RIGHTHAND SIDE RANGES

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "RIGHTHAND SIDE RANGES"

Άρκτοφόνος Παπανικολάου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μια εταιρεία εξόρυξης μεταλλευμάτων, έλαβε μια παραγγελία για 100 τόνους σιδηρομεταλλεύματος. Η παραγγελία πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον.5 τόνους νικέλιο, το πολύ τόνους άνθρακα κι ακριβώς 4 τόνους μαγγάνιο. Για να εκπληρώσει την παραγγελία, η εταιρεία μπορεί να συνδυάσει μεταλλεύματα από τέσσερα διαφορετικά ορυχεία, των οποίων η χημική σύνθεση δίνεται στον πίνακα: Σιδηρομετάλλευμα από το 1ο Ορυχείο ο Ορυχείο ο Ορυχείο 4ο Ορυχείο Νικέλιο 6% % % 1% Άνθρακας % % 5% 6% Μαγγάνιο 8% % % 1% Κόστος (χ.μ./τόνο) Δεδομένου ότι η εταιρεία εισπράττει 0 χ.μ./τόνο μεταλλεύματος που πωλεί, υποδείξτε ένα π.γ.π. για την εκπλήρωση της παραγγελίας σε τρόπο ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό της κέρδος (= έσοδα κόστος). Το πρόβλημα διατυπώθηκε στην τυπική του μορφή και στη συνέχεια λύθηκε με τη μέθοδο Simplex. Ακολουθεί το τελικό tableau που βρέθηκε (x 5, x 6 περιθώριες και x 7, x 8, x 9 τεχνητές μεταβλητές) : Μ -Μ -Μ B c B β P 1 P P P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P P P P z Μ και η ανάλυση ευαισθησίας των δεξιών μελών b i : RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY Μ 16 +Μ Να διατυπωθεί το αντίστοιχο δυϊκό πρόβλημα, να βρεθεί η άριστη λύση του και να ερμηνευτούν οι μεταβλητές του. 1/8

2 Ας είναι x i οι τόννοι σιδηρομεταλλεύματος στην παραγγελία που προέρχονται από το i-ορυχείο (i = 1,,, 4). Τότε, το συνολικό κέρδος της εταιρείας που θα πρέπει να μεγιστοποιηθεί ανέρχεται σε z = (0-1)x 1 + (0-10)x + (0-8)x + (0-6)x 4 = 8x x + 1x + 14x 4 χρηματικές μονάδες. Οι περιορισμοί του προβλήματος αντιστοιχούν στις ζητούμενες προδιαγραφές σύνθεσης της πωλούμενης ποσότητας των 100 τόνων : 0.06x x + 0.0x x 4.5 (περιεκτικότητα σε νικέλιο) 0.0x x x x 4.0 (περιεκτικότητα σε άνθρακα) 0.08x x + 0.0x x 4 = 4.0 (περιεκτικότητα σε μαγγάνιο) x 1 + x + x + x 4 = (μέγεθος παραγγελίας) x 1, x, x, x 4 0 Δυϊκό για το παραπάνω πρόβλημα είναι το όταν minimize (.5w 1 + w + 4w + 100w 4 ) 0.06w w w + w w w + 0.0w + w w w + 0.0w + w w w w + w 4 14 w 1 0, w 0, w, w 4 R /8

3 Σύμφωνα με το Θεώρημα του Δυϊσμού, η άριστη λύση του μπορεί να βρεθεί από τα στοιχεία που περιέχονται στο τελικό tableau του πρωτεύοντος προβλήματος. Το πρωτεύον πρόβλημα στην τυπική του μορφή έχει ως εξής : (x 5, x 6 περιθώριες και x 7, x 8, x 9 τεχνητές μεταβλητές). Συνεπώς, η τεχνητή μεταβλητή x 7, η περιθώρια x 6 και οι τεχνητές x 8, x 9 σχηματίζουν (μ αυτή ακριβώς τη σειρά) την αρχική βάση. Συμβολικά τότε, στο τελικό tableau του πρωτεύοντος έχουμε maximize z = 8x x + 1x + 14x 4 Μx 7 Μx 8 Μx 9 κάτω από τους περιορισμούς 0.06x x + 0.0x x 4 x 5 + x 7 =.5 0.0x x x x 4 + x 6 = x x + 0.0x x 4 + x 8 = 4.0 x 1 + x + x + x 4 + x 9 = x 1, x, x, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x Μ -Μ -Μ B c B β P 1 P P P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 ~ ~ ~ ~ z 1000 λ 1 λ λ λ w ~ c 6 w ~ 1 c ~ 7 c 8 w 4 4 w ~ c 9 ( w ~ ~ i οι βέλτιστες δυϊκές τιμές και λ i οι βέλτιστες δυϊκές περιθώριες τιμές), οπότε ( M ) + ( ) = 400 w ~1 = M w ~ = 0 ( 00 + M ) + ( ) 00 w ~ = M = ( 16 + M ) + ( ) 16 w ~4 = M = με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης u ~ = /8

4 Συνδυάζοντας την ανάλυση ευαισθησίας των δεξιών μελών b i που δίνεται στην εκφώνηση, με τις ανωτέρω βέλτιστες τιμές για τις δυϊκές μεταβλητές συμπεραίνουμε ότι όσο η ζητούμενη ποσότητα στην παραγγελία για νικέλιο βρίσκεται στο διάστημα [.46,.6], μεταβολή στην καταγραφόμενη απαίτηση κατά Db 1 τόννους, μεταβάλλει τα συνολικά κέρδη κατά -400 Db 1 χ.μ. Ο περιορισμός για το νικέλιο έχει αρνητική τιμή γιατί αύξηση στη ζήτησή του, σπρώχνει στην παραγγελία περισσότερο σιδηρομετάλλευμα από το ακριβότερο 1ο ορυχείο. (Η δυϊκή τιμή ενός περιορισμού προβλήματος μεγιστοποίησης είναι πάντα αρνητική : αύξηση του δεξιού μέλους μικραίνει την εφικτή περιοχή). όσο η ζητούμενη ποσότητα στην παραγγελία για άνθρακα βρίσκεται στο διάστημα [.75, ), μεταβολή στην καταγραφόμενη απαίτηση κατά Db τόννους, δεν προκαλεί καμία μεταβολή στα συνολικά κέρδη. Η άριστη λύση υποδεικνύει την ύπαρξη στην παραγγελία μόνον.75 < τόνων άνθρακα κι άρα η αντίστοιχη δυϊκή τιμή έχει τιμή μηδέν. όσο η ζητούμενη ποσότητα στην παραγγελία για μαγγάνιο βρίσκεται στο διάστημα [.8, 4.07], μεταβολή στην καταγραφόμενη απαίτηση κατά Db τόννους, μεταβάλλει τα συνολικά κέρδη κατά 00 Db χ.μ. όσο η ζητούμενη συνολική ποσότητα σιδηρομεταλλεύματος βρίσκεται στο διάστημα [91.67, 10.1], μεταβολή στην καταγραφόμενη απαίτηση κατά Db 4 τόννους, μεταβάλλει τα συνολικά κέρδη κατά 16 Db 1 χ.μ. 4/8

5 Η εταιρεία επίπλων SRUCE κατασκευάζει στρογγυλά (x 1 ) και τετράγωνα (x ) τραπέζια κουζίνας. Όπως φαίνεται και στο π.γ.π. που ακολουθεί, η παραγωγή των προϊόντων αυτών περιορίζεται, αφενός μεν από τη διαθέσιμη πρώτη ύλη (m ξύλου) αφετέρου δε από το υπάρχον εργατικό δυναμικό (ώρες): maximize z = 0,000x 1 + 0,000x (συνολικό κέρδος -χ.μ.) κάτω από τους περιορισμούς x 1 + 5x 180 (διαθέσιμος χρόνος εργασίας - ώρες -) x 1 + x 15 (διαθέσιμες πρώτες ύλες - m ξύλου -) x 1, x 0 Μετά τη λύση του προβλήματος με τη μέθοδο Simplex, καταλήξαμε στο (τελικό) tableau που ακολουθεί (x, x 4 περιθώριες μεταβλητές): B c B β P 1 P P P 4 P / -/9 P / 5/9 z / 40000/9 1) Να βρεθεί και ερμηνευτεί το δυϊκό του. Ποια είναι η άριστη λύση του; ) Σε τι ποσό (χ.μ.) ανέρχεται η συμβολή του καθενός των πόρων στα συνολικά κέρδη της εταιρείας; ) Αν η εταιρεία μπορούσε να εξασφαλίσει την ύπαρξη επιπλέον μονάδων ενός μόνο από τους πόρους που χρησιμοποιεί, ποιος θα έπρεπε να είναι αυτός; 4) Σε ποιο ποσό θα έπρεπε να ανερχόταν τα κέρδη από τα τετράγωνα τραπέζια ώστε να μην παράγονται καθόλου στρογγυλά; Στην περίπτωση αυτή, ποια είναι η άριστη λύση (: μέγιστο κέρδος) του προβλήματος; 5/8

6 Δυϊκό του δοθέντος προβλήματος είναι το και έχει ως άριστη λύση την όπου minimize u = 180w w κάτω από τους περιορισμούς w 1 +w w 1 +w 0000 w 1, w 0 w 1 =10000/, w =40000/9, u= w 1 είναι το ποσό των χρημάτων που θα αυξηθούν/ελαττωθούν τα κέρδη της εταιρείας αν ο διαθέσιμος χρόνος εργασίας αυξηθεί/ελαττωθεί κατά μία ώρα (αξία μιας μονάδος του πρώτου πόρου: μία ώρα εργασίας), w είναι το ποσό των χρημάτων που θα αυξηθούν/ελαττωθούν τα κέρδη της εταιρείας αν οι διαθέσιμες πρώτες ύλες αυξηθούν/ελαττωθούν κατά ένα m ξύλου (αξία μιας μονάδος του δεύτερου πόρου: ένα m ξύλου), u είναι η συνολική αξία των πόρων (τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης) Η εταιρεία διαθέτει 180 ώρες εργασίας αξίας δρχ. η κάθε μια. Αφού ο πρώτος περιορισμός είναι δεσμευτικός, και οι 180 ώρες χρησιμοποιούνται στην κατασκευή των τραπεζιών συμβάλλοντας στα ύψους 1,00,000 χ.μ. συνολικά κέρδη της εταιρείας με * πόρος συμβάλει με 15 * = 600,000 χ.μ. 180 = 600,000 χ.μ. Ομοίως βρίσκουμε ότι ο δεύτερος /8

7 Αφού η αξία μιας ώρας εργασίας ανέρχεται στις χ.μ. ενώ ενός m ξύλου στις χ.μ., η εταιρεία θα έπρεπε να επιλέξει το ξύλο ως το μοναδικό πόρο του 9 οποίου θα έπρεπε να αυξήσει τη διαθεσιμότητα. Το ερώτημα μπορεί να απαντηθεί με ανάλυση ευαισθησίας για τον αντικειμενικό συντελεστή c. Η εφικτή περιοχή ορίζεται από το πολύγωνο ΑΒΓΔ. Άριστη λύση είναι το σημείο Γ(15,0) με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z =1,00,000 χ.μ. Το σημείο Γ θα είναι η άριστη λύση για το πρόβλημά μας όσο που εδώ δίνει κλίση της ευθείας () κλίση της ευθείας z κλίση της ευθείας (1) c c 1 Αν η κλίση της ευθείας z γίνει μεγαλύτερη από 5 5, το σημείο Γ παύει να είναι η άριστη λύση του προβλήματος. Όπως φαίνεται από τη γραφική επίλυση, στην περίπτωση αυτή νέα άριστη λύση γίνεται το σημείο Δ(0, 6) που υποδεικνύει την παραγωγή τετράγωνων τραπεζιών και μόνο (x 1 = αριθμός στρογγυλών τραπεζιών = 0) και οδηγεί σε συνολικά κέρδη ύψους 1,800,000 χ.μ. Συνεπώς, για να παράγονται μόνο τετράγωνα τραπέζια θα πρέπει c c > > c 5 1 c > (το κέρδος δηλαδή από το κάθε τετράγωνο τραπέζι να ξεπερνά τις χ.μ.). 7/8

8 maximize z = 0,000x 1 + 0,000x κάτω από τους περιορισμούς x 1 +5x 180 (διαθέσιμος χρόνος εργασίας - ώρες -) x 1 +x 15 (διαθέσιμες πρώτες ύλες - m ξύλου -) x 1, x 0 Δ Γ A B 8/8

Σχετικά έγγραφα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα