ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΟΛΥΦΑΣΙΚΑ, ΠΟΛΥΣΥΣΤΑΤΙΚΑ & ΑΝΤΙΔΡΩΝΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Transcript

1 ΔΠΜΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ακαδημαϊκό Έτος: / Εαρινό Εξάμηνο 1/30 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΟΛΥΦΑΣΙΚΑ, ΠΟΛΥΣΥΣΤΑΤΙΚΑ & ΑΝΤΙΔΡΩΝΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Καθηγήτρια Φούντη Μαρία

2 Γενικευμένη Εξίσωση Μεταφοράς 2/30 ( U xφ) x ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ / ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ r ru r r Φ x Φ=1 ή φ /ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Γ Φ Φ x Φ=U /ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΟΡΜΗΣ 1 r r rγ Φ Φ r S Φ Φ=h /ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Φ=Yi /ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΣΥΣΤΑΤΙΚΩΝ

3 Υπολογιστικές Μέθοδοι Επίλυσης Πολυφασικών Ροών 3/3030 Προσέγγιση κατά Euler ή Προσέγγιση των δύο ρευστών (Προσέγγιση Euler - Euler) Προσέγγιση κατά Lagrange ή Προσέγγιση των τροχιών των σωματιδίων (Προσέγγιση Euler - Lagrange) Προσέγγιση του Όγκου Ρευστού (Volume of Flui Approach)

4 Προσέγγιση Euler - Euler (Αρχές) 4/30 o o o o Κατά την απεικόνιση πεδίων ροής κατά Euler παρακολουθείται η κινητική κατάσταση του πεδίου, σε κάποια θέση αυτού, χωρίς ουσιαστικά να ενδιαφέρει ποιο στοιχείο του ρευστού κατέχει τη θέση αυτή, στην οποιαδήποτε χρονική στιγμή t Μια τέτοιου είδους παρακολούθηση του φαινόμενου της ροής απαιτεί τον καθορισμό της συνάρτησης του διανύσματος της ταχύτητας κάθε στοιχείου, καθώς με την πάροδο του χρόνου, το ένα μετά το άλλο στοιχεία του ρευστού, σαν μια αλυσίδα διέρχονται από τη θέση που εξετάζεται. Η σωματιδιακή φάση θεωρείται συνεχής υπό την προϋπόθεση ότι η συγκέντρωση αυτής υπερβαίνει μια ελάχιστη τιμή Με αυτή τη θεώρηση το πεδίο ροής των σωματιδίων υπολογίζεται όπως το πεδίο ροής του ρευστού. Συγκεκριμένα οι εξισώσεις συνέχειας και ορμής επιλύονται και για τις δύο φάσεις, ενώ το μοντέλο τύρβης που χρησιμοποιείται τροποποιείται κατάλληλα προκειμένου να ληφθεί υπόψη η διαμόρφωση της τύρβης από τη διασκορπισμένη φάση.

5 Προσέγγιση Euler - Euler (Αρχές) 5/30 Σε τυπική προσέγγιση διφασικής ροής κατά Euler, οι δύο φάσεις θεωρούνται συνεχή μέσα που αλληλοδιεισδύονται και που κατανέμονται σε κάθε σημείο του χώρου βάση μιας συγκέντρωσης κατ όγκο της κάθε φάσης (ΚΛΑΣΜΑ ΚΕΝΟΥ) c 1

6 Προσέγγιση Euler - Lagrange (Αρχές) 6/30 o o o o Η απεικόνιση πεδίου ροής κατά Lagrange είναι επέκταση στη μηχανική ρευστών του τρόπου απεικόνισης της κίνησης των υλικών σημείων, όπως αυτή παρουσιάζεται στην κλασσική μηχανική. Στην περίπτωση αυτή παρακολουθείται η κίνηση κάποιου στοιχείου του ρευστού καθώς διατρέχει την τροχιά του, από την αρχή μέτρησης του χρόνου t0, όπου το σημείο βρισκόταν στη θέση (x0, y0, z0) Η σωματιδιακή φάση θεωρείται διακριτή και διασκορπιζόμενη στη συνεχή φάση του ρευστού μέσου Η θεώρηση αυτή οδηγεί στον υπολογισμό των τροχιών των σωματιδίων, μέσω των οποίων περιγράφεται το πεδίο της σωματιδιακής ροής

7 Προσέγγιση Euler - Lagrange (Αρχές) 7/30 Η αλληλεπίδραση των δύο φάσεων (σύζευξη σωματιδίου δίνης ρευστού) μοντελοποιείται με την εισαγωγή όρων πηγής στις εξισώσεις διατήρησης της συνεχούς φάσης

8 Προσέγγιση Euler - Lagrange 8/30 Εξίσωση της Σωματιδιακής Κίνησης Η προσέγγιση Lagrange στηρίζεται στον υπολογισμό των τροχιών ενός αντιπροσωπευτικού αριθμού σωματιδίων Οι τροχιές αυτές προκύπτουν από επίλυση της στιγμιαίας εξίσωσης κίνησης, η οποία περιγράφει το ισοζύγιο των δυνάμεων που δρουν σε σωματίδιο καθώς αυτό κινείται κατά μήκος της τροχιάς του m U t F P F D F VM F L F H F G

9 Δυνάμεις που ασκούνται σε στοιχεία διασκορπισμένης φάσης 9/30 Δύναμη λόγω Kλίσης Πίεσης (Pressure Graient Force) Η επίδραση της τοπικής κλίσης στατικής πίεσης συνεχούς φάσης, στην κίνηση σωματιδίου εκφράζεται μέσω της δύναμης κλίσης πίεσης η οποία με υπόθεση σταθερής κατανομής πίεσης σε όλο τον όγκο του σταγονιδίου, εκφράζεται μέσω της ακόλουθης εξίσωσης: F P V p V : o όγκος σωματιδίου

10 Δυνάμεις που ασκούνται σε στοιχεία διασκορπισμένης φάσης 10/30 Δύναμη Αεροδυναμικής Αντίστασης (Drag Force) Η δύναμη που επηρεάζει περισσότερο από κάθε άλλη την κίνηση σωματιδίου. Εξαρτάται από τη σχετική κίνηση σωματιδίων σταγονιδίων και ρευστού. Λόγω της συνεκτικότητας του ρευστού αναπτύσσεται στην επιφάνεια του σωματιδίου, κλίση πίεσης η οποία είναι απαραίτητη για να μπορέσει να υπερνικήσει τις διατμητικές δυνάμεις και να ρεύσει γύρω από το σωματίδιο F D 8 C D D 2 U U U U ρ : πυκνότητα ρεστού D: διάμετρος σωματιδίου συντελεστής αεροδυναμικής αντίστασης

11 Δυνάμεις που ασκούνται σε στοιχεία διασκορπισμένης φάσης 11/30 Συντελεστής Αεροδυναμικής Αντίστασης (Drag Force Coefficient) Εξαρτάται από τον σωματιδιακό αριθμό Reynols, τη μορφή του σωματιδίου, την ένταση της τύρβης κτλ Re ,44 C Re < /Re (1+0,15Re0,687 0,687 )

12 Δυνάμεις που ασκούνται σε στοιχεία διασκορπισμένης φάσης 12/30 Δύναμη Φαινόμενης Μάζας (Ae Mass Force) Όταν ένα σωματίδιο επιταχύνεται σε σχέση με τη συνεχή φάση εντός διφασικού πεδίου ροής, προκαλείται επιπρόσθετη επιτάχυνση σε τμήμα του συνεχούς μέσου που περιβάλλει το σταγονίδιο. Αυτή επιδρά με τη σειρά της στην κίνηση του σταγονιδίου μέσω μιας δύναμης, η οποία ονομάζεται δύναμη φαινόμενης μάζας, επειδή η επίδραση της ισοδυναμεί με την προσθήκη νέας μάζας στο σταγονίδιο. Σταθερά η οποία εκφράζει την εξάρτηση της δύναμης από μια παράμετρο επιτάχυνσης Α (Oar & Hamilton, 1964) F VM C VM U 2 U U t

13 Δυνάμεις που ασκούνται σε στοιχεία διασκορπισμένης φάσης 13/30 30 Δυνάμεις Άνωσης Δύναμη Άνωσης λόγω Περιστροφής Δύναμη Άνωσης λόγω Διάτμησης (Saffman Force) Υδροστατική Άνωση

14 Δυνάμεις που ασκούνται σε στοιχεία διασκορπισμένης φάσης 14/30 Δύναμη Άνωσης λόγω Περιστροφής (Φαινόμενο Magnus) Η ροπή που ασκείται σε ένα σφαιρικό σωματίδιο οφείλεται στις διατμητικές δυνάμεις που δρουν στην επιφάνεια του. Αποτέλεσμα της ροπής αυτής είναι η περιστροφή του σωματιδίου Κατά την περιστροφή σωματιδίου διασκορπισμένης φάσης, η διαφορά ταχυτήτων στα διάφορα σημεία της επιφάνειας του προκαλεί μια αντίστοιχη διαφορά πίεσης με αποτέλεσμα την ανάπτυξη της δύναμης άνωσης λόγω περιστροφής (φαινόμενο Magnus). F RL D U U

15 Δυνάμεις που ασκούνται σε στοιχεία διασκορπισμένης φάσης 15/30 Δύναμη Άνωσης λόγω Διάτμησης (Saffman Force) Οφείλεται στην επιφανειακή κατανομή της πίεσης που προκαλείται από κλίση της ταχύτητας του ρευστού Στην περίπτωση αυτή, η πίεση στην πλευρά της επιφάνειας του σταγονιδίου όπου η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, έχει τοπικά μικρότερο μέτρο σε σχέση με την πίεση στην πλευρά της επιφάνειας του σωματιδίου, όπου η ταχύτητα είναι μικρότερη. Αυτή η διαφορά πίεσης προκαλεί την άνωση λόγω διάτμησης. F SL 0,514 D 2 U U ω : διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας περιστροφής

16 Δυνάμεις που ασκούνται σε στοιχεία διασκορπισμένης φάσης 16/30 Υδροστατική Άνωση Βασίζεται στην αρχή του Αρχιμήδη, σύμφωνα με την οποία στο σωματίδιο ασκείται δύναμη με φορά αντίθετη προς το διάνυσμα της επιτάχυνσης της βαρύτητας και μέτρο ίσο με το βάρος του εκτοπιζόμενου από τον όγκο του σωματιδίου ρευστού. F HL V g

17 Δυνάμεις που ασκούνται σε στοιχεία διασκορπισμένης φάσης 17/30 Δύναμη Basset Περιγράφει τη δύναμη που ασκείται σε ένα σωματίδιο διασκορπισμένης φάσης που επιταχύνεται εντός πεδίου ροής, λόγω του οριακού στρώματος που αναπτύσσεται γύρω του. Επηρεάζει την κίνηση του σωματιδίου μόνο σε συνθήκες μη μόνιμης κατάστασης και οι τιμές που λαμβάνει είναι συνήθως πολύ μικρότερες από τις αντίστοιχες της δύναμης αεροδυναμικής αντίστασης, αποδεικνύοντας ότι η επίδραση της στην κίνηση του σταγονιδίου είναι ιδιαίτερα μικρή.

18 Δυνάμεις που ασκούνται σε στοιχεία διασκορπισμένης φάσης 18/30 Υπόλοιπες Δυνάμεις Βαρυτική Δύναμη F G V g Ηλεκτρική Δύναμη (Coulomb) F C q E

19 Προσέγγιση του Όγκου Ρευστού 19/30 Η χρήση της συνηθίζεται για την επίλυση προβλημάτων ελεύθερης επιφάνειας. Επιλύονται οι βασικές εξισώσεις διατήρησης (που προκύπτουν από τη βασική εξίσωση μεταφοράς), για τις «υπολογιστικές φάσεις» που συμμετέχουν στο πεδίο ροής. Το σύστημα των μερικών διαφορικών εξισώσεων διατήρησης επιλύεται μια φορά, θεωρώντας ουσιαστικά ότι όλες οι συμμετέχουσες «υπολογιστικές φάσεις» στο υπό εξέταση πεδίο ροής, αποτελούν συστατικά μείγματος μιας φάσης Οι μέθοδοι που αναπτύσσονται στοχεύουν στον ακριβή υπολογισμό θέσεως της διεπιφάνειας μεταξύ των συστατικών του μείγματος σε κάθε υπολογιστικό κελί. Συνήθη πρακτική αποτελεί, ο ορισμός ειδικών συναρτήσεων ορισμού θέσης διεπιφάνειας και η επίλυση κατάλληλων εξισώσεων μεταφοράς για τον υπολογισμό των τιμών τους.

20 Προσέγγιση του Όγκου Ρευστού 20/30 Μέθοδος παρακολούθησης θέσης δι-επιφάνειας (Ιnter - Phase Tracking) Μέθοδος καθορισμού επιπέδου (Level Set) Mέθοδος Πεδίου Φάσης (Phase Fiel Metho) Υπολογιστικό κελί Διεπιφάνεια Στοιχείου Διασκορπισμένης Φάσης / Συνεχούς Μέσου

21 Προσέγγιση του Όγκου Ρευστού 21/30 Η εφαρμογή των μεθοδολογιών αυτών επιβάλλει την παρακολούθηση της θέσης διεπιφάνειας κάθε σωματιδίου - σταγονιδίου, σε σχέση με το συνεχές μέσο Η χρήση των μεθόδων αυτών περιορίζεται σε διφασικά πεδία ροής μικρού αριθμού στοιχείων διασκορπισμένης φάσης. Σε εφαρμογές μεγάλης κλίμακας ή μεγάλου αριθμού στοιχείων διασκορπισμένης φάσης, το υπολογιστικό κόστος που απαιτείται για την επίλυση των χαρακτηριστικών ροής, κρίνεται απαγορευτικό.

22 Επίλυση χαρακτηριστικών μεγεθών συνεχούς μέσου 22/30 1. Το πεδίο πιέσεων λαμβάνει αρχικά υποθετικές τιμές p* (Αλγόριθμος SIMPLE) 2. Επίλυση εξίσωσης συνέχειας 3. Επίλυση των εξισώσεων διατήρησης ορμής, με στόχο τον υπολογισμό του πεδίου ταχύτητας του συνεχούς μέσου που αντιστοιχεί στην υποθετική πίεση p* 4. Επίλυση της εξίσωσης διόρθωσης πίεσης και υπολογισμός της διόρθωσης του πεδίου πιέσεων. Λαμβάνει χώρα διόρθωση του πεδίου πίεσης και ταχυτήτων 5. Ενδεχόμενη επίλυση: εξίσωση διατήρησης ενέργειας, συστατικών, εξισώσεων διατήρησης τυρβωδών μεγεθών 6. Επιστροφή στο Βήμα [2] με τις νέες τιμές των μεταβλητών 7. Επανάληψη των βημάτων [2-5] μέχρι την επίτευξη σύγκλισης. εξίσωση διατήρησης

23 Προσέγγιση Euler - Euler 23/ Εκτίμηση των τιμών όλων των μεταβλητών 2. Επίλυση των εξισώσεων συνέχειας υπολογιστούν τα κλάσματα όγκου και για τις δυο φάσεις, προκειμένου 3. Επίλυση των εξισώσεων διατήρησης ορμής, με στόχο τον υπολογισμό των πεδίων ταχυτήτων των δύο φάσεων 4. Με βάση τα παραπάνω υπολογίζονται οι συντελεστές της εξίσωσης διόρθωσης πίεσης η οποία και επιλύεται ακολούθως 5. Λαμβάνει χώρα διόρθωση του πεδίου πίεσης και ταχυτήτων 6. Επιστροφή στο βήμα [2] με τις νέες τιμές των μεταβλητών 7. Επανάληψη των βημάτων [2-6] μέχρι την επίτευξη σύγκλισης. να

24 Προσέγγιση Euler - Euler 24/30 Προσέγγιση Δύο Ρευστών Ρευστών (two flui approach) Μικρό εύρος κατανομή μεγέθους στοιχείων διασκορπισμένης φάσης Στοιχεία Διασκορπισμένης Φάσης ίδιου μεγέθους Προσέγγιση Πολλών Ρευστών (multi (multi flui approach) Ευρεία κατανομή μεγέθους στοιχείων διασκορπισμένης φάσης Θεώρηση περισσότερων από μια «υπολογιστικών φάσεων» Κάθε «υπολογιστική φάση» χαρακτηρίζεται από κοινό μέγεθος των στοιχείων διασκορπισμένης φάσης Επίλυση των εξισώσεων επαναλαμβάνεται για κάθε «υπολογιστική φάση»

25 Προσέγγιση Euler - Euler 25/30 Αλληλεπίδραση των δύο φάσεων Ορμής C D U Ενέργειας, r U C T T H r C D, C H, Συντελεστές από διεθνή βιβλιογραφία Τύρβης C D k k

26 Προσέγγιση Euler - Lagrange 26/30 1. Επίλυση όλων των εξισώσεων διατήρησης του συνεχούς μέσου μέχρι την επίτευξη σύγκλισης. Στην περίπτωση αυτή η ροή θεωρείται μονοφασική 2. Διαδοχική επίλυση σταγονίδιο - τροχιά» της στιγμιαίας εξίσωσης κίνησης για κάθε «υπολογιστικό 3. Υπολογισμός των όρων πηγής καταβόθρας που οφείλονται στην παρουσία των σταγονιδίων, σε κάθε υπολογιστικό κελί. 4. Λαμβάνει χώρα εκ νέου επίλυση των εξισώσεων διατήρησης του συνεχούς μέσου μέχρι την επίτευξη νέας σύγκλισης. Με αυτόν τον τρόπο, λαμβάνεται υπόψη η επίδραση της διασκορπισμένης φάσης στο πεδίο ροής του συνεχούς μέσου. 5. Επανάληψη των βημάτων [2-4] για έναν προκαθορισμένο αριθμό κύκλων σύζευξης διπλής κατεύθυνσης (Two Way Coupling).

27 Προσέγγιση Euler - Lagrange 27/30 Σύζευξη μεταξύ των φάσεων Απλή (one way coupling) Tο πεδίο ροής της συνεχούς φάσης είναι ανεξάρτητο της κίνησης των στοιχείων διασκορπισμένης φάσης. Διπλή (two way coupling) Επαναληπτική διαδικασία πεπερασμένου αριθμού κύκλων, κατά την οποία τα χαρακτηριστικά της συνεχούς φάσης επηρεάζουν τα αντίστοιχα της διασκορπισμένης φάσης και αντίστροφα Τετραπλή (four way coupling) Λαμβάνονται υπόψη και οι συγκρούσεις μεταξύ των στοιχείων της διασκορπισμένης φάσης

28 Προσέγγιση Euler - Lagrange 28/30 Αλληλεπίδραση των δύο φάσεων Ορμής Δημιουργία κατάλληλων όρων πηγής από παρακολούθηση τροχιών σταγονιδίων Ενέργειας Δημιουργία κατάλληλων όρων πηγής από παρακολούθηση τροχιών σταγονιδίων Τύρβης Μοντέλα τυρβώδους διασκορπισμού (Gosman & Ioannies,1981 ) Διαμόρφωση τύρβης λόγω παρουσίας στοιχείων διασκορπισμένης φάσης όροι πηγής πηγής (Crowe et al.,1977 )

29 Προσέγγιση Euler - Lagrange 29/30 Έννοια «Υπολογιστικού Σωματιδίου» Η συνολική μάζα της διασκορπισμένης φάσης διαιρείται σε ομάδες «πραγματικών» σωματιδίων σταγονιδίων με κοινά χαρακτηριστικά Θα πρέπει να εξασφαλίζεται ο συνδυασμός λήψης ακριβών και στατιστικά ανεξάρτητων αποτελεσμάτων, με μικρό ταυτόχρονα υπολογιστικό κόστος.

30 Θέματα για Συζήτηση 30/30 Σύγκριση Euler Euler / Euler Lagrange Καταλληλότητα ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του πεδίου ροής Υπολογιστικό Κόστος Χαρακτηριστικά των κωδίκων που δημιουργούνται