Ma-Te-05-T List 1. Objem a povrch gule. RNDr. Marián Macko

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ma-Te-05-T List 1. Objem a povrch gule. RNDr. Marián Macko"

Transcript

1 Ma-Te-05-T List 1 Objem a povrch gule RNDr. Marián Macko U: Guľu a guľovú plochu môžeme definovať ako analógie istých rovinných geometrických útvarov. Ž: Máte na mysli kružnicu a kruh? U: Áno. Guľa je priestorovou analógiou kruhu. Čím je daný v rovine jednoznačne kruh? Ž: tačí zadať stred kruhu a polomer r kruhu. U: pomenieš si na definíciu kruhu? Ž: Pokúsim sa o to. Kruhom nazývame množinu všetkých bodov v rovine, ktoré majú od daného bodu vzdialenosť menšiu alebo rovnú polomeru r. U: Treba ešte uviesť, že spomínaný bod je stredom kruhu. Definíciu pojmu guľa vytvoríš veľmi jednoducho. tačí, ak v definícií kruhu nahradíš slovné spojenie v rovine spojením v priestore. Ž: To znamená, že guľu mám chápať ako množinu všetkých bodov v priestore, ktoré majú od daného bodu vzdialenosť menšiu alebo rovnú kladnému reálnemu číslu r. U: Presne tak. Bod nazývame stred gule a kladné reálne číslo r predstavuje polomer gule. Ž: Ak by sme zobrali iba body, ktorých vzdialenosť od stredu gule by bola rovná polomeru gule, tak by sme dostali povrch gule? U: Nie. Je to hranica gule, ktorú nazývame guľová plocha. Ž: Aha! To je ako kružnica, ktorá ohraničuje kruh. U: Máš pravdu. Navyše to súvisí aj s povrchom gule. Obsah guľovej plochy vyjadruje povrch gule. U: Guľu môžeme definovať aj ako rotačné teleso. Máš predstavu, rotáciou akého rovinného geometrického útvaru vznikne guľa s polomerom r? Ž: Zobral by som kruh s polomerom r. Os rotácie by však musela prechádzať stredom kruhu.

2 Ma-Te-05-T List 2 o 180 U: Kruh by sme otočili okolo osi o uhol 180 stupňov. Ž: Možno by stačilo zobrať polkruh, ale musel by sa otočiť o 360 stupňov. U: V tomto prípade by os rotácie musela obsahovať priemer polkruhu. o 360 U: Predstav si teraz, že by sme zostrojili rez gule rovinou kolmou na os rotácie. Čo by sme dostali? Ž: Boli by to kružnice s rôznym polomerom. V dvoch krajných prípadoch by sme dostali iba jeden bod. U: Pozor! Guľa je teleso. Patria jej aj vnútorné body. Rezom budú preto kruhy, nie kružnice. To, o rôznosti ich polomerov si uviedol správne. Kedy bude rezom gule kruh s najväčším polomerom? Ž: Najväčší polomer kruhu dostanem, ak rovina rezu bude obsahovať stred gule.

3 Ma-Te-05-T List 3 o r U: Kružnica, ktorá ohraničuje tento najväčší kruh sa nazýva rovník gule. Ž: Ale, to je ako v geografii, keď zoberiem glóbus Zeme. U: Aj pomenovanie pre kružnice ohraničujúce ostatné kruhy, ktoré sú rezmi gule rovinami kolmými na os rotácie, je identické s poznatkami z geografie. Ž: Máte na mysli rovnobežky? U: Áno. Presnejšie by bolo, keby sme rovnobežky charakterizovali ako kružnice, ktoré sú prienikom guľovej plochy a roviny kolmej na os rotácie gule. pomínaná guľová plocha je pritom hranicou gule. Ž: V geografii sme rozprávali aj o poludníkoch Zeme. Viem, že Zem nie je presná guľa, ale existuje niečo podobné aj na guli? U: Iste si spomínaš, že poludníky Zeme vymedzujú časové pásma. Tento pojem sa samozrejme dá definovať aj na guli. Poludníkom gule nazývame prienik guľovej plochy s rovinou, ktorá obsahuje os rotácie kruhu, otočením okolo ktorej guľa vznikla. Ž: Budú to teda kružnice? U: Tak ako rovnobežky, aj poludníky sú kružnice. Rozdiel je ale v tom, že všetky poludníky majú rovnaký polomer. Všetky poludníky sa navyše pretínajú v dvoch spoločných bodoch. Ž: Aha! Máte pravdu. Je to dosť analogické s geografiou. Týmito bodmi sú severný a južný pól Zeme. U: Pomenoval si ich správne. Pozri sa ešte raz na obrázok. Jedným z poludníkov je aj kružnica ohraničujúca kruh, rotáciou ktorého guľa vznikla.

4 Ma-Te-05-T List 4 o r Ž: Ako vypočítame objem gule? U: Objem gule vypočítame podľa vzorca V = 4 3 πr3, keďže guľu charakterizuje iba jej polomer r. Ž: Ako sa na to prišlo? U: Jedným zo spôsobov ako odvodiť vzorec na výpočet objemu gule, je použiť Cavalieriho princíp. Ž: To počujem prvý krát. Mohli by ste ho vysvetliť? U: Podľa Cavalieriho princípu, ak existuje taká rovina, že každá rovina s ňou rovnobežná pretne dve telesá v rovinných geometrických útvaroch s rovnakým obsahom, tak tieto telesá majú rovnaký objem. Ž: Čo to znamená v našom prípade? Ktoré druhé teleso máte na mysli? U: Vytvoríme ho. Ale tak, aby sme splnili predpoklady Cavalieriho princípu. V tom ti však musím pomôcť. Nie je to jednoduchá záležitosť. Predstav si štvorec so stranou 2r, kde r je polomer gule. Uhlopriečky rozdelia štvorec na štyri časti. Dve z nich necháme rotovať okolo vyznačenej osi na obrázku. ú to tie, ktoré sme vyfarbili.

5 Ma-Te-05-T List 5 o 2r r r 180 Ž: Tak na to by som sám neprišiel. U: Dôležitejšia bude ďalšia časť riešenia. Musíme sa najskôr presvedčiť, či existuje taká rovina, že každá rovina s ňou rovnobežná pretne guľu a nové teleso v rovinných útvaroch s rovnakým obsahom. Tušíš, aká by to mala byť rovina? Ž: Vyskúšal by som rovinu kolmú na os rotácie gule a os rotácie toho druhého telesa. U: Máš pravdu. Vyskúšajme teda rovinu, ktorej vzdialenosť od stredu gule je x. Taká istá bude aj vzdialenosť roviny od priesečníka uhlopriečok v rotujúcom štvorci. Aké rovinné útvary vzniknú ako prieniky? o o x x Ž: Na guli by to mal byť kruh. V prípade druhého telesa netuším, čo bude prienikom. U: Daná rovina pretne útvar, rotáciou ktorého druhé teleso vzniklo, v dvoch úsečkách. Po akých dráhach okolo osi otáčania sa pohybujú najvzdialenejšie body týchto úsečiek? Ž: Jasné! Veď ich vzdialenosť od osi otáčania je vždy r. Pohybujú sa po kružnici s polomerom r. Aj ostatné body týchto úsečiek sa pohybujú po kružniciach, ale s menšími polomermi. Už to mám. Prienikom bude medzikružie. Ale aký bude polomer vnútornej kružnice medzikružia?

6 Ma-Te-05-T List 6 o U: Tak sa pozrime na obrázok ešte raz. Uhlopriečka štvorca zviera s úsečkou, ktorá je prienikom štvorca a uvažovanej roviny, uhol 45 stupňov. Vzdialenosť roviny od priesečníka uhlopriečok je x. Vznikol pravouhlý trojuholník, ktorého jeden vnútorný uhol má veľkosť 45 stupňov a jedna odvesna dĺžku x. Tušíš, aká dlhá je druhá odvesna? Ž: Teraz už áno. Má tiež dĺžku rovnú x. U: Prečo? Ž: No veď trojuholník je navyše rovnoramenný a pravouhlý. Tretí uhol má tiež veľkosť 45 stupňov. U: Polomer vonkajšej kružnice medzikružia je r a polomer vnútornej kružnice medzikružia je x. Ako vypočítaš obsah medzikružia? Ž: Ako rozdiel obsahov kruhov. Od obsahu kruhu ohraničeného vonkajšou kružnicou odrátam obsah vnútorného kruhu. Preto platí = πr 2 πx 2. U: Vráťme sa k obsahu kruhu, ktorý je prienikom danej roviny a gule. Vieš vyjadriť jeho obsah? o y x r Ž: Ale nepoznám jeho polomer y.

7 Ma-Te-05-T List 7 U: Nedá sa vyjadriť pomocou polomeru r gule a vzdialenosti x stredu gule od roviny? Ž: Aha! V pravouhlom trojuholníku sa dá využiť Pytagorova veta. Preponou pravouhlého trojuholníka je polomer r gule. Preto platí y 2 = r 2 x 2. U: Obsah kruhu s polomerom y, ktorý je prienikom gule s uvažovanou rovinou vyjadríme, v tvare = πy 2 = π (r 2 x 2 ) = πr 2 πx 2. Ž: Ale to je to isté ako pre medzikružie. U: Keďže obsahy sú rovnaké a telesá majú rovnaké výšky, splnili sme predpoklady Cavalieriho princípu. Objem gule bude taký istý ako objem telesa, ktoré vznikne rotáciou časti nami uvažovaného štvorca. U: Poďme vyjadriť objem telesa, ktoré vznikne rotáciou dvoch častí nami uvažovaného štvorca so stranou 2r, kde r je polomer gule. Máš predstavu ako teleso vyzerá? Ž: Mám dojem, že je komplikovanejšie ako guľa. Ale netuším, čo za teleso to je. U: Čo vznikne rotáciou štvorca so stranou 2r by si však mal vedieť. Ž: To je ľahké. Rotáciou celého štvorca vznikne rotačný valec. Jeho výška bude v v = 2r a polomer podstavy rotačného valca bude r v = r. U: Keďže nerotuje celý štvorec, tak niečo v tom valci bude chýbať. Každý bod nami rotujúceho útvaru sa predsa pri otáčaní okolo osi pohybuje po kružnici. Polomery kružníc môžu byť pre rôzne body rôzne. Aké teleso by vytvorili body dvoch nevyfarbených pravouhlých trojuholníkov v štvorci?

8 Ma-Te-05-T List 8 2r Ž: Jasné! Vo valci budú vyvŕtané dva rotačné kužele so spoločným vrcholom. To preto, lebo rotáciou pravouhlého nevyfarbeného trojuholníka okolo odvesny vznikne rotačný kužeľ. Veď výsledné teleso bude vyzerať ako presýpacie hodiny. U: Pekne si to pomenoval. Každý z týchto dvoch kužeľov má podstavu s polomerom r k = r a pre telesovú výšku platí v k = r. Teraz už nebude problém vyjadriť objem presýpacích hodín. Ž: Teraz je to už ľahké. Objem vypočítam ako rozdiel objemu rotačného valca a dvojnásobku objemu jedného rotačného kužeľa. Preto platí V = V v 2V k. U: Pripomenmeniem ti, že objem rotačného valca vypočítaš podľa vzorca V v = πr 2 vv v. Pre objem rotačného kužeľa platí vzorec V k = 1 3 πr2 k v k. Ž: Po dosadení hodnôt za polomery podstáv a výšky dostávam V = πr 2 vv v πr2 kv k = πr 2 (2r) 2 3 πr2 r = 2πr πr3. U: Oba členy upravíme na zlomky so spoločným menovateľom. Je to číslo tri. Objem sa dá preto upraviť na tvar V = 6 3 πr3 2 3 πr3 = 4 3 πr3. Na základe Cavalieriho princípu sa preto aj objem gule dá vyjadriť v tvare V = 4 3 πr3. Ž: Dosť komplikované odvodenie. Mám to vedieť? U: Pri riešení úloh využiješ iba vzorec pre objem gule. V odvádzaní si však mal možnosť vidieť spojitosť medzi objemami rôznych telies. Pripomenul si si aj ostatné rotačné telesá.

9 Ma-Te-05-T List 9 Ž: Ešte mi prezraďte, ako vypočítam povrch gule. U: Povrch gule vypočítaš podľa vzorca = 4πr 2. Je to ako, keby guľovú plochu, ktorá je hranicou gule, tvorili štyri kruhy s polomerom r. Obsah jedného kruhu je totiž πr 2. Ž: Aj tento vzorec budeme odvádzať? U: Teraz nie. Pre väčšinu úloh postačí, ak ho budeš vedieť správne aplikovať. amotný vzorec sa dá odvodiť, napríklad využitím integrálneho počtu. Ale o integráloch, ktoré k tomu potrebuješ, asi zatiaľ nemáš vedomosti. Treba povedať, že aj vzorec pre objem gule sa dá odvodiť využitím integrálneho počtu.

10 Ma-Te-05-1 List 10 Príklad 1: Kocke s hranou dĺžky a je vpísaná guľa. Koľko percent objemu kocky predstavuje objem gule? U: Máš predstavu o tom, ako vyzerá guľa vpísaná do kocky? Ž: Nemala by vyčnievať nad kocku. Mala by sa teda dotýkať stien kocky. U: V ktorých bodoch? Ž: Guľa sa dotýka steny kocky v strede steny. Dotykovým bodom je priesečník uhlopriečok štvorca, ktorý je stenou kocky. H G E F D C A B U: Ktorý bod kocky je stredom gule vpísanej do kocky? Ž: Vzhľadom na to, že kocka a guľa sú symetrické telesá, stredom gule bude stred kocky. U: Čo je stred kocky? kús tento bod špecifikovať presnejšie. Ž: tred kocky získam ako priesečník telesových uhlopriečok kocky. Bude to stred uhlopriečky BH. U: Zostáva nám určiť polomer gule, ktorá je do kocky vpísaná. Poznáš stred gule a vieš, v ktorých bodoch sa guľa dotýka stien kocky. Ž: Polomerom gule bude polovica dĺžky hrany kocky. Preto platí r = a 2. U: Keďže úlohou je vypočítať, koľko percent objemu kocky je objem gule, potrebujeme vyjadriť objemy týchto telies. Začni objemom kocky. Ž: Kocka má hranu dĺžky a, preto jej objem vypočítam podľa známeho vzorca V k = a 3. U: Polomer gule je r = a. Ako vieme, objem gule vypočítame podľa vzorca 2 V g = 4 3 πr3. Dosaď za polomer gule a vyjadri objem pomocou dĺžky hrany kocky.

11 Ma-Te-05-1 List 11 Ž: Po dosadení dostávam V g = 4 3 πr3 = 4 3 π ( a 2 Zlomok som umocnil a potom som zlomky vykrátil. ) 3 = 4 3 π a3 8 = πa3 6. U: Objemy oboch telies si vyjadril pomocou dĺžky hrany kocky. Ako zistíš koľko percent objemu kocky predstavuje objem gule? Ž: Použijem trojčlenku. Objem kocky V k = a 3 predstavuje sto percent. Počet percent, ktoré prislúchajú objemu gule V g = πa3, označím ako neznámu x. 6 U: Máš pravdu. Čím je objem gule menší ako objem kocky, tým menej percent z objemu kocky predstavuje. Medzi percentami a objemami je priama úmera. Ako sa to dá zapísať? Ž: Pomer objemov musí byť rovnaký, ako je pomer percent, ktoré im odpovedajú. Preto platí πa 3 x 100 = 6 a. 3 U: Vypočítať neznámu x by pre teba nemal byť problém. Ž: Rovnicu vynásobím stomi a dostávam x = πa a 3 Upravím zložený zlomok a výraz a 3 vykrátim. Počet percent bude vyjadrený číselným výrazom x = πa3 6 1 a 100 = π U: Približná hodnota tohto výsledku je asi 52 percent. Ž: Zaujímavé. Objem gule predstavuje približne polovicu objemu kocky. Úloha : Kocke s hranou dĺžky a je opísaná guľa. Koľko percent objemu kocky predstavuje objem opísanej gule? Výsledok: 272 percent

12 Ma-Te-05-2 List 12 Príklad 2: Guľa a kocka majú rovnaký povrch. Určte pomer ich objemov. Ž: Nemám rád úlohy, v ktorých nie sú zadané číselné údaje. Potom neviem, čo mám robiť. U: kús analyzovať postupne každú informáciu v zadaní úlohy. K čomu slúži informácia z prvej vety zadania? Ž: Guľa a kocka majú mať rovnaký povrch. Ale stále neviem, k čomu ma to dovedie. U: Nemaj obavu. V procese riešenia sa to ukáže. Máš predsa porovnať povrchy dvoch telies. Tak ich vyjadri! Ž: Toto nie je problém. Povrch kocky s hranou dĺžky a vypočítam podľa vzorca k = 6a 2 a povrch gule viem vyjadriť pomocou jej polomeru r. Pre povrch gule platí vzorec g = 4πr 2. U: A v čom vidíš problém pre ďalšie riešenie? Ž: Keby som poznal povrch kocky, tak si vypočítam polomer gule. Povrchy sú rovnaké, preto ich dám do rovnosti. U: No vidíš! V poslednej vete si povedal myšlienku ďalšieho riešenia. Rovnica, ktorú získaš, nám poslúži na vyjadrenie dĺžky hrany kocky pomocou polomeru gule alebo naopak. Ž: Aha! Čiže v takýchto úlohách mám jeden rozmer vyjadriť pomocou druhého? U: Áno. Urob to. Ž: Porovnaním povrchov získam rovnicu 6a 2 = 4πr 2. Vyjadrím si dĺžku hrany a kocky. Rovnicu vydelím číslom 6 a odmocním. Získam vzťah 2π a = 3 r. U: Po odstránení odmocniny z čísla 3 v menovateli zlomku sa dĺžka hrany kocky dá vyjadriť 6π v tvare a = r. Toto vyjadrenie využiješ pre objem kocky. 3 Ž: Objem kocky sa dá vyjadriť v tvare V k = a 3. Po dosadení za hranu a kocky dostávam V k = a 3 = ( 6π 3 r) 3. Ako to upravím? U: Tretia mocnina reálneho čísla x je skrátený zápis x 3 = x x x. To isté využijeme pri úprave výrazu, ktorý vyjadruje objem kocky a dostávame 6π 6π 6π 6π 2π V k = r r r = r Aký je objem gule s polomerom r, to by si mal vedieť.

13 Ma-Te-05-2 List 13 Ž: Pre objem gule s polomerom r platí vzorec V g = 4 3 πr3. U: Zostáva nám posledná časť riešenia úlohy. Vypočítať pomer objemov kocky a gule. Ž: Objemy dám do pomeru a dosadím ich vyjadrenia. Pre pomer objemov dostávam V k V g = 2π 6π r πr3 Po vykrátení čísel a výrazu r 3 bude pomer objemov vyjadrený v tvare V k 6π = V g 6. 6π Pomer objemov je vyjadrený v tvare 6. U: Z výpočtu je zrejmé, že pomer objemov kocky a gule za daných podmienok nezávisí od číselných hodnôt hrany a kocky a polomeru r gule. Dôležité ale je, aby povrchy týchto telies boli rovnaké. Tak, ako je to povedané v zadaní úlohy.

14 Ma-Te-05-3 List 14 Príklad 3: Tri kovové guľôčky s polomermi 3 cm, 4 cm a 5 cm sme roztavili a zliali do jednej gule. Aký má povrch? U: Na akej myšlienke založíme riešenie úlohy? Ž: No, keď mám vypočítať povrch novej gule, tak asi zrátam povrchy daných troch guľôčok. U: Čo sa, z hľadiska fyziky, v procese tavenia a zliatia kovových guľôčok zachová? Povrch alebo hmota? Ž: Mala by sa zachovať hmota. U: Hmotu charakterizuje hmotnosť, a tá ako vieme z fyziky súvisí s objemom. V takýchto procesoch tavenia a liatia sa zachováva objem. Ž: Jasné! Máte pravdu. Nová guľa bude mať objem, ktorý je súčtom objemov daných kovových guľôčok. Preto platí V = V 1 + V 2 + V 3, kde V je objem novej gule. U: Vieš vyjadriť objemy kovových guľôčk a objem gule, ktorá z nich vznikla? Ž: Vzorec pre objem gule je predsa V = 4 3 πr3. U: Označ symbolom r polomer gule, ktorá vznikla zliatím a polomery kovových guľôčok predsa poznáš. Ž: Polomery sú dané v zadaní úlohy. Pre objemy preto dostávam 4 3 πr3 = 4 3 πr πr πr3 3. Ž: Vo výrazoch na ľavej a pravej strane sa v každom člene nachádza výraz 4 π. Preto rovnicu 3 predelím týmto výrazom. Polomer gule bude vyjadrený v tvare r 3 = r r r 3 3. U: Dosaď známe hodnoty polomerov guľôčok a vypočítaj r. Ž: Po dosadení dostávam r 3 = Čísla na pravej strane rovnosti umocním, sčítam a mám r 3 = = 216. U: Polomer gule je určený treťou odmocninou z čísla 216, čo je číslo 6: r = = 6 cm. Vypočítať povrch novovytvorenej gule už nebude pre teba problémom.

15 Ma-Te-05-3 List 15 Ž: Povrch gule vypočítam podľa vzorca = 4πr 2. Výpočet je veľmi jednoduchý. Za polomer dosadím číselnú hodnotu 6, umocním a čísla vynásobím. Dostávam = 4π 6 2 = 4π 36 = 144π. U: Povrch novovytvorenej gule je 144π centimetrov štvorcových.

16 Ma-Te-05-4 List 16 Príklad 4: Do rovnostranného kužeľa s priemerom podstavy d je vpísaná guľa. Vyjadrite objem a povrch gule. Ž: Mohli by ste mi vysvetliť, aký je to rovnostranný kužeľ? U: Osovým rezom rovnostranného kužeľa je rovnostranný trojuholník. trana s kužeľa je rovnako dlhá ako priemer podstavy. o V s = 2 r k A 60 r k B Ž: Aha! Priemerom podstavy kužeľa je strana AB rovnostranného trojuholníka. U: Máš predstavu, aký geometrický útvar bude stredovým rezom gule vpísanej do kužeľa? Ž: Mal by to byť kruh. U: Môžeš ho charakterizovať presnejšie? Ž: Do kužeľa mám vpísať guľu. Pozerám sa na to ako na situáciu v rovine. V osovom reze kužeľa sa to prejaví tak, že vpíšem kruh do rovnostranného trojuholníka ABV. V O r g A B U: Ktorý bod bude stredom vpísanej gule? Ž: tredom gule bude priesečník výšok trojuholníka ABV, ktorý je osovým rezom kužeľa. U: V tomto prípade máš pravdu. Vieme, že stred kružnice vpísanej do trojuholníka zostrojíme ako priesečník osí vnútorných uhlov trojuholníka. V rovnostrannom trojuholníku je os vnútorného uhla totožná s výškou, ale aj ťažnicou na danú stranu. Táto vlastnosť však vo všeobecnosti neplatí.

17 Ma-Te-05-4 List 17 U: Vedel by si určiť polomer vpísanej gule? Ž: Neviem, akú časť výšky na stranu rovnostranného trojuholníka mám zobrať. U: Ešte raz ti pripomeniem, že výška na danú stranu rovnostranného trojuholníka je totožná s ťažnicou na túto stranu. Priesečník výšok je aj ťažiskom rovnostranného trojuholníka. Ž: Tak, teraz je to už jasné. Ťažisko rozdeľuje ťažnicu na dve časti, ktorých dĺžky sú v pomere 2 : 1. Polomer vpísanej kružnice, a teda aj gule, bude jedna tretina ťažnice. U: To znamená, že polomer gule bude tretinou výšky rovnostranného trojuholníka. Výšku vypočítaš z pravouhlého trojuholníka BV s pravým uhlom pri vrchole. Ž: Prepona má dĺžku V B = d a odvesna B má polovičnú veľkosť. To preto, lebo úsečka B predstavuje polomer podstavy kužeľa a daný je priemer podstavy d. Na výpočet výšky V využijem Pytagorovu vetu v 2 k = d 2 ( ) 2 d. 2 Zlomok umocním a členy na pravej strane upravím na spoločného menovateľa, čo je číslo 4. Po odčítaní členov na pravej strane dostávam vk 2 = d 2 d2 4 = 4d2 d 2 4 U: Pre výšku kužeľa po odmocnení dostávame = 3d2 4. v k = 3d 2. U: Aký bude polomer gule? Ž: Povedali sme, že je tretinou výšky. Preto platí r g = v k 3. Po dosadení vyjadrenia pre výšku kužeľa dostávam r g = 3d 6. U: Vyjadriť objem a povrch gule už nebude problém. Ako vypočítame objem gule?

18 Ma-Te-05-4 List 18 Ž: Objem vypočítame podľa vzorca V = 4 3 πr3 g. Za polomer gule dosadím odvodené vyjadrenie, výraz umocním a čísla vykrátim. Pre objem gule dostávam ( ) V = 4 3 3d 3 π = 4π d 3 3πd 3 = U: Zvládaš to v pohode. Dúfam, že takto ľahko zvládneš aj vyjadrenie povrchu gule. Ž: Vzorec na výpočet povrchu gule má tvar = 4πr 2 g. Dosadím vyjadrenie polomeru gule, umocním a čísla vykrátim. Pre povrch gule dostávam = 4π ( 3d 6 ) 2 = 4π 3d2 36 = πd2 3. U: Za predvedené výpočty ťa môžem iba pochváliť.

19 Ma-Te-05-5 List 19 Príklad 5: Do rovnostranného valca je vpísaná guľa a kužeľ. Podstava kužeľa je totožná s podstavou valca, vrchol kužeľa je v strede druhej podstavy valca. Určte pomer objemov týchto troch telies. U: Východiskom úlohy je rovnostranný valec. Ako by si ho charakterizoval? Ž: Ak je valec rovnostranný, tak priemer jeho podstavy by mal byť rovnaký ako strana valca. U: Navyše vieme, že v každom rotačnom valci je strana valca rovnaká ako výška. Platí teda v v = 2r v. Osovým rezom valca je štvorec, ktorého stranou je priemer podstavy valca. o v v = 2 r v r v r v Ž: Vyjadrím si objem valca podľa vzorca V v = πr 2 vv v. Výška valca je dvojnásobkom polomeru jeho podstavy, preto platí V v = πr 2 vv v = πr 2 v (2r v ) = 2πr 3 v. U: Aj objemy zvyšných dvoch telies vyjadríme pomocou polomeru r v podstavy valca. Máš predstavu, aký bude polomer gule vpísanej do rovnostranného valca? Ž: V osovom reze valca sa guľa zobrazí ako kruh vpísaný do štvorca so stranou 2r v. Polomer gule bude rovnaký ako polomer podstavy valca. To preto, lebo je polovicou strany štvorca. Preto platí r g = r v.

20 Ma-Te-05-5 List 20 o r g r v r v U: Môžeme teda vyjadriť aj objem gule. Ž: Objem gule vypočítam podľa vzorca V g = 4 3 πr3 g. Za polomer gule dosadím polomer podstavy valca a dostávam V g = 4 3 πr3 v. U: Do valca je vpísaný aj rotačný kužeľ. Zadanie úlohy popisuje akým spôsobom. o v k =v v r k =r v

21 Ma-Te-05-5 List 21 Ž: Podstava kužeľa je totožná s podstavou valca. Polomery podstáv sú preto rovnaké a platí r k = r v. Keďže vrchol kužeľa je v strede druhej podstavy valca, výšky týchto telies budú tiež rovnaké v k = v v = 2r v. U: Nič nebráni tomu, aby si vyjadril objem kužeľa. Dúfam, že vzorec pre objem poznáš. Ž: Je to podobné objemu valca s rovnakými rozmermi. Objem kužeľa je však tretinou objemu takéhoto valca. Preto platí V k = 1 3 πr2 kv k = 1 3 πr2 v (2r v ) = 2 3 πr3 v. U: Našou úlohou je vypočítať pomer objemov týchto troch telies. Ž: Ako to zapíšem, keď pomer je zlomok, a do zlomku využijem objemy iba dvoch telies? U: Pomer môžeš zapísať aj v riadku, v tvare V v : V g : V k, tak ako zapisuješ napríklad pomer veľkostí vnútorných uhlov trojuholníka α : β : γ = 1 : 3 : 2. Ž: Aha! Zapíšem to teda takto a dosadím vyjadrenia objemov. Pre pomer objemov platí To je výsledok? Nevyzerá to pekne. V v : V g : V k = 2πr 3 v : 4 3 πr3 v : 2 3 πr3 v. U: Pomery sa dajú krátiť alebo rozširovať. Tak ako zlomky. Pomer 12 : 18 : 6 krátením číslom 6 upravíme na tvar 2 : 3 : 1. Pozri sa na výrazy v pomere objemov daných troch telies. Majú tieto výrazy niečo spoločné? Ž: Vo vyjadrení objemu každého telesa sa vyskytuje výraz πr 3 v. Vykrátim ho a dostávam V v : V g : V k = 2 : 4 3 : 2 3. U: Tento pomer rozšírime tromi, aby sme odstránili zlomky. Preto dostávame V v : V g : V k = 6 : 4 : 2 = 3 : 2 : 1. Pri poslednej úprave pomeru sme použili krátenie dvomi. Ž: Zaujímavý výsledok. Objem gule je dvakrát väčší ako objem kužeľa.

22 Ma-Te-05-6 List 22 Príklad 6: Kocke s hranou a = 4 cm opíšeme a vpíšeme guľu. Vypočítajte rozdiel objemov týchto gulí. U: Uvedom si, od čoho závisí objem gule. Ž: Vzorec na výpočet objemu gule má tvar V = 4 3 πr3, kde r je polomer gule. To znamená, že objem gule závisí iba od jej polomeru. U: Aby si úlohu vyriešil, potrebuješ vypočítať polomer gule vpísanej do kocky a polomer gule kocke opísanej. Začnime vpísanou guľou. Máš predstavu, kde má stred a čo znamená, že je vpísaná do kocky? Ž: tredom symetrie kocky je jej stred. Guľa je tiež stredovo symetrická. Preto stredom gule vpísanej do kocky bude stred kocky. Vpísaná guľa by sa mala dotýkať povrchu kocky. U: Nie povrchu, ale hranice kocky, teda jej stien. Ak využiješ symetriu, tak ľahko určíš, v ktorom bode sa guľa dotýka stien kocky. Ž: Vo vrcholoch kocky? U: Nie. Pozri sa na to radšej z hľadiska rovinnej analógie. Zober si štvorec a kruh vpísaný do štvorca. V ktorých bodoch sa kruh dotýka strán štvorca? r g Ž: To je jednoduché. Dotykovými bodmi kruhu sú stredy strán štvorca. a U: No vidíš! Kocka a guľa sú priestorovými analógiami štvorca a kruhu. Akurát namiesto strany štvorca musíš teraz zobrať stenu kocky. Ž: Jasné. Guľa vpísaná do kocky sa jej bude dotýkať v stredoch stien kocky. H G E F D C A B

23 Ma-Te-05-6 List 23 U: Polomer tejto gule je preto daný vzdialenosťou stredu kocky a stredu ktorejkoľvek steny. To preto, lebo stred kocky je stredom vpísanej gule. Vieš určiť veľkosť polomeru? Ž: Bude to polovica hrany kocky, čiže platí r v = a 2 = 2 cm. U: Vypočítaj objem gule vpísanej do kocky. Ž: Do vzorca na výpočet objemu gule dosadím za polomer gule hodnotu dva a dostávam V v = 4 3 πr3 v = 4 3 π 23 = 4 3 π 8 = 32π 3. U: Pozrime sa teraz na stred a polomer gule kocke opísanej. Ž: tred bude ten istý, lebo telesá sú stredovo súmerné. U: A čo polomer? Ktorými bodmi kocky prechádza guľa? Opäť si pomôž rovinnou analógiou, štvorec a kruh štvorcu opísaný. Ž: Teraz ste mi našepkali až príliš. Guľa opísaná kocke bude prechádzať všetkými vrcholmi kocky. Veď aj kruh opísaný štvorcu obsahuje vrcholy štvorca. U: Aký bude polomer tejto gule? Ž: Ak stred kocky je stredom gule a hranica gule prechádza vrcholmi kocky, tak polomer gule bude polovicou telesovej uhlopriečky EC. tred gule je totiž aj stredom tejto uhlopriečky. H G E F D C a A a B U: Na výpočet dĺžky telesovej uhlopriečky EC využi pravouhlý trojuholník EAC s pravým uhlom pri vrchole A. Ž: Nepoznám však dĺžku odvesny AC. Moment... Veď úsečka AC je preponou v ďalšom pravouhlom trojuholníku. Je ním trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole B. Najskôr si teda vypočítam dĺžku úsečky AC z trojuholníka ABC. Odvesny tohto trojuholníka majú dĺžku 4 centimetre, lebo sú hranami kocky. Pre trojuholník platí Pytagorova veta v tvare Po dosadení číselnej hodnoty dostávam AC = a 2 + a 2. AC = = = 32.

24 Ma-Te-05-6 List 24 U: Vidím, že zvládneš aj výpočet telesovej uhlopriečky kocky. V trojuholníku EAC už poznáš dĺžky oboch odvesien. Ž: Aj v tomto trojuholníku využijem Pytagorovu vetu, teraz v tvare Dosadím číselné hodnoty a dostávam EC = EC = AE 2 + AC ( 32 ) 2 = = 48. U: Číslo 48 sa dá zapísať ako súčin dvoch čísel, čísla 16 a čísla 3. Preto pre dĺžku telesovej uhlopriečky kocky po čiastočnom odmocnení dostávame EC = 16 3 = 16 3 = 4 3. Dĺžka telesovej uhlopriečky kocky je vždy násobkom čísla 3 a dĺžky hrany kocky. Ž: Polomer gule opísanej kocke bude polovicou tohto výsledku. Preto platí r o = 2 3 cm. U: Môžeš vypočítať objem tejto gule. Ž: Pre objem tejto gule platí V o = 4 3 πr3 o = 4 3 π (2 3) 3. Ako mám druhú odmocninu z čísla tri umocniť na tretiu? U: Tretia mocnina je vlastne súčinom dvoch členov. Jeden člen je základ tretej mocniny a druhý člen je jeho druhou mocninou. Všimni si, že druhá mocnina a druhá odmocnina sa navzájom zrušia. Pre objem gule po týchto výpočtoch platí: Pokračuj v ďalších výpočtoch. V o = 4 3 π (2 3) 2 (2 3) = 4 3 π (4 3) (2 3). Ž: Trojky vykrátim a zvyšné čísla mi stačí vynásobiť. Preto objem gule opísanej kocke je V o = 32 3π. U: A sme krôčik od výsledku úlohy. Máme vypočítať rozdiel objemov gule, ktorá je kocke opísaná a gule do kocky vpísanej. Ž: Veď to už nie je problém. Odčítam číselné hodnoty objemov, ktoré sme vypočítali a dostávam Dá sa to ešte rozumne upraviť? V = V o V v = 32 3π 32π 3.

25 Ma-Te-05-6 List 25 U: Výsledok môže byť zapísaný v tvare jedného zlomku. Jeho menovateľom je číslo 3. V čitateli zlomku sa dá vybrať pred zátvorku reálne číslo 32π. To znamená, že výsledok môže byť zapísaný aj takýmto tvarom V = π 32π 3 = 32π(3 3 1) 3 cm 3.

26 Ma-Te-05-7 List 26 Príklad 7: Do kužeľa, ktorého strana zviera s rovinou podstavy uhol ϕ = 60, je vpísaní guľa s objemom π 6 cm3. Vypočítajte objem kužeľa. U: Kde bude uhol 60 stupňov, ak sa pozrieme na osový rez rotačného kužeľa, ktorým je trojuholník ABV? o V s v k ϕ A r k r k B Ž: Je to uhol VAB, lebo úsečka AV je stranou kužeľa a úsečka AB priemerom jeho podstavy. U: Aký bude trojuholník ABV? Ž: Aha! Aj úsečka BV je stranou kužeľa, preto aj uhol V BA má veľkosť 60 stupňov. Ale aj uhol pri vrchole V bude mať tú istú veľkosť, lebo súčet veľkostí vnútorných uhlov trojuholníka je 180 stupňov. To znamená, že trojuholník ABV je rovnostranný. U: Tento poznatok nám dáva možnosť vyjadriť vzťah medzi rozmermi rotačného kužeľa. Ž: Priemer podstavy rotačného kužeľa je rovnaký ako jeho strana s. Preto platí s = 2r k. U: Z pravouhlého trojuholníka AV môžeš vyjadriť výšku rotačného kužeľa tiež pomocou polomeru podstavy kužeľa. V s=2 r k v k A r k B

27 Ma-Te-05-7 List 27 Ž: Využijem Pytagorovu vetu v tvare s 2 = r 2 k + v 2 k. Za stranu s kužeľa dosadím vyjadrenie s = 2r k a zo získaného vzťahu vyjadrím výšku kužeľa. Preto dostávam (2r k ) 2 = rk 2 + vk, 2 4r 2 k = r 2 k + v 2 k. Odčítam druhú mocninu polomeru podstavy kužeľa a odmocním v k = 4r 2k r2k = 3rk 2 = 3r k. U: Dobre. Rozmery rotačného kužeľa sme vyjadrili. Vieš, ako s týmito rozmermi súvisí polomer gule, ktorá je do kužeľa vpísaná? Ž: Vôbec netuším. Mohli by ste mi poradiť? U: Rezom gule je kruh vpísaný do rovnostranného trojuholníka, ktorý je osovým rezom rotačného kužeľa. Rez gule obsahuje jej stred. Vieš určiť, ktorý bod trojuholníka je stredom gule? V O r g A r k B Ž: tredom gule by mal byť priesečník výšok trojuholníka, lebo trojuholník je rovnostranný. U: právne. Priesečník výšok je zároveň stredom kruhu vpísaného do rovnostranného trojuholníka. A akú dĺžku bude mať polomer gule? Ž: Tretinu výšky? U: Prečo si to myslíš? Ž: Tipol som si. U: V podstate si sa trafil. Zdôvodníme to tým, že v rovnostrannom trojuholníku je výška na stranu zároveň ťažnicou. Priesečník výšok je teda aj ťažiskom trojuholníka. Ako vieme, ťažisko rozdeľuje ťažnicu na dve časti, ktorých dĺžky sú v istom pomere. Vieš, v akom sú pomere? Ž: Už si spomínam. Časť ťažnice prislúchajúca k strane je tretinou dĺžky ťažnice. Druhá časť je dvakrát dlhšia.

28 Ma-Te-05-7 List 28 U: Výška rotačného kužeľa sa dá vyjadriť ako trojnásobok polomeru gule do kužeľa vpísanej. Platí v k = 3r g. U: K tomu, aby sme určili rozmery rotačného kužeľa, potrebujeme vyčísliť polomer gule. Potom budeme vedieť vypočítať aj objem kužeľa. Vieme určiť polomer gule? Ž: Zo zadania úlohy poznáme objem gule. Vzorec na výpočet objemu gule má tvar V g = 4 3 πr3 g. Po dosadení číselnej hodnoty za objem dostávam 4 3 πr3 g = π 6. Číslo π vykrátim a rovnicu vynásobím číslom 3. Zároveň ju vydelím číslom 4. Pre tretiu mocninu polomeru gule dostávam r 3 g = 1 8. U: Polomer gule bude r g = 1 cm, lebo tretia odmocnina z čísla jedna osmina je číslo jedna 2 polovica. Môžeš vyjadriť rozmery rotačného kužeľa. Ž: Povedali sme, že výška kužeľa je trojnásobkom polomeru gule, preto platí Potrebujem ešte polomer podstavy kužeľa. v k = 3 2 cm. U: Na začiatku nášho riešenia sme výšku kužeľa vyjadrili pomocou polomeru podstavy kužeľa. Odvodili sme vzťah v k = 3r k. Výšku už poznáš, vyjadri polomer. Ž: Pre polomer dostávam Treba to ešte upraviť? r k = 1 3 v k = U: Bolo by to vhodné. Číslo tri v čitateli druhého zlomku napíšeme v tvare ( 3) 2. Potom zlomky vykrátime a pre polomer podstavy kužeľa dostávame r k = = 1 ( 3) = 3 2 cm. Môžeš vypočítať objem rotačného kužeľa.

29 Ma-Te-05-7 List 29 Ž: Využijem vzorec na výpočet objemu kužeľa v tvare V k = 1 3 πr2 kv k. Po dosadení číselných hodnôt získané zlomky umocním, vykrátim a vynásobím. Pre objem kužeľa takto dostávam ( ) V k = π = π = 3π 8. U: Objem rotačného kužeľa je teda 3π 8 centimetrov kubických.

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch rotačného valca

Objem a povrch rotačného valca Ma-Te-03-T List 1 Objem a povrch rotačného valca RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má valec prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný valec vznikne rotáciou, čiže otočením obdĺžnika

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem ihlana

Povrch a objem ihlana Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa

Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa Ma-Te-06-T List 1 Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko U: Počul si už niekedy o zrezanom rotačnom kuželi? Ž: O rotačnom kuželi som už počul, ale pojem zrezaný

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah rovinných útvarov

Obvod a obsah rovinných útvarov Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom

Διαβάστε περισσότερα

1. Trojuholník - definícia

1. Trojuholník - definícia 1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem zrezaného ihlana

Povrch a objem zrezaného ihlana Povrch a objem zrezaného ihlana Ak je daný jeden ihlan a zobereme rovinu rovnobežnú s postavou, prechádzajúcu ihlanom, potom táto rovina rozdelí teleso na dve telesá. Jedno teleso je ihlan (pôvodný zmenšený

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka

Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem hranola

Povrch a objem hranola Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné

Διαβάστε περισσότερα

2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m.

2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m. Dĺžka kružnice, obsah kruhu 1. Na obrázku je kruţnica vpísaná do štvorca so stranou 4cm a štyri kruţnicové oblúky so stredmi vo vrcholoch štvorca. ký obsah má vyfarbený útvar? 4 + π cm 16 - π cm 8π 16

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku

Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku Ma-Go-01-T List 1 Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku RNDr. Marián Macko U: Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly. Dajú sa použiť v pravouhlom

Διαβάστε περισσότερα

23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,

9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, 9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky

Διαβάστε περισσότερα

Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník

Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5

Διαβάστε περισσότερα

ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol

ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť

Διαβάστε περισσότερα

Tematický výchovno - vzdelávací plán. Cvičenia z matematiky. pre 9. ročník

Tematický výchovno - vzdelávací plán. Cvičenia z matematiky. pre 9. ročník výchovno vzdelávací plán Cvičenia z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 1 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok:

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015

MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015 MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015 Mgr. Valeria Godovičová 1. Mesiac 1 Úvodná hodina Telo 2-5 Druhá a tretia mocnina - čo už poznáme - opačné čísla a ich mocniny SEPTEMBER

Διαβάστε περισσότερα

V každom prípade zapíšte vzájomnú polohu dvoch kružníc.

V každom prípade zapíšte vzájomnú polohu dvoch kružníc. Kruh, kružnica 1. Polomer kružnice má veľkosť r = 5 cm, jej tetiva t = 8 cm. Vypočítaj vzdialenosť tejto tetivy od stredu kružnice.. Obsah kruhu je 78,5 cm. ký je jeho priemer? 3. Polomer kružnice k má

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

tretej odmocniny ( x ), mocniny čísla 10, n-tá mocnina ľubovoľného čísla (a n ) pre konkrétne hodnoty n, n je prirodzené číslo.

tretej odmocniny ( x ), mocniny čísla 10, n-tá mocnina ľubovoľného čísla (a n ) pre konkrétne hodnoty n, n je prirodzené číslo. Mocniny a odmocniny, zápis veľkých čísel Školský vzdelávací program matematika 9. ročník 1. Obsah vzdelávania učebného predmetu v 9. ročníku (rozšírený počet hodín ) Tematický celok Témy Druhá a tretia

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík

9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice riešené substitúciou

Goniometrické rovnice riešené substitúciou Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Zlomky sčítanie, odčítanie. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník. 1. Vypočítajte : = d) ( ) Vypočítajte : a) 5 + =

Zlomky sčítanie, odčítanie. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník. 1. Vypočítajte : = d) ( ) Vypočítajte : a) 5 + = 1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník Zlomky sčítanie, odčítanie 1. Vypočítajte : 6 2 5 7 2 2 2 a) + + = c) + = 7 3 21 9 3 3 9 3 5 1 1 + + 1 = d) ( ) 5 + 3,7 + 1 4 15 6 = 2. Vypočítajte : a) 1 5 5

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti

Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti Ma-Ko-02-T List 1 Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti RNr. Marián Macko U: pomínaš si zo základnej školy na konštrukciu pravidelného šesťuholníka so stranou a dĺžky

Διαβάστε περισσότερα

Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus

Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

JKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková

JKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore.

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore. Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa

Διαβάστε περισσότερα

Základná škola Sačurov, Školská 389, Sačurov Tematický výchovno-vzdelávací plán z matematiky pre 9. ročník

Základná škola Sačurov, Školská 389, Sačurov Tematický výchovno-vzdelávací plán z matematiky pre 9. ročník Základná škola Sačurov, Školská 389, 094 13 Sačurov Tematický výchovno-vzdelávací plán z matematiky pre 9. ročník Vypracované podľa učebných osnov ŠkVP A schválených radou školy dňa 28.8.2008 s platnosťou

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Zobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.

Zobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie. Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch telies

Objem a povrch telies Objem a povrch telies Kváder má: 8 vrcholov označujeme ich veľkými tlačenými písmenami 12 hrán hrany môžu mať tri veľkosti - a, b, c 6 stien steny sú tvorené obdĺžnikmi s rozmermi a, b, c Veľkosti troch

Διαβάστε περισσότερα

Súradnicová sústava (karteziánska)

Súradnicová sústava (karteziánska) Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

Tematický výchovno-vzdelávací plán. z matematiky. pre 9. ročník

Tematický výchovno-vzdelávací plán. z matematiky. pre 9. ročník výchovnovzdelávací plán z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 5 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok: 2014/2015

Διαβάστε περισσότερα

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov

Διαβάστε περισσότερα

Smernicový tvar rovnice priamky

Smernicový tvar rovnice priamky VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.

Διαβάστε περισσότερα

Stereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2:

Stereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2: Stereometria 1. K úlohe č.1 v príklade vidíte sklenenú kocku, na ktorej je natiahnutý drôt. Vedľa vidíte 3 pohľady na túto kocku zhora, spredu a z pravého boku. Pre ďalšie kocky nakreslite takéto 3 pohľady.

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

Individuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVARTA 2012/2013

Individuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVARTA 2012/2013 Individuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVARTA 2012/2013 ( Číslovanie kapitol je kvôli lepšej prehľadnosti podľa učebníc. ) Odporúčam: www.oskole.sk cez učivá, predmety a ročník navštíviť príslušné

Διαβάστε περισσότερα

Test. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s.

Test. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s. Test Matematika Forma A Štátny pedagogický ústav, Bratislava Ò NUPSESO a.s. 1. Koľkokrát je väčší najmenší spoločný násobok čísel 84 a 16 ako ich najväčší spoločný deliteľ. A. B. 3 C. 6 D.1. Koľko záporných

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

ZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE

ZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE ŠEDIVÝ ONDREJ VALLO DUŠAN Vydané v Nitre 2009 Fakultou prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre s finančnou

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu

Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu Február Mesiac Týždeň Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 8, časť Stupeň vzdelania: ISCED 2 - nižšie sekundárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika

Διαβάστε περισσότερα

SK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A

SK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.

Διαβάστε περισσότερα

SK skmo.sk. 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A

SK skmo.sk. 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. Číslo n je súčinom troch (nie nutne rôznych) prvočísel. Keď zväčšíme každé z nich

Διαβάστε περισσότερα

MONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky

MONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky MONITOR 9 (007) riešenia úloh testu z matematiky Autormi nasledujúcich riešení sú pracovníci spoločnosti EXAM testing Nejde teda o oficiálne riešenia, ktoré môže vydať ia Štátny pedagogický ústav (wwwstatpedusk)

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Definícia funkcie sínus a kosínus

Definícia funkcie sínus a kosínus a-go-0-t List Definícia funkcie sínus a kosínus RNDr. arián acko U: Dnešnú podobu goniometrickým funkciám dal až v 8. storočí Leonard Euler. Skúmal ich hodnot ako čísla, nie ako úsečk, ako sa to robilo

Διαβάστε περισσότερα

Zhodné zobrazenia (izometria)

Zhodné zobrazenia (izometria) Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

4. POVRCH A OBJEM TELIES

4. POVRCH A OBJEM TELIES Mgr. Mariana Sahajdová 4. POVRCH A OBJEM TELIES Obsah tematického celku: Povrch a objem kocky, kvádra a hranola Povrch a objem ihlana 4.1 Povrch a objem kocky, kvádra a hranola Základné pojmy povrch kocky

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Analytická geometria

Analytická geometria Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické funkcie

Goniometrické funkcie Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej

Διαβάστε περισσότερα

Maturita z matematiky T E S T Y

Maturita z matematiky T E S T Y RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním

Διαβάστε περισσότερα

TC Obsahový štandard Výkonový štandard

TC Obsahový štandard Výkonový štandard Celé čísla. Počtové operácie s celými číslami UČEBNÉ OSNOVY ÔSMY ROČNÍK TC Obsahový štandard Výkonový štandard Pojem celé číslo Kladné a záporné čísla, kladné a záporné desatinné čísla Opačné čísla Absolútna

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme

Διαβάστε περισσότερα

Kapitola K2 Plochy 1

Kapitola K2 Plochy 1 Kapitola K2 Plochy 1 Plocha je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým pohybom čiary u, ktorá nie je dráhou tohto pohybu, pričom tvar čiary u sa počas pohybu môže meniť. Čiara u sa nazýva tvoriaca

Διαβάστε περισσότερα

Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami 2. STUPEŇ ZŠ - ISCED 2. Základná škola Pavla Horova Michalovce

Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami 2. STUPEŇ ZŠ - ISCED 2. Základná škola Pavla Horova Michalovce Základná škola Pavla Horova Michalovce ŠKOLSKÝ ROK: 2016/2017 9. ROČNÍK Matematika Vypracoval: Mgr. Ľubomíra Bérešová, RNDr. Eva Ciglianová, Mgr. Mária Hinďošová, Mgr. Tatiana Markušová Obsah Charakteristika

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

Testy a úlohy z matematiky

Testy a úlohy z matematiky Testy a úlohy z matematiky Spracovala a zostavila: c Mgr. Hedviga Soósová 008 Vydavateľ: Copyright c VARIA PRINT, s. r. o. 008. Prvé vydanie. Kontakt: VARIA PRINT, s. r. o. Mgr. Marta Varsányiová Ul. františkánov

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch rotačného kužeľa

Objem a povrch rotačného kužeľa Ma-Te-04-T List 1 Objem a povrch rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má kužeľ prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný kužeľ vznikne rotáciou, čiže otočením, pravouhlého

Διαβάστε περισσότερα

Katolícka univerzita v Ružomberku Pedagogická fakulta Rovinná geometria v starej Mezopotámii Miroslava Kyrczová História matematiky h. Doc. RNDr.

Katolícka univerzita v Ružomberku Pedagogická fakulta Rovinná geometria v starej Mezopotámii Miroslava Kyrczová História matematiky h. Doc. RNDr. Katolícka univerzita v Ružomberku Pedagogická fakulta Rovinná geometria v starej Mezopotámii Miroslava Kyrczová História matematiky h. Doc. RNDr. Štefan Tkačik, PhD..5.009 V tejto práci sa pokúsime objasniť

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické nerovnice

Goniometrické nerovnice Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto

Διαβάστε περισσότερα

DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA

DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy

Διαβάστε περισσότερα

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy republikového kola 35. ročník, školský rok 2013/2014

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy republikového kola 35. ročník, školský rok 2013/2014 Kategória P 6 1. Napíšte číslo, ktoré sa skrýva pod hviezdičkou: *. 5 = 9,55 2. Janko Hraško je 25 - krát menší ako Ďuro Truľo. Napíšte, koľko centimetrov meria Janko Hraško, ak Ďuro Truľo meria 1,75 metra.

Διαβάστε περισσότερα

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín: 1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch valca, kužeľa, ihlana a gule

Objem a povrch valca, kužeľa, ihlana a gule Objem a povrch valca, kužeľa, ihlana a ule 1. Plášť valca má rovnaký obsah ako jedna jeho podstav. Valec je vysoký 4 dm. Aký polomer má podstav tohto valca? 2. Vypočítaj objem a povrch valca, ktorého polomer

Διαβάστε περισσότερα

Ohraničenosť funkcie

Ohraničenosť funkcie VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

Integrovanie racionálnych funkcií

Integrovanie racionálnych funkcií Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA - úlohy z MONITOROV a MSK

MATEMATIKA - úlohy z MONITOROV a MSK MATEMATIKA - úlohy z MONITOROV a MSK P.č. Tematické celky Strana 1 1.1 - Výroky 1 1.. - Množiny 4 3.1. - Výrazy 6 4 3.1. - Teória čísel 7 5 4.1. - Rovnice 9 6 4.. - Nerovnice 11 7 4.3. - Sústavy rovníc

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα