Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες"

Transcript

1 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τις µεθόδους επίλυσης υποδειγµάτων µε ορθολογικές προσδοκίες. Ξεκινούµε από απλά υποδείγµατα εξωγενών στοχαστικών διαδικασιών, και κατόπιν εξετάζουµε πιο σύνθετα πρωτοβάθµια και δευτεροβάθµια γραµµικά οικονοµικά υποδείγµατα µε µία ενδογενή και µία εξωγενή µεταβλητή. Π5.1 Ο Ορισµός των Ορθολογικών Προσδοκιών Οι ορθολογικές προσδοκίες ορίζονται ως οι µαθηµατικές προσδοκίες για τη µελλοντική εξέλιξη µιας µεταβλητής, βασισµένες στο σύνολο των διαθέσιµων πληροφοριών. Ορίζουµε την ορθολογική προσδοκία για την τιµή µιας µεταβλητής x την περίοδο t+1, βασισµένη στις διαθέσιµες πληροφορίες στην περίοδο t, ως, D x t+1 E(x t+1 I t ) (Π5.1) όπου, D I t {x t i,z t i,i 0,1,2,...,} (Π5.2) είναι το σύνολο των διαθέσιµων πληροφοριών, το οποίο αποτελείται από την τρέχουσα και τις παλαιότερες τιµές της µεταβλητής x, καθώς και την τρέχουσα και τις παλαιότερες τιµές ενός συνόλου µεταβλητών z, οι οποίες ενδεχοµένως βοηθούν στην πρόβλεψη των µελλοντικών τιµών της x. Αξίζει να σηµειωθεί ότι αυτός ο ορισµός του συνόλου των πληροφοριών δεν συνεπάγεται απώλεια µνήµης, καθώς ότι είναι γνωστό στην περίοδο t είναι επίσης γνωστό και στην περίοδο t+1 και σε όλες τις µελλοντικές περιόδους. Γενικότερα, ορίζουµε την ορθολογική προσδοκία για την τιµή µιας µεταβλητής την περίοδο t+s, βασισµένη στις διαθέσιµες τρέχουσες πληροφορίες στην περίοδο t, ως, D E( I t ) (Π5.3) Προκειµένου να ορίσουµε πιο συγκεκριµένα τις ορθολογικές προσδοκίες για µία µεταβλητή δεν αρκεί να γνωρίζουµε το σύνολο των πληροφοριών, αλλά και το υπόδειγµα του πώς προσδιορίζεται και εξελίσσεται στο χρόνο αυτή η µεταβλητή. Θα ξεκινήσουµε µε το απλούστερο υπόδειγµα προσδιορισµού µιας µεταβλητής, αυτό µιας µονοµεταβλητής στοχαστικής διαδικασίας. Κατόπιν, θα επεκταθούµε σε γενικότερα υποδείγµατα, σύµφωνα µε τα οποία µία ενδογενής µεταβλητή εξαρτάται από τις µελλοντικές προσδοκίες για την εξέλιξή της, καθώς και µία εξωγενή µεταβλητή.

2 Ακόµη γενικότερα υποδείγµατα ενός συστήµατος ενδογενών και εξωγενών µεταβλητών µπορούν να επιλυθούν µε ανάλογες µεθόδους. Π5.2 Ορθολογικές Προσδοκίες για Αυτοπαλίνδροµες Στοχαστικές Διαδικασίες Υποθέτουµε µία µεταβλητή x, η οποία ακολουθεί µία αυτοπαλίνδροµη στοχαστική διαδικασία πρώτου βαθµού, της µορφής, x t (1 λ)x _ + λx t 1 + ε t (Π5.4) όπου, D είναι µία σταθερά, και ε είναι µία στοχαστική διαδικασία λευκού θορύβου, µε µέσο µηδέν και σταθερή διακύµανση. x _ Θα ορίσουµε τη µεταβλητή x ως απόκλιση από το µέσο της, ως εξής, t x t x _ (Π5.5) Από τις (Π5.4) και (Π5.5) έχουµε ότι, t λ t 1+ ε t (Π5.6) Είναι εύκολο να δεί κανείς µε διαδοχικές αντικαταστάσεις ότι, t+1 λ t, t+2 λ 2 t, t+3 λ 3 t,..., t+s λ s t (Π5.6) Η ορθολογική προσδοκία µίας αυτοπαλίνδροµης στοχαστικής διαδικασίας πρώτου βαθµού εξαρτάται µόνο από την τρέχουσα τιµή της, µε συντελεστή που εξαρτάται από το λ. Εάν η στοχαστική διαδικασία (Π5.4) είναι στάσιµη, δηλαδή εάν -1<λ<1, τότε η επίπτωση της τρέχουσας τιµής της µεταβλητής στην ορθολογική της προσδοκία βαίνει µειούµενη καθώς αυξάνεται το s. Καθώς το s τείνει στο άπειρο θα ισχύει, lim t+s lim λ s t 0 s s (Π5.7) Η (Π5.7) και η (Π5.5) συνεπάγονται ότι, lim x _ s (Π5.8) Με την έννοια αυτή, ο µέσος της µεταβλητής x, ο οποίος αποτελεί το σηµείο µακροχρόνιας ισορροπίας της, είναι και το όριο στο οποίο συγκλίνουν οι µελλοντικές προσδοκίες για την εξέλιξη µιας µεταβλητής που ακολουθεί µία στάσιµη στοχαστική διαδικασία. Εάν η διαδικασία δεν είναι στάσιµη αλλά τυχαίος περίπατος, δηλαδή εάν λ1, η (Π5.6) µετατρέπεται σε, D2

3 t+1 t, t, t,..., t (Π5.6 ) t+2 t+3 t+s Στην περίπτωση αυτή, η ορθολογική προσδοκία για τη µελλοντική τιµή µιας µεταβλητής είναι η τρέχουσα τιµή της µεταβλητής, ανεξάρτητα από το s. Π5.3 Πρωτοβάθµια Υποδείγµατα Ορθολογικών Προσδοκιών Ερχόµαστε τώρα στην επίλυση ενός γραµµικού υποδείγµατος στο οποίο µία µεταβλητή εξαρτάται από την ορθολογική προσδοκία για τη µελλοντική της τιµή, και κάποια άλλη εξωγενή µεταβλητή. Το υπόδειγµα περιγράφεται από µία πρωτοβάθµια εξίσωση της µορφής, a +1 + x t (Π5.9) Η υπόθεση των ορθολογικών προσδοκιών συνεπάγεται ότι οι οικονοµικοί παράγοντες γνωρίζουν ότι η µεταβλητή y προσδιορίζεται από την (Π5.9). Υποθέτουµε επίσης ότι όλοι οι οικονοµικοί παράγοντες έχουν στη διάθεσή τους το ίδιο σύνολο πληροφοριών. Υπάρχουν µια σειρά από µέθοδοι για την επίλυση της (Π5.9). Όλες οι µέθοδοι βασίζονται στον νόµο των επαναληπτικών προσδοκιών. Αυτός δεν λέει τίποτα άλλο παρά ότι η σηµερινή προσδοκία για την αυριανή προσδοκία µιας µελλοντικής τιµής µιας µεταβλητής δεν είναι παρά η σηµερινή προσδοκία της µελλοντικής τιµής της µεταβλητής. Δηλαδή, ότι, ( +1 ) (Π5.10) Π5.3.1 Η Μέθοδος των Διαδοχικών Αντικαταστάσεων Η απλούστερη µέθοδος επίλυσης της (Π5.9) είναι η µέθοδος των διαδοχικών αντικαταστάσεων. Από την (Π5.9) και την (Π5.10), +1 a ( ) + x t+1 a +2 + x t+1 (Π5.11) Αντικαθιστώντας την (Π5.11) στην (Π5.9), έχουµε, a a x t+1 + x t (Π5.12) Αντικαθιστώντας διαδοχικά τις µελλοντικές προσδοκίες του y, έως το χρόνο T, a T +1 +T +1 + T a s (Π5.13) Για να έχουµε σύγκλιση του τελευταίου όρου της (Π5.13), καθώς το T τείνει προς το άπειρο, η απόλυτη τιµή του a πρέπει να είναι µικρότερη από τη µονάδα, και η προσδοκώµενη τιµή του x δεν θα πρέπει να αυξάνεται πολύ γρήγορα. Αν η προσδοκώµενη τιµή του x αυξάνεται εκθετικά, ο ρυθµός αύξησής της δεν πρέπει να υπερβαίνει το (1/a)-1. D3

4 D Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Εάν ισχύει ότι, D lim (Π5.14) T at +1 +T +1 0 τότε µία λύση της (Π5.9) προκύπτει από την (Π5.13) ως, a s (Π5.15) Αξίζει να σηµειωθεί ότι η (Π5.15) ικανοποιεί τη συνθήκη (Π5.14), άρα αποτελεί λύση της (Π5.9). Μας υποδεικνύει ότι η τρέχουσα τιµή της ενδογενούς µεταβλητής y είναι το προεξοφληµένο άθροισµα των προσδοκώµενων µελλοντικών τιµών της εξωγενούς µεταβλητής x, µε συντελεστή προεξόφλησης a. Η λύση αυτή συνήθως αποκαλείται η θεµελιώδης λύση. Αξίζει ωστόσο να σηµειωθεί ότι η (Π5.15) δεν αποτελεί τη µοναδική λύση της (Π5.9). Η θεµελιώδης λύση βασίζεται µόνο στον ελάχιστο αριθµό µεταβλητών (το x στην περίπτωσή µας), στα λεγόµενα θεµελιώδη, και ικανοποιεί την (Π5.14). Αν η (Π5.14) δεν ικανοποιείται, υπάρχει και σωρεία άλλων, µη θεµελιωδών, λύσεων. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει µία εναλλακτική λύση της (Π5.9), η οποία συνίσταται από την (Π5.15) σύν µία πρόσθετη µεταβλητή z. Η λύση αυτή λαµβάνει τη µορφή, a s + z t (Π5.15 ) Μπορεί εύκολα να δείξει κανείς ότι εάν η µεταβλητή z ικανοποιεί, D z t a z t+1 ή, ισοδύναµα D z t+1 z t a τότε και η (Π5.15 ) αποτελεί λύση της (Π5.9). Αξίζει όµως να σηµειωθεί ότι επειδή a<1, η µαθηµατική προσδοκία του µελλοντικού z εκρήγνυται µε την πάροδο του χρόνου. Αυτό µπορεί να αποδειχθεί αν λάβουµε το όριο της µαθηµατικής προσδοκίας καθώς ο χρόνος τείνει προς το άπειρο. lim z t+s s 1 a s z t ±, ανάλογα µε το αν το z είναι θετικό ή αρνητικό. Λύσεις που βασίζονται σε µεταβλητές όπως το z αποκαλούνται φούσκες (ules), σε αντίθεση µε λύσεις όπως η (Π5.15) που βασίζονται µόνο στα θεµελιώδη. Στο υπόλοιπο αυτού του Παραρτήµατος θα επικεντρωθούµε µόνο σε θεµελιώδεις λύσεις αγνοώντας τις φούσκες. Εκτός από τη µέθοδο των διαδοχικών αντικαταστάσεων, δύο άλλες µέθοδοι µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την επίλυση της (Π5.9). Η µέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών, και η µέθοδος της παραγοντοποίησης. Οι µέθοδοι αυτοί είναι πιο χρήσιµες για πιο πολύπλοκα D4

5 προβλήµατα, στα οποία η µέθοδος των διαδοχικών αντικαταστάσεων καθίσταται δύσχρηστη. Μπορούµε ωστόσο να δούµε πως εφαρµόζονται και στην απλή περίπτωση της (Π5.9). Π5.3.2 Η Μέθοδος της Παραγοντοποίησης Η µέθοδος της παραγοντοποίησης απαιτεί τη χρήση του τελεστή των µελλοντικών µαθηµατικών προσδοκιών F. Ορίζουµε τον τελεστή των µαθηµατικών προσδοκιών για µία µεταβλητή x, ως, Fx t x t+1, F 2 x t x t+2,..., F s x t (Π5.16) Επιπλέον, F 1 x t x t 1 x t 1 Lx t, F 2 x t x t 2 L 2 x t,..., F s x t x t s L s x t (Π5.16 ) Ο τελεστής των µελλοντικών προσδοκιών είναι το αντίστροφο του τελεστή των χρονικών υστερήσεων L. Χρησιµοποιώντας τον τελεστή των µαθηµατικών προσδοκιών, και υποθέτωντας ότι -1<a<1, η (Π5.9) µπορεί να γραφεί ως, af + x t 1 af x t a s F s x t a s E t (Π5.17) Η (Π5.17) µας δίνει ακριβώς τη λύση που βρήκαµε µε τη µέθοδο των διαδοχικών αντικαταστάσεων στην (Π5.15). Π5.3.3 Η Μέθοδος των Μη Προσδιορισµένων Συντελεστών Η µέθοδος των µη προσδιορισµένων συντελεστών συνίσταται στο να χρησιµοποιηθεί µια εικαζόµενη µορφή της λύσης µε µη προσδιορισµένους συντελεστές, να ληφθεί η µαθηµατική προσδοκία της εικαζόµενης λύσης, η οποία, αφού αντικατασταθεί στην (Π5.9) θα οδηγήσει σε σύγκριση των συντελεστών µεταξύ της εικαζόµενης λύσης, και της εξίσωσης που θα προκύψει από την αντικατάσταση. Για παράδειγµα, αν η εικασία µας είναι ότι η λύση θα έχει τη µορφή, σ µ s (Π5.18) όπου σ και µ είναι απροσδιόριστοι συντελεστές, τότε, +1 σ µ s x t+1+s (Π5.19) Αντικαθιστώντας την (Π5.19) στην (Π5.9), και συγκρίνοντας συντελεστές µεταξύ της εξίσωσης που προκύπτει και της (Π5.18), βρίσκουµε ότι σ και µa. Αυτό επιβεβαιώνει την εικασία µας στην (Π5.18), και η λύση είναι ακριβώς η ίδια όπως και µε τις δύο άλλες µεθόδους. D5

6 Η επιλογή της µεθόδου που θα χρησιµοποιηθεί για την επίλυση υποδειγµάτων µε ορθολογικές προσδοκίες εξαρτάται από την ευκολία της εφαρµογής. Στα απλά υποδείγµατα η µέθοδος των διαδοχικών αντικαταστάσεων εφαρµόζεται εύκολα, αλλά στα πιο σύνθετα υποδείγµατα η µέθοδος αυτή δεν είναι εύχρηστη, και προτιµώνται οι δύο άλλες µέθοδοι. Π5.3.4 Δύο Οικονοµικά Παραδείγµατα Προκειµένου να δούµε την εφαρµογή των µεθόδων αυτών, θα χρησιµοποιήσουµε δύο απλά οικονοµικά υποδείγµατα που καταλήγουν σε εξισώσεις της µορφής της (Π5.9). Α. Υπόδειγµα Ισορροπίας στην Κεφαλαιαγορά Στο πρώτο µας υπόδειγµα υποθέτουµε µία κεφαλαιαγορά στην οποία οι επενδυτές είναι ουδέτεροι απέναντι στον κίνδυνο. Οι επενδυτές επιλέγουν µεταξύ µιας µετοχής και µιας ασφαλούς τοποθέτησης µε ποσοστό απόδοσης r. Στην ισορροπία, η προσδοκώµενη απόδοση της µετοχής θα ισούται µε το ποσοστό απόδοσης της ασφαλούς τοποθέτησης. E D t p t+1 p t + d t r (Π5.20) p t p t όπου p είναι η τιµή της µετοχής και d είναι το µέρισµα. Το ποσοστό απόδοσης της µετοχής ισούται µε το προσδοκώµενο κεφαλαιακό κέρδος, συν το µέρισµα ως ποσοστό της τιµής της µετοχής. Η (Π5.20) µπορεί να µετασχηµατιστεί ως, p t 1 ( 1+ r E p + d t t+1 t ) (Π5.21) Η (Π5.21) έχει τη µορφή της (Π5.9), µε 0<a1/(1+r)<1. Η λύση της µας δίνει την τιµή της µετοχής ως, p t 1 1+ r 1 1+ r d t+s s (Π5.22) Η τιµή της µετοχής είναι η παρούσα αξία των προσδοκώµενων µελλοντικών µερισµάτων, µε συντελεστή προεξόφλησης που εξαρτάται από το ποσοστό απόδοσης της ασφαλούς τοποθέτησης. Β. Υπόδειγµα Ισορροπίας στην Αγορά Χρήµατος Στο δεύτερο µας υπόδειγµα υποθέτουµε καταναλωτές και επιχειρήσεις που επιλέγουν µεταξύ της διακράτησης χρηµατικών διαθεσίµων και αγαθών. Στην περίπτωση αυτή, η ζήτηση χρήµατος είναι αρνητική συνάρτηση του προσδοκώµενου πληθωρισµού, και η ισορροπία στην αγορά χρήµατος απαιτεί, D6

7 D Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 M D t exp α E P P t t+1 t (Π5.23) P t P t όπου M είναι η προσφορά χρήµατος, P το επίπεδο τιµών και α>0 η ηµι-ελαστικότητα της ζήτησης χρήµατος σε σχέση µε τον προσδοκώµενο πληθωρισµό. Λαµβάνοντας λογαρίθµους και στις δύο πλευρές, και υποδηλώνοντας µε m το λογάριθµο της προσφοράς χρήµατος και µε p το λογάριθµό του επιπέδου τιµών, το υπόδειγµα µπορεί να γραφεί ως, D m t p t α( p t+1 p t ) (Π5.24) Επιλύοντας ως προς p, p t α 1+ α E p + 1 t t+1 1+ α m t (Π5.25) Η (Π5.25) έχει τη µορφή της (Π5.9), µε, a α, 1 a 1+ α Η λύση της έχει τη µορφή, s H p t 1 α (Π5.26) 1+ α 1+ α m t+s Το επίπεδο τιµών σήµερα εξαρτάται από τις προεξοφληµένες προσδοκίες για την εξέλιξη της προσφοράς χρήµατος στο µέλλον, µε συντελεστή προεξόφλησης 0<α/(1+α)<1. Το υπόδειγµα αυτό χρησιµοποιήθηκε πρώτη φορά από τον Cagan (1956) για να εξηγήσει φαινόµενα υπερπληθωρισµού. Π5.3.5 Εναλλακτικές Υποθέσεις για την Εξέλιξη των Εξωγενών Μεταβλητών Η επίλυση της εξίσωσης (Π5.9), για παράδειγµα στην (Π5.15), βασίζεται στις προεξοφληµένες ορθολογικές προσδοκίες για την µελλοντική πορεία της εξωγενούς µεταβλητής x. Προκειµένου να αναλύσουµε τον προσδιορισµό της µεταβλητής y πιο συγκεκριµένα, µπορούµε να κάνουµε επιπλέον υποθέσεις για τον προσδιορισµό της εξωγενούς µεταβλητής x. Θα χρησιµοποιήσουµε δύο εναλλακτικά παραδείγµατα. Η πρώτη µας υπόθεση είναι η εξωγενής µεταβλητή αναµένεται να παραµείνει σταθερή στο επίπεδο x0. Από την (Π5.15) η µεταβλητή y προσδιορίζεται από, D7

8 H a s E (Π5.27) t a s x 0 1 a x 0 Η (Π5.27) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να αναλύσουµε τις επιπτώσεις µιας ανακοίνωσης για µία µόνιµη µελλοντική µεταβολή στο σταθερό επίπεδο της εξωγενούς µεταβλητής. Αν υποθέσουµε ότι τη στιγµή t0, ανακοινώνεται ότι στην περίοδο t1 η µεταβλητή x θα αυξηθεί από x0 σε ένα νέο επίπεδο x1. Στην περίπτωση αυτή, η πορεία της ενδογενούς µεταβλητής y θα έχει ως εξής, H για D 1 a x 0 t < t 0 H για D (Π5.28) 1 a x + 0 at 1 t ( 1 a x x 1 0 ) t 0 t < t 1 για 1 a x 1 t t 1 Τη στιγµή της ανακοίνωσης t0, η µεταβλητή y αυξάνεται, καθώς µεταβάλλονται οι προσδοκίες για τη µελλοντική εξέλιξη της x. Έως ότου υλοποιηθεί η µεταβολή στη στιγµή t1, η y αυξάνεται σταδιακά καθώς αυξάνεται η επίπτωση των υψηλότερων µελλοντικών προσδοκιών για το x µετά την περίοδο t1, σε σχέση µε τις χαµηλότερες προσδοκίες για το διάστηµα t1-t. Μετά την περίοδο t1, η µεταβλητή y σταθεροποιείται στο υψηλότερο επίπεδο που αντιστοιχεί στην x1. Αν το x είναι το µέρισµα, όπως στο πρώτο µας παράδειγµα, η τιµή της µετοχής θα αυξηθεί αµέσως µετά την ανακοίνωση µιας µελλοντικής αύξησης του µερίσµατος και θα συνεχίσει να αυξάνεται καθώς η προσδοκώµενη αύξηση του µερίσµατος έρχεται εγγύτερα. Όταν υλοποιηθεί η αύξηση του µερίσµατος, η τιµή της µετοχής σταµατά να αυξάνεται και σταθεροποιείται στο νέο υψηλότερο επίπεδο. Αν το x είναι η προσφορά χρήµατος, όπως στο δεύτερό µας παράδειγµα, το επίπεδο τιµών θα αυξηθεί αµέσως µετά την ανακοίνωση µιας µελλοντικής αύξησης της προσφοράς χρήµατος, και θα συνεχίσει να αυξάνεται έως ότου υλοποιηθεί η µελλοντική αύξηση της προσφοράς χρήµατος, οπότε και θα σταθεροποιηθεί στο νέο υψηλότερο επίπεδο. Το δεύτερο παράδειγµα που θα αναλύσουµε βασίζεται στην υπόθεση ότι η εξωγενής µεταβλητή x ακολουθεί µία αυτοπαλίνδροµη στοχαστική διαδικασία όπως η (Π5.4). Στην περίπτωση αυτή, a s E t 1 a x_ + ( aλ) s x t x _ 1 a x_ + 1 aλ x t x_ (Π5.29) Η (Π5.29) µπορεί να γραφεί ως, y _, όπου, (Π5.30) 1 aλ x t x_ y _ 1 a x_ D8

9 Στο παράδειγµα της κεφαλαιαγοράς, η (Π5.30) µας λέει ότι η τιµή της µετοχής θα είναι συνάρτηση µόνο του τρέχοντος µερίσµατος. Αυτό ισχύει διότι, αν τα µερίσµατα ακολουθούν µία αυτοπαλίνδροµη στοχαστική διαδικασία πρώτου βαθµού, όπως έχουµε υποθέσει, το τρέχον µέρισµα είναι το µόνο στοιχείο που απαιτείται προκειµένου να προβλεφθούν τα µελλοντικά µερίσµατα. Αντίστοιχα, στο παράδειγµα της ζήτησης χρήµατος, η (Π5.30) µας λέει ότι το επίπεδο τιµών θα είναι συνάρτηση µόνο της τρέχουσας προσφοράς χρήµατος. Αυτό ισχύει διότι, αν η προσφορά χρήµατος ακολουθεί µία αυτοπαλίνδροµη στοχαστική διαδικασία πρώτου βαθµού, όπως υποθέσαµε, η τρέχουσα προσφορά χρήµατος είναι το µόνο στοιχείο που απαιτείται προκειµένου να προβλεφθεί η µελλοντική πορεία της προσφοράς χρήµατος. Π5.4 Δευτεροβάθµια Δυναµικά Υποδείγµατα Ορθολογικών Προσδοκιών Ερχόµαστε τώρα στις µεθόδους επίλυσης ενός δευτεροβάθµιου δυναµικού υποδείγµατος. Στο υπόδειγµα αυτό, µία µεταβλητή εξαρτάται από τη µελλοντική προσδοκία για την εξέλιξή της, από το επίπεδο στο οποίο βρισκόταν την προηγούµενη περίοδο καθώς και από µία εξωγενή µεταβλητή. Αυτό το υπόδειγµα συνδυάζει ορθολογικές προσδοκίες για τη µελλοντική τιµή µιας µεταβλητής, µε επιπτώσεις των τιµών της µεταβλητής µε χρονική υστέρηση. Το υπόδειγµά µας είναι γραµµικό και έχει τη µορφή, a cx t (Π5.31) όπου, a, >0, και a+<1. Το υπόδειγµα αυτό µπορεί να επιλυθεί µε τη µέθοδο των µη προσδιορισµένων συντελεστών, ή εναλλακτικά µε τη µέθοδο της παραγοντοποίησης. Και οι δύο µέθοδοι δίδουν τη ίδια θεµελιώδη λύση. Π5.5.1 Η Μέθοδος της Παραγοντοποίησης Χρησιµοποιώντας το τελεστή των µελλοντικών προσδοκιών F, η (Π5.31) µπορεί να περιγραφεί ως, af + F 1 + cx t (Π5.32) όπου F -1, το αντίστροφο του τελεστή των µελλοντικών προσδοκιών, είναι ο τελεστής των χρονικών υστερήσεων. Μεταφέροντας όλους τους παράγοντες που περιλαµβάνουν το y στην αριστερή πλευρά, η (Π5.32) είναι ισοδύναµη µε, ( 1 af F 1 ) cx t (Π5.33) Η (Π5.33) µπορεί να µετασχηµατισθεί, πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές µε -F/a, ως, D9

10 D D Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 F 2 1 a F + a c a Fx t (Π5.34) Η (Π5.34), µπορεί να παραγοντοποιηθεί ως, ( ) c a Fx t F 2 1 a F + a (F λ)(f µ) F 2 (λ + µ)f + λµ (Π5.35) όπου λ και µ είναι οι δύο ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου της, F 2 1 a F + a (Π5.36) Από την (Π5.35) ισχύει ότι, λ+µ1/a, λµ/a. Είναι απλό να δείξει κανείς ότι η µία ρίζα, είναι µικρότερη από τη µονάδα (θα υποθέσουµε ότι αυτή είναι η λ) και η άλλη (η µ) είναι µεγαλύτερη από τη µονάδα. Το χαρακτηριστικό πολυωνυµο της (Π5.36) δίνεται από, Φ(φ) φ 2 1 a φ + a (Π5.37) Για να δείξουµε ότι υπάρχει µία ρίζα που είναι µικρότερη από τη µονάδα, θα υπολογίσουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο για φ0 και φ1. D Φ(0) και D a > 0, 1 a Φ(1) < 0 a Συνεπώς υπάρχει µία ρίζα λ µεταξύ µηδενός και µονάδας για την οποία Φ(λ)0. Η δεύτερη ρίζα µ προσδιορίζεται από, µ aλ Θα έχουµε µ>1, εάν λ</a. Αυτό πράγµατι ισχύει διότι, Φ a (1 a ) a 2 < 0 Κατά συνέπεια ισχύει λ</a και µ>1. Διαιρώντας τις δύο πλευρές της (Π5.35) µε F(F-µ), λαµβάνουµε, D10

11 ( 1 λf 1 ) c 1 a µ F x t c 1 aµ 1 µ 1 F x t λc 1 1 µ 1 F x t (Π5.38) όπου στο τελευταίο µέρος της (Π5.38) έχουµε κάνει χρήση της ιδιότητας (βλ. Π5.35) ότι aµ/λ. Από την (Π5.38), ισχύει ότι, λ 1 + λc 1 1 µ 1 F x t λ 1 + λc s 1 µ (Π5.39) Η (Π5.39) είναι η θεµελιώδης λύση της (Π5.31). Όπως και στην περίπτωση της (Π5.15), η (Π5.39) υποδεικνύει ότι η τρέχουσα τιµή της ενδογενούς µεταβλητής y είναι το προεξοφληµένο άθροισµα των προσδοκώµενων µελλοντικών τιµών της εξωγενούς µεταβλητής x, µε συντελεστή προεξόφλησης 1/µ, ενώ η τιµή της ενδογενούς µεταβλητής εξαρτάται και από την τιµή της την προηγούµενη περίοδο, µε συντελεστή λ<1. Η µέθοδος της παραγοντοποίησης είναι ίσως η πιο αποτελεσµατική µέθοδος επίλυσης εξισώσεων της µορφής της (Π5.31). Μία εναλλακτική µέθοδος είναι η µέθοδος των µη προσδιορισµένων συντελεστών. Π5.5.2 Η Μέθοδος των Μη Προσδιορισµένων Συντελεστών Για να εφαρµόσουµε τη µέθοδο των µη προσδιορισµένων συντελεστών, όπως και στην προηγούµενη περίπτωση που εξετάσαµε, εικάζουµε ότι η λύση της (Π5.31) λαµβάνει τη µορφή, φ 1 +ψ ω s (Π5.40) µε τους µη προσδιορισµένους συντελεστές φ,ψ,ω. Από την (Π5.40), η ορθολογική προσδοκία του µελλοντικού y δίνεται από, +1 φ +ψ s1 ω s 1 (Π5.41) Αντικαθιστώντας την (Π5.41) στην (Π5.31), έχουµε, 1 aφ y + c t 1 1 aφ x + aψ t 1 aφ s1 ω s 1 (Π5.42) Συγκρίνοντας συντελεστές µεταξύ της (Π5.42) και της (Π5.40) µπορούµε να λύσουµε για τους µη προσδιορισµένους συντελεστές. Θα έχουµε, φ 1 aφ (Π5.43 a) D11

12 ψ ω c 1 aφ a 1 aφ (Π5.43 ) (Π5.43 c) Από την (Π5.43 a) το φ θα είναι η µικρότερη ρίζα του πολυωνύµου, Φ(φ) φ 2 1 a φ + a (Π5.44) Βλέπουµε ότι αυτό δεν είναι άλλο από το (Π5.37), που αναλύσαµε µε τη µέθοδο της παραγοντοποίησης. Θα έχουµε δύο ρίζες, λ και µ, όπου 0<λ<1 και µ>1. Οι ρίζες θα ικανοποιούν, λ + µ 1 a,λµ a (Π5.45) Από τις (Π5.43)-(Π5.45) έχουµε, φ λ < 1, ψ λc, ω 1 (Π5.46) µ < 1 Κατά συνέπεια, η θεµελιώδης λύση είναι, λ 1 + λc s 1 µ (Π5.47) που έχει ακριβώς την ίδια µορφή µε την (Π5.39). Για την επίλυση γενικότερων γραµµικών υποδειγµάτων µε ορθολογικές προσδοκίες βλ. Blanchard and Kahn (1980). D12

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο στο Μέλλον Η ορθολογική

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σταδιακή Προσαρμογή του Επιπέδου Τιμών. Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης

Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σταδιακή Προσαρμογή του Επιπέδου Τιμών. Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σταδιακή Προσαρμογή του Επιπέδου Τιμών Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Η Κεϋνσιανή Προσέγγιση Η πιο διαδεδομένη

Διαβάστε περισσότερα

Ενα Νέο Κλασσικό Υπόδειγμα Χωρίς Κεφάλαιο. Μακροοικονομικές Διακυμάνσεις και Νομισματικοί Παράγοντες

Ενα Νέο Κλασσικό Υπόδειγμα Χωρίς Κεφάλαιο. Μακροοικονομικές Διακυμάνσεις και Νομισματικοί Παράγοντες Ενα Νέο Κλασσικό Υπόδειγμα Χωρίς Κεφάλαιο Μακροοικονομικές Διακυμάνσεις και Νομισματικοί Παράγοντες Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, Αθήνα, 2016 Ενα Νέο Κλασσικό Υπόδειγμα Χωρίς Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA);

1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA); Ερωτήσεις: 1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA); Στα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα η τρέχουσα τιμή της y είναι συνάρτηση p υστερήσεων της

Διαβάστε περισσότερα

Νομισματική και Συναλλαγματική Πολιτική σε μια Μικρή Ανοικτή Οικονομία. Σταθερές ή Κυμαινόμενες Ισοτιμίες;

Νομισματική και Συναλλαγματική Πολιτική σε μια Μικρή Ανοικτή Οικονομία. Σταθερές ή Κυμαινόμενες Ισοτιμίες; Νομισματική και Συναλλαγματική Πολιτική σε μια Μικρή Ανοικτή Οικονομία Σταθερές ή Κυμαινόμενες Ισοτιμίες; Καθ. Γ. Αλογοσκούφης, Διεθνής Οικονομική και Παγκόσμια Οικονομία, 2014 Ένα Βραχυχρόνιο Υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Το Νέο Κεϋνσιανο Υπόδειγμα. Ένα Δυναμικό Στοχαστικό Υπόδειγμα Γενικής Ισορροπίας με Κεϋνσιανά Χαρακτηριστικά

Το Νέο Κεϋνσιανο Υπόδειγμα. Ένα Δυναμικό Στοχαστικό Υπόδειγμα Γενικής Ισορροπίας με Κεϋνσιανά Χαρακτηριστικά Το Νέο Κεϋνσιανο Υπόδειγμα Ένα Δυναμικό Στοχαστικό Υπόδειγμα Γενικής Ισορροπίας με Κεϋνσιανά Χαρακτηριστικά Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Το Νέο Κεϋνσιανό Στοχαστικό Δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Η Νοµισµατική Προσέγγιση

Κεφάλαιο 6 Η Νοµισµατική Προσέγγιση Κεφάλαιο 6 Η Νοµισµατική Προσέγγιση Η νοµισµατική προσέγγιση είναι ένας από τους κεντρικούς πυλώνες της διεθνούς µακροοικονοµικής. Βάση της είναι το λεγόµενο νοµισµατικό υπόδειγµα, το οποίο προσδιορίζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ατελής Ανταγωνισµός, Κλιµακωτή Προσαρµογή των Τιµών και Μακροοικονοµικές Διακυµάνσεις

Κεφάλαιο 14 Ατελής Ανταγωνισµός, Κλιµακωτή Προσαρµογή των Τιµών και Μακροοικονοµικές Διακυµάνσεις Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 205 Κεφάλαιο 4 Ατελής Ανταγωνισµός, Κλιµακωτή Προσαρµογή των Τιµών και Μακροοικονοµικές Διακυµάνσεις Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουµε τη διάρθρωση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Πληθωρισμός, Ανεργία και Αξιοπιστία της Νομισματικής Πολιτικής. Το Πρόβλημα του Πληθωρισμού σε ένα Υπόδειγμα με Υψηλή Ανεργία Ισορροπίας

Πληθωρισμός, Ανεργία και Αξιοπιστία της Νομισματικής Πολιτικής. Το Πρόβλημα του Πληθωρισμού σε ένα Υπόδειγμα με Υψηλή Ανεργία Ισορροπίας Πληθωρισμός, Ανεργία και Αξιοπιστία της Νομισματικής Πολιτικής Το Πρόβλημα του Πληθωρισμού σε ένα Υπόδειγμα με Υψηλή Ανεργία Ισορροπίας Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Πληθωρισμός,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγµα

Κεφάλαιο 8 Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγµα Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 2012 Κεφάλαιο 8 Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγµα Η πιο διαδεδοµένη προσέγγιση στην ανάλυση των οικονοµικών κύκλων βασίζεται στα παραδοσιακά Κεϋνσιανά

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Ανεργία, Πληθωρισμός και Ορθολογικές Προσδοκίες. Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης

Ανεργία, Πληθωρισμός και Ορθολογικές Προσδοκίες. Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης Ανεργία, Πληθωρισμός και Ορθολογικές Προσδοκίες Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Η Καμπύλη Phillips H καμπύλη Phillips, η αρνητική σχέση μεταξύ ανεργίας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12 Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγµα Οικονοµικών Διακυµάνσεων

Κεφάλαιο 12 Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγµα Οικονοµικών Διακυµάνσεων Γιώργος Αλογοσκούφης, Διαχρονική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2013 Κεφάλαιο 12 Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγµα Οικονοµικών Διακυµάνσεων Η πιο διαδεδοµένη προσέγγιση στην ανάλυση των οικονοµικών κύκλων βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

Ενα Νέο Κεϋνσιανό Υπόδειγμα με Περιοδικό Καθορισμό των Ονομαστικών Μισθών. Καθορισμός των Ονομαστικών Μισθών και Ανεργία

Ενα Νέο Κεϋνσιανό Υπόδειγμα με Περιοδικό Καθορισμό των Ονομαστικών Μισθών. Καθορισμός των Ονομαστικών Μισθών και Ανεργία Ενα Νέο Κεϋνσιανό Υπόδειγμα με Περιοδικό Καθορισμό των Ονομαστικών Μισθών Καθορισμός των Ονομαστικών Μισθών και Ανεργία Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, Αθήνα, 2016 Δυναμικά Στοχαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Νοµισµατική και Συναλλαγµατική Πολιτική σε µια Μικρή Ανοικτή Οικονοµία

Κεφάλαιο 7 Νοµισµατική και Συναλλαγµατική Πολιτική σε µια Μικρή Ανοικτή Οικονοµία ! Κεφάλαιο 7 Νοµισµατική και Συναλλαγµατική Πολιτική σε µια Μικρή Ανοικτή Οικονοµία Στο κεφάλαιο αυτό αναλύουµε τις επιδράσεις της νοµισµατικής και της συναλλαγµατικής πολιτικής σε ένα βραχυχρόνιο στοχαστικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Το Υπόδειγµα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού

Κεφάλαιο 3 Το Υπόδειγµα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2016 Κεφάλαιο 3 Το Υπόδειγµα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Το υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού είναι ένα δυναµικό υπόδειγµα γενικής

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12 Ορθολογικές Προσδοκίες και Σταδιακή Προσαρµογή Μισθών

Κεφάλαιο 12 Ορθολογικές Προσδοκίες και Σταδιακή Προσαρµογή Μισθών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 12 Ορθολογικές Προσδοκίες και Σταδιακή Προσαρµογή Μισθών και Τιµών Όπως αναφέραµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, η βιβλιογραφία που αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Ένα Δυναµικό Υπόδειγµα Επενδύσεων

Κεφάλαιο 8 Ένα Δυναµικό Υπόδειγµα Επενδύσεων Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 8 Ένα Δυναµικό Υπόδειγµα Επενδύσεων Στο κεφάλαιο αυτό αναλύουµε το βασικό δυναµικό νεοκλασσικό υπόδειγµα επιλογής των επενδύσεων. Το

Διαβάστε περισσότερα

Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σχέση Μεταξύ Ανεργίας και Πληθωρισμού. Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης

Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σχέση Μεταξύ Ανεργίας και Πληθωρισμού. Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγμα και η Σχέση Μεταξύ Ανεργίας και Πληθωρισμού Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Η Κεϋνσιανή Προσέγγιση Η πιο διαδεδομένη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 6. Εισαγωγή 6. Μονομεταβλητές προβλέψεις Βέλτιστη πρόβλεψη και Θεώρημα βέλτιστης πρόβλεψης Διαστήματα εμπιστοσύνης 6.3 Εφαρμογές A. MILIONIS KEF. 6 08 BEA

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Μακροοικονοµική Πολιτική και Βραχυχρόνια Αλληλεξάρτηση στην Παγκόσµια Οικονοµία

Κεφάλαιο 9 Μακροοικονοµική Πολιτική και Βραχυχρόνια Αλληλεξάρτηση στην Παγκόσµια Οικονοµία Κεφάλαιο 9 Μακροοικονοµική Πολιτική και Βραχυχρόνια Αλληλεξάρτηση στην Παγκόσµια Οικονοµία Στο κεφάλαιο αυτό αναλύουµε ένα βραχυχρόνιο κεϋνσιανό υπόδειγµα για την παγκόσµια οικονοµία. Το υπόδειγµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12 Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγµα και η Σταδιακή Προσαρµογή του Επιπέδου των Τιµών

Κεφάλαιο 12 Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγµα και η Σταδιακή Προσαρµογή του Επιπέδου των Τιµών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2014 Κεφάλαιο 12 Το Βασικό Κεϋνσιανό Υπόδειγµα και η Σταδιακή Προσαρµογή του Επιπέδου των Τιµών Η πιο διαδεδοµένη σήµερα προσέγγιση στην ανάλυση των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Μακροοικονοµική Πολιτική και Βραχυχρόνια Αλληλεξάρτηση στην Παγκόσµια Οικονοµία

Κεφάλαιο 9 Μακροοικονοµική Πολιτική και Βραχυχρόνια Αλληλεξάρτηση στην Παγκόσµια Οικονοµία Κεφάλαιο 9 Μακροοικονοµική Πολιτική και Βραχυχρόνια Αλληλεξάρτηση στην Παγκόσµια Οικονοµία Στο κεφάλαιο αυτό αναλύουµε ένα βραχυχρόνιο κεϋνσιανό υπόδειγµα για την παγκόσµια οικονοµία. Το υπόδειγµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

Αν θεωρήσουμε την ^5h εξίσωση ως προς x και εκτελέσουμε τις πράξεις προκύπτει:

Αν θεωρήσουμε την ^5h εξίσωση ως προς x και εκτελέσουμε τις πράξεις προκύπτει: Οι προσεγγίσεις στον νόμο αραιώσεως του Ostld Η μελέτη των προσεγγίσεων προϋποθέτει τη μελέτη χωρίς προσεγγίσεις. Από μαθηματικής σκοπιάς είτε έχουμε διάλυμα ασθενούς οξέος είτε διάλυμα ασθενούς βάσης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Σεπτέµβριος 2012

Περιεχόµενα. Σεπτέµβριος 2012 1 του Σαράντη Λώλου Τµήµα Οικονοµικής και Περιφερειακής Ανάπτυξης Πάντειο Πανεπιστήµιο Περιεχόµενα 1. Εισαγωγή... 1 2. Απλό εισοδηµατικό κύκλωµα... 2 3. Υπόδειγµα κλειστής οικονοµίας... 2 4. Υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

π = π e β(u-u n ) + ν

π = π e β(u-u n ) + ν ΗΚαµπύλη Phillips στην πιο σύγχρονη εκδοχή της υποδηλώνει ότι ο πληθωρισµός εξαρτάται από τρεις παράγοντες: 1) Τον αναµενόµενο πληθωρισµό. 2) Την απόκλιση της ανεργίας από το φυσιολογικό ποσοστό, γνωστή

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Μέθοδοι Διαχρονικής Βελτιστοποίησης

Παράρτηµα 3 Μέθοδοι Διαχρονικής Βελτιστοποίησης Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Παράρτηµα 3 Μέθοδοι Διαχρονικής Βελτιστοποίησης Η βελτιστοποίηση (optimization) σε δυναµικά οικονοµικά προβλήµατα, δηλαδή σε προβλήµατα στα οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Η Νέα Κλασσική Θεώρηση των Οικονομικών Διακυμάνσεων

Η Νέα Κλασσική Θεώρηση των Οικονομικών Διακυμάνσεων Η Νέα Κλασσική Θεώρηση των Οικονομικών Διακυμάνσεων Οικονομικές Διακυμάνσεις Οι οικονομίες ανέκαθεν υπόκειντο σε κυκλικές διακυμάνσεις. Σε ορισμένες περιόδους η παραγωγή και η απασχόληση αυξάνονται με

Διαβάστε περισσότερα

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων FIR φίλτρα: Ορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Η Νέα Κλασσική Θεώρηση των Οικονομικών Διακυμάνσεων. Το Υπόδειγμα των Πραγματικών Οικονομικών Κύκλων

Η Νέα Κλασσική Θεώρηση των Οικονομικών Διακυμάνσεων. Το Υπόδειγμα των Πραγματικών Οικονομικών Κύκλων Η Νέα Κλασσική Θεώρηση των Οικονομικών Διακυμάνσεων Το Υπόδειγμα των Πραγματικών Οικονομικών Κύκλων 1 Οικονομικές Διακυμάνσεις Οι οικονομίες ανέκαθεν υπόκειντο σε κυκλικές διακυμάνσεις. Σε ορισμένες περιόδους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ Όταν εξετάζουµε µία συγκεκριµένη αγορά, πχ. την αστική αγορά εργασίας, η ανάλυση αυτή ονοµάζεται µερικής ισορροπίας. Όταν η ανάλυση µας περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ) ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ) A. Εύρεση Πεδίου Τιµών Συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση h, h ( ) = 4+, [ 1,4] Να βρεθεί το πεδίο τιµών της συνάρτησης. Η λογική για

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Αξιοπιστία, Πληθωρισµός και Νοµισµατική Πολιτική

Κεφάλαιο 14 Αξιοπιστία, Πληθωρισµός και Νοµισµατική Πολιτική Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2013 Κεφάλαιο 14 Αξιοπιστία, Πληθωρισµός και Νοµισµατική Πολιτική Στο κεφάλαιο αυτό αναλύουµε τον προσδιορισµό του πληθωρισµού και της ανεργίας ισορροπίας,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 4 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία (4 µονάδες) (α) Μια συνάρτηση f() έχει την παράγωγο του f () γραφήµατος παραπλεύρως. Να βρεθεί η µέγιστη τιµή της για, υποθέτοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

8. Η ζήτηση ενός αγαθού µεταβάλλεται προς την αντίθετη κατεύθυνση µε τη µεταβολή της τιµής του υποκατάστατου αγαθού.

8. Η ζήτηση ενός αγαθού µεταβάλλεται προς την αντίθετη κατεύθυνση µε τη µεταβολή της τιµής του υποκατάστατου αγαθού. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : Η ΖΗΤΗΣΗ Να σηµειώσετε το σωστό ή το λάθος στο τέλος των προτάσεων: 1. Η επιδίωξη της µέγιστης χρησιµότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συµπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Έστω συνάρτηση ζήτησης με τύπο Q = 200 4P. Να βρείτε: α) Την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν η τιμή αυξάνεται από 10 σε 12. 1ος τρόπος Αν P 0 10 τότε Q 0 200 410

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 5ο. Το υπόδειγµα της Συνολικής Ζήτησης

Μάθηµα 5ο. Το υπόδειγµα της Συνολικής Ζήτησης Μάθηµα 5ο Το υπόδειγµα της Συνολικής Ζήτησης Η συνολική Ζήτηση και τα συστατικά της Είδαµε ότι ένας τρόπος µέτρησης του ΑΕΠ είναι αυτός της συνολικής δαπάνης της οικονοµίας µε την παρακάτω ταυτότητα GDP

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13 Το Ζήτηµα της Αξιοπιστίας της Αντιπληθωριστικής Πολιτικής

Κεφάλαιο 13 Το Ζήτηµα της Αξιοπιστίας της Αντιπληθωριστικής Πολιτικής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 13 Το Ζήτηµα της Αξιοπιστίας της Αντιπληθωριστικής Πολιτικής Στο κεφάλαιο αυτό αναλύουµε τον προσδιορισµό του πληθωρισµού και της ανεργίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE

ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE 8.1. Γενικά Εδώ εξετάζουµε τους παράγοντες που επηρεάζουν τις τιµές των δικαιωµάτων προαίρεσης. Όπως θα δούµε

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Η προσδοκώµενη χρησιµότητα του κέρδους όταν η πιθανότητα η τιµή του προϊόντος Ρ1 είναι ψ, χ το επίπεδο παραγωγής και c(x) η συνάρτηση κόστους, είναι

Η προσδοκώµενη χρησιµότητα του κέρδους όταν η πιθανότητα η τιµή του προϊόντος Ρ1 είναι ψ, χ το επίπεδο παραγωγής και c(x) η συνάρτηση κόστους, είναι 3. Θεωρία της Επιχείρησης 3. Η Ανταγωνιστική Επιχείρηση. Το τµήµα αυτό έχει δύο στόχους. Πρώτα να δείξει ότι αν υπάρχει ουδετερότητα απέναντι στον κίνδυνο, τότε η µέση αξία ενός αβέβαιου γεγονότος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Α.Α.Δράκος,Αναπλ.Καθηγητής Χρηµατοδοτικής Διοίκησης Δρ. Β. Γ. Μπαµπαλός, ΠΔ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1

Δρ. Α.Α.Δράκος,Αναπλ.Καθηγητής Χρηµατοδοτικής Διοίκησης Δρ. Β. Γ. Μπαµπαλός, ΠΔ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Δρ. Α.Α.Δράκος,Αναπλ.Καθηγητής Χρηµατοδοτικής Διοίκησης Δρ. Β. Γ. Μπαµπαλός, ΠΔ 47 216-217 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2016 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

5 Ο προσδιορισμός του εισοδήματος: Εξαγωγές και εισαγωγές

5 Ο προσδιορισμός του εισοδήματος: Εξαγωγές και εισαγωγές 5 Ο προσδιορισμός του εισοδήματος: Εξαγωγές και εισαγωγές Σκοπός Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάσαμε τον προσδιορισμό του εισοδήματος μίας οικονομίας χωρίς διεθνές εμπόριο, δηλαδή χωρίς να λάβουμε υπ όψιν

Διαβάστε περισσότερα

Η Διαχρονική Προσέγγιση στο Ισοζύγιο Πληρωμών. Διεθνής Οικονομική Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης

Η Διαχρονική Προσέγγιση στο Ισοζύγιο Πληρωμών. Διεθνής Οικονομική Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης Η Διαχρονική Προσέγγιση στο Ισοζύγιο Πληρωμών Διεθνής Οικονομική Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης 1 Η Διαχρονική Προσέγγιση Η διαχρονική προσέγγιση έχει ως σημείο εκκίνησης τις τεχνολογικές και αγοραίες δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17 Ένα Υπόδειγµα Δηµοσιονοµικών Κρίσεων

Κεφάλαιο 17 Ένα Υπόδειγµα Δηµοσιονοµικών Κρίσεων Κεφάλαιο 17 Ένα Υπόδειγµα Δηµοσιονοµικών Κρίσεων Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουµε ένα απλό υπόδειγµα κρίσεων δηµοσίου χρέους. Το υπόδειγµα αυτό οφείλεται στον Calvo (1988). Επικεντρωνόµαστε στο ερώτηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Μικροοικονοµικής Θεωρίας ΙΙΙ (ΜΙΚΟ 201)

Σηµειώσεις. Μικροοικονοµικής Θεωρίας ΙΙΙ (ΜΙΚΟ 201) Σηµειώσεις Μικροοικονοµικής Θεωρίας ΙΙΙ (ΜΙΚΟ 201) «Γενική Ισορροπία του Πλήρους Ανταγωνισµού» Βαγγέλης Τζουβελέκας Ρέθυµνο, 2003 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΓΕΝΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΟΥ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ 2.1 Γενική Ισορροπία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Το Υπόδειγµα Mundell Fleming

Κεφάλαιο 5 Το Υπόδειγµα Mundell Fleming Κεφάλαιο 5 Το Υπόδειγµα Mundell Fleming Το υπόδειγµα Mundell Fleming αποτελεί επί δεκαετίες τη βάση πάνω στην οποία στηρίζεται ένα µεγάλο µέρος της βραχυχρόνιας ανάλυσης των διεθνών µακροοικονοµικών φαινοµένων.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Ιουνίου ακαδηµαϊκού έτους 29-21 Παρασκευή, 1 Ιουνίου 21 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα