Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală"

Transcript

1 Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice. 3.2 Funcţii de matrice Considerăm o funcţie f : D IC IC şi fie A C n n o matrice dată. Ne propunem mai întâi să definim noţiunea de funcţie de matrice adică semnificaţia expresiei F = f(a). (3.1) Fie µ A (z) polinomul minimal al matricei A, i.e. polinomul monic de grad minim cu proprietatea µ A (A) = 0, şi λ i C, i = 1 : l, zerourile acestuia având ordinele de multiplicitate m i. Avem m 1 l µ A (z) = z m + α i z i = (z λ i ) mi (3.2) unde m def = grad(µ A ) = l i=1 m i. Definiţia 3.1 Fie A C n n şi k=0 i=1 Λ = {(λ i, m i ) i = 1 : l, λ i C, m i N } (3.3) mulţimea zerourilor polinomului minimal µ A al matricei A împreună cu multiplicităţile respective. Dacă funcţia f : D C C este analitică pe o mulţime deschisă D ce conţine punctele λ i, i = 1 : l atunci spunem că f este definită pe spectrul matricei A iar mulţimea valorilor funcţiei f pe spectrul matricei A este { } f(λ) = f (k) (λ i ) i = 1 : l, k = 0 : m i 1. (3.4) În particular, o funcţie întreagă f (i.e. analitică pe D = C) este definită pe spectrul oricărei matrice A C n n.

2 2 LABORATOR 3. FUNCŢII DE MATRICE Deşi introducerea noţiunii de funcţie de matrice prin intermediul polinomului de interpolare Lagrange-Sylvester este, probabil, mai intuitivă pentru un inginer, pentru evidenţierea rapidă a unor proprietăţi utile în elaborarea unor proceduri de calcul efectiv, preferăm următoarea definiţie. Definiţia 3.2 Fie λ(a) spectrul matricei A C n n şi D C un domeniu cu frontiera Γ suficient de netedă astfel încât λ(a) D. Dacă f este o funcţie analitică pe D Γ atunci F def = f(a) = 1 (zi A) 1 f(z)dz. (3.5) 2πi Γ Calculul elementelor matricei F, i.e. a integralei Cauchy f ij = 1 e T i (zi A) 1 e j f(z)dz (3.6) 2πi Γ poate fi efectuat, de exemplu, cu ajutorul teoremei reziduurilor, deşi această cale nu este recomandată decât, eventual, pentru matrice de dimensiuni nesemnificative. Menţionăm, de asemenea, posibilitatea exprimării funcţiilor de matrice prin serii matriceale de puteri. În continuare, prezentăm câteva proprietăţi ale funcţiilor de matrice, utile în dezvoltările procedurale care fac obiectul metodelor de calcul recomandate ca fiind cele mai bune în momentul actual. Propoziţia 3.1 Dacă funcţia f este definită pe spectrul matricei A atunci oricare ar fi matricea nesingulară T. f(t AT 1 ) = T f(a)t 1. (3.7) Propoziţia 3.2 Dacă matricea A C n n este superior (inferior) triunghiulară, iar f este o funcţie definită pe spectrul lui A atunci a) F = f(a) este superior (inferior) triunghiulară; b) f ii = f(a ii ), i = 1 : n. Propoziţia 3.3 Fie λ(a) = {λ 1, λ 2,..., λ n } spectrul matricei A C n n. Atunci pentru orice funcţie f definită pe spectrul lui A avem λ(f(a)) = {f(λ 1 ), λ 2,..., f(λ n )}. (3.8) Propoziţia 3.4 Matricele A C n n şi F = f(a) comută i.e. Af(A) = f(a)a. (3.9) 3.3 Calculul funcţiilor de matrice. Algoritmi Tehnicile numerice de evaluare a funcţiilor de matrice, recomandate de experienţa numerică acumulată se pot împărţi în două categorii: a) metode bazate pe calculul valorilor proprii; b) metode aproximative bazate pe trunchierea unor dezvoltări în serie.

3 3.3. CALCULUL FUNCŢIILOR DE MATRICE. ALGORITMI 3 Prezentăm, în continuare, procedurile bazate pe calculul valorilor proprii; metodele aproximative, bazate pe trunchierea unor dezvoltări în serie, vor fi aplicate în paragraful următor, dedicat cazului particular dar important pentru teoria sistemelor liniare, al calculului exponenţialei matriceale. Pentru matricele simple (i.e. diagonalizabile) calculul funcţiilor de matrice prin evaluarea valorilor şi vectorilor proprii se bazează pe propoziţiile 3.2 şi 3.3. Într-adevăr, în acest caz, dacă V = [ v 1 v 2... v n ] este matricea vectorilor proprii ai matricei date A C n n atunci A = V ΛV 1 unde Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ). Prin urmare, pentru orice funcţie definită pe spectrul matricei A rezultă F = f(a) = V f(λ)v 1 = V diag(f(λ 1 ), f(λ 2 ),..., f(λ n ))V 1. (3.10) Folosind funcţia MATLAB eig de calcul a valorilor şi vectorilor proprii ai unei matrice având sintaxa [ V, L ] = eig(a) unde L = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ) este forma Jordan a matricei diagonalizabile A, iar coloanele matricei de transformare V sunt vectorii proprii asociaţi. Relaţia (3.10) stă la baza următorului algoritm de calcul al funcţiilor de matrice diagonalizabile. Algoritmul 3.1 (Date matricea simplă A C n n şi funcţia f : D C C definită pe spectrul matricei A, algoritmul calculează F = f(a) prin determinarea valorilor şi vectorilor proprii.) 1. [ V, L ] = eig(a) 2. D = zeros(n, n) 3. Pentru i = 1 : n 1. D(i, i) = f(l(i, i)) 4. F = V D/V, i.e. se rezolvă în raport cu F sistemul matriceal liniar nesingular F V = V D. 5. Dacă se ştie a priori că rezultatul este real atunci F = Re(F ). Evident, efortul de calcul principal este destinat calculului valorilor şi vectorilor proprii şi, într-o oarecare măsură, rezolvării sistemului matriceal liniar. Proprietăţi numerice mult mai bune, în toate cazurile, se obţin dacă în locul formei canonice Jordan se utilizează forma Schur complexă (sau reală) a matricei A. Această alternativă este condiţionată de existenţa unui algoritm eficient de calcul al funcţiilor de matrice triunghiulare (sau cvasitriunghiulare). Un astfel de algoritm, propus de B.N. Parlett [ 1 ], are la bază propoziţia 3.3 şi proprietatea de comutativitate formulată în propoziţia 3.4. Vom deduce algoritmul pentru cazul generic al matricelor cu valori proprii distincte. Fie T C n n o matrice superior triunghiulară cu t ii t jj pentru orice i j şi f o funcţie definită pe spectrul lui T. Dacă F = f(t ) atunci avem F T = T F. (3.11) Ţinând cont că matricea F este, de asemenea, superior triunghiulară şi scriind (3.11) pe elemente obţinem j j t ik f kj = f ik t kj, j = 1 : n, i = 1 : j, (3.12) k=i k=i

4 4 LABORATOR 3. FUNCŢII DE MATRICE de unde, în ipotezele menţionate, avem f ij = 1 t jj t ii [t ij (f jj f ii ) + j 1 k=i+1 (t ik f kj f ik t kj )], j = 1 : n, i = 1 : j. (3.13) Relaţia (3.13) este utilă numai în măsura în care se poate găsi o ordine de calcul a elementelor matricei F astfel încât, la fiecare moment al procesului de calcul, în membrul drept al expresiei (3.13) să apară numai elemente deja calculate. O astfel de ordine există şi ea poate fi evidenţiată observând că elementele diagonale sunt calculabile cu formula f ii = f(t ii ) (3.14) şi că în membrul drept al relaţiei (3.13) apar elementele F (i, i : j 1) din stânga elementului f ij şi F (i + 1 : j, j) de sub elementul f ij (vezi diagrama din figura 3.1). j i F (i, i : j 1) f ij F (i + 1 : j, j) Figura 3.1: Matricea F = f(t ). De exemplu, se poate adopta o ordine diagonală de calcul al elementelor triunghiului superior, după cum este indicat în diagrama din figura 3.2 pentru n = 5, numărul înscris în matrice marcând numărul de ordine pentru calculul elementului de pe poziţia respectivă Figura 3.2: Ordinea diagonală de calcul a elementelor matricei F = f(t ). Aceasta nu este singura ordine posibilă. Într-adevăr, dacă efectuăm calculele pe coloane în ordinea j = 1, 2,..., n, pe fiecare coloană calculele efectuându-se de jos în sus (vezi diagrama a) din figura 3.3) sau pe linii în ordinea i = n, n 1,..., 1, pe fiecare linie ordinea de calcul

5 3.3. CALCULUL FUNCŢIILOR DE MATRICE. ALGORITMI 5 fiind de la stânga la dreapta (diagrama b) din figura 3.3), atunci în momentul calculului unui element curent oarecare, elementele din stânga şi de sub elementul curent sunt deja calculate (a) (b) Figura 3.3: Ordinea pe coloane (a) şi ordinea pe linii (b) de calcul a elementelor matricei F = f(t ). Prezentăm în continuare algoritmul corespunzător ordinii diagonale de calcul, celelalte variante făcând obiectul unor exerciţii. Pentru a urmări mai uşor indexarea, observăm că, atribuind indicele q direcţiilor paralele cu diagonala principală a matricei, rezultă următoarea schemă de calcul. 1. Se calculează f ii = f(t ii ), i = 1 : n. 2. Pentru q = 2 : n 1. Pentru i = 1 : n q Se calculează f i,i+q 1 cu relaţia (3.13). Pentru a nu modifica indexarea folosită în expresia (3.13) a elementului f ij facem următoarele schimbările de indici p = q 1, j = i + p. Schema de mai sus ne conduce la următorul algoritm de calcul al funcţiilor de matrice triunghiulare cu elementele diagonale distincte. Algoritmul 3.2 (Parlett)(Date o matrice superior triunghiulară T C n n cu t ii t jj pentru orice i j şi o funcţie f : D C C definită pe spectrul matricei T, algoritmul calculează, în ordine diagonală, elementele matricei superior triunghiulare F = f(t ).) 1. Pentru i = 1 : n 1. f ii = f(t ii ) 2. Pentru p = 1 : n 1 1. Pentru i = 1 : n p 1. j = i + p 2. s = t ij (f jj f ii ) 3. Dacă p > 1 atunci 1. Pentru k = i + 1 : j 1 1. s = s + t ik f kj f ik t kj 4. f ij = s t jj t ii

6 6 LABORATOR 3. FUNCŢII DE MATRICE Cu acest algoritm, completat cu procedura de aducere a unei matrice date la forma Schur complexă (superior triunghiulară) prin transformări ortogonale de asemănare, se obţine o procedură cu bune calităţi numerice pentru calculul funcţiilor de matrice. Utilizând funcţiile MAT- LAB schur şi rsf2csf se obţin matricea unitară de transformare U şi forma Schur complexă S a matricei A legate prin relaţiile Introducând pentru utilizarea algoritmului 3.2 sintaxa S = U H AU, A = USU H. (3.15) F = parlett( f, T ) având ca parametrii de intrare şirul de caractere f ce desemneazaa funcţia f şi matricea superior triunghiulară T, iar ca parametru de ieşire matricea F = f(t ) obţinem următorul algoritm. Algoritmul 3.3 (Date o matrice A cu valori proprii distincte şi o funcţie f definită pe spectrul matricei A, algoritmul calculează matricea F = f(a) prin metoda aducerii matricei A la forma Schur complexă.) 1. [U, S] = schur(a) 2. [U, S] = rsf2csf(u, S) 3. T = parlett(f, S) 4. F = UT U H 5. Dacă se ştie a priori că rezultatul este real atunci F = Re(F ). Calculul exponenţialei matriceale Deşi metodele de calcul prezentate în secţiunea precedentă sunt aplicabile pentru toate funcţiile definite pe spectrul matricei argument, pentru anumite funcţii, de un interes aplicativ deosebit, au fost dezvoltate proceduri alternative, cu calităţi numerice superioare. În acest paragraf prezentăm principalele metode pentru calculul exponenţialei matriceale Φ(t) = e ta, (3.16) unde t > 0 este un parametru scalar. După cum se ştie, funcţia Φ(t) este matricea de tranziţie a stărilor sistemului liniar ẋ = Ax, adică satisface ecuaţia diferenţială matriceală liniară Φ = AΦ cu condiţia iniţială Φ(0) = I. Pentru a limita sensibilitatea lui Φ(t) în raport cu variaţiile lui A e necesar să limităm t A, de exemplu astfel încât t A 1, (3.17) fie alegând t suficient de mic, fie (în cazul în care t este impus) utilizând proprietatea e ta = (e t 2 m A ) 2m, m 1. (3.18) Într-adevăr, oricare ar fi t A există m astfel încât t 2 m A 1 iar dacă e t 2 m A e cunoscut atunci, conform (3.18), e ta poate fi calculat printr-un proces de ridicare succesivă la pătrat. O evaluare a lui m rezultă observând că dacă t A 1 atunci trebuie să avem log 2 (t A ) < m, deci m = 1 + [ log 2 (t A ) ], (3.19)

7 3.3. CALCULUL FUNCŢIILOR DE MATRICE. ALGORITMI 7 unde [ ] este partea întreagă a argumentului. În practică m se poate alege printr-un procedeu de înjumătăţire succesivă. Schema de calcul, numită de înjumătăţire şi ridicare la pătrat (scalling and squaring), pe scurt (1/2) 2, este următoarea: Schema (1/2) 2 1. Se calculează A. 2. Se iniţializează m = C^at timp t A 1 1. t t/2 2. m m Se calculează F = e ta. 5. C^at timp m 1 1. F F 2 2. m m 1 În ipoteza că t A e limitată (de exemplu cu schema (1/2) 2 ), metodele uzuale de calcul al exponenţialei matriceale constau în construcţia unei aproximări locale în jurul lui z = 0 a funcţiei e z. De regulă aproximările utilizate sunt de tip polinomial (Taylor) sau raţional (Padé) şi permit calculul lui e ta prin evaluarea aproximării considerate pentru z = ta. I. Aproximaţia polinomială (Taylor) de ordin p este de forma T p (z) = p k=0 1 k! zk (3.20) şi asigură cea mai bună aproximare polinomială locală de ordin p. Eroarea relativă de trunchiere comisă de aproximarea (3.20) este mărginită superior de e r (t A )p+1 (p+1)! astfel încât p se poate determina din relaţia (t A ) p+1 tol (3.21) (p + 1)! unde tol este o toleranţă acceptată. Evaluarea polinomului matriceal T p (A) are loc după schema T k+1 (ta) = T k (ta) + X k, X k = 1 k! tk A k, (3.22) unde între doi termeni succesivi X k şi X k 1 are loc relaţia iar iniţializările sunt, evident, T 0 (ta) = I şi X 0 = I. X k = 1 k tax k 1, (3.23) Ţinând seama de cele spuse mai sus, algoritmul de calcul al exponenţialei matriceale poate fi formulat în felul următor. Algoritmul 3.4 (Date A R n n şi t R algoritmul calculeaza F = e ta, în ipoteza t A < 1, utilizând aproximaţia Taylor).

8 8 LABORATOR 3. FUNCŢII DE MATRICE 1. Se determină p din condiţia (3.21). 2. X = I 3. F = I 4. Pentru k = 1 : p 1. X 1 k tax 2. F F + X Observaţia 3.1 În absenţa limitării lui t A, la pasul 4.2 pot avea loc fenomene de anulare prin scădere cu consecinţe catastofale asupra preciziei. Prin urmare, algoritmul de mai sus se asociază în mod obligatoriu cu schema (1/2) 2. În orice caz, pentru siguranţa calculului, se recomandă monitorizarea normei termenilor X. II. Aproximaţia raţională (Padé) de grade (p, q) şi de ordin p + q este de forma unde coeficienţii c k, d k sunt R pq (z) = N p(z) D q (z) = c 0 + c 1 z + + c p z p 1 + d 1 z + + d q z q, (d def 0 = 1), (3.24) c k = (p + q k)!p! (p + q)!k!(p k)!, d (p + q k)!q! k = (p + q)!k!(q k)! ( 1)k. (3.25) Eroarea de trunchiere poate fi limitată alegînd convenabil gradele p, q ale a proximării (3.24). Se poate arăta că dacă t A < 1 2 atunci unde AE = EA iar R pq (ta) = e t(a+e) (3.26) te 8 p!q! (p + q)! (t A )p+q+1 (p + q + 1)!. (3.27) Eroarea relativă de trunchiere comisă prin utilizarea aproximaţiei Padé R pq (ta) poate fi evaluată acoperitor prin e t(a+e) e ta e ta e te I = te + t2 E 2 + t E e t E. (3.28) 2! Din motive de eficienţă se recomandă p = q, cu care valoarea concretă se alege din condiţia te < eps, unde eps este o toleranţă prescrisă, mai precis 8 (p!)2 (2p)! (t A )2p+1 eps, (3.29) (2p + 1)! În MATLAB se consideră că este suficient să se aleagă p = q = 6. unde Polinoamele N p (ta) şi D p (ta) se evaluează după schema cunoscută, adică Rezultă următorul algoritm. N k+1 (ta) = N k (ta) + X k, X k = c k t k A k (3.30) X k = p k + 1 k(2p k + 1) tax k 1. (3.31)

9 3.4. SARCINI DE LUCRU 9 Algoritmul 3.5 (Padé) (Date A R n n şi t R astfel încât t A < 1 2, algoritmul calculează F = e ta utilizând aproximaţia Padé). 1. Se determină p din condiţia (3.29) sau se consideră p = X = I 3. N = I 4. D = I 5. Pentru k = 1 : p 1. X p k + 1 k(2p k + 1) tax 2. N N + X 3. D D + ( 1) k X 6. F = d N, i.e. se rezolvă ecuaţia matriceală DF = N în raport cu F. Observaţia 3.2 Si algoritmul de mai sus se asociază în mod obligatoriu cu schema (1/2) 2. Pentru siguranţa calculului, în afară de monitorizarea normei termenilor X, se recomandă testarea lui cond(d) la pasul 6. Programe MATLAB disponibile Pentru calculul unei funcţii de matrice cu valori proprii distincte se poate folosi funcţia funm. Pentru calculul exponenţialei matriceale este disponibilă funcţia expm. 3.4 Sarcini de lucru A. În laborator 1. Se va scrie programul MATLAB pentru implementarea algoritmului de calcul al funcţiilor de matrice bazate pe calculul valorilor şi vectorilor proprii şi se vor testa pe exemple numerice semnificative (m, n > 20) pentru funcţiile exp, sin, cos, sqrt. Se vor compara soluţiile calculate cu programul propriu cu cele oferite de funcţiile MATLAB disponibile. 2. Se vor scrie programele MATLAB pentru implementarea algoritmului Parlett precum şi pentru implementarea algoritmului 3.5. Se vor compara soluţiile calculate pentru funcţiile exp, sin, cos, sqrt cu programe proprii cu cele oferite de funcţiile MATLAB disponibile şi cu rezultatele oferite de programul de la punctul Se va scrie programul MATLAB pentru implementarea algoritmului de calcul al exponenţialei matriceale bazat pe aproximarea Pad e incluzând schema (1/2) 2. Se vor compara soluţiile calculate cu programe proprii cu cele oferite de funcţiile MATLAB disponibile şi cu rezultatele oferite de programul de la punctele 1 şi Se vor analiza sursele funcţiilor MATLAB funm şi expm şi se vor identifica metodele folosite.

10 10 LABORATOR 3. FUNCŢII DE MATRICE B. Acasă 1. Se vor scrie programele MATLAB pentru implementarea algoritmilor Parlett în versiunile pe linii şi pe coloane şi se vor compara rezultatele oferite de cele trei versiuni testate pe exemple numerice semnificative (m, n > 20) pentru funcţiile exp, sin, cos, sqrt. 2. Se va scrie programul MATLAB pentru implementarea algoritmului de calcul al exponenţialei matriceale bazat pe aproximaţia Taylor şi se va testa pe exemple numerice semnificative (m, n > 20). Se vor compara soluţiile calculate cu acest program cu soluţiile calculate de celelalte programe. Ce constataţi? 3. Exerciţii şi teme de casă. E 3.1 Adaptaţi algoritmul Parlett pentru calculul funcţiilor de matrice inferior triunghiulare cu elementele diagonale distincte. E 3.2 Scrieţi un algoritm eficient pentru calculul funcţiei F = f(a), unde A este superior bidiagonală cu elemente diagonale distincte. E 3.3 Scrieţi un algoritm eficient pentru calculul unei funcţii F = f(a), unde A R n n este simetrică. Consideraţi cazurile f(z) = e z, f(z) = ln z, f(z) = z. E 3.4 Scrieţi un algoritm eficient pentru calculul matricei de tranziţie Φ(k) = A k a sistemului liniar discret x(k + 1) = Ax(k). E 3.5 Stabiliţi legătura dintre funcţiile considerate mai sus şi exponenţiala matriceală e ta0, unde [ ] A 0 0 In =. A 0 Ce implicaţii calculatorii are constatarea făcută? Bibliografie [1] Jora B., Popeea C., Barbulea S. Metode de Calcul Numeric în Automaticăa, Ed. Enciclopedică, Bucureşti 1996.

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR ŞI LUCRǍRI DE LABORATOR Simina Mariş Liliana Brǎescu Timişoara 007 Introducere Procesul de

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

Schema bloc ale unui stabilizator liniar de tensiune cu element de reglare serie, cu bucla de reactie.

Schema bloc ale unui stabilizator liniar de tensiune cu element de reglare serie, cu bucla de reactie. TABLZATOAE istemul electronic care menţine invariante în timp caracteristicile semnalelor de ieşire în condiţii de variaţie, în domenii specificate, a mărimilor de intrare poartă numele de stabilizator

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode Cuprins I. Noţiuni teoretice: sursa de tensiune continuă, redresoare de tensiune, stabilizatoare de tensiune II. Modul de lucru: Realizarea practică a unui redresor de tensiune monoalternanţă. Realizarea

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare:

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare: 1 2 Fiind o aplicaţie din pachetul Microsoft Office, Microsoft Excel prezintă o interfaţă asemănătoare cu editorul de text Microsoft Word având aceeaşi organizare a sistemului de meniuri şi a barelor de

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE 6 CICUITE BACULANTE BITABILE 6. Introducere Circuitele basculante bistabile sau, mai scurt, circuitele bistabile sunt circuite care pot avea la ieşire două stări stabile: logic şi logic. Circuitul poate

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE REPARTIŢIA TENSINILOR ÎNALTE PE LANŢRI DE IZOLATOARE 1. NOTINI TEORETICE Principalul criteriu distinctiv al sistemelor şi echipamentelor electrice de înaltă tensiune faţă de cele de joasă tensiune îl constituie

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE COLEGIUL UCECOM SPIRU HARET BUCURESTI UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE Elev : Popa Maria Clasa :a-xi-a A Indrumator:prof.Chirescu Emil APLICATII PRACTICE CE POT FI REALIZATE

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436 Laborator: Electronică Industrială Lucrarea nr:... Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 4. Funcţionarea variatorului de

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE 5.1. Analiza conceptuală a termenilor de fiabilitate, mentenabilitate şi disponibilitate

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN 4. TRANZISTORUL BIPOLAR 4.1. GENERALITĂŢI PRIVIND TRANZISTORUL BIPOLAR STRUCTURA ŞI SIMBOLUL TRANZISTORULUI BIPOLAR ÎNCAPSULAREA ŞI IDENTIFICAREA TERMINALELOR FAMILII UZUALE DE TRANZISTOARE BIPOLARE FUNCŢIONAREA

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ. 6.1 Considerații teoretice

Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ. 6.1 Considerații teoretice 4 Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ 6.1 Considerații teoretice O instalaţie care asigură transportul şi distribuţia fluidelor (lichide, gaze) între o sursă şi un consumator

Διαβάστε περισσότερα

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie Dragomirescu L., Drane J. W.,, Biostatisticã pentru începãtori. Vol I. Biostatisticã descriptivã. Editia a 6 revãzutã, Editura CREDIS, Bucureşti, 7p. ISB 78-7-74-46-8..6. Formule de calcul pentru medie

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE AMPLIFICATORL C CIRCIT ACORDAT DERIVATIE 4 M IN OT OT Analizor spectru IN Fiura 6 (). Comutatorul K este pe poziţia de R mare. Comutatorul K scurtcircuitează rezistenţa R a. Cunoscând valoarea L a bobinei

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice Memorii. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice Memorii. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.11. Memorii Copyright Paul GASNER Random Access Memory RAM Toate circuitele secvenţiale depind de memorii un flip-flop poate stoca doar un bit de informaţie un registru poate stoca

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice

Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice ÎNDRUMĂTOR DE PROIECTARE A MAŞINII ASINCRONE Pentru uz intern La baza acestui îndrumător stă un material elaborat de domnul dr.ing. Madescu

Διαβάστε περισσότερα

Termostat pentru acvarii

Termostat pentru acvarii Termostat pentru acvarii Pentru pastrarea in interiorul acvariilor a unei temperaturi de +26±1 C se poate realiza o schema electronica simpla, sigura in functionare si in acelasi timp ieftina. Alimentata

Διαβάστε περισσότερα

PicoScope 6. Software-ul PC Osciloscop. Ghidul utilizatorului. psw.ro r41 Copyright Pico Technology Ltd. Toate drepturile rezervate.

PicoScope 6. Software-ul PC Osciloscop. Ghidul utilizatorului. psw.ro r41 Copyright Pico Technology Ltd. Toate drepturile rezervate. PicoScope 6 Software-ul PC Osciloscop Ghidul utilizatorului Manual de utilizare PicoScope 6 I Cuprins 1 Bun venit...1...2 2 Privire de ansamblu PicoScope 6 3 Introducere...3 1 Declaraţie legală...3 2

Διαβάστε περισσότερα

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W]

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W] Aceasta versiune de SWR metru este una de sine-statatoare si este destinata celor care doresc sa-si construiasca un aparat separat de masurare a SWR-ului si a puterii de radiofrecventa. Acest model de

Διαβάστε περισσότερα

1. PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR

1. PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR . PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR.. Obiectul şi problemele reistenţei materialelor Reistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală, situată între ştiinţele fiico-matematice şi

Διαβάστε περισσότερα

I. TEHNICI SI TEHNOLOGII DE MĂSURARE A MĂRIMILOR CARACTERISTICE PROCESELOR TEHNOLOGICE

I. TEHNICI SI TEHNOLOGII DE MĂSURARE A MĂRIMILOR CARACTERISTICE PROCESELOR TEHNOLOGICE I. TEHNICI SI TEHNOLOGII DE MĂSURARE A MĂRIMILOR CARACTERISTICE PROCESELOR TEHNOLOGICE Tema 1. Procese de măsurare Tema 2. Metode de măsurare Tema 3. Mijloace pentru măsurarea mărimilor tehnice caracteristice

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Stabilizatoare de tensiune continuă

Capitolul 9. Stabilizatoare de tensiune continuă 104 apitolul 9 tabilizatoare de tensiune continuă 9.1 lasificarea stabilizatoarelor de tensiune continuă Pentru o funcţionare corectă a aparaturii electronice şi pentru asigurarea preciziei funcţionării

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 1 INTRODUCERE

Capitolul 1 INTRODUCERE Capitolul 1 INTRODUCERE 1.1 CE ESTE DE FAPT UN MICROCONTROLER? La modul general un controler ("controller" - un termen de origine anglo-saxonă, cu un domeniu de cuprindere foarte larg) este, actualmente,

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

PROCEDEE UTILIZATE ÎN CONTABILITATEA DE GESTIUNE

PROCEDEE UTILIZATE ÎN CONTABILITATEA DE GESTIUNE PROCEDEE UTILIZATE ÎN CONTABILITATEA DE GESTIUNE Determinarea costurilor implică utilizarea, de cele mai multe ori, a unor algoritmi matematici ce generează obţinerea unor informaţii punctuale în momentul

Διαβάστε περισσότερα

METROLOGIE CONTINUT CURS

METROLOGIE CONTINUT CURS A. MASURAREA MĂRIMILOR ELECTRICE METROLOGIE CONTINUT CURS I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ALE MĂSURĂRII 1.1 Introducere 1. Mărimi fizice 1.3. Măsurarea 1.4. Sistemul legal de unităţi de măsură 1.5. Mijloace electrice

Διαβάστε περισσότερα

ANEXA INTRODUCERE MODELUL GLM

ANEXA INTRODUCERE MODELUL GLM ANEXA Prezentare model actuarial GLM INTRODUCERE Societățile de asigurare folosesc metode actuariale pentru a determina aceste variabile utilizându-se în general o modelare de tipul generalized linear

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI

STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI REACŢIA CHIMICĂ STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI Reacţia de titrare a unui acid tare respectiv a unui acid slab (notat în general HA) cu o bază tare se reprezintă prin echilibrul:

Διαβάστε περισσότερα

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI Tema 3. Distilarea și extracția. Obiectivele cursului: În cadrul acestei teme vor fi discutate următoarele subiecte: - operația unitară de concentrare a amestecurilor

Διαβάστε περισσότερα

TESTE DE MENTENANTA IN SISTEME ELECTRICE Mentenanta sistemelor industriale - Curs 5

TESTE DE MENTENANTA IN SISTEME ELECTRICE Mentenanta sistemelor industriale - Curs 5 TESTE DE MENTENANTA IN SISTEME ELECTRICE 1 TESTARE Procedura de evaluare sau o metoda de determinare a unei calitati, performante, etc. IN FAZA DE PROIECTARE/ DEZVOLTARE DE-A LUNGUL CICLULUI DE VIATA Validare/

Διαβάστε περισσότερα