ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ Κωνσταντίνου Η. Φίλιου Επιλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Οκτώριος 21

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ Κωνσταντίνου Η. Φίλιου Επιλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή:... Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π.... Λεωνίδας Τσέτσερης Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π.... Νικόλαος Ηργες Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Οκτώριος 21

4 ... Κωνσταντίνος Η. Φίλιος c 21 Εθνικό Μετσόιο Πολυτεχνείο. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Εθνικού Μετσόιου Πολυτεχνείου.

5 Περίληψη Στο παρόν κείμενο μελετάται η κρίσιμη συμπεριφορά στο πρότυπο Potts q καταστάσεων σε διδιάστατα τετραγωνικά πλέγματα με αριθμητικές προσομοιώσεις Monte Carlo. Κατά την εκπόνηση της εργασίας ξαναγράφτηκαν σε γλώσσα προγραμματισμού C οι πρωτότυποι αλγόριθμοι Metropolis [2], Heatbath([2]) και Swendsen-Wang[1] ώστε να λειτουργούν για q καταστάσεις, υπερκύους D διαστάσεων σε ελικοειδείς ή περιοδικές συνοριακές συνθήκες. Ο πλήρης πηγαίος κώδικας παρατίθεται στο παράρτημα για περαιτέρω επεξεργασία και πειραματισμό. Επίσης, οι αλγόριθμοι χρησιμοποιήθηκαν για την διενέργεια προσομοιώσεων με q = 2, 3, 4 όπου αναλυτικά προλέπεται συνεχής μετάαση φάσης και q = 5, 6, 1 όπου προλέπεται μετάαση πρώτης τάξης. Χρησιμοποιώντας κλιμάκωση πεπερασμένου μεγέθους, ανάλυση του Binder Cumulant και του Energy Cumulant έγιναν ποσοτικές εκτιμήσεις της κρίσιμης θερμοκρασίας μετάασης φάσης και ανάδειξη της τάξης της μετάασης. Οι εκτιμήσεις αυτές ρέθηκαν σε συμφωνία με τις ιλιογραφικές αναφορές. Abstract The subject of this text is the critical behaviour of the two-dimensional square q-state Potts model using Monte Carlo simulations. During preparation of this thesis, original Metropolis [2], Heatbath [2] and Swendsen-Wang [1] source code was re-written to perform in q states, D- dimensional hypercubic lattices in both helical or periodic boundary conditional. The complete source code is attached at the appendix and is available for further optimizations and experimentation. Additionaly, these algorithms were used to perform simulations for q = 2,3,4 which are analytically predicted to exhibit continuous phase transitions and for q = 5,6,1 which are expected to possess first-order phase transitions. Utilizing methods of finite size scaling and binder cumulant and energy cumulant analysis, quantitative estimations of critical temperature became possible the order of phase transition was successfully detected. These estimations appear to be in aggreement with bibliographical references and mathematical processing of the model.

6

7 Περιεχόμενα Κατάλογος Σχημάτων Κατάλογος Πινάκων ii v 1 Το μοντέλο Potts Εισαγωγή Χαμιλτονιανή Φυσικάμεγέθη,σταθερέςκαιπαράμετροςτάξης Μεταάσειςφάσης Κρίσιμοιεκθέτεςκαιπαγκοσμιότητα Κλιμάκωσηπεπερασμένουμεγέθους Μεταάσειςφάσηςσετετραγωνικάπλέγματα Παραλλαγέςκαιεπεκτάσεις Προσομοιώσεις Monte Carlo Εισαγωγή Διαδικασίες Markov Οπηγαίοςκώδικας Υπολογιστικόςορισμόςσυνοριακώνσυνθηκώνστις Dδιαστάσεις Χρήσητωνσυνοριακώνσυνθηκώνστονπηγαίοκώδικα Αλγόριθμος Heat-bath Περιγραφήαλγορίθμου Υλοποίησηαλγορίθμου Αλγόριθμος Swendsen-Wang Περιγραφήαλγορίθμου Υλοποίησηαλγορίθμου Αριθμητικοίυπολογισμοί Ανάλυσηαποτελεσμάτων Διενέργειαπροσομοιώσεων Δυοκαταστάσεις(q = 2) Επιστροφή στομοντέλο Ising Αναζήτησητουκρίσιμουσημείουμε Heat-bath Διερεύνησησφαλμάτωνστηνκρίσιμηπεριοχή Ηεπικράτησητουαλγόριθμου Swendsen-Wang Γραφήματαάθμωσης &κρίσιμοιεκθέτες Στοκρίσιμοσημείο

8 ii ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 4 Τρειςκαταστάσεις(q = 3) Εντοπισμόςτουκρίσιμουσημείου Γραφήματαάθμωσης &κρίσιμοιεκθέτες Επίτουκρίσιμουσημείου Τέσσερις καταστάσεις(q = 4) Εντοπισμόςτουκρίσιμουσημείου Γραφήματαάθμωσης &κρίσιμοιεκθέτες Επίτουκρίσιμουσημείου Πέντεκαταστάσεις(q = 5) Εντοπισμόςτουκρίσιμουσημείου Γραφήματαάθμωσης &ψευδο-κρίσιμοιεκθέτες Επίτουκρίσιμουσημείου Καμπύλεςυστέρησης Εξικαταστάσεις(q = 6) Εντοπισμόςτουκρίσιμουσημείου Γραφήματαάθμωσης &κρίσιμοιεκθέτες Επίτουκρίσιμουσημείου Καμπύλεςυστέρησης Δέκακαταστάσεις(q = 1) Ιστόγραμμαμαγνήτισης Καμπύλεςυστέρησης Αʹ Πηγαίος Κώδικας 11 Ευρετήριο 119 Βιλιογραφία 121

9 Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Παραδείγματαδιδιάστατωνπλεγμάτων Παραδείγματα qκαταστάσεωνσε q 1διαστάσεις Μαγνήτισηγια q = 2με Heatbath, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 2με Heatbath, sweeps Binder Cumulantγια q = 2με Heatbath, sweeps Energy Cumulantγια q = 2με Heatbath, sweeps Ειδικήθερμότηταγια q = 2με Heatbath, sweeps Μαγν.επιδεκτικότηταγια q = 2με Heatbath, sweeps Περιοχή(Ι),Ιστόγρ.ενέργειαςγια q = 2, =.7, Heatbath, sweeps Περιοχή(Ι),Ιστόγρ.μαγνήτισηςγια q = 2, =.7, Heatbath, sweeps Περιοχή(Ι),Ολοκληρ.χρόνοςαυτοσυσχέτισηςγια q = 2, =.7, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙΙ),Ιστόγρ.ενέργειαςγια q = 2, = 1.1, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙΙ),Ιστόγρ.μαγνήτισηςγια q = 2, = 1.1, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙΙ),Ολοκληρ.χρόνοςαυτοσυσχέτισηςγια q = 2, = 1.1, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙ),Ιστόγρ.ενέργειαςγια q = 2, =.88, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙ),Ιστόγρ.μαγνήτισηςγια q = 2, =.88, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙ),Ολ.χρόνοςαυτοσυσχέτισης, q = 2, =.88, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙ),Χρονοσειράμαγνήτισηςγια q = 2, =.88, Heatbath, sweeps, L = Μαγνήτισηγια q = 2με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 2με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 2με S-W, sweeps Μαγν.επιδεκτικότηταγια q = 2με S-W, sweeps Ειδ.θερμότηταγια q = 2με S-W, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 2με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 2με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 2με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 2με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 2με S-W, sweeps τ int για q = 2με S-Wστοκρίσιμοσημείο FSS L 1 για q = 2με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 2με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 2με S-Wστοκρίσιμοσημείο Μαγνήτισηγια q = 3με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 3με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 3με S-W, sweeps Μαγνητικήεπιδεκτικότηταγια q = 3με S-W, sweeps Ειδ.θερμότηταγια q = 3με S-W, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 3με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 3με S-W, sweeps

10 iv ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ 4.8 Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 3με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 3με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 3με S-W, sweeps τ int για q = 3με S-Wστοκρίσιμοσημείο FSS L 6/5 για q = 3με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 3με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 3με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Μαγνήτισηγια q = 4με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 4με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 4με S-W, sweeps Μαγνητικήεπιδεκτικότηταγια q = 4με S-W, sweeps Ειδικήθερμότηταγια q = 4με S-W, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 4με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 4με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 4με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 4με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 4με S-W, sweeps τ int για q = 4με S-Wστοκρίσιμοσημείο FSS L 3/2 για q = 4με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 4με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 4με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Μαγνήτισηγια q = 5με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 5με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 5με S-W, sweeps Μαγνητικήεπιδεκτικότηταγια q = 5με S-W, sweeps Ειδικήθερμότηταγια q = 5με S-W, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 5με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 5με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 5με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 5με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 5με S-W, sweeps τ int για q = 5με S-Wστοκρίσιμοσημείο FSS L 3/2 για q = 5με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 5με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 5με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 32με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 32με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 32με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 768με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 768με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 768με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 768με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 124με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 124με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 124με S-Wστα4 sweeps Μαγνήτισηγια q = 6με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 6με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 6με S-W, sweeps Μαγνητικήεπιδεκτικότηταγια q = 6με S-W, sweeps Ειδικήθερμότηταγια q = 6με S-W, sweeps

11 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ v 7.6 Ενέργειαανάδεσμόγια q = 6με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 6με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 6με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 6με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 6με S-W, sweeps Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 6με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 6με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps FSS L 3/2 για q = 6με S-Wστοκρίσιμοσημείο Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 192με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 192με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 192με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 192με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 256με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 256με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 256με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 256με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 512με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 512με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 512με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 512με S-Wστα8 sweeps Ιστόγραμμαμαγνήτισης, q = 1με S-W, = , L = 64, sweeps Ιστόγραμμαενέργειας, q = 1με S-W, = , L = 64, sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 96με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 96με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 96με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 96με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 128με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 128με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 128με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 128με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 256με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 256με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 256με S-Wστα4 sweeps... 1

12 Κατάλογος Πινάκων 1.1 Κρίμοιεκθέτεςγιατοτετραγωνικόμοντέλο Potts Αντιπροσωπευτικέςπεριοχέςμαγνήτισηςγια Heatbath, q = Κρίσιμοιεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Κρίσιμοιεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Ακρόταταιστογραμμάτωνμαγνήτισηςγια q = Ψευδοκρίσιμασημείαγια q = Κρίσιμοιεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Ακρόταταιστογραμμάτωνμαγνήτισηςγια q = Ψευδοκρίσιμασημείαγια q = Πειραματικοίεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Ακρόταταιστογραμμάτωνγια q = Υστέρησηγια q = Ψευδοκρίσιμασημείαγια q = Κρίσιμοιεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Ακρόταταιστογραμμάτωνγια q = Υστέρησηγια q = Υστέρησηγια q =

13 Κεφάλαιο 1 Το μοντέλο Potts 1.1 Εισαγωγή Η Στατιστική Φυσική είναι εκείνος ο κλάδος της Φυσικής που εφαρμόζει την θεωρία των πιθανοτήτων προκειμένου να περιγράψει την θερμοδυναμική συμπεριφορά σωμάτων που αποτελούνται από τεράστιο πλήθος σωματιδίων συνδέοντας τις μικροσκοπικές ιδιότητες των μεμονωμένων σωματιδίων με τις μακροσκοπικές ιδιότητες του συνόλου τους. Η πλειάδα των παραμέτρων της φυσικής οντότητας που εξετάζουμε κάθε φορά οδηγεί σε αντίστοιχα μοντέλα που ενσωματώνουν σε ένα μαθηματικό πλαίσιο αυτές τις ιδιότητες και τις όποιες απαραίτητες παραδοχές. Ενα τέτοιο στατιστικό μοντέλο είναι το μοντέλο Potts. Στο μοντέλο αυτό περιγράφονται στερεά σώματα που μικροσκοπικά μπορούν να ιδωθούν ως πλέγματα σωματιδίων τα οποία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Κυρίαρχη έννοια στο μοντέλο είναι το spin κάθε σωματιδίου που καταλαμάνει μια θέση πάνω στο πλέγμα, καθώς η δυναμική συμπεριφορά που αναπαρίσταται μαθηματικά από την Χαμιλτονιανή του συστήματος διαμορφώνεται από τις μαγνητικές αλληλεπιδράσεις των spin των σωματιδίων. Η μελέτη που αποτυπώνεται στο υπόλοιπο κείμενο έχει χαρακτήρα περισσότερο διερευνητικό και δεν στοχεύει τόσο στον ποσοτικό προσδιορισμό στοιχείων ή ακριείς προλέψεις μεγεθών όσο στην ψηλάφηση των ποιοτικών χαρακτηριστικών, από τη σκοπιά του μελετητή που έρχεται πρώτη φορά σε επαφή με το μοντέλο. Αυτός είναι, άλλωστε, κι ο λόγος που η μεγαλύτερη έκταση του πονήματος αυτού έχει αφιερωθεί σε γραφήματα που απεικονίζουν τα αποτελέσματα των υπολογιστικών προσομοιώσεων που πραγματοποιήθηκαν για την Μελέτη του Πρότυπου Ποττς στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo. 1.2 Χαμιλτονιανή Ιστορικά το πρώτο και απλούστερο μοντέλο αλληλεπιδρώντων spin σε πλέγμα ήταν το Ising που ανέπτυξε ο γερμανός φυσικός Ernst Ising( ). Στο μοντέλο αυτό κάθε spin περιοριζόταν σε ένα εύρος δυο καταστάσεων(πάνω και κάτω) με Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης H I = J ij s i s j, Q = { 1,+1} (1.1) Η πιο αξιοσημείωτη προσπάθεια γενίκευσης του μοντέλου έγινε από τους Ashkin-Teller οι οποίοι επεξέτειναν το φάσμα των επιτρεπτών τιμών των spin σε 4 καταστάσεις. Η πλήρης γενίκευση του μοντέλου προτάθηκε το 1952 από τον καθηγητή Cyril Domb στον τότε διδακτορικό του φοιτητή Renfrey Potts( ). Για την ακρίεια, η αρχική διατύπωση του προτύπου προέλεπε q δυνατές τιμές spin που κατανέμονται ομοιόμορφα πάνω σε έναν κύκλο με γωνίες θ n = 2πn q

14 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΤΟΜΟΝΤ ΕΛΟ POTTS και Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης H c = J c cos(θ si θ sj ) ij i,j {1,...,q} Η εκδοχή αυτή είναι σήμερα γνωστή ως διανυσματικό μοντέλο Potts(Vector Potts Model) ήωςμοντέλοτουωρολογίου(clock model)τοοποίοστοόριο q ισοδυναμείμετο XY model. Αντικείμενο διερεύνησης του παρόντος κειμένου αποτελεί το λεγόμενο καθιερωμένο μοντέλο Potts(standard Potts model), με την απλούστερη Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης H = J ij δ(s i,s j ) (1.2) όπου s =, 1, 2,...q 1, q > 1,τα spin qκαταστάσεων,και δ(s i,s j )τοσύμολοτου Kronecker δ(s i,s j ) = { 1 s i = s j s i s j 1.3 Φυσικά μεγέθη, σταθερές και παράμετρος τάξης Τα spin που καταλαμάνουν τις N πλεγματικές θέσεις(sites) και χαρακτηρίζονται από μια εκ των q καταστάσεων, καθώς και η ενεργειακή σταθερά αλληλεπίδρασης J είναι έννοιες θεμελιώδεις για την ίδια την διατύπωση του μοντέλου. Προχωρώντας κανείς, παρόλα αυτά, στη διερεύνηση των ιδιοτήτων του μοντέλου έρχεται σε επαφή με εξίσου σημαντικά φυσικά μεγέθη, συναρτήσεις και παραμέτρους που απορρέουν από τον ορισμό. Πρωτεύουσας σημασίας για κάθε σύστημα που εξετάζεται στο πλαίσιο της στατιστικής μηχανικής είναι η συνάρτηση επιμερισμού(partition function) Z = q 1 s i= e H (1.3) Στην προηγούμενη εξίσωση, για λόγους απλούστευσης και ανεξαρτησίας από αριθμητικές λεπτομέρειες, αντί της θερμοκρασίας T, χρησιμοποιείται η αντίστροφη αδιάστατη θερμοκρασία που ορίζεται ως εξής: = 1/kT (1.4) Η, που καταχρηστικά θα αποκαλείται και θερμοκρασία χωρίς κίνδυνο σύγχυσης, μετριέται σε μονάδες αντίστροφης ενέργειας, ενώ k είναι η σταθερά του Boltzman. Στο σημείο αυτό αξίζει να ξαναγράψουμε την Χαμιλτονιανή της εξ. (1.2) του συστήματος που θεωρούμε στον ορισμό της Z για το μοντέλο μας, ώστε να περιλαμάνει και έναν όρο αλληλεπίδρασης των spin με εξωτερικό πεδίο έντασης B προκειμένου να αναδειχθούν σημαντικά μεγέθη, όπως η μαγνήτιση: H = (J +B) ij δ(s i,s j ) (1.5) Σχετικές ποσότητες που απορρέουν από την συνάρτηση επιμερισμού κατά τα ειωθότα είναι η αναμενόμενη τιμή της ενέργειας ή εσωτερική ενέργεια E = U = logz (1.6) και η ειδική θερμότητα

15 1.4. ΜΕΤΑΒΆΣΕΙΣ ΦΆΣΗΣ 3 C = k 2 2 logz 2 (1.7) Απότηγνωστήσχέσητηςειδικήςθερμότητας Cκαιτηςεντροπίας S C = S υπολογίζουμε την εντροπία, ως προς της συνάρτηση επιμερισμού Z S = k logz Ακολούθως ορίζουμε την ελεύθερη ενέργεια Helmholtz ως +klogz (1.8) F = U TS = kt logz (1.9) Ηδη είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την τελευταία κρίσιμη φυσική ποσότητα του συστήματος, την μαγνήτιση M. Καθώς η μαγνήτιση αποτελεί συζυγή μεταλητή προς την παράμετρο της έντασης του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου, δηλ. πρόκειται για το μέγεθος που μεταάλλεται ως απόκριση στο επιαλλόμενο μαγνητικό πεδίο, η μαθηματική σχέση είναι M = F B (1.1) 1.4 Μεταάσεις φάσης Μετάαση φάσης ονομάζουμε τον μετασχηματισμό ενός θερμοδυναμικού συστήματος από μια φάση ή κατάσταση σε μια άλλη. Ενα τετριμμένο παράδειγμα είναι οι γνωστές μεταάσεις των υλικών ανάμεσα στην αέρια, υγρή και στερεή τους κατάσταση. Σε ένα μαγνητικό μοντέλο όπως το σιδηρομαγνητικό μοντέλο Potts, οι δυο φάσεις που μας ενδιαφέρουν και ανάμεσα στις οποίες μετααίνει το σύστημα είναι η παραμαγνητική και η σιδηρομαγνητική. Στην παραμαγνητική του φάση ένα σύστημα είναι αυθόρμητα αμαγνήτιστο, ενώ μπορεί να αποκτήσει μη-παραμένουσα μαγνήτιση μόνο αν ρεθεί μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Αντιθέτως, στη σιδηρομαγνητική του φάση έχει μόνιμη μαγνήτιση λόγω της διάταξης των spin που το αποτελούν. Εν γένει μια μετάαση φάσης μπορεί να πραγματοποιηθεί λόγω της αλλαγής ενός κυρίαρχου εξωτερικού παράγοντα που επηρεάζει το σύστημα. Στα μαγνητικά μοντέλα δυο κυρίαρχες παράμετροι που οδηγούν σε μετάαση φάσης είναι η θερμοκρασία(temperature-driven phase transition) και το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο(field-driver phase transition), αν υπάρχει. Απαραίτητος στο πλαίσιο της συζήτησης για μεταάσεις φάσης είναι ο ορισμός ενός μεγέθους που σηματοδοτεί τη μία ή την άλλη φάση, και ονομάζεται παράμετρος τάξης(order parameter). Συνήθωςηπαράμετροςτάξηςεπιλέγεταιέτσιώστεστηνμίαφάσηναπαίρνειτηντιμήκαιστην άλλη την τιμή 1. Στο μοντέλο Potts η παράμετρος τάξης είναι η μαγνήτιση ανά πλεγματικό σημείο m = M/L d,όπου Mησυνολικήμαγνήτισητουυλικούπλέγματοςκαι L d τοπλήθοςτωνσημείων του d-διάστατου πλέγματος. Δυο είναι τα σημαντικά χαρακτηριστικά σε μια μετάαση φάσης: Το κρίσιμο σημείο Ηφύσηήτάξηςτηςμετάασης Το κρίσιμο σημείο είναι εκείνη η τιμή του κυρίαρχου μεγέθους που επηρεάζει το σύστημα (θερμοκρασίας, μαγνητικού πεδίου, κλπ) στην οποία συμαίνει η μετάαση φάσης. Στην μελέτη που ακολουθεί το μαγνητικό πεδίο απουσιάζει, συνεπώς η θερμοκρασία T κυερνά τις μεταάσεις. Η τάξη της μετάασης περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο μεταάλλεται η παράμετρος τάξης κατά τη μετάαση και οδηγεί σε έναν πρώτο ασικό διαχωρισμό των μεταάσεων:

16 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΤΟΜΟΝΤ ΕΛΟ POTTS Τις συνεχείς μεταάσεις, κατά τις οποίες η παράμετρος τάξης μεταάλλεται συνεχώς και ομαλά απότηντιμήστηντιμή1 Τις ασυνεχείς μεταάσεις ή πρώτης τάξεις, κατά τις οποίες η καμπύλη της παραμέτρου τάξης είναιασυνεχής,εμφανίζονταςένααπότομοάλμααπότηντιμήστηντιμή1 Οι μεταάσεις φάσης δεύτερης τάξης σε ένα μοντέλο Potts έχουν χαρακτηριστική συνέχεια της καμπύλης μαγνήτισης στην κρίσιμη περιοχή. Για ένα άπειρο πλέγμα του οποίου η δυναμική συμπεριφοράκυριαρχείταιαπότηνθερμοκρασία,στοκρίσιμοσημείο( c )τογράφηματηςμαγνητικής επιδεκτικότητας εμφανίζει απειρισμό και ασυνέχεια. Οι μεταάσεις φάσης πρώτης τάξης στο όριο του απείρου πλέγματος παρουσιάζουν α- συνέχεια της καμπύλης της μαγνήτισης με τη θερμοκρασία. Χαρακτηριστική είναι, άλλωστε, και η εμφάνιση λανθάνουσας θερμότητας, δηλ. της ποσότητας της ενέργειας που το σύστημα απορροφά στο κρίσιμο σημείο χωρίς να αυξάνει τη θερμοκρασία του, που συνοδεύεται από την συνύπαρξη των δυο φάσεων. 1.5 Κρίσιμοι εκθέτες και παγκοσμιότητα Οπως αναφέρθηκε και στην προηγούμενη παράγραφο, η πραγματική εικόνα ενός υλικού το οποίο θεωρούμε ότι έχει πλεγματική δομή νοείται στο όριο όπου το πλήθος των πλεγματικών σημείων που το αποτελούν τείνει στο άπειρο, ή, πρακτικά, είναι πολύ μεγάλο. Δεδομένου, όμως, ότι είναι πρακτικά αδύνατο να προσομοιωθεί ένα άπειρο σύστημα σωματιδίων, καταφεύγουμε στην μελέτη πεπερασμένων πλεγμάτων. Η επιλογή αυτή έχει, φυσικά το κόστος της: Οι απειρισμοί μεγεθών που αναμένονται στην κρίσιμη περιοχή αποκόπτονται και αντικαθίστανται από στρογγυλεμένα μέγιστα. Προς ευχάριστη έκπληξη όλων, έαια, αυτή η αλλοιωμένη εικόνα έχει κάποια συστηματικά χαρακτηριστικά που μας επιτρέπουν να δουλεύουμε σε πεπερασμένα πλέγματα και να εξάγουμε συμπεράσματα για το θερμοδυναμικό όριο όπου το πλέγμα γίνεται πρακτικά άπειρο. Τα συστηματικά αυτά χαρακτηριστικά συμπυκνώνονται στην έννοια της παγκοσμιότητας και των κρίσιμων εκθετών. Η παγκοσμιότητα(universality) είναι η παρατήρηση πως οι ιδιότητες μιας μεγάλης ομάδας φυσικών συστημάτων είναι ανεξάρτητες από τις δυναμικές λεπτομέρειες του συστήματος. Ειδικά στα θερμοδυναμικά συστήματα όπως το Potts που εμφανίζουν παγκοσμιότητα, όσο πιο κοντά εστιάζει κανείς στο κρίσιμο σημείο, τόσο λιγότερο ευαίσθητη είναι η εξάρτηση της ανωμαλίας ενός μεγέθους από τις λεπτομέρειες του συστήματος. Σε μια στενή, λοιπόν, περιοχή γύρω από την κρίσιμη θερμοκρασία, παρατηρεί κανείς ότι ένα ευρύ σύνολο συστημάτων ακολουθεί έναν νόμο της μορφής O t E όπου O η παρατηρήσιμη ποσότητα, E ο κρίσιμος εκθέτης και t η ανηγμένη θερμοκρασία t = T T c T c = c 1 (1.11) Οι κρίσιμοι εκθέτες για τα αντίστοιχα θεμελιώδη μεγέθη είναι οι εξής: ξ = t ν (1.12) χ = t γ (1.13) c = t α (1.14) m = t (1.15) Σημειωτέον ότι ξ είναι το μήκος αυτοσυσχέτισης και ότι είναι ο εκθέτης της μαγνήτισης πουέχεινόημαμόνογια T < T c (αφούγια T T c ημαγνήτισημηδενίζεται)καιδενπρέπεινα συγχέεται με την αντίστροφη θερμοκρασία.

17 1.6. ΚΛΙΜΆΚΩΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΟΥ ΜΕΓ ΕΘΟΥΣ Κλιμάκωση πεπερασμένου μεγέθους Η μέθοδος της κλιμάκωσης πεπερασμένου μεγέθους(finite size scaling) είναι ένας τρόπος εξαγωγής των κρίσιμων εκθετών παρατηρώντας πώς οι παρατηρήσιμες ποσότητες μεταάλλονται με το μέγεθος L του συστήματος. Το μήκος συσχέτισης παίζει κυρίαρχο ρόλο στη συζήτηση που αφορά στις μεταολές του μεγέθους του συστήματος. Εκφράζοντας την ποσότητα O με κρίσιμο εκθέτη E συναρτήσει του μήκους αυτοσυσχέτισης ξ μπορούμε να γράψουμε O ξ E ν Θεωρώνταςτο ξτηντιμήτουμήκουςσυσχέτισηςπουθαείχετοάπειροσύστημαστηνανηγμένη θερμοκρασία t, τότε η αποκοπή της ανωμαλίας(ή του απειρισμού) της καμπύλης του μεγέθους O πραγματοποιείταιγια ξ > L,ενώγια ξ Lοιτιμέςτου Oγιαπεπερασμένοπλέγματαυτίζονταιμε εκείνες του απείρου συστήματος. Συνοπτικά O = ξ E ν fo ( L ξ ) όπου f O (w)μιααδιάστατησυνάρτησημετιςιδιότητες f O (w) =σταθερά, w 1 f O (w) w E ν, w Προκειμένου να εξαλείψουμε το ξ από την παραπάνω εξίσωση ορίζουμε μια νέα αδιάστατη συνάρτηση h O (w) = w E f O (w ν ) απ όπουγνωρίζονταςότι ξ = t ν παίρνουμετελικά O = L E ν ho (L 1 ν t) Εξειδικεύοντας για τα συγκεκριμένα μεγέθη που μας ενδιαφέρουν μπορούμε να γράψουμε χ = L γ ν hχ (L 1 ν t) (1.16) c = L α ν hc (L 1 ν t) (1.17) m = L ν hm (L 1 ν t) (1.18) Η ιδέα της κλιμάκωσης πεπερασμένου μεγέθους είναι ότι κανείς μπορεί να χαράξει την γραφική παράσταση της εκάστοτε συνάρτησης h και μεταάλλοντας τους εκθέτες να εντοπίσει την κρίσιμη τιμή τουςγιατηνοποίαοικαμπύλεςπέφτουνημίαπάνωστηνάλλη.ημέθοδοςαυτήείναιχρήσιμηγιατί μπορεί να χρησιμοποιηθεί και αντίστροφα: Με άση την παγκοσμιότητα, αν γνωρίζουμε από κάποιο άλλο σύστημα που εμπίπτει στην ίδια κλάση με αυτό που μελετούμε τους κρίσιμους εκθέτες, τότε μπορούμε να εντοπίσουμε την κρίσιμη θερμοκρασία(μέσω του t) δίνοντάς της την τιμή για την οποία η καμπύλες συμπίπτουν. 1.7 Μεταάσεις φάσης σε τετραγωνικά πλέγματα Το μοντέλο Potts σε διδιάστατα τετραγωνικά πλέγματα έχει μελετηθεί διεξοδικά. Η ιλιογραφία είναι αρκετά πλούσια σε θεωρητικά αλλά και αριθμητικά αποτελέσματα γεγονός που καθιστά αυτό το πεδίο πρόσφορο για πειραματισμό, καθώς υπάρχουν αρκετά σημεία αναφοράς και ελέγχου. Το άρθρο του Wu του 1982[3] που συνιστά ορόσημο στην μελέτη του Potts δίνει πολλά χρήσιμα αποτελέσματα

18 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΤΟΜΟΝΤ ΕΛΟ POTTS της μαθηματικής επεξεργασίας του μοντέλου, στα οποία ασίστηκε η στρατηγική ανάπτυξης των επόμενων παραγράφων. Σύμφωναμετον Wu,για q 4ημετάασηφάσηςείναισυνεχής,ενώγια q > 4είναιπρώτης τάξης.οικρίσιμεςθερμοκρασίες c γιακάθε qσυμπυκνώνονταιστηναπλήεξίσωση c (q) = ln(1+ q) (1.19) Εξίσου απλή είναι και η σχέση υπολογισμού της ενέργειας στο κρίσιμο σημείο E(q; c ) = 1 (1+ 1 ) q 2 (1.2) Τέλος,απότον Wuέχουμεστηδιάθεσήμαςκαιτονπίνακα1.1μετουςκρίσιμουςεκθέτεςτου μήκους συσχέτισης(ν), ειδικής θερμότητας(α), μαγνήτισης() και μαγνητικής επιδεκτικότητας(γ) όπωςκαιτηλανθάνουσαθερμότητα λγιατοτετραγωνικό Pottsμε q 1. q ν α γ λ Πίνακας 1.1: Κρίμοι εκθέτες για το τετραγωνικό μοντέλο Potts 1.8 Παραλλαγές και επεκτάσεις Ο λιτός ορισμός του Potts ως ένα μοντέλο που περιγράφει ένα σύστημα αλληλεπιδρόντων spin q καταστάσεων εντός πλέγματος ίσως με την πρώτη ματιά δίνει την αίσθηση ότι πρόκειται για ένα απλοϊκό μοντέλο με αξία περισσότερο εκπαιδευτική παρά ερευνητική. Κι όμως, η πλειάδα των παραμέτρων που έπονται του ορισμού είναι ικανή να συνδέσει την διερεύνηση του μοντέλου όχι μόνο με χρήσιμα συμπεράσματα σε θέματα θεωρητικής και πειραματικής μελέτης της φυσικής των υλικών αλλά ακόμα και με ανοιχτά προλήματα πλήθους κλάδων της Φυσικής και θετικών επιστημών. Μια πρώτη διαφοροποίηση προκύπτει από τη σταθερά αλληλεπίδρασης J. Ειδικότερα για J > έχουμε το σιδηρομαγνητικό μοντέλο(ferromagnetic Potts model), που εμφανίζεται συνηθέστερα στην ιλιογραφία και στο οποίο επικεντρώνεται η παρούσα εργασία. Στην περίπτωση αυτή, κάθεδεσμόςανάμεσασεδυοίδια(ήομόρροπα) spinέχειενέργεια J,ενώγιααντίρροπα spinη ενέργεια του δεσμού είναι. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να ευνοούνται οι ομόρροποι δεσμοί ώστε τελικά τα spin τείνουν να ευθυγραμμίζονται, αυξάνοντας τη μαγνήτιση και την τάξη του συστήματος. Βασικός ανταγωνιστικός παράγων στην διαδικασία αυτή της επικράτησης τάξης είναι η θερμοκρασία. Στην περίπτωση του J > έχουμε αντίστοιχα το αντισιδηρομαγνητικό μοντέλο(anti- Ferromagnetic Potts Model), στο οποίο ευνοούνται οι δεσμοί ανάμεσα σε μη ευθυγραμμισμένα spin. Ισως η πιο πλούσια πηγή παραλλαγών στο μοντέλο εισάγεται από τις παραμέτρους της γεωμετρίας του πλέγματος. Η διάσταση του πλέγματος είναι η πρώτη σημαντική παράμετρος που έρχεται στο νου. Τις τελευταίες δεκαετίες τα διδιάστατα πλέγματα(2-d) έχουν τύχει της περισσότερης προσοχής και μελέτης για πολλούς λόγους, ανάμεσα στους οποίους είναι η απλότητα, τα ακριή θεωρητικά/αναλυτικά αποτελέσματα, κλπ.. Παρόλα αυτά, αν και περισσότερο μέσω προσομοιώσεων παρά μέσω άμεσων μαθηματικών προσεγγίσεων, φυσική αξία έχουν τα ρεαλιστικότερα τριδιάστατα

19 1.8. ΠΑΡΑΛΛΑΓ ΕΣ ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ 7 πλέγματα, ενώ οι περισσότερες διαστάσεις σχετίζονται περισσότερο με αφηρημένες δομές κλάδων όπως η θεωρητική πληροφορική και τα μαθηματικά. Παραμένοντας στις ἱδιοτροπίες του πλέγματος, κανείς θα μπορούσε να κάνει διαχωρισμούς α- ναλόγως με την σχετική διάταξη των spin. Ενδεικτικές κατηγορίες είναι τα απλά τετραγωνικά ή κυικά πλέγματα(square lattice), τα τριγωνικά(triangular lattice), τα εξαγωνικά πλέγματα (honeycomb lattice), κλπ.. (αʹ) Τετραγωνικό πλέγμα (ʹ) Τριγωνικό πλέγμα (γʹ) Εξαγωνικό πλέγμα Σχήμα 1.1: Παραδείγματα διδιάστατων πλεγμάτων Η πυκνότητα του πλέγματος είναι επίσης ένας σημαντικός παράγων. Κατά κανόνα, έαια, το Potts καταπιάνεται με θέματα στερεάς κατάστασης, συνεπώς ένα πυκνό πρότυπο, όπου κάθε πλεγματικό σημείο καταλαμάνεται από ένα spin, είναι καταλληλότερο. Παρόλα αυτά η ιλιογραφία έχει αρκετές αναφορές σε διερευνήσεις αραιών μοντέλων dilute Potts model. Περνώντας στα δυναμικά χαρακτηριστικά του πλέγματος, δηλ. στους τρόπους αλληλεπίδρασης των spin μπορούμε ξανά να διακρίνουμε αρκετές περιπτώσεις. Αν και η εργασία επικεντρώνεται σε δεσμούς δυο σημείων(two-point interactions) όπου κάθε spin αλληλεπιδρά άμεσα με τους γείτονές του, ενδιαφέρον παρουσιάζουν και πιο πολύπλοκες δυναμικές συμπεριφορές. Τέτοια παραδείγματα είναι οι αλληλεπιδράσεις πολλαπλών σημείων(multi-site interactions) όπου κάθε spin μπορεί να δημιουργήσει δεσμούς και με απώτερα στοιχεία, αλλά και πιο εξεζητημένες καταστάσεις, όπως τα πρότυπα πάγου spin(spin-ice models) όπου οι αλληλεπιδράσεις εκτείνονται με ακανόνιστο τρόπο μέσα στο πλέγμα, σταθερές ή μετααλλόμενες στη διάρκεια του χρόνου, κλπ.. Τέλος, ο ίδιος ο αριθμός των καταστάσεων που επιτρέπεται να λαμάνουν τα spin είναι καθοριστική παράμετρος του μοντέλου, καθώς επηρεάζει στο μεγαλύτερο, ίσως, αθμό το είδος της μετάασης φάσης που υφίσταται το μοντέλο. (αʹ) q = 2,1διάσταση (ʹ) q = 3,2διαστάσεις (γʹ) q = 4,3διαστάσεις Σχήμα 1.2: Παραδείγματα q καταστάσεων σε q 1 διαστάσεις

20