Προβλήματα Βελτιστοποίησης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προβλήματα Βελτιστοποίησης"

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 Προβλήματα Βελτιστοποίησης Τα περισσότερα πρακτικά προβλήματα μπορούν να μειωθούν σε προβλήματα μεγαλύτερης και μικρότερης σημασίας... και μόνο λύνοντας αυτά τα προβλήματα μπορούμε να ικανοποιήσουμε τις; απαιτήσεις της πράξης η οποία πάντοτε ψάχνει το καλύτερο, το πιο βολικό. P. L. C e b y s e v Η ακριβής μοντελοποίηση επιστημονικών προβλημάτων συχνά οδηγεί στη μορφοποίηση προβλημάτων βελτιστοποίησης που περιλαμβάνουν συνεχείς και / ή διακριτές μεταβλητές. Τα τελευταία χρόνια η βελτιστοποίηση παρουσίασε μία δραματική αύξηση σε δραστηριότητες. Αυτό είναι μια φυσική συνέπεια των νέων αλγοριόμικών εξελίξεων και της αυξημένης δύναμης των υπολογιστών. Πολλά από αυτά τα προβλήματα μπορεί να είναι πολύ μεγάλα, αν και ότι είναι μεγάλο στη βελτιστοποίηση, αντανακλά όχι μόνο το μέγεθος αλλά επίσης και την ενυπάρχουσα πολυπλοκότητα του προβλήματος. Το κυρίως αντικείμενο που μελετάται σε αυτό το βιβλίο είναι η μαθηματική θεωρία της μη γραμμικής βελτιστοποίησης. Αρχικά μελετούμε μερικά παραδείγματα. Αυτά τα παραδείγματα θα μας πουν ότι οι τεχνικές της μη γραμμικής βελτιστοποίησης είναι πολύ χρήσιμες στην επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης στον πραγματικό κόσμο, κυρίως σε συνδυασμό με τις πρόσφατες τεχνολογικές 17

2 18 Μαθηματική Θεωρία Βελτιστοποίησης εξελίξεις. Η μη γραμμική βελτιστοποίηση είναι επίσης πολύ σημαντική στην ανάπτυξη νέων τεχνικών για την επίλυση προβλημάτων συνδυαστικής βελτιστοποίησης, συμπεριλαμβανομένου του γραμμικού προγραμματισμού. 1.1 Εισαγωγή Παρατηρήσατε ποτέ πώς μια αράχνη πιάνει μια μύγα ή ένα κουνούπι; Συνήθως, η αράχνη κρύβεται στην άκρη του ιστού της. Όταν μια μύγα ή ένα κουνούπι χτυπήσει στον ιστό, η αράχνη θα πιάσει κάθε γραμμή στον ιστό, έτσι ώστε να διαλέξει αυτή που είναι τεντωμένη και μετά πηγαίνει γρήγορα κατά μήκος της γραμμής στο Φύμα της. Γιατί η αράχνη επιλέγει την τεντωμένη γραμμή; Μερικοί βιολόγοι εξηγούν ότι η γραμμή αυτή δίνει το συντομότερο μονοπάτι από την αράχνη μέχρι το θύμα της. Ακούσατε την ακόλουθη ιστορία για ένα σοφό στρατηγό; Έ χει καθήκον να κυριεύσει μια πόλη πίσω από ένα βουνό. Όταν αυτός και οι στρατιώτες του έφθασαν στην κορυφή του βουνού, ανακάλυψε ότι ο εχθρός του έχει ήδη πλησιάσει την πόλη πολύ κοντά από μία άλλη κατεύθυνση. Το δίλημμα του ήταν πώς να φθάσει στην πόλη πριν ο εχθρός πλησιάσει. Ήταν ένα προκλητικό πρόβλημα για το στρατηγό. Ο στρατηγός έλυσε το πρόβλημα ζητώντας από κάθε στρατιώτη να κυλιστεί στο βουνό προς τα κάτω μέσα σε μία κουβέρτα. Γιατί είναι αυτό ταχύτερο; Οι φυσικοί μας λένε ότι μια μπάλα που κυλιέται ελεύθερα προς τα κάτω σε ένα βουνό πάντα επιλέγει τον πιο γρήγορο δρόμο. Ξέρετε την ιστορία ενός αγώνα αλόγου του Tian Gi; Είναι μια ιστορία που τοποθετείται στα προ Χριστού έτη. Ο Tian Gi ήταν ένας στρατηγός σε κάποια από τις πολλές μικρές επαρχίες της Κίνας, που ονομαζόταν Qi. Ο βασιλιάς της Qi ήξερε ότι ο T ian Gi είχε πολλά καλά άλογα και διέταξε τον Tian Gi να συμμετέχει σε αγώνα με άλογα μαζί του. Ο αγώνας αποτελούταν από τρεις γύρους. Σ ε κάθε γύρο, κάθε πλευρά επέλεγε ένα άλογο για να αγωνιστεί με την άλλη πλευρά. Ο Tian Gi ήξερε ότι το καλύτερο άλογο του δεν μπορούσε να αγωνιστεί με το καλύτερο του βασιλιά, το δεύτερο καλύτερο του δεν μπορούσε να αγωνιστεί με το δεύτερο καλύτερο του βασιλιά, και το τρίτο καλύτερο του δεν μπορούσε να αγωνιστεί με το τρίτο καλύτερο του βασιλιά. Έ τσι, δεν χρησιμοποίησε το καλύτερο άλογο του εναντίον του καλύτερου αλόγου του βασιλιά. Αντιθέτως, έβαλε το τρίτο καλύτερο άλογο του στον πρώτο γύρο εναντίον του καλύτερου αλόγου του βασιλιά, το καλύτερο άλογο του στο δεύτερο γύρο εναντίον του δεύτερου καλύτερου αλόγου του βασιλιά, και το δεύτερο καλύτερο

3 Προβλήματα Βελτιστοποίησης 19 άλογο του στον τρίτο γύρο εναντίον του τρίτου καλύτερου αλόγου του βασιλιά. Το τελικό αποτέλεσμα ήταν ότι αν και έχασε τον πρώτο γύρο του αγώνα, κέρδισε τους δύο τελευταίους γύρους. Η στρατηγική του T ian Gi ήταν η καλύτερη για να κερδίσει αυτόν τον αγώνα. Σήμερα, οι οικονομολόγοι μας λένε ότι πολλά οικονομικά συστήματα και κοινωνικά συστήματα μπορούν να μοντελοποιηθούν σαν παιχνίδια. Κάθε διαγωνιζόμενος στο παιχνίδι προσπαθεί να μεγιστοποιήσει συγκεκριμένα οφέλη. Η βελτιστότητα είναι μια θεμελιώδης αρχή, που επαληθεύει φυσικούς νόμους, κυβερνά βιολογικές συμπεριφορές και καθοδηγεί κοινωνικές συμπεριφορές. Έ τσι, η βελτιστοποίηση ξεκίνησε από τα πρώτα χρόνια του ανθρώπινου πολιτισμού. Φυσικά, πριν τα μαθηματικά θεμελιωθούν καλά, η βελτιστοποίηση μπορούσε να γίνει μόνο με προσομοίωση. Πολλές ιστορίες σοφών ανθρώπων μπορούν να βρεθούν στην ανθρώπινη ιστορία σχετικά με αυτό. Για παράδειγμα, για να βρει τον καλύτερο δρόμο για να φύγει από ένα βουνό, κάποιος ακολουθούσε ένα ποτάμι και για να βρει τον καλύτερο δρόμο για να φύγει από μια έρημο, κάποιος άφηνε ελεύθερο ένα άλογο και ακολουθούσε το ίχνος του αλόγου. Τον προηγούμενο αιώνα αλλά ακόμα και σήμερα, η προσομοίωση χρησιμοποιείται ακόμα για να βελτιστοποιηθεί κάτι. Για παράδειγμα, για να βρεθεί το συντομότερο μονοπάτι σε ένα δίκτυοηκάποιος μπορεί να φτιάξει ένα δίκτυ με ένα σκοινί σε ανάλογο μέγεθος και να τραβήξει το δίκτυ δυνατά μεταξύ των δύο κατευθύνσεων. Το τεντωμένο σχοινί δείχνει το συντομότερο μονοπάτι. Για να βρεθεί η βέλτιστη τοποθεσία ενός σχολείου για τρία χωριά, κάποιος ίσως ανοίξει τρεις οπές σε ένα τραπέζι και βάλει ένα κομμάτι σκοινιού σε κάθε οπή. Μετά δένει τις τρεις άκρες των σχοινιών μαζί πάνω από το τραπέζι και κρεμάει ένα κιλό βάρους σε κάθε άκρη των σχοινιών κάτω από το τραπέζι. Όταν αυτό το μηχανικό σύστημα έχει εξισορροπηθεί, ο κόμπος των τριών κομματιών σχοινιού δείχνει την τοποθεσία του σχολείου. Η ιστορία της βελτιστοποίησης στα μαθηματικά μπορεί να διαιρεθεί σε τρεις περιόδους. Την πρώτη περίοδο, δεν ήταν γνωστή κάποια γενική μέθοδος για να βρεθεί ένα μέγιστο/ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης. Μόνο ειδικές τεχνικές είχαν βρεθεί για να μεγιστοποιηθούν/ελαχιστοποιηθούν κάποιες ειδικές συναρτήσεις. Μια τυπική συνάρτηση είναι η τετραγωνική συνάρτηση μιας μεταβλητής y αχ2 + bx + c.

4 20 Μαθηματική Θεωρία Βελτιστοποίησης Η μελέτη των τετραγωνικών συναρτήσεων σχετιζόταν στενά με τη μελέτη της σταθερώς επιταχυνόμενης κίνησης. Ποιο είναι το υψηλότερο σημείο που μια πέτρα πετιέται με συγκεκριμένη αρχική ταχύτητα και συγκεκριμένη γωνία; Ποιο είναι το μακρύτερο σημείο όπου μια πέτρα που πετιέται με συγκεκριμένη αρχική ταχύτητα μπορεί να φθάσει όταν η γο^νία που πετιέται αλλάζει;. Αυτές ήταν ερωτήσεις που λαμβάνονταν υπόψη από κάποιους φυσικούς και στρατηγούς. Στην πραγματικότητα, το μηχάνημα που πετούσε πέτρες ήταν ένα σημαντικό όπλο στο στρατό. Σήμερα, ο υπολογισμός σημείων μέγιστου/ελάχιστου μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι ακόμα, μια σημαντική τεχνική της βελτιστοποίησης, που υπάρχει στα στοιχειώδη βιβλία μαθηματικών. Η τεχνική έχει επεκταθεί και σε άλλες συναρτήσεις όπως την χ 2 + χ + 1 Γ χ 2 + 2χ + 3' Στην πραγματικότητα, πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με χ 2 + 2χ + 3 και απλοποιώντας, παίρνουμε (y - 1)χ2 + (2y - 1)χ + (3y - 1) = 0. Καθώς το χ είναι πραγματικός αριθμός, πρέπει να έχουμε (2?/ - I )2-4(2/ - l)(3 y 1) > 0. Έτσι, - 8 y2 + 12y - 3 > 0, δηλαδή, Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι με αυτή την τεχνική υπολογίσαμε το ολικό μέγιστο και ελάχιστο της y.

5 Προβλήματα Βελτιστοποίησης 21.1 νέα περίοδος ξεκίνησε το 1646 από τον Pierre de Ferm at. Πρότεινε, στο ατ co του Πραγματείες για τα Μέγιστα και Ελάχιστα, μια γενική προσέγγιση -.2 να υπολογιστούν μέγιστα/ελάχιστα σημεία μιας διαφορίσιμης συνάρτησης, 'λαδή. θέτοντας την παράγωγο της συνάρτησης ίση με μηδέν. Σήμερα, αυτή - -ροσέγγιση ακόμα περιλαμβάνεται σχεδόν σε όλα τα εγχειρίδια της Μαθηματικής Ανάλυσης σαν εφαρμογή της διαφόρισης. Σ ε αυτή την περίοδο, η : -' τ.στο-οίηση υπήρχε σκόρπια και ατάκτως στα μαθηματικά. Επειδή η βελτιττ -οίηση δεν είχε γίνει σημαντικός κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών, ±ζζ:/ο\ μαθηματικοί δεν έδωσαν τόσο μεγάλη προσοχή στα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης και μερικές συνεισφορές ούτε που δημοσιεύθηκαν. Αυτό ί ^τπζ πολλά μυστήρια στην ιστορία της βελτιστοποίησης. 7 ι παράδειγμα, ποιο είναι το πρώτο πρόσωπο που πρότεινε το δέντρο Steiner; Ηταν ένα από αυτά τα μυστήρια. Για να αποκτήσουμε μια καλύτερη εικόνα, ας - εξηγήσουμε με κάποια λεπτομέρεια. Σ τ : ίδιο άρθρο που αναφέρεται προηγούμενα, ο Ferm at μελέτησε, επίσης, ένα τ ; : ;λημα εύρεσης ενός σημείου για να ελαχιστοποιήσει τη συνολική απόσταση : - αυτό σε τρία δεδομένα σημεία στο Ευκλείδειο επίπεδο. Έστω τρία δεδομένα - τ -ε α (x 2,V2), και (a?3,?/3) Τότε η συνολική απόσταση ενός σημείου γ. y από αυτά τα τρία σημεία είναι 3 /( > y) = Σ Vix - χί)2 + (y - Vi)2 τη γενική μέθοδο του Ferm at, το ελάχιστο σημείο της f ( x, y ) πρέπει να.κανοποιεί τις ακόλουθες εξισώσεις 3 >ιως. ο υπολογισμός των χ και y από αυτό το σύστημα των εξισώσεων φαίνεται '.νατο να γίνει. Επομένως, ο Ferm at ανέφερε αυτό το πρόβλημα ξανά σε ένα

6 22 Μαθηματική Θεωρία Βελτιστοποίησης γράμμα στον A. Mersenne λέγοντας ότι θα ήταν καλό, αν μία ξεκάθαρη λύση μπορούσε να βρεθεί για αυτό το πρόβλημα. Ο Torricelli, μαθητής του Galilei, πρότεινε μια έξυπνη λύση με μία γεωμετρική μέθοδο. Έδειξε ότι αν τρία δεδομένα σημεία σχηματίζουν ένα τρίγωνο χωρίς κάποια γωνία να είναι τουλάχιστον 120, τότε η λύση είναι ένα σημείο στο οποίο τα τρία τμήματα από αυτό στα τρία δεδομένα σημεία παράγουν τρεις γωνίες των 120. Αλλιώς, η λύση είναι το δεδομένο σημείο στο οποίο το τρίγωνο που σχηματίζεται από τα τρία δεδομένα σημεία έχει μία γωνία τουλάχιστον 120. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί επίσης να αποδειχθεί από το μηχανικό σύστημα που περιγράφηκε στην αρχή αυτού του άρθρου. Στην πρώτη περίπτωση, ο κόμπος των τριών κομματιών του σχοινιού δεν σταματάει σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο και έτσι η συνθήκη ισορροπίας των τριών δυνάμεων ίσου μεγέθους οδηγεί στη συνθήκη των γωνιών. Στη δεύτερη περίπτωση, ο κόμπος πέφτει σε μία από τις τρεις οπές, και η συνθήκη της γωνίας εγγυάται, ότι ο κόμπος δεν θα κινηθεί μακριά από την οπή. Το πρόβλημα του Ferm at μελετήθηκε εκτενώς αργότερα και γενικεύθηκε στα τέσσερα σημεία από τον J. Fr. Fagano το 1775 και στα η σημεία από τον Tedenat και τον L Huiller το Ο Fagano απέδειξε ότι είναι πολύ εύκολο να βρεις τη λύση στο πρόβλημα του Ferm at για τα τέσσερα σημεία. Όταν τέσσερα δεδομένα σημεία σχηματίζουν ένα κυρτό τετράπλευρο, η λύση στο πρόβλημα του Ferm at είναι η διατομή δύο διαγωνίων, δηλαδή, η διατομή δύο διαγωνίων ελαχιστοποιεί την συνολική απόσταση από ένα σημείο σε τέσσερα δεδομένα σημεία. Αλλιώς, πρέπει να είναι ένα από τα δεδομένα σημεία που βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο που σχηματίζεται από τα άλλα τρία δεδομένα σημεία αυτό το δεδομένο σημείο είναι η λύση. Στις 19 Μαρτίου 1836, ο Schumacher έγραψε ένα γράμμα στον G auss. Σε αυτό το γράμμα, ανέφερε ένα παράδοξο για το πρόβλημα του Ferm at: Έστω ένα κυρτό τετράπλευρο A B C D. Ήταν γνωστό ότι η λύση στο πρόβλημα του Ferm at για τέσσερα σημεία A,B,C και D είναι η διατομή Ε των διαγωνίων A C και B D. Τποθέτουμε ότι επεκτείνοντας την D A και C B μπορούμε να βρούμε μια διατομή F. Τώρα, μετακινούμε τα Α και Β στο F. Τότε το Ε θα μετακινηθεί επίσης στο F. Όμως, όταν η γωνία στο F είναι μικρότερη από 120, το σημείο F δεν μπορεί να είναι η λύση στο πρόβλημα του Ferm at για τρία δεδομένα σημεία F, D, και C. Τ ι συμβαίνει; (Σχήμα 1.1. )

7 Προβλήματα Βελτιστοποίησης 23 F Σχήμα 1.1: Το παράδοξο του Schumacher. Στις 21 Μαρτίου 1836, ο G auss έγραψε ένα γράμμα στον Schumacher στο οποίο εξηγούσε ότι το λάθος στο παράδοξο του Schumacher συμβαίνει στο σημείο όπου το πρόβλημα του Ferm at για τα τέσσερα σημεία A,B,C και D αλλάζει στο πρόβλημα του Ferm at για τα τρία σημεία F,C και D. Όταν τα.4. και Β είναι πανομοιότυπα με το F, η συνολική απόσταση από το Ε στα τέσσερα σημεία Α, Β, C και D είναι ίση με 2EF + EC + ED, και όχι EF + EC + ED. Έ τσι, το σημείο Ε ίσως να μην είναι η λύση στο πρόβλημα του Ferm at για τα σημεία F.C και D. Ο G auss πρότεινε ένα νέο, σημαντικότερο, πρόβλημα. Είπε ότι είναι πιο ενδιαφέρον να βρεθεί ένα συντομότερο δίκτυο παρά ένα σημείο. Ο G auss επίσης πρότεινε διάφορες πιθανές συνδέσεις του συντομότερου μονοπατιού για τέσσερα δεδομένα σημεία. Δυστυχώς, το γράμμα του G auss ανακαλύφθηκε μόνο το Από το 1941 έως το 1986, πολλές δημοσιεύσεις ακολούθησαν τους R. Courant και Η. R obbins, οι οποίοι στο δημοφιλές βιβλίο τους Τι eivai Μαθηματικά; (δημοσιευμένο το 1941) αποκαλούσαν το πρόβλημα του G auss σαν το πρόβλημα δέντρου του Steiner. Το δέντρο Steiner έχει γίνει ένα δημοφιλής και σημαντικό όνομα. Αν ψάξεις δέντρο-steiner στο yahoo.com στο διαδίκτυο, θα λάβεις περισσότερες από 1000 ιστοσελίδες για τα δέντρα Steiner. Δ εν υπάρχει κανένας τρόπος να αλλάξουμε το όνομα από δέντρα Steiner σε δέντρα Gauss. Ίσως αξίζει να αναφέρουμε ότι ο Jakob Steiner, ένας γεωμέτρης του δεκάτου ένατου αιώνα το όνομα του οποίου χρησιμοποιείται για τα συντομότατα δίκτυα, δεν έχει βρεθεί

8 24 Μαθηματική Θεωρία Βελτιστοποίησης ως τώρα να έχει κάποια σημαντική συνεισφορά στα δέντρα Steiner. Ο George Β. Dantzig που πρώτος πρότεινε τη μέθοδο sim plex για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού στο 1947 δήλωσε στο άρθρο του Γραμμικός Προγραμματισμός: Η Ιστορία του Πως Ξεκίνησε. Αυτό που φαίνεται να χαρακτηρίζει την προ-1947 εποχή ήταν η έλλειψη οποιουδήποτε ενδιαφέροντος για προσπάθεια βελτιστοποίησης. Λόγω της έλλειψης ενδιαφέροντος για τη βελτιστοποίηση, πολλές σημαντικές δουλειές που εμφανίστηκαν πριν το 1947 αγνοήθηκαν. Αυτό συνέβη όχι μόνο για τα δέντρα Steiner αλλά επίσης και για άλλες περιοχές της βελτιστοποίησηςμσυμπεριλαμβανομένου μερικών σημαντικών συνεισφορών στο γραμμικό και μη γραμμικό προγραμματισμό. Η ανακάλυψη του γραμμικού προγραμματισμού ξεκίνησε μια καινούρια εποχή για τη βελτιστοποίηση. Όμως, στο ίδιο άρθρο που αναφέρθηκε προηγούμενα, ο Dantzig έκανε τα ακόλουθα σχόλια: Ο Γραμμικός Προγραμματισμός ήταν άγνωστος πριν από το Αυτό δεν είναι εντελώς σωστό- υπήρχαν κάποιες καθυστερημένες εξαιρέσεις. Ο Fourier (γνωστός από τις σειρές Fourier) το 1823 και ο πολύ γνωστός Βέλγος μαθηματικός de la Vallee Poussin το 1911 έγραψαν καθένας τους ένα άρθρο για αυτό. Η δουλειά τους είχε τέτοια επίδραση στις μετά-1947 εξελίξεις, όσο θα είχε η εύρεση σε ένα Αιγυπτιακό τάφο ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή κατασκευασμένου το 3000 π.χ. Η αξιόλογη μονογραφία του Leonid Kantorovich του 1939 πάνω στο ιίέμα επίσης αγνοήθηκε για ιδεολογικούς λόγους στην Σοβιετική Ένωση. Αναβίωσε δύο δεκαετίες αργότερα μετά που σημαντικές εξελίξεις είχαν ήδη πραγματοποιηθεί στη Δύση. Ένα σημαντικό άρθρο από τον Hitchcock το 1941 στο πρόβλημα μεταφοράς επίσης παραβλέφθηκε μέχρι που άλλοι προς το τέλος της δεκαετίας του 1940 και στις αρχές της δεκαετίας του 1950 ανεξάρτητα ξαναανακάλυψαν τις ιδιότητές του. Θυμήθηκε, επίσης, πως έκανε την ανακάλυψη του. Ή δική μου συνεισφορά προέκυψε από την εμπειρία μου κατά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο στο Πεντάγωνο. Κατά τη διάρκεια του πολέμου, είχα γίνει ειδικός στις μεθόδους προγραμματισμού-σχεδιασμού χρησιμοποιώντας υπολογιστές γραφείου. Το 1946 ήμουν μαθηματικός σύμβουλος στην Αμερικανική Αεροπορική Δύναμη Ελέγχου στο Πεντάγωνο. Μόλις είχα πάρει το διδακτορικό μου (για έρευνα που είχα κάνει κυρίως πριν από τον πόλεμο) και έψαχνα για ακαδημαϊκή θέση που θα πλήρωνε καλύτερα από μια χαμηλή προσφορά που είχα λάβει από το Berkeley. Για να με σαγηνεύσουν και να μην αναλάβω μια άλλη δουλειά, οι συνάδελφοι

9 Προβλήματα Βελτιστοποίησης 25 μου στο Πεντάγωνο, D. Hitchcook και Μ. Wood, με προκάλεσαν να δω τι θα μπορούσα να κάνω για να μηχανοποιήσω τη διαδικασία σχεδιασμού. Μου ζητήθηκε να βρω έναν τρόπο να αναπτύξω και να δοκιμάσω ένα ταχύτερο πρόγραμμα για επίλυση προβλημάτο^ν εφοδιαστικής με χρονικά- στάδια. Εκείνες τις μέρες η μηχανοποίηση του σχεδιασμού σήμαινε χρήση αναλογικών μηχανών ή μηχανισμού με διάτρητες κάρτες. Δ εν υπήρχαν ηλεκτρονικοί υπολογιστές. Αυτό το προκλητικό πρόβλημα έκανε τον Dantzig να ανακαλύψει τη σημαντική δουλειά του στον γραμμικό προγραμματισμό χωρίς τη χρήση ηλεκτρονικών υ πολογιστών. Αλλά, πρέπει να επισημάνουμε ότι λόγω της ραγδαίας ανάπτυξης της τεχνολογίας των υπολογιστών οι εφαρμογές του γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να γίνουν τόσο ευρείς και τόσο σπουδαίες, και οι περιοχές της βελτιστοποίησης μπορούν να έχουν τόσο γρήγορη ανάπτυξη. Το 1951, ο Albert Tucker και ο φοιτητής του Harold Kuhn δημοσίευσαν τις συνθήκες Kuhn-Tucker. Αυτό θεωρείται σαν το αρχικό σημείο του μη γραμμικού προγραμματισμού. Όμως, ο A. Takayam a στο βιβλίο του Μαϋη}ΐατικά Οικονομικά έχει ένα ενδιαφέρον σχόλιο για αυτές τις συνθήκες: Ό γραμμικός προγραμματισμός ξεκίνησε να ενδιαφέρεται για τους περιορισμούς στη μορφή ανισοτήτων και στη θεωρία των γραμμικών ανισοτήτων και των κυρτών συνόλων. Η μελέτη των Kuhn-Tucker εμφανίστηκε στη μέση αυτού του ενδιαφέροντος με την πλήρη αναγνώριση τέτοιων εξελίξεων. Όμως, η θεωρία του μη γραμμικού προγραμματισμού όταν οι περιορισμοί είναι όλοι στη μορφή ισοτήτων ήταν γνωστή για πολύ καιρό - στην πραγματικότητα, από τον Euler και τον Lagrange. Τους περιορισμούς ανισότητας χειρίστηκε με ένα σαφώς ικανοποιητικό τρόπο ήδη από το 1939 ο K arush. Η εργασία του K aru sh είναι προφανώς κάτω από την επίδραση μιας παρόμοιας δουλειάς στην ανάλυση διαφορών από τον Valentine. Δυστυχώς, η δουλειά του K arush αγνοήθηκε σημαντικά. Αυτή είναι άλλη μια ακόμα δουλειά που πρωτοεμφανίστηκε πριν το 1947 και αγνοήθηκε. Τη δεκαετία του 1960, οι G. Zoutendijk, J. Β. Rosen, P. Wolfe, Μ. J. Powell, και άλλοι δημοσίευσαν ένα αριθμό αλγορίθμων για την επίλυση μη γραμμικών προβλημάτων βελτιστοποίησης. Αυτοί οι αλγόριθμοι σχηματίζουν το κυρίως σώμα του μη γραμμικού προγραμματισμού. Σήμερα, η βελτιστοποίηση έχει γίνει μια πολύ μεγάλη περιοχή που περιλαμβάνει διαφορετικές αρχές μεταξύ των μαθηματικών, της επιστήμης των υπολογιστών, της επιστήμης της βιομηχανικής μηχανολογίας και της διοικητικής επιστήμης. Οι τεχνικές στη μη γραμμική βελτιστοποίηση χρησιμοποιούνται όχι

10 26 Μαθηματική Θεωρία Βελτιστοποίησης μόνο για την επίλυση προβλημάτων μη γραμμικής βελτιστοποίησης αλλά επίσης και για την επίλυση άλλων προβλημάτων, όπως προβλημάτων συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Στην πραγματικότητα, από την παρελθούσα και την τωρινή γρήγορη ανάπτυξη της τεχνολογίας υπολογιστών, η βελτιστοποίηση αναμένεται να συνεχίσει να εξελίσσεται με μεγάλη ταχύτητα και στο μέλλον. Αυτές οι εξελίξεις ίσως περιέχουν βαθιά κατανόηση των επιτυχημένων ευρετικών αλγορίθμων για τα προβλήματα συνδυαστικής βελτιστοποίησης με προσεγγίσεις μη γραμμικού προγραμματισμού. Όσο υπάρχουν ακόμα πολλά μυστήρια και ανοιχτά προβλήματα, θα είναι μια περιοχή που θα λαμβάνει μεγάλη προσοχή. Τα δύο προβλήματα που παρουσιάζονται στα επόμενα δύο υποκεφάλαια είναι διακριτά προβλήματα στη φύση. Δείχνουμε πως να τα επιλύσουμε με προσεγγίσεις μη γραμμικής βελτιστοποίησης.

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ένα παιχνίδι των πολυγώνων

Ένα παιχνίδι των πολυγώνων Ένα παιχνίδι των πολυγώνων Το παιγνίδι αυτό, αναπτύχθηκε στα πλαίσια του μαθήματος πληροφορικής της Γ τάξης, στην ενότητα που αφορά στο σχεδιασμό πολυγώνων, απ όλα τα παιδιά, της Γ τάξης του σχολείου μας.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης ΕΣΠΑ 2007-13\Ε.Π. Ε&ΔΒΜ\Α.Π. 1-2-3 «ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (Σχολείο 21 ου αιώνα) Νέο Πρόγραμμα Σπουδών, Οριζόντια Πράξη» MIS: 295450 Με συγχρηματοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης (Ε. Κ. Τ.) Το νέο Πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 10 Η ενότητα 7 περιλαμβάνει την ανάλυση και τη σύνθεση των αριθμών μέχρι το 10, στρατηγικές πρόσθεσης/αφαίρεσης και επίλυση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. ΔΕΙΚΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON 1 ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON Τι είναι «δύναμη»; Θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι ο όρος «δύναμη» στη Φυσική έχει αρκετά διαφορετική σημασία από ότι στην καθημερινή γλώσσα. Εκφράσεις όπως «τον χτύπησε με δύναμη»,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

Πατώντας την επιλογή αυτή, ανοίγει ένα παράθυρο που έχει την ίδια μορφή με αυτό που εμφανίζεται όταν δημιουργούμε μία μεταβλητή.

Πατώντας την επιλογή αυτή, ανοίγει ένα παράθυρο που έχει την ίδια μορφή με αυτό που εμφανίζεται όταν δημιουργούμε μία μεταβλητή. Λίστες Τι είναι οι λίστες; Πολλές φορές στην καθημερινή μας ζωή, χωρίς να το συνειδητοποιούμε, χρησιμοποιούμε λίστες. Τέτοια παραδείγματα είναι η λίστα του super market η οποία είναι ένας κατάλογος αντικειμένων

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Μέρος b: Συμβατικές Μέθοδοι συνέχεια Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Στόχος βελτιστοποίησης:

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1)

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) 6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) Προχωρημένος Προγραμματισμός με Logo Δομή επιλογής Αν & ΑνΔιαφορετικά Στην δραστηριότητα που ακολουθεί, θα προσπαθήσουμε να βρούμε την απόλυτη τιμή ενός αριθμού,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 6η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 17.05.12 Χ. Χαραλάμπους (1791-1858) 1858) Peacock: «Treatise on Algebra»(1830) και αργότερα μετά το 1839 την «αριθμητική άλγεβρα» και στην «συμβολική άλγεβρα». «αριθμητική άλγεβρα»:

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan)

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) On-the-fly feedback, Upper Secondary Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) Τάξη: Β Λυκείου Διάρκεια ενότητας Μάθημα: Φυσική Θέμα: Ταλαντώσεις (αριθμός Χ διάρκεια μαθήματος): 6X90

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΥΛΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ή ΚΑΙ ΑΛΛΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ

1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΥΛΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ή ΚΑΙ ΑΛΛΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ 1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΥΛΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ή ΚΑΙ ΑΛΛΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 «Μαθαίνω στη γάτα να σχεδιάζει» Δραστηριότητα 1 Παρατηρήστε τις εντολές στους παρακάτω πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Το πρόβλημα που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος επιστήμονας Ανρί Πουανκαρέ αφορά την Τοπολογία, ένα κλάδο των Μαθηματικών που δεν ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 5

ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 5 ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 5 1. Ένα κιβώτιο µάζας 60kg συγκρατείται από ένα ελατήριο σταθεράς k=4.00 10 3 Ν/m) το οποίο είναι συµπιεσµένο οριζόντια κατά ένα µήκος 1.5m. Το κιβώτιο αφήνεται ελεύθερο τη χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ.) Τ ι γνωρίζετε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Σε πολλές περιπτώσεις ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, δηλαδή συμμετέχει σε περισσότερες από μία κινήσεις. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα.

Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 10 Η ενότητα 7 περιλαμβάνει τους διαμερισμούς και τη σύνθεση των αριθμών μέχρι το 10, στρατηγικές πρόσθεσης/αφαίρεσης και επίλυση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης.

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0 Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 66 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2006

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 66 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2006 Ο ΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕ ΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕ ΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούµε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους µαθητές.. Οι επιτηρητές των αιθουσών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1)

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1) ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1) 1 Προέλευση και ιστορία της Επιχειρησιακής Έρευνας Αλλαγές στις επιχειρήσεις Τέλος του 19ου αιώνα: βιομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α.Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ - Εισαγωγικές έννοιες - Ταξινόμηση προβλημάτων - Παραδείγματα ΠΕΡΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1, Σ 2... Σ N p 1, p 2,... p N k 1, k 2... k n

Σ 1, Σ 2... Σ N p 1, p 2,... p N k 1, k 2... k n Υπολογιστική Γεωμετρία (σημειώσεις διαλέξεων ) Διδάσκων: Ι.Εμίρης Πέμπτη, 7 Απριλίου 2016 1 Ζητήματα πολυπλοκότητας 1. ΚΠ2 Τομή ημιεπιπέδων 2. ΚΠ3, ΚΠd n [d/2+1] (worst case) - Αλλά!! Αν έχουμε σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

4. Σώμα Σ 1 μάζας m 1 =1kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ=30 ο. Το σώμα Σ 1 είναι δεμένο στην άκρη

4. Σώμα Σ 1 μάζας m 1 =1kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ=30 ο. Το σώμα Σ 1 είναι δεμένο στην άκρη 1. Δίσκος μάζας Μ=1 Kg είναι στερεωμένος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=200 N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Πάνω στο δίσκο κάθεται ένα πουλί με μάζα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΡΙΝΑ ΓΙΩΤΗ: «Η επιτυχία της Στιγμούλας, μου δίνει δύναμη να συνεχίσω και να σπρώχνω τα όριά μου κάθε φορά ακόμα παραπέρα»

ΜΑΡΙΝΑ ΓΙΩΤΗ: «Η επιτυχία της Στιγμούλας, μου δίνει δύναμη να συνεχίσω και να σπρώχνω τα όριά μου κάθε φορά ακόμα παραπέρα» Ημερομηνία 27/11/2015 Μέσο trikalakids.gr Συντάκτης Link http://www.trikalakids.gr/bookcorner/%ce%bc%ce%b1%cf%81%ce%b9%ce%bd %CE%B1-%CE%B3%CE%B9%CF%89%CF%84%CE%B7-%CE%B7- %CE%B5%CF%80%CE%B9%CF%84%CF%85%CF%87%CE%AF%CE%B1-

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20

Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20 Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων Ισαάκ Η Λαγαρής 1 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιον Ιωαννίνων 1 Με υλικό από το υπό προετοιμασία βιβλίο των: Βόγκλη,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Οι νόμοι της κίνησης

Κεφάλαιο 4. Οι νόμοι της κίνησης Κεφάλαιο 4 Οι νόμοι της κίνησης Οι νόμοι της κίνησης Μέχρι τώρα, περιγράψαμε την κίνηση ενός σώματος συναρτήσει της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσής του. Δεν λάβαμε υπόψη μας τι μπορεί να επηρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Δημιουργία σύνδεσης... 27 5. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ ΚΑΙ ΤΙ ΤΟΠΟΘΕΣΙΕΣ ΙΣΤΟΥ... 37. Γνωριμία με μια ιστοσελίδα:... 38

Περιεχόμενα. Δημιουργία σύνδεσης... 27 5. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ ΚΑΙ ΤΙ ΤΟΠΟΘΕΣΙΕΣ ΙΣΤΟΥ... 37. Γνωριμία με μια ιστοσελίδα:... 38 Περιεχόμενα ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ... 13 1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ... 15 2. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ INTERNET;... 16 3. ΤΙ ΠΡΟΣΦΕΡΕΙ ΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ, ΤΙ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΒΡΕΙ ΚΑΝΕΙΣ... 19 4. ΤΙ ΑΠΑΙΤΕΙΤΑΙ ΓΙΑ ΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Μάθημα Κίνηση στο επίπεδο

2 ο Μάθημα Κίνηση στο επίπεδο ο Μάθημα Κίνηση στο επίπεδο Διανύσματα διάνυσμα θέσης διάνυσμα μετατόπισης σώματος διάνυσμα ταχύτητας διάνυσμα επιτάχυνσης κίνηση βλήματος ανάλυση κίνησής του σε οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα ομαλή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα