ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Άρρητοι Αριθμοί και Συνεχή Κλάσματα: Παραστάσεις, Προσεγγίσεις, Εξισώσεις και Διδακτικές Εφαρμογές.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Άρρητοι Αριθμοί και Συνεχή Κλάσματα: Παραστάσεις, Προσεγγίσεις, Εξισώσεις και Διδακτικές Εφαρμογές."

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Άρρητοι Αριθμοί και Συνεχή Κλάσματα: Παραστάσεις, Προσεγγίσεις, Εξισώσεις και Διδακτικές Εφαρμογές. Μεταπτυχιακός φοιτητής: ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΝΤΡΙΑΝΚΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΙΟΝΥΣΙΟΣ ΛΑΠΠΑΣ ΑΘΗΝΑ ΙΟΥΝΙΟΣ 0

2

3

4

5 στη μνήμη του πατέρα μου Βασίλη στη μητέρα μου Αρετή

6

7 Ευχαριστώ : o Τον αναπληρωτή καθηγητή του ΕΚΠΑ κ. Διονύσιο Λάππα, για την πολύτιμη και πολύπλευρη βοήθειά του, για την υπομονή του, για τον εμπλουτισμό της βιβλιογραφίας μου με μερικά, άγνωστα σε μένα, μαθηματικά αριστουργήματα, αλλά κυρίως για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε. o Τον ομότιμο καθηγητή κ. Ευστάθιο Γιαννακούλια και τον επίκουρο καθηγητή κ.παναγιώτη Σπύρου που με τίμησαν με την συμμετοχή τους στην εξεταστική επιτροπή. o Τους διδάσκοντες του μεταπτυχιακού προγράμματος και ιδιαίτερα τον ομότιμο καθηγητή κ. Στυλιανό Νεγρεπόντη, που με τις παροτρύνσεις αλλά και τις απαιτήσεις του μου πρόσφερε την μέγιστη ευχαρίστηση: τη χαρά της εντατικής διανοητικής δραστηριότητας. Η σπίθα υπάρχει μέσα σε κάθε άνθρωπο, άνεμος είναι ο δάσκαλος. o Την Διονυσία Μπακογιάννη που με σπάνια ευγένεια και προθυμία, πάντα, φρόντιζε για την διεκπεραίωση των γραφειοκρατικών θεμάτων. o Τον Κώστα Σταματόπουλο, όχι μόνο για την άψογη μαθηματική επικοινωνία και συνεργασία που είχαμε στα μεταπτυχιακά μαθήματα, αλλά κυρίως γιατί με τη συμπεριφορά του μου έδειξε κάτι πολύ απλό: αν θέλεις να βοηθήσεις κάποιον, τότε θα τον βοηθήσεις με τον τρόπο που εκείνος θέλει. o Τον Μανώλη Περήφανο, τον Τριαντάφυλλο Τρανό και τον Γιώργο Ψαθάκη, για την διαρκή ψυχική, κοινωνική και ηλεκτρονική τους στήριξη. o Τους μαθητές και συναδέλφους μου στo Γυμνάσιο, Γενικό και Τεχνικό Λύκειο Αμυνταίου, στο Γυμνάσιο Πέλλας, στο 3 ο Λύκειο Πολίχνης Θεσ/νίκης και στο Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Νεάπολης, που με τις ερωτήσεις, τις παρατηρήσεις, τις κρίσεις, τις επικρίσεις και επιβραβεύσεις τους, με βοήθησαν να κατανοήσω την αξία της διδασκαλίας στη βαθύτερη διερεύνηση των θεμελιωδών μαθηματικών εννοιών.

8

9 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η ανακάλυψη ότι τα κοινά (συνήθη) κλάσματα δεν είναι αρκετά για τις μετρήσεις έγινε πριν από 500 περίπου χρόνια. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα γνωρίζουμε ότι η υποτείνουσα ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου με μήκος καθέτων πλευρών ίσο με τη μονάδα μέτρησης, είναι πλευρά τετραγώνου με εμβαδόν δύο τετραγωνικές μονάδες (τ.μ.). Η πλευρά τετραγώνου με εμβαδόν τ.μ., ονομάζεται τετραγωνική ρίζα του και το σύμβολο που επιλέχτηκε (μετά το 55) για να εκφράσει την οντότητα που λέγεται «μήκος» της (γιατί θέλουμε να έχει κάποιο μήκος και το εκφράζουμε με την ιδιότητα της πληρότητας) είναι το. Οι Πυθαγόρειοι απέδειξαν ότι η διαγώνιος και η πλευρά τετραγώνου δεν έχουν κοινό μέτρο, δηλαδή ο (σημερινός) δεν είναι ίσος με κάποιο λόγο φυσικών, δεν είναι ρητός. Πρόκειται περί ενός ιδανικού αριθμού, που μπορούμε να τον πλησιάσουμε σε απειροελάχιστη απόσταση, αλλά είναι αδύνατον να τον συλλάβουμε ολόκληρο. Οι αρχαίοι Έλληνες, τον ονόμασαν «άρρητο» (και δεν ήθελαν να τον εντάξουν στους αριθμούς) σε αντιδιαστολή με τους ακεραίους και κλασματικούς, που τους έλεγαν «ρητούς». Ρητός λοιπόν θα πει εκφρασμένος αλλά και προσδιορισμένος (επεκράτησε ο όρος «ratioal», γιατί οι ρητοί είναι λόγοι, ratios, ακεραίων). Άρρητος σημαίνει μη εκφρασμένος (δεν διέπεται από τη λογική) και μη επαρκώς προσδιορισμένος (δεν εκφράζεται ως λόγος ακεραίων, «irratioal»). Στο πρώτο κεφάλαιο αποδεικνύεται ότι ο ήταν μόνο η αρχή. Πολλοί αριθμοί έμειναν πιστοί στο σώμα των ρητών, αλλά το ρεύμα της αρρητότητας ακολούθησαν σε μεγάλη έκταση ρίζες, λογάριθμοι και τριγωνομετρικοί αριθμοί. Oι άρρητοι λοιπόν επινοήθηκαν, νομιμοποιήθηκαν και, όπως αποδεικνύεται στη συνέχεια, «κατέκλυσαν» την πραγματική ευθεία. Για τις αποδείξεις χρησιμοποιείται το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής και το θεώρημα ρητής ρίζας πολυωνυμικής εξίσωσης (που και αυτό είναι συνέπεια της αριθμητικής). «Η αριθμητική, το πρώτο αντικείμενο μελέτης στη στοιχειώδη διδασκαλία, είναι από τους δυσκολότερους, αν όχι ο δυσκολότερος κλάδος των μαθηματικών, όταν προσπαθεί κανείς να διεισδύσει βαθύτερα σ αυτήν» (Hadamard, 995:6). Με ελάχιστες προαπαιτούμενες γνώσεις εξάπτει την ανθρώπινη περιέργεια και απογειώνει τη δημιουργικότητα και τη φαντασία των νεαρών μαθητών. Ίσως γι αυτό, μαζί με την Ευκλείδεια Γεωμετρία, είναι από τα μόνιμα αντικείμενα στους μαθηματικούς διαγωνισμούς. Στη σύγχρονη ορολογία, η αριθμητική μετονομάστηκε σε «θεωρία αριθμών» και το όνομα αριθμητική καθιερώθηκε για το αντικείμενο που οι αρχαίοι έλεγαν «λογιστική» (Eves, 989: 7) ix

10 Η μεγάλη παιδευτική αξία της ενασχόλησης με τους αριθμούς τονίζεται και από τον Πλάτωνα: «oûtw dúami œcei pa deio m hma meg lh, æj ¹ perˆ toýj rimoýj diatrib» tõ dε mšgisto, Óti tõ ust zota aˆ maá fúsei ge rei aˆ eùmaá aˆ m»moa aˆ gc ou perg zetai, par t¾ aøtoà fúsi pididòta e v tšcv» (Plato:Leges, 747b-b6). Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης έχει τα γνωστά πλεονεκτήματα, αλλά ίσως επικεντρώνεται στα αποτελέσματα των μετρήσεων και επισκιάζει τις διαδικασίες μέτρησης που μας προσφέρουν τα κλάσματα. Η έννοια του συνεχούς κλάσματος προκύπτει φυσιολογικά όταν προσπαθούμε να μετρήσουμε έναν αριθμό Α με τον Β ή ένα μέγεθος Α με το Β. Τα κεφάλαια,3,4 περιλαμβάνουν την βασική θεωρία των συνεχών κλασμάτων. Η προσπάθεια προσέγγισης των αρρήτων από τους ρητούς περιγράφεται στο πέμπτο κεφάλαιο: θεώρημα Dirichlet, ενδιάμεσα κλάσματα, δευτεροβάθμια αναγωγήματα, βέλτιστες και άριστες προσεγγίσεις. Δίνεται επίσης μια απόδειξη του θεωρήματος Hurwitz με τη βοήθεια των συνεχών κλασμάτων και σκιαγραφείται η πρωτότυπη απόδειξη, που βασίσθηκε στις ιδιότητες των κλασμάτων που είναι όροι ακολουθιών Farey. Η τάξη της προσέγγισης οδήγησε τον Liouville στην κατασκευή αρρήτων που υπερέβαιναν τα σύνορα των μέχρι τότε γνωστών αριθμών. Οι νέοι αριθμοί ονομάστηκαν υπερβατικοί και διαχώρισαν την θέση τους από τους προηγούμενους αρρήτους, τους αλγεβρικούς αρρήτους. Με την βοήθεια των θεωρημάτων Lidema και Gelfod αποδεικνύεται ότι οι υπερβατικοί υπήρχαν πολύ πριν τους παράξενους αριθμούς του Liouville και ότι στη συνέχεια πολλαπλασιάστηκαν ανεξέλεγκτα. Το προνόμιο της περιοδικότητας του αναπτύγματος σε συνεχές κλάσμα το έχουν μόνο οι άρρητοι που είναι ρίζες δευτεροβάθμιων πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές, οι ονομαζόμενοι τετραγωνικοί άρρητοι. Το γεγονός αυτό αποδεικνύεται στο έκτο κεφάλαιο. Πολλές από τις ιδιότητες του αναπτύγματος σε συνεχές κλάσμα της τετραγωνικής ρίζας φυσικού αριθμού που δεν είναι τέλειο τετράγωνο περιγράφονται στο έβδομο κεφάλαιο, όπως επίσης και εφαρμογές των ιδιοτήτων του αναπτύγματος στην λύση της «εξίσωσης Pell», στη γραφή ορισμένων φυσικών ως άθροισμα τετραγώνων και στα ορθογώνια τρίγωνα. Στο όγδοο κεφάλαιο αποδεικνύεται η κυριαρχία των υπερβατικών με την βοήθεια των ιδεών του Cator και της σύγχρονης θεωρίας μέτρου: «σχεδόν όλοι» οι πραγματικοί αριθμοί είναι υπερβατικοί. Το κεφάλαιο αυτό είναι ανεξάρτητο από την θεωρία των συνεχών κλασμάτων. x

11 Στο ένατο κεφάλαιο εκτίθενται οι απόψεις που έχω διαμορφώσει για την διδασκαλία κατά την εικοσαετή υπηρεσία μου στα σχολεία. Και το κεφάλαιο αυτό μπορεί επίσης να διαβαστεί ανεξάρτητα από τα συνεχή κλάσματα. Στο παράρτημα υπάρχουν μερικά από τα βασικά μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν σε έκταση στην εργασία αυτή. Αν και τα βιβλία του Hardy με βοήθησαν πολύ, δεν μπορώ να πω ότι ενθουσιάστηκα με τη δήλωσή του: «Κανείς μαθηματικός δεν πρέπει να επιτρέψει στον εαυτό του να ξεχάσει ότι τα Μαθηματικά περισσότερο απ οποιαδήποτε άλλη τέχνη ή επιστήμη, είναι παιγνίδι για νεαρή ηλικία» (Hardy, 993: 53). Όσο μου ήταν δυνατόν, πρόσεξα και το ζήτημα της γλώσσας, ώστε να μην προδώσει την ηλικία μου (οι μακροχρόνιες συνήθειες δύσκολα αλλάζουν). Οι αναγνώστες μαθηματικών βιβλίων καταφεύγουν συχνά στο μολύβι και το χαρτί, καθώς διαβάζουν, για να λύσουν εξισώσεις ή για να φτιάξουν τα δικά τους σχήματα. Για την κατανόηση πολλές φορές απαιτείται πολλή πνευματική και αρκετή γραφική εργασία. Ωστόσο αυτή η προσπάθεια δεν μένει χωρίς επιβράβευση. Λίγες εμπειρίες προσφέρουν τόσο έντονη χαρά όσο η διαπίστωση «το βρήκα!» που έρχεται σαν λάμψη μόλις λύσει κανείς κάποιο περίπλοκο πρόβλημα ή μόλις κατανοήσει μια δυσνόητη ιδέα. Ο δρόμος προς την ολοκλήρωση μιας εργασίας, περνά από μια συνεχή διόρθωση των λαθών. Οι χωρίς λάθη εργασίες μου είναι μόνο οι αδημοσίευτες. Falsum veris idicy, το λάθος δείχνει την αλήθεια. Είμαι αποκλειστικά υπεύθυνος όχι μόνο για τα γλωσσικά λάθη, που πιστεύω να είναι τα περισσότερα, αλλά και για τις μαθηματικές ατέλειες. ΑΘΗΝΑ, ΙΟΥΝΙΟΣ 0 Σωκράτης Ντριάνκος xi

12 8 = =8, 9 περιττοί γνώμονες xii

13 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΠΕΞΗΓΗΣΕΙΣ Οι απλούστεροι αριθμοί είναι οι,,3,.eίναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούν τα παιδιά (και οι μεγάλοι) για τη μέτρηση. Ονομάζονται φυσικοί αριθμοί και το σύμβολο για το σύνολο των φυσικών είναι το. Μετά τη συνολοθεωρητική εποχή, φυσικός είναι και ο τεχνητός αριθμός 0, που μετρά το πλήθος των στοιχείων του κενού συνόλου, και έτσι τώρα αρχίζουμε να μετράμε από το 0. Το κενό σύνολο και το 0 είναι διαφορετικές οντότητες. Η μία είναι σύνολο, η άλλη είναι αριθμός, είναι η «πληθικότητα» του κενού συνόλου. Στην εργασία αυτή, με τον όρο «φυσικός αριθμός», θα εννοούμε κάποιον από το σύνολο { 345,,,,,...} =. Αν θέλουμε να δηλώσουμε ότι το σύνολο των φυσικών περιέχει και το 0, θα γράφουμε 0, δηλ. = { } 0 0,,,3,.... Μετά από πολλές προσπάθειες οι αρνητικοί πέτυχαν να ονομαστούν αριθμοί και έτσι δημιουργήθηκε το σύνολο των ακεραίων, το = {...,,,0,,,... } οι φυσικοί αριθμοί, τα στοιχεία του συνόλου {,,3, 4,5,... }.. Θετικοί ακέραιοι είναι Ο όρος «κλάσμα» χρησιμοποιείται για οποιαδήποτε αλγεβρική έκφραση με αριθμητή 7 3 x y και παρονομαστή, π.χ.,, x 4 x + y. Στην εργασία αυτή είναι αρκετό να θεωρήσουμε ότι ρητός αριθμός ή ρητό κλάσμα είναι ο αριθμός που μπορεί να τεθεί στη μορφή a, με a,b και b 0. Το αρνητικό b πρόσημο του παρονομαστή, αν υπάρχει, αφομοιώνεται συνήθως από τον αριθμητή και πολλές φορές θα θεωρούμε τον ρητό με β. Οι ακέραιοι (και το 0) είναι ρητοί, γιατί παριστάνονται ως λόγοι ακεραίων με παρονομαστή τη μονάδα. Δεν θα επεκταθούμε στην ανάπτυξη της θεωρίας των ρητών αριθμών, αλλά θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητές τους και θα θεωρήσουμε γνωστή τη σύνδεσή τους με τα δεκαδικά κλάσματα και τους δεκαδικούς αριθμούς. Αρκετές φορές εργαζόμαστε με το μοναδικό ανάγωγο κλάσμα (παράρτημα Α.) που αντιπροσωπεύει την κλάση ισοδυναμίας. Δεν θα ασχοληθούμε επίσης με την κατασκευή των πραγματικών, με τους υπερπεπερασμένους αριθμούς και με τα κριτήρια αρρητότητας που μας προσφέρουν οι άπειρες σειρές. Θα θεωρήσουμε δεδομένη την ύπαρξη των διαφόρων ειδών αριθμών (ριζών, τριγωνομετρικών, λογαρίθμων κλπ) και γνωστές τις ιδιότητές τους. Με την βοήθεια των μαθηματικών εργαλείων που διαθέτουμε θα αποδείξουμε την κυριαρχία των αρρήτων και ιδιαίτερα των περισσότερο δυσνόητων από αυτούς, των υπερβατικών (Κ5, Κ8). xiii

14 Για τα σύνολα χρησιμοποιούμε τα καθιερωμένα σύμβολα:.,, των ρητών, των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών, Αν ο παρονομαστής ενός ρητού κλάσματος είναι 0,00,000,,0 ν, όπου ν θετικός ακέραιος, τότε έχουμε «δεκαδικό κλάσμα», π.χ. 38 0, 3 κλπ. Στα δεκαδικά κλάσματα 000 συνήθως παραλείπουμε τον παρονομαστή και για να δηλώσουμε πού τελειώνουν οι ολόκληρες μονάδες και αρχίζουν οι κλασματικές χρησιμοποιούμε το κόμμα «,» ή την τελεία «.» μεταξύ των ψηφίων του αριθμητή, π.χ. τα προηγούμενα δύο δεκαδικά κλάσματα γράφονται : 3,8, 0,3. Για την αποφυγή σύγχυσης επιλέγουμε να χρησιμοποιούμε την τελεία για να χωρίσουμε τα δεκαδικά ψηφία και όχι το κόμμα. Ο αριθμός π.χ. που αποτελείται από δεκάδες, 4 μονάδες, 5 δέκατα και 6 εκατοστά, γράφεται «4.56». Οι αριθμοί 456, 3, 5, 8, 4.57, είναι οι : δυο χιλιάδες τετρακόσια πενήντα έξι, τρία, πέντε, οκτώ και ο δεκαδικός αριθμός τέσσερα κόμμα πενήντα επτά. Για αριθμό που έχει πολλά ψηφία και δεν ολοκληρώνεται σε μια γραμμή, το σύμβολο «\» θα δείχνει ότι συνεχίζεται στις επόμενες, ενω οι τρείς τελείες θα δείχνουν ότι δεν είναι γραμμένα όλα τα ψηφία του, π.χ. 86 = \ \ Οι μαθηματικοί συμφώνησαν να χρησιμοποιούν την τελεία «i» για σύμβολο του πολλαπλασιασμού, ώστε να μην συγχέεται το που δηλώνει την πράξη, με το «x» που δηλώνει τη μεταβλητή. Μπορεί όμως και πάλι να προκληθεί ασάφεια, από την τελεία του πολ/μου, «i», και την «.» που χωρίζει το ακέραιο από το δεκαδικό μέρος ενός αριθμού. Την εποχή της συμφωνίας δεν υπήρχε και η πληθώρα των σημερινών γραμματοσειρών. Μερικές φορές λοιπόν θα χρησιμοποιούμε το, και μερικές το «*», για τον πολ/σμό αριθμών. Τα σύμβολα,,, ±,, 5.43 κλπ. έχουν τις συνήθεις ερμηνείες. Χρησιμοποιούμε το σύμβολο της ισοδυναμίας,, αλλά, εκτός μιας εξαίρεσης (4..), προτιμήσαμε την έκφραση «αν,τότε», αντί του συμβόλου της συνεπαγωγής. Η λέξη «διαιρεί» χρησιμοποιείται με την έννοια του «διαιρεί ακριβώς» και εκφράζει λεκτικά το σύμβολο: «/», π.χ. 993 / , / xiv

15 Μερικές φορές το κλάσμα 5, μ, θα γράφεται με τη μορφή /5, μ/ν. Τότε θα φαίνεται ν από τα συμφραζόμενα ότι η μορφή /5 δεν έχει το νόημα της προηγούμενης παραγράφου. Οι Πυθαγόρειοι πιθανόν να χρησιμοποίησαν γεωμετρικό συλλογισμό για να αποδείξουν ότι ο είναι άρρητος. Σήμερα γνωρίζουμε πολλές μη γεωμετρικές αποδείξεις της αρρητότητας του, όλες με την «εις άτοπον απαγωγή». Η ιδέα πίσω από την ευφυή αυτή μέθοδο είναι ότι αποδεικνύουμε μια πρόταση δείχνοντας την αναλήθεια της αντίθετης. Ένα θεώρημα ή μια πρόταση είτε είναι αληθινή είτε είναι λανθασμένη: π.χ. «αυτή τη στιγμή είτε διαβάζετε αυτή τη σελίδα είτε δεν τη διαβάζετε» (Livio, 005: 6). Οι Μαθηματικοί δεν δέχονται ότι τη «μισοδιαβάζετε» (αν και υπάρχει και η «ασαφής λογική» με ποσοστά διαβάσματος). «Όταν έχεις εξαλείψει το αδύνατο, οτιδήποτε μένει, όσο απίθανο κι αν φαίνεται, πρέπει να είναι η αλήθεια» (Humphrey, 997). Η «εις άτοπον απαγωγή» είναι η αποδεικτική μέθοδος που κυριαρχεί στην εργασία αυτή. Η ομορφιά του επαγωγικού συλλογισμού αναδεικνύεται στην επεξεργασία απλών αλλά και πολύπλοκων μαθηματικών αντικειμένων. Η μέθοδος υποβάλλεται από τον ίδιο τον ορισμό των φυσικών αριθμών: κάθε αριθμός ακολουθείται από κάποιον «επόμενό» του φυσικό αριθμό. Είναι εντυπωσιακό το πόσο μεγάλο πλήθος από αποδείξεις μπορεί να βασιστεί σ αυτή την απλή και στοιχειώδη αρχή, που χρησιμοποιούμε σε πολλές αποδείξεις. Η αρίθμηση των κεφαλαίων, ενοτήτων, υποενοτήτων, θεωρημάτων και ορισμών ή παρατηρήσεων ακολουθεί την μορφή «α.β.γ.», π.χ. με την τριάδα έχουμε αριθμήσει το Θεώρημα 6, ή τον ορισμό 6, ή τις παρατηρήσεις 6, γενικά την υποενότητα 6, της ενότητας 4 του έβδομου κεφαλαίου, του Κ7. Αν κάποιος ολοκληρώσει τη μελέτη ενός κεφαλαίου, τότε αμείβεται με το άρωμα του λουλουδιού: Σύμφωνα με την προτροπή του κ. Χατζηλουκά που ανέλαβε την εκτύπωση, οι ζυγές σελίδες δεν είναι κατάλληλες για να αρχίζει το επόμενο κεφάλαιο. Θα έπρεπε να μείνουν λευκές. Δεν είναι όμως απογοητευτικό; Προσπαθήσαμε λοιπόν να ακολουθήσουμε την συμβουλή του ζωγράφου Αλέξη Ακριθάκη ( ): «κάθε τι που γράφεται θέλει τη διακόσμησή του». xv

16 Οι τετραγωνικές ρίζες των φυσικών από έως 88 Δύο τρόποι: οι μαύρες τελείες είναι ανά 5 ο, τα τετραγωνάκια ανά 55 ο xvi

17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... ABSTRACT... 3 Κ: Ρητοί και άρρητοι αριθμοί.. Η τετραγωνική ρίζα του Η μεγάλη διένεξη των ρητών και η βαθειά τομή Ρίζες Λογάριθμοι Τριγωνομετρικοί αριθμοί Ρητός ή άρρητος; Κ: Εισαγωγή στα συνεχή κλάσματα.. Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος Ορισμοί Από άλλη σκοπιά Λύση δευτεροβάθμιας Αναγωγήματα Ο αλγόριθμος των αναγωγημάτων Η θεμελιώδης ιδιότητα των αναγωγημάτων Ιστορικά σχόλια Κ3: Ρητοί και πεπερασμένα απλά συνεχή κλάσματα 3.. Ανάπτυγμα ρητού σε συνεχές κλάσμα Η μοναδικότητα της ανάπτυξης Η σχέση μερικών και πλήρων πηλίκων Η Διοφαντική εξίσωση αχ+βψ = γ Η διαφορά μεταξύ του ρητού και των αναγωγημάτων του Γεωμετρική ερμηνεία Σύγκριση συνεχών κλασμάτων Προσεγγίσεις... 8 Κ4: Άρρητοι και άπειρα συνεχή κλάσματα 4.. Σύμβολα και τεχνικές xvii

18 4.. Η σύγκλιση της ακολουθίας των αναγωγημάτων Η μοναδική τιμή ενός άπειρου συνεχούς κλάσματος Το άπειρο συνεχές κλάσμα ενός αρρήτου Η διαφορά μεταξύ του αρρήτου και των αναγωγημάτων του Γεωμετρική ερμηνεία Σύγκριση Σειρές Ισοδύναμοι αριθμοί K5: Η προσέγγιση των αρρήτων 5.. Η προσπάθεια των ρητών να γνωριστούν με τους αρρήτους Ενδιάμεσα κλάσματα και δευτεροβάθμια αναγωγήματα Βέλτιστες προσεγγίσεις Άριστες προσεγγίσεις Το Θεώρημα Hurwitz Η Τάξη της προσέγγισης Αλγεβρικοι αριθμοί Το Θεώρημα του Liouville Υπερβατικοί αριθμοί Κ6: Δευτεροβάθμια ριζικά ή τετραγωνικοί άρρητοι 6.. Ορισμός Παραδείγματα Συζυγείς Προετοιμασία για εισαγωγή στον αλγόριθμο Ο Αλγόριθμος της ανάπτυξης σε συνεχές κλάσμα Η περιοδικότητα του αναπτύγματος είναι προνόμιο των τετραγωνικών αρρήτων Ανηγμένα δευτεροβάθμια ριζικά και απλή περίοδος Μια εικόνα για την περιοδικότητα των αναπτυγμάτων Γνωστά και άγνωστα Κ7: Ιδιότητες και εφαρμογές του αναπτύγματος της d 7.. Περιοδικότητα και συμμετρία του αναπτύγματος της d... 8 xviii

19 7.. Ο αλγόριθμος της ανάπτυξης σε συνεχές κλάσμα και τα αναγωγήματα της d Το μήκος της περιόδου του αναπτύγματος της d Η εξίσωση x - dy = Η εξίσωση x dy = Άθροισμα δύο τετραγώνων Ορθογώνια τρίγωνα Κ8: Το πλήθος των διαφόρων ειδών αριθμών 8.. Ισοδύναμα Σύνολα Αριθμήσιμα σύνολα Ρητοί και Αλγεβρικοί Υπερβατικοί και Πραγματικοί Κάλυψη Συνόλου Μέτρο Σύνολα μηδενικού μέτρου Η κυριαρχία των υπερβατικών Κ9: Διδακτική. *Η αναλυτικότερη παρουσίαση των περιεχομένων της διδακτικής πρότασης είναι για την διευκόλυνση του διδάσκοντα. 9.. Τα Μαθηματικά Οι δυνατότητες των παιδιών και οι αδυναμίες των μεγάλων Η διαδικασία μάθησης Άοκνος προετοιμασία της διδασκαλίας Γυμνάσιο Γνώμονες Τετράγωνοι αριθμοί Τετραγωνική ρίζα θετικού ρητού, ακριβής και κατά προσέγγιση Ο αλγόριθμος πριν τις αριθμομηχανές Η τετραγωνική ρίζα του Η «εις άτοπον απαγωγή» Κυβική ρίζα- Στερεοί γνώμονες... 3 xix

20 Κυβική ρίζα του Καθοδηγούμενη ανακάλυψη Η βοήθεια των υπολογιστών Λύκειο Η πολιορκία της τετραγωνικής ρίζας του Ακολουθίες και Υπακολουθίες Η αντιστροφή της πορείας Κάποιες ιστορικές προσεγγίσεις Διαφορετικές προσεγγίσεις Η σύγχρονη μέθοδος Κλάσματα και δεκαδικοί Συνεχή κλάσματα Επίμετρο ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Θεωρία αριθμών B. Πολυωνυμικές εξισώσεις Γ. Ανάλυση Δ. Διώνυμα της μορφής a+ b d E. Το Λουλούδι στο τέλος των κεφαλαίων Προσπάθεια υλοποίησης της προτροπής του Αλέξη Ακριθάκη Τα κλασματικά μέρη των αρρήτων ξ κατανέμονται ομοιόμορφα στο (0,) Παραλληλισμοί (Ανθυφαίρεση-Συνεχή κλάσματα) Euler και Ramauja Κατασκευή ριζών Γνώμονες (Logo) Ρητοί εναντίον αρρήτων ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΕΠΙΛΟΓΟΣ xx

21 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αναπτύσσεται πρώτα η βασική θεωρία των συνεχών κλασμάτων. Η έννοια του συνεχούς κλάσματος προκύπτει φυσιολογικά όταν προσπαθούμε να μετρήσουμε έναν αριθμό Α με τον Β ή ένα μέγεθος Α με το Β. Το προνόμιο της περιοδικότητας του αναπτύγματος σε συνεχές κλάσμα το έχουν μόνο οι τετραγωνικοί άρρητοι. Οι ιδιότητες του αναπτύγματος σε συνεχές κλάσμα της τετραγωνικής ρίζας φυσικού αριθμού που δεν είναι τέλειο τετράγωνο εφαρμόζονται στην λύση της «εξίσωσης Pell», στη γραφή ορισμένων φυσικών ως άθροισμα τετραγώνων και στα ορθογώνια τρίγωνα. Περιγράφεται η προσπάθεια προσέγγισης των αρρήτων από τους ρητούς και αποδεικνύεται ότι οι βέλτιστες προσεγγίσεις των αρρήτων δίνονται από τα αναγωγήματα ή τα δευτεροβάθμια αναγωγήματα του αναπτύγματος. Με τη βοήθεια των συνεχών κλασμάτων αποδεικνύεται και το θεώρημα Hurwitz που αφορά την αξιολόγηση της διαφοράς του αρρήτου από τα αναγωγήματά του. Η τάξη της προσέγγισης οδήγησε τον Liouville στην κατασκευή των υπερβατικών, των αρρήτων που υπερέβαιναν τα σύνορα των μέχρι τότε γνωστών αλγεβρικών αριθμών. Τα θεωρήματα Lidema και Gelfod αποδεικνύουν ότι οι υπερβατικοί υπήρχαν πολύ πριν τους παράξενους αριθμούς του Liouville και ότι στη συνέχεια πολλαπλασιάστηκαν ανεξέλεγκτα. Η κυριαρχία των υπερβατικών αποδεικνύεται με την βοήθεια των ιδεών του Cator και της σύγχρονης θεωρίας μέτρου: «σχεδόν όλοι» οι πραγματικοί αριθμοί είναι υπερβατικοί. Η εργασία συμπληρώνεται με μια ολοκληρωμένη διδακτική πρόταση για την παρουσίαση της τετραγωνικής και κυβικής ρίζας ρητού (χρησιμοποιώντας γνώμονες) στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Λέξεις κλειδιά Άρρητοι αριθμοί, υπερβατικοί αριθμοί, συνεχή κλάσματα, αναγωγήματα, διδακτική μαθηματικών-γνώμονες.

22

23 ABSTRACT Firstly, we describe the basic theory about cotiued fractios. Cotiued fractio cocept derives aturally durig the process of measurig a umber A usig aother umber B or a magitude A usig a magitude B. Quadratic irratioal umbers are the oly umbers that are privileged with a periodic cotiued fractio expasio. The properties of the cotiued fractio expasio that correspods to the suare root of a atural umber that is ot a perfect suare apply to the solutio of Pell s euatio, to the represetatio of some atural umbers as a sum of perfect suares, ad to right triagles. We describe the ratioal approximatio of irratioal umbers ad we prove that the best ratioal approximatios are provided by the covergets or the secodary covergets of the cotiued fractio expasio. We prove Hurwitz s theorem, which refers to the evaluatio of the differece betwee a irratioal umber ad its covergets, usig cotiued fractios. The otio of the order of approximatio led Liouville to costruct trascedetal umbers, irratioal umbers that trasceded the limits of by that time ow algebraic umbers. Lidema s ad Gelfod s theorems prove that trascedetal umbers existed before Liouville s weird umbers ad that they subseuetly icreased ucotrollably. Cator s ideas ad moder measure theory prove the domiace of trascedetal umbers: almost all real umbers are trascedetal. The study cocludes with a detailed proposal cocerig the istructio of the suare ad cubic root of a ratioal umber (usig gomos) i the Gree secodary educatio (studets age 3 to 8 years old). Key words Irratioal umbers, trascedetal umbers, cotiued fractios, covergets, didactics of mathematics - mathematics educatio-gomos 3

24 4

25 Κ: Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. Κ: Ρητοί και άρρητοι αριθμοί.. Η τετραγωνική ρίζα του Από τις πολλές αποδείξεις της αρρητότητας της τετραγωνικής ρίζας του θα παρουσιάσουμε στα τμήματα... και... μία, ίσως όχι και τόσο συνηθισμένη, η οποία στηρίζεται στην αρχή της καθόδου και τις, ενδιαφέρουσες κατά τους Hardy και Apostol, παραλλαγές της. Η απόδειξη στο τμήμα... είναι η... με σχήμα.... Η τετραγωνική ρίζα του, η, δεν είναι ρητός. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί p, για τους οποίους ισχύει: p =. Για την έχουμε < < και αντικαθιστώντας: p < <. Ο είναι φυσικός, πολλαπλασιάζουμε: < p< [], και αφαιρούμε τον : 0< p < []. Από την [] παίρνουμε και τις ανισότητες: p > 0, p < p και < p + > p. Επομένως οι αριθμοί p-, -p είναι φυσικοί και αντίστοιχα μικρότεροι από τους, p [3]. Αν p =, τότε p p p =. Η ισότητα γινομένων δίνει την αναλογία: p = p. Θα έχουμε λοιπόν p = = p [4] και -p > p-. p p = και p( p ) ( p) Αν έχουμε τους φυσικούς p, ώστε το p να είναι ίσο με, τότε μπορούμε να βρούμε ρητό κλάσμα με μικρότερο αριθμητή, και μικρότερο παρονομαστή, από αυτούς του p που είναι ίσο και πάλι με τον.οι όροι του νέου κλάσματος, από την [3], είναι φυσικοί αριθμοί. Ονομάζουμε p την τρέχουσα τιμή της p p. Η διαδικασία παράγει p συνεχώς νέα τέτοιου είδους ρητά κλάσματα. Η υπόθεση ότι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί p, p ώστε: =, έχει για συνέπεια την δημιουργία μιας άπειρης καθόδου φυσικών (παράρτημα A), p > > p > p >..., άρα πρέπει να απορριφθεί. Μπορούμε να παρακάμψουμε την αρχή της καθόδου και να ολοκληρώσουμε την απόδειξη με την [4], αν υποθέσουμε ότι το p είναι ανάγωγο. Τότε η [4] δεν είναι δυνατόν να ισχύει γιατί το p p έχει μικρότερους όρους από το p (Hardy,987:8). 5

26 Κ: Ρητοί και άρρητοι αριθμοί.... Η διαγώνιος και η πλευρά τετραγώνου δεν έχουν κοινό μέτρο. Απόδειξη: Για το τετράγωνο ΑΒΓΔ, υποθέτουμε ότι πλευρά και διαγώνιος έχουν κοινό μέτρο δ, δηλαδή ότι υπάρχουν φυσικοί p, και ευθύγραμμο τμήμα δ ώστε ΑΓ=δp, ΑΔ=δ. Θεωρούμε p- ισαπέχοντα σημεία στην διαγώνιο ΑΓ, - ισαπέχοντα σημεία στην πλευρά ΑΔ και γράφουμε τον κύκλο (Α, ΑΔ). Το σημείο τομής Ζ του κύκλου με την ΑΓ θα είναι ένα από τα p- σημεία, γιατί οι ΑΔ, ΑΓ έχουν κοινό μέτρο. Φέρνουμε την εφαπτομένη ΖΕ. Από τις ΓΖ=ΖΕ=ΕΔ, συμπεραίνουμε ότι ΓΖ=(p-)δ και ΓΕ=δ-(p-)δ=(-p)δ.Θα είναι επομένως και το Ε ένα από τα - ισαπέχοντα σημεία με τα οποία «τεμαχίζεται» η ΓΔ σε τμήματα μήκους δ. Τα ΓΖ και ΓΕ έχουν κοινό μέτρο το δ, αλλά τώρα p < p και p <. Το τρίγωνο ΓΖΕ είναι ορθογώνιο ισοσκελές όπως και το ΑΔΓ και από την ομοιότητα έχουμε p ΑΓ ΓΕ = = = p. Μπορούμε να εφαρμόσουμε ξανά την ΑΔ ΓΖ p ίδια διαδικασία, γράφοντας τον κύκλο (Ε, ΕΖ), οπότε βρίσκουμε το ΗΘΓ με ακόμα μικρότερες πλευρές. Τα Η, Θ θα είναι και πάλι διαιρετικά σημεία και ΑΓ ΓΕ ΓΗ = = ΑΔ ΓΖ ΓΘ. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο. Το πλήθος των διαιρετικών σημείων είναι όμως πεπερασμένο, ενώ το πλήθος των τριγώνων άπειρο(η διαγώνιος είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του τετραγώνου). Αυτή η αντίφαση αποδεικνύει ότι δεν μπορεί να υπάρχει κοινό μέτρο πλευράς και διαγωνίου στο τυχαίο τετράγωνο ΑΒΓΔ. Ο Tom Apostol (Siclair, 006: 8) θεωρεί το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο, ΑΔΓ, με τις μικρότερες ακέραιες πλευρές, οπότε «τελειώνει» την απόδειξη με τον κύκλο (Α,ΑΔ), γιατί το ΓΖΕ έχει και πάλι ακέραιες πλευρές, αλλά μικρότερες από του μικρότερου. Στην αρχαία ελληνική ορολογία, η οποία είναι γεωμετρική, η φράση «άρρητος» αντικαθίσταται με την «ασύμμετρος προς τη μονάδα», τα δύο μεγέθη δεν έχουν κοινό μέτρο. Μετά την διαπίστωση της ύπαρξης ασύμμετρων μεγεθών και με την βοήθεια της θεωρίας λόγων του Ευδόξου ( π.χ.) οι μαθηματικοί μπορούσαν να αποδεικνύουν αυστηρά και τις ενοχλητικές ασύμμετρες περιπτώσεις σε θεωρήματα μετρικών σχέσεων (π.χ.θεώρημα Θαλή), αφού ο ευφυής ορισμός της αναλογίας από τον Εύδοξο καθιστούσε περιττή κάθε αναφορά σε σύμμετρα ή ασύμμετρα μεγέθη (Γιαννακούλιας, 007: κεφάλαιο ΙΙ). Υπάρχει επίσης η μαρτυρία (Διαμαντής, 993) ότι οι Πυθαγόρειοι υποστήριζαν την ύπαρξη ενός «απειροελάχιστου» ορθογωνίου τριγώνου με πλευρά και υποτείνουσα ίσες με. Β Α Z H Γ Θ E 6

27 Κ: Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. Η διαδικασία που περιγράφηκε προηγουμένως οδηγεί σ ένα τέτοιο τρίγωνο, οπότε το κοινό μέτρο που κάθε ζεύγος μεγεθών πρέπει να έχει(κατά την άποψη των Πυθαγορείων), μπορεί να είναι και απειροελάχιστο.από ένα τέτοιο απειροελάχιστο τρίγωνο, με πλευρά και υποτείνουσα ίσες με, προκύπτει και η μέθοδος των πλευρικών και διαμετρικών αριθμών (Θέων Σμυρναίος, 30 μ.χ., βλ. και 9.8.4) για τον προσεγγιστικό υπολογισμό της : Αν π.χ.στο προηγούμενο σχήμα: ΗΖ=ΗΘ=ΓΘ=ΗΓ=, τότε ΓΖ=ΓΗ+ΓΘ=, ΓΕ = ΕΘ+ΓΘ = =ΓΗ+*ΓΘ=3(ΕΘ=ΕΖ=ΓΖ), ΑΔ=5, ΑΓ=7 κλπ, αναστρέφουμε την πορεία (Διαμαντής, 993)... Η μεγάλη διένεξη των ρητών και η βαθειά τομή... Η διένεξη. Δεν υπάρχει ρητός με τετράγωνο, τετράγωνο όμως με εμβαδόν κατασκευάζεται πολύ εύκολα με την βοήθεια του Πυθαγόρειου Θεωρήματος και η πλευρά του τοποθετείται επίσης εύκολα στην ευθεία που οι ρητοί πίστευαν ότι ήταν κτήμα τους. Μια ιδιότητα που διακρίνει τους ρητούς από τους ακεραίους είναι ότι οι ρητοί αποτελούν «πυκνό» σύνολο αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ δύο οποιωνδήποτε ρητών όσο κοντά κι αν βρίσκονται, μπορούμε να «στριμώξουμε» έναν επιπλέον, ακόμα και άπειρους άλλους ρητούς (παράρτημα), π.χ. οι αριθμοί / και /00000 βρίσκονται σίγουρα πολύ κοντά, αφού η διαφορά τους είναι περίπου ένα τρισεκατομμυριοστό. Μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε κλάσματα που βρίσκονται ανάμεσά τους, π.χ. το ενδιάμεσο κλάσμα (ενότητα 5.) / Υπάρχουν άπειρα ρητά σημεία σε οποιοδήποτε τμήμα πάνω στην ευθεία, δηλαδή άπειρα σημεία των οποίων οι αποστάσεις από την αρχή δίνονται με ρητούς αριθμούς. Είναι λοιπόν φυσικό να συμπεράνει κανείς ότι ολόκληρη η ευθεία απαρτίζεται από ρητά σημεία. Στα μαθηματικά όμως, αυτό που φαίνεται να αποτελεί «φυσικό συμπέρασμα» συχνά αποδεικνύεται λανθασμένο. Ένα από τα σημαντικότερα γεγονότα στην ιστορία των μαθηματικών υπήρξε η ανακάλυψη ότι οι ρητοί αριθμοί, παρά την πυκνότητά τους, αφήνουν «κενά» πάνω στην ευθεία, δηλαδή σημεία τα οποία δεν αντιστοιχούν σε ρητούς. Το κακό έγινε λοιπόν στη χώρα των ρητών αριθμών. Οι ρητοί χωρίστηκαν σε δύο μεγάλες κατηγορίες: στη μία την «ανώτερη», ας τη συμβολίσουμε με Α, συγκεντρώθηκαν οι θετικοί ρητοί με τετράγωνο μεγαλύτερο του και στην άλλη, την «κατώτερη», σύμβολο Κ, συμμάχησαν οι αρνητικοί, το 0 και από τους θετικούς εκείνοι που έχουν τετράγωνο μικρότερο του. Ουδετερότητα δεν υπήρξε, οι ρητοί είχαν φροντίσει να εφοδιαστούν με την κατάλληλη σχέση διάταξης, ώστε οποιοιδήποτε δύο ρητοί να είναι «συγκρίσιμοι», δηλαδή είχαν φροντίσει το «σώμα» τους να είναι διατεταγμένο. 7

28 Κ: Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. Κάθε ρητός, ανάλογα με το τετράγωνό του κατατάχθηκε σε μία και μόνο από τις κατηγορίες Α και Κ, π.χ. ο «-000» στην Κ, ο «+000» στην Α. Είναι ξεκάθαρο, ότι ρητός μικρότερος από κάποιον της κατώτερης κατηγορίας, θα ανήκει στην Κ, π.χ. [αν ρ <ρ και ρ <0, τότε και ρ <0] και [αν ρ <ρ θετικοί με ρ <, τότε και ρ < ρ < ] και ομοίως, μεγαλύτερος από κάποιον της μεγαλύτερης κατηγορίας θα ανήκει στην Α. Για ρητούς κ, α των κατηγοριών Κ,Α θα ισχύει επίσης: κ < α. και Οι ρητοί διαπίστωσαν ότι παρά την διαφορετική τοποθέτησή τους στις κατηγορίες Α Κ θα μπορούσαν, μέσω αντιπροσώπων τους, να βρουν μια μέση λύση, να ελαχιστοποιήσουν τις διαφορές τους. Έστω α ρητός της κατηγορίας Α και κ ρητός της Κ, θετικός. Τότε ο μέσος όρος τους θα ανήκει σε μοναδική από τις κατηγορίες Α και Κ, έστω στην Κ. Τότε α+κ α κ α =. Ο μέσος όρος των, α α +κ είναι ο 3 α+κ και σε όποια 4 α +κ α κ α κ κατηγορία και να ανήκει, η διαφορά του από τους α, είναι =. Οι ρητοί 4 διαπίστωσαν ότι αν συνεχίσουν την διαδικασία προσέγγισης των κατηγοριών Α και Κ η α κ «απόστασή» τους μπορεί να γίνει μακροπρόθεσμα (τελικά) όσο μικρή θέλουν:,. Κάποιοι ρητοί θεώρησαν ότι αντί να πάρουν τον μέσο όρο δυο θετικών ρητών a c, b d των κατηγοριών Κ και Α, με a < c, θα ήταν καλύτερα να πάρουν το «ενδιάμεσο» κλάσμα b d τους a + c b + d (πρβλ. ενότητα 5..3.), αφού και γι αυτό, ισχύει: a a + < c < c (όπως και για τον b b+ d d μέσο όρο: a a c < + < c ). Μετά από διαπραγματεύσεις, συμφώνησαν να ακολουθήσουν b b d d την μέθοδο του μέσου όρου, αφού για ομώνυμα κλάσματα η τιμή του ενδιάμεσου κλάσματος είναι ίση με του μέσου όρου και ο (αριθμητικός) μέσος έχει το πλεονέκτημα να βρίσκεται πάντα σε ίση απόσταση από τα άκρα, οπότε διευκολύνονται οι υπολογισμοί (ενώ το ενδιάμεσο βρίσκεται πιο κοντά στο κλάσμα που έχει μεγαλύτερο παρονομαστή). Για το πλήθος δεν υπήρξε πρόβλημα, γιατί όπως παίρνουμε αριθμητικούς μέσους, μπορούμε να παίρνουμε ενδιάμεσα κλάσματα, ενδιάμεσων κλασμάτων π.χ. από την a < c, b d παίρνουμε τις : + ( ) ( ) + +, + + ( )... ( ) a a c a c a c < < < < b b d b d b d a c a c a+ c c < < < <, b + d b+ d b+ d d 8

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 06 version -6-06 Παρακάτω υπάρχουν θέματα θεωρίας και ασκήσεις που καλύπτουν πιστεύω σε μεγάλο βαθμό την εξεταστέα ύλη. Εχουν στόχο να μας βοηθήσουν να θυμηθούμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Σύνολα Πως διαβάζουμε κάποιους συμβολισμούς: ανήκει και η άρνηση, δηλαδή δεν ανήκει υπάρχει για κάθε : τέτοιο ώστε. Επίσης το σύμβολο έχει την ερμηνεία «τέτοιο ώστε» και ή υπονοεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα:  Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα