12 Elektrostatické pole vo vákuu
|
|
- Ἄγγελος Κωνσταντόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 lektrosttické pole vo vákuu N telesá, s ktorými s bežne stretávme v prírode, pôsobí hlvne príťžlivá grvitčná sil. No už v stroveku poznli j inú interkciu. Grécky učenec Thles z Milétu 1 v 6. stor. p. n. l. popísl schopnosť jntáru treného vlnou priťhovť ľhké predmety. Anglický lekár W. Gilbert 2 v 16. storočí vykonl pokusy, pri ktorých j iné predmety pri trení vykzovli podobné vlstnosti ko jntár. Pretože jntár je grécky elektrón, dostl tento stv názov elektrický stv. O telesách v tomto stve hovoríme, že sú elektricky nbité. ile, ktorou pôsobi tieto telesá n okolie, s hovorí elektrická sil n rozdiel od grvitčnej môže byť príťžlivá odpudivá. lektrické pole chrkterizujeme vektorovou funkciou. ilové pôsobenie medzi elektrickými nábojmi vo všeobecnosti závisí od toho, či sú náboje v pokoji, lebo vo vzájomnom pohybe. V tejto kpitole s budeme zoberť elektrosttickým poľom, ted poľom, ktoré vytvár elektrický náboj, ktorý je v pokoji Chrkteristiky elektrického náboj Príčinou elektrického stvu dného teles je jeho elektrický náboj, jedn zo zákldných chrkteristík mikročstíc. Poznáme dv typy elektrického náboj: kldný záporný. Pokiľ s v telese nchádz rovnký počet kldných j záporných nábojov, hovoríme, teleso je elektricky neutrálne, výsledný náboj je nulový (npr. tóm). Pokiľ jeden typ náboj prevyšuje, prejvuje s 1 THAL z MILÉTU (si ) grécky učenec, prvý predstviteľ milétskej školy. 2 WILLIAM GILBRT ( ) bol nglický prírodovedec lekár. Zoberl s njmä elektrinou mgnetizmom. Uznávný londýnsky doktor ( osobný lekár Alžbety I.) Npísl knihu De Mgnete (O mgnetizme) vysvetlil, ko s mgnety priťhujú odpudzujú. Poukázl j n to, že Zem je ko obrovský tyčový mgnet, preto strelk kompsu vždy smeruje n sever.
2 194 lektrosttické pole vo vákuu ich rozdiel ko voľný náboj hovoríme o elektrickom stve teles. lektrické náboje vytvárjú okolo seb elektrické pole, ktoré pôsobí n iné náboje elektrickou silou. Ak elektrický náboj zmení svoju polohu, tk s zmení j jeho elektrické pole, pričom táto zmen poľ s šíri rýchlosťou svetl. To, že silové pôsobenie s šíri konečnou rýchlosťou, ukázl ž teóri reltivity n zčitku minulého storoči. Zákldné pozntky o elektrických nábojoch: 1. lektrický náboj je vždy spojený s čsticou s nenulovou hmotnosťou. 2. lektrický náboj môžeme prenášť z povrchu jedného teles n povrch iného teles. Náboj s môže premiestňovť j v telese. Látky, v ktorých s elektrický náboj voľne premiestňuje, voláme vodiče. V iných látkch s zs nemôže voľne pohybovť prkticky židny náboj, preto tieto látky voláme dielektriká - nevodiče. 3. xistujú dv druhy elektrického náboj: kldný záporný. 4. Zákon zchovni náboj: v elektricky izolovnej sústve telies je celkový elektrický náboj konštntný, elektrický náboj nemožno vytvoriť ni zničiť, je ho možné len premiestňovť. 5. lektrický náboj je deliteľný. Nemožno ho všk deliť neobmedzene, le ib po elementárny elektrický náboj: e = 1, C. Nositeľmi náboj sú elementárne čstice: elektrón (záporný náboj), protón (kldný náboj) iné. V tóme je rovnký počet protónov (jdro) elektrónov (obl), tkže nvonok s tvári ko elektricky neutrálny. Pokiľ bol z tómu vyrzený elektrón, hovoríme o kldnom ióne v prípde zchyteni ďlšieho elektrónu tómom ide o záporný ión. 6. Zákon superpozície: pri súčsnom pôsobení vicerých bodových nábojov je účinok rovnký, ko keby pôsobil jeden náboj s nábojom všetkých osttných nábojov. 7. Zákon invrintnosti: elektrický náboj je vo všetkých sústvách invrintný, t. j. nmerná veľkosť náboj je celkom nezávislá od rýchlosti pohybu čstice. lektrický náboj ko fyzikálnu veličinu oznčujeme Q lebo q jeho jednotk je 1 coloumb (C), ted [Q] = 1C. Pri definícii tejto jednotky s
3 Coulombov zákon 195 nevychádz z Coulombovho zákon. Jeden Coulomb je elektrický náboj, ktorý prejde vodičom z 1s pri ustálenom prúde 1A. Ampér (A) je jednou zo zákldných veličín v sústve I. Význm tohto vyjdreni bude celkom jsný ž po preštudovní nsledujúcej kpitoly: lektrický prúd. lektrický prúd súvisí n jednej strne s elektrickým nábojom, no n drujej strne tiež má mgnetické účinky (kp. 15.5). Všetky nbité mkroskopické telesá obshujú určité množstvo elektrického náboj. Tento náboj je rozložený v objeme (resp. n povrchu) teles v tkom množstve, že dné rozloženie povžujeme z spojité. Vzhľdom n tvr rozmery teles definujeme objemovú, plošnú dĺžkovú hustotu elektrického náboj. objemová hustot elektrického náboj: ρ = dq dv, (C/m3 ), plošná hustot elektrického náboj: σ = dq d, (C/m2 ), dĺžková hustot elektrického náboj: λ = dq dl, (C/m). Ak poznáme objemovú hustotu elektrického náboj ρ(x, y, z) ko funkciu priestorových súrdníc, dokážeme si potom vypočítť celkový náboj Q v dnom objeme V podľ vzťhu Q = V ρ( r) dv, (12.1) pričom podobný vzťh pltí j pre plošnú dĺžkovú hustotu el. náboj Coulombov zákon Kvntittívnou chrkteristikou elektrickej interkcie je sil. Veľkosť elektrickej sily, ktorou pôsobi n seb dv bodové náboje, prvýkrát zmerl n torzných váhch v roku 1785 frncúzsky fyzik Ch. A. Coulomb 3 (12.2). N záklde svojich merní vyslovil zákon, ktorý s podľ neho volá Coulombov zákon: Dv bodové náboje v pokoji pôsobi n seb silou, ktorá je primoúmerná súčinu ich veľkostí neprimoúmerná druhej mocnine ich vzdilenosti: F e = 1 Q 1 Q 2 r 4π ε 0 r 2 r, (12.2) 3 CHARL COULOMB ( ) frncúzsky vojenský inžinier objviteľ známeho Coulombovho zákon.
4 196 lektrosttické pole vo vákuu kde ε 0 = 8, C 2.N 1.m 2 je permitivit váku. Vzťh pre Coulombov zákon je formálne podobný Newtonovmu grvitčnému zákonu (6.4). Podsttný rozdiel je všk v pôvode síl tým j vo veľkosti konštánt κ = 6, N.m 2 /kg 2 k = 1 4 π ε 0. = N.m 2 /C 2. Ak porovnáme elektrickú grvitčnú silu medzi dvom elektrónmi zistíme, že elektrická je o neuveriteľných 40 rádov väčši ko grvitčná sil Intenzit elektrosttického poľ Podobne ko sme definovli v grvitčnom poli intenzitu grvitčného poľ (6.5), tk j v prípde elektrického poľ definujeme intenzitu elektrického poľ. Intenzit elektrosttického poľ náboj Q 1 je určená podielom elektrickej sily, ktorá v dnom mieste poľ pôsobí n dný bodový náboj Q 2 veľkosti tohto náboj F = e = 1 Q 1 r, (12.3) Q 2 4π ε 0 r3 Jednotkou intenzity sú: [] = N/C = m.kg.s 3.A 1 = V/m. Jednotku V (volt) zvedieme v nsledujúcej čsti: 12.7 lektrické npätie. Npriek tomu, že sme definovli intenzitu ko podiel sily n bodový náboj Q 2, jej hodnot od neho nezávisí je ib funkciou veľkosti náboj Q 1 vzdilenosti r od neho. Intenzit poľ je vektorová veličin, ktorej smer orientáci sú dné vektorom príslušnej sily. V prípde vicerých nábojov pltí pre výsledné elektrosttické pole princíp superpozície, čiže vektorový súčet intenzít od jednotlivých nábojov je rovný výslednej intenzite v dnom mieste = n i=1 i. (12.4) Ak vieme vyjdriť intenzitu elektrického poľ v okolí náboj ko funkciu r ( ( r)), tk elektrická sil pôsobic n náboj Q 2 v hociktorom mieste je dná vzťhom F e = Q 2. (12.5) Tento vzťh je po formálnej stránke totožný so vzťhom pre silu pôsobicu n hmotné teleso v grvitčnom poli F = m K (6.5). Ak všk použijeme II. Newtonov pohybový zákon F = m, tk vidíme, že náboj s v elektrickom
5 Intenzit elektrosttického poľ 197 poli bude pohybovť zrýchlene. Vektor zrýchleni tohto náboj má rovnký smer s intenzitou elektrického poľ v dnom mieste ( ) pre veľkosť zrýchleni pltí: = (Q 2 /m). Doterz sme formulovli vzťhy pre intenzitu poľ vytvoreného jedným bodovým elektrickým nábojom, resp. sústvou bodových elektrických nábojov. Vo všeobecnom prípde, k elektrické pole je vytvorené nbitým telesom určitého tvru, určíme výslednú intenzitu elektrického poľ integráciou elementárnych príspevkov od elektrických nábojov rozložených spojito v elementoch objemu, resp. n plošných elementoch povrchu teles (využijeme pri tom pojem hustot elektrického náboj princíp superpozície). Intenzit elektrosttického poľ (Q, r) je vektorová funkci v kždom bode má určitú veľkosť smer. Môžeme ju znázorniť orientovnou úsečkou príslušnej dĺžky smeru, tk znázorniť priebeh poľ (obr. 12.1(,c)). Druhý, čstejšie používný spôsob je zobrzenie pomocou siločir. ú to čiry, ku ktorým má vektor intenzity v kždom ich bode smer dotyčnice (obr. 12.1(b)), sú rovnko orientovné ko dný vektor. iločiry dného poľ s nikde nepretínjú. iločiry zčínjú v kldnom konči v zápornom elektrickom náboji. Podľ tvru rozloženi siločir rozdeľujeme elektrosttické pole n homogénne nehomogénne. V homogénnom poli je hodnot intenzity všde konštntná má rovnký smer. homogénnym elektrickým poľom s stretávme npríkld v rovinnom kondenzátore. Nehomogénne sú všetky poli, pre ktoré nepltí jedno z predošlých tvrdení. Špeciálnym prípdom nehomogénneho poľ je rdiálne pole bodového náboj (obr. 12.1()). A B A B + - () (b) (c) Obrázok 12.1: Možné tvry siločir elektrosttického poľ.
6 198 lektrosttické pole vo vákuu 12.4 Tok intenzity elektrosttického poľ. Gussov vet. Intenzit elektrického poľ chrkterizuje pole v celom priestore. Ak všk chceme chrkterizovť pole v určitej oblsti, zvádzme sklárnu veličinu - tok vektor intenzity elektrického poľ. Vo fyzike pojem tok zovšeobecňujeme j n iné vektorové poli. Pritom všk nič konkrétne netečie. Je tu ib nlógi npríkld s poľom vektor rýchlosti prúdicej kvpliny - objemu vody, ktorá by pretiekl dnou plochou z jednotku čsu (objemový tok). d n Obrázok 12.2: Tok intenzity elektrosttického poľ cez plochu. Pri definovní toku elektrickej intenzity budeme postupovť nsledujúco (pozri obr. 12.2). Zvolíme si mlú orientovnú rovinnú plôšku d. Tejto plôške prirdíme vektor plošného elementu d = d n ( n jednotkový normálový vektor roviny). Pretože plôšky d sú ľubovoľne mlé, môžeme predpokldť, že elektrické pole určené vektorom intenzity je n kždej z nich konštntné. Tok T intenzity elektrického poľ plochou d definujeme ko sklárny súčin vektor vektor elementu plochy d dt = d. (12.6) Definíciu toku môžeme rozšíriť n tok ľubovoľnou spojitou plochou. Ted tok vektoru intenzity vybrnou plochou je určený nsledujúcim integrálom: T = d. (12.7) Vypočítjme terz tok vektor intenzity elektrosttického poľ bodového náboj z objemu uzvretého guľovou plochou so stredom v mieste náboj. V kždom bode tejto guľovej plochy má vektor intenzity (12.3) konštntnú veľkosť smer zhodný so smerom vonkjšej normály guľovej plochy, ted d d = d. Terz plikujeme tento pozntok n Gussovu
7 Tok intenzity elektrosttického poľ. Gussov vet. 199 vetu, pričom intenzitu môžeme vybrť pred integrál, lebo je n dnej ploche konštnt. Zostne nám integrál z uzvretej guľovej plochy, ktorého veľkosť je = 4π r 2. Mtemtický zápis nšej úvhy vyzerá tkto: T = d Q = d = d = 4π ε 0 r 2 4π r2 = Q. ε 0 Porovnním koncových vyjdrení predošlého vzťhu dostneme vyjdrenie pre Gussovu 4 vetu: Celkový tok intenzity elektrického poľ ľubovoľnou uzvretou plochou obklopujúcu elektrický náboj s rovná podielu toho náboj Q permitivity váku: d = Q. (12.8) ε 0 Pre kldný náboj je tok kldný, pre záporný náboj je tok záporný. Uzvretá guľová ploch okolo bodového náboj Q s volil pre jednoduchosť výpočtu. V prípde všeobecnej plochy okolo náboj, musí z nej vychádzť rovnký počet siločir ko z guľovej plochy. Ak bude náboj mimo uzvretej plochy, potom siločiry plochu buď nepretnú lebo ju pretnú dvkrát, tkže celkový výtok s bude rovnť nule. Ak s vnútri uzvretej plochy bude nchádzť vicero nábojov, tk potom Q = i Q i predstvuje celkový náboj. Vo všeobecnosti ted vzťh (12.8) možno interpretovť: Celkový tok vektor intenzity elektrosttického poľ ľubovoľnou uzvretou plochou s rovná lgebrickému súčtu nábojov mteriálnych objektov uzvretých touto plochou, delenému permitivitou váku. Aplikácie Gussovej vety Ako prvú plikáciu si vypočítme intenzitu elektrosttického poľ od primeho vodič. Uvžujeme nekonečne dlhé vlákno nbité konštntnou dĺžkovou hustotou elektrického náboj λ. Pri riešení budeme využívť vlcovú symetriu, ktorá zjednodušuje výpočet. Keďže predpokldáme nekonečne dlhé vlákno, bude vektor intenzity elektrického poľ v kždom bode kolmý n os vlákn (obr. 12.3). Ďlej z vlcovej symetrie vyplýv, že veľkosť intenzity elektrického poľ je ib funkciou vzdilenosti = (). V tkomto prípde je výhodné voliť Gussovu plochu ko vlcovú plochu s polomerom, určitou výškou 4 KARL FRIDRICH GAU ( ) bol jeden z njväčších mtemtikov fyzikov všetkých čis. Zoberl s teóriou čísel, mtemtickou nlýzou, geometriou, geodéziou, mgnetizmom, stronómiou optikou.
8 200 lektrosttické pole vo vákuu l, ktorej osou je nbité vlákno. N podstvách tejto plochy je vektor poľ kolmý n miestnu normálu k ploche d, tkže príspevok k toku elektrickej intenzity poľ je nulový. Nenulový príspevok dostneme ib od plášť vlc, kde je vektor v kždom bode rovnobežný s normálou n. Vektory mjú n tomto plášti rovnkú veľkosť tok vektor elektrickej intenzity je podľ Gussovej vety d = d = d = 2π l = Q ε 0. lektrický náboj n úseku vlákn dĺžky l môžeme vyjdriť pomocou dĺžkovej hustoty elektrického náboj vzťhom Q = λl. Z tohoto pre intenzitu elektrického poľ vo vzdilenosti od vlákn dostávme = λ ε 0 2π. (12.9) l n Obrázok 12.3: Výpočet intenzity elektrického poľ nekonečne dlhého nbitého vlákn. Ako druhú plikáciu si vypočítme intenzitu elektrosttického poľ homogénne nbitej dosky. Tk ko v predošlom prípde, tk j terz použijeme Gussovu vetu (12.8) k výpočtu intenzity poľ v okolí nekonečne homogénnej nbitej dosky s plošnou hustotou σ. Keďže uvžujeme nekonečnú rovinu, ktorá má vo všetkých smeroch rovnké vlstnosti, nemôže byť vektor k rovine šikmý, le musí byť n ňu kolmý (obr. 12.4()). Ďlej vzhľdom n súmernosť, musí byť intenzit poľ n obidvoch strnách roviny rovnko veľká. Ako Gussovu plochu si vyberieme mlý vlec (obr. 12.4()). Tok intenzity prechádzjúci plášťom vlc je nulový, keďže je kolmá n plochu plášť
9 Tok intenzity elektrosttického poľ. Gussov vet. 201 vlc. Zostáv nám potom len tok dvomi podstvmi dného vlc, ktorý s dá vyjdriť ko T = 2. Náboj, ktorý sme uzvreli do vlc, má hodnotu: Q = σ. pojením posledných dvoch vzťhov pomocou Gusovej vety (12.8) dostávme pre intenzitu homogénnej nbitej dosky vzťh = σ 2ε 0. (12.10) Intenzit poľ ted nezávisí od vzdilenosti od roviny vzniká homogénne elektrické pole. = 0 = 0 () = = =0 (b) Obrázok 12.4: Priebeh intenzity elektrického poľ v okolí homogénne nbitej dosky. Ukážme si, ká bude intenzit elektrického poľ v prípde dvoch homogénne nbitých rovín, n ktorých s nchádzjú elektrické náboje opčnej polrity. ituáciu znázorňuje obrázok 12.4(b). N prvej ploche je rozložený elektrický náboj s plošnou hustotou +σ n druhej σ. Pre pole blízko nbitej plochy použijeme vzťh (12.10). Intenzit elektrického poľ je n roviny kolmá jej vektor má ib zložku v smere kolmej n rovinu. Intenzitu elektrického poľ od prvej - kldne nbitej roviny oznčme 1 elektrickú intenzitu od druhej - záporne nbitej roviny oznčme 2. V priestore medzi doskmi mjú obe intenzity rovnký smer, tkže výsledná intenzit bude súčet obidvoch jej hodnot je = σ ε 0. (12.11)
10 202 lektrosttické pole vo vákuu V priestore mimo dosiek mjú intenzity opčný smer, ted s odčítjú intenzit je tm nulová, keďže roviny sú nbité opčnými nábojmi čím, s pole ruší. V prípde, že roviny sú konečných rozmerov (npr. kondenzátor), je pole homogénne len v strednej čsti n okrjoch dochádz k rozptylu siločir intenzit s mení. Vhodným usporidním elektród - dosiek, je možné minimlizovť rozptyl siločir Prác potenciál elektrosttického poľ ily elektrosttického poľ vyjdrené Coulombovým zákonom (12.2) sú mtemticky nlogické grvitčným silám definovným Newtonovým zákonom (6.4), z čoho vyplýv, že n popis vlstností dného poľ s môžu používť rovnké veličiny. V obidvoch prípdoch ide o konzervtívne poli. lektrosttické sily rovnko ko grvitčné sily mjú tú vlstnosť, že prác nimi vykonná, nezávisí od tvru dráhy pohybu náboj, le len od počitočnej konečnej polohy. Tkže tiež definujeme sklárnu veličinu elektrický potenciál, pomocou ktorého chrkterizujeme zse elektrosttické pole. Mjme elektrosttické pole vytvorené bodovým elektrickým nábojom Q 1 umiestneným v počitku súrdnicovej sústvy vo vzdilenosti r A v bode A bodový náboj Q 2. Pri presune tohto náboj do bodu B(r B ) vykonáme prácu, ktorú vypočítme ko W = rb r A Fe d r = rb 1 Q 1 Q 2 r A 4π ε 0 r 3 r d r = Q 1 Q 2 4π ε 0 rb r A dr r 2 = Q [ 1 Q 2 1 ] rb, 4π ε 0 r r A ted W = Q 1 Q 2 4π ε 0 ( 1 1 ) r A r B. (12.12) Pri úprve integrovnej funkcie sme využili, že r d r = r dr, lebo v prípde rdiálneho poľ ob vektory mjú rovnký smer. Ak zoberieme do úvhy fkt, že silu pôsobicu n náboj Q 2 si môžeme zpísť pomocou elektrickej intenzity náboj Q 1 ko F e = Q 2 (12.5), potom všeobecné vyjdrenie práce (12.12) má tvr rb W = Q 2 d r. (12.13) r A
11 Prác potenciál elektrosttického poľ 203 lektrosttické pole má všk tú pozoruhodnú vlstnosť, že prác vykonná prenosom náboj medzi dvom bodmi nezávisí od dráhy, po ktorej náboj prenášme, le ib od zčitočnej konečnej polohy prenášného náboj. Je to práve tká dôležitá vlstnosť elektrosttického poľ, ko fkt, že toto pole je žriedlové lebo konzervtívne. kutočnosť, že hodnot krivkového integrálu nezávisí od dráhy, nie je triviáln, nepltí pre ľubovoľné silové pole (nepltí npr. pre sily treni). Prác týchto síl n uzvretej dráhe je nulová, čo s dá vyjdriť vzhľdom n predošlý vzťh ko d r = 0. (12.14) L Tk ko v grvitčnom poli, tk j v elektrosttickom poli si definujeme potenciálnu energiu V p pomocou práce (12.12), ktorú musí vykonť vonkjši sil pri premiestňovní náboj z nekonečn do určitého miest A. Potenciálnu energiu náboj Q 2 v elektrosttickom poli náboj Q 1 vo vzájomnej vzdilenosti r A ted vyjdruje výrz V p (r A ) = 1 Q 1 Q 2 r A 4π ε 0 r 2 dr = Q 1 Q 2 4π ε 0 [ 1 ] = Q 1 Q 2 1. (12.15) r r A 4π ε 0 r A Prácu (12.12), ktorá s koná pri presune bodového náboj Q 2 z bodu A do bodu B v elektrosttickom poli náboj Q 1 s dá potom vyjdriť j ko rozdiel potenciálnych energií v dných bodoch: W = V p (r A ) V p (r B ). V homogénnom elektrosttickom poli s všetko zjednoduší, pretože v tkomto poli je intenzit všde konštntná potom pre prácu vykonnú pri prenesení náboj Q 2 o vzdilenosť d pltí: W = Q 2 d. Potenciáln energi náboj je sklárn veličin, ktorá jednoznčne závisí od jeho veľkosti. Je to veličin, ktorá popisuje stv náboj, ktorý s nchádz v elektrosttickom poli iného náboj. Ak všk túto veličinu budeme počítť vzhľdom n jednotkový náboj, získme veličinu, ktorá popisuje smotné elektrické pole. Touto veličinou je potenciál elektrosttického poľ náboj Q. Potenciál ϕ elektrosttického poľ náboj Q definujeme ko podiel potenciálnej energie V p (r A ) bodového elektrického náboj Q 2 (12.15) v dnom mieste poľ veľkosťou dného náboj ko ϕ(r A ) = V p(r A ) Q 2 = ra 1 Q 4π ε 0 r 2dr = 1 Q, (12.16) 4π ε 0 r A čo je potenciálová funkciu v okolí bodového náboj. Ak si uvedomíme, že výrz v integráli v predošlom vzťhu je veľkosť intenzity elektrosttického poľ
12 204 lektrosttické pole vo vákuu náboj Q (12.3), potom s dá zpísť potenciál elektrosttického poľ pomocou intenzity elektrosttického poľ ko ϕ(r) = r d r. (12.17) Tento vzťh pltí pre kúkoľvek intenzitu elektrosttického poľ sústvy bodových nábojov či nbitého teles. Bodom, v ktorých má elektrický potenciál rovnkú hodnotu hovoríme ekvipotenciálne hldiny, podobne ko v grvitčnom poli. Pri prenášní náboj po ekvipotenciálnej hldine s nekoná prác. Intenzit elektrosttického poľ je kolmá n ekvipotenciálnu hldinu v kždom bode. kvipotenciálne hldiny - v reze ekvipotenciálne čiry siločiry tvori nvzájom ortogonálne trjektórie. V elektrickom poli bodového náboj lebo rovnomerne nbitej gule sú ekvipotenciálnymi čirmi sústredné kružnice, resp. guľové vrstvy v prípde trojrozmerného pohľdu. V homogénnom poli tvori tieto čiry sústvu rovnobežiek kolmých n siločiry Vzťh intenzity potenciálu elektrosttického poľ V predchádzjúcom odseku bolo uvedené, že intenzit potenciál elektrosttického poľ nvzájom súvisi integrálnym vzťhom (12.17). podobným vyjdrením sme s už stretli v grvitčnom poli medzi potenciálom intenzitou grvitčného poľ (6.10). Inverzné vyjdrenie sme vyjdrili pomocou grdientu (6.14). Keďže v prípde elektrosttického poľ mtemticky ide formálne o ten istý vzťh ko v grvitčnom poli, môžeme použiť rovnké odvodenie. Ted pltí, že intenzit elektrosttického poľ je rovná zápornému grdientu potenciálu = ϕ( r). (12.18) Grdient sklárnej funkcie je vektorová funkci, ktorej hodnot v kždom bode poľ s rovná mximálnej zmene sklárnej funkcie n jednotku dĺžky v dnom bode má smer jej mximálneho rstu lektrické npätie Rozdiel potenciálov ϕ B ϕ A medzi dvom miestmi A B nzývme elektrickým npätím. Ako vidieť zo vzťhu (12.17), pre elektrické npätie
13 lektrický dipól 205 pltí vzťh rb U = ϕ = ϕ B ϕ A = d r. (12.19) r A lektrické npätie medzi dvom bodmi elektrosttického poľ s rovná práci n prenesenie jednotkového kldného elektrického náboj medzi týmito bodmi elektrosttického poľ. Jednotk npäti je rovnká ko jednotk potenciálu, ted 1 volt 5 (V ). využitím tohto vzťhu môžeme tiež definovť prácu potrebnú n priemestnenie náboj Q 2 z jedného bodu do druhého ko súčin npäti (rozdielu potenciálu dných bodov) dného náboj: W = U Q lektrický dipól Druhým dôležitým systémom nábojov je dvojic bodových nábojov uložených v istej vzájomnej vzdilenosti d. Intenzit poľ v ľubovoľnom bode priestoru je dná superpozíciou polí dvoch nábojov mtemticky súčtom dvoch výrzov typu (12.3). Njjednoduchšie pole vytvárjú dvojice v bsolútnej hodnote rovnko veľkých nábojov, pričom njčstejšie používná je dvojic rovnko veľkých nábojov opčného znmienk, ktorú nzývme elektrický dipól. Kvôli zjednodušeniu si ukážeme len chrkteristické črty poľ elektrického dipólu. lektrický dipól popisujeme elektrickým dipólovým momentom p = Q d, pričom smer dipólového momentu je od záporného ku kldnému náboju. Pre výsledný elektrický potenciál dipólu pltí: ϕ dip = 1 4π ε 0 p r r 3. (12.20) N rozdiel od elektrického potenciálu bodového elektrického náboj, ktorý klesá neprimoúmerne prvej mocnine vzdilenosti od elektrického náboj, elektrický potenciál dipólu klesá s druhou mocninou vzdilenosti od stredu dipólu. Vzťh pre intenzitu poľ bodového dipólu nájdeme pomocou vzťhu (12.18), t. j. vypočítním grdientu vzťhu (12.20). Ted intenzit elektrického poľ dipólu má tvr = 1 ( 3 p r 4π ε 0 r 5 r p ) r 3. (12.21) 5 ALANDRO VOLTA ( ) tlinsky vynálezc, fyzik venovl s elektrine. Vytvoril ko prvý glvnickú btériu, ktorá dostl pomenovnie Voltov článok.
14 206 lektrosttické pole vo vákuu Vo výrzoch pre elektrickú intenzitu je treb si všimnúť, že intenzit elektrického poľ dipólu klesá úmerne s treťou mocninou vzdilenosti od stredu dipólu. Podrobnejšou nlýzou by sme dospeli k tomu, že intenzit elektrického dipólu pre r >> l v smere kolmom n dipól má pri rovnkej vzdilenosti práve polovičnú hodnotu ko n osi dipólu. V chemických štruktúrch s čsto stretávme s dipólmi, ktoré vznikjú v molekulách. Tkáto molekul potom ndobúd elektrický dipólový moment polritu. Npríkld molekul vody je polárn má elektrický dipólový moment p H2 O = C.m. M F -F p Obrázok 12.5: Dipól v homogénnom elektrickom poli. Predpokldjme, že máme terz elektrický dipól v homogénnom elektrickom poli (obr. 12.5). ily poľ pôsobice n elektrické náboje tvori dvojicu síl. Pre moment pôsobicej dvojice síl pltí M = l Q = p. (12.22) Dvojic síl s snží dipól ntočiť, to tk, by vektor elektrického dipólového momentu ml smer siločir elektrického poľ. Tkáto orientáci dipólu v homogénnom elektrickom poli zodpovedá stbilnej polohe. Ak je voľný, zorientuje s tk, že os dipólu l je rovnobežná so smerom. Pri pružnom upnutí s ib vychýli zo zákldnej polohy o nejký uhol, určený rovnováhou momentu sily od vonkjšieho poľ momentu väzby. Vo vhodnom elektrickom poli s kúsky ppier, vlsy lebo drobné predmety stávjú dipólmi, zorientujú s v smere siločir sú potom priťhovné k zdroju elektrického poľ (npr. nbitá sklenená tyč.) 12.9 Pohyb nbitej čstice v elektrickom poli Preskúmjme terz pohyb nbitej čstice s hmotnosťou m nábojom q v homogénnom elektrickom poli. Z prktického hľdisk sú zujímvé dv
15 lektrosttická indukci 207 prípdy pohybu čstice v pozdĺžnom priečnom elektrickom poli. mer elektrického poľ vzťhujeme vzhľdom n smer rýchlosti čstice. V prípde vstupu čstice rovnobežne s elektrickým poľom v mieste s potenciálom ϕ 1 s v dôsledku pôsobeni elektrosttickej sily náboj dostne do miest s potenciálom ϕ 2. Pri tomto presune s zvyšuje j rýchlosť dnej čstice z rýchlosti v 0 n rýchlosť v. Pre zmenu kinetickej energie čstice potom pltí: 1 2 m v2 1 2 m v2 0 = q (ϕ 2 ϕ 1 ) = q U. (12.23) Čstic s ďlej pohybuje v pôvodnom smere. Ak by v 0 = 0m/s potom rýchlosť pro prejdení potenciálového rozdielu U je: v = 2q U/m. Pri vstupe čstice kolmo n elektrické pole môžeme n záklde II. Newtonovho zákon písť pre silu pôsobicu n náboj vzťh: F = m = q, F x F y = m x = m dx2 dt = 0, = m y = m dy2 dt = q. Postupnou integráciou podľ čsu dostneme zložky rýchlosti súrdnice polohy čstice v ľubovoľnom čse t. Výsledné vzťhy sú v x = v 0, x = v 0 t, v y = q m t, y = 1 q 2 m t2. Čstic s bude pohybovť po prbolickej dráhe lektrosttická indukci lektrické vodiče sú látky, ktoré obshujú veľký počet čstíc s nábojom, ktoré s môžu v nich voľne pohybovť. Tieto čstice nzývme voľné čstice s nábojom. V kovových vodičoch (npr. meď, hliník, striebro) sú to voľné elektróny, v kvplinových vodičoch (elektrolyty, roztoky solí) sú to kldné záporné ióny. Tieto voľné čstice s vo vodičoch ustvične neusporidne pohybujú. Preto je vo vodiči, ktorý nie je nbitý nie je vo vonkjšom elektrickom poli, ich rozloženie tké, že v ľubovoľnej čsti vodič je celkový náboj nulový.
16 208 lektrosttické pole vo vákuu Zmen rozloženi voľných nosičov náboj nstne, k vložíme nenbitý vodič do elektrického poľ. Tomuto prerozdeleniu nábojov hovoríme elektrosttická indukci. Pri tomto jve s protiľhlé čsti povrchu vodič vloženého do elektrického poľ nbijú elektrickým nábojom s rovnkou veľkosťou, le opčným znmienkom. Tkto prerozdelené elektrické náboje n povrchu vodič nzývme indukovné náboje. Keď vodič vyberieme z elektrického poľ, elektrická indukci znikne. Vodič s vráti do pôvodného rovnovážneho stvu. =0 Obrázok 12.6: Vodič v elektrosttickom poli. Vo všeobecnosti môžeme povedť, že elektrické náboje s vo vodičoch prerozdeli tk, by kompenzovli účinok vonkjšieho elektrického poľ pôsobiceho n vodič. Toto prerozdelenie spôsobuje vznik indukovných nábojov n povrchu vodič, čoho výsledkom je zmen elektrického vonkjšieho poľ tvru siločir. chemticky je to znázornené n obrázku N záporne nbitej strne vodič siločiry vstupujú do vodič opäť vystupujú n kldne nbitom povrchu vodič (obr. 12.6). Intenzit elektrického poľ od indukovných nábojov má opčný smer ko intenzit vonkjšieho elektrického poľ. Po dosihnutí výsledného ustáleného stvu je intenzit elektrického poľ vo vnútri vodič nulová. Prerozdelenie elektrických nábojov vo vodičoch nie je okmžité, prebieh s veľmi krátkym čsovým intervlom ž s. Vzhľdom n to, že intenzit je vo vnútri vodič nulová, vnútro vodičov je dokonle tienené pred účinkom vonkjších sttických elektrických polí. Tento jv s využív n elektrické tienenie citlivých zridení (niektoré mercie prístroje, vstupné diely rozhlsových televíznych prijímčov pod.), le j n ochrnu pred elektrickým výbojom - Frdyov klietk. Kovová kroséri ut je tkým príkldom bezpečného útočisk pred prípdným úderom blesku. Ďlším príkldom jednoduchej ukážky Frdyovej klietky je nedostupnosť mobilného telefónu zbleného do loblu.
17 Kpcit vodič kondenzátor Kpcit vodič kondenzátor Dôležitou vlstnosťou vodič, sústvy vodičov telies je schopnosť kumulovť elektrický náboj. Táto vlstnosť má veľké prktické využitie v prvkoch elektrických obvodov zridení, ktoré voláme kondenzátory. Pri nbíjní vodičov zistíme, že rôzne telesá nbité rovnkým nábojom mjú rôzny potenciál. Tento potenciál závisí od veľkosti tvru teles, vzdilenosti od osttných telies ko i prostredi, v ktorom sú uložené. Potenciál kždého teles je v bežných prostredich primoúmerný náboju ϕ = C Q. Konštntu úmernosti C, ktorá chrkterizuje schopnosť hromdiť istý elektrický náboj, nzývme kpcit. Kpcitu vodič možno definovť vzťhom C = Q ϕ. (12.24) Jednotkou kpcity v sústve I je frd (F). Jeden frd je kpcit vodič, ktorý s nábojom 1C nbije n potenciál 1V. V technickej prxi s kpcit meri v menších jednotkách. ú to 1µF = 10 6 F, 1nF = 10 9 F, 1pF = F. Kpcit osmotených vodičov je veľmi mlá. Npríkld guľový vodič (C = 4π ε 0 R) s polomerom 9cm vo vákuu má kpcitu len 10pF. Väčšiu kpcitu má sústv dvoch nvzájom izolovných vodičov, ktorú nzývme kondenzátor. Pokiľ mjú spomínné vodiče rovnko veľké náboje opčných znmienok, hovoríme, že kondenzátor je nbitý. vzťhu C = Q U = Jeho kpcitu určíme zo Q ϕ 1 ϕ 2, (12.25) kde U je npätie medzi vodičmi s potenciálmi ϕ 1 ϕ 2. V zásde rozlišujeme tri druhy kondenzátorov: doskový, guľový vlcový, pričom kždý z nich má svoje modifikácie Kpcit doskového kondenzátor Jednoduchým kondenzátorom je doskový kondenzátor, ktorý je znázornený n obrázku 12.4(b). Tvori ho dve rovinné kovové pltne s plochou vzdilené o d. Predpokldjme, že n doskách kondenzátor je náboj Q rovnomerne rozložený po povrchu dosiek s plošnou hustotou σ = Q/. lektrické pole medzi doskmi môžeme povžovť z homogénne s intenzitou
18 210 lektrosttické pole vo vákuu = σ/ε 0 (12.11) nehomogenity n okrjoch dosiek znedbávme. Zo vzťhu pre potenciálový rozdiel (12.19) v prípde homogénneho poľ s dá npätie medzi doskmi vyjdriť ko U = rb r A d r = rb r A dr = d = Qd ε 0. (12.26) Po dosdení do (12.25) s kpcit doskového kondenzátor rovná C = ε 0 d. (12.27) lektrická kpcit doskového kondenzátor je primoúmerná plošnému obshu dosiek neprimoúmerná vzájomnej vzdilenosti dosiek. Z vykonného postupu určeni kpcity doskového kondenzátor s dá formulovť návod, ko určiť elektrickú kpcitu iného usporidni vodičov. Njprv stnovíme rozloženie elektrického náboj. Vypočítme intenzitu elektrického poľ, npr. pomocou Gussovej vety (12.8). Vyjdríme npätie pomocou vzťhu (12.19). Zo známeho npäti náboj vypočítme kpcity podľ vzťhu (12.25) pájnie kondenzátorov Väčšin kondenzátorov má hodnoty kpcít stále. Poždovné hodnoty kpcít doshujeme rôznym spájním kondenzátorov. Njjednoduchšie prípdy spojeni sú prlelné (spojenie vedľ seb) sériové zpojenie (spojenie z sebou). Pri sériovom zpojení dvoch kondenzátorov s kpcitmi C 1 C 2 (obr. 12.7()) mjú náboje n obidvoch kondenzátoroch rovnkú veľkosť Q = C 1 U 1 Q = C 2 U 2, kde U 1 U 2 sú npäti medzi pltňmi kondenzátorov. Z obrázku 12.7() vyplýv, že pri sériovom zpojení kondenzátorov je celkové npätie U = U 1 + U 2. Zo vzťhu pre kpcitu (12.25) po nsledujúcej úprve dostneme pre výslednú kpcitu dvoch kondenzátorov zpojených sériovo vzťh 1 C = 1 C C 2. (12.28)
19 nergi elektrosttického poľ 211 Pri prlelnom zpojení dvoch kondenzátorov s kpcitmi C 1 C 2 (obr. 12.7(b)) vzniká vlstne kondenzátor s väčšou účinnou plochou pltní, čiže s väčšou kpcitou. Npätie U medzi pltňmi oboch kondenzátoroch je síce rovnké, le náboje n nich sú rôzne Q 1 = C 1 U Q 2 = C 2 U. Celkový náboj n sústve dvoch kondenzátorov je Q = Q 1 + Q 2 zo vzťhu Q = C U je zrejmé, že výsledná kpcit dvoch kondenzátorov zpojených prlelne je C = C 1 + C 2. (12.29) C1 +Q -Q U1 C2 +Q -Q U2 () C1 Q1 Q2 U U C2 (b) Obrázok 12.7: ériové () prlelné (b) zpojenie kondenzátorov. V prípde zpojeni vicerých kondenzátorov sériovo lebo prlelne plti obdobné vzťhy ko ( ) s dným počtom kondenzátorov 1 n C = 1, C = C i i=1 n C i. (12.30) i= nergi elektrosttického poľ N vytvorenie sústvy dvoch lebo vicerých nábojov musíme vykonť prácu spojenú s prekonním odpudivých či príťžlivých síl pôsobicich medzi nimi. Pod energiou dnej sústvy budeme potom rozumieť veľkosť práce, ktorú sme spotrebovli n jej vytvorenie. Vytvorme n zčitok sústvu dvoch bodových nábojov. Prác, ktorú musíme vykonť je rovná práci (12.12) potrebnej n premiestnenie jedného bodového náboj Q 2 z nekonečn k náboju Q 1 do vzdilenosti r 12, ktorá je medzi týmito nábojmi. Táto prác zodpovedá potenciálnej energii dných bodových nábojov definovnej podľ vzťhu (12.15). Pre potenciál elektrického poľ ϕ 1 prvého náboj v poli druhého pre potenciál ϕ 2 druhého náboj v poli prvého náboj môžeme n záklde vzťhu (12.16) písť: ϕ 1 = 1 4π ε 0 Q 2 r 12, ϕ 2 = 1 4π ε 0 Q 1 r 21.
20 212 lektrosttické pole vo vákuu Výsledná energi dvoch nábojov je potom dná vzťhom = 1 2 (Q 1 ϕ 1 + Q 2 ϕ 2 ). (12.31) Pre sústvu n bodových nábojov by sme postupným pridávním nábojov dostli vzťh = 1 Q i ϕ i, (12.32) 2 i kde symbolom ϕ i sme oznčili potenciál elektrického poľ vytvoreného osttnými elektrickými nábojmi sústvy v bode, v ktorom s nchádz náboj Q i. nergi kondenzátor Pri výpočte energie nbitého kondenzátor postupujeme rovnkým spôsobom ko v predošlom prípde. Mjme kondenzátor kpcity C, n ktorom je náboj Q, ted npätie medzi doskmi kondenzátor je U = Q/C. N to, by sme zväčšili náboj kondenzátor o hodnotu dq (z kldnej dosky prenesieme tento náboj n zápornú dosku), musíme vykonť elementárnu prácu dw = U dq. Aby sme nbili nenbitý kondenzátor n hodnotu Q, musíme vykonť prácu W = 1 C Q ktorá je rovná energii nbitého kondenzátor 0 q dq = 1 Q 2 2 C, (12.33) = 1 2 QU = 1 2 C U2. (12.34)
ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Διαβάστε περισσότεραPríklady a úlohy z krivkových integrálov
Príkldy úlohy z krivkových integrálov Riešené príkldy Príkld Vypočítjme krivkový integrál prvého druhu ds, pričom y = {(, y) R : ; y = e + e }. Riešenie. rivk s dá prmetrizovť npr. nsledujúcim spôsobom
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότερα22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte
Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραViliam Laurinc, Oľga Holá, Vladimír Lukeš, Soňa Halusková
FYZIKA II Viliam Laurinc, Oľga Holá, Vladimír Lukeš, Soňa Halusková SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE PREDSLOV Skriptá sú určené študentom všetkých
Διαβάστε περισσότερα13 Elektrostatické javy v dielektrikách
213 13 lektrostatické javy v dielektrikách 13.1 Polarizácia dielektrika lektricky nevodivá látka, izolant alebo dielektrikum, obsahuje nosiče náboja podobne ako vodič. No vo vodiči sú nosiče náboja pohyblivé,
Διαβάστε περισσότεραFYZIKA II ZBIERKA PRÍKLADOV A ÚLOH. Oľga Holá a kolektív
FYZIKA II ZBIEKA PÍKLADOV A ÚLOH Oľga Holá a kolektív SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVEZITA V BATISLAVE FYZIKA II - ZBIEKA PÍKLADOV A ÚLOH Autorský kolektív: Doc. NDr. Oľga Holá, PhD. - vedúca autorského kolektívu
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότεραPredmet fyzika. Úloha fyziky na vysokých školách technického zamerania
Predmet fzik. Pojem fzik ( z gréckeho slov fsis prírod) oznčovl pôvodne náuku, ktorá s zoberl štúdiom živej neživej prírod. Postupne, ko nrstlo množstvo pozntkov o prírode, s oblsť fzikálneho skúmni zužovl.
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραElektromagnetické pole
Elektromagnetické pole Elektromagnetická vlna. Maxwellove rovnice v integrálnom tvare a diferenciálnom tvare. Vlnové rovnice pre E a. Vjadrenie rýchlosti elektromagnetickej vln. Vlastnosti a znázornenie
Διαβάστε περισσότεραPDF created with pdffactory Pro trial version ZOBRAZOVANIE LOMOM. ŠOŠOVKY AKO ZOBRAZOVACIE SÚSTAVY alebo O spojkách a rozptylkách
PedDr. Joze Beňušk jbenusk@nextr.sk ZBRAZVANIE LMM ŠŠVKY AK ZBRAZVACIE SÚSTAVY lebo spojkách rozptlkách ptická sústv -je sústv optických prostredí ich rozhrní, ktorá mení smer chodu svetelných lúčov. Šošovk
Διαβάστε περισσότεραVšeobecná teória stability
Všeobecná teór stblty Defníc stblty podľ Ljpunov V teór nelneárnych sústv s dnes tkmer vždy použív defníc stblty podľ Ljpunov. Estuje zásdný rozdel medz stbltou lneárnej sústvy medz stbltou podľ Ljpunov,
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραVYBRANÉ KAPITOLY Z ELEKTROTECHNIKY A ELEKTRONIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEKTROTECHNIKY A ELEKTRONIKY Fakulta výrobných technológií so sídlom v Prešove doc. Ing. Alexander
Διαβάστε περισσότερα2 Základy vektorového počtu
21 2 Základy vektorového počtu Fyzikálne veličíny sa dajú rozdeliť do dvoch skupín. Prvú skupinu fyzikálnych veličín tvoria tie, pre ktorých jednoznačné určenie postačí poznať veľkosť danej fyzikálnej
Διαβάστε περισσότεραURČENIE MOMENTU ZOTRVAČNOSTI FYZIKÁLNEHO KYVADLA
54 URČENE MOMENTU ZOTRVAČNOST FYZKÁLNEHO KYVADLA Teoretický úvod: Fyzikálnym kyvadlom rozumieme teleso (napr. dosku, tyč), ktoré vykonáva periodický kmitavý pohyb okolo osi, ktorá neprechádza ťažiskom.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŠTRBINOVÉ ANTÉNY Štrbina ako magnetický dipól
5.PLOŠNÉ ANTÉNY N rozdiel od predchádzjúcich typov ntén, kde n ich nlýzu väčšinou možno použiť riešenie nehomogénnej vlnovej rovnice so zdrojmi elektromgnetického poľ vo forme prúdového rozloženi vo vodivých
Διαβάστε περισσότεραv d v. t Obrázok 14.1: Pohyb nabitých častíc vo vodiči.
219 14 Elektrický prúd V predchádzajúcej kapitole Elektrické pole sme preberali elektrostatické polia nábojov, ktoré boli v pokoji. V tejto kapitole sa budeme zaoberať pohybom elektrických nábojov, ktorý
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GEOMETRIA V
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GEOMETRIA V Kužeľosečk kvdrtické ploch Ondrej Šedivý Dušn Vllo Vdné v Nitre 0 Fkultou prírodných vied Univerzit Konštntín Filozof v Nitre
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch hranolov
M-Te-01-T List 1 Objem povrch hrnolov RNDr. Mrián Mcko U: ko by si chrkterizovl n-boký hrnol? Ž: Je to teleso, ktoré má dve význčné steny, ktorými sú zhodné n-uholníky. Leži v nvzájom rovnobežných rovinách.
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα1. ZAKLADY VYŠŠEJ GEODÉZIE
1. ZAKLADY VYŠŠEJ GEODÉZIE Geodézi je náuk o merní Zeme lebo jej čstí o merní n zemi. (Modernejši verzi tej istej myšlienky by mohl znieť: geodézi je vedná disciplín o poznávní priestoru čsu v oblsti plnéty
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραVektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
Διαβάστε περισσότερα6 Gravitačné pole. 6.1 Keplerove zákony
89 6 Gravitačné pole Pojem pole patrí k najzákladnejším pojmom fyziky. Predstavuje formu interakcie (tzv. silového pôsobenia) v prostredí medzi materiálnymi objektmi ako sú častice, atómy, molekuly a zložitejšie
Διαβάστε περισσότερα4 Dynamika hmotného bodu
61 4 Dynamika hmotného bodu V predchádzajúcej kapitole - kinematike hmotného bodu sme sa zaoberali pohybom a pokojom telies, čiže formou pohybu. Neriešili sme príčiny vzniku pohybu hmotného bodu. A práve
Διαβάστε περισσότερα6. Magnetické pole. 6.1 Magnetická indukcia
6 Magnetické pole Podivné chovanie niektorých látok si ľudia všimli už v staroveku Podľa niektorých prameňov sa orientácia magnetky na navigáciu využívala v Číne už pred 3000 rokmi a prvé dokumentované
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH MATEMATIKA II. Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH S T R O J N Í C K A F A K U L T A MATEMATIKA II Dušn Knežo, Mirim Andrejiová, Zuzn Kimáková RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. RNDr. Ján Buš, CSc. c doc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραTestové úlohy z fyziky
Testové úlohy z fyziky 2010 Obsah: Kinematika... 3 Dynamika... 9 Mechanická energia... 14 Tuhé teleso... 18 Gravitačné a elektrické pole (veľmi stručne)... 24 Elektrický prúd v kovoch... 31 Elektrický
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMatematika NPS. Výraz. je pre všetky xy, R splňujúce podmienky. xy 0 rovný: (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) (E) Také čísla neexistujú.
Mtemtik NPS. n + n ( ) Postupnosť = =, n+ = =, n+ n = n je zhodná s postupnosťou:. Výrz + y y =, n+ = =, n+ = n +. n+ =, = n n Dávid hrá kždý všedný deň futbl v sobotu i v nedeľu chodí do posilňovne. Dnes
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραTémy prednášok ADSORPCIA IÓNOVÁ VÝMENA MEMBRÁNOVÉ SEPARÁCIE KRYŠTALIZÁCIA ÚPRAVA VZDUCHU A SUŠENIE
Témy prednášok DSORPCI Fyzikálny princíp, opis rovnováhy pri dsorpcii, vlstnosti dsorbentov, priemyselné procesy využívjúce dsorpciu, priemyselné zrideni, výpočet návrh dsorbérov IÓNOVÁ VÝMEN Fyzikálny
Διαβάστε περισσότερα5. Rovnice, nerovnice a ich sústavy
. Rovnice, nerovnice ich sústvy Rovnic istý druh výrokovej formy rozumieme pod ňou vzťh: f() = g(), riešiť rovnicu znmená určiť pre ktoré s z rovnice stáv prvdivá rovnosť ted prvdivý výrok. Koreň číselná
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότερα15 Magnetické pole Magnetické pole
232 15 Magnetické pole Magnetické vlastnosti niektorých látok si ľudia všimli už v staroveku, čo vieme z rôznych historických dokumentov a prác. V Číne už pred 3000 rokmi používali orientáciu magnetky
Διαβάστε περισσότερα1. VZNIK ELEKTRICKÉHO PRÚDU
ELEKTRICKÝ PRÚD 1. VZNIK ELEKTRICKÉHO PRÚDU ELEKTRICKÝ PRÚD - Je usporiadaný pohyb voľných častíc s elektrickým nábojom. Podmienkou vzniku elektrického prúdu v látke je: prítomnosť voľných častíc s elektrickým
Διαβάστε περισσότεραZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 4.ROČNÍK
Kód ITMS projektu: 26110130519 Gymnázium Pavla Jozefa Šafárika moderná škola tretieho tisícročia ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 4.ROČNÍK (zbierka úloh) Vzdelávacia oblasť: Predmet: Ročník: Vypracoval: Človek
Διαβάστε περισσότεραŠtátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
Štátny pedgogický ústv Pluhová 8 830 00 Brtislv CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY Brtislv 008 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené vo väčšine kpitol n čsti Obsh
Διαβάστε περισσότερα6. Mocniny a odmocniny
6 Moci odoci Číslo zýve oceec (leo zákld oci), s zýv ociteľ (leo epoet) Číslo s zýv -tá oci čísl Moci s piodzeý epoeto pe ľuovoľé eále číslo pe kždé piodzeé číslo je v ožie eálch čísel defiová -tá oci
Διαβάστε περισσότερα4. Hydromechanika. , kde r j je jednotkový vektor v smere osi y.
Hydomechnik ákldné pojmy: ideáln kvplin, tlk, zákldná ovnic hydosttiky, hydosttický tlk, Achimedov zákon, Psclov zákon, púdenie ideálnej kvpliny, ovnic kontinuity, hmotnostný objemový tok, Benoulliho ovnic,
Διαβάστε περισσότεραSTATIKA STAVEBNÝCH KONŠTRUKCIÍ I Doc. Ing. Daniela Kuchárová, PhD. Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov
Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov zaťaženia Prostý nosník Konzola 31 Príklad č.14.1 Vypočítajte a vykreslite priebehy vnútorných síl na nosníku s previslými koncami,
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραKlasifikácia látok LÁTKY. Zmesi. Chemické látky. rovnorodé (homogénne) rôznorodé (heterogénne)
Zopakujme si : Klasifikácia látok LÁTKY Chemické látky Zmesi chemické prvky chemické zlúčeniny rovnorodé (homogénne) rôznorodé (heterogénne) Chemicky čistá látka prvok Chemická látka, zložená z atómov,
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραElektrický prúd v kovoch
Elektrický prúd v kovoch 1. Aký náboj prejde prierezom vodiča za 2 h, ak ním tečie stály prúd 20 ma? [144 C] 2. Prierezom vodorovného vodiča prejde za 1 s usmerneným pohybom 1 000 elektrónov smerom doľava.
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B
. písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 009 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené n čsti Obsh Požidvky n vedomosti zručnosti. Tet
Διαβάστε περισσότερα( V.m -1 ) ( V) ( V) (0,045 J)
1. Aká je intenzita elektrického poľa v bode, ktorý leží uprostred medzi ďvoma nábojmi Q 1 = 50 µc a Q 2 = 70 µc, ktoré sú od seba vzdialené r = 20 cm? Náboje sú v petroleji /ε = 2 ε 0 /. (9.10 6 V.m -1
Διαβάστε περισσότεραDOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2
Mechanizmy s konštantným prevodom DOMÁCE ZADANIE - PRÍKLAD č. Príklad.: Na obrázku. je zobrazená schéma prevodového mechanizmu tvoreného čelnými a kužeľovými ozubenými kolesami. Určte prevod p a uhlovú
Διαβάστε περισσότεραKapitola K2 Plochy 1
Kapitola K2 Plochy 1 Plocha je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým pohybom čiary u, ktorá nie je dráhou tohto pohybu, pričom tvar čiary u sa počas pohybu môže meniť. Čiara u sa nazýva tvoriaca
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραElektrický prúd v kovoch
Vznik jednosmerného prúdu: Elektrický prúd v kovoch. Usporiadaný pohyb voľných častíc s elektrickým nábojom sa nazýva elektrický prúd. Podmienkou vzniku elektrického prúdu v látke je prítomnosť voľných
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότερα, kde pre prípad obruč M + I/R 2 = 2 M.
55 ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 3/4 iešenie úloh domáceho kola kategórie A (ďalšie inormácie na http://ounizask a wwwolympiadysk) Kyvadlo vo valci iešenie: a) Ide o sústavu dvoch spojených
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραŠtátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY ÚROVEŇ B
Štátny pedgogický ústv, Pluhová 8, 830 00 Brtislv CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY ÚROVEŇ B Brtislv 004 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené vo väčšine kpitol
Διαβάστε περισσότεραu R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
Διαβάστε περισσότεραRočník: Priezvisko: Katedra chemickej fyziky. Krúžok: Meno: Dátum cvičenia: Dvojica: Známka:
Kter heikej fyziky Dátu vičeni: Ročník: Krúžok: Dvoji: Priezvisko: Meno: Úloh č. MERAIE ZÁKLADÝCH MECHAICKÝCH ELIČÍ DĹŽKY, HMOTOSTI A OBJEMU Znák: Teóri Tuľk ýpočet Zokrúhľovnie Záver Mernie. Úlohy: Určiť
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότερα3 Kinematika hmotného bodu
29 3 Kinematika hmotného bodu Pohyb vo všeobecnosti zahŕňa všetky zmeny a procesy, ktoré prebiehajú vo vesmíre. Je neoddeliteľnou vlastnosťou hmoty. Časť fyziky, ktorá sa zaoberá popisom pohybu telies,
Διαβάστε περισσότεραLimity okolo nás. T (konečná) = 0, U (konečná) = mgr, max. max
Obsh Obsh Úvod 6 Limit okolo ás 7 Limit fukcie Limit rcioálch fukcií Limit ircioálch fukcií 8 5 Limit goiometrických cklometrických fukcií 5 6 Limit epoeciálch logritmických fukcií 7 Limit hperbolických
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE ZÁKLADNÝCH TYPOV KONŠTRUKCIÍ SILOVOU METÓDOU
Oojstrnne votknutý nosník RIEŠENIE ZÁKLADNÝCH TYPOV KONŠTRUKCIÍ SILOVOU METÓDOU Oojstrnne votknutý nosník je primy prút stáleho leo premenného prierezu, dokonle votknutý n svojich koncoch. Premennosť prierezu
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραdoc. Ing. František Palčák, PhD., Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, Strojnícka fakulta STU v Bratislave,
-550 Technická mechanika I 9. rednáška Kinematika bodu, translačný, rotačný a všeobecný pohyb telesa Ciele v kinematike. remiestňovanie súradnicovej sústavy po priestorovej krivke. riamočiary pohyb bodu.
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότερα16 Elektromagnetická indukcia
251 16 Elektromagnetická indukcia Michal Faraday 1 v roku 1831 svojimi experimentmi objavil elektromagnetickú indukciu. Cieľom týchto experimentov bolo nájsť súvislosti medzi elektrickými a magnetickými
Διαβάστε περισσότερα