1 Η μετρική Schwarzschild

Transcript

1 ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ - ΜΕΛΑΝΕΣ ΟΠΕΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομράς 1 Η μετρική Schwazschil Οπως είπμε σε προηγούμενο μάθημ, η γεωμετρί του χωρόχρονου γύρω πό μιά σφιρικά συμμετρική κτνομή συνολικής μάζς Μ ή γύρω πό μι σημεική μάζ M είνι: s 2 = c 2 1 2G ) NM c 2 t 2 1 2G ) 1 NM c θ 2 + sin 2 θ ϕ 2 ) 1) Είνι σημντικό ν κτλάβει κνείς τί είνι οι συντετγμένες t,, θ, ϕ κθώς επίσης τί μετράει ένς πρτηρητής σε τυχούσ θέση στο χώρο υτό. Κτ ρχήν, σε άπειρη πόστση πό την πηγή, δηλδή γι η μετρική γίνετι s 2 t θ 2 + sin 2 θϕ 2 ) 2) ήτοι, η μετρική του επίπεδου χώρου Minkowski σε σφιρκές πολικές συντετγμένες. Σε άπειρη πόστση πό έν σώμ περιμένουμε ν έχουμε μηδενικό βρυτικό πεδίο, δηλδή επίπεδο χωρόχρονο. Επιπλέον, οι συντετγμένες t κι είνι κριβώς ο χρόνος κι η κτινική συντετγμένη σε υτό το χώρο. Αρ, γι τον πρτηρητή στο άπειρο οι συντετγμένες t κι είνι οι γνωστές μς συντετγμένες του χρόνου κι της κτίνς, όπως τις ξέρμε πό την Ειδική Σχετικότητ. Το ίδιο ισχύει κι γι τις θ κι ϕ. 1.1 Μέτρηση χρονικών ποστάσεων. Με άλλ λόγι ο χρόνος που περνάει νάμεσ σε δύο γεγονότ που συμβίνουν στην ίδι θέση 0 τις χρονικές στιγμές t 1 κι t 2, θ είνι σύμφων με το ρολόϊ του πρτηρητή στο άπειρο t = t 2 t 1. Tί θ μετρήσει γι τη χρονική πόστση υτών των δύο γεγονότων ένς πρτηρητής κίνητος στη θέση 0 ; Οπως έχω εξηγήσει υτός θ μετρήσει τον ιδιοχρόνο, δηλδή τ = 1 2G NM c 2 0 t < t 3) Οσο πιό ισχυρό είνι το πεδίο βρύτητς σε κάποι θέση, τόσο γρηγορότερ τρέχει το ρολόϊ στη θέση υτή, κι επομένως τόσο μεγλύτερο χρόνο θ δείχνει το ρολόϊ ενός πρτηρητή στη θέση υτή. Αν τοποθετήσουμε δύο πνομοιότυπους πρτηρητές Α κι Β με νμενόμενο χρόνο ζωής Τ, τον Α στην επιφάνει της Γης κι τον Β στο άπειρο, ή τον Β στο ρετιρέ μιάς πολυκτοικίς κι τον Α στο υπόγειο, ο Α θ ζεί κόμ ότν ο Β θ έχει πεθάνει. Το ρολόϊ του Α θ δείξει Τ μετά πό το ρολόϊ του Β. Γενικά, ο πργμτικός χρόνος τ, που περνάει νάμεσ σε δύο γειτονικά γεγονότ στην ίδι θέση x στο χώρο είνι τ = 1 c g00 x, x 0 ) x 0, 4) κι επομένως, γι δύο οποιδήποτε γεγονότ Α κι Β στη θέση x έχουμε τ AB = 1 c x 0 B x 0 A g00 x, x 0 ) x 0. 5) 1

