ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών

Transcript

1 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 5 7 ii. 8 6 iii. 6 4 iv. 9 5 v vi vii viii ix Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 6,35 5,45 ii. 14,25 9,46 iii. 8,66 9,30 iv. 13,95 0,64 v. 3,25 2,75 vi. 8,45 3,25 3. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i ii. iii iv. v vi. vii viii Να υπολογιστεί το άθροισμα x. i. Αν 3 και 12 ii. Αν 9 και 64 iii. Αν 0 και 17 iv. Αν 15 και Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i ii iii v iv. 6. Να υπολογιστεί το άθροισμα x. i. Αν 2, 8, 7, 24. ii. Αν 24, 3, 5, 4, 25, 5, 60 iii. Αν Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i Πράξεις ρητών

2 2 ii iii Να απλοποιηθεί η γραφή των παρακάτω αθροισμάτων και να υπολογιστούν έπειτα τα αθροίσματα: i ii iii. 2,6 4,5 8,6 5 9, Να υπολογιστούν οι παρακάτω διαφορές: i. 5 7 ii. 8 6 iv. 9 5 v iv. iii. 6 4 vi viii. ix vii Να υπολογιστούν οι παρακάτω διαφορές: i. 6,35 5,45 ii. 14,25 9,46 iii. 8,66 9,30 iv. 13,95 0,64 v. 3,25 2,75 vi. 8,45 3, Να υπολογιστούν οι παρακάτω διαφορές: i iii v vii ii. iv. vi. viii Να υπολογιστούν η διαφορά x. i. Αν 3 και 12 ii. Αν 9 και 64 iii. Αν 0 και 17 iv. Αν 15 και Να γίνουν οι παρακάτω αφαιρέσεις: i ii iii iv Να υπολογιστούν οι τιμές των παρακάτω αλγεβρικών αθροισμάτων: i ii Πράξεις ρητών

3 3 iii v iv. 15. Να υπολογιστεί η αριθμητική τιμή του αλγεβρικού αθροίσματος i. Αν 2, 8, 7, 24. ii. Αν 24, 3, 5, 4, 25, 5, 60. iii. Αν Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: i ii iii iv Να λυθούν οι εξισώσεις: a. x 3 9 b. 8 x Να υπολογιστούν τα παρακάτω γινόμενα: x. i. 5 7 ii. 8 9 iii iv. 3,5 0,6 v. 1,4 2,3 vi. 0,7 0,8 19. Να υπολογιστούν τα παρακάτω γινόμενα: i iii iv. 20. Να εκτελεστούν οι παρακάτω πράξεις: ii. i ii iii Να υπολογισθούν τα παρακάτω γινόμενα: i ii iii Να εκτελεστούν οι παρακάτω πράξεις: Πράξεις ρητών

4 4 i ii iii Να εκτελεστούν οι παρακάτω πράξεις: i ii iii Να εκτελεστούν οι παρακάτω πράξεις: i ii iii Συμπληρώστε τον πίνακα: 26. Συμπληρώστε τον πίνακα: 27. Να εκτελεστούν οι παρακάτω διαιρέσεις: i ii iii iv v vi vii. 4,5 0,9 viii. 8,75 0,25 ix. 1,25 0, Να υπολογιστεί η τιμή του πηλίκου αν: i. 216 και 18 ii. 248 και 12 iii. 350 και 25 iv. 12, 6 και 1, 8 v. 5, 64 και 0, 6 vi. 29, 6 και 0, Να υπολογιστούν τα παρακάτω πηλίκα: i iii ii. iv Πράξεις ρητών

5 5 v vi vii viii Να υπολογιστούν οι παρακάτω πράξεις: i ii Να υπολογιστούν οι παρακάτω πράξεις: i ii iii Να υπολογιστούν οι παρακάτω πράξεις: i ii Να υπολογιστούν οι παρακάτω πράξεις: 7 10 i ii Συμπληρώστε τον πίνακα: Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: (α ) 3 2 (β ) 3 3 (γ ) (δ ) (ε ) (στ ) Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: (α) (β) (γ) (δ) 3 3 0,3 0, Να υπολογιστούν τα γινόμενα: (α) (β) (γ) ,3 9 (δ) 1, Πράξεις ρητών

6 6 38. Να υπολογιστούν οι παρακάτω δυνάμεις: i ii iii. 2 5 iv. 3 3 v. 5 2 vi. 1 6 vii. 0,5 4 viii. 3,2 2 ix. 0, Να υπολογιστούν οι παρακάτω δυνάμεις: i ii. 7 2 iii. 2,5 3 iv. 0,003 4 v vi Να υπολογιστούν τα εξαγόμενα των παρακάτω πράξεων: i ii iii iv v vi. 0,5 1,2 0, Να υπολογιστούν τα εξαγόμενα των παρακάτω πράξεων: i ii. 5 1 iii iv Να υπολογιστούν τα εξαγόμενα των παρακάτω πράξεων: 2 i ii iii iv Να υπολογιστούν τα εξαγόμενα των παρακάτω πράξεων: 2 2 i ii iii iv vi. 2 v. 2 vii viii ix. 2 x. 6 xii xi Να υπολογιστούν οι παρακάτω δυνάμεις: (α) 1 4 (β) 3 3 (γ) (δ) (ε) Να υπολογιστούν οι παρακάτω δυνάμεις: 5 (α) 10 (β) 6 0,2 3 (γ) 10 (δ) 7 0,1 (ε) 0,2 8 Πράξεις ρητών

7 7 46. Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: (α) 2 2 (β) 3 : 3 (γ) (δ) (ε) 4 16 : Να λύσετε τις εξισώσεις: 2 4 (α) 10 x 10 (β) (γ) 3 x Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: A , B Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης: x3 x2 x1 x x1 x2 x3 A για x 1 Πράξεις ρητών

8 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: 2 4, 3 2, 2 2 2, 2 2 1, 1 3,, 3 3, , , Να υπολογίσεις την τιμή των ακόλουθων αριθμητικών παραστάσεων: , 6, ,, 0,7, Να τοποθετήσεις ανάμεσα στα παρακάτω ζεύγη των αριθμών ένα από τα σύμβολα: <, > ή = α) β) γ) δ) 0, 3 0, ε) , στ) 32 0, , 6 ζ) η) θ) 0 ι) 4, ια) ιγ) ιδ) Γράψε με μορφή μιας δύναμης καθένα από τα γινόμενα: 3 4 α) 5 5 β) γ) δ) στ) 3 5 ιβ) ε) ,34 1,34 1,34 1, ζ) 5 5. Να υπολογίσεις τα γινόμενα: α) δ) Να υπολογίσεις τα πηλίκα: α) β) ε) 4 6 : η) β) : γ) 3 3 0, γ) : στ) ζ) θ) 34 6 Ιδιότητες δυνάμεων

9 9 7. Γράψε με μορφή μιας δύναμης τια ακόλουθες παραστάσεις: 2 3 β) 3 3 γ) 2 5 δ) στ) 10 4 α) 2 3 ε) Γράψε με μορφή μιας δύναμης τια ακόλουθες παραστάσεις: : : α) β) γ) δ) 2 ε) στ) Να γράψεις τις παρακάτω παραστάσεις με μορφή μιας δύναμης: Α= x x x Β= x 12 : x a Γ= Δ= : Ε= : Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις: 5 Α= Δ= Β= Ε= Γ= Ζ= Ιδιότητες δυνάμεων

10 10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμεριστική ιδιότητα 1. Να φέρεις τις παρακάτω παραστάσεις σε απλούστερη μορφή και στη συνέχεια να βρεις την τιμή τους για χ=3 και ψ=5. Α= 3(2χ+5) +7(2χ+3ψ) +8(3χ+5ψ) Β = 6(3χ+9) +2(3ψ-5) +4(2χ+7ψ) Γ=10(2χ+5ψ)+4(3χ+2ψ+2)+3(2χ-5ψ) Δ=8(9χ+5ψ)+3(2χ+5ψ+4)+5(χ+ψ+1) Ε= 6( 3χ+9ψ) +5(χ-2ψ) +8(5-2χ) 2. Να απλοποιήσετε τα αθροίσματα: α)3χ+5χ-2χ, β)7ω+12ω-3ω, γ) 12αβ+ 5αβ +10αβ -26αβ δ)9ψ-3ψ+15ψ -4ψ, ε)7ω-5ω+12ω, ζ)20φ-19φ, 3. Να γίνουν γινόμενο παραγόντων οι παραστάσεις: Α= 3χ+9ψ, Β= 10χ+5ψ+15ω, Γ= χω-ψω, Δ= χψ+χ, Ε= ωψ-ψ, Ζ= 2ζ+4ω+12φ, Η= αβ+αβγ, Θ= 4αβ+20αδ +12αω 4. Αν α+β=10 να υπολογίσεις την τιμή των παραστάσεων: Α=4α+2(3+β)+2(5-α) Β=18α+2(5-4α )+10(β+3) Γ= 5(α+3)+6(α+2β)+4(α-2)+3(β+5) Δ =8(2α+3β+4)+5(3α+2β)+6(2-α)+9(3-β) 5. Αν χψ=21 και χ+ψ =10 να υπολογίσεις την τιμή των παραστάσεων: Α = ( χ+2) (ψ+2), Β= (3+ψ) (3+χ), Γ=(2χ+5) (2ψ+5) Δ= (5χ+7)(5ψ+7), Ε=(3ψ+2)(3χ+2), Ζ=(6χ+4) (6ψ+4) H= (3χ+5 )(2ψ+3)+χ -7, Θ=(6χ+5)(2ψ+7)+16(3-2χ) 6. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 3(2χ+5) = 60 5( 3χ-4) = 40 8(2χ+5)+7(χ-2) = 92 3(5χ+7)+8(2χ-1) = (40-2χ) = 80 5(70-6χ) = 50 9(3χ-8) = 90 5(4χ+8)+7(6χ-3) = 43 7( χ+12)+3(χ-5) = Αν 3β+5γ=12 να απλοποιήσεις τις παρακάτω παραστάσεις: Α=3αβ+5αγ+4α -8α Β=12αβ+20αγ+4α -15α Γ=3αβ+5αγ+4α -8 α Δ=6δβ+15δγ-10δ+4δ Ε=6χβ+15χγ+10χ- 9χ Ζ=3β 2 +5βγ+8β-20β Η=3βγ+5γ 2 +8γ-20γ Θ=3β 3 +5β 2 γ+9β 2-12β 2 8. Αν 2χ-3ψ=17 να απλοποιήσεις τις παρακάτω παραστάσεις: Α=2αχ-3αψ+10α -18α Β=10αχ-30αψ-150α -15α Γ=6χω-9ψω-17ω-4ω Δ=8χω-12ψω-50ω-30ω Ε=8χω-12ψω-50ω-30ω Ζ=2χ 2-3χψ+10χ -20χ Η=2χ 2-3χψ Επιμεριστική ιδιότητα

11 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αριθμητικές παραστάσεις 1. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις: Α) :(-6)-7 Β) Γ) Δ) 2. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α= [ ] Β= { [ ] } Γ= 3. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α= Β= Γ= 4. Αν ισχύει y-2x=1, να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α= { [ ] } 5. Δίνονται δύο ορθογώνια με διαστάσεις x, y και α, β αντίστοιχα. Αν το πρώτο έχει περίμετρο 6 και το δεύτερο εμβαδόν 24 να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= [ ] 6. Αν x= { [ ]} και y=, να δείξετε ότι οι x και y είναι αντίθετοι αριθμοί. 7. Αν οι αριθμοί x και 2y είναι αντίθετοι, να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: Α=3x+6y και B= 8. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α= [ ] Β= [ ] Γ= [ ] Δ= [ ] Αριθμητικές παραστάσεις

12 12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Τετραγωνικές ρίζες 1. Αν α>0 και β>0 ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις έχουν νόημα στο R; Α) Β) Γ) Δ) Ε) ΣΤ) Ζ) Η) 2. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α= Β= + Γ= ( ) ( ) ( ) ( ) 3. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις, χωρίς το σύμβολο της ρίζας: Α= B= Γ= Δ= 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Β= Γ= 5. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α) Β) ) Γ) Δ) Ε) ΣΤ) ( )( ) 6. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α= Β= Γ= Δ= 7. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α= Γ=, με x>0 Δ=, με x>0 Β= 8. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: A=, όταν x είναι πραγματικός Τετραγωνική ρίζα

13 13 B=, αν x=2008 Γ=, αν x>0 Δ= [ ], αν x>0 9. Να κάνετε τις πράξεις: Α= ( ) Β= ( ) Γ= ( ) Δ=( )( ) Ε=( )( ) Ζ=( ) 10. Να κάνετε τις πράξεις: Α=( )( ) Β=( )( ) Γ=( )( ) 11. Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή: Α= Β= Γ= Δ= Ε= 12. Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή: Α= Β= 13. Α) Να αποδείξετε ότι ( )( ) Γ= Δ= Β) Να μετατρέψετε το κλάσμα, σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή. 14. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: A) ( ) B) B) 15. Αν α, β, γ είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα την α, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= 16. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ γνωρίζουμε ότι η πλευρά ΑΒ είναι διπλάσια της ΒΓ και έχει περίμετρο 18. Να υπολογίσετε: Α. τη διαγώνιο ΑΓ Β. την πλευρά ενός τετραγώνου που έχει το ίδιο εμβαδόν με το ορθογώνιο. Τετραγωνική ρίζα

14 14 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στα Μονώνυμα 1. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα: Α= B= Γ= Δ= E=( ) Z= H= Θ= 2. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Μονώνυμο Συντελεστής Κύριο μέρος Βαθμός ως προς α Βαθμός ως προς β Βαθμός ( ) 3. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια:,,,,,,, 4. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης για α=-1, β=4 και γ= 5. Να βρείτε τις αλγεβρικές τιμές των παραστάσεων: Α) 5α+βγδ για α=5, β=3, γ=-4 και δ=2 Β) x(3+2yw)-y(7-wz) για x=-4, y=-3, w=2 και z=5 6. Να προσδιορίσετε την τιμή του ν ώστε το μονώνυμο να έχει αριθμητική τιμή -28 όταν x=-2 και y= Ένα μονώνυμο έχει συντελεστή -10 και μεταβλητές x και y. Να προσδιορίσετε το μονώνυμο αυτό αν ο βαθμός του: Α) ως προς y είναι 5 και ως προς x και y είναι 6 Β) ως προς x είναι 6 και ως προς x και y είναι 8 8. Ένα μονώνυμο έχει συντελεστή και μεταβλητές α, β και γ. Να προσδιορίσετε το μονώνυμο αυτό αν ο βαθμός του ως προς α είναι 3, ως προς β είναι 2 και ως προς α, β, γ είναι Να βρείτε την τιμή του φυσικού αριθμού ν για την οποία: Α) το μονώνυμο είναι 5 ου βαθμού Β) το μονώνυμο είναι 15 ου βαθμού Γ) το μονώνυμο είναι 12 ου βαθμού Μονώνυμα

15 Να βρείτε για ποιες τιμές των φυσικών αριθμών μ και ν είναι όμοια τα μονώνυμα: Α), Β), Γ), 11. Να βρεθούν οι ακέραιοι κ, λ και μ για τους οποίους τα μονώνυμα και είναι όμοια. 12. Θεωρώ τα μονώνυμα και με μεταβλητές x και y. Για ποιες τιμές των α, β, γ είναι: Α) όμοια Β) ίσα Γ) αντίθετα Πράξεις μονωνύμων 13. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις: A= B= Γ= Δ= Ε= 14. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: 4x-6x+ =2x 15. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: Α) = B) = Γ) 3x+5x-6x = Δ) = E) = Z) = H) Θ) I) 16. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: Α) = B) = Γ) = Δ) E) Z) = 17. Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β, γ, δ, ε, ζ ώστε το παρακάτω άθροισμα μονωνύμων να είναι μονώνυμο: 18. Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β, γ, δ ώστε το παρακάτω άθροισμα μονωνύμων να είναι το μηδενικό μονώνυμο: 19. Αν η παράσταση είναι μονώνυμο, να βρείτε το συντελεστή και το κύριο μέρος του. 20. Να βρείτε τις τιμές των κ και λ, ώστε να ισχύουν οι ισότητες: Α= B= 21. Να κάνετε τις πράξεις: Α= Β= [ ] Γ= [ ] Δ= Μονώνυμα

16 16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στα Πολυώνυμα 1. Να γράψετε τα παρακάτω πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x. 2. Να γράψετε το πολυώνυμο Α= κατά τις φθίνουσες δυνάμεις: α) του y β) του x. 3. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου ως προς: α) x, β) y γ) x,y 4. Αν, να βρείτε το και το 5. Αν, να αποδείξετε ότι το 6. Αν, να βρείτε το άθροισμα: 7. Αν και, να βρείτε τα πολυώνυμα και 8. Να κάνετε τις πράξεις: Α= Β= Γ= Δ= Ε= 9. Να κάνετε τις πράξεις: A= [ ] Β= [ ] Γ= [ ] [ ] [ ] Δ= [ ] Ε= [ ] Z= [ ] 10. Αν Α=, B=, Γ=, να βρεθούν τα πολυώνυμα: Α) Α+Β Β) Α+Β+Γ Γ) Α-Β Δ) Α-Β+Γ Ε) Γ-Α-Β 11. Να κάνετε αναγωγή ομοίων όρων στην αλγεβρική παράσταση: {[ ] [ ]} Και στη συνέχεια να βρείτε την αριθμητική τιμή της για 12. Να κάνετε τις πράξεις: A= Β= [ ] Πολυώνυμα

17 Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου για τις διάφορες τιμές του α. 14. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου για τις διάφορες τιμές του λ. 15. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου για τις διάφορες τιμές του α. 16. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, δ για τις οποίες τα πολυώνυμα: και είναι ίσα. 17. Αν και, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ώστε τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) να είναι ίσα. 18. Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών κ και λ, ώστε τα πολυώνυμα: να είναι ίσα. 19. Να βρείτε για ποιες τιμές των α, β, γ, δ το πολυώνυμο είναι: Α) ίσο με το σταθερό πολυώνυμο 10 Β) το μηδενικό πολυώνυμο. 20. Να βρείτε τους αριθμούς α,β ώστε το πολυώνυμο: να είναι: Α) σταθερό πολυώνυμο Β) το μηδενικό πολυώνυμο 21. Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών κ και λ, ώστε το πολυώνυμο: να είναι πρώτου βαθμού. 22. Αν, να βρείτε τα πολυώνυμα και και στη συνέχεια να βρείτε το πολυώνυμο. 23. Αν, να προσδιοριστεί το πολυώνυμο 24. Αν να βρεθούν τα πολυώνυμα: και Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων 25. Να κάνετε τις πράξεις: Α= Β= Πολυώνυμα

18 18 Γ= Δ= Ε= [ ] [ ] Z= { [ ] } 26. Να συμπληρώστε τα κενά με τα κατάλληλα μονώνυμα ώστε να ισχύουν οι ισότητες: 27. Να βρείτε τα αναπτύγματα των γινομένων: Α=(x+1)(x+3) B=(3α-1)(2β+4) Γ= Δ= E= Z= 28. Να βρείτε τα αναπτύγματα των γινομένων: A=(2-x)(3x+1)(2x-3) B=(α+1)(α-1)(α+2) Γ=-x(x+1)(x-2)(x+3) 29. Αν και, να βρείτε τα πολυώνυμα: Α= B= [ ] Γ= [ ] [ ] 30. Αν και, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, δ ώστε τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) να είναι ίσα. 31. Αν και, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, δ ώστε τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) να είναι ίσα 32. Να κάνετε τις πράξεις και στη συνέχεια να βρείτε την αριθμητική τιμή του εξαγόμενου: Α= για x=-2 B= για x = -1 και y = Αν να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ έτσι, ώστε να ισχύει:. 34. Αν και να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ και δ έτσι, ώστε να ισχύει: [ ]. Πολυώνυμα

19 19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στις Ταυτότητες 1. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: A. B. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. ( ) 2. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: Α. ( ) Β. Γ. Δ. ( ) E. ΣΤ. Ζ. Η. ( ) Θ. Ι. 3. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: Α. Β. Γ. Δ. E. ΣΤ. 4. Να βρείτε τα αναπτύγματα: Α. Β. Γ. Δ. 5. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: Α. B. Γ. Δ. Ε. ΣΤ.( )( ) 6. Χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες να βρείτε τα παρακάτω γινόμενα: Α. Β. Γ.. Δ. Ε. ΣΤ. 7. Να βρείτε τα παρακάτω αναπτύγματα: Α. Β. ( )( ) Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. ( )( ) 8. Να κάνετε τις πράξεις: Α. ( ) Β. ( ) Γ. ( ) Δ.( ) Ε. ( )( ) ΣΤ. ( )( ) 9. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α. ( ) Β. ( ) Γ. ( ) Δ. ( ) Ταυτότητες

20 Να βρείτε ποιων τετραγώνων τα αναπτύγματα είναι οι παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις: Α. B. Γ. Δ. Ε. ΣΤ.. Z. Η. 11. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: Α. B. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. Θ. Ι. 12. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: Α. B. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 13. Να βρείτε τα παρακάτω αναπτύγματα: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 14. Να βρείτε τα παρακάτω αναπτύγματα: Α. Β. Γ. Δ. 15. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: Α. ( )( ) Β. Γ. Δ. 16. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. 17. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. 18. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: Α. Β. Γ. Ταυτότητες

21 21 Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. 19. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: Α. Β. Γ. 20. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: Α. Β. Γ. Δ. 21. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α. Β. Γ. ( ) Δ. ( ) ( ) ( ) ( ) 22. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: Α. Β. Γ. 23. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 24. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 25. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: Α. Β. Γ. 26. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: Α. Β.. Ταυτότητες

22 22 Γ.. Δ.. Ε.. ΣΤ Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. 28. Να συμπληρώσετε το κενό έτσι, ώστε να δημιουργηθούν τριώνυμα που να είναι τέλεια τετράγωνα διωνύμων. Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 29. Να αποδείξετε τις ακόλουθες ταυτότητες: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. 30. Να αποδείξετε τις ακόλουθες ταυτότητες: Α. Β. Γ. 31. Να αποδείξετε τις ακόλουθες ταυτότητες: Α. Β. Γ. Δ. [ ] 32. Να αποδείξετε τις ακόλουθες ταυτότητες: Α. Β. Γ. Δ. Ε. Ταυτότητες

23 Να αποδείξετε τις ακόλουθες ταυτότητες: Α. Β. 34. Να αποδείξετε τις ακόλουθες ταυτότητες: Α. Β. Γ. Δ. Ε.( )( ) ΣΤ. 35. Να αποδείξετε ότι: Α. Β. Γ. Δ. 36. Να αποδείξετε ότι: Α. ( )( ) Β. 37. Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητούς παρονομαστές: Α. Β. Γ. Δ. 38. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α= Β= Γ. Δ. 39. Αν και να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 40. Αν και να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ Αν και να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ταυτότητες

24 Αν και να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α. Β. Γ. 43. Αν και να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α. Β. Γ. 44. Αν να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης. Αν να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης. 45. Αν να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α. Β. Γ. Δ. 46. Αν να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α. Β. Γ. Δ. 47. Αν και, να αποδείξετε ότι: Α. Β. 48. Αν και να αποδείξετε ότι Ταυτότητες

25 25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στην Παραγοντοποίηση 1. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ.4 Δ. Ε. 18 ΣΤ. Ζ.. Η.. Θ. Ι. ΙΑ. 18 IB. 2. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 3. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α.. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 4. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. Θ. I. IA. IB. 5. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. 6. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. 7. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 8. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. 9. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Παραγοντοποίηση

26 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. Θ. 11. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. 12. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:2 Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. Θ. 13. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. 14. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 15. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. Θ. 16. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. 17. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 18. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 19. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Παραγοντοποίηση

27 27 Ε. ΣΤ Ζ. Η. 20. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 21. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. 22. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ.. Δ. 23. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. 24. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 25. Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε γινόμενα: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 26. Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε γινόμενα: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. 27. Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε γινόμενα: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Παραγοντοποίηση

28 Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε γινόμενα: Α. Β. Γ. 29. Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε γινόμενα: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. 30. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ( ) ΣΤ. Ζ. ( ) Η. Θ. 31. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. ( ) Ζ. ( ) Η. 32. Να κάνετε τις πράξεις: Α. Β. 33. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 34. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 35. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. 36. Να γίνουν γινόμενα οι ακόλουθες παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. 37. Να γίνουν γινόμενα οι ακόλουθες παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Παραγοντοποίηση

29 29 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΠ-ΜΚΔ 1. Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των παρακάτω παραστάσεων: Α. Β.. Γ. Δ. Ε. 2. Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των παρακάτω παραστάσεων: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 3. Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των παρακάτω παραστάσεων: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 4. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα γράφοντας σε κάθε κελί το ΕΚΠ των παραστάσεων Α και Β. Α Β 5. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα γράφοντας σε κάθε κελί το ΜΚΔ των παραστάσεων Α και Β. Α Β 6. Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των παρακάτω παραστάσεων: Α. Β. Γ. Δ. ΕΚΠ-ΜΚΔ

30 30 7. Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των παρακάτω παραστάσεων: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 8. Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των παρακάτω παραστάσεων: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΕΚΠ-ΜΚΔ

31 31 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στις Ρητές Παραστάσεις 1. Να βρείτε τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 2. Να βρείτε τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 3. Να βρείτε τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 4. Να βρείτε τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. 5. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω ρητές παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 6. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω ρητές παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. 7. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω ρητές παραστάσεις: Α. Β. Γ. Ρητές Παραστάσεις

32 32 Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. 8. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω ρητές παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η.. Θ.. Ι. 9. Να αποδείξετε ότι:. 10. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω παραστάσεις: Α.. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. 11. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω παραστάσεις: Α.. Β.. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. 12. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα: Α. Β. Γ. Δ. 13. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα: Α. Β. Γ. Ρητές Παραστάσεις

33 33 Δ. Ε. ΣΤ. 14. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 15. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα: Α. Β. Γ. 16. Να εκτελέσετε τις παρακάτω διαιρέσεις: Α. Β. Γ. Δ. 17. Να εκτελέσετε τις παρακάτω διαιρέσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. Θ. 18. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις: Α. Β. Γ. Δ. [ Ε. ] [ ] 19. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις: Ρητές Παραστάσεις

34 34 Α. Β. Γ. Δ. 20. Να κάνετε απλά τα παρακάτω σύνθετα κλάσματα: Α. Β Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 22. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις: Α. Β. Γ. Δ. 23. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω σύνθετα κλάσματα: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 24. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. 25. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. Ρητές Παραστάσεις

35 35 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στις Εξισώσεις 2 ου βαθμού Μορφή και 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. 8 Ε. ΣΤ. 2. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 3. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 4. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. ( ) 5. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Μορφή 6. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. 7. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. 8. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 9. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. ( ) Γ. Δ. Εξισώσεις 2 ου βαθμού

36 36 Ε. ΣΤ. 10. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Μορφή με τύπο 11. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. 12. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. 13. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. 14. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 15. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 16. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. 17. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. ( ) Β. ( ) Γ. Δ. Ε. 18. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. 19. Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Εξισώσεις 2 ου βαθμού

37 Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. 21. Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 22. Α. Να βρείτε τις τιμές του αριθμού λ για τις οποίες η εξίσωση έχει ως λύση τον αριθμό -3. Β. Να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει για τη μεγαλύτερη τιμή του λ που θα βρείτε. 23. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση: έχει ρίζα τον αριθμό Να βρείτε για ποιες τιμές του α η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό Αν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 2, τότε: Α. να βρείτε την τιμή του μ Β. να λύσετε την εξίσωση αυτή. 26. Να λύσετε την εξίσωση αν είναι γνωστό ότι έχει ως ρίζα τον αριθμό Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση να έχει μία διπλή λύση. 28. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πάντοτε δύο λύσεις. 29. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 30. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 31. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πάντοτε δύο λύσεις άνισες. 32. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε οι παρακάτω εξισώσεις να έχουν διπλή λύση: Α. Β. Γ. 33. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης για όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει το λ. Εξισώσεις 2 ου βαθμού

38 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση για όλες τις τιμές του λ. 35. Αν α, β είναι πραγματικοί αριθμοί με, να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μία τουλάχιστον λύση: Α. Β. Γ. 36. Δίνεται η εξίσωση όπου α,β είναι μήκη πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ. Αν η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 37. Δίνεται η εξίσωση, όπου α, β, γ τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ. Αν η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. 38. Να λύσετε την εξίσωση αν είναι γνωστό ότι 4-2β+γ= Να λύσετε τις εξισώσεις: Α. Β. 40. Να λύσετε τις εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 41. Α. Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Β. Να λύσετε την εξίσωση 42. Αν και : Α. Να μετατρέψετε σε γινόμενο την παράσταση Α-Β Β. Να λύσετε την εξίσωση Α=Β. 43. Να λύσετε τις εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Εξισώσεις 2 ου βαθμού

39 39 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στις Κλασματικές Εξισώσεις 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 2. Να λυθούν οι εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. 3. Να λύσετε τις εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ.. Ε. ΣΤ. Ζ. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: Α. Β. Κλασματικές Εξισώσεις

40 40 Γ. Δ. 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 9. Να εξετάσετε αν έχουν τις ίδιες λύσεις οι εξισώσεις: και 10. Να εξετάσετε αν έχουν τις ίδιες λύσεις οι εξισώσεις: και 11. Α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: και Β. Να λύστε την εξίσωση: 12. Α. Να απλοποιήσετε την παράσταση: Β. Να λύστε την εξίσωση: 13. Α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: και Β. Να λύστε την εξίσωση: 14. Α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: και Β. Να λύστε την εξίσωση: 15. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση: έχει ως ρίζα τον αριθμό Α. Να λύσετε την εξίσωση B. Να λύσετε τις εξισώσεις και, όπου είναι οι λύσεις της εξίσωσης του ερωτήματος (Α) Κλασματικές Εξισώσεις

41 41 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στις Ανισότητες 1. Αν -1<x<1 να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων: και 2. Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω παραστάσεων: 3. Αν α<β<γ<δ, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης (α-β)(β-δ)(δ-γ) 4. Αν α>β>γ, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης 5. Αν x<0 και y>0, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης: 6. Αν 0<α<β, να βρείτε το πρόσημο του αριθμού (α-β)(2β-α) 7. Αν α<-2, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης 8. Αν α<β<0<γ, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης: (α-β)(α+β)(2α+β)(α+β-1)(β-γ)(γ-3α) 9. Αν α<3, να δείξετε ότι 6-5(2α-2)>1 10. Αν α,β πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι. Πότε ισχύει η ισότητα; 11. Αν α,β πραγματικοί αριθμοί με α<2<β, να δείξετε ότι αβ+4<2(α+β) 12. Να δείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει. 13. Να δείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει: 14.. Πότε ισχύει η ισότητα; 15. Αν α>3 να αποδείξετε ότι. 16. Αν α<β να δείξετε ότι. 17. Αν α,β πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι. Πότε ισχύει η ισότητα; 18. Να αποδείξετε ότι: Α. αν χ>4 τότε Β. αν χ>5 τότε Γ. αν χ+2<0 τότε 19. Αν χ<-2 και ψ>5 να αποδείξετε ότι: Α. (χ+2)(ψ-5)>0 Β. χψ-10<5χ-2ψ Ανισότητες

42 Να αποδείξετε ότι: Α. αν οι α, β είναι ομόσημοι (αβ>0), τότε Β. αν οι α, β είναι ετερόσημοι (αβ<0), τότε 21. Αν χ < ψ, να αποδείξετε ότι 22. Να βρείτε πότε ισχύει: Α. Β. Γ. 23. Αν α>β να αποδείξετε ότι: Α 2α-3>2β-3. Β. Γ. 24. Αν α>3 και β>-2 να αποδείξετε ότι αβ-6>3β-2α. 25. Να αποδείξετε ότι για κάθε α>0 και οποιοδήποτε αριθμό β ισχύει:. 26. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς α,β ισχύει: 27. Για οποιουσδήποτε αριθμούς α, β να αποδείξετε ότι: Α. Β. Γ. 28. Να συγκρίνετε τις παραστάσεις: και. 29. Αν x>-1 να συγκρίνετε τις παραστάσεις: και. 30. Να συγκρίνετε τους αριθμούς και 31. Να συγκρίνετε τις παραστάσεις και 4α. 32. Αν α>β, να συγκρίνετε τις παραστάσεις:5α-7γ και 5β-7γ. 33. Αν α>β, να συγκρίνετε τους αριθμούς 4γ-3α και 4γ-3β. 34. Αν -3<χ<-1 και 0<ψ<2, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων: Α. -2χ+5 Β. 3χ-4ψ Αν 2<χ<4 και 1<ψ<2, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων: Α. χ-ψ Β. Γ. Δ. Ε. 36. Αν και 2<β<4, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων: Ανισότητες

43 43 Α. 6-αβ Β. Γ. Δ. 37. Αν να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων: Α. 2χ-5 Β. 3-χ Γ. Δ. 38. Αν -2<χ<1 και -6<ψ<-5 να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων: Α. χ-ψ Β. Γ. 3ψ-χ Δ. 39. Αν -1<χ<4 και 1<ψ<3 να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων: Α. χ+ψ-3 Β. Γ. 2χ-4ψ Δ. 40. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. 41. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 42. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: Α. Γ. Δ. Β. 43. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: Α. και B. και Γ. και 44. Να βρείτε τις κοινές ακέραιες τιμές του x για τις οποίες: 45. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: Α. και B. και Γ. και Ανισότητες

44 Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: και 47. Να βρεθούν οι ακέραιοι κ για τους οποίους ισχύει: Α. -1 < κ+ < 2 Β. -6,28 < 3,14κ+1,57 <6, Να βρείτε το μεγαλύτερο φυσικό αριθμό x για τον οποίο ισχύει 49. Να βρείτε το μικρότερο φυσικό αριθμό x για τον οποίο ισχύει 50. Ένας φυσικό αριθμός α βρίσκεται μεταξύ του 215 και του 224. Αν ο α διαιρεθεί με το 12, αφήνει υπόλοιπο 5. Να βρείτε τον α. 51. Να βρείτε τις τιμές των x και y, αν: Α. Β. Γ. Δ. Ανισότητες

45 45 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στην Έννοια της Γραμμικής Εξίσωσης 1. Α. Να σχεδιάσετε την ευθεία με εξίσωση ε: Β. Αν ένα σημείο Α έχει τετμημένη 6 ποια πρέπει να είναι η τεταγμένη του ώστε να ανήκει στην ευθεία ε. Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από την αρχή των αξόνων και από τα σημεία που η ευθεία τέμνει τους άξονες. 2. Α. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες με εξισώσεις, και. Β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις τρεις αυτές ευθείες. 3. Α. Να σχεδιάσετε την ευθεία ε: Β. Ένα σημείο Μ της ευθείας ε έχει τετμημένη 2. Ποια είναι η τεταγμένη του; 4. Να σχεδιάσετε τις ευθείες που παριστάνουν οι γραμμικές εξισώσεις: Α. Β. 5. Να παραστήσετε γραφικά τις γραμμικές εξισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. 6. Να εξετάσετε αν τα ζεύγη (2,0), (0, -3)μ (2,3), (4,3) είναι λύσεις της γραμμικής εξίσωσης. Είναι τα σημεία Α(2,0), Β(0,-3) Γ(4,3) συνευθειακά; 7. Αν η ευθεία ε: τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Τότε: Α. Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. Β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων. 8. Α. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες και και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου. Β. Ποια από τις παρακάτω ευθείες διέρχεται από το προηγούμενο σημείο;,,. 9. Α. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες x=-2, x=7, y=1, y=2. Β. Να υπολογίζετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου που σχηματίζεται. 10. Αν η ευθεία με εξίσωση, διέρχεται από το σημείο Α(2,1) να προσδιοριστεί η τιμή του α και στη συνέχεια να σχεδιάσετε την ευθεία. 11. Να βρείτε τις τιμές του αριθμού α, ώστε η ευθεία με εξίσωση να διέρχεται από το σημείο Α(2,-1). 12. Να προσδιοριστούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η ευθεία με εξίσωση να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 13. Να προσδιοριστεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η ευθεία με εξίσωση να παριστάνει ευθεία: Έννοια της Γραμμικής Εξίσωσης

46 46 Α. παράλληλη στον άξονα x x Β. παράλληλη στον άξονα y y 14. Να προσδιορισθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η εξίσωση, να παριστάνει ευθεία που διέρχεται από το Α(1,-3). 15. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση. Να βρείτε τον αριθμό λ έτσι, ώστε η ευθεία να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 16. Να βρείτε την τιμή του λ έτσι, ώστε η εξίσωση να παριστάνει ευθεία που να είναι: Α. παράλληλη στον άξονα x x Β. παράλληλη στον άξονα y y 17. Να βρείτε την τιμή του λ έτσι, ώστε η ευθεία να διέρχεται από το σημείο Α(3,-4). 18. Αν η ευθεία διέρχεται από το σημείο Α(3,2), να βρεθούν: Α. η τιμή του αριθμού α Β. το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τους άξονες και την ευθεία. 19. Αν η ευθεία διέρχεται από το σημείο Α(4,-3), να υπολογισθεί ο πραγματικός αριθμός λ. 20. Δίνεται η ευθεία. Α. Να βρείτε τον αριθμό λ, ώστε η ευθεία ε να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Β. Για λ=5 να σχεδιάσετε την ευθεία ε. 21. Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η εξίσωση να παριστάνει ευθεία που να είναι: Α. παράλληλη στον άξονα x x Β. παράλληλη στον άξονα y y 22. Αν το ζεύγος (-2, -6) είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης, να βρείτε τον αριθμό λ. 23. Αν το ζεύγος (-2, 5) είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης, να βρείτε τον αριθμό κ. 24. Αν η ευθεία διέρχεται από το σημείο Α(2,6), να προσδιορίσετε την τιμή του α και στη συνέχεια να βρείτε τα κοινά σημεία της ε με τους άξονες. 25. Αν το ζεύγος (1,2) είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης, να παραστήσετε τις λύσεις της εξίσωσης αυτής στο επίπεδο. 26. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει περίμετρο 22cm. Αν οι ίσες πλευρές του έχουν μήκος xcm και η βάση ycm, τότε: Α. να βρεθεί η σχέση που συνδέει τα x,y Β. να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του y αν η μέγιστη τιμή του x είναι 6cm. Έννοια της Γραμμικής Εξίσωσης

47 47 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στην Έννοια του Γραμμικού συστήματος και της Γραφικής Επίλυσης του 1. Να εξετάσετε αν το ζεύγος (x,y)=(1,2) είναι λύση του συστήματος: Α. { Β. { Γ. { Δ. { 2. Να επιλύσετε γραφικά τα συστήματαα Α. { Β. { Γ. { 3. Να λύσετε γραφικά τα συστήματα: Α. { Β. { Γ. { Δ. { Ε. { ΣΤ. { 4. Να βρεθεί η τιμή του λ έτσι, ώστε το σύστημα { να είναι αόριστο. 5. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω συστήματα έχουν μοναδική λύση, ποια είναι αόριστα και ποια είναι αδύνατα. Α. { Β. { Γ. { Δ. { 6. Να βρείτε για ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών α, β έτσι, ώστε το σύστημα. { να είναι αόριστο. 7. Να βρείτε για ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών α, β έτσι, ώστε το σύστημα. { να είναι αδύνατο. Έννοια του Γραμμικού συστήματος και η Γραφική Επίλυση του

48 48 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στην Αλγεβρική Επίλυση Γραμμικού συστήματος 1. Να λυθούν τα ακόλουθα συστήματα: Α. { Β. { Γ. { 2. Να λυθούν τα συστήματα: Α. { Β. { Γ. { Δ. { 3. Να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών αριθμών x,y όταν: 4. Να λυθεί το σύστημα: { 5. Να λυθεί το σύστημα: { 6. Να λυθούν τα συστήματα: Α. { Β. { Γ. { Δ. { Ε. { 7. Να λυθούν τα συστήματα: Α. { Β. { 8. Να λυθούν τα συστήματα: Α. { Β. { Γ. { Δ. { Ε. { ΣΤ. { Ζ. { Η.{ Θ. { Αλγεβρική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος

49 49 Ι. { 9. Να λυθούν τα συστήματα: Α. { Β. { Γ. { 10. Να λυθούν τα συστήματα: Α. { 11. Να λυθούν τα συστήματα: Β. { Α. { Β. { Γ. { 12. Να λυθούν τα συστήματα: Α. { Β. { Γ. { Ε. { Δ. { ΣΤ. { 13. Να βρείτε τους αριθμούς x, y για τους οποίους ισχύει: Α. 2x-y=-x+y=-1 Β. 14. Να λύσετε τα συστήματα: Α. { Β. { Γ. { 15. Να λύσετε τα συστήματα: Α.. { Β. { 16. Να λύσετε τα συστήματα: Α. { Β. { 17. Αν και να λύσετε το σύστημα { 18. Να βρείτε το κοινό σημείο των ευθειών: Α. και Β. και Αλγεβρική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος

50 Οι ευθείες και τέμνονται ανά δύο. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου που σχηματίζουν. 20. Αν η ευθεία y=αx+β, διέρχεται από τα σημεία Α(-2,4) και Β(6,-4), να βρείτε τις τιμές των αριθμών α, β. 21. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας y=αx+β, που διέρχεται από τα σημεία Α(-1,4) και Β(2,-5) 22. Να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των ευθειών και αν γνωρίζουμε ότι τέμνονται στο σημείο Α(1,2). 23. Να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των ευθειών και αν γνωρίζουμε ότι τέμνονται στο σημείο Α(-2,8). 24. Να υπολογίσετε τους αριθμούς λ, μ έτσι, ώστε η εξίσωση να έχει ως ρίζες τους αριθμούς 1 και Να υπολογίσετε τους αριθμούς λ, μ έτσι, ώστε η εξίσωση να έχει ως ρίζες τους αριθμούς 2 και Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β έτσι, ώστε η εξίσωση να έχει ως ρίζες τους αριθμούς -2 και Αν το σύστημα { έχει ως λύση την (χ,ψ)=(3,2), να βρείτε τις τιμές των αριθμών α, β. 28. Αν το σύστημα { έχει ως λύση την (χ,ψ)=(-5,-13), να βρείτε τις τιμές των αριθμών α, β. 29. Να βρεθούν δύο συμπληρωματικές γωνίες έτσι, ώστε η μία να είναι ίση με το πενταπλάσιο της άλλης αυξημένο κατά 12 ο. 30. Να βρεθούν δύο παραπληρωματικές γωνίες αν η μία από αυτές είναι μεγαλύτερη από το διπλάσιο της άλλης κατά 24 ο. 31. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι 70 ο. Αν η γωνία Β είναι μεγαλύτερη από τη γωνία Γ κατά 50 ο, να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. 32. Ένας οινοπαραγωγός παρήγαγε 2000 κιλά κρασί και θέλει να το συσκευάσει σε 1500 μπουκάλια του ενός και των δύο κιλών. Να βρείτε πόσα μπουκάλια θα χρησιμοποιήσει από το κάθε είδος. Αλγεβρική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος

51 Ο μέσος όρος της βαθμολογίας ενός μαθητή στα Αρχαία Ελληνικά και στην Έκθεση το τρίμηνο ήταν 14. Στο δεύτερο τρίμηνο ο βαθμός των Αρχαίων Ελληνικών αυξήθηκε κατά δύο μονάδες ενώ ο βαθμός της Έκθεσης κατά τέσσερις μονάδες με αποτέλεσμα οι δύο βαθμοί να γίνουν ίσοι. Τι βαθμούς είχε ο μαθητής σε κάθε μάθημα το πρώτο τρίμηνο; 34. Από ένα σταθμό διοδίων της Εθνικής οδού πέρασαν 1000 αυτοκίνητα και μοτοσυκλέτες και εισπράχθηκαν Αν ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλήρωσε 2 κα ο οδηγός κάθε μοτοσυκλέτας πλήρωσε 1,5, να βρείτε πόσα ήταν τα αυτοκίνητα και πόσες οι μοτοσυκλέτες που πέρασαν τα διόδια. 35. Να βρείτε ένα διψήφιο αριθμό που το άθροισμα των ψηφίων του είναι ίσο με 14 και αν εναλλάξουμε τα ψηφία του θα προκύψει αριθμός μικρότερος κατά 36 μονάδες. 36. Να βρείτε δύο φυσικούς αριθμούς που να έχουν διαφορά 30 και αν διαιρέσουμε τον μεγαλύτερο διά τον μικρότερο βρίσκουμε πηλίκο 3 και υπόλοιπο Αν σε ένα ορθογώνιο αυξήσουμε το μήκος του κατά 8μ. και ελαττώσουμε το πλάτος του κατά 3μ., το εμβαδόν του δεν μεταβάλλεται. Αν όμως ελαττώσουμε το μήκος κατά 2μ. και αυξήσουμε το πλάτος του κατά 1μ., το εμβαδόν του ελαττώνεται κατά 6τ.μ. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου. 38. Να υπολογίσετε τις διαστάσεις ενός ορθογωνίου αν έχουν διαφορά 12μ. και η περίμετρος του είναι 36μ. 39. Μετά από 17 χρόνια η ηλικία ενός πατέρα θα είναι διπλάσια της ηλικίας της κόρης του. Πριν από 5 χρόνια όμως ο λόγος των ηλικιών τους ήταν 23/6. Να βρεθούν οι ηλικίες του πατέρα και της κόρης. 40. Η ομάδα «Αστραπή» συγκέντρωσε 78 βαθμούς και κατέκτησε το πρωτάθλημα αήττητη δίνοντας συνολικά 30 αγώνες. Αν με κάθε νίκη πήρε 3 βαθμούς και κάθε ισοπαλία 1, να βρείτε πόσες νίκες και πόσες ισοπαλίες είχε στους αγώνες του πρωταθλήματος. 41. Ένας παίκτης του μπάσκετ σε ένα αγώνα πέτυχε 59 πόντους βάζοντας συνολικά 36 καλάθια των δύο και του ενός πόντου. Πόσα καλάθια των δύο πόντων και πόσα του ενός πόντου έβαλε στον αγώνα. Αλγεβρική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος

52 52 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στην Συνάρτηση 1. Να σχεδιαστούν στο ίδιο σύστημα αξόνων οι παραβολές, και. 2. Να σχεδιαστούν στο ίδιο σύστημα αξόνων οι παραβολές, και. 3. Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης όταν. 4. Δίνεται η συνάρτηση. Α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα x y Β. Να σχεδιάσετε την παραβολή όταν. 5. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε την παραβολή και την ευθεία. Στη συνέχεια να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων τους. 6. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις έχουν μέγιστο και ποιες ελάχιστο: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. Η. ( ) 7. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις παίρνουν μέγιστη και ποιες ελάχιστη τιμή: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Ζ. 8. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: Α. όταν Β. όταν Γ. όταν Δ. όταν Ε. όταν ΣΤ. όταν 9. Να βρείτε τα σημεία της παραβολής που έχουν τεταγμένη Να βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής με την ευθεία. Στη συνέχεια να βρείτε την απόσταση των σημείων αυτών. 11. Να βρεθεί η τιμή του λ, ώστε η παραβολή να διέρχεται από το σημείο Μ. Συνάρτηση

53 Δίνεται η παραβολή. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α, αν είναι γνωστό ότι το σημείο Α(1,3) ανήκει στη συμμετρική της ως προς τον άξονα x x. 13. Αν η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(2,λ), να βρείτε την τιμή του αριθμού λ. 14. Να σχεδιαστεί η παραβολή, αν είναι γνωστό ότι διέρχεται από το σημείο Α(2,-12). 15. Αν η παραβολή διέρχεται από το σημείο Α(1,6), να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α. 16. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε η παραβολή να παρουσιάζει ελάχιστο. 17. Να βρεθούν τα σημεία της παραβολής που έχουν τεταγμένη -20. Αν ονομάσουμε Α και Β τα παραπάνω σημεία, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές και να βρείτε το εμβαδόν του. 18. Να βρείτε το σημείο της παραβολής που έχουν τετμημένη Να βρεθούν τα σημεία της παραβολής που έχουν τεταγμένη Να βρείτε εφόσον υπάρχουν τα σημεία της παραβολής που έχουν τεταγμένη: Α) -4 Β) Να βρείτε τις αποστάσεις του σημείου Α της παραβολής από τους άξονες x x και y y, αν αυτό έχει: Α) τετμημένη -2 Β) τεταγμένη Να βρείτε την απόσταση των σημείων Α, Β της παραβολής τα οποία έχουν τεταγμένη ίση με Να βρείτε το σημείο της παραβολής, του οποίου οι συντεταγμένες: Α) είναι ίσες Β) έχουν γινόμενο Να βρείτε το σημείο της παραβολής, του οποίου το άθροισμα των συντεταγμένων είναι Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε οι παραβολές με εξισώσεις: και να είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα x x. 26. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η παραβολή να διέρχεται από το σημείο: Α. Κ(-1,4) Β. Λ(2,-1) Γ. Μ(2,0) Δ. Ο(0,0) 27. Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η παραβολή να διέρχεται από το σημείο Μ. Συνάρτηση

54 Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής με κορυφή το σημείο Ο(0,0), άξονα συμμετρίας τον y y, και η οποία διέρχεται από το σημείο Α. 29. Αν η συνάρτηση παίρνει ελάχιστη τιμή και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(2,μ), να βρείτε την τιμή του αριθμού μ. 30. Αν η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ( ), να βρείτε την τιμή του αριθμού λ. 31. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η τετραγωνική συνάρτηση έχει ελάχιστο. 32. Να βρείτε τις τιμές του β για τις οποίες η τετραγωνική συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή. 33. Να βρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες η τετραγωνική συνάρτηση [ ] έχει ελάχιστο και η τετραγωνική συνάρτηση [ ] έχει μέγιστο. Συνάρτηση

55 55 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στην Συνάρτηση 1. Να βρείτε A) τον άξονα συμμετρίας και B) την κορυφή της παραβολής 2. Να βρείτε τα κοινά σημεία της παραβολής με τους άξονες. 3. Να σχεδιάσετε την παραβολή. 4. Να σχεδιάσετε την παραβολή.. 5. Να σχεδιάσετε την παραβολή όταν. 6. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις παραβολές, και. 7. Να σχεδιάσετε τις παραβολές: Α., Β. Γ.. 8. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της και με τη βοήθεια αυτής να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x. 9. Να βρείτε το σημείο της παραβολής το οποίο έχει: Α) τετμημένη ίση με 2 Β) τεταγμένη ίση με Να βρείτε τα σημεία της παραβολής τα οποία έχουν: Α. τετμημένη ίση με 8 Β. τεταγμένη ίση με 8 Γ. άθροισμα συντεταγμένων 4 Δ. ίσες συντεταγμένες Ε. αντίθετες συντεταγμένες 11. Να βρείτε για ποιες τιμές του κ, η παραβολή : Α) διέρχεται από το Α(-1,3) Β) διέρχεται από την αρχή των αξόνων Γ) τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β(0,6) 12. Να βρείτε για ποιες τιμές των κ και λ η παραβολή Α) Διέρχεται από τα σημεία Α(-1,2) και Β(2,5) Β) Τέμνει τον άξονα x x στα σημεία Γ(1,0) και Δ(2,0). 13. Να βρείτε αν η συνάρτηση έχει μέγιστο ή ελάχιστο. 14. Να βρείτε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης Να βρείτε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτησης: Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 16. Να βρείτε για ποια τιμή του x η συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη τιμή της. Συνάρτηση

56 Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής, η οποία έχει κορυφή το σημείο Κ(5,15). 18. Να βρείτε την κορυφή της παραβολής, αν είναι γνωστό ότι η παραβολή αυτή διέρχεται από τα σημεία Α(2,1) και Β(4,1). 19. Αν η παραβολή διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το Μ(-1,3), να βρείτε τα α, β. 20. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α και β, αν είναι γνωστό ότι η παραβολή έχει με τον άξονα x x μόνο ένα κοινό σημείο, το Ο(0,0). 21. Να βρεθούν τα σημεία τομής των παρακάτω παραβολών με τους άξονες: Α. Β. 22. Να βρεθεί ο θετικός πραγματικός αριθμός κ στην εξίσωση της παραβολής, αν είναι γνωστό ότι διέρχεται από το σημείο Α(1,9). 23. Α. Να βρείτε τον άξονα συμμετρίας και την κορυφή της Β. Ομοίως για τις παραβολές και. 24. Να αποδείξετε ότι οι κορυφές των παραβολών και είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα y y. 25. Να αποδείξετε ότι οι κορυφές των παραβολών και είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα x x. 26. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία και τέμνει τον άξονα x x στο σημείο με τετμημένη και τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε η παραβολή με εξίσωση να διέρχεται από τα σημεία Α(-2,5) και Β(1,-4). Στη συνέχεια να γίνει η γραφική παράσταση της παραβολής. 28. Να βρείτε την παραβολή αν γνωρίζετε ότι η κορυφή της είναι το σημείο Κ(1,4). 29. Να βρείτε την παραβολή όταν γνωρίζετε ότι τέμνει τον άξονα των x στο σημείο Α(3,0) και τον άξονα των y στο σημείο Β(0,-3). Στη συνέχεια να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία τομής με τον άξονα των x και την κορυφή της παραβολής. 30. Να βρείτε για ποια τιμή του λ η παραβολή έχει: Α. άξονα συμμετρίας την ευθεία x=4 Β. κορυφή με τετμημένη 2 Συνάρτηση

57 Να βρείτε για ποια τιμή του λ η παραβολή έχει κορυφή: Α. με τεταγμένη 2 Β. στον άξονα x x 32. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η παραβολή έχει: Α. άξονα συμμετρίας τον άξονα y y Β. την κορυφή της στον άξονα x x Γ. κορυφή με τεταγμένη Να βρείτε την παραβολή, αν ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία 4x=1. Ποια είναι η κορυφή της παραβολής; 34. Να βρείτε τους αριθμούς κ, λ στην εξίσωση της παραβολής, όταν γνωρίζετε ότι η κορυφή της είναι το σημείο τομής των ευθειών 4+y=2x και x-y= Να σχεδιάσετε την παραβολή, όταν γνωρίζετε ότι τέμνει τον άξονα των y στο ίδιο σημείο με την ευθεία (ε): x+2y=1, ο άξονας συμμετρίας της είναι η ευθεία x=2 και η ελάχιστη τιμή της. 36. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ, ώστε η παραβολή να διέρχεται από το σημείο Α(-1,2). Για τη μεγαλύτερη τιμή του κ που βρήκατε, να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων τομής της παραβολής με τον άξονα των x. 37. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε η παραβολή με εξίσωση να έχει κορυφή το σημείο Κ(2,-2). 38. Να βρείτε τον αριθμό, ώστε η συνάρτηση να έχει ελάχιστη τιμή ίση με Να βρείτε την παραβολή αν αυτή τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη 4 και η τετμημένη της κορυφής της είναι ίση με Αν η συνάρτηση για x=2 έχει ελάχιστη τιμή y=-3, να βρείτε τους αριθμούς β και γ. 41. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή το σημείο Κ(1,1) και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,4). 42. Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 16 εκατοστά. Α. Να βρεθεί το εμβαδόν του συναρτήσει της μιας πλευράς του. Β. Να βρεθούν οι διαστάσεις του ορθογωνίου, ώστε να έχει το μέγιστο εμβαδόν. Στη συνέχεια να βρεθεί το εμβαδόν αυτό. Γ. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Συνάρτηση

58 58 ΑΣΚΗΣΕΙΣ στους Τριγωνομετρικούς Αριθμούς γωνίας ω με 1. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας, όταν: Α. Μ(-8,15) Β. Μ(0,5) Γ. Μ(7,0) Δ. Μ(-3,0) 2. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α(12,5), Β(-12,9) και Γ(-2,4). Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών, και. 3. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy, θεωρούμε τα σημεία Α(3,4), Β(-3,4), Γ(- 3,0) και Δ(3,0). Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών,, και. 4. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας των. 5. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας των. 6. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας των. 7. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy δίνεται σημείο Μ με τετμημένη -1, έτσι ώστε για τη γωνία =ω να ισχύει εφω=. Να υπολογιστούν: Α. οι συντεταγμένες του σημείου Μ Β. το ημω και το συνω 8. Σημείο Μ απέχει από την αρχή των αξόνων Ο, απόσταση ΟΜ=8. Αν, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Μ. 9. Μια ευθεία ε έχει εξίσωση y=-3x. Α. Να σχεδιάσετε την ευθεία ε και να προσδιορίσετε την τεταγμένη του σημείου Μ με τετμημένη -2. Β.Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. 10. Να βρείτε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών (χωρίς να τους υπολογίσετε) των γωνιών: Α. Β. 11. Να βρεθεί το πρόσημο των παραστάσεων: Α. Β. 12. Αν για τη γωνία ω ισχύει, να αποδειχτεί ότι: Α. εφω+συνω-ημω<0 Β. ημω-συνω-εφω>0 13. Αν η γωνία ω είναι αμβλεία, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί γωνίας ω με