Εργασία για το μάθημα «Γραμμικός και μη προγραμματισμός Βελτιστοποίηση»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εργασία για το μάθημα «Γραμμικός και μη προγραμματισμός Βελτιστοποίηση»"

Transcript

1 Εργασία για το μάθημα «Γραμμικός και μη προγραμματισμός Βελτιστοποίηση» Διδάσκων: Ε. Χαρμανδάρης Θέμα: «Το πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή, ακριβείς, ευριστικές και ενδιαφέρουσες λύσεις» Φώτογλου Ιωακείμ, 3452, Τμήμα Μαθηματικών Χειμερινό Εξάμηνο

2 1 Περιεχόμενα Το πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή Τύποι αλγορίθμων για την επίλυση του προβλήματος o Ακριβείς αλγόριθμοι Ο αλγόριθμος του τετμημένου επιπέδου (cutting-plane algorithm) Ο αλγόριθμος εύρεσης όψεων (facet-finding algorithm) o Ευριστικοί (heuristic) αλγόριθμοι Ο άπληστος αλγόριθμος (greedy algorithm) Ο αλγόριθμος 2-opt Απόδειξη ύπαρξης λύσης σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων Άλλες ενδιαφέρουσες λύσεις και η μαθηματική τους μοντελοποίηση o Η λύση της αποικίας μυρμηγκιών (ant colony) o Η brute-force λύση Πηγές

3 2 Το πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή Ένα απο τα κατ εξοχήν πρακτικά προβλήματα των μαθηματικών με επεκτάσεις σε πολλούς άλλους τομείς. Ορίζεται απο την Oxford Dictionary σαν «Ένα μαθηματικό πρόβλημα στο οποίο πρέπει να βρεθεί ποιά είναι η συντομότερη διαδρομή που διασχίζει ένα σύνολο απο σημεία με έναν και μόνο έναν τρόπο» [1] Ο ορισμός του προβλήματος του περιπλανώμενου πωλητή δώθηκε τον 19 ο αιώνα απο τον Ιρλανδό μαθηματικό William R. Hamilton και τον Άγγλο μαθηματικό Thomas P. Kirkman. Στην δεκαετία του 20, ο μαθηματικός και οικονομολόγος Karl Menger το έφερε στο προσκήνιο ανάμεσα στους συναδέλφους του στη Βιέννη. Κατα την δεκαετία του 1930 το πρόβλημα επανήλθε στο προσκύνιο στους μαθηματικούς κύκλους του Princeton ενώ το 40 μελετήθηκε απο στατιστικούς στα πλαίσια της πρακτικής εφαρμογής του στην αγροτική παραγωγή [2] Το πρόβλημα αυτό είναι ένα απο τα εμβληματικότερα προβλήματα στην συνδιαστική βελτιστοποίηση (combinatorial optimization), την επιχειρησιακή έρευνα και την επιστήμη των υπολογιστών με πολύ σημαντικές οικονομικές και πρακτικές προεκτάσεις. Η εύρεση βέλτιστων λύσεων αποτελεί αντικείμενο μεγάλου ενδιαφέροντος απο επιχειρήσεις οι οποίες είναι αναγκασμένες να διατηρούν ένα μεγάλο δίκτυο διανομής καθώς η εξεύρεση καλύτερων λύσεων οδηγεί σε σημαντική οικονομία σε καύσιμα και ελαχιστοποίηση των χρόνων διανομής. Υπολογιστικά, το πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή, είναι ένα πρόβλημα NP-hard (Non-deterministic Polynomial-time hard). Τα προβλήματα αυτού του τύπου ονομάζονται έτσι γιατί οι αλγόριθμοι για την επίλυσή τους μπορούν να μεταφραστούν σε αλγόριθμους για τη λύση οποιουδήποτε NP προβλήματος. Πρακτικά αυτό σημαίνει πως τα προβλήματα NP-hard είναι εξίσου, αν όχι περισσότερο, δύσκολα απο οποιοδήποτε πρόβλημα NP. Η ιδιαιτερότητα τέτοιου τύπου προβλημάτων είναι η ραγδαία αύξηση του χρόνου επίλυσης με κάθε προσθήκη. Με τον αλγόριθμο brute-force που

4 3 αναλύουμε παρακάτω, αν δεχτούμε πως ένα πρόβλημα περιπλανώμενου πωλητή με 20 πόλεις χρειάζεται ένα δευτερόλεπτο για να επιλυθεί απο έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή τότε ένα πρόβλημα με 22 πόλεις θα απαιτούσε περίπου 7 λεπτά (420 δευτερόλεπτα, με υπολογισμούς το δευτερόλεπτο). Αν οι πόλεις αυξηθούν μόλις σε 30, δηλαδή γίνουν μόνο 50% περισσότερες απο τις αρχικές ο υπολογισμός θα απαιτήσει που με τον ίδιο υπολογιστή θα ολοκληρωθούν σε δευτερόλεπτα ή σε πιο κατανοητά απο τον άνθρωπο πλαίσια σε μόλις... 2,3 εκατομμύρια χρόνια. Αν το πρόβλημα λυθεί με χρήση δυναμικού προγραμματισμού ο χρόνος που απαιτείται μειώνεται δραστικά, αλλά ακόμη και οι καλύτερες προσεγγίσεις απαιτούν εκθετικό χρόνο (2 n ). Έτσι στις παραπάνω συνθήκες με χρήση δυναμικού προγραμματισμού το πρόβλημα με τις 30 πόλεις μπορεί να λυθεί σε περίπου 10 λεπτά αντί για 2,3 εκατομμύρια χρόνια. Όσο εντυπωσιακή και αν είναι αυτή η μείωση όμως, αν συνεχίσουμε να αυξάνουμε τον αριθμό των πόλεων πολύ σύντομα οι χρόνοι επίλυσης γίνονται και πάλι τεράστιοι για την ανθρώπινη κλίμακα. Ένα πρόβλημα 60 πόλεων για παράδειγμα θα απαιτήσει χρόνια για την επίλυση του.[8]

5 4 Τύποι αλγορίθμων για την επίλυση του προβλήματος Μπορούμε να διαχωρίσουμε τις προσεγγίσεις των λύσεων στο πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή σε δύο είδη: Ακριβείς αλγόριθμοι: Οι αλγόριθμοι που είναι βέβαιο πως βρίσκουν την ακριβή λύση του προβλήματος. Συνήθως απαιτούν εξαιρετικά μεγάλη επεξεργαστική ισχύ ώστε να καταλήξουν σε λύση μέσα σε φυσιολογικά χρονικά πλαίσια. Ευριστικοί (heuristic) αλγόριθμοι: Αλγόριθμοι οι οποίοι βρίσκουν καλές λύσεις στο πρόβλημα, όμως δεν εγγυώνται ότι θα βρεθούν ακριβείς (βέλτιστες) λύσεις. Ακριβείς Αλγόριθμοι Δύο πολύ αποτελεσματικοί ακριβείς αλγορίθμοι είναι ο αλγόριθμος του τετμημένου επιπέδου (cutting-plane algorithm) και ο αλγόριθμος εύρεσης όψεων (facet-finding algorithm) [4]. Μια εξίσου ενδιαφέρουσα, αν και όχι τόσο πρωτότυπη, λύση είναι ο αλγόριθμος brute-force που βρίσκει λύσεις στο πρόβλημα αθροίζοντας όλες τις αποστάσεις και στη συνέχεια επιλέγει τη μικρότερη. Οι δύο πρώτοι αλγόριθμοι θα αναφερθούν περιγραφικά μιας και η υλοποιησή τους είναι εξαιρετικά σύνθετη και ξεφεύγει κατα πολύ απο τα πλαίσια αυτής της εργασίας, ο τρίτος οστόσο αναλύεται σε παρακάτω ενότητα με λεπτομέρεια. ο αλγόριθμος του τετμημένου επιπέδου (cutting-plane algorithm) Ο αλγόριθμος τετμημένου επιπέδου (γνωστός και ως Dantzig, Fulkerson, and Johnson's Cutting-Plane Method) είναι μια προσέγγιση με χρήση γραμμικού προγραμματισμού που εφευρέθηκε το 1954 απο τους George Dantzig, Ray Fulkerson και Selmer Johnson. Η υλοποίησή τους [5] ακολουθεί παρακάτω: Κάθε αντικείμενο ΠΠΠ με n πόλεις μπορεί να οριστεί σαν ένα διάνυσμα με μήκος n(n-1)/2 (του οποίου οι συνιστώσες, κατανεμημένες απο τις άκρες του πλήρους γραφήματος, ορίζουν το κόστος) και κάθε διαδρομή μέσα απο τις

6 5 n πόλεις μπορεί να αναπαρασταθεί σαν διεύθυνση διανύσματος μήκους n(n- 1)/2 (με κάθε συνιστώσα ορισμένη στο 1 αν η αντίστοιχη άκρη είναι μέρος της διαδρομής και 0 αλλιώς). Αν το c T δηλώνει το διάνυσμα κόστους (σαν διάνυσμα γραμμής) και αν το S υποδηλώνει το σύνολο των φορέων (σαν στήλη διανυσμάτων πρόσπτωσης) όλων των διαδρομών, τότε το πρόβλημα είναι: ελαχιστοποίηση του c T x υποκείμενο σε x S (1) Οι Dantzig, Fulkerson, και Johnson αντί να ξεκινήσουν με το πρόβλημα που ήθελαν να λύσουν, ξεκίνησαν με το παρακάτω πρόβλημα που μπορούσαν να λύσουν: ελαχιστοποίηση του c T x υποκείμενο σε Ax b (2) με κάποιο κατάλληλα επιλεγμένο σύστημα Ax τα x στο S. b που ικανοποιείται από όλα Δεδομένου οτι το (2) είναι relaxation του (1) με την έννοια πως κάθε εφικτή λύση στο (1) είναι εφικτή λύση του (2), η βέλτιστη λύση του (2) επιστρέφει ένα κάτω φράγμα στην βέλτιστη λύση του (1). Η ιδέα των Dantzig, Fulkerson, και Johnson είναι πως η επίλυση του (2) μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση του (1) με έναν πολύ πιο ουσιαστικό τρόπο απο το να παρέχει απλά ένα κάτω φράγμα: Είναι χαρακτηριστικό της μεθόδου simplex πως η λύση x* που βρίσκει είναι ένα ακραίο σημείο του πολύεδρου που ορίζεται απο το Ax b, για την ακρίβεια αν το x* δεν είναι ένα απο τα σημεία στο S τότε βρίσκεται έξω απο το κυρτό κέλυφος του S. Σε αυτή την περίπτωση το x* μπορεί να χωριστεί απο το S με ένα υπερεπίπεδο (hyperplane): κάποια γραμμική ανίσωση που ικανοποιείται απο όλα τα σημεία στο S και παραβιάζεται από το x*. Μια τέτοια ανίσωση λέγεται τετμημένο επίπεδο (cutting plane) ή τομή (cut). Έχοντας βρεί μια τομή, αυτή μπορεί να προστεθεί στο σύστημα Ax b, μέσω της μεθόδου simplex να λυθεί η tighter relaxation που προκύπτει και στη συνέχεια αυτή η διαδικασία να επαναληφθεί μέχρι να βρεθεί μια relaxation του (2) με μια βέλτιστη λύση στο S.

