1. Určenie tiažového zrýchlenia reverzným kyvadlom

Transcript

1 1. Určenie tiažového zrýchlenia reverzným kyvalom Autor pôvoného textu: ozef Lasz Úloha: V mieste fyzikálneho laboratória experimentálne určiť veľkosť tiažového zrýchlenia Teoretický úvo Kažé teleso upevnené tak, že sa môže otáčať okolo voorovnej osi neprecházajúcej jeho ťažiskom, sa môže považovať za fyzikálne kyvalo. Kyvalo je v rovnovážnej polohe, ak jeho ťažisko je v najnižšej polohe, tea ak leží na zvislej priamke precházajúcej osou otáčania. Pri vychýlení kyvala z rovnovážnej polohy o uhol ϕ, začne naň pôsobiť moment M tiažovej sily: M = r mg = (-η) rmg sin ϕ, (1.1) ke g je vektor tiažového zrýchlenia, η jenotkový vektor zvolený tak, že smeruje pre rovinu papiera, ale poľa obrázku vektor reprezentujúci moment sily smeruje za os rovinu papiera. Preto vo vzťahu (1.1) M = r mg = (-η) rmg sin ϕ r vystupuje znamienko mínus. Moment ϕ sily vracia kyvalo o rovnovážnej polohy. ťažisko M η. mg Obr. 1.1 Pohybová rovnica telesa ktoré sa môže otáčať okolo pevnej osi, tea aj fyzikálneho kyvala, má tvar: M = α, (1.) ke je moment zotrvačnosti kyvala vzhľaom na anú os, M moment sily vzhľaom na tú istú os a α je vektor uhlového zrýchlenia kyvala. Uhlové zrýchlenie α sa rovná ruhej erivácii vektora ϕ = ϕ η, prestavujúceho výchylku kyvala ako vektorovú veličinu: ϕ α = η. (1.3) t Po osaení vzťahov (1.1) a (1.3) o pohybovej rovnice (1.) ostaneme výsleok ϕ η = rmg sin ϕ η. (1.4) t Skalárny tvar tejto rovnice, ktorý získame ostránením jenotkového vektora, po menšej úprave je nasleujúci: ϕ rmg + sinϕ = 0. (1.5) t Nájsť riešenie tejto iferenciálnej rovnice znamená nájsť závislosť uhlovej súranice ϕ o času. Pri kmitavom pohybe kyvala sa súranica ϕ perioicky mení o maximálnej klanej honoty cez nulovú až po minimálnu zápornú. V krajnej polohe sa zastaví a maximálnu

2 uhlovú rýchlosť osahuje pri prechoe rovnovážnou polohou. Závislosť výchylky o času sa poobá funkcii sínus (resp. kosínus). Takéto jenouché riešenie v tvare funkcie sínus je celkom správne iba v prípae veľmi malých výchyliek. Pri malých výchylkách možno funkciu sinϕ s ostatočnou presnosťou nahraiť uhlovou súranicou ϕ vyjarenou v raiánoch. Diferenciálna rovnica pre malé výchylky má potom tvar: ϕ + ϕ = 0. (1.6) t e to tvar zhoný s tvarom iferenciálnej rovnice harmonického oscilátora. Exaktným riešením takejto iferenciálnej rovnice je nasleujúca časová závislosť uhlovej súranice: ( ) o sin ϕ t = ϕ t, (1.7) ke ϕ o je amplitúa, čiže maximálna uhlová výchylka kyvala, meraná v raiánoch. Z tohto riešenia vyplýva, že uhlová frekvencia ω kmitavého pohybu sa vyjaruje vzťahom: ω =. (1.8) Mezi obou kmitu T a uhlovou frekvenciou ω platí vzťah ωt = π, takže oba kmitu fyzikálneho kyvala je vyjarená vzťahom: T = π. (1.9) V tomto vzťahu vystupuje moment zotrvačnosti kyvala, hmotnosť kyvala m, tiažové zrýchlenie g a vzialenosť r ťažiska o (voorovnej) osi otáčania. Metóa merania Na meranie tiažového zrýchlenia využijeme tzv. reverzné kyvalo. Toto kyvalo pozostáva z kovovej tyče s vomi rovnobežnými závesmi, prestavujúcimi osi otáčania, a zo závažia Z, ktoré sa na konci tyče môže posúvať (mení sa vzialenosť ). Osi otáčania sú umiestnené v nerovnakých vzialenostiach o ťažiska tyče so závažím. Posúvaním závažia sa posúva poloha ťažiska celej sústavy. Ak kyvalo kmitá okolo osi O 1, pre uhlovú frekvenciu platí vzťah O 1 r 1 1 ω 1 =, (1.10) 1 ke poľa Steinerovej vety 1 = o + mr 1. Po preklopení kyvala, t.j. keď o hornej polohy áme os O, pre uhlovú frekvenciu kmitov T r okolo tejto osi platí vzťah O ω =, (1.11), Z v ktorom = o + mr. Veličina o je moment zotrvačnosti tyče Obr. 1. so závažím vzhľaom na os precházajúcu ťažiskom celej sústavy. Posúvaním závažia sa á kyvalo nastaviť tak, aby kmitalo s rovnakou obou kmitu okolo obivoch osí (t.j. aj rovnakými uhlovými frekvenciami). Vtey platí: ω 1 = ω = ω. (1.1)

3 Použitím vzťahov (1.10), (1.11), (1.1) a vylúčením veličiny o, ktorej veľkosť nemusíme poznať, ostaneme výsleok g g ω = =, (1.13) r + r l ke l je vzájomná vzialenosť osí O 1 a O. Pre obu kmitu T * potom vycháza 1 okiaľ vypočítame tiažové zrýchlenie. T * π l = = π. (1.14) ω g Opis aparatúry a postup práce a) Prístroje a pomôcky: reverzné kyvalo, skrutkovač, ĺžkové meralo, elektronické zariaenie na meranie oby kmitu a počtu kmitov. b) Postup práce: Zmeriame závislosť oby kmitu T okolo osí O 1 a O o parametra, čo je vzialenosť závažia Z o konca tyče. Vzialenosť postupne zväčšujeme s krokom 1 cm, začíname o T T * polohy = 7 cm. Presnosť merania zvýšime tým, že meriame obu aspoň 10 kmitov v kažej polohe závažia. Navyše všetky merania aspoň trikrát opakujeme. Namerané úaje zapisujeme o tabuľky. Dôslene treba bať na to, aby začiatočná výchylka nebola väčšia než 5 (na zariaení je maximálna výchylka vyznačená) a aby tyč kyvala kývala vo zvislej rovine. Poľa nameraných honôt nakreslíme graf závislosti ôb kmitu T 1 a T o polohy závažia. Z grafu očítame čas T *, pre ktorý platí T 1 = T = T * a pomocou vzťahu (1.14) vypočítame tiažové zrýchlenie. Porovnáme ho s normálnym tiažovým zrýchlením g n = 9,806 m/s. Hlavička oporúčanej tabuľky O 1 (horná os) / cm 10 T 1 10 T 1 10 T 1 O (olná os) T 1 / s / cm 10 T 10 T 10 T T / s Otázky 1. Aká musí byť ĺžka matematického kyvala, aby kmitalo s rovnakou perióou, ako konkrétne fyzikálne kyvalo?. V čom spočíva metóa merania tiažového zrýchlenia pomocou reverzného kyvala? 3. Aký je vzťah mezi vzialenosťou osí reverzného kyvala a ĺžkou matematického kyvala kmitajúceho s rovnakou perióou ako reverzné kyvalo? 3

4 Meno: Krúžok: Dátum merania: Protokol laboratórnej úlohy 1 Meranie tiažového zrýchlenia reverzným kyvalom LÚ 1 Stručný opis metóy merania: Vzťah ktorý sa používa pri meraní: Prístroje a pomôcky: Meranie: Vzialenosť osí kyvala: l = Tabuľka / cm O 1 (horná os) T 1 10 T 1 10 T 1 O (olná os) T 1 / s / cm 10 T 10 T 10 T T / s K protokolu treba pripojiť graf závislosti oby kmitu o polohy závažia 4

5 Nájená honota T * = Sem vpíšte výpočet s uveením honôt a rozmerov veličín: g = Percentuálny roziel nameranej a normálnej honoty tiažového zrýchlenia: g g n Δ = 100 = g n Zhonotenie výslekov merania: Dátum oovzania protokolu: Popis štuenta: Popis učiteľa: 5