{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου αυτού. Επιφάνεια S του εποπτικού χώρου είναι ένα διπαραµετρικό σύνολο ση- 3 µείων του R µε πεδίο µεταβολής έναν τόπο R. ηλαδή { } S= M(,,) : = f (u,v), = f (u,v), = f (u,v), για u,v Οι 1 3 = f 1(u,v), = f (u,v), = f 3(u,v) (1.1) αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις της S. Αν µεταξύ των (1.1) απαλείψουµε τα u,v, τότε παίρνουµε την επιφάνεια S µε τις µορφές f (,,) = 0 ή = σ(, ), ή = φ(,) ή = ω(,) Μία καµπύλη στον 3 R παριστάνεται ως τοµή δύο επιφανειών. Πριν αναφερθούµε στις επιφάνειες δευτέρου βαθµού, θα δώσουµε τους ο- ρισµούς µερικών επιφανειών, οι οποίοι θα είναι χρήσιµοι για τα παρακάτω. Ευθειογενείς επιφάνειες ονοµάζονται οι επιφάνειες εκείνες που από κάθε σηµείο τους περνάει µια τουλάχιστον ευθεία, η οποία βρίσκεται πάνω στην ε- πιφάνεια. Η πιο συνηθισµένη είναι εκείνη που προκύπτει από την κίνηση µιας ευθείας, της γενέτειρας της επιφάνειας, η οποία υπακούει σε κάποιο νόµο. Π.χ. συναντάει κατά την κίνησή της µια καµπύλη της επιφάνειας, η οποία λέγεται

2 18 οδηγός καµπύλη. Τέτοιες επιφάνειες είναι οι κυλινδρικές, οι κωνικές και άλλες. α) Στις κυλινδρικές επιφάνειες η κινούµενη ευθεία, δηλαδή η γενέτειρα, παραµένει παράλληλη προς ένα σταθερό διάνυσµα. Ως οδηγός καµπύλη µπορεί να θεωρηθεί µια οποιαδήποτε τοµή της επιφάνειας µε ένα επίπεδο. Έστω ότι οι επιφάνειες παριστάνουν µια καµπύλη C, και f (,,) = 0, g(,,) = 0 (1.) σ (, ) = 0 (1.3) είναι το αποτέλεσµα της απαλοιφής του µεταξύ των (1.).Τότε η εξίσωση 3 (1.3) παριστάνει στον R την κυλινδρική επιφάνεια που προβάλλει την C στο Ο επίπεδο. Η (1.3) στο Ο επίπεδο παριστάνει την προβολή της C στο ε- πίπεδο αυτό. Ανάλογα µπορούµε να έχουµε τις κυλινδρικές επιφάνειες φ (, ) = 0 ή ω (, ) = 0, οι οποίες προκύπτουν από τις (1.) µε απαλοιφή του ή αντίστοιχα. β) Στις κωνικές επιφάνειες η κίνηση της γενέτειρας γίνεται έτσι ώστε να περνάει αυτή πάντα από ένα σταθερό σηµείο, το οποίο λέγεται κορυφή της κωνικής επιφάνειας (ή κώνου). Η κορυφή κάθε κωνικής επιφάνειας τη χωρίζει σε δύο συµµετρικά µέρη ως προς το σηµείο αυτό, τα οποία λέγονται χώνες. Κάθε εξίσωση f (,,) = 0, όπου η συνάρτηση f είναι οµογενής (*) ως προς,,, παριστάνει κωνική επιφάνεια µε κορυφή το σηµείο Ο(0,0,0). Η κωνική επιφάνεια µε κορυφή ένα τυχόν σηµείο ( 0, 0, 0 ) έχει εξίσωση f ( 0, 0, 0) = 0 όπου f είναι οµογενής συνάρτηση ως προς ξ= 0, η= 0, ζ= 0. (*) Τον ορισµό της οµογενούς συναρτήσεως θα τον δούµε στο Κεφάλαιο 4.

3 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 19 Επιφάνειες δεύτερου βαθµού Είναι οι επιφάνειες εκείνες, των οποίων οι συντεταγµένες 3 (,,) R σ ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Ο επαληθεύουν την εξίσωση A + B + C + D+ E+ F+ G+ H+ I+ J= 0 (1.4) όπου A, B, C, D, E, F, G, H, I, J είναι σταθερές. Π.χ. τέτοιες επιφάνειες είναι η σφαίρα, ο κώνος και άλλες που θα δούµε παρακάτω. Υποθέτουµε ότι ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές Α, B, C, D, E, F είναι διάφορος του µηδενός. Αν όµως όλοι αυτοί είναι ίσοι µε µηδέν, τότε η ε- ξίσωση (1.4) γίνεται G+ H+ I+ J= 0 η οποία παριστάνει ένα επίπεδο του 3 R. Αν από την (1.4) λείπει µια µεταβλητή, τότε έχουµε κυλινδρική επιφάνεια µε γενέτειρα παράλληλη στον άξονα των συντεταγµένων πάνω στον οποίο παίρνει τιµές η µεταβλητή αυτή. Π.χ. η εξίσωση + = 1 παριστάνει τον κύλινδρο (όπως θα δούµε και παρακάτω), ο οποίος έχει γενέτειρα παράλληλη στον Ο άξονα και οδηγό καµπύλη τον κύκλο του Ο επιπέδου. + = 1 Μετακινώντας το Ο σύστηµα µε κατάλληλη µεταφορά και στροφή, µπορούµε να µετασχηµατίσουµε την (1.4) στην απλούστερη µορφή, όπου ενδεχοµένως µερικοί από τους συντελεστές είναι ίσοι µε µηδέν. Τότε θα λέµε ότι η επιφάνεια είναι στην κανονική µορφή της. Για να µελετήσουµε µια τέτοια επιφάνεια εξετάζουµε τα επίπεδα, τους ά- ξονες και τα σηµεία συµµετρίας αυτής. Επίσης βρίσκουµε τις τοµές της επιφάνειας µε τους Ο, Ο, Ο άξονες, καθώς και τις τοµές της µε διάφορα επίπεδα. Την τοµή µιας επιφάνειας S µε ένα επίπεδο Ε, η οποία γενικά είναι µια καµπύλη, θα τη λέµε ίχνος της S πάνω στο Ε.

4 0. Μερικές επιφάνειες δευτέρου βαθµού στην κανονική µορφή τους Μερικές από τις επιφάνειες (1.4) στην απλούστερη µορφή σε κατάλληλο σύστηµα συντεταγµένων είναι οι εξής: α) Σφαίρα Έχει εξίσωση την ( ) + ( ) + ( ) = ρ, ρ> 0 σταθερά, (.1) κέντρο το σηµείο ( 0, 0, 0 ) και ακτίνα ρ (σχήµα.1). P( 0, 0, 0 ) ρ O Σχήµα.1 β) Ελλειψοειδές Πρόκειται για επιφάνεια (σχήµα.), η οποία έχει εξίσωση + + = 1 (.) a b c όπου a, b, c > 0 είναι σταθερές, οι οποίες είναι τα µήκη των ηµιαξόνων του ελλειψοειδούς (.).

5 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 (0,0,c) (-a,0,0) (0,-b,0) Ο (0,b,0) (a,0,0) (0,0,-c) Σχήµα. Αν δύο από τις παραπάνω σταθερές είναι ίσες, τότε έχουµε ελλειψοειδές εκ περιστροφής. Στην περίπτωση δε που a = b = c, έχουµε σφαίρα µε κέντρο το σηµείο Ο(0,0,0) και ακτίνα ρ = a, δηλαδή την + + = a Το ελλειψοειδές έχει επίπεδα συµµετρίας τα συντεταγµένα επίπεδα, τους άξονες των συντεταγµένων άξονες συµµετρίας και την αρχή Ο(0,0,0) κέντρο συµµετρίας. Για να βρούµε πού τέµνει το ελλειψοειδές τον Ο άξονα, θέτουµε στη (.) = 0 και = 0, οπότε παίρνουµε a = 1 Εποµένως (a,0,0) και ( a,0,0) είναι τα ζητούµενα σηµεία. Ανάλογα, τα σηµεία τοµής του ελλειψοειδούς (.) µε τον Ο άξονα είναι τα (0,b,0) και (0, b,0) και µε τον Ο άξονα είναι τα = c και = c. Το ίχνος του ελλειψοειδούς πάνω στο Ο επίπεδο προκύπτει από την (.) για = 0, είναι δηλαδή η καµπύλη a + = 1 b

6 η οποία ως γνωστόν είναι έλλειψη. Γενικότερα, το ίχνος του (.) πάνω σ ένα επίπεδο = 0, δηλαδή παράλληλο στο Ο-επίπεδο, είναι 0 Για c = 1 + = 1 (.3) a b c a b c < 1η εξίσωση (.3) παριστάνει την έλλειψη + = a 1 b 1 c c σε περίπτωση δε που a = b, η (.3) γίνεται a a c c = 1 + = a 1 0 η οποία περιγράφει έναν κύκλο ακτίνας ρ= a 1. c Στην περίπτωση αυτή το ελλειψοειδές είναι εκ περιστροφής γύρω από τον Ο άξονα. Ανάλογα µπορούµε να βρούµε τα ίχνη του ελλειψοειδούς και πάνω σε επίπεδα παράλληλα στα O, O επίπεδα, θέτοντας στη (.) = 0 και = 0 αντίστοιχα. Παράδειγµα.1. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια και να βρεθεί το ίχνος της πάνω στο επίπεδο = 0. Λύση. Η επιφάνεια S µπορεί να πάρει τη µορφή + + = S: = Η (1) παριστάνει ένα ελλειψοειδές µε κέντρο συµµετρίας το Ο(0,0,0) και µήκη ηµιαξόνων a=, b= και c=. 3 5 (1)

7 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 3 Το ίχνος της S πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η έλλειψη = 1 + = γ) Ελλειπτικό παραβολοειδές Η επιφάνεια αυτή έχει εξίσωση = + ή = + ή = + (.4) a b a c b c όπου a, b, c > 0 σταθερές. + = 1, έλλειψη a 0 b 0 = 0 πάνω στο επίπεδο = 0 (0,0, 0 ) 0 = +, παραβολή a b = + a b Ο (0, 0,0) πάνω στο επίπεδο = 0 Σχήµα.3 Η πρώτη επιφάνεια των (.4) (σχήµα.3) έχει επίπεδα συµµετρίας τα Ο, Ο επίπεδα και ο Ο άξονας είναι άξονας συµµετρίας του. Η επιφάνεια αυτή δεν έχει κέντρο συµµετρίας. Το ίχνος της επιφάνειας στο επίπεδο = 0 > 0 είναι η έλλειψη = + + = 1 (.5) 0 a b a 0 b 0 Αν a = b, τότε η (.5) παριστάνει κύκλο και η επιφάνεια είναι εκ περιστρο-

8 4 φής, η οποία λέγεται κυκλικό παραβολοειδές. Κυκλικά παραβολοειδή χρησιµοποιούνται για τις κεραίες ραδιοτηλεσκοπίων και κέντρων ελέγχου δορυφόρων από το έδαφος, καθώς και ως αναµεταδότες µικροκυµάτων. Το ίχνος της επιφάνειας π.χ. στο επίπεδο = 0 (δηλαδή κάθετο στον Οάξονα) είναι η παραβολή 0 = + a b Ανάλογα, θέτοντας στην πρώτη των (.4) = 0, βρίσκουµε το ίχνος της επιφάνειας πάνω σε επίπεδο κάθετο στον Ο άξονα (σχήµα.3), το οποίο είναι η παραβολή 0 = + a b Παράδειγµα.. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = και = 1. Λύση. Η επιφάνεια S προφανώς γράφεται, η οποία παριστάνει ένα ελλειπτικό παραβολοειδές. S: = + 3 και να = + Το ίχνος της S πάνω στο επίπεδο = είναι η παραβολή και πάνω στο επίπεδο = 1 είναι η έλλειψη δ) Υπερβολικό παραβολοειδές Η επιφάνεια αυτή έχει εξίσωση = = = ή = ή = ή... (.6) a b a c b c (συνολικά υπάρχουν 6 συνδυασµοί)

9 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5 όπου a, b, c > 0 είναι σταθερές. Μελετώντας την πρώτη των (.6) (σχήµα.4) προκύπτει ότι τα Ο, Ο επίπεδα είναι επίπεδα συµµετρίας της επιφάνειας και ο Ο άξονας είναι άξονας συµµετρίας της, ενώ δεν έχει κέντρο συµµετρίας. υπερβολή = 1 a 0 b 0 πάνω στο επίπεδο = 0 O =, παραβολή a πάνω στο επίπεδο =0 =, παραβολή b πάνω στο επίπεδο =0 Εδώ τα ίχνη της επιφάνειας σε επίπεδα κάθετα στον Ο-άξονα είναι υπερβολές, ενώ τα ίχνη της πάνω σε επίπεδα κάθετα στους Ο, Ο άξονες είναι παραβολές. Έτσι, το επίπεδο = 0 τέµνει την πρώτη των (.6) κατά µια υπερβολή που δίνεται από την εξίσωση = = 1 0 a b a 0 b 0 Το επίπεδο = 0 τέµνει την επιφάνεια κατά µια παραβολή, της οποίας η εξίσωση είναι 0 = a b και προφανώς όταν 0= 0, τότε Σχήµα.4 =. b

10 6 Το επίπεδο = 0 τέµνει την επιφάνεια κατά την παραβολή και προφανώς όταν 0= 0, τότε =. a Ανάλογα ισχύουν και για τις υπόλοιπες επιφάνειες (.6). Παράδειγµα.3. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = 0 και =. = a b 0 S: 4 + = 0 και Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται = (1) ( ) Η (1) παριστάνει υπερβολικό παραβολοειδές. Τα ίχνη που θέλουµε να βρούµε προκύπτουν από την (1) και είναι τα εξής: i) Πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η παραβολή = ii) Πάνω στο επίπεδο = είναι η υπερβολή ε) Ελλειπτικός κώνος = = 1 ( ) ( ) Είναι η επιφάνεια που έχει εξίσωση = + ή = + ή = + (.7) a b b c a c όπου a,b, c > 0 σταθερές. Για την πρώτη των (.7) (σχήµα.5) ισχύουν τα παρακάτω (ανάλογα ισχύουν και για τις υπόλοιπες των (.7)): Αν a = b, τότε έχουµε κυκλικό κώνο, ο οποίος είναι επιφάνεια εκ περιστροφής. Ο ελλειπτικός κώνος έχει επίπεδα συµµετρίας τα συντεταγµένα επίπεδα, άξονες συµµετρίας τους άξονες συντεταγµένων και κέντρο συµµετρίας έχει την αρχή Ο(0,0,0).

11 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 7 (0,0, 0 ) Ο (0,0,- 0 ) Το ίχνος της επιφάνειας πάνω στο επίπεδο = 0, για 0 > 0 ή 0 < 0 δίνεται από την έλλειψη 0= + + = 1 a b a b 0 0 Το ίχνος της (.7) π.χ. πάνω στο Ο επίπεδο, δηλαδή στο = 0, δίνεται από την εξίσωση =, η οποία παριστάνει τις ευθείες, a = a = a. Ανάλογα για = 0 έχουµε τις ευθείες ίχνος της (.7) πάνω στο 0 επίπεδο. = και b = b, που είναι το Γενικότερα τώρα, αν στην πρώτη των (.7) θέσουµε = 0 ή = 0 (για 0, 0 0), τότε έχουµε τα ίχνη της επιφάνειας πάνω στα επίπεδα αυτά, που είναι οι υπερβολές ή Σχήµα.5 a b b a 0 0 = + = a b a b 0 0 = + =

12 8 που είναι τα ίχνη του ελλειπτικού κώνου πάνω στα επίπεδα = 0, = 0 αντίστοιχα (σχήµα.6). = 0 Ο (0, 0,0) Παράδειγµα.4. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται 4 = + ή = +, που εί- ναι ένας κυκλικός κώνος. 1 =, =. S: + 4 = 0 και Το ίχνος της S πάνω στο επίπεδο = είναι η υπερβολή = + = 1 1 και πάνω στο επίπεδο = είναι ο κύκλος 1 4 = + + = 1 στ) Μονόχωνο υπερβολοειδές Η εξίσωση αυτού είναι η Σχήµα.6

13 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 9 + = 1 ή + = 1 ή + = 1 (.8) a b c b c a a c b όπου a, b, c > 0 σταθερές. Οι επιφάνειες αυτές παρουσιάζουν τις ίδιες συµµετρίες µε εκείνες του ελλειψοειδούς και δεν είναι φραγµένες. (0,- 0,0) Ο (0, 0,0) Σχήµα.7 Όσον αφορά στην πρώτη των (.8) (σχήµα (.7)) (ανάλογα και για τις άλλες δύο) ισχύουν τα εξής: Αν a = b, τότε έχουµε µονόχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής γύρω από τον Ο άξονα. Το ίχνος της επιφάνειας πάνω στο επίπεδο = 0, είναι η έλλειψη a b c a b c = 1 + = 1+ η οποία στην περίπτωση που έχουµε a = b παριστάνει προφανώς κύκλο µε α- 0 κτίνα ρ= a 1+. c

14 30 Αν θέσουµε = 0, τότε έχουµε την υπερβολή µε εξίσωση = 1 = 1 (.9) a b c b c a ενώ για = 0 προκύπτει η υπερβολή = 1 = 1 (.10) a b c a c b Με άλλα λόγια τα ίχνη της επιφάνειας πάνω στα επίπεδα = 0 και = 0 είναι οι υπερβολές (.9) και (.10) αντίστοιχα. Παράδειγµα.5. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια και να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = 0, = 1. Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται ( 3) ( 6) Η (1) παριστάνει ένα µονόχωνο υπερβολοειδές. S: + 6 = 6 + = 1 (1) Τα ζητούµενα ίχνη της S προκύπτουν από την (1) και είναι τα εξής: i) Πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η υπερβολή 0 + = 1 = 1 ( 3) ( 6) ( 3) ii) Πάνω στο επίπεδο = 1 είναι η έλλειψη = + = ( 3) ( 6) ( 3) ( 6) ζ) ίχωνο υπερβολοειδές Η εξίσωσή του είναι + = 1 ή + = 1 ή + = 1 (.11) a b c b c a a c b όπου a, b, c > 0 σταθερές.

15 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 31 Όσον αφορά στην πρώτη των (.11) (σχήµα.8) ισχύουν τα παρακάτω (ανάλογα ισχύουν και για τις άλλες δύο). Είναι προφανές ότι η επιφάνεια αυτή ορίζεται για c και c, τέµνει τον O άξονα στα σηµεία = c και = c και παρουσιάζει τις ίδιες συµµετρίες µε εκείνες του µονόχωνου υπερβολοειδούς. Αν a = b, τότε έχουµε δίχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής. Τα ίχνη της επιφάνειας πάνω σε επίπεδα κάθετα στον Ο άξονα είναι ελλείψεις και πάνω σε επίπεδα κάθετα στους Ο, Ο άξονες είναι υπερβολές. (0,0, 0 ) 0 + = 1+, έλλειψη a b c πάνω στο επίπεδο = 0 = 1, υπερβολή a c πάνω στο επίπεδο =0 Ο (0,0,c) (0,0,-c) (0,0,- 0 ) Σχήµα.8 ( > c, < c), τότε προκύ- Έτσι για παράδειγµα, αν θέσουµε 0 πτει η καµπύλη = = 1 + = 1+ a b c a b c + = a 1+ b 1+ c c η οποία είναι έλλειψη στο επίπεδο = 0.

16 3 Για = 0 από την πρώτη των (.11) παίρνουµε την υπερβολή (πάνω στο επίπεδο = 0 ) a b c c b a = 1 = 1+ και για = 0 προκύπτει η υπερβολή (πάνω στο επίπεδο = 0 ) a b c c a b = 1 = 1+ Παράδειγµα.6. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια S: = 0 και να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = 0, = 0 και = 5. Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται + = (1) Η εξίσωση (1) παριστάνει ένα δίχωνο υπερβολοειδές. Τα ζητούµενα ίχνη της S προκύπτουν από την (1) και είναι τα εξής: i) Πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η υπερβολή 0 + = 1 = ii) Πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η υπερβολή 0 + = 1 = iii) Πάνω στο επίπεδο = 5 είναι η έλλειψη + ( 5) = 1 + =

17 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 33 η) Παραβολικός κύλινδρος Η επιφάνεια αυτή έχει εξίσωση την = p ή = p ή = p ή... (.1) Έτσι π.χ. η = p (σχήµα.9) δηµιουργείται από µια ευθεία (γενέτειρα) που είναι παράλληλη στον Ο-άξονα και κινείται παράλληλα στον άξονα αυτό συναντώντας την παραβολή του Ο επιπέδου = p (οδηγός καµπύλη) =p Ο οδηγός καµπύλη =p, =0 Σχήµα.9 Παράδειγµα.7. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια Λύση. Η S γράφεται S: + 4= 0. = και κατά συνέπεια παριστάνει ένα παραβολικό κύλινδρο µε γενέτειρα παράλληλη στον Ο-άξονα και οδηγό καµπύλη την παραβολή =, = 0 θ) Ελλειπτικός κύλινδρος Η εξίσωσή του είναι + = 1 ή + = 1 ή + = 1 (.13) a b b c a c

18 34 για a, b, c > 0 σταθερές. κυλινδρική επιφάνεια + = 1 a b Ο οδηγός καµπύλη + = 1, = 0 a b Σχήµα.10 Π.χ. η επιφάνεια + = 1 (σχήµα.10) δηµιουργείται από µια ευθεία a b (γενέτειρα) που είναι παράλληλη στον Ο άξονα και κινείται παράλληλα στον άξονα αυτό συναντώντας την έλλειψη του Ο επιπέδου a + = 1 (οδηγός καµπύλη) b Αν a = b, τότε έχουµε κυκλικό κύλινδρο. Παράδειγµα.8. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια Λύση. Η S γράφεται S: = 3. + = 1 και εποµένως παριστάνει ένα ελλειπτικό κύλινδρο µε γενέτειρα παράλληλη στον Ο άξονα και οδηγό καµπύλη την έλλειψη + = 1, =

19 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 35 ι) Υπερβολικός κύλινδρος Έχει εξίσωση = 1 ή = 1 ή a b b c c a = 1 ή... (.14) O (a,0,0) (-a,0,0) οδηγός καµπύλη = 1 a b Σχήµα.11 Έτσι, π.χ. η επιφάνεια = 1 (σχήµα.11) δηµιουργείται από µια a b ευθεία (γενέτειρα) που είναι παράλληλη στον Ο άξονα και κινείται παράλληλα στον άξονα αυτό συναντώντας την υπερβολή του Ο επιπέδου a = 1 (οδηγός καµπύλη) b Παράδειγµα.9. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται S: 16 = 1.

20 = 1 (1) Η (1) παριστάνει υπερβολικό κύλινδρο που έχει γενέτειρα παράλληλη στον Ο-άξονα και οδηγό καµπύλη την υπερβολή 1 4 = = 1, 0

21 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 37 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια + + = Λύση. Η επιφάνεια γράφεται + + = 1και είναι ελλειψοειδές. 3 4 ΑΣΚΗΣΗ Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση.. Άρα είναι ελλειψοειδές = = = 1 ( ) ΑΣΚΗΣΗ 3 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση. + + = + + =. Άρα είναι ελ- 1 3 λειψοειδές = ΑΣΚΗΣΗ 4 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια = Λύση. Είναι ελλειπτικό παραβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια = + 5.

22 38 Λύση. = + = , άρα είναι ελλειπτικό παραβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 6 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια = 0. Λύση = 0 = +. Εποµένως είναι ελλειπτικό παραβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον 3 O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 7 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια + = Λύση. + = 1. Εποµένως είναι δίχωνο υπερβολοειδές µε άξονα 3 5 συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 8 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 3 + = 0.. Άρα είναι υπερβολι- Λύση. 3 + = 0 = 3 κό παραβολοειδές. ( ) ΑΣΚΗΣΗ 9 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 0. Λύση = 0 = ( ).

23 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 39 Άρα είναι υπερβολικό παραβολοειδές. ΑΣΚΗΣΗ 10 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση. = 0. = 0 = +. Άρα είναι κωνική επιφάνεια µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα και συγκεκριµένα κυκλικός κώνος. ΑΣΚΗΣΗ 11 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση = = 0 4 = + 16 = + 1 Εποµένως είναι ελλειπτικός κώνος µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα.. ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια + =. 7 1 Λύση. Είναι µονόχωνο υπερβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 13 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση. + 4= = 0 = 1 + = 1. Άρα είναι µονόχωνο υπερβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 14 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια 4 + 8= 0.

24 40 Λύση = 0 + = 1. Άρα είναι µονόχωνο υπερβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον ( ) ( ) ( ) O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 15 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια = 1. 3 Λύση. = 1 + = 1. Άρα είναι δίχωνο υ- 3 3 περβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 16 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια = Λύση. = = 1. Άρα είναι δίχωνο υπερβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 17 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση. 4 3= 0. = = 0 1 ( ) + = 1. Άρα είναι δίχωνο υπερβολοειδές µε άξονα 3 3 ( 3) συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 18 Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση = 0.

25 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ =0 4 =8 + = 1, ( ) ( ) ( ) άρα είναιδίχωνο υπερβολοειδές µε άξονα συµµετρίας τον O άξονα. ΑΣΚΗΣΗ 19 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια =. Λύση. Είναι παραβολικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον Ο άξονα και οδηγό καµπύλη την παραβολή =, = 0. ΑΣΚΗΣΗ 0 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια Λύση. + 4= = 0 = 4, άρα είναι παραβολικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη την παραβολή = 4, = 0. ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια + = 4. Λύση. Είναι κυκλικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη τον κύκλο + = 4, = 0. ΑΣΚΗΣΗ Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 3 + = 5. Λύση. 3 + = =. Άρα είναι ελλειπτικός κύ- ( 5) 3 λινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη την έλλειψη + = 1, = 0. 5 ( 5) 3

26 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 8 + = 1. Λύση. 8 + = 1 + = 1. Εποµένως είναι ελλειπτικός 1 κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη την έλλειψη + = 1, = 0. 1 ΑΣΚΗΣΗ 4 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 1. Λύση. Είναι υπερβολικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη την υπερβολή = 1, = 0. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 9 4 = 36. Λύση. 9 4 = 36 = 1. Εποµένως είναι υπερβολικός 3 κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη την υπερβολή = 1, = 0. 3 ΑΣΚΗΣΗ 6 Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 4 5 = 100. Λύση. 4 5 = 100 = 1. Άρα είναι υπερβολικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καµπύλη την υπερβο- 5 λή = 1, = 0. 5

27 ΚΕ Φ ΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 43 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια της πάνω στο επίπεδο =. (Απ. Ελλειψοειδές,. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 5 και να βρεθεί το ίχνος + = 1) = 0 και να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = και = 1. (Απ. Κυκλικό παραβολοειδές, + = 4, = + 1). 3. Να αναγνωρισθεί ή επιφάνεια 5 = 0 και να βρεθεί το ίχνος της πάνω στο επίπεδο = 0. (Απ. Ελλειπτικό παραβολοειδές, 4. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = ) = 0 και να βρεθούν τα ί- χνη της πάνω στα επίπεδα = 0 και = 1. (Απ. Υπερβολικό παραβολοειδές, 1 =±, = ) Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 3 = 0και να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = 1 και = 3. (Απ. Ελλειπτικός κώνος, 7 + = 1). ( 7) 6. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια πάνω στο επίπεδο = 0. (Απ. Μονόχωνο υπερβολοειδές, 7. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 1, ( ) = 8 και να βρεθεί το ίχνος της = 1). ( ) = και να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = 0, = 0. (Απ. Μονόχωνο υπερβολοειδές,

28 44 + = 1, = ). 8. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 1 και να βρεθούν τα ίχνη της πάνω στα επίπεδα = 0, = 3. (Απ. ίχωνο υπερβολοειδές, = ) Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 1, = και να βρεθούν τα ίχνη = 1, της στα επίπεδα = 0, = 1. (Απ. ίχωνο υπερβολοειδές, ( ) ( ) 3 = 1 ) Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια + 6= 0. (Απ. Παραβολικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον 0 άξονα και οδηγό καµπύλη την + 6= 0, = 0 ). 11. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια = 0. (Απ. Ελλειπτικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον 0 άξονα και οδηγό καµπύλη την , = 0 ). 1. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 4 100= 0. (Απ. Υπερβολικός κύλινδρος µε γενέτειρα παράλληλη στον 0 άξονα και οδηγό καµπύλη την 4 100= 0, = 0 ).

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν.

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙI Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 009-00 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V Ι. Δίνονται οι ευθείες δ: x ={,0,0}+λ{,,}, ε: x -x + x -=0, x -x =. Να εξετάσετε αν οι ευθείες δ, ε είναι ασύμβατες. Αν ναι, βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 3 1.1 Γενικά.......................... 3 1.2 Ορισµοί......................... 4 1.3 Στοιχειώδεις Πράξεις Μεταξύ ιανυσµάτων....... 8 1.3.1 Γινόµενο Αριθµού επί ιάνυσµα.........

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες.

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 13 η εβδομάδα (20/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 31, 32, 33, 34, 36 και 37 11 η 12 η εβδομάδα

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα τριπλά ολοκληρώματα ορίζονται με τρόπο ανάλογο με τα διπλά ολοκληρώματα. Ισχύουν ανάλογα θεωρήματα ολοκληρωσιμότητας και ανάλογες ιδιότητες. Θεωρούμε μια συνάρτηση f,,

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ο κύκλος x + y = 5 και οι εφαπτόµενες σ αυτόν από το σηµείο Μ(0, 0). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής, να βρείτε Τις εξισώσεις των εφαπτόµενων Τις συντεταγµένες των

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. 1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Έστω οι παρακάτω περιπτώσεις τοµής ενός κώνου µε ένα επίπεδο:

Έστω οι παρακάτω περιπτώσεις τοµής ενός κώνου µε ένα επίπεδο: ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ CAD Έστω οι παρακάτω περιπτώσεις τοµής ενός κώνου µε ένα επίπεδο: σχ.1 Σύµφωνα µε τη θεωρία, όταν ο κώνος κοπεί µε επίπεδο παράλληλο σε επίπεδο που περιέχει την κορυφή του και δεν τον τέµνει

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ SECTION 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4. Γενικοί Ορισµοί Η θέση ενός σηµείου P στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο µπορεί να καθορισθεί µε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγµένες (x y οι οποίες µετριώνται

Διαβάστε περισσότερα

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Τομέας III : Αρχιτεκτονικής Γλώσσας, Επικοινωνίας & Σχεδιασμού ntua ACADEMIC OPEN COURSES Ανθή Μαρία Κουρνιάτη Επίκουρη Καθηγήτρια, Σχολή Αρχιτεκτόνων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Εισαγωγικές Ένvοιες ΙI Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Ε_.ΒΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα.

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 A Οµάδας. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας τον άξονα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.. Ορισµοί-Ιδιότητες Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου ρ. Σ.Πατσιοµίτου Το ορθό πρίσµα και τα στοιχεία του Στη Στερεοµετρία τα παρακάτω στερεά σώµατα ονοµάζονται ορθά πρίσµατα. Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονταιβάσεις

Διαβάστε περισσότερα

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ 4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος

Κεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος 9. Εµαδόν χωρίου Κεφάλαιο 9 Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο είδαµε ότι αν f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,] (α

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Χρήστος Θ. Αναστασίου Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2.

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2. ΠΑΡΑΒΟΛΗ P Α δ (διευθετούσα) C (παραβολή) Μ (ΜΕ)=(ΜΡ) Κ Ε (εστία) Ορισμός: Παραβολή λέγεται ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο Ε (Εστία) και μία ευθεία δ(διευθετούσα)

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο . ΣΥΝΤΕΤΑΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΘΕΩΡΙΑ. Άξονας (Ο, i ) λέγεται κάθε ευθεία εφοδιασµένη µε αρχή Ο και µοναδιαίο διάνυσµα i.. Τετµηµένη σηµείου Μ που ανήκει σε άξονα (Ο, i ) λέγεται ο αριθµός, για τον οποίο ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. Αν έχουµε ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ, τότε έχει στροφορµή

Στροφορµή. Αν έχουµε ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ, τότε έχει στροφορµή Στροφορµή Στροφορµή υλικού σηµείου Αν έχουµε ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ, τότε έχει στροφορµή ως προς σηµείο ή ως προς άξονα, που το µέτρο της υπολογίζεται από την εξίσωση L = mυr Όπου

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ.

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. Πρόκειται για εικόνες τις οποίες μπορούμε να παρατηρήσουμε χρησιμοποιώντας κατάλληλες ανακλαστικές επιφάνειες, οι οποίες συνήθως είναι κωνικές ή κυλινδρικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΩΝΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ Σχήµα 1 Η κωνική επιφάνεια ή κώνος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας (γενέτειρες) η οποία διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

y είναι πάντα σταθερός και ίσος µε α, δηλα- y x 0.O λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y = αx. x ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

y είναι πάντα σταθερός και ίσος µε α, δηλα- y x 0.O λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y = αx. x ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α Ποσά ανάλογα- Η συνάρτηση =α Δύο ποσά λέγονται ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιµές του ενός ποσού µε έναν αριθµό, τότε και οι αντίστοιχες τιµές του άλλου πολλαπλασιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,

Διαβάστε περισσότερα