Εργασία για το μάθημα «Γραμμικός και μη προγραμματισμός Βελτιστοποίηση»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εργασία για το μάθημα «Γραμμικός και μη προγραμματισμός Βελτιστοποίηση»"

Transcript

1 Εργασία για το μάθημα «Γραμμικός και μη προγραμματισμός Βελτιστοποίηση» Διδάσκων: Ε. Χαρμανδάρης Θέμα: «Το πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή, ακριβείς, ευριστικές και ενδιαφέρουσες λύσεις» Φώτογλου Ιωακείμ, 3452, Τμήμα Μαθηματικών Χειμερινό Εξάμηνο

2 1 Περιεχόμενα Το πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή Τύποι αλγορίθμων για την επίλυση του προβλήματος o Ακριβείς αλγόριθμοι Ο αλγόριθμος του τετμημένου επιπέδου (cutting-plane algorithm) Ο αλγόριθμος εύρεσης όψεων (facet-finding algorithm) o Ευριστικοί (heuristic) αλγόριθμοι Ο άπληστος αλγόριθμος (greedy algorithm) Ο αλγόριθμος 2-opt Απόδειξη ύπαρξης λύσης σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων Άλλες ενδιαφέρουσες λύσεις και η μαθηματική τους μοντελοποίηση o Η λύση της αποικίας μυρμηγκιών (ant colony) o Η brute-force λύση Πηγές

3 2 Το πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή Ένα απο τα κατ εξοχήν πρακτικά προβλήματα των μαθηματικών με επεκτάσεις σε πολλούς άλλους τομείς. Ορίζεται απο την Oxford Dictionary σαν «Ένα μαθηματικό πρόβλημα στο οποίο πρέπει να βρεθεί ποιά είναι η συντομότερη διαδρομή που διασχίζει ένα σύνολο απο σημεία με έναν και μόνο έναν τρόπο» [1] Ο ορισμός του προβλήματος του περιπλανώμενου πωλητή δώθηκε τον 19 ο αιώνα απο τον Ιρλανδό μαθηματικό William R. Hamilton και τον Άγγλο μαθηματικό Thomas P. Kirkman. Στην δεκαετία του 20, ο μαθηματικός και οικονομολόγος Karl Menger το έφερε στο προσκήνιο ανάμεσα στους συναδέλφους του στη Βιέννη. Κατα την δεκαετία του 1930 το πρόβλημα επανήλθε στο προσκύνιο στους μαθηματικούς κύκλους του Princeton ενώ το 40 μελετήθηκε απο στατιστικούς στα πλαίσια της πρακτικής εφαρμογής του στην αγροτική παραγωγή [2] Το πρόβλημα αυτό είναι ένα απο τα εμβληματικότερα προβλήματα στην συνδιαστική βελτιστοποίηση (combinatorial optimization), την επιχειρησιακή έρευνα και την επιστήμη των υπολογιστών με πολύ σημαντικές οικονομικές και πρακτικές προεκτάσεις. Η εύρεση βέλτιστων λύσεων αποτελεί αντικείμενο μεγάλου ενδιαφέροντος απο επιχειρήσεις οι οποίες είναι αναγκασμένες να διατηρούν ένα μεγάλο δίκτυο διανομής καθώς η εξεύρεση καλύτερων λύσεων οδηγεί σε σημαντική οικονομία σε καύσιμα και ελαχιστοποίηση των χρόνων διανομής. Υπολογιστικά, το πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή, είναι ένα πρόβλημα NP-hard (Non-deterministic Polynomial-time hard). Τα προβλήματα αυτού του τύπου ονομάζονται έτσι γιατί οι αλγόριθμοι για την επίλυσή τους μπορούν να μεταφραστούν σε αλγόριθμους για τη λύση οποιουδήποτε NP προβλήματος. Πρακτικά αυτό σημαίνει πως τα προβλήματα NP-hard είναι εξίσου, αν όχι περισσότερο, δύσκολα απο οποιοδήποτε πρόβλημα NP. Η ιδιαιτερότητα τέτοιου τύπου προβλημάτων είναι η ραγδαία αύξηση του χρόνου επίλυσης με κάθε προσθήκη. Με τον αλγόριθμο brute-force που

4 3 αναλύουμε παρακάτω, αν δεχτούμε πως ένα πρόβλημα περιπλανώμενου πωλητή με 20 πόλεις χρειάζεται ένα δευτερόλεπτο για να επιλυθεί απο έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή τότε ένα πρόβλημα με 22 πόλεις θα απαιτούσε περίπου 7 λεπτά (420 δευτερόλεπτα, με υπολογισμούς το δευτερόλεπτο). Αν οι πόλεις αυξηθούν μόλις σε 30, δηλαδή γίνουν μόνο 50% περισσότερες απο τις αρχικές ο υπολογισμός θα απαιτήσει που με τον ίδιο υπολογιστή θα ολοκληρωθούν σε δευτερόλεπτα ή σε πιο κατανοητά απο τον άνθρωπο πλαίσια σε μόλις... 2,3 εκατομμύρια χρόνια. Αν το πρόβλημα λυθεί με χρήση δυναμικού προγραμματισμού ο χρόνος που απαιτείται μειώνεται δραστικά, αλλά ακόμη και οι καλύτερες προσεγγίσεις απαιτούν εκθετικό χρόνο (2 n ). Έτσι στις παραπάνω συνθήκες με χρήση δυναμικού προγραμματισμού το πρόβλημα με τις 30 πόλεις μπορεί να λυθεί σε περίπου 10 λεπτά αντί για 2,3 εκατομμύρια χρόνια. Όσο εντυπωσιακή και αν είναι αυτή η μείωση όμως, αν συνεχίσουμε να αυξάνουμε τον αριθμό των πόλεων πολύ σύντομα οι χρόνοι επίλυσης γίνονται και πάλι τεράστιοι για την ανθρώπινη κλίμακα. Ένα πρόβλημα 60 πόλεων για παράδειγμα θα απαιτήσει χρόνια για την επίλυση του.[8]

5 4 Τύποι αλγορίθμων για την επίλυση του προβλήματος Μπορούμε να διαχωρίσουμε τις προσεγγίσεις των λύσεων στο πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή σε δύο είδη: Ακριβείς αλγόριθμοι: Οι αλγόριθμοι που είναι βέβαιο πως βρίσκουν την ακριβή λύση του προβλήματος. Συνήθως απαιτούν εξαιρετικά μεγάλη επεξεργαστική ισχύ ώστε να καταλήξουν σε λύση μέσα σε φυσιολογικά χρονικά πλαίσια. Ευριστικοί (heuristic) αλγόριθμοι: Αλγόριθμοι οι οποίοι βρίσκουν καλές λύσεις στο πρόβλημα, όμως δεν εγγυώνται ότι θα βρεθούν ακριβείς (βέλτιστες) λύσεις. Ακριβείς Αλγόριθμοι Δύο πολύ αποτελεσματικοί ακριβείς αλγορίθμοι είναι ο αλγόριθμος του τετμημένου επιπέδου (cutting-plane algorithm) και ο αλγόριθμος εύρεσης όψεων (facet-finding algorithm) [4]. Μια εξίσου ενδιαφέρουσα, αν και όχι τόσο πρωτότυπη, λύση είναι ο αλγόριθμος brute-force που βρίσκει λύσεις στο πρόβλημα αθροίζοντας όλες τις αποστάσεις και στη συνέχεια επιλέγει τη μικρότερη. Οι δύο πρώτοι αλγόριθμοι θα αναφερθούν περιγραφικά μιας και η υλοποιησή τους είναι εξαιρετικά σύνθετη και ξεφεύγει κατα πολύ απο τα πλαίσια αυτής της εργασίας, ο τρίτος οστόσο αναλύεται σε παρακάτω ενότητα με λεπτομέρεια. ο αλγόριθμος του τετμημένου επιπέδου (cutting-plane algorithm) Ο αλγόριθμος τετμημένου επιπέδου (γνωστός και ως Dantzig, Fulkerson, and Johnson's Cutting-Plane Method) είναι μια προσέγγιση με χρήση γραμμικού προγραμματισμού που εφευρέθηκε το 1954 απο τους George Dantzig, Ray Fulkerson και Selmer Johnson. Η υλοποίησή τους [5] ακολουθεί παρακάτω: Κάθε αντικείμενο ΠΠΠ με n πόλεις μπορεί να οριστεί σαν ένα διάνυσμα με μήκος n(n-1)/2 (του οποίου οι συνιστώσες, κατανεμημένες απο τις άκρες του πλήρους γραφήματος, ορίζουν το κόστος) και κάθε διαδρομή μέσα απο τις

6 5 n πόλεις μπορεί να αναπαρασταθεί σαν διεύθυνση διανύσματος μήκους n(n- 1)/2 (με κάθε συνιστώσα ορισμένη στο 1 αν η αντίστοιχη άκρη είναι μέρος της διαδρομής και 0 αλλιώς). Αν το c T δηλώνει το διάνυσμα κόστους (σαν διάνυσμα γραμμής) και αν το S υποδηλώνει το σύνολο των φορέων (σαν στήλη διανυσμάτων πρόσπτωσης) όλων των διαδρομών, τότε το πρόβλημα είναι: ελαχιστοποίηση του c T x υποκείμενο σε x S (1) Οι Dantzig, Fulkerson, και Johnson αντί να ξεκινήσουν με το πρόβλημα που ήθελαν να λύσουν, ξεκίνησαν με το παρακάτω πρόβλημα που μπορούσαν να λύσουν: ελαχιστοποίηση του c T x υποκείμενο σε Ax b (2) με κάποιο κατάλληλα επιλεγμένο σύστημα Ax τα x στο S. b που ικανοποιείται από όλα Δεδομένου οτι το (2) είναι relaxation του (1) με την έννοια πως κάθε εφικτή λύση στο (1) είναι εφικτή λύση του (2), η βέλτιστη λύση του (2) επιστρέφει ένα κάτω φράγμα στην βέλτιστη λύση του (1). Η ιδέα των Dantzig, Fulkerson, και Johnson είναι πως η επίλυση του (2) μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση του (1) με έναν πολύ πιο ουσιαστικό τρόπο απο το να παρέχει απλά ένα κάτω φράγμα: Είναι χαρακτηριστικό της μεθόδου simplex πως η λύση x* που βρίσκει είναι ένα ακραίο σημείο του πολύεδρου που ορίζεται απο το Ax b, για την ακρίβεια αν το x* δεν είναι ένα απο τα σημεία στο S τότε βρίσκεται έξω απο το κυρτό κέλυφος του S. Σε αυτή την περίπτωση το x* μπορεί να χωριστεί απο το S με ένα υπερεπίπεδο (hyperplane): κάποια γραμμική ανίσωση που ικανοποιείται απο όλα τα σημεία στο S και παραβιάζεται από το x*. Μια τέτοια ανίσωση λέγεται τετμημένο επίπεδο (cutting plane) ή τομή (cut). Έχοντας βρεί μια τομή, αυτή μπορεί να προστεθεί στο σύστημα Ax b, μέσω της μεθόδου simplex να λυθεί η tighter relaxation που προκύπτει και στη συνέχεια αυτή η διαδικασία να επαναληφθεί μέχρι να βρεθεί μια relaxation του (2) με μια βέλτιστη λύση στο S.

7 6 ο αλγόριθμος εύρεσης όψεων (facet-finding algorithm) Για να γίνει κατανοητή αυτή η προσέγγιση της λύσης στο πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή είναι αναγκαίο να γίνει μια εισαγωγή στην έννοια των όψεων (facets) ώστε να μπορέσει να γίνει κατανοητή η εφαρμογή τους ενώ ταυτόχρονα, προκειμένου να εξηγήσουμε την έννοια της όψης, είναι απαραίτητο να εισάγουμε πολύ επιφανειακά, την έννοια του πολύτοπου (polytope). Ένα πολύτοπο λοιπόν, είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο, με επίπεδες πλευρές, που υπάρχει σε οποιονδήποτε γενικό αριθμό n διαστάσεων. Μια όψη (facet) είναι η ( n 1) όψη (face) ενός n-διάστατου πολύτοπου [6]. Όταν οι εφικτές λύσεις ενός προβλήματος συνδυαστικής βελτιστοποίησης κωδικοποιηθούν σαν σημεία 0/1 στον χώρο R d αποδίδουν ένα πολύτοπο που είναι το κυρτό κέλυφος (convex hull) των αποδιδόμενων σημείων. Η λύση μιας υπόστασης (instance) του προβλήματος τότε, αντιστοιχεί στην βελτιστοποίηση μιας γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης (linear objective function) πάνω απο αυτό το πολύτοπο [7, p1.1 From Problems to Polytopes ]. Με δεδομένα τα παραπάνω, το σύνολο των εφικτών λύσεων στο πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή, μπορούν να απεικονιστούν σαν το κυρτό κέλυφος όλων των σημείων n 2 x {0,1} που αντιστοιχούν σε έναν Χαμιλτονιανό κύκλο στο πλήρες n-vertex γράφημα K n.

8 7 Ευριστικοί (heuristic) αλγόριθμοι Όπως είδαμε στην εισαγωγή, το πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή είναι ένα πρόβλημα το οποίο απαιτεί εξαιρετικά αυξημένη υπολογιστική ισχύ για να βρεθούν ακριβείς λύσεις σε λογικά χρονικά διαστήματα. Ωστόσο, οι ακριβείς λύσεις δεν είναι πάντα αναγκαίες, σε κάποιες περιπτώσεις ακόμα και λύσεις αρκετά κοντά στην βέλτιστη μας δίνουν μια επαρκώς καλή διαδρομή με σαφώς μικρότερο κόστος σε υπολογιστική ισχύ και χρόνο. Τέτοιοι αλγόριθμοι που βρίσκουν καλές λύσεις αλλά δεν εγγυώνται οτι θα βρεθούν ακριβείς (βέλτιστες) λύσεις ονομάζονται ευριστικοί αλγόριθμοι. Παρακάτω, αναλύουμε δύο απο αυτούς, τον άπληστο αλγόριθμο (greedy algorithm) και τον αλγόριθμο 2-opt. Εξετάζουμε τις προσεγγίσεις τους στο πρόβλημα, τις λύσεις που παρέχουν αλλά και τις απαιτήσεις τους σε υπολογιστική ισχύ. ο άπληστος αλγόριθμος (greedy algorithm) Η λογική του άπληστου αλγόριθμου βασίζεται στη λήψη της βέλτιστης λύσης για κάθε ξεχωριστό στάδιο[9]. Σε ότι αφορά το πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή αυτό εντοπίζεται κυρίως στην επιλογή της πόλης με την μικρότερη απόσταση απο την τρέχουσα. Έτσι, ο αλγόριθμος θα ξεκινήσει απο την πρώτη πόλη, θα επιλέξει την πλησιέστερη και θα «κατευθυνθεί» εκεί. Στη συνέχεια θα επιλέξει την πλησιέστερη σε αυτή πόλη, εξαιρουμένων όσων πόλεων έχει επισκεφτεί ήδη, και επαναλαμβάνοντας αυτή την διαδικασία θα καταλήξει σε μια αρκετά καλή λύση του προβλήματος. Είναι αρκετά εύκολο να υπολογίσουμε το κόστος του άπληστου αλγόριθμου: Αν υποθέσουμε πως αναφερόμαστε σε ένα σύνολο n πόλεων τότε αρχικά θα εξεταστούν οι αποστάσεις απο την πρώτη πόλη προς την κάθε μια απο τις επόμενες πάντα σε ευθεία γραμμή. Αυτό μας δίνει να συγκρίνουμε (n-1) αποστάσεις και να επιλέξουμε την ελάχιστη εξ αυτών. Μπορούμε να το εκφράσουμε μοντελοποιημένα ως εξής: D1 : min d2, d3,..., dn

9 8 Όπου με D 1 ορίζουμε την ελάχιστη απόσταση της πρώτης πόλης απο την αμέσως επόμενη και με d i συμβολίζουμε την απόσταση της πόλης i απο την τρέχουσα πόλη. Να σημειωθεί πως εδώ ο όρος i-οστή πόλη είναι συμβολικός και δεν έχει σχέση με την ονοματοδοσία των πόλεων (δηλαδή για παράδειγμα η d 2 δεν συμβολίζει κάποια προκαθορισμένη «2 η πόλη» αλλά συμβολίζει την απόσταση απο την 2 η πόλη στην οποία θα κατευθυνθούμε στη συνέχεια). Έχοντας υπολογίσει την ελάχιστη απόσταση μέχρι την επόμενη πόλη, ο αλγόριθμος κάνει το ίδιο και για την πόλη που αντιστοιχεί στην ελάχιστη αυτή απόσταση: D2 d3 d4 d n : min{,,..., } Βρίσκοντας έτσι την πόλη πλησιέστερα στην δεύτερη που επιλέξαμε πριν. O αλγόριθμος ολοκληρώνεται στην D n-1 επανάληψη έχοντας βρεί την τελική πόλη ή στην n επανάληψη αν θέλουμε το τελικό αποτέλεσμα να εμπεριέχει και την διαδρομή απο την τελική προς την αρχική πόλη. Το τελικό κόστος σε πράξεις λοιπόν είναι: n 1 n ( n 1) ( n 2) k n( n 1) 2 Που για παράδειγμα μπορεί να υπολογίσει μια αρκετά καλή διαδρομή 60 πόλεων σε μερικά μόλις κλάσματα του δευτερολέπτου (1.830 υπολογισμοί), σε πολύ λιγότερο δηλαδή απο ότι οι ακριβείς αλγόριθμοι που περιγράψαμε παραπάνω και ο brute-force αλγόριθμος που ακολουθεί σε επόμενη ενότητα. k 1 ο αλγόριθμος 2-opt Ένας ακόμη ευριστικός αλγόριθμος, με μια τελείως διαφορετική προσέγγιση απο τον άπληστο είναι ο λεγόμενος αλγόριθμος 2-opt (2-opt algorithm). Η προσέγγιση που ακολουθεί για την εύρεση καλών λύσεων στο πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή είναι η εξής: Αρχικά, επιλέγεται ένα μονοπάτι που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του προβλήματος, δηλαδή ξεκινάει απο μια αρχική πόλη, περνάει απο όλες τις πόλεις ακριβώς μια φορά και αφού τις διασχίσει όλες καταλήγει πάλι στην αρχική πόλη. Το μονοπάτι αυτό μπορεί να είναι ένα τυχαίο, σε περίπτωση που ο αλγόριθμος 2-opt εφαρμόζεται αποκλειστικά, ή ένα ήδη υπολογισμένο καλό

10 9 μονοπάτι σε περίπτωση που συνδυάζεται με μια ήδη υπολογισμένη καλή λύση απο άλλον αλγόριθμο (λχ τον άπληστο αλγόριθμο που είδαμε παραπάνω). Γενικά στην περίπτωση που έχουμε ήδη ένα καλό μονοπάτι ο αλγόριθμος 2- opt βρίσκει καλές λύσεις πολύ πιο γρήγορα από ότι αν ξεκινήσει με μια τυχαία επιλογή διαδρομής. Στη συνέχεια, ο αλγόριθμος εναλλάσει ζευγάρια συνδέσμων ανα δύο (εξ ου και η ονομασία του το 2-opt), προσαρμόζει κατάλληλα την διαδρομή, μιας και στις περιπτώσεις που δύο μονοπάτια τέμνονται είναι πολύ πιθανό η πορεία να χρειαστεί να αλλάξει διεύθυνση και ακολούθως υπολογίζει αν η απόσταση μειώθηκε. Δυστυχώς δεν υπάρχει εύκολος τρόπος να υπολογιστεί το πλήθος των πράξεων που απαιτούνται για να βρεθεί μια καλή λύση με την προσέγγιση αυτή. Θεωρητικά αν ο αλγόριθμος αφεθεί να τρέξει θα καταλήξει να δοκιμάσει όλες τις δυνατές εναλλαγές ανα ζεύγη αλλά αυτό θα απαιτήσει πολυωνυμικό χρόνο κάνοντας την μέθοδο αυτή άχρηστη. Οστόσο, με μικρότερο χρόνο εκτέλεσης προκύπτουν επαρκώς καλές λύσεις. Γενικά οι μέθοδοι k-opt δίνουν λύσεις που εκτιμάται πως βρίσκονται απο 2-5% κοντά στο φράγμα Held-Karp [10]. Ένα απλό παράδειγμα εναλλαγής ζυγών της μεθόδου 2-opt φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, για το οποίο πρέπει να σημειωθεί πως η φορά της διαδρομής αλλάζει μετά την εναλλαγή των κόμβων [11]:

11 10 Απόδειξη ύπαρξης λύσης σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων Για n πεπερασμένο πλήθος πόλεων, θδο πεπερασμένο πλήθος διαδρομών μεταξύ των πόλεων. Πράγματι, μπορούμε δίχως βλάβη της γενικότητας να θεωρήσουμε πως οι πόλεις είναι σημεία σε ένα επίπεδο του χώρου 2, κάθε σημείο (πόλη) αυτού του χώρου μπορεί να συνδεθεί με άπειρους τρόπους με ένα άλλο σημείο ο συντομότερος απο τους οποίους είναι η ευθεία. Εύκολα παρατηρούμε πως όταν έχουμε περισσότερες πόλεις, οι δυνατοί συνδυασμοί ευθείων διαδρομών μεταξύ τους ώστε να έχουμε διέλευση απο όλες τις πόλεις μόνο μια φορά και τελικά να επιστρέψουμε στην αρχική πόλη είναι: Πόλεις (πλήθος) n Δυνατές διαδρομές κ 2 2! (2) 3 3! (6) 4 4! (24) 5 5! (120) n n! Έχουμε δηλαδή μια παραγοντική αύξηση των διαδρομών. Γενικά, με δεδομένο πως θα περάσουμε απο κάθε πόλη μόνο μια φορά, και πως θα ξεκινήσουμε και θα καταλήξουμε στην αρχική πόλη τότε ξεκινώντας απο την πρώτη πόλη έχουμε (n-1) διαθέσιμες επιλογές, όταν επιλέξουμε μία και κατευθυνθούμε εκεί πλέον υπάρχουν (n-2) διαθέσιμες διαδρομές, στη συνέχεια (n-3) μέχρι τελικά να έχουμε εξαντλήξει τις πόλεις και η μόνη διαδρομή που να απομένει να είναι προς την αρχική πόλη.

12 11 Η άνωθεν παρατήρηση είναι γνωστή απο την συνδυαστική ως ο κανόνας του γινομένου (rule of product). Εφαρμόζοντας αυτόν τον κανόνα και με επαγωγή θα αποδείξουμε τον παραπάνω ισχυρισμό, ότι δηλαδή για n πλήθος πόλεων υπάρχουν n! διαδρομών που τις συνδέουν: Ελέγχω οτι ισχύει για 1 πόλη (σημ. 1 πόλη εδώ σημαίνει 1 πόλη πέραν της αρχικής δηλαδή δύο πόλεις): ! Υποθέτω οτι ισχύει για x πόλεις, ότι δηλαδή: x ( x 1) ( x 2) x! Θα αποδείξω ότι ισχύει για x+1 πόλεις, ότι δηλαδή: ( x 1) x ( x 1) ( x 2) ( x 1)! Πράγματι: ( x 1) x ( x 1) ( x 1)! ( x 1) x( x 1) ( x 2) ( x 1) x! x ( x 1) ( x 2) x! Που ισχύει λόγω του 2 ου βήματος. Αφού υπάρχει πεπερασμένο πλήθος διαδρομών, υπάρχει τουλάχιστον μία διαδρομή min i i min και άρα το πρόβλημα έχει τουλάχιστον μία άριστη λύση.

13 12 Ενδιαφέρουσες λύσεις και η μαθηματική τους μοντελοποίηση Η λύση της αποικίας μυρμηγκιών (ant colony) Μια απο τις πιο προτότυπες λύσεις του προβλήματος είναι αυτή που έχουν εφαρμόσει τα μυρμήγκια για την εύρεση της βέλτιστης διαδρομής απο την φωλιά τους προς τα σημεία που βρίσκεται τροφή. Αυτός ο τρόπος επίλυσης έχει μοντελοποιηθεί απο τον ερευνητή τεχνητής νοημοσύνης Marco Dorigo και τον Luca Maria Gambardell οι οποίοι το 1997 περιέγραψαν μια μέθοδο παραγωγής καλών ευριστικών (heuristic) λύσεων στο πρόβλημα του περιπλανόμενου πωλητή χρησιμοποιώντας μια εξομοίωση αποκίας μυρμήγκιών[3]. Η μοντελοποίηση βασίζεται στην εξομοίωση της συμπεριφοράς πραγματικών μυρμήγκιών τα οποία ακολουθούν τις φερορμόνες που εκκρίνουν άλλα μυρμήγκια για να φτάσουν στην τροφή. Η διαδικασία με την οποία γίνεται αυτό είναι καλύτερα κατανοητή αν εξηγήσουμε πως εφαρμόζεται αυτή η προσέγγιση πάνω στο ελάχιστο μονοπάτι (shortest path): Τα μυρμήγκια διασπείρονται σε αναζήτηση τροφής, όταν ένα μυρμήγκι φεύγει απο τη φωλιά αφήνει ένα ίχνος (μονοπάτι) απο φερορμόνη η ένταση της οποίας εξασθενεί με το χρόνο. Όταν το μυρμήγκι εντοπίσει μια εστία τροφής επιστρέφει στη φωλιά συνεχίζοντας να εκκρίνει τη φερορμόνη. Η ίδια εστία τροφής εντοπίζεται και απο άλλα μυρμήγκια τα οποία επίσης επιστρέφουν στη φωλιά. Καθώς το πλήθος των μυρμηγκιών που κατευθύνεται προς την τροφή αυξάνεται, η συντομότερη διαδρομή διασχίζεται συχνότερα και άρα η συγκέντρωση της φερορμόνης σε εκείνο το μονοπάτι γίνεται ισχυρότερη. Επειδή τα μυρμήγκια έχουν αναπτύξει την φυσική τάση να ακολουθούν την φερορμόνη που εναποτίθεται απο άλλα μυρμήγκια, το πλήθος των μυρμηγκιών που ακολουθεί αυτή τη συντομότερη διαδρομή συνεχώς αυξάνεται μέχρι που τελικά σχηματίζεται ένα μονοπάτι απο μυρμήγκια που κινούνται απο και προς την ίδια κατεύθυνση. Τα παρακάτω σχήματα δίνουν μια γραφική εξέλιξη της προσέγγισης αυτής:

14 13

15 14

16 15 Η εφαρμογή αυτής της προσέγγισης στο πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή έχει παρόμοιο υπόβαθρο. Ωστόσο αντί για τις σχετικά πιο απλές διαδρομές απο μια εστία τροφής προς την φωλιά των μυρμηγκιών έχουμε πλέον πολλούς κόμβους (πόλεις) ενώ αντί για εκκίνηση απο ένα μοναδικό αρχικό σημείο (ισοδύναμο της φωλιάς στο παραπάνω παράδειγμα) τα μυρμήγκια διασπείρονται σε τυχαίες πόλεις και αφήνονται να χαράξουν τα μονοπάτια προς μια πόλη που ορίζεται σαν αρχική-τελική. Συμπληρωματικά, ρυθμίζονται παράμετροι όπως ο ρυθμός έκκρισης και εξάτμησης του φερορμονικού ίχνους, το μέγεθος του πληθυσμού, μέχρι και ενδεχομένως κάποια εμπόδια τα οποία πρέπει να προσπεραστούν. Αυτό το τελευταίο μάλιστα έχει και ενδιαφέρουσες πρακτικές εφαρμογές καθώς το ισοδύναμο τέτοιων εμποδίων στην πραγματικότητα μπορεί να είναι φαράγγια, λίμνες ή άλλα φυσικά εμπόδια που εμποδίζουν την μετακίνηση σε ευθείες γραμμές όπως πολλές φορές υποθέτουμε στα θεωρητικά μοντέλα. Αξίζει να σημειωθεί μια ακόμη ενδιαφέρουσα πλοκή που αφορά τη μέθοδο βελτιστοποίησης αποικίας μυρμηγκιών: υπάρχει η δυνατότητα ρύθμισης της προτεραιότητας κάποιων κόμβων έναντι άλλων με χρήση συντελεστών βαρύτητας κάτι το οποίο θα απαιτούσε εξαιρετικά αυξημένο υπολογιστικό κόστος για να ενσωματωθεί σε κάποιον απο τους προαναφερθέντες ακριβείς τρόπους επίλυσης, αλλά επηρεάζει πολύ λιγότερο αυτήν τη μέθοδο. Αυτό το σημείο εμπλέκει τη λύση του προβλήματος του περιπλανώμενου πωλητή με ένα άλλο σημαντικό πρόβλημα της συνδυαστικής βελτιστοποίησης, το λεγόμενο πρόβλημα του σακιδίου (knapsack problem)

17 16 Η brute-force λύση H πιο κοινότυπη, αλλά και υπολογιστικά πολυδάπανη προσέγγιση που όμως -εφόσον ολοκληρωθεί σε λογικό χρονικό διάστημα- επιστρέφει πάντα την άριστη λύση. Βασίζεται στον υπολογισμό όλων των αποστάσεων σε όλες τις δυνατές διαδρομές και τη σύγκριση μεταξύ τους. Ένας τρόπος να μοντελοποιήσουμε την brute-force διαδικασία είναι ο εξής: Αν θεωρήσουμε i το συνολικό μήκος της i διαδρομής τότε για n πλήθος κόμβων το min min{ 1, 2,..., n }, το οποίο βέβαια σημαίνει πως θα πρέπει να υπολογίσουμε όλες τις αποστάσεις στο σχήμα. Ένα παράδειγμα της διαδικασίας για το παρακάτω σχήμα: Αφού η αρχική πόλη (Α) είναι και η τελική πόλη, όλοι οι συνδυασμοί θα είναι της μορφής ΑxxxA, με αναδιατάξεις στο ενδιάμεσο, οι συνδυασμοί που περιέχουν εσωτερικά όλες τις πόλεις Β,Γ και Δ είναι θεμιτοί όμως κάποιοι

18 17 συνδυασμοί είναι ίδιοι με άλλους (λχ η διαδρομή ΑΒΓΔΑ είναι ίδια με την διαδρομή ΑΔΓΒΑ), οπότε, εφαρμόζοντας αυτά που γνωρίζουμε απο τις πιθανότητες σχετικά με την διάταξη αντικειμένων, εύκολα συμπεραίνουμε πως ο τύπος που περιγράφει την συγκεκριμένη διάταξη είναι (τύπος) Οπότε αν έχουμε τις εξής τρείς διαδρομές που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα (με d συμβολίζεται η μετρική της απόστασης): 1 d(, ) d(, ) d(, ) d(, ) (κόκκινη διαδρομή) 2 d(, ) d(, ) d(, ) d(, ) (μπλέ διαδρομή) 3 d(, ) d(, ) d(, ) d(, ) (πράσινη διαδρομή) Όμως με την μέθοδο brute-force θα υπολογιστούν και οι διπλές διαδρομές οπότε θα έχουμε και: d(, ) d(, ) d(, ) d(, ) 4 2 d(, ) d(, ) d(, ) d(, ) 5 3 d(, ) d(, ) d(, ) d(, ) 6 1 Τα οποία παρότι είναι ισοδύναμα με τα αντίστοιχα ii, 1,2,3 παραπάνω, οστόσο υπολογίζονται κανονικά. Έτσι, το υπολογιστικό κόστος της μεθόδου brute-force, μπορεί να υπολογιστεί εύκολα σε σχέση με το πλήθος των πόλεων: για 3 πόλεις χωρίς την αρχική απαιτείται ο υπολογισμός 6 διαδρομών, για 4 πόλεις χωρίς την αρχική έχουμε 24 συνδυασμούς (απο τους οποίους όμως μόνο οι 12 είναι μοναδικοί) και ανάγκη για υπολογισμό 24 διαδρομών κλπ. Γενικά, για n πόλεις συνολικά, απαιτείται ο υπολογισμός ( n 1)! διαδρομών. Οστόσο το υπολογιστικό κόστος δεν περιορίζεται μόνο απο το πλήθος i των διαδρομών, καθώς η αύξηση των πόλεων υποχρεώνει και σε επιπρόσθετο υπολογισμό των αποστάσεων d που συνθέτουν την κ i. Στο άνωθεν παράδειγμα λόγου χάρη, η κάθε διαδρομή είχε 4 μετρικές απόστασης, αν ο αριθμός των πόλεων ανέβει αντίστοιχα προστίθεται επιπλέον αποστάσεις και έτσι αν είχαμε 5 πόλεις η αντίστοιχη διαδρομή θα είχε 5 αποστάσεις (λχ την ΑΒ-ΒΓ-ΓΔ-ΔΕ-ΕΑ).

19 18 Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε πως όταν ο αριθμός των πόλεων μεταβάλλεται, το κόστος υπολογισμού της βέλτιστης διαδρομής αλλάζει ως εξής: Το πλήθος των αναγκαίων διαδρομών κ που πρέπει να υπολογιστούν, το οποίο αυξάνεται παραγοντικά για κάθε επιπλέον πόλη Το πλήθος των αποστάσεων d της κάθε διαδρομής, το οποίο αυξάνεται κατα μια επιπλέον πράξη σε κάθε μία απο τις διαδρομές. Έχοντας κάνει τις εξής παρατηρήσεις, μπορούμε λοιπόν να υπολογίσουμε το υπολογιστικό κόστος της μεθόδου brute-force: Για n πλήθος πόλεων απαιτείται ο υπολογισμός n αποστάσεων για κάθε διαδρομή και ( n 1)! διαδρομών. Συνολικά λοιπόν, το υπολογιστικό κόστος της μεθόδου brute-force είναι n( n 1)! n! πράξεις. Ο παραπάνω ορισμός οστόσο δεν λαμβάνει υπόψη του το υπολογιστικό κόστος που προκύπτει απο τις επιπλέον προσθέσεις του d σε κάθε διαδρομή, ούτε τις επιπλέον πράξεις που απαιτούνται για τον υπολογισμό του min.

20 19 Πηγές [1] travelling salesman problem: definition of travelling salesman problem in Oxford dictionary (British & World English) ελήφθη στις 30 Δεκεμβρίου 2013 από [2] On the Solution of Traveling Salesman Problems: David Applegate, Robert Bixby, Vasek Chvatal, William Cook ελήφθη στις 30 Δεκεμβρίου 2013 από [3] Ant colonies for the traveling salesman problem: Marco Dorigo, Luca Maria Gambardell ελήφθη στις 30 Δεκεμβρίου 2013 από [4] Keld Helsgaun: An Effective Implementation of the Lin-Kernighan Traveling Salesman Heuristic ελήφθη στις 9 Ιανουαρίου 2014 από [5] Dantzig, Fulkerson, and Johnson's Cutting-Plane Method ελήφθη στις 12 Ιανουαρίου 2014 από [6] Weisstein, Eric W. "Facet." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [7] Linear vs. Semidefinite Extended Formulations: Exponential Separation and Strong Lower Bounds: Fiorini et al. ελήφθη στις 14 Ιανουαρίου 2014 από [8] NP-Complete - A Rough Guide ελήφθη στις 18 Ιανουαρίου 2014 από

21 20 [9] Greedy algorithm. M. Hazewinkel (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: [10] The Traveling Salesman Problem (TSP) ελήφθη στις 24 Ιανουαρίου 2014 από [11] Four Heuristic Solutions to the Traveling Salesperson Problem : Page 3, ελήφθη στις 26 Ιανουαρίου 2014 από

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Περίληψη Αλγόριθµοι τύπου Brute-Force Παραδείγµατα Αναζήτησης Ταξινόµησης Πλησιέστερα σηµεία Convex hull Βελτιστοποίηση Knapsack problem Προβλήµατα Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 7 η Διάλεξη: Δρομολόγηση & Προγραμματισμός (Routing & Scheduling) 015 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Ατζέντα Εισαγωγή στις έννοιες Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοημοσύνη 04 Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης (Blind Search Algorithms) Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει αξιολόγηση των καταστάσεων.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 Επιτροπή προπτυχιακών σπουδών: Κ. Βασιλάκης Κ. Γιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ Περίγραµµα Εισαγωγή Στοιχεία Πολυπλοκότητας Ηλίας Κ. Σάββας Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Τεχνολογίας Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Email: savvas@teilar teilar.gr Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, Κεφάλαιο 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 4) 1 Θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Άπληστοι Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άπληστοι Αλγόριθμοι... για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα αλγόριθμοι τεχνολογία αλγορίθμων 2 αλγόριθμοι αλγόριθμος: οποιαδήποτε καλά ορισμένη υπολογιστική διαδικασία που δέχεται κάποια τιμή ή κάποιο σύνολο τιμών, και δίνεικάποιατιμήήκάποιοσύνολοτιμώνως

Διαβάστε περισσότερα

Ωρολόγιο Πρόγραμμα Χειμερινού Εξαμήνου 2015-2016

Ωρολόγιο Πρόγραμμα Χειμερινού Εξαμήνου 2015-2016 - Ωρολόγιο Πρόγραμμα Χειμερινού Εξαμήνου 2015-2016 Έναρξη Μαθημάτων: Δευτέρα, 28 Σεπτεμβρίου 2015 Λήξη Μαθημάτων: Παρασκευή, 8 Ιανουαρίου 2016 1 - [ 1 ο ΕΞΑΜΗΝΟ 9-10 Τεχνολογία και, Τεχνολογία και Προγρ/σμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29 Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα βελτιστοποίησης Γραμμικά προγράμματα Ακέραια προγράμματα Τετραγωνικά προγράμματα Διατύπωση προβλήματος Σύμβαση λύσης Κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack. Χλης Νικόλαος-Κοσμάς

ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack. Χλης Νικόλαος-Κοσμάς ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack Χλης Νικόλαος-Κοσμάς Περιγραφή παιχνιδιού Βlackjack: Σκοπός του παιχνιδιού είναι ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

329 Στατιστικής Οικονομικού Παν. Αθήνας

329 Στατιστικής Οικονομικού Παν. Αθήνας 329 Στατιστικής Οικονομικού Παν. Αθήνας Σκοπός Το Τμήμα σκοπό έχει να αναδείξει επιστήμονες ικανούς να σχεδιάζουν, να αναλύουν και να επεξεργάζονται στατιστικές καθώς επίσης και να δημιουργούν προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 1 Άγγελος Σιφαλέρας sifalera@uom.gr 4 η Διάλεξη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 2 Knapsack Problem, (1/9) Ένας επενδυτής διαθέτει ένα χρηματικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. Κωδικός Τίτλος Επίπεδο

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. Κωδικός Τίτλος Επίπεδο ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Ενότητα: Υποενότητα: Διαδικτυακές Υπηρεσίες κι Εφαρμογές Υ8 - Δημοτικοί Ιστότοποι / Google Sites Λίστα Δραστηριοτήτων Κωδικός Τίτλος Επίπεδο Υ8.Δ1 Αναζήτηση δημοτικών ιστοτόπων και αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Εισαγωγικά ΘΕ ΠΛΗ 204-5 ONLINE ΕΡΓΑΣΙΑ E2- Η Online Εργασία Ε2- αποτελεί (όπως περιγράφεται αναλυτικότερα και στον Οδηγό Σπουδών της Θ.Ε. που σας έχει διατεθεί) συμπληρωματική άσκηση στα πλαίσια της Γραπτής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΓΛΩΣΣΙΑ VIII ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: ΜΑΪΣΤΡΟΣ ΓΙΑΝΗΣ, ΠΑΠΑΚΙΤΣΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΑΣΚΗΣΗ: ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ (Β )

ΤΕΧΝΟΓΛΩΣΣΙΑ VIII ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: ΜΑΪΣΤΡΟΣ ΓΙΑΝΗΣ, ΠΑΠΑΚΙΤΣΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΑΣΚΗΣΗ: ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ (Β ) ΤΕΧΝΟΓΛΩΣΣΙΑ VIII ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: ΜΑΪΣΤΡΟΣ ΓΙΑΝΗΣ, ΠΑΠΑΚΙΤΣΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΑΣΚΗΣΗ: ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ (Β ) ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός της άσκησης είναι ο σχεδιασμός και η υλοποίηση συστήματος διόρθωσης

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 5.0

Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 5.0 Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 5.0 Πνευματικά Δικαιώματα 2007 Ίδρυμα ECDL (ECDL Foundation www.ecdl.org) Όλα τα δικαιώματα είναι κατοχυρωμένα. Κανένα μέρος αυτού του εγγράφου δεν μπορεί να αναπαραχθεί

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Εισαγωγη ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα συστηματα εφαρμοζονται σε αναπτυξιακα προγραμματα, σε μελετες σχεδιασμου εργων, σε προγραμματα διατηρησης ή προστασιας περιβαλλοντος και υδατικων πορων και

Διαβάστε περισσότερα

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων.

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. POWERPOINT 2003 1. Τι είναι το PowerPoint (ppt)? Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. 2. Τι δυνατότητες έχει? Δημιουργία παρουσίασης. Μορφοποίηση παρουσίασης. Δημιουργία γραφικών. Δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΕΝΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΛΗΨΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥ

1. ΓΕΝΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΛΗΨΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥ 1. ΓΕΝΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΛΗΨΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥ Ισχύει ένα πρόγραμμα σπουδών από τον Οκτώβριο του 2013. Για να πάρει κάποιος πτυχίο από το 2014 κι έπειτα απαιτείται να πληροί όλους τους παρακάτω όρους:

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΊΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: «ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ, ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα τα γράμματα της Στήλης Β που τους αντιστοιχούν.

Α2. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα τα γράμματα της Στήλης Β που τους αντιστοιχούν. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ /Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 03-11-2013 ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-8 και δίπλα τη λέξη Σωστό, αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Πρόγραμμα Γενικό γραμμικό πρόβλημα με πολύγωνη περιοχή εφικτών λύσεων Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόγραμμα: ma z μ. π. 4

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Κυκλώματα 3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα