ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ Κωνσταντίνου Η. Φίλιου Επιλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Οκτώριος 21

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Μελέτη του Πρότυπου Potts στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ Κωνσταντίνου Η. Φίλιου Επιλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή:... Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π.... Λεωνίδας Τσέτσερης Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π.... Νικόλαος Ηργες Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Οκτώριος 21

4 ... Κωνσταντίνος Η. Φίλιος c 21 Εθνικό Μετσόιο Πολυτεχνείο. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Εθνικού Μετσόιου Πολυτεχνείου.

5 Περίληψη Στο παρόν κείμενο μελετάται η κρίσιμη συμπεριφορά στο πρότυπο Potts q καταστάσεων σε διδιάστατα τετραγωνικά πλέγματα με αριθμητικές προσομοιώσεις Monte Carlo. Κατά την εκπόνηση της εργασίας ξαναγράφτηκαν σε γλώσσα προγραμματισμού C οι πρωτότυποι αλγόριθμοι Metropolis [2], Heatbath([2]) και Swendsen-Wang[1] ώστε να λειτουργούν για q καταστάσεις, υπερκύους D διαστάσεων σε ελικοειδείς ή περιοδικές συνοριακές συνθήκες. Ο πλήρης πηγαίος κώδικας παρατίθεται στο παράρτημα για περαιτέρω επεξεργασία και πειραματισμό. Επίσης, οι αλγόριθμοι χρησιμοποιήθηκαν για την διενέργεια προσομοιώσεων με q = 2, 3, 4 όπου αναλυτικά προλέπεται συνεχής μετάαση φάσης και q = 5, 6, 1 όπου προλέπεται μετάαση πρώτης τάξης. Χρησιμοποιώντας κλιμάκωση πεπερασμένου μεγέθους, ανάλυση του Binder Cumulant και του Energy Cumulant έγιναν ποσοτικές εκτιμήσεις της κρίσιμης θερμοκρασίας μετάασης φάσης και ανάδειξη της τάξης της μετάασης. Οι εκτιμήσεις αυτές ρέθηκαν σε συμφωνία με τις ιλιογραφικές αναφορές. Abstract The subject of this text is the critical behaviour of the two-dimensional square q-state Potts model using Monte Carlo simulations. During preparation of this thesis, original Metropolis [2], Heatbath [2] and Swendsen-Wang [1] source code was re-written to perform in q states, D- dimensional hypercubic lattices in both helical or periodic boundary conditional. The complete source code is attached at the appendix and is available for further optimizations and experimentation. Additionaly, these algorithms were used to perform simulations for q = 2,3,4 which are analytically predicted to exhibit continuous phase transitions and for q = 5,6,1 which are expected to possess first-order phase transitions. Utilizing methods of finite size scaling and binder cumulant and energy cumulant analysis, quantitative estimations of critical temperature became possible the order of phase transition was successfully detected. These estimations appear to be in aggreement with bibliographical references and mathematical processing of the model.

6

7 Περιεχόμενα Κατάλογος Σχημάτων Κατάλογος Πινάκων ii v 1 Το μοντέλο Potts Εισαγωγή Χαμιλτονιανή Φυσικάμεγέθη,σταθερέςκαιπαράμετροςτάξης Μεταάσειςφάσης Κρίσιμοιεκθέτεςκαιπαγκοσμιότητα Κλιμάκωσηπεπερασμένουμεγέθους Μεταάσειςφάσηςσετετραγωνικάπλέγματα Παραλλαγέςκαιεπεκτάσεις Προσομοιώσεις Monte Carlo Εισαγωγή Διαδικασίες Markov Οπηγαίοςκώδικας Υπολογιστικόςορισμόςσυνοριακώνσυνθηκώνστις Dδιαστάσεις Χρήσητωνσυνοριακώνσυνθηκώνστονπηγαίοκώδικα Αλγόριθμος Heat-bath Περιγραφήαλγορίθμου Υλοποίησηαλγορίθμου Αλγόριθμος Swendsen-Wang Περιγραφήαλγορίθμου Υλοποίησηαλγορίθμου Αριθμητικοίυπολογισμοί Ανάλυσηαποτελεσμάτων Διενέργειαπροσομοιώσεων Δυοκαταστάσεις(q = 2) Επιστροφή στομοντέλο Ising Αναζήτησητουκρίσιμουσημείουμε Heat-bath Διερεύνησησφαλμάτωνστηνκρίσιμηπεριοχή Ηεπικράτησητουαλγόριθμου Swendsen-Wang Γραφήματαάθμωσης &κρίσιμοιεκθέτες Στοκρίσιμοσημείο

8 ii ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 4 Τρειςκαταστάσεις(q = 3) Εντοπισμόςτουκρίσιμουσημείου Γραφήματαάθμωσης &κρίσιμοιεκθέτες Επίτουκρίσιμουσημείου Τέσσερις καταστάσεις(q = 4) Εντοπισμόςτουκρίσιμουσημείου Γραφήματαάθμωσης &κρίσιμοιεκθέτες Επίτουκρίσιμουσημείου Πέντεκαταστάσεις(q = 5) Εντοπισμόςτουκρίσιμουσημείου Γραφήματαάθμωσης &ψευδο-κρίσιμοιεκθέτες Επίτουκρίσιμουσημείου Καμπύλεςυστέρησης Εξικαταστάσεις(q = 6) Εντοπισμόςτουκρίσιμουσημείου Γραφήματαάθμωσης &κρίσιμοιεκθέτες Επίτουκρίσιμουσημείου Καμπύλεςυστέρησης Δέκακαταστάσεις(q = 1) Ιστόγραμμαμαγνήτισης Καμπύλεςυστέρησης Αʹ Πηγαίος Κώδικας 11 Ευρετήριο 119 Βιλιογραφία 121

9 Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Παραδείγματαδιδιάστατωνπλεγμάτων Παραδείγματα qκαταστάσεωνσε q 1διαστάσεις Μαγνήτισηγια q = 2με Heatbath, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 2με Heatbath, sweeps Binder Cumulantγια q = 2με Heatbath, sweeps Energy Cumulantγια q = 2με Heatbath, sweeps Ειδικήθερμότηταγια q = 2με Heatbath, sweeps Μαγν.επιδεκτικότηταγια q = 2με Heatbath, sweeps Περιοχή(Ι),Ιστόγρ.ενέργειαςγια q = 2, =.7, Heatbath, sweeps Περιοχή(Ι),Ιστόγρ.μαγνήτισηςγια q = 2, =.7, Heatbath, sweeps Περιοχή(Ι),Ολοκληρ.χρόνοςαυτοσυσχέτισηςγια q = 2, =.7, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙΙ),Ιστόγρ.ενέργειαςγια q = 2, = 1.1, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙΙ),Ιστόγρ.μαγνήτισηςγια q = 2, = 1.1, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙΙ),Ολοκληρ.χρόνοςαυτοσυσχέτισηςγια q = 2, = 1.1, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙ),Ιστόγρ.ενέργειαςγια q = 2, =.88, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙ),Ιστόγρ.μαγνήτισηςγια q = 2, =.88, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙ),Ολ.χρόνοςαυτοσυσχέτισης, q = 2, =.88, Heatbath, sweeps Περιοχή(ΙΙ),Χρονοσειράμαγνήτισηςγια q = 2, =.88, Heatbath, sweeps, L = Μαγνήτισηγια q = 2με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 2με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 2με S-W, sweeps Μαγν.επιδεκτικότηταγια q = 2με S-W, sweeps Ειδ.θερμότηταγια q = 2με S-W, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 2με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 2με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 2με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 2με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 2με S-W, sweeps τ int για q = 2με S-Wστοκρίσιμοσημείο FSS L 1 για q = 2με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 2με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 2με S-Wστοκρίσιμοσημείο Μαγνήτισηγια q = 3με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 3με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 3με S-W, sweeps Μαγνητικήεπιδεκτικότηταγια q = 3με S-W, sweeps Ειδ.θερμότηταγια q = 3με S-W, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 3με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 3με S-W, sweeps

10 iv ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ 4.8 Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 3με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 3με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 3με S-W, sweeps τ int για q = 3με S-Wστοκρίσιμοσημείο FSS L 6/5 για q = 3με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 3με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 3με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Μαγνήτισηγια q = 4με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 4με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 4με S-W, sweeps Μαγνητικήεπιδεκτικότηταγια q = 4με S-W, sweeps Ειδικήθερμότηταγια q = 4με S-W, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 4με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 4με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 4με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 4με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 4με S-W, sweeps τ int για q = 4με S-Wστοκρίσιμοσημείο FSS L 3/2 για q = 4με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 4με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 4με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Μαγνήτισηγια q = 5με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 5με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 5με S-W, sweeps Μαγνητικήεπιδεκτικότηταγια q = 5με S-W, sweeps Ειδικήθερμότηταγια q = 5με S-W, sweeps Ενέργειαανάδεσμόγια q = 5με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 5με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 5με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 5με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 5με S-W, sweeps τ int για q = 5με S-Wστοκρίσιμοσημείο FSS L 3/2 για q = 5με S-Wστοκρίσιμοσημείο Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 5με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 5με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 32με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 32με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 32με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 768με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 768με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 768με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 768με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 124με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 124με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 5, L = 124με S-Wστα4 sweeps Μαγνήτισηγια q = 6με S-W, sweeps Binder Cumulantγια q = 6με S-W, sweeps Energy Cumulantγια q = 6με S-W, sweeps Μαγνητικήεπιδεκτικότηταγια q = 6με S-W, sweeps Ειδικήθερμότηταγια q = 6με S-W, sweeps

11 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣΣΧΗΜ ΑΤΩΝ v 7.6 Ενέργειαανάδεσμόγια q = 6με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνήτισηςγια q = 6με S-W, sweeps Βάθμωσημαγνητικήςεπιδεκτικότηταςγια q = 6με S-W, sweeps Βάθμωσηειδικήςθερμότηταςγια q = 6με S-W, sweeps Βάθμωση Binder Cumulantγια q = 6με S-W, sweeps Ιστόγραμμαμαγνήτισηςγια q = 6με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps Ιστόγραμμαενέργειαςγια q = 6με S-Wστοκρίσιμοσημείο sweeps FSS L 3/2 για q = 6με S-Wστοκρίσιμοσημείο Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 192με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 192με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 192με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 192με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 256με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 256με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 256με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 256με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 512με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 512με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 512με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 6, L = 512με S-Wστα8 sweeps Ιστόγραμμαμαγνήτισης, q = 1με S-W, = , L = 64, sweeps Ιστόγραμμαενέργειας, q = 1με S-W, = , L = 64, sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 96με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 96με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 96με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 96με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 128με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 128με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 128με S-Wστα4 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 128με S-Wστα8 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 256με S-Wστα1 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 256με S-Wστα2 sweeps Υστέρησημαγνήτισηςγια q = 1, L = 256με S-Wστα4 sweeps... 1

12 Κατάλογος Πινάκων 1.1 Κρίμοιεκθέτεςγιατοτετραγωνικόμοντέλο Potts Αντιπροσωπευτικέςπεριοχέςμαγνήτισηςγια Heatbath, q = Κρίσιμοιεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Κρίσιμοιεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Ακρόταταιστογραμμάτωνμαγνήτισηςγια q = Ψευδοκρίσιμασημείαγια q = Κρίσιμοιεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Ακρόταταιστογραμμάτωνμαγνήτισηςγια q = Ψευδοκρίσιμασημείαγια q = Πειραματικοίεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Ακρόταταιστογραμμάτωνγια q = Υστέρησηγια q = Ψευδοκρίσιμασημείαγια q = Κρίσιμοιεκθέτεςγια q = Ανεξάρτητεςμετρήσειςστοκρίσιμοσημείογια q = Ακρόταταιστογραμμάτωνγια q = Υστέρησηγια q = Υστέρησηγια q =

13 Κεφάλαιο 1 Το μοντέλο Potts 1.1 Εισαγωγή Η Στατιστική Φυσική είναι εκείνος ο κλάδος της Φυσικής που εφαρμόζει την θεωρία των πιθανοτήτων προκειμένου να περιγράψει την θερμοδυναμική συμπεριφορά σωμάτων που αποτελούνται από τεράστιο πλήθος σωματιδίων συνδέοντας τις μικροσκοπικές ιδιότητες των μεμονωμένων σωματιδίων με τις μακροσκοπικές ιδιότητες του συνόλου τους. Η πλειάδα των παραμέτρων της φυσικής οντότητας που εξετάζουμε κάθε φορά οδηγεί σε αντίστοιχα μοντέλα που ενσωματώνουν σε ένα μαθηματικό πλαίσιο αυτές τις ιδιότητες και τις όποιες απαραίτητες παραδοχές. Ενα τέτοιο στατιστικό μοντέλο είναι το μοντέλο Potts. Στο μοντέλο αυτό περιγράφονται στερεά σώματα που μικροσκοπικά μπορούν να ιδωθούν ως πλέγματα σωματιδίων τα οποία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Κυρίαρχη έννοια στο μοντέλο είναι το spin κάθε σωματιδίου που καταλαμάνει μια θέση πάνω στο πλέγμα, καθώς η δυναμική συμπεριφορά που αναπαρίσταται μαθηματικά από την Χαμιλτονιανή του συστήματος διαμορφώνεται από τις μαγνητικές αλληλεπιδράσεις των spin των σωματιδίων. Η μελέτη που αποτυπώνεται στο υπόλοιπο κείμενο έχει χαρακτήρα περισσότερο διερευνητικό και δεν στοχεύει τόσο στον ποσοτικό προσδιορισμό στοιχείων ή ακριείς προλέψεις μεγεθών όσο στην ψηλάφηση των ποιοτικών χαρακτηριστικών, από τη σκοπιά του μελετητή που έρχεται πρώτη φορά σε επαφή με το μοντέλο. Αυτός είναι, άλλωστε, κι ο λόγος που η μεγαλύτερη έκταση του πονήματος αυτού έχει αφιερωθεί σε γραφήματα που απεικονίζουν τα αποτελέσματα των υπολογιστικών προσομοιώσεων που πραγματοποιήθηκαν για την Μελέτη του Πρότυπου Ποττς στις Δύο Διαστάσεις με Αριθμητικές Προσομοιώσεις Monte Carlo. 1.2 Χαμιλτονιανή Ιστορικά το πρώτο και απλούστερο μοντέλο αλληλεπιδρώντων spin σε πλέγμα ήταν το Ising που ανέπτυξε ο γερμανός φυσικός Ernst Ising( ). Στο μοντέλο αυτό κάθε spin περιοριζόταν σε ένα εύρος δυο καταστάσεων(πάνω και κάτω) με Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης H I = J ij s i s j, Q = { 1,+1} (1.1) Η πιο αξιοσημείωτη προσπάθεια γενίκευσης του μοντέλου έγινε από τους Ashkin-Teller οι οποίοι επεξέτειναν το φάσμα των επιτρεπτών τιμών των spin σε 4 καταστάσεις. Η πλήρης γενίκευση του μοντέλου προτάθηκε το 1952 από τον καθηγητή Cyril Domb στον τότε διδακτορικό του φοιτητή Renfrey Potts( ). Για την ακρίεια, η αρχική διατύπωση του προτύπου προέλεπε q δυνατές τιμές spin που κατανέμονται ομοιόμορφα πάνω σε έναν κύκλο με γωνίες θ n = 2πn q

14 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΤΟΜΟΝΤ ΕΛΟ POTTS και Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης H c = J c cos(θ si θ sj ) ij i,j {1,...,q} Η εκδοχή αυτή είναι σήμερα γνωστή ως διανυσματικό μοντέλο Potts(Vector Potts Model) ήωςμοντέλοτουωρολογίου(clock model)τοοποίοστοόριο q ισοδυναμείμετο XY model. Αντικείμενο διερεύνησης του παρόντος κειμένου αποτελεί το λεγόμενο καθιερωμένο μοντέλο Potts(standard Potts model), με την απλούστερη Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης H = J ij δ(s i,s j ) (1.2) όπου s =, 1, 2,...q 1, q > 1,τα spin qκαταστάσεων,και δ(s i,s j )τοσύμολοτου Kronecker δ(s i,s j ) = { 1 s i = s j s i s j 1.3 Φυσικά μεγέθη, σταθερές και παράμετρος τάξης Τα spin που καταλαμάνουν τις N πλεγματικές θέσεις(sites) και χαρακτηρίζονται από μια εκ των q καταστάσεων, καθώς και η ενεργειακή σταθερά αλληλεπίδρασης J είναι έννοιες θεμελιώδεις για την ίδια την διατύπωση του μοντέλου. Προχωρώντας κανείς, παρόλα αυτά, στη διερεύνηση των ιδιοτήτων του μοντέλου έρχεται σε επαφή με εξίσου σημαντικά φυσικά μεγέθη, συναρτήσεις και παραμέτρους που απορρέουν από τον ορισμό. Πρωτεύουσας σημασίας για κάθε σύστημα που εξετάζεται στο πλαίσιο της στατιστικής μηχανικής είναι η συνάρτηση επιμερισμού(partition function) Z = q 1 s i= e H (1.3) Στην προηγούμενη εξίσωση, για λόγους απλούστευσης και ανεξαρτησίας από αριθμητικές λεπτομέρειες, αντί της θερμοκρασίας T, χρησιμοποιείται η αντίστροφη αδιάστατη θερμοκρασία που ορίζεται ως εξής: = 1/kT (1.4) Η, που καταχρηστικά θα αποκαλείται και θερμοκρασία χωρίς κίνδυνο σύγχυσης, μετριέται σε μονάδες αντίστροφης ενέργειας, ενώ k είναι η σταθερά του Boltzman. Στο σημείο αυτό αξίζει να ξαναγράψουμε την Χαμιλτονιανή της εξ. (1.2) του συστήματος που θεωρούμε στον ορισμό της Z για το μοντέλο μας, ώστε να περιλαμάνει και έναν όρο αλληλεπίδρασης των spin με εξωτερικό πεδίο έντασης B προκειμένου να αναδειχθούν σημαντικά μεγέθη, όπως η μαγνήτιση: H = (J +B) ij δ(s i,s j ) (1.5) Σχετικές ποσότητες που απορρέουν από την συνάρτηση επιμερισμού κατά τα ειωθότα είναι η αναμενόμενη τιμή της ενέργειας ή εσωτερική ενέργεια E = U = logz (1.6) και η ειδική θερμότητα

15 1.4. ΜΕΤΑΒΆΣΕΙΣ ΦΆΣΗΣ 3 C = k 2 2 logz 2 (1.7) Απότηγνωστήσχέσητηςειδικήςθερμότητας Cκαιτηςεντροπίας S C = S υπολογίζουμε την εντροπία, ως προς της συνάρτηση επιμερισμού Z S = k logz Ακολούθως ορίζουμε την ελεύθερη ενέργεια Helmholtz ως +klogz (1.8) F = U TS = kt logz (1.9) Ηδη είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την τελευταία κρίσιμη φυσική ποσότητα του συστήματος, την μαγνήτιση M. Καθώς η μαγνήτιση αποτελεί συζυγή μεταλητή προς την παράμετρο της έντασης του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου, δηλ. πρόκειται για το μέγεθος που μεταάλλεται ως απόκριση στο επιαλλόμενο μαγνητικό πεδίο, η μαθηματική σχέση είναι M = F B (1.1) 1.4 Μεταάσεις φάσης Μετάαση φάσης ονομάζουμε τον μετασχηματισμό ενός θερμοδυναμικού συστήματος από μια φάση ή κατάσταση σε μια άλλη. Ενα τετριμμένο παράδειγμα είναι οι γνωστές μεταάσεις των υλικών ανάμεσα στην αέρια, υγρή και στερεή τους κατάσταση. Σε ένα μαγνητικό μοντέλο όπως το σιδηρομαγνητικό μοντέλο Potts, οι δυο φάσεις που μας ενδιαφέρουν και ανάμεσα στις οποίες μετααίνει το σύστημα είναι η παραμαγνητική και η σιδηρομαγνητική. Στην παραμαγνητική του φάση ένα σύστημα είναι αυθόρμητα αμαγνήτιστο, ενώ μπορεί να αποκτήσει μη-παραμένουσα μαγνήτιση μόνο αν ρεθεί μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Αντιθέτως, στη σιδηρομαγνητική του φάση έχει μόνιμη μαγνήτιση λόγω της διάταξης των spin που το αποτελούν. Εν γένει μια μετάαση φάσης μπορεί να πραγματοποιηθεί λόγω της αλλαγής ενός κυρίαρχου εξωτερικού παράγοντα που επηρεάζει το σύστημα. Στα μαγνητικά μοντέλα δυο κυρίαρχες παράμετροι που οδηγούν σε μετάαση φάσης είναι η θερμοκρασία(temperature-driven phase transition) και το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο(field-driver phase transition), αν υπάρχει. Απαραίτητος στο πλαίσιο της συζήτησης για μεταάσεις φάσης είναι ο ορισμός ενός μεγέθους που σηματοδοτεί τη μία ή την άλλη φάση, και ονομάζεται παράμετρος τάξης(order parameter). Συνήθωςηπαράμετροςτάξηςεπιλέγεταιέτσιώστεστηνμίαφάσηναπαίρνειτηντιμήκαιστην άλλη την τιμή 1. Στο μοντέλο Potts η παράμετρος τάξης είναι η μαγνήτιση ανά πλεγματικό σημείο m = M/L d,όπου Mησυνολικήμαγνήτισητουυλικούπλέγματοςκαι L d τοπλήθοςτωνσημείων του d-διάστατου πλέγματος. Δυο είναι τα σημαντικά χαρακτηριστικά σε μια μετάαση φάσης: Το κρίσιμο σημείο Ηφύσηήτάξηςτηςμετάασης Το κρίσιμο σημείο είναι εκείνη η τιμή του κυρίαρχου μεγέθους που επηρεάζει το σύστημα (θερμοκρασίας, μαγνητικού πεδίου, κλπ) στην οποία συμαίνει η μετάαση φάσης. Στην μελέτη που ακολουθεί το μαγνητικό πεδίο απουσιάζει, συνεπώς η θερμοκρασία T κυερνά τις μεταάσεις. Η τάξη της μετάασης περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο μεταάλλεται η παράμετρος τάξης κατά τη μετάαση και οδηγεί σε έναν πρώτο ασικό διαχωρισμό των μεταάσεων:

16 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΤΟΜΟΝΤ ΕΛΟ POTTS Τις συνεχείς μεταάσεις, κατά τις οποίες η παράμετρος τάξης μεταάλλεται συνεχώς και ομαλά απότηντιμήστηντιμή1 Τις ασυνεχείς μεταάσεις ή πρώτης τάξεις, κατά τις οποίες η καμπύλη της παραμέτρου τάξης είναιασυνεχής,εμφανίζονταςένααπότομοάλμααπότηντιμήστηντιμή1 Οι μεταάσεις φάσης δεύτερης τάξης σε ένα μοντέλο Potts έχουν χαρακτηριστική συνέχεια της καμπύλης μαγνήτισης στην κρίσιμη περιοχή. Για ένα άπειρο πλέγμα του οποίου η δυναμική συμπεριφοράκυριαρχείταιαπότηνθερμοκρασία,στοκρίσιμοσημείο( c )τογράφηματηςμαγνητικής επιδεκτικότητας εμφανίζει απειρισμό και ασυνέχεια. Οι μεταάσεις φάσης πρώτης τάξης στο όριο του απείρου πλέγματος παρουσιάζουν α- συνέχεια της καμπύλης της μαγνήτισης με τη θερμοκρασία. Χαρακτηριστική είναι, άλλωστε, και η εμφάνιση λανθάνουσας θερμότητας, δηλ. της ποσότητας της ενέργειας που το σύστημα απορροφά στο κρίσιμο σημείο χωρίς να αυξάνει τη θερμοκρασία του, που συνοδεύεται από την συνύπαρξη των δυο φάσεων. 1.5 Κρίσιμοι εκθέτες και παγκοσμιότητα Οπως αναφέρθηκε και στην προηγούμενη παράγραφο, η πραγματική εικόνα ενός υλικού το οποίο θεωρούμε ότι έχει πλεγματική δομή νοείται στο όριο όπου το πλήθος των πλεγματικών σημείων που το αποτελούν τείνει στο άπειρο, ή, πρακτικά, είναι πολύ μεγάλο. Δεδομένου, όμως, ότι είναι πρακτικά αδύνατο να προσομοιωθεί ένα άπειρο σύστημα σωματιδίων, καταφεύγουμε στην μελέτη πεπερασμένων πλεγμάτων. Η επιλογή αυτή έχει, φυσικά το κόστος της: Οι απειρισμοί μεγεθών που αναμένονται στην κρίσιμη περιοχή αποκόπτονται και αντικαθίστανται από στρογγυλεμένα μέγιστα. Προς ευχάριστη έκπληξη όλων, έαια, αυτή η αλλοιωμένη εικόνα έχει κάποια συστηματικά χαρακτηριστικά που μας επιτρέπουν να δουλεύουμε σε πεπερασμένα πλέγματα και να εξάγουμε συμπεράσματα για το θερμοδυναμικό όριο όπου το πλέγμα γίνεται πρακτικά άπειρο. Τα συστηματικά αυτά χαρακτηριστικά συμπυκνώνονται στην έννοια της παγκοσμιότητας και των κρίσιμων εκθετών. Η παγκοσμιότητα(universality) είναι η παρατήρηση πως οι ιδιότητες μιας μεγάλης ομάδας φυσικών συστημάτων είναι ανεξάρτητες από τις δυναμικές λεπτομέρειες του συστήματος. Ειδικά στα θερμοδυναμικά συστήματα όπως το Potts που εμφανίζουν παγκοσμιότητα, όσο πιο κοντά εστιάζει κανείς στο κρίσιμο σημείο, τόσο λιγότερο ευαίσθητη είναι η εξάρτηση της ανωμαλίας ενός μεγέθους από τις λεπτομέρειες του συστήματος. Σε μια στενή, λοιπόν, περιοχή γύρω από την κρίσιμη θερμοκρασία, παρατηρεί κανείς ότι ένα ευρύ σύνολο συστημάτων ακολουθεί έναν νόμο της μορφής O t E όπου O η παρατηρήσιμη ποσότητα, E ο κρίσιμος εκθέτης και t η ανηγμένη θερμοκρασία t = T T c T c = c 1 (1.11) Οι κρίσιμοι εκθέτες για τα αντίστοιχα θεμελιώδη μεγέθη είναι οι εξής: ξ = t ν (1.12) χ = t γ (1.13) c = t α (1.14) m = t (1.15) Σημειωτέον ότι ξ είναι το μήκος αυτοσυσχέτισης και ότι είναι ο εκθέτης της μαγνήτισης πουέχεινόημαμόνογια T < T c (αφούγια T T c ημαγνήτισημηδενίζεται)καιδενπρέπεινα συγχέεται με την αντίστροφη θερμοκρασία.

17 1.6. ΚΛΙΜΆΚΩΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΟΥ ΜΕΓ ΕΘΟΥΣ Κλιμάκωση πεπερασμένου μεγέθους Η μέθοδος της κλιμάκωσης πεπερασμένου μεγέθους(finite size scaling) είναι ένας τρόπος εξαγωγής των κρίσιμων εκθετών παρατηρώντας πώς οι παρατηρήσιμες ποσότητες μεταάλλονται με το μέγεθος L του συστήματος. Το μήκος συσχέτισης παίζει κυρίαρχο ρόλο στη συζήτηση που αφορά στις μεταολές του μεγέθους του συστήματος. Εκφράζοντας την ποσότητα O με κρίσιμο εκθέτη E συναρτήσει του μήκους αυτοσυσχέτισης ξ μπορούμε να γράψουμε O ξ E ν Θεωρώνταςτο ξτηντιμήτουμήκουςσυσχέτισηςπουθαείχετοάπειροσύστημαστηνανηγμένη θερμοκρασία t, τότε η αποκοπή της ανωμαλίας(ή του απειρισμού) της καμπύλης του μεγέθους O πραγματοποιείταιγια ξ > L,ενώγια ξ Lοιτιμέςτου Oγιαπεπερασμένοπλέγματαυτίζονταιμε εκείνες του απείρου συστήματος. Συνοπτικά O = ξ E ν fo ( L ξ ) όπου f O (w)μιααδιάστατησυνάρτησημετιςιδιότητες f O (w) =σταθερά, w 1 f O (w) w E ν, w Προκειμένου να εξαλείψουμε το ξ από την παραπάνω εξίσωση ορίζουμε μια νέα αδιάστατη συνάρτηση h O (w) = w E f O (w ν ) απ όπουγνωρίζονταςότι ξ = t ν παίρνουμετελικά O = L E ν ho (L 1 ν t) Εξειδικεύοντας για τα συγκεκριμένα μεγέθη που μας ενδιαφέρουν μπορούμε να γράψουμε χ = L γ ν hχ (L 1 ν t) (1.16) c = L α ν hc (L 1 ν t) (1.17) m = L ν hm (L 1 ν t) (1.18) Η ιδέα της κλιμάκωσης πεπερασμένου μεγέθους είναι ότι κανείς μπορεί να χαράξει την γραφική παράσταση της εκάστοτε συνάρτησης h και μεταάλλοντας τους εκθέτες να εντοπίσει την κρίσιμη τιμή τουςγιατηνοποίαοικαμπύλεςπέφτουνημίαπάνωστηνάλλη.ημέθοδοςαυτήείναιχρήσιμηγιατί μπορεί να χρησιμοποιηθεί και αντίστροφα: Με άση την παγκοσμιότητα, αν γνωρίζουμε από κάποιο άλλο σύστημα που εμπίπτει στην ίδια κλάση με αυτό που μελετούμε τους κρίσιμους εκθέτες, τότε μπορούμε να εντοπίσουμε την κρίσιμη θερμοκρασία(μέσω του t) δίνοντάς της την τιμή για την οποία η καμπύλες συμπίπτουν. 1.7 Μεταάσεις φάσης σε τετραγωνικά πλέγματα Το μοντέλο Potts σε διδιάστατα τετραγωνικά πλέγματα έχει μελετηθεί διεξοδικά. Η ιλιογραφία είναι αρκετά πλούσια σε θεωρητικά αλλά και αριθμητικά αποτελέσματα γεγονός που καθιστά αυτό το πεδίο πρόσφορο για πειραματισμό, καθώς υπάρχουν αρκετά σημεία αναφοράς και ελέγχου. Το άρθρο του Wu του 1982[3] που συνιστά ορόσημο στην μελέτη του Potts δίνει πολλά χρήσιμα αποτελέσματα

18 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΤΟΜΟΝΤ ΕΛΟ POTTS της μαθηματικής επεξεργασίας του μοντέλου, στα οποία ασίστηκε η στρατηγική ανάπτυξης των επόμενων παραγράφων. Σύμφωναμετον Wu,για q 4ημετάασηφάσηςείναισυνεχής,ενώγια q > 4είναιπρώτης τάξης.οικρίσιμεςθερμοκρασίες c γιακάθε qσυμπυκνώνονταιστηναπλήεξίσωση c (q) = ln(1+ q) (1.19) Εξίσου απλή είναι και η σχέση υπολογισμού της ενέργειας στο κρίσιμο σημείο E(q; c ) = 1 (1+ 1 ) q 2 (1.2) Τέλος,απότον Wuέχουμεστηδιάθεσήμαςκαιτονπίνακα1.1μετουςκρίσιμουςεκθέτεςτου μήκους συσχέτισης(ν), ειδικής θερμότητας(α), μαγνήτισης() και μαγνητικής επιδεκτικότητας(γ) όπωςκαιτηλανθάνουσαθερμότητα λγιατοτετραγωνικό Pottsμε q 1. q ν α γ λ Πίνακας 1.1: Κρίμοι εκθέτες για το τετραγωνικό μοντέλο Potts 1.8 Παραλλαγές και επεκτάσεις Ο λιτός ορισμός του Potts ως ένα μοντέλο που περιγράφει ένα σύστημα αλληλεπιδρόντων spin q καταστάσεων εντός πλέγματος ίσως με την πρώτη ματιά δίνει την αίσθηση ότι πρόκειται για ένα απλοϊκό μοντέλο με αξία περισσότερο εκπαιδευτική παρά ερευνητική. Κι όμως, η πλειάδα των παραμέτρων που έπονται του ορισμού είναι ικανή να συνδέσει την διερεύνηση του μοντέλου όχι μόνο με χρήσιμα συμπεράσματα σε θέματα θεωρητικής και πειραματικής μελέτης της φυσικής των υλικών αλλά ακόμα και με ανοιχτά προλήματα πλήθους κλάδων της Φυσικής και θετικών επιστημών. Μια πρώτη διαφοροποίηση προκύπτει από τη σταθερά αλληλεπίδρασης J. Ειδικότερα για J > έχουμε το σιδηρομαγνητικό μοντέλο(ferromagnetic Potts model), που εμφανίζεται συνηθέστερα στην ιλιογραφία και στο οποίο επικεντρώνεται η παρούσα εργασία. Στην περίπτωση αυτή, κάθεδεσμόςανάμεσασεδυοίδια(ήομόρροπα) spinέχειενέργεια J,ενώγιααντίρροπα spinη ενέργεια του δεσμού είναι. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να ευνοούνται οι ομόρροποι δεσμοί ώστε τελικά τα spin τείνουν να ευθυγραμμίζονται, αυξάνοντας τη μαγνήτιση και την τάξη του συστήματος. Βασικός ανταγωνιστικός παράγων στην διαδικασία αυτή της επικράτησης τάξης είναι η θερμοκρασία. Στην περίπτωση του J > έχουμε αντίστοιχα το αντισιδηρομαγνητικό μοντέλο(anti- Ferromagnetic Potts Model), στο οποίο ευνοούνται οι δεσμοί ανάμεσα σε μη ευθυγραμμισμένα spin. Ισως η πιο πλούσια πηγή παραλλαγών στο μοντέλο εισάγεται από τις παραμέτρους της γεωμετρίας του πλέγματος. Η διάσταση του πλέγματος είναι η πρώτη σημαντική παράμετρος που έρχεται στο νου. Τις τελευταίες δεκαετίες τα διδιάστατα πλέγματα(2-d) έχουν τύχει της περισσότερης προσοχής και μελέτης για πολλούς λόγους, ανάμεσα στους οποίους είναι η απλότητα, τα ακριή θεωρητικά/αναλυτικά αποτελέσματα, κλπ.. Παρόλα αυτά, αν και περισσότερο μέσω προσομοιώσεων παρά μέσω άμεσων μαθηματικών προσεγγίσεων, φυσική αξία έχουν τα ρεαλιστικότερα τριδιάστατα

19 1.8. ΠΑΡΑΛΛΑΓ ΕΣ ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ 7 πλέγματα, ενώ οι περισσότερες διαστάσεις σχετίζονται περισσότερο με αφηρημένες δομές κλάδων όπως η θεωρητική πληροφορική και τα μαθηματικά. Παραμένοντας στις ἱδιοτροπίες του πλέγματος, κανείς θα μπορούσε να κάνει διαχωρισμούς α- ναλόγως με την σχετική διάταξη των spin. Ενδεικτικές κατηγορίες είναι τα απλά τετραγωνικά ή κυικά πλέγματα(square lattice), τα τριγωνικά(triangular lattice), τα εξαγωνικά πλέγματα (honeycomb lattice), κλπ.. (αʹ) Τετραγωνικό πλέγμα (ʹ) Τριγωνικό πλέγμα (γʹ) Εξαγωνικό πλέγμα Σχήμα 1.1: Παραδείγματα διδιάστατων πλεγμάτων Η πυκνότητα του πλέγματος είναι επίσης ένας σημαντικός παράγων. Κατά κανόνα, έαια, το Potts καταπιάνεται με θέματα στερεάς κατάστασης, συνεπώς ένα πυκνό πρότυπο, όπου κάθε πλεγματικό σημείο καταλαμάνεται από ένα spin, είναι καταλληλότερο. Παρόλα αυτά η ιλιογραφία έχει αρκετές αναφορές σε διερευνήσεις αραιών μοντέλων dilute Potts model. Περνώντας στα δυναμικά χαρακτηριστικά του πλέγματος, δηλ. στους τρόπους αλληλεπίδρασης των spin μπορούμε ξανά να διακρίνουμε αρκετές περιπτώσεις. Αν και η εργασία επικεντρώνεται σε δεσμούς δυο σημείων(two-point interactions) όπου κάθε spin αλληλεπιδρά άμεσα με τους γείτονές του, ενδιαφέρον παρουσιάζουν και πιο πολύπλοκες δυναμικές συμπεριφορές. Τέτοια παραδείγματα είναι οι αλληλεπιδράσεις πολλαπλών σημείων(multi-site interactions) όπου κάθε spin μπορεί να δημιουργήσει δεσμούς και με απώτερα στοιχεία, αλλά και πιο εξεζητημένες καταστάσεις, όπως τα πρότυπα πάγου spin(spin-ice models) όπου οι αλληλεπιδράσεις εκτείνονται με ακανόνιστο τρόπο μέσα στο πλέγμα, σταθερές ή μετααλλόμενες στη διάρκεια του χρόνου, κλπ.. Τέλος, ο ίδιος ο αριθμός των καταστάσεων που επιτρέπεται να λαμάνουν τα spin είναι καθοριστική παράμετρος του μοντέλου, καθώς επηρεάζει στο μεγαλύτερο, ίσως, αθμό το είδος της μετάασης φάσης που υφίσταται το μοντέλο. (αʹ) q = 2,1διάσταση (ʹ) q = 3,2διαστάσεις (γʹ) q = 4,3διαστάσεις Σχήμα 1.2: Παραδείγματα q καταστάσεων σε q 1 διαστάσεις

20

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΦΟΛΗ ΕΥΑΡΜΟΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΥΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΟΜΕΑ ΥΤΙΚΗ Μελέτη του Προτύπου 2D-Potts σε Υπολογιστικό Περιβάλλον MATLAB ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΣΟΤ Γιάννη Ασσιώτη Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. Ένα κιλό νερού σε θερμοκρασία 0 C έρχεται σε επαφή με μιά μεγάλη θερμική δεξαμενή θερμοκρασίας 100 C. Όταν το νερό φτάσει στη θερμοκρασία της δεξαμενής,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ Θεωρητικη αναλυση μεταλλα Έχουν κοινές φυσικές ιδιότητες που αποδεικνύεται πως είναι αλληλένδετες μεταξύ τους: Υψηλή φυσική αντοχή Υψηλή πυκνότητα Υψηλή ηλεκτρική και θερμική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 1: Εισαγωγή στη Στατιστική Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης Η πραγµατική επιφάνεια ξήρανσης είναι διασπαρµένη και ασυνεχής και ο µηχανισµός από τον οποίο ελέγχεται ο ρυθµός ξήρανσης συνίσταται στην διάχυση της θερµότητας και της µάζας µέσα από το πορώδες στερεό.

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΕΤΥ203 3 Ώρες εργαστηρίου την ημέρα Προαπαιτούμενo: Φυσική Ι (ΕΤΥ101) Βαθμός Μαθήματος: 0.1*(Μ.Ο. Βαθμών προφορικής εξέτασης) + 0.5*(Μ.Ο. Βαθμών Αναφορών) + 0.4*(Βαθμός Τελικής εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοιώσεις Monte Carlo σε GPU

Προσομοιώσεις Monte Carlo σε GPU ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Προσομοιώσεις Monte Carlo σε GPU Δημήτρης Καρκούλης Επιβλέπων: Κ. Αναγνωστόπουλος 15/07/2010 Πρακτική στο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Προσομοιώσεις Monte Carlo σε GPU ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Δημητρίου Ν. Καρκούλη Επιβλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι:

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μια δομή δεδομένων στην πληροφορική, συχνά αναπαριστά οντότητες του φυσικού κόσμου στον υπολογιστή. Για την αναπαράσταση αυτή, δημιουργούμε πρώτα ένα αφηρημένο μοντέλο στο οποίο προσδιορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου J-GANNO ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΑΚΕΤΟ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΕΧΝΗΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ JAVA Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

3 η Εργαστηριακή Άσκηση

3 η Εργαστηριακή Άσκηση 3 η Εργαστηριακή Άσκηση Βρόχος υστέρησης σιδηρομαγνητικών υλικών Τα περισσότερα δείγματα του σιδήρου ή οποιουδήποτε σιδηρομαγνητικού υλικού που δεν έχουν βρεθεί ποτέ μέσα σε μαγνητικά πεδία δεν παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1 ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Προβλήματα μεταφοράς θερμότητας παρουσιάζονται σε κάθε βήμα του μηχανικού της χημικής βιομηχανίας. Ο υπολογισμός των θερμικών απωλειών, η εξοικονόμηση ενέργειας και ο σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 4/9/2015 ΠΕΜΠΤΗ 3/9/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 2/9/2015 ΤΡΙΤΗ 1/9/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 31/8/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο της άσκησης

Περιεχόμενο της άσκησης Προαπαιτούμενες γνώσεις Ημιαγωγοί Θεωρία ζωνών Ενδογενής αγωγιμότητα Ζώνη σθένους Ζώνη αγωγιμότητας Προτεινόμενη βιβλιογραφία 1) Π.Βαρώτσος Κ.Αλεξόπουλος «Φυσική Στερεάς Κατάστασης» 2) C.Kittl, «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΠΕΔΙΑ

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΠΕΔΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 467 ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΠΕΔΙΑ Βαρυπάτη Αθηνά Φυσικός- Επιμορφώτρια Τ.Π.Ε. avarypat@de.sch.gr Μαστραλέξης Δημήτρης Φυσικός-Επιμορφωτής Τ.Π.Ε. dmastral@de.sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο Φυσική Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ II ΕΤΥ20

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ II ΕΤΥ20 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ II ΕΤΥ20 204 3 Ώρες εργαστηρίου την εβδομάδα Προαπαιτούμενo: Φυσική ΙΙ (ΕΤΥ102) Βαθμός Μαθήματος: 0.1*( 1*(Μ.Ο. Βαθμών προφορικής εξέτασης) + 0.5*(Μ.Ο. Βαθμών Αναφορών) + Βαθμός Τελικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ MM505 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΙ Εργαστήριο ο - Θεωρητικό Μέρος Βασικές ηλεκτρικές μετρήσεις σε συνεχές και εναλλασσόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1 DOS H DOS περιγράφει τον αριθμό των καταστάσεων που είναι προσιτές σε ένα σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

ενεργειακών απαιτήσεων πρώτης ύλης, ενεργειακού περιεχομένου παραπροϊόντων, τρόπους αξιοποίησής

ενεργειακών απαιτήσεων πρώτης ύλης, ενεργειακού περιεχομένου παραπροϊόντων, τρόπους αξιοποίησής Πίνακας. Πίνακας προτεινόμενων πτυχιακών εργασιών για το εαρινό εξάμηνο 03-4 ΤΜΗΜΑ: MHXANIKΩN ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ: ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ Α/Α Τίτλος θέματος Μέλος Ε.Π Σύντομη περιγραφή Προαπαιτούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

2η Εργαστηριακή Άσκηση Εξάρτηση της ηλεκτρικής αντίστασης από τη θερμοκρασία Θεωρητικό μέρος

2η Εργαστηριακή Άσκηση Εξάρτηση της ηλεκτρικής αντίστασης από τη θερμοκρασία Θεωρητικό μέρος 2η Εργαστηριακή Άσκηση Εξάρτηση της ηλεκτρικής αντίστασης από τη θερμοκρασία Θεωρητικό μέρος Όπως είναι γνωστό από την καθημερινή εμπειρία τα περισσότερα σώματα που χρησιμοποιