Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 245. Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 245. Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β"

Ματθίας Μπλέτσας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 .4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 45 Ερωτήσεις Κατανόησης. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Β Στήλη Μήκος κύκλου ακτίνας Μήκος τόξου µ ο σε κύκλο ακτίνα Μήκος τόξου α radσε κύκλο ακτίνα Στήλη Β α π π µ 360 α π µ 80. Το µήκος L τόξου ενός κύκλου ακτίνας µε χορδή λ 6 είναι.6 Β. π 3 π.π Ε. 3 Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση Γ. Σωστό είναι το Γ, αφού η χορδή του τόξου είναι η λ 6, το τόξο θα είναι 60 ο, άρα το µήκος του είναι 60 ο π µ π = = ο π

2 σκήσεις Εµπέδωσης. Πάνω σε ευθεία ε θεωρούµε διαδοχικά τα σηµεία, Β, Γ και. ν L, L, L και L είναι τα µήκη των κύκλων µε διαµέτρους Β, ΒΓ, Γ και 3 αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι L + L + L = L. 3 Β Γ Β ΒΓ Γ L + L + L = π 3 + π +π = π (Β + ΒΓ + Γ ) = π = π = L. Να βρείτε το µήκος του εγγεγραµµένου κύκλου σε κανονικό εξάγωνο πλευράς 0cm. 3 Η ακτίνα του κύκλου θα είναι το απόστηµα α = = 0 3 = L = π 5 3 = 0 π 3 3. Να βρεθεί το µήκος του τόξου που αντιστοιχεί στην πλευρά κανονικού 0-γώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας 5cm. Oι µοίρες του τόξου είναι µ = = 36. Το µήκος του τόξου θα είναι π µ π 5 36 = = π cm 80 80

3 3 4. Όταν ένα ποδήλατο διανύει µια απόσταση, ο ένας τροχός του που έχει ακτίνα κάνει ν στροφές, ενώ ο άλλος που έχει ακτίνα ρ κάνει ν στροφές. Να αποδείξετε ότι = ρ. Ο κύκλος ακτίνας έχει µήκος π, άρα διανύει απόσταση ν π. Ο κύκλος ακτίνας ρ έχει µήκος πρ, άρα διανύει απόσταση ν πρ. ιανύουν, όµως, την ίδια απόσταση Άρα ν π = ν πρ = ρ. 5. ίνεται κύκλος (Ο,) και τα διαδοχικά του σηµεία, Β, Γ, ώστε να είναι Β = και ΒΓ = 3. Να βρεθούν τα µήκη των τόξων AB, BΓ και Γ ως συνάρτηση του. Β = AB = 90 ο ΒΓ = 3 BΓ = 0 ο Β ΒΓ π90 π = 80 π0 = π 80 3 Γ = 360 ο 90 ο 0 ο = 50 ο Γ π50 80 = 5 π 6 ποδεικτικές σκήσεις. Με διάµετρο την ακτίνα Ο ενός κύκλου (Ο,) γράφουµε κύκλο (Κ) και από το Ο φέρουµε ηµιευθεία που τέµνει τον κύκλο (Ο) στο Γ και τον κύκλο (Κ) Στο. Να αποδείξετε ότι τα τόξα Γ και έχουν ίσα µήκη. Έστω θ σε µοίρες η γωνία Γ ˆ = θ O θ K ˆ ΟΓ Κ = ΚΟ ˆΚ = θ σαν εξωτερική του τριγώνου ΚΟ πθ Γ 80 π θ = 80 πθ 80 Άρα Γ l

4 4. Να αποδείξετε ότι το µήκος του κύκλου, που εφάπτεται σε δύο οµόκεντρους κύκλους, ισούται µε το ηµιάθροισµα ή την ηµιδιαφορά των µηκών αυτών, όταν αντίστοιχα ο κύκλος αυτός περιέχει στο εσωτερικό του ή όχι το µικρότερο κύκλο. Έστω Ο το κέντρο των δύο οµόκεντρων κύκλων και Κ το κέντρο του τρίτου. Ονοµάζουµε, Β τα σηµεία επαφής του κύκλου (Κ) µε το µεγάλο και µικρό κύκλο (Ο) αντίστοιχα. Οπότε τα και Β θα ανήκουν στη διάκεντρο ΟΚ. Ονοµάζουµε L το µήκος του µεγάλου κύκλου (Ο), L του µικρού και L το µήκος του κύκλου (Κ). Όταν ο κύκλος (Κ) περιέχει στο εσωτερικό του το µικρό κύκλο (Ο). L + L = π Ο + π ΟΒ = π (Ο + ΟΒ) = π (Β) B O K A = π ( Κ) = ( π Κ) = L Όταν κύκλος (Κ) δεν περιέχει στο εσωτερικό του το µικρό κύκλο (Ο). L L = π Ο π ΟΒ π (Ο ΟΒ) π (Β) B A O K π ( Κ) ( π Κ) = L

5 5 3. ίνεται τρίγωνο ΒΓ µε α = 3cm, β = 4cm και γ = 5cm. Να βρείτε το µήκος i) του εγγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ii) του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου τ = α + β + γ = = 4 τ =, τ α = 8, τ β = 7, τ γ = 6 Ε = (ΒΓ) = = = = 3 7 = 84 Γνωρίζουµε ότι Ε = τ ρ ρ = E τ = 84 = 4 Άρα L = π 4 = 8 π cm εγγ Γνωρίζουµε ότι αβγ E = 4 4Ε = αβγ 4.84 = = = = Άρα Lπερ. = π 65 4 = 65 π

6 6 Σύνθετα Θέµατα. ίνεται ηµικύκλιο (Ο,) διαµέτρου Β. Με διαµέτρους τις Ο και ΟΒ γράφουµε, στο εσωτερικό του πρώτου, ηµικύκλια. Να υπολογίσετε το µήκος του κύκλου, ο οποίος εφάπτεται των τριών αυτών ηµικυκλίων, ως συνάρτηση του. Κ Γ Σ O x Λ Β Έστω (Σ, x) ο κύκλος που εφάπτεται των τριών ηµικυκλίων. Θα είναι ΣΚ = x + = ΣΛ Άρα το Σ θα ανήκει στη µεσοκάθετο ΟΓ του τµήµατος ΚΛ και θα είναι ΟΣ = ΟΓ ΣΓ = x Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΣΟΛ: Άρα ΟΣ + ΟΛ = ΣΛ ( x) + = x + x + x + = x + x = 3x x = 3 L = π x = π 3 = π 3

7 7. ίνεται τεταρτοκύκλιο Ο AB. Με διάµετρο την Ο γράφουµε, στο εσωτερικό του τεταρτοκυκλίου, ηµικύκλιο και στη συνέχεια γράφουµε κύκλο (Κ) που να εφάπτεται στο ηµικύκλιο, στην πλευρά ΟΒ και στο τόξο AB. Να αποδείξετε ότι το µήκος του κύκλου (Κ) ισούται µε το µήκος του τόξου AB. Η O Β x K Λ Ζ Θ M Άρα ( ) ( ) Μ το κέντρο του ηµικυκλίου, Ζ, Η, Θ τα σηµεία επαφής και x η ακτίνα του κύκλου (Κ). Θα υπολογίσουµε την ακτίνα x ως συνάρτηση της ακτίνας του τεταρτοκυκλίου. Θ. Οξείας Γωνίας στο τρίγωνο ΚΟΜ: ΚΜ = ΟΚ + ΟΜ ΟΜ ΟΛ, φέραµε ΚΛ Ο, οπότε ΟΛ = x. ΚΘ+ΘΜ = ΟΖ ΚΖ +ΟΜ ΟΜ. ΟΛ x + = ( x) + x x + x + = x + x + x 4 4 = 4x x = 4 L κ ύ κλου (Κ) = π x = π 4 = π και L ηµικυκλ ί ου = π.80 π = 80 Άρα L κ ύ κλου (Κ) = L ηµικυκλ ί ου

8 Ξ 7 Γ 3 Β 5 Μ 8 π Ε Θ Ν 9 Ι Λ Ζ Να βρείτε το µήκος της γραµµής ΒΓ ΕΖ του σχήµατος. 6 7 Κ Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΞΒ: AB = = 9+ 6 = 5 Β = 5 () Είναι 7 < 6 + 5, αφού 49 < Άρα η γωνία ˆB του τριγώνου ΒΚΛ είναι οξεία 7 = ΒΓ 49 = ΒΓ 0 ΒΓ = ΒΓ =, () ο Θ. ιαµέσων στο τρίγωνο ΓΠΝ: = Γ = Γ + 8 Γ = 6 Γ = 6 (3) L ηµικυκλ ί ου Ε = π = π (4) Τρίγωνο ΜΖΙ ορθογώνιο µε ύψος ΖΘ: ί ΕΖ ΖΘ = ΘΜ ΘΙ = 8 = 6 ΖΘ = 4 L ηµικυκλ ου = π 4 = 4π (5) () + () + (3) + (4) + (5) µήκος της γραµµής ΒΓ ΕΖ = 5 +, π + 4π = 6, π

Σχετικά έγγραφα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι