistice distincte: {0, 3, 6, 9}. a) Câte eşantioane de 2 elemente se pot forma? b) Care este seria de distribuţie a mediei acestor eşantioane? c) Reprezentatţi grafic diagrama coloanǎ. 7

8 5 Teorema de limita centrala Exerciţiu 5.1. Se considerǎ populaţia de la care se pot obţine urmǎtoarele date statistice distincte: {4, 8, 12}. a) Câte eşantioane de 2 elemente se pot forma? b) Care este seria de distribuţie a mediei acestor eşantioane? c) Reprezentatţi grafic diagrama coloanǎ. d) Verificaţi validitatea Teoremei limitǎ centralǎ. Exerciţiu 5.2. Înǎlţimea copiilor dintr-o grǎdiniţǎ considerǎm cǎ este o variabilǎ distribuitǎ aproximativ normal de medie: µ = 39 şi abatere standard 2. a) Dacǎ se ia un copil la întâmplare care este probabilitatea ca înǎlţimea lui sǎ fie între 38 şi 40 de inch? b) Care este probabilitatea ca media înǎlţimii unei clase de 30 de copii sǎ fie între 30 şi 40 inch? c) Dacǎ se ia un copil la înt ˆmplare care este probabilitatea ca înǎlţimea copilului sǎ fie mai mare decât 40? d) Dar probabilitatea ca media înǎlţimilor copiilor dintr-o clasǎ de 30 de copii sǎ fie mai mare decât 40? Exerciţiu 5.3. Pentru o populaţie se cunoaşte media µ = 500 şi deviaţia standard σ = 30. Se extrag aleator mai multe eşantioane de dimensiune 36. a) Ce valoare are media tuturor eşantioanelor extrase? b) Calculaţi deviaţia standard a tuturor eşantioanelor extrase. c) Ce distribuţie urmeazǎ media acestor eşantioane? Exerciţiu 5.4. Considerǎm 36 de date selectate dintr-o populaţie distribuitǎ normal de medie 50 şi deviaţie standard 10. a) Care este probabilitatea ca media datelor sǎ fie în intervalul 45 şi 55? b) Care este probabilitatea ca media sǎ fie mai mare decât 48? 8

9 6 Verificarea ipotezelor statistice: varianta clasicǎ Exerciţiu 6.1. O uzinǎ a cumpǎrat un lot de cabluri metalice destinate sǎ susţinǎ încǎrcǎturi grele. Fabricantul de cabluri a afirmat cǎ încǎrcǎtura medie ce provoacǎ ruperea acestor cabluri este de 8000 kg. Uzina a efectuat un test pe 6 cabluri şi a constatat o încǎrcǎturǎ medie de rupere egalǎ cu 7750 de kg şi o abatere standard de 145 kg. Uzina doreşte sǎ ştie dacǎ depune plângere contra fabricantului, poate câştiga procesul cu o probabilitate de 99%? Exerciţiu 6.2. Pentru a determina nivelul mediu de plumb din apa potabilǎ a unei zone puternic industrializate se fac determinǎri în 144 de zile alese aleator. În urma testelor s-a obţinut o medie de x = 36 de unitǎţi de plumb/100 ml apǎ, iar abaterea medie pǎtraticǎ s = 15 unitǎţi plumb/100 ml apǎ. Sǎ se determine un interval de încredere de 95% pentru valoarea medie a nivelului de plumb/100 ml apǎ. Exerciţiu 6.3. O maşinǎ produce fiole de sticlǎ. Pentru 53 de fiole s-a observat o duratǎ medie de viaţǎ de x = 830 de ore. Presupunem cǎ durata de viaţǎ a unei fiole urmeazǎ o lege normalǎ, iar varianţa este σ = 415. Directorul firmei afirmǎ cǎ durata de viaţǎ a fiolelor este x = 850 de ore. Are el dreptate la nivelul de semnificaţie α = 0, 05? Exerciţiu 6.4. Nivelul de glicemie al unei populaţii adulte este presupusǎ distribuitǎ dupǎ o lege normalǎ de dispersie σ = 0, 80 g/l de sânge.se considerǎ un eşantion de 12 persoane ale acestei populaţii şi se mǎsoarǎ nivelul de glicemie la fiecare. Se gǎsesc urmǎtoarele rezultate: 0, 6 0, 9 0, 74 0, 96 0, 85 1, 05 0, 8 0, 93 1, 17 0, 70 0, 84 0, 75 La un nivel de semnificaţie de α = 0, 05 nivelul mediu al glicemiei x este compatibil cu nivelul mediu al glicemiei µ? Exerciţiu 6.5. Se presupune cǎ încǎrcǎtura suportatǎ de plǎcile de tablǎ este o variabilǎ aleatoare de medie µ şi abatere medie pǎtraticǎ σ. În condiţiile date, s-au testat 50 de plǎci de tablǎ, media şi abaterea observate sunt x = 320, iar abaterea medie pǎtraticǎ este s = 35. Câte plǎci de tablǎ trebuie testate pentru ca intervalul de încredere al încǎrcǎturii medii sǎ fie determinat cu o amplitudine de 10 kg la nivelul de semnificaţie α = 0, 005? Exerciţiu 6.6. În exemplele urmǎtoare verificaţi dacǎ se poate accepta ipoteza nulǎ, la 9

10 nivelul de semnificaţie α = 0, 05 a) H 0 : µ = 100 n = 64, x = 105, σ 2 = 40 H a : µ > 100 b) H 0 : µ = 100 n = 60, x = 110, σ 2 = 20 H a : µ > 100 c) H 0 : µ = 90 n = 25, x = 84, σ 2 = 30 H a : µ < 90 d) H 0 : µ = 90 n = 36, x = 80, σ 2 = 40 H a : µ < 90 e) H 0 : µ = 100 n = 25, x = 95, σ 2 = 20 H a : µ 100 f) H 0 : µ = 100 n = 36, x = 105, σ 2 = 30 H a : µ

11 7 Verificarea ipotezelor statistice: varianta probabilistǎ Exerciţiu 7.1. Calculaţi p-valorile în urmǎtoarele cazuri: a) H 0 : µ = 10 z = 1, 48 H a : µ > 10 b) H 0 : µ = 105 z = 0, 85 H a : µ < 105 c) H 0 : µ = 13, 4 z = 1, 17 H a : µ 13, 4 d) H 0 : µ = 8, 56 z = 2, 11 H a : µ < 8, 56 e) H 0 : µ = 110 z = 0, 93 H a : µ 110 f) H 0 : µ = 54, 2 z = 0, 46 H a : µ > 54, 2 Exerciţiu 7.2. P-valoarea calculatǎ a unei statistici observate este P = 0, 084. Care este decizia privind ipoteza nulǎ? a) dacǎ nivelul de semnificaţie fixat este α = 0, 05; b) dacǎ nivelul de semnificaţie fixat este α = 0, 10. Exerciţiu 7.3. Un economist pretinde cǎ atunci când media Dow-Jones creşte, volumul acţiunilor vândute la bursa din New-York tinde sǎ creascǎ. În ultimii doi ani media volumului zilnic de acţiuni vândute este de 21, 5 milioane şi are o deviaţie standard de 2, 5 milioane. Un eşantion aleator de 64 zile în care media Dow-Jones a crescut a fost selectat şi s-a calculat media volumului zilnic. Media eşantionului a fost de 22 milioane. Calculaţi p valoarea pentru verificarea acestei ipoteze statistice. 11

12 8 Inferenţǎ statisticǎ privind media populaţiei Exerciţiu 8.1. Limita legalǎ a nivelului de poluant X în deşeurile unei uzine este 5 mg/kg. Se efectueazǎ o verificare pe 10 probe de 1 kg şi se obţin urmǎtoarele valori x i pentru nivelul de poluant: Admitem cǎ X urmeazǎ o lege normalǎ. Verificaţi dacǎ uzina respectǎ condiţiile legale la nivelul de încredere de 95%. Exerciţiu determinǎri ale procentului de apǎ dintr-o soluţie au condus la x = 0, 822% şi s = 0, 02%. Sǎ se verifice ipoteza H 0 : µ = 0, 9&, faţǎ de ipoteza H a := µ < 0, 9% la un prag de semnificaţie de 0, 05. Exerciţiu 8.3. O companie are un sistem de computere care proceseazǎ 1200 de facturi pe orǎ. S-a testat un nou sistem care în 40 de ore a procesat în medie 1260 de facturi/orǎ cu o deviaţie standard de 215. Verificaţi dacǎ noul sistem este mai bun. ( la un prag de semnificaţie α = 0, 01). Exerciţiu 8.4. S-a fǎcut un studiu pentru a verifica dacǎ se poate accepta ipoteza cǎ o scrisoare trimisǎ dintr-o localitate în alta face în medie 3 zile. Pentru un eşantion de 54 de scrisori s-au obţinut urmǎtoarele date: zile frecvenţe Se poate accepta ipoteza cǎ media este 3 zile la un prag de semnificaţie α = 0, 05? (Rezolvaţi problema folosind metoda clasicǎ şi metoda probabilistǎ) Exerciţiu 8.5. În exemplele urmǎtoare verificaţi dacǎ se poate accepta ipoteza nulǎ, la nivelul de semnificaţie α = 0, 05, calculând în fiecare caz şi p-valoarea: a) H 0 : µ = 100 n = 64, x = 105, s 2 = 40 H a : µ > 100 b) H 0 : µ = 100 n = 60, x = 110, s 2 = 20 H a : µ > 100 c) H 0 : µ = 90 n = 25, x = 84, s 2 = 30 H a : µ < 90 d) H 0 : µ = 90 n = 36, x = 80, s 2 = 40 H a : µ < 90 e) H 0 : µ = 100 n = 25, x = 95, s 2 = 20 H a : µ 100 f) H 0 : µ = 100 n = 36, x = 105, s 2 = 30 H a : µ

13 9 Inferenţǎ statisticǎ asupra varianţei şi estimarea varianţei Exerciţiu 9.1. Un vânzǎtor de vin se intereseazǎ de cantitatea de vin dintr-o sticlǎ. El se întreabǎ dacǎ conţinutul mediu nu este inferior conţinutului legal de 75cl. În acest scop mǎsoarǎ conţinutul a 10 sticle luate la înt ˆmplare şi obţine valorile urmǎtoare: 73, 2 72, 6 74, 5 75, 0 75, 0 73, 7, 74, 1, 75, 1 74, 8 74, 0 a) Presupunând normalitatea distribuţiei conţinutului sticlelor, se pune întrebarea dacǎ conţinutul mediu este mai mic decât 75 cl, la nivelul de semnificaţie de 0, 05? b) Dacǎ σ 2 este varianţa distribuţiei conţinutului sticlelor, testaţi ipoteza H 0 : σ 2 = 1. Exerciţiu 9.2. Un cercetǎtor vrea sǎ studieze valoarea cheltuielilor sǎptǎmânale ale studenţilor de la Universitatea din Geneva. La un eşantion aleator de 20 de studenţi obţine rǎspunsurile: Poate sǎ tragǎ concluzia cǎ abaterea standard e superioarǎ lui 25? 13

14 10 Generalitǎţi despre corelaţie Exerciţiu Considerǎm urmǎtorul tabel de date: x y 1 y 2 y a) Calculaţi coeficientul de corelaţie folosind definiţia şi formula alternativǎ de calcul pentru seriile x şi y 1, x şi y 2, x şi y 3. b) Desenaţi diagrama de împrǎştiere şi precizaţi tipurile de corelaţii existente în cele trei cazuri prezentate la punctul a). Exerciţiu Pentru seturile de date care urmeazǎ: 1) calculaţi coeficientul de regresie liniarǎ (pentru seriile x şi y 1, x şi y 2, x şi y 3 în fiecare din cele douǎ cazuri); 2) precizaţi dacǎ existǎ sau nu corelaţie liniarǎ (pentru fiecare din cazurile prezentate anterior). 14

15 Cazul 1. Cazul 2. C x y 1 y 2 y x y 1 y 2 y

16 11 Analiza de corelaţie liniarǎ Exerciţiu Explicaţi de ce (x x) = 0 şi (y y) = 0. Exerciţiu a) Construţi diagrama de împrǎştiere pentru datele din urmǎtorul tabel: b) Calculaţi covarianţa. c) Calculaţi s x şi s y. d) Calculaţi r folosind definiţia. x y e) Calculaţi r folosind formula de calcul practic. f) Dacǎ existǎ o depedenţǎ liniarǎ între x şi y determinaţi ecuaţia dreptei de regresie. Exerciţiu a) Calculaţi covarianţa în cazul setului de date: x y b) Calculaţi deviaţiile standard ale celor şase valori ale lui x şi ale celor şase valori ale lui y. c) Calculaţi coeficientul de corelaţie liniar r pentru tabelul de date considerat. d) Comparaţi acest rezultat cu cel gǎsit în cazul tabelului de date considerat la început. e) Dacǎ existǎ o depedenţǎ liniarǎ între x şi y determinaţi ecuaţia dreptei de regresie. Exerciţiu Se considerǎ urmǎtorul tabel de date bidimensionale: x y a) Determinaţi diagrama de împrǎştiere. b) Calculaţi covarianţa. c) Calculaţi s x şi s y. d) Calculaţi r folosind definiţia. e) Calculaţi r folosind formula de calcul practic. f) Dacǎ existǎ o depedenţǎ liniarǎ între x şi y determinaţi ecuaţia dreptei de regresie. 16

17 12 Inferenţǎ privind coeficientul de corelaţie liniarǎ Exerciţiu a) Un eşantion de 20 de date bidimensionale are un coeficient de corelaţie liniar r = 0, 43. Este acesta suficient pentru a respinge ipoteza nulǎ H 0 : ρ = 0 în favoarea unei alternative bilaterale la nivel de semnificaţie α = 0, 10? b) Un eşantion de 18 date bidimensionale are un coeficient de corelaţie liniar r = 0, 50. Este acesta suficient pentru a susţine cǎ la nivelul de semnificaţie α = 0, 10 coeficientul de corelaţie a populaţiei este negativ? c) Un eşantion de 10 date bidimensionale are un coeficient de corelaţie liniar r =, 067. Este aceasta suficient pentru a susţine cǎ la nivelul de semnificaţie α = 0, 05? (ρ este nenul) d) Valoarea r = 0, 24 este ea semnificativǎ pentru a arǎta cǎ ρ > 0 la nivelul de semnificaţie α = 0, 05 în cazul unui eşantion de mǎrime

18 13 Regresie liniarǎ Exerciţiu Pentru doi hamali ce îşi desfǎşoarǎ activitatea în Gara de Nord, se cunosc datele de mai jos cu privire la numǎrul de bagaje transportate pe parcursul a cinci zile de lucru: Se cere: Ziua Numǎr bagaje transportate Numǎr bagaje transportate de primul hamal de al doilea hamal ) Sǎ se reprezinte diagrama de împrǎştiere pentru cele douǎ seturi de date. 2) Sǎ se mǎsoare coeficientul de variaţie pentru fiecare variabilǎ. 3) În ipoteza legǎturii liniare determinaţi parametrii dreptei de regresie. 4) Sǎ se calculeze coeficientul de corelaţie liniarǎ între cele douǎ variabile. Exerciţiu Se dau datele privind pulsul şi temperatura pentru zece pacienţi: Pacienti Pulsul Temperatura , , , , , , , , ,9 a) Calculaţi coeficientul de corelaţie liniarǎ. b) Determinaţi parametrii dreptei de regresie. 18

19 14 Analiza de regresie liniarǎ Exerciţiu a) Sǎ se determine diagrama de împrǎştiere şi dreapta de regresie ŷ = b 0 + b 1 x în cazul tabelului de date: x y b) Sǎ se determine ordonatele ŷ ale punctelor de pe linia de regresie având abscisele: x = 1, 3, 5, 7 şi 9. c) Sǎ se determine e = y ŷ pentru fiecare punct din tabel. d) Sǎ se determine s 2 e. Exerciţiu Aceleaşi întrebǎri în cazul tabelului de date: x y Exerciţiu Datele din tabelul urmǎtor aratǎ numǎrul orelor de studiu x pentru un examen şi nota y primitǎ la acel examen: x y a) Sǎ se determine diagrama de împrǎştiere. b) Sǎ se gǎseascǎ linia de regresie. c) Sǎ se gǎseascǎ ŷ pentru x = 2, 3, 4, 5, 6, 7 şi 8. d) Determinaţi valorile lui e pentru x = 3 şi x = 6. 19

20 15 Inferenţǎ referitoare la panta unei drepte de regresie liniarǎ Exerciţiu Un eşantion de 10 studenţi a fost întrebat referitor la distanţa parcursǎ şi la timpul necesar pentru a ajunge la facultate astǎzi. Rǎspunsurile date sunt cuprinse în tabelul urmǎtor: x y a) Determinaţi diagrama de împrǎştiere. b) Determinaţi ecuaţia dreptei de regresie în acest caz. c) Valoarea obţinutǎ pentru b 1 este probǎ suficientǎ pentru a concluziona cǎ β 1 > 0 la nivelul de semnificaţie α = 0, 05. d) Determinaţi intervalul de încredere de 98% pentru estimarea lui β 1. Exerciţiu Rata dobânzii este aleasǎ astfel încât sǎ aibe un efect asupra şomajului. Urmǎtorul tabel de date reprezintǎ rata dobânzii pe perioade de 3 luni pentru împrumuturi pe termen scurt (x) şi rata şomajului (y). x 12,27 12,34 12,31 15,81 15,67 17,75 11,56 15,71 19,91 19,99 21,11 y 5,9 5,6 5,9 5,9 6,2 7,6 7,5 7,3 7,6 7,2 8,3 a) Sǎ se determine dreapta de cea mai bunǎ aproximare. b) Este acest eşantion o dovadǎ suficientǎ pentru a respinge ipoteza nulǎ (pantǎ zero) în favoarea unei ipoteze alternative cǎ panta este pozitivǎ la nivelul de semnificaţie 0.05? 20

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA

NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA INTRODUCERE SI DEFINITII A. PARAMETRI SI STATISTICI Parametru valoare sau caracteristica asociata unei populatii constante fixe notatie - litere grecesti: media populatiei

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

9 Testarea ipotezelor statistice

9 Testarea ipotezelor statistice 9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 4. 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2

Statisticǎ - curs 4. 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2 Statisticǎ - curs 4 Cuprins 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2 2 Inferenţǎ statisticǎ privind media populaţiei dacǎ se cunoaşte abaterea standard

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE

POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE DATE NUMERICE POPULAŢIE DATE ALFANUMERICE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE Cursul I Indicatori statistici Minim, maxim Media Deviaţia standard Mediana Cuartile Centile, decile Tabel de date

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Recapitulare - Tipuri de date

Recapitulare - Tipuri de date Recapitulare - Tipuri de date Date numerice vârsta, greutatea, talia, hemoglobina, tensiunea arterială, calcemia, glicemia, colesterolul, transaminazele etc. valori continue sau discrete numere întregi

Διαβάστε περισσότερα

ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI. Călinici Tudor

ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI. Călinici Tudor ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI Călinici Tudor 1 Obiective educaţionale Înţelegerea procesului de estimare Însuşirea limbajului specific pentru inferenţa statistică Enumerarea estimatorilor fără bias

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

1. Distribuţiile teoretice 2. Intervalul de încredere pentru caracteristicile cantitative (medii) Histograma Nr. valori Nr. de clase de valori

1. Distribuţiile teoretice 2. Intervalul de încredere pentru caracteristicile cantitative (medii) Histograma Nr. valori Nr. de clase de valori 1. Distribuţiile teoretice (diagramă de distribuţie, distribuţia normală sau gaussiană) 2. Intervalul de încredere pentru caracteristicile cantitative (medii) 1. Distribuţia constituie ansamblul tuturor

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei

Διαβάστε περισσότερα

STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ

STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ » Reprezentarea şi sumarizarea datelor» Parametrii statistici descriptivi Centralitate Dispersie Asimetrie Localizare Cuprins Măsuri de centralitate Măsuri de împrăştiere Media Amplitudine

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare. Călinici Tudor 2015

Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare. Călinici Tudor 2015 Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare Călinici Tudor 2015 Obiective educaționale Enumerarea caracteristicilor distribuției normale Enumerarea principiilor inferenței statistice Calculul intervalului

Διαβάστε περισσότερα

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011 1.0.011 STATISTICA Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 16 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/inde.asp?itemfisiere&id Observati doua

Διαβάστε περισσότερα

5 Statistica matematică

5 Statistica matematică 5 Statistica matematică Cuvântul statistică afostiniţial folosit pentru a desemna o colecţiededatedesprepopulaţie şi situaţia economică, date vitale pentru conducerea unui stat. Cu timpul, Statistica a

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa

Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard cunoaştere evaluare, măsurare evaluare comparare (Gh. Zapan) comparare raportare la un sistem de referință Povestea Scufiței Roşii... 70

Διαβάστε περισσότερα

Variabile statistice. (clasificare, indicatori)

Variabile statistice. (clasificare, indicatori) Variabile statistice (clasificare, indicatori) Definiţii caracteristică sau variabilă statistică proprietate în functie de care se cerceteaza o populatie statistica şi care, în general, poate fi măsurată,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

DistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala

DistributiiContinue de Probabilitate Distributia Normala 8.03.011 STATISTICA -distributia normala -distributii de esantionare lectia 7 30 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/index.asp?item=fisiere&id=88 DistributiiContinue

Διαβάστε περισσότερα

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice 4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.

Διαβάστε περισσότερα

TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE

TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE Capitolul 9 TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE D acă în capitolul anterior au fost epuse principalele aspecte ale teoriei selecţiei, în acest capitol vom trata modalitatea de aplicare a teoriei în testarea

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:

Διαβάστε περισσότερα

Indicatori sintetici ai distribuțiilor statistice

Indicatori sintetici ai distribuțiilor statistice Indicatori sintetici ai distribuțiilor statistice STATISTICA DESCRIPTIVĂ observarea Obiective: organizarea descrierea datelor sintetizarea 1. Populație 2. Eșantion 3. Caracteristica observată Tabel de

Διαβάστε περισσότερα

Reactia de amfoterizare a aluminiului

Reactia de amfoterizare a aluminiului Problema 1 Reactia de amfoterizare a aluminiului Se da reactia: Al (s) + AlF 3(g) --> AlF (g), precum si presiunile partiale ale componentelor gazoase in functie de temperatura: a) considerand presiunea

Διαβάστε περισσότερα

prin egalizarea histogramei

prin egalizarea histogramei Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Coeficientul de corelaţie Pearson(r) M. Popa

Coeficientul de corelaţie Pearson(r) M. Popa Coeficientul de corelaţie Pearson(r) M. Popa Asocierea valorilor perechi re studiu 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota la examen Conceptul de corelaţie (Galton şi Pearson) cauzalitatea este

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine

Διαβάστε περισσότερα

3. I. Mihoc, C. Fătu, Calculul probabilităţilor şi statistică matematică, Transilvania Press, Cluj-Napoca, 2003

3. I. Mihoc, C. Fătu, Calculul probabilităţilor şi statistică matematică, Transilvania Press, Cluj-Napoca, 2003 CURS STATISTICĂ CURS 1 Bibliografie: 1. P. Blaga, Calculul probabilităţilor şi statistică matematică, vol. 2, Curs şi Culegere de probleme, Litografiat Univ. Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca, 1994 2. P. Blaga,

Διαβάστε περισσότερα

Statistica descriptivă (continuare) Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu

Statistica descriptivă (continuare) Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu Statstca descrptvă (contnuare) Şef de Lucrăr Dr. Mădălna Văleanu mvaleanu@umfcluj.ro VARIABILE CANTITATIVE MĂSURI DE TENDINŢA CENTRALA Meda artmetca, Medana, Modul, Meda geometrca, Meda armonca, Valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ

PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Teste nonparametrice Testele nonparametrice se aplică variabilelor măsurate la nivel nominal sau ordinal. Ele se aplică pe eşantioane mici, nefiind nevoie de presupuneri

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare. Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie

Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare. Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie Sonia Gaiţă - INM Ianuarie 2005 Subiecte Concepte şi termeni Modelarea măsurării

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 6. Tabele de incidenţă Sensibilitate, specificitate Riscul relativ Odds Ratio Testul CHI PĂTRAT

Cursul 6. Tabele de incidenţă Sensibilitate, specificitate Riscul relativ Odds Ratio Testul CHI PĂTRAT Cursul 6 Tabele de incidenţă Sensibilitate, specificitate Riscul relativ Odds Ratio Testul CHI PĂTRAT Tabele de incidenţă - exemplu O modalitate de a aprecia legătura dintre doi factori (tendinţa de interdependenţă,

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα