MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB"

Transcript

1 MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală)

2

3 Capitolul Introducere în funcţii complexe. Operaţii cu funcţii complexe Un număr complex este o pereche de numere reale x, y) R R. Adunarea şi înmulţirea sunt definite de x, y ) + x 2, y 2 ) = x + x 2, y + y 2 ) x, y ) x 2, y 2 ) = x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y ). Înzestrat cu aceste doua operaţii, setul de numere complexe este un câmp comutativ, notat cu C. De obicei perechea,) este notată cu i. Numerele complexe x, ) sunt identificate cu numerele reale x, datorită: x, ) + y, ) = x + y, ) x, ) y, ) = xy, ). Apoi, pentru fiecare număr complex: z = x, y) = x, ) + y, ), ) = x + yi x este partea reală sau Rez), şi y este partea imaginară, sau Imz). Modulul lui z este z = x 2 + y 2 şi unghiul θ, cosθ) = Rez), sin θ = z 3

4 Imz). Complexul conjugat al lui z = x + yi este numărul complex z z = x yi. Următoarele proprietăţi sunt bine cunoscute şi nu vor fi demonstrate aici: z + z 2 = z + z 2 ; z z 2 = z z 2 ; ) z = z ; z 2 z 2 z + z 2 z + z 2 z z 2 = z z 2 z = z z 2 z 2 z n ) = z n ; z n = z n. Fiecare număr complex z = x + yi poate fi reprezentat printr-un punct x, y) în planul xoy. Nu doar coordonatele carteziene pot determina un punct, ci şi coordonatele polare r, θ). Ele sunt definite de r = z = x 2 + y 2, tanθ) = y x, cosθ) = x r, sinθ) = y r. Apoi z = x + yi = rcos θ + i sin θ). Dacă z = cos θ + i sin θ ) şi z 2 = cos θ 2 + i sin θ 2 ), atunci z z 2 = r r 2 cosθ + θ 2 ) + i sinθ + θ 2 )) z = r cosθ θ 2 ) + i sinθ θ 2 )) z 2 r 2 z n = r n cos nθ + i sin nθ )) n z = n r cos θ + 2kπ n + i sin θ + 2kπ n ) ; k =,,..., n. În cazul n = 2, rădăcina pătrată poate fi găsită fără trigonometrie: a + bi = x + yi a + bi = x + yi) 2 x 2 y 2 = a, 2xy = b..2 Convergenţa în câmpurile complexe O secvenţă de numere complexe este o funcţie f : N C, unde fn) = z n. Secvenţa va fi notată cu z n ) n N. Pentru a defini convergenţa întrun câmp complex evocăm funcţia d : C C R, dz, z 2 ) = z z 2.

5 Această funcţie satisface: dz, z 2 ) and dz, z 2 ) = iff z = z 2 dz, z 2 ) = dz 2, z ) dz, z 3 ) dz, z 2 ) + dz 2, z 3 ) care decurg cu uşurinţă din proprietăţile modulului. O multime C, înzestrată cu o funcţie d ca mai sus se numeşte un spaţiu metric. O secvenţă z n ) n N, z C, este numită convergentă dacă există z C, astfel încât dz n, z) în R. Multimea Dz, r) = {z C dz, z) < r} este numită discul deschis de rază r şi centru z. Dz, r) = {z C dz, z) < r} este numită discul închis de rază r. Propoziţiile următoare oferă condiţii echivalente pentru convergenţă. Propoziţia. Fie z n ) n N, z n = x n + y n i, o secvenţă de numere complexe. Următoarele afirmaţii sunt adevărate:. z n z = x + yi 2. ε >, n N astfel încât n > n, dz n, z) < ε 3. x n x, y n y. Demonstraţie. 2 printr-un argument bine cunoscut într-un spaţiu metric ca pentru secvenţele din R). din 3 dz n, z) = z n z = x n x) 2 + y n y) 2 x n x + y n y ; max{ x n x, y n y } dz n, z). Ştim că un câmp real este un spaţiu metric complet, că orice secvenţă Cauchy este convergentă. O secvenţă z n ) n N este Cauchy dacă ε >, n ε N, astfel încât n, m n ε, dz n, z m ) < ε. Utilizând inegalităţile din demonstraţia propoziţiei precedente observăm că z n ) n N este Cauchy dacă x n ) n N şi y n ) n N sunt secvenţe Cauchy, de unde x n x, y n y, în consecinţă z n z. Deci, câmpul C este un spaţiu metric complet. Următoarele definiţii sunt standard pentru spaţiile metrice aici spaţiul metric este C): i) Mulţimea O din spaţiul metric C este deschisă dacă z O, ε > astfel încât Dz, ε)σo, sau echivalentă pentru orice secvenţă z n z D există n astfel încât z n D pentru n > n.

6 ii) Mulţimea A este închisă în spaţiul metric C dacă C A este deschis, sau echivalent, orice secvenţă z n z, z n A implică z A. iii) Un punct z este aderent la B dacă ε >, Dz, ε) B =, sau echivalent, z este limita unei secvenţe de elemente aparţinând lui B. iv) Un punct z este punct de acumulare a lui B dacă ε >, Dz, ε) intersectează B într-un punct diferit de z, sau echivalent, z este limita unei secvenţe de puncte aparţinând lui B, diferite de z. v) Închiderea lui B, notată B este mulţimea tuturor punctelor aderente ale lui B. B este întotdeauna închis şi este intersecţia tuturor mulţimilor închise ce conţin B. vi) Interiorul lui B, notat cu B, este mulţimea de puncte z B astfel încât să existe un ε >, depinzând de z, astfel încât Dx, ε) B. B să fie mereu deschisă, şi este submulţimea maximă deschisă din B. vii) Limita lui B, notată cu B, este mulţimea B B, este închisă, are interiorul gol şi coincide cu limita complementarului lui B adică C B)..3 Planul complex extins Se spune că o secvenţă de numere complexe converge la infinit, dacă lim z n = şi se scrie lim n n z n =. Pentru secvenţele de numere complexe ce tind la infinit, sunt valabile următoarele proprietăţi: a) z n z n dacă z n = pentru orice n N) b) z n şi ξ n a = rezultă z n ξ n. z n înseamnă R >, n N astfel încât n n z n > R. Pentru a reprezenta simbolul printr-un punct de ceva finit se consideră o sferă de rază r şi centru,, ) R 3. Fie planul complex reprezentat de planul xoy. Linia dreaptă ce uneşte polul nord N =,, ) cu punctul P = x, y, ) al planului complex intersectează sfera în punctele SP ) = 2x + x 2 + y, 2y 2 + x 2 + y, x2 + y x 2 + y 2 Pe masură ce distanţa P, O), SP ) se apropie de polul nord N. Spunem că sub această corespondenţă polul nord corespunde simbolului ).

7 şi lim n z n = corespunde cu lim n P n = N unde P n = Sz n ). Mulţimea ˆC = C { } este denumită planul complex extins sau sfera lui Riemann) şi este într-o corespondentă de unu la unu cu sfera de rază si centru,, )..4 Serii complexe O sumă formală z k = z + z + z z k +..., z k C, este k= o serie complexă. Suma s n = z + z z n este denumită suma partială de ordin n. Prin definiţie seria este convergentă dacă secvenţa sumelor parţiale s n ) n N este convergentă. Limita lui s n este numită suma seriei. Seria se numeşte absolut convergentă dacă seria z k este convergentă. Propoziţia 2. Fie z k o serie complexă. i) Seria este convergentă dacă ε >, n e N astfel încât pentru k=m n > n ε, z k z k. k=n ii) Dacă seria este absolut convergentă, atunci este convergentă. iii) z n. Demonstraţie. i) Condiţia din i) exprimă că secvenţa s n ) n N este Cauchy, de unde şi convergentă. k=m k=m ii) Evident, z k z k. Secvenţa z z n fiind k=n k=n convergentă de unde Cauchy), inegalitatea implică că secvenţa s n = z z n este Cauchy, de unde şi convergentă..5 Curbe în planul complex O funcţie f : [a, b] C, continuă, este prin definiţie o curbă complexă. Continuitatea înseamnă ft) = ut) + ivt), cu funcţiile reale continue u şi v. Dacă u şi v sunt funcţii diferenţiabile, curba este denumită diferenţiabilă. Dacă a = x < x <... < x k <... < x n = b este o

8 diviziune a lui [a, b], şi restricţiile la [x k, x k ] funcţiilor continue f sunt diferenţiabile, spunem că f este diferenţiabilă pe porţiuni. De exemplu: f : [, 2] C, t + ti; t ft) = t 2 + ti; t 2 este o curbă diferenţiabilă pe porţiuni. Curba este de clasă C k, dacă f = u + iv, cu u şi v de k ori continue diferenţiabile. O mulţime deschisă D C astfel încât oricare două puncte să poată fi conectate printr-o curbă continuă asta înseamnă fa) = primul punct, fb)= al doilea punct) este numită un domeniu complex..6 Funcţii complexe Fie D C. O funcţie f : D C este o funcţie complexă. Fiecare funcţie complexă are o parte reală si o parte imaginară: fz) = uz) i vz), unde u şi v sunt funcţii reale. Adesea, vom scrie ux, y), în loc de uz), z = x + iy. Fiind o funcţie între spaţii metrice, f este continuă la z, dacă ε >, δ > astfel încât dz, z ) < δ dfz), fz )) < ε. Acest lucru este echivalent cu z n z ) fz n ) fz ). f este continuă pe D dacă este continuă în orice punct al lui D. Următoarele propoziţii sunt imediate: Propoziţia 3. Fie f : D C, o funcţie complexă, fz) = uz)+ivz). Atunci: i) f este continuă dacă u şi v sunt continue ca funcţii reale. ii) dacă g este de asemenea o funcţie complexă, atunci f ± g, f g, f/g, f g, sunt continue, arată că operaţiile au sens. Demonstraţie. Demonstraţia este la fel ca pentru funcţii reale.. La fel ca şi secvenţele de puncte putem considera şi secvenţe de funcţii. O secvenţă f n ) de funcţii, se spune că este convergentă dacă secvenţa f n z)) este convergentă pentru orice z D la anumite valori fz). Putem defini o distanţă sau metric) între două funcţii prin df, g) = max z D dfz), gz)). Cu privire la această distanţă setul tuturor funcţiilor f : D C este un spaţiu metric. Dacă lim n df n, f) =

9 atunci spunem că convergenţa este uniformă. Acest lucru poate fi exprimat ca: ε >, n ε N astfel încât n > n ε z D, f n z) fz) < ε. Urmatoarea propoziţie este standard: Propoziţia 4. Fie f n ) n N o secvenţă de funcţii uniform convergente la f. Dacă f n este continuă pentru orice n, atunci f este continuă. Demonstraţie. Exerciţiu. O secvenţă de funcţii este p secvenţă Cauchy dacă ε >, n ε N, încât m > n > n ε df n, f m ) < ε. Atunci este uşor de văzut că pentru orice z D, f n z)) este o secvenţă Cauchy de numere complexe, astfel, o secvenţă convergentă pentru anumite valori fz) şi f n ) tind uniform către f. Acest lucru înseamnă că spaţiul tuturor funcţiilor continue f : D C cu distanţa de mai sus, reprezintă un spaţiu metric complet. Din propoziţia anterioară reiese că spaţiul tuturor funcţiilor continue este de asemenea un spaţiu metric, cu aceiaşi dimensiune. Următoarele teoreme oferă condiţii pentru convergenţa uniformă: Teorema 5 Weierstrass). Fie f + f f n +... o serie de funcţii, f n : D C astfel încât max f nz) a n R, şi seria de z D numere pozitive a + a a n +... este convergentă. Atunci seria f f n +... este uniform convergentă. Demonstraţie. Fie S n = f f n şi s n = a a n. Fie ε >. Există n ε N astfel încât pentru m > n > n ε s n s m ε. Dar avem ds n, S m ) = max f n+ z) f m z), care este mai mic decât max f n+ z) f m z), care la rândul său este mai mic decât a n a m ε. Acest lucru demonstrează că S n ) este o secvenţă Cauchy de funcţii, de unde şi uniform convergentă. Observaţia 6. Din propoziţia anterioară dacă toate f n sunt funcţii continue atunci şi suma f este de asemenea continuă..7 Funţii complexe definite prin serii de puteri Se consideră seria a + a z + a 2 z a n z n +...

10 O asemenea serie se numşte serie de puteri. Teorema 7 Abel). Dacă seria de puteri este convergentă pentru z =, atunci este absolut convergentă in D = {z z < z } şi este uniform convergentă D = {z z < r}, pentru orice < r < z. Demonstraţie. Convergenţa pentru z implică a n z n. Prin urmare, există o constantă pozitivă M astfel încât a n z n M. Fie z un punct arbitrar in D. Atunci a n z n a n z n z n < M q n z z unde q = <, şi acest lucru implică că seria este absolut convergentă. Dacă z D atunci a n z n Mq n r, unde q = z z, nu depinde de z D, deci, din Teorema lui Weierstras, seria este uniform convergentă pe D. Corolar 8. Fie seria de puteri convergentă la D = z < R. Atunci funcţia dată de suma este continuă pe D. Demonstraţie. În orice disc mic de centru avem, conform teoremei anterioare, o serie uniform convergentă de funcţii continue, astfel, suma este continuă. Corolar 9. Valoarea maximă a lui R pentru care seria este convergentă în z < R este: R = n lim sup n a n. Demonstraţie. După cum am vazut în demonstraţia teoremei lui Abel, dacă a n z n M, pentru anumiţi M pozitivi şi orice n, atunci seria este convergentă în domeniul z < z. Astfel R = max{r a n r n M r for some M r > and any n N} = max{r r = n lim sup a n n n Mr n a n for some M r > and any n N} =

11 Observaţia. Dacă a n a n+ R = lim R atunci n a n R şi a n n a n+ = n a n. lim n Fie pz) = a + a z a n z n, qz) = b + b z + b 2 z b m z m două polinomiale. Atunci: pz) ± qz) = a ± b ) + a ± b )z +... a k ± b k )z k +..., k max{m, n} pz)qz) = c + c z + c 2 z c k z k +..., k m + n unde c k = a b k + a b k a k b + a k b αpz) = αa ) + αa )z αa k )z k +..., k n. Dacă p şi q sunt serii de puteri atunci suma, produsul şi înmulţirea cu scalar sunt definite ca mai sus cu k <. Dacă pz) şi qz) sunt serii de puteri convergente cu sumele s şi s 2 atunci se poate demonstra că pz) ± qz), pz)qz) şi αpz) sunt serii de puteri convergente cu s ± s 2, s s 2 şi αs ca fiind sumele lor. Demonstraţia nu este dificilă şi este lăsată ca exerciţiu. Raţia pz) qz) = c + c z + c 2 z c k z k +... = cz) este definită prin condiţia pz) = cz) qz). Identificând coeficienţii din membrul stâng şi drept obţinem: a = c b a = c b + c b a k = c k b + c k b c b k Dacă b = q) = sistemul de mai sus poate fi rezolvat pas cu pas şi se pot găsi coeficienţii c k. Este mult mai dificil să se demonstreze că cz) este o serie de puteri convergentă dacă pz) şi qz) sunt convergente.

12 Dacă q) = b = atunci seria pqz)) = a + a qz) + a 2 qz)) a k qz)) k +... este bine definită deoarece qz) k = d k z k + d k+ z k şi pentru orice k numărul de coeficienţi = din z k este finit. Dacă pz) şi qz) sunt serii de puteri convergente atunci pqz)) este de asemenea convergentă în unele discuri de rază pozitivă..8 Exerciţii. Calculaţi + i), 3 + 4i 2 i,, x + i)3, + i + i i n. 2. Reprezentaţi în planul complex numerele complexe 2 + 3i, 3i i) Calculaţi 2 + i, 4 5i) i, 2 i. ) + i 4. Gasiţi forma polară din 3 4i,, + i tan θ) n. i 5. Calculaţi + i, i. 6. Rezolvaţi ecuaţiile: z 2 z + i + =, z i)z i =. 7. a) z + i < 2, b) z i = z, c) z 2 < z + + 2i, d) z z + z 2 = 4, e) z 2 < 2, f) Rez2 ) < Fie punctele A şi B reprezentând numerele complexe z A = + i, z B = 2 + 3i. Gasiţi coordonatele complexe ale punctului C astfel încât triunghiul ABC să fie echilateral. 9. Demonstraţi că pentru orice trei numere complexe z, z 2, z 3?? avem: z 2 + z2 2 + z3 2 = z z 2 + z 2 z 3 + z z 3. z i. Demonstraţi că: Imz) > implică <.. Demonstraţi că: sin π n sin 2π n z + i n )π... sin n = n 2 n. Indicaţie: Considerăm ecuaţia sin nx = cu rădăcinile x = dπ n, k Z. De la cos nx + i sin nx = cos x + i sin x) n rezultă nx = C n sin x cos n x C 3 n sin 3 x cos n 2 x Din aceasta obţinem ecuaţia algebrică cu o necunoscută sin x.??

13 2. Fie z = x + iy. Demonstraţi lim + z n = e n n) x cos y + i sin y). Indicaţie. Scrieţi forma polară a lui z = x + iy folosind formula Moivre. n n + n!)2 3. Gasiţi limitele: lim + i n n 2n)!, lim n k 2 k= n 3 + i n + n). 4.?? ˆC, ˆC. a) f : C {} C, fz) = z +, b) f : C {} C, z fz) = 2x + 3 z, c) f : C {, 2} C, fz) = z2 + z + z 2 3z ?? + r cosx) +... r k coskx) +... şi r sinx) + r 2 sin2x) r k sinkx)..., r <. Indicaţie. Fie z = rcos x + i sin x) şi calculaţi + z + z 2 + z z n +... { 6. Fie z, z 2, z 3 trei puncte necoliniare. Demonstraţi că z? z 3 z : z z } = real?? z, z 2, z 3. z 3 z 2 z z 2 7.?? a) n n z n, b) nz n, c) n + n)z n, d) n= n= n= n= n n n! zn. 8. Desenaţi următoarele curbe: a) [, 2π] θ cos θ + i sin θ, b) {z z = 2}, c) [, ] t t + t 2 i, c) {z Re z + Im z = }, d) [, 2π] θ e θ cos θ + i sin θ). 9. Găsiţi părţile reale şi imaginare ale următoarelor funcţii complexe: a) fz) = z + z 2, b) fz) = z z + 2, c) fz) = z. 2.?? f n z)?? z < : a)f n z) = z n, b) f n z) = zn n n, c) f nz) = 2 z + ) n ) n z n, d) f n 2 n z) = z n 2. Fie fz) = + z n, gz) = + nz n. Găsiţi puterea seriei n= fz) + gz), fz) gz), gz) fz). n=

14 .9 Funcţii diferenţiabile. Ecuaţiile Cauchy- Riemann Fie f o funcţie complexă f : D C unde D este un domeniu complex. Dacă există următoarea limită: fz) fz ) lim ) z z z z atunci f se numeşte diferenţiabilă complexă sau derivabilă complexă) la z şi limita este notată cu f z ). Dacă f este o diferenţiabilă complexă în fiecare punct al lui D atunci f este diferenţiabilă complexă în D. Următoarele proprietăţi sunt, valide pentru funcţii reale, sunt valabile şi în câmpul complex se presupun f şi g derivabile complexe):. αf + βg) z) = αf z) + βg z) 2. fg) z) = f z)gz) + fz)g z) ) f 3. z) = f z)gz) fz)g z), dacă fz) = g g 2 z) 4. f g) z) = f gz)) g z) 5. f ) w) =, unde w = fz). f z) Funcţia fz) = z n este derivabilă şi z n ) = nz n, deoarece: z n z n lim z z z z ) z z )z n + z n 2 z + z n 3 z z n = lim z z z z = nz n Din.-4. funcţiile a +a z+...+a n z n polinomiale) şi a + a z a n z n b + b b m z m funcţii raţionale) sunt derivabile complexe. Orice funcţie evaluată ca fiind complexă este suma dintre partea reală şi partea imaginară: fz) = uz) + ivz) = ux + iy) + ivx + iy) = ux, y) + ivx, y), unde u şi v sunt reale. Se consideră funcţia fz) = z = x iy. Limita lui fz) fz ))/z z ) când z z este în cazul z = t + iy şi este în cazul z = x + it în ambele cazuri t R şi t ).

15 Următoarea teoremă explică când o funcţie complexă este o funcţie derivabilă: Teorema. Fie f : D C, f = u + iv o funcţie complexă şi u, v diferenţiabile în x, y) D. Atunci f este derivabilă complexă în z = x + iy dacă şi numai dacă sunt adevărate următoarele ecuaţii: u x = v y 2) u y = v x În plus f z) = u x + i v x = v y i u y. 3) Demonstraţie. Necesitate. Se presupune că u şi v sunt diferenţiabile în z şi f este diferenţiabilă complexă. Atunci pentru t real fz + t) fz) lim t t Prima limită este = lim t fz + it) fz) it ux + t, y) ux, y) vx + t, y) vx, y) lim + i t t t = f z), t R. = u x + i v x. Analog, a doua limită este v y i u. Inegalitatea limitelor implică y 2) Suficient. Să presupunem că u şi v sunt diferenţiabile şi 2) este adevărată. Atunci fz + Δz) = ux + Δx, y + Δy) + ivx + Δx, y + Δy) = = ux, y) + u u Δx + x y Δy + e + + i vx, y) + v ) v Δx + x y Δy + e 2 = ) u = fz) + x + i v Δx + iδy) + e + e 2, x

16 e unde Δ z şi e 2 Δ z. Prin urmare z + Δz) fz) lim Δz Δz = u x + i v x + lim e + e 2 + u Δz Δz x + i v x. Acest lucru demonstrează derivabilitatea complexă a lui f. Exemplul 2. Fie fz) = e x cosy) + ie x siny). Atunci u x = v y = e x cosy) şi u y = v x = ex siny), astfel, f este derivabilă complexă şi prin f z) = fz). Această funcţie va fi notată cu e z, şi este uşor de vazut că e z +z 2 = e z e z 2. Numărul complex rcos θ + i sin θ) poate fi scris re iθ. Exerciţiul 3. Fie sinz) = eix e iz 2i tanz) = sin z cos z, Demonstraţi că sunt derivabile complexe şi cos z) = sinz) sin z) = cosz) cos 2 z) + sin 2 z) =, cosz) = eiz e iz, 2 cosz) cotz) = sinz). cosz + w) = cosz) cosw) sinz) sinw) ) π sinz) = cos 2 z. În general identităţile dintre funcţiile reale trigonometrice sunt adevărate şi pentru argumentele complexe. Exerciţiul 4. Fie shz) = ez e z, chz) = ez + e z. Arătaţi că 2 2 ch 2 z) sh 2 z) =, chz) = cosiz), shz) = i siniz) sunt derivabile complexe şi sh z) = chz), ch z) = shz).

17 Exerciţiul 5. Fie z = 2 x i ), y z = 2 x + i ). y Arătaţi că condiţiile Cauchy-Riemann sunt echivalente pentru z f) =. Exerciţiul 6. Fie ur, θ) + i vr, θ) o funcţie complexă z = r e iθ ). Demonstraţi condiţiile Cauchy-Riemann în coordonate polare: u r = r v θ ; v r = r u θ. Sugestie. De la x = r cosθ), y = r sinθ), urmează r = cosθ) x + sinθ) y, θ = r sinθ) x + r cosθ) y. Înlocuind aceste relaţii în formulele din exerciţiu observăm cu uşurinţă echivalenţa cu ecuaţiile Cauchy-Riemann. Exerciţiul 7. Fie n z = n rcosθ) + i sinθ)) = n θ + 2kπ r cos + i sin n ) θ + 2kπ. n Demonstraţi că n z este derivabilă complexă pentru < θ < 2π şi n z) = n n z) n. Sugestie. Folosiţi exerciţiul anterior sau 5). Exerciţiul 8. Fie lnz) = lnr)+iθ+2kπ), z = re iθ. Demonstraţi că lnz) este derivabilă complexă pentru < θ = argz) < 2π, ln z) = z şi e lnz) = z. Sugestie. Utilizaţi Cauchy-Riemann pentru coordonate polare sau 5). Corolar 9. Fie f = u + iv o derivabilă complexă în D, fie u şi v de două ori derivabile continuu. Atunci 2 u x + 2 u 2 y = şi 2 v 2 x + 2 v 2 y =. 2 Această consecinţă poate fi exprimată ca Δu = şi Δv = unde Δ = 2 x + 2 operatorul Laplace). 2 y2

18 Demonstraţie. x ) u + x y ) u y ) = 2 v x y + 2 v y x. Similar pentru v. Aceste funcţii u şi v sunt denumite conjugate armonice. Teorema 2. Fie D un domeniu simplu conex şi ux, y) armonic în D. Atunci există vx, y) armonic în D conjugat la ux, y) acest lucru se întâplă dacă f = u + iv este derivabilă complexă în D). Demonstraţie. Fie x, y orice punct în D. Integrala vx, y) = x,y) x,y ) u u dx + dy + C y x nu depinde de curba ce uneşte punctele de capăt deoarece u ) = ) u y y x x din ipoteză. În plus v x = u y ; v y = u x. Din Cauchy-Riemann, f = u + iv este derivabilă. Exemplul 2. Găsiţi vx, y) dacă ux, y) = y 3 3x 2 y. Funcţia u este armonică în C, astfel, există v astfel încât v x = u y = 3y2 + 3x 2 ; v y = u x = 6xy. Prima ecuaţie oferă vx, y) = 3y 2 x + x 3 + hy). Înlocuind în a doua, se obţine 6xy + h y) = v y = u x = 6xy de unde h x) = hx) = c vx, y) = x 3 3xy 2 + c şi fx, y) = y 3 3x 2 y) + ix 3 3xy 2 ) + c = ix + iy) 3 + c = iz 3 + c. Dacă f este o diferenţiabilă complexă în fiecare punct al lui D atunci f este diferenţiabilă complexă în D.

19 . Ramuri de funcţii analitice După cum am văzut funcţiile lnz) şi n z nu sunt definite pe tot câmpul complex. Motivul este discontinuitatea argumentului pe C {}. ln este definită ca inversul funcţiei exponenţiale. Dându-se z C, z = x + iy soluţiile ecuaţiei Z = X + iy e X cos Y +i sin Y ) = e Z = z = x+iy = x 2 + y 2 cosargz))+i sinargz))) sunt X = ln x 2 + y 2 ), Y = argz) + 2kπ. Prin urmare lnz) = ln x 2 + y 2 ) + iarg z + 2kπ). Când z descrie o curbă închisă, ce parcurge originea în sensul invers acelor de ceasornic, argz) creşte cu 2π. Astfel, argz) şi ln z nu sunt continue pe acea curbă şi pe niciun domeniu ce deţine o asemenea curbă. Suntem forţaţi să scoatem unele mulţimi din C pentru a nu permite în rest, curbe închise în jurul lui zero. Îndepărtând {z argz) = θ} obţinem o funcţie logaritmică pentru care θ < argz) < θ +2π. Aceasta funcţie realizează o corespondenţă de unu la unu între C {z argz) = θ} şi domeniul {Z θ < ImZ) < θ + 2π}. n Funcţia radical z definită mai sus depinde de argz) şi trebuie să scoatem unele mulţimi din C pentru a nu permite în rest curbe închise în jurul lui zero, pentru a avea o funcţie radical continuă. Îndepărtând, ca şi pentru funcţia logaritm, {z argz) = θ}, obţinem o corespondenţă de unu la unu n z la zona C {z argz) = θ}. Funcţia radical poate fi definită printr-un logaritm precum n z = e n lnz). Este mai uşor de verificat n z) n = z. În general una defineşte z z 2 = e z lnz 2 ). Această expresie nu este nici unică doarece ln z nu este unic definită. O funcţie olomorfă fz) definită într-un anumit domeniu, astfel încât fz)) α = z în acel domeniu este numită o ramură a lui z α.. Transformări Conforme Fie D o mulţime deschisă R 2 = C şi f : D C = R 2, fx + iy) = ux, y), vx, y)). Fie γ : t γt) = αt), βt)) R 2 o cale de derivabilitate, t [, a]. Atunci fγt)) are la t = următoarea tangentă la

20 t = = ) d uαt), βt), dt d dt vαt), βt)) t= = du dx x, y )α ) + du dy x, y )β ), dv dx x, y )α ) + dv ) dy x, y )β ) sau în formă matricială d uαt), βt)) dt d vαt), βt)) dt t= du dx x, y ) = dv dx x, y ) du dy x, y ) dv α ). dy x β, y ) ) Pentru ca transformarea liniară dată de matricea de mai sus, să păstreze unghiurile dintre vectori şi să aibă un determinant pozitiv este necesar şi suficient ca matricea să fie vezi lema de mai jos) du dx x, y ) dv dx x, y ) du dy x, y ) dv = a dy x b, y ) Acest lucru este echivalent cu du dx = dv dy, du dy = dv dx la x, y ) aceasta este condiţia Cauchy-Riemann. Obţinem următoarea teoremă Teorema 22. Fie D C, D 2 C două domenii complexe şi f : D D 2 o transformare cu Jacobian pozitiv C cu alte cuvinte C este un diffeomorphism preserving orientation). Apoi f păstrează unghiul dintre curbe dacă f este o funcţie regulată. Demonstraţie. Demonstraţia urmăreşte consideraţiile de mai sus şi lema următoare Lema 23. Fie T : R 2 R 2 o transformare lineară care păstrează unghiurile dintre vectori şi are un determinant pozitiv. Apoi matricea lui T în conformitate cu baza naturală a lui R 2 este a b. b a b a.

21 Demonstraţie pentru lemă). Fie ı = T ı) = a. b Atunci ȷ = ı de unde T ı) T ȷ), astfel T ȷ) = ρb. ρa Dar ı + ȷ, ı) = π 4 = T ı) + T ȷ), T ı)). Acest lucru implică vectorii, ı) + T ȷ), T j) fac un pătrat de unde ρ = sau ρ = ±. Matricea lui T este T ı) T ȷ)) = a ρb. ρb ρa Determinantul matricei este pozitiv doar pentru ρ =. Acest lucru termină demonstraţia teoremei şi a lemei. Exemplul 24. Funcţia fracţională lineară ax + b Se consideră funcţia fz) = cz + d unde a c b d =. { Această funcţie este definită pe C d } c şi ia valori în C. Dacă z d c atunci fz) şi dacă z atunci fz) a c. Prin ) urmare f poate fi extinsă prin continuitate la ˆf : ˆC ˆC, f { }, ˆf ) = a c şi ˆfz) = fz) pentru z C d. c Raţia z, z 2, z 3, z 4 ) = z 3 z z 4 z : este numită raţia nearmonică a numerelor z, z 2, z 3, z 4. z 3 z 2 z 4 z 2 Teorema 25. Fie f o funcţie fracţională raţională. Atunci a) z, z 2, z 3, z 4 ) = fz ), fz 2 ), fz 3 ), fz 4 )) b) z, z 2, z 3, z 4 aparţine aceluiaşi cerc sau aceleiaşi linii dreapte dacă z, z 2, z 3, z 4 ) R d c =

22 c) Dacă z, z 2, z 3 aparţine aceluiaşi cerc sau aceleiaşi linii dreapte atunci fz ), fz 2 ), fz 3 ) aparţin aceluiaşi cerc sau aceleiaşi linii drepte d) Dându-se trei puncte distincte z, z 2, z 3 şi un al doilea set de trei puncte distincte w, w 2, w 3 există şi numai o transformare fracţională lineară f astfel încât fz ) = w, fz 2 ) = w 2, fz 3 ) = w 3. Demonstraţie. a) Fie fz) = az + b. Demonstraţia pentru a) este cz + d un calcul direct. b) z, z 2, z 3, z 4 aparţin aceluiaşi cerc sau aceleiaşi linii drepte dacă z z 3, z 2 z 3 ) = z z 4, z 2 z 4 ) sau z z 3, z 2 z 3 ) + z z 4, z 2 z 4 ) = π aici z z 3 este un vector începând la z 3 şi sfârşind la z ) ) z z 3 z z 4 etc). Prima condiţie este echivalentă cu arg = arg z 2 z 3 z 2 z 4 sau argz, z 2, z 3, z 4 ) = sau ) z, z 2, z 3, z 4 ) R + ). A doua condiţie este z z 3 z z 4 echivalentă cu arg = π arg sau z, z 2, z 3, z 4 ) = π z 2 z 3 z 2 z 4 sau z, z 2, z 3, z 4 ) R. c) Rezultă din b) d) Ecuaţia z, z 2, z 3, z) = w, w 2, w 3, fz)) oferă fz) Determinantul Jacobian al lui f este pozitiv. Acest lucru implică că partea dreaptă a curbei este transformată î n partea dreaptă a imaginii sale şi analog pentru partea stângă. Se consideră funcţia fz) = z i z + i. Această funcţie este fracţional lineară f ) = i, f) =, f) = i. Cercul ce trece prin,, de fapt o linie dreaptă) se transformă într-un cerc, trecând prin i,, i, i, r cercul unitate. Partea stângă a liniei drepte luând [...] ca orientare pozitivă) se transformă în partea stangă a cercului unitate luând i,, i ca orientare pozitivă) i.e. discul unitate. Exemplul 26. Transformarea fracţională lineară ce transformă semi- az + b planul Imz) > în semiplanul Imw > este fz) = cz + d unde a, b, c, d sunt reale şi ab cd >. Întradevăr, de la,,, z) = α, β, ψ, fz)), α, β, ψ R rezultă fz) = az + b cz + d cu a, b, c, d R. De la Imfi) > rezultă ad bc >. Exemplul 27. Funcţia w = fz) = z 2. Funcţia este o bijectivă între

23 {z Imz) > } şi C [, ). Transformarea inversă este z z. Exemplul 28. Funcţia w = fz) = expz) = e x cos y+i sin y) urmează {z z = x + iy, θ < y < θ + 2π} conform cu C {w argw) = θ} şi urmează intervalul {z < Imz) < π} până la semiplanul superior. Exemplul 29. Funcţia w = fz) = z α, α >, urmează sectorul < argz) < π până la semiplanul superior {w Imw) > }. α Exemplul 3. Prin compunerea transformărilor conforme se pot obţine transformări interesante. Fie D = {z Imz) > } {yi y h} este transformată în ξ D 2 = C [ h 2, ). Prin η = ξ + h 2 D 2 este transformat în D 3 = C [, ). Funcţia η w = n transformă D 2 în D 4 = {w Imw) > }. Compunerea celor trei transformări este z z 2 + h 2 şi transformă D în semiplanul superior. Exemplul 3. Funcţia Zhukovskii, este funcţia w = u + iv = Jz) = z + ). Următoarele propoziţii aduc funcţiei nişte proprietăţi. 2 z Propoziţia 32. a) f este univalentă într-un domeniu D dacă z, z 2 D z z 2 = { } b) imaginea de rază u 2 z argz) = α, α = kπ este o ramură a hiper- 2 v2 sin 2 α) = ce corespunde cu u = r + ) cosα), 2 r bolei cos 2 α) v = r 2 r în axa imaginară u =. ) sinα). Raza ce corespunde cu α = π 2 este transformată c) Cercul z = r = este transformat în elipsa u2 a + v2 2 b = unde 2 a = r + ), b = r ) 2 r 2 r d) Cercul z = este transformat în segmentul [, ] traversat de două ori. e) Discul z < este transformat conform în exteriorul segmentului [, ]. f) J transformă conform demicercul z <, Imz) > în semiplanul inferior v = Imw) <. g) J transformă domeniul z >, Imz) > în semiplanul superior Imw) >. Demonstraţie. a) Este uşor de văzut că Jz ) = Jz 2 ) z z 2 =.

24 b-g) Dacă z = re iα şi w = Jz) = u+iv, atunci u = 2 r ) sinα) şi rezultatul se află uşor. r v = 2 r + ) cosα), r.2 Exerciţii. Calculaţi e +2i, sin2 + i), tani), ln + 3i), shi + ). 2. Aflaţi partea reală şi partea imaginară a sinz), cosz), tanz), cotz), shz), chz). 3. Demonstraţi că pentru f = u + iv olomorfă, curbele ux, y) = const., vx, y) = const., sunt ortogonale. 4. Fie u armonică. Demonstraţi că x u u + y este armonică. x y 5. Găsiţi funcţiile olomorfe f = u + iv, astfel încât a) u depinde numai de x 2 + y 2 b) u v depinde numai de y x + x) + y2 c) ux, y) = + x 2 + y 2 d) ux, y) = αx) βy) e) ux, y) = sin2x) ch2y) cos2y) f) ux, y) = x2 + y 2 3x + 2 x 2 + y 2 4x + 4 g) ux, y) = a argz) + b, z = x + iy. h) ux, y) = x x 2 + y Aflaţi constantele astfel încât următoarele funcţii să fie olomorfe a) fx + iy) = x + ay + ibx c y) b) fx + iy) = x 2 + axy + by 2 ) + icx 2 + dxy + y 2 ). 7. Aflaţi imaginea < x, y < din a) fz) = 2 + i)z + i b) fz) = iz c) fz) = z.

25 8. Aflaţi transformarea fracţională lineară care transformă semiplanul superior Imz) > în: a) semiplanul {s + iσ s > σ} b) discul [w w < ] c) semiplanul {w Rew) > }. 9. Aflaţi o transformare fracţională lineară astfel încât i, i, 2i.. Găsiţi imaginile următoarelor domenii prin corespondenţa funcţiilor olomorfe: a) D = {z Rez /2, /2), Imz > }, fz) = sinπz) b) D = {z Rez, ), Imz > }, fz) = cosπz) z + z c) D = {z z >, Imz > }, fz) = 2 d) D = {z z <, Imz > }, fz) = z z +.. Găsiţi imaginea Rez = c const.) la fz) = z Demonstraţi că orice transformare fracţională lineară ce face z a din discul unitate, un disc unitate este z fz) = c, unde c şi az a sunt complexe şi c =, a <. ).3 Integrarea în câmpul complex Fie γ : [a, b] D C a C o clasă de curbe şi f : D C continuă, f = u + iv. Se defineşte: γ fz)dz = u+iv) dx+idy) = γ γ ) ) udx vdy +i vdx + udy. γ După cum ştim partea dreaptă din egalitatea de mai sus nu se schimbă dacă schimbăm parametrizarea lui γ. Exemplul 33. Calculaţi z n dz. Calea este orientată în sens invers z =R acelor de ceasornic. Curba z = poate fi parametrizată t Re it, t 2π. Integrala este 2π R n cos nt + i sin nt) R sin t + i cos t)dt =

26 2π, n = = ir n+ cosn + )t + i sinn + )t)dt = 2πi, n =. Dacă curba γ este pe porţiuni C, integrala este definită ca o sumă de integrale de peste C părţi de γ. Avem: Propoziţia 34. a) afz) + bgz))dz = a fz)dz + b gz)dz γ γ γ b) Fie Δ : a = t < t <... < t n = b o diviziune a [a, b] curba γ este definită pe [a, b]) şi fie ζ i [t i, t i ], z i = γt i ) = xt i ) + yt i ), ξ i = γζ i ) = xζ i ) + i=n yζ i ). Atunci fz)dz = lim fξ i )z i z i ). c) fz)dz = fz)dz γ γ d) fz)dz = fz)dz + fz)dz γ γ 2 γ γ 2 e) fz)dz max fz) lengthγ) γ z Imageγ) f) Fie f n f uniform pe γ. Atunci Demonstraţie. a) Este evidentă. b) Fie f = u + v. Atunci i=n i= i=n i= i=n γ γ Δ i= f n z)dz γ fz)dz. fξ i )z i z i ) = uxζ i ), yζ i )) xt i )) + i= vxζ i ), yζ i ))xt i ) xt i )+ [ i=n i= vxζ i ), yζ i ))xt i ) xt i ))+ +uxζ i ), yζ i ))xt i ) xt i ))] udx vdy + vdx + udy = γ γ γ fdz. c), d), f) sunt evidente datorită proprietăţilor integralei liniare.

27 e) fz)dz = lim fξi )z i z i ) lim fξi ) z i z i γ δ δ max f lim δ zi z i = max f lengthγ)..4 Teorema şi consecinţele integralei lui Cauchy Teorema 35. Presupunem că o funcţie f : D C este de clasă C şi D este un domeniu simplu conex. Apoi f este olomorfă în D dacă fz)dz = pentru orice curba închisă ce se află în D. γ Demonstraţie. = fz)dz udx vdy =, vdx + udy =. γ γ Conform teoremei Riemann-Green ultimele două egalităţi sunt adevărate pentru orice γ dacă u y = v) v şi x y = u), sau ecuaţiile Riamann- x Green. Corolar 36. Fie D un domeniu complex cu un număr finit de componente pe porţiuni pe graniţa sa. Dacă f este olomorfă în D şi continuă în D, fz)dz =. Graniţa lui D este orientată astfel încât D să se D situeze în stânga lui D. Notând cu Γ graniţa exterioară şi cu Γ, Γ 2,... graniţele interioare orientate în sens invers acelor de ceasornic, atunci: fz)dz = fz)dz 4). Γ i Γ i Demonstraţie. D = Γ Γ )... Γ n ), unde Γ i reprezintă Γ i cu orientare inversă. Fie γ = A A Γ AA A A Γ ) A A... ca A n A n A unde A A i căi de clasă C în interiorul lui D ce conectează A D cu A i Γ i şi A A conecteză pe A la A Γ. Atunci γ este o cale închisă şi f este o funcţie olomorfă în D de unde fz)dz = sau A A fz)dz+ fz)dz+ fz)dz+ fz)dz Γ AA A A γ γ Γ fz)dz+... =.

28 Considerându-se că fz)dz = fz)dz, se obţine rezultatul. AA A A Corolar 37. Dacă o funcţie este olomorfă într-un domeniu simplu conex D, atunci fz)dz depinde doar de punctele de capăt ale lui γ. γ Teorema 38. a) Dacă o funcţie g este olomorfă în D, atunci există f în D astfel încât z D F z) = fz) şi gz)dz = fz 2 ) fz ). z b) Orice funcţie f dată de o serie de puteri convergentă pe Dz, R), fz) = a k z z ) k este o funcţie olomorfă. c) Î plus este infinit derivabilă şi f se obţine derivând f termen cu termen. d) a n = f n) z ) 5) n! z Demonstraţie. a) Fie fz) = gt)dt integrala ce preia orice cale ce z conectează z şi z în interiorul lui D. Atunci fz) este bine definită şi z2 z + h) fz) h = h z+h z gt)dt = h h gz+t)dt = h h gz)+wz, t))dt cu wz, t) când t. Astfel fz + h) fz) h = gz) + h h wz, t)dt gz) când h întrucât h wz, t)dt h max w h. h n b) Fie fz) = a k z z ) k şi f n z) = a k z z ) k. Funcţia f k= k= este de clasă C, f n este olomorfă în domeniul D = {z z z < R} şi f n f uniformă în orice domeniu D = {z z z < R < R}. Fie γ orice cale închisă din D. Atunci γ există în D pentru R < R. Atunci deci, f este olomorfă. γ fz)dz = n lim f n z)dz = lim γ n =

29 c) Se consideră gz) = ka k z z ) k k= care este convergentă în z z < R. Fie n g n z) = ka k z z ) k. k= Atunci g n z) = f nz), f n z) = a + a + z z gξ)dξ = a + lim n z z z gξ)dξ, g n g uniform, de unde z g n ξ)dξ = lim n f n z) = fz) şi c) rezultă din a) d) f n) z) = n!a n + n + )nn )... 2a n+ z z ) +..., la c), de unde f n) z ) = n!a n..5 Reprezentarea integralelor şi extinderea seriilor de puteri Teorema 39 Formula integrală a lui Cauchy). Fie f : D C o funcţie olomorfă şi D D, Γ = D D, D părţi conexe de clasă C, z D cu alte cuvinte Γ este o curbă închisă în D şi z este situată în interiorul lui Γ). Atunci Formula integrală a lui Cauchy): fz) = fξ) dξ. 6) 2πi Γ ξ z Demonstraţie. Fie D ε = {η η z < ε} D şi D ε = Γ ε. Funcţia gη) = fn) η z este olomorfă în D D ε şi D D ε ) = Γ Γ ε ). Potrivit corolarului anterior fη)dη = Γ gη)dη Γ ε 7)

30 fη) = fz) + cu wz, η)?? în D. Atunci fη) fz) η z) = fz) + wz, η) η z) η z gη)dη = fz) Γ ε Γ ε η z dη }{{} =2πi + wz, η)dz = Γ ε = fz) 2π + wz, η)dη. Γ ε Dar wz, η) max w lengthγ ε) = max w 2πε, as Γ ε ε. Luând în ambele părţi din 7 limita pentru ε se verifică formula 6. Corolar 4. Funcţia f de clasă C este olomorfă în D dacă în jurul oricărui punct z D, f admite o reprezentare 6) Demonstraţie. Dacă f este olomorfă atunci am demonstrat formula 6). Invers, formula 6) poate fi derivată sub integrală şi se obţine f z) = 2πi γ fη) η z) 2 dη. Observaţia 4. Acest corolar oferă o nouă caracterizare pentru funcţiile olomorfe. Se rescrie formula fz) = 2πi ξ = z + re iθ. Obţinem ξ z =r fz) = 2π fz + re iθ )dθ 2πr fξ) dξ utilizând parametrizarea ξ z ce demonstrează următorul corolar. Corolar 42. Valoarea unei funcţii olomorfe în z este media valorilor lui f pe orice cerc cu centrul în z. O consecinţă imediată este Corolar 43 principiul modulului maxim). Fie f olomorfă în D şi continuă în D. Atunci f atinge minimul şi maximul în D. Dacă f atinge un maxim în interiorul lui D atunci f este constantă.

31 Anterior am demonstrat că orice serie de puteri convergentă oferă o funcţie olomorfă. Reciproca este de asemenea adevarată. Următoarea teoremă oferă o afirmaţie precisă. Teorema 44 a) Fie f : D C o funcţie de clasă C. Atunci f este olomorfă în D dacă z D, într-o anumită vecinătate a lui z f poate fi scrisă fz) = a + a z z ) + a 2 z z ) a n z z ) n +... Coeficienţii a n sunt definiţi de a n = 2πi γ fξ) dξ ξ z ) n+ γ fiind orice curbă închisă pe porţiuni de clasă C ce înconjoară z γ = D, D D, z D ) b) F este infinit derivabilă şi coeficienţii a n sunt unic definiţi de f n) z ) = n! 2πi γ fξ) ξ z ) n+ = n!a n. Demonstraţie a) Fie Dz, r) D. Pentru z Dz, r) avem fz) = fξ) dξ = 8) 2πi ξ z =r ξ z = 2πi ξ z =r ξ z ) fξ) + z z ξ z )dξ = 9) = fξ) + z z + z z ) 2 ) 2πi ξ z =r ξ z ) ξ z ξ z ) +... = ) 2 + a = fξ) 2πi ξ z =r ξ z dξ }{{} 2πi } ξ z =r {{ } a fξ) ξ z ) dξ 2 z z ). )

32 Am folosit aici z z < ξ z şi progresia geometrică este uniform convergentă la {ξ ξ z = r}. Dacă γ = D, z D D şi r este suficient de mic astfel încât Dz, r) D, atunci 2πi D fξ) dξ = ξ z ) n+ 2πi ξ z =r fξ) ξ z ) n+ = a n, b) Este o consecinţă a lui a) şi 5). Observaţia 45. Dezvoltarea în jurul lui z poate fi scrisă: fz) = fz )+ f z )! z z )+ f z ) 2! z z ) f n) z ) z z ) n +... n! şi raza de convergenţă este cel puţin distanţa dintre z şi graniţa lui D. Exemplul 46. Fie fz) = e z, z =, f z) = f z) =... = f n) z) = e z şi f n) ) = e =. Atunci e z = +! z + 2! z n! zn +... Exemplul 47. Fie fz) = sinz), z =. Folosind dezvoltarea pentru e iz şi e iz obţinem Exemplul 48. Analog sinz) = z! z3 3! )n z 2n+ 2n + )! +... cosz) = z2 2! + z4 z2n )n 4! 2n)! +... Exemplul 49. ln + z) = + z = z + z ) n z n Integrând ambele părţi ln + z) = z z2 2 + z3 zn )n 3 n +... ln z) = z = z z2... z n.

33 Integrând ln z) = z z2 2 z zn n... Exemplul 5. fz) = + z) α = e α lnz), f z) = α + z eα ln+z) = α + z) α. Prin introducerea f n) = αα )... α n + ) + z) α n. Folosind proprietatea logaritmului pentru care ln) =, atunci f n) ) = αα )... α n + ) şi +z) α = + α αα ) z+ z 2 αα )... α n + ) z n +...! 2! n! Mai jos sunt adunate unele caracterizări ale funcţiilor olomorfe, demonstrate în teoremele precedente. Teorema 5. Fie f : D C o funcţie de clasă C, D fiind un domeniu complex. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: fz) fz ) a) lim există pentru orice z D. z z z z b) Dacă f = u + iv, u, v - funcţii reale, atunci u x = v y v y. c) γ şi u y = fz)dz = pentru orice cale închisă, deformabilă într-un punct din D. d) fz) = fξ) pentru orice z D, γ o cale din D, în jurul 2πi γ ξ z lui z mai precis γ = D z, D D. γ poate avea una sau mai multe componente). e) Pentru orice z D, r >, astfel încât pentru z z < r, fz) = a n z z ) n f n) z ) = z z ) n. n= n= n! f) Dacă f este un diffeomorfism între D şi fd), atunci a-e) sunt echivalente cu faptul că f este o transformare conformă şi menţine orientarea..6 Serii Laurent Teorema 52 Dezvoltarea Laurent). Fie f olomorfă pe domeniul

34 D = {z r < z z < R}. Atunci a p fz) =...+ z z ) a +a p +a z z )+...+a n z z ) n +... z z unde a n = 2πi γ 2) fξ) dξ 3) ξ z ) n+ γ este o cale închisă în D în jurul lui z. Dezvoltarea este unică. Demonstraţie. Fie D = {r < r < z z < R < R}. Atunci fz) = 2πi D = 2πi Prima integrală este fξ) ξ z dξ = z z =R fξ) ξ z dξ 2πi z z =r a n z z ) n n= fξ) ξ z dξ. unde a n sunt date ). Pentru cea de-a doua integrală obţinem 2πi ξ z =r = 2πi ξ z =r = a n = 2πi fξ) ξ z dξ = 2πi ξ z =r fξ) z z ξ z =r + ξ z z z + ξ z ) 2 z z ) 2 + d fξ) dξ ξ z ) n+ fξ) z z ) ξ z )dξ = z z ) ξ z deoarece z z < pe ξ z = r. Împreaună aceste două extinderi demonstrează existenţa extinderii Laurent. Convergenţa este uniformă pe D. Se ia în considerare 2πi ξ z =r dξ ξ z ) n = for n = = for n =

35 şi presupunând 2) atunci se obţine uşor 3) demonstrându-se unicitatea lui a n. Exemplul 53. Fie fz) =. Rădăcinile numitorului sunt z 2 3z + 2 şi 2. În discul z < funcţia este olomorfă şi avem o dezvoltare Taylor. fz) = z + z 2 = z 2 z 2 = +z+z z n +...) 2 + z 2 + z 2 ) z 2 ) n +... ) = n= ) z n. 2 2n+ În intervalul < z < 2 dezvoltarea se schimbă deoarece z nu mai este mai mic decât şi se foloseşte /z < în progresia geometrică. fz) = 2 z 2 z z = 2 + z ) 2 + z zn n z z + ) z +... = 2 =... z z 2 z 2 2 z n+ zn +... În domeniul z > 2, avem z < 2 şi z <, astfel, dezvoltările progresiei geometrice trebuie să utilizeze ca raţii z şi 2 z fz) = z + z z ) + z 2 z + 2 ) z + 22 z ) = z z + z ) + = + 2 n ) n= z. n

36 .7 Exerciţii. Calculaţi 2. Calculaţi z =r g z 2 + 3z + 4 ) dz. z z 2 + z )dz unde γ : [, ] C, γt) = t + it Găsiţi dezvoltările funcţiilor a) fz) = sin 3 z, z =. b) fz) = 3 + z, z =, f) =. + z c) fz) = ln z, z =, f) =. d) fz) = cos 2 z, z =. e) fz) = arctan z, z =, f) =. f) fz) = arcsin z, z =, f) =. g) fz) = cos z, z =. h) fz) = z 2 3z + 2, z =, f) >. 4. Găsiţi dezvoltările funcţiilor a) fz) = z 2 ) în jurul lui z =. b) fz) = z 3 2z 2 + z 2) în jurul lui z = 2. c) fz) = e/ z în jurul lui z = 2. d) fz) = e z+i z i în jurul lui z = i. f) fz) = tan z în jurul lui z = Folosind formula integrală Cauchy, calculaţi cos z a) z = z dz. z 4 b) z =2 z 2 4z + 3 dz.

37 z 4 c) z =2 z ) dz Demonstraţi că pentru orice funcţie derivabilă complexă f : D C, D simplu conex şi f diferit de zero, există F : D C, derivabilă complexă, astfel încât f = e F. Sugestie: f f admite o primitivă G. De la G = f ) e G f rezultă = f de unde f = const e G. 7. Demonstraţi că pentru orice funcţie derivabilă complexă F : D C, D simplu conex şi f diferit de zero, există g : D C, derivabilă complexă, astfel încât g 2 = f. Soluţie: f = e F, deci g = e F Demonstraţi că pentru o funcţie olomorfă f din interiorul discului z < R, astfel încât fz) < M r pe {z z = r}, coeficienţii dezvoltării fz) = a n z n satisfac inegalităţile a n M r Inegalităţile lui 2π r n Cauchy). Sugestie: Folosiţi a n = fξ) dξ şi propoziţia 34. 2πi ξ =r ξn+ 9. Fie f : C C olomorfă şi fz) M pentru orice z C. Demonstraţi că f este constant. Liouville). Sugestie: fz) = a n z n şi folosiţi exerciţiul anterior pentru a es- n tima a n.. Fie pz) = a n z n +a n z n +...+a k z k +...+a, n o funcţie polinomială cu coeficienţi complecşi. Demonstraţi că există z C cu pz ) =. Sugestie: Presupuneţi că pz) este diferit de. Atunci fz) = pz) este o funcţie olomorfă mărginită f : C C, şi din exerciţiul anterior este constantă. Contradicţie.. Presupuneţi că f transformă discul unitate în el însuşi şi f) =. Demonstraţi că fz) z şi dacă fz) = z pentru z = atunci fz) = cz pentru anumite constante c cu c =.

38 Soluţie: Fie gz) = fz) pentru z = şi g) = f ). g este z olomorfă şi gz) = fz) pe orice cerc de rază r <. Principiul z r modulului maxim implică gz) pe discul de rază r. Lu ând r r rezultă gz) pe discul unitate. Dacă gz) = undeva în interiorul discului unitate, atunci principiul modulului maxim implică gz) şi g este constant..8 Puncte singulare Fie f : D {z, z, z 2,..., z n } C olomorfă în D D - domeniu în C ) cu excepţia punctelor z, z 2,..., z n D. Punctele z, z 2,..., z n sunt numite puncte singulare ale lui f. În jurul lui z, în intervalul < z z < r, f poate fi dezvoltată în serie Laurent fz) = i= i= a i z z ) i. 4) Evident că, pentru z = z, f nu este definită. Se pot întâmpla mai multe lucruri în jurul lui z. Mai jos z există pentru orice punct singular al lui f. Teorema 54. Fie f cu dezvoltarea 4) în jurul lui z. Atunci a) Dacă fz) este delimitată într-o vecinătate a lui z, atunci dezvoltarea 4) are numai puteri pozitive de z z ), z z lim fz) = a, şi luând fz ) = a, funcţia devine regulară la z. z este denumit punct singular mobil. b) Dacă z z lim fz) = atunci dezvoltarea 4) este de forma i= n a i z z ) i a n = n N n =. Punctul z se numeşte pol de ordinul n. c) Dacă nu sunt valabile a) sau b) atunci dezvoltarea 4) este infinită în ambele direcţii şi pentru orice w C există o secvenţă z n z astfel încât fz k ) w. z este numit punct singular esenţial.

39 Demonstraţie. a) a n = fξ)ξ z ) n dξ, deci, pentru n z z =r, fξ) M?? r găsim a n Mr n 2πr = 2πMr n.?? a n = pentru n.?? b) Dacă fz) = a n z z ) n a +... = = a n + a n+ z z ) a z z ) n +... z z ) n = gz) z z ) n unde gz) este olomorfic?? z atunci lim fz) = lim z z z z gz) z z ) n =.??, if lim fz) =?? z fz), deci hx) = este olomorfic, z z fz) atunci?? fz) = b nz z ) n + b n+ z z ) n+ +..., n, b n =. fz) = hz) = z z ) n b n + b n+ z z ) + b n+2 z z ) ). Dar b n + b n+ z z ) +... = c + c z z ) +..., este olomorfic în jurul lui z. În final, fz) = c z z ) + c n z z ) c n n +...,?? z?? n. c) În contrast cu a) şi b) lim fz) nu există, este echivalent cu z z o infinitate de puteri negative ale dezvoltării Laurent. Se presupune că z este un punct singular esenţial şi a C nu este limita unei secvenţe fz n )) n N unde z n z. Atunci pe anumite vecinătăţi U la z, fz) a ε >. Acest lucru implică că gz) = fz) a = a pz z ) p + a p+ z z ) p p, a p =

40 este olomorfă în jurul lui z. De unde fz) = a + gz) = a + z z ) p a p + a p+ z z ) +...) = z = z z ) + c p z z ) +... p după cum am văzut la b), contrazicerea lui z este o singularitate esenţială. Observaţia 55. Demonstraţia lui b) arată că hz ) = h z ) =... = h n ) z ) =, h n) = sau hz) = z z ) n h z), h z ) = implică că z este un pol de ordinul n pentru fz) =. Analog dacă fz) = hz) gz) hz), gz ) =. Observaţia 56. Dacă z este un punct singular pentru f atunci într-o anumită vecinătate a lui z nu mai sunt alte puncte singulare deoarece i= a i z z ) i este convergentă pentru z = z. i= Fie acum o funcţie f periodică într-o vecinătate punctată z vecinătate cu z îndepărtată) şi se consideră integrala lui f pe un cerc mic în jurul lui z. fz)dz = a n z z ) n dz = = z z =r n= a n z z =r n= z z ) n dz z z =r Definiţia 57. Numărul a = 2πi ) = a z z =r z z ) dz = 2πi a. z z =r fz)dz este numit reziduul lui f în punctul z şi este notat cu Resf, z ). Exemplul 58. Fie fz) = e /z. Atunci la z = dezvoltarea lui fz) este fz) = z! z =... + n frac/n!zn z +. n=

41 Prin urmare Resf, ) = Rese /z, ) =. Teorema 59. Fie f o funcţie periodică într-o vecinătate punctată z C. Dacă z este pol de ordin n atunci Resf, z ) = n )! lim z z z z ) n fz)) n ). În particular dacă fz) = gz) hz), gz ) =, hz ) =, h z ) = atunci z este pol de ordinul şi Demonstraţie. fz) = Resf, z ) = gz ) h z ). a n z z ) + a n+ n z z ) a n +... şi z z ) n fz)) n ) = a n + a n+ z z ) a z z ) n + +a z z ) n +...) n ) = n )!a + n!a z z ) +... şi reiese rezultatul. Exemplul 6. ) Res z 2 + ), i 2 = lim z i = lim z i! ) = 2 z 2 + ) 2 ) z ) 2 = z 2 + ) 2 z 2 + i) 3 = z=i 4i Exemplul 6. Fie z una dintre rădăcinile lui z n + =. Apoi z este pol de ordinul al funcţiei fz) = z n + şi nz n ) Res z n +, z = z=z = nz n = z n. Exemplul 62. Pentru funcţii ca fz) = e /z z, reziduul la z = poate fi calculat doar prin dezvoltare în jurul acestui punct fz) =... + /n! /2! /! + zn z 2 z ) +z+z z n +...) =

42 ... + a 2 z 2 +! + 2! n! +... ) z + a + a z +... Apoi Resf, ) = a =! = e = ! În contradicţie cu z = care este o singularitate esenţială, punctul z = este un pol de ordinul, de unde Resf, ) = e/ = e. Definiţia 63. O funcţie olomorfă definită în D cu excepţia unui set de puncte izolate de puncte polare, se numeşte meromorfă în D. Teorema 64 Teorema Reziduurilor). Presupunem că fz) este periodică în domeniul simplu conex D cu excepţia unui set finit de puncte singulare z, z 2,..., z n şi presupunem că γ o curbă simplă închisă în D fără puncte autointersectate), pe porţiuni C, ce conţine z,..., z n în interiorul său şi orientată pozitiv domeniul închis de γ se află la stânga lui γ). Atunci n = fz)dz = 2πi Resf, z k ). γ Demonstraţie. Fie E domeniul închis de γ cu discuri mici D k în jurul lui z k îndepărtat. Apoi γ este marginea exterioară a lui E şi D k sunt marginile interioare. Prin urmare fz)dz = fz)dz = 2πi Resf, z k ). γ k D k k k=.9 Folosirea reziduurilor pentru evaluarea integralelor definite 9.. Integralele I = 2π 2π Rcos θ, sin θ)dθ Rcos θ, sin θ)dθ, R = funcţie raţională Propoziţia 65. Integrala este I = R z + ), z )) ) dz. z = 2 z 2i z iz

43 Demonstraţie. Fie z = e iθ. Atunci cos θ = eiθ + e iθ ) 2, sin θ = eiθ e iθ ), dθ = i dz 2i) 2. Dacă θ ia valori de la la 2π, z ia valori pe cercul z = şi I = R z + ), z )) ) dz = R z)dz. z = 2 z 2i z iz z = După teorema reziduurilor I = 2πi z k < ResR, z k ) unde z, z 2,... sunt polii lui R pe discul z <. Exemplul 66. Fie a <. Atunci 2π dθ 2a cos θ + a = z = 2 2a ) z + z + a 2 iz dz = = idz = 2πi Resf, a) = z = az 2 a 2 + )z + a i = 2πi = 2π az 2 a 2 + )z + a) z=a a. P x) 9.2. Integralele Rx)dx, Rx) = Qx) I = Rx)dx, Rx) = Propoziţia 67. Integrala este I = 2πi P x), P, Q polinoame deg Q deg P + 2. Qx) Im z k )> ResR, z k ). Demonstraţie. Fie γ R = [ R, R] Γ R, unde Γ este demicercul din semiplanul superior ce conectează R, ) cu R, ). Fie D R domeniul închis de γ. Atunci R 2πi Resf, z k ) = fz)dz + fz)dz. z k D R Γ R R

44 Pe măsură ce R partea din stânga tinde către suma tuturor reziduurilor din semiplanul superior. Prima integrală din partea dreaptă tinde la este marginită de fz)dz. Cea de-a doua integrală din partea stângă fz)dz max fz) πr A γ R z Γ R R πr = πa 2 R datorită ipotezei degq) 2+degP ). Acum luând limitele din ambele părţi obţinem rezultatul. Exemplul x dx = 2πi = 2πi 9.3. Integralele Imz k )> z 99 k Imz k )> = 2πi = πi k=49 e 2k+)πi = 5 + k= e iax Rx)dx ) Res + z, z z Imz k )> π 2 sin π z ) k = ). = I = + e iax Rx)dx, Rx) = P x) Qx), a >, P and Q polinoame deg P < deg Q. Propoziţia 69. Integrala este I = e iax Rx)dx = 2πi Imz k )> Rese iaz Rz), z k ). Pentru a evalua integrale de acest tip folosim Lema 7 Lema lui Jordan). Fie a > şi următoarele condiţii să fie îndeplinite:. O funcţie gz) este continuă pe domeniul Imz), z R

45 2. MR) = max gz) as R, z C R unde Γ R este demicercul z = R, Imz). Atunci lim R Γ R gz) e iaz dz =. Demonstraţie. Presupunem z Γ R, z = Re iθ, dz = ire iθ dθ, şi Deoarece Atunci e iaz = e iar cos θ+i sin θ) = e ar sin θ. θ sin θ θ for θ [, 2π]. π e iaz π gz)dz max gz) e ar sin θ Rdθ Γ R z C R MR) 2R 2π π/2 e ar sin θ dθ 2RMR) e ar 2 π θ dθ = = MR) π a e ar ) R Observaţia 7. Dacă a < atunci suma se prelungeşte peste reziduuri cu partea negativă imaginară. Observaţia 72. Dacă ipoteza ce priveşte dezvoltarea lui g este valabilă pentru {z α argz) β π} atunci limita superioară este zero pentru integrala luată peste C R = {z z = R, α argz) β}. Demonstraţie a propoziţiei). Se consideră contorul γ R = [ R, R]. Atunci R 2πi Rese iaz gz), z k ) = e iax gx)dx + e iaz gz)dz z k inside γ R Γ R R P z) unde gz) = Qz). Pe masură ce R partea stângă tinde la ) iaz P z) 2πi Res e Qz), z k Imz k )>

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis 3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

NOŢIUNI INTRODUCTIVE

NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0 INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria: Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE

Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Noţiunea de derivată, elementul fundamental al calculului diferenţial, are o deosebită importanţă în studiul matematic al mărimilor variabile. Problemele principale care

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii...

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii... Cuprins GEOMETRIE 1 Vectori 1 11 Segmente orientate Vectori în plan 1 12 Operaţii cu vectori 3 13 Vectori coliniari 8 14 Vectori de poziţie 10 15 Drepte paralele, concurente Colinearitate 12 16 Produsul

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale 3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα