ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ Υποδείγµατα µεταβαλλόµενης δεσµευµένης διακύµανσης και µέτρα κινδύνου χρηµατοοικονοµικών στοιχείων Νικόλαος Παύλου Ατζαράκης Εργασία Που υποβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής του Οικονοµικού Πανεπιστηµίου Αθηνών Ως µέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού διπλώµατος Ειδίκευσης στη Στατιστική µερικής παρακολούθησης (part time) Αθήνα 2010

2 2

3 ΑΦΙΕΡΩΣΗ Αφιερώνεται στον καθηγητή µου Κύριο Ιωάννη Βρόντο για τη απεριόριστη υποµονή που έδειξε µαζί µου και στους γονείς µου που µε έµαθαν να ονειρεύοµαι. 3

4 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ πολύ τον Κύριο Ιωάννη Βρόντο καθηγητή του Οικονοµικού Πανεπιστηµίου Αθηνών για την ατελείωτη υποµονή που έδειξε µαζί µου, την πολύτιµη βοήθεια του και τον χρόνο που αφιέρωσε για την ολοκλήρωση αυτής της προσπάθειας µου. Επίσης ευχαριστώ πολύ τους γονείς µου για όλες τις προσπάθειες που έχουν κάνει ώστε µε τα χρονιά να αλλάξει ο τρόπος σκέψης µου πάντα ως προς το καλύτερο και µε αφήνουν να ονειρεύοµαι το καλύτερο. 4

5 ABSTRACT Recording, calculating the relationship between risk and return of some securities with a view to arrive at rational conclusions can lead to optimal decisions forecast periods from 2000 to The main objective of this thesis is to present a detailed and documented the procedure that follows a financial analyst to calculate the relationship between risk and return of certain securities with a view to arrive at rational conclusions can lead to good decisions. The simple linear model, the method of least squares (OLS), confidence intervals and statistical inference are some methods that will help us to determine accurately the relationship between risk and return of securities which we have chosen for our application. The assumptions of the simple linear model, such as autocorrelation, normality and heteroscedasticity are also items for consideration. The researcher will have to examine their validity in order to arrive in reliable results. 5

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Βασικός στόχος αυτής της εργασίας είναι να παρουσιάσει µε λεπτοµερή και τεκµηριωµένο τρόπο τη διαδικασία που ακολουθεί ένας χρηµατοοικονοµικός αναλυτής έτσι ώστε να υπολογίσει τη σχέση απόδοσης και κινδύνου κάποιων χρεογράφων µε απώτερο σκοπό να καταλήξει σε ορθολογικά συµπεράσµατα που µπορούν να οδηγήσουν στις βέλτιστες αποφάσεις. Η χρήση του απλού γραµµικού υποδείγµατος, της µεθόδου ελαχίστων τετραγώνων (OLS), των διαστηµάτων εµπιστοσύνης και της στατιστικής συµπερασµατολογίας είναι κάποιες από τις µεθόδους που θα εφαρµόσουµε για να προσδιορίσουµε µε ακρίβεια τη σχέση απόδοσης και κινδύνου χρεογράφων τα οποία έχουµε επιλέξει για την εφαρµογή µας. Οι διαταράξεις των υποθέσεων του απλού γραµµικού υποδείγµατος, όπως η αυτοσυσχέτιση, κανονικότητα και η ετεροσκεδαστικότητα είναι επίσης αντικείµενα προς εξέταση, παράγοντες οι οποίοι πρέπει να λαµβάνονται υπόψη έτσι ώστε η ανάλυση και η έρευνα να καταλήγουν σε αξιόπιστα συµπεράσµατα. 6

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΑΦΙΕΡΩΣΗ... 3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ... 4 ABSTRACT... 5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΈΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΠΟ ΟΣΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑ ΡΟΜΗ VAR ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΙΝ ΥΝΟΣ ΑΓΟΡΑΣ MARKET RISK ΠΙΣΤΩΤΙΚΟΣ ΚΙΝ ΥΝΟΣ - CREDIT RISK ΚΙΝ ΥΝΟΣ ΡΕΥΣΤΟΤΗΤΑΣ - LIQUIDITY RISK ΚΙΝ ΥΝΟΣ ΙΑΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ-SETLEMENT RISK ΚΙΝ ΥΝΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ Η ΝΟΜΙΚΟΣ LEGAL OR POLITIKAL RISK ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΣ ΚΙΝ ΥΝΟΣ-ORERATIONAL RISK ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΙΝ ΥΝΟΣ - BUSINESS RISK ΣΥΣΤΗΜΙΚΟΣ ΚΙΝ ΥΝΟΣ SYSTEMIC RISK ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ VaR (Value at Risk) ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ VaR Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΕΚΤΙΜΗΘΕΙΣΑΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΤΗΣ ΕΚΤΙΜΗΘΕΙΣΑΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ -(Weighted Historical Simulation )

8 3.4.2 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ MONTE CARLO ( Monte Carlo Simulation) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ MONTE CARLO ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΩΝ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ VaR ΣΥΝΕΠΗ ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ CONDIOTIONAL VaR (CVaR) ΕΠΑΝΕΛΕΓΧΟΣ BACKTESTING ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΡΥΘΜΟΥ ΑΠΟΤΥΧΙΑΣ ΕΛΕΓΧΟΣ KUPIEC ΈΛΕΓΧΟΣ ΠΙΕΣΗΣ SRESS TESTING ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΑΙΤΙΑΤΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΜΗ ΑΙΤΙΑΤΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΕΝΝΟΙΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΟΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ VOLATILITY CLUSTERING PHENOMENON - ΣΥΣΣΩΡΕΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΟΙ ΠΑΧΙΕΣ ΟΥΡΕΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ LEVERAGE EFFECT NON TRADING DAYS ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΤΕΡΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ARCH ARCH(q) (Engle, 1982)

9 5.3 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΕΤΕΡΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ GARCH(p,q) ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΕΤΕΡΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ E-GARCH ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ TGARCH(p,q) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Ιστογραµµα των τιµών της Άλφα Τράπεζας 66 Γράφηµα τιµών της µετοχής της Άλφα Τράπεζας 67 Ιστογραµµα τιµών Εθνικής Τράπεζας.. 68 Γράφηµα τιµών της µετοχής της Εθνικής Τράπεζας 69 Ιστογραµµα τιµών Αγροτικής Τράπεζας.. 70 Γράφηµα τιµών της µετοχής της Άγροτικής Τράπεζας Ιστογραµµα αποδόσεων των επιστροφών της Άλφα Τράπεζας Γράφηµα αποδόσεων της µετοχής της Άλφα Τράπεζας Ιστογραµµα αποδόσεων της Εθνικής Τράπεζας.. 74 Γράφηµα αποδόσεων της µετοχής της Εθνικης Τράπεζας 76 Ιστογραµµα αποδόσεων Αγροτικης Τράπεζας.. 76 Γράφηµα αποδόσεων της µετοχής της Αγροτικής Τράπεζας 78 Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου καταλοίπων Άλφα Τράπεζας. 79 Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου των τετραγώνων των καταλοίπων Άλφα Τράπεζας.. 81 Ιστόγραµµα κανονικότητας καταλοίπων Άλφα Τράπεζας. 82 Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος Άλφα Τράπεζας. 85 Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου των τετραγώνων των καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος Άλφα Τράπεζας 86 9

10 Ιστόγραµµα κανονικότητας καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος Άλφα Τράπεζας 87 Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου καταλοίπων Εθνικής Τράπεζας Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου των τετραγώνων των καταλοίπων της Εθνικής Τράπεζας 89 Ιστόγραµµα κανονικότητας καταλοίπων Εθνικής Τράπεζας 91 Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου των καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος της Εθνικής Τράπεζας. 94 Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου των τετραγώνων των καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος της Εθνικής Τράπεζας 95 Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος Αγροτικής Τράπεζας.. 99 Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου των τετραγώνων των καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος Αγροτικής Τράπεζας

11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια η ραγδαία τεχνολογική ανάπτυξη συντέλεσε ταυτόχρονα στην ραγδαία οικονοµοτεχνική ανάπτυξη υποβοηθουµένη από τα διάφορα µοντέλα παραγωγής χρηµατοπιστωτικών προϊόντων και υπηρεσιών. Η απελευθέρωση και ανάπτυξη των χρηµατοοικονοµικών-χρηµατοπιστωτικών αγορών, η ανάπτυξη των χρηµατοπιστωτικών προϊόντων και υπηρεσιών και η δυνατότητα όλων των χρηµατοπιστωτικών οργανισµών να προσφέρουν το σύνολο των προϊόντων και υπηρεσιών αυτών στις εγχώριες, στις ευρωπαϊκές και διεθνείς αγορές, η κατάργηση των διοικητικών παρεµβάσεων στη διαµόρφωση των τιµών των χρηµατοπιστωτικών προϊόντων και η θεσµοθέτηση κανόνων τιµολόγησης αυτών στις αγορές, καθώς και η δυνατότητα εγκατάστασης των πιστωτικών ιδρυµάτων σε χώρες διαφορετικές από τη χώρα καταγωγής τους διαµορφώνουν την εικόνα του σύγχρονου χρηµατοπιστωτικού συστήµατος. Το σκηνικό αυτό µε την ανάπτυξη της τεχνολογίας και τη διαµόρφωση θεσµών επιτρέπει την εύκολη και ταχεία πρόσβαση των ενδιαφεροµένων στις διάφορες χρηµατοπιστωτικές αγορές. Οι υπηρεσίες των χρηµατοπιστωτικών οργανισµών και επιχειρήσεων είναι άµεσα συνδεµένες µε τους διάφορους κινδύνους που υπεισέρχονται σε αυτούς κατά τη διάρκεια που οι οργανισµοί και τα ιδρύµατα αυτά γίνονται παραγωγικά στο πέρασµα του χρόνου. Όπως θα γίνει κατανοητό και στα επόµενα, η έννοια του κινδύνου είναι άµεσα συσχετισµένη µε την έννοια της αβεβαιότητας και της µεταβλητότητας. Καθώς αβεβαιότητα και µεταβλητότητα υπάρχει στο ευρύτερο επιχειρηµατικό και οικονοµικό περιβάλλον παγκοσµίως, για αυτό η εκτίµηση κινδύνου θεωρείται ότι είναι ιδιαίτερα σηµαντική. Μάλιστα, τη σηµασία της την έχουν συνειδητοποιήσει επιχειρήσεις και οργανισµοί σε παγκόσµιο επίπεδο µε συνέπεια να γίνεται οργανωµένη και επιστηµονική η προσπάθεια µέτρησης και εκτίµησης του κινδύνου που περικλείει τις επιχειρηµατικές λειτουργίες. Η προσπάθεια αυτή έγινε δυνατή µε τη χρήση διαφόρων οικονοµετρικών µοντέλων ώστε να βρεθούν και να διαχειριστούν κατάλληλα τα προβλήµατα από τους διάφορους κινδύνους των προϊόντων και υπηρεσιών των αγορών. Θα πρέπει να αναφερθεί στο σηµείο αυτό ότι ένα χρηµατοοικονοµικό περιουσιακό στοιχείο µπορεί να έχει ένα ή περισσότερα είδη κινδύνου. Έτσι, όλα τα είδη κινδύνων που υπάρχουν σε ένα χρηµατοοικονοµικό περιουσιακού στοιχείου 11

12 διαµορφώνουν τον συνολικό του κίνδυνο. Εντούτοις, ο συνολικός κίνδυνος ενός χρηµατοοικονοµικού περιουσιακού στοιχείου δεν είναι η απλή άθροιση των επιδράσεων των επί µέρους κινδύνων. Στην πραγµατικότητα υπάρχουν συσχετίσεις και αλληλεξαρτήσεις ανάµεσα στα είδη των κινδύνων, όπου διαµορφώνουν συνθετικά τον συνολικό κίνδυνο που χαρακτηρίζει ένα περιουσιακό στοιχείο. Τα τελευταία χρόνια γίνεται αρκετή έρευνα πάνω στο συγκεκριµένο πεδίο της συσχέτισης και αλληλεξάρτησης των κινδύνων. Η αυξηµένη µεταβλητότητα των χρηµατοοικονοµικών αγορών καθιστά επιτακτική την ανάλυση και αξιολόγηση των χρηµατοοικονοµικών κινδύνων στους οποίους εκτίθενται επιχειρήσεις, οργανισµοί και επενδυτές. Παράλληλα, µε την ανάπτυξη ρυθµιστικών κανόνων για τη λειτουργία των χρηµατοπιστωτικών ιδρυµάτων και τους κινδύνους που αναλαµβάνουν, έχει αναπτυχθεί ένας γενικός προβληµατισµός σχετικά µε την κατάλληλη µεθοδολογία εύρεσης και ποσοτικοποίησης των κινδύνων αυτών. 12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΈΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΠΟ ΟΣΗΣ Στην πλέον διαδεδοµένη θεώρηση η έννοια της απόδοσης (return) ορίζεται ως η ποσοστιαία µεταβολή της αξίας της επένδυσης κατά τη διάρκεια ενός δεδοµένου χρονικού διαστήµατος. Γενικά, θεωρώντας ότι η αξία κτήσης πχ µιας µετοχής τη χρονική στιγµή είναι t είναι P t και η αξία της τη χρονική στιγµή t + 1 είναι, P t + 1 τότε η απόδοση της κατά τη χρονική περίοδο t + 1 υπολογίζεται ως εξής: r P P t+ 1 t t+ 1= (1.1) Pt Την στιγµή βέβαια που πραγµατοποιείται η επένδυση, ο επενδυτής δεν µπορεί να γνωρίζει την µελλοντική της εξέλιξη. Άρα η αξιολόγηση της επένδυσης δεν µπορεί παρά να βασίζεται σε εκτιµήσεις όσον αφορά την απόδοσή της, οι οποίες αναπόφευκτα εµπεριέχουν κάποιο βαθµό αβεβαιότητας. Με τον τρόπον λοιπόν αυτόν εντάσσεται στην ανάλυση και η έννοια του κινδύνου. Ως κίνδυνος θεωρείται η διακύµανση των αποτελεσµάτων της επένδυσης (απόδοση) από τις εκτιµήσεις του επενδυτή για αυτές. Στην περίπτωση που η επένδυση αφορά περισσότερο από µια µετοχή για κάποιο χαρτοφυλάκιο η ανάλυση των δύο παραπάνω βασικών κριτηρίων µπορεί να υλοποιηθεί χρησιµοποιώντας πληροφορίες που αντλούνται από την ανάλυση της µέχρι σήµερα συµπεριφοράς τους και των µεταβολών στις τιµές των διαφορών χαρτοφυλακίων στην αγορά. Η προσέγγιση αυτή βασίζεται στην υπόθεση ότι η ανάλυση του παρελθόντος µπορεί να δώσει χρήσιµες πληροφορίες για την εξέλιξη της αξίας των µετοχών στο µέλλον. Υιοθετώντας την προσέγγιση αυτή η ανάλυση της αναµενόµενης απόδοσης και του κινδύνου µπορεί να πραγµατοποιηθεί χρησιµοποιώντας τα γνωστά στατιστικά µεγέθη της µέσης τιµής και της τυπικής απόκλισης. Γενικά, ο υπολογισµός της αναµενόµενης απόδοσης όταν υπάρχει διαθέσιµο ένα δείγµα ιστορικών στοιχείων για n περιόδους πραγµατοποιείται ως εξής: 13

14 n rt = (1.2) n t= 1 ( ) E r Η απόδοση η οποία υπολογίζεται σύµφωνα µε τη σχέση (1.1) και η αντίστοιχη µέση τιµή της σχέσης (1.2) είναι γνωστές ως αριθµητική απόδοση (arithmetic return) και µέση αριθµητική απόδοση (arithmetic mean return). Τα δύο αυτά µέτρα αποτελούν τον συνηθέστερο τρόπο προσδιορισµού της απόδοσης µίας επένδυσης. Συχνά, όµως, η χρήση τους παρουσιάζει ορισµένες δυσκολίες κυρίως όσον αφορά την ερµηνεία τους. Αυτά οφείλονται στο γεγονός ότι η αριθµητική απόδοση υποθέτει ότι τα αποτελέσµατα της επένδυσης που επιτυγχάνονται σε κάθε χρονική περίοδο ρευστοποιούνται και το επενδυµένο ποσό παραµένει σταθερό. 1.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ Έχοντας υπολογίσει την αναµενόµενη απόδοση, µένει να εκτιµηθεί και ο αναµενόµενος κίνδυνος. Ως µέτρο κινδύνου χρησιµοποιείται η τυπική απόκλιση, δηλαδή η τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης. Η τυπική απόκλιση αποτελεί ένα µέτρο της διακύµανσης της απόδοσης γύρω από την αναµενόµενη µέση τιµή. Προφανώς όσο υψηλότερη η τυπική απόκλιση, τόσο υψηλότερη είναι η διακύµανση και συνεπώς τόσο υψηλότερος ο κίνδυνος. Γενικά, ο υπολογισµός της τυπικής απόκλισης στην περίπτωση που υπάρχει διαθέσιµο ένα δείγµα ιστορικών στοιχείων για n περιόδους πραγµατοποιείται ως εξής: n t= 1 σ ( ) 2 rt E r = (1.3) n Με την έννοια του κινδύνου υπονοείται ότι δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων η εξέλιξη της αξίας ενός περιουσιακού στοιχείου µελλοντικά. Προφανώς, η εξέλιξη της αξίας µπορεί να είναι είτε θετική (άνοδος της αξίας του) είτε αρνητική (πτώση της αξίας). Συνεπώς, η έννοια του κινδύνου δεν είναι συνδεδεµένη µε την προοπτική της απώλειας-ζηµιάς απαραίτητα. Αντίθετα, είναι συνδεδεµένη και µε την προοπτική του κέρδους. Για αυτό υπάρχει ο κίνδυνος προς τα κάτω (downside risk) και ο κίνδυνος προς τα άνω (upside risk).έτσι, η έννοια του κινδύνου θεωρείται ότι συνδέεται στενά 14

15 µε την έννοια της αβεβαιότητας ως προς την εξέλιξη της αξίας ενός περιουσιακού στοιχείου. Μάλιστα, ενώ σε πολλές περιπτώσεις είναι δυνατό να υπάρχει γνώση για τα πιθανά αποτελέσµατα, ενώ σε κάποιες άλλες περιπτώσεις δεν υπάρχει ούτε αυτή η γνώση. Η έννοια του κινδύνου αναφέρθηκε, έως τώρα, σαν η αβεβαιότητα στην εξέλιξη των τιµών των χρηµατοοικονοµικών περιουσιακών στοιχείων. Εντούτοις, ο κίνδυνος δεν έχει να κάνει µόνο µε την διαµόρφωση των τιµών των διάφορων χρηµατοοικονοµικών περιουσιακών στοιχείων. Μάλιστα, σε πολλές περιπτώσεις η διαµόρφωση της τιµής παίζει δεύτερο ρόλο. Αυτό που ενδιαφέρει περισσότερο είναι τι κέρδος ή τι ζηµία αποκοµίζει κάποιος που προβαίνει σε µια αγοροπωλησία ενός χρηµατοοικονοµικού περιουσιακού στοιχείου. Σε γενικές γραµµές η συναλλαγή ενός οποιοδήποτε χρηµατοοικονοµικού περιουσιακού στοιχείου θα έχει σαν µελλοντικό αποτέλεσµα κάποιο κέρδος ή κάποια ζηµιά όπου το επίπεδό τους θα είναι επίσης άγνωστο εκ των προτέρων. Εποµένως, γίνεται κατανοητό ότι η µεταβλητότητα στις τιµές των αγορών των διάφορων περιουσιακών στοιχείων προκαλεί αντίστοιχη µεταβλητότητα στις αποδόσεις. Μάλιστα στις περισσότερες των περιπτώσεων η µέτρηση και η εκτίµηση του κινδύνου γίνεται σε όρους αποδόσεων και όχι σε όρους τιµών των περιουσιακών στοιχείων. Στο σηµείο αυτό αξίζει να αναφερθεί και να ολοκληρωθεί κάτι που είχε ξεκινήσει να αναφέρεται σε προηγούµενο σηµείο. 1.3 ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑ ΡΟΜΗ VAR Οι απαρχές της θεωρίας του χαρτοφυλακίου µπορεί να αποδοθούν σε µη µαθηµατικές συζητήσεις κατασκευή του χαρτοφυλακίου. Συγγραφείς όπως ο Hardy (1923) και Hicks (1935) συζήτησαν διαισθητικά τα πλεονεκτήµατα της διαφοροποίησης. Ο Leaven πρόσφερε ένα ποσοτικό παράδειγµα που µπορεί να είναι το πρώτο µέτρο Var που µπορεί να µην έχει ποτέ δηµοσιευτεί. Γράφοντας για ένα µη τεχνικό ακροατήριο, ο Leaven δεν προσδιορίζει ρητά µια µέτρηση VaR, αλλά ανέφερε επανειληµµένα τη διαφορά µεταξύ των ενδεχόµενων ζηµιών και κερδών. MARKOWITZ & ROY Ο Markowitz (1952) και, τρεις µήνες αργότερα, ο Roy (1952) παρουσίασαν τρόπους µέτρησης του VaR που ήταν εκπληκτικά όµοιοι. Κάθε ένας προσπαθούσε να αναπτύξει ένα µέσο επιλογής χαρτοφυλακίου που θα µπορούσε, κατά µία έννοια, να 15