7 6 ο αλγόριθμος εύρεσης όψεων (facet-finding algorithm) Για να γίνει κατανοητή αυτή η προσέγγιση της λύσης στο πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή είναι αναγκαίο να γίνει μια εισαγωγή στην έννοια των όψεων (facets) ώστε να μπορέσει να γίνει κατανοητή η εφαρμογή τους ενώ ταυτόχρονα, προκειμένου να εξηγήσουμε την έννοια της όψης, είναι απαραίτητο να εισάγουμε πολύ επιφανειακά, την έννοια του πολύτοπου (polytope). Ένα πολύτοπο λοιπόν, είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο, με επίπεδες πλευρές, που υπάρχει σε οποιονδήποτε γενικό αριθμό n διαστάσεων. Μια όψη (facet) είναι η ( n 1) όψη (face) ενός n-διάστατου πολύτοπου [6]. Όταν οι εφικτές λύσεις ενός προβλήματος συνδυαστικής βελτιστοποίησης κωδικοποιηθούν σαν σημεία 0/1 στον χώρο R d αποδίδουν ένα πολύτοπο που είναι το κυρτό κέλυφος (convex hull) των αποδιδόμενων σημείων. Η λύση μιας υπόστασης (instance) του προβλήματος τότε, αντιστοιχεί στην βελτιστοποίηση μιας γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης (linear objective function) πάνω απο αυτό το πολύτοπο [7, p1.1 From Problems to Polytopes ]. Με δεδομένα τα παραπάνω, το σύνολο των εφικτών λύσεων στο πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή, μπορούν να απεικονιστούν σαν το κυρτό κέλυφος όλων των σημείων n 2 x {0,1} που αντιστοιχούν σε έναν Χαμιλτονιανό κύκλο στο πλήρες n-vertex γράφημα K n.

8 7 Ευριστικοί (heuristic) αλγόριθμοι Όπως είδαμε στην εισαγωγή, το πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή είναι ένα πρόβλημα το οποίο απαιτεί εξαιρετικά αυξημένη υπολογιστική ισχύ για να βρεθούν ακριβείς λύσεις σε λογικά χρονικά διαστήματα. Ωστόσο, οι ακριβείς λύσεις δεν είναι πάντα αναγκαίες, σε κάποιες περιπτώσεις ακόμα και λύσεις αρκετά κοντά στην βέλτιστη μας δίνουν μια επαρκώς καλή διαδρομή με σαφώς μικρότερο κόστος σε υπολογιστική ισχύ και χρόνο. Τέτοιοι αλγόριθμοι που βρίσκουν καλές λύσεις αλλά δεν εγγυώνται οτι θα βρεθούν ακριβείς (βέλτιστες) λύσεις ονομάζονται ευριστικοί αλγόριθμοι. Παρακάτω, αναλύουμε δύο απο αυτούς, τον άπληστο αλγόριθμο (greedy algorithm) και τον αλγόριθμο 2-opt. Εξετάζουμε τις προσεγγίσεις τους στο πρόβλημα, τις λύσεις που παρέχουν αλλά και τις απαιτήσεις τους σε υπολογιστική ισχύ. ο άπληστος αλγόριθμος (greedy algorithm) Η λογική του άπληστου αλγόριθμου βασίζεται στη λήψη της βέλτιστης λύσης για κάθε ξεχωριστό στάδιο[9]. Σε ότι αφορά το πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή αυτό εντοπίζεται κυρίως στην επιλογή της πόλης με την μικρότερη απόσταση απο την τρέχουσα. Έτσι, ο αλγόριθμος θα ξεκινήσει απο την πρώτη πόλη, θα επιλέξει την πλησιέστερη και θα «κατευθυνθεί» εκεί. Στη συνέχεια θα επιλέξει την πλησιέστερη σε αυτή πόλη, εξαιρουμένων όσων πόλεων έχει επισκεφτεί ήδη, και επαναλαμβάνοντας αυτή την διαδικασία θα καταλήξει σε μια αρκετά καλή λύση του προβλήματος. Είναι αρκετά εύκολο να υπολογίσουμε το κόστος του άπληστου αλγόριθμου: Αν υποθέσουμε πως αναφερόμαστε σε ένα σύνολο n πόλεων τότε αρχικά θα εξεταστούν οι αποστάσεις απο την πρώτη πόλη προς την κάθε μια απο τις επόμενες πάντα σε ευθεία γραμμή. Αυτό μας δίνει να συγκρίνουμε (n-1) αποστάσεις και να επιλέξουμε την ελάχιστη εξ αυτών. Μπορούμε να το εκφράσουμε μοντελοποιημένα ως εξής: D1 : min d2, d3,..., dn

9 8 Όπου με D 1 ορίζουμε την ελάχιστη απόσταση της πρώτης πόλης απο την αμέσως επόμενη και με d i συμβολίζουμε την απόσταση της πόλης i απο την τρέχουσα πόλη. Να σημειωθεί πως εδώ ο όρος i-οστή πόλη είναι συμβολικός και δεν έχει σχέση με την ονοματοδοσία των πόλεων (δηλαδή για παράδειγμα η d 2 δεν συμβολίζει κάποια προκαθορισμένη «2 η πόλη» αλλά συμβολίζει την απόσταση απο την 2 η πόλη στην οποία θα κατευθυνθούμε στη συνέχεια). Έχοντας υπολογίσει την ελάχιστη απόσταση μέχρι την επόμενη πόλη, ο αλγόριθμος κάνει το ίδιο και για την πόλη που αντιστοιχεί στην ελάχιστη αυτή απόσταση: D2 d3 d4 d n : min{,,..., } Βρίσκοντας έτσι την πόλη πλησιέστερα στην δεύτερη που επιλέξαμε πριν. O αλγόριθμος ολοκληρώνεται στην D n-1 επανάληψη έχοντας βρεί την τελική πόλη ή στην n επανάληψη αν θέλουμε το τελικό αποτέλεσμα να εμπεριέχει και την διαδρομή απο την τελική προς την αρχική πόλη. Το τελικό κόστος σε πράξεις λοιπόν είναι: n 1 n ( n 1) ( n 2) k n( n 1) 2 Που για παράδειγμα μπορεί να υπολογίσει μια αρκετά καλή διαδρομή 60 πόλεων σε μερικά μόλις κλάσματα του δευτερολέπτου (1.830 υπολογισμοί), σε πολύ λιγότερο δηλαδή απο ότι οι ακριβείς αλγόριθμοι που περιγράψαμε παραπάνω και ο brute-force αλγόριθμος που ακολουθεί σε επόμενη ενότητα. k 1 ο αλγόριθμος 2-opt Ένας ακόμη ευριστικός αλγόριθμος, με μια τελείως διαφορετική προσέγγιση απο τον άπληστο είναι ο λεγόμενος αλγόριθμος 2-opt (2-opt algorithm). Η προσέγγιση που ακολουθεί για την εύρεση καλών λύσεων στο πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή είναι η εξής: Αρχικά, επιλέγεται ένα μονοπάτι που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του προβλήματος, δηλαδή ξεκινάει απο μια αρχική πόλη, περνάει απο όλες τις πόλεις ακριβώς μια φορά και αφού τις διασχίσει όλες καταλήγει πάλι στην αρχική πόλη. Το μονοπάτι αυτό μπορεί να είναι ένα τυχαίο, σε περίπτωση που ο αλγόριθμος 2-opt εφαρμόζεται αποκλειστικά, ή ένα ήδη υπολογισμένο καλό

10 9 μονοπάτι σε περίπτωση που συνδυάζεται με μια ήδη υπολογισμένη καλή λύση απο άλλον αλγόριθμο (λχ τον άπληστο αλγόριθμο που είδαμε παραπάνω). Γενικά στην περίπτωση που έχουμε ήδη ένα καλό μονοπάτι ο αλγόριθμος 2- opt βρίσκει καλές λύσεις πολύ πιο γρήγορα από ότι αν ξεκινήσει με μια τυχαία επιλογή διαδρομής. Στη συνέχεια, ο αλγόριθμος εναλλάσει ζευγάρια συνδέσμων ανα δύο (εξ ου και η ονομασία του το 2-opt), προσαρμόζει κατάλληλα την διαδρομή, μιας και στις περιπτώσεις που δύο μονοπάτια τέμνονται είναι πολύ πιθανό η πορεία να χρειαστεί να αλλάξει διεύθυνση και ακολούθως υπολογίζει αν η απόσταση μειώθηκε. Δυστυχώς δεν υπάρχει εύκολος τρόπος να υπολογιστεί το πλήθος των πράξεων που απαιτούνται για να βρεθεί μια καλή λύση με την προσέγγιση αυτή. Θεωρητικά αν ο αλγόριθμος αφεθεί να τρέξει θα καταλήξει να δοκιμάσει όλες τις δυνατές εναλλαγές ανα ζεύγη αλλά αυτό θα απαιτήσει πολυωνυμικό χρόνο κάνοντας την μέθοδο αυτή άχρηστη. Οστόσο, με μικρότερο χρόνο εκτέλεσης προκύπτουν επαρκώς καλές λύσεις. Γενικά οι μέθοδοι k-opt δίνουν λύσεις που εκτιμάται πως βρίσκονται απο 2-5% κοντά στο φράγμα Held-Karp [10]. Ένα απλό παράδειγμα εναλλαγής ζυγών της μεθόδου 2-opt φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, για το οποίο πρέπει να σημειωθεί πως η φορά της διαδρομής αλλάζει μετά την εναλλαγή των κόμβων [11]:

11 10 Απόδειξη ύπαρξης λύσης σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων Για n πεπερασμένο πλήθος πόλεων, θδο πεπερασμένο πλήθος διαδρομών μεταξύ των πόλεων. Πράγματι, μπορούμε δίχως βλάβη της γενικότητας να θεωρήσουμε πως οι πόλεις είναι σημεία σε ένα επίπεδο του χώρου 2, κάθε σημείο (πόλη) αυτού του χώρου μπορεί να συνδεθεί με άπειρους τρόπους με ένα άλλο σημείο ο συντομότερος απο τους οποίους είναι η ευθεία. Εύκολα παρατηρούμε πως όταν έχουμε περισσότερες πόλεις, οι δυνατοί συνδυασμοί ευθείων διαδρομών μεταξύ τους ώστε να έχουμε διέλευση απο όλες τις πόλεις μόνο μια φορά και τελικά να επιστρέψουμε στην αρχική πόλη είναι: Πόλεις (πλήθος) n Δυνατές διαδρομές κ 2 2! (2) 3 3! (6) 4 4! (24) 5 5! (120) n n! Έχουμε δηλαδή μια παραγοντική αύξηση των διαδρομών. Γενικά, με δεδομένο πως θα περάσουμε απο κάθε πόλη μόνο μια φορά, και πως θα ξεκινήσουμε και θα καταλήξουμε στην αρχική πόλη τότε ξεκινώντας απο την πρώτη πόλη έχουμε (n-1) διαθέσιμες επιλογές, όταν επιλέξουμε μία και κατευθυνθούμε εκεί πλέον υπάρχουν (n-2) διαθέσιμες διαδρομές, στη συνέχεια (n-3) μέχρι τελικά να έχουμε εξαντλήξει τις πόλεις και η μόνη διαδρομή που να απομένει να είναι προς την αρχική πόλη.

12 11 Η άνωθεν παρατήρηση είναι γνωστή απο την συνδυαστική ως ο κανόνας του γινομένου (rule of product). Εφαρμόζοντας αυτόν τον κανόνα και με επαγωγή θα αποδείξουμε τον παραπάνω ισχυρισμό, ότι δηλαδή για n πλήθος πόλεων υπάρχουν n! διαδρομών που τις συνδέουν: Ελέγχω οτι ισχύει για 1 πόλη (σημ. 1 πόλη εδώ σημαίνει 1 πόλη πέραν της αρχικής δηλαδή δύο πόλεις): ! Υποθέτω οτι ισχύει για x πόλεις, ότι δηλαδή: x ( x 1) ( x 2) x! Θα αποδείξω ότι ισχύει για x+1 πόλεις, ότι δηλαδή: ( x 1) x ( x 1) ( x 2) ( x 1)! Πράγματι: ( x 1) x ( x 1) ( x 1)! ( x 1) x( x 1) ( x 2) ( x 1) x! x ( x 1) ( x 2) x! Που ισχύει λόγω του 2 ου βήματος. Αφού υπάρχει πεπερασμένο πλήθος διαδρομών, υπάρχει τουλάχιστον μία διαδρομή min i i min και άρα το πρόβλημα έχει τουλάχιστον μία άριστη λύση.

13 12 Ενδιαφέρουσες λύσεις και η μαθηματική τους μοντελοποίηση Η λύση της αποικίας μυρμηγκιών (ant colony) Μια απο τις πιο προτότυπες λύσεις του προβλήματος είναι αυτή που έχουν εφαρμόσει τα μυρμήγκια για την εύρεση της βέλτιστης διαδρομής απο την φωλιά τους προς τα σημεία που βρίσκεται τροφή. Αυτός ο τρόπος επίλυσης έχει μοντελοποιηθεί απο τον ερευνητή τεχνητής νοημοσύνης Marco Dorigo και τον Luca Maria Gambardell οι οποίοι το 1997 περιέγραψαν μια μέθοδο παραγωγής καλών ευριστικών (heuristic) λύσεων στο πρόβλημα του περιπλανόμενου πωλητή χρησιμοποιώντας μια εξομοίωση αποκίας μυρμήγκιών[3]. Η μοντελοποίηση βασίζεται στην εξομοίωση της συμπεριφοράς πραγματικών μυρμήγκιών τα οποία ακολουθούν τις φερορμόνες που εκκρίνουν άλλα μυρμήγκια για να φτάσουν στην τροφή. Η διαδικασία με την οποία γίνεται αυτό είναι καλύτερα κατανοητή αν εξηγήσουμε πως εφαρμόζεται αυτή η προσέγγιση πάνω στο ελάχιστο μονοπάτι (shortest path): Τα μυρμήγκια διασπείρονται σε αναζήτηση τροφής, όταν ένα μυρμήγκι φεύγει απο τη φωλιά αφήνει ένα ίχνος (μονοπάτι) απο φερορμόνη η ένταση της οποίας εξασθενεί με το χρόνο. Όταν το μυρμήγκι εντοπίσει μια εστία τροφής επιστρέφει στη φωλιά συνεχίζοντας να εκκρίνει τη φερορμόνη. Η ίδια εστία τροφής εντοπίζεται και απο άλλα μυρμήγκια τα οποία επίσης επιστρέφουν στη φωλιά. Καθώς το πλήθος των μυρμηγκιών που κατευθύνεται προς την τροφή αυξάνεται, η συντομότερη διαδρομή διασχίζεται συχνότερα και άρα η συγκέντρωση της φερορμόνης σε εκείνο το μονοπάτι γίνεται ισχυρότερη. Επειδή τα μυρμήγκια έχουν αναπτύξει την φυσική τάση να ακολουθούν την φερορμόνη που εναποτίθεται απο άλλα μυρμήγκια, το πλήθος των μυρμηγκιών που ακολουθεί αυτή τη συντομότερη διαδρομή συνεχώς αυξάνεται μέχρι που τελικά σχηματίζεται ένα μονοπάτι απο μυρμήγκια που κινούνται απο και προς την ίδια κατεύθυνση. Τα παρακάτω σχήματα δίνουν μια γραφική εξέλιξη της προσέγγισης αυτής:

14 13

15 14

16 15 Η εφαρμογή αυτής της προσέγγισης στο πρόβλημα του περιπλανώμενου πωλητή έχει παρόμοιο υπόβαθρο. Ωστόσο αντί για τις σχετικά πιο απλές διαδρομές απο μια εστία τροφής προς την φωλιά των μυρμηγκιών έχουμε πλέον πολλούς κόμβους (πόλεις) ενώ αντί για εκκίνηση απο ένα μοναδικό αρχικό σημείο (ισοδύναμο της φωλιάς στο παραπάνω παράδειγμα) τα μυρμήγκια διασπείρονται σε τυχαίες πόλεις και αφήνονται να χαράξουν τα μονοπάτια προς μια πόλη που ορίζεται σαν αρχική-τελική. Συμπληρωματικά, ρυθμίζονται παράμετροι όπως ο ρυθμός έκκρισης και εξάτμησης του φερορμονικού ίχνους, το μέγεθος του πληθυσμού, μέχρι και ενδεχομένως κάποια εμπόδια τα οποία πρέπει να προσπεραστούν. Αυτό το τελευταίο μάλιστα έχει και ενδιαφέρουσες πρακτικές εφαρμογές καθώς το ισοδύναμο τέτοιων εμποδίων στην πραγματικότητα μπορεί να είναι φαράγγια, λίμνες ή άλλα φυσικά εμπόδια που εμποδίζουν την μετακίνηση σε ευθείες γραμμές όπως πολλές φορές υποθέτουμε στα θεωρητικά μοντέλα. Αξίζει να σημειωθεί μια ακόμη ενδιαφέρουσα πλοκή που αφορά τη μέθοδο βελτιστοποίησης αποικίας μυρμηγκιών: υπάρχει η δυνατότητα ρύθμισης της προτεραιότητας κάποιων κόμβων έναντι άλλων με χρήση συντελεστών βαρύτητας κάτι το οποίο θα απαιτούσε εξαιρετικά αυξημένο υπολογιστικό κόστος για να ενσωματωθεί σε κάποιον απο τους προαναφερθέντες ακριβείς τρόπους επίλυσης, αλλά επηρεάζει πολύ λιγότερο αυτήν τη μέθοδο. Αυτό το σημείο εμπλέκει τη λύση του προβλήματος του περιπλανώμενου πωλητή με ένα άλλο σημαντικό πρόβλημα της συνδυαστικής βελτιστοποίησης, το λεγόμενο πρόβλημα του σακιδίου (knapsack problem)

17 16 Η brute-force λύση H πιο κοινότυπη, αλλά και υπολογιστικά πολυδάπανη προσέγγιση που όμως -εφόσον ολοκληρωθεί σε λογικό χρονικό διάστημα- επιστρέφει πάντα την άριστη λύση. Βασίζεται στον υπολογισμό όλων των αποστάσεων σε όλες τις δυνατές διαδρομές και τη σύγκριση μεταξύ τους. Ένας τρόπος να μοντελοποιήσουμε την brute-force διαδικασία είναι ο εξής: Αν θεωρήσουμε i το συνολικό μήκος της i διαδρομής τότε για n πλήθος κόμβων το min min{ 1, 2,..., n }, το οποίο βέβαια σημαίνει πως θα πρέπει να υπολογίσουμε όλες τις αποστάσεις στο σχήμα. Ένα παράδειγμα της διαδικασίας για το παρακάτω σχήμα: Αφού η αρχική πόλη (Α) είναι και η τελική πόλη, όλοι οι συνδυασμοί θα είναι της μορφής ΑxxxA, με αναδιατάξεις στο ενδιάμεσο, οι συνδυασμοί που περιέχουν εσωτερικά όλες τις πόλεις Β,Γ και Δ είναι θεμιτοί όμως κάποιοι

18 17 συνδυασμοί είναι ίδιοι με άλλους (λχ η διαδρομή ΑΒΓΔΑ είναι ίδια με την διαδρομή ΑΔΓΒΑ), οπότε, εφαρμόζοντας αυτά που γνωρίζουμε απο τις πιθανότητες σχετικά με την διάταξη αντικειμένων, εύκολα συμπεραίνουμε πως ο τύπος που περιγράφει την συγκεκριμένη διάταξη είναι (τύπος) Οπότε αν έχουμε τις εξής τρείς διαδρομές που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα (με d συμβολίζεται η μετρική της απόστασης): 1 d(, ) d(, ) d(, ) d(, ) (κόκκινη διαδρομή) 2 d(, ) d(, ) d(, ) d(, ) (μπλέ διαδρομή) 3 d(, ) d(, ) d(, ) d(, ) (πράσινη διαδρομή) Όμως με την μέθοδο brute-force θα υπολογιστούν και οι διπλές διαδρομές οπότε θα έχουμε και: d(, ) d(, ) d(, ) d(, ) 4 2 d(, ) d(, ) d(, ) d(, ) 5 3 d(, ) d(, ) d(, ) d(, ) 6 1 Τα οποία παρότι είναι ισοδύναμα με τα αντίστοιχα ii, 1,2,3 παραπάνω, οστόσο υπολογίζονται κανονικά. Έτσι, το υπολογιστικό κόστος της μεθόδου brute-force, μπορεί να υπολογιστεί εύκολα σε σχέση με το πλήθος των πόλεων: για 3 πόλεις χωρίς την αρχική απαιτείται ο υπολογισμός 6 διαδρομών, για 4 πόλεις χωρίς την αρχική έχουμε 24 συνδυασμούς (απο τους οποίους όμως μόνο οι 12 είναι μοναδικοί) και ανάγκη για υπολογισμό 24 διαδρομών κλπ. Γενικά, για n πόλεις συνολικά, απαιτείται ο υπολογισμός ( n 1)! διαδρομών. Οστόσο το υπολογιστικό κόστος δεν περιορίζεται μόνο απο το πλήθος i των διαδρομών, καθώς η αύξηση των πόλεων υποχρεώνει και σε επιπρόσθετο υπολογισμό των αποστάσεων d που συνθέτουν την κ i. Στο άνωθεν παράδειγμα λόγου χάρη, η κάθε διαδρομή είχε 4 μετρικές απόστασης, αν ο αριθμός των πόλεων ανέβει αντίστοιχα προστίθεται επιπλέον αποστάσεις και έτσι αν είχαμε 5 πόλεις η αντίστοιχη διαδρομή θα είχε 5 αποστάσεις (λχ την ΑΒ-ΒΓ-ΓΔ-ΔΕ-ΕΑ).

19 18 Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε πως όταν ο αριθμός των πόλεων μεταβάλλεται, το κόστος υπολογισμού της βέλτιστης διαδρομής αλλάζει ως εξής: Το πλήθος των αναγκαίων διαδρομών κ που πρέπει να υπολογιστούν, το οποίο αυξάνεται παραγοντικά για κάθε επιπλέον πόλη Το πλήθος των αποστάσεων d της κάθε διαδρομής, το οποίο αυξάνεται κατα μια επιπλέον πράξη σε κάθε μία απο τις διαδρομές. Έχοντας κάνει τις εξής παρατηρήσεις, μπορούμε λοιπόν να υπολογίσουμε το υπολογιστικό κόστος της μεθόδου brute-force: Για n πλήθος πόλεων απαιτείται ο υπολογισμός n αποστάσεων για κάθε διαδρομή και ( n 1)! διαδρομών. Συνολικά λοιπόν, το υπολογιστικό κόστος της μεθόδου brute-force είναι n( n 1)! n! πράξεις. Ο παραπάνω ορισμός οστόσο δεν λαμβάνει υπόψη του το υπολογιστικό κόστος που προκύπτει απο τις επιπλέον προσθέσεις του d σε κάθε διαδρομή, ούτε τις επιπλέον πράξεις που απαιτούνται για τον υπολογισμό του min.

20 19 Πηγές [1] travelling salesman problem: definition of travelling salesman problem in Oxford dictionary (British & World English) ελήφθη στις 30 Δεκεμβρίου 2013 από [2] On the Solution of Traveling Salesman Problems: David Applegate, Robert Bixby, Vasek Chvatal, William Cook ελήφθη στις 30 Δεκεμβρίου 2013 από [3] Ant colonies for the traveling salesman problem: Marco Dorigo, Luca Maria Gambardell ελήφθη στις 30 Δεκεμβρίου 2013 από [4] Keld Helsgaun: An Effective Implementation of the Lin-Kernighan Traveling Salesman Heuristic ελήφθη στις 9 Ιανουαρίου 2014 από [5] Dantzig, Fulkerson, and Johnson's Cutting-Plane Method ελήφθη στις 12 Ιανουαρίου 2014 από [6] Weisstein, Eric W. "Facet." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [7] Linear vs. Semidefinite Extended Formulations: Exponential Separation and Strong Lower Bounds: Fiorini et al. ελήφθη στις 14 Ιανουαρίου 2014 από [8] NP-Complete - A Rough Guide ελήφθη στις 18 Ιανουαρίου 2014 από

21 20 [9] Greedy algorithm. M. Hazewinkel (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: [10] The Traveling Salesman Problem (TSP) ελήφθη στις 24 Ιανουαρίου 2014 από [11] Four Heuristic Solutions to the Traveling Salesperson Problem : Page 3, ελήφθη στις 26 Ιανουαρίου 2014 από

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS Χρήστος Δ. Ταραντίλης Αν. Καθηγητής ΟΠΑ ACO ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Η ΛΟΓΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΛΥΣΕΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΑΤΑΞΗΣ (1/3) Ε..Ε. ΙΙ Oι ACO

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Περίληψη Αλγόριθµοι τύπου Brute-Force Παραδείγµατα Αναζήτησης Ταξινόµησης Πλησιέστερα σηµεία Convex hull Βελτιστοποίηση Knapsack problem Προβλήµατα Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 7 η Διάλεξη: Δρομολόγηση & Προγραμματισμός (Routing & Scheduling) 015 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Ατζέντα Εισαγωγή στις έννοιες Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ενότητα 4 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Άπληστοι Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άπληστοι Αλγόριθμοι... για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοημοσύνη 04 Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης (Blind Search Algorithms) Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει αξιολόγηση των καταστάσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσεις Πολυπλοκότητας

Κλάσεις Πολυπλοκότητας Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίζοντας το Πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή

Προσεγγίζοντας το Πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» Προσεγγίζοντας το Πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών 1 Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Κωτσογιάννη Μαριάννας Περίληψη 1. Αντικείµενο- Σκοπός Αντικείµενο της διπλωµατικής αυτής εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, Κεφάλαιο 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 4) 1 Θέματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 Επιτροπή προπτυχιακών σπουδών: Κ. Βασιλάκης Κ. Γιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ Περίγραµµα Εισαγωγή Στοιχεία Πολυπλοκότητας Ηλίας Κ. Σάββας Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Τεχνολογίας Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Email: savvas@teilar teilar.gr Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική δραστηριότητα: Το πρόβλημα της λασπωμένης πόλης (σελ. 80) Πλακάκια ή τετράγωνα κομματάκια από χαρτόνι (περίπου 40 για κάθε παιδί)

Πρακτική δραστηριότητα: Το πρόβλημα της λασπωμένης πόλης (σελ. 80) Πλακάκια ή τετράγωνα κομματάκια από χαρτόνι (περίπου 40 για κάθε παιδί) 9η Δραστηριότητα Η λασπωμένη πόλη - Minimal Spanning Trees* (*είδος γραφημάτων) Περίληψη Η κοινωνία μας συνδέεται με πολλά δίκτυα: το τηλεφωνικό δίκτυο, το ενεργειακό δίκτυο, το οδικό δίκτυο. Για ένα ιδιαίτερο

Διαβάστε περισσότερα

I student. Μεθοδολογική προσέγγιση και απαιτήσεις για την ανάπτυξη των αλγορίθμων δρομολόγησης Χρυσοχόου Ευαγγελία Επιστημονικός Συνεργάτης ΙΜΕΤ

I student. Μεθοδολογική προσέγγιση και απαιτήσεις για την ανάπτυξη των αλγορίθμων δρομολόγησης Χρυσοχόου Ευαγγελία Επιστημονικός Συνεργάτης ΙΜΕΤ I student Μεθοδολογική προσέγγιση και απαιτήσεις για την ανάπτυξη των αλγορίθμων δρομολόγησης Χρυσοχόου Ευαγγελία Επιστημονικός Συνεργάτης ΙΜΕΤ Ινστιτούτο Bιώσιμης Κινητικότητας και Δικτύων Μεταφορών (ΙΜΕΤ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Ωρολόγιο Πρόγραμμα Χειμερινού Εξαμήνου 2015-2016

Ωρολόγιο Πρόγραμμα Χειμερινού Εξαμήνου 2015-2016 - Ωρολόγιο Πρόγραμμα Χειμερινού Εξαμήνου 2015-2016 Έναρξη Μαθημάτων: Δευτέρα, 28 Σεπτεμβρίου 2015 Λήξη Μαθημάτων: Παρασκευή, 8 Ιανουαρίου 2016 1 - [ 1 ο ΕΞΑΜΗΝΟ 9-10 Τεχνολογία και, Τεχνολογία και Προγρ/σμός,

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

6η Δραστηριότητα. Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης. Περίληψη. Αντιστοιχία με το σχολικό πρόγραμμα * Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά

6η Δραστηριότητα. Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης. Περίληψη. Αντιστοιχία με το σχολικό πρόγραμμα * Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά 6η Δραστηριότητα Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης Περίληψη Συχνά ζητάμε από τους υπολογιστές να ψάξουν πληροφορίες στο εσωτερικό μεγάλων αρχείων δεδομένων. Για να το καταφέρουν, απαιτούνται ταχείες και αποτελεσματικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Επισκόπηση Ετικέτες σε συνιστώσες (Component labelling) Hough μετασχηματισμοί (transforms) Πλησιέστερος

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβληµάτων. Αλγόριθµοι Αναζήτησης

Επίλυση προβληµάτων. Αλγόριθµοι Αναζήτησης Επίλυση προβληµάτων! Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης Παιχνίδια δύο αντιπάλων Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Γενικά " Τεχνητή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Ικανοποίηση Περιορισµών. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 6. Ικανοποίηση Περιορισµών. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 6 Ικανοποίηση Περιορισµών Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Ικανοποίηση Περιορισµών Ένα πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών (constraint

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29 Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα βελτιστοποίησης Γραμμικά προγράμματα Ακέραια προγράμματα Τετραγωνικά προγράμματα Διατύπωση προβλήματος Σύμβαση λύσης Κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Άπληστοι Αλγόριθμοι Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Άπληστοι Αλγόριθμοι Είναι δύσκολο να ορίσουμε ακριβώς την έννοια του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο

Διαβάστε περισσότερα