ΠΡΑΚΤΙΚΑ. 16 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. Επιμέλεια Πρακτικών. Α. Γαγάτσης, Α.Φιλίππου Θ. Παραγιού, Δ.

Transcript

1

2

3 ΠΡΑΚΤΙΚΑ 16 ο ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 7 9 Φεβρουαρίου 2014 Πάφος ΟΡΓΑΝΩΣΗ 30 Χρόνια Προσφοράς και Δημιουργίας στη Μαθηματική Επιστήμη και Παιδεία της Κύπρου Σε συνεργασία με: Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Επιθεώρηση Μαθηματικών Σύνδεσμο Μαθηματικών Κύπρου Επιμέλεια Πρακτικών Α. Γαγάτσης, Α.Φιλίππου Θ. Παραγιού, Δ. Καραντάνος ISBN: ηλεκτρονική μορφή) ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ , Φαξ: , cms@cms.org.cy,

4

5 16 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Επιστήμης και Παιδείας Οργάνωση Γενικός Συντονιστής Συνεδρίου: Γρηγόρης Μακρίδης, Πρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Προϊστάμενος ΥΕΔΣ Πανεπιστημίου Κύπρου Επιστημονικός Υπεύθυνος Συνεδρίου Αθανάσιος Γαγάτσης, Αντιπρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων Πανεπιστημίου Κύπρου Συντονιστής Συμποσίου Μαθηματικής Παιδείας Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης: Αθανάσιος Γαγάτσης, Αντιπρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων Πανεπιστημίου Κύπρου Συντονιστής Συμποσίου Μαθηματικής Παιδείας Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης: Ανδρέας Φιλίππου, Γενικός Γραμματέας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης Συντονιστές Μαθητικού Συνεδρίου: Θεόκλητος Παραγιού, Ταμίας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης Δημήτρης Καραντάνος, Οργανωτικός Γραμματέας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης (iii)

6 Μέλη Οργανωτικής Επιτροπής Κωνσταντίνος Χρίστου, Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Κωνσταντίνος Παπαγιάννης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σάββας Αντωνίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Μάριος Ευσταθίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σωτήρης Λοϊζιάς, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρέας Σκοτεινός, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σάββας Τιμοθέου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρέας Σαββίδης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Αναστασία Ηρακλέους-Θεοδώρου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Χαράλαμπος Καττιμέρης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Δώρα Συμεού, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Γρηγόρης Γρηγορίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ιωάννου Ιωάννης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Κυριάκος Κωνσταντινίδης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Κωνσταντίνος Κουμής, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Νικόλας Γιασουμής, Σύνδεσμος Μαθηματικών Κύπρου Γιώργος Μυλωνάς, Σύνδεσμος Μαθηματικών Κύπρου Ολυμπία Ορφανίδου, Σύνδεσμος Μαθηματικών Κύπρου Πέτρος Πέτρου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Παντελής Ζαμπυρίνης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Τάνια Παναγιώτου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Τα ενυπόγραφα άρθρα εκφράζουν τις απόψεις και μόνον των αρθογράφων και δεν απηχούν απαραίτητα τις απόψεις του εκδότη. (iv)

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ A Το 16o Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης οργανώνεται στην πιο δύσκολη περίοδο που διανύει η χώρα μας σε σχέση με την οικονομία. Οι προκλήσεις και η αξία της εκπαίδευσης δημιουργούν σύγχυση, πολλοί επιστήμονες είναι άνεργοι ενώ ταυτόχρονα δεν φαίνεται προοπτική για ποιες είναι οι σωστές επιλογές. Τα μαθηματικά ως η βασίλισσα των επιστημών καλούνται να δώσουν λύσεις και η λύση είναι απλή και μία. Οι γερές βάσεις στα μαθηματικά θα βοηθήσουν τους νέους μας ώστε να μπορούν να αποκτούν διαθεματικές γνώσεις και να αναπτύσσουν δεξιότητες χρήσιμες για κάθε είδος εργασία, μέσα στο άγνωστο μέλλον. Τα συνέδρια όπως το Παγκύπριο Συνέδριο στα Μαθηματικά επικοινωνούν τα μαθηματικά με τρόπο χρήσιμο προς όλους, μαθητές, εκπαιδευτικούς, ερευνητές. Η παράλληλη διοργάνωση με το Παγκύπριο Μαθητικό Συνέδριο δίνει διαφορετική διάσταση σε όλο το περιβάλλον του Συνεδρίου. Ελπίζουμε ότι μέσα από το Παγκύπριο Συνέδριο θα αναπτυχθούν συνεργασίες και θα δημιουργηθούν νέες ιδέες για νέες καινοτομίες στο τομέα της μαθηματικής επιστήμης και παιδείας. Ευχαριστούμε τους συνεργάτες μας στο συνέδριο αυτό όπως το Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμούς (Γενική Διεύθυνση, Διεύθυνση Μέσης Εκπαίδευσης, Γενική Επιθεώρηση), τη Σχολή Κοινωνικών Επιστημών και Επιστημών της Αγωγής του Πανεπιστημίου Κύπρου, το Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής του Πανεπιστημίου Κύπρου, το Σύνδεσμο Μαθηματικών Κύπρου και την Κυπριακή Αστροναυτική Εταιρεία. Ιδιαίτερες ευχαριστίες στη Γενική Διευθύντρια του Υπουργείου Παιδείας και Πολιτισμού, κα Αίγλη Παντελάκη, που έθεσε το Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης υπό την αιγίδα της. Εκ μέρους του Διοικητικού Συμβουλίου της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας εκφράζω ευχαριστίες σε όλους όσους βοήθησαν στην οργάνωση των Συνεδρίου. Δρ Γρηγόρης Μακρίδης Πρόεδρος Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας Πρόεδρος Ιδρύματος ΘΑΛΗΣ (v)

8 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Β Η παρούσα έκδοση του τόμου των Πρακτικών του συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας της ΚΥΜΕ 2013 φανερώνει τη θέληση της ΚΥΜΕ για διατήρηση και ενίσχυση του θεσμού των συνεδρίων στην Μαθηματική Παιδεία. Η επιμονή αυτή δηλώνει τη σημασία που αποδίδει το Συμβούλιο της ΚΥΜΕ στη διάδοση των μαθηματικών αλλά και θεμάτων διδασκαλίας των μαθηματικών καθώς και στην ενίσχυση του διαλόγου μεταξύ των συναδέλφων. Ελπίζω ότι ο παρών τόμος θα εκπληρώσει τις φιλοδοξίες του, να είναι δηλαδή χρήσιμος για τους μαθηματικούς και γενικά για όλους όσους έχουν ερευνητικά ή πρακτικά ενδιαφέροντα για τα Μαθηματικά και τη Διδακτική τους. Αθανάσιος Γαγάτσης Αντιπρόεδρος ΚΥΜΕ Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων, Πανεπιστήμιο Κύπρου (vi)

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 1 1. On the spectral radius of Coxeter transformations of Salem trees 3 Χαράλαμπος Ευριπίδου 2. Το Λήμμα Yoneda ως γενίκευση του Θεωρήματος Cayley 13 Γεώργιος Χαραλάμπους ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Le-MATH: Μαθαίνοντας μαθηματικά μέσω νέων παραγόντων επικοινωνίας 21 Γρηγόρης Μακρίδης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία και συνεργάτες 2. Η χρήση των βαρυκεντρικών συντεταγμένων στην λύση προβλημάτων Ευκλείδειας Γεωμετρίας Θεόκλητος Παραγυίου Εικασία Του Goldbach 53 Αλκιβιάδης Μάζαρης 4. Αντίληψη γεωμετρικού σχήματος σε διάσημα θεωρήματα γεωμετρίας 55 Αθανάσιος Γαγάτσης, Κωνσταντίνος Παπαγιάννης, Σοφία Σάββα 5. Μέγιστα - ελάχιστα χωρίς τη χρήση ανάλυσης 69 Σάββας Τιμοθέου, Ανδρέας Φιλίππου 6. Συνεργατικές διερευνήσεις με ανοιχτά προβλήματα 93 Γιώργος Κόσυβας (vii)

10 7. Οι αναπαραστάσεις για την έννοια των ίσων μερών της μονάδας στα σχολικά εγχειρίδια του Ελλαδικού εκπαιδευτικού συστήματος Ευγένιος Αυγερινός, Βλάχου Ρόζα Για ένα σύγχρονο σύστημα αξιολόγησης στα μαθηματικά με τη χρήση νέων τεχνολογιών και τεχνικών τεχνητής νοημοσύνης 117 Ευγένιος Αυγερινός, Αθανάσιος Καραγεωργιάδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΡΟΝΑΥΤΙΚΗΣ Η προσέλευση των χημικών στοιχείων και η αφθονία των βαρέων μετάλλων 131 Νικόλαος Δερμοσονιάδης 2. Νέες θεωρίες για τη σύσταση του σύμπαντος. Σκοτεινή (μαύρη) ενέργεια (black energy) σκοτεινή (μαύρη) ύλη (black matter) και μαύρες τρύπες (black holes ) 139 Πέτρος Πέτρου (viii)

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

12

13 ON THE SPECTRAL RADIUS OF COXETER TRANSFORMATIONS OF SALEM TREES CHARALAMPOS A. EVRIPIDOU Abstract. We explicitly calculate the Coxeter polynomial of a family of Salem trees and find the limit of the spectral radius of their Coxeter transformations. We also prove a relation about multiplicities of eigenvalues of Coxeter transformations of joins of trees. 1. Introduction In [1] Piroska Lakatos proved a result about the spectral radius of Coxeter transformations of noncyclotomic starlike trees (which she called wild stars). Let S p (0) 1,...,p k denote the wild star consisting of k paths of length p 1,..., p k and one branching point. Lakatos [1] proved that the limit of the spectral radius of the Coxeter transformations of S p (0) 1,...,p k as p 1,..., p k is k 1. The aim of this paper is to generalize that result to the case where instead of k paths we have i Dynkin diagrams of type D p and k i paths. In addition our line of proof is different from the one in [1]. In this paper we consider simple graphs (i.e. graphs without multiple edges and loops) which we call (simply laced) Coxeter graphs. The set of vertices of the graph Γ will be denoted by V(Γ) = {v 1, v 2,..., v n } and the edges of Γ by E(Γ), where (v i, v j ) E(Γ) the vertices v i, v j are connected with an edge. The adjacency matrix of Γ is the n n symmetric 0 1 matrix A, with A i,j = 1 if and only if (v i, v j ) E(V ). The characteristic polynomial χ Γ (x) of Γ is that of A. Let V be an n-dimensional real vector space with basis {e 1,..., e n }. The Coxeter reflections σ i are the transformations defined by σ i (e j ) = e j (2δ i,j A j,i ) e i, where δ i,j is the Kronecker delta. The group W generated by the Coxeter reflections {σ 1, σ 2,..., σ n } is known as the Coxeter group of Γ and it has presentation W = σ 1, σ 2,..., σ n : (σ i σ j ) Mi,j = 1, where M i,j is the Coxeter matrix defined by M i,i = 1 for all i = 1, 2,..., n and M i,j = A i,j +2 for all i j. The product of a permutation of the generators σ i is of particular interest and is called Coxeter transformation or Coxeter element. These elements were first studied by Coxeter in [2] for the finite reflection groups, where he showed that their eigenvalues have remarkable properties. In this paper we will be concerned only with Coxeter graphs that are trees. This class of graphs has the property that all their Coxeter elements are conjugate in W (see [3]) and therefore we can speak about the Coxeter polynomial of Γ which is the characteristic polynomial of a Coxeter element. We will denote this polynomial by Γ(x). Another important property of trees is that they are bipartite, i.e. the 2010 Mathematics Subject Classification. 20F55. Key words and phrases. Coxeter polynomial; Coxeter transformation; Spectral radius; This work was co-funded by the European Regional Development Fund and the Republic of Cyprus through the Research Promotion Foundation (Project: PENEK/0311/30). 3

14 CHARALAMPOS A. EVRIPIDOU set of their vertices, V(Γ), can be partitioned into two sets V 1, V 2 with the property v 1, v 2 V 1 or v 1, v 2 V 2 = (v 1, v 2 ) E(Γ). Let p(x) be a monic polynomial with integer coefficients. We denote the set of its zeros {z C : p(z) = 0} by Z(p) and the maximum value of the set { z : z Z(p)} by ρ(p). The reciprocal polynomial of p(x) is the polynomial p (x) = x n p ( 1 x), where n = deg(p). The polynomial p(x) is called reciprocal polynomial if it is its own reciprocal. With the polynomial p(x) we associate the polynomial f(x) = x n p ( x + x) 1, which is reciprocal. The sets Z(p) and Z(f) are related in the following way. Suppose r Z(p) is real and let z = r± r Then z Z(f) and if r 2 z = 1 while if r > 2 z R and z > 1. Suppose now that the polynomial p(x) is irreducible. If ρ(p) = 1 then the polynomial p is called cyclotomic. If ρ(p) is the only zero of p(x) with modulus larger than 1, then if 1 ρ(p) Z(p) the polynomial p(x) is called Salem polynomial while if 1 ρ(p) Z(p) it is called Pisot polynomial. The corresponding values ρ(p) are called Salem and Pisot numbers respectively. It is not so hard to see that cyclotomic and Salem polynomials are reciprocal. A Coxeter graph Γ is called cyclotomic graph if all the roots of its Coxeter polynomial are on the unit disk or equivalently its Coxeter polynomial is a product of cyclotomic polynomials. It is called a Salem graph if its Coxeter polynomial has only one root outside the unit circle or equivalently its Coxeter polynomial is a product of a Salem and cyclotomic polynomials. t v 2,1 v k,1. v k,pk 3 v 1,1 v 1,p v 1,p1 2 H 1 v 2,p2 3 v2,p2 2 H 2 v j,pj 1 v j,pj 2 H j for j = 1, 2,..., i. v j,pj 2 v j,pj 1 v j,pj v j,pj H j for j = i + 1, i + 2,..., k. v k,pk 2 H k Figure 1. The graphs S (i) p 1,...,p k For k Coxeter graphs Γ 1, Γ 2,..., Γ k their join on the vertices v i V(Γ i ) is the graph obtained by adding a new vertex and joining that to v i for all i = 1, 2,..., k. In [4] it was shown that if a noncyclotomic tree is the join of cyclotomic trees then it is a Salem tree. For k N, p 1,..., p k N and i {0, 1, 2,..., k} consider the graph S p (i) 1,...,p k which is the join of the Dynkin diagrams D p1,..., D pi and A pi+1,..., A pk, as shown in fig. 1. For particular values of i and p j the graphs give rise to well known graphs. For k = 2, i = 0 we obtain the Dynkin diagrams A p1+p 2+1, for k = 3, i = 0, p 1 = 1, p 2 = 2 we obtain the graphs E p3+4, for k = 3, i = 0, p j = 2 the affine Dynkin diagram E (1) 6, for k = 3, i = 1, p 2 = p 3 = 1 S (i) p 1,,p k the affine Dynkin diagrams D (1) p 1+2 and many others. The polynomial S(0) 1,2,6 (x) is the well known Lehmer s polynomial which is conjectured to have the smallest Mahler measure among the monic integer polynomials (see for instance [5]). In this paper we will mainly concerned with the case k = 3 and prove three theorems about the Coxeter polynomials S p,q,r(x). (i) In theorem 1 we explicitly calculate the Coxeter polynomials S p,q,r(x) (i) for i = 0, 1, 2, 3. In theorem 2 we show that the 4

15 ON THE SPECTRAL RADIUS OF COXETER TRANSFORMATIONS OF SALEM TREES 3 ( ) lim p ρ S p,q,r (i) also that lim p,q,r ρ that lim p1,...,p k ρ (, lim q ρ ( ) S (i) p,q,r ( S (0) S (i) p,q,r showing that for all i {0, 1,..., k} the lim p1,...,p k ρ ) ( ) and lim r ρ S p,q,r (i) are Pisot numbers and = 2 for all i = 0, 1, 2, 3. Piroska Lakatos in [1] showed ) p 1,...,p k = k 1. In theorem 3 we generalize that result by ( ) S p (i) 1,...,p k = k 1. Theorem 1. For i 2 the Coxeter polynomial S p,q,r(x) (i) of the Coxeter graph S (i) is given by the formula x 1 ( (x + 1) i S(i) p,q,r(x) = x r+2 F p,q(x) (i) F p,q) (i) (x), where the polynomials F (i) p,q are F (0) p,q (x) = x p+q A p 1 (x)a q 1 (x), F (1) p,q (x) = x p+q 2 (x 1) ( x p ) A q 1 (x) and F (2) p,q (x) = x p+q 4 (x 1) 2 ( x p ) ( x q ). The Coxeter polynomial S p,q,r(x) (3) is given by the formula with F (3) p,q (x) = F (2) p,q (x). 1 (x + 1) 3 S(3) p,q,r(x) = x r F (3) p,q (x) + Theorem 2. The spectral radius ρ satisfies ( ) ( ) (1) lim ρ S p,q,r (i) = ρ F p,q (i) r ( (2) lim ρ S p,q,r (i) p ( (3) lim ρ S (i) p,q p,q,r ( (4) lim ρ S p,q,r (i) q,r ( (5) lim ρ S p,q,r (i) p,q,r ( F (3) p,q ) (x), p,q,r, ( ) S p,q,r (i), of the Coxeter transformation of S p,q,r, (i) ( ) and ρ F p,q (i) is a Pisot number for i = 0, 1, 2, ) ( ) = ρ F q,r (i 1) for i = 1, 2, 3, ) = ρ ( x r+2 2x r ) for i = 0, 1, 2, ) = ρ ( x p 2x p 1 1 ) for i = 1, 2, 3 and ) = 2 for all i = 0, 1, 2, 3. Theorem 3. For k, p 1,..., p k N and all i {0, 1,..., k} ( ) lim ρ S p (i) p 1,...,p k 1,...,p k = k 1. Remark 1. James McKee and Chris Smyth in [4] gave a characterization of all Salem trees. It follows from their characterization that the cyclotomic cases of S p (i) 1,...,p k are those for k = i = 2 or k = 3, i = 0, p 1 = p 2 = p 3 = 2 or k = 3, i = 0, p 1 = 1, p 2 = p 3 = 3 or k = 3, i = 0, p 1 = 1, p 2 = 2, p 3 = 5 and subgraphs of these. For all the other cases, S p (i) 1,...,p k are Salem trees. Example 1. For the case of the D n Dynkin diagrams, theorem 1 gives D n (x) = S (0) 1,1,n 3 (x) = 1 ( x n 1 (x 2 1) + x 2 1 ) = x n + x n+1 + x + 1. x 1 5

16 For the case of the D (1) n CHARALAMPOS A. EVRIPIDOU affine Dynkin diagrams theorem 1 gives D n (1) (x) = S (1) n 2,1,1 (x) = x + 1 ( x 3 (x n 2 x n 3 x n 4 1) + x n 2 + x 2 + x 1 ) = x 1 ( x n 2 1 ) (x 1) (x + 1) 2. For the case of the E n diagrams it gives E n (x) = S (0) 1,2,n 4 (x) = 1 ( x n 2 (x 3 x 1) + x 3 + x 2 1 ). x 1 All these agree with the known formulas of Coxeter polynomials of the Dynkin and E n diagrams given in [6] and [7]. We will also prove the following theorem concerning joins of Coxeter graphs. Theorem 4. Let Γ be the join of the Coxeter graphs Γ i, i = 1, 2,..., n. Suppose that z is a zero of Γ i (x) with multiplicity m i. Then z is a zero of the Coxeter polynomial Γ(x) with multiplicity at least where m = m 1 + m m n. min{m m i : i = 1, 2,..., n} Theorem 4 generalize a theorem due to V.F.Kolmykov (see [8]) which says that if Γ is the join of the Coxeter graphs Γ 1, Γ 2 and z is a root of the Coxeter polynomials Γ 1 (x) and Γ 2 (x) then Γ(z) = 0. According to [9] if z ±1 then m i {0, 1} and therefore in that case theorem 4 can be found in [7] where the authors have proved that z is a zero of Γ(x) with multiplicity at least m 1. For z = ±1 however, z can be a zero of Γ(x) with multiplicity less than m 1. For example consider the join Γ of the affine Dynkin diagrams D (1) 4 as shown in fig. 2. The polynomials Γ(x) and D (1) 4 (x) both have 1 as a zero with multiplicity 2. Figure 2. The join of two D (1) 4 graphs For the convenience of the reader we include all theorems that will be used, in several cases with proofs, thus making this paper self-contained. This is done in section 2. In section 3 we prove the theorems 1 to Preliminaries In this section we state and prove some results that we will need for the proof of theorems 1, 2, 3 and 4. The following proposition is due to Subbotin-Sumin and the proof we present here is from [8]. Proposition 1. Let e = (v 1, v 2 ) E(Γ) be a splitting edge of the Coxeter graph Γ that splits it to the Coxeter graphs Γ 1 and Γ 2. Assume that v 1 V(Γ 1 ) and v 2 V(Γ 2 ). Then Γ(x) = Γ 1 (x)γ 2 (x) x Γ 1 (x) Γ 2 (x) where Γ i denotes the subgraph of Γ i with vertex set V(Γ i ) \ {v i }. 6

17 ON THE SPECTRAL RADIUS OF COXETER TRANSFORMATIONS OF SALEM TREES Proof. We enumerate the vertices of Γ as V(Γ 1 ) = {u 1, u 2,..., u k } and V(Γ 2 ) = {u k+1, u k+2,..., u k+m }, where v 1 = u k and v 2 = u k+1. Let ê = ê 1 ê 2 be a basis for the vector space V, where ê 1 = {e 1, e 2,..., e k } is a basis of V 1 and ê 2 = {e k+1, e k+2,..., e k+m } is a basis of V 2. Also let σ i be the Coxeter reflections corresponding to u i. Therefore R 1 = σ 1 σ 2... σ k is a Coxeter transformation of Γ 1, R 2 = σ k+1 σ k+2... σ k+m is a Coxeter transformation of Γ 2 and R 1 R 2 is a Coxeter transformation of Γ. If we represent R 1, R 2 and R as matrices with respect to the basis ê we have ( ) ( ) Q1 E R = R 1 R 2 = k,1 Ik 0 k,m, 0 m,k I m E 1,k Q 2 where Q i are the transformations R i restricted to V i, E i,j is the matrix with all entries zero except the i, j entry which is 1 and 0 i,j is the i j zero matrix. The Coxeter polynomial of Γ is then given by ( ) Q1 + E Γ(x) = det(r xi k+m ) = det k,k xi k E k,1 Q 2. E 1,k Q 2 xi m Subtracting the k + 1 th row from the k th row we obtain ( ) Q1 xi Γ(x) = det k xe k,1. E 1,k Q 2 xi m Expanding the determinant with respect to the k th row we deduce that Γ(x) = Γ 1 (x)γ 2 (x) x Γ 1 (x) Γ 2 (x). The following lemma says that the eigenvalues of a bipartite graph are symmetric around 0. Lemma 1. If λ be an eigenvalue of the adjacency matrix A of Γ then λ is an eigenvalue of A. Proof. Enumerate the vertices of Γ such that its adjacency matrix has the form ( ) 0 B A = B T. 0 ( ( ) x x Suppose that is an eigenvector of A with eigenvalue λ. Then is an y) y eigenvector of A with eigenvalue λ. The following proposition can be found in [10]. Proposition 2. The Characteristic polynomial χ Γ (x) of the graph Γ and the Coxeter polynomial Γ(x) are related in the following way ( ) x Γ(x) = x n 1 2 χγ + x, where n is the degree of χ Γ (x). Proof. Let V(Γ) = {v 1, v 2,..., v k, v k+1,..., v k+m } be the vertices of Γ enumerated such that i, j k or i, j > k = (v i, v j ) E(Γ). Let σ i be the Coxeter reflections associated to v i, i.e. if ê = {e 1, e 2,..., e k+m } is a basis of the vector space V then σ i (e j ) = e j (2δ i,j A j,i )e i. Therefore with respect to the basis ê the Coxeter reflection σ i is given by the matrix where its i th row is the i th row of the matrix A I and its j th row is the j th row of the identity matrix I. We see at once that 7

18 CHARALAMPOS A. EVRIPIDOU σ 2 i = I for all i and that for i, j k or i, j > k σ iσ j = σ i + σ j I. Therefore we obtain the following relations σ 1 σ 2... σ k = σ 1 + σ σ k (k 1)I, σ k+1 σ k+2... σ k+m = σ k+1 + σ k σ k+m (m 1)I. Let s denote by C 1 the transformation σ 1 σ 2... σ k and by C 2 the transformation σ k+1 σ k+2... σ k+m. It follows that C 2 1 = I, C 2 2 = I and C 1 + C 2 = A. We thus get 2I + C 1 C 2 + C 2 C 1 = (C 1 + C 2 ) 2 = A 2. If e z1, e z2,... are the roots of the Coxeter polynomial of the graph Γ then 2 + e z1 + e z1, 2 + e z2 + e z2,... are the roots of χ A 2(x). Since Γ is bipartite the polynomial χ Γ (x) is of the form χ Γ (x) = (x r 1 )(x + r 1 )(x r 2 )(x + r 2 )... = (x 2 r 2 1)(x 2 r 2 2)... where r 2 i = 2 + ezi + e zi. It follows that x n 2 χγ ( x + 1 x ) = ( x 2 + ( 2 r 2 1) x + 1 ) ( x 2 + ( 2 r 2 2) x + 1 )... = ( x 2 ( e z1 + e z1) x + 1 ) ( x 2 ( e z2 + e z2) x + 1 )... = (x e z1 ) ( x e z1) (x e z2 ) ( x e z2)... = Γ(x). We immediately get the following corollary. Corollary 1. The Coxeter polynomial of Γ is reciprocal. The next lemma is due to Hoffman and Smith (see [11]). Lemma 2. If k, p 1,..., p k N, 0 i k and p j > p j for some 1 j k then ( ) ( ) (1) ρ S p (i) 1,...,p j,...,p k ρ S (i) p 1,...,p j,...,p if j > i and k ( ) ( ) (2) ρ S p (i) 1,...,p j,...,p k ρ S (i) p 1,...,p j,...,p if j i. k Equality can happen if and only if the graph S (i) p 1,...,p j,...,p k We will also need the following lemma. is cyclotomic. Lemma 3. Suppose that f n (x) = x n g(x) + h(x) is a sequence of functions such that g, h are continuous, for all n N f n (z n ) = 0 and that lim n z n = z 0. If z 0 > 1 then g(z 0 ) = 0 while if z 0 < 1 then h(z 0 ) = 0. Proof. Suppose that z 0 > 1. Since h is continuous and g(z n ) = h(zn) zn n it follows that lim n g(z n ) = 0. Using g(z 0 ) g(z n ) g(z 0 ) g(z n ) 0 we n conclude that g(z 0 ) = 0. The proof for the case z 0 < 1 is similar. 3. Proof of theorems In this section we prove the theorems 1 to 4. Proof of theorem 1. For simplicity of notation, we will write u j, v j, w j instead of v 1,j, v 2,j, v 3,j respectively. Applying proposition 1 to the splitting edge (t, u 1 ) of the graph S (0) p,q,r we see that S (0) p,q,r(x) = A p (x)a q+r+1 (x) xa p 1 (x)a q (x)a r (x). The Coxeter polynomial A m (x) can be easily calculated using proposition 1. satisfies the recurrence A m (x) = A m 1 (x) + x (A m 1 (x) A m 2 (x)) It 8

19 ON THE SPECTRAL RADIUS OF COXETER TRANSFORMATIONS OF SALEM TREES and is given by the formula A m (x) = x m + x m x + 1. Therefore (x 1) 3 S (0) p,q,r(x) = x p+q+r+4 2x p+q+r+3 + x p+r+2 + x q+r+2 x r+2 +x p+q+2 x p+2 x q+2 + 2x 1 (x 1) 2 S (0) p,q,r(x) = x p+q+r+2 (x 1) x r+2 (x q 1)A p 1 (x) +x 2 (x q 1)A p 1 (x) x + 1 (x 1)S p,q,r(x) (0) = x p+q+r+2 x r+2 A p 1 (x)a q 1 (x)+ ( ) x 2 A p 1 (x)a q 1 (x) 1 = x r+2 F p,q (0) (x) F p,q (0) (x). The proof for i = 1, 2 is done similarly by applying proposition 1 to the splitting edges (u p 2, u p ) and using the formula for S p,q,r (i 1) (x). For the Coxeter polynomial S p,q,r (3) we apply proposition 1 to the splitting edge (w r 2, w r ) to obtain Therefore S p,q,r(x) (3) = (x + 1)S (2) p,q,r 1 x(x + 1)S(2) p,q,r 3. x 1 (x + 1) 3 S(3) p,q,r(x) = x 1 (x + 1) 2 S(2) p,q,r 1 x x 1 (x + 1) 2 S(2) x r+1 F (2) p,q (x) ( F (2) p,q ) (x) x r F p,q (2) (x) + x 1 (x + 1) 3 S(3) p,q,r(x) = x r F (2) p,q (x) + p,q,r 3 = ( F (2) p,q ) (x) ( F (2) p,q ) (x). Remark 2. For the case i = 1 we could have applied proposition 1 to the splitting edge (u p 2, u p ) and use that S p,q,r (0) = S q,r,p (0) to obtain 1 ( ) (x + 1) S(1) p,q,r(x) = x p F q,r (0) (x) + F q,r (0) (x). Similarly by noting that q, r are interchangeable in S p,q,r (1) and p, q are interchangeable in S p,q,r, (2) proposition 1 applied to the splitting edge (v q 2, v q ) gives 1 ( ) (x + 1) 2 S(2) p,q,r(x) = x p F q,r (1) (x) + F q,r (1) (x). Proof of theorem 2. From theorem 1 and ( lemma) 3 we see that in order to prove (i), it is enough to show that the sequence ρ(s p,q,r) (i) is convergent. From lemma 2 ( r N) it follows that for i = 0, 1, 2 the sequence ρ(s (i) is increasing. Since the p,q,r) polynomial ( S p,q,r(x) (i) ) = x r+2 F (x) + G(x) where F, G are monic polynomials, the sequence ρ(s p,q,r) (i) is also bounded. For, if M is large enough such that the r N ( ) polynomials F, G are positive for all x M, then z < M for all z Z S p,q,r (i). ( ) We now prove that ρ F p,q (i) is a Pisot number (cf. lemma 4.3 in [4]). Let ( ) ɛ > 0 be small enough and r be large enough such that ρ S p,q,r (i) > 1 + ɛ and ( x r+2 F p,q(x) (i) > F p,q) (i) (x) for every x = 1 + ɛ. From Rouche s theorem it follows that the polynomial F q,r(x) (i) has only one root, let s say z 0, outside the unit circle. If z 0 was a Salem number then we would have F (z 0 ) = 0 S p,q,r(z (i) 0 ) = 0 r N 9

20 CHARALAMPOS A. EVRIPIDOU ( ) for all large r, contrary to lemma 2. Therefore z 0 = ρ F p,q(x) (i) ( and ρ F (i) p,q ) is a Pisot number. The proof of (ii) is similar to that of (i) and it follows from lemma 3 using the alternative form of S p,q,r, (i) i = 1, 2, 3 given in remark 2. If we denote by l q,r the lim p S p,q,r (0) then ( it follows ) from lemma 2 that l q,r is increasing with respect to q. Since l q,r = ρ F q,r (0) > 1 and (x 1) 2 F q,r (0) = x ( q x r+2 2x r ) + x r 1 ( ) we deduce from lemma 3 that lim p,q ρ S p,q,r(x) (0) = ρ ( x r+2 2x r ). The other cases of (iii) and (iv) are done similarly.. The poly- ( 2p+2 p+2 ),, 2 It remains to prove (v). Let s denote by l p the lim q,r ρ ( nomial H(x) = x p+2 2x p+1 +1 is decreasing in 1, 2p+2 p+2 ( ) S p,q,r(x) (0) ), increasing in H(1) = 0 and H(2) = 1. Therefore the only root of H outside ( the unit ) circle is l p and it satisfies 2p+2 p+2 < l p < 2. We conclude that lim p,q,r ρ S p,q,r(x) (0) = 2. The cases i = 1, 2, 3 are similar. Proof of theorem 3. Proposition 1 applied to the splitting edge (t, v k,1 ) gives (x 1)S (i) p 1,...,p k (x) = x p k+1 F (x) F (x) where F (x) = S p (i) 1,,p k 1 (x) D p1 (x)... D pi (x)a pi+1 (x)... A pk 1 (x), ( ) for all i {0, 1,..., k 1}. Therefore lim pk ρ S p (i) 1,...,p k (x) = ρ(f (x)). We easily get similar formulas when i = k and inductively we see that ( ) lim ρ S p (i) p 2,...,p k 1,...,p k (x) = ρ(g(x)) where the polynomial G(x) is given by { x p1 (k 1)x p1 1 k + 2, if i 0, G(x) = x p1+1 (k 1)x p1 + k 2, if i = 0. ( ) We conclude that lim p1,p 2,...,p k ρ S p (i) 1,...,p k (x) = k 1. Proof of Theorem 4. Let s denote by Γ (k) the join of the graphs Γ i at the vertices v i V(Γ i ), i = 1, 2,..., k. The graph Γ (n) looks like the one in fig. 3. Applying t Γ 1 v1 Γ 2... v n Γ n v 2 Figure 3. The join of the graphs Γ i proposition 1 to the splitting edge (t, v n ) we obtain Γ (n) (x) = Γ (n 1) (x)γ n (x) xγ 1 (x)γ 2 (x)... Γ n 1 (x) Γ n (x), 10

21 ON THE SPECTRAL RADIUS OF COXETER TRANSFORMATIONS OF SALEM TREES where with Γ k we denote the subgraph of Γ k with vertices V (Γ k )\{v k }. Inductively we get Γ (n) (x) = (x + 1)Γ 1 (x)γ 2 (x)... Γ n (x) x (P 1 (x) P n (x)), where P k is the polynomial Γ 1 (x)... Γ k (x)... Γ n (x). The theorem follows. Acknowledgments: The author gratefully acknowledges the many helpful suggestions of his Ph.D. thesis advisor, professor Pantelis Damianou, during the preparation of this paper. References [1] P. Lakatos, On the coxeter polynomials of wild stars, Linear Algebra and its Applications 293 (13) (1999) doi: [2] H. S. M. Coxeter, Discrete groups generated by reflections, Ann. of Math. (2) 35 (3) (1934) doi: / [3] N. Bourbaki, Lie groups and Lie algebras. Chapters 4 6, Elements of Mathematics (Berlin), Springer-Verlag, Berlin, 2002, translated from the 1968 French original by Andrew Pressley. [4] J. McKee, C. Smyth, Salem numbers, Pisot numbers, Mahler measure, and graphs, Experiment. Math. 14 (2) (2005) [5] C. Smyth, The Mahler measure of algebraic numbers: a survey, in: Number theory and polynomials, Vol. 352 of London Math. Soc. Lecture Note Ser., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2008, pp doi: /cbo [6] P. A. Damianou, On the characteristic polynomial of cartan matrices and chebyshev polynomials, arxiv: (2011). arxiv:arxiv: [7] B. H. Gross, E. Hironaka, C. T. McMullen, Cyclotomic factors of Coxeter polynomials, J. Number Theory 129 (5) (2009) doi: /j.jnt [8] R. B. Stekolshchik, Notes on Coxeter transformations and the McKay correspondence, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, [9] V. F. Subbotin, R. B. Stekolshchik, The Jordan form of the Coxeter transformation, and applications to representations of finite graphs, Funkcional. Anal. i Priložen. 12 (1) (1978) [10] S. Berman, Y. S. Lee, R. V. Moody, The spectrum of a Coxeter transformation, affine Coxeter transformations, and the defect map, J. Algebra 121 (2) (1989) doi: / (89) [11] A. J. Hoffman, J. H. Smith, On the spectral radii of topologically equivalent graphs, in: Recent advances in graph theory (Proc. Second Czechoslovak Sympos., Prague, 1974), Academia, Prague, 1975, pp address: cevrip02@ucy.ac.cy Department of Mathematics and Statistics, University of Cyprus, P.O. Box 20537, 1678 Nicosia, Cyprus 11

22

23 Το Λήμμα Yoneda ως γενίκευση του Θεωρήματος Cayley Γεώργιος Χαραλάμπους Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics University of Cambridge Περίληψη Το Λήμμα Yoneda βρίσκεται στον πυρήνα της Θεωρίας Κατηγοριών, ενός τομέα των μαθηματικών που αναπτύχθηκε από τους Samuel Eilenberg και Saunders Mac Lane μεταξύ των ετών , σε μια προσπάθεια θεμελίωσης της Αλγεβρικής Τοπολογίας. Η Θεωρία Κατηγοριών είναι κλάδος γνωστός για το υψηλό επίπεδο αφαίρεσής του έναντι των περισσότερων κλασσικών κλάδων των μαθηματικών; αποτελεί, ωστόσο, τη σύγχρονη γλώσσα της μαθηματικής επιστήμης. Το Θεώρημα Cayley, ένα απο τα πιο σημαντικά θεωρήματα της Θεωρίας Ομάδων, αποδεικνύει ότι κάθε ομάδα G είναι ισόμορφη με κάποια υποομάδα της συμμετρικής ομάδας που δρά στο G. Σκοπός του παρόντος είναι η περιγραφή της γενίκευσης του θεωρήματος αυτού στο επίπεδο των κατηγοριών. 1 Εισαγωγικές Έννοιες της Θεωρίας Κατηγοριών Με απλά λόγια, η Θεωρία Κατηγοριών είναι η θεωρία που ασχολείται με ιδιότητες των μορφισμών (των καλών απεικονίσεων) κάθε άλλης μαθηματικής θεωρίας. Ας προσπαθήσουμε να γίνουμε πιο συγκεκριμένοι. Καταρχήν έχουμε τα σύνολα και τις απεικονίσεις μεταξύ τους. Αν όμως θεωρήσουμε σύνολα με κάποια συγκεκριμένη δομή (για παράδειγμα διανυσματικοί χώροι ή τοπολογικοί χώροι), τότε δεν μας ενδιαφέρουν όλες οι απεικονίσεις μεταξύ των συνόλων, αλλά μόνο αυτές που σεβονται, που διατηρούν τη δεδομένη δομή (για παράδειγμα οι γραμμικές απεικονίσεις ή οι συνεχείς απεικονίσεις αντίστοιχα). Η Θεωρία Κατηγοριών μελετά ακριβώς αυτή τη συλλογή όλων των αντικειμένων με μια συγκεκριμένη δομή και των απεικονίσεων που διατηρούν τη δομή αυτή, των λεγόμενων μορφισμών. Όλη αυτή η συλλογή (μαζί με την οριζόμενη φυσιολογικά πράξη σύνθεσης) καλείται μια κατηγορία. Έτσι για παράδειγμα έχουμε την κατηγορία των ομάδων με τους αντίστοιχους μορφισμούς ομάδων, την κατηγορία των διανυσματικών χώρων με τους αντίστοιχους μορφισμούς τους, τις γραμμικές απεικονίσεις, και ούτω καθεξής. Ορισμός. Μια κατηγορία C αποτελείται από τα παρακάτω: μια συλλογή ob(c) απο αντικείμενα (τα οποία συμβολίζουμε A, B, ) για κάθε δύο αντικείμενα A, B ob(c), μια συλλογή Hom C (A, B) = C(A, B) απο μορφισμούς (ή τόξα) μεταξύ των A και B (τα οποία συμβολίζουμε f : A B, g, h, ) τις οποίες συλλογές εφοδιάζουμε με για κάθε A ob(c) ένα ταυτοτικό μορφισμό id A = 1 A C(A, A), 13

24 για κάθε A, B, C ob(c), ένα νόμο σύνθεσης: C(A, B) C(B, C) C(A, C) (f, g) g f = gf τα οποία ικανοποιούν: τον ταυτοτικό νόμο : αν f : A B, τότε 1 B f = f = f 1 A, την προσεταιριστική ιδιότητα : αν f : A B, g : B C, h : C D, τότε h (g f) = (h g) f Παρατήρηση. Σημειώνουμε ότι μια συλλογή αντικειμένων δεν αποτελεί αναγκαστικά σύνολο. Αυτό αποτελεί ένα απο τα μεγαλύτερα προτερήματα της Θεωρίας Κατηγοριών. Ορισμός. Μια κατηγορία C καλείται μικρή εαν ob(c) και όλα τα C(A, B) είναι σύνολα, και τοπικά μικρή εαν όλα τα C(A, B) είναι σύνολα. Ας δούμε κάποια παραδείγματα κατηγοριών. Παραδείγματα. (i) Set, η κατηγορία που έχει ως αντικείμενα τα σύνολα και ως μορφισμούς τις συναρτήσεις. (ii) Κατηγορίες αλγεβρικών δομών, όπως Grp, η κατηγορία ομάδων και ομομορφισμών ομάδων, AbGrp, η κατηγορία των αβελιανών ομάδων και ομομορφισμών ομάδων, Ring, η κατηγορία των δακτυλίων και ομομορφισμών δακτυλίων. (iii) Κατηγορίες τοπολογικών δομών, όπως Top, η κατηγορία των τοπολογικών χώρων και συνεχών απεικονίσεων, Haus, η κατηγορία των χώρων Hausdorff και συνεχών απεικονίσεων, Met, η κατηγορία των μετρικών χώρων και απεικονίσεων Lipschitz. Ορισμός. Ένας μορφισμός f : A B σε μια κατηγορία C ονομάζεται ισομορφισμός, εαν υπάρχει μορφισμός g : B A που να ικανοποιεί τις ισότητες gf = 1 A και fg = 1 B. Μια κατηγορία στην οποία κάθε μορφισμός είναι ισομορφισμός ονομάξεται ομαδοειδές. Ένα άλλο παράδειγμα κατηγορίας, που θα χρησιμοποιήσουμε παρακάτω, είναι η αντίθετη κατηγορία. Παράδειγμα. Έστω C μια κατηγορία. Η αντίθετη κατηγορία C op αποτελείται απο τα ίδια αντικείμενα και μορφισμούς όπως η C, αλλά η κατεύθυνση των μορφισμών αντιστρέφεται: C op (A, B) = C(B, A). Έχουμε λοιπόν μια αρχή δυϊκότητας: αν κάποια πρόταση P ισχύει σε μια κατηγορία, τότε η πρόταση P που προκύπτει αν αντιστρέψουμε τους μορφισμούς στη P ισχύει επίσης. Θα δουμε πιο κάτω την ιδέα που γενικεύει την έννοια της συνάρτησης στο επίπεδο των κατηγοριών. Με άλλα λόγια, θα παρουσιάσουμε την ιδέα των μορφισμών μεταξύ κατηγοριών. Ορισμός. Έστω C και D κατηγορίες. Ένας συναρτητής F : C D αποτελείται από: 14

25 μια απεικόνιση ob(c) ob(d) A F A και απεικονίσεις C(A, B) D(F A, F B) f F f έτσι ώστε F (1 A ) = 1 F A και F (gf) = F g F f, όταν η σύνθεση gf ορίζεται. Παραδείγματα. Ο συναρτητής δυναμοσυνόλου : Ορίζουμε το συναρτητή P : Set Set θέτοντας P(A) να είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του A, και αν f : A B μια συνάρτηση, τότε (Pf)(A ) = {b B a A τέτοιο ώστεb = f(a)} = f(a ), η εικόνα του A υπο της f. Υπάρχει ένας συναρτητής Set Top που στέλνει κάθε σύνολο X στο διακριτό τοπολογικό χώρο στο X. Υπάρχει ένας συναρτητής Grp AbGrp που στέλνει κάθε ομάδα G στην (πάντα αβελιανή) ομάδα G/[G, G], ο συναρτητής αβελιανισμού. Έστω C μια τοπικά μικρή κατηγορία. Για κάθε A ob(c), υπάρχει ένας συναρτητής Hom(, A) : C op Set, τον οποίο καλούμε Hom-συναρτητή και ο οποίος ορίζεται ως εξής: όπου B Hom C (B, A) g : C D Hom C (g, A) : Hom C (D, A) Hom C (C, A), Hom C (g, A) : Hom C (D, A) Hom C (C, A) f : D A f g. Τέλος, θα περιγράψουμε την έννοια του φυσικού μετασχηματισμού, που μας επιτρέπει να μετακινούμαστε μεταξύ των εικόνων δύο συναρτητών. Αποτελεί ουσιαστικά μορφισμό μεταξύ συναρτητών. Η λέξη μορφισμός δε χρησιμοποιείται τυχαία εδω. Ορισμός. Έστω C και D δυο κατηγορίες και έστω F, G : C D δύο συναρτητές. Ένας φυσικός μετασχηματισμός α : F G καλείται μια συλλογή μορφισμών {α A : F A GA A ob(c)} στην D η οποία ικανοποιεί την συνθήκη (Gf) α A = α B (F f) για κάθε f : A B στη C. 15

26 Αν β : G H είναι ένας άλλος φυσικός μετασχηματισμός, τότε η σύνθεση βα (που ορίζεται ως (βα) A = β A α A ) είναι επίσης φυσικός μετασχηματισμός. Για κάθε συναρτητή F, υπάρχει ένας μοναδιαίος φυσικός μετασχηματισμός 1 F : F F. Επομένως, εαν C και D δυο κατηγορίες, έχουμε μια κατηγορία συναρτητών [C, D]: αντικείμενα είναι οι συναρτητές F : C D και μορφισμοί οι φυσικοί μετασχηματισμοί μεταξύ τους. Σημειώνουμε ότι Hom [C,D] (F, G) := Nat(F, G) Επίσης, αν κάθε α A είναι ισομορφισμός στη D τότε έχουμε ακόμα ένα φυσικό μετασχηματισμό G F που δίνεται απο τη συλλογή {α 1 A : GA F A}, αφού (F f)α 1 A = (α 1 B )α B(F f)α 1 A = α 1 B (Gf)α A(α 1 A ) = α 1 B (Gf). Η πιο πάνω διαδικασία μετατρέπει τον α σε ισομορφισμό στην κατηγορία [C, D], τον οποίο ονομάζουμε φυσικό ισομορφισμό. είναι η τάξη (όχι αναγκαστικά σύνολο) των φυσικών μετασχηματισμών απο τον F στον G. Για να παρουσιάσουμε το Λήμμα Yoneda, χρειαζόμαστε τον πιο κάτω συναρτητή, που ονομάζεται εμφύτευση Yoneda, του οποίου ο ορισμός κάνει χρήση των Hom-συναρτητών. Ορισμός. Η εμφύτευση Yoneda είναι ο συναρτητής y C : C [C op, Set] ο οποίος ορίζεται στα αντικείμενα ως και στους μορφισμούς ως y C : C Hom C (, C) y C : f : C D Hom C (, C) Hom C (, D) Είμαστε έτοιμοι να παρουσιάσουμε το κεντρικό αποτέλεσμα της παρούσας ενότητας. Θεώρημα (Λήμμα Yoneda). Έστω C μια τοπικά μικρή κατηγορία. Έστω A ob(c) και έστω F ένα αντικείμενο (συναρτητής, ουσιαστικά) της κατηγορίας συναρτητών [C op, Set]. Τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός Nat(y C (A), F ) = Hom [C op,set](hom C (, A), F ) = F (A), ο οποίος είναι φυσικός για τα F και A. Απόδειξη. (ΣΧΗΜΑ) Για να αποδείξουμε το Λήμμα, πρέπει να κατασκευάσουμε δυο μορφισμούς, ένα σε κάθε κατεύθυνση, αντίστροφους μεταξύ τους. Αρχικά κατασκευάζουμε ένα μορφισμό ϕ : Hom [C op,set](y C (A), F ) F (A) απο την παρακάτω αλυσίδα μορφισμών: Hom [C op,set](y C (A), F ) Hom Set (Hom C (A, A), F (A)) F (A), όπου η εικόνα της απεικόνισης f στο Hom Set (Hom C (A, A), F (A)) υπο τον τελευταίο μορφισμό εξαρτάται απο την εικόνα του id A υπο της f. Ο μορφισμός ψ, στην αντίθετη κατεύθυνση, κατασκευάζεται συσχετίζοντας με κάθε στοιχείο s F (A) ένα μορφισμό μεταξύ συναρτητών στην [C op, Set]. Η απόδειξη ολοκληρώνεται αποδεικνύοντας ότι οι μορφισμοί ϕ και ψ είναι αντίστροφοι. 2 Γενίκευση του Θεωρήματος Cayley Υπενθυμίζουμε ότι αν A ένα μη κενό σύνολο και S A = {σ : A A σ ένα προς ένα και επί συνάρτηση}, 16

27 τότε το ζεύγος (S A, ), όπου η πράξη της συνθέσεως συναρτήσεων αποτελεί μια ομάδα την οποία ονομάζουμε συμετρική ομάδα επί του συνόλου A. Τα στοιχεία της ομάδας S A ονομάζονται μετατάξεις. Υπενθυμίζουμε επίσης πως αν G και H είναι δυο ομάδες, τότε λέμε ότι η G είναι εμφυτεύσιμη στην H, ή ότι η G εμφυτεύεται στην H, όταν υπάρχει ένας ένα προς ένα ομομορφισμός ομάδων f : G H. Γενικά η έννοια της εμφύτευσης σχετίζεται πάντα με την έννοια του μονομορφισμού, που αποτελεί την γενίκευση της έννοιας της ένα προς ένα συνάρτησης στο επίπεδο των κατηγοριών. Στις συνήθεις κατηγορίες αλγεβρικών δομών, κατ ακρίβεια, όπως είναι οι κατηγορίες των ομάδων ή των δακτυλίων, η εννοια του μονομορφισμού συμπίπτει με την έννοια του ένα προς ένα ομομορφισμού. Αναφέρουμε, επίσης, ότι μια ομάδα G είναι εμφυτεύσιμη σε μια ομάδα H εάν και μόνο εάν η G είναι ισόμορφη με μια υποομάδα της H. Θεώρημα (Cayley). Κάθε ομάδα G εμφυτεύεται εντός της ομάδας S G, ήτοι είναι ισόμορφη με μια ομάδα μετατάξεων που αποτελεί υποομάδα της S G. Ας δούμε λοιπόν πως γενικεύεται το πιο πάνω θεώρημα. Έστω G μια ομάδα. Κατασκευάζουμε απο το G μια (πολύ) μικρή κατηγορία G που αποτελείται απο ένα μόνο αντικείμενο, έστω A και έστω ότι τα στοιχεία της G ορίζουν το Hom G (A, A). Αφού απο τον ορισμό της ομάδας όλα τα στοιχεία έχουν αντίστροφους, συνεπάγεται πως ότι βρίσκεται στο Hom G (A, A) είναι ισομορφισμός, με την έννοια της Θεωρίας Κατηγοριών. Υπενθυμίζουμε πως ονομάζουμε την κατηγορία G που κατασκευάσαμε πιο πάνω ομαδοειδές. Μια σημαντική ιδιότητα της G είναι ότι συμπίπτει με την αντίστροφή της, G = G op. Μπορούμε τώρα να εφαρμόσουμε το Λήμμα Yoneda με δυο τρόπους. Κάθε μορφισμός f G = Hom G (A, A) στέλνεται σε ένα μοναδικό φυσικό μετασχηματισμό f απο το συναρτητή y G (A) στον εαυτό του. Αφού η κατηγορία G έχει ένα μόνο αντικείμενο, για κάθε f υπάρχει ένας μοναδικός ισομορφισμός συνόλων f A, που αντιστοιχεί στο A, ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση f A y G (g) = y G (g) f A για κάθε g G. Σταθεροποιούμε f = id G. Αφού οι συναρτητές διατηρούν τους ισομορφισμούς, τις ταυτότητες και τη σύνθεση μορφισμών (αποδυκνείεται εύκολα), βλέπουμε πως κάθε στοιχείο του G = Hom G (A, A) στέλνεται σε ένα ισομορφισμό συνόλων (μετάθεση, με άλλα λόγια) απο το y G (A)(A) = Hom G (A, A) στον εαυτό του, και επιπλέον αυτό κληρονομεί την δομή ομάδας του G. Διαφορετικά, μπορούμε να εφαρμόσουμε το Λήμμα Yoneda άμεσα : Θα χρησιμοποιήσουμε το πρώτο μισό του ισομορφισμού ϕ που εμφανίζεται στην απόδειξη του Λήμματος Yoneda. Έχουμε λοιπόν Hom G (A, A) = Hom [G op,set](y G (A), y G (A)) Hom Set (Hom G (A, A), Hom G (A, A)), όπου η τελευταία απεικόνιση πρέπει να είναι ένα προς ένα, αφού ο ϕ είναι ισομορφισμός στην κατηγορία Set, και επομένως ένα προς ένα και επί. Έχουμε λοιπόν επιτύχει να εμφυτεύσουμε την ομάδα G στο σύνολο όλων των απεικονίσεων απο το γυμνό σύνολο (χωρίς τη δομή της ομάδας) του G στον εαυτό του. Προφανώς αυτό το σύνολο συμπεριλαμβάνει τη συμμετρική ομάδα S G όλων των ισομορφισμών απο το γυμνό σύνολο του G στον εαυτό του και επομένως, αφού οι συναρτητές διατηρούν τους ισομορφισμούς, όλα τα στοιχεία του Hom G (A, A) στέλνονται σε ένα ισομορφισμό. Επομένως έχουμε εμφυτεύσει την ομάδα G στο S G, όπως ζητείτω. 17

28

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

30

31 Le-MATH: ΜΑΘΑΙΝΟΝΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΣΩ ΝΕΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Γρηγόρης Μακρίδης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία και συνεργάτες*, Ευρωπαϊκό Έργο Le-MATH: Learning mathematics through new communication factors, LLP-2012-CY-COMENIUS-CMP Περίληψη Δυστυχώς πολλοί μαθητές και γονείς θεωρούν τα μαθηματικά ως ένα θέμα δύσκολο και ανιαρό. Αντί να μελετούν μαθηματικά (και άλλα θέματα) πολλοί μαθητές προτιμούν να αφιερώνουν το μεγαλύτερο μέρος του χρόνου τους παρακολουθώντας διάφορα προγράμματα στην τηλεόραση ή παίζοντας ηλεκτρονικά παιχνίδια, ανταλλάσσοντας μηνύματα με το κινητό τους τηλέφωνο, ανταλλάσοντας φωτογραφίες ή βίντεο κλπ. Ένας τρόπος να φέρουμε τους μαθητές πίσω στο «Παιχνίδι» της εκπαίδευσης είναι να χρησιμοποιήσουμε παρόμοια (όπλα) εργαλεία, με τους «αντίπαλους», δηλαδή η επικοινωνία στη μάθηση των μαθηματικών με ένα μη παραδοσιακό τρόπο, όπως ένα θεατρικό παιχνίδι ή μέσω διαγωνισμών παρόμοιων με το γνωστό X-Factor και άλλα. Το έργο Le-MATH, το οποίο χρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Επιτροπή με συντονιστή την Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία και 12 συνεργαζόμενους φορείς ανάλαβε τη δημιουργία αυτών των εργαλείων από τον Νοέμβρη του 2012 με ολοκλήρωση τον Οκτώβρη του Σε αυτή τη δημοσίευση θα παρουσιαστούν τα αποτελέσματα του πρώτου έτους λειτουργίας του έργου. Εισαγωγή Πολλοί μαθητές ισχυρίζονται ότι τα μαθηματικά είναι πολλές φορές αφηρημένα και ως εκ τούτου απρόσιτα, έτσι το έργο αυτό χρησιμοποιεί μια τελείως διαφορετική και νέα προσέγγιση καλώντας καθηγητές και μαθητές να εφαρμόσουν νέες μεθόδους επικοινωνίας στην εκμάθηση των μαθηματικών, που θα μπορούσαν να είναι διασκεδαστικές και απολαυστικές την ίδια στιγμή. Μια προσέγγιση που φέρνει νέες ιδέες στο πλαίσιο «μαθαίνω παίζοντας».

32 Γ. Μακρίδης, ΚΥ.Μ.Ε. και συνεργάτες Αυτό το Ευρωπαϊκό έργο προτίθεται να αναπτύξει νέες μεθοδολογίες στην εκμάθηση και τη διδασκαλία των μαθηματικών για μαθητές ηλικίας 9-18, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε οποιοδήποτε σχολικό περιβάλλον. Επίσης θα κάνει την μάθηση πιο ελκυστική και απολαυστική για όλους τους μαθητές και θα ενισχύσει τις δεξιότητες των μαθητών για δημιουργική σκέψη. Οι μέθοδοι αυτοί θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν και σε άλλα αντικείμενα του αναλυτικού προγράμματος καθώς και σε άλλες ηλικίες. Οι εταίροι του προγράμματος προέρχονται από πανεπιστήμια, σχολεία, Μαθηματικές οργανώσεις, οργανισμούς, θεατρικά σχολεία, σχολεία καλών τεχνών και επιχειρήσεις. Οι δραστηριότητες του έργου συμβάλλουν στο Εκπαίδευση και Κατάρτιση 2020 καθώς ενισχύει την δημιουργικότητα και την καινοτομία μεταξύ των νέων. Συμβάλλει επίσης στο ορόσημο για τα άτομα με μειωμένες επιδόσεις σε βασικές δεξιότητες (μαθηματικά και την επιστήμη) σε 15%. Προωθεί την ευρωπαϊκή συνεργασία σε σχολεία στον τομέα των ικανοτήτων, υποστηρίζοντας την βασική ικανότητα για τα μαθηματικά. Στόχος Στόχος του έργου αυτού είναι η ανάπτυξη της μεθοδολογίας στη διδασκαλία και την μάθηση των μαθηματικών με τη δημιουργία δύο κύριων εργαλείων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν από τους εκπαιδευτικούς. Τα εργαλεία θα δημιουργηθούν με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν για επιμόρφωση και κατάρτιση των εκπαιδευτικών που διδάσκουν μαθηματικά σε μαθητές ηλικίας Τα δύο εργαλεία είναι: A. MATHeatre: Διδασκαλία και μάθηση μαθηματικών μέσω μαθηματικού θεάτρου B. MATHFactor: Διδασκαλία και μάθηση μαθηματικών μέσω της επικοινωνίας των μαθηματικών Αυτές οι νέες μέθοδοι αναμένεται να ανταγωνίζονται με τα σύγχρονα ενδιαφέροντα και δραστηριότητες που έχουν οι νέοι ηλικίας Το έργο αναπτύσσεται μέσω εννέα πακέτων εργασιών. Παρακάτω περιγράφονται μερικά από αυτά. Καλές Πρακτικές στον Ευρωπαϊκό Χώρο Σε αυτό το πακέτο εργασιών πραγματοποιήθηκε μια συλλογή πρακτικών σε σχέση με το αντικείμενο, η οποία αναπτύχθηκε σε ηλεκτρονικό εγχειρίδιο (e-book) με δομή ευρετηρίου κατά πόσο αφορά την μέθοδο Α ή Β, αν είναι μελέτη, έκθεση, πρακτική, 22

33 Le-math: μαθαίνοντας Μαθηματικά μέσω νέων παραγόντων επικοινωνίας αξιολόγηση, βίντεο κ.α. Στο εγχειρίδιο αυτό μπορεί να βρει κανείς ότι έγινε ή γίνεται στον τομέα αυτό. Το εγχειρίδιο σε τρέχουσα έκδοση βρίσκεται στην ιστοσελίδα του έργου MATHeatre Το Μαθηματικό Θέατρο βασίζεται σε όλους του κανόνες θεατρικής παράστασης αλλά με αντικείμενο που να σχετίζεται με μαθηματικά και με πρωταγωνιστές μαθητές ηλικίας 9-18 ετών. Αυτό μπορεί να έχει όλες τις μορφές θεάτρου όπως δράμα, κωμωδία, μουσικοχορευτικό κ.α. Το αντικείμενο των μαθηματικών μπορεί να είναι οτιδήποτε μέρος αναλυτικού προγράμματος ή ιστορίας των μαθηματικών. Η δυσκολία βρίσκεται στη δημιουργία των διαλόγων των μαθητών «ηθοποιών» ώστε το αποτέλεσμα να δίνει ολοκληρωμένη μαθηματική γνώση. Η αρχική έκδοση του εγχειριδίου οδηγιών «MATHeatre Guidebook» που δημοσιεύθηκε το Σεπτέμβρη του 2013 περιέχει περιγραφή διαδικασίας και δείγματα θεατρικών έργων έτοιμα για χρήση στο σχολικό περιβάλλον. Το έργο προκήρυξε διαγωνισμό συγγραφής τέτοιων έργων μέσω του οποίου θα δημοσιευθούν δείγματα στην ιστοσελίδα του έργου. Το έργο ανάπτυξε επίσης έκδοση με τίτλο «Μαθηματικές Ιστορίες για Θέατρο» οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για αυτό το σκοπό. Κατά το δεύτερο έτος του έργου προκηρύχθηκε Ευρωπαϊκός διαγωνισμός με διεθνή συμμετοχή ΜΑΤΗeatre EUROPE 2014 στον οποίο καλούνται σχολεία ή οργανισμοί ή ομάδες μαθητών να συμμετάσχουν με θεατρική παράσταση διάρκειας από 5-12 λεπτών και με ελάχιστο αριθμό ηθοποιών 2 και μέγιστο 10. Στην πρώτη φάση, από Σεπτέμβρη 2013 μέχρι 7 Φεβρουαρίου 2014 οι συμμετέχοντες θα αναρτούν το Μαθηματικό Θέατρο σε u-tube μορφή στο διαδίκτυο, μέσω ειδικής πλατφόρμας. Μετά από πρώτη αξιολόγηση θα προσκληθούν οι καλύτεροι πέντε τουλάχιστο σε δύο διαφορετικές ομάδες ηλικιών, 9-13 και για τον τελικό που θα γίνει στο πλαίσιο του μαθητικού συνεδρίου EUROMATH 2014, από Απριλίου Τα κριτήρια αξιολόγησ ης των έργων μαθηματικού θεάτρου είναι μέρος του εγχειριδίου οδηγού σε δύο μορφές, η μία για χρήση εντός σχολικής δραστηριότητας και η άλλη σε περίπτωση ανοικτού δημόσιου διαγωνισμού όπως το MATHeatre Europe

34 Γ. Μακρίδης, ΚΥ.Μ.Ε. και συνεργάτες MATHFactor To MATHFactor είναι δραστηριότητα ατομικής επικοινωνίας των μαθηματικών, δηλαδή ο μαθητής καλείται να παρουσιάσει και να εξηγήσει μέσα σε μέγιστο χρόνο 3 λεπτών μαθηματικές έννοιες, θεώρημα, εφαρμογή, ιστορία των μαθηματικών, ιδιότητες κ.α. με εκλαϊκευμένη μορφή ώστε να μπορεί να το καταλάβει και ο μη ειδικός ή ο πρωτομαθείς μαθητής. Η παρουσίαση δεν χρησιμοποιεί εργαλεία προβολής και πίνακα αλλά αν χρειάζεται μικρά αντικείμενα που μπορεί να μεταφέρει ο μαθητής με το ένα χέρι. Μια καλή παρουσίαση αξιολογείται για το μαθηματικό περιεχόμενο της, για τη σαφήνεια σε ότι αφορά την παρουσίαση των εννοιών και την πρωτοτυπία στην προσέγγιση ώστε να γίνουν οι μαθηματικές έννοιες κατανοητές και ενδιαφέρουσες και το ταλέντο που θα δείξει ο μαθητής στην προφορική του επικοινωνία και γλώσσα. Η όλη προσέγγιση μοιάζει με το γνωστό τηλεοπτικό διαγωνισμό X-Factor αλλά γίνεται με αντικείμενο τα μαθηματικά. Η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί ως εκπαιδευτική δραστηριότητα εντός της σχολικής τάξης ή σε δημόσιο διαγωνισμό. Κατά το δεύτερο έτος του έργου προκηρύχθηκε Ευρωπαϊκός διαγωνισμός με διεθνή συμμετοχή ΜΑΤΗFactor EUROPE 2014 στον οποίο καλούνται μαθητές να συμμετάσχουν με παρουσίαση διάρκειας 3 λεπτών μέγιστο. Στην πρώτη φάση, από Σεπτέμβρη 2013 μέχρι 7 Φεβρουαρίου 2014 οι συμμετέχοντες θα αναρτούν την ΜΑΤΗFactor παρουσίαση του/της σε u-tube μορφή στο διαδίκτυο, μέσω ειδικής πλατφόρμας. Μετά από πρώτη αξιολόγηση θα προσκληθούν οι καλύτεροι πέντε τουλάχιστο σε δύο διαφορετικές ομάδες ηλικιών, 9-13 και για τον τελικό που θα γίνει στο πλαίσιο του μαθητικού συνεδρίου EUROMATH 2014, από Απριλίου Τα κριτήρια αξιολόγησης για την επικοινωνία των μαθηματικών τύπου MATHFactor είναι μέρος του εγχειριδίου οδηγού σε δύο μορφές, η μία για χρήση εντός σχολικής δραστηριότητας και η άλλη σε περίπτωση ανοικτού δημόσιου διαγωνισμού. 1. Πειραματισμός και Αξιολόγηση Ο πειραματισμός και αξιολόγηση θα γίνει σε διάφορες φάσεις και επίπεδα. MATHeatre EUROPE 2014 MATHFactor EUROPE

35 Le-math: μαθαίνοντας Μαθηματικά μέσω νέων παραγόντων επικοινωνίας Η όλη προσπάθεια θα πειραματιστεί σε επίπεδο διεθνούς διαγωνισμού σε δύο ηλικιακά επίπεδα (9-13 και 14-18), ώστε να εξυπηρετείται ο στόχος αλλά και τα αναγκαία κίνητρα για να κεντρίσουν το ενδιαφέρον σε μαθητές και εκπαιδευτικούς. Ο διαγωνισμός προκηρύσσεται το Σεπτέμβρη του 2013 με την πρώτη φάση σε on-line συμμετοχή μέχρι 7 Φεβρουαρίου 2014 και μετά την αξιολόγηση θα δημιουργηθεί ο κατάλογος των φιναλίστ οι οποίοι θα προσκληθούν στο ζωντανό τελικό στο πλαίσιο του EUROMATH Στη διαδικασία θα αξιολογηθεί η εμπλοκή και δραστηριότητα των μαθητών στην προετοιμασία της συμμετοχής τους καθώς και ο ρόλος και εντυπώσεις με σχόλια για τα εγχειρίδια οδηγούς από τους εκπαιδευτικούς που υποστήριξαν τους μαθητές. Αξιολόγηση θα πραγματοποιηθεί και για το ζωντανό τελικό και όλα τα αποτελέσματα θα χρησιμοποιηθούν για να βελτιωθούν τα εγχειρίδια οδηγοί για τις δύο μεθόδους και για την προετοιμασία της επόμενης προκήρυξης των διαγωνισμών ώστε να εξασφαλιστεί η αειφόρα ανάπτυξη των παραδοτέων του έργου καθώς και η αποτελεσματική εκμετάλλευση τους. Μέρος της αειφορίας του έργου αποτελεί επίσης η δημιουργία πενθήμερου επιμορφωτικού προγράμματος για εκπαιδευτικούς το οποίο θα προσφέρεται ως σεμινάριο τύπου Comenius ή Grundtvig και θα εγγραφεί στην σχετική πλατφόρμα του Europa Course Base. * Συντονιστικό ίδρυμα του έργου είναι Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία-Cyprus Mathematical Society(CY-Gr. Makrides, A. Philippou, C. Papayiannis) μαζί με 12 συνεργάτες από την Κύπρο, Ελλάδα, Βουλγαρία, Ρουμανία, Αυστρία, Σουηδία, Γαλλία, Ισπανία, Τσεχία, Βέλγιο και Ουγγαρία. Οι συνεργαζόμενοι φορείς είναι Thales Foundation of Cyprus(CY-A. Skotinos, P. kenderov, E. Christou), Charles University in Prague-Faculty of Education(CZ-J. Novotna, A. Jancarik, K. Jancarikova, J. Machalikova), Loidl-Art (AT-H. Loidl), VUZF University(BG-S. Grozdev), CALISTRAT HOGAS National College Piatra- Neamt (RO-N. Circu, L-M Filimon), Lyckeskolan (SE-M. Manfjard Lydell), LEOLAB (ES-M. Munoz), Junior Mathematical Society Miskolc(HU-P. Kortesi), European Office of Cyprus(BE-CY-R. Strevinioti), Collège Saint Charles(FR-K. Treguer, E. Gueguen), National Technical University of Athens, Institute of Communication and Computer Systems(GR-K. Karpouzis), Com2go Ltd(CY- G. Economides, N. Nirou). 25

36

37 Η ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΙΚΩΝ (Η AREAL) ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΤΗΝ ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Θεόκλητος Παραγυίου, καθηγητής Μαθηματικών μέσης εκπαίδευσης Περιφερειακό Γυμνάσιο-Λύκειο Λευκάρων Λάρνακα. Περίληψη Στην εργασία αυτή φαίνεται πως μια φυσική έννοια, η έννοια του κέντρου βάρους έδωσε την αφορμή στον Γερμανό μαθηματικό August Ferdinand Mo bius να εισαγάγει ένα καινούργιο σύστημα συντεταγμένων, το βαρυκεντρικό σύστημα συντεταγμένων, και πάνω σε αυτό να ορίσουμε όλες τις γεωμετρικές έννοιες που έχουν οριστεί στο καρτεσιανό σύστημα αξόνων, δηλαδή, ευθύγραμμα τμήματα, ευθεία, κύκλος, αποστάσεις, εμβαδά και ότι άλλο ανάλογο συναντάμε στην Αναλυτική Γεωμετρία. Ο ορισμός των βαρυκεντρικών συντεταγμένων στο τρίγωνο είναι ένα χρήσιμο εργαλείο, μια εναλλακτική πρόταση για την αντιμετώπιση προβλημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Ένα τέτοιο γεωμετρικό πρόβλημα που ετέθη στην 30 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα που διεξήχθη στον Αγρό της Κύπρου, και αντιμετωπίστηκε από μερικούς μαθητές με την χρήση βαρυκεντρικών συντεταγμένων, ήταν η αφορμή για αυτή την εργασία. Εισαγωγή Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες (ή areal coordinates) εισήχθηκαν από τον August Ferdinand Mo bius ( ) στο βιβλίο του «βαρυκεντρικός λογισμός» που δημοσιεύτηκε το Ξεκίνησε με την παρατήρηση ότι δεδομένων τριών σταθερών σημείων του επιπέδου Α, Β, Γ οποιοδήποτε άλλο σημείο Ρ του επιπέδου τους μπορεί να το θεωρήσουμε ως κέντρο βάρους των Α, Β, Γ αν τοποθετήσουμε τα κατάλληλα βάρη α, β, γ αντίστοιχα τα οποία υπολογίζονται με βάση ένα συντελεστή αναλογίας. Ο Mo bius παριστάνει το σημείο Ρ ως αα + ββ + γγ. Ας αρχίσουμε με την ιδέα εντοπισμού του κέντρου βάρους μιας ράβδου στην οποία έχουν τοποθετηθεί στα άκρα της Α, Β βάρη όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν ονομάσουμε Ρ το κέντρο βάρους, δίνουμε στο σημείο αυτό τις συντεταγμένες (μ α : μ β ).

38 Θ. Παραγυίου Στους υπολογισμούς του ο Mo bius θεώρησε και αρνητικά βάρη. Αυτό αν και από φυσικής άποψης είναι άτοπο, ένα αρνητικό βάρος μπορεί να θεωρηθεί μια ανοδική δύναμη που εφαρμόζεται σε κάποιο σημείο. Σε αυτή την περίπτωση το κέντρο βάρους είναι έξω από το τμήμα ΑΒ Η ιδέα αυτή επεκτείνεται σε τρίγωνο ΑΒΓ, δηλαδή τοποθετούμε βάρη μ α, μ β, μ γ στις κορυφές Α, Β, Γ αντίστοιχα και βρίσκουμε στο επίπεδο του τριγώνου του κέντρου βάρους Ρ του συστήματος, το οποίο έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες (μ α : μ β : μ γ ).Το σημείο Ρ προφανώς δεν μεταβάλλεται αν πολλαπλασιάσουμε τα βάρη με μια σταθερά λ R, δηλαδή έχουμε (λμ α : λμ β : λμ γ ) και λέμε ότι είναι ομογενείς συντεταγμένες. Στις βαρυκεντρικές συντεταγμένες ενός σημείο (x: y: z) συχνά κάνουμε κανονικοποίηση έτσι ώστε να ισχύει x + y + z = 1 για να έχουμε πιο εύκολους υπολογισμούς. Για την κανονικοποίηση πολλαπλασιάζουμε με το Ρ(x: y: z) με την κανονικοποίηση θα πάρουμε 1 z x (x: y: z) = ( x + y + z, y x + y + z, z x + y + z ) 1 x+y+z. Επομένως αν 28

39 Βαρυκεντρικές Συντεταγμένες Τις κανονικοποιημένες συντεταγμένες συνήθως τις χωρίζουμε με κόμμα αντί άνω-κάτω τελεία. Αν x + y + z = 0 δεν γίνεται κανονικοποίηση. Εντοπισμός του βαρύκεντρου Αν ονομάσουμε με δ ΑΒ, δ ΒΓ, δ ΑΓ τα μήκη των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ αντίστοιχα θα έχουμε: Το σημείο α πάνω στην πλευρά ΒΓ (παραπάνω σχήμα) θα απέχει απόσταση δ ΒΓ από το σημείο Β και πάνω στην πλευρά ΑΓ θα απέχει απόσταση μ γ μ γ +μ β μ β μ γ +μ β δ ΒΓ απόσταση από το σημείο Γ. Όμοια το σημείο β μ γ μ δ μ γ +μ ΑΓ από το σημείο Α και α δ α μ γ +μ ΑΓ α απόσταση από το σημείο Γ. Επίσης, το σημείο γ πάνω στην πλευρά ΑΒ θα απέχει μ απόσταση α μ δ μ β +μ ΑΒ από το σημείο Β και α δ α μ β +μ ΑΒ απόσταση από το σημείο Α. α Επομένως το σημείο Ρ είναι το σημείο τομής των σεβιανών Αα, Ββ, Γγ. Είναι φανερό ότι οι κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ ορίζουν το βαρυκεντρικό σύστημα συντεταγμένων και κάθε άλλο σημείο Ρ του επιπέδου του εκφράζεται σε σχέση με τις κορυφές Α, Β, Γ του τριγώνου. Ορισμός των βαρυκεντρικών συντεταγμένων Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα, πιο γενικά μπορούμε να πούμε Ορισμός 1. Το σημείο με βαρυκεντρικές συντεταγμένες (x: y: z) είναι το κέντρο μάζας του συστήματος όπου οι μάζες x, y, z (που μπορεί να είναι και 0 ή ακόμη και αρνητικές) είναι τοποθετημένες αντίστοιχα στις κορυφές Α, Β, Γ του προς αναφορά τριγώνου ΑΒΓ. Ισοδύναμα, μπορούμε να διατυπώσουμε τον παρακάτω ορισμό Ορισμός 2. Το σημείο Ρ = (x: y: z) είναι το σημείο του οποίου τα ίχνη Δ, Ε, Ζ των ΑΡ, ΒΡ, ΓΡ πάνω στις πλευρές ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα ικανοποιούν τις σχέσεις ΒΔ ΔΓ = z y, ΓΕ ΕΑ = x z, ΑΖ ΖΒ = y x χρησιμοποιώντας προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα. 29

40 Θ. Παραγυίου Ορισμός 3. Θα αποδείξουμε τρία θεωρήματα για να εισαγάγουμε ένα ορισμό των βαρυκεντρικών συντεταγμένων με την χρήση διανυσματικού λογισμού του επιπέδου του τριγώνου. Θεώρημα 1. Έστω Α, Β, Γ να είναι οι κορυφές ενός μη εκφυλισμένου τριγώνου, με διανύσματα θέσης α, β, γ ως προς ένα σημείο αναφοράς Ο το οποίο δεν βρίσκεται μέσα στο επίπεδο Σ του τριγώνου ΑΒΓ. Τότε για κάθε σημείο Ρ μέσα στο επίπεδο Σ υπάρχουν μοναδικές συντεταγμένες x, y, z R τέτοιες ώστε Απόδειξη: ΟΡ = xα + yβ + zγ και x + y + z = 1 Θεωρώντας το πλάγιο σύστημα αξόνων ΑΒ, ΑΓ στο Σ έχουμε ΟΡ = ΟΑ + yαβ + zαγ = α + y( α + β ) + z( α + γ ) = (1 y z)α + yβ + zγ για κάποιες τιμές y, z R και ορίζουμε x = 1 y z. Η μοναδικότητα αποδεικνύεται από την γραμμική ανεξαρτησία των διανυσμάτων α, β, γ. Θεώρημα 2.Το προηγούμενο θεώρημα ισχύει ακόμη και αν το σημείο αναφοράς Ο βρίσκεται μέσα στο επίπεδο Σ. Απόδειξη: Το μόνο που μένει να αποδείξουμε στην περίπτωση αυτή είναι η μοναδικότητα τα υπόλοιπα είναι όπως το προηγούμενο θεώρημα. Υποθέτουμε ότι έχουμε ΟΡ = xα + yβ + zγ = x 0 α + y 0 β + z 0 γ 30

41 Βαρυκεντρικές Συντεταγμένες με x + y + z = 1 και x 0 + y 0 + z 0 = 1 τότε (x x 0 )α + (y y 0 )β + (z z 0 )γ = 0. Άρα αφού τα Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά θα ισχύει : x x 0 = 0 και y y 0 = 0 και z z 0 = 0 από τα οποία έχουμε x = x 0 και y = y 0 και z = z 0. Θεώρημα 3.Οι συντεταγμένες (x, y, z) με x + y + z = 1 είναι αναλλοίωτες αν αλλάξουμε το σημείο αναφοράς Ο. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι μετακινούμε το αρχικό σημείο αναφοράς Ο κατά ένα διάνυσμα ρ στην θέση Ο 1. Ορίζουμε τα διανύσματα Ο 1 Α = α 1, Ο 1 Β = β 1, Ο 1 Γ = γ 1. Έχουμε τώρα Ο 1 Ρ = ΟΡ ρ Ο 1 Ρ = xα + yβ + zγ (x + y + z)ρ = xα 1 + yβ 1 + zγ 1. Το συμπέρασμα από τα προηγούμενα θεωρήματα είναι ότι μπορούμε να θεωρούμε τις συντεταγμένες (x, y, z) ως συντεταγμένες του σημείου Ρ που καθορίζουν την θέση του σε σχέση με το τρίγωνο αναφοράς ΑΒΓ. Οι συντεταγμένες αυτές ονομάζονται areal ή βαρυκεντρικές συντεταγμένες. Υπάρχει μια ακόμη περιγραφή των βαρυκεντρικών συντεταγμένων η οποία είναι πολύ χρήσιμη στους υπολογισμούς. Ορισμός 4. Το Ρ = (x: y: z) είναι το σημείο μέσα στο επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ τέτοιο ώστε τα τρία (προσημασμένα) εμβαδά [ΡΒΓ], [ΡΓΑ] και [ΡΑΒ] έχουν την αναλογία x: y: z. Δίνουμε μια εξήγηση γιατί αυτός ο ορισμός ταυτίζεται με τον ορισμό 2. Έχουμε από το παραπάνω σχήμα: [ΡΑΒ] [ΡΓΑ] = [ΑΒΔ] [ΡΒΔ] [ΑΔΓ] [ΡΔΓ] = 1 2 ΒΔ(u v) = 1 2 ΔΓ(u v) ΒΔ ΔΓ = z y 31

42 Θ. Παραγυίου Όμοια [ΡΒΓ] [ΡΒΑ] = x z, [ΡΓΑ] [ΡΒΓ] = y x. Από τον τελευταίο ορισμό, οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες, πήραν την ονομασία τους ως areal συντεταγμένες. Ισχύει ότι οι συντεταγμένες του σημείου Ρ είναι Το εμβαδόν του τριγώνου θεωρείται θετικό αν οι κορυφές είναι σημειωμένες αντίθετα προς την κίνηση των δεικτών του ρολογιού, δηλαδή [ΑΒΓ] > 0, ενώ είναι αρνητικό αν σημειώνουμε τις κορυφές με φορά όπως την κίνηση των δεικτών του ρολογιού. Ρ = (x, y, z) = ( [ΡΒΓ] [ΑΒΓ], [ΡΓΑ] [ΑΒΓ], [ΡΑΒ] [ΑΒΓ] ) Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες έχουν διαφορετικά πρόσημα στις διάφορες περιοχές που χωρίζουν το επίπεδο οι ευθείες των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Χαρακτηριστικά σημεία τριγώνου σε βαρυκεντρικές συντεταγμένες. Θα υπολογίσουμε τις κανονικοποιημένες χαρακτηριστικά σημεία τριγώνου ΑΒΓ. βαρυκεντρικές συντεταγμένες για 1. Κορυφές τριγώνου: Θεωρούμε στις κορυφές τις κανονικοποιημένες βαρυκεντρικές συντεταγμένες Α(1,0,0), Β(0,1,0), Γ(0,0,1). 2. Μέσα πλευρών τριγώνου: Αφού ΒΔ ΔΓ = 1 1 έχουμε ότι Δ = (0: 1: 1) και όμοια για τα άλλα μέσα των πλευρών του τριγώνου έχουμε: Ε = (1: 0: 1), Ζ = (1: 1: 0) και οι αντίστοιχες κανονικοποιημένες βαρυκεντρικές συντεταγμένες των μέσων είναι: Δ = 1 2 (0,1,1), Ε = 1 2 (1,0,1), Ζ = 1 2 (1,1,0) 32

43 Βαρυκεντρικές Συντεταγμένες 3. Κέντρο βάρους ή βαρύκεντρο τριγώνου: Επειδή ισχύει ΒΔ ΔΓ = ΓΕ ΕΑ = ΑΖ ΖΒ = 1 1 έχουμε ότι Κ = (1: 1: 1) και με την κανονικοποίηση έχουμε Κ = 1 3 (1,1,1). 4. Έγκεντρο τριγώνου: Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου έχουμε: ΒΔ ΔΓ = γ β, ΓΕ ΕΑ = α γ και ΑΖ ΖΒ = β α, άρα από τον ορισμό, οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου Ι = (α: β: γ) και με την κανονικοποίηση θα έχουμε Ι = 1 (α, β, γ) = 1 (α, β, γ), όπου α+β+γ 2τ τ = α+β+γ, (ημιπερίμετρος τριγώνου) Ορθόκεντρο τριγώνου: Από τις ιδιότητες των εγγράψιμων τετραπλεύρων του σχήματος και τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται παίρνουμε: ΒΔ = ΗΔεφΓ = εφγ, ΓΕ = εφα ΔΓ ΗΔεφΒ εφβ ΕΑ εφγ ΑΖ και = εφβ ΖΒ εφα, άρα από τον ορισμό, οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του ορθόκεντρου είναι Η = (εφα: εφβ: εφγ) και με την κανονικοποίηση θα έχουμε Η = 1 εφα+εφβ+εφγ (εφα, εφβ, εφγ). Χρησιμοποιώντας τον ορισμό με τα εμβαδά μπορούμε να πάρουμε τα παρακάτω. [ΗΒΓ] = 1 ΒΔ α ΗΔ, όμως ΗΔ = = ΒΔσυνΓ και επειδή ΒΔ = γσυνβ έχουμε 2 εφγ ημγ ΗΔ = γσυνβσυνγ ημγ Άρα [ΗΒΓ] = 1 γσυνβσυνγ α και αφού από τον νόμο των ημιτόνων ισχύει 2 ημγ 2R = γ παίρνουμε ημγ Όμοια [ΗΒΓ] = RασυνΒσυνΓ [ΗΓΑ] = RβσυνΓσυνΑ και [ΗΑΒ] = RγσυνΑσυνΒ. επομένως οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του ορθόκεντρου είναι Η = (ασυνβσυνγ: βσυνγσυνα: γσυνασυνβ) Όμως από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε θα 33

44 Θ. Παραγυίου ασυνβσυνγ = α γ2 + α 2 β 2 α2 + β 2 γ 2 2γα 2αβ = 1 4αβγ (γ2 + α 2 β 2 )(α 2 + β 2 γ 2 ) (1) Άρα έχουμε τις βαρυκεντρικές συντεταγμένες του ορθόκεντρου συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου Η = ( (γ2 + α 2 β 2 )(α 2 + β 2 γ 2 ): (α 2 + β 2 γ 2 )(β 2 + γ 2 α 2 ): (β 2 + γ 2 α 2 )(γ 2 + α 2 β 2 ) ) Για να βρούμε τον παράγοντα κανονικοποίησης υπολογίζουμε το άθροισμα (γ 2 + α 2 β 2 )(α 2 + β 2 γ 2 ) κυκλ. = 2α 2 β 2 + 2β 2 γ 2 + 2γ 2 α 2 α 4 β 4 γ 4 = (α + β + γ)(α + β γ)(β + γ α)(γ + α β) = 16τ(τ α)(τ β)(τ γ) = 16[ΑΒΓ] 2 = 16ρ 2 τ 2 όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και ισχύει [ΑΒΓ] = ρτ. Επομένως έχουμε βρει δύο ισοδύναμες κανονικοποιημένες μορφές για το ορθόκεντρο 1 + α 2 β 2 )(α 2 + β 2 γ 2 ), (α 2 + β 2 γ 2 )(β 2 + γ 2 α 2 ), Η == 16ρ 2 τ 2 ((γ2 (β 2 + γ 2 α 2 )(γ 2 + α 2 β 2 ) ) = R (ασυνβσυνγ, βσυνγσυνα, γσυνασυνβ). ρτ για την τελευταία σχέση αντικαταστήσαμε στην (1) την γνωστή σχέση σε τρίγωνο αβγ = 4τρR. 6. Περίκεντρο τριγώνου: έχουμε ότι και [ΟΒΓ] = 1 2 R2 ημ( ΒΟΓ) = 1 2 R2 ημ2α, [ΟΓΑ] = 1 2 R2 ημ( ΓΟΑ) = 1 2 R2 ημ2β [ΟΑΒ] = 1 2 R2 ημ( ΑΟΒ) = 1 2 R2 ημ2γ Επομένως χρησιμοποιώντας τον ορισμό με τα εμβαδά οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του περίκεντρου τριγώνου είναι: 34

45 Βαρυκεντρικές Συντεταγμένες Ο = (ημ2α: ημ2β: ημ2γ) και σε κανονικοποιημένη μορφή 1 Ο = (ημ2α, ημ2β, ημ2γ) ημ2α + ημ2β + ημ2γ 1 = (ημ2α, ημ2β, ημ2γ). 4ημΑημΒημΓ 7. Παράκεντρα τριγώνου: Για το παράκεντρο Ι α που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή Α του τριγώνου, έχουμε [Ι α ΒΓ] = 1 2 ρ αα, [Ι α ΓΑ] = 1 2 ρ αβ και [Ι α ΑΒ] = 1 2 ρ αγ Άρα οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του είναι Ι α = ( α: β: γ). Όμοια παίρνουμε Ι β = (α: β: γ), Ι γ = (α: β: γ), και οι αντίστοιχες κανονικοποιημένες είναι: 1 Ι α = ( α, β, γ), β + γ α 1 Ι β = α + γ β (α, β, γ), Ι 1 γ = (α, β, γ). α + β γ Με παρόμοιες μεθόδους και χρησιμοποιώντας τους ορισμούς μπορούμε να υπολογίσουμε τις βαρυκεντρικές συντεταγμένες και άλλων χρήσιμων χαρακτηριστικών σημείων του τριγώνου. 8. Σημείο του Gergonne: (τ β)(τ γ): (τ γ)(τ α): G = ( ) (τ α)(τ β) 9. Σημείο του Nagel: N = (τ α: τ β: τ γ ) 10. Σημείο τομής των συμμετροδιαμέσων τριγώνου: Κ = (α 2 : β 2 : γ 2 ) 35

46 Θ. Παραγυίου Εξίσωση ευθείας Η εξίσωση της ευθείας στις βαρυκεντρικές συντεταγμένες έχει απλή μορφή. Θεώρημα 4. Η εξίσωση της ευθείας είναι ux + vy + wz = 0 όπου u, v, w R και όχι όλα μηδέν. Μπορούμε να υπολογίσουμε τις σταθερές u, v, w σε μια ευθεία που περνά από δύο σημεία με συντεταγμένες Ρ = (α ρ : β ρ : γ ρ ) και Κ = (α κ : β κ : γ κ ) του επιπέδου. Πράγματι αφού η ευθεία περνά από τα σημεία Ρ και Κ έχουμε: α ρ x + β ρ y + γ ρ z = 0 α κ x + β κ y + γ κ z = 0 όπου (x: y: z) τυχαίο σημείο της ευθείας. Λόγω της συνευθειακότητας θα έχουμε x y z α ρ β ρ γ ρ = 0 (β ρ γ κ β κ γ ρ )x + (γ ρ α κ α ρ γ κ )y + (α ρ β κ α κ β ρ )z = 0 α κ β κ γ κ Αν η ευθεία περνά από το σημείο Α = (1,0,0) αντικαθιστώντας στην εξίσωση της ευθείας παίρνουμε u1 + v0 + w0 = 0 u = 0, άρα η ευθεία έχει την μορφή y = kz για κάποιο k Z. Η τιμή του k μπορεί να προσδιοριστεί εύκολα από την προηγούμενη εξίσωση, αν ξέρουμε ότι η ευθεία περνά από τα σημεία Α = (1,0,0) και Ρ = (α ρ : β ρ : γ ρ ), δηλαδή έχουμε: γ ρ y + β ρ z = 0 y = β ρ γ ρ z Όμοια ορίζουμε της ευθείες που περνούν από τα σημεία Β = (0,1,0), Γ = (0,0,1) που θα έχουν την μορφή αντίστοιχα x = a ρ γ ρ z, x = a ρ β ρ y Οι ευθεία που περνά από τα σημεία Β = (0,1,0), Γ = (0,0,1) θα είναι της μορφής x = 0, αφού αν αντικαταστήσουμε τα σημεία πάνω στην ευθεία έχουμε v = w = 0. Όμοια οι ευθείες των πλευρών ΑΒ και ΑΓ του τριγώνου θα είναι αντίστοιχα z = 0 και y = 0. Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε τα χρήσιμα θεωρήματα του Ceva και του Μενελάου. 36

47 Βαρυκεντρικές Συντεταγμένες Θεωρήματα Ceva και Μενελάου. I. Θεώρημα Ceva: Έστω ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ σεβιανές του τριγώνου ΑΒΓ. Τότε οι σεβιανές συντρέχουν αν και μόνο αν ΒΔ ΓΕ ΑΖ ΔΓ ΕΑ ΖΒ = 1 Απόδειξη: Αφού το Δ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ΒΓ, οι κανονικοποιημένες βαρυκεντρικές συντεταγμένες του θα είναι της μορφής (0, δ, 1 δ) για κάποιο δ R και ισχύει ΒΔ = 1 δ ΔΓ δ. Αν το σημείο Δ βρίσκεται ανάμεσα στα Β, Γ τότε 0 < δ < 1. Αν το Β είναι μεταξύ των Δ και Γ τότε δ > 1. Αν το Γ είναι μεταξύ των Δ και Β τότε δ < 0. Άρα η ευθεία που περνά από τα σημεία Α = (1,0,0) και Δ = (0, δ, 1 δ) είναι x y z 0 δ 1 δ = 0 z = 1 δ δ y Όμοια αν Ε = (1 ε, 0, ε) και Ζ = (ζ, 1 ζ, 0) οι κανονικοποιημένες συντεταγμένες των σημείων Ε και Ζ τότε οι ευθείες ΒΕ και ΓΖ θα είναι αντίστοιχα x = 1 ε z και y = 1 ζ x. Άρα θα έχουμε ε ζ x = 1 ε z = ε Και αφού ισχύει ΒΔ = 1 δ ΔΓ δ (1 ε) (1 δ) (1 ε) (1 δ) (1 ζ) y = x ε δ ε δ ζ (1 ε) (1 δ) (1 ζ) 1 = ε δ ζ, ΓΕ = 1 ε ΕΑ ε και ΑΖ = 1 ζ θα πάρουμε ΖΒ ζ ΒΔ ΓΕ ΑΖ ΔΓ ΕΑ ΖΒ = 1. 37

48 Θ. Παραγυίου II. Θεώρημα Μενελάου: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με τα σημεία Δ, Ε, Ζ πάνω σε μια διατέμνουσα ευθεία των πλευρών ΑΓ, ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, με τα σημεία Δ, Ε, Ζ διαφορετικά από τα Α, Β, Γ. Τότε ΑΕ ΒΖ ΓΔ ΕΒ ΖΓ ΔΑ = 1 Απόδειξη: Αφού το Δ βρίσκεται πάνω στην ευθεία AΓ, οι κανονικοποιημένες βαρυκεντρικές συντεταγμένες του θα είναι της μορφής ( δ, 0, 1 δ) για κάποιο δ R και ισχύει ΓΔ και ε = ΕΒ, και 1 ε ΑΕ ζ = ΖΓ. 1 ζ ΒΖ = δ ΔΑ 1 δ. Οι συντεταγμένες του Ε είναι ( ε, 1 ε, 0), ε R οι συντεταγμένες του Ζ είναι (0, ζ, 1 ζ), ζ R και Βρίσκουμε την ευθεία που περνά από τα σημεία Δ = ( δ, 0, 1 δ) και Ε = ( ε, 1 ε, 0) x y z δ 0 1 δ = 0 x[ (1 ε)(1 δ)] y[ ε(1 δ)] + z[δ(1 ε)] ε 1 ε 0 = 0 και αφού περνά από το σημείο (0, ζ, 1 ζ) αντικαθιστώντας παίρνουμε ζ[ ε(1 δ)] + (1 ζ)[δ(1 ε)] = 0 ζε(1 δ) = δ(1 ζ)(1 ε) δ(1 ζ)(1 ε) = 1 δ ζε(1 δ) 1 δ 1 ζ 1 ε = 1 ζ ε ΓΔ ΔΑ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ = 1. Εμβαδόν τριγώνου Θεώρημα 6: Το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία Δ = (x 1, y 1, z 1 ), E = (x 2, y 2, z 2 ) και Ζ = (x 3, y 3, z 3 ) με κανονικοποιημένες βαρυκεντρικές συντεταγμένες ως προς το τρίγωνο αναφοράς ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο 38

49 x 1 y 1 z 1 [ΔΕΖ] = x 2 x 3 y 2 y 3 z 2 [ΑΒΓ] z 3 Βαρυκεντρικές Συντεταγμένες Απόδειξη: Επιλέγουμε ένα σημείο Ο έξω από το επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ και σχηματίζουμε το τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με Ο(0,0,0), Α(1,0,0), Β(0,1,0) και Γ(0,0,1) και έστω ΟΑ = α, ΟΒ = β, ΟΓ = γ. Με τα διανύσματα αυτά σχηματίζουμε το παραλληλεπίπεδο όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο όγκος του παραλληλεπιπέδου είναι V ΑΒΓ = [OΓΔΒ] (ΑΛ) = β γ α συνθ αφού ΜΟΑ = ΟΑΛ = θ. Και από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε V ΑΒΓ = α β γ. Ξέρουμε όμως ότι αν α = α 1 i + a 2 j + a 3 k, β = β 1 i + β 2 j + β 3 k και γ = γ 1 i + γ 2 j + γ 3 k τότε ισχύει α 1 β 1 γ 1 α β γ = α 2 β 2 γ 2 α 3 β 3 γ 3 Άρα στην περίπτωση μας με Α(1,0,0), Β(0,1,0) και Γ(0,0,1) έχουμε V ΑΒΓ = α β γ = = Όμοια ο όγκος του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζεται από τα διανύσματα ΟΔ = (x 1, y 1, z 1 ), ΟΕ = (x 2, y 2, z 2 ) και ΟΖ = (x 3, y 3, z 3 ) είναι Επομένως παίρνουμε x 1 y 1 z 1 V ΔΕΖ = x 2 x 3 y 2 y 3 z 2 z 3 x V 1 y 1 z 1 ΔΕΖ = x 2 y 2 z 2 (Α) V ΑΒΓ x 3 y 3 z 3 39

50 Θ. Παραγυίου Το παραλληλεπίπεδο όμως μπορεί να χωριστεί με το διαγώνιο επίπεδο σε δύο ισοδύναμα τριγωνικά πρίσματα. Θα αποδείξουμε τώρα δυο γνωστές προτάσεις της Στερεομετρίας. Πρόταση 1: Σε κάθε τετράεδρο Α. ΒΓΔ ισχύει Απόδειξη: [ΒΓΔ]υ 1 = [ΑΓΔ]υ 2 = [ΑΒΔ]υ 3 = [ΑΒΓ]υ 4 = κ Φέρουμε τις ΑΖ (ΒΓΔ), ΒΙ (ΑΓΔ), ΖΗ ΓΔ και ΙΚ ΓΔ. Από το θεώρημα τριών καθέτων θα έχουμε ΑΖ ΓΔ, ΒΚ ΓΔ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΖΗ, ΒΙΚ είναι όμοια γιατί θ = φ ως αντίστοιχη επίπεδη γωνία της διέδρου γωνίας ακμής ΓΔ. Άρα θα πάρουμε ΑΖ ΑΗ = ΒΙ ΒΚ ΑΖ ΒΚ = ΑΗ ΒΙ 1 2 ΓΔ ΒΚ υ 1 = 1 2 ΓΔ ΑΗ υ 2 [ΒΓΔ]υ 1 = [ΑΓΔ]υ 2 Όμοια αποδεικνύονται και τα [ΑΓΔ]υ 2 = [ΑΒΔ]υ 3, [ΑΒΔ]υ 3 = [ΑΒΓ]υ 4. Πρόταση 2:Κάθε τριγωνικό πρίσμα χωρίζεται σε τρία ισοδύναμα τετράεδρα. Απόδειξη: Το επίπεδο (ΔΓΖ) χωρίζει το τριγωνικό πρίσμα σε ένα τετράεδρο το ΓΔΕΖ και σε μια τετραγωνική πυραμίδα την Γ. ΑΒΖΔ. Φέρουμε την διαγώνιο ΑΖ και το επίπεδο (ΑΓΖ) χωρίζει την πυραμίδα σε δύο ισοδύναμα τετράεδρα τα ΓΑΒΖ και ΓΑΔΖ (έχουν ίσες βάσεις και ίδιο ύψος).όμως τα τετράεδρα ΓΔΕΖ και ΓΑΒΖ έχουν ίσες βάσεις τις βάσεις του πρίσματος (ΑΒΓ) = (ΔΕΖ) και ίδιο ύψος, το ύψος του πρίσματος ΓΕ = ΒΖ. Άρα (ΓΔΕΖ) = (ΓΑΒΖ) = (ΓΑΔΖ) και V ABΓΔ = 3V ΓΔΕΖ. Και άρα, επιστρέφοντας τώρα στην απόδειξή μας θα έχουμε ότι V ΑΒΓ = 6V OABΓ = [ΑΒΓ] h όπου h είναι το ύψος από την κορυφή Ο στο επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ. Όμοια 40

51 Επομένως η σχέση (Α) γίνεται V ΔΕΖ = 6V OΔΕΖ = [ΔΕΖ] h Βαρυκεντρικές Συντεταγμένες x [ΔΕΖ] 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 [ΑΒΓ] = x 2 y 2 z 2 [ΔΕΖ] = x 2 y 2 z 2 [ΑΒΓ]. x 3 y 3 z 3 x 3 y 3 z 3 Πόρισμα 1: (κριτήριο συνευθειακότητας) Τα σημεία Δ = (x 1, y 1, z 1 ), E = (x 2, y 2, z 2 ) και Ζ = (x 3, y 3, z 3 ) είναι συνευθειακά αν και μόνο αν x 1 y 1 z 1 x 2 x 3 y 2 y 3 z 2 = 0. z 3 Πόρισμα 2:(Ευθεία που περνά από δύο σημεία) Η εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία Δ = (x 1 : y 1 : z 1 ), E = (x 2 : y 2 : z 2 ) είναι x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = 0 x y z Πόρισμα 2:(ένα δεύτερο κριτήριο συνευθειακότητας) Τα σημεία Δ = (x 1, y 1, z 1 ), E = (x 2, y 2, z 2 ) και Ζ = (x 3, y 3, z 3 ) είναι συνευθειακά αν και μόνο αν x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = 0. x 3 y 3 1 Απόδειξη: Χρησιμοποιώντας μια ιδιότητα των οριζουσών και ξέροντας ότι τα σημεία είναι κανονικοποιημένα δηλαδή x i + y i + z i = 1 i = 1,2,3 θα έχουμε Παράλληλες ευθείες x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 x 1 + y 1 + z 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 z 2 = x 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 = x 2 y 2 1 = 0 x 3 y 3 z 3 x 3 y 3 x 3 + y 3 + z 3 x 3 y 3 1 Θεώρημα 7:(Συνθήκη παραλληλίας) Δύο μη ταυτιζόμενες ευθείες u 1 x + v 1 y + w 1 z = 0 και u 2 x + v 2 y + w 2 z = 0 είναι παράλληλες είναι u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 =

52 Θ. Παραγυίου Απόδειξη: Οι δύο εξισώσεις δίνουν πάντοτε μια λύση πραγματική. Αν όμως η λύση ικανοποιεί την x + y + z = 0 τότε δεν έχουμε πραγματική λύση για το ομογενές σύστημα u 1 x + v 1 y + w 1 z = 0 { u 2 x + v 2 y + w 2 z = 0 x + y + z = 0 Αυτό σημαίνει ότι η ορίζουσα των συντελεστών μηδενίζεται και αφού οι ευθείες δεν τέμνονται όταν είναι παράλληλες το συμπέρασμα ισχύει. Ορισμός: (Το άπειρο σημείο της ευθείας) Το άπειρο σημείο μιας ευθείας L που έχει ομογενείς συντεταγμένες δίνεται από την διαφορά των απόλυτων βαρυκεντρικών συντεταγμένων δύο διαφορετικών σημείων της ευθείας. Δηλαδή, το άθροισμα των συντεταγμένων του άπειρου σημείου είναι μηδέν. Άρα όλα τα άπειρα σημεία κατανέμονται πάνω στην ευθεία L της οποίας η εξίσωση είναι x + y + z = 0. Παραδείγματα: 1) Τα άπειρα σημεία των ευθειών των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ με Α(1,0,0), Β(0,1,0), Γ(0,0,1) είναι (0 0: 0 1: 1 0) = (0: 1: 1), (1: 0: 1), ( 1: 1: 0) αντίστοιχα. 2) Περισσότερο γενικά, το άπειρο σημείο της ευθείας ux + vy + wz = 0 όπου u, v, w R είναι (v w: w u: u v). Παράλληλες ευθείες είναι αυτές που έχουν το ίδιο άπειρο σημείο. Η ευθεία που περνά από το σημείο Δ = (x 1, y 1, z 1 ) και είναι παράλληλη με την ευθεία L: ux + vy + wz = 0 έχει εξίσωση v w w u u v x 1 y 1 z 1 = 0 x y z Τομή δύο ευθειών Η τομή δύο ευθειών α 1 x + β 1 y + γ 1 z = 0 α 2 x + β 2 y + γ 2 z = 0 Είναι το σημείο (β 1 γ 2 β 2 γ 1 : γ 1 α 2 γ 2 α 1 : α 1 β 2 α 2 β 1 ) 42

53 Βαρυκεντρικές Συντεταγμένες Είναι πιο εύκολα να το θυμόμαστε ως το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων u 1 = (α 1, β 1, γ 1 ) και u 2 = (α 2, β 2, γ 2 ) το οποίο ορίζεται ως i j k u 1 u 2 = α 1 β 1 γ 1 = (β 1 γ 2 β 2 γ 1 )i + (γ 1 α 2 γ 2 α 1 )j + (α 1 β 2 α 2 β 1 )k α 2 β 2 γ 2 Παράδειγμα: Δίνονται οι ευθείες το σημείο τομής τους είναι 4x + 2y + 2z = 0 6x + 5y + z = 0 i j k = (2 10)i + (12 4)j + (20 12)k = ( 8,8,8) = ( 1,1,1) Συνευθειακά σημεία: Τρία σημεία με βαρυκεντρικές συντεταγμένες έστω Δ = (x 1, y 1, z 1 ), E = (x 2, y 2, z 2 ) και Ζ = (x 3, y 3, z 3 ) είναι συνευθειακά αν ισχύει Συντρέχουσες ευθείες Τρείς ευθείες συντρέχουν αν και μόνο αν ισχύει x 1 y 1 z 1 x 2 x 3 y 2 y 3 z 2 = 0 z 3 α 1 x + β 1 y + γ 1 z = 0 α 2 x + β 2 y + γ 2 z = 0 α 3 x + β 3 y + γ 3 z = 0 α 1 β 1 γ 1 α 2 β 2 γ 2 = 0 α 3 β 3 γ 3 Μπορούμε επίσης να βρούμε την μορφή της εξίσωσης της παράλληλης ευθείας L προς την ευθεία που περνά από τα σημεία Δ = (x 1, y 1, z 1 ), E = (x 2, y 2, z 2 ) με την παρατήρηση ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ = (x, y, z) πάνω στην ευθεία L το εμβαδόν του τριγώνου ΜΔΕ είναι σταθερό. Άρα από τον τύπο του εμβαδού έχουμε 43

54 Θ. Παραγυίου x x 1 x 2 y z y 1 z 1 y 2 = k = k(x + y + z) z 2 όπου k R και x + y + z = 1 (κανονικοποιημένες συντεταγμένες). Τύπος της απόστασης Θα βρούμε τον τύπο της απόστασης στην περίπτωση που το τρίγωνο αναφοράς ΑΒΓ είναι οξυγώνιο. Ο ίδιος τύπος ισχύει και στην περίπτωση ορθογωνίου ή αμβλυγωνίου τριγώνου με κατάλληλη κατασκευή και αντικαταστάση. [Δες [1] σελίδα 177]. Έστω τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΒΓ = α, ΑΓ = β και ΑΒ = γ. Ας ονομάσουμε Ο το σημείο αναφοράς και τα διανύσματα θέσης ΟΑ = x, ΟB = y και ΟΓ = z και τα αντίστοιχα μέτρα τους x = δ, y = ε και z = φ. Αφού το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε ότι οι ποσότητες β 2 + γ 2 α 2, γ 2 + α 2 β 2, και α 2 + β 2 γ 2 είναι θετικές. Μπορούμε επομένως να θέσουμε αυτές τις ποσότητες με 2δ 2, 2ε 2 και 2φ 2 αντίστοιχα. Τότε παίρνουμε ε 2 + φ 2 = α 2 φ 2 + δ 2 = β 2 δ 2 + ε 2 = γ 2 και από το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος ένα τέτοιο σημείο Ο υπάρχει για το οποίο τα ΟΑ = x, ΟB = y και ΟΓ = z είναι ορθογώνια μεταξύ τους και άρα έχουμε y x = z x = x y = 0. Υποθέτουμε τώρα ότι έχουμε δύο σημεία Ρ και Κ στο επίπεδο του τριγώνου με βαρυκεντρικές συντεταγμένες Ρ = (λ, μ, ν) και Κ = (ρ, σ, τ), τότε το διάνυσμα μετατόπισης ορίζεται ΡΚ = (ρ λ, σ μ, τ ν) = (u, v, w) και άρα u + v + w = ρ + σ + τ (λ + μ + ν) = 1 1 = 0. Σημειώνουμε ότι για κάθε διάνυσμα μετατόπισης το άθροισμα των συντεταγμένων του είναι μηδέν. Τώρα αφού ΡΚ = ux + vy + wz Άρα για την απόσταση ΡΚ έχουμε 44

55 ΡΚ 2 = (ux + vy + wz )(ux + vy + wz) = u 2 x 2 + v 2 y 2 + w 2 z 2 = u 2 δ 2 + v 2 ε 2 + w 2 φ 2 Βαρυκεντρικές Συντεταγμένες = 1 2 (β2 + γ 2 α 2 )u (γ2 + α 2 β 2 )v ( α2 + β 2 γ 2 )w 2 = 1 2 [α2 (v 2 + w 2 u 2 ) + β 2 (w 2 + u 2 v 2 ) + γ 2 (u 2 + v 2 w 2 )] = α 2 vw β 2 wu γ 2 uv. Παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση μεταξύ των παρακέντρων Ι α = 1 ( α, β, γ), Ι β+γ α β = 1 (α, β, γ) τριγώνου ΑΒΓ. Έχουμε α+γ β Ι α Ι β = 2γ (α, β, β α) (β + γ α)(α + γ β) Άρα για διάνυσμα μετατόπισης ΡΚ = (α, β, β α) ο προηγούμενος τύπος μας δίνει Επομένως ΡΚ 2 = α 2 β(β α) β 2 α(β α) + γ 2 αβ = αβ(γ + α β)(γ + β α) αβ Ι α Ι β = 2γ (β + γ α)(α + γ β). Κάθετες ευθείες Έστω ΡΚ = (κ, λ, ρ) και ΠΣ = PT = (μ, ν, τ) να είναι δύο διανύσματα μετατόπισης στο επίπεδο του τριγώνου, άρα u + v + w = μ + ν + τ = 0. Για να είναι κάθετα τα ΡΚ και ΠΣ θα πρέπει να ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή ΡΚ 2 + ΡΤ 2 = ΚΤ 2 όπου το ΚΤ = (μ κ, ν λ, τ ρ). Εφαρμόζοντας τον τύπο της απόστασης τρείς φορές παίρνουμε ΡΚ 2 + ΡΤ 2 = ΚΤ 2 α 2 λρ β 2 ρκ γ 2 κλ α 2 ντ β 2 τμ γ 2 μν = α 2 (ν λ)(τ ρ) β 2 (τ ρ)(μ κ) γ 2 (μ κ)(ν λ) α 2 (νρ + λτ) + β 2 (τκ + ρμ) + γ 2 (μλ + κν) = 0. (Β) Παράδειγμα 1: Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι οι ευθείες α 1 x + β 1 y + γ 1 z = 0 α 2 x + β 2 y + γ 2 z = 0 45

56 Θ. Παραγυίου Είναι κάθετες.δύο διανύσματα μετατόπισης αυτών των ευθειών είναι αντίστοιχα τα (κ, λ, ρ) = (β 1 γ 1, γ 1 α 1, α 1 β 1 ) (μ, ν, τ) = (β 2 γ 2, γ 2 α 2, α 2 β 2 ) Αν αντικαταστήσουμε στον τύπο (Β) και μηδενίζεται τότε οι ευθείες είναι κάθετες. Παράδειγμα 2: Έστω ένα σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ με κανονικοποιημένες βαρυκεντρικές συντεταγμένες Ρ = (λ, μ, ν) και έστω ότι το ίχνος της κάθετης από το Ρ πάνω στην ΒΓ είναι το σημείο Λ = (0, κ, ρ). Θέλουμε να υπολογίσουμε τα μήκη των ΒΛ, ΓΛ. Έχουμε ΒΓ = (0, 1,1) και ΡΛ = ( λ, κ μ, ρ ν) Εφαρμόζοντας την συνθήκη καθετότητας (Β) παίρνουμε α 2 (κ μ ρ + ν) + β 2 ( λ) + γ 2 λ = 0 κ ρ = μ ν + (β2 γ 2 )λ α 2 Όμως ξέρουμε ότι κ + ρ = 1 και λ + μ + ν = 1. Λύνοντας τα συστήματα βρίσκουμε ότι κ = μ + (α2 +β 2 γ 2 )λ και ρ = ν + (γ2 +α 2 β 2 )λ 2α 2 2α 2 Και χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στις τελευταίες σχέσεις καταλήγουμε ότι ΒΛ = κ = μ + βλ γλ συνγ και ΓΛ = ρ = ν + συνβ. α α Πόρισμα 1: Θεωρούμε το διάνυσμα μετατόπισης ΡΚ = (x 1, y 1, z 1 ). Τότε ΡΚ ΒΓ αν και μόνο αν ισχύει α 2 (y 1 z 1 ) + x 1 (β 2 γ 2 ) = 0 Απόδειξη: Αντικαθιστούμε στην (Β) για τα διανύσματα ΒΓ = (0, 1,1) και ΡΚ = (x 1, y 1, z 1 ) και παίρνουμε το ζητούμενο. Πόρισμα 2: Η εξίσωση της μεσοκάθετης του ΒΓ έχει εξίσωση α 2 (z y) + x(γ 2 β 2 ) = 0 46

57 Βαρυκεντρικές Συντεταγμένες Απόδειξη: Έστω ένα σημείο πάνω στην μεσοκάθετη του ΒΓ με συντεταγμένες Ρ = (x, y, z). To μέσο Μ του ΒΓ έχει συντεταγμένες Μ = (0, 1 2, 1 2 ) = 1 2 (0,1,1). Εφαρμόζουμε την συνθήκη καθετότητας για τα διανύσματα ΒΓ = (0, 1,1) και ΡΜ = ( x, 1 y, 1 z) και παίρνουμε α 2 (1 y 1 + z) + β 2 ( x) + γ 2 x = 0 α 2 (z y) + x(γ 2 β 2 ) = 0. Εξίσωση κύκλου Θεώρημα 8: Η γενική εξίσωση κύκλου δίνεται από την εξίσωση α 2 yz β 2 zx γ 2 xy + (ux + vy + wz)(x + y + z) = 0 Για κάποιους πραγματικούς u, v, w. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι ο κύκλος έχει κέντρο με συντεταγμένες Κ = (κ, λ, μ) και έχει ακτίνα ρ. Έστω ένα τυχαίο σημείο του κύκλου με βαρυκεντρικές συντεταγμένες (x, y, z) σε κανονική μορφή, δηλαδή x + y + z = 1. Άρα θα πάρουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο της απόστασης α 2 (y λ)(z μ) β 2 (z μ)(x κ) γ 2 (x κ)(y λ) = ρ 2 Κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε σε εξίσωση της μορφής α 2 yz β 2 zx γ 2 xy + C 1 x + C 2 y + C 3 z = C Όπου C 1, C 2, C 3 και C κάποιες σταθερές. Και αφού ισχύει x + y + z = 1, η τελευταία εξίσωση γράφεται α 2 yz β 2 zx γ 2 xy + ux + vy + wz = 0 α 2 yz β 2 zx γ 2 xy + (ux + vy + wz)(x + y + z) = 0 όπου u = C 1 C, v = C 2 C και w = C 3 C. Πόρισμα 3: Η εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ έχει εξίσωση α 2 yz + β 2 zx + γ 2 xy = 0. Τώρα θα δούμε πως μπορούμε να λύσουμε προβλήματα Ευκλείδειας Γεωμετρίας με την χρήση της προηγούμενης θεωρίας μας, παρουσιάζοντας την λύση δύο προβλημάτων. Πρόβλημα 1: Σε ένα τρίγωνο ABC ο παρεγγεγραμμένος κύκλος ω α απέναντι από την κορυφή Α εφάπτεται της ΑΒ στο Ρ και της AC στο Q, και ο παρεγγεγραμμένος κύκλος ω b απέναντι από την κορυφή Β εφάπτεται της ΒΑ στο Μ και της ΒC στο Ν. Έστω Κ η 47

58 Θ. Παραγυίου ορθή προβολή του C επί της ΜΝ, και έστω L η ορθή προβολή του C επί της PQ. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο MKLP είναι εγγράψιμο σε κύκλο. (1 ο πρόβλημα 30 η ΒΜΟ Αγρός Κύπρος) (Η παρακάτω λύση με areals συντεταγμένες δόθηκε από τον αρχηγό της Αγγλικής αποστολής στην 30 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα, καθηγητή στο Bath Pr.Geoff Smith ). Λύση: Για να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο MKLP είναι εγγράψιμο σε κύκλο αρκεί να αποδείξουμε ότι CT AB, όπου Τ = PQ MN και Η το ίχνος της CT πάνω στην AB. Γιατί τότε από τα εγγράψιμα τετράπλευρα ΜΚCH και PLCH θα έχουμε αντίστοιχα 48 TK TM = TC TH TL TP = TC TH Δηλαδή, TK TM = TL TP από το οποίο έχουμε το ζητούμενο. Θα χρησιμοποιήσουμε βαρυκεντρικές συντεταγμένες. Έτσι βρίσκουμε τις βαυκεντρικές συντεταγμένες των σημείων που μας ενδιαφέρουν χρησιμοποιώντας τους ορισμούς που δώσαμε. Έχουμε Α(1,0,0), Β(0,1,0), C(0,0,1). Ξέρουμε ότι ΑΡ = ΑQ = τ, ΒΡ = τ c και CQ = τ b, όπου τ = a+b+c. Άρα [ΡΒC] = 1 ΒΡ h 2 c = 1 (τ 2 2

59 Βαρυκεντρικές Συντεταγμένες c)h c,[ρca] = 1 2 ΑΡ h c = 1 2 τ h c και [PAB] = 0 και επομένως οι συντεταγμένες του σημείου P είναι P = (c τ, τ, 0 ). Επίσης έχουμε [QBC] = 1 2 QC h b = 1 2 (τ b)h b, [QCA] = 0 και [QAB] = 1 2 ΑQ h b = 1 2 τ h b, άρα οι συντεταγμένες του σημείου Q είναι Q = (b τ, 0, τ ). Άρα η εξίσωση της ευθείας PQ είναι x y z c τ τ 0 = 0 xτ 2 yτ(c τ) + z( τ)(b τ) = 0 b τ 0 τ τx y(c τ) z(b τ) = 0 (1) Όμοια βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, Ν που είναι Μ = (τ, c τ, 0) και Ν = (0, α τ, τ) και επομένως η εξίσωση της ευθείας ΜΝ είναι x y z τ c τ 0 = 0 x(c τ) yτ + z(a τ) = 0 (2) 0 a τ τ Το σημείο τομής Τ των ευθειών (1) και (2) είναι i j k τ (c τ) (b τ) c τ τ a τ = [τ(α + c b) ac]i + [τ(b + c a) bc]j + c(c 2τ)k Άρα οι συντεταγμένες του Τ είναι Τ = [τ(α + c b) ac, τ(b + c a) bc, c(c 2τ)] και αφού C = (0,0,1) η εξίσωση της CΤ είναι x y z τ(α + c b) ac τ(b + c a) bc c(c 2τ) = x[τ(b + c a) bc] y[τ(α + c b) ac] = 0 Αντικαθιστώντας στην τελευταία τ = a+b+c 2 θα πάρουμε x[τ(b + c a) bc] y[τ(α + c b) ac] = 0 (a + b + c)(b + c a) (a + b + c)(a + c b) x [ bc] y [ ac] 2 2 x(b 2 + c 2 a 2 ) y(a 2 + c 2 b 2 ) = 0 και επειδή από τον νόμο των συνημιτόνων ισχύει b 2 + c 2 a 2 = 2bcσυνΑ και α 2 + c 2 b 2 = 2acσυνB, άρα θα πάρουμε 49

60 Θ. Παραγυίου xbσυνα yaσυνb = 0 Η εξίσωση όμως αυτή είναι η εξίσωση του ύψους του τριγώνου από την κορυφή C. Πράγματι αν ονομάσουμε Η το ίχνος του ύψους από την κορυφή Cπάνω στην πλευρά ΑΒ θα έχουμε [ΗΒC] = 1 2 HB h c = 1 2 aσυνb h c, [ΗCA] = 1 2 HA h c = 1 2 bσυνa h c και [ΗΑΒ] = 0, επομένως Η = (aσυνb, bσυνa, 0) και η εξίσωση του ύψους ΗC είναι x y z aσυνb bσυνa 0 = 0 xbσυνα yaσυνb = Άρα CT AB και ισχύει το ζητούμενο. Πρόβλημα 2: Τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ω. Σημείο Ρ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ΒΓ έτσι ώστε η ευθεία ΡΑ να είναι εφαπτομένη του ω. Η διχοτόμος της ΑΡΒ τέμνει τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Τα τμήματα ΒΕ και ΓΔ τέμνονται στο σημείο Κ. Αν η ευθεία ΡΚ περνά από το κέντρο του ω, να υπολογίσετε την γωνία ΒΑΓ. Λύση: Από τα όμοια τρίγωνα ΡΒΑ ΡΑΓ ΡΒ = ΡΑ = ΒΑ = γ. Τώρα από το θεώρημα ΡΑ ΡΓ ΑΓ β των διχοτόμων στο τρίγωνο ΡΒΑ έχουμε ΒΔ και όμοια για το ΡΑΓ έχουμε = ΡΒ = γ ΔΑ ΡΑ β ΑΕ ΕΓ = ΡΑ ΡΓ = γ β. Άρα οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες των σημείων Δ και Ε είναι Δ = (γ: β: 0) και Ε = (β: 0: γ). Έστω ότι η ΑΚ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Ζ. Τότε 50

61 από τον ορισμό των βαρυκεντρικών συντεταγμένων έχουμε ΒΖ β 2 Βαρυκεντρικές Συντεταγμένες ΓΕ ΑΔ ΖΓ ΕΑ ΔΒ = 1 ΒΖ γ 2 ΒΖ ΖΓ = γ2 β 2, άρα το Ζ είναι Ζ = (0: γ2 : β 2 ). Επομένως στο Γ έχουμε βάρος β 2 και στο Β βάρος γ 2. Αν x το βάρος στο Α,τότε ισχύει στο Ε ότι ΖΓ ΕΑ ΕΓ = x β 2 γ β = x β 2 x = βγ και όμοια στο Δ, ΔΑ = x β = x ΔΒ γ 2 γ γ2 x = βγ. Άρα το βάρος στο Α είναι βγ και επομένως οι συντεταγμένες του Κ είναι Κ = (βγ: β 2 : γ 2 ). Τα σημεία Ρ, Δ, Ε είναι συνευθειακά και αν οι συντεταγμένες του Ρ είναι της μορφής Ρ = (0: x: y) τότε έχουμε 0 x y γ β 0 = 0 xγ 2 yβ 2 = 0 x y = β2 γ β 0 γ 2 Άρα Ρ = (0: β 2 : γ 2 ). Επίσης ξέρουμε τις συντεταγμένες του περίκεντρου Ο = (ασυνα: βσυνβ: γσυνγ) και επειδή τα σημεία Ρ, Κ, Ο είναι συνευθειακά έχουμε 0 β 2 γ 2 0 β γ βγ β 2 γ 2 = 0 βγ βγ β γ = 0 ασυνα βσυνβ γσυνγ ασυνα συνβ συνγ βγ[ β(βγσυνγ αγσυνα) γ(βγσυνβ αβσυνα)] = 0 β 2 γ 2 (βσυνγ ασυνα + γσυνβ ασυνα) = 0 2ασυνΑ = βσυνγ + γσυνβ Όμως από τον νόμο συνημιτόνων ξέρουμε ότι βσυνγ + γσυνβ = α, άρα η τελευταία ισότητα γράφεται συνα = 1 2 ΒΑΓ = 60ο. Η μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Ευκλείδειας Γεωμετρίας με βαρυκεντρικές συντεταγμένες δεν μπορεί να συγκριθεί σε σκέψη και κομψότητα με τις μεθόδους καθαρής Ευκλείδειας Γεωμετρίας αλλά είναι ένα εναλλακτικό μονοπάτι στον δύσκολο δρόμο επίλυσης ενός απαιτητικού γεωμετρικού προβλήματος. Βιβλιογραφία: [1] Challehges in Geometry for Mathematical Olympiad past and present: Christopher J. Bradley, OXFORD University Press. [2] Plane Euclidean Geometry Theory and Problems: A D Gardiner and C J Bradley, the United Kingdom Mathematics Trust(UKMT). [3] Barycentric Coordinates, Zachary Abel, 17 August 2007 (published in internet) [4] Barycentric Coordinates, Christina Koblbauer, Waterloo,

62 Θ. Παραγυίου [5] Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry: Max Schindler Evan Chen, July 13, 2012(published in internet) [6] Areal Co-ordinate Methods in Euclidean Geometry: Tom Lovering April 11, 2008(published in internet). [7] 30 nd Balkan Mathematical Olympiad Agros Cyprus 2013, shortlist problems and solutions. 52

63 ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΟΥ GOLDBACH Αλκιβιάδης Μάζαρης, Μαθηματικός Ιδιωτικό Σχολείο «Γνώση» Θεσσαλίας 12 Βριλήσσια Αττικής ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η Εικασία του Γκόλντμπαχ είναι από τα παλιότερα άλυτα μαθηματικά προβλήματα. Διατυπώθηκε το Η φαινομενικά απλή πρόταση: «Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών», έχει συγκεντρώσει πολλές προσπάθειες για την απόδειξή της. Καμία όμως δεν έχει γίνει αποδεκτή από τη Διεθνή Μαθηματική Κοινότητα. Έχει επαληθευτεί με ηλεκτρονικούς υπολογιστές για πολύ μεγάλους αριθμούς. Κυρίως Κείμενο Η Εικασία του Γκόλντμπαχ είναι ένα από τα παλιότερα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών και γενικότερα των μαθηματικών. Εκφράζεται ως εξής: «Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n 2, 2n=p+q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.» Για παράδειγμα: 4 = = = = = = = = κτλ.

64 Α. Μάζαρης Το 1742 ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ, μαθηματικός και οικοδιδάσκαλος στην οικογένεια του τσάρου της Ρωσίας, έστειλε μια επιστολή στον μεγάλο μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ. Εκεί ανέφερε πως πιστεύει ότι «κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών» (πρώτοι αριθμοί είναι εκείνοι που δεν διαιρούνται παρά με τον εαυτό τους, όπως 3, 5, 7, 11, και είναι άπειροι το πλήθος, κάτι που απέδειξε ο Ευκλείδης τον 3ο αιώνα π.χ.). Ο Όιλερ, του οποίου τα ενδιαφέροντα απλώνονταν σε ένα πολύ μεγάλο φάσμα από την κίνηση των ουρανίων σωμάτων ως το σύστημα συνταξιοδότησης των υπαλλήλων της Πρωσικής αυτοκρατορίας, διαισθάνθηκε αμέσως ότι η πρόταση αυτή έπρεπε να ισχύει, αλλά δεν ασχολήθηκε σοβαρά με την απόδειξή της. Απάντησε ότι τη δέχεται ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα ( ein ganz gewisses Theorema ), παρά το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να την αποδείξει. Την κληροδότησε στις νεότερες γενιές μαθηματικών, που από τότε προσπαθούν να μετατρέψουν αυτή την Εικασία (που πήρε το όνομα του Γκόλντμπαχ) σε θεώρημα, να βρουν δηλαδή εκείνη την αλυσίδα λογικών συλλογισμών που αποδεικνύουν την αλήθεια της. Την πεποίθηση αυτή έχουν ενισχύσει ισχυρότατοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, που έχουν αποφανθεί ότι πράγματι η Εικασία αληθεύει για τεράστιους αριθμούς. Η απόδειξη όμως, αν υπάρχει, δεν έχει ακόμη βρεθεί. Όπως με πολλές άλλες εικασίες των μαθηματικών, υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός από διαδεδομένες αποδείξεις της Εικασίας του Γκόλντμπαχ, από τις οποίες όμως καμία δεν έχει γίνει ακόμα αποδεκτή από την μαθηματική κοινότητα. 54

65 ΑΝΤΙΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΙΑΣΗΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Γαγάτσης Αθανάσιος *, Κωνσταντίνος Παπαγιάννης **, Σοφία Σάββα ** *Αντιπρύτανης Πανεπιστημίου **Καθηγητές Μέσης Εκπαίδευσης Ο Duval (1998) αναφέρει πως η γεωμετρία περιλαμβάνει τρία είδη γνωστικών διαδικασιών, τα οποία εκπληρώνουν συγκεκριμένες επιστημολογικές λειτουργίες. Τη λειτουργία της εξεικόνισης, της κατασκευής και του συλλογισμού. Η εξεικόνιση είναι μια διαδικασία σχετική με την αναπαράσταση του χώρου για επεξήγηση μιας δήλωσης, για διερεύνηση πολύπλοκων καταστάσεων, για συνοπτική αντίληψη του χώρου. Πολλοί ερευνητές τονίζουν το ρόλο της εξεικόνισης και της οπτικής αιτιολόγησης για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών. Οι Zazkis, Dubinsky και Dautermann (1996) δίνουν ένα πολύ ενδιαφέρον ορισμό για την εξεικόνιση λέγοντας πως «Η εξεικόνιση είναι μια πράξη κατά την οποία το άτομο δημιουργεί μια ισχυρή σύνδεση μεταξύ μιας εσωτερικής δομής και κάτι στο οποίο η πρόσβαση επιτυγχάνεται μέσω των αισθήσεων. Μια τέτοια σύνδεση μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Μια πράξη εξεικόνισης μπορεί να συνίσταται στην κατασκευή νοητικών αντικειμένων ή διαδικασιών τα οποία το άτομο συνδέει με αντικείμενα ή γεγονότα τα οποία λαμβάνει ως εξωτερικά. Επίσης, η πράξη της εξεικόνισης μπορεί να συνίσταται στην κατασκευή εξωτερικών αντικειμένων μέσω του χαρτιού, του πίνακα ή της οθόνης του ηλεκτρονικού υπολογιστή, τα οποία το άτομο αναγνωρίζει ως αντικείμενα ή διαδικασίες που βρίσκονται στο μυαλό του». Η γνωστική διαδικασία της κατασκευής των σχημάτων, η οποία γίνεται με το χέρι, με τη χρήση οργάνων ή στον ηλεκτρονικό υπολογιστή (Duval, 2004), μπορεί να λειτουργήσει ως μοντέλο. Οι ενέργειες για την αναπαράσταση και το παρατηρούμενο αποτέλεσμα συσχετίζονται με τα μαθηματικά αντικείμενα που αναπαριστούν. Τέλος, κάθε γνωστική διαδικασία που εμπλέκεται κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων θεωρείται μια μορφή συλλογισμού. Είναι ουσιαστικά μια διαδικασία η οποία μας καθιστά ικανούς να εξάγουμε νέες πληροφορίες από δοσμένες πληροφορίες. Τα τρία αυτά είδη γνωστικών διαδικασιών δημιουργούν ένα κύκλο ενεργειών όπως φαίνεται πιο κάτω.

66 Α. Γαγάτσης, Κ. Παπαγιάννης, Σ. Σάββα Στην πραγματικότητα, ο συγκεκριμένος κύκλος, δε λειτουργεί, αφού για πολλούς μαθητές το σχήμα δεν είναι ευρετικό (Duval, 2004). Οι μαθητές κατά τη διαδικασία της εξεικόνισης δεν ασχολούνται με δραστηριότητες που να απαιτούν την αποσύνδεση ή επανασύνδεση και μετασχηματισμό των σχημάτων, δύο δραστηριότητες που σύμφωνα με τους Brown και Wheatley (1997) είναι τα δυο κύρια συστατικά της εξεικόνισης. Αυτές οι διαδικασίες παίρνουν τη μορφή μιας πορείας όπου ο μαθητής σπάζει το σχήμα σε μικρότερα κομμάτια τα οποία μετακινεί ή/και περιστρέφει με σκοπό να καταλήξει σε μια ευρετική λύση (Duval, 2004). Η απουσία των πιο πάνω δραστηριοτήτων δε βοηθά τους μαθητές να κάνουν διάφορες οπτικές αναδιοργανώσεις των συστατικών μερών των διαφόρων σχημάτων, που θα τους βοηθήσουν να επιλύσουν ένα γεωμετρικό πρόβλημα. Οι μαθητές παραμένουν έτσι σε μια οπτική αντίληψη των σχημάτων, που ο Duval (2004) αποκαλεί εικονική εξεικόνιση. Έτσι, οι μαθητές αναγνωρίζουν ένα σχήμα διαισθητικά. Καταγράφουν τις ιδιότητες των σχημάτων, αλλά δεν μπορούν να δουν τις σχέσεις ανάμεσα στις διαφορετικές ιδιότητες. Η οπτική σύλληψη δεν μπορεί να οδηγήσει από μόνη της στη δημιουργία εννοιών (Duval, 1988, στη Laborde, 2003). Η δημιουργία των εννοιών θα επιτευχθεί μέσα από τη λειτουργική σύλληψη, κατά την οποία οι μαθητές πραγματοποιούν νοερούς ανασχηματισμούς του δοσμένου σχήματος, επιλέγουν τμήματα και τα ανάομαδοποιούν (Mesquita, 1989, στη Laborde, 2003). Για να μπορέσουν οι μαθητές να ξεπεράσουν τα προβλήματα που τους δημιουργεί η εικονική εξεικόνιση, θα πρέπει να μάθουν να βλέπουν τα γεωμετρικά σχήματα με ένα διαφορετικό τρόπο. Αυτός ο διαφορετικός τρόπος είναι η μη εικονική εξεικόνιση, όπως ορίζεται από τον Duval (2004). Οι μαθητές που εφαρμόζουν αυτό τον τρόπο διασπούν το σχήμα με τη χρήση βοηθητικών και αναδιοργανωτικών γραμμών. Απαραίτητη προϋπόθεση στη μη εικονική εξεικόνιση είναι η αποσύνθεση των σχημάτων, έτσι που να μπορεί να επιτυγχάνεται ο μετασχηματισμός τους. Για καλύτερη διάκριση της εικονικής από τη μη εικονική εξεικόνιση, ο Duval (2004) αναφέρει ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα. Ένας μαθητής που αντιμετωπίζει τα σχήματα εικονικά όταν βλέπει ένα καλά σχεδιασμένο τετράγωνο πάντα για αυτόν θα είναι τετράγωνο. Δεν μπορεί να είναι τίποτε άλλο, όπως για παράδειγμα δύο ορθογώνια τρίγωνα ενωμένα. Αντίθετα ένας μαθητής που βλέπει τα σχήματα μη εικονικά διακρίνει ένα τετράγωνο με βάση τον 56

67 Αντίληψη γεωμετρικού σχήματος σε διάσημα θεωρήματα Γεωμετρίας τρόπο που κατασκευάστηκε, και με βάση τους μετασχηματισμούς που μπορεί να κάνει σε αυτό το σχήμα. O Duval κάνει μια περιγραφή των τεσσάρων τύπων γνωστικής σύλληψης, μέσα από τους οποίους οι μαθητές προσεγγίζουν τη γεωμετρική εικόνα (Duval, 1998; Παναούρα, 2007). Κάθε είδος κατανόησης έχει συγκεκριμένους νόμους οργάνωσης και επεξεργασίας του οπτικού ερεθίσματος. Ένα σχήμα για να λειτουργήσει ως γεωμετρικό σχήμα πρέπει να υπάρχει σίγουρα η αντιληπτική κατανόηση και τουλάχιστον ένα από τα άλλα είδη κατανόησης (Duval 1995, 1999). Η Αντιληπτική κατανόηση (perceptual apprehension) σχετίζεται με την αναγνώριση του σχήματος με την πρώτη ματιά. Συνίσταται στην κατανόηση της συνολικής μορφής του σχήματος και στη διάκριση των υποσχημάτων του, με τρόπο όμως που δεν επιτρέπει περαιτέρω επεξεργασία του. Συμπεριλαμβάνει δεξιότητες ονομασία του σχήματος και αναγνώρισης υποσχημάτων του σχήματος. Η Σειριακή κατανόηση (sequential apprehension) απαιτείται κατά την κατασκευή ή την περιγραφή της κατασκευής ενός σχήματος. Η οργάνωση των στοιχειωδών μονάδων του σχήματος δεν εμπίπτει σε νόμους της αντίληψης, αλλά καθορίζεται από κατασκευαστικούς περιορισμούς και από μαθηματικές ιδιότητες. Η Λεκτική κατανόηση (discursive apprehension) συνδέεται με την αδυναμία προσδιορισμού των μαθηματικών σχέσεων σε ένα σχήμα μόνο από την αντιληπτική κατανόηση, αφού απαιτείται και λεκτική περιγραφή του. Η Λειτουργική κατανόηση (operative apprehension) μας εξασφαλίζει πρόσβαση στην επίλυση του προβλήματος. Αυτό το είδος κατανόησης εξαρτάται από τρείς τύπους τροποποίησης ενός γεωμετρικού σχήματος την μερολογική τροποποίηση την οπτική τροποποίηση και την αλλαγή θέσης. του σχήματος Μερολογική τροποποίηση αναφέρεται στο διαχωρισμό ολόκληρου του σχήματος σε υποσχήματα στο συνδυασμό των κομματιών αυτών για την διαμόρφωση άλλων σχημάτων Ο οπτικές τροποποιήσεις επιτρέπουν την μεγέθυνση, σμίκρυνση ή να εμφανίζεται το σχήμα λοξό προς μία κατεύθυνση. Η αλλαγή θέσης επιτρέπει την τροποποίηση στον προσανατολισμό του σχήματος. Εφαρμογές 57

68 Α. Γαγάτσης, Κ. Παπαγιάννης, Σ. Σάββα Πιο κάτω θα παρουσιάσουμε μερικά πολύ γνωστά θεωρήματα της Γεωμετρίας τα οποία βασίζονται κυρίως στο Θεώρημα του Θαλή και κατ επέκταση στην ομοιότητα τριγώνων. Η λειτουργία της εξοίκονησης παρουσιάζεται μέσω της διαδικασίας αναπαράστασης του χώρου για επεξήγηση του θεωρήματος. Επίσης δίνονται τα βήματα για κατασκευή για να βοηθήσουν τους μαθητές στην γνωστική διαδικασία κατασκευής και τέλος δίνεται η απόδειξη του κάθε θεωρήματος η οποία θα βοηθήσει στην λειτουργία του συλλογισμού Το θεώρημα του Μενέλαου Αν μια ευθεία τέμνει τους φορείς των πλευρών ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου στα σημεία Z, Ε, Δ αντίστοιχα τότε ισχύει: ΒΔ ΑΕ ΓΖ = 1 ΔΑ ΕΓ ΖΒ Σημείωση: Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος δηλαδή αν σε τρίγωνο ΑΒΓ τα ΒΔ σημεία Z, Ε, Δ ανήκουν στους φορείς των πλευρών ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ και ισχύει ΑΕ ΔΑ ΕΓ ΓΖ = 1 τότε τα σημεία είναι συνευθειακά ΖΒ Εδώ παρατηρούμε ότι η εκφώνηση βοηθά την εξεικόνιση γιατί το θεώρημα περιγράφει πλήρως μια απλή κατασκευή. Το μόνο πράγμα που θα πρέπει να προσέξει ο μαθητής είναι ότι η ευθεία τέμνει τους φορείς των πλευρών, δηλαδή τις ευθείες στις οποίες ανήκουν οι πλευρές, και όχι τις πλευρές αυτές καθαυτές για αυτό τον λόγο και στο σχήμα η ευθεία ΔΕ τέμνει την προέκταση της πλευράς ΒΓ. Επίσης πρέπει να κατανοήσει ενώ τα σημεία Δ και Ε είναι τυχαία το σημείο Ζ είναι συγκεκριμένο και είναι η τομή της ΔΕ με την ΒΓ. Κατασκευή: Κατασκευάζουμε τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε την ημιευθεία ΓΒ. 58

69 Αντίληψη γεωμετρικού σχήματος σε διάσημα θεωρήματα Γεωμετρίας Παίρνουμε σημείο Ζ στην ημιευθεία ΓΒ εκτός του τριγώνου και σημείο Δ πάνω στην ημιευθεία ΑΒ. Σχεδιάζουμε την ευθεία ΖΔ και γράφουμε Ε το σημείο τομής της ΖΔ με την ημιευθεία ΑΓ. Απόδειξη: Από την κορυφή Β φέρουμε ΔΕ//ΖΔ ΒΔ = ΕΘ ΔΑ ΑΕ και ΓΖ ΖΒ = ΓΕ ΕΘ Άρα ΒΔ ΔΑ ΑΕ ΕΓ ΓΖ ΖΒ = ΕΘ ΑΕ ΑΕ ΕΓ ΓΕ ΕΘ =1 Η απόδειξη εντάσσεται στην κατηγορία του Συλλογισμού. Το γεγονός ότι για να φτάσουμε στην απόδειξη θα πρέπει να φέρουμε μια παράλληλη την ΒΘ και ακολούθως να ασχοληθούμε με διαφορετικά μέρη του σχήματος σημαίνει ότι απαιτείται μια μερολογική τροποποίηση του σχήματος. Αρχικά εφαρμόζουμε το θεώρημα του Θαλή στο τρίγωνο ΑΒΘ με την ΔΕ//ΒΘ. Ακολούθως εφαρμόζουμε το ίδιο θεώρημα για το τρίγωνο ΓΖΕ με την ΒΘ // ΖΕ. Θεώρημα του Ceva Σε τρίγωνο ABΓ θεωρούμε τα σημεία Δ, Ε, Ζ στους φορείς των πλευρών του τριγώνου με ένα ή και τα τρία από τα σημεία αυτά να είναι σημεία των πλευρών του τριγώνου. Αν οι ευθείες ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τέμνονται σε ένα κοινό σημείο Η τότε AZ ΒΔ ΓΕ = 1 ZB ΔΓ ΕΑ Σε αυτό το θεώρημα η εκφώνηση βοηθά στην εξεικόνιση αρκεί ο μαθητής να κάνει μια άμεση μετάφραση. Υπάρχει όμως μια δυσκολία στο να κατανοήσει τι σημαίνει η φράση «με ένα ή και τα τρία σημεία να είναι σημεία στις πλευρές». Θα πρέπει δηλαδή να κατανοήσει ότι δύο από τα σημεία π.χ. Ε και Ζ μπορούν να βρίσκονται πάνω στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ δηλαδή εκτός του τριγώνου. Επίσης θα πρέπει να 59

70 Α. Γαγάτσης, Κ. Παπαγιάννης, Σ. Σάββα κατανοήσει ότι το σημείο Ζ δεν τον καθορίζουμε από την αρχή αλλά προκύπτει από την τομή της ημιευθείας ΓΗ με την ΑΒ. Κατασκευή: Κατασκευάζουμε τρίγωνο ΑΒΓ και τις ημιευθείες ΑΒ και ΑΓ. Γράφουμε σημείο Δ πάνω στο τμήμα ΒΓ και σημείο Ε πάνω στην ημιευθείς ΑΓ. Φέρουμε τις ημιευθείες ΑΔ και ΒΕ και σημειώνουμε με Η το σημείο τομής τους. Φέρουμε την ημιευθεία ΓΗ που τέμνει την ημιευθεία ΑΒ στο Ζ. Απόδειξη Φέρουμε τις ευθείες ΒΚ//ΑΔ//ΓΛ ΒΔ = ΒΗ = KB, (Θεώρημα Θαλή) ΔΓ ΗΛ ΛΓ ΓΕ = ΛΓ, ΑΖ = ΑΗ (όμοια τρίγωνα) ΕΑ ΑΗ ΖΒ ΚΒ AZ ZB ΒΔ ΔΓ ΓΕ ΕΑ = ΑΗ ΚΒ ΚΒ ΛΓ ΛΓ ΑΗ = 1 Η απόδειξη απαιτεί την λειτουργική κατανόηση αφού θα πρέπει πρώτα να φέρουμε δύο παράλληλες προς την ΑΔ που να περνούν από τις κορυφές Β και Γ, δηλαδή την ΒΚ και ΓΛ και στην συνέχεια να ασχοληθούμε με διαφορετικά μέρη του σχήματος και να εφαρμόσουμε για κάθε ένα από αυτά γνωστά θεωρήματα. Θεώρημα του Πτολεμαίου Σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο το γινόμενο των διαγωνίων του ισούται με το άθροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών του, δηλαδή ΧΨ = αγ + βδ Ειδική περίπτωση Αν το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο τότε έχουμε μία απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος. Σε αυτό το θεώρημα ότι η εκφώνηση βοηθά σε μέγιστο βαθμό την εξεικόνιση γιατί περιγράφει πλήρως την κατασκευή Κατασκευή Κατασκευάζουμε κύκλο και σε αυτόν εγγράφουμε τετράπλευρο. Σχεδιάζουμε τις διαγώνιους του τετράπλευρου. 60

71 Αντίληψη γεωμετρικού σχήματος σε διάσημα θεωρήματα Γεωμετρίας Απόδειξη Η ιδιαιτερότητα αυτής της απόδειξης είναι το γεγονός ότι δεν υπάρχει κανένα είδος λεκτικής περιγραφής ή περιγραφής επαγωγικών σχέσεων. Υπάρχει όμως έντονο το στοιχείο της λειτουργικής κατανόησης αφού εμφανίζονται σχεδόν όλα τα είδη τροποποίησης σχήματος. Εμφανίζεται η μερολογική τροποποίηση αφού διαχωρίζει το αρχικό σχήμα σε υποσχήματα (τα τρίγωνα με πλευρές β, γ, Ψ και το τρίγωνο με πλευρές γ, δ, Ψ ), στο συνδυασμό των κομματιών αυτών για την διαμόρφωση ενός νέου σχήματος (παραλληλόγραμμο). Η οπτικές τροποποίηση αφού γίνεται μεγέθυνση των δύο αυτών τριγώνων κα τέλος η αλλαγή θέσης αφού υπάρχει τροποποίηση στον προσανατολισμό του σχήματος. Θεώρημα του Pascal Tα σημεία τομής J, K, L των απέναντι πλευρών εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (και γενικότερα εγγεγραμμένου σε κωνική τομή) είναι συγγραμμικά (επί ευθείας που ονομάζεται μιά ευθεία Pascal του εξαγώνου) Τα σημεία ΑΒΓΔΕΖ δεν είναι αναγκαίο να βρίσκονται σε κυκλική διάταξη. Εδώ η εκφώνηση βοηθά σε κάποιο βαθμό την εξεικόνιση αλλά θα πρέπει πρώτα να κατανοήσει ποιες πλευρές του εξαγώνου ονομάζονται απέναντι, αφού αν για 61

72 Α. Γαγάτσης, Κ. Παπαγιάννης, Σ. Σάββα παράδειγμα θεωρήσει ως απέναντι της ΑΒ την ΓΔ ή απέναντι της ΒΓ την ΑΖ τότε δεν θα μπορέσει να κατανοήσει το σχήμα. Επίσης θα πρέπει να κατανοήσει ότι οι απέναντι πλευρές τέμνονται άρα το εξάγωνο δεν είναι κανονικό. Ακόμα θα πρέπει να κατανοήσει ότι «των πλευρών» αναφέρεται στις ευθείες που είναι φορέις των πλευρών και όχι στις πλευρές ως ευθύγραμμα τμήματα. Κατασκευή Κατασκευάζουμε κωνική τομή που ορίζεται από 5 σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε Τοποθετούμε σημείο Ζ και σχεδιάζουμε το εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ J τομή ΑΒ και ΔΕ, Κ τομή ΓΔ και ΑΖ, L τομή BΓ και ΖΕ Απόδειξη: Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα του Μενέλαου στο τρίγωνο GHI με τέμνουσες τις ΓΔK, ΒAJ και ELΖ. Για την ΓΔΚ ισχύει HK GK Για την ΒAJ ισχύει HA GA GΓ IΓ GB IB IΔ HΔ = 1 IJ HJ = 1 Για την ΖΕL ισχύει HΖ GΖ GL IL IE HE = 1 Πολλαπλασιάζουμε κατά μέρη τις πιο πάνω ισότητες και παίρνουμε HK GK GL IL IJ HJ = 1, 62

73 Αντίληψη γεωμετρικού σχήματος σε διάσημα θεωρήματα Γεωμετρίας Από το αντίστροφο του θεωρήματος του Μενέλαου ισχύει ότι τα σημεία J, K, L είναι συνευθειακά Η απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος απαιτεί την λεκτική κατανόηση αφού από μόνη της η αντιληπτική κατανόηση δεν είναι αρκετή μιας και απαιτείται και μια λεκτική περιγραφή. Ευθεία Euler Το περίκεντρο Π, το κέντρο βάρους Κ και το ορθόκεντρο Ζ τριγώνου είναι συνευθειακά σημεία και ισχύει ότι ΚΖ = 2 ΠΚ Η εκφώνηση του θεωρήματος βοηθά πάρα πολύ στην εξεικόνιση αρκεί ο μαθητής να κάνει μια άμεση μετάφραση της εκφώνησης. Η μόνη δυσκολία που υπάρχει είναι να γνωρίζει ο μαθητής τι ορίζουμε το περίκεντρο, το κέντρο βάρους και το ορθόκεντρο και πως αυτά σχεδιάζονται. Κατασκευή Κατασκευάζουμε τις μεσοκαθέτους του τριγώνου ΑΒΓ και σημειώνουμε με Π το σημείο τομής τους. Στην συνέχεια αποκρύβουμε τος μεσοκαθέτους. Κατασκευάζουμε τις διαμέσους του τριγώνου και σημειώνουμε με Κ το σημείο τομής τους δηλαδή το Κέντρο βάρους. Αποκρύβουμε τις διαμέσους Κατασκευάζουμε τα ύψη του τριγώνου και σημειώνουμε με Ζ το σημείο τομής τους δηλαδή το ορθόκεντρο. Αποκρύβουμε τα ύψη. Φέρουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΠΖ. Απόδειξη 63

74 Α. Γαγάτσης, Κ. Παπαγιάννης, Σ. Σάββα Κατασκευάζουμε το κέντρο βάρους Κ και το περίκεντρο Π. Προεκτείνουμε την ΠΚ ώστε ΚΖ = 2ΠΚ Γνωρίζουμε ότι ΚΑ = 2ΚΜ διότι Κ είναι Κέντρο βάρους Τα τρίγωνα ΚΖΑ και ΚΠΜ είναι όμοια, δηλαδή γωνίες ΠΜ Κ = ΚΑ Ζ έτσι ΠΜ ΑΖ άρα ΑΖ ΒΓ. Το ΑΖ βρίσκεται πάνω στο ύψος του τριγώνου με κορυφή το Α. Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι ΓΖ βρίσκεται πάνω στο ύψος του τριγώνου με κορυφή το Γ. Δηλαδή Ζ σημείο τομής υψών άρα ορθόκεντρο. Αυτή η απόδειξη απαιτεί την μερολογική τροποποίηση του σχήματος με την χάραξη βοηθητικών γραμμών όπως είναι η ΑΜ και κατ επέκταση απαιτεί την λειτουργική κατανόηση Επίσης απαιτείται η ακολουθιακή αντίληψη αφού θα πρέπει να επιλέξει τις κατάλληλες ευθείες και τα κατάλληλα τρίγωνα για να φτάσει στο δεύτερο βήμα της απόδειξης. Εδώ θα πρέπει να κατανοήσει ο μαθητής ότι το σημείο Ζ που εμφανίζεται στην αρχή της απόδειξης δεν προήλθε από την κατασκευή του ορθόκεντρου δηλαδή δεν το κατασκευάζουμε αλλά προκύπτει μέσα από την διαδικασία της απόδειξης. Κύκλος του Εuler ή κύκλος των 9 σημείων Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Τα ίχνη (M, N, Λ) των υψών του τριγώνου, τα μέσα (Δ, Ε, Ζ ) των πλευρών του και τα μέσα (Θ, Κ, Ι) των αποστάσεων του ορθοκέντρου Ο από τις κορυφές του τριγώνου είναι σημεία ενός κύκλου. 64

75 Αντίληψη γεωμετρικού σχήματος σε διάσημα θεωρήματα Γεωμετρίας Σε αυτό το θεώρημα ότι η εκφώνηση βοηθά σε μέγιστο βαθμό την εξεικόνιση γιατί περιγράφει πλήρως την κατασκευή. Η μόνη δυσκολία θα είναι να εντοπίσει το κέντρο του κύκλου που δεν είναι τίποτε άλλο από το μέσο της ευθείας Euler. Κατασκευή Κατασκευάζουμε τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τα ύψη του τριγώνου και σημειώνουμε με Μ, Ν, Λ τα ίχνη των υψών και Ο το ορθόκεντρο. Βρίσκουμε τα μέσα Δ, Ε, Ζ των πλευρών του τριγώνου. Βρίσκουμε τα μέσα Θ, Κ, Ι των ΟΑ, ΟΓ, ΟΒ αντίστοιχα. Βρίσκουμε το μέσο Ξ της ευθείας Euler και με κέντρο το Ξ και ακτίνα ΞΔ κατασκευάζουμε κύκλο. Απόδειξη Από το προηγούμενο θεώρημα το ΘΟΔΠ είναι παραλληλόγραμμο. Το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι το μέσον Ξ της ΟΠ και η διαγώνιος ΘΔ είναι παράλληλη και ίση προς την ακτίνα ΑΠ του περικύκλου. Συνεπώς τα σημεία Θ, Μ, Δ ανήκουν στον κύκλο με κέντρο Ξ και διάμετρο ίση με την ακτίνα του περικύκλου. Το ίδιο θα ισχύει και γιά τις ανάλογες τριάδες σημείων Ι, Λ, Ζ και Κ, Ν, Ε. Σημείωση: Το κέντρο Ξ του κύκλου του Euler είναι στο μέσον της ευθείας Euler ΠΟ και η ακτίνα του είναι το μισό της ακτίνας του περικύκλου. 65

76 Α. Γαγάτσης, Κ. Παπαγιάννης, Σ. Σάββα O κύκλος του Euler είναι ομοιόθετος του περικύκλου με κέντρο ομοιοθεσίας το ορθόκεντρο Ο και λόγο ομοιοθεσίας 1/2.Αυτό προκύπτει από την παραλληλία των ακτίνων των δύο κύκλων: ΘΞ = ΠA/2. Η συγκεκριμένη απόδειξη απαιτεί λειτουργική κατανόηση αφού είναι αναγκαία η μερολογική τροποποίηση του σχήματος. Επίσης θα πρέπει να εντοπίσει τα κατάλληλα σημεία στο σχήμα που βασίζονται στην κατασκευή (Π.Χ. ΠΔ ΘΟ) άρα χρειάζεται και η ακολουθιακή κατανόηση. Θεώρημα Desarques Σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ. Αν οι ευθείες AA, BB, ΓΓ διέρχονται από κοινό σημείο Δ τότε Οι τομές Τ, Π, Ρ των ευθειώνφορέων των ζευγών πλευρών βρίσκονται στην ίδια ευθεία Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος Αυτή η εκφώνηση βοηθά στην εξεικόνιση αφού περιγράφει με σαφήνεια το σχήμα. Ο μαθητής εδώ χρειάζεται να κάνει μια άμεση μετάφραση. Κατασκευή Κατασκευάζουμε τρίγωνο ΑΒΓ. Από σημείο Δ εκτός του τριγώνου φέρουμε ημιευθείες ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ και πάνω σε αυτές παίρνουμε σημεία Α, Β και Γ αντίστοιχα. Το σημείο Τ είναι η τομή των ΓΑ και ΓΆ, το σημείο Π είναι η τομή των ΓΒ και Γ Β και το σημείο Ρ είναι η τομή των ΑΒ και Α Β. Απόδειξη Θεωρήματος Για την απόδειξη θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Μενελάου τρεις φορές Τρίγωνο ΔΑΒ και ευθεία ΡΑ Β ισχύει ΡΑ ΡΒ Α Δ Α Α Β Β Β Δ = 1 Τρίγωνο ΔΑΓ και ευθεία ΤΑ Γ ισχύει ΤΓ ΤΑ Γ Δ Γ Γ Α Α Α Δ = 1 Τρίγωνο ΔΒΓ και ευθεία ΠΓ Β ισχύει ΠΒ ΠΓ Β Δ Β Α Γ Γ Γ Ο = 1 66

77 Αντίληψη γεωμετρικού σχήματος σε διάσημα θεωρήματα Γεωμετρίας Πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις κατά μέλη και παίρνουμε: ( ΡA ΡB )(ΤΓ κατά Μενέλαο σημαίνει ότι τα σημεία Τ,Π,Ρ είναι συνευθειακά ΤA )(ΠB ΠΓ ) = 1, που Η απόδειξη απαιτεί λεκτική κατανόηση αφού απαιτείτε μια λεκτική περιγραφή των μαθηματικών σχέσεων αλλά ταυτόχρονα απαιτείται και μερολογική τροποποίηση του σχήματος άρα χρειάζεται να υπάρχει και η λειτουργική κατανόηση Βιβλιογραφία 1. Γαγάτσης Α. Καλογήρου Π (2013) Ανάπτυξη Χωρικής Ικανότητας και της Αντίληψης του Γεωμετρικού Σχήματος 2. Γαγάτσης, Α. (2007). Προβλήματα μάθησης των Μαθηματικών κατά τη μετάβαση από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο. Λευκωσία: Πανεπιστήμιο Κύπρου. 3. Παναούρα, Γ. (2007). Οι γεωμετρικές γνώσεις και ικανότητες των μαθητών στο τέλος της Δημοτικής Εκπαίδευσης, Συγκρίνοντας τη γεωμετρική σκέψη μαθητών δημοτικής και μέσης εκπαίδευσης. Διδακτορική Διατριβή. Πανεπιστήμιο Κύπρου. 4. Duval, R. (1988). Pour une approche cognitive des problemes de geometrie en termes de congruence, annals de didactique et de sciences cognitives, Universite Luis Pasteur et IREM, 11, Duval, R. (1995). Geometrical Pictures: Kinds of Representation and Specific Processings. In R. Sutherland & J. Mason (Εds.), Exploiting Mental Imagery with Computers in Mathematics Education, (p ). Germany:Springer. 6. Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view, In C. Mammana & V. Villani (Eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st century (pp ). Dordrecht: Kluwer Academic. 7. Duval, R. (1999). Representation, Vision and Visualization: Cognitive Functions in Mathematical Thinking. Basic Issues for learning. Retrieved from ERIC ED Duval, R. (2004). Geometrical Pictures: kind of representation and specific processings,σημειώσεις διαλέξεων στα πλαίσια του μαθήματος Χώρος, εξεικόνιση και συλλογισμός στη Γεωμετρία. 9. W. Derrick, J. Herstein, Proof without words: Ptolemy s Theorem. The collage Mathematics Journal, V 43, n5, November 2012 p386 67

78 Α. Γαγάτσης, Κ. Παπαγιάννης, Σ. Σάββα 10. Zazkis, R., Dubinsky, E., & Dautermann, J. (1996). Coordinating visual and analytic strategies: A study of students' understanding of the group D4, Journal for Research in Mathematics Education, 27(4), Brown, D., & Wheatley, G. (1997). Components of Imagery and Mathematical Understanding, Focus on Learning Problems in Mathematics, 19 (1), Laborde, C. (2003). Η μάθηση της γεωμετρίας με τη βοήθεια του υπολογιστή. Επαγωγικές και κονστρουκτιβιστικές πλευρές. Στου Α. Γαγάτση (Εκδ.), Κείμενα Διδακτικής της Γεωμετρίας (σ ). Λευκωσία : Πανεπιστήμιο Κύπρου. 12. Mesquita, A. L. (1998). On conceptual obstacles linked with external representation in geometry. Journal of mathematical behavior, 17(2), Kin Y. Li Famous Geometry Theorems,Mathematical Excalibur, Volume 10, Number 3, August 2005 September Κυρίτσης Κ. (2013) Altshiller-Court, Nathan College Geometry: A Second Course in Plane Geometry, 2nd Ed.. New York, Barnes and Noble, 1952, pp

79 ΜΕΓΙΣΤΑ - ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σάββας Τιμοθέου*, Ανδρέας Φιλίππου** *Γυμνάσιο Δροσιάς, **Λύκειο Παραλίμνίου Περίληψη Σκοπός της εργασίας είναι να αναδείξει απλές μεθόδους στην εύρεση μεγίστων και ελαχίστων, χωρίς τη χρήση Ανάλυσης και Διαφορικού λογισμού. Γίνεται μια προσπάθεια εμπλουτισμού της βασικής ενότητας που πραγματεύεται την επίλυση προβλήματος με μέγιστα και ελάχιστα, χωρίς τη χρήση του εργαλείου της παραγώγου. Βασικός σκοπός είναι να προταθούν εκείνες οι μέθοδοι, ώστε ο μαθητής να είναι σε θέση να επιλύει προβλήματα με πιο απλές και δημιουργικές μεθόδους κάνοντας χρήση απλών ανισοτικών σχέσεων και όχι με Ανάλυση. Αρκετά προβλήματα προέρχονται από το χώρο της Γεωμετρίας, που ιστορικά φαίνεται να είχε «ανοίξει» το δρόμο προς αναζήτηση «βέλτιστων» λύσεων σε προβλήματα που ζητούσαν κάτω από συγκεκριμένες περιπτώσεις, «συντομότερη» απόσταση, μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν επίπεδου σχήματος, ελάχιστη επιφάνεια ή μέγιστο όγκο συγκεκριμένου στερεού. Εισαγωγή Δεν είναι λίγες οι φορές στην καθημερινότητα μας που αναζητούμε να επιλέξουμε την «καλύτερη πιθανή» λύση σε κάποιο πρόβλημα. Στην οικογένεια και στην κοινωνία γενικά, ο άνθρωπος για μια πιο ποιοτική ζωή επιζητά εκείνες τις λύσεις που θα του δώσουν όσο το δυνατόν καλύτερη αύξηση εσόδων και λιγότερα δυνατά έξοδα. Η ανάπτυξη της Τεχνολογίας η μορφή της κάθε η οικονομίας, η Μηχανολογία, η χρήση ηλεκτρικής ενέργειας, οι εξαγωγές πετρελαίων και γκαζιού, η ιατρική, αναδεικνύουν την εμφάνιση προβλημάτων αναζήτησης «βέλτιστων» λύσεων επιλογής μέγιστων ή ελάχιστων ποσοτήτων για πιο ποιοτική και αποτελεσματική κατάσταση. Μοιραία η επίλυση τέτοιων προβλημάτων μελετάται από την Μαθηματική Επιστήμη που ίσως να παίζει τον σπουδαιότερο ρόλο στην ανάπτυξη άλλων Θετικών επιστημών. Στα Μαθηματικά, η μελέτη και ο προβληματισμός σε προβλήματα μεγίστων-ελαχίστων, είχε ξεκινήσει πολλούς αιώνες πριν, χωρίς να έχουν στοιχειωθεί γενικοί τρόποι αντιμετώπισης συγκεκριμένων προβλημάτων. Ιστορικά αρχίζοντας με τους προβληματισμούς του Αρχιμήδη, του Ευκλείδη, του Ήρωνα και στη συνέχεια των

80 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Ταρτάλια, Μπερνούλι, Νεύτωνα και τόσων άλλων, έθεσαν προβλήματα ακροτάτων τιμών σε μεταβλητές ποσότητες, τόσο από την Γεωμετρία και την Άλγεβρα, αλλά και από την Φυσική. Η πρώτη γενική μέθοδος διεξοδικής αναζήτησης γενικών μεθόδων εύρεσης ακροτάτων τιμών μεταβλητών ποσοτήτων ήταν 300 χρόνια πριν περίπου με την ανάπτυξη της Ανάλυσης. Η συνεχής και αναγκαία αναζήτηση βέλτιστων τιμών σε μεταβλητές ποσότητες μέσα από την επιστήμη της Φυσικής της Μηχανικής και της Γεωμετρίας ήταν η αφορμή της θεμελίωσης του κλάδου του Απειροστικού λογισμού. Η ενότητα για την επίλυση σχετικών προβλημάτων με μέγιστα και ελάχιστα, είναι βασική ύλη στην Γ Λυκείου και πραγματεύεται το βασικό εργαλείο της παραγώγου και των εφαρμογών της. Θα προσπαθήσουμε να αντιμετωπίσουμε τα ίδια προβλήματα μεγίστων-ελαχίστων, (ή προβλήματα βελτιστοποίησης), σε διαφορετικό πλαίσιο. Με τα Νέα Αναλυτικά Προγράμματα, γίνεται σημαντική προσπάθεια εισαγωγής στη διάταξη των πραγματικών αριθμών και των βασικών ανισοτικών σχέσεων και ιδιοτήτων. Είναι ένα θέμα που, απουσίαζε από το περιεχόμενο βασικής ύλης στα πρώτα στάδια του Λυκείου. Δέκτες της προσπάθειας μας, θα είναι μαθητές μικρότερης ηλικίας (πρώτες τάξεις του Λυκείου) με καθόλου προαπαιτούμενες γνώσεις σε Μαθηματική Ανάλυση και πεποίθησή μας είναι να τους δώσουμε βασικές, και ενδιαφέρουσες ιδέες για την επίλυση προβλημάτων μεγίστων ελαχίστων. Η επίλυση προβλήματος και ειδικά η επίλυση προβλημάτων μεγίστων ελαχίστων είναι μεγάλης διδακτικής και μαθησιακής αξίας, αφού αποτελεί κεντρικό στόχο για σχολικά μαθηματικά. Είναι φανερή η σύνδεση και η εφαρμογή τους σε καθαρά προβλήματα καθημερινότητας, αλλά και η εμπλοκή τους σε προβλήματα άλλων επιστημών. Σίγουρα δεν θα γίνει προσπάθεια αποκοπής της ενότητας από τη Γ Λυκείου, και δεν θα θέλαμε να «μειώσουμε» τη χρήση της παραγώγου με τις εφαρμογές της, αλλά μάλλον το αντίθετο. Πριν φτάσει ο μαθητής στο σημείο να κάνει χρήση του εργαλείου της παραγώγου, πιστεύουμε ότι πρέπει να έχει περάσει πρώτα από το στάδιο της διάταξης των πραγματικών αριθμών, καθώς και της χρήσης ανισοτικών σχέσων. Έτσι, θα έχει δει και θα έχει λύσει παρόμοια προβλήματα κάνοντας χρήση απλών μεθόδων και τεχνικών. Σε πιο κατοπινό στάδιο θα πρέπει να υπάρξει πλέον η ανάγκη απόκτησης πιο γενικών μεθόδων που άπτονται της Μαθηματικής Ανάλυσης που σίγουρα, είναι ένα οργανωμένο Μαθηματικό αντικείμενο και δίνει πιο απλές λύσεις σε προβλήματα. Αθροίσματα-Γινόμενα Αν δοκιμάσουμε να βρούμε 2 αριθμούς με άθροισμα 30 που το γινόμενο τους να είναι το μεγαλύτερο δυνατό, τότε με απλές δοκιμές θα διαπιστώσουμε ότι αυτό συμβαίνει 70

81 Μέγιστα - ελάχιστα χωρίς τη χρήση ανάλυσης όταν οι δύο αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους, το15 και 15 που μας δίνουν γινόμενο 225. Οποιοδήποτε άλλο ζεύγος αριθμών με άθροισμα 30 όπως 20 με 10, ή 18 με 12 δίνουν σίγουρα, γινόμενο μικρότερο από 225. Αν φυσικά προσπαθήσουμε ο ένας από τους δύο αριθμούς να είναι αρνητικός δεν θα πετύχουμε κάτι καλύτερο γιατί τότε το γινόμενο θα είναι πάντα αρνητικό και άρα μικρότερο από οποιοδήποτε άλλο θετικό γινόμενο. ( Για παράδειγμα αν ο ένας αριθμός είναι 40 και ο άλλος -10, θα έχουμε γινόμενο -400 και έτσι δεν θα είναι δυνατόν να μας δίνει «μεγάλα γινόμενα». Μια επέκταση στην προηγούμενη ερώτηση μας είναι η αναζήτηση 3 θετικών αριθμών με άθροισμα 30 που να έχουν επίσης το μεγαλύτερο δυνατό γινόμενο. Η απάντηση είναι ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 10, 10, 10, με μέγιστο γινόμενο Καμία άλλη τριάδα αριθμών με άθροισμα 30 δεν είναι ικανή να ξεπεράσει το ( Για παράδειγμα το 20, 7, 3 μας δίνει γινόμενο 420 < 1000, ενώ η τριάδα 12,10,8 μας δίνει γινόμενο 960 < 1000). Το ερώτημα όμως είναι «γιατί να έχουμε μέγιστο γινόμενο με τους αριθμούς 10, 10, 10»; Αν σε παρόμοιο πρόβλημα ζητήσουμε 4 ή και 5 θετικούς αριθμούς με μέγιστο γινόμενο θα διαπιστώσουμε ότι η απάντηση μας και πάλι θα δίνει αριθμούς που είναι ίσοι μεταξύ τους. Αυτό θα αποτελέσει την αρχική ιδέα της παρούσας εργασίας. Μπορούμε όμως να αντιστρέψουμε το πιο πάνω πρόβλημα και να πάρουμε εξίσου ελκυστικό ερώτημα. Η αναζήτηση του ελάχιστου αθροίσματος δύο ή περισσοτέρων θετικών αριθμών που να έχουν όμως τώρα σταθερό γινόμενο. Για παράδειγμα, ποιοι 2 θετικοί αριθμοί που έχουν γινόμενο 64 μας δίνουν το μικρότερο δυνατό άθροισμα; Ως απάντηση δίνουμε τους ίσους αριθμούς 8 και 8, που έχουν άθροισμα 16 και που ισχυριζόμαστε ότι όντως είναι το ελάχιστο δυνατό. Αν δοκιμάσουμε ( τυχαία) οποιοδήποτε άλλο ζεύγος δύο θετικών αριθμών, όπως (16 με 4) ή (10 με 6,4) θα διαπιστώσουμε ότι μας δίνει μεγαλύτερο από το 16 που ισχυριζόμαστε ότι όντως είναι το πιο μικρό. Τι συμβαίνει αν ζητήσουμε 3 θετικούς αριθμούς με γινόμενο 64 που να έχει το ελάχιστο δυνατό άθροισμα; Η απάντηση είναι το 4, 4 και 4. Η προηγούμενη ιδέα με τους «ίσους» μεταξύ τους αριθμούς φαίνεται να συνεχίζεται και στο αντίστροφο πρόβλημα. Εδώ να αναφέρουμε ζητούμε ελάχιστο δυνατό άθροισμα και όχι μέγιστο, διότι το μέγιστο άθροισμα δεν μπορούμε να το έχουμε διότι αυτό μπορεί να αυξηθεί απεριόριστα ανάλογα με την επιλογή των αριθμών μας. Για παράδειγμα αν πάρουμε το 640 με το 1, ή το 6400 με το 1 παρατηρούμε ότι το 10 άθροισμα όντως αυξάνεται όλο και περισσότερο. Τα πιο πάνω σχόλια είναι σίγουρα παρατηρήσεις και διαπιστώσεις και χρήζουν απόδειξης. Οι βασικότερες ίσως προτάσεις που στηρίζουν τα πιο πάνω είναι οι δύο θεμελιώδεις ανισότητες:

82 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το 0. Η ανισότητα του Αριθμητικού- Γεωμετρικού μέσου. Κάθε αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι θετικός ή μηδέν- Τριώνυμο. Από την στοιχειώδη ανισότητα: x 2 0, x R, μπορούν να προκύψουν πολλές άλλες βασικές προτάσεις. Ίσως η πιο προφανής, προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε και στα δύο μέλη της ανίσωσης επί το 1. Τότε θα έχουμε x 2 0. Οι δύο αυτές ανισότητες μας δίνουν τα πρώτα αποτελέσματα ελάχιστων και μέγιστων ποσοτήτων. Από την ανισότητα x 2 0, x R, το 0 είναι η ελάχιστη τιμή της ποσότητας x 2 και που πετυχαίνεται όταν x = 0. Γράφουμε min{x 2 } = 0, όταν x = 0. Από την ανισότητα x 2 0, x R, το 0 είναι η μέγιστη τιμή της ποσότητας x 2 και που πετυχαίνεται επίσης, όταν x = 0. Γράφουμε mαχ{x 2 } = 0, όταν x = 0. Aφού, x 2 0, x R, αν θέσουμε x = a β, με α, β R, τότε ισχύει: (α β) 2 0 α 2 + β 2 2αβ (a + β) 2 4αβ, α, β R με την ισότητα να πετυχαίνεται και στις δύο περιπτώσεις, όταν α = β. Από τα πιο πάνω και πιο ειδικά αν, α = x, β = y, x, y R + τότε ισχύει x + y 2 xy x+y 2 xy x, y R+ που είναι η γνωστή ανισοτική σχέση του Αριθμητικού-Γεωμετρικού μέσου. Ας δούμε ποια είναι η ελάχιστη τιμή της {x 2 ax, x R}; Με τη μέθοδο συμπλήρωσης του τέλειου τετραγώνου, έχουμε x 2 ax = (x a 2 )2 a2 4 a2 4, δηλαδή το a2 να είναι η ελάχιστη τιμή της 4 {x2 ax} και η ελάχιστη αυτή τιμή να πετυχαίνεται όταν x = a. 2 Με ανάλογο τρόπο για την {ax x 2 } έχουμε ax x 2 = α2 4 (x α 2 )2 α2 4, δηλαδή το a2 4 να είναι η μέγιστη τιμή της {αx x2 } και η ελάχιστη αυτή τιμή να πετυχαίνεται επίσης όταν x = a 2. Είναι φανερό ότι ένα τριώνυμο x 2 ax + β, με τη μέθοδο συμπλήρωσης του τέλειου τετραγώνου, μπορεί να πάρει τη μορφή 72

83 x 2 ax + β = (x a 2 )2 a2 4 + β β a2 4 min{x 2 ax + β} = β a2 4, όταν x = a 2. Όμοια για το τριώνυμο β + ax x 2, έχουμε: Μέγιστα - ελάχιστα χωρίς τη χρήση ανάλυσης και επομένως β + ax x 2 = β + α2 (x α 4 2 )2 β + α2 και επομένως 4 max{x 2 ax + β} = β + a2 4, όταν x = a 2. Γενικά για κάθε τριώνυμο αx 2 + βx + γ εφαρμόζοντας τη μέθοδο συμπλήρωσης του τέλειου τετραγώνου, μπορεί να πάρει τη μορφή αx 2 + βx + γ = α (x 2 + β α x + γ α ) = α [(χ + β 2α )2 β2 4α 2 + γ α ] = α [(χ + β 2α )2 β2 4αγ ] = α (x + β 4α 2 2α )2 β2 4αγ = α (x + β 4α 2α )2 Δ, με 4α Δ = β 2 4αγ η γνωστή διακρίνουσα του τριωνύμου και επομένως το τριώνυμο θα έχει μέγιστη τιμή όταν α < 0 και ελάχιστη τιμή, όταν α > 0, την τιμή Δ 4α. Ανισότητα Αριθμητικού-Γεωμετρικού μέσου Έχουμε αποδείξει ότι x + y 2 xy x+y 2 xy x, y R+. Η ανισότητα επεκτείνεται και με περισσότερους από 2 αριθμούς; Χωρίς απόδειξη παραθέτουμε τις ανισότητες για ΑΜ-ΓΜ, όταν οι αριθμοί είναι περισσότεροι από δύο. 3 Mε 3 μεταβλητές: x + y + z 3 xyz x+y+z 3 3 xyz x, y, z R +. Η ισότητα που μας ενδιαφέρει άμεσα στην εύρεση μεγίστων ή ελαχίστων φραγμάτων συμβαίνει και πάλι (όπως και στην απλή περίπτωση με δύο αριθμούς), όταν οι αριθμοί μας είναι μεταξύ τους ίσοι (x = y = z). ν Ανάλογα με ν μεταβλητές: x 1 + x x ν ν x 1 x 2 x ν R +,ή x 1+x x ν ν ν x 1 x 2 x ν x 1, x 2,..., x ν R + Τεχνικές εύρεσης «ακρότατων τιμών» ( Μέγιστα- Ελάχιστα) x 1, x 2,..., x ν 73

84 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Οι πιο πάνω βασικές ανισότητες είναι αρκετές για να μας δώσουν κατάλληλα «φράγματα» σε αθροίσματα ή γινόμενα θετικών αριθμών με συγκεκριμένο στόχο να επιλύσουμε αλγεβρικά, προβλήματα μεγίστων ελαχίστων. Συγκεκριμένα θα μας απασχολήσουν προβλήματα που θα ζητούν το μέγιστο γινόμενο θετικών αριθμών με σταθερό άθροισμα και αντίστροφα, το ελάχιστο άθροισμα, όταν έχουν σταθερό γινόμενο. (I) Δύο ή περισσότεροι μεταβλητοί θετικοί αριθμοί με σταθερό άθροισμα, έχουν μέγιστο γινόμενο όταν οι αριθμοί είναι μεταξύ τους ίσοι! Με δύο αριθμούς x, y, γενικά: Αν x + y = c, x, y R max{x y} = c2 4. (Συμβαίνει όταν x = y = c 2 ). Πράγματι, Γ = x y = x(c x) = cx x 2 = c2 (x c 4 2 )2 c2 4 συμβαίνει όταν (x c 2 )2 = 0, δηλαδή όταν x = c 2 = y)., με την ισότητα να Για παράδειγμα αν x + y = 30, τότε το μέγιστο γινόμενο των παραγόντων x, y πετυχαίνεται όταν x = y = 30 2 = 15 με max{x y} = 152 = 225. Ακόμη σε πιο ειδική περίπτωση, για x, y > 0 και x + y = c έχουμε από την ανισότητα του ΑΜ-ΓΜ: x + y 2 xy x+y 2 xy x, y R+. x+y Έτσι, xy c xy 2 2 (c 2 )2 ( xy) 2 c2 xy, με την ισότητα να 4 συμβαίνει όταν x = y και αφού x + y = c x = y = c. 2 Από την ανισότητα c2 xy, η σταθερή ποσότητα (x+y 4 2 )2 = c2 είναι ακριβώς η μέγιστη 4 τιμή του γινομένου xy. Η πιο πάνω κλασσική αναζήτηση μέγιστου γινομένου δύο μεταβλητών θετικών αριθμών,μπορεί επίσης να αντιμετωπιστεί και γεωμετρικά,δίνοντας έτσι περισσότερο «χρώμα» στις αλγεβρικές αποδείξεις. Παραθέτουμε ακόμη 2 γεωμετρικές λύσεις. 74

85 Μέγιστα - ελάχιστα χωρίς τη χρήση ανάλυσης Το πιο πάνω τρίγωνο ΑBC είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου C.Αν θεωρήσουμε ότι x + y = C, τότε 2R = C, ή R = C 2. Aφού h R και h2 = xy από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων ADC, BCD, τότε από h R xy 1 2 xy ( 1 2 )2 = 1. Το ίσον ισχύει όταν το ύψος h του τριγώνου περάσει από το Ε 4 που είναι το κέντρο του κύκλου, έτσι ώστε να έχουμε h = R = C, οπότε και 2 x = C 2 = y. Στο πιο κάτω σχήμα το κάθε ένα από τα 4 ίσα ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές x και y τοποθετούνται στο τετράγωνο πλευρά x + y ίσο με την υποτείνουσα των ορθογωνίων τριγώνων. Είναι φανερό ότι το εμβαδόν του τετραγώνου είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν των 4 τριγώνων. Αν x + y = C, έχουμε ( x + y) 2 4 x y 2 C 2 xy xy C 2 xy (C 2 )2 = c2 4. Το ίσον ισχύει και πάλι όταν, x = C 2 = y. Τα πιο πάνω μπορούμε να τα αντιμετωπίσουμε κάνοντας χρήση και βασικών ταυτοτήτων. Συγκεκριμένα από την σχέση 4xy = (x + y) 2 (x y) 2, με x + y = c παίρνουμε ότι 4xy = c 2 (x y) 2. Είναι φανερό ότι το γινόμενο xy αυξάνει, όταν το (x y) 2 ελαττώνεται, (ή αν θέλουμε το x y ). Η ελάχιστη τιμή όμως της (x y) 2 ή x y είναι το 0 και πετυχαίνεται όταν οι δύο παράγοντες x, y είναι μεταξύ τους ίσοι.(x = y = c 2 ). 75

86 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Ας δούμε ένα παράδειγμα όπου το (x y) 2 ή x y δεν μπορούν να πάρουν την μικρότερη δυνατή τιμή τους που είναι το 0. Αν για παράδειγμα έχουμε και πάλι ότι: x + y = 30, με x [6,13], τότε ποιο είναι το max (xy); Από τα πιο πάνω έχει διαφανεί ότι το μέγιστο γινόμενο των 2 μεταβλητών παραγόντων πετυχαίνεται, όταν το x y γίνει ελάχιστο. (Εδώ τώρα, δεν μπορεί να γίνει 0, οπότε και θα αναζητήσουμε την ελάχιστη δυνατή τιμή του). Αφού 6 x y y 24, επομένως η ελάχιστη τιμή του x y μπορεί να σημειωθεί όταν x = 13 και y = 17, δηλαδή min{ x y } = 4. Εναλλακτικά έχουμε ότι, x y = x (30 x) = 2x 30 = 30 2x = 4, δηλαδή και πάλι όταν x = 13 και y = 17, με min{ x y } = 4. Είναι σημαντικό να επισημάνουμε ότι το x y γεωμετρικά παριστάνει την απόσταση μεταξύ των δύο πραγματικών αριθμών x, y και το x+y να είναι το κεντρικό σημείο μεταξύ των δύο σημείων που 2 παριστάνουν τα x, y. Αν x y, έχει φανεί από το πιο πάνω παράδειγμα ότι η ελάχιστη τιμή του x y, μπορεί να επιτευχθεί, όταν το x και το y πάρουν την πλησιέστερη προς το x+y δυνατή τιμή. Αυτό μπορούμε να το δούμε και αλγεβρικά: Αν δηλαδή, y = 2 x+y x+y + θ, και x = θ, τότε για την ελάχιστη τιμή του x y, έχουμε x y = 2 2 y x = ( x+y + θ) (x+y θ) = 2 θ, που προφανώς γίνεται ελάχιστο όταν το 2 2 θ γίνει ελάχιστο ( θ 0). Για 3 ή και για περισσότερους αριθμούς με ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ, δηλαδή όταν x + y + z = c, τότε και πάλι από την ανισότητα του ΑΜ-ΓΜ: υψώνοντας στην τρίτη δύναμη: ( x+y+z 3 x+y+z 3 3 xyz, και ) 3 3 ( xyz) 3 xyz ( x+y+z ) 3 = ( c 3 )3 = c3 δηλαδή, παίρνουμε ως μέγιστη τιμή του γινόμενου την ποσότητα c Είναι κλασσικό το πρόβλημα αναζήτησης της περίπτωσης τριγώνου με σταθερή Περίμετρο που να δίνει το Μέγιστο Εμβαδόν. Αν θεωρήσουμε τις πλευρές του τριγώνου x, y, z και την ημιπερίμετρό του τ = x+y+z, από τον τύπο του Ήρωνα Ε = τ(τ x)(τ y)(τ z), το πρόβλημα μεταφέρεται σε αναζήτηση πλέον του μεταβλητού γινομένου (τ x)(τ y)(τ z) ( το τ είναι σταθερό). Για το συγκεκριμένο γινόμενο που χρήζει μέγιστης τιμής, παρατηρούμε ότι, οι τρεις παράγοντες του έχουν σταθερό άθροισμα: (τ x) + (τ y) + (τ z) = 3τ (x + y + z) = 3τ 2τ = τ. 2 76

87 Μέγιστα - ελάχιστα χωρίς τη χρήση ανάλυσης Επομένως το γινόμενων των όρων γίνεται μέγιστο όταν (τ x) = (τ y) = (τ z) x = y = z, δηλαδή όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο! Ως φυσιολογική επέκταση του προηγούμενου παραδείγματος είναι η αναζήτηση του μέγιστου όγκου ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με σταθερή επιφάνεια. Αν α, β, γ είναι οι 3 διαστάσεις του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου έχουμε αναζήτηση του max {V = a β γ} με 2(αβ + βγ + γα) = C, α, β, γ > 0 ( σταθερό). Παρατηρούμε ότι το V 2 = (aβγ) 2 = (αβ)(βγ)(γα). Οι τρεις μεταβλητοί παράγοντες (αβ), (βγ), (γα), έχουν όντως σταθερό άθροισμα (αβ) + (βγ) + (γα) = C = ΣΤΑΘΕΡΟ και επομένως το γινόμενο τους μεγιστοποιείται 2 όταν είναι και τρεις μεταξύ τους ίσοι. Δηλαδή: (αβ) = (βγ) = (γα) που ισοδύναμα έχουμε α = β = γ. Άρα, το ορθογώνιο παραλληλεπιπέδο με σταθερή ολική επιφάνεια έχει μέγιστο όγκο, όταν είναι ΚΥΒΟΣ. Με αφορμή το πιο πάνω παράδειγμα, μπορούμε να γενικεύσουμε ως εξής: Αν x 1, x 2,...., x ν είναι θετικοί μεταβλητοί αριθμοί και το άθροισμα x 1 x 2 + x 2 x , x ν x 1 = C (ΣΤΑΘΕΡΟ), τότε το γινόμενο τους x 1 x x ν παίρνει μέγιστη τιμή όταν x 1 x 2 = x 2 x 1 =...., = x ν x 1. Να παρατηρήσουμε ότι το όταν το ν είναι περιττός αριθμός προκύπτει, (όπως και στο παράδειγμα με το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ν = 3), ότι x 1 = x 2 =.... = x ν κάτι που δεν ισχύει για άρτιο ν. ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΑΙΡΕΣΕΙΣ Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες οι ανισοτικές σχέσεις και κυρίως η ανίσωση του ΑΜ- ΓΜ που «αδυνατούν» να μας δώσουν τα ζητούμενα μέγιστα ή ελάχιστα. Οι δύο βασικές μας μέθοδοι επικεντρώνονταν σε μεταβλητούς θετικούς αριθμούς που είτε είχαν σταθερό άθροισμα, είτε είχαν σταθερό γινόμενο. Παρόλο που το κάθε ένα αυτό δεδομένο αποτελεί και από μόνο του ένα ισχυρό περιορισμό, ωστόσο μπορεί η ίδια η μέθοδος σε κάποιες περιπτώσεις να αποτύχει να μας δώσει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή. Αν για παράδειγμα θεωρήσουμε τη θετική παράσταση: 5x 2 + 5x , x > 0, παρατηρούμε ότι το γινόμενο των προσθετέων είναι σταθερό, αλλά η αναζήτηση της x 77

88 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου τιμής του x ώστε να ισχύει 5x 2 = 5x = 30 x3 αποτυγχάνει να υπάρξει, γιατί οι εξισώσεις είναι αδύνατες για x R. Σε μια άλλη περίπτωση που ενώ διαπιστώνουμε ότι και πάλι αποτυχαίνουμε στην εφαρμογή προηγούμενων μεθόδων, ωστόσο μπορούμε να βρούμε την ακρότατη τιμή. Αν για παράδειγμα ζητήσουμε την ελάχιστη τιμή της x 2 + 4x x x2, x > 0, παρατηρούμε ότι οι προσθετέοι έχουν σταθερό γινόμενο 16 και επομένως η προδιαγραφόμενη ελάχιστη τιμή θα αναζητηθεί όταν x 2 = 4x = 4 = 1 x x2, x > 0, που φυσικά μια τέτοια λύση δεν υπάρχει. Αν ομαδοποιήσουμε τους προσθετέους και γράψουμε (x x 2) + (4x + 4 ), x > 0, τότε παρατηρούμε ότι σε κάθε παρένθεση x και για x = 1, έχουμε την ελάχιστη τιμή = 10. Σε αυτό το παράδειγμα πρέπει να προσέξουμε ότι η εφαρμογή της ανισότητας του ΑΜ-ΓΜ δεν εξασφαλίζει πάντοτε σε όλες τις περιπτώσεις μέγιστη ή ελάχιστη τιμή. Πράγματι βλέπουμε ότι θα είχαμε x 2 + 4x = 8. Ως ανίσωση φυσικά και είναι ορθή για x > 0, αλλά το x x 2 8 δεν μπορεί να είναι ελάχιστη τιμή της παράστασης γιατί κανένα x δεν υπάρχει που να καθιστά την παράσταση x 2 + 4x = 8, αφού έχουμε δει ότι η ελάχιστη τιμή x x2 τελικά είναι 10 για x = 1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Θέτοντας τα διάφορα προβλήματα σε κάποιες ειδικές κατηγορίες τα μπορούμε να τα ομαδοποιήσουμε όπως: ΟΜΑΔΑ 1 Στα πιο κάτω παραδείγματα οι μεταβλητοί θετικοί αριθμοί με σταθερό άθροισμα θα μας δίνουν μέγιστο γινόμενο όταν οι συγκεκριμένοι αριθμοί είναι μεταξύ τους ίσοι. 1. Αν x + y = 100, x, y > 0, τότε max{ x y} =; Οι θετικοί αριθμοί x, y έχουν σταθερό άθροισμα 100 και άρα θα μας δίνουν μέγιστο γινόμενο όταν, x = y. Δηλαδή όταν x = y = 50 και max{x y} = 50 2 =

89 Μέγιστα - ελάχιστα χωρίς τη χρήση ανάλυσης 2. Αν x + 4y = 80, x, y > 0, τότε max{x y} =; Παρατηρούμε ότι οι θετικοί αριθμοί x και y δεν έχουν σταθερό άθροισμα, αλλά οι αριθμοί x και 4y έχουν σταθερό άθροισμα 80 και άρα θα έχουν μέγιστο γινόμενο {4xy}, όταν x = 4y και αφού x + 4y = 80 έχουμε x = 40, y = 10. Αφού το xy = 1 (4xy), τότε το max{xy} = = Αν 2x + 5y = 70, x, y > 0, τότε max{x y} =; Γράφοντας το xy = 1 (2x 5y) και αφού οι αριθμοί 2x, 5y έχουν σταθερό 10 άθροισμα 70, τότε θα μα δίνουν μέγιστο γινόμενο (2x 5y), όταν 2x = 5y, δηλαδή όταν x = 17,5 και y = 7 και max{x y} = 122, Ποιο είναι το max{x y (18 x y} με x, y > 0; Αναζητούμε το μέγιστο γινόμενο των τριών αριθμών, x, y και 18 x y. Παρατηρούμε ότι οι τρεις αυτοί αριθμοί έχουν σταθερό άθροισμα 18 και άρα θα μας δίνουν μέγιστο γινόμενο όταν είναι μεταξύ τους ίσοι. Δηλαδή από τις ισότητες x = y = 18 x y παίρνουμε x = y = 6 και max{x y (18 x y} = Ποιο είναι το max{x y (126 4x 7y} με x, y > 0; Παρατηρούμε ότι οι τρεις αριθμοί x, y, (126 4x 7y) δεν έχουν τώρα σταθερό άθροισμα. Γράφοντας το γινόμενο x y (126 4x 7y), ως = 1 28 (4x) (7y) (126 4x 7y), οι αριθμοί τώρα 4x, 7y και (126 4x 7y), έχουν σταθερό άθροισμα 126 και άρα θα μας δίνουν μέγιστο γινόμενο όταν 4x = 7y = 126 4x 7y. Λύνοντας το σύστημα που προκύπτει παίρνουμε x = 10,5, y = 6 και max{x y (126 4x 7y} = Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του {x 2 y}, όταν 6x + 5y = 180. Γράφοντας το 6x + 5y = 180 ισοδύναμα ως 3x + 3x + 5y = 180, παρατηρούμε ότι οι 3 αριθμοί 3x, 3x, 5y έχουν σταθερό άθροισμα 180 και άρα θα μας δίνουν μέγιστο γινόμενο x 2 y = 1 (3x) (3x) (5y) όταν 3x = 3x = 45 5y, δηλαδή όταν x = 20 και y = 12. Το μέγιστο γινόμενο είναι max{x 2 y} = = Το πιο πάνω πρόβλημα μπορεί να αποτελέσει αφετηρία για μια γενίκευση προβλήματος αναζήτησης μέγιστης ποσότητας x 1 a 1 x2 a 2... x ν α ν, όταν όμως είναι σταθερό το άθροισμα τους. ( x 1 + x x ν = C). 79

90 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου 7. Ας ξεκινήσουμε με την αναζήτηση του max{x 2 y 5 }, x, y > 0, όταν x + y = 70. Οι παράγοντες x 2, y 5 δεν έχουν σταθερό άθροισμα ώστε να μπορέσουμε να βρούμε το μέγιστο γινόμενό τους. Γράφοντας το x 2 y 5, ως x 2 y 5 = x 2 x 2 y 5 y y y y = ( x 2 )2 ( y 5 )5, παρατηρούμε ότι οι όροι: x, x, y, y, y, y, y, έχουν τώρα ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ 70. Επομένως, μας δίνουν μέγιστο γινόμενο όταν x = y και με x + y = 70 έχουμε x = 20, y = Γενικεύοντας λοιπόν, μπορούμε με ανάλογο τρόπο να αποδείξουμε ότι a max {x 1 a 1 2 α x2... x ν ν } με x 1 + x x ν = C(σταθερό), υπάρχει όταν x 1 = a 1 x 2 =... = x ν. Έχοντας υπόψη αυτή την πιο γενική τεχνική μπορούμε να a 2 a ν επιλύσουμε ακόμη πιο ελκυστικά προβλήματα όπως: (α) Ποιου θετικού αριθμού ο κύβος του διαφέρει περισσότερο από το τεράγωνό του; Εδώ ζητούμε το max {x 2 x 3 }. Γράφοντας το x 2 x 3 = (x) 2 (1 x) 1, παρατηρούμε ότι οι x, 1 x, έχουν σταθερό άθροισμα και είναι υψωμένοι αντίστοιχα στις δυνάμεις 2 και 1, οπότε το μέγιστο γινόμενο θα το πετύχουμε όταν x 2 = 1 x 1 3x = 2 x = 2 3 και άρα, max{x2 x 3 } = (β) Σε ημικύκλιο με κέντρο Ο και ακτίνα R, να εγγράψετε τραπέζιο με μέγιστο Εμβαδόν, του οποίου η μία βάση να είναι η διάμετρος του ημικυκλίου. Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι E = (β 1 + β 2 ) υ 2, με β 1 = (ΑΒ) = 2R. Αν θέσουμε τη β 2 = (ΓΔ) = 2x και το υ = y, έχουμε: E = (2R + 2x) y 2 = (R + x) y,με y = R2 x 2, οπότε και το εμβαδόν Ε = (R + x) R 2 x 2 = (R + x) (R + x)(r x) = (R + x) 3 2(R x) 1 2. Όπως και προηγουμένως οι παράγοντες R + x και R x έχουν σταθερό άθροισμα 80

91 Μέγιστα - ελάχιστα χωρίς τη χρήση ανάλυσης 2R και είναι υψωμένοι αντίστοιχα στις δυνάμεις 3 και 1, οπότε το μέγιστο 2 2 γινόμενο θα το πετύχουμε όταν R + x = 3R 3x R+x 3 2 = R x 1 2 R = 2x x = R και (ΓΔ) = R. Άρα, max{ε} = 3R Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να πούμε για το αντίστροφο του προβλήματος, ότι: 4 (II) Δύο ή περισσότεροι μεταβλητοί θετικοί αριθμοί με σταθερό γινόμενο, έχουν ελάχιστο άθροισμα όταν οι δύο αριθμοί είναι μεταξύ τους ίσοι! Με δύο αριθμούς x, y: Αν x y = c min{x + y} = 2 c. (Συμβαίνει όταν x = y = c). Πράγματι x + y = x + c 2 = ( x x c) + 2 c 2 c, όταν x c = 0, ή x = x x c = y. Επομένως, η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος x + y, όταν το x y είναι ΣΤΑΘΕΡΟ, συμβαίνει και πάλι όταν οι δύο αριθμοί είναι μεταξύ τους ίσοι (x = y). Από την ανισότητα του ΑΜ-ΓΜ x + y 2 xy x, y > 0, η σταθερή ποσότητα 2 xy = 2 c είναι ακριβώς η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος x + y. Κάποια κλασσικά προβλήματα κυρίως από το χώρο της Γεωμετρίας κάνοντας χρήση την πιο πάνω ιδέα είναι: Από όλα τα ορθογώνια με σταθερό Εμβαδόν 10, αυτό με την ελάχιστη Περίμετρο είναι το τετράγωνο! Πράγματι, αν x, y είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου το min(περ = 2x + 2y),με xy = 10, υπάρχει όταν x = y = 10. Επομένως το ορθογώνιο πρέπει να είναι τετράγωνο, για να έχουμε την min(περ) = Ως φυσιολογική και πάλι επέκταση του προηγούμενου παραδείγματος, είναι η αναζήτηση της ελάχιστης ολικής επιφάνειας ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, όταν ο όγκος του είναι σταθερός. 81

92 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Πράγματι, αν α, β, γ είναι οι 3 διαστάσεις του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, το πρόβλημα μετατοπίζεται στην αναζήτηση του min {E = 2(αβ + βγ + γα)}, με V = α β γ = 64 ( σταθερό). Επειδή οι προσθετέοι αβ + βγ + γα έχουν σταθερό γινόμενο, διότι (αβ βγ γα) = (αβγ) 2 = V 2, τότε η ελάχιστη ποσότητα της Ε, θα συμβαίνει όταν : αβ = βγ = γα α = β = γ = 4 και min {E} = 96. Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερό Εμβαδό, να βρείτε εκείνο που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα, διότι αν x, y είναι οι κάθετες πλευρές του και z, η υποτείνουσα του, τότε ζητούμενο είναι min (z = x 2 + y 2 ), με xy = C = ΣΤΑΘΕΡΟ. Είναι φανερό ότι οι προσθετέοι x 2 και y 2 έχουν σταθερό γινόμενο x 2 y 2 = C 2 και έτσι το ελάχιστο άθροισμα τους θα πετυχαίνεται όταν x 2 = y 2 x = y. Eπομένως το ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι και ισοσκελές. Από σημείο Α που βρίσκεται εκτός του κύκλου (Ο, R) φέρουμε τυχαία τέμνουσα ΑΒΓ. Ποια πρέπει να είναι η θέση της τέμνουσα ώστε το άθροισμα ΑΒ + ΑΓ να γίνεται ελάχιστο; Είναι γνωστό ότι ΑΒ ΑΓ = ΑΟ 2 R 2 = ΣΤΑΘΕΡΟ ( Δύναμη σημείου ως προς κύκλο). Επομένως το άθροισμα ΑΒ + ΑΓ γίνεται ελάχιστο όταν ΑΒ = ΑΓ, το οποίο συμβαίνει όταν η τέμνουσα ΑΒΓ γίνει εφαπτομένη ΑΔ του κύκλου. ΟΜΑΔΑ 2 Στα πιο κάτω παραδείγματα οι θετικοί αριθμοί με σταθερό γινόμενο, θα μας δίνουν ελάχιστο άθροισμα, όταν οι συγκεκριμένοι αριθμοί είναι μεταξύ τους ίσοι. 1. Αν x y = 81, x, y > 0, να υπολογίσετε το min {x + y} Οι θετικοί αριθμοί x, y έχουν σταθερό γινόμενο 81 και άρα θα μας δίνουν μέγιστο άθροισμα όταν, x = y. Δηλαδή όταν x = y = 9 και min{x + y} = Ποιο είναι το min {x + 1 }, x > 0; x 82

93 Μέγιστα - ελάχιστα χωρίς τη χρήση ανάλυσης Παρατηρούμε ότι οι θετικοί αριθμοί x και 1 x έχουν σταθερό γινόμενο x 1 x = 1 και άρα, θα μα δίνουν ελάχιστο άθροισμα x + 1, ;όταν x = 1, δηλαδή όταν x = x x 1. Επομένως min {x + 1 x } = Ποιο είναι το min {12x + 1 }, x > 0; 3x Παρατηρούμε ότι οι θετικοί αριθμοί 12x και 1 3x έχουν σταθερό γινόμενο 4, γιατί 12x 1 1 = 4 και άρα θα μας δίνουν ελάχιστο άθροισμα, όταν 12x =, δηλαδή 3x 3x όταν x = 1 1. Επομένως min {12x + } = = x 4. Ποιο είναι το min {xy }, x, y > 0; x y Παρατηρούμε ότι οι θετικοί αριθμοί xy, 12, 18 έχουν σταθερό γινόμενο 216 και x y άρα θα μας δίνουν ελάχιστο άθροισμα, όταν xy = 12, δηλαδή όταν x = = 18 x y 2, y = 3. Επομένως το min {xy + 12 x + 18 y } = = Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του x , x > 0; x Παρατηρούμε ότι οι θετικοί αριθμοί x 2 και 16 x δεν έχουν σταθερό γινόμενο. Αυτό μπορεί εύκολα να ξεπεραστεί, αν το άθροισμα x , γραφεί με διαφορετικό τρόπο, ώστε το γινόμενο των προσθετέων να είναι σταθερό. Αυτό μπορεί να γίνει όταν γράψουμε: x = x x Τώρα οι προσθετέοι x x x 2, 8, 8 έχουν σταθερό γινόμενο x x x2 8 8 = 64 και άρα θα μας δίνουν ελάχιστο x x άθροισμα, όταν οι προσθετέοι γίνουν μεταξύ τους ίσοι δηλαδή, x 2 = 8 x x3 = 8, ή x = 2. Επομένως το min {x x } = = Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του 2x , x > 0; x Παρατηρούμε ότι οι θετικοί αριθμοί 2x και 27 2 δεν έχουν σταθερό γινόμενο. Αυτό μπορεί εύκολα να ξεπεραστεί, αν το άθροισμα 2x + 27 x2, γραφεί με διαφορετικό τρόπο, ώστε το γινόμενο των προσθετέων να είναι σταθερό. Αυτό μπορεί να γίνει όταν γράψουμε: 2x = x + x + 2. Τώρα οι προσθετέοι x, x, 27 x x 27 έχουν σταθερό γινόμενο x x = 27 και άρα θα μας δίνουν ελάχιστο 2 2 x x x x 83

94 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου άθροισμα, όταν x = 27 x 2, δηλαδή όταν x3 = 27, ή x = 3. Επομένως το min {2x x2} = 6 + = Να βρείτε την ελάχιστη τιμή {x , x > 0} x+2 Παρατηρούμε ότι το γινόμενο των όρων x + 2, (x + 2) 9 x+2 9 x+2 είναι σταθερό διότι, = 9 = ΣΤΑΘΕΡΟ, οπότε το ελάχιστο άθροισμα θα το έχουμε όταν x + 2 = 9 x+2 (x + 2)2 = 9 x + 2 = 3 x = Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του x2 +2 x 2, x > 2. Εκτελώντας τη διαίρεση x2 +12 έχουμε x = x = [x 2 + ] + 4. x 2 x 2 x 2 x 2 Παρατηρούμε ότι το γινόμενο των όρων x 2, 16 x 2, x > 2 είναι σταθερό διότι, (x 2) 16 = 16 = ΣΤΑΘΕΡΟ, οπότε το ελάχιστο άθροισμα θα το έχουμε όταν x x 2 2 = 16 (x x 2 2)2 = 16 x 2 = 4 x = 6 και επομένως η ελάχιστη τιμή του x x 2 είναι 48 4 = Να βρείτε το Μέγιστο των πιο κάτω μεταβλητών θετικών Αριθμών για x > 0. F 1 = x x 2 +4, F 2 = x2 x 3 +4, F 3 = x x 3 +16, F 4 = x 1 x 2, 0 x 1 Παρατηρούμε ότι οι αντίστροφοι των πιο πάνω αριθμών είναι: 1 F1 = x2 +4 x = x + 4. Οι όροι x + 4 έχουν σταθερό γινόμενο και επομένως μας x x δίνουν το ελάχιστο άθροισμα τους όταν x = 4 x = 2. Δηλαδή για x = 2 το x 1 F1 γίνεται ελάχιστο και άρα το F 1 μέγιστο με maxf 1 = = x3 +4 = x F2 x 2 x2. Οι όροι x +,δεν έχουν σταθερό γινόμενο. Αν γραφούν x2 όμως στη μορφή: x + x οι όροι τώρα, έχουν σταθερό γινόμενο και x επομένως μας δίνουν το ελάχιστο άθροισμα τους όταν x = 4 x = Δηλαδή για x = 2 και επομένως μας δίνουν το ελάχιστο άθροισμα τους όταν x = 4 x x = 2. Δηλαδή για x = 2 το 1 F1 γίνεται ελάχιστο και άρα το F 1 μέγιστο με maxf 1 = 1 3. x 84

95 Μέγιστα - ελάχιστα χωρίς τη χρήση ανάλυσης 1 = x3 +16 = x = F 3 x x x Αφού οι προσθετέοι έχουν σταθερό x x γινόμενο τότε θα μας δίνουν ελάχιστο άθροισμα όταν x 2 = 8 x = 2 και x επομένως μέγιστο F 3 = F 4 = x 1 x 2. Παρατηρούμε ότι το F 4 2 = x 2 (1 x 2 ) μπορεί να γίνει μέγιστο, διότι οι παράγοντες του όταν x 2, (1 x 2 ) έχουν σταθερό άθροισμα 1. Επομένως το μέγιστο θα βρίσκεται όταν x 2 = (1 x 2 ), δηλαδή για 2x 2 = 1 x = 1 2 και το μέγιστο F 4 = 1 2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του x + y, x > 0, y > 0, αν ισχύει x 2 y 3 = 12; Οι προσθετέοι x, y δεν έχουν σταθερό γινόμενο. Γράφοντας το x + y διαφορετικά, έχουμε: x + y = x + x + y + y + y, παρατηρούμε ότι το γινόμενο των παραγόντων είναι x x y y y = x2 y3 = ΣΤΑΘΕΡΟ. Αυτό μας επιτρέπει να έχουμε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος x + y, x > 0, y > 0, όταν x = y 3, δηλαδή όταν x = 2, y = Το πιο πάνω πρόβλημα μπορεί να αποτελέσει αφετηρία για γενίκευση του προβλήματος αναζήτησης της ελάχιστης ποσότητας: x 1 + x x ν όταν το γινόμενο x 1 a 1 x2 a 2... x ν α ν, όμως είναι σταθερό. Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος των ν θετικών μεταβλητών αριθμών δίνεται όταν x 1 a 1 = x 2 a 2 =... = x ν a ν. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Tα πιο πάνω παραδείγματα μπορεί να αποτελέσουν ερωτήματα σε κατάλληλα προβλήματα. Με βάση τις δύο πιο πάνω τεχνικές θα προσπαθήσουμε να αντιμετωπίσουμε συγκεκριμένα προβλήματα από το βιβλίο, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Επιλογής Γ Λυκείου. Τα περισσότερα προβλήματα ζητούν μέγιστο γινόμενο, όταν έχουν σταθερό άθροισμα και αντίστροφα, ζητούν ελάχιστο άθροισμα όταν έχουν σταθερό γινόμενο. Η βασική «ιδέα» μας λέει ότι και στις δύο περιπτώσεις οι αριθμοί πρέπει να είναι ίσοι μεταξύ τους. Παράδειγμα 1 ( Σελ 72, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Επιλογής Γ Λυκείου) Ένας αγρότης έχει περίφραγμα μήκους 100 m 2 και θέλει να περιφράξει ένα χώρο σχήματος ορθογωνίου του οποίου η μια πλευρά του να είναι τοίχος. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου ώστε να έχει μέγιστο εμβαδόν; 85

96 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου Θέτουμε ΑΔ = χ και ΑΒ = y, το πρόβλημα ζητά max(ε = χψ), με 2χ + ψ = 100. Οι δύο θετικοί αριθμοί 2χ, ψ έχουν σταθερό άθροισμα 100. Το μέγιστο γινόμενο τους 2χψ μπορούμε να το πετύχουμε, όταν οι δύο αυτοί αριθμοί είναι μεταξύ τους ίσοι. Αν δηλαδή 2χ = ψ το χ = 25 και το ψ = 50.Άρα, το max(ε = χψ) = = 1250 m 2 Παράδειγμα 2( Σελ 73, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Επιλογής Γ Λυκείου) Εργοστάσιο θέλει να συσκευάσει προϊόν που παράγει σε κυλινδρικά δοχεία που να έχουν όγκο 250π cm 3. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα και το ύψος του κυλινδρικού δοχείου, ώστε η λαμαρίνα που θα χρησιμοποιηθεί να έχει ελάχιστο εμβαδόν; Αν R είναι η ακτίνα του κυλίνδρου και υ το ύψος του, ζητούμε το min (Ε = 2πRυ + 2πR 2 ) με πr 2 υ = 250π R 2 υ = 250. R υ Η επιφάνεια Ε του κυλίνδρου είναι Ε = 2π(Rυ + R 2 ). Το γινόμενο των μεταβλητών Rυ και R 2 δεν είναι σταθερό διότι Rυ R 2 = R 3 υ. Το σταθερό γινόμενο εμφανίζεται με R 2 υ = 250. Αν το άθροισμα Rυ + R 2 το γράψουμε ως Rυ + Rυ R2, παρατηρούμε ότι το γινόμενο τους είναι Rυ Rυ 2 2 R2 = 1 4 R4 υ 2 = 1 4 (R2 υ) 2 = ΣΤΑΘΕΡΟ. Επομένως οι τρεις αριθμοί Rυ 2, Rυ Rυ 2 =, 2 R2 μπορούν να μας δώσουν ελάχιστο άθροισμα όταν R 2 υ = 2R. Από R 2 υ = 250 2R 3 = 250 R = 5, υ = 10 και η ελάχιστη επιφάνεια θα είναι min(ε) = 2π π 5 2 = 150π. Άσκηση 3.9 ( Σελ 73, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Επιλογής Γ Λυκείου) (1) Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 20, να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου που έχει μέγιστο εμβαδόν Αν x, y είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου ζητούμε max(e = xy) με 2(x + y) = 20 x + y = 10, x, y > 0. Δηλαδή θέλουμε μέγιστο γινόμενο δύο θετικών αριθμών με σταθερό άθροισμα. Αυτό συμβαίνει, όταν x = y = 5 και max(e = xy) = 5 5 =

97 Μέγιστα - ελάχιστα χωρίς τη χρήση ανάλυσης (2) Να χωριστεί ο αριθμός 90 σε δύο μέρη, που να είναι τέτοια ώστε το γινόμενο Γ του ενός μέρους να είναι μέγιστο. Ζητούμε max(γ = xy 2 ) με x + y = 90, x, y > 0. Γράφουμε το xy 2 = 1 (2x y y)που είναι τώρα σταθερό. Άρα, θα μας δώσει 2 μέγιστο γινόμενο όταν 2x = y, δηλαδή x = 30, y = 60 και maxγ = (3) Το κόστος παραγωγής x ψυγείων είναι ( ,125x 2 ) ευρώ. Η τιμή πώλησης κάθε ψυγείου είναι 300. Να γράψετε τη συνάρτηση κέρδους Κ(x) για την πώληση x ψυγείων και στη συνέχεια να βρείτε το x, ώστε το κέρδος να είναι μέγιστο. Η συνάρτηση κέρδους Κ(x) προκύπτει από την ( τιμή πώλησης-κόστος παραγωγής) των x ψυγείων. Επομένως Κ(x) = 300x 1 8 x2 800 = 1 x(2400 x) Παρατηρούμε ότι οι θετικοί αριθμοί x και (2400 x) έχουν σταθερό άθροισμα x + (2400 x) = 2400, οπότε το γινόμενο τους γίνεται μέγιστο όταν x = (2400 x) x = Ας σημειώσουμε ότι η παράσταση 300x 1 8 x2 800 είναι τριώνυμο και γράφεται με συμπλήρωση τέλειου τετραγώνου ως: 1 8 [x2 2400x] 800 = 1 8 [(x 1200) ] 800 = (x 1200) με το «ίσον» να συμβαίνει όταν x = (4) Δίνεται τετραγωνικό χαρτί με πλευρά 30 cm. Από κάθε γωνία του αποκόπτουμε ένα τετράγωνο και διπλώνουμε το χαρτόνι ώστε να σχηματιστεί ένα ανοικτό κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Να βρείτε το μέγιστο όγκο, που μπορεί να έχει το κουτί. Ζητάμε max{v = y 2 x}, όταν 2x + y = 30. Παρατηρώντας ότι οι όροι του γινομένου y 2 x δεν έχουν σταθερό άθροισμα, το μετασχηματίζουμε κατάλληλα ώστε οι όροι να έχουν σταθερό άθροισμα. Γράφοντας το y 2 x = y 2 y 2x 2 οι παράγοντες y, y και 2x έχουν τώρα σταθερό άθροισμα y + y x = 2x + y = 30, οπότε δίνουν μέγιστο γινόμενο όταν y = 2x δηλαδή, y = 2 87

98 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου 4x και με 2x + y = 30, έχουμε x = 5 και y = 20. Ο μέγιστος όγκος θα είναι max{v} = max{y 2 x} = = (5) Ανοικτό δοχείο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με τετράγωνη βάση θα έχει όγκο 32 dm 3. Να βρείτε τις διαστάσεις του έτσι ώστε το εμβαδόν της επιφάνειας του, να είναι το ελάχιστο δυνατό. Ζητάμε min{e = x 2 + 4xy}, όταν x 2 y = 32. Οι προσθετέοι x 2, 4xy, δεν έχουν σταθερό γινόμενο, διότι x 2 4xy = 4x 3 y. ( Η σταθερή ποσότητα είναι x 2 y). Γράφοντας το E = x 2 + 4xy ως E = x 2 + 4xy = x 2 + 2xy + 2xy, παρατηρούμε ότι οι όροι x 2, 2xy, 2xy, έχουν γινόμενο 4x 4 y 2 = 4 (x 2 y) 2, που είναι τώρα σταθερό. Επομένως το ελάχιστο άθροισμα πετυχαίνεται όταν: x 2 = 2xy x = 2y 4y 3 = 32 y = 2,x = 4. Επομένως η ελάχιστη επιφάνεια θα είναι E = = 48. (6) Σε κύκλο με ακτίνα R, θα εγγραφεί ορθογώνιο. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου, ώστε να έχει μέγιστο Εμβαδόν. Αν x, y είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου ζητούμε max(e = xy)με x 2 + y 2 = 4R 2, x, y > 0. Αφού τα x 2, y 2 έχουν σταθερό άθροισμα 4R 2, το x 2 y 2 είναι μέγιστο όταν x 2 = y 2 x = y με x, y > 0, x, y > 0. Επομένως για μέγιστο εμβαδόν έχουμε όταν, x = y = R 2 ( τετράγωνο) και maxe = (R 2) 2 = 2R 2. (7) Σε κώνο με ακτίνα 6 και ύψος 15 θα εγγραφεί κύλινδρος. Να βρείτε το ύψος του κυλίνδρου ώστε: i. Ο όγκος του κυλίνδρου να είναι μέγιστος ii. Το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κυλίνδρου να είναι μέγιστο. 88

99 Μέγιστα - ελάχιστα χωρίς τη χρήση ανάλυσης i. Ζητούμε max{v = πr 2 5 h}, με = 15 h 5r + 2h = r Μετασχηματίζοντας και πάλι το πr 2 h = 2π 25 [(5r) 2 (5r) (2h)], 2 παρατηρούμε ότι ( 5r ) + 2 (5r ) + (2h) = 30(σταθερό), οπότε το 2 γινόμενο τους γίνεται μέγιστο, όταν ( 5r ) = 2 (5r ) = (2h) 5r = 4h. 2 Μαζί με τη σχέση 5r + 2h = 30, προκύπτει h = 5, r = 4 και max{v} = 80π. ii. Ζητούμε max{ε = 2πrh}, με 5r + 2h = 30. Γράφοντας την κυρτή επιφάνεια Ε = 2πrh = π 1 (5r) (2h), παρατηρούμε ότι τα 5r, 2h, 5 έχουν σταθερό άθροισμα άρα, το μέγιστο γινόμενο τους μπορεί να υπάρξει όταν 5r = 2h, δηλαδή r = 3, h = 7,5 και max{ε} = 45π. (8) Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει τα άκρα του πάνω στους θετικούς ημιάξονες των x και y και περνά από το σημείο (1,8). Να βρείτε τις συντεταγμένες των Α και Β, ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να έχει ελάχιστο εμβαδόν. Αν Α(α, 0) και Β(0, β) α, β > 0, ζητούμε το ελάχιστο εμβαδόν Ε = 1 2 αβ με β α = β 8 1 β 2 β 8 = 1 2 α = β β 8. Το Ε = [β ] = 1 64 [β ] β 8 2 β 8 Παρατηρούμε ότι για β > 8, οι θετικοί προσθετέοι β 8, γινόμενο, οπότε μπορούν να πάρουν τη μέγιστη τιμή τους όταν 64 β 8, έχουν σταθερό β 8 = 64 β 8 (β 8)2 = 64 β = 16, α = 2 και άρα, min(e) = = 16τ.μ. 89

100 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου (9) Από το ορθογώνιο τζάμι ΑΒΓΔ με πλευρές 120 και 100, έχει σπάσει μια γωνία από το μέσο Μ της μικρότερης πλευράς, όπως στο σχήμα. Από το υπόλοιπο τζάμι πρέπει να αποκοπεί τεμάχιο, με τομές παράλληλες προς τις αρχικές. Ποια πρέπει να είναι τα μήκη των νέων πλευρών ώστε το τεμάχιο να έχει μέγιστο εμβαδόν; Αν x, y είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου ζητούμε max(e = xy), με x + a = 120 και y a = 50 x + y = 170, x, y > 0. Αφού τα x, y έχουν σταθερό άθροισμα, θα μας δίνουν μέγιστο γινόμενο όταν x = y = 85 και άρα, το max(ε) = 85 2 = ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Τα πιο πάνω αποτελέσματα εύρεσης μεγίστων και ελαχίστων τα συγκεντρώνουμε συνοπτικά στον πιο κάτω πίνακα. Όλες οι μεταβλητές που εμφανίζονται είναι θετικές! Μεταβλητές Αν ΜΕΓΙΣΤΟ Όταν x, y x + y = c x y x = y x, y, z x + y + z = c x y z x = y = z x 1, x 2,..., x ν x 1 + x x ν = c x 1 x 2... x ν = c x 1 = x 2 =... = x ν x 1, x 2,..., x ν x 1 + x x ν = c x 1 α 1 x2 α 2... xν α ν = c x 1 α 1 = x 2 α 2 =.. = x ν α ν x, y αx + βy = c, a, β > 0 x y x β = y α x 1, x 2,..., x ν α 1 x 1 + α 2 x α ν x ν = c α 1 x 1 = α 2 x 2 =.. = α ν x ν 90

101 Μέγιστα - ελάχιστα χωρίς τη χρήση ανάλυσης x 1, x 2,..., x ν x 1 α 1 + x 2 α x ν α ν = c x 1 x 2... x ν x 1 1 α 1 = x 2 1 α 2 =.. = ή α 1 x 1 = α 2 x 2 =... α ν x ν x, y x 2 + y 2 = C x y x = y x, y, z x y + y z + z x = C x y z x = y = z Μεταβλητές Αν ΕΛΑΧΙΣΤΟ Όταν x, y x y = C x + y x = y x, y, z x y z = C x + y + z x = y = z x, y x y = C x 2 + y 2 x = y x, y αx + βy = c, a, β > 0 x 2 + y 2 x a = y β x, y, z x 1 x 2... x ν = C x 1 + x x ν x 1 = x 2 =... = x ν x 1, x 2,..., x ν α x 1 α 1 2 α x2... ν xν = C x 1 + x x ν x 1 = x 2 =.. = x ν α 1 α 2 α ν x 1, x 2,..., x ν x 1 x 2... x ν = C α x 1 α 1 + x 2 α x ν ν α1 x 1 = α 2 x 2 =.. = α ν x ν x ν 1 α ν x 1, x 2,..., x ν x 1 x 2... x ν = C α 1 x 1 + α 2 x α ν x ν α 1 x 1 = α 2 x 2 =.. = α ν x ν x, y x y = C x 2 + y 2 x = y Συμπεράσματα Έχουν επιλυθεί αρκετά προβλήματα που για χρόνια ήταν συνδεδεμένα με την έννοια της παραγώγου. Έχει διαφανεί κατά τη γνώμη μας, ότι προβλήματα που φαντάζουν να έχουν βαθμό δυσκολίας, μπορούν να επιλυθούν και με άλλους ίσως και απλούστερους τρόπους χωρίς να εμπλέκεται η Ενότητα της Ανάλυσης. Χρησιμοποιούνται βασικές ανισοτικές σχέσεις σε πολύ απλό επίπεδο και διδακτικά, θεωρούμε πως κερδίζει ο ίδιος ο μαθητής πολύ περισσότερα και είναι πολύ πιο έτοιμος να εισέλθει σε Μαθηματικά κατεύθυνσης που έχει βασικό μάθημα την Ανάλυση που είναι κτισμένη στους Πραγματικούς Αριθμούς και τις ιδιότητες τους ως Σώμα, Διάταξη και Πληρότητα! Αρκετά προβλήματα μεγίστων ελαχίστων υπάρχουν σε αρκετούς Διεθνείς και Εθνικούς Διαγωνισμούς Μαθηματικών, που στις περισσότερες φορές αποτείνονται σε μαθητές που δεν έχουν προπαίδεια της Ανάλυσης. Κάποια από αυτά τα πρόβλήματα είναι: 91

102 Σ. Τιμοθέου, Α. Φιλίππου 1. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της 9x2 ημx+4 x ημx, με 0 < x < π. 2. Να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου με σταθερή Περίμετρο που να έχει μέγιστο Εμβαδόν. 3. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ποσότητας x y + 3y z + 9z x, x, y, z > Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ποσότητας (x + y)(y + z), x, y, z > 0, αν ισχύει xyz(x + y + z) = Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ποσότητας x + 8 x(x y), x > y > Να βρείτε την μέγιστη τιμή της ποσότητας 24x 2x 3,0 x Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ποσότητας (x+10) (x+2 ) x+1, x > 0 Βιβλιογραφία Ivan Niven, Maxima and Minima Without Calculus, Mathematical Assosciation of America,1981. N. Kazarinoff, Geometric Inequalities, Mathematical Association of America,1961. Αριστείδου Φ. Πάλλα, ΜΕΓΑΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑ, Εκδοτικός Οίκος Παπαδημητροπούλου,1970. Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Επιλογής, Γ Λυκείου, Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Κύπρου,

103 ΣΥΝΕΡΓΑΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΝΟΙΧΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Γιώργος Κόσυβας Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ3 Α Αθήνας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία πραγματεύεται τη συνεργατική διερεύνηση των ανοιχτών προβλημάτων από τους μαθητές κατά τη σύγχρονη διδασκαλία των μαθηματικών. Επιπλέον, γίνεται αναφορά στη διεθνή έρευνα των ανοιχτών προβλημάτων, εκτίθενται μερικές ενδεικτικές εκφωνήσεις και παρουσιάζονται συνοπτικά στοιχεία της διδακτικής πρακτικής στο επίπεδο της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης με θετικά αποτελέσματα. Η επίλυση ανοιχτών προβλημάτων στη διδασκαλία των μαθηματικών Στην επιστήμη των μαθηματικών ο όρος ανοιχτό πρόβλημα συνήθως αναφέρεται σε προβλήματα τα οποία για μεγάλο χρονικό διάστημα παρέμειναν άλυτα, όπως για παράδειγμα το τελευταίο Θεώρημα του Fermat που λύθηκε το 1993 ή η Εικασία του Goldbach, η οποία παραμένει ακόμα χωρίς λύση. Στη Διδακτική των Μαθηματικών ο όρος ανοιχτό πρόβλημα παραπέμπει σε πρόβλημα έρευνας, το οποίο δεν δεσμεύει τους μαθητές προς μία συγκεκριμένη μέθοδο λύσης. Δεν αποτελεί πρόβλημα καθημερινής ρουτίνας της σχολικής τάξης, αλλά ασυνήθιστο πρόβλημα, στο οποίο οι μαθητές μπορούν να κάνουν επιλογές στα δεδομένα, τις υποθέσεις, τη στρατηγική επίλυσης, τους επιδιωκόμενους στόχους και να καταλήγουν σε διαφορετικά αποτέλεσματα (Cifarelli & Cai, 2005 Kosyvas, 2013). Με την εισαγωγή των ανοιχτών προβλημάτων επιδιώκεται η βελτίωση της διδασκαλίας των μαθηματικών. Τέτοια προβλήματα έχουν χρησιμοποιηθεί σε συγκρίσεις των επιδόσεων των μαθητών, όπως είναι οι διεθνείς αξιολογήσεις TIMMS και PISA. Κατά τις τρεις τελευταίες δεκαετίες έχει συγκεντρωθεί πλήθος ερευνών για τη διδακτική αξιοποίηση των ανοιχτών προβλημάτων. Από πολλούς ερευνητές υποστηρίζεται ότι το ανοιχτό πρόβλημα πρέπει να κατέχει κεντρική θέση στη διδασκαλία των μαθηματικών (Silver, 1995 Stacey 1995 Pehkonen, 1997). Η εισαγωγή του όρου ανοιχτό πρόβλημα ξεκίνησε από την Ιαπωνία (Shimada 1977 Becker et κ. ά., 1997) και είχε σκοπό τη μεταρρύθμιση της διδασκαλίας των Μαθηματικών με ανοιχτές προσεγγίσεις στη διδακτική πράξη. Σύμφωνα με τους ερευνητές στα ανοιχτά προβλήματα εντάσσονται οι ακόλουθες δραστηριότητες: διερευνήσεις, διατύπωση προβλήματος (problem posing), ζωντανές πραγματικές καταστάσεις, ερευνητικές εργασίες

104 Γ. Κόσυβας (projets), προβλήματα χωρίς ερωτήσεις, προβλήματα με ποικιλία απαντήσεων, προβλήματα έρευνας πεδίου (Nohda, 1995 Pehkonen, 1997). Τα ανοιχτά προβλήματα συμπλέουν με τα λεγόμενα ασθενώς ή ατελώς δομημένα προβλήματα (Tardif, 1997 Κολέζα, 2009). Τα εν λόγω προβλήματα, ενώ είναι διατυπωμένα σύμφωνα με τους γραμματικούς και συντακτικούς κανόνες, στο σημασιολογικό επίπεδο υπάρχουν συνήθως ελλείψεις στα δεδομένα ή στα ζητούμενα. Αυτό δεν σημαίνει ότι τα προβλήματα είναι ασαφή, αλλά ότι οι μαθητές εμπλέκονται ενεργά στη διευκρίνηση ορισμένων πτυχών τους. Είναι προβλήματα με ανοιχτές κατευθύνσεις και ερμηνείες, τα οποία αντίκειται στις ακριβείς και αυστηρές μαθηματικές διατυπώσεις. Ας πάρουμε ως παράδειγμα το ακόλουθο πρόβλημα: Οι δημοτικές αρχές τεσσάρων πόλεων αποφάσισαν να κατασκευάσουν ένα αεροδρόμιο, το οποίο θα εξυπηρετεί τις ανάγκες των κατοίκων τους. Να βρείτε τη βέλτιστη θέση για την κατασκευή του αεροδρομίου έτσι ώστε οι ανάγκες των τεσσάρων πόλεων να εξυπηρετούνται κατά δίκαιο τρόπο (Christou κ. ά., 2005). Εάν σε ένα πρόβλημα οι αρχικές υποθέσεις του προβλήματος δεν είναι επακριβώς προσδιορισμένες, τότε η αρχική κατάσταση είναι ανοιχτή (Pehkonen, 1997). Αυτό σημαίνει ότι ο λύτης πρέπει να κάνει επιλογές για ορισμένες πλευρές του προβλήματος, οι οποίες θα πρέπει να διερευνηθούν. Στο πρόβλημα του αεροδρομίου ο λύτης θα πρέπει να σκεφτεί τους όρους βέλτιστη λύση και κατά δίκαιο τρόπο, αλλά και με ποιο τρόπο θα τοποθετηθούν οι πόλεις. Όταν τα τελικά αποτελέσματα είναι ανοιχτά, τότε το πρόβλημα επιδέχεται πολλές σωστές απαντήσεις (Pehkonen, 1997). Στο πρόβλημα του αεροδρομίου υπάρχουν διαφορετικές λογικές τοποθεσίες (Christou κ. ά., 2005). Η διαδικασία είναι ανοιχτή όταν υπάρχουν πολλαπλές σωστές στρατηγικές για την επίλυση του προβλήματος (Nohda, 2000). Για παράδειγμα, στο πρόβλημα του αεροδρομίου οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν διαφορετικά εργαλεία του GeoGebra για να λύσουν το πρόβλημα. Στο εν λόγω πρόβλημα η ερμηνεία της εκφώνησης είναι ανοιχτή. Στο πλαίσιο της διεθνούς έρευνας του ανοιχτού προβλήματος ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η γαλλική εμπειρία, και ειδικότερα οι εκδόσεις του Ινστιτούτου Έρευνας για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών της Λυών (IREM de Lyon). Η ερευνητική ομάδα της Λυών μελέτησε κυρίως προβλήματα που απευθύνονται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και αποσκοπούν στην καλλιέργεια ερευνητικής στάσης και ικανοτήτων επιστημονικής μεθοδολογίας (Arsac κ. ά., 1992). Σύμφωνα με την ομάδα του IREM de Lyon το ανοιχτό πρόβλημα, το οποίο προτείνεται να ερευνηθεί από τους μαθητές, έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά: η εκφώνηση είναι σύντομη, δεν προδίδει τη λύση και βασίζεται σε έννοιες με τις οποίες τα παιδιά είναι αρκετά εξοικειωμένα (Arsac κ. ά., 2007). 94

105 Συνεργατικές διερευνήσεις με ανοιχτά προβλήματα Η εισαγωγή του ανοιχτού προβλήματος στο σχολείο ανατρέπει την επιστημολογία της μαθηματικής βεβαιότητας και το παραδοσιακό μοντέλο της μετάδοσης της γνώσης από το δάσκαλο στο μαθητή, ενώ έχει συνδεθεί με τον κονστρουκτιβισμό και τη διερευνητική μάθηση. Εφόσον τα ανοιχτά προβλήματα επιτρέπουν διαφορετικές σωστές λύσεις κάθε μαθητής θα έχει την ευκαιρία να βρει τη λύση του και έτσι να απαντήσει στο πρόβλημα με το δικό του τρόπο. Η επίλυση ανοιχτών προβλημάτων στην τάξη αναδεικνύει τις ατομικές διαφορές των μαθητών, επιφέρει ανακατατάξεις στην ιεραρχία των μαθησιακών στόχων και αμφισβητεί τον ωφελιμιστικό προσανατολισμό των μαθηματικών, παρακινώντας τους μαθητές να βιώσουν το πρόβλημα ως συναρπαστικό και ενδιαφέρον, να κατασκευάσουν τη γνώση και να διαμορφώσουν μια θετική εικόνα για τα μαθηματικά (Kosyvas, 2010 English, 1997). Η επίλυση ανοιχτών προβλημάτων καλλιεργεί στους μαθητές την ερευνητική διάθεση και την αυτενέργεια, τη συνέργεια και την πειραματική διάσταση, τη μαθηματική δημιουργικότητα και την κριτική σκέψη στα μαθηματικά (Γαγάτσης, 1988 Κόσυβας, 1996). Η αξία της επίλυσης ενός προβλήματος με περισσότερους από έναν τρόπους είναι ανεκτίμητη. Με τη συζήτηση των λύσεων σε ολόκληρη την τάξη οι μαθητές δραστηριοποιούν τα μαθησιακά τους κίνητρα για τα Μαθηματικά, εξηγούν τη λύση στους συμμαθητές τους, κάνουν νέους εννοιολογικούς συσχετισμούς, αναπτύσσουν τη μαθηματική τους σκέψη και γενικά αποκομίζουν πλούσιες εμπειρίες βιώνοντας τη χαρά της ανακάλυψης. Ο τρόπος αξιοποίησης των ανοιχτών προβλημάτων στην τάξη Η παρούσα εργασία πραγματεύεται μια σύγχρονη πρόταση για την ομαδοσυνεργατική λύση μαθηματικού προβλήματος στη σχολική τάξη. Η εργασία της τάξης κατά την επίλυση προβλημάτων με τη μέθοδο της συνεργατικής διερεύνησης συνήθως απαιτεί δύο διδακτικές ώρες και διαρθρώνεται σε τέσσερις φάσεις (Κόσυβας, 2013). Παρουσίαση και κατανόηση του προβλήματος (ατομική έρευνα) Στην πρώτη φάση ο εκπαιδευτικός καλείται να δραστηριοποιήσει τα κίνητρα των μαθητών. Πριν από την παρουσίαση του ανοιχτού προβλήματος ο εκπαιδευτικός δίνει στους μαθητές οδηγίες για τον τρόπο εργασίας της τάξης. Ο χρόνος της ατομικής εργασίας είναι απαραίτητος, γιατί βοηθάει τους πιο αδύνατους μαθητές της ομάδας να οικειοποιηθούν την εκφώνηση του προβλήματος. Ομαδική έρευνα και γραφή μιας λύσης σε «αφίσα συνέργειας» Εφόσον οι μαθητές είναι ήδη χωρισμένοι σε ομάδες, μπορούν εύκολα από την ατομική διερεύνηση της προηγούμενης φάσης να γλιστρήσουν στη συλλογική έρευνα μέχρι να έρθει η στιγμή της γραπτής διατύπωσης της εργασίας τους. Κατά τη φάση της συνεργατικής διερεύνησης ο εκπαιδευτικός αφήνει τα ηνία στους μαθητές. Την κοινή 95

106 Γ. Κόσυβας τεκμηρίωση της λύσης γράφουν πάνω σε μια «αφίσα συνέργειας» (ή σε ένα χαρτόνι κανσόν ή σε μια διαφάνεια εργασίας). Ο εκπαιδευτικός διευκολύνει τη λειτουργία των ομάδων, δεν παρεμβαίνει πολύ και με τη στάση του φροντίζει να μη μετατρέψει την ανοιχτή προβληματική κατάσταση σε κλειστή. Η εν λόγω εργασία της ομάδας μπορεί να διαρκέσει λεπτά. Αν ο πειραματισμός έχει διάρκεια μιας ώρας αρκούν λεπτά, ενώ αν είναι δίωρος τότε μπορεί να ολοκληρωθεί κατά τη διάρκεια της πρώτης διδακτικής ώρας. Κάθε ομάδα θα πρέπει να στοχεύει στη σύνταξη μιας λύσης, την οποία όλα τα μέλη συναποδέχονται. Οι αφίσες αποτελούν ένα πρόσφορο μέσο, το οποίο αναπαριστά τις απόπειρες επίλυσης του ανοιχτού προβλήματος από τις ομάδες και εξασφαλίζει τη μετάβαση από τη γραπτή διατύπωση των λύσεων στη συζήτησή τους (Κόσυβας, 1996). Η μαθηματική συζήτηση σε ολόκληρη την τάξη Η μαθηματική συζήτηση είναι το συλλογικό κόσκινο όπου η τελική πρόταση κάθε ομάδας μπορεί να καταλήγει στην υπέρβαση-διαφύλαξη των ατομικών και κοινών προτάσεων. Στη φάση αυτή έρχονται στο φως πολλαπλές λύσεις και στη γενική συζήτηση δίνεται η δυνατότητα στους μαθητές να υπερασπιστούν τη λύση τους αφενός, αλλά και να την υπερβούν αφετέρου. Οι μαθητές αναλαμβάνουν τον επιστημονικό ρόλο του μαθηματικού και εκφράζουν την δική τους εκδοχή για το θέμα. Αυτή η φάση είναι θεμελιώδης, γιατί συμπίπτει με την αληθινή μαθηματική συζήτηση. Είναι κατάσταση επιστημονικής εγκυρότητας. Ο εκπαιδευτικός κατά τη φάση της μαθηματικής συζήτησης είναι συντονιστής της συζήτησης, βοηθός στις δυσκολίες των παιδιών και συνεργάτης της προσπάθειας των μαθητών να αυτονομηθούν. Οργανώνει τη σειρά συζήτησης των επιμέρους επιχειρημάτων και τη σειρά με την οποία δίνει το λόγο σε κάθε μαθητή της τάξης. Ζητάει από τους μαθητές να θεμελιώσουν τη γνώμη τους και να τη συσχετίσουν με αυτή των συμμαθητών τους. Η συγκεφαλαίωση από τον εκπαιδευτικό Στο τέλος της έρευνας του ανοιχτού προβλήματος συνήθως έπεται η φάση της συγκεφαλαίωσης. Ο εκπαιδευτικός επανέρχεται στους στόχους της δραστηριότητας και υπενθυμίζει στους μαθητές τις γνώσεις ή τις δεξιότητες που κατέκτησαν με τη λύση του προβλήματος. Στο τελευταίο μέρος οι εικασίες που εγκυροποιήθηκαν επισημοποιούνται, λαμβάνοντας χαρακτήρα μαθηματικών προτάσεων (θεωρημάτων) και οι λανθασμένες εκφωνήσεις συνοδεύονται από ένα αντιπαράδειγμα. Τα προσωπικά νοήματα μέσα στην τάξη πρέπει να εναρμονιστούν και να γίνουν συμβατά και συνεπή με ό,τι δέχεται η μαθηματική κοινότητα (Lampert, 1990). Μέσω των αλληλεπιδράσεων στο πλαίσιο της σχολικής τάξης οι μαθητές αποκτούν γνώσεις μέσα από την σκέψη και την πρακτική συγκροτώντας μέσα τους έναν «δι-υποκειμενικό» κόσμο. Η δι-υποκειμενικότητα δίνει προοδευτικά τη θέση της στην «αντικειμενικότητα». 96

107 Ενδεικτικά ανοιχτά προβλήματα από την πρακτική Συνεργατικές διερευνήσεις με ανοιχτά προβλήματα Όλα τα ανοιχτά προβλήματα δεν είναι πρόσφορα από παιδαγωγική άποψη για να ερευνηθούν από τους μαθητές του Γυμνασίου και του Λυκείου στην αίθουσα διδασκαλίας. Στη συνέχεια θα εκθέσουμε μερικά ενδεικτικά προβλήματα που έχουν ερευνηθεί στην τάξη και κατά την άποψή μου μπορούν να αξιοποιηθούν στη διδασκαλία των Μαθηματικών στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Ανοιχτό πρόβλημα 1: (Γ Γυμνασίου) Ένα τεστ Μαθηματικών αποτελείται από 100 ερωτήσεις που βαθμολογούνται συνολικά με 100 μονάδες. Κάθε ερώτηση σωστού-λάθους λαμβάνει 0,5 μονάδες. Κάθε ερώτηση πολλαπλής επιλογής λαμβάνει 3 μονάδες. Κάθε ερώτηση ανάπτυξης λαμβάνει 10 μονάδες. Πόσες ερωτήσεις από κάθε κατηγορία περιλαμβάνει το εν λόγω τεστ; Μια λύση η οποία δόθηκε από μια ομάδα μαθητών της Γ Γυμνασίου είναι η εξής: Παριστάνουμε με x το πλήθος των ερωτήσεων σωστού-λάθους, με y το πλήθος των ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής και με z το πλήθος των ερωτήσεων ανάπτυξης. Τότε ισχύουν: y 0,5x +3y +10z = 100 x + 6y + 20z = 200 ή x + y + z = 100 x + y + z = 100 Με αφαίρεση κατά μέλη βρίσκουμε: 5y+19z=100 Λύνοντας ως προς y βρίσκουμε: 19 y = - z Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι οι πιθανές θετικές ακέραιες τιμές του z είναι: 1, 2, 3, 4 και 5 Οι μοναδικοί θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν την εξίσωση είναι y=1 και z=5. Επομένως το τεστ περιέχει μια ερώτηση πολλαπλής επιλογής, 5 ερωτήσεις ανάπτυξης και 94 ερωτήσεις σωστού λάθους (5,1) /19 z 97

108 Γ. Κόσυβας Ανοιχτό πρόβλημα 2: (Α Λυκείου) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στάδιο 1: Κατασκευάζουμε το τρίγωνο Α1Β1Γ1 με κορυφές τα μέσα των πλευρών του ΑΒΓ. Στάδιο 2: Κατασκευάζουμε το τρίγωνο Α2Β2Γ2 με κορυφές τα μέσα των πλευρών του ΑΒ1Γ1 και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο. Με τη βοήθεια του σχήματος να αιτιολογήσετε την ισότητα: = Ένας μαθητής της Β τάξης του Βαρβακείου ΓΕΛ έλυσε ως εξής το πρόγκημα: Με τη βοήθεια του σχήματος έχουμε: (1) Παρατηρούμε ότι σε κάθε οριζόντια λωρίδα το σκιασμένο τρίγωνο έχει εμβαδόν ίσο προς το 1/3 του εμβαδού του τραπεζίου. Ισχύουν: , , Προσθέτουμε κατά μέλη τις προηγούμενες ισότητες: Β Α Β 2 Γ 2 1 Β Γ 1 Α Α 1 Γ (2) 3 Η (2) με βάση την(1) γίνεται: Επομένως: = =

109 Συνεργατικές διερευνήσεις με ανοιχτά προβλήματα Σχόλιο: Το πρόβλημα ήταν δύσκολο για τους μαθητές της Β Λυκείου, λόγω έλλειψης σχετικής εμπειρίας. Οι μαθητές κατανόησαν την προηγούμενη εποπτική λύση. Ανοιχτό πρόβλημα 3: (Α Γυμνασίου) Όταν οι 7 συμμαθητές μιας παρέας ξανασυναντήθηκαν μετά τις διακοπές του καλοκαιριού, χαιρετήθηκαν όλοι μεταξύ τους με μια χειραψία. Ο καθένας έσφιξε το χέρι με καθέναν από τους άλλους μια μόνο φορά. Να βρείτε: (α) Πόσες χειραψίες αντάλλαξαν συνολικά μεταξύ τους οι 7 μαθητές; (β) Πόσες χειραψίες θα κάνουν οι 26 μαθητής της τάξης; (γ) Πόσες χειραψίες θα κάνουν οι ν μαθητές ενός σχολείου αν χαιρετηθούν όλοι μεταξύ τους; Να σκεφτείτε και να αιτιολογήσετε τους συλλογισμούς σας. Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι το πρόβλημα είναι πλούσιο, βιωματικό και πολύ ενδιαφέρον για τα παιδιά. Αναπτύσσει την επικοινωνία και την έρευνα, την εμπειρική επαλήθευση και τον πειραματικό έλεγχο. Τα παιδιά μπορούν να προσεγγίσουν το θέμα με διάφορες στρατηγικές σε πολλαπλά πλαίσια (αριθμητικό, συμβολικό, αλγεβρικό, γεωμετρικό, δραματικό ). Το πρόβλημα λύνεται με πολλαπλές στρατηγικές επίλυσης και αποδεικνύεται γόνιμο. Οι μαθητές επιδεικνύουν διαφορετικές και πρωτότυπες στρατηγικές και, γεγονός που μας εκπλήσσει. Είναι αξιοσημείωτο ότι οι στρατηγικές τους συνήθως είναι αυθόρμητες: οι μαθητές δεν περιορίζονται στη χρήση έτοιμων αλγορίθμων, αλλά με δική τους πρωτοβουλία, ανοίγουν γνωστικές διαδρομές και να ανακαλύπτουν νέες γνώσεις (Κόσυβας, 2011 Κόσυβας 1996) Ανοιχτό πρόβλημα 4: (Α Λυκείου) Δίνονται οι συναρτήσεις: y=x+2 και y=αx-3. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α οι γραφικές παραστάσεις τους τέμνονται στο δεύτερο τεταρτημόριο. Να αιτιολογήσετε. Μια ομάδα μαθητών της Α Λυκείου διερεύνησε το πρόβλημα παρέχοντας τα ακόλουθα επιχειρήματα: Ψάχνουμε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α για τις οποίες οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=x+2 και y=αx-3 τέμνονται στο δεύτερο τεταρτημόριο. Οι ευθείες οι οποίες τέμνουν την ευθεία (ε): y=x+2 στο δεύτερο τεταρτημόριο και διέρχονται από το σημείο (0, -3) θα πρέπει να βρίσκονται μεταξύ του άξονα των y και της y (δ) : y = -3/2x -3 x -2-3 y 2 0 (ε) : y =x+2 x y = αx-3, α<-3/2 99

110 Γ. Κόσυβας ευθείας 3 ( δ ) : y = - x -3, 2 όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Η κλίση της ευθείας (δ) είναι - 3/2 και όλες οι ευθείες με κλίση μικρότερη από αυτήν ικανοποιούν τις συνθήκες της άσκησης. Ανοιχτό πρόβλημα 5: (Γ Γυμνασίου) Ρίχνουμε 3 ζάρια. Το γινόμενο των τριών ενδείξεων είναι 36. Ποια είναι τα δυνατά αθροίσματα που μπορούν να προκύψουν; Δύο ομάδες μαθητών της Γ Γυμνασίου έσωσαν την ακόλουθη λύση: Για να βρούμε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς ώστε το γινόμενο των τριών ενδείξεων να είναι 36 κάνουμε στην ακόλουθη καταγραφή: Έστω ότι η μικρότερη ένδειξη του ζαριού είναι 1. Τότε επειδή το γινόμενο των άλλων δύο ζαριών είναι 36, αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να προκύψει αν φέρουμε δύο εξάρια, δηλαδή έχουμε το συνδυασμό {1, 6, 6}. Αν εξετάσουμε με τη σειρά το 2 και το 3 ως τους μικρότερους αριθμούς που μπορούμε να πάρουμε βρίσκουμε τους συνδυασμούς {2, 3, 6} και {3, 3, 4}. Ούτε το 4 ούτε το 6 θα μπορούσε να είναι ο μικρότερος αριθμός και το 5 δεν είναι παράγοντας του 36. Έτσι τα ζητούμενα δυνατά αθροίσματα είναι: Ανοιχτό πρόβλημα 6: (Β Γυμνασίου) 3+3+3=10, 2+3+6=11 και 1+6+6=13. Έχουμε ένα τετράγωνο με πλευρά 2 εκατοστά και θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα δεύτερο με διπλάσιο εμβαδό. Μπορείς να βρεις μια μέθοδο να το κατασκευάσεις; (Kosyvas & Baralis, 2010). Το τετράγωνο και η διαγώνιος 2 2 cm 8 cm 2 Το σχήμα του Μένωνα Ανοιχτό πρόβλημα 7: (Α Γυμνασίου) 100

111 Συνεργατικές διερευνήσεις με ανοιχτά προβλήματα Μια εταιρεία διακόσμησης κήπων κατασκευάζει τετράγωνους κήπους που περιτριγυρίζονται από τετράγωνες πλάκες. Με βάση τα πιο κάτω παραδείγματα, να βρείτε ποια είναι η σχέση μεταξύ της πλευράς του κήπου και του αριθμού των τετράγωνων πλακών. Ανοιχτό πρόβλημα 8 (Β Λυκείου): Το διπλανό τετράπλευρο έχει δύο ορθές γωνίες και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Αν δ=4 και α<β<γ υπολογίσετε το εμβαδόν του. α β δ β Ανοιχτό πρόβλημα 9: (Β Λυκείου) (α) Να δείξετε ότι ο αριθμός ν έχει ακριβώς 10 διαιρέτες διαφορετικούς του 1 και του (β) Να προσδιορίσετε πόσοι άλλοι ακέραιοι της μορφής (όπου το μ, ν είναι ακέραιοι θετικοί αριθμοί), έχουν 10 ακριβώς διαιρέτες διαφορετικούς του 1 και του ν. μ 3 5 (γ) Έστω κ ο ελάχιστος θετικός ακέραιος αριθμός που έχει ακριβώς 426 διαιρέτες διαφορετικούς του 1 και του ν. Να προσδιορίσετε τον κ, δίνοντας την απάντησή σας στην μορφή γινομένου πρώτων παραγόντων Ανοιχτό πρόβλημα 10: (Α Λυκείου) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των διαμέσων ΒΔ και ΓΕ παίρνουμε σημεία Η και Ζ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΔΗ=ΒΔ και ΕΖ=ΓΕ. Ποιες συσχετίσεις μπορείτε να βρείτε μεταξύ των σημείων, τμημάτων και γωνιών που απαρτίζουν το σχήμα; ν γ 101

112 Γ. Κόσυβας Ζ Ε A Δ Η Συμπεράσματα Κατά τη διδασκαλία των Μαθηματικών στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση κυριαρχούν τα κλειστά προβλήματα, τα οποία κατά βάση υπαγορεύονται από την τυποποιημένη αξιολόγηση και το σύστημα εισαγωγής των μαθητών στα πανεπιστήμια. Σύγχρονες διδακτικές προσεγγίσεις που ευνοούν την εισαγωγή πνευματικών προκλήσεων συμπλέουν με το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών Μαθηματικών (ΑΠΣΜ) περισσότερο του Γυμνασίου και λιγότερο του Λυκείου. Οι εκπαιδευτικοί οι οποίοι επιθυμούν να εμπλουτίσουν το μάθημά τους με την ομαδοσυνεργατική λύση ανοιχτών προβλημάτων και την πιθανή χρήση ψηφιακής τεχνολογίας, όπου ενδείκνυται, θα μπορούσαν να δοκιμάσουν. Η ενασχόληση της τάξης με ανοιχτά προβλήματα, μπορεί να είναι διανθιστική (4-5 φορές το χρόνο), ενσωματωμένη στις ενότητες του ΑΠΣΜ της αντίστοιχης τάξης (ανοιχτό πρόβλημα εβδομάδας) ή ενταγμένη σε ειδικές δραστηριότητες του ετήσιου προγραμματισμού του σχολείου (π. χ. τριήμερο ανοιχτών προβλημάτων, διερευνητικά projects). Σε όλες τις περιπτώσεις η ενασχόληση με αυτά είναι πολλαπλά ωφέλιμη αφού τονώνει τα κίνητρα των μαθητών αναδεικνύοντας την αυθόρμητη μαθηματική δημιουργία τους. Βιβλιογραφία B Arsac, G. & Mante, M. (2007). Les pratiques du problème ouvert. Villeurbanne : IREM de Lyon, CRDP. Arsac, G. Chapiron, G., Colonna, A., Germain, G., Guichard, Y. & Mante, M. (1992). Initiation au Raisonnement Déductif au Collège. Presses Universitaires de Lyon. Becker, J., Shimada, S. (1997). The open-ended approach: a new proposal for teaching mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Christou, C., Mousoulides, N., Pittalis, M. & Pitta-Pantazi, D. (2005). Problem Solving and Problem Posing in a Dynamic Geometry Environment. The Montana Mathematics Enthusiast, 2(2), Cifarelli, V. V., & Cai, J. (2005). The evolution of mathematical explorations in open-ended problem solving situations. Journal of Mathematical Behavior, 24, English, L. D. (1997). Development of fifth grade children s problem posing abilities. Educational Studies in Mathematics, 34, Kosyvas, G. & Baralis, G. (2010). Les stratégies des élèves d aujourd hui sur le problème de la duplication du carré. Repères-IREM, 78, Γ 102

113 Συνεργατικές διερευνήσεις με ανοιχτά προβλήματα Kosyvas, G. (2010). Problèmes ouvertes: notion, catégories et difficultés. Annales de Didactique et des Sciences cognitives, 15, IREM de Strasbourg, Kosyvas, G. (2013). Pratiques pédagogiques de problèmes ouverts dans un collège expérimental à Athènes. Repères-IREM, 91, Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the answer: Mathematical knowing and teaching. American Educational Research Journal, 27, Nohda, N. (2000). Teaching by open-approach method in Japanese mathematics classroom.in Nakahara, T. & Koyama, M. (Eds.), Proceedings of the 24th conference of the international group for the psychology of mathematics education (Vol. 1, pp ). Hiroshima, Japan: PME. Pehkonen, E. (Ed.) (1997). Use of open-ended problems in mathematics classroom. Department of Teacher Education, Research Report 176. University of Helsinki. Shimada, S. (1977). Open-ended approach in arithmetic and mathematics. A new proposal towards teaching improvement. Tokyo, Mizuumishobo. Silver, E. A. (1995). The nature and use of open problems in mathematics education: Mathematical and pedagogical perspectives. ZDM, 95(2), Stacey, K. (1995). The challengers of keeping open problem-solving open in school mathematics. ZDM, 95(2), Tardif, J. (1997). Pour un enseignement stratégique. Montréal: Les éditions Logiques. Γαγάτσης, Α. (1988). Διδασκαλία των μαθηματικών με ανοιχτά προβλήματα. Tετράδια Διδακτικής των Μαθηματικών, 1, και Θεσσαλονίκη. Κολέζα, Ε. (2009). Θεωρία και πράξη στη διδασκαλία των μαθηματικών. Αθήνα: Τόπος. Κόσυβας, Γ. (1996). Η πρακτική του ανοιχτού προβλήματος στο δημοτικό σχολείο, γόνιμος χαρακτήρας και ανατροπή των παγιωμένων αντιλήψεων. Αθήνα: Εκδόσεις Gutenberg. Κόσυβας, Γ. (2011). Η άτυπη μοντελοποίηση του προβλήματος των χειραψιών. Πρακτικά 28ου συνεδρίου της ΕΜΕ, , ΕΜΕ. Κόσυβας, Γ. (2013). Αξιοποίηση των ανοιχτών προβλημάτων στη διδασκαλία των μαθηματικών. Πρακτικά του 30ου Συνεδρίου της ΕΜΕ, Καρδίτσα: ΕΜΕ. 103

114

115 ΟΙ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΙΣΩΝ ΜΕΡΩΝ ΤΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΑ ΤΟΥ ΕΛΛΑΔΙΚΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ευγένιος Αυγερινός Βλάχου Ρόζα, Υποψ. Διδάκτορας Εργαστήριο Μαθηματικών Διδακτικής και Πολυμέσων Πανεπιστήμιο Αιγαίου- Λ. Δημοκρατίας 1, 85100, Ρόδος ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία παρουσιάζει τη μελέτη που έγινε πάνω στα εγχειρίδια των μαθηματικών του Δημοτικού της Ελλάδας προκειμένου να ιδωθεί η δομή των βιβλίων πάνω στα κλάσματα και πιο συγκεκριμένα πάνω στην έννοια των ίσων μερών της μονάδας. Ποιες, δηλαδή, αναπαραστάσεις χρησιμοποιούνται στα σχολικά βιβλία του δημοτικού για την παραπάνω έννοια και με ποια συχνότητα. Ταυτόχρονα γίνεται σχολιασμός για την επάρκεια και το είδος των αναπαραστάσεων και τη συσχέτισή τους με τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές, βάσει ερευνών, πάνω στην έννοια. Τα αποτελέσματα δείχνουν μια περιορισμένη έκταση των κεφαλαίων των σχολικών βιβλίων που ασχολούνται με το χωρισμό της μονάδας σε ίσα μέρη, απουσία της έννοιας από τα βιβλία της Δ τάξης του δημοτικού και μη χρήση αναπαραστάσεων με αντιπαραδείγματα για το χωρισμό της κλασματικής μονάδας σε ίσα μέρη, που βάσει έρευνας έχει φανεί ότι η χρήση αντιπαραδειγμάτων βοηθάει σημαντικά στη συναίσθηση της αναγκαιότητας του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη. ABSTRACT This paper presents a study based on the textbooks of elementary mathematics of Greece to the structure seen on fractions and more particularly on the notion of equal parts of the unit, that is what kind of representations used in textbooks for elementary defined above and with what frequency. At the same time there is a commentary on the adequacy and nature of representations and their correlation with the difficulties faced by students, based on surveys, on the concept. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παρούσα εργασία αποτελεί μέρος μιας μεγαλύτερης έρευνας που αποτελείται από τρία μέρη με τελικό στόχο τη δημιουργία προτάσεων που θα

116 Ε. Αυγερινός, P. Βλάχου βοηθήσουν στη μείωση των δυσκολιών που αντιμετωπίζουν οι μαθητές μας στα κλάσματα. Το πρώτο μέρος στόχο έχει να διερευνήσει τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές της πρωτοβάθμιας (μαθητές της Ε και Στ τάξης του δημοτικού) και της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (μαθητές της Α και της Β γυμνασίου) πάνω στους ρητούς αριθμούς και συγκεκριμένα στις έννοιες της σειροθέτησης των κλασμάτων ως αναπαράσταση στην αριθμογραμμή, καθώς και στις έννοιες του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη και των καταχρηστικών κλασμάτων. Το μέρος αυτό υλοποιήθηκε κατά τα έτη Το δεύτερο ερευνητικό μέρος στόχο έχει να εντοπίσει τις αιτίες και τους λόγους για τους οποίους οι μαθητές της ελληνικής εκπαίδευσης αντιμετωπίζουν αυτές τις δυσκολίες και ποιοι παράγοντες επηρεάζουν την παρουσία ή την απουσία αυτών των δυσκολιών. Δίνεται έμφαση στις αντιλήψεις των εκπαιδευτικών πάνω στους ρητούς αριθμούς, στη δομή των σχολικών εγχειριδίων των μαθηματικών, στο Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών και στα Αναλυτικά Προγράμματα, καθώς και στις διδακτικές προτάσεις και προσεγγίσεις που διάφοροι ερευνητές έχουν προτείνει σε διεθνές επίπεδο. Το μέρος αυτό βρίσκεται σε εξέλιξη και έχει ξεκινήσει από το Το τρίτο και τελευταίο μέρος αποτελεί την παρουσίαση προτάσεων για την αντιμετώπιση των αιτιών που προκαλούν τις δυσκολίες των μαθητών στις παραπάνω έννοιες υπό τη μορφή εφαρμοσμένων προτάσεων και διδακτικών παρεμβάσεων με τελικό αποδέκτη το Υπουργείο Παιδείας προκειμένου να γίνουν κάποιες αλλαγές στο Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών και στα Αναλυτικά Προγράμματα με τις αντίστοιχες προσθήκες και αλλαγές στα σχολικά εγχειρίδια. Το μέρος αυτό βρίσκεται σε εξέλιξη και ξεκίνησε το Η παρούσα εργασία αποτελεί ένα τμήμα του δεύτερου ερευνητικού μέρους που αφορά στην έρευνα της δομής των ελληνικών σχολικών εγχειριδίων του δημοτικού πάνω στους ρητούς. Πιο συγκεκριμένα, εξετάζει τα πεδία αναπαραστάσεων που αφορούν στην έννοια του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη, καθώς και τη συχνότητα που εμφανίζονται στα βιβλία των μαθηματικών. Αναφορικά με τη χρήση των όρων που χρησιμοποιούνται στην παρούσα εργασία, όταν γίνεται αναφορά σε συμβολικές αναπαραστάσεις εννοείται η αναπαράσταση του ρητού με την αλγεβρική του μορφή, δηλαδή, ενός αριθμού της μορφής a b. Επίσης, με τον όρο διαγραμματικές αναπαραστάσεις εννοείται η αναπαράσταση ενός ρητού αριθμού με εικόνες και γεωμετρικά σχήματα. Όταν γίνεται αναφορά στις διακριτές μονάδες εννοείται ένα σύνολο ξεχωριστώνδιακριτών αντικειμένων και τέλος η αναφορά σε λεκτικές αναπαραστάσεις παραπέμπει σε αριθμολέξεις της μορφής «ένα όγδοο». 106

117 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Οι αναπαραστάσεις για την έννοια των ίσων μερών της μονάδας Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, το πρώτο μέρος της ευρύτερης έρευνας περιελάμβανε τον εντοπισμό και την ομαδοποίηση των δυσκολιών που αντιμετωπίζουν οι μαθητές πάνω στην έννοια του κλάσματος και πιο συγκεκριμένα στις έννοιες της τοποθέτησης κλασμάτων στην αριθμογραμμή, του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη και των καταχρηστικών κλασμάτων. Βάσει αυτών των επιμέρους ερευνών (Avgerinos et. al., 2012) που έγιναν για τον εντοπισμό των δυσκολιών των παραπάνω εννοιών σε μαθητές και των τριών βαθμίδων εκπαίδευσης (Α/θμιας, Β/θμιας και Γ/θμιας) φάνηκε ότι και οι τρεις βαθμίδες εκπαίδευσης παρουσιάζουν σημαντικές δυσκολίες στην έννοια των καταχρηστικών κλασμάτων, καθώς Εικόνα 1: Διαγραμματική στην πλειοψηφία τους οι μαθητές δυσκολεύονται να αναπαραστήσουν σχηματικά ένα καταχρηστικό κλάσμα ή αναπαράσταση του ακόμη και να το αναγνωρίσουν από διάγραμμα γράφοντάς το με τη συμβολική του μορφή. Έτσι, για παράδειγμα, όταν τους παρουσιάζεται το σχήμα της εικόνας 1 και τους ζητείται να γράψουν ποιο κλάσμα αντιπροσωπεύει το σχήμα το εστιγμενο πλαισιο με μοναδα το σκιασμενο σχημα, στη συντριπτική πλειοψηφία οι μαθητές απαντούν Αναφορικά με την τοποθέτηση κλασμάτων στην αριθμογραμμή παρατηρείται μεγάλη δυσκολία στην τοποθέτηση κυρίως ετερώνυμων και καταχρηστικών κλασμάτων. Σε συνεντεύξεις που δόθηκαν από τους μαθητές όταν τοποθετούσαν κλάσματα στην αριθμογραμμή, η πλειοψηφία μετέτρεπε τα κλάσματα σε δεκαδικό αριθμό για να μπορέσει να δικαιολογήσει την ορθότητα της απάντησή της ενώ ήταν ελάχιστες οι περιπτώσει που χρησιμοποιούσαν κάποια διαγραμματική αναπαράσταση ή κάποιον κανόνα που θα τους βοηθούσε στην ορθή σειροθέτηση των κλασμάτων στην αριθμογραμμή. Αξιοσημείωτο είναι ότι στη σειροθέτηση ομώνυμων κλασμάτων οι δυσκολίες όχι μόνο δε βελτιώνεται κατά το πέρασμα των μαθητών στις επόμενες δύο βαθμίδες (Β/θμια και Γ/θμια), αλλά αντίθετα εντείνεται. Αναφορικά με το χωρισμό της μονάδας σε ίσα μέρη φάνηκε ότι οι μαθητές της Α/θμιας και της Β/θμιας εκπαίδευσης δυσκολεύονται με την κατανόηση της αναγκαιότητας του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη, δυσκολία που παραμένει και στην Γ/θμια εκπαίδευση. Οι παραπάνω δυσκολίες επιβεβαιώθηκαν και σε μια άλλη έρευνα των Αυγερινός και Βλάχου (2013) που έγινε για τη διερεύνηση της σταθερότητας των αποτελεσμάτων σε σχέση με την παραπάνω έρευνα. Στη συγκεκριμένη έρευνα επιβεβαιώθηκαν οι σημαντικές δυσκολίες στην έννοια του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη, καθώς παρατηρήθηκε ότι οι φοιτητές δεν είχαν κατανοήσει την έννοια των ίσων μερών της μονάδας, καθώς κανένας δεν έδωσε σωστή απάντηση σε άσκηση αναγνώρισης του κλάσματος από σχήματα που δεν ήταν χωρισμένα σε ίσα μέρη

118 Ε. Αυγερινός, P. Βλάχου Όλες αυτές δυσκολίες που έχουν επιβεβαιωθεί και από διάφορες άλλες έρευνες έχουν αποδοθεί σε ποικίλους παράγοντες. Σύμφωνα με τον Janvier (1987), τα περισσότερα σχολικά βιβλία σήμερα περιλαμβάνουν μια ποικιλία αναπαραστάσεων με σκοπό να προωθήσουν την κατανόηση της έννοιας των κλασμάτων. Η κεντρική θέση που κατέχουν τα διάφορα πεδία αναπαράστασης στη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών υποστηρίζουν κι άλλοι ερευνητές όπως οι Gagatsis et al. (2004). Επίσης, ο Lo (1993) σε έρευνά του αποδίδει τις δυσκολίες που υπάρχουν στην αντίληψη των κλασμάτων και των αναλογιών πιθανά στην ακατάλληλη μέθοδο της διδασκαλίας τους στην τάξη. Την ίδια άποψη υποστηρίζει και ο Streefland (1991) προσθέτοντας ότι η αποτυχία στη διδασκαλία της έννοιας του κλάσματος οφείλεται στην πολυπλοκότητα της έννοιας και στην παραδοσιακή προσέγγιση στα κλάσματα, η οποία είναι τυπική και μηχανική από την αρχή (Sfard, 1991). Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι διάφοροι ερευνητές έχουν αποδώσει ο καθένας και σε διαφορετικό παράγοντα τις δυσκολίες αυτές που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στους ρητούς αριθμούς. Η ερευνητική μας ομάδα, πιστεύοντας ότι οι δυσκολίες αυτές των μαθητών οφείλονται σε έναν συνδυασμό παραγόντων που συμπεριλαμβάνει μεταξύ άλλων και τα ευρήματα των παραπάνω ερευνών, επιχειρεί μέσα από μια μακρόχρονη έρευνα που συνδυάζει όλες τις πιθανές αιτίες που αναφέρουν οι διάφοροι ερευνητές καθώς και νέες που ενδεχόμενα να προκύψουν, να αναδείξει αυτούς τους παράγοντες με τελικό στόχο τη διατύπωση και πρόταξη ουσιαστικών λύσεων για την αντιμετώπιση αυτών των δυσκολιών των μαθητών με παρεμβάσεις στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα. 3. Η ΕΡΕΥΝΑ ΤΩΝ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΩΝ 3.1 Σκοπός της έρευνας Η παρούσα εργασία αφορά στην έρευνα της δομής των ελληνικών σχολικών εγχειριδίων του δημοτικού πάνω στους ρητούς. Πιο συγκεκριμένα, σκοπεύει στη μελέτη των μορφών των αναπαραστάσεων καθώς και της συχνότητας που παρουσιάζονται στα βιβλία των μαθηματικών για την έννοια του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη καταγράφοντας ταυτόχρονα την εξελικτική πορεία αυτών των εννοιών κατά το πέρασμα των μαθητών από μια τάξη στην άλλη. Τα ευρήματα θα μελετηθούν για να αποφανθεί αν κάποιοι παράγοντες της δομής των σχολικών εγχειριδίων του δημοτικού συμβάλλουν στη δημιουργία των δυσκολιών των μαθητών στους ρητούς. Πιο συγκεκριμένα, οι επιμέρους στόχοι είναι οι εξής: Να εντοπιστούν και να εξεταστούν οι αναπαραστάσεις στην έννοια των ίσων μερών της μονάδας. Να γίνει πιθανή συσχέτιση των αναπαραστάσεων με τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν ι μαθητές πάνω στην έννοια αυτή. Να προταθούν τρόποι για τη βελτίωση της διδασκαλίας της έννοιας σε περίπτωση που παρουσιαστεί συσχέτιση της δομής των βιβλίων και των δυσκολιών των μαθητών. 108

119 Οι αναπαραστάσεις για την έννοια των ίσων μερών της μονάδας 3.2 Μεθοδολογία της έρευνας Εργαλεία της έρευνας Για την επίτευξη των στόχων της έρευνας μελετήθηκαν τα ελληνικά βιβλία των μαθηματικών και των έξι τάξεων του δημοτικού σχολείου (από την Α τάξη δημοτικού έως και την Στ τάξη του δημοτικού). Η ομάδα των βιβλίων περιλαμβάνει τα βιβλία του μαθητή, τα τετράδια εργασιών και τα βιβλία για το δάσκαλο. Ανάλυση δεδομένων Στο πλαίσιο της συγκεκριμένης εργασίας ακολουθήθηκε η περιγραφική ανάλυση των δεδομένων που συγκεντρώθηκαν από τα σχολικά εγχειρίδια. 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Η έννοια του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη αρχίζει άτυπα και ασυνείδητα στην ελληνική εκπαίδευση από την Α δημοτικού με τη διαγραμματική αναπαράσταση ενός αντικειμένου, την παρουσίαση διακριτών μονάδων και τη χρήση της αριθμολέξης «το μισό» (βλέπε εικόνα 2). Η έννοια εισάγεται στο κεφάλαιο 19 και επαναλαμβάνεται στο κεφάλαιο 23 δίνοντας έμφαση στις διακριτές ποσότητες και δε ξαναγίνεται άλλη αναφορά κατά τη διάρκεια την Α τάξης. Η έννοια του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη επανέρχεται στη Β τάξη με τη χρήση διαγραμματικών αναπαραστάσεων (χρήση γεωμετρικών σχημάτων όπως ορθογώνιο, τετράγωνο, τρίγωνο και κύκλος), διακριτών μονάδων, αριθμολέξεις και της αριθμογραμμής. Η έννοια διδάσκεται κατά τη διάρκεια της Β τάξης μόνο στο κεφάλαιο 7 και δε γίνεται ακόμη εισαγωγή της συμβολικής αναπαράστασης του κλάσματος. Επίσης στη Β τάξη εισάγεται πέρα από την έννοια του «μισού» και η έννοια «το μισό του μισού» ως αριθμολέξη για το 4 1 (βλέπε εικόνα 2). Εικόνα 2: Πολλαπλές αναπαραστάσεις του «μισού» στην Α τάξη του δημοτικού. Εικόνα 2: Διαγραμματική αναπαράσταση και χρήση αριθμολέξεων για το. Στην Γ τάξη του δημοτικού οι μαθητές μέσα από βιωματικές δραστηριότητες οι οποίες αναφέρονται σε τέταρτα της ώρας, σε συνταγές ζαχαροπλαστικής, σε σχήματα με άξονες συμμετρίας, σε τέταρτα του κιλού και σε διακριτές μονάδες εισάγονται στην 109

120 Ε. Αυγερινός, P. Βλάχου ενσυνείδητη έννοια του κλάσματος. Τα κεφάλαια που αναφέρονται στην έννοια των ίσων μερών της μονάδας είναι τα 22, 23 και 24. Σε αυτά τα κεφάλαια γίνεται αναφορά στη λέξεις «ίσα» και «εξίσου» για να οριστεί ότι η μονάδα που πρέπει να χωρίζεται σε ίσα μέρη. Οι λέξεις αυτές δεν έχουν καμιά ιδιαίτερη σήμανση όπως για παράδειγμα να είναι έντονα γραμμένες ή υπογραμμισμένες. Μάλιστα, υπάρχουν ασκήσεις που ζητούν από τους μαθητές να χωρίσουν την μονάδα χωρίς να αναφέρεται ή λέξη «ίσα» ή κάποια άλλη λέξη που να εκφράζει την πρόθεση του μαθητή να χωρίσει την κλασματική μονάδα σε ίσα μέρη. Αυτό ενδεχομένως να ενισχύει την εντύπωση των μαθητών ότι δε χρειάζεται η κλασματική μονάδα να είναι χωρισμένη σε ίσα μέρη. Η σπουδαιότητα των παραπάνω ενισχύεται από το γεγονός ότι τα τρία αυτά κεφάλαια της Γ τάξης αποτελούν τα πρώτα μαθήματα με τα οποία έρχονται οι μαθητές στην ενσυνείδητη μάθηση του κλάσματος και είναι σημαντικό η έννοια να εμπεδωθεί από τους μαθητές σωστά, καθώς οποιαδήποτε παρανόηση θα σταθεί εμπόδιο στα επόμενα κεφάλαια και στις επόμενες τάξεις όπου οι μαθητές εισάγονται σε πιο αφηρημένες μορφές του κλάσματος με αρκετά γρήγορες διαδικασίες. Επομένως, θα ήταν αρκετά αποδοτικό να δίνεται περισσότερη έμφαση στην έννοια «ίσα» με επισήμανση της λέξης και με τη χρήση αντιπαραδειγμάτων όπως αυτό της εικόνας 3. Πρέπει να αναφερθεί πως το παράδειγμα άσκησης της εικόνας 3 αποτελεί το μοναδικό παράδειγμα το οποίο καλούνται οι μαθητές να λύσουν κατά τη διάρκεια των 6 χρόνων φοίτησής τους στο δημοτικό, καθώς δεν υπάρχει παρόμοια άσκηση σε καμιά άλλη τάξη μόνο η συγκεκριμένη στην Γ τάξη. Συνεπώς, οι σημαντικές δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές αναφορικά με την κατανόηση του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη-κομμάτια (σε έρευνα των Avgerinos et al, 2012 μόνο το 8% των μαθητών της Α/θμιας και το 6% των μαθητών της Β/θμιας εκπαίδευσης απάντησαν σωστά σε ερώτημα που η μονάδα δεν ήταν χωρισμένη σε ίσα μέρη) οφείλονται και στον τρόπο που αυτή η έννοια αναπαρίσταται στα σχολικά βιβλία. Αυτό αποδεικνύεται και από την έρευνα των Αυγερινού και Βλάχου (2012b) η οποία περιελάμβανε δύο δίωρες διδασκαλίες στην Ε και Στ τάξη του δημοτικού (μία δίωρη διδασκαλία για κάθε τάξη) που ως στόχο είχαν να εκθέσουν τους μαθητές σε όσο το δυνατόν περισσότερες αναπαραστάσεις που παρίσταναν διαγράμματα διάφορων σχημάτων και αφορούσαν την έννοια των ίσων μερών της μονάδας. Η παρουσίαση των αναπαραστάσεων έγινε με το λογισμικό Microsoft Power Point και περιελάμβανε συνολικά 46 αναπαραστάσεις. Τα αποτελέσματα έδειξαν αύξηση των ποσοστών επιτυχίας, καθώς σε άσκηση αναγνώρισης του κλάσματος από σχήματα που δεν ήταν χωρισμένα σε ίσα μέρη τα ποσοστά από 0% που ήταν στις προ-δοκιμασίες αυξήθηκαν στο 52% στις μετά- 110 Εικόνα 3: Άσκηση με χρήση αντιπαραδείγματος στο βιβλίο της Γ τάξης..

121 Οι αναπαραστάσεις για την έννοια των ίσων μερών της μονάδας δοκιμασίες. Ο καταιγισμός, δηλαδή, των πολλών αναπαραστάσεων και των αντιπαραδειγμάτων που προβλήθηκε βοήθησε σημαντικά τους μαθητές να κατανοήσουν την αναγκαιότητα του χωρισμού της μονάδας σε ίσα μέρη. Εξάλλου και άλλες έρευνες έχουν δείξει ότι όσο πιο συχνά έρχεται σε επαφή ο μαθητής με μια μορφή αναπαράστασης τόσο πιο οικεία του γίνεται και τόσο καλύτερα τη μαθαίνει. Παράδειγμα μιας τέτοιας έρευνας αποτελεί η έρευνα των Hodgen et al. (2010) οι οποίοι χρησιμοποίησαν για την έρευνά τους το 2008 τα δοκίμια μιας παλιότερης έρευνας του 1977 για να συγκρίνουν τα αποτελέσματα αναφορικά με την κατανόηση των κλασμάτων στη δεκαδική τους μορφή σε περίπου 3000 μαθητές ηλικίας ετών. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι επιδόσεις των μαθητών στην τοποθέτηση των δεκαδικών αριθμών πάνω στην αριθμογραμμή βελτιώθηκαν, καθώς το 1977 τα ποσοστά επιτυχίας ήταν 50% και το 2008 ήταν 83%. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι η ίδια αναπαράσταση είχε διαφορετικά αποτελέσματα στις επιδόσεις των μαθητών σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Η εξήγηση που έδωσαν οι ερευνητές σε αυτή τη διαφορά των ποσοστών επιτυχίας ήταν το γεγονός ότι η αναπαράσταση της αριθμογραμμής τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιείται ευρέως στα αναλυτικά προγράμματα της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, κάτι που δε συνέβαινε πριν 30 χρόνια. Στο ίδιο συμπέρασμα, για τη συσχέτιση της επιτυχίας των μαθητών σε μια αναπαράσταση με την εξοικείωση των μαθητών με αυτή, καταλήγει και η έρευνα των Jiang & Chua (2010). Πιο συγκεκριμένα, οι ερευνητές σύγκριναν τις επιδόσεις μαθητών της έκτης τάξης του δημοτικού (1.070 μαθητών από την Κίνα και μαθητών από τη Σιγκαπούρη) στην επίλυση τριών προβλημάτων σχετικά με τα κλάσματα. Οι μαθητές από την Κίνα ακολούθησαν συμβολικές αναπαραστάσεις κατά την επίλυση των προβλημάτων, ενώ οι μαθητές από τη Σιγκαπούρη γραφικές αναπαραστάσεις. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι στα δύο από τα τρία προβλήματα οι μαθητές από την Κίνα είχαν καλύτερες επιδόσεις από τους μαθητές της Σιγκαπούρης, αν και θα περίμενε κανείς το αντίθετο λόγω της χρήσης των γραφικών αναπαραστάσεων που έκανα οι μαθητές από τη Σιγκαπούρη. Μια από τις εξηγήσεις που δόθηκε και εδώ από τους ερευνητές είναι το γεγονός ότι τα βιβλία της Κίνας περιλαμβάνουν περισσότερα προβλήματα παρόμοια με αυτά του δοκιμίου σε σχέση με τα βιβλία της Σιγκαπούρης. Έτσι, οι μαθητές από την Κίνα, αν και χρησιμοποίησαν παραδοσιακές μεθόδους συμβολικής αναπαράστασης για την επίλυση των προβλημάτων, ωστόσο σημείωσαν μεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας λόγω της εξοικείωσης που είχαν αποκτήσει. Τα σχολικά εγχειρίδια της Δ τάξεις δεν περιλαμβάνουν στην ύλη τους κανένα κεφάλαιο που να αναφέρεται στο χωρισμό της μονάδας σε ίσα μέρη και γενικά στα κλάσματα. Μεγάλη έμφαση δίνεται στη διδασκαλία των δεκαδικών αριθμών που καταλαμβάνει το 34% των κεφαλαίων και μέσα σε αυτά συμπεριλαμβάνεται και η έννοια του δεκαδικού κλάσματος ως υποβοήθηση για την εκμάθηση των δεκαδικών αριθμών. Η έννοια μάλιστα του κλάσματος θεωρείται ότι έχει εμπεδωθεί από τους μαθητές, καθώς στα Εικόνα 4: Διαγραμματική αναπαράσταση της κλασματικής μονάδας. 111