2 1.2 Μέτρηση χωρικών ποστάσεων. Ο τρόπος ν μετρήσει κνείς την πόστση νάμεσ σε δύο γειτονικά σημεί του χώρου Α κι Β είνι ο εξής: Στέλνει έν φωτεινό σήμ πό το Α στο Β κι μετράει το χρόνο τ AB που πέρσε. Η πόστση l AB των Α κι Β θ είνι l AB = c τ AB. 6) Φυσικά, η ερώτηση υτή πντιέτι εύκολ γενικά γι τυχούσ μετρική s 2 = g µν x)x µ x ν 1. Εδώ θ περιοριστούμε σε διγώνιες μετρικές με τ διγώνι στοιχεί ν είνι γενικές συνρτήσεις όλων των συντετγμένων. Η μετρική 1) δεν εξρτάτι πό το χρόνο. Στην Κοσμολογί θ ενδιφερθούμε κύρι γι διγώνιες μετρικές, που εξρτώντι μόνο πό το χρόνο. Ολες υτές είνι ειδικές περιπτώσεις κι κλύπτοντι πό την πρκάτω νάλυση. Εστω, λοιπόν, ότι είμι ο πρτηρητής Α κι βρίσκομι στη θέση με συντετγμένες {x i } κι θέλω ν μετρήσω τη χρονική στιγμή t πόσο πέχω πό τον Β στη θέση {x i + x i }. Στέλνω στον Β έν φωτεινό σήμ, το οποίο νκλάτι κι επιστρέφει σε εμέν. Το φωτεινό σήμ ικνοποιεί την εξίσωση s = 0 2, ήτοι s 2 = g 00 x 0 ) 2 + g ii x i ) 2 = 0. 7) Με δεδομέν τ t, x i κι x i, βρίσκω δύο λύσεις γι το x 0 : x 0 ) ± = ± g iix, x 0 )x i ) 2 g 00 x, x 0. 8) ) Αν x 0 είνι η χρονική στιγμή που το σήμ φτάνει στον Β 3, τότε τη στιγμή x 0 + x 0 ) έφυγε πό τον Α κι τη στιγμή x 0 + x 0 ) + έφτσε πάλι στον Α. Οπότε, γι Α κι Β πειροστά κοντά, το x 0 που πέρσε μέχρι ν πάει το σήμ πό το Α στο Β είνι το μισό της διφοράς των δύο ριζών, ήτοι x 0 = g iix, x 0 )x i ) 2 g 00 x, x 0 ) Οπότε, ο πργμτικός χρόνος που πέρσε μέχρι το φως ν πάει πό το Α στο Β είνι, σύμφων με την 4) είνι τ = 1 g00 x 0 = 1 g ii x, x c c 0 )x i ) 2 10) κι με βάση την 6), η πόστσή τους είνι l 2 = g ii x, x 0 )x i ) 2. 11) Αρ, το μήκος μιάς κμπύλης x i = x i σ) στο χωρόχρονο είνι τη χρονική στιγμή x 0 ίση με σb ) x l = g ii x, x 0 i 2 ) σ 12) σ σ A 1 Δες γι πράδειγμ το κεφάλιο 84 του βιβλίου The Classical Theoy of Fiels των Lanau κι Lifshitz. 2 Η εξίσωση της τροχιάς της φωτεινής κτίνς διφέρει πό πρτηρητή σε πρτηρητή, δηλδή πό σύστημ συντετγμένων σε σύστημ συντετγμένων. Ο ελεύθερ πίπτων πρτηρητής την βλέπει ν διγράφει ευθεί, ενώ ο κίνητος πρτηρητής στη Γη τη βλέπει ν διγράφει πρβολή, φού όπως έχουμε πεί ήδη με βάση την ΙΑΙ έλκετι πό τη Γή. Ωστόσο, το s κτά μήκος της τροχιάς είνι το ίδιο, ως προς όλους τους πρτηρητές. Στην Ειδική Θεωρί της Σχετικότητς μάθμε ότι κτά μήκος της τροχιάς του φωτός ισχύει s=0. Αρ s=0 γενικά σε οποιοδήποτε σύστημ συντετγμένων. 3 Γι σημεί πειροστά κοντά δεν κάνει διφορά ν θεωρούμε οτι ο χρόνος x 0 νφέρετι στο Β κι όχι στο Α. Γι την κρίβει η διφορά που θ προέκυπτε στην σχέση 11) είνι νώτερης τάξης στη μικρή ποσότητ x i κι μηδενίζετι στο όριο x i 0. 9) 2

3 1.2.1 Πρδείγμτ: Είνι σημντικό ν γίνει σφές ότι συντετγμένες των σημείων ενός χωροχρόνου είνι γενικά πλά ονόμτ κι οι διφορές συντετγμένων δύο σημείων γενικά ΔΕΝ είνι χρονικές ή χωρικές ποστάσεις. Αυτό μπορεί ν επιδειχθεί με το εξής πλό πράδειγμ: Α) Εστω ο χωροχρόνος με μετρική s 2 = a 2 c 2 t 2 b 2 x 2, 13) όπου a κι b στθερές κι c η τχύτητ του φωτός. Σύμφων με τ πρπάνω ο χρόνος που σύμφων με το ρολόϊ ενός πρτηρητή κίνητου στη θέση x 0 πέρσε νάμεσ σε δύο γεγονότ Α κι Β με συντετγμένες x, t A ) κι x, t B ) είνι τ AB = a t B t A ) = a t AB. 14) Πρά το όνομά της που πρπέμπει σε χρόνο, η συντετγμένη t δεν τυτίζετι με την ένδειξη του ρολογιού. Οι δύο διφέρουν κτά την πολλπλσιστική στθερά a. Επίσης, σύμφων με τ πρπάνω η χωρική πόστση δύο σημείων με χωρικές συντετγμένες x A κι x B είνι l AB = b x B x A ) = b x AB. 15) Η συντετγμένη x, πρά το ότι το όνομά της πρπέμπει σε πόστση κτά τη κτεύθυνση x, δεν ισούτι με πόστση. Οι δύο διφέρουν κτά τη πολλπλσιστική στθερά b. Ας κάνουμε δύο πρδείγμτ στο πιό πολύπλοκο χωροχρόνο 1): Β) Πόσο είνι το μήκος του κύκλου = R, θ = π/2 στο χωρόχρονο υτό; Απάντηση: Γι τον κύκλο έχω = 0, θ = 0. Οπότε l = ϕ = Rϕ. Επομένως, το μήκος του είνι l = R 2π 0 ϕ = 2πR. Γ) Πόση είνι η κτινική πόστση των σημείων 1 = 2GM/c 2 κι 2 = 2GM/c 2 + > 1); Απάντηση: Στην κτινική κτεύθυνση έχουμε θ = 0 κι ϕ = 0. Οπότε, l 12 = GM/c 2 16) Ορίζω w c2 2GM, w 1 z2 17) κι το ολοκλήρωμ γράφετι διδοχικά l 12 = 2GM c 2 = 1+c 2 /2GM 1 + 2GM c 2 w w w 1 = 22GM c 2 + 2GM c 2 sinh 1 c 2 2GM c 2 /2GM z z ) Στο όριο που δεν υπάρχει μάζ M 0 ή δεν υπάρχει βρύτητ G 0 η πόστση l 12 γίνετι πράγμτι υτή που περιμένει κνείς στον επίπεδο χώρο, δηλδή l 12 =. Το μήκος l 12 είνι γενικά μεγλύτερο του. Αυτό πεικονίζετι ποιοτικά κι στο σχήμ που έχετε δεί με το ελστικό επίπεδο ν βθουλώνετι πό τη σφίρ στέρ) που έχει τοποθετηθεί πάνω του. Το σώμ προκλεί πρμόρφωση στη γεωμετρί γύρω του κι κάνει τις ποστάσεις ν λλάζουν. 0 3

4 2 Κίνηση περί τον Ηλιο. 2.1 Κίνηση πλνητών Σε πρώτη προσέγγιση θ θεωρήσω οτι η μάζ ενός πλνήτη είνι μελητέ σε σχέση με τη μάζ του Ηλιου κι θ γνοήσω την λλγή που προκλεί η προυσί του στο βρυτικό πεδίο. Ετσι ο πλνήτης θ κινηθεί σε γεωδισική της μετρικής του Schwazschil. Οπως εξήγησ σε προηγούμενο κεφάλιο, μπορώ ν πρμετρήσω την τροχιά με τo μήκος s κτά μήκος της ή ισοδύνμ με τον ιδιόχρονο τ s/c που μετράει το ρολόϊ που κολουθεί την τροχιά ή ισοδύνμ ο πρτηρητής πάνω στον πλνήτη. Οπότε η τροχιά περιγράφετι πό τις συνρτήσεις tτ), τ), θτ) κι ϕτ), κι οι εξισώσεις της τροχιάς είνι οι L = c 2 1 ) ṫ2 1 ) 1 ṙ2 2 θ 2 + sin 2 θ ϕ 2 ) = c 2 19) 1 ) ṫ) = 0 20) τ τ 2 2 θ ) = 2 ϕ2 sin 2θ 21) τ 2 ϕ sin 2 θ) = 0 22) όπου η τελεί σημίνει πργώγιση ως προς τ κι 2G N M/c 2. Τέλος, ντί γι την εξίσωση /τ) L/ ṙ) = L/ θ χρησιμοποιήσω την 19) 4. Χωρίς βλάβη της γενικότητς μπορώ ν πάρω θ = π/2. Απόδειξη: ) Λόγω σφιρικής συμμετρίς του χώρου, μπορώ την τυχούσ ρχική τχύτητ του σώμτος ν την πάρω στο επίπεδο θ = π/2, δηλδή ν πάρω θ0) = π/2 κι θ0) = 0. β) Από την 21) τότε συμπερίνω οτι κι η θ0) = 0. Οπότε η θτ) = π/2 γι κάθε τ. Ο,τι κριβώς συνέβινε κι στη Νευτώνει μηχνική γι κεντρικά δυνμικά. Κι οι εξισώσεις νάγοντι στις L = c 2 1 ) + 1 ) ϕ2 = c 2 23) 1 ) ṫ) = 0 τ 24) τ 2 ϕ) = 0 25) Η γενική λύση των δύο τελευτίων είνι 2 ϕ = λ, 1 ) ṫ = η 26) κι ντικθιστώντς στην πρώτη πίρνω όπου το ενεργό δυνμικό V eff δίνετι πό τη σχέση V eff G NMm 1 2 mṙ2 + V eff = E N 27) + l2 2m 2 G NMl 2 mc ) 4 ΑΣΚΗΣΗ: ) Ν εξχθεί η εξίσωση, που προκύπτει πό τη μετβολή της L ως προς. β) Ν ποδειχθεί οτι η εξίσωση υτή δεν είνι νεξάρτητη, λλά μπορεί ν πρχθεί πό τις πρπάνω εξισώσεις 19), 20), 21) κι 22). 4

5 ενώ η ολική ενέργει E N είνι E N 1 2 mc2 η 2 1), l mλ 29) ΣΧΟΛΙΑ: ) Η εξίσωση 27) είνι υτή που θ είχμε ν λύσουμε στη Νευτώνει μηχνική, ν η βρυτική δυνμική ενέργει δεν ήτν πλά η G N Mm/ λλά είχε κι τον όρο G N Ml 2 /mc 2 3. Κτά τ άλλ έχουμε ν κάνουμε με έν πρόβλημ της νευτώνεις κλσικής μηχνικής. Η ποσότητ l = mλ είνι η στροφορμή. β) Φυσικά, γνοώντς τη Γενική Θεωρί της Σχετικότητς, θ μπορούσε ν εξηγήσει κνείς τη κίνηση του περιηλίου του Ερμή, λέγοντς οτι το δυνμικό της βρύτητς του Ηλιου έχει κι κάποιο πρόσθετο μικρό όρο της μορφής β/ 3 κι ν προσδιορίσει το β ώστε ν πίρνει το σωστό ποτέλεσμ. Μπορώ πάντ ν προσθέτω άγνωστες φινομενολογικές πρμέτρους, που ν προσδιορίζω στη συνέχει κάνοντς χρήση των πειρμτικών/πρτηρησικών δεδομένων. Η ομορφιά της Θεωρίς της Σχετικότητς είνι οτι ΔΕΝ χρειάζετι κμμί επιπλέον πράμετρος γι ν υπολογιστεί η κριβής κίνηση του πλνήτη Ερμή. Η πράμετρος β κθορίζετι πό τις ήδη υπάρχουσες κι ισούτι προς G N Ml 2 /mc 2. γ) ΜΕΘΟΔΟΣ: Το πηλίκον των δύο όρων της V eff είνι l/mc) 2 mv/mc) 2 = v/c) 2. Οπότε γι μη σχετικιστικές τχύτητες ο τελευτίος όρος είνι μικρή διτρρχή στην Νευτώνει δυνμική ενέργει του σώμτος. Αυτό με οδηγεί στην εξής διτρρκτική μέθοδο λύσης της εξίσωσης 27): i) Αγνοώ τη διόρθωση στο δυνμικό κι λύνω το διτάρρκτο πρόβλημ με μόνη τη δυνμική ενέργει του Νεύτων. Το έχετε λύσει στο μάθημ της Μηχνικής. ii) Ζητάω λύση που ν διφέρει λίγο πό την διτάρρκτη. ΛΥΣΗ: Από την εξίσωση γι την γωνί ϕ πίρνω Ορίζω, τη νέ άγνωστη συνάρτηση uϕ) γι την οποί η εξίσωση κίνησης γράφετι τ = m2 ϕ. 30) l u = uϕ) = 1 ϕ) 31) u 2 + u 2 2 u u 3 = 2E Nm l 2 κ 32) με 2l 2 /m 2 c 2. Αυτή είνι η εξίσωση που πρέπει ν λύσω γι ν προσδιορίσω τις τροχιές του πλνήτη γύρω πό τον Ηλιο. Οπως εξήγησ πρπάνω, ειδικά γι το ηλικό μς σύστημ μπορώ ν χρησιμοποιήσω τη μέθοδο των διτρρχών γι ν λύσω την εξίσωση, με μικρή διτρρχή τον τελευτίο όρο του ριστερού μέλους της. Βήμ 1: Λύνω το διτάρρκτο πρόβλημ, δηλδή χωρίς τον όρο u 3 στο δυνμικό. Ονομάζω u 0 τη λύση του διτάρρκτου προβλήμτος. Η συνάρτηση u 0 ικνοποιεί την εξίσωση που με πργώγιση ως προς ϕ δίνει την u u u 0 = κ 33) u 0 + u 0 1 = 0. 34) Ορίζοντς U 0 u ) 5

6 γράφω την εξίσωση υτή ισοδύνμ στη μορφή U 0 + U 0 = 0 36) που έχει γενική λύση την U 0 ϕ) = A cos ϕ + B sin ϕ. 37) Χωρίς βλάβη της γενικότητς πίρνω γι ρχικές συνθήκες ορισμός της γωνίς ϕ = 0) ϕ = 0) = 0, ϕ = 0) = 0. 38) Από τον ορισμό της U, υτές μετφράζοντι στις U 0 0) = 1 1 0, U 00) = 0, 39) που οδηγούν τελικά στη λύση ή ισοδύνμ στην με U 0 ϕ) = 1 1 ) cos ϕ, 40) 0 u 0 ϕ) = e cos ϕ) 41) e ) Ας σημειωθεί εδώ οτι η πράμετρος e γράφετι ως όπου e = 0 1 = 2K 0 + V 0 V 0 43) l2 K 0 = 2m0 2 χρησιμοποιώντς τ οποί η στθερά E N γράφετι, V 0 = G NMm 0, 44) E N = K 0 + V 0 45) Οπως ξέρετε πό τη Νευτώνει μηχνική, στο δυνμικό του Νεύτων έχουμε τριών ειδών τροχιές που δικρίνοντι πό τη τιμή της πρμέτρου e. 1. e = 0 : Η τροχιά είνι κύκλος, φού u 0 ϕ) = 1 = constant = ) Αντικθιστώντς στις εκφράσεις γι τ K 0 κι V 0 πίρνω τις γνωστές σχέσεις γι τις κυκλικές τροχιές γύρω πό τον στέρ 2K 0 = V 0 = GMm 0 47) κι E N = K 0 + V 0 = K 0 = 1 2 mv2 0 48) 2. e > 0 : Στην περίπτωση υτή η τροχιά είνι έλλειψη με περιήλιο κι φήλιο ν δίνοντι πό τις σχέσεις min = 1 + e = 0, max = 49) 1 e 6

7 3. e < 0 : Η τροχιά στην περίπτωση υτή είνι υπερβολή. Βήμ 2: Προχωράω στο δεύτερο βήμ, που είνι ο υπολογισμός της πρώτης διόρθωσης της προσεγγιστικής λύσης u 0 της εξίσωσης 32). Γι το σκοπό υτό γράφω u = u 0 + δu 1 50) εισάγοντς μι μικρή πράμετρο δ γι ν με βοηθάει ν θυμάμι οτι όσο μεγλύτερη δύνμη του δ πολλπλσιάζει ένν όρο τόσο μικρότερος δηλδή νώτερης τάξης) είνι ο όρος υτός. Οπως θ δείτε η τιμή του δ δεν θ χρειστεί πουθενά. Αντικθιστώ στην 32), θεωρώντς επιπλέον οτι Oδ) κι κρτώντς μέχρι κι όρους πρώτης τάξης στο δ, πίρνω 5 ή ισοδύνμ, ντικθιστώντς την u 0 ϕ) με το ίσο της e sin ϕ u 1ϕ) ϕ Λύνω την εξίσωση υτή κι βρίσκω 6 2u 0u 1 + 2u 0 u 1 2 u 1 = u ) + e u 1 ϕ) cos ϕ = 1 + e cos ϕ) ) u 1 ϕ) = e ) 3e2 cos ϕ e 2 cos 2 ϕ + 3eϕ sin ϕ. 53) e Οπότε η ζητούμενη συνάρτηση uϕ) σε πρώτη τάξη στη διτρρχή είνι uϕ) u 0 ϕ) + u 1 ϕ) όπου ώρισ τη μικρή ποσότητ 1 [ e2 ) + e e 2 e ) ] cos ϕ 2 2 e2 cos 2 ϕ + 3 e 2 2 ϕ sin ϕ 1 εe 1 + e cos ϕ) + ϕ sin ϕ 54) ε ) Αντίστοιχ, πηγίνοντς πίσω στον ορισμό της u πίρνω γι την συντετγμένη ϕ) της τροχιάς ϕ) 1 + e cos ϕ + εeϕ sin ϕ που είνι το νάπτυγμ γι μικρές τιμές της πρμέτρου ε της συνάρτησης ϕ) 56) 1 + e cos1 ε)ϕ). 57) Οπότε, το περιήλιο του πλνήτη στρέφετι στο επίπεδο της κίνησής του, στην ίδι φορά με υτήν της βσικής περιστροφικής του κίνησης, κτά δϕ peihelion pe evolution) 2πε 3π = 3π 1 + e) min 58) 5 ΑΣΚΗΣΗ: Με φετηρί τις 32) κι 50) ν ποδείξετε τις εξισώσεις 51) κι 52). 6 ΑΣΚΗΣΗ: Ν λυθεί η πρπάνω εξίσωση. Λύστε πρώτ την ομογενή, ντικτστείστε στη συνέχει τη στθερά με μι άγνωστη συνάρτηση, βάλτε την πίσω στην διφορική εξίσωση κι λύστε τη διφορική εξίσωση που προκύπτει γι την άγνωστη υτή συνάρτηση. 7

8 Ειδικά γι τον Ερμή έχουμε 7 δϕ peihelion pe evolution) a / evolution 43 / centuy 59) 2.2 Κίνηση του φωτός περί τον Ηλιο Βρυτικοί φκοί. H εξίσωση κίνησης ενός φωτονίου είνι s = 0 60) Ατμοσφιρικός ντικτοπτρισμός Χρονική κθυστέρηση φωτεινού σήμτος. 3 Μελνές οπές 7 ΑΣΚΗΣΗ: ) Πώς εξηγείτε το γεγονός, οτι ο ρυθμός μετάπτωσης ΔΕΝ εξρτάτι πό τη μάζ του πλνήτη; β) Ν υπολογιστεί η ντίστοιχη μετάπτωση του περιηλίου της Γης. Στο google θ βρείτε τις planet eccenticities e κι ό,τι άλλο στοιχείο χρειάζεστε. 8