16 επιφέρει τη µεγαλύτερη τιµή κέρδους για ένα δεδοµένο επίπεδο κινδύνου. Για το σκοπό αυτό τα προτεινόµενα µέτρα µέτρησης θα περιλάµβαναν διακυµάνσεις ανάµεσα στους παράγοντες κινδύνου ώστε να αντισταθµίσουν τον κίνδυνο και τις συνέπειες της διαφοροποίησης. Ενώ τα δύο µέτρα µαθηµατικά ήταν παρόµοια υποστήριζαν διαφορετικές τεχνικές µέτρησης του VaR. Ο Markowitz χρησιµοποίησε απλή µέτρηση διακύµανσης. Ο Roy χρησιµοποίησε µια µέτρηση του κινδύνου ανεπάρκειας η οποία αντιπροσωπεύει ένα άνω όριο για την πιθανότητα της ακαθάριστης απόδοσης-χασούρας του χαρτοφυλακίου η οποία είναι µικρότερη από κάποιο σενάριο καταστροφικής επιστροφής. Τόσο ο Markowitz όσο και ο Roy περικλείουν την ικανότητα να προσδιορίζουν τους τρόπους πιθανών υποθετικών σεναρίων. Ο τρόπος µέτρησης του Roy απαιτεί ένα διάνυσµα µέσων και ένα πίνακα διακύµανσης για τους παράγοντες κινδύνου. Παρατήρησε ότι αυτοί πρέπει να εκτιµηθούν από τις πληροφορίες του παρελθόντος. Ο τρόπος µέτρησης του Markowitz απαιτεί µόνο ένα πίνακα διακύµανσης για τους παράγοντες κινδύνου. Λόγω της τότε περιορισµένης επεξεργαστικής ισχύος οι διάφορες τεχνικές εκτίµησης του VaR από εκείνη την περίοδο ήταν σε µεγάλο βαθµό θεωρητικές και δηµοσιευτήκαν κυρίως στο πλαίσιο της θεωρίας χαρτοφυλακίου που άρχισε εκείνη την περίοδο να πρωτοεµφανίζεται. Η περίοδος εκείνη περιλάµβανε το έργο των Tobin (1958), Treynor (1961), Sharpe (1964), Lintner (1965) και Mossin (1966). Οι εκτιµήσεις των µέτρων VaR που εκείνοι ασχολιόντουσαν ήταν καλύτερα κατάλληλες για χαρτοφυλάκια µετοχών. Υπήρχαν λίγες εναλλακτικές κατηγορίες περιουσιακών στοιχείων, και εφαρµόζοντας VaR σε αυτά αύξησαν τον αριθµό των τεχνικών µοντελοποίησης. Εφαρµόζοντας έτσι διάφορες τεχνικές εκτίµησης VaR είτε για λόγους χρεωστικούς είτε για συµβόλαια µελλοντικής εκπλήρωσης περιλαµβάνοντας µακροπρόθεσµες δοµές µοντελοποίησης. Τα συµβόλαια µελλοντικής εκπλήρωσης που διαπραγµατεύονται την εποχή εκείνη ήταν κυρίως για τα γεωργικά προϊόντα, τα οποία δηµιουργούσαν προβλήµατα εποχικότητας. BASEL COMMITTEE Στο τέλος του 1974 ιδρύθηκε η επιτροπή της Βασιλείας (Basel Committee) µετά από πρωτοβουλία των διοικητών των κεντρικών τραπεζών της οµάδας των χωρών 16

17 Group of Ten 1, µε σκοπό τη διαµόρφωση ίδιας µορφής κανόνων ελέγχου αλλά και τη δηµιουργία κάποιων πρακτικών εποπτείας και ελέγχου για τα τραπεζικά συστήµατα. Η ίδρυση της επιτροπής πραγµατοποιήθηκε σε µια περίοδο µεγάλης αβεβαιότητας στη διεθνή οικονοµία και ιδιαιτέρα στο χώρο του συναλλάγµατος και των συναλλαγµατικών διατραπεζικών ισοτιµιών. KENNETH GARBADE VaR MEASURES Κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1980, ο Kenneth Garbade εργάστηκε στην Bankers Trust Cross Markets Research Group µια ερευνητική οµάδα που σκοπό είχε να αναπτύξει εξειδικευµένες τεχνικές µοντελοποίησης. Ο Garbade (1986) περίγραψε για πρώτη φορά µε στοχαστικό τρόπο κάτι που αργότερα θα λεγόταν κίνδυνος επενδύσεων και προσπάθησε να µοντελοποιήσει τις µεταβολές στην απόδοση αξίας κάθε χαρτοφυλακίου µε βάση την ευαισθησία των τιµών "από ένα σηµείο βάσηςεκκίνησης". WILSONS VaR MEASURE Μέχρι το 1993, ένας ικανός αριθµός χρηµατοπιστωτικών επιχειρήσεων χρησιµοποιούσε µέτρα για την εκτίµηση του κινδύνου αγοράς, ενώ άλλες φορές οι προσπάθειες κατέληγαν στο να παρακολουθούν τα όρια κινδύνου της αγοράς. Μια από αυτές είναι η κατασκευή ενός πίνακα συνδιακύµανσης και από αυτόν να υπολογιστεί η απόκλιση της αξίας του χαρτοφυλακίου. Αν η αξία του χαρτοφυλακίου υποτεθεί ότι είναι η κανονική του τότε, ένα ποσοστηµόριο της απώλειας µπορεί να υπολογιστεί. Ο Thomas Wilson εργαζόταν ως project manager για την McKinsey & Co και το (1993) παρουσίασε µια νέα µέθοδο για εκείνη την εποχή µέτρησης του Var. Ο Wilson στόχευε στην ανάπτυξη µιας µεθόδου ενσωµάτωσης της στοχαστικής συνδιακύµανσης µε τη χρήση πινάκων υπολογίζοντας έτσι τον κίνδυνο κεφαλαίων µε τη χρήση απλών υποθέσεων. Με την πιο απλή περίπτωση, η προσαρµογή στο πρότυπο υπολογισµού κεφαλαίων επιχειρηµατικού κινδύνου είναι τόσο απλή όσο η αντικατάσταση της συνήθης κανονικής κατανοµής µε το πρότυπο της κατανοµής t. Η κατανοµή t έχει "παχύτερες ουρές» από την κανονική κατανοµή, αντικατοπτρίζοντας 1 Την οµάδα των δέκα (Group of Ten G 10) αποτελούν έντεκα βιοµηχανικές χώρες : Βέλγιο, Καναδάς, Γαλλία, Γερµανία, Ιταλία, Ιαπωνία, Ολλανδία, Σουηδία, Ελβετία, Ηνωµένο Βασίλειο και Η.Π.Α. Στόχος της οµάδας είναι η ανταλλαγή απόψεων και η συνεργασία σε θέµατα οικονοµικής, νοµισµατικής και χρηµατοοικονοµικής πολιτικής. 17

18 το γεγονός ότι ο πίνακας συνδιακύµανσης είναι εξίσου µια τυχαία µεταβλητή για την οποία ο διαχειριστής κινδύνου έχει µόνο περιορισµένη εκ των προτέρων ενηµέρωση. RiskMetrics Το 1994 η JP Morgan προώθησε δωρεάν τις τραπεζικές της υπηρεσίες µε σκοπό να προωθήσει στους πελάτες της τη χρήση της µεθοδολογίας VaR.Οι υπηρεσίες αυτές περιείχαν ένα τεχνικό έγγραφο καθώς και πίνακα συνδιακύµανσης για αρκετές εκατοντάδες βασικούς παράγοντες κινδύνων, που ενηµερώνονταν καθηµερινά. Οι υπηρεσίες που αναπτύχθηκαν ονοµάστηκαν RiskMetrics 2. Οι υπηρεσίες RiskMetrics δεν ήταν ένα τεχνικό επίτευγµα. Ενώ το Τεχνικό έγγραφο περιείχε πρωτότυπες ιδέες, ως επί το πλείστον, περίγραφε τις πρακτικές που χρησιµοποιούνται ήδη ευρέως. Η Επιτροπή της Βασιλείας (Basel Committee) To 1995 η Επιτροπή της Βασιλείας θέτει σε εφαρµογή την απαίτηση από τις τράπεζες να διακρατούν κάποιο ποσό για την ασφάλεια στο κίνδυνο των τραπεζικών συναλλαγών. Το ποσό αυτό υπολογιζόταν από την επιτροπή µε ένα απροσδιόριστο µέχρι τότε µέτρο κινδύνου, αλλά παράλληλα έδινε τη δυνατότητα στις τράπεζες να χρησιµοποιούν και δικά τους µέτρα κινδύνου. Πέρα όµως από τις παραπάνω πρωτοβουλίες είχε ήδη δηµιουργηθεί η ανάγκη για την ανάπτυξη ενός µέτρου µέτρησης κινδύνου, αφού είχε ήδη παρατηρηθεί ένας µεγάλος αριθµός οργανισµών να έχει σηµαντικές απώλειες εξαιτίας κερδοσκοπικών συµπεριφορών. Σε πολλούς µάλιστα είχε γεννηθεί η απορία αν το VaR θα µπορούσε να είχε αποτρέψει αυτές τις απώλειες. 2 RiskMetrics : Ήταν µια δωρεάν υπηρεσία από την JP Morgan το 1994 για να προωθήσει το VaR σαν µέτρο διαχείρισης κινδύνου. Μέχρι τότε η χρήση των τεχνικών VaR ήταν περιορισµένη. 18

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΚΙΝ ΥΝΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΚΙΝ ΥΝΩΝ Η εκτίµηση του χρηµατοοικονοµικού κινδύνου θεωρείται µια ιδιαίτερα σηµαντική διαδικασία. Καθώς, όλα τα χρηµατοοικονοµικά περιουσιακά στοιχεία εµπεριέχουν κίνδυνους, υπάρχει µεγάλη ανάγκη να αντιµετωπιστούν αποτελεσµατικά αυτοί οι κίνδυνοι, έτσι ώστε να µπορεί να εκτιµηθεί µια πιθανή απώλεια και να οργανωθούν οι τρόποι αντιµετώπισής της. Οι χρηµατοοικονοµικοί κίνδυνοι έχουν να κάνουν µε την µεταβλητότητα των διαφόρων χρηµατοοικονοµικών αγορών. Οι χρηµατοοικονοµικοί κίνδυνοι θεωρείται ότι έχουν µια σειρά από πηγές ανάλογα και µε τη φύση του χρηµατοοικονοµικού στοιχείου που εµπλέκεται. Οι κίνδυνοι αυτοί επηρεάζουν ως επί το πλείστον τους διάφορους χρηµατοοικονοµικούς οργανισµούς (τράπεζες, εταιρίες επενδύσεων, αµοιβαία κεφάλαια, ασφαλιστικές εταιρίες κτλ). 2.1 ΚΙΝ ΥΝΟΣ ΑΓΟΡΑΣ MARKET RISK Ο κίνδυνος αγοράς είναι ο κίνδυνος που προέρχεται από ανεπιθύµητες (προς τα κάτω) µεταβολές στην αξία των διάφορων χρηµατοοικονοµικών περιουσιακών στοιχείων εξ αιτίας ανάλογων µεταβολών στην αγορά που διαπραγµατεύονται τα χρηµατοοικονοµικά αυτά περιουσιακά στοιχεία κατά τη διάρκεια που είναι δυνατό να ρευστοποιηθεί αυτό το χρηµατοοικονοµικό περιουσιακό στοιχείο. Όσο πιο µεγάλη είναι αυτή η περίοδος ρευστοποίησης τόσο περισσότερο υπάρχουν ευκαιρίες για µεγάλη µεταβολή της αξίας του υποκείµενου περιουσιακού στοιχείου, άρα και αύξηση του κινδύνου αγοράς. Παράγοντες οι οποίοι επηρεάζουν και δηµιουργούν αυτές τις µεταβολές είναι για παράδειγµα οι πόλεµοι, τα δηµοσιονοµικά ελλείµµατα, ο πληθωρισµός, τα υψηλά ή χαµηλά επιτόκια και γενικότερα οι εξελίξεις των οικονοµικών συνθηκών µιας χώρας. ηλαδή µπορούµε να πούµε πολιτικά, οικονοµικά και κοινωνικά γεγονότα ή ακόµα και αλλαγές στις προτιµήσεις και τις προσδοκίες των επενδυτών. Ο κίνδυνος αγοράς στην ουσία περιλαµβάνει ένα σύνολο διαφορετικών κίνδυνων. Η επίδραση 19

20 των παραγόντων της αγοράς στις επενδυτικές αποδόσεις δεν είναι οµοιόµορφη. Το επίπεδο καθώς και η κατεύθυνση των αλλαγών στην απόδοση διαφέρει µεταξύ των επενδυτικών φορέων. Ο κίνδυνος της αγοράς αντανακλάται στη µεταβλητότητα των τιµών των περιουσιακών στοιχείων δηλαδή όσο πιο ευµετάβλητη είναι η τιµή ενός περιουσιακού στοιχείου τόσο µεγαλύτερος είναι ο αναµενόµενος κίνδυνος της αγοράς του 2.2 ΠΙΣΤΩΤΙΚΟΣ ΚΙΝ ΥΝΟΣ - CREDIT RISK Ο πιστωτικός κίνδυνος ορίζεται ως η πιθανή ή αναµενόµενη ζηµιά που προέρχεται από την αδυναµία των δανειζόµενων να επιστρέψουν τα κεφάλαια ή / και τους τόκους των κεφαλαίων που δανείστηκαν, δηλαδή από την αδυναµία να εκπληρώσουν τις συµβατικές τους υποχρεώσεις. Ο πιστωτικός κίνδυνος υφίσταται σε κάθε µορφή τοποθέτησης ή επένδυσης της τράπεζας, είτε πρόκειται για κάποιο είδος χρηµατοδότησης είτε για αγορά χρεογράφων και χρηµατοπιστωτικών µέσων. Η ανάπτυξη και εφαρµογή εσωτερικών µοντέλων διαχείρισης πιστωτικού κινδύνου είναι ίσως το υπ αριθµό ένα θέµα που απασχολεί τα τµήµατα διαχείρισης κινδύνων των τραπεζών. Αφετηρία για τη µέτρηση του πιστωτικού κινδύνου αποτελεί η αξιολόγηση και κατάταξη των πιστούχων (επιχειρήσεων, φυσικών προσώπων, κρατικοί φορέων κ.ο.κ.) σε βαθµίδες ή κατηγορίες πιστωτικού κινδύνου µιας, γνωστής εκ των προτέρων κλίµακας διαβαθµίσεων πιστωτικού κίνδυνου. Ταυτόχρονη είναι και η κατάταξη σε βαθµίδες πιστωτικού κινδύνου των ανοιγµάτων της τράπεζας (χρηµατοδοτήσεων, τοποθετήσεων σε µετοχές, σε οµόλογα, σε παράγωγα κ.ο.κ.). Οι βασικές µέθοδοι για την κατάταξη αυτή σε βαθµίδες πιστωτικού κινδύνου είναι δυο 3 : i. η µέθοδος Credit Scoring για τις χρηµατοδοτήσεις ιδιωτών, επαγγελµατιών και µικρών επιχειρήσεων και ii. η µέθοδος Credit Rating για τις χρηµατοδοτήσεις µεγάλων επιχειρήσεων ή για τις τοποθετήσεις σε τίτλους επιχειρήσεων. Η µέθοδος Credit Scoring είναι κατάλληλη για επιχειρήσεις, καταναλωτές που χρησιµοποιούν µικρού ποσού τραπεζικά / χρηµατοδοτικά προϊόντα τα οποία ποικίλουν 3 Παναγιώτης Χρ.Αγγελόπουλος :Τράπεζες και Χρηµατοπιστωτικό Σύστηµα 20

21 αναλόγως τη χρησιµότητα τους και τις ανάγκες του αγοραστικού κοινού. Η µέθοδος αυτή είναι γνωστή σαν λιανική τραπεζική και απαιτεί τη διαµόρφωση προγράµµατος αξιολόγησης, που λειτουργεί σε ηλεκτρονική εφαρµογή, το οποίο µετά την εισαγωγή των διαφόρων στοιχείων από τους τραπεζικούς υπαλλήλους και αξιολογητές καταλήγει αυτόµατα σε βαθµολόγηση και κατάταξη των πελατών των δανειζοµένων σε κατηγορία πιστωτικού κινδύνου. Η µέθοδος Credit Rating εφαρµόζεται στην αξιολόγηση και κατάταξη σε κατηγορίες πιστωτικού κινδύνου κυρίως µεγάλων επιχειρήσεων, δηλαδή µικρού αριθµού πιστούχων, αλλά µε µεγάλο ύψους χρηµατοδοτήσεων µεµονωµένα αλλά και συνολικά. Η αξιολόγηση γίνεται από εξειδικευµένα στελέχη της τράπεζας µε βάση την εµπειρία, τη γνώση και τη συνεχή παρακολούθηση των πιστούχων, εµπεριέχει σε µεγάλο βαθµό υποκειµενική κρίση και χαρακτηρίζεται υποκειµενική. Για παράδειγµα η ακύρωση µιας µεγάλης παραγγελιάς που έχει γίνει σε µια επιχείρηση στην αρχή του έτους θα φανεί στις οικονοµικές καταστάσεις µετά το τέλος της χρήσης της. 2.3 ΚΙΝ ΥΝΟΣ ΡΕΥΣΤΟΤΗΤΑΣ - LIQUIDITY RISK Ένα περιουσιακό στοιχείο εµφανίζει κίνδυνο ρευστότητας πχ µια επιχείρηση ή µια τράπεζα κατά τη διάρκεια της λειτουργιάς τους. Ο κίνδυνος ρευστότητας µπορεί να οφείλεται σε πρόωρη αποπληρωµή δανείων, ανάληψη προθεσµιακών καταθέσεων και συµβολαίων προ της λήξεως τους, αδυναµία αποτελεσµατικής πρόσβασης στις διατραπεζικές αγορές ή στις αγορές χρήµατος για άντληση ή τοποθέτηση κεφαλαίων, ρευστοποίηση τοποθετήσεων σε πιθανή αρνητική συγκυρία. Όσο πιο χαµηλή είναι η ρευστότητα ενός επιχειρησιακού τίτλου σε σχέση µε τους κρατικούς τίτλους πχ µιας τράπεζας τόσο πιο πολύ αυξάνεται η διάφορα ανάµεσα στα επιτόκια. Ο κίνδυνος ρευστότητας και ο πιστωτικός κίνδυνος αποτελούν τους παραδοσιακούς χρηµατοοικονοµικούς κινδύνους που αντιµετωπίζουν τα πιστωτικά ιδρύµατα (τράπεζες). Κίνδυνος ρευστότητας (γνωστός επίσης και ως χρηµατοδοτικός κίνδυνος) είναι ο κίνδυνος η επιχείρηση να αντιµετωπίσει δυσκολίες στην εξεύρεση κεφαλαίων για να καλύψει υποχρεώσεις που σχετίζονται µε τα χρηµατοοικονοµικά µέσα. Ο κίνδυνος ρευστότητας µπορεί να προέλθει από αδυναµία έγκαιρης πώλησης ενός χρηµατοοικονοµικού περιουσιακού στοιχείου κοντά στην εύλογη αξία του. 21

22 Η ευρέως χρησιµοποιούµενη µέθοδος µέτρησης του κινδύνου ρευστότητας είναι η µέθοδος ανάλυσης των ανοιγµάτων ρευστότητας (liquidity gap analysis ). Η βασική τεχνική για την υλοποίηση της µεθόδου είναι η κατάταξη των στοιχείων τόσο των υποχρεώσεων όσο και των τοποθετήσεων ενός περιουσιακού στοιχείου της τράπεζας ή της επιχείρησης σε χρονικές βαθµίδες-ζώνες λήξης η ωρίµανσης των στοιχείων αυτών και η καταγραφή τους σε πίνακες ρευστότητας. Ως χρηµατοοικονοµικό περιουσιακό στοιχείο ορίζεται κάθε περιουσιακό στοιχείο που αφορά: ταµιακά διαθέσιµα. συµµετοχικό τίτλο 4 άλλης οντότητα επιχείρησης. συµβατικό δικαίωµα για παραλαβή µετρητών ή άλλου χρηµατοοικονοµικού περιουσιακού στοιχείου από µια άλλη οντότητα-επιχείρηση η για την ανταλλαγή χρηµατοοικονοµικών στοιχείων η υποχρεώσεων µε µία άλλη οντότητα υπό όρους δυνητικά ευνοϊκούς για την οντότητα-επιχείρηση. συµβατικό δικαίωµα για παράδοση µετρητών ή άλλου χρηµατοοικονοµικού περιουσιακού στοιχείου ή την ανταλλαγή χρηµατοοικονοµικών στοιχείων ή υποχρεώσεων µε µία άλλη οντότητα υπό όρους δυνητικά δυσµενείς για την οντότητα συµβόλαιο που δύναται να ή θα διακανονιστεί µε τους συµµετοχικούς τίτλους µε ανταλλαγή συγκεκριµένου ποσού µετρητών ή άλλου χρηµατοοικονοµικού περιουσιακού στοιχείου µε συγκεκριµένη ποσότητα των ίδιων συµµετοχικών τίτλων της οντότητας. 2.4 ΚΙΝ ΥΝΟΣ ΙΑΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ-SETLEMENT RISK Αν και µια από τις σηµαντικότερες κρίσεις στα διεθνή χρηµατοοικονοµικά, ήταν το αποτέλεσµα κινδύνου διακανονισµού, ο κίνδυνος διακανονισµού δεν έχει τύχει ιδιαίτερης προσοχής. Ο κίνδυνος διακανονισµού είναι χαρακτηριστικό των ξένων αγορών συναλλάγµατος παρόλο που το συναντάµε σε όλες τις συναλλαγές οπού οι εταιρίες ανταλλάσουν µετρητά για ασφάλειες ή για να τηρήσουν τις υποχρεώσεις τους µε 4 Συµµετοχικός τίτλος είναι κάθε σύµβαση που αποδεικνύει ένα δικαίωµα στο υπόλοιπο που αποµένει, εάν από τα περιουσιακά στοιχεία µιας οντότητας αναιρεθούν οι υποχρεώσεις της. 22

23 τις εµπορικές συµβάσεις που έχουν συνάψει, επειδή στο εµπόριο νοµίσµατος η πληρωµή γίνεται σε ένα νόµισµα πολύ πριν εισπραχτούν τα χρήµατα στο άλλο νόµισµα. Ο κίνδυνος διακανονισµού είναι ο κίνδυνος να µην πραγµατοποιηθούν οι συναλλαγές για ένα χρηµατοπιστωτικό µέσο στη συµπεφωνηµένη ηµεροµηνία παράδοσης. Ο κίνδυνος τότε ισοδυναµεί µε την διάφορα ανάµεσα στη τιµή του προϊόντος στη θεωρητική ηµεροµηνία παράδοσης και στη τιµή αυτού κατά την πραγµατική ηµεροµηνία παράδοσης. Πρόκειται για τη διάφορα ανάµεσα στη τιµή διακανονισµού η οποία συµφωνήθηκε για το χρηµατοπιστωτικό µέσο και στην τρέχουσα αγοραία αξία του κατά την πραγµατική ηµεροµηνία διακανονισµού, όταν η διάφορα µπορεί να καταλήξει σε ζηµιά. Οι κεφαλαιαγορές διαθέτουν διαφορετικές διαδικασίες διακανονισµού και παράδοσης και σε ορισµένες αγορές οι διαδικασίες ενδέχεται να επηρεάζονται από τον όγκο των συναλλαγών µε αποτέλεσµα να τίθεται σε κίνδυνο η εκτέλεση τους. Η αδυναµία διακανονισµού λόγω τέτοιων προβληµάτων ενδέχεται να µην επιτρέψει σε ένα επενδυτή να επωφεληθεί από τις προσφερόµενες επενδυτικές ευκαιρίες. Η αδυναµία να πουληθούν τίτλοι λόγω προβληµάτων διακανονισµού µπορεί να είναι ζηµιογόνος για τον επενδυτή λόγω µεταγενεστέρων διακυµάνσεων των τιµών των αγιογράφων ή, αν ο επενδυτής έχει ήδη συνάψει σύµβαση για την πώληση των εν λόγω αγιογράφων, ενδέχεται να φέρει ευθύνη για τη µη ολοκλήρωση της συναλλαγής µε τον αγοραστή. 2.5 ΚΙΝ ΥΝΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ Η ΝΟΜΙΚΟΣ LEGAL OR POLITIKAL RISK Οι διεθνείς εξελίξεις σε πολιτικό, διπλωµατικό και στρατιωτικό επίπεδο, η εκλογή κυβέρνησης και οι ειδικότερες κυβερνητικές επιλογές σε κάθε τοµέα της κοινωνικής και οικονοµικής ζωής επηρεάζουν την πορεία των χρηµαταγορών και των κεφαλαιαγορών. Ο κίνδυνος επιβολής νέων φόρων από την κυβέρνηση ( ή από άλλη αρµόδια αρχή όπως η ευρωπαϊκή ένωση στη περίπτωση της Ελλάδας ) ή επιβολής άλλων νοµοθετικών υποχρεώσεων ή περιορισµών στα χρεόγραφα που έχει αγοράσει ήδη ο επενδυτής. Για παράδειγµα µια κυβέρνηση ενδέχεται να απαγορεύσει την έξοδο από τη χωρά χρεογράφων τα οποία βρίσκονται υπό θεµατοφυλακή. Οι νοµικοί κίνδυνοι εξαρτώνται από το νόµο που εφαρµόζεται σε περίπτωση χρεωκοπίας. Είναι ο κίνδυνος ότι τα συµβόλαια δεν µπορούν να επιβληθούν νοµικά η να αποδειχτούν 23

24 σωστά. Ο διαχειριστής κινδύνου προσέχει στις συναλλαγές µε άλλες επιχειρήσεις και συµµορφώνεται µε τα νοµικά συστήµατα. Ο εν λόγω κίνδυνος πηγάζει: α) Από µεταβολές στο νοµικό και κανονιστικό πλαίσιο που διέπει τις αγορές, τις συναλλαγές σε αυτές τις αγορές, τη φορολόγηση των επενδύσεων που διενεργούνται σε µία συγκεκριµένη αγορά. Οι µεταβολές αυτές δύνανται να επηρεάσουν πολλαπλώς τις επενδύσεις. β) Από αδυναµία εκτέλεσης συµβάσεων λόγω νοµικών προβληµάτων κλπ. Τούτο µπορεί να συµβεί επί εσφαλµένης νοµικής εκτιµήσεως, αλλά και επί αβεβαιότητας δικαίου, που προκύπτει ιδίως λόγω ασαφών, αόριστων και γενικών νοµοθετικών διατάξεων. Έτσι, µπορεί να κριθούν συµβάσεις ή άλλες συµφωνίες ανίσχυρες, αντίθετα προς την αρχική εκτίµηση των επιχειρήσεων, µε δυσµενέστατες οικονοµικές επιπτώσεις στους συµβαλλοµένους. 2.6 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΣ ΚΙΝ ΥΝΟΣ-ORERATIONAL RISK Ο λειτουργικός κίνδυνος γεννάται λόγω εφαρµογής ανεπαρκών ή αποτυχηµένων εσωτερικών διαδικασιών, προσωπικού και πληροφορικών ή επικοινωνιακών συστηµάτων, καθώς και λόγω εξωτερικών παραγόντων, όπως φυσικές καταστροφές ή τροµοκρατικές επιθέσεις, που θέτουν εκτός λειτουργίας τα συστήµατα διακανονισµού των συναλλαγών ή µειώνουν την αξία των περιουσιακών στοιχείων που αποτελούν αντικείµενα της συναλλαγής (π.χ. κίνδυνος κατάρρευσης των τεχνικών συστηµάτων µιας οργανωµένης αγοράς, κίνδυνος ακατάλληλης διοίκησης µίας εταιρείας µε τίτλους εισηγµένους σε χρηµατιστήριο κλπ). Σήµερα ο λειτουργικός κίνδυνος θεωρείται ως ένας εκ των κυριότερων κίνδυνων που αντιµετωπίζουν τα πιστωτικά ιδρύµατα (τράπεζες), αφού έχει διαπιστωθεί ότι οι περισσότερες από τις περιπτώσεις εµφάνισης µεγάλων ζηµιών οφείλονται σε κάποια πηγή λειτουργικού κινδύνου η οποία δεν είχε τύχει σωστής διαχείρισης. Η αναγνώριση του λειτουργικού κινδύνου οδηγεί στην ανάγκη µέτρησης ποσοτικοποίησης και διαχείρισης του, όπως συµβαίνει και µε τους υπόλοιπους κινδύνους που αντιµετωπίζουν τα πιστωτικά ιδρύµατα. Αντίθετα µε τους υπόλοιπους για το λειτουργικό κίνδυνο δεν έχει αναπτυχτεί κάποια γενικά αποδεκτή µέθοδος µέτρησης. Για το λόγο αυτό πολλές επιχειρήσεις δέχονται το λειτουργικό κίνδυνο ως 24

25 ένα µη αναστρέψιµο ή αντισταθµιζόµενο κίνδυνο και ενσωµατώνουν τις σχετικές ζηµιές στα έξοδα τους. 2.7 ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΙΝ ΥΝΟΣ - BUSINESS RISK Στην εποχή µας η διαχείριση επιχειρηµατικού κινδύνου αποτελεί ένα κρίσιµο ζήτηµα µια και τα οικονοµικά ιδρύµατα τα κυβερνητικά σώµατα καθώς και οι εταιρίες εµφανίζουν σηµαντικές ζηµιές εξαιτίας κινδύνων οι οποίοι δε λαµβάνονται αρχικά υπό όψη. Όλοι θέτουν στόχους και κατανέµουν τους πόρους τους έτσι ώστε αυτοί να πραγµατοποιηθούν. Όλοι οι οργανισµοί επιχειρήσεις, εταιρίες αντιµετωπίζουν αβεβαιότητα στην επίτευξη των στόχων τους. Όλοι αντιµετωπίζουν κίνδυνο τον οποίο χαρακτηρίζουµε ως επιχειρηµατικό κίνδυνο. Η διαδικασία της διαχείρισης επιχειρηµατικού κινδύνου αφορά στη βελτιστοποίηση του συνόλου των διαδικασιών κάτω από τις οποίες γίνεται η ανάληψη κινδύνου. Από την εξέταση των περιπτώσεων, οπού προέκυψαν µεγάλες απώλειες από κακή επένδυση κεφαλαίων σε χρηµατοοικονοµικά παράγωγα 5, σε κρατικά οµολογιακά δάνεια προκύπτουν δυο κοινά χαρακτηριστικά: i. Οι ζηµιές προέκυψαν άµεσα από τις ενέργειες ενός και µονού ατόµου (στελέχους). ii. Οι ζηµιές θα µπορούσαν να είχαν προληφθεί µέσω της κατάλληλης επίβλεψης. Τέτοιου είδους απώλειες δε συνέβαιναν παλιότερα. Στο παρελθόν, οι εταιρίες χρεοκοπούσαν η εµφάνιζαν ζηµιές, αλλά οι δυνάµεις που προκαλούσαν αυτά τα φαινόµενα ήταν µακροσκοπικές, όπως ο ανταγωνισµός, η κακή διαχείριση η οι αντίξοες οικονοµικές συνθήκες που αποµυζούσαν τη ζωτικότητα της εταιρίας. 5 Τα παράγωγα αποτελούν τα χρηµατοοικονοµικά εργαλεία διαχείρισης κινδύνων που προκύπτουν από τις συναλλαγές και τις υποχρεώσεις που δηµιουργούνται ή χρησιµοποιούνται ως κερδοσκοπικά ή επενδυτικά µέσα. Τα παράγωγα µπορούν να θεωρηθούν ως εργαλεία σταθεροποίησης εξοµάλυνσης και περιορισµού των κινδύνων των οικονοµικών συναλλαγών αλλά και ως µέσα εξασφάλισης αποδόσεων εκ µέρους των επενδυτών. Τα παράγωγα προϊόντα εισήχθησαν ως ασφάλεια για την αντιµετώπιση των αβεβαιοτήτων του χρηµατοοικονοµικού συστήµατος της διακύµανσης των συναλλαγµατικών ισοτιµιών και των επιτοκίων και των απροβλέπτων εξελίξεων στα χρηµατιστήρια και στις πρώτες ύλες. Τα παράγωγα προϊόντα αποτελούν για τους οικονοµικούς παράγοντες µέσο προστασίας από γνωστούς κινδύνους ώστε να επικεντρώνουν το ενδιαφέρον τους στη κύρια δραστηριότητα τους. 25

26 2.8 ΣΥΣΤΗΜΙΚΟΣ ΚΙΝ ΥΝΟΣ SYSTEMIC RISK Η αδυναµία ενός χρηµατοπιστωτικού ιδρύµατος να εκπληρώσει ληξιπρόθεσµες υποχρεώσεις του µπορεί να προκαλέσει την αδυναµία άλλων χρηµατοπιστωτικών ιδρυµάτων (συµπεριλαµβανοµένων και ΕΠΕΥ 6 ) ή επιχειρήσεων να εκπληρώσουν τις δικές τους υποχρεώσεις, όταν αυτές καταστούν ληξιπρόθεσµες. ηµιουργείται έτσι κίνδυνος αλυσιδωτών αντιδράσεων (domino effect) λόγω µετάδοσης της αφερεγγυότητας, ιδίως στο πλαίσιο λειτουργίας των συστηµάτων πληρωµών και εκκαθάρισης συναλλαγών επί τίτλων, σε σειρά χρηµατοπιστωτικών ιδρυµάτων. Η δραστηριοποίηση οποιασδήποτε ΕΠΕΥ στον χρηµατοπιστωτικό τοµέα την εκθέτει, εποµένως, στον συστηµικό κίνδυνο, ο οποίος, αν επέλθει, µπορεί να αντανακλά και στους πελάτες της. Ο συστηµατικός κίνδυνος επηρεάζει το σύνολο της αγοράς και είναι µη διαφοροποιήσιµος. εν αφορά δηλαδή αρνητικά συµβάντα σε συγκεκριµένες υπό διαπραγµάτευση αξίες στις κεφαλαιαγορές αλλά επηρεάζει ολόκληρη την αγορά. Ορισµένα χρηµατοοικονοµικά προϊόντα όπως τα επονοµαζόµενα knock out µπορούν να οδηγήσουν σε µια αστάθεια των αγορών και οι πελάτες πρέπει να διασφαλίζονται έναντι των διακυµάνσεων αυτών. Αυτή η αποσταθεροποίηση της αγοράς επιτείνεται από τις χρηµατοοικονοµικές συναλλαγές µε έντονα κερδοσκοπικό χαρακτήρα. Χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η αύξηση των επιτοκίων που συµπαρασέρνει εταιρίες, οικονοµικά ιδρύµατα, τράπεζες, πιστωτές, καταναλωτές λόγω αύξησης των Spreads 7 µε τα οποία δανείζονται χρήµατα µεταξύ τους οι χώρες και συγκεκριµένα η χωρά µας. Καθηµερινά γινόµαστε µάρτυρες µιας αβυσσαλέας µάχης που σκοπό έχει περισσότερο κέρδος για τους δανειστές και όλο και λιγότερες πιθανότητες αποπληρωµής των δανειζόµενων χρηµάτων λόγω αύξησης των τόκων. 6 Λέγοντας ΕΠΕΥ εννοούµε εταιρίες παροχής επενδυτικών υπηρεσιών. 7 Με τον όρο Spread εννοούµε τη διάφορα µεταξύ της τιµής προσφοράς και της τιµής ζήτησης ενός αγαθού την ιδία χρονική στιγµή και είναι η αµοιβή της τράπεζας ή του οποιοδήποτε market maker για την εγγύηση άµεσης ρευστοποίησης του αγαθού αυτού σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή. Για παράδειγµα Spread είναι η διάφορα µεταξύ του επιτοκίου βραχυχρονίου διατραπεζικού δανεισµού στο οποίο η τράπεζα δανείζει τις άλλες τράπεζες από το επιτόκιο µε το οποίο δέχεται καταθέσεις από τις άλλες τράπεζες. 26

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Οι παραδοσιακές µέθοδοι διαχείρισης του κίνδυνου αγοράς, ιδιαίτερα στα τραπεζικά συστήµατα βασίζονται στις έννοιες της διάρκειας (duration) και της µέτρησης της ευαισθησίας (sensitivity) των παράλληλων µετατοπίσεων της καµπύλης απόδοσης. Μια νέα µέθοδος διαχείρισης του κινδύνου αγοράς, η αποδοχή της οποίας ιδιαίτερα από τα τραπεζικά ιδρύµατα αλλά και από τις ρυθµιστικές αρχές αυξάνεται µε ιλιγγιώδεις ρυθµούς, είναι η προσέγγιση "value at risk" (VaR). Με βάση τη νέα αυτή προσέγγιση, η οποία έχει προσδώσει µια νέα διάσταση και φιλοσοφία σε όλα τα επίπεδα διαχείρισης των χρηµατοπιστωτικών και µη ιδρυµάτων, έχει αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια µια διαλεκτική, σε θεωρητικό καταρχάς επίπεδο, για ένα νέο είδος παραγώγων, των VaR παραγώγων προϊόντων. Τα VaR παράγωγα αναφέρονται σε κάθε µορφής παράγωγα προϊόντα προστασίας χαρτοφυλακίου που επιτελούν µια προσωρινή σταθεροποίηση του VaR και της συνδεόµενης κεφαλαιακής επάρκειας, η οποία απαιτείται για τους κερδοσκοπικούς οργανισµούς για τα τραπεζικά και τα χρηµατοοικονοµικά ιδρύµατα από τις ρυθµιστικές αρχές, και αναµένεται να αποτελέσουν, ιδιαίτερα για τα τραπεζικά ιδρύµατα, µια τεράστια πηγή διαφοροποίησης του κίνδυνου των χαρτοφυλακίων τους και δηµιουργίας κερδών. 3.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ VaR (Value at Risk) Η "Αξία σε Κίνδυνο" (Value at Risk, ή, σε συντοµογραφία, VaR) είναι µέθοδος µέτρησης µε την αξιοποίηση στατιστικών µεθόδων, του συνόλου των χρηµατοοικονοµικών κίνδυνων που αναλαµβάνει ένας χρηµατοοικονοµικός οργανισµός ή εµπεριέχει ένα χαρτοφυλάκιο. Η VaR ανεπτύχθη αρχικά ως µια "πρώτης προσέγγισης" µέθοδος µέτρησης του κινδύνου αγοράς (market risk) µε σκοπό την ποσοτική περιγραφή του. Εξελίχθηκε σε µέθοδο διαχείρισης κινδύνων και, πρόσφατα, σε µέθοδο προσδιορισµού της κεφαλαιακής επάρκειας. Το ελκυστικό χαρακτηριστικό της VaR είναι πως υπολογίζοντας το δυνητικό µέγεθος της απώλειας, µε πιθανότητα Χ%, που µπορεί να συµβεί σε µια χρονική περίοδο Τ, δίνει άµεσα µια ποσοτική εικόνα της έκθεσης στους κινδύνους αγοράς. 27

28 Οι βασικοί παράµετροι για τον υπολογισµό της VaR είναι ο χρονικός ορίζοντας Τ και το επίπεδο εµπιστοσύνης Χ. Η επιλογή αυτών των δύο παραµέτρων εξαρτάται από τον τοµέα/κλάδο στον οποίο εφαρµόζεται η µέθοδος. Για τον τραπεζικό τοµέα το επίπεδο εµπιστοσύνης εκλαµβάνεται ως 99%. Όσον αφορά τον χρονικό ορίζοντα, στον τραπεζικό τοµέα εκλαµβάνεται συνήθως το χρονικό διάστηµα των 10 ηµερών. Για τον υπολογισµό της VaR απαιτείται η γνώση της κατανοµής των µεταβολών των τιµών των αξιών (assets) από τις οποίες αποτελείται η εταιρία, ο οργανισµός, το χρηµατοπιστωτικό ίδρυµα, το χαρτοφυλάκιο. Η κατανοµή των µεταβολών των τιµών, προσδιορίζει παράγοντες όπως η µεταβλητότητα (volatility) σ και τα q-εκατοστιαία σηµεία, που αποτελούν σηµαντικές παραµέτρους για τον υπολογισµό VaR. Η µεταβλητότητα αποτελεί µέτρο του µεγέθους των διακυµάνσεων των τιµών της υποκείµενης αξίας και, για τον λόγο αυτό, σηµαντικό παράγοντα για τον υπολογισµό της VaR. Αποτελεί σηµαντική παράµετρο σε πολλούς τοµείς του χρηµατοοικονοµικού πεδίου και για τον ακριβή τρόπο υπολογισµού της έχει επενδυθεί µεγάλη ερευνητική προσπάθεια. Ένας εναλλακτικός ορισµός για το VaR είναι : Η αξία σε κίνδυνο (Value at Risk ή VaR) είναι το µέγιστο ποσό χρηµάτων που µπορεί να απολεσθεί κατά τη διάρκεια µιας συγκεκριµένης χρονικής περιόδου, δεδοµένου ενός επίπεδου εµπιστοσύνης. Συχνά το VaR υπολογίζεται για χρονική περίοδο µιας ηµέρας γνωστή ως η περίοδος διακράτησης (holding period) και συνήθως υπολογίζεται µε επίπεδο εµπιστοσύνης, που σηµαίνει πως (κατά µέσο όρο) υπάρχει 99% πιθανότητα να είναι κάποια απώλεια του χαρτοφυλακίου µικρότερη από την υπολογισµένη VaR. Έτσι ένας απλοϊκός ορισµός του VaR είναι πως δίνει το µέγιστο χρηµατικό πόσο που µπορεί να χαθεί σε ένα χαρτοφυλάκιο µέσα σε 24 ώρες µε πιθανότητα 99%. Ο ορισµός της περιόδου διακράτησης είναι αρκετά σηµαντικός, επειδή όσο µεγαλύτερος είναι, τόσο µεγαλύτερη και η αξία σε κίνδυνο. Το επίπεδο ή το διάστηµα εµπιστοσύνης είναι επίσης σηµαντικό, καθώς αν µια τράπεζα ορίζει 95% επίπεδο εµπιστοσύνης σηµαίνει πως το υπόλοιπο 5 % αντιστοιχεί σε µια ηµέρα στις 20, ενώ αν ορίσει 99% επίπεδο εµπιστοσύνης σηµαίνει πως το υπόλοιπο 1% 28

29 αντιστοιχεί σε µια ηµέρα στις 100, δηλαδή σε γεγονότα που συµβαίνουν µια φορά κάθε 4 µήνες περίπου. Σχηµατική απεικόνιση της έννοιας VaR Η προσέγγιση της VaR έχει γνωρίσει σηµαντική διάδοση κατά τη τελευταία δεκαετία, τόσο µεταξύ των ερευνητών / ακαδηµαϊκών, όσο και µεταξύ των χρηµατοπιστωτικών ιδρυµάτων και των αναλυτών. Η διάδοση της VaR ξεκίνησε µε την ανάπτυξη του συστήµατος RiskMetrics από την Αµερικανική επενδυτική τράπεζα J.P. Morgan. Η ανάπτυξη του συγκεκριµένου συστήµατος από την J.P Morgan αποσκοπούσε στην ανάπτυξη και εφαρµογή ενός εργαλείου για τη µέτρηση και παρακολούθηση των καθηµερινών αναµενόµενων ζηµιών της τράπεζας από όλες τις επενδυτικές θέσεις που είχε αναλάβει. Μετά την απόφαση της τράπεζας να εκµεταλλευτεί εµπορικά το σύστηµα RiskMetrics σε συνδυασµό µε τη δηµοσιοποίηση της προσέγγισης στην οποία βασίζεται, έδωσαν ώθηση στο χώρο ο οποίος σήµερα αποτελεί ένα σηµαντικό ερευνητικό πεδίο της χρηµατοοικονοµικής επιστήµης. 29

30 3.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ VaR Ο ακριβής υπολογισµός του VaR εξαρτάται από µια σειρά υποθέσεων που αφορούν: Την κατανοµή των µεταβολών των τιµών (για παράδειγµα ακολουθούν την κανονική κατανοµή). Την έκταση µε την οποία η σηµερινή µεταβολή στη τιµή ενός περιουσιακού στοιχειού συσχετίζεται µε τις µεταβολές στο παρελθόν. Την έκταση κατά την οποία τα χαρακτηριστικά του µέσου και της µέσης απόκλισης τετραγώνου είναι σταθερά στο χρόνο. Την αλληλοσυσχέτιση µεταξύ δυο η περισσοτέρων διαφορετικών µετατοπίσεων των τιµών. Τη χρονολογική σειρά στοιχειών, στην οποία εφαρµόζονται οι υποθέσεις. Κατά τους Engle και Manganelli οι µεθοδολογίες εκτίµησης του VaR χωρίζονται σε τρεις βασικές κατηγορίες: 1. Παραµετρικές (RiskMetrics, GARCH) 2. Μη Παραµετρικές (Ιστορική Προσοµοίωση) 3. Ηµιπαραµετρικές (Extreme Value Theory, quasi-maximum likelihood GARCH) Παρά τη σπουδαιότητα του VaR ως µέτρου εκτίµησης του κινδύνου αγοράς, πρέπει να επισηµανθεί ότι αποτελεί µόνο µια στατιστική εκτίµηση, η οποία βασίζεται συνήθως σε µια κατανοµή ιστορικών στοιχειών και δεδοµένων. Είναι εξαιρετικά σηµαντικό να αναπτύσσονται µεθοδολογίες που παρέχουν ακριβείς εκτιµήσεις του κινδύνου, επειδή τα µέτρα VaR έχουν πολλές εφαρµογές, όπως στη διαχείριση κινδύνου, στην εκτίµηση αποδόσεων από τους διαχειριστές κινδύνου Η χρησιµοποίηση της παραπάνω αναλυτικής προσέγγισης για τον υπολογισµό της VaR είναι ιδιαίτερα απλή, αλλά θα πρέπει να τονιστεί ότι βασίζεται στην υπόθεση ότι οι αποδόσεις ακολουθούν την κανονική κατανοµή, υπόθεση η οποία δεν ανταποκρίνεται πάντα στην πραγµατικότητα. Για την αντιµετώπιση αυτού του περιορισµού έχουν προταθεί εναλλακτικοί τρόποι προσδιορισµού της VaR, από τους οποίους αναλύονται στις ενότητες που ακολουθούν. 30

31 Η µέθοδος της εκτιµηθείσας διακύµανσης συνδιακύµανσης Η µέθοδος της ιστορικής προσοµοίωσης Η µέθοδος της προσοµοίωσης Monte Carlo 3.3 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΕΚΤΙΜΗΘΕΙΣΑΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Ένας τρόπος για να υπολογιστεί η VAR, όπως αναφέραµε παραπάνω, είναι η µέθοδος διακύµανσης-συνδιακύµανσης. Το πρότυπο ιακύµανσης Συνδιακύµανσης διαδόθηκε από τον J.P.Morgan Chase στις αρχές της δεκαετίας του Η διακύµανση µετρά τη διασπορά ενός συνόλου στοιχείων γύρω από τη µέση τιµή του ή αλλιώς µετρά τη µεταβλητότητα των τιµών από ένα µέσο όρο. Η συνδιακύµανση είναι µια µέτρηση του βαθµού κατά τον οποίο δύο φέροντα κίνδυνο περιουσιακά στοιχεία κινούνται παράλληλα. Μια θετική συνδιακύνµανση σηµαίνει ότι οι αποδόσεις κινούνται προς την ιδια κατεύθυνση ενώ στην αρνητική συνδιακύµανση οι αποδόσεις κινούνται αντίθετα. Αυτή η µέθοδος υποθέτει µια κανονική κατανοµή η οποία απαιτεί τον υπολογισµό της αναµενόµενης επιστροφής και της σταθερής απόκλισης επιστροφών για κάθε κεφάλαιο. Η υπόθεση αυτή δεν ισχύει για τα χρηµατοοικονοµικά δεδοµένα λόγω του ότι συνήθως έχουν υψηλές κεντρικές τιµές και παχιές ουρές που οφείλονται κυρίως στις συχνότερες ακραίες αλλαγές σε σχέση µε την κανονική κατανοµή. Η µέθοδος ιακύµανσης Συνδιακύµανσης υποθέτει ότι οι αποδόσεις των παραγόντων κινδύνου είναι πάντοτε κανονικά κατανεµηµένες και ότι η αλλαγή στην αξία χαρτοφυλακίου εξαρτάται γραµµικά από όλες τις αποδόσεις του παράγοντα κινδύνου. Με τη µέθοδο της συνδιακύµανσης πρέπει αρχικά να προσδιορίσουµε την περίοδο διακράτησης (holding period). Συνήθως αφορά µία ηµέρα αν και υπάρχουν πολλοί λόγοι για να αλλάξει αυτό. Μερικοί, όπως περιγράφει ο Best, θεωρούν πως η διάρκεια της θα πρέπει να είναι: Ίση µε τη µέγιστη δυνατή περίοδο ρευστοποίησης του περιουσιακού στοιχείου. 31

32 Ίση µε τη µέγιστη δυνατή περίοδο ρευστοποίησης όλων των περιουσιακών στοιχείων του οργανισµού. Ίση µε την περίοδο που το χαρτοφυλάκιο παραµένει σταθερό. Η εκτίµηση ηµερήσιου VaR (επί παραδείγµατι 1 ώρας ) αποτελεί επίσης πρόκληση λόγω των φαινοµένων ηµερήσιας εποχικότητας (seasonal patterns) στον όγκο συναλλαγών, που απαιτείται να ληφθούν υπ όψιν για ένα ακριβές µέτρο. Με δεδοµένη περίοδο διακράτησης ακολουθεί η εύρεση της διακύµανσης ώστε να εξαχθεί η τυπική απόκλιση των αποδόσεων του περιουσιακού στοιχείου. Αυτό το επιτυγχάνουµε µε την εκτίµηση µοντέλου GARCH. Όταν βρεθεί η τυπική απόκλιση, δηλαδή η µεταβλητότητα των τιµών, πολλαπλασιάζεται µε την τιµή της τυπικής κατανοµής που αντιστοιχεί στο δεδοµένο διάστηµα εµπιστοσύνης συνήθως 99% και αυτό που προκύπτει µε την αξία της θέσης µας ώστε να βρούµε το Value at Risk : VAR = σ * Ζ α * αξία θέσης (3.1) Στις περιπτώσεις χαρτοφυλακίων περιουσιακών στοιχείων η διακύµανση αντικαθίσταται από µια µήτρα-πίνακας διακυµάνσεων. Έτσι η τιµή του VAR δεν εξαρτάται µόνο από τη µεταβολή στην τιµή και τη περίοδο διακράτησης αλλά και από τη συσχέτιση των περιουσιακών στοιχείων ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΤΗΣ ΕΚΤΙΜΗΘΕΙΣΑΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Βασικό πλεονέκτηµα της µεθόδου είναι η ταχύτητα και ευκολία υπολογισµού της. Εντούτοις, κατά τον Best, η υπόθεση κανονικής κατανοµής των αποδόσεων είναι πρακτικά κατάλληλη µόνο για µη µοχλευόµενα περιουσιακά στοιχεία (non leveraged assets), κάτι που θα πρέπει να ελεγχθεί για όλα τα στοιχεία του χαρτοφυλακίου. Για τα παράγωγα προϊόντα (options) και άλλα διαρθρωµένα (structured.) προϊόντα που έχουν την προαιρετική εξάσκησή τους (optionality) ενσωµατωµένη η µέθοδος της συνδιακύµανσης δεν είναι κατάλληλη, για αυτό προτείνονται µέθοδοι που την επεκτείνουν, ενώ πρακτικά χρησιµοποιούνται οι προσοµοιώσεις Monte Carlo και των ιστορικών τιµών. 32

33 3.4 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Η ιστορική προσοµοίωση είναι η απλούστερη και διαφανέστερη µέθοδος υπολογισµού της αξίας σε κίνδυνο. Πρόκειται για ένα µοντέλο που αναπαράγει πιστά την ιστορική πραγµατικότητα. Χρησιµοποιεί τις τιµές της αγοράς οι οποίες λαµβάνονται από βάσεις δεδοµένων συµβεβληµένων µεγάλων επενδυτικών εταιρειών. Η ιστορική προσοµοίωση περιλαµβάνει το τρέξιµο του τρέχοντος περιουσιακού-επενδυτικού στοιχειού κατά µήκος και πλάτος ενός συνόλου ιστορικών µεταβολών των τιµών των τίτλων, έτσι ώστε να παράγει µία κατανοµή των µεταβολών στην αξία του χαρτοφυλακίου και υπολογίζει ένα εκατοστηµόριο, το VaR. Τα αποτελέσµατα που παράγονται από αυτή τη µέθοδο δεν αντιπροσωπεύουν ένα πραγµατικό περιουσιακό στοιχειό, αλλά αναδηµιουργεί την ιστορία ενός υποθετικού στοιχείου χρησιµοποιώντας την τρέχουσα θέση. Η ιστορική µέθοδος αναδιοργανώνει απλά τις πραγµατικές ιστορικές αποδόσεις τοποθετώντας αυτές από τη χειρότερη προς τη καλύτερη. Έπειτα υποθέτει ότι η ιστορία θα επαναληφθεί κάτω από µία προοπτική κινδύνου. Εναλλακτικά µπορούµε να πούµε ότι, επιχειρείται η κατασκευή µιας κατανο- µής των αποδόσεων από µια σειρά µεταβολών αξιών, η οποία βασίζεται σε µια δεδοµένη χρονολογική σειρά ιστορικών αγοραίων τιµών των βασικών εργαλείων που συνθέτουν το περιουσιακό στοιχείο, όπως συναλλαγµατικές ισοτιµίες, επιτόκια, µετοχές και εµπορεύµατα κατά την αρχή και το τέλος ενός συγκεκριµένου χρονικού ορίζοντα. Από την κατανοµή των αποδόσεων του στοιχείου είναι δυνατό να υπολογιστεί η δυνητική ζηµιά του, µέσα σε ένα συγκεκριµένο διάστηµα εµπιστοσύνης, για µια δεδοµένη χρονική περίοδο ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ - (Weighted Historical Simulation) Σε σύγκριση µε την κανονική µέθοδο, η ιστορική προσοµοίωση (HS) έχει καλύτερα αποτελέσµατα χωρίς περιορισµούς αλλά χειρότερα υπό όρους αποτελέσµατα της δοκιµής κάλυψης. Με άλλα λόγια, το HS φαίνεται να είναι ένα καλό µοντέλο VAR σε γενικές γραµµές, εκτός από το γεγονός ότι οι εξαιρέσεις έχουν µια τάση που συγκεντρώνεται ιδιαίτερα. Αφ' ετέρου, τα κανονικά µοντέλα (όπως Risk 33

34 Metrics, GARCH) υπολογίζουν το VAR (παρουσιάζοντας περισσότερες εξαιρέσεις από τις αναµενόµενες), εντούτοις όµως οι εξαιρέσεις διανέµονται πιο οµοιόµορφα µε την πάροδο του χρόνου. Προσπαθώντας να συνδυάσουµε τα δυο παραπάνω µοντέλα, κανονικά και HS, θα χρησιµοποιήσουµε την µέθοδο της Σταθµισµένης Ιστορικής Προσοµοίωσης (Weighted Historical Simulation,WHS). Στο µοντέλο αυτό ένα από τα βασικά προβλήµατα είναι η επιλογή του κατάλληλου πληθυσµού m. Αν το m είναι πολύ µικρό, τότε δεν θα έχουµε πολλές παρατηρήσεις για να υπολογίσουµε µε ακρίβεια το VAR, και αν το m είναι τόσο µεγάλο, τότε το VAR δεν θα ανταποκρίνεται επαρκώς στις πιο πρόσφατες παρατηρήσεις οι οποίες µας δίνουν τις περισσότερες παρατηρήσεις για τις µελλοντικές κατανοµές ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Εκτός από την απλότητά της (στοιχείο που την καθιστά και εύκολα κατανοήσιµη), η ιστορική προσοµοίωση παρουσιάζει και µια σειρά άλλων σηµαντικών πλεονεκτηµάτων: εν πραγµατοποιείται καµία υπόθεση όσον αφορά την κατανοµή των αποδόσεων. εν απαιτεί τον υπολογισµό καµίας παραµέτρου. Έτσι, αποφεύγονται περίπλοκοι υπολογισµοί παραµέτρων όπως οι τυπικές αποκλίσεις, οι συσχετίσεις, κλπ. Είναι άµεσα εφαρµόσιµη σε κάθε χρεόγραφο ή χαρτοφυλάκιο διαφόρων χρεογράφων. Βοηθά στην καλύτερη κατανόηση των στατιστικών ιδιοτήτων που παρουσιάζουν τα κέρδη / ζηµίες και οι αποδόσεις µιας επενδυτικής θέσης (πχ. έλεγχος κανονικότητας). Ταυτόχρονα όµως µε τα παραπάνω πλεονεκτήµατα, η ιστορική προσοµοίωση για τον υπολογισµό της VaR παρουσιάζει και προβλήµατα, τα οποία αφορούν κυρίως τα 34

35 ιστορικά δεδοµένα που χρησιµοποιούνται στην ανάλυση, δεδοµένου ότι η ιστορική προσοµοίωση βασίζεται αποκλειστικά και µόνο στα ιστορικά δεδοµένα χωρίς ουσιαστικά κανέναν παραπέρα υπολογισµό. Τα ιστορικά δεδοµένα που χρησιµοποιούνται πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικά µιας ρεαλιστικής κατάστασης εξετάζοντας τόσο περιόδους όπου η αγορά ήταν σε κατάσταση «ηρεµίας» όσο και περιόδους µε σηµαντικές διακυµάνσεις. Ο υπολογισµός της VaR µπορεί να επηρεαστεί σηµαντικά εάν τα ιστορικά δεδοµένα που χρησιµοποιούνται ενσωµατώνουν ένα ιδιαίτερα αρνητικό γεγονός, όπως ένα αναπάντεχο σηµαντικό χρηµατιστηριακό κραχ, το οποίο δεν είναι ιδιαίτερα πιθανό να επαναληφθεί στο προσεχές µέλλον. Στην περίπτωση αυτή η VaR που προσδιορίζεται θα είναι ιδιαίτερα υψηλή και µάλιστα, θα παραµένει υψηλή όσο οι επιπτώσεις του σηµαντικού αυτού γεγονότος ενσωµατώνονται στα δεδοµένα, ενώ µε την αφαίρεσή τους απότοµα η VaR θα µειωθεί κατακόρυφα. Απαιτείται ο κατάλληλος προσδιορισµός του πλήθους των ιστορικών δεδοµένων που θα χρησιµοποιηθούν. Από τη µία πλευρά όσο αυξάνεται το πλήθος των δεδοµένων, είναι δυνατή η πραγµατοποίηση εκτιµήσεων υψηλότερης ακρίβειας. Ταυτόχρονα όµως όταν το πλήθος των δεδοµένων είναι µεγάλο υπάρχει ο κίνδυνος τα παλαιότερα στοιχεία να «κυριαρχήσουν» στον υπολογισµό της VaR, «εξουδετερώνοντας» ουσιαστικά τις πληροφορίες που παρέχουν οι πιο πρόσφατες παρατηρήσεις. Η χρησιµοποίηση της ιστορικής προσοµοίωσης για τον υπολογισµό της VaR σε χρονικές περιόδους µεγαλύτερες της µίας ηµέρα παρουσιάζει δυσκολίες όσον αφορά τον όγκο των ιστορικών δεδοµένων που απαιτούνται. Για παράδειγµα, εάν θεωρηθεί ως επαρκές πλήθος χρονικών περιόδων το N=100, τότε για τον υπολογισµό της µηνιαίας VaR απαιτούνται στοιχεία για 100 παρατηρήσεις, δηλαδή για δεδοµένα που σηµαίνει περισσότερα από 8 έτη. Είναι προφανές ότι δεν είναι πάντα εύκολη η συλλογή ενός τέτοιου εύρους ιστορικών δεδοµένων. Μια λύση στα προβλήµατα αυτά αποτελεί η 35

36 µέθοδος bootstrapping 8, µε την οποία επιλέγεται τυχαία ένα σύνολο τριάντα παρατηρήσεων από τις 100 τελευταίες και στη συνέχεια η διαδικασία επαναλαµβάνεται 100 φορές. Έτσι δηµιουργείται µια κατανοµή από 100 περιόδους από το πρόσφατο παρελθόν, κάθε µία εκ των οποίων αποτελείται από τριάντα ηµέρες. 3.5 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ MONTE CARLO - ( Monte Carlo Simulation) Μια εναλλακτική προσέγγιση προσοµοίωσης είναι η προσοµοίωση Monte Carlo (Monte Carlo simulation). Η βασική διαφορά µεταξύ της προσοµοίωσης Monte Carlo και των προηγούµενων δύο προσεγγίσεων (διακύµανσης-συνδιακύµανσης, ιστορική προσοµοίωση) έγκειται στο γεγονός ότι η προσοµοίωση Monte Carlo δεν βασίζεται στην εξέταση ιστορικών δεδοµένων αλλά αντίθετα, βάσει των προκαθοριζόµενων στατιστικών ιδιοτήτων της απόδοσης της επένδυσης 8 Με τον όρο bootstrapping (Efron και Tibshirani, 1993) εννοείται η πραγµατοποίηση µιας επαναληπτικής τυχαίας δειγµατοληψίας µε επανατοποθέτηση (resampling with replacement), η οποία έχει αποδειχθεί µια ιδιαίτερα αποτελεσµατική διαδικασία για την πραγµατοποίηση στατιστικών εκτιµήσεων από προκαθορισµένα σύνολα δεδοµένων µε υψηλή ακρίβεια. Το bootstrap είναι µια υπολογιστική διαδικασία η οποία αντιµετωπίζει το πρόβληµα αυτό µε µεγάλη επιτυχία ως εξής. Έστω ότι το πλήθος των δεδοµένων στο αρχικό δείγµα είναι N (N παρατηρήσεις x1, x2,..., x N ). Από το αρχικό αυτό δείγµα κατασκευάζονται B τυχαία δείγµατα τα οποία συνήθως έχουν το ίδιο µέγεθος µε το αρχικό δείγµα (ειδικοί αλγόριθµοι που ονοµάζονται γεννήτριες τυχαίων αριθµών random number generators - βοηθούν στην τυχαία επιλογή). Αυτά τα B τυχαία δείγµατα ονοµάζονται δείγµατα bootstrap. Καθώς κάθε δείγµα bootstrap έχει το ίδιο µέγεθος µε το αρχικό δείγµα, αλλά έχει κατασκευαστεί κατά τυχαίο τρόπο, είναι προφανές ότι πιθανότατα έχει επαναλήψεις, δηλαδή κάποιες από τις παρατηρήσεις x1, x2,..., x N του αρχικού δείγµατος περιλαµβάνονται περισσότερες από µία φορές σε ένα δείγµα bootstrap (αποδεικνύεται ότι, κατά µέσο όρο, ένα δείγµα bootstrap περιλαµβάνει περίπου το 63% των παρατηρήσεων του αρχικού δείγµατος). ηλαδή, είναι πιθανό να υπάρχει επανατοποθέτηση µιας παρατήρησης περισσότερες από µία φορές σε ένα δείγµα bootstrap. 36

37 προσοµοιώνει κατά τυχαίο τρόπο τα πιθανά µελλοντικά αποτελέσµατα της επένδυσης µέσω ενός µεγάλου αριθµού σεναρίων. Η µέθοδος Μόντε Κάρλο είναι ένα σύνολο υπολογιστικών αλγορίθµων. Η µέθοδος στηρίζεται στην επαναλαµβανόµενη τυχαία δειγµατοληψία για να υπολογίσει τα αποτελέσµατα της. Το πρώτο βασικό σηµείο στη χρησιµοποίηση της προσοµοίωσης Monte Carlo είναι ο καθορισµός του κατάλληλου µοντέλου που περιγράφει τη µεταβολή στην αξία του εξεταζόµενου χρεογράφου. Η επιλογή του κατάλληλου µοντέλου είναι ιδιαίτερα βασική µια και η µορφή του µοντέλου είναι εκείνη που θα καθορίσει τον τρόπο µε τον οποίο θα πραγµατοποιηθεί η προσοµοίωση. Ανάλογα µε τη µορφή του χρεογράφου η του κατάλληλου περιουσιακού στοιχείου που εξετάζεται θα πρέπει να επιλεχθεί διαφορετικό µοντέλο. Η µέθοδος MC χρησιµοποιεί τις αλλαγές που παρατηρούνται στους παράγοντες αγοράς κατά τη διάρκεια των τελευταίων n περιόδων για να δηµιουργήσει το Ν υποθετικό έλεγχο µε την προσοµοίωση της συµπεριφοράς των παραγόντων κινδύνου κατά την παραγωγή τυχαίων τιµών. Η προσοµοίωση παρέχει Ν πιθανές τιµές σε µια δεδοµένη µελλοντική ηµεροµηνία. Η αξία VAR µπορεί να καθοριστεί από τη διανοµή των τιµών αυτών. Ο αριθµός των σεναρίων που αναπτύσσονται στο παραπάνω στάδιο θα πρέπει να είναι αρκετά µεγάλος ώστε να περιοριστεί το στατιστικό σφάλµα στην εκτίµηση της VaR. Ένας γενικά αποδεκτός κανόνας είναι ότι περίπου επαρκούν για την πραγµατοποίηση ασφαλών εκτιµήσεων. Θα πρέπει βέβαια να σηµειωθεί ότι στην περίπτωση όπου εξετάζονται χαρτοφυλάκια χρεογράφων, το πλήθος των σεναρίων αυξάνει δραµατικά. Για παράδειγµα, εάν υποτεθεί ότι η περίπτωση ενός χαρτοφυλακίου 10 χρεογράφων, και θεωρώντας ότι για το κάθε χρεόγραφο εξετάζονται σενάρια, τότε για την εκτίµηση της VaR του χαρτοφυλακίου απαιτείται η εξέταση συνολικά σεναρίων ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ MONTE CARLO Το βασικό πλεονέκτηµα της προσοµοίωση Monte Carlo έγκειται στην υψηλή ακρίβεια που προσφέρει κατά τον υπολογισµό της VaR ανεξαρτήτως της πολυπλοκότητας και των ιδιαιτεροτήτων του χρεογράφου ή του χαρτοφυλακίου που εξετάζεται. Στον αντίποδα, τα βασικά της µειονεκτήµατα αφορούν τον υψηλό 37

38 υπολογιστικό φόρτο (και κατ επέκταση χρόνο) που απαιτεί η υλοποίησή της, καθώς και την ανάγκη επιλογής της κατάλληλης προσέγγισης για τη µοντελοποίηση των µεταβολών στην αξία των χρεογράφων. 3.6 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΩΝ Σύµφωνα µε ό, τι αναφέρουν οι Thomas J. Linsmeier και Neil D.Pearson, σε ένα άρθρο τους, η επιλογή για µια επιχείρηση ή ένα χρηµατοπιστωτικό ίδρυµα, της κατάλληλης προσέγγισης υπολογισµού της αξίας σε κίνδυνο για ένα χαρτοφυλάκιο, εξαρτάται από τον εκάστοτε manager, ο οποίος και λαµβάνει την απόφαση, ανάλογα µε ποιά ή ποιές από τις παρακάτω διαστάσεις των τριών προσεγγίσεων θεωρεί περισσότερο σηµαντικές. Έτσι λοιπόν µπορούµε να εξάγουµε τα παρακάτω συµπεράσµατα. Σε αντίθεση µε την µέθοδο διακύµανσης-συνδιακύµανσης και την προσοµοίωση Μ.C, η ιστορική προσοµοίωση µπορεί να γίνει πιο εύκολα κατανοητή στους ανώτερους managers. Όσον αφορά την ευκολία στην εφαρµογή, η ιστορική προσοµοίωση µπορεί να εφαρµοσθεί σε χαρτοφυλάκια για τα χρεόγραφα των οποίων, υπάρχουν ιστορικά δεδοµένα των τιµών των παραγόντων κινδύνου. Για την µέθοδο διακύµανσηςσυνδιακύµανσης, υπάρχει µια πληθώρα λογισµικών πακέτων που είναι κατάλληλα για τον υπολογισµό της VaR. Εποµένως και η Αναλυτική προσέγγιση µπορεί εύκολα να εφαρµοσθεί, για τα χαρτοφυλάκια εκείνα µόνο, των οποίων τα χρεόγραφα «καλύπτονται» από τα διαθέσιµα συστήµατα. Υπάρχει, τέλος, λογισµικό και για την προσοµοίωση Μ.C µε τη µόνη διαφορά ότι οι χρόνοι που απαιτούνται µε αυτό το λογισµικό είναι µεγαλύτεροι και µάλιστα γίνονται περισσότερο µεγαλύτεροι, εάν τα χαρτοφυλάκια στα οποία εφαρµόζεται το συγκεκριµένο λογισµικό, περιλαµβάνουν αρκετές και πολύπλοκες θέσεις. Ένα ακόµη αρνητικό στοιχείο για την προσοµοίωση Μ.C., είναι το γεγονός ότι ο χρήστης υποχρεούται να επιλέξει την κατανοµή από την οποία θα προκύψουν οι ψευδοµεταβλητές, καθώς και τις παραµέτρους αυτής. Το θετικό ωστόσο, είναι ότι δε θεωρείται απαραίτητη η ανάλυση των χρεογράφων σε τυποποιηµένες θέσεις, όπως συµβαίνει στην Αναλυτική προσέγγιση. Μια τελευταία σηµαντική διάσταση είναι η αξιοπιστία των αποτελεσµάτων. Είναι γεγονός ότι όλες οι µέθοδοι βασίζονται σε ιστορικά δεδοµένα. Ωστόσο η µέθοδος 38

39 η οποία στηρίζεται περισσότερο από κάθε άλλη τόσο άµεσα στα ιστορικά δεδοµένα είναι η ιστορική προσοµοίωση. Υπάρχει έτσι ο κίνδυνος της υποεκτίµησης ή υπερεκτίµησης του κινδύνου αγοράς για ένα χαρτοφυλάκιο, εάν οι µεταβολές των τιµών των παραγόντων που το επηρεάζουν, είναι κατά τη διάρκεια της περιόδου που εξετάζεται ιδιαίτερα χαµηλές ή υψηλές αντιστοίχως, από ότι είναι συνήθως. Εποµένως, είναι αρκετά πιθανόν, το αποτέλεσµα της VaR σύµφωνα µε την ιστορική προσοµοίωση να είναι παραπλανητικό, εφόσον οι µεταβολές των τιµών των παραγόντων κινδύνου δεν είναι τυπικές, αλλά ακραίες, είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω, για τη χρονική περίοδο που αφορά το δείγµα. Παραπλανητικό αποτέλεσµα για την VaR µπορεί να δώσει και η προσοµοίωση, εκτός και αν χρησιµοποιηθούν εναλλακτικές συσχετίσεις και τυπικές αποκλίσεις. 3.7 ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ VaR Η προσέγγιση VaR χρησιµοποιείται ευρύτατα τα τελευταία χρόνια από εµπορικές τράπεζες, επενδυτικές τράπεζες, ασφαλιστικές εταιρείες και µη-χρηµατοοικονοµικές επιχειρήσεις, οι οποίες έχουν στην κατοχή τους χαρτοφυλάκια περιουσιακών στοιχείων που περιλαµβάνουν µετοχές, οµόλογα, νοµίσµατα και παράγωγα προϊόντα. Η µεθοδολογία VaR προσφέρει σε κάθε ένα από τα παραπάνω ιδρύµατα µια ένδειξη σχετικά µε τις µέγιστες ζηµιές που αναµένει να λάβουν χώρα στο χαρτοφυλάκιο τους για µια συγκεκριµένη χρονική περίοδο, βοηθώντας τα να κρίνουν τον τρόπο µε τον οποίο θα ανακατανείµουν τα ποσοστά συµµετοχής των περιουσιακών στοιχείων στα χαρτοφυλάκια τους, µε σκοπό την επίτευξη ενός επιθυµητού επιπέδου κινδύνου. Μερικά από τα πλεονεκτήµατα που προσφέρει η µεθοδολογία VaR είναι τα ακόλουθα: 1. ιαχείριση πληροφόρησης. Οι πληροφορίες που παρέχει η συγκεκριµένη προσέγγιση χαρακτηρίζονται από απλότητα και σαφήνεια και µπορούν να χρησιµοποιηθούν από τις ρυθµιστικές αρχές, τους µάνατζερ εταιρειών και ιδρυµάτων, καθώς και από εσωτερικούς και εξωτερικούς ελεγκτές. 2. Καθορισµός ορίων διαπραγµάτευσης. Οι τράπεζες µπορούν να καθορίσουν όρια στους διαπραγµατευτές συναλλάγµατος και χρεογράφων σε όρους του 39

40 VaR, επιπρόσθετα στο σύστηµα οριοθέτησης των θέσεων (Position Limit System) που ισχύει παραδοσιακά. Επιπλέον, µε τη χρήση του VaR είναι δυνατή η σύγκριση θέσεων σε διαφορετικές αγορές ή διαφορετικά προϊόντα σε καθηµερινή, µηνιαία και ετήσια βάση. 3. Κατανοµή πόρων. Με βάση την πληροφόρηση που παρέχει η συγκεκριµένη προσέγγιση, οι επενδυτές και οι διαχειριστές κινδύνων είναι σε θέση να λάβουν καλύτερες αποφάσεις σχετικά µε τη στρατηγική επένδυσης ή διαχείρισης που ακολουθούν, επιτυγχάνοντας τη βέλτιστη απόδοση για τα χαρτοφυλάκια τους. 4. Εναρµόνιση. Εναρµόνιση µε τις αποφάσεις των ρυθµιστικών αρχών. Τα χρηµατοπιστωτικά ιδρύµατα και οι επιχειρήσεις θα πρέπει να εναρµονίσουν τις πρακτικές τους µε τις απαιτήσεις κεφαλαιακής επάρκειας και τη δηµοσιοποίηση των κινδύνων που λαµβάνουν, όπως ορίζουν οι διάφορες ρυθ- µιστικές αρχές. Η µεθοδολογία VaR, µε την ανάλυση και ποσοτική πληροφόρηση που παρέχει σχετικά µε τους κινδύνους αγοράς των χρηµατοοικονοµικών εργαλείων, αποτελεί βοήθηµα προς αυτή την κατεύθυνση. Συµπερασµατικά µπορούµε να πούµε ότι από τα µεγαλύτερα πλεονεκτήµατα της µεθόδου VaR, είναι ότι µπορεί να παρουσιάσει την έκθεση σε διαφορετικούς κινδύνους της αγοράς (επιτοκίων, συναλλαγµατικών ισοτιµιών κλπ) σε όρους µιας κοινής βάσης για όλους. Οι ζηµίες έχουν και σχετίζονται µε µια συγκεκριµένη πιθανότητα. Έτσι, κίνδυνοι διαφορετικών περιουσιακών στοιχείων και αγορών µπορούν να συγκριθούν άµεσα και να προστεθούν. Επίσης, µπορεί να προσδιοριστεί η προσαρµοσµένη στον κίνδυνο απόδοση του χαρτοφυλακίου, διαιρώντας τα πραγµατοποιούµενα κέρδη - ζηµίες του χαρτοφυλακίου ή των περιουσιακών στοιχείων, µε την αξία σε κίνδυνο που υπολογίστηκε, καθώς και η αποτελεσµατικότητα του µοντέλου υπολογισµού της VaR που χρησιµοποιείται κάθε φορά, συγκρίνοντας την Αξία σε Κίνδυνο µε τα πραγµατοποιούµενα κέρδη-ζηµίες. Τέτοιου είδους υπολογισµοί παρέχουν στην τράπεζα ή στους διάφορους οικονοµικούς οργανισµούς και επιχειρήσεις τη δυνατότητα ανάπτυξης µοντέλων προσδιορισµού των απαιτούµενων κεφαλαίων έναντι του κινδύνου της αγοράς. Ωστόσο η µεθοδολογία VaR χαρακτηρίζεται και από κάποια µειονεκτήµατα ή αδυναµίες και η ακατάλληλη χρήση του µπορεί να οδηγήσει ένα πιστωτικό ίδρυµα σε 40

41 αναποτελεσµατικές αποφάσεις διαχείρισης κινδύνου. Αυτό µπορεί να συµβεί είτε γιατί το VaR έχει υπολογιστεί κατά τρόπο λανθασµένο είτε γιατί, ενώ έχει υπολογιστεί σωστά, δεν σχετίζεται µε τους πραγµατικούς στόχους του πιστωτικού ιδρύµατος για τη διαχείριση κινδύνου. Ορισµένες από τις αδυναµίες του VaR είναι οι ακόλουθες: 1. Μια πρώτη µέθοδος που χρησιµοποιείται είναι αυτή της σταθερής µεταβλητότητας (constant volatility method). Ωστόσο το πρόβληµα µε τη µέθοδο αυτή είναι ότι οι εµπειρικές έρευνες έχουν δείξει µια αστάθεια της διακύµανσης από ηµέρα σε ηµέρα και µια µεταβολή της κατά τη διάρκεια του χρόνου. Η µεταβολή της διακύµανσης από ηµέρα σε ηµέρα (time-varying volatility) σηµαίνει ότι και οι αποδόσεις των περιουσιακών στοιχείων σε ένα χαρτοφυλάκιο επίσης µεταβάλλονται. Η λύση στο πρόβληµα αυτό δόθηκε από την έρευνα του οικονοµολόγου Tim Bollerslev (1986, 1990), ο οποίος γενίκευσε την έρευνα του συναδέλφου του Robert Engle (1982). Η τεχνική της µεταβαλλόµενης στο χρόνο διακύµανσης του Bollerslev, η οποία ονοµάστηκε µέθοδος GARCH, επιτρέπει την εκτίµηση της διακύµανσης των σηµερινών αποδόσεων, χρησιµοποιώντας την εκτίµηση της διακύµανσης της προηγούµενης ηµέρας και το τετράγωνο της αξίας των προηγούµενων αποδόσεων. 2. Υπάρχει περίπτωση η µεθοδολογία VaR να προσφέρει υποεκτιµηµένα αποτελέσµατα, εάν οι αποδόσεις ενός περιουσιακού στοιχείου ή ενός χαρτοφυλακίου ξαφνικά µεταβληθούν κατά µη προβλέψιµο τρόπο, λόγω αλλαγής της οικονοµίας µιας χώρας. 3. Η µεθοδολογία VaR υπολογίζει τη µέγιστη ζηµιά που µπορεί να αναµένει ένας οργανισµός µια δεδοµένη χρονική περίοδο, κατά τη διάρκεια ενός συγκεκριµένου χρονικού ορίζοντα. Οι ζηµιές υπολογίζονται υποθέτοντας ότι τα περιουσιακά στοιχεία µπορούν να πωληθούν στις τρέχουσες αγοραίες τιµές. Ωστόσο, αν η επιχείρηση έχει στην κατοχή της σε µεγάλο βαθµό µη ρευστοποιήσιµα στοιχεία-που σηµαίνει ότι δεν µπορούν αυτά να µεταπωληθούν γρήγορα τότε η µεθοδολογία VaR µπορεί να υποεκτιµά τις πραγµατικές ζηµιές, αφού τα στοιχεία ίσως χρειάζεται να πωληθούν µε έκπτωση. 4. Ένα πρόβληµα για το VaR είναι ότι οι µέθοδοι που χρησιµοποιούνται για την αξιολόγηση των περιουσιακών στοιχείων σε ένα χαρτοφυλάκιο ίσως δεν 41

42 µεταχειρίζονται µε κατάλληλο τρόπο τον πιστωτικό κίνδυνο. Για µερικές περιπτώσεις, ο πιστωτικός κίνδυνος ίσως είναι µικρός, έτσι ώστε να µπορεί να αγνοηθεί, ωστόσο γενικεύοντας οι χρήστες χρειάζεται να συµπεριλαµβάνουν την ανάλυση του πιστωτικού κινδύνου στις µεθοδολογίες υπολογισµού του VaR. Συµπερασµατικά µπορούµε να πούµε ένα ότι από τα µεγαλύτερα µειονεκτήµατα της µεθοδολογίας VaR είναι ότι εξαρτάται αποκλειστικά και µόνον από τα ιστορικά δεδοµένα. Έτσι στην περίπτωση που τα στοιχεία του παρελθόντος για τα περιουσιακά µας στοιχεία δεν είναι ευοίωνα για µελλοντική χρήση τότε η µεθοδολογία VaR. Κάθε φόρα που θα χρησιµοποιείται πιθανόν να υποεκτιµά ή να υπερεκτιµά τον κίνδυνο αγοράς του περιουσιακού στοιχείου για το οποίο ενδιαφερόµαστε. Επίσης, οι διάφοροι µέθοδοι υπολογισµού της VaR δε δίνουν κανένα στοιχείο σχετικά µε το πόση µπορεί να είναι η ζηµία του περιουσιακού στοιχείου που εξετάζεται, εάν οι τιµές µεταβάλλονται πέρα από το σηµείο (VaR) που προκύπτει χρησιµοποιώντας το επιλεγµένο επίπεδο εµπιστοσύνης. Κατάλληλα για τέτοιου είδους ακραία σενάρια είναι τα stress tests, για τα οποία θα γίνει λόγος παρακάτω. 3.8 ΣΥΝΕΠΗ ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ Θεωρούµε ένα σύνολο V πραγµατικών τυχαίων µεταβλητών. Μια συνάρτηση ρ : V > R καλείται συνεπές µέτρο κινδύνου (coherent measure of risk) εάν είναι: 1. µονότονη (monotonous): X, Y V, Y => p( X) < p( Y). Αυτό σηµαίνει ότι η κατανοµή του Χ περιουσιακού στοιχείου είναι πάντα αριστερά του Υ, δηλαδή το ρίσκο για το Χ είναι µεγαλύτερο από το ρίσκο για το Υ άρα η εξασφάλιση για το Χ (p(χ)) θα είναι µεγαλύτερη. 2. υποπροσθετική (subadditive): X, Y, X + Y V => p( X + Y) < p( X) + p( Y). Αυτό σηµαίνει ότι αν έχω ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο αποτελείται από δυο περιουσιακά στοιχειά πχ από δυο µετοχές τότε το ποσό που θα µας ζητηθεί για εξασφάλιση αυτού του χαρτοφυλακίου θα πρέπει να είναι ίσο ή µικρότερο από το άθροισµα του ποσού εξασφαλίσεων για κάθε περιουσιακό στοιχείο χωριστά. 42

43 3. θετικά οµογενή (linearly homogenous): Για κάθε λ> 0και Χ V, p( λχ ) = λ* p( X). Αυτό σηµαίνει ότι αν για ένα περιουσιακό στοιχείο ζητηθεί ένα ποσό για εξασφάλιση τότε το µελλοντικό ποσό εξασφάλισης θα είναι λ φορές το αρχικό ποσό εξασφάλισης. 4. µεταφραστικά αµετάβλητη (translation invariant): Για κάθε λ Rκαι X V, p( X + λ) = p( X) + λ. Για παράδειγµα ένας επενδυτής έχει ένα χαρτοφυλάκιο το και του ζητείται για εξασφάλιση ένα συγκεκριµένο ποσό τότε ο επενδυτής αν βάλει ένα επιπλέον ποσό λ τότε για µελλοντική εξασφάλιση θα του ζητηθεί το ποσό που θα αποτελείται από το αρχικό µείον το λ. 3.9 CONDIOTIONAL VaR (CVaR) Ένα µέτρο κινδύνου το οποίο ικανοποιεί και τις τέσσερις παραπάνω προαναφερθείσες υποθέσεις, οπότε αποτελεί και συνεπές µέτρο κινδύνου είναι η µεθοδολογία CVaR (Conditional Value at Risk). To CVaR ορίζεται από τον Consigli ως η αναµενόµενη απόδοση πέραν από την αξία σε κίνδυνο (VaR) µε δεδοµένο διάστηµα εµπιστοσύνης. Μαθηµατικά ορίζεται ως : CVaR a (X) = E[- X X>VaR a (X)] (.,2) Ένα από τα σηµαντικότερα ερωτήµατα που θα µπορούσαν να µας απασχολήσουν είναι να µπορέσουµε να αξιολογήσουµε τι σηµαίνει το υπό όρους VaR. Ο όρος CVaR συχνά χρησιµοποιείται για να µειώσει την πιθανότητα επιβάρυνσης µεγάλων απωλειών ενός χαρτοφυλακίου ή ενός περιουσιακού στοιχείου. Αυτό γίνεται µε την αξιολόγηση της πιθανότητας (σε ένα συγκεκριµένο επίπεδο εµπιστοσύνης), ότι µια συγκεκριµένη ζηµιά θα πρέπει να υπερβαίνει την αξία σε κίνδυνο. Μαθηµατικά ο όρος CVaR προκύπτει από το σταθµισµένο µέσο όρο µεταξύ της άξιας σε κίνδυνο και των απωλειών που υπερβαίνουν την αξία σε κίνδυνο. Συγκεκριµένα η µέθοδος VaR έχει µια σηµαντική αδυναµία που είναι ότι δεν πληροί την υποπροσθετική ιδιότητα (subadditive), κάτι που την καθιστά ως µη συνεπές µέτρο κινδύνου. Μειονέκτηµα 43

44 της µεθοδολογίας CVaR είναι ότι χρειάζεται πολύ περισσότερα δεδοµένα για επανέλεγχο ή αλλιώς Backtesting ΕΠΑΝΕΛΕΓΧΟΣ BACKTESTING Η επαλήθευση των υποδειγµάτων κινδύνου είναι ένας δοµικός λίθος για την συστηµατική διαδικασία διαχείρισης κινδύνου. Ο επανέλεγχος ή backtestmg αφορά ένα στατιστικό πλαίσιο που συνίσταται στο να επαληθεύεται εάν οι πραγµατικές απώλειες συµφωνούν µε τις εκτιµώµενες. Συνοπτικά αυτό σηµαίνει σύγκριση της ιστορίας των προβλέψεων των µέτρων VaR µε τις αντίστοιχες αποδόσεις του χαρτοφυλακίου. Αυτή η διαδικασία συχνά αποτελεί τους ελέγχους πραγµατικότητας (reality checks) ώστε οι διαχειριστές κινδύνου να γνωρίζουν εάν οι υποθέσεις ή οι παράµετροι των µοντέλων τους είναι λανθασµένες. Κατά την εφαρµογή των τεχνικών backtesting στις αγορές κεφαλαίων, oπου η µεθοδολογία backtesting είναι µια ειδικού τύπου µεθοδολογία των ιστορικών δοκιµών που καθορίζει τις επιδόσεις της στρατηγικής της και ασχολείται µε τη διάρκεια των προηγούµενων περιόδων και των όρων της αγοράς. εδοµένου ότι η µεθοδολογία backtesting χρησιµοποιεί πραγµατικά δεδοµένα, έχει πλεονεκτήµατα σε σχέση µε τις δοκιµές µε συνθετικά σύνολα δεδοµένων. Ενώ µε τη µεθοδολογία backtesting δεν επιτρέπει να προβλέψουµε πώς µια στρατηγική θα εκτελεί υπό µελλοντικούς όρους, κύριο όφελος της έγκειται στην κατανόηση των αδύναµων σηµείων της κάθε στρατηγικής, δεδοµένου ότι αντιµετώπισε συνθήκες πραγµατικών δεδοµένων του παρελθόντος. Αυτό επιτρέπει στον σχεδιαστή µιας στρατηγικής να µάθει από τα λάθη του χωρίς πραγµατικά να χρειάζεται να τα κάνει µε πραγµατικά χρήµατα. Ένα βασικό στοιχείο επανελέγχου που τον διαφοροποιεί από άλλες µορφές της ιστορικών δοκιµών είναι αυτή που το backtesting υπολογίζει κατά πόσο µια στρατηγική που θα είχε πραγµατοποιηθεί είναι σωστή αν είχε όντως εφαρµοστεί στο παρελθόν. Αυτό απαιτεί να αναπαραγάγει τις συνθήκες της αγοράς τη δεδοµένη χρονική στιγµή, ώστε να πάρουµε ένα ακριβές αποτέλεσµα. Παραδείγµατα αυτών των συνθηκών της αγοράς συµπεριλαµβάνοντας διαλογή αγοράς / πώλησης των αποθεµάτων που δεν υπάρχουν πια, ή µε τη χρήση σύνθεσης δείκτη της αγοράς, όπως ήταν κατά το παρελθόν. Λόγω του κόστους της έκδοσης αυτών των συνόλων των 44

45 ιστορικών δεδοµένων, το backtesting εκτελείται από ιδρύµατα και επαγγελµατίες διαχειριστές χρήµατος. Με την έλευση του ηλεκτρονικού εµπορίου και των πιο προσιτών σε απευθείας σύνδεση βάσεων δεδοµένων, έχει γίνει µια επιλογή και για τους καθηµερινούς εµπόρους επίσης ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΡΥΘΜΟΥ ΑΠΟΤΥΧΙΑΣ Η απλούστερη µέθοδος επαλήθευσης της ακρίβειας του µοντέλου είναι να καταγραφεί ο ρυθµός αποτυχίας (failure rate), που αποτελεί το ποσοστό των φορών που το VaR έχει παραβιαστεί από τις παρατηρήσεις των αποδόσεων, δηλαδή έχει υποεκτιµήσει τον κίνδυνο µε αποτέλεσµα οι πραγµατικές αποδόσεις να είναι χαµηλότερες από τις εκτιµηµένες. Ασυµπτωτικά, αυτό το ποσοστό θα έπρεπε να ισούται µε το συντελεστή εµπιστοσύνης α που έχει επιλεγεί για τον υπολογισµό του µέτρου VaR. Ακόµη, αυτός ο έλεγχος δεν στηρίζεται σε υποθέσεις για τον τύπο της κατανοµής των αποδόσεων. Αυτή η προσέγγιση για backtesting είναι εποµένως πλήρως µη παραµετρική. Ο έλεγχος αποτελεί το κλασσικό πλαίσιο για µια σειρά επιτυχιών ή αποτυχιών, που επίσης ονοµάζονται δοκιµές Bernoulli (Bernoulli trials). Ο αριθµός των υπερβάσεων χ κατανέµεται βάσει της διωνυµικής κατανοµής πιθανότητας: T x T x f( x) = ( ) p (1- p) - (3.3) x όπου Τ ο αριθµός των συνολικών ηµερών, ρ ο συντελεστής εµπιστοσύνης που επιλέξαµε για το µέτρο κινδύνου, Ν ο αριθµός υπερβάσεων και Ν/Τ ο ρυθµός αποτυχίας (failure rate). Επίσης είναι Ε( Χ ) = ρτ και Var( X) = ρ(1 ρ) Τ. Όταν Τ είναι υψηλό, βάσει του Κεντρικού Οριακού Θεωρήµατος, µπορούµε να προσεγγίσουµε τη διωνυµική κατανοµή µε την κανονική: z x - pt =» p(1 - pt ) N(0,1) (3.4) 45

46 3.12 ΕΛΕΓΧΟΣ KUPIEC Η διωνυµική κατανοµή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για το σχεδιασµό ενός ελέγχου επαλήθευσης. Γενικότερα στο σχεδιασµό ενός ελέγχου επαλήθευσης πρέπει να ισορροπηθούν τα σφάλµατα τύπου Ι και τύπου II, δηλαδή των πιθανοτήτων να απορριφθούν σωστά µοντέλα ή να γίνουν αποδεκτά τα λανθασµένα, αντίστοιχα. Ο έλεγχος θα γίνει µε το λόγο πιθανοφάνειας (log- likelihood ratio) που ανέπτυξε ο Kupiec και αφορά τον έλεγχο κάλυψης χωρίς όρους (Unconditional Coverage Testing): T - N N T - N N LR = - 2ln[(1 - p) p ] + 2ln{[1 - ( N / T )] ( N / T ) } (3.5) uc που ακολουθεί ασυµπτωτικά την κατανοµή χ 2 µε ένα βαθµό ελευθερίας µε µηδενική υπόθεση πως η p, που αντιστοιχεί στο συντελεστή εµπιστοσύνης που έχουµε επιλέξει για το µέτρο κινδύνου, είναι η πραγµατική πιθανότητα. H επιλογή του επίπεδου σηµαντικότητας για σφάλµατα τύπου Ι είναι συνήθως σε ακαδηµαϊκούς χώρους 1%, 5% ή 10%. Στη διαχείριση κινδύνου τα σφάλµατα τύπου II µπορεί να είναι πολύ ζηµιογόνα για αυτό προτείνει επίπεδο σηµαντικότητας 10%. Επειδή συχνά δεν υπάρχει µεγάλος αριθµός παρατηρήσεων για backtesting και σίγουρα δεν υπάρχουν αρκετές παρατηρήσεις παραβιάσεων (Ν), προτείνεται να εξαχθούν οι P-values µε προσοµοίωση Monte-Carlo, παρά από την κατανοµή χ 2. Οι προσοµοιωµένες P-values µπορούν να υπολογιστούν δηµιουργώντας αρχικά 999 δείγµατα τυχαίων i.i.d Bernoulli(p) µεταβλητών, όπου το µέγεθος δείγµατος ισούται µε το πραγµατικό µέγεθος δείγµατος που υπόκειται σε έλεγχο. εδοµένων αυτών των τεχνητών δειγµάτων, µπορούµε να υπολογίσουµε 999 προσοµοιωµένες στατιστικές ελέγχου, έστω { LR ( i )} =. Η προσοµοιωµένη P-value υπολογίζεται κατόπιν uc 999 i 1 ως το ποσοστό των προσοµοιωµένων τιµών LR UC, που είναι υψηλότερες από την τιµή LR UC που έχει ήδη αποκτηθεί από την (3.5). 46

47 3.13 ΈΛΕΓΧΟΣ ΠΙΕΣΗΣ SRESS TESTING Ο έλεγχος πίεσης (stress testing) αποτελείται από την εφαρµογή προκαθορισµένων τιµών στα περιουσιακά στοιχεία που αποτελούν το χαρτοφυλάκιο και εργασία στις αλλαγές της αξίας του χαρτοφυλακίου λόγω αυτών των τιµών. Γενικότερα για συγκεκριµένα παράγωγα προϊόντα δεν είναι δυνατόν να προσδιοριστεί η µέγιστη απώλεια, µιας και αν πωληθεί ένα παράγωγο προϊόν ο πωλητής είναι υπεύθυνος για κάθε ύψος απώλειας. Έτσι δεν είναι δυνατόν πάντοτε για ένα χαρτοφυλάκιο να προσδιοριστεί η µέγιστη απώλεια. Ωστόσο πρέπει να είµαστε ικανοί να προσδιορίζουµε τη µέγιστη απώλεια του χαρτοφυλακίου στις ακραίες συνθήκες της αγοράς. Για αυτό και χρησιµοποιούµε ακραίες αλλαγές τιµών στο χαρτοφυλάκιο µε αναφορά (αλλά όχι περιορισµό) στις ακραίες τιµές του παρελθόντος. υστυχώς αυτή η διαδικασία είναι προβληµατική επειδή η χρήση τιµών του παρελθόντος δεν συµβαδίζει πάντα µε τις συνθήκες της αγοράς που πιθανώς έχουν αλλάξει. Εποµένως, η ανάλυση παλαιών αλλαγών στις τιµές έχει περιορισµένη εγκυρότητα στην αγορά του σήµερα. Στην πραγµατικότητα οι διαχειριστές κινδύνου πρέπει να χρησιµοποιήσουν έναν συνδυασµό ιστορικής πιθανότητας και της δικής τους υποκειµενικής κρίσης για την πιθανότητα ενός τέτοιου γεγονότος στην αγορά του σήµερα. Η κύρια εργασία του stress testing είναι να ταχτοποιεί τα σενάρια που θα µπορούσαν να προκαλέσουν σηµαντικές απώλειες σε έναν χρηµατοοικονοµικό οργανισµό έτσι ώστε ένας διαχειριστής κινδύνου να ενηµερώσει τα στελέχη του οργανισµού του για τους κινδύνους και να αποφασίσουν µε πιο στέρεα κριτήρια για το εάν είναι πρόθυµοι να τους αποδεχθούν. 47

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ Η διαδικασία των προβλέψεων, µε στατιστικές µεθόδους, παράγει και αξιολογεί µαθηµατικά υποδείγµατα, µε τη βοήθεια των οποίων είµαστε σε θέση να ελαχιστοποιήσουµε τον κίνδυνο από την τυχαιότητα που υπάρχει στα δεδοµένα και κατόπιν να προβάλουµε το υπόδειγµα αυτό στο µέλλον. Η δηµιουργία προβλέψεων, σε διάφορους επιχειρηµατικούς κυρίους τοµείς, προήλθε κυρίως από την ολοένα αυξανοµένη ανάγκη για λήψη αποφάσεων µε το µικρότερο δυνατό ρίσκο. Η δηµιουργία προβλέψεων βρίσκει εφαρµογή σε ένα ποικίλο φάσµα µεθόδων πρόβλεψης που στη σύγχρονη επιχειρηµατική δράση αποτελούν βασικό συστατικό για την διαµόρφωση επιλογών και αποφάσεων µιας επιχείρησης, εταιρίας, οικονοµικού οµίλου, περιουσιακού στοιχειού ή ενός κρατικού οργανισµού, (κρατικού ή µη). Οι κυριότερες µέθοδοι προβλέψεων διακρίνονται σε ποσοτικές και ποιοτικές. Ποιοτικές χαρακτηρίζονται οι προβλέψεις που δεν απαιτούν ανάλυση αριθµητικών δεδοµένων για να γίνει µια πρόβλεψη. Οι Ποιοτικές-Υποκειµενικές προβλέψεις γίνονται από έµπειρους επιστήµονες αναλυτές οι οποίοι χρησιµοποιούν κυρίως την προσωπική τους εµπειρία ή την κρίση τους και όχι τόσο πολύ µαθηµατικές ή στατιστικές µεθόδους. Ποσοτικές είναι εκείνες που δεν χρειάζονται την κριτική ικανότητα όσων κάνουν προβλέψεις αλλά αποτελούν υπολογιστικές διαδικασίες που παραγάγουν ποσοτικά αποτελέσµατα. Οι Ποσοτικές Αντικειµενικές στηρίζονται σε κάποιο µαθηµατικό ή στατιστικό υπόδειγµα και γενικότερα σε συγκεκριµένους κανόνες και σε ποσοτικά δεδοµένα. Για το λόγο αυτό µόλις προσδιοριστεί το υπόδειγµα ή ο κανόνας τότε η πρόβλεψη µιας µεταβλητής στηρίζεται σε αντικειµενικά κριτήρια και όχι στην 48

49 υποκειµενική κρίση των ερευνητών-ειδικών. Αυτά τα υποδείγµατα πρόβλεψης διακρίνονται σε δυο µεγάλες κατηγορίες στα αιτιατά (casual) και στα µη αιτιατά (non casual) ΑΙΤΙΑΤΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ Με τα υποδείγµατα αυτά κάνουµε προβλέψεις µιας µεταβλητής µε βάση τη σχέση που συνδέει τη µεταβλητή αυτή µε άλλες που συσχετίζονται µαζί της. Τέτοια υποδείγµατα είναι τα οικονοµετρικά υποδείγµατα που στηρίζονται κυρίως στην πολλαπλή παλινδρόµηση. Να σηµειώσουµε ότι µε την πολλαπλή παλινδρόµηση εννοούµε τη συµπεριφορά µιας µεταβλητής την οποία ονοµάζουµε εξαρτηµένη από την µεταβλητότητα άλλων µεταβλητών τις οποίες ονοµάζουµε ανεξάρτητες στο συγκεκριµένο υπόδειγµα ΜΗ ΑΙΤΙΑΤΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ Αυτά είναι υποδείγµατα χρονολογικών σειρών. Σε αντίθεση µε τα υποδείγµατα παλινδρόµησης η πρόβλεψη στηρίζεται αποκλειστικά και µόνο στις προηγούµενες τιµές της ίδιας της χρονολογικής σειράς που θέλουµε να προβλέψουµε. Υπάρχουν πολλές µέθοδοι για να προβλέψει κάνεις τις µελλοντικές τιµές µιας χρονολογικής σειράς χρηµατοοικονοµικών δεδοµένων µε βάση τις τιµές του παρελθόντος. Αυτές ξεκινούν από πολύ άπλες τεχνικές προβολής των τιµών των ιστορικών δεδοµένων στο µέλλον και µπορεί να γίνουν πολύπλοκες µε τη χρήση εξειδικευµένων µαθηµατικών και στατιστικών υποδειγµάτων. 4.2 ΕΝΝΟΙΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ Ένα από τα χρήσιµα εργαλεία πρόβλεψης αποτελούν οι χρονολογικές σειρές. Μια χρονολογική σειρά 9 (time-serie) είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων µιας µεταβλητής οι οποίες έχουν ληφθεί σε ίσα χρονικά διαστήµατα. Αν συµβολίσουµε τη µεταβλητή µε Y και δηλώσουµε µε τον υποδείκτη t τη χρονική περίοδο που ελήφθη (έτος, µήνας, 9 Σοφία ηµέλη Σύγχρονες µέθοδοι ανάλυσης χρονολογικών σειρών 49

50 ηµέρα, ώρα κ.ά.), τότε η ακολουθία των τιµών αυτών αποτελεί ένα δείγµα Ν παρατηρήσεων της χρονολογικής σειράς. Απαραίτητη προϋπόθεση για τη µελέτη των χρονολογικών σειρών είναι η ύπαρξη δεδοµένων (data). Υπάρχουν πολλά δεδοµένα χρονολογικών σειρών τόσο στα οικονοµικά και στις κοινωνικές επιστήµες, όσο και σε άλλους κλάδους της επιστήµης όπως στη φυσική, στη µηχανική, στην ιατρική, στη µετεωρολογία και πολλούς άλλους. Τα δεδοµένα µπορούν να προέλθουν από µετρήσεις που έγιναν σε τακτά χρονικά διαστήµατα και συγκεντρώνονται από στατιστικές και άλλες υπηρεσίες. Η χρονική διάταξη των τιµών µιας χρονολογικής σειράς είναι βασική και για αυτό απαιτούνται ειδικές µέθοδοι ανάλυσής τους. Βασικό χαρακτηριστικό κάθε χρονολογικής σειράς είναι η εξάρτηση µεταξύ των διαδοχικών τιµών της. Η φύση της αλληλεξάρτησης που υπάρχει µεταξύ των παρατηρήσεων µιας σειράς είναι το αντικείµενο µελέτης και ανάλυσης του κλάδου των χρονολογικών σειρών. Η διαδικασία κατασκευής υποδειγµάτων χρονολογικών σειρών αποτελεί µια προσπάθεια αναπαραγωγής της στοχαστικής διαδικασίας που πιθανόν να έχει δηµιουργήσει τις δεδοµένες παρατηρήσεις. Μια τέτοια προσπάθεια δεν είναι βεβαίως εύκολη όσο µεγάλο και αν είναι το δείγµα παρατηρήσεων της χρονολογικής σειράς που µελετάµε κάθε φορά. Οι διαδικασίες µπορεί να είναι τόσο πολύπλοκες ώστε να απαιτούνται σύνθετα µαθηµατικά υποδείγµατα που είναι δύσκολο να αναλυθούν. 4.3 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ Έστω ότι διαθέτουµε Ν παρατηρήσεις µιας χρονολογικής σειράς Y, δηλαδή Y 1,Y 2, Y N και από αυτές ζητούµε να προσδιορίσουµε την πρόβλεψη για h χρονικές περιόδους µετά το χρόνο Ν της πιο πρόσφατης τιµής της Y, έστω Y N+ h. Αυτή θα είναι µια συνάρτηση των προηγούµενων τιµών της σειράς που είναι διαθέσιµες, δηλαδή Y N+ h = f( Y1, Y2... Y N ) (4.1) 50

51 Η απλούστερη µέθοδος πρόβλεψης της τιµής Y για την επόµενη περίοδο είναι το λεγόµενο απλοϊκό υπόδειγµα : Y N+ = Y 1 N όπου προβλέπουµε ότι δεν θα υπάρξει καµιά µεταβολή και άρα η πρόβλεψη τιµής της Y ισούται µε την τελευταία διαθέσιµη (πιο πρόσφατη). Επειδή όµως οι µέθοδοι αυτοί στηρίζονται µόνο στις πιο πρόσφατες παρατηρήσεις, τα αποτελέσµατα τους είναι συνήθως ανακριβή. 4.4 ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΟΡΩΝ Πολύ συχνά εφαρµόζουµε τη γνωστή διαδικασία των κινητών µέσων όρων όπου η προβλεπόµενη τιµή της Υ κατά την αµέσως επόµενη χρονική περίοδο ισούται µε τον αριθµητικό µέσο όρο των Ν πρόσφατων τιµών της Υ, δηλαδή: Y N+ h = Y1 + Y2 + + (... Y )/ N N (4.2) Κάθε φορά που προστίθεται µια παρατήρηση στο δείγµα,παραλείπεται η πιο παλιά έτσι ώστε να έχουµε σταθερή περίοδο υπολογισµού του µέσου όρου, και για αυτό ονοµάζεται και κινητός. 4.5 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ Πρόκειται για ανάλυση στοχαστικών διαδικασιών (π.χ. χρονολογικές σειρές) οι οποίες είναι στάσιµες και χρησιµοποιώντας τα χαρακτηριστικά της σειράς (µέσο, διακύµανση και κυρίως την αυτοσυσχέτιση και µερική αυτοσυσχέτιση των παρατηρήσεων) προσπαθούµε να κατασκευάσουµε καταλληλα υποδείγµατα. Η ανάλυση των χρονολογικών σειρών αποσκοπεί στο να κατασκευαστεί ένα υπόδειγµα, το οποίο, σύµφωνα µε τη θεωρία πιθανοτήτων, έχει παρόµοιες ιδιότητες µε αυτές του µηχανισµού που παράγει τη σχετική στοχαστική διαδικασία. Ένας τρόπος περιγραφής της στοχαστικής διαδικασίας είναι να καθορίσουµε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ακολουθίας των παρατηρήσεων y 1,y 2,,y N. Έτσι αν είναι γνωστή η κατανοµή πιθανότητας, θα µπορούσαµε να 51

52 προσδιορίσουµε µε συγκεκριµένη πιθανότητα κάποια µελλοντική τιµή της χρονολογικής σειράς. Εντούτοις στην πράξη είναι αδύνατη η πλήρης εξειδίκευση της κατανοµής πιθανότητας, και για αυτό περιοριζόµαστε στην περιγραφή και ανάλυση των χαρακτηριστικών της σειράς προκειµένου να κατασκευάσουµε κατάλληλα AR, MA, ARMA υποδείγµατα. Τα υποδείγµατα αυτα παρουσιάζουµε στη συνέχεια. 4.6 ΑΥΤΟΠΑΛΙΝ ΡΟΜΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ AR Η γενική µορφή ενός αυτοπαλίνδροµου υποδείγµατος είναι η εξής: Y = δ + αυ + ay + + a Y + ε (4.3) t 1 t 1 2 t 2... p t p t οπου οι παράµετροι δ,α 1,, α p είναι σταθερές και ε t είναι τα τυχαία σφάλµατα τα οποία θεωρούνται λευκός θόρυβος δηλαδή ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές µε µέσο το µηδέν και σταθερή διακύµανση. Πρόκειται για ένα υπόδειγµα παλινδρόµησης, όπου η εξαρτηµένη µεταβλητή Υ t δεν παλινδροµεί σε ανεξάρτητες µεταβλητές,αλλά στις προηγούµενες τιµές της ίδιας της µεταβλητής Υ t. Για αυτό και ονοµάζεται αυτοπαλίνδροµο υπόδειγµα (Autoregressive model) τάξεως p και συµβολίζεται ως AR( p ) Στην ανάλυση των χρονολογικών σειρών χρησιµοποιείται συχνά ο τελεστής υστέρησης (lag operator) ο όποιος διευκολύνει τη παρουσίαση του υποδείγµατος στη γενική του µορφή και στην περιγραφή βασικών ιδιοτήτων/χαρακτηριστικών. Ο τελεστής αυτός συµβολίζεται µε το γράµµα L και µετατοπίζει χρονικά προς τα πίσω τη µεταβλητή, δηλαδή Lyt yt 1 = (4.4) Η γενική µορφή (4.3) µπορεί να εκφραστεί και µε βάση τον τελεστή υστέρησης L ως εξής: p (1 al... a L ) y = δ + ε (4.5) 1 p t t p Και Α ( L) = 1 al 1... apl είναι το πολυώνυµο µέσω του οποίου προκύπτουν τα συµπεράσµατα για ένα AR(p) υπόδειγµα. Για παράδειγµα προκειµένου να είναι στάσιµη η AR(p) στοχαστική διαδικασία, θα πρέπει οι ρίζες του πολυωνύµου A(L) να βρίσκονται στο µαναδιαίο κύκλο. 52

53 4.8 ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕΣΩΝ MA Μια δεύτερη κατηγορία στοχαστικών µοντέλων είναι τα υποδείγµατα Κινητών Μέσων γνωστά και ως MA υποδείγµατα (Moving Average). Η γενική µορφή ενός υποδείγµατος κινητών µέσων είναι η εξής: Y = µ + ε θε θ ε (4.6) t t t p t p οπου τα θ είναι σταθεροί παράµετροι και ε t είναι ο λευκός θόρυβος. Στο υπόδειγµα αυτό θεωρούµε ότι η χρονολογική σειρά Υ t δηµιουργείται ως ένας σταθµικός µέσος των τυχαίων σφαλµάτων των q προηγούµενων περιόδων και ονοµάζεται υπόδειγµα κινητών µέσων (moving average) τάξεως q συµβολιζόµενο ως ΜΑ(q). Να σηµειώσουµε ότι ο όρος κινητός µέσος δεν ανταποκρίνεται στην πραγµατικότητα, γιατί οι σταθµίσεις δεν έχουν άθροισµα την µονάδα. Συχνά χρειάζεται να εκφράσουµε µια ΜΑ διαδικασία σε αυτοπαλίνδροµη µορφή. Αυτό όµως δεν είναι πάντα εφικτό εκτός και αν πληρούνται οι αναγκαίες συνθήκες αντίστοιχες µε αυτές που απαιτήθηκαν στα AR υποδείγµατα προκειµένου να ικανοποιείται η υπόθεση της στασιµότητας. 4.9 ΜΙΚΤΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΥΤΟΠΑΛΙ ΡΟΜΑ ΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕΣΩΝ, ARMA Ο συνδυασµός των δυο προηγούµενων µοντέλων (AR & ΜΑ ) µας δίνουν υποδείγµατα της µορφής ARMA. Τα υποδείγµατα αυτά χρησιµοποιούνται στις περιπτώσεις που τα δεδοµένα µιας χρονολογικής σειράς έχουν συγκεκριµένα χαρακτηριστικά τα οποία προσδιορίζονται εξετάζοντας τις συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης και µερικής αυτοσυσχέτισης που δεν φαίνονται να µηδενίζονται µετά από κάποιο σηµείο αλλά φθίνουν και οι δυο µε αργό ρυθµό. Άρα σε αυτές τις περιπτώσεις έχουµε στοιχειά και από τη µορφή AR και από τη µορφή MA. Στις περιπτώσεις αυτές κατασκευάζουµε υποδείγµατα που περιέχουν και τα δυο παραπάνω µέρη οπότε προκύπτουν τα µεικτά υποδείγµατα ARMA. Η γενική µορφή ενός ARMA (p,q) υποδείγµατος ορίζεται ως εξής: 53

54 Y = δ + αυ + ay a Y + ε θε... θ ε (4.7) t 1 t 1 2 t 2 p t p t 1 t 1 q t q Χρησιµοποιώντας τα πολυώνυµα των τελεστών υστέρησης έχουµε : Α ( L) Y = δ +Θ ( L) + ε t Α ( L) = 1 al... a L 1 t p p (4.8) Και θ θ 2 q Θ ( L) = 1 1L 2L... ql οπου : θ L είναι ο τελεστής υστέρησης που έχει τη ιδιότητα L j Y t = Y t-j p,q: οι σταθερές που ορίζουν την τάξη των AR και AM αντίστοιχα Α(L): είναι το πολυώνυµο βάση του οποίου µπορούν να προκύψουν συµπεράσµατα για τη στασιµότητα ενός AR υποδείγµατος ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Box Jenkins ΚΑΙ ARIMA ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ Η ανάλυση που προηγήθηκε για τα AR, MA και ARMA υποδείγµατα ήταν βασισµένη στην υπόθεση ότι οι χρονολογικές σειρές είναι στάσιµες. Πολλές όµως από τις παρατηρούµενες οικονοµικές, χρηµατοοικονοµικές και άλλες σειρές είναι µη στάσιµες. ηλαδή ο µέσος, η διακύµανση και οι αυτοδιακυµάνσεις (autocovariances) αλλάζουν συναρτήση του χρόνου. Γενικά µπορούµε να µετατρέψουµε τις µη σειρές σε στάσιµες παίρνοντας διάφορες (differencing) πρώτης, δεύτερης η και µεγαλύτερης τάξης. Αφού εξασφαλίσουµε την στασιµότητα µε τη χρήση διαφορών, τότε ακολουθούµε τη ανάλυση υποδείγµατος ARMA(p,q) στη µετασχηµατισµένη σειρά. Έστω Y 1, Y 2,., Y n είναι οι παρατηρήσεις µιας χρονολογικής σειράς στις αρχικές τιµές, τότε παίρνοντας πρώτες διάφορες έχουµε. Υ t=υt Υ t 1 = (1 L) Υ t (4.9) Αν η µετασχηµατισµένη σειρά είναι στάσιµη τότε το υπόδειγµα που προσαρµόζουµε στη µετασχηµατισµένη σειρά ονοµάζεται ολοκληρωµένο πρώτης τάξης ARMA(p,q) υπόδειγµα η αλλιώς Αυτοπαλίνδροµο Ολοκληρωµένο Υπόδειγµα 54

55 Κινητών Μεσών (Autoregressive Intergraded Moving Average ) και συµβολίζεται ως ARIMA τάξης (p,1,q). Γενικεύοντας αν d είναι ο αριθµός των διαφόρων που πρέπει να πάρουµε σε ένα ολοκληρωµένο υπόδειγµα προκειµένου να γίνει στάσιµο δηλαδή d d Υ = (1 L) Υ (4.10) t t Τότε το υπόδειγµα που προσαρµόζουµε στην αρχική σειρά Υ t ονοµάζεται αυτοπαλίνδροµο ολοκληρωµένο υπόδειγµα κινητών µέσων τάξεως (p,d,q). Αν η χρονοσειρά δείχνει να έχει αυξανοµένη διακύµανση, συνίσταται η χρήση λογαριθµικού µετασχηµατισµού στα δεδοµένα πριν τη λήψη διαφορών. ηλαδή lnυ t = lnυt ln Υ t 1 = (1 L) lnυ t (4.11) Τα µοντέλα ARIMA αποτελούν µια γενίκευση των µη αιτιατών µοντέλων πρόβλεψης. Στην ανάπτυξη των υποδειγµάτων αυτών βοήθησε πολύ η εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών και η διάθεση κατάλληλων στατιστικών πακέτων που µε τη σειρά τους βοήθησαν στη διεξαγωγή προβλέψεων µε χαµηλό κόστος. 55

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ 5.1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ 5.1.1VOLATILITY CLUSTERING PHENOMENON - ΣΥΣΣΩΡΕΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Παρατηρώντας πολλές χρηµατοοικονοµικές σειρές βλέπουµε συχνά ότι η µεταβλητότητα τους δεν είναι σταθερή στο χρόνο. Ουσιαστικά το volatility clustering phenomenon αναφέρεται στο γεγονός ότι η διακύµανση µεταβάλλεται µε το χρόνο. Ουσιαστικά δηλαδή µια µεγάλη αλλαγή διακύµανσης την διαδέχεται µια ανάλογη µεγάλη µεταβολή και µια µικρή µεταβολή της διακύµανσης την διαδέχεται µια αντίστοιχη µικρή ανεξάρτητα από την κατεύθυνση της µεταβολής. Υπάρχουν περίοδοι κατά τις οποίες η µεταβλητότητα είναι παρατεταµένα υψηλή, ενώ άλλες κατά τις οποίες είναι παρατεταµένα χαµηλή. Η συσσώρευση της µεταβλητότητας και οι παχιές ουρές της κατανοµής των αποδόσεων σχετίζονται άµεσα. Στο παρακάτω γράφηµα φαίνεται το φαινόµενο της µεταβολής αυτής στο χρόνο. 56

57 Γράφηµα συσσώρευσης µεταβλητότητας ΟΙ ΠΑΧΙΕΣ ΟΥΡΕΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 έχει καταγραφεί ότι οι αποδόσεις των διαφόρων αξιών ακολουθούν λεπτόκυρτες κατανοµές. Οι κατανοµές των αποδόσεων των χρηµατοοικονοµικών σειρών πολλές φορές παρουσιάζουν απόκλιση από εκείνη της κανονικής κατανοµής. Συγκεκριµένα παρατηρούνται περισσότερα ακραία γεγονότα από όσα υποθέτει η κανονική κατανοµή δηλαδή έχουµε περισσότερες παρατηρήσεις στις ουρές της κατανοµής µε αποτέλεσµα να παρατηρείται το φαινόµενο fat tails. Οι αποδόσεις των χρονολογικών σειρών αντιπροσωπεύονται καλύτερα από κατανοµές όπως η Student t η οποία έχει κύρτωση µεγαλύτερη από 3. Στο παρακάτω διάγραµµα παρατηρούµε το χαρακτηριστικό αυτο των παχιών ουρών της κατανοµής των αποδόσεων. 57

58 Series: ATTICABANK Sample 1952Q1 1960Q4 Observations 36 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Συγκεκριµένα παρατηρούµε κύρτωση 11,23 > 3 αλλά και στον έλεγχο κανονικότητας παρατηρούµε οτι το p-value της στατιστικής Jarque Bera είναι µηδέν οπότε απορρίπτουµε την αρχική υπόθεση ότι οι αποδόσεις ακολουθούν κανονική κατανοµή LEVERAGE EFFECT Το leverage effect (µόχλευση) αφορά ένα χαρακτηριστικό το οποίο παρουσιάζει η χρονολογική σειρά που αναπαριστά τα δεδοµένα. Μπορούµε να πούµε ότι εκφράζει την αρνητική συσχέτιση που υπάρχει ανάµεσα στην απόδοση της παρούσας περιόδου και της µελλοντικής διακύµανσης. Μια πτώση στην απόδοση µιας µετοχής δηµιουργεί αρνητικές προσδοκίες για την περαιτέρω πορεία της απόδοσης της µετοχής µε αποτέλεσµα τη µελλοντική αύξηση της διακύµανσης της απόδοσης της µετοχής. Αντίθετα µια αύξηση της απόδοσης δηµιουργεί θετικό κλίµα για την περαιτέρω πορεία της µετοχής, γεγονός που αντιστοιχεί σε µικρότερη διακύµανση. Το φαινόµενο αυτό δεν το συλλαµβάνουν όλα τα µοντέλα ετεροσκεδαστικότητας. Τα EGARCH µοντέλα εξυπηρετούν αυτό το σκοπό ακριβώς να δηλώσουν την αντίστροφη σχέση ανάµεσα στη παρούσα απόδοση και τη µελλοντική διακύµανση. 58

59 5.1.4 NON TRADING DAYS Το φαινόµενο αυτό αναφέρεται στη συσσώρευση πληροφοριών τα χρονικά διαστήµατα όπου οι χρηµατιστηριακές αγορές παραµένουν κλειστές όπως για παράδειγµα τις αργίες και τα σαββατοκύριακα. Όταν επαναλειτουργούν, οι αποδόσεις των χρηµατοοικονοµικών προϊόντων που διαπραγµατεύονται εµφανίζουν µεγαλύτερη διακύµανση σε σχέση µε τις υπόλοιπες µέρες. Αίτια για αυτό το γεγονός είναι η συσσώρευση πληροφοριών, οι οποίες διαχέονται πολύ πιο γρήγορα όταν τελικά έρχονται στην επιφάνεια. Αυτή η επίδραση που έχουν τα non trading days στη µελλοντική διακύµανση των αποδόσεων των διαφόρων δεικτών, παραγώγων και εµπορευµάτων. 5.2 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΤΕΡΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Η οικονοµετρική πρόκληση είναι να προσδιορίσουµε τον τρόπο που θα χρησιµοποιήσουµε τα δεδοµένα για να προβλέψουµε το µέσο και την διακύµανση της απόδοσης δεδοµένων των ιστορικών στοιχείων. Πολλές προσπάθειες είχαν γίνει κατά το παρελθόν για την προσέγγιση της µέσης τιµής της απόδοσης, µε σκοπό να προβλεφθούν οι µελλοντικές αποδόσεις, στην πραγµατικότητα όµως καµία µέθοδος δεν ήταν διαθέσιµη για την πρόβλεψη της διακύµανσης, µέχρι την παρουσίαση των µοντέλων ARCH. Τα µέχρι τότε περιγραφικά εργαλεία ήταν η κινητή τυπική απόκλιση. Αυτή ήταν η τυπική απόκλιση που υπολογιζόταν µε την χρήση ενός αριθµού που στηριζόταν στις πιο πρόσφατες παρατηρήσεις. Αυτός ήταν ο πρόδροµος για το πρώτο µοντέλο ARCH, αφού υπέθετε ότι η διακύµανση της αυριανής απόδοσης είναι ένας ισοσταθµικός µέσος όρος των τετραγώνων των καταλοίπων των τελευταίων 22 ηµερών. Η ισοσταθµική όµως προσέγγιση έδειχνε αναξιόπιστη, αφού η λογική έλεγε ότι οι πιο πρόσφατες παρατηρήσεις θα έπρεπε να φέρουν υψηλότερο ποσοστό στάθµισης. Το ARCH µοντέλο, που παρουσιάστηκε από τον Engle το 1982, αντιµετωπίζει αυτές τις σταθµίσεις ως παραµέτρους που πρέπει να εκτιµηθούν και αφήνει τα δεδοµένα να µας οδηγήσουν στις βέλτιστες σταθµίσεις που θα χρησιµοποιηθούν στην πρόβλεψη της διακύµανσης. 59

60 5.2.1 ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ARCH Τα υποδείγµατα ARCH λαµβάνουν υπόψη τους µεγάλο αριθµό παρατηρήσεων χρησιµοποιώντας σταθµίσεις δίνοντας µεγαλύτερη σηµασία στις πρόσφατες παρατηρήσεις και λιγότερο στις παλαιότερες. Τα γεγονότα που συνέβησαν µακριά στο παρελθόν, έχουν µια στάθµιση, έστω µικρή, εποµένως εξακολουθούν να επηρεάζουν τη µελλοντική µεταβλητότητα. Η τεραστία καινοτοµία αυτών των υποδειγµάτων είναι ότι οι σταθµίσεις που χρησιµοποιούνται δεν είναι δεδοµένες αλλά υπολογίζονται µε βάση τα ιστορικά στοιχειά της κάθε χρονοσειράς έτσι ώστε να ανταποκρίνονται καλυτέρα στις ιδιαιτερότητες των υπό εξέταση παρατηρήσεων. Από τη στιγµή όµως που οι σταθµίσεις καθοριστούν, αυτά τα δυναµικά υποδείγµατα µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να υπολογίζουν τη µεταβλητότητα σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή όπως επίσης και να εκτιµήσουν τη µελλοντική µεταβλητότητα για οποιαδήποτε διάστηµα. Ίσως το µεγαλύτερο πλεονέκτηµα τους είναι ότι λόγω του τρόπου δόµησης τους τα υποδείγµατα ARCH προσφέρουν άµεσα πρόβλεψη για το αµέσως επόµενο διάστηµα. Επιπλέον µε την υιοθέτηση του Value at Risk (VaR) από όλους τους µεγάλους χρηµατοοικονοµικούς οργανισµούς, ένας νέος σηµαντικός ρόλος γεννήθηκε για τα µοντέλα ARCH. Πολλές έρευνες εξετάζουν την χρησιµότητα των µοντέλων ARCH για τον υπολογισµό της αξίας σε κίνδυνο (VaR) και τα συγκρίνουν µε τα υποδείγµατα εκθετικού µέσου ορού που προτίµα η Riskmetric. Στη συνέχεια παρουσιάζουµε τα πιο αντιπροσωπευτικά και βασικά υποδείγµατα ετεροσκεδαστικότητας ARCH(q) (Engle, 1982) Το πρώτο µοντέλο αυτής της οµάδας, µε βάση το οποίο εξελίχθηκαν όλα τα υπόλοιπα. Μάλιστα, χάρη σε αυτό το µοντέλο, ο εµπνευστής του, Robert Engle, κέρδισε το βραβείο Nobel Οικονοµίας. Το υπόδειγµα ARCH χρησιµοποιεί ένα σταθµισµένο µέσο όρο των τετραγώνων των σφαλµάτων (squared errors). Το µοντέλο χρησιµοποιείται για να συλλάβει ένα από τα χαρακτηριστικά των χρονολογικών σειρών που αναπτύχτηκαν προηγουµένως, ότι δηλαδή τα µεγάλα (µικρά) σφάλµατα τείνουν να ακολουθούνται από µεγάλα (µικρά) σφάλµατα 60

61 οποιουδήποτε πρόσηµου. Ο Engle εκφράζει τη διακύµανση h t ως µια γραµµική συνάρτηση q αριθµού προηγούµενων παρατηρήσεων εις το τετράγωνο : Θεωρούµε το µοντέλο Y =Β 0+ΒΧ Β Χ + u (5.1) t t κ κt t οπου X t είναι ένα διάνυσµα τιµών-παρατηρήσεων της χρονολογικής µας σειράς τη χρονική περίοδο t και u t είναι µια διαδικασία διαταραχής. Η διαδικασία αυτή έχει σταθερή µέση τιµή E( u t) = 0. Αλλά η διακύµανση του u t, σ = E( u ) αλλάζει στο χρόνο µε βάση το ακόλουθο 2 2 t t υπόδειγµα : σt a0 au 1 t 1 a2ut 2... aqut q = (5.2) Προκείµενου να εξασφαλίσουµε ότι σ > 0 θέτουµε σαν περιορισµούς ότι 2 t a >0 και a 0, i= 1,..., q. Επιπλέον για την αυτοπαλίνδροµη διαδικασία 0 ζητάµε οι ρίζες του i 2 q ( ) = aql (5.3) a L al a L Να βρίσκονται έξω από το µοναδιαίο κύκλο. Αυτό συνεπάγεται την προϋπόθεση ότι q a i < 1 (5.4) i = 1 Η δεσµευµένη διακύµανση του u t ορίζεται από E( u u,...) = a + au + a u a u = σ (5.5) t t t 1 2 t 2 q t q t Και η µη δεσµευµένη διακύµανση σχέση : E( u ) = t q E u είναι σταθερή στο χρόνο και δίνεται από τη a 2 ( t ) i a i (5.6) Το µοντέλο αυτό το πρότεινε ο Engle (1982) παρουσιάζει αυτοπαλίνδροµη υποθετική ετεροσκεδαστικότητα και είναι γνωστό ως µοντέλο ARCH(q) 61

62 ΚΥΡΤΩΣΗ Τα υποδείγµατα ARCH συλλαµβάνουν µέρος της υπερβάλλουσας κύρτωσης που παρατηρείται στα χρηµατοοικονοµικά δεδοµένα. Συγκεκριµένα η κύρτωση µιας ARCH διαδικασίας δίνεται απο τη σχέση : (1 a ) k = 3 > 3 (1 3 a ) (5.8) 2 Για να ορίζεται πρέπει να ισχύουν οι περιορισµοί 0< a1 < 1 και 3a 1 < Η ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ARCH Οι παράµετροι του µοντέλου ARCH(q) µπορούν να εκτιµηθούν µε τη µέθοδο της µεγίστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood method). Πρώτα βρίσκουµε την συνάρτηση πιθανοφάνειας για όλες τις παρατηρήσεις η οποία και περιγράφεται από τη σχέση: T log L( y θ) = log L( y y ) (5.9) t= 1 t Στην περίπτωση που το µοντέλο µας ARCH έχει µέσο t 1 Β 0+ΒΧ 1 1 t ΒκΧ κt και διακύµανση 2 σ t τότε : = L y y N κ κ σ 2 ( t t 1)~ ( Β 0+ΒΧ 1 1t Β Χ t, t ) log2π log σ ( y Β +ΒΧ Β Χ ) (5.10) t 2 t 0 1 1t κ κt σt Και η συνάρτηση µεγίστης πιθανοφάνειας για το σύνολο των παρατηρήσεων Τ περιγράφεται από τη σχέση: T 1 1 log L( y Θ ) = log2π log οπου Θ ειναι το διάνυσµα των παραµέτρων. ( y Β +ΒΧ Β Χ ) T T 2 t 0 1 1t κ κt σt 2 t= 1 t= 1 σt (5.11) 2 62

63 5.3 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΕΤΕΡΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ GARCH(p,q) Μια αξιόπιστη γενίκευση αυτού του µοντέλου είναι η παραµετροποίηση GARCH, η οποία παρουσιάστηκε από τον Bollerslev το Αυτό το µοντέλο είναι επίσης ένας σταθµικός µέσος όρος των ιστορικών τετραγώνων των καταλοίπων, τα οποία φέρουν φθίνουσες σταθµίσεις που συγκλίνουν στο µηδέν αλλά δεν γίνονται µηδέν. Με τη χρήση των µοντέλων GARCH τα µοντέλα έχουν αξία προβλεψιµότητας ακόµα και στην πιο απλή τους µορφή και επίσης έχουν αποδειχθεί αρκετά αξιόπιστα στην πρόβλεψη της διακύµανσης. 2 Με βάση το υπόδειγµα GARCH η διακύµανση σ t δεν είναι συνάρτηση µόνο των τετραγώνων των σφαλµάτων µε υστέρηση, αλλά επιπλέον είναι και συνάρτηση των υπό συνθήκη διακυµάνσεων µε υστέρηση. Στην περίπτωση αυτή που αναφερόµαστε στο γενικευµένο αυτοπαλίνδροµο υπό συνθήκη ετεροσκεδαστικότητας υπόδειγµα GARCH(p,q). θεωρούµε το µοντέλο: rt =Β 0+ΒΧ 1 1 t+... +ΒκΧ κt + ut u 2 t Φ t 1 ~ N(0, σt ) σ = a + a * u a * u + b * σ + b * σ b * σ (5.12) t 0 1 t 1 p t p 1 t 1 2 t 2 q t q µε a0 > o, a 0, i= 1,2... p, b 0, j= 1,2,... q ώστε να διασφαλίζεται η θετικότητα i της υπό συνθήκη διακύµανσης. j Τα µοντέλα GARCH επιτρέπουν αλλαγές στη δεσµευµένη διακύµανση ανάλογα µε τα προηγούµενα σφάλµατα ( ut i) και µε τις προηγούµενες διακυµάνσεις 2 ( t i) σ. Στις εµπειρικές εφαρµογές των ARCH µοντέλων απαιτείται ένας σχετικά µεγάλος αριθµός υστερήσεων στην εξίσωση της δεσµευµένης διακύµανσης και εποµένως πολλές παράµετροι προς εκτίµηση. Αντίθετα τα GARCH µοντέλα επειδή ακριβώς συµπεριλαµβάνουν και προηγούµενες δεσµευµένες διακυµάνσεις στην εξίσωση της δεσµευµένης διακύµανσης. Η µη δεσµευµένη διακύµανση του GARCH(p,q) µοντέλου δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 2 a0 E( ut ) = p q 1 a b i i= 1 j= 1 j (5.13) 63

64 Αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ύπαρξη της διακύµανσης µε βάση τον Bollerslev είναι η παρακάτω : p q a + bj < 1 (5.14) i i= 1 j= ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΕΤΕΡΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ E-GARCH Μια ειδική περίπτωση της γενικευµένης υπό συνθήκης ετεροσκεδαστικότητας αποτελεί η εκθετικά γενικευµένη υπό συνθήκη ετεροσκεδαστικότητα. Ο Nelson ήταν αυτός που αναγνώρισε ότι η µεταβλητότητα αντιδρά ασύµµετρα σε σφάλµατα προβλέψεων του παρελθόντος, ότι δηλαδή οι αρνητικές αποδόσεις έχουν µεγαλύτερη υπολογιστική αξία από ότι οι αντίστοιχες θετικές αποδόσεις οσον αφορά τη µελλοντική διακύµανση. Ο Nelson πρότεινε µια άλλη κατανοµή µε παχιές ουρές την generalized error distribution (GED). Η κατανοµή αυτή µε µέσο µηδέν και διακύµανση µονάδα δίνεται από τη σχέση: V 1 Z t V exp 2 λ p( Zt) = 1 (1 ) 1 V λ 2 + Γ( ) V, - < Z t <+ (5.15) Όπου το λ είναι 1 2 ( ) 2 1 V 2 Γ( ) λ= V 3 Γ( ) V (5.16) και Γ είναι η γάµα συνάρτηση και V είναι µια παράµετρος που εκφράζει τις παχιές ουρές. Όταν V = 2, η Z t κατανέµεται κανονικά. Για τιµές του u <2, η κατανοµή της σειράς έχει πιο παχιές ουρές από την κανονική κατανοµή, ενώ για V >2 η κατανοµή έχει πιο λεπτές ουρές από την κανονική κατανοµή. Ο Nelson µε στόχο να συµπεριλάβει την ασυµµετρία στα υπόδειγµα του προτείνει το εκθετικό GARCH υπόδειγµα. Η πρόταση του Nelson ήταν το Exponential GARCH µοντέλο τάξης (p,q) η οποία πιάνει το χαρακτηριστικό των παχιών ουρών των χρηµατοοικονοµικών δεδοµένων. Στο υπόδειγµα του πρότεινε ότι η υπό συνθήκη διακύµανση είναι σε λογαριθµική µορφή και η χρήση λογαρίθµων έχει το πλεονέκτηµα 64

65 της αποφυγής περιορισµών για τη µη αρνητικότητα των παραµέτρων, καθώς και ότι η διακύµανση που προέρχεται από το εκθετικό υπόδειγµα είναι σίγουρα θετική και ότι υπάρχει ένας επιπλέον όρος για να λάβει υπόψη του που είναι το φαινόµενο του leverage effect. Tο υπόδειγµα αυτό έχει µορφή: ε ε ln( σ ) ( γ ) β ln( σ ) p q 2 t i t i 2 t = a0+ ai + ι + j t j i= 1 σt i σt i j= 1 (5.17) Η παράµετρος γ ι χρησιµοποιείται ώστε να λάβουµε υπόψη µας το φαινόµενο του leverage effect. Ελέγχοντας την υπόθεση γ ι <0 ελέγχουµε την ύπαρξης του φαινοµένου του leverage effect, δηλαδή αν το γ ι είναι στατιστικά σηµαντικό η όχι και κατά πόσο υπάρχει ασύµµετρη σχέση µεταξύ της τωρινής απόδοσης και µελλοντικής διακύµανσης. 5.5 ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ TGARCH(p,q) Το υπόδειγµα TGARCH (Τhreshold GARCH) αποτελεί µια επέκταση του GARCH µοντέλου το οποίο δεν µπορεί να συλλάβει και να περιγράψει το φαινόµενο του leverage effect. Για το λόγο αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθεί µια δείκτρια συνάρτηση Ι ( ) όπου η συνάρτηση αυτή θα παίρνει τιµές: ut 1 1, εαν... ut 1< 0 Ι ( u t 1< 0) = 0, εαν... u t 1> 0 Τότε αυτόµατα έχουµε ένα υπόδειγµα που µπορεί να συµπεριλάβει κ το φαινόµενο της µόχλευσης. Σύµφωνα µε το άρθρο των Glosten, Jagannathan, Runkle το µοντέλο TGARCH(1,1) έχει την ακόλουθη µορφή: σ = a + a * u + b * σ + α u Ι ( u < 0) (5.18) t 0 1 t 1 1 t 1 2 t 1 t 1 όπου ο όρος 2 α2ut 1 ut 1 στατιστικά σηµαντικό. Ι ( < 0) συλλαµβάνει το leverage effect αν το α 2 ειναι 65

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Η ανάλυση και τα συµπεράσµατα για τις αποδόσεις και τον κίνδυνο του δειγµατος των µετοχών βασίζεται στην ανάπτυξη του υποδείγµατος CAPM από τον W Sharpe ο όποιος απεδειξε ότι ο κίνδυνος κάθε µετοχής µπορεί να υπολογιστει από την τάση της µετοχής να συµπεριφερεται όπως η συνολικη αγορά. Σκοπος της ανάλυσης είναι η ευρεση του κατάλληλου υποδείγµατος για να εκτιµήσουµε τον κίνδυνο (χρησιµοποιώντας τη µεθοδολογία VaR). 6.1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ Αρχικα θα εξετασουµε την κάθε σειρά, µια προς µια, ως προς τα στατιστικά περιγραφικα µέτρα, έτσι ώστε να βγουν κάποια πρωτα συµπεράσµατα για την διαχρονικη πορεία των αποδόσεων των µετοχών. Οι παρατηρήσεις µας είναι ηµερησιες και αφορουν την περίοδο από 3/01/2000 εως 3/10/2008, το πληθος των παρατηρήσεων είναι Τα περιγραφικα στατιστικά µέτρα για κάθε χρονοσειρα προκύπτουν από την επεξεργασια των δεδοµένων στο στατιστικό λογισµικό πακέτο E-views. Εξεταζοντας αρχικα τη χρονοσειρα της τράπεζας Αλφα (Alphabank) παρατηρούµε τα εξής : 66

67 Αλφα Τράπεζα Ιστογραµµα των τιµών της Άλφα Τράπεζας Στο παραπάνω γράφηµα παρατηρούµε το ιστογραµµα και τα βασικα στατιστικά µετρά για τις τιµές της Αλφα Τράπεζας. Παρατηρούµε ότι ο µέσος και η διαµεσος δεν συµπιπτουν (mean = 15,7 median = 16,1). Το ευρος των παρατηρήσεων είναι από 4,7 εως 26. Ο συντελεστης SK = -0,16, ο συντελεστης κυρτωσης KU= 1,8. Το παρακάτω γράφηµα αφορά τη διαγραµµατικη απεικονιση της διαχρονικης πορειας των τιµών της µετοχής της Αλφα τράπεζας. Αυτα τα χαρακτηριστικά αλλά και η τιµή του p value = 0 µας κάνουν να απορρίπτουµε τη µηδενικη µας υπόθεση περι κανονικοτητας και µας οδηγουν στο συµπερασµα ότι η σειρά δεν ακολουθει κανονική κατανοµή. 67

68 Γράφηµα τιµών της µετοχής της Άλφα Τράπεζας Εθνική τράπεζα Ιστογραµµα τιµών Εθνικής Τράπεζας Στο παραπάνω γράφηµα παρατηρούµε το ιστογραµµα για τις τιµές της Εθνικής Τράπεζας. Η κατανοµή των τιµών της µετοχής είναι δικορυφη µε κορυφες τα τα 18 και τα 26 περιπου. Παρατηρούµε ότι ο µέσος και η διαµεσος δεν συµπιπτουν (mean = 24,4 median = 25,1). Η διαµεσος τιµή δείχνει ότι οι µισες τιµές κλεινουν κατω 68

69 από την τιµή 25,1 και οι άλλες µισες πανω από αυτή. Το ευρος των παρατηρήσεων είναι από 5,6 εως 46. Ο συντελεστης ασυµµετρίας ειανι 0,09 και αποκλινει από την τιµή 0 και ο συντελεστης κυρτωσης KU= 2,03. Το παρακάτω γράφηµα αφορά τη διαγραµµατικη απεικονιση της διαχρονικης πορειας των τιµών της µετοχής της Εθνικής τράπεζας. Αυτα τα χαρακτηριστικά αλλά και η τιµή του p value µας κάνουν να απορρίπτουµε τη µηδενικη µας υπόθεση περι κανονικοτητας και µας οδηγουν στο συµπερασµα ότι η σειρά δεν ακολουθει κανονική κατανοµή. Γράφηµα τιµών της µετοχής της Εθνικής Τράπεζας 69

70 Αγροτική τράπεζα Ιστογραµµα τιµών Αγροτικής Τράπεζας Στο παραπάνω γράφηµα παρατηρούµε το ιστογραµµα και τα βασικα στατιστικά µετρά για τις τιµές της Αγροτικής Τράπεζας. Παρατηρούµε ότι ο µέσος και η διαµεσος δεν συµπιπτουν (mean = 3,91 median = 3,98). Το ευρος των παρατηρήσεων είναι από 1,95 εως 6,17. Ο συντελεστης ασυµµετρίας SK = -0,27, ο συντελεστής κυρτωσης KU= 2,99 και είναι πολύ κοντα στην τιµή 3. Το παρακάτω γράφηµα αφορά τη διαγραµµατικη απεικονιση της διαχρονικης πορειας των τιµών της µετοχής της Αγροτικής τράπεζας. Αυτα τα χαρακτηριστικά αλλά και η τιµή του p value µας οδηγουν στο συµπερασµα ότι η σειρά δεν ακολουθει κανονική κατανοµή. Γράφηµα τιµών της µετοχής της Άγροτικής Τράπεζας 70

71 Τα αρχικά δεδοµένα των χρονοσειρων που παρουσιάσαµε αφορουν τιµές κλεισιµατος St σε ευρώ. Εντουτοις η εκτίµηση κινδύνου σε περιουσιακά στοιχειά όπως είναι οι µετοχές γίνεται µε βάση τις αντιστοιχες ηµερησιες αποδόσεις τους. Υπολογιζουµε τις ηµερησιες αποδόσεις των τιµών κλεισιµατος των µετοχων µε την εφαρµογη του παρακάτω τυπου : y t = S t ln( ) S t 1 Στη συνέχεια αναλύουµε τις αποδοσεις των µετοχών αυτων. Άλφα Τράπεζα Ιστογραµµα αποδόσεων της Άλφα Τράπεζας Στο παραπάνω γράφηµα παρατηρούµε το ιστογραµµα και τα βασικα στατιστικά µετρά για τις αποδόσεις της Αλφα Τράπεζας. Παρατηρούµε ότι ο µέσος και η διαµεσος δεν συµπιπτουν (mean = -0,00022 median = 0), και ότι η κατανοµή των αποδόσεων της µετοχής φαίνεται συµµετρική. Το ευρος των παρατηρήσεων είναι από -0,13 εως 0,16. Ο συντελεστης ασυµµετρίας SK = 0,31 και ο συντελεστής κυρτωσης KU= 7,6. Και αφου KU>3 η σειρά µας είναι λεπτοκυρτη δηλαδή παρατηρείται φαινόµενο παχιών ουρών και εµφάνιση ακραίων τιµών. 71

72 Το παρακάτω γράφηµα αφορά τη διαγραµµατικη απεικονιση της διαχρονικης πορειας των αποδόσεων της µετοχής της Αλφα τράπεζας. Αυτα τα χαρακτηριστικά αλλά και η τιµή του p value µας κάνουν να απορρίπτουµε τη µηδενικη µας υπόθεση περι κανονικοτητας και µας οδηγουν στο συµπερασµα ότι η σειρά δεν ακολουθει κανονική κατανοµή. Επίσης παρατηρούµε φαινόµενο του volatility clustering δηλαδή υπάρχουν περίοδοι µεγάλης µεταβλητότητας και περίοδοι µικρής µεταβλητότητας των αποδόσεων. Ουσιαστικά δηλαδή µια µεγάλη αλλαγή διακύµανσης την διαδέχεται µια ανάλογη µεγάλη µεταβολή και µια µικρή µεταβολή της διακύµανσης την διαδέχεται µια αντίστοιχη µικρή ανεξάρτητα από την κατεύθυνση της µεταβολής. Υπάρχουν περίοδοι κατά τις οποίες η µεταβλητότητα είναι παρατεταµένα υψηλή, ενώ άλλες κατά τις οποίες είναι παρατεταµένα χαµηλή. Γράφηµα αποδόσεων της µετοχής της Άλφα Τράπεζας 72

73 Εθνική τράπεζα Ιστογραµµα αποδόσεων της Εθνικής Τράπεζας Στο παραπάνω γράφηµα παρατηρούµε το ιστογραµµα και τα βασικα στατιστικά µετρά για τις αποδόσεις της Εθνική Τράπεζας. Παρατηρούµε ότι η κατανοµή των αποδόσεων της µετοχής φαίνεται συµµετρική. Το ευρος των παρατηρήσεων είναι από -0,15 εως 0,13. Ο συντελεστης ασυµµετρίας SK = 0,04 και ο συντελεστής κυρτωσης KU= 6,99. Και αφου KU>3 η σειρά µας είναι λεπτοκυρτη δηλαδή παρατηρείται φαινόµενο παχιών ουρών και εµφάνιση ακραίων τιµών. Το παρακάτω γράφηµα αφορά τη διαγραµµατικη απεικονιση της διαχρονικης πορειας των αποδόσεων της µετοχής της Εθνική Τράπεζας. Αυτα τα χαρακτηριστικά αλλά και η τιµή του p value µας κάνουν να απορρίπτουµε τη µηδενικη µας υπόθεση περι κανονικοτητας και µας οδηγουν στο συµπερασµα ότι η σειρά δεν ακολουθει κανονική κατανοµή. Παρατηρούµε επίσης φαινόµενο συσσώρευσης µεταβλητότητας δηλαδή υπαρχουν περιοδοι µεγαλης µεταβλητοτητας και περιοδοι µικρης µεταβλητοτητας των αποδόσεων. Ουσιαστικά δηλαδή µια µεγάλη αλλαγή διακύµανσης την διαδέχεται µια ανάλογη µεγάλη µεταβολή και µια µικρή µεταβολή της διακύµανσης την διαδέχεται µια αντίστοιχη µικρή ανεξάρτητα από την κατεύθυνση της µεταβολής. Υπάρχουν περίοδοι κατά τις οποίες η µεταβλητότητα είναι παρατεταµένα υψηλή, ενώ άλλες κατά τις οποίες είναι παρατεταµένα χαµηλή. 73

74 Γράφηµα αποδόσεων της µετοχής της Εθνικης Τράπεζας Αγροτική τράπεζα Ιστογραµµα αποδόσεων Αγροτικης Τράπεζας Στο παραπάνω γράφηµα παρατηρούµε το ιστογραµµα και τα βασικα στατιστικά µετρά για τις αποδόσεις της Αγροτικής τράπεζας. Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση 74

75 της κατανοµής των αποδόσεων υπάρχει εντονη αριστερη ασυµµετρία. Το ευρος των παρατηρήσεων είναι από 0,66 εως 1,8. Ο συντελεστης ασυµµετρίας SK = -0,84 και ο συντελεστής κυρτωσης KU= 3,49. Το παρακάτω γράφηµα αφορά τη διαγραµµατικη απεικονιση της διαχρονικης πορειας των αποδόσεων της µετοχής της Αγροτικής τράπεζας. Αυτα τα χαρακτηριστικά αλλά και η τιµή του p value µας κάνουν να απορρίπτουµε τη µηδενικη µας υπόθεση περι κανονικοτητας και µας οδηγουν στο συµπερασµα ότι η σειρά δεν ακολουθει κανονική κατανοµή. Παρατηρούµε επίσης φαινόµενο συσσώρευσης µεταβλητότητας δηλαδή υπάρχουν περίοδοι µεγάλης µεταβλητότητας και περίοδοι µικρής µεταβλητότητας των αποδόσεων. Ουσιαστικά δηλαδή µια µεγάλη αλλαγή διακύµανσης την διαδέχεται µια ανάλογη µεγάλη µεταβολή και µια µικρή µεταβολή της διακύµανσης την διαδέχεται µια αντίστοιχη µικρή ανεξάρτητα από την κατεύθυνση της µεταβολής. Υπάρχουν περίοδοι κατά τις οποίες η µεταβλητότητα είναι παρατεταµένα υψηλή, ενώ άλλες κατά τις οποίες είναι παρατεταµένα χαµηλή. Γράφηµα αποδόσεων της µετοχής της Αγροτικής Τράπεζας 75

76 6.2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΩΝ Με τη µεθοδολογία αυτη πρόκειται να εκτιµηθεί ο κίνδυνος επενδύσεων των µετοχών και γενικότερα των χαρτοφυλακίων. Θα προσπαθήσουµε να βρούµε κατάλληλο υπόδειγµα προκειµένου να µοντελοποιησουµε τη µεταβαλλόµενη διακύµανση των αποδόσεων. Στη συνέχεια θα γίνει διαγνωστικός έλεγχος των καταλοίπων και θα εκτιµήσουµε το value at risk (VaR) χρησιµοποιώντας τις εκτιµήσεις/προβλέψεις της διακύµανσης από τα GARCH υποδείγµατα. Ξεκινάµε τη διαδικασία ευρέσεως κατάλληλου υποδείγµατος µε την εκτίµηση του µοντέλου : r = c+ u (6.1) t t Εκτίµηση Αρχικού Μοντέλου Άλφα Τράπεζα Προχωράµε στο διαγνωστικό έλεγχο. Πρώτα θα διεξάγουµε έλεγχο αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων : 76

77 Η : ρ = Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης Καταλοίπων Η : ρ Η υπόθεση µας είναι ότι τα κατάλοιπα µας είναι ασυσχέτιστα Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου καταλοίπων Άλφα Τράπεζας Η γραφική απεικόνιση του παραπάνω γραφήµατος είναι γνωστή ως κορελλόγραµµα των καταλοίπων. Παρατηρούµε ότι σε επίπεδο σηµαντικότητας α= 0,05% απορρίπτουµε την H 0, δηλαδή υπάρχει αυτοσυσχέτιση σε lag 1 γιατί το p 77

78 value είναι 0,004. Αντίστοιχα είναι τα αποτελέσµατα των ελέγχων µέχρι και το lag 6 οπότε υπάρχει πρόβληµα αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων. Η : ρ = 0 Η 0 1 : ρ Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης των τετραγώνων των Καταλοίπων Η υπόθεση µας είναι ότι τα τετράγωνα των καταλοίπων µας είναι ασυσχέτιστα Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου των τετραγώνων των καταλοίπων Άλφα Τράπεζας 78

79 Η γραφική απεικόνιση του παραπάνω γραφήµατος είναι γνωστή ως κορελλόγραµµα των τετραγώνων των καταλοίπων του υποδείγµατος.. Παρατηρούµε ότι τα p-value των καταλοίπων µας είναι µικρότερα από το επίπεδο σηµαντικότητας α= 0,05. Εποµένως η αρχική µας υπόθεση ότι τα τετράγωνα των κατάλοιπων µας είναι ασυσχέτιστα απορρίπτεται. Έχουµε δηλαδή πρόβληµα ετεροσκεδαστικότητας καταλοίπων. Οι συνέπειες της ύπαρξης ετεροσκεδαστικών καταλοίπων όπως αναφέρθηκαν πιο πάνω είναι σοβαρές και οφείλουµε να τις άρουµε και όχι να τις αγνοήσουµε. Προκειµένου να λύσουµε το πρόβληµα της ετεροσκεδαστικότητας θα χρησιµοποιήσουµε ARCH / GARCH υποδείγµατα. Ακολουθεί έλεγχος κανονικότητας των καταλοίπων του αρχικού υποδείγµατος. Έλεγχος Κανονικότητας Καταλοίπων Ιστόγραµµα κανονικότητας καταλοίπων Άλφα Τράπεζας Η στατιστική JB ακολουθεί τη 2 X µε δυο βαθµούς ελευθερίας. Εάν JB> X 2 (2) τότε απορρίπτουµε τη µηδενική υπόθεση ότι τα κατάλοιπα κατανέµονται κανονικά. Στη περίπτωση των καταλοίπων αυτό ισχύει αφού 1945,54 > 7,378 που είναι η 79

80 κριτική τιµή X 2 (2), συνεπώς τα κατάλοιπα δεν ακολουθούν κανονική κατανοµή. Παρατηρουµε επίσης ότι το p-value είναι 0 πραγµα που µας κανει να απορριπτουµε την αρχική µας υπόθεση ότι τα κατάλοιπα µας κατανέµονται κανονικά. Στη συνέχεια εκτιµούµε το υπόδειγµα : r = c+ ε t ε t 2 t Ψt 1 ~ Ν(0, σ t) σ = a + aε + aε + βσ + β σ t 0 1 t 1 2 t 2 1 t 1 2 t 2 (6.2) Εκτίµηση ιορθωµένου Μοντέλου ιορθωµένο υπόδειγµα Άλφα Tράπεζας 80

81 Όπου r t είναι η σειρά των καθηµερινών επιστροφών των αποδόσεων (returns), ε t ο στοχαστικός όρος που ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέσο 0 και δεσµευµένη διακύµανση 2 σ t. Οι παράµετροι του υποδείγµατος που είναι προς εκτίµηση είναι a 0, a 1, a 2, β 1, β 2. Οι περιορισµοί που πρέπει να ισχύουν και κάτω από τους οποίους µεγιστοποιείται η πιθανοφάνεια είναι : a 0>0, a 1 0, a2 0, β1 0, a1+ a2+ β1+ β2< 1 Άλφα Tράπεζα Παράµετροι a 0 a 1 a 2 β 1 β 2 Εκτιµήσεις 5,96x10 0,11 0,008 0,84-0,94 5 Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης Καταλοίπων Η : ρ = 0 Η 0 1 : ρ Η υπόθεση µας είναι ότι τα κατάλοιπα µας είναι ασυσχέτιστα 81

82 Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος Άλφα Τράπεζας Η γραφική απεικόνιση του παραπάνω γραφήµατος - κορελλόγραµµα των καταλοίπων δείχνει ότι δεν υπάρχει πρόβληµα αυτοσυσχέτισης αφού οι τιµές των p- values κυµαίνονται από το 0,64 και πάνω. 82

83 Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης των τετραγώνων των Καταλοίπων Η : ρ = 0 Η 0 1 : ρ Η υπόθεση µας είναι ότι τα τετράγωνα των καταλοίπων µας είναι ασυσχέτιστα. Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου των τετραγώνων των καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος Άλφα Τράπεζας 83

84 Η γραφική απεικόνιση του παραπάνω γραφήµατος - κορελλόγραµµα των τετραγώνων των καταλοίπων δείχνει δείγµατος µας δείχνει ότι δεν έχει πρόβληµα αυτοσυσχέτισης που σηµαίνει ότι τα κατάλοιπα µας είναι οµοσκεδαστικά. Έλεγχος κανονικότητας καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος Άλφα Τράπεζας Ιστόγραµµα κανονικότητας καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος Άλφα Τράπεζας Παρατηρουµε ότι υπάρχει πρόβληµα κανονικότητας. Εποµένως θα έπρεπε να χρησιµοποιησουµε µια κατανοµη για τα σφάλµατα µε πιο παχιές ουρές απο τη κανονική κατανοµή, π.χ τη Student T. 84

85 Εκτίµηση Αρχικού Μοντέλου αποδόσεων Εθνική Τράπεζα Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης Καταλοίπων Η : ρ = 0 Η 0 1 : ρ Η υπόθεση µας είναι ότι τα κατάλοιπα µας είναι ασυσχέτιστα 85

86 Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου καταλοίπων Εθνικής Τράπεζας Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχει πρόβληµα συσχέτισης. Στη γραφική απεικόνιση του παραπάνω γραφήµατος - κορελλόγραµµα των καταλοίπων παρατηρούµε ότι τα p- values είναι µεγαλυτερα απο το επιπεδο σηµαντικότητας α= 0,05 σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις. Εποµένως η αρχική µας υπόθεση ότι τα κατάλοιπα µας είναι ασυσχέτιστα δεν απορρίπτεται. Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης των τετραγώνων των Καταλοίπων Η : ρ = 0 Η 0 1 : ρ

87 Η υπόθεση µας είναι ότι τα τετράγωνα των καταλοίπων µας είναι ασυσχέτιστα. Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου των τετραγώνων των καταλοίπων της Εθνικής Τράπεζας Η γραφική απεικόνιση του παραπάνω γραφήµατος - κορελλόγραµµα των τετραγώνων των καταλοίπων δείχνει οτι έχουµε πρόβληµα ετεροσκεδαστικότητας καταλοίπων. 87

88 Έλεγχος κανονικότητας Καταλοίπων Εθνικής Τράπεζας Ιστόγραµµα κανονικότητας καταλοίπων Εθνικής Τράπεζας Παρατηρούµε ότι τα κατάλοιπα δεν ακολουθούν κανονική κατανοµή. Στη συνέχεια εκτιµουµε το ακόλουθο υπόδειγµα : r = c+ ε t ε t 2 t Ψt 1 fv(0, σt ) σ = a + aε + aε + βσ t 0 1 t 1 2 t 2 1 t 1 (6.3) 88

89 Εκτίµηση ιορθωµένου Μοντέλου Εθνικής Τράπεζας ιορθωµένο υπόδειγµα Εθνικής Tράπεζας Όπου r t είναι η σειρά των ηµερήσιων αποδόσεων (returns), ε t ο στοχαστικός όρος που ακολουθεί t κατανοµή µε µέσο 0 και δεσµευµένη διακύµανση 2 σ t. Οι παράµετροι του υποδείγµατος που είναι προς εκτίµηση είναι a 0, a 1, a 2, β 1,ν όπου ν είναι οι βαθµοί ελευθερίας της t κατανοµής. Οι περιορισµοί που πρέπει να ισχύουν και κάτω από τους οποίους µεγιστοποιείται η πιθανοφάνεια είναι : a 0>0, a 1 0, a2 0, β1 0, a1+ a2+ β1< 1 και ν >2 89

90 Εθνική Tράπεζα Παράµετροι a 0 a 1 a 2 β 1 ν Εκτιµήσεις 1,4x10 0,11-0,04 0,899 5,47 5 Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης Καταλοίπων Η : ρ = 0 Η 0 1 : ρ Η υπόθεση µας είναι ότι τα κατάλοιπα µας είναι ασυσχέτιστα 90

91 Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου των καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος της Εθνικής Τράπεζας Στη γραφική απεικόνιση του παραπάνω γραφήµατος - κορελλόγραµµα των καυαλοίπων παρατηρούµε υα p-value είναι µεγαλύτερα από το επίπεδο σηµαντικότητας α= 0,05. Εποµένως το διορθωµένο υπόδειγµα φαίνεται ότι δεν έχει πρόβληµα αυτοσυσχέτισης. Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης των τετραγώνων των Καταλοίπων 91

92 Η : ρ = 0 Η 0 1 : ρ Η υπόθεση µας είναι ότι τα τετράγωνα των καταλοίπων µας είναι ασυσχέτιστα Γράφηµα διαγνωστικού έλεγχου των τετραγώνων των καταλοίπων διορθωµένου υποδείγµατος της Εθνικής Τράπεζας Παρατηρούµε οτι δεν έχει πρόβληµα αυτοσυσχέτισης που σηµαίνει ότι τα τετράγωνα των καταλοίπων δεν έχουν πρόβληµα ετεροσκεδαστικότητας. 92

93 Στη συνέχεια παρουσιάζουµε το υποδειγµα που χρησιµοποιούµε για την µοντελοποιήση των αποδόσεων της Αγροτικής Τράπεζας και διεξάγουµε έλεγχο καταλοίπων. Εκτίµηση ιορθωµένου Μοντέλου της Αγροτικής Τράπεζας ιορθωµένο υπόδειγµα της Αγροτικής Τράπεζας 93