Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Καθηγητές: Δ. ΚΑΛΛΙΓΕΡΟΠΟΥΛΟΣ & Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επιστημνικός Συνεργάτης: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα Αυτμάτυ Ελέγχυ ΙΙ Ασκήσεις Πράξης Εαρινό εξάμην 9/

2 Ασκήσεις Μόνιμα Σφάλματα & Κριτήρια ευστάθειας (8//) Άσκηση. Δίνεται κλειστό σύστημα με συνάρτηση μεταφράς ανιχτύ συστήματς: K( + ) G( ( + 4)( + 5) και βηματική είσδ αναφράς r ( t). Για πια τιμή τυ κέρδυς K έχει τ σύστημα μόνιμ σφάλμα ελέγχυ e. ; Λύση K( + ) G ( άρα: ( + 4)( + 5) K K A, a 4 5 Μόνιμ σφάλμα θέσης: e. A 9, πότε K 8. A + Άσκηση. Εξετάστε κατά Routh την ευστάθεια των χαρακτηριστικών πλυωνύμων: α) Q ( β) Q ( + 9 γ) Q ( δ) Q ( ( )( + 4)( + 5) + K, για πια K ε) Q ( ( )( + 4) + K( + a), για πια ( a, K), a > K >. Σχεδιάστε τ πεδί ευστάθειας. Λύση α) Έχυμε: Q ( O πίνακας και ι συντελεστές Routh είναι: b 9 Όπυ: b ( 9 ) 7 Καμία αλλαγή πρσήμυ στυς συντελεστές Routh. Άρα τ σύστημα είναι ευσταθές.

3 β) Έχυμε: Q ( + 9 O πίνακας και ι συντελεστές Routh είναι: b 9 Όπυ: b ( + 9) 9 Έχυμε μία αλλαγή πρσήμυ στυς συντελεστές Routh. Άρα τ σύστημα είναι ασταθές με έναν ασταθή πόλ. γ) Έχυμε: Q ( O πίνακας και ι συντελεστές Routh είναι: b Όπυ: b ( ) Εφόσν συντελεστής b, τ σύστημα είναι ριακά ευσταθές. Πράγματι, αν θεωρήσυμε b ε, τότε πρκύπτει ότι έχυμε τρεις ευσταθείς πόλυς. Αν > αντίθετα θεωρήσυμε b ε, τότε έχυμε δύ αλλαγές πρσήμυ, άρα δύ < ασταθείς πόλυς. Τ ιδιόμρφ αυτό σύστημα έχει έναν ευσταθή και δύ ριακύς πόλυς (με μηδενικό πραγματικό μέρς). δ) Έχυμε: Q ( ( )( + 4)( + 5) + K Q ( K O πίνακας και ι συντελεστές Routh είναι: 8 b + K + K

4 Όπυ: b 8 K ( + K 8 ) 8 8 Πρέπει 8 K > ή K < 8 και + K > ή K > Άρα τ σύστημα είναι ευσταθές για < K < 8. ε) Έχυμε: Q ( ( )( + 4) + K( + a) Q ( + ( K + ) + Ka 4 O πίνακας και ι συντελεστές Routh είναι: K + Ka 4 Ka 4 Πρέπει K + > ή K > και Ka 4 > ή K > 4 a Σχεδιάζυμε τ πεδί ευστάθειας στ επίπεδ ( a, K) (σκιαγραφημέν). Οριακή καμπύλη: a K 4 4 K 4 a 4

5 Άσκηση Τόπς ριζών (5/4/) ( + a) Δίνεται σύστημα: G ( ( + )( + 4) ) Υπλγίστε γενικά ασύμπτωτες, σημεία διακλάδωσης και σημεία τμής με τν φανταστικό άξνα. ) Σχεδιάστε τν τόπ ριζών για: α) a 5, β) a, γ) a και δ) a. Θεωρείστε τ κέρδς K τυ κλειστύ συστήματς θετικό. Εξετάστε σε όλες τις περιπτώσεις για πια K είναι ευσταθές τ κλειστό σύστημα. Εξετάστε στην περίπτωση (δ) για πια K έχει τ κλειστό σύστημα ευσταθείς μιγαδικύς πόλυς. Λύση ) Γενικά τ σύστημα έχει: n πόλυς: p, p 4 και m ρίζες:, a n m άρα δεν υπάρχυν ασύμπτωτες. Σημεία διακλάδωσης: Είναι G + a ( dg( : πότε ( + a)( + + 8) ( + )( + a d ή a + a + 8a a a ή ( a ) + + 8a 8 ± 4 8a( a) πότε, a Σημεία τμής με τ φανταστικό άξνα: Q ( ( + )( + 4) + K( + a) ή Q ( K + Ka ( K + ) + ( + Ka) + 8 Για jω είναι: Q ( jω) ( K + ) ω + ( + Ka) jω + 8 πότε πρέπει: 8 ( K + ) ω και ( + Ka ) ω δηλαδή ή ω ή + Ka Οπότε ω αδύνατ. Άρα για + Ka είναι K a 5

6 8 8a και ω, ω K + a α) Για a 5 Σημεία διακλάδωσης:, 8a a 8 ± ±. 4, άρα απρρίπτνται..9 Σημεία τμής με φανταστικό άξνα: K <, άρα απρρίπτεται. 5 Σύστημα ευσταθές για όλα τα K >. β) Για a Σημεία διακλάδωσης:, 8 ± ± 8, άρα δεν υπάρχυν. Σημεία τμής με φανταστικό άξνα: K <, άρα απρρίπτεται. Σύστημα ευσταθές για όλα τα K >.

7 γ) Για a Σημεία διακλάδωσης:, 8 ± ± 5 4., απδεκτά.. Σημεία τμής με φανταστικό άξνα: K <, άρα απρρίπτεται. Σύστημα ευσταθές για όλα τα K >. δ) Για a. Σημεία διακλάδωσης:, 8 ± ± 7.4, απδεκτά..7 8 Σημεία τμής με φανταστικό άξνα: K + και ω. 7, άρα απρρίπτεται. 7 Διερεύνηση στ σημεί διακλάδωσης: διακλ.. 7 Για α τ χαρακτηριστικό πλυώνυμ είναι: Q ( ( K + ) + ( K) + 8 Για τ σημεί διακλάδωσης πρέπει: ( K + ).7 + ( K).7+ 8 ή 7.4( K + ). +.7K + 8, ή K 5.4. δηλαδή K. 9 Άρα τ σύστημα έχει ευσταθείς μιγαδικύς πόλυς για.9 < K < και ευσταθείς πραγματικύς για < K <. 9. 7

8 Άσκηση Μόνιμα σφάλματα, ευστάθεια, τόπς ριζών (τεστ /4/) + Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφράς: G (. ( ) ) Υπλγίστε τ μόνιμ σφάλμα τυ κλειστύ συστήματς για είσδ r ( t) και r( t) t. ) Εξετάστε κατά Routh την ευστάθεια τυ κλειστύ συστήματς ελέγχυ με ελεγκτή C ( K. Βρείτε τ ριακό K και για πιες τιμές τυ K είναι τ κλειστό σύστημα ευσταθές; ) Σχεδιάστε τν τόπ ριζών τυ κλειστύ συστήματς. Ειδικότερα βρείτε: Ασύμπτωτυς, σημεία διακλάδωσης και σημεία τμής με τν φανταστικό άξνα. Υπλγίστε τ ριακό K και επαληθεύεστε την τιμή πυ βρήκατε με τ κριτήρι Routh, καθώς και για πια K είναι τ κλειστό σύστημα ευσταθές. Βρείτε επίσης την τιμή τυ κέρδυς K K πυ αντιστιχεί στ σημεί διακλάδωσης. Λύση ) Μόνιμ σφάλμα: + + G ( άρα A και a ( ) + Για r ( t) : μόνιμ σφάλμα θέσης: e Για r ( t) : μόνιμ σφάλμα θέσης: Για e A + r( t) t : μόνιμ σφάλμα ταχύτητας: e ) Κριτήρι ευστάθειας Routh: Έχυμε: Q ( ( + ) + K( + ) Q ( + ( K ) + K + O πίνακας και ι συντελεστές Routh είναι: 8

9 K K + K + Άρα για K > πρέπει K > ή K > Οπότε ριακό K. ) Τόπς ριζών: Τ σύστημα: + + G ( έχει m ρίζα και n διπλό ( ) + ασταθή πόλ p., 8 α) Ασύμπτωτες: n m, μία ασύμπτωτς με φa σ. (λ + ) 8 dg( β) Σημεία διακλάδωσης: : d ( ) ( )( + ) ή ( )( 4) ( )( + 5) Άρα και 5. γ) Σημεία τμής με φανταστικό άξνα: Q ( ( ) + K( + ) + ( K ) + + K Για jω είναι: Q ( jω ) ω + ( K ) jω + + K πότε πρέπει: ω + K και ω ή K Για K είναι ω 5 ή ω 4. Για ω είναι K < πυ απρρίπτεται. δ) Οριακό K. Σύστημα ευσταθές για K >. 9

10 ε) Στ σημεί διακλάδωσης έχυμε δύ ίσυς πραγματικύς πόλυς 5 τυ, κλειστύ συστήματς, πρερχόμενυς από τ πλυώνυμ: ( + 5) Άρα πρέπει Q ( + ( K ) + + K + 5 : + πότε K ή + K 5, δηλαδή K. Διερεύνηση: Τ κλειστό σύστημα έχει: Για < K < δύ ασταθείς μιγαδικύς πόλυς. Για < K < δύ ευσταθείς μιγαδικύς πόλυς. Για K > δύ ευσταθείς πραγματικύς πόλυς.

11 Άσκηση 4 Σύνθεση με τη μέθδ τυ τόπυ ριζών (/5/) ( + )( + ) Δίνεται σύστημα: G( ) Σχεδιάστε τν τόπ ριζών (Υπλγίστε ασύμπτωτες, σημεία διακλάδωσης, σημεία τμής με τν φανταστικό άξνα, γωνίες εξόδυ από τυς πόλυς και για πια K είναι ευσταθές τ κλειστό σύστημα). ) Βρείτε κατάλληλ ελεγκτή PD: C ( K( + ) έτσι ώστε τ κλειστό σύστημα να έχει επιθυμητύς πόλυς p ± j.. ) Σχεδιάστε τ νέ τόπ ριζών C ( ) G ( ) G ( ). Λύση ) Τ σύστημα είναι G( dg( Σημεία διακλάδωσης: : d ( + 4) ( ) ή ( + 4 ) ( ) Άρα. 5, τ πί απρρίπτεται και. 5, πυ είναι απδεκτό. Σημεία τμής με φανταστικό άξνα: Q ( + K( ) + K + 4K + K Για jω είναι: Q ( jω) jω Kω + 4Kjω + K K( ω ) + jω(4k ω ) πότε πρέπει: ω και ω. 7 4 ω K και 75 K. είναι ή Άρα σύστημα ευσταθές για K >. 75. Γωνίες εξόδυ από τυς πόλυς: Κριτήρι γωνιών: Φ p ( Φ + Φ ) 8 Είναι Φ Φ άρα Φ p

12 Τόπς ριζών: ) Σύνθεση με ελεγκτή PD: C ( K ( + ) και δεδμένυς επιθυμητύς πόλυς: Κριτήρι γωνιών: Φ p ( Φ + Φ + Φ ) 8 Φ p 8 τξεφ 5 Φ 8 τξεφ 5 Φ τξεφ 45 Άρα Φ Φ p ( Φ + Φ ) 8 99 εφ (8 Φ ) εφ8. άρα. 84 Κριτήρι μέτρων: K p

13 Εφόσν p +. 4, +. 4 και +.. Άρα C ( 5.( +.84) ) Νές τόπς ριζών: ( + )( + ) G ( C( G( 5.( +.84) dg ) Σημεία διακλάδωσης: ( : d 5.( ) 5.( ) 5.( ) ή Άρα., τ πί απρρίπτεται και., πυ είναι απδεκτό. Σημεία τμής με φανταστικό άξνα: Q ( + K 5.( ) ή Q ( ( + K 5.) + K.7 + K K.9 Για jω είναι: Q ( jω ) ( + 5.K) jω.7kω + 58Kjω +.9K ή Q ( jω) K(.9.7ω + jω(58k ( + 5.K) ω ) πότε πρέπει:.7ω. 9 ή ω. 94 και ω. 97 και ( + 5.K) ω 58K ή ( + 5.K).94 58K K 58K άρα K. 8