ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ Κωνσταντίνου Η. Φίλιου Επιλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Οκτώριος 21

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ Κωνσταντίνου Η. Φίλιου Επιλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή:... Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π.... Λεωνίδας Τσέτσερης Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π.... Νικόλαος Ηργες Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Οκτώριος 21

4 ... Κωνσταντίνος Η. Φίλιος c 21 Εθνικό Μετσόιο Πολυτεχνείο. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Εθνικού Μετσόιου Πολυτεχνείου.

5 Περίληψη Στο παρόν κείμενο μελετάται η κρίσιμη συμπεριφορά στο πρότυπο Potts q καταστάσεων σε διδιάστατα τετραγωνικά πλέγματα με αριθμητικές προσομοιώσεις Monte Carlo. Κατά την εκπόνηση της εργασίας ξαναγράφτηκαν σε γλώσσα προγραμματισμού C οι πρωτότυποι αλγόριθμοι Metropolis [2], Heatbath([2]) και Swendsen-Wang[1] ώστε να λειτουργούν για q καταστάσεις, υπερκύους D διαστάσεων σε ελικοειδείς ή περιοδικές συνοριακές συνθήκες. Ο πλήρης πηγαίος κώδικας παρατίθεται στο παράρτημα για περαιτέρω επεξεργασία και πειραματισμό. Επίσης, οι αλγόριθμοι χρησιμοποιήθηκαν για την διενέργεια προσομοιώσεων με q = 2, 3, 4 όπου αναλυτικά προλέπεται συνεχής μετάαση φάσης και q = 5, 6, 1 όπου προλέπεται μετάαση πρώτης τάξης. Χρησιμοποιώντας κλιμάκωση πεπερασμένου μεγέθους, ανάλυση του Binder Cumulant και του Energy Cumulant έγιναν ποσοτικές εκτιμήσεις της κρίσιμης θερμοκρασίας μετάασης φάσης και ανάδειξη της τάξης της μετάασης. Οι εκτιμήσεις αυτές ρέθηκαν σε συμφωνία με τις ιλιογραφικές αναφορές. Abstract The subject of this text is the critical behaviour of the two-dimensional square q-state Potts model using Monte Carlo simulations. During preparation of this thesis, original Metropolis [2], Heatbath [2] and Swendsen-Wang [1] source code was re-written to perform in q states, D- dimensional hypercubic lattices in both helical or periodic boundary conditional. The complete source code is attached at the appendix and is available for further optimizations and experimentation. Additionaly, these algorithms were used to perform simulations for q = 2,3,4 which are analytically predicted to exhibit continuous phase transitions and for q = 5,6,1 which are expected to possess first-order phase transitions. Utilizing methods of finite size scaling and binder cumulant and energy cumulant analysis, quantitative estimations of critical temperature became possible the order of phase transition was successfully detected. These estimations appear to be in aggreement with bibliographical references and mathematical processing of the model.

6

7 Περιεχόμενα Κατάλογος Σχημάτων Κατάλογος Πινάκων ii v 1 Το μοντέλο Potts Εισαγωγή Χαμιλτονιανή Φυσικάμεγέθη,σταθερέςκαιπαράμετροςτάξης Μεταάσειςφάσης Κρίσιμοιεκθέτεςκαιπαγκοσμιότητα Κλιμάκωσηπεπερασμένουμεγέθους Μεταάσειςφάσηςσετετραγωνικάπλέγματα Παραλλαγέςκαιεπεκτάσεις Προσομοιώσεις Monte Carlo Εισαγωγή Διαδικασίες Markov Οπηγαίοςκώδικας Υπολογιστικόςορισμόςσυνοριακώνσυνθηκώνστις Dδιαστάσεις Χρήσητωνσυνοριακώνσυνθηκώνστονπηγαίοκώδικα Αλγόριθμος Heat-bath Περιγραφήαλγορίθμου Υλοποίησηαλγορίθμου Αλγόριθμος Swendsen-Wang Περιγραφήαλγορίθμου Υλοποίησηαλγορίθμου Αριθμητικοίυπολογισμοί Ανάλυσηαποτελεσμάτων Διενέργειαπροσομοιώσεων Δυοκαταστάσεις(q = 2) Επιστροφή στομοντέλο Ising Αναζήτησητουκρίσιμουσημείουμε Heat-bath Διερεύνησησφαλμάτωνστηνκρίσιμηπεριοχή Ηεπικράτησητουαλγόριθμου Swendsen-Wang Γραφήματαάθμωσης &κρίσιμοιεκθέτες Στοκρίσιμοσημείο

8 ii ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 4 Τρειςκαταστάσεις(q = 3) Εντοπισμόςτουκρίσιμουσημείου Γραφήματαάθμωσης &κρίσιμοιεκθέτες Επίτουκρίσιμουσημείου Τέσσερις καταστάσεις(q = 4) Εντοπισμόςτουκρίσιμουσημείου Γραφήματαάθμωσης &κρίσιμοιεκθέτες Επίτουκρίσιμουσημείου Πέντεκαταστάσεις(q = 5) Εντοπισμόςτουκρίσιμουσημείου Γραφήματαάθμωσης &ψευδο-κρίσιμοιεκθέτες Επίτουκρίσιμουσημείου Καμπύλεςυστέρησης Εξικαταστάσεις(q = 6) Εντοπισμόςτουκρίσιμουσημείου Γραφήματαάθμωσης &κρίσιμοιεκθέτες Επίτουκρίσιμουσημείου Καμπύλεςυστέρησης Δέκακαταστάσεις(q = 1) Ιστόγραμμαμαγνήτισης Καμπύλεςυστέρησης Αʹ Πηγαίος Κώδικας 11 Ευρετήριο 119 Βιλιογραφία 121

9 Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Παραδείγματαδιδιάστατωνπλεγμάτων Παραδείγματα qκαταστάσεωνσε q 1διαστάσεις Μαγνήτισηγια q = 2με Heatbath, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 2με Heatbath, sweeps Binder Cumulantγια q = 2με Heatbath, sweeps Energy Cumulantγια q = 2με Heatbath, sweeps Ειδικήθερμότηταγια q = 2με Heatbath, sweeps Μαγν.επιδεκτικότηταγια q = 2με Heatbath, sweeps Περιοχή(Ι),Ιστόγρ.ενέργειαςγια q = 2, =.7, Heatbath, sweeps Περιοχή(Ι),Ιστόγρ.μαγνήτισηςγια q = 2, =.7, Heatbath, sweeps Περιοχή(Ι),Ολοκληρ.χρόνοςαυτοσυσχέτισηςγια q = 2, =.7, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙΙ),Ιστόγρ.ενέργειαςγια q = 2, = 1.1, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙΙ),Ιστόγρ.μαγνήτισηςγια q = 2, = 1.1, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙΙ),Ολοκληρ.χρόνοςαυτοσυσχέτισηςγια q = 2, = 1.1, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙ),Ιστόγρ.ενέργειαςγια q = 2, =.88, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙ),Ιστόγρ.μαγνήτισηςγια q = 2, =.88, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙ),Ολ.χρόνοςαυτοσυσχέτισης, q = 2, =.88, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙ),Χρονοσειράμαγνήτισηςγια q = 2, =.88, Heatbath, sweeps, L = Μαγνήτισηγια q = 2με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 2με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 2με S-W, sweeps Μαγν.επιδεκτικότηταγια q = 2με S-W, sweeps Ειδ.θερμότηταγια q = 2με S-W, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 2με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 2με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 2με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 2με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 2με S-W, sweeps τ int για q = 2με S-Wστοκρίσιμοσημείο FSS L 1 για q = 2με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 2με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 2με S-Wστοκρίσιμοσημείο Μαγνήτισηγια q = 3με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 3με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 3με S-W, sweeps Μαγνητικήεπιδεκτικότηταγια q = 3με S-W, sweeps Ειδ.θερμότηταγια q = 3με S-W, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 3με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 3με S-W, sweeps

10 iv ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ 4.8 Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 3με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 3με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 3με S-W, sweeps τ int για q = 3με S-Wστοκρίσιμοσημείο FSS L 6/5 για q = 3με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 3με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 3με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Μαγνήτισηγια q = 4με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 4με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 4με S-W, sweeps Μαγνητικήεπιδεκτικότηταγια q = 4με S-W, sweeps Ειδικήθερμότηταγια q = 4με S-W, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 4με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 4με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 4με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 4με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 4με S-W, sweeps τ int για q = 4με S-Wστοκρίσιμοσημείο FSS L 3/2 για q = 4με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 4με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 4με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Μαγνήτισηγια q = 5με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 5με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 5με S-W, sweeps Μαγνητικήεπιδεκτικότηταγια q = 5με S-W, sweeps Ειδικήθερμότηταγια q = 5με S-W, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 5με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 5με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 5με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 5με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 5με S-W, sweeps τ int για q = 5με S-Wστοκρίσιμοσημείο FSS L 3/2 για q = 5με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 5με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 5με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 32με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 32με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 32με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 768με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 768με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 768με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 768με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 124με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 124με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 124με S-Wστα4 sweeps Μαγνήτισηγια q = 6με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 6με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 6με S-W, sweeps Μαγνητικήεπιδεκτικότηταγια q = 6με S-W, sweeps Ειδικήθερμότηταγια q = 6με S-W, sweeps

11 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ v 7.6 Ενέργειαανάδεσμόγια q = 6με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 6με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 6με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 6με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 6με S-W, sweeps Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 6με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 6με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps FSS L 3/2 για q = 6με S-Wστοκρίσιμοσημείο Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 192με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 192με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 192με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 192με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 256με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 256με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 256με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 256με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 512με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 512με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 512με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 512με S-Wστα8 sweeps Ιστόγραμμαμαγνήτισης, q = 1με S-W, = , L = 64, sweeps Ιστόγραμμαενέργειας, q = 1με S-W, = , L = 64, sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 96με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 96με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 96με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 96με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 128με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 128με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 128με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 128με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 256με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 256με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 256με S-Wστα4 sweeps... 1

12 Κατάλογος Πινάκων 1.1 Κρίμοιεκθέτεςγιατοτετραγωνικόμοντέλο Potts Αντιπροσωπευτικέςπεριοχέςμαγνήτισηςγια Heatbath, q = Κρίσιμοιεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Κρίσιμοιεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Ακρόταταιστογραμμάτωνμαγνήτισηςγια q = Ψευδοκρίσιμασημείαγια q = Κρίσιμοιεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Ακρόταταιστογραμμάτωνμαγνήτισηςγια q = Ψευδοκρίσιμασημείαγια q = Πειραματικοίεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Ακρόταταιστογραμμάτωνγια q = Υστέρησηγια q = Ψευδοκρίσιμασημείαγια q = Κρίσιμοιεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Ακρόταταιστογραμμάτωνγια q = Υστέρησηγια q = Υστέρησηγια q =

13 Κεφάλαιο 1 Το μοντέλο Potts 1.1 Εισαγωγή Η Στατιστική Φυσική είναι εκείνος ο κλάδος της Φυσικής που εφαρμόζει την θεωρία των πιθανοτήτων προκειμένου να περιγράψει την θερμοδυναμική συμπεριφορά σωμάτων που αποτελούνται από τεράστιο πλήθος σωματιδίων συνδέοντας τις μικροσκοπικές ιδιότητες των μεμονωμένων σωματιδίων με τις μακροσκοπικές ιδιότητες του συνόλου τους. Η πλειάδα των παραμέτρων της φυσικής οντότητας που εξετάζουμε κάθε φορά οδηγεί σε αντίστοιχα μοντέλα που ενσωματώνουν σε ένα μαθηματικό πλαίσιο αυτές τις ιδιότητες και τις όποιες απαραίτητες παραδοχές. Ενα τέτοιο στατιστικό μοντέλο είναι το μοντέλο Potts. Στο μοντέλο αυτό περιγράφονται στερεά σώματα που μικροσκοπικά μπορούν να ιδωθούν ως πλέγματα σωματιδίων τα οποία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Κυρίαρχη έννοια στο μοντέλο είναι το spin κάθε σωματιδίου που καταλαμάνει μια θέση πάνω στο πλέγμα, καθώς η δυναμική συμπεριφορά που αναπαρίσταται μαθηματικά από την Χαμιλτονιανή του συστήματος διαμορφώνεται από τις μαγνητικές αλληλεπιδράσεις των spin των σωματιδίων. Η μελέτη που αποτυπώνεται στο υπόλοιπο κείμενο έχει χαρακτήρα περισσότερο διερευνητικό και δεν στοχεύει τόσο στον ποσοτικό προσδιορισμό στοιχείων ή ακριείς προλέψεις μεγεθών όσο στην ψηλάφηση των ποιοτικών χαρακτηριστικών, από τη σκοπιά του μελετητή που έρχεται πρώτη φορά σε επαφή με το μοντέλο. Αυτός είναι, άλλωστε, κι ο λόγος που η μεγαλύτερη έκταση του πονήματος αυτού έχει αφιερωθεί σε γραφήματα που απεικονίζουν τα αποτελέσματα των υπολογιστικών προσομοιώσεων που πραγματοποιήθηκαν για την Μελέτη του Πρότυπου Ποττς στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo. 1.2 Χαμιλτονιανή Ιστορικά το πρώτο και απλούστερο μοντέλο αλληλεπιδρώντων spin σε πλέγμα ήταν το Ising που ανέπτυξε ο γερμανός φυσικός Ernst Ising( ). Στο μοντέλο αυτό κάθε spin περιοριζόταν σε ένα εύρος δυο καταστάσεων(πάνω και κάτω) με Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης H I = J ij s i s j, Q = { 1,+1} (1.1) Η πιο αξιοσημείωτη προσπάθεια γενίκευσης του μοντέλου έγινε από τους Ashkin-Teller οι οποίοι επεξέτειναν το φάσμα των επιτρεπτών τιμών των spin σε 4 καταστάσεις. Η πλήρης γενίκευση του μοντέλου προτάθηκε το 1952 από τον καθηγητή Cyril Domb στον τότε διδακτορικό του φοιτητή Renfrey Potts( ). Για την ακρίεια, η αρχική διατύπωση του προτύπου προέλεπε q δυνατές τιμές spin που κατανέμονται ομοιόμορφα πάνω σε έναν κύκλο με γωνίες θ n = 2πn q

14 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΤΟΜΟΝΤ ΕΛΟ POTTS και Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης H c = J c cos(θ si θ sj ) ij i,j {1,...,q} Η εκδοχή αυτή είναι σήμερα γνωστή ως διανυσματικό μοντέλο Potts(Vector Potts Model) ήωςμοντέλοτουωρολογίου(clock model)τοοποίοστοόριο q ισοδυναμείμετο XY model. Αντικείμενο διερεύνησης του παρόντος κειμένου αποτελεί το λεγόμενο καθιερωμένο μοντέλο Potts(standard Potts model), με την απλούστερη Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης H = J ij δ(s i,s j ) (1.2) όπου s =, 1, 2,...q 1, q > 1,τα spin qκαταστάσεων,και δ(s i,s j )τοσύμολοτου Kronecker δ(s i,s j ) = { 1 s i = s j s i s j 1.3 Φυσικά μεγέθη, σταθερές και παράμετρος τάξης Τα spin που καταλαμάνουν τις N πλεγματικές θέσεις(sites) και χαρακτηρίζονται από μια εκ των q καταστάσεων, καθώς και η ενεργειακή σταθερά αλληλεπίδρασης J είναι έννοιες θεμελιώδεις για την ίδια την διατύπωση του μοντέλου. Προχωρώντας κανείς, παρόλα αυτά, στη διερεύνηση των ιδιοτήτων του μοντέλου έρχεται σε επαφή με εξίσου σημαντικά φυσικά μεγέθη, συναρτήσεις και παραμέτρους που απορρέουν από τον ορισμό. Πρωτεύουσας σημασίας για κάθε σύστημα που εξετάζεται στο πλαίσιο της στατιστικής μηχανικής είναι η συνάρτηση επιμερισμού(partition function) Z = q 1 s i= e H (1.3) Στην προηγούμενη εξίσωση, για λόγους απλούστευσης και ανεξαρτησίας από αριθμητικές λεπτομέρειες, αντί της θερμοκρασίας T, χρησιμοποιείται η αντίστροφη αδιάστατη θερμοκρασία που ορίζεται ως εξής: = 1/kT (1.4) Η, που καταχρηστικά θα αποκαλείται και θερμοκρασία χωρίς κίνδυνο σύγχυσης, μετριέται σε μονάδες αντίστροφης ενέργειας, ενώ k είναι η σταθερά του Boltzman. Στο σημείο αυτό αξίζει να ξαναγράψουμε την Χαμιλτονιανή της εξ. (1.2) του συστήματος που θεωρούμε στον ορισμό της Z για το μοντέλο μας, ώστε να περιλαμάνει και έναν όρο αλληλεπίδρασης των spin με εξωτερικό πεδίο έντασης B προκειμένου να αναδειχθούν σημαντικά μεγέθη, όπως η μαγνήτιση: H = (J +B) ij δ(s i,s j ) (1.5) Σχετικές ποσότητες που απορρέουν από την συνάρτηση επιμερισμού κατά τα ειωθότα είναι η αναμενόμενη τιμή της ενέργειας ή εσωτερική ενέργεια E = U = logz (1.6) και η ειδική θερμότητα

15 1.4. ΜΕΤΑΒΆΣΕΙΣ ΦΆΣΗΣ 3 C = k 2 2 logz 2 (1.7) Απότηγνωστήσχέσητηςειδικήςθερμότητας Cκαιτηςεντροπίας S C = S υπολογίζουμε την εντροπία, ως προς της συνάρτηση επιμερισμού Z S = k logz Ακολούθως ορίζουμε την ελεύθερη ενέργεια Helmholtz ως +klogz (1.8) F = U TS = kt logz (1.9) Ηδη είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την τελευταία κρίσιμη φυσική ποσότητα του συστήματος, την μαγνήτιση M. Καθώς η μαγνήτιση αποτελεί συζυγή μεταλητή προς την παράμετρο της έντασης του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου, δηλ. πρόκειται για το μέγεθος που μεταάλλεται ως απόκριση στο επιαλλόμενο μαγνητικό πεδίο, η μαθηματική σχέση είναι M = F B (1.1) 1.4 Μεταάσεις φάσης Μετάαση φάσης ονομάζουμε τον μετασχηματισμό ενός θερμοδυναμικού συστήματος από μια φάση ή κατάσταση σε μια άλλη. Ενα τετριμμένο παράδειγμα είναι οι γνωστές μεταάσεις των υλικών ανάμεσα στην αέρια, υγρή και στερεή τους κατάσταση. Σε ένα μαγνητικό μοντέλο όπως το σιδηρομαγνητικό μοντέλο Potts, οι δυο φάσεις που μας ενδιαφέρουν και ανάμεσα στις οποίες μετααίνει το σύστημα είναι η παραμαγνητική και η σιδηρομαγνητική. Στην παραμαγνητική του φάση ένα σύστημα είναι αυθόρμητα αμαγνήτιστο, ενώ μπορεί να αποκτήσει μη-παραμένουσα μαγνήτιση μόνο αν ρεθεί μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Αντιθέτως, στη σιδηρομαγνητική του φάση έχει μόνιμη μαγνήτιση λόγω της διάταξης των spin που το αποτελούν. Εν γένει μια μετάαση φάσης μπορεί να πραγματοποιηθεί λόγω της αλλαγής ενός κυρίαρχου εξωτερικού παράγοντα που επηρεάζει το σύστημα. Στα μαγνητικά μοντέλα δυο κυρίαρχες παράμετροι που οδηγούν σε μετάαση φάσης είναι η θερμοκρασία(temperature-driven phase transition) και το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο(field-driver phase transition), αν υπάρχει. Απαραίτητος στο πλαίσιο της συζήτησης για μεταάσεις φάσης είναι ο ορισμός ενός μεγέθους που σηματοδοτεί τη μία ή την άλλη φάση, και ονομάζεται παράμετρος τάξης(order parameter). Συνήθωςηπαράμετροςτάξηςεπιλέγεταιέτσιώστεστηνμίαφάσηναπαίρνειτηντιμήκαιστην άλλη την τιμή 1. Στο μοντέλο Potts η παράμετρος τάξης είναι η μαγνήτιση ανά πλεγματικό σημείο m = M/L d,όπου Mησυνολικήμαγνήτισητουυλικούπλέγματοςκαι L d τοπλήθοςτωνσημείων του d-διάστατου πλέγματος. Δυο είναι τα σημαντικά χαρακτηριστικά σε μια μετάαση φάσης: Το κρίσιμο σημείο Ηφύσηήτάξηςτηςμετάασης Το κρίσιμο σημείο είναι εκείνη η τιμή του κυρίαρχου μεγέθους που επηρεάζει το σύστημα (θερμοκρασίας, μαγνητικού πεδίου, κλπ) στην οποία συμαίνει η μετάαση φάσης. Στην μελέτη που ακολουθεί το μαγνητικό πεδίο απουσιάζει, συνεπώς η θερμοκρασία T κυερνά τις μεταάσεις. Η τάξη της μετάασης περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο μεταάλλεται η παράμετρος τάξης κατά τη μετάαση και οδηγεί σε έναν πρώτο ασικό διαχωρισμό των μεταάσεων:

16 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΤΟΜΟΝΤ ΕΛΟ POTTS Τις συνεχείς μεταάσεις, κατά τις οποίες η παράμετρος τάξης μεταάλλεται συνεχώς και ομαλά απότηντιμήστηντιμή1 Τις ασυνεχείς μεταάσεις ή πρώτης τάξεις, κατά τις οποίες η καμπύλη της παραμέτρου τάξης είναιασυνεχής,εμφανίζονταςένααπότομοάλμααπότηντιμήστηντιμή1 Οι μεταάσεις φάσης δεύτερης τάξης σε ένα μοντέλο Potts έχουν χαρακτηριστική συνέχεια της καμπύλης μαγνήτισης στην κρίσιμη περιοχή. Για ένα άπειρο πλέγμα του οποίου η δυναμική συμπεριφοράκυριαρχείταιαπότηνθερμοκρασία,στοκρίσιμοσημείο( c )τογράφηματηςμαγνητικής επιδεκτικότητας εμφανίζει απειρισμό και ασυνέχεια. Οι μεταάσεις φάσης πρώτης τάξης στο όριο του απείρου πλέγματος παρουσιάζουν α- συνέχεια της καμπύλης της μαγνήτισης με τη θερμοκρασία. Χαρακτηριστική είναι, άλλωστε, και η εμφάνιση λανθάνουσας θερμότητας, δηλ. της ποσότητας της ενέργειας που το σύστημα απορροφά στο κρίσιμο σημείο χωρίς να αυξάνει τη θερμοκρασία του, που συνοδεύεται από την συνύπαρξη των δυο φάσεων. 1.5 Κρίσιμοι εκθέτες και παγκοσμιότητα Οπως αναφέρθηκε και στην προηγούμενη παράγραφο, η πραγματική εικόνα ενός υλικού το οποίο θεωρούμε ότι έχει πλεγματική δομή νοείται στο όριο όπου το πλήθος των πλεγματικών σημείων που το αποτελούν τείνει στο άπειρο, ή, πρακτικά, είναι πολύ μεγάλο. Δεδομένου, όμως, ότι είναι πρακτικά αδύνατο να προσομοιωθεί ένα άπειρο σύστημα σωματιδίων, καταφεύγουμε στην μελέτη πεπερασμένων πλεγμάτων. Η επιλογή αυτή έχει, φυσικά το κόστος της: Οι απειρισμοί μεγεθών που αναμένονται στην κρίσιμη περιοχή αποκόπτονται και αντικαθίστανται από στρογγυλεμένα μέγιστα. Προς ευχάριστη έκπληξη όλων, έαια, αυτή η αλλοιωμένη εικόνα έχει κάποια συστηματικά χαρακτηριστικά που μας επιτρέπουν να δουλεύουμε σε πεπερασμένα πλέγματα και να εξάγουμε συμπεράσματα για το θερμοδυναμικό όριο όπου το πλέγμα γίνεται πρακτικά άπειρο. Τα συστηματικά αυτά χαρακτηριστικά συμπυκνώνονται στην έννοια της παγκοσμιότητας και των κρίσιμων εκθετών. Η παγκοσμιότητα(universality) είναι η παρατήρηση πως οι ιδιότητες μιας μεγάλης ομάδας φυσικών συστημάτων είναι ανεξάρτητες από τις δυναμικές λεπτομέρειες του συστήματος. Ειδικά στα θερμοδυναμικά συστήματα όπως το Potts που εμφανίζουν παγκοσμιότητα, όσο πιο κοντά εστιάζει κανείς στο κρίσιμο σημείο, τόσο λιγότερο ευαίσθητη είναι η εξάρτηση της ανωμαλίας ενός μεγέθους από τις λεπτομέρειες του συστήματος. Σε μια στενή, λοιπόν, περιοχή γύρω από την κρίσιμη θερμοκρασία, παρατηρεί κανείς ότι ένα ευρύ σύνολο συστημάτων ακολουθεί έναν νόμο της μορφής O t E όπου O η παρατηρήσιμη ποσότητα, E ο κρίσιμος εκθέτης και t η ανηγμένη θερμοκρασία t = T T c T c = c 1 (1.11) Οι κρίσιμοι εκθέτες για τα αντίστοιχα θεμελιώδη μεγέθη είναι οι εξής: ξ = t ν (1.12) χ = t γ (1.13) c = t α (1.14) m = t (1.15) Σημειωτέον ότι ξ είναι το μήκος αυτοσυσχέτισης και ότι είναι ο εκθέτης της μαγνήτισης πουέχεινόημαμόνογια T < T c (αφούγια T T c ημαγνήτισημηδενίζεται)καιδενπρέπεινα συγχέεται με την αντίστροφη θερμοκρασία.

17 1.6. ΚΛΙΜΆΚΩΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΟΥ ΜΕΓ ΕΘΟΥΣ Κλιμάκωση πεπερασμένου μεγέθους Η μέθοδος της κλιμάκωσης πεπερασμένου μεγέθους(finite size scaling) είναι ένας τρόπος εξαγωγής των κρίσιμων εκθετών παρατηρώντας πώς οι παρατηρήσιμες ποσότητες μεταάλλονται με το μέγεθος L του συστήματος. Το μήκος συσχέτισης παίζει κυρίαρχο ρόλο στη συζήτηση που αφορά στις μεταολές του μεγέθους του συστήματος. Εκφράζοντας την ποσότητα O με κρίσιμο εκθέτη E συναρτήσει του μήκους αυτοσυσχέτισης ξ μπορούμε να γράψουμε O ξ E ν Θεωρώνταςτο ξτηντιμήτουμήκουςσυσχέτισηςπουθαείχετοάπειροσύστημαστηνανηγμένη θερμοκρασία t, τότε η αποκοπή της ανωμαλίας(ή του απειρισμού) της καμπύλης του μεγέθους O πραγματοποιείταιγια ξ > L,ενώγια ξ Lοιτιμέςτου Oγιαπεπερασμένοπλέγματαυτίζονταιμε εκείνες του απείρου συστήματος. Συνοπτικά O = ξ E ν fo ( L ξ ) όπου f O (w)μιααδιάστατησυνάρτησημετιςιδιότητες f O (w) =σταθερά, w 1 f O (w) w E ν, w Προκειμένου να εξαλείψουμε το ξ από την παραπάνω εξίσωση ορίζουμε μια νέα αδιάστατη συνάρτηση h O (w) = w E f O (w ν ) απ όπουγνωρίζονταςότι ξ = t ν παίρνουμετελικά O = L E ν ho (L 1 ν t) Εξειδικεύοντας για τα συγκεκριμένα μεγέθη που μας ενδιαφέρουν μπορούμε να γράψουμε χ = L γ ν hχ (L 1 ν t) (1.16) c = L α ν hc (L 1 ν t) (1.17) m = L ν hm (L 1 ν t) (1.18) Η ιδέα της κλιμάκωσης πεπερασμένου μεγέθους είναι ότι κανείς μπορεί να χαράξει την γραφική παράσταση της εκάστοτε συνάρτησης h και μεταάλλοντας τους εκθέτες να εντοπίσει την κρίσιμη τιμή τουςγιατηνοποίαοικαμπύλεςπέφτουνημίαπάνωστηνάλλη.ημέθοδοςαυτήείναιχρήσιμηγιατί μπορεί να χρησιμοποιηθεί και αντίστροφα: Με άση την παγκοσμιότητα, αν γνωρίζουμε από κάποιο άλλο σύστημα που εμπίπτει στην ίδια κλάση με αυτό που μελετούμε τους κρίσιμους εκθέτες, τότε μπορούμε να εντοπίσουμε την κρίσιμη θερμοκρασία(μέσω του t) δίνοντάς της την τιμή για την οποία η καμπύλες συμπίπτουν. 1.7 Μεταάσεις φάσης σε τετραγωνικά πλέγματα Το μοντέλο Potts σε διδιάστατα τετραγωνικά πλέγματα έχει μελετηθεί διεξοδικά. Η ιλιογραφία είναι αρκετά πλούσια σε θεωρητικά αλλά και αριθμητικά αποτελέσματα γεγονός που καθιστά αυτό το πεδίο πρόσφορο για πειραματισμό, καθώς υπάρχουν αρκετά σημεία αναφοράς και ελέγχου. Το άρθρο του Wu του 1982[3] που συνιστά ορόσημο στην μελέτη του Potts δίνει πολλά χρήσιμα αποτελέσματα

18 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΤΟΜΟΝΤ ΕΛΟ POTTS της μαθηματικής επεξεργασίας του μοντέλου, στα οποία ασίστηκε η στρατηγική ανάπτυξης των επόμενων παραγράφων. Σύμφωναμετον Wu,για q 4ημετάασηφάσηςείναισυνεχής,ενώγια q > 4είναιπρώτης τάξης.οικρίσιμεςθερμοκρασίες c γιακάθε qσυμπυκνώνονταιστηναπλήεξίσωση c (q) = ln(1+ q) (1.19) Εξίσου απλή είναι και η σχέση υπολογισμού της ενέργειας στο κρίσιμο σημείο E(q; c ) = 1 (1+ 1 ) q 2 (1.2) Τέλος,απότον Wuέχουμεστηδιάθεσήμαςκαιτονπίνακα1.1μετουςκρίσιμουςεκθέτεςτου μήκους συσχέτισης(ν), ειδικής θερμότητας(α), μαγνήτισης() και μαγνητικής επιδεκτικότητας(γ) όπωςκαιτηλανθάνουσαθερμότητα λγιατοτετραγωνικό Pottsμε q 1. q ν α γ λ Πίνακας 1.1: Κρίμοι εκθέτες για το τετραγωνικό μοντέλο Potts 1.8 Παραλλαγές και επεκτάσεις Ο λιτός ορισμός του Potts ως ένα μοντέλο που περιγράφει ένα σύστημα αλληλεπιδρόντων spin q καταστάσεων εντός πλέγματος ίσως με την πρώτη ματιά δίνει την αίσθηση ότι πρόκειται για ένα απλοϊκό μοντέλο με αξία περισσότερο εκπαιδευτική παρά ερευνητική. Κι όμως, η πλειάδα των παραμέτρων που έπονται του ορισμού είναι ικανή να συνδέσει την διερεύνηση του μοντέλου όχι μόνο με χρήσιμα συμπεράσματα σε θέματα θεωρητικής και πειραματικής μελέτης της φυσικής των υλικών αλλά ακόμα και με ανοιχτά προλήματα πλήθους κλάδων της Φυσικής και θετικών επιστημών. Μια πρώτη διαφοροποίηση προκύπτει από τη σταθερά αλληλεπίδρασης J. Ειδικότερα για J > έχουμε το σιδηρομαγνητικό μοντέλο(ferromagnetic Potts model), που εμφανίζεται συνηθέστερα στην ιλιογραφία και στο οποίο επικεντρώνεται η παρούσα εργασία. Στην περίπτωση αυτή, κάθεδεσμόςανάμεσασεδυοίδια(ήομόρροπα) spinέχειενέργεια J,ενώγιααντίρροπα spinη ενέργεια του δεσμού είναι. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να ευνοούνται οι ομόρροποι δεσμοί ώστε τελικά τα spin τείνουν να ευθυγραμμίζονται, αυξάνοντας τη μαγνήτιση και την τάξη του συστήματος. Βασικός ανταγωνιστικός παράγων στην διαδικασία αυτή της επικράτησης τάξης είναι η θερμοκρασία. Στην περίπτωση του J > έχουμε αντίστοιχα το αντισιδηρομαγνητικό μοντέλο(anti- Ferromagnetic Potts Model), στο οποίο ευνοούνται οι δεσμοί ανάμεσα σε μη ευθυγραμμισμένα spin. Ισως η πιο πλούσια πηγή παραλλαγών στο μοντέλο εισάγεται από τις παραμέτρους της γεωμετρίας του πλέγματος. Η διάσταση του πλέγματος είναι η πρώτη σημαντική παράμετρος που έρχεται στο νου. Τις τελευταίες δεκαετίες τα διδιάστατα πλέγματα(2-d) έχουν τύχει της περισσότερης προσοχής και μελέτης για πολλούς λόγους, ανάμεσα στους οποίους είναι η απλότητα, τα ακριή θεωρητικά/αναλυτικά αποτελέσματα, κλπ.. Παρόλα αυτά, αν και περισσότερο μέσω προσομοιώσεων παρά μέσω άμεσων μαθηματικών προσεγγίσεων, φυσική αξία έχουν τα ρεαλιστικότερα τριδιάστατα

19 1.8. ΠΑΡΑΛΛΑΓ ΕΣ ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ 7 πλέγματα, ενώ οι περισσότερες διαστάσεις σχετίζονται περισσότερο με αφηρημένες δομές κλάδων όπως η θεωρητική πληροφορική και τα μαθηματικά. Παραμένοντας στις ἱδιοτροπίες του πλέγματος, κανείς θα μπορούσε να κάνει διαχωρισμούς α- ναλόγως με την σχετική διάταξη των spin. Ενδεικτικές κατηγορίες είναι τα απλά τετραγωνικά ή κυικά πλέγματα(square lattice), τα τριγωνικά(triangular lattice), τα εξαγωνικά πλέγματα (honeycomb lattice), κλπ.. (αʹ) Τετραγωνικό πλέγμα (ʹ) Τριγωνικό πλέγμα (γʹ) Εξαγωνικό πλέγμα Σχήμα 1.1: Παραδείγματα διδιάστατων πλεγμάτων Η πυκνότητα του πλέγματος είναι επίσης ένας σημαντικός παράγων. Κατά κανόνα, έαια, το Potts καταπιάνεται με θέματα στερεάς κατάστασης, συνεπώς ένα πυκνό πρότυπο, όπου κάθε πλεγματικό σημείο καταλαμάνεται από ένα spin, είναι καταλληλότερο. Παρόλα αυτά η ιλιογραφία έχει αρκετές αναφορές σε διερευνήσεις αραιών μοντέλων dilute Potts model. Περνώντας στα δυναμικά χαρακτηριστικά του πλέγματος, δηλ. στους τρόπους αλληλεπίδρασης των spin μπορούμε ξανά να διακρίνουμε αρκετές περιπτώσεις. Αν και η εργασία επικεντρώνεται σε δεσμούς δυο σημείων(two-point interactions) όπου κάθε spin αλληλεπιδρά άμεσα με τους γείτονές του, ενδιαφέρον παρουσιάζουν και πιο πολύπλοκες δυναμικές συμπεριφορές. Τέτοια παραδείγματα είναι οι αλληλεπιδράσεις πολλαπλών σημείων(multi-site interactions) όπου κάθε spin μπορεί να δημιουργήσει δεσμούς και με απώτερα στοιχεία, αλλά και πιο εξεζητημένες καταστάσεις, όπως τα πρότυπα πάγου spin(spin-ice models) όπου οι αλληλεπιδράσεις εκτείνονται με ακανόνιστο τρόπο μέσα στο πλέγμα, σταθερές ή μετααλλόμενες στη διάρκεια του χρόνου, κλπ.. Τέλος, ο ίδιος ο αριθμός των καταστάσεων που επιτρέπεται να λαμάνουν τα spin είναι καθοριστική παράμετρος του μοντέλου, καθώς επηρεάζει στο μεγαλύτερο, ίσως, αθμό το είδος της μετάασης φάσης που υφίσταται το μοντέλο. (αʹ) q = 2,1διάσταση (ʹ) q = 3,2διαστάσεις (γʹ) q = 4,3διαστάσεις Σχήμα 1.2: Παραδείγματα q καταστάσεων σε q 1 διαστάσεις

20

ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Προσοµοιώσεις Monte Carlo

ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Προσοµοιώσεις Monte Carlo ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo Φίλιος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών & Φυσικών Επιστηµών ΕΜΠ 10 Νοεµβρίου 2010 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις

Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΚΟΡΝΑΡΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Εισαγωγή ό ή ί ί μ έ ά μ έ Ising μ

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία στην Υπολογιστική Φυσική

Διπλωματική Εργασία στην Υπολογιστική Φυσική Διπλωματική Εργασία στην Υπολογιστική Φυσική Μελέτη του Δισδιάστατου Πρότυπου Heisenberg με Μεθόδους Monte Carlo Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Σκοπός της Διπλωματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΦΟΛΗ ΕΥΑΡΜΟΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΥΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΟΜΕΑ ΥΤΙΚΗ Μελέτη του Προτύπου 2D-Potts σε Υπολογιστικό Περιβάλλον MATLAB ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΣΟΤ Γιάννη Ασσιώτη Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ

3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Ο τρίτος θερμοδυναμικός Νόμος 2. Συστήματα με αρνητικές θερμοκρασίες 3. Θερμοδυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo

Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo Κουτσιούµπας Αλέξανδρος εκέµβριος 00 Το µοντέλο Ising εισήχθη από τους Lenz (190) και Ising (195) για την περιγραφή της

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Στάδιο Εκτέλεσης

Στάδιο Εκτέλεσης 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο 1.4.2.2 Στάδιο Εκτέλεσης Το στάδιο της εκτέλεσης μίας έρευνας αποτελεί αυτό ακριβώς που υπονοεί η ονομασία του. Δηλαδή, περιλαμβάνει όλες εκείνες τις ενέργειες από τη στιγμή που η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο: Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος

Ονοματεπώνυμο: Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Ονοματεπώνυμο: Καλλιστής Νικόλαος Επιβλέπων καθηγητής: Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π. - 2 - .. Καλλιστής Νικόλαος Διπλωματούχος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011 1) Θεωρούµε ένα σύστηµα που αποτελείται από ένα σωµατίδιο µε σπιν ½ και µε µαγνητική ροπή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. Ένα κιλό νερού σε θερμοκρασία 0 C έρχεται σε επαφή με μιά μεγάλη θερμική δεξαμενή θερμοκρασίας 100 C. Όταν το νερό φτάσει στη θερμοκρασία της δεξαμενής,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής Σεναρίων Κινητός Μέσος σε Χρονοσειρές o o o

Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής Σεναρίων Κινητός Μέσος σε Χρονοσειρές o o o ΙΩΑΝΝΗΣ Κ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ Εφαρμογές Ποσοτικές Ανάλυσης με το Excel 141 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση Δεδομένων Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα 5 η : Διδιάστατη και τριδιάστατη αγωγή θερμότητας Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Experiment Greek (Cyprus) Q2-1

Experiment Greek (Cyprus) Q2-1 Greek (Cyprus) Q2-1 Τίτλος Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για μεταβάσεις φάσεων και αστάθειες. Παρακαλούμε να διαβάσετε τις γενικές οδηγίες που υπάρχουν στον ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε αυτό το

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμος Metropolis. Γ. Θεοδώρου 1

Αλγόριθμος Metropolis. Γ. Θεοδώρου 1 Αλγόριθμος Metropols Γ. Θεοδώρου Γ. Θεοδώρου 1 Δειγματοληψία Οι δύο βασικές μέθοδοι δειγματοληψίας είναι, Κλασική δειγματοληψία (καλείται και: Monte Carlo), και Δειγματοληψία Metropols. Η βασική διαφορά

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας.

Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας. Greek (Greece) Q2-1 Σπόροι που αναπηδούν - Ένα μοντέλο για τις αλλαγές φάσης και τις καταστάσεις αστάθειας. Παρακαλούμε να διαβάσετε τις γενικές οδηγίες που υπάρχουν στον ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran και τη γλώσσα Java με τη χρήση περιοδικών και αντιπεριοδικών συνοριακών συνθηκών

Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran και τη γλώσσα Java με τη χρήση περιοδικών και αντιπεριοδικών συνοριακών συνθηκών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΠΡΑΚΤΙΚΑ 5 ου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ, ΤΕΥΧΟΣ Γ Διδασκαλία της Φυσικής με Νέες Τεχνολογίες Προσομοίωση του Μοντέλου Ising με τη γλώσσα Fortran

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΙ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Περιγραφική Στατιστική Με τις στατιστικές μεθόδους επιδιώκεται: - η συνοπτική αλλά πλήρης και κατατοπιστική παρουσίαση των ευρημάτων μιας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ Θεωρητικη αναλυση μεταλλα Έχουν κοινές φυσικές ιδιότητες που αποδεικνύεται πως είναι αλληλένδετες μεταξύ τους: Υψηλή φυσική αντοχή Υψηλή πυκνότητα Υψηλή ηλεκτρική και θερμική

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης Η πραγµατική επιφάνεια ξήρανσης είναι διασπαρµένη και ασυνεχής και ο µηχανισµός από τον οποίο ελέγχεται ο ρυθµός ξήρανσης συνίσταται στην διάχυση της θερµότητας και της µάζας µέσα από το πορώδες στερεό.

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 1: Εισαγωγή στη Στατιστική Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικής Ισχύος Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ (Αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

Τα κύρια σηµεία της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι: Η πειραµατική µελέτη της µεταβατικής συµπεριφοράς συστηµάτων γείωσης

Τα κύρια σηµεία της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι: Η πειραµατική µελέτη της µεταβατικής συµπεριφοράς συστηµάτων γείωσης Κεφάλαιο 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το σηµαντικό στην επιστήµη δεν είναι να βρίσκεις καινούρια στοιχεία, αλλά να ανακαλύπτεις νέους τρόπους σκέψης γι' αυτά. Sir William Henry Bragg 5.1 Ανακεφαλαίωση της διατριβής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοιώσεις Monte Carlo σε GPU

Προσομοιώσεις Monte Carlo σε GPU ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Προσομοιώσεις Monte Carlo σε GPU Δημήτρης Καρκούλης Επιβλέπων: Κ. Αναγνωστόπουλος 15/07/2010 Πρακτική στο

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2013 5/3/2013 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 3, 4, 5 * να παραδοθούν μέχρι τις 22/3/2013 Οι λύσεις των προβλημάτων 8 * και 20 να παραδοθούν μέχρι τις 28/3/2013 1. Για να κερδίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L]

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L] c Σειρές Fourier-Μετασχηματισμός Fourier Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( ) [ ] για την οποία ξέρουμε ότι f() = f( ) =. Μια τέτοια συνάρτηση μπορούμε πάντα να τη γράψουμε : π f( ) = A

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Όρια καταστατικής εξίσωσης ιδανικού αερίου 2. Αποκλίσεις των Ιδιοτήτων των πραγματικών αερίων από τους Νόμους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Μεθοδολογία της Έρευνας ΕΙΚΟΝΑ 1-1 Μεθοδολογία της έρευνας.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Μεθοδολογία της Έρευνας ΕΙΚΟΝΑ 1-1 Μεθοδολογία της έρευνας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή Η Μεθοδολογία της Έρευνας (research methodology) είναι η επιστήμη που αφορά τη μεθοδολογία πραγματοποίησης μελετών με συστηματικό, επιστημονικό και λογικό τρόπο, με σκοπό την παραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΕΤΥ203 3 Ώρες εργαστηρίου την ημέρα Προαπαιτούμενo: Φυσική Ι (ΕΤΥ101) Βαθμός Μαθήματος: 0.1*(Μ.Ο. Βαθμών προφορικής εξέτασης) + 0.5*(Μ.Ο. Βαθμών Αναφορών) + 0.4*(Βαθμός Τελικής εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων»

Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων» Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων» Αργυροπούλου Αιμιλία

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦ ΑΡΜ ΟΣΜ ΕΝΩΝ Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ Φ ΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜ ΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο 3ο-4ο 5ο-6ο 5ο-6ο Μαθηματικού 7ο-8ο Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Προσομοιώσεις Monte Carlo σε GPU ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Δημητρίου Ν. Καρκούλη Επιβλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Σχολικό Έτος 016-017 67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΕΡΙΑ 1. Σχετικές Ατομικές και Μοριακές Μάζες Σχετική Ατομική Μάζα (Α r) του ατόμου ενός στοιχείου, ονομάζεται ο αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscourseswordpresscom/ Βασικές έννοιες Ένα σώμα δεν κινείται πάντα με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

ηλεκτρικό ρεύµα ampere

ηλεκτρικό ρεύµα ampere Ηλεκτρικό ρεύµα Το ηλεκτρικό ρεύµα είναι ο ρυθµός µε τον οποίο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από µια περιοχή του χώρου. Η µονάδα µέτρησης του ηλεκτρικού ρεύµατος στο σύστηµα SI είναι το ampere (A). 1 A =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 5. - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 opyight ΕΜΠ - Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT ΕΝΤΡΟΠΙΑ-ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNO Η εντροπία είναι το φυσικό µέγεθος το οποίο εκφράζει ποσοτικά το βαθµό αταξίας µιας κατάστασης ενός θερµοδυναµικού συστήµατος. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Η εντροπία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική

ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική ΦΥΣ 145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Φυσική 4 η Εργασία Επιστροφή: 24/3/13 Yπενθύµιση: Οι εργασίες πρέπει να επιστρέφονται µε e-mail που θα στέλνετε από το πανεπιστηµιακό σας λογαριασµό το αργότερο µέχρι

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Απρίλιος 13 1. Η Έννοια του Οριακού Στρώματος Το οριακό στρώμα επινοήθηκε για

Διαβάστε περισσότερα

Διαφοροποίηση στρατηγικών διδασκαλίας ανάλογα με το περιεχόμενο στα μαθήματα των φυσικών επιστημών

Διαφοροποίηση στρατηγικών διδασκαλίας ανάλογα με το περιεχόμενο στα μαθήματα των φυσικών επιστημών Διαφοροποίηση στρατηγικών διδασκαλίας ανάλογα με το περιεχόμενο στα μαθήματα των φυσικών επιστημών Κων/νος Στεφανίδης Σχολικός Σύμβουλος Πειραιά kstef2001@yahoo.gr Νικόλαος Στεφανίδης Φοιτητής ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΞΗΣ ΚΟΠΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Ευάγγελος Καστής. Καθ. Αριστομένης Αντωνιάδης ιπλ. Μηχ. (MSc) Χαρά Ευσταθίου

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΞΗΣ ΚΟΠΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Ευάγγελος Καστής. Καθ. Αριστομένης Αντωνιάδης ιπλ. Μηχ. (MSc) Χαρά Ευσταθίου ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΞΗΣ ΚΟΠΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Καθ. Αριστομένης Αντωνιάδης ιπλ. Μηχ. (MSc) Χαρά Ευσταθίου Ευάγγελος Καστής Πολυτεχνείο Κρήτης-Χανιά 016 Παρουσίαση διπλωματικής

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας)

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.1-1 3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) 3.1.1 Γενική διατύπωση 3.1. Εύρος ισχύος της αρχής της υπέρθεσης 3.1.3 Μαθηματικές συνέπειες της αρχής της υπέρθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 20-201 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 20-201 ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΟΡΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ιατύπωση σκεδαζόµενου πεδίου στο FDTD H µέθοδος πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (Finite Difference Time Domain method είναι µια από τις πιο γνωστές και εύχρηστες αριθµητικές µεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5 )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5 ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19/6/2015 ΠΕΜΠΤΗ 18/6/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 17/6/2015 ΤΡΙΤΗ 16/6/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 15/6/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ

3. ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ . ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ Οι πρώτες συστηματικές μετρήσεις της επιδεκτικότητας σε μεγάλο αριθμό ουσιών και σε μεγάλη περιοή θερμοκρασιών έγιναν από τον Curie το 895. Τα αποτελέσματά του έδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 2: Συναρτήσεις Χώροι - Μεταβλητές Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο: Α.Μ. Μέθοδοι Διδασκαλίας Φυσικής

Ονοματεπώνυμο: Α.Μ. Μέθοδοι Διδασκαλίας Φυσικής Ονοματεπώνυμο: Α.Μ. Αθήνα, 28 IAN 2016 Υποθέστε ότι πρόκειται να διδάξετε σε μαθητές Λυκείου τα φαινόμενα: της θέρμανσης και της φωτοβολίας μεταλλικού αγωγού που διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα. Περιγράψτε

Διαβάστε περισσότερα