{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου αυτού. Επιφάνεια S του εποπτικού χώρου είναι ένα διπαραµετρικό σύνολο ση- 3 µείων του R µε πεδίο µεταβολής έναν τόπο R. ηλαδή { } S= M(,,) : = f (u,v), = f (u,v), = f (u,v), για u,v Οι 1 3 = f 1(u,v), = f (u,v), = f 3(u,v) (1.1) αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις της S. Αν µεταξύ των (1.1) απαλείψουµε τα u,v, τότε παίρνουµε την επιφάνεια S µε τις µορφές f (,,) = 0 ή = σ(, ), ή = φ(,) ή = ω(,) Μία καµπύλη στον 3 R παριστάνεται ως τοµή δύο επιφανειών. Πριν αναφερθούµε στις επιφάνειες δευτέρου βαθµού, θα δώσουµε τους ο- ρισµούς µερικών επιφανειών, οι οποίοι θα είναι χρήσιµοι για τα παρακάτω. Ευθειογενείς επιφάνειες ονοµάζονται οι επιφάνειες εκείνες που από κάθε σηµείο τους περνάει µια τουλάχιστον ευθεία, η οποία βρίσκεται πάνω στην ε- πιφάνεια. Η πιο συνηθισµένη είναι εκείνη που προκύπτει από την κίνηση µιας ευθείας, της γενέτειρας της επιφάνειας, η οποία υπακούει σε κάποιο νόµο. Π.χ. συναντάει κατά την κίνησή της µια καµπύλη της επιφάνειας, η οποία λέγεται

2 18 οδηγός καµπύλη. Τέτοιες επιφάνειες είναι οι κυλινδρικές, οι κωνικές και άλλες. α) Στις κυλινδρικές επιφάνειες η κινούµενη ευθεία, δηλαδή η γενέτειρα, παραµένει παράλληλη προς ένα σταθερό διάνυσµα. Ως οδηγός καµπύλη µπορεί να θεωρηθεί µια οποιαδήποτε τοµή της επιφάνειας µε ένα επίπεδο. Έστω ότι οι επιφάνειες παριστάνουν µια καµπύλη C, και f (,,) = 0, g(,,) = 0 (1.) σ (, ) = 0 (1.3) είναι το αποτέλεσµα της απαλοιφής του µεταξύ των (1.).Τότε η εξίσωση 3 (1.3) παριστάνει στον R την κυλινδρική επιφάνεια που προβάλλει την C στο Ο επίπεδο. Η (1.3) στο Ο επίπεδο παριστάνει την προβολή της C στο ε- πίπεδο αυτό. Ανάλογα µπορούµε να έχουµε τις κυλινδρικές επιφάνειες φ (, ) = 0 ή ω (, ) = 0, οι οποίες προκύπτουν από τις (1.) µε απαλοιφή του ή αντίστοιχα. β) Στις κωνικές επιφάνειες η κίνηση της γενέτειρας γίνεται έτσι ώστε να περνάει αυτή πάντα από ένα σταθερό σηµείο, το οποίο λέγεται κορυφή της κωνικής επιφάνειας (ή κώνου). Η κορυφή κάθε κωνικής επιφάνειας τη χωρίζει σε δύο συµµετρικά µέρη ως προς το σηµείο αυτό, τα οποία λέγονται χώνες. Κάθε εξίσωση f (,,) = 0, όπου η συνάρτηση f είναι οµογενής (*) ως προς,,, παριστάνει κωνική επιφάνεια µε κορυφή το σηµείο Ο(0,0,0). Η κωνική επιφάνεια µε κορυφή ένα τυχόν σηµείο ( 0, 0, 0 ) έχει εξίσωση f ( 0, 0, 0) = 0 όπου f είναι οµογενής συνάρτηση ως προς ξ= 0, η= 0, ζ= 0. (*) Τον ορισµό της οµογενούς συναρτήσεως θα τον δούµε στο Κεφάλαιο 4.

3 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 19 Επιφάνειες δεύτερου βαθµού Είναι οι επιφάνειες εκείνες, των οποίων οι συντεταγµένες 3 (,,) R σ ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Ο επαληθεύουν την εξίσωση A + B + C + D+ E+ F+ G+ H+ I+ J= 0 (1.4) όπου A, B, C, D, E, F, G, H, I, J είναι σταθερές. Π.χ. τέτοιες επιφάνειες είναι η σφαίρα, ο κώνος και άλλες που θα δούµε παρακάτω. Υποθέτουµε ότι ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές Α, B, C, D, E, F είναι διάφορος του µηδενός. Αν όµως όλοι αυτοί είναι ίσοι µε µηδέν, τότε η ε- ξίσωση (1.4) γίνεται G+ H+ I+ J= 0 η οποία παριστάνει ένα επίπεδο του 3 R. Αν από την (1.4) λείπει µια µεταβλητή, τότε έχουµε κυλινδρική επιφάνεια µε γενέτειρα παράλληλη στον άξονα των συντεταγµένων πάνω στον οποίο παίρνει τιµές η µεταβλητή αυτή. Π.χ. η εξίσωση + = 1 παριστάνει τον κύλινδρο (όπως θα δούµε και παρακάτω), ο οποίος έχει γενέτειρα παράλληλη στον Ο άξονα και οδηγό καµπύλη τον κύκλο του Ο επιπέδου. + = 1 Μετακινώντας το Ο σύστηµα µε κατάλληλη µεταφορά και στροφή, µπορούµε να µετασχηµατίσουµε την (1.4) στην απλούστερη µορφή, όπου ενδεχοµένως µερικοί από τους συντελεστές είναι ίσοι µε µηδέν. Τότε θα λέµε ότι η επιφάνεια είναι στην κανονική µορφή της. Για να µελετήσουµε µια τέτοια επιφάνεια εξετάζουµε τα επίπεδα, τους ά- ξονες και τα σηµεία συµµετρίας αυτής. Επίσης βρίσκουµε τις τοµές της επιφάνειας µε τους Ο, Ο, Ο άξονες, καθώς και τις τοµές της µε διάφορα επίπεδα. Την τοµή µιας επιφάνειας S µε ένα επίπεδο Ε, η οποία γενικά είναι µια καµπύλη, θα τη λέµε ίχνος της S πάνω στο Ε.

4 0. Μερικές επιφάνειες δευτέρου βαθµού στην κανονική µορφή τους Μερικές από τις επιφάνειες (1.4) στην απλούστερη µορφή σε κατάλληλο σύστηµα συντεταγµένων είναι οι εξής: α) Σφαίρα Έχει εξίσωση την ( ) + ( ) + ( ) = ρ, ρ> 0 σταθερά, (.1) κέντρο το σηµείο ( 0, 0, 0 ) και ακτίνα ρ (σχήµα.1). P( 0, 0, 0 ) ρ O Σχήµα.1 β) Ελλειψοειδές Πρόκειται για επιφάνεια (σχήµα.), η οποία έχει εξίσωση + + = 1 (.) a b c όπου a, b, c > 0 είναι σταθερές, οι οποίες είναι τα µήκη των ηµιαξόνων του ελλειψοειδούς (.).

5 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 (0,0,c) (-a,0,0) (0,-b,0) Ο (0,b,0) (a,0,0) (0,0,-c) Σχήµα. Αν δύο από τις παραπάνω σταθερές είναι ίσες, τότε έχουµε ελλειψοειδές εκ περιστροφής. Στην περίπτωση δε που a = b = c, έχουµε σφαίρα µε κέντρο το σηµείο Ο(0,0,0) και ακτίνα ρ = a, δηλαδή την + + = a Το ελλειψοειδές έχει επίπεδα συµµετρίας τα συντεταγµένα επίπεδα, τους άξονες των συντεταγµένων άξονες συµµετρίας και την αρχή Ο(0,0,0) κέντρο συµµετρίας. Για να βρούµε πού τέµνει το ελλειψοειδές τον Ο άξονα, θέτουµε στη (.) = 0 και = 0, οπότε παίρνουµε a = 1 Εποµένως (a,0,0) και ( a,0,0) είναι τα ζητούµενα σηµεία. Ανάλογα, τα σηµεία τοµής του ελλειψοειδούς (.) µε τον Ο άξονα είναι τα (0,b,0) και (0, b,0) και µε τον Ο άξονα είναι τα = c και = c. Το ίχνος του ελλειψοειδούς πάνω στο Ο επίπεδο προκύπτει από την (.) για = 0, είναι δηλαδή η καµπύλη a + = 1 b

6 η οποία ως γνωστόν είναι έλλειψη. Γενικότερα, το ίχνος του (.) πάνω σ ένα επίπεδο = 0, δηλαδή παράλληλο στο Ο-επίπεδο, είναι 0 Για c = 1 + = 1 (.3) a b c a b c < 1η εξίσωση (.3) παριστάνει την έλλειψη + = a 1 b 1 c c σε περίπτωση δε που a = b, η (.3) γίνεται a a c c = 1 + = a 1 0 η οποία περιγράφει έναν κύκλο ακτίνας ρ= a 1. c Στην περίπτωση αυτή το ελλειψοειδές είναι εκ περιστροφής γύρω από τον Ο άξονα. Ανάλογα µπορούµε να βρούµε τα ίχνη του ελλειψοειδούς και πάνω σε επίπεδα παράλληλα στα O, O επίπεδα, θέτοντας στη (.) = 0 και = 0 αντίστοιχα. Παράδειγµα.1. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια και να βρεθεί το ίχνος της πάνω στο επίπεδο = 0. Λύση. Η επιφάνεια S µπορεί να πάρει τη µορφή + + = S: = Η (1) παριστάνει ένα ελλειψοειδές µε κέντρο συµµετρίας το Ο(0,0,0) και µήκη ηµιαξόνων a=, b= και c=. 3 5 (1)

7 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 3 Το ίχνος της S πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η έλλειψη = 1 + = γ) Ελλειπτικό παραβολοειδές Η επιφάνεια αυτή έχει εξίσωση = + ή = + ή = + (.4) a b a c b c όπου a, b, c > 0 σταθερές. + = 1, έλλειψη a 0 b 0 = 0 πάνω στο επίπεδο = 0 (0,0, 0 ) 0 = +, παραβολή a b = + a b Ο (0, 0,0) πάνω στο επίπεδο = 0 Σχήµα.3 Η πρώτη επιφάνεια των (.4) (σχήµα.3) έχει επίπεδα συµµετρίας τα Ο, Ο επίπεδα και ο Ο άξονας είναι άξονας συµµετρίας του. Η επιφάνεια αυτή δεν έχει κέντρο συµµετρίας. Το ίχνος της επιφάνειας στο επίπεδο = 0 > 0 είναι η έλλειψη = + + = 1 (.5) 0 a b a 0 b 0 Αν a = b, τότε η (.5) παριστάνει κύκλο και η επιφάνεια είναι εκ περιστρο-

8 4 φής, η οποία λέγεται κυκλικό παραβολοειδές. Κυκλικά παραβολοειδή χρησιµοποιούνται για τις κεραίες ραδιοτηλεσκοπίων και κέντρων ελέγχου δορυφόρων από το έδαφος, καθώς και ως αναµεταδότες µικροκυµάτων. Το ίχνος της επιφάνειας π.χ. στο επίπεδο = 0 (δηλαδή κάθετο στον Οάξονα) είναι η παραβολή 0 = + a b Ανάλογα, θέτοντας στην πρώτη των (.4) = 0, βρίσκουµε το ίχνος της επιφάνειας πάνω σε επίπεδο κάθετο στον Ο άξονα (σχήµα.3), το οποίο είναι η παραβολή 0 = + a b Παράδειγµα.. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = και = 1. Λύση. Η επιφάνεια S προφανώς γράφεται, η οποία παριστάνει ένα ελλειπτικό παραβολοειδές. S: = + 3 και να = + Το ίχνος της S πάνω στο επίπεδο = είναι η παραβολή και πάνω στο επίπεδο = 1 είναι η έλλειψη δ) Υπερβολικό παραβολοειδές Η επιφάνεια αυτή έχει εξίσωση = = = ή = ή = ή... (.6) a b a c b c (συνολικά υπάρχουν 6 συνδυασµοί)

9 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5 όπου a, b, c > 0 είναι σταθερές. Μελετώντας την πρώτη των (.6) (σχήµα.4) προκύπτει ότι τα Ο, Ο επίπεδα είναι επίπεδα συµµετρίας της επιφάνειας και ο Ο άξονας είναι άξονας συµµετρίας της, ενώ δεν έχει κέντρο συµµετρίας. υπερβολή = 1 a 0 b 0 πάνω στο επίπεδο = 0 O =, παραβολή a πάνω στο επίπεδο =0 =, παραβολή b πάνω στο επίπεδο =0 Εδώ τα ίχνη της επιφάνειας σε επίπεδα κάθετα στον Ο-άξονα είναι υπερβολές, ενώ τα ίχνη της πάνω σε επίπεδα κάθετα στους Ο, Ο άξονες είναι παραβολές. Έτσι, το επίπεδο = 0 τέµνει την πρώτη των (.6) κατά µια υπερβολή που δίνεται από την εξίσωση = = 1 0 a b a 0 b 0 Το επίπεδο = 0 τέµνει την επιφάνεια κατά µια παραβολή, της οποίας η εξίσωση είναι 0 = a b και προφανώς όταν 0= 0, τότε Σχήµα.4 =. b

10 6 Το επίπεδο = 0 τέµνει την επιφάνεια κατά την παραβολή και προφανώς όταν 0= 0, τότε =. a Ανάλογα ισχύουν και για τις υπόλοιπες επιφάνειες (.6). Παράδειγµα.3. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = 0 και =. = a b 0 S: 4 + = 0 και Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται = (1) ( ) Η (1) παριστάνει υπερβολικό παραβολοειδές. Τα ίχνη που θέλουµε να βρούµε προκύπτουν από την (1) και είναι τα εξής: i) Πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η παραβολή = ii) Πάνω στο επίπεδο = είναι η υπερβολή ε) Ελλειπτικός κώνος = = 1 ( ) ( ) Είναι η επιφάνεια που έχει εξίσωση = + ή = + ή = + (.7) a b b c a c όπου a,b, c > 0 σταθερές. Για την πρώτη των (.7) (σχήµα.5) ισχύουν τα παρακάτω (ανάλογα ισχύουν και για τις υπόλοιπες των (.7)): Αν a = b, τότε έχουµε κυκλικό κώνο, ο οποίος είναι επιφάνεια εκ περιστροφής. Ο ελλειπτικός κώνος έχει επίπεδα συµµετρίας τα συντεταγµένα επίπεδα, άξονες συµµετρίας τους άξονες συντεταγµένων και κέντρο συµµετρίας έχει την αρχή Ο(0,0,0).

11 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 7 (0,0, 0 ) Ο (0,0,- 0 ) Το ίχνος της επιφάνειας πάνω στο επίπεδο = 0, για 0 > 0 ή 0 < 0 δίνεται από την έλλειψη 0= + + = 1 a b a b 0 0 Το ίχνος της (.7) π.χ. πάνω στο Ο επίπεδο, δηλαδή στο = 0, δίνεται από την εξίσωση =, η οποία παριστάνει τις ευθείες, a = a = a. Ανάλογα για = 0 έχουµε τις ευθείες ίχνος της (.7) πάνω στο 0 επίπεδο. = και b = b, που είναι το Γενικότερα τώρα, αν στην πρώτη των (.7) θέσουµε = 0 ή = 0 (για 0, 0 0), τότε έχουµε τα ίχνη της επιφάνειας πάνω στα επίπεδα αυτά, που είναι οι υπερβολές ή Σχήµα.5 a b b a 0 0 = + = a b a b 0 0 = + =

12 8 που είναι τα ίχνη του ελλειπτικού κώνου πάνω στα επίπεδα = 0, = 0 αντίστοιχα (σχήµα.6). = 0 Ο (0, 0,0) Παράδειγµα.4. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται 4 = + ή = +, που εί- ναι ένας κυκλικός κώνος. 1 =, =. S: + 4 = 0 και Το ίχνος της S πάνω στο επίπεδο = είναι η υπερβολή = + = 1 1 και πάνω στο επίπεδο = είναι ο κύκλος 1 4 = + + = 1 στ) Μονόχωνο υπερβολοειδές Η εξίσωση αυτού είναι η Σχήµα.6

13 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 9 + = 1 ή + = 1 ή + = 1 (.8) a b c b c a a c b όπου a, b, c > 0 σταθερές. Οι επιφάνειες αυτές παρουσιάζουν τις ίδιες συµµετρίες µε εκείνες του ελλειψοειδούς και δεν είναι φραγµένες. (0,- 0,0) Ο (0, 0,0) Σχήµα.7 Όσον αφορά στην πρώτη των (.8) (σχήµα (.7)) (ανάλογα και για τις άλλες δύο) ισχύουν τα εξής: Αν a = b, τότε έχουµε µονόχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής γύρω από τον Ο άξονα. Το ίχνος της επιφάνειας πάνω στο επίπεδο = 0, είναι η έλλειψη a b c a b c = 1 + = 1+ η οποία στην περίπτωση που έχουµε a = b παριστάνει προφανώς κύκλο µε α- 0 κτίνα ρ= a 1+. c

14 30 Αν θέσουµε = 0, τότε έχουµε την υπερβολή µε εξίσωση = 1 = 1 (.9) a b c b c a ενώ για = 0 προκύπτει η υπερβολή = 1 = 1 (.10) a b c a c b Με άλλα λόγια τα ίχνη της επιφάνειας πάνω στα επίπεδα = 0 και = 0 είναι οι υπερβολές (.9) και (.10) αντίστοιχα. Παράδειγµα.5. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια και να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = 0, = 1. Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται ( 3) ( 6) Η (1) παριστάνει ένα µονόχωνο υπερβολοειδές. S: + 6 = 6 + = 1 (1) Τα ζητούµενα ίχνη της S προκύπτουν από την (1) και είναι τα εξής: i) Πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η υπερβολή 0 + = 1 = 1 ( 3) ( 6) ( 3) ii) Πάνω στο επίπεδο = 1 είναι η έλλειψη = + = ( 3) ( 6) ( 3) ( 6) ζ) ίχωνο υπερβολοειδές Η εξίσωσή του είναι + = 1 ή + = 1 ή + = 1 (.11) a b c b c a a c b όπου a, b, c > 0 σταθερές.

15 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 31 Όσον αφορά στην πρώτη των (.11) (σχήµα.8) ισχύουν τα παρακάτω (ανάλογα ισχύουν και για τις άλλες δύο). Είναι προφανές ότι η επιφάνεια αυτή ορίζεται για c και c, τέµνει τον O άξονα στα σηµεία = c και = c και παρουσιάζει τις ίδιες συµµετρίες µε εκείνες του µονόχωνου υπερβολοειδούς. Αν a = b, τότε έχουµε δίχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής. Τα ίχνη της επιφάνειας πάνω σε επίπεδα κάθετα στον Ο άξονα είναι ελλείψεις και πάνω σε επίπεδα κάθετα στους Ο, Ο άξονες είναι υπερβολές. (0,0, 0 ) 0 + = 1+, έλλειψη a b c πάνω στο επίπεδο = 0 = 1, υπερβολή a c πάνω στο επίπεδο =0 Ο (0,0,c) (0,0,-c) (0,0,- 0 ) Σχήµα.8 ( > c, < c), τότε προκύ- Έτσι για παράδειγµα, αν θέσουµε 0 πτει η καµπύλη = = 1 + = 1+ a b c a b c + = a 1+ b 1+ c c η οποία είναι έλλειψη στο επίπεδο = 0.

16 3 Για = 0 από την πρώτη των (.11) παίρνουµε την υπερβολή (πάνω στο επίπεδο = 0 ) a b c c b a = 1 = 1+ και για = 0 προκύπτει η υπερβολή (πάνω στο επίπεδο = 0 ) a b c c a b = 1 = 1+ Παράδειγµα.6. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια S: = 0 και να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = 0, = 0 και = 5. Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται + = (1) Η εξίσωση (1) παριστάνει ένα δίχωνο υπερβολοειδές. Τα ζητούµενα ίχνη της S προκύπτουν από την (1) και είναι τα εξής: i) Πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η υπερβολή 0 + = 1 = ii) Πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η υπερβολή 0 + = 1 = iii) Πάνω στο επίπεδο = 5 είναι η έλλειψη + ( 5) = 1 + =

17 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 33 η) Παραβολικός κύλινδρος Η επιφάνεια αυτή έχει εξίσωση την = p ή = p ή = p ή... (.1) Έτσι π.χ. η = p (σχήµα.9) δηµιουργείται από µια ευθεία (γενέτειρα) που είναι παράλληλη στον Ο-άξονα και κινείται παράλληλα στον άξονα αυτό συναντώντας την παραβολή του Ο επιπέδου = p (οδηγός καµπύλη) =p Ο οδηγός καµπύλη =p, =0 Σχήµα.9 Παράδειγµα.7. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια Λύση. Η S γράφεται S: + 4= 0. = και κατά συνέπεια παριστάνει ένα παραβολικό κύλινδρο µε γενέτειρα παράλληλη στον Ο-άξονα και οδηγό καµπύλη την παραβολή =, = 0 θ) Ελλειπτικός κύλινδρος Η εξίσωσή του είναι + = 1 ή + = 1 ή + = 1 (.13) a b b c a c

18 34 για a, b, c > 0 σταθερές. κυλινδρική επιφάνεια + = 1 a b Ο οδηγός καµπύλη + = 1, = 0 a b Σχήµα.10 Π.χ. η επιφάνεια + = 1 (σχήµα.10) δηµιουργείται από µια ευθεία a b (γενέτειρα) που είναι παράλληλη στον Ο άξονα και κινείται παράλληλα στον άξονα αυτό συναντώντας την έλλειψη του Ο επιπέδου a + = 1 (οδηγός καµπύλη) b Αν a = b, τότε έχουµε κυκλικό κύλινδρο. Παράδειγµα.8. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια Λύση. Η S γράφεται S: = 3. + = 1 και εποµένως παριστάνει ένα ελλειπτικό κύλινδρο µε γενέτειρα παράλληλη στον Ο άξονα και οδηγό καµπύλη την έλλειψη + = 1, =

19 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 35 ι) Υπερβολικός κύλινδρος Έχει εξίσωση = 1 ή = 1 ή a b b c c a = 1 ή... (.14) O (a,0,0) (-a,0,0) οδηγός καµπύλη = 1 a b Σχήµα.11 Έτσι, π.χ. η επιφάνεια = 1 (σχήµα.11) δηµιουργείται από µια a b ευθεία (γενέτειρα) που είναι παράλληλη στον Ο άξονα και κινείται παράλληλα στον άξονα αυτό συναντώντας την υπερβολή του Ο επιπέδου a = 1 (οδηγός καµπύλη) b Παράδειγµα.9. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται S: 16 = 1.

20 = 1 (1) Η (1) παριστάνει υπερβολικό κύλινδρο που έχει γενέτειρα παράλληλη στον Ο-άξονα και οδηγό καµπύλη την υπερβολή 1 4 = = 1, 0

21 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 37 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια + + = Λύση. Η επιφάνεια γράφεται + + = 1και είναι ελλειψοειδές. 3 4 ΑΣΚΗΣΗ Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση.. Άρα είναι ελλειψοειδές = = = 1 ( ) ΑΣΚΗΣΗ 3 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση. + + = + + =. Άρα είναι ελ- 1 3 λειψοειδές = ΑΣΚΗΣΗ 4 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια = Λύση. Είναι ελλειπτικό παραβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια = + 5.

22 38 Λύση. = + = , άρα είναι ελλειπτικό παραβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 6 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια = 0. Λύση = 0 = +. Εποµένως είναι ελλειπτικό παραβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον 3 O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 7 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια + = Λύση. + = 1. Εποµένως είναι δίχωνο υπερβολοειδές µε άξονα 3 5 συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 8 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 3 + = 0.. Άρα είναι υπερβολι- Λύση. 3 + = 0 = 3 κό παραβολοειδές. ( ) ΑΣΚΗΣΗ 9 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 0. Λύση = 0 = ( ).

23 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 39 Άρα είναι υπερβολικό παραβολοειδές. ΑΣΚΗΣΗ 10 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση. = 0. = 0 = +. Άρα είναι κωνική επιφάνεια µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα και συγκεκριµένα κυκλικός κώνος. ΑΣΚΗΣΗ 11 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση = = 0 4 = + 16 = + 1 Εποµένως είναι ελλειπτικός κώνος µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα.. ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια + =. 7 1 Λύση. Είναι µονόχωνο υπερβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 13 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση. + 4= = 0 = 1 + = 1. Άρα είναι µονόχωνο υπερβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 14 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια 4 + 8= 0.

24 40 Λύση = 0 + = 1. Άρα είναι µονόχωνο υπερβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον ( ) ( ) ( ) O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 15 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια = 1. 3 Λύση. = 1 + = 1. Άρα είναι δίχωνο υ- 3 3 περβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 16 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια = Λύση. = = 1. Άρα είναι δίχωνο υπερβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 17 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση. 4 3= 0. = = 0 1 ( ) + = 1. Άρα είναι δίχωνο υπερβολοειδές µε άξονα 3 3 ( 3) συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 18 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση = 0.

25 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ =0 4 =8 + = 1, ( ) ( ) ( ) άρα είναιδίχωνο υπερβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 19 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια =. Λύση. Είναι παραβολικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον Ο άξονα και οδηγό καµπύλη την παραβολή =, = 0. ΑΣΚΗΣΗ 0 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια Λύση. + 4= = 0 = 4, άρα είναι παραβολικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη την παραβολή = 4, = 0. ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια + = 4. Λύση. Είναι κυκλικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη τον κύκλο + = 4, = 0. ΑΣΚΗΣΗ Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 3 + = 5. Λύση. 3 + = =. Άρα είναι ελλειπτικός κύ- ( 5) 3 λινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη την έλλειψη + = 1, = 0. 5 ( 5) 3

26 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 8 + = 1. Λύση. 8 + = 1 + = 1. Εποµένως είναι ελλειπτικός 1 κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη την έλλειψη + = 1, = 0. 1 ΑΣΚΗΣΗ 4 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 1. Λύση. Είναι υπερβολικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη την υπερβολή = 1, = 0. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 9 4 = 36. Λύση. 9 4 = 36 = 1. Εποµένως είναι υπερβολικός 3 κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη την υπερβολή = 1, = 0. 3 ΑΣΚΗΣΗ 6 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 4 5 = 100. Λύση. 4 5 = 100 = 1. Άρα είναι υπερβολικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη την υπερβο- 5 λή = 1, = 0. 5

27 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 43 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια της πάνω στο επίπεδο =. (Απ. Ελλειψοειδές,. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 5 και να βρεθεί το ίχνος + = 1) = 0 και να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = και = 1. (Απ. Κυκλικό παραβολοειδές, + = 4, = + 1). 3. Να αναγνωρισθεί ή επιφάνεια 5 = 0 και να βρεθεί το ίχνος της πάνω στο επίπεδο = 0. (Απ. Ελλειπτικό παραβολοειδές, 4. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = ) = 0 και να βρεθούν τα ί- χνη της πάνω στα επίπεδα = 0 και = 1. (Απ. Υπερβολικό παραβολοειδές, 1 =±, = ) Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 3 = 0και να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = 1 και = 3. (Απ. Ελλειπτικός κώνος, 7 + = 1). ( 7) 6. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια πάνω στο επίπεδο = 0. (Απ. Μονόχωνο υπερβολοειδές, 7. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 1, ( ) = 8 και να βρεθεί το ίχνος της = 1). ( ) = και να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = 0, = 0. (Απ. Μονόχωνο υπερβολοειδές,

28 44 + = 1, = ). 8. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 1 και να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = 0, = 3. (Απ. ίχωνο υπερβολοειδές, = ) Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 1, = και να βρεθούν τα ίχνη = 1, της στα επίπεδα = 0, = 1. (Απ. ίχωνο υπερβολοειδές, ( ) ( ) 3 = 1 ) Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια + 6= 0. (Απ. Παραβολικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον 0 άξονα και οδηγό καµπύλη την + 6= 0, = 0 ). 11. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 0. (Απ. Ελλειπτικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον 0 άξονα και οδηγό καµπύλη την , = 0 ). 1. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 4 100= 0. (Απ. Υπερβολικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον 0 άξονα και οδηγό καµπύλη την 4 100= 0, = 0 ).