7.2 ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (Monotone Regression)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7.2 ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (Monotone Regression)"

Πολωνα Καλάρης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 7. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (Mooto Rgrsso) Συχνά, παρουσιάζονται περιπτώσεις όπου η παλινδρόμηση μίας μεταβλητής Y πάνω σε μία άλλη μεταβλητή Χ δεν είναι εύλογο να υποτεθεί ότι είναι γραμμική, αλλά ενδέχεται να είναι εύλογο να υποτεθεί ότι η Ε(Y X) αυξάνει (τουλάχιστον δεν ελαττώνει) καθώς η Χ αυξάνει. Σε μία τέτοια περίπτωση, θα λέμε ότι η παλινδρόμηση είναι μονότονα αύξουσα (mootocally crasg). Αντίστοιχα, αν η Ε(Y X) ελαττώνει (τουλάχιστον δεν αυξάνει) καθώς η Χ αυξάνει, θα λέμε ότι η παλινδρόμηση είναι μονότονα φθίνουσα (mootocally dcrasg). Οι περιπτώσεις αυτές, όπου μία ευθεία παλινδρόμησης δεν είναι η καλύτερη μορφή παλινδρόμησης για την έκφραση των δεδομένων ενός προβλήματος, είναι συνήθως εκείνες στις οποίες τα κατάλοιπα δεν φαίνονται να κατανέμονται με τυχαίο τρόπο (δεν έχουν ένα τυχαίο άπλωμα). Είναι, δηλαδή, οι περιπτώσεις εκείνες στις οποίες τα κατάλοιπα είναι σειριακά συσχετισμένα (srally corrlatd). Η σειριακή συσχέτιση που ενδέχεται να υπάρχει μεταξύ των καταλοίπων μιας εκτιμηθείσας ευθείας παλινδρόμησης μετριέται συνήθως με τον λεγόμενο σειριακό συντελεστή συσχέτισης (sral corrlato coffct) που ορίζεται ως εξής: Έστω,,...,, όπου Y αˆ βˆ X,,,..., η ακολουθία των καταλοίπων μιας εκτιμηθείσας ευθείας παλινδρόμησης. Ορίζουμε, ως συντελεστή σειριακής συσχέτισης (sral corrlato coffct) της ακολουθίας των τυχαίων μεταβλητών,,..., και συμβολίζουμε με R, τον κατά Parso συντελεστή συσχέτισης των μεταβλητών και +. Δηλαδή, R r,, ή, ισοδύναμα, +

2 / / R + Μεγάλες τιμές του συντελεστή R αποτελούν ένδειξη ότι το εκτιμηθέν μοντέλο δεν είναι, ενδεχομένως, το καλύτερο που θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε. Στην περίπτωση αυτή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική της μονότονης παλινδρόμησης. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί τεχνικές γραμμικής παλινδρόμησης τις οποίες εφαρμόζει στις τάξεις μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι στις παρατηρήσεις αυτές καθεαυτές. Η λογική της τεχνικής της μονότονης παλινδρόμησης βασίζεται στο γεγονός ότι, αν δύο μεταβλητές έχουν μία μονότονη σχέση, τότε οι τάξεις μεγέθους τους θα έχουν μία γραμμική σχέση. Οι τάξεις μεγέθους, δηλαδή, των μεταβλητών αποτελούν το αποτέλεσμα ενός μετασχηματισμού των αρχικών μεταβλητών, ο οποίος επιδιώκει να μετατρέψει την μονότονη συνάρτηση παλινδρόμησης σε μία γραμμική συνάρτηση παλινδρόμησης. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τυχαίο δείγμα (X, Y ), (X, Y ),..., (X, Y ) από κάποια διμεταβλητή κατανομή. Για να προβλέψουμε μία τιμή της μεταβλητής Y όταν Xx με βάση την μονότονη σχέση των μεταβλητών Χ και Y, ακολουθούμε την εξής διαδικασία:. Προσδιορίζουμε τις τάξεις μεγέθους R(X ) των τιμών Χ,,,..., και R(Y ) των τιμών Y,,,...,. (Χρησιμοποιούμε τους μέσους των τάξεων μεγέθους των παρατηρήσεων που οι τιμές

3 τους ταυτίζονται στην θέση των τάξεων μεγέθους που αυτές θα είχαν αν οι τιμές τους ήταν διαφορετικές).. Προσαρμόζουμε μία ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης των μεταβλητών R(Y ) πάνω στις μεταβλητές R(X ),,,..., : βˆ R(X )R(Y ) ( + ) [ R(X )] ( + ) / / α ˆ ( β)( ˆ + )/. (Οι παραπάνω τύποι είναι οι απλοποιημένες μορφές των σχετικών τύπων για τους συντελεστές ελαχίστων τετραγώνων, όταν χρησιμοποιούνται οι τάξεις μεγέθους των παρατηρήσεων στην θέση των παρατηρήσεων). Επομένως, η εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης μεταξύ των τάξεων μεγέθους των μεταβλητών Y και των τάξεων μεγέθους των μεταβλητών X,,,..., είναι η Rˆ (Y ) αˆ + βr(x ˆ ).. Η τάξη μεγέθους της τιμής x προσδιορίζεται ως εξής: () R(X ), R(X ), R(x ) x X R(X ) + X X () R(X ), [ R(X ) R(X )], αν x αν x αν X αν x X X, < x () X για κάποιο < X (). για κάποια,

4 Δηλαδή, ως τάξη μεγέθους της τιμής x, θεωρούμε την τιμή, δηλαδή, την τάξη μεγέθους της μικρότερης παρατήρησης, αν η τιμή x είναι μικρότερη ή ίση από αυτήν. Αν η x ταυτίζεται με κάποια από τις παρατηρήσεις του δείγματος των Χ, τότε ως τάξη μεγέθους της τιμής x θεωρούμε την τάξη μεγέθους της συγκεκριμένης παρατήρησης. Αν η x βρίσκεται μεταξύ δύο διαδοχικών τιμών του δείγματος των Χ, η τάξη μεγέθους της υπολογίζεται με την μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής. Τέλος, αν η τιμή x είναι ίση ή μεγαλύτερη από την μεγαλύτερη τιμή του δείγματος των παρατηρήσεων πάνω στη μεταβλητή Χ, τότε ως τάξη μεγέθους της x, ορίζεται η τιμή, δηλαδή, η τάξη της μέγιστης παρατήρησης.. Αντικαθιστούμε την τιμή R(x ) στην παραπάνω εκτιμηθείσα ευθεία παλινδρόμησης μεταξύ των τάξεων μεγέθους των παρατηρήσεων και παίρνουμε μία εκτίμηση της τάξης μεγέθους R(y ) της τιμής E(Y Xx ): R(y ) a + br(x ), όπου a και b συμβολίζουν τις εκτιμήσεις στις οποίες οδηγούν οι εκτιμήτριες αˆ και βˆ αντίστοιχα για το συγκεκριμένο δείγμα.. Μετατρέπουμε την τάξη μεγέθους R(y ) σε μία εκτίμηση ˆ Εˆ (Y Xx ) της τιμής E(Y Xx ) ως εξής: y () Y, αν R(y ) m{r(y,,,..., } Y, αν R(y ) R(Y), για κάποιο Ε(Y ˆ X x) R(y ) R(Y ) Y + (Y Y), αν R(y) < R(y ) < R(y) για κάποια, R(y) R(Y ) () Y, ανr(y ) maxr(y), {,,..., }

5 Δηλαδή, αν η τάξη μεγέθους R(y ) είναι μικρότερη ή ίση από την ελάχιστη παρατηρηθείσα τάξη μεγέθους των Y τιμών, τότε η Ê (Y Xx ) ορίζεται ίση με την μικρότερη παρατηρηθείσα Y τιμή. Αντίστοιχα, αν η τάξη μεγέθους R(y ) είναι μεγαλύτερη ή ίση από την μέγιστη παρατηρηθείσα τάξη μεγέθους των Y τιμών, τότε η Ê (Y Xx ) ορίζεται ίση με την μέγιστη παρατηρηθείσα Y τιμή. Αν η τάξη μεγέθους R(y ) ισούται με την τάξη μεγέθους μιας από τις παρατηρήσεις Y,,,...,, τότε η εκτίμηση Ê(Y Xx ) ορίζεται ίση με την τιμή της παρατήρησης αυτής. Τέλος, αν η τάξη μεγέθους R(y ) βρίσκεται μεταξύ των τάξεων μεγέθους δύο γειτονικών τιμών της μεταβλητής Y, τότε η εκτίμηση Ê(Y Xx ) υπολογίζεται με την μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής. Παράδειγμα 7..: Δεκαπέντε άτομα εκπαιδεύθηκαν για διαφορετικές χρονικές περιόδους (Χ) σε ώρες πάνω στον χειρισμό μιας μηχανής. Μετά την συμπλήρωση της περιόδου εκπαίδευσης, τα άτομα αυτά εξετάσθηκαν και αξιολογήθηκαν με βάση τον χρόνο (Y) σε λεπτά που χρειάσθηκαν για να ολοκληρώσουν την ίδια εργασία με τον χειρισμό της μηχανής. Τα αποτελέσματα συνοψίζονται στον πίνακα που ακολουθεί. X : Y : Να εκτιμήσετε τον μέσο χρόνο που θα απαιτηθεί για τον χειρισμό της μηχανής από ένα άτομο που εκπαιδεύθηκε για ένα διάστημα ωρών. Λύση: Από την μορφή των δεδομένων, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι μεταβλητές Χ και Y έχουν μία μόνοτονη σχέση, χωρίς απαραίτητα να θεωρήσουμε ότι η σχέση αυτή είναι γραμμική. Τα δεδομένα είναι

6 ήδη διατεταγμένα κατά αύξουσα σειρά μεγέθους των τιμών της μεταβλητής Χ. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι τάξεις μεγέθους των ζευγών (X, Y ),,,...,. X Y R(X ) R(Y ) Με βάση τα στοιχεία του πίνακα αυτού, υπολογίζουμε τις τιμές a και b των εκτιμητριών αˆ και βˆ : a.6, b.9. Επομένως, η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων που εκτιμά την γραμμική σχέση μεταξύ των τάξεων μεγέθους των μεταβλητών Χ και Y είναι η 6

7 Rˆ (y ).6.9R(x ). Για την εκτίμηση της τιμής y E(Y X), ακολουθούμε τα βήματα που περιγράψαμε παραπάνω θέτοντας x : Προφανώς, Χ < x < Χ. Επομένως, R(x ). και, από την εκτιμηθείσα εξίσωση παλινδρόμησης, έχουμε ότι R(y ).6 (.9)(.).. Δηλαδή, R(6.6) < R(y ). < R(7). Επομένως, η εκτίμηση της τιμής y E(Y X) είναι η ˆ y E(Y ˆ X ) (7 6.6) 6.. 7

Σχετικά έγγραφα

7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ

7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ Για να προσδιορισθεί η καμπύλη παλινδρόμησης, η οποία αποτελείται από όλα τα ζεύγη σημείων τα οποία μπορούν προσδιορισθούν