ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ"

Transcript

1 Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ίνετι η εξίσση Πόσες λύσεις έχει η εξίσση υτή; Σε ποι σηµεί η ευθεί, τέµνει τους άξονες; Ν κάνετε τη ρφική πράστση της προηούµενης ευθείς.. ίνετι η εξίσση: 6 Πόσους νώστους έχει η εξίσση υτή; Το ζεύος τιµών ( 6, ) ποτελεί λύση της εξίσσης; Το ζεύος τιµών (, ) ποτελεί λύση της εξίσσης; Μπορείτε ν ρείτε έν ζευάρι τιµών (, ) που ν ποτελεί λύση της εξίσσης; Πόσες λύσεις έχει η εξίσση υτή; Ν κάνετε τη ρφική πράστση της ευθείς (ε): 6 Ν επιλέξετε δύο σηµεί της ευθείς υτής κι ν εξετάσετε ν υτά ποτελούν λύση της εξίσσης Μήπς οι συν/νες όλν τν σηµείν της ευθείς υτής ποτελούν λύση της εξίσσης; Υπάρχουν σηµεί εκτός της ευθείς (ε) που οι συν/νες τους ν ποτελούν λύση της εξίσσης;. ίνοντι οι εξισώσεις: ( ε ) κι ( ε ) Οι ευθείες υτές είνι πράλληλες ή τέµνοντι; ( ιτί; ) Πόσες λύσεις έχει κάθε µι πό υτές τις εξισώσεις; Ν κάνετε τη ρφική πράστση τν ευθειών υτών στο ίδιο σύστηµ ξόνν Που ρίσκοντι οι λύσεις τν εξισώσεν υτών στο σχήµ; Υπάρχουν κοινές λύσεις τν εξισώσεν υτών; Ποιες είνι οι κοινές λύσεις;. ίνοντι οι εξισώσεις: ( ε ) κι ( ε ) Ν πντήσετε στ προηούµεν ερτήµτ. ίνοντι οι εξισώσεις: ( ε ) κι ( ε ) 6 Ν πντήσετε στ προηούµεν ερτήµτ

2 Ορισµός: Έν σύνολο δύο εξισώσεν πρώτου θµού µε δύο νώστους λέετι πρτοάθµιο ή ρµµικό (επειδή η ρφική τους πράστση είνι ευθεί ρµµή) σύστηµ Χ Ορισµός: Λύση του συστήµτος λέετι το ζευάρι τιµών (, ) που επληθεύουν κι τις δύο εξισώσεις. Ορισµός: Επίλυση του συστήµτος λέετι η διδικσί ( δουλειά ) που κάνουµε ι ν ρούµε τη λύση του συστήµτος Ασκήσεις ι εµπέδση : Ποι πό τ επόµεν συστήµτ έχουν µι µονδική λύση; Ποι είνι δύντ; Ποι έχουν άπειρες λύσεις ( ποι είνι η µορφή τν λύσεν ); ( Σ ):, ( Σ ):, ( Σ 6 ): 8 6 Ν κάνετε τη ρφική πράστση ( σε διφορετικό σύστηµ ξόνν ι κάθε σύστηµ ) ΣΧΟΛΙΟ : ίνετι το σύστηµ: Αν τότε το σύστηµ έχει µονδική λύση. Αν τότε το σύστηµ είνι δύντο. Αν τότε το σύστηµ έχει άπειρες λύσεις. Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

3 Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Χ : ς τρόπος : Γρφικά Πριστάνουµε ρφικά τις δύο εξισώσεις. Αν οι ευθείες τους τέµνοντι, το σύστηµ έχει µι µονδική λύση, τις συν/νες του σηµείου τοµής τους. Αν οι ευθείες είνι πράλληλες, τότε το σύστηµ είνι δύντο. Αν οι ευθείες τυτίζοντι, το σύστηµ έχει άπειρες λύσεις ( οι δύο εξισώσεις είνι µί, η ίδι ) Πράδειµ : Ν λύσετε ρφικά το σύστηµ: Y / X (,)(,) Πράδειµ : Ν λύσετε ρφικά το σύστηµ: - / - Υ Το σύστηµ είνι Α ΥΝΑΤΟ Χ

4 ς τρόπος : Μέθοδος ντικτάστσης Λύνουµε την µι εξίσση ς προς έν άνστο κι ντικθιστούµε στην άλλη. Έτσι προκύπτει µι εξίσση ς προς έν άνστο, την οποί κι λύνουµε Πράδειµ : Ν λύσετε το σύστηµ: 6 ) ( ς τρόπος : Μέθοδος τν ντίθετν συντελεστών Επιλέουµε έν άνστο κι δηµιουρούµε σε υτόν ντίθετους συντελεστές πολ/ζοντς κι τις δύο εξισώσεις µε κτάλληλους ριθµούς Πράδειµ : Ν λύσετε το σύστηµ: 6 Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

5 ς τρόπος : Μέθοδος τν οριζουσών Ορίζουσ Χ ονοµάζουµε µι διάτξη τεσσάρν ριθµών,,,δ ς εξής: δ. Μι ορίζουσ ισούτι µε: δ δ Π.Χ 8 ) ( ) ( ) ( Έστ το σύστηµ Βρίσκουµε την ορίζουσ τν συντελεστών τν νώστν Βρίσκουµε την ορίζουσ ( στην ορίζουσ τν συντελεστών τν νώστν ντικθιστούµε τη στήλη τν συντελεστών του µε τους στθερούς όρους ) Βρίσκουµε την ορίζουσ ( στην ορίζουσ τν συντελεστών τν νώστν ντικθιστούµε τη στήλη τν συντελεστών του µε τους στθερούς όρους ) Αν, τότε το σύστηµ έχει µι µονδική λύση, Αν ή κι, τότε το σύστηµ είνι Α ΥΝΑΤΟ. Αν, τότε το σύστηµ είνι ΑΟΡΙΣΤΟ ή Α ΥΝΑΤΟ. Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

6 Πράδειµ : Ν λύσετε το σύστηµ:,, 6 Άρ το σύστηµ έχει µονδική λύση:, ΣΧΟΛΙΟ : Μέχρι τώρ σχοληθήκµε µε ρµµικά συστήµτ Χ. Υπάρχουν κι ρµµικά συστήµτ Χ δηλδή τριών εξισώσεν µε τρεις νώστους, Χ, Χ, κ.λ.π. Γι ν λύσουµε έν ρµµικό σύστηµ Χ, δουλεύουµε µε τη µέθοδο της ντικτάστσης, όπς στο πρκάτ πράδειµ. Πράδειµ : (,,) (,,) δηλδή, 9 9 ) ( Όµοι λύνοντι κι τ ρµµικά συστήµτ Χ, Χ, κ.λ.π. Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

7 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ( ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ) Αν µι ή περισσότερες εξισώσεις ενός συστήµτος είνι δευτεροάθµι, τότε το σύστηµ λέετι δευτεροάθµιο σύστηµ. Εδώ θ σχοληθούµε µε δευτεροάθµι συστήµτ, όπου η µι εξίσση είνι ου θµού κι η άλλη εξίσση ου θµού. Γι την επίλυση ενός τέτοιου συστήµτος, δουλεύουµε µε τη µέθοδο της ντικτάστσης. Ποιο συκεκριµέν, λύνουµε την πρτοάθµι ς προς έν άνστο κι ντικθιστούµε στη δευτεροάθµι. Πράδειµ : Ν λύσετε το σύστηµ: ή ή ή ) ( ) ( ) ( Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Ν λύσετε τ πρκάτ συστήµτ ( µε τρόπους τ πρτοάθµι συστήµτ) : ) ( ) ίνετι η συνάρτηση: ) ( f() Αν είνι νστό ότι κι η ρφική της πράστση διέρχετι πό το σηµείο, ν ρείτε τ,. Μετά ι τις τιµές υτές τν,, ν κάνετε τη ρφική πράστση της συνάρτησης f. f() ) A(, ) ίνετι το σύστηµ : λ λ λ Γι ποιες τιµές του λ, το σύστηµ έχει µι µονδική λύση; Ποι είνι η λύση υτή; Γι ποιες τιµές του λ, το σύστηµ είνι δύντο; Γι ποιες τιµές του λ, το σύστηµ έχει άπειρες λύσεις; ) ίνετι το σύστηµ: ) ( ) (. Ν ρείτε τ, ώστε το σύστηµ ν έχει λύση (, ) Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

9 Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης ) Σε έν ρµµικό σύστηµ Χ είνι:, 6, -. Ποιες πό τις πρκάτ προτάσεις είνι σστές; Α) Το σύστηµ έχει άπειρες λύσεις Β) Το σύστηµ ληθεύει µόνο ι το ζεύος τιµών (,) (,-) Γ) Οι ευθείες που πριστούν οι δύο εξισώσεις του συστήµτος είνι πράλληλες ) Οι ευθείες που πριστούν οι δύο εξισώσεις του συστήµτος τέµνοντι σε σηµείο που ρίσκετι στο τετρτηµόριο 6) Σε έν ρµµικό σύστηµ Χ είνι: ( ) ( ). Ποιες πό τις πρκάτ προτάσεις είνι σστές; Α) Το σύστηµ έχει άπειρες λύσεις Β) Το σύστηµ είνι δύντο Γ) Το σύστηµ έχει µονδική λύση (,)(/, ) 7) Ν ρείτε τ σηµεί τοµής τν ρµµών : κι. 8) Ορθονίου πρλληλοράµµου η περίµετρος είνι m κι το εµδόν του 6m. Ν ρείτε τις πλευρές του πρλληλοράµµου. 9) ίνετι το σύστηµ : λ λ Α) Ν ποδείξετε ότι το σύστηµ υτό έχει µονδική λύση (, ) Β) Ν ρείτε τις τιµές του λ ι τις οποίες ισχύει: λ µ ) ίνετι το σύστηµ :. Γι ποιες τιµές τν λ, µ το σύστηµ έχει λύση 6 λ (,)(,) ; Έχει άλλες λύσεις το σύστηµ υτό;

10 ) Ν λύσετε τ πρκάτ συστήµτ ( συστήµτ µε τεχνάσµτ) : z z z ) ίνετι το σύστηµ IR λ, λ λ λ λ. ) Ν λυθεί το σύστηµ. ) Αν (, ) είνι µι λύση του πρπάν συστήµτος, ν ρείτε τις τιµές του λ ι τις οποίες είνι: Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. 0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Πολλπλσισμός-Διίρεση ρητών πρστάσεν Πολλπλσισμός Γι ν πολλπλσιάσουμε ένν κέριο ριθμό με έν κλάσμ ή ι ν πολλπλσιάσουμε δύο κλάσμτ, χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φυσικοί ριθµοί (Ν :,,,,... Ακέριοι ριθµοί (Ζ :...,,,,,... Ρητοί (Q λέγοντι οι ριθµοί που µπορούν ν γρφούν µε τη µορφή κλάσµτος δηλδή, στη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµ ο Α) Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω ερωτήσεις ως σωστές (Σ) ή άθος (Λ): I) Αν ( γ) //γ, τότε ( γ) // II) Αν γ, τότε γ III) Το συµµετρικό του σηµείου Μ (,5) ως

Διαβάστε περισσότερα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα Ερωτήσεις νάπτυξης 1 * Ν κτσκευάσετε το άθροισµ των δινυσµάτων + + 3 όπου 2 * ι ποιες τιµές του πρµτικού ριθµού λ ισχύει ( λ ) < 5 0 ; 3 ** Στο επίπεδο δίνοντι τ µη µηδενικά δινύσµτ, κι, τ οποί νά δυο

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

9.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 194. Ερωτήσεις κατανόησης. Στο παρακάτω σχήµα να συµπληρώσετε τα κενά Λύση

9.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 194. Ερωτήσεις κατανόησης. Στο παρακάτω σχήµα να συµπληρώσετε τα κενά Λύση 1 9.4 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 194 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ ν συµπληρώσετε τ κενά Ε i) = + +. ii) = + +.Ε. Ν βρεθεί το είδος των ωνιών του τριώνου ότν i) β = + ii) = β iii) β = i) β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α A ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α Β ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΙΑΣ ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΑΛΛΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΕ ΑΥΤΕΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΙΑΣ ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΑΛΛΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΕ ΑΥΤΕΣ 2 ΥΝ ΤΗ Υ Τ ΤΗΝ ΥΗ 363 ΜΤΗΗ Μ ΛΥ ΤΩΝΥ ΥΝΤΗ ΤΩΝ ΛΛΩΝ ΛΥΩΝ ΤΥ ΤΩΝ ΛΩΝ ΤΗ ΥΤ Μστροιάννης Ν. νάρυρος Μθημτικός πιμορφωτής Ν.Τ. ΛΗΗ Το θέμ προς διπρμάτευση νφέρετι στη σχέση των εμδών που σχημτίζοντι σε τρίωνο

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 6. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρί Μέθοδος Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός. Έστω συνάρτηση y f( πργωγίσιµη στο. Ρυθµός µετβολής του y ως προς στο σηµείο λέγετι η πράγωγος f ( κι Ρυθµός µετβολής του y ως προς λέγετι

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών 0. 0.5 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου κι λόγος εµβδών ΘΕΩΡΙ. Ε= τ( τ )( τ β)( τ γ ) Ε = τ ρ Ε = β γ R Ε = β γ ηµ = γ ηµ = β ηµ ηµ = β ηµ = γ ηµ = R. ν δύο τρίγων έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. άθροισµα του δείκτη (θέση) του στοιχείου είναι άρτιο ή περιττό δηλαδή ( 1) = ( + ), στο στοιχείο α 32 είναι ( 1)

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. άθροισµα του δείκτη (θέση) του στοιχείου είναι άρτιο ή περιττό δηλαδή ( 1) = ( + ), στο στοιχείο α 32 είναι ( 1) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΈΝΝΟΙ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΣ Γι ένν ν ν τετρωνικό πίνκ, έµε ορίζουσ του πίνκ κι ράφουµε deta A, τον πρµτικό ριθµό που προκύπτει πό µί συκεκριµένη διδικσί υποοισµού ν ο είνι πίνκς η ορίζουσά του υποοίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα. 1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ. Α Γυµνασίου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ. Α Γυµνασίου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ ος Ηµθιώτικος Μθητικός ιγωνισµός στ Μθηµτικά «Η ΥΠΑΤΙΑ» Θέµ 1ο Σάτο 1 Νοεµρίου 009 Α Γυµνσίου Ο ρίσκετι σε έν κινηµτογράφο όπου όλες οι σειρές έχουν κριώς

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ Δύο ομογενείς δίσκοι, ένς μεγάλος μάζς Μ=3kg κι κτίνς =40 κι ένς μικρός μάζς m=kg κι κτίνς =10, ενώνοντι έτσι ώστε ν συμπίπτουν τ κέντρ τους. Ο δίσκος κτίνς διθέτει υλάκι

Διαβάστε περισσότερα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα 1 7.1 7.7 ΘΩΡΙ 1. ύο θεµελιώδεις ισοδυνµίες ν, β 0 ευθ.τµήµτ κι x > 0 τότε = β x β = x = xβ = xβ 2. Ιδιότητες νλογιών β = γ δ δ = βγ (γινόµενο άκρων = γινόµενο µέσων) β = γ δ γ = β δ (ενλλγή των µέσων)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχεδίση µε τη χρήση Η/Υ Κ Ε Φ Λ Ι 1 Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Κ Τ Σ Κ Ε Υ Ε Σ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Σ Ν Θ Π Υ Λ Σ, Ε Π Ι Κ Υ Ρ Σ Κ Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Ι Ι Κ Η Σ Η Σ Κ Ι Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Η Σ Ε Ρ Γ Ω Ν Τ Ε Ι Λ Ρ Ι Σ Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Έννοιες

Επαναληπτικές Έννοιες Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Γι τις ερωτήσεις 1.1-1.4 ν γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

3. 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. α) Μέθοδος της αντικατάστασης. β) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών

3. 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. α) Μέθοδος της αντικατάστασης. β) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 8. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Στην προσπάθει μς ν επιλύσουμε λγερικά έν σύστημ δύο εξισώσεων θμού με δύο γνώστους θ έχουμε σν στόχο ν πλείψουμε πό την μί πό τις δύο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

απέναντι ) έτσι ώστε ο άξονα Ox να είναι η

απέναντι ) έτσι ώστε ο άξονα Ox να είναι η ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ - 5 - ΚΕΦΑΛΑΙ 5 ΚΕΦΑΛΑΙ 5 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ 6.. Τριγνµετρικί ριθµί. ρισµός τυς σε ρθγώνι τρίγν ρίζ ηµβ= Β= Β= σφβ= β ένντικάθετη υτείνυσ γ ρσκείµενη κάθετη υτείνυσ β ένντικάθετη γ ρσκείµενη κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ

2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ 1.3 ΜΕΤΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΙ ΕΦΠΤΟΜΕΝΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Μετβολή του ηµιτόνου : Ότν µί οξεί ωνί υξάνετι, υξάνετι κι το ηµίτονο της. ηλδή ν ω > φ τότε ηµω > ηµφ. Μετβολή του συνηµιτόνου : Ότν µί οξεί ωνί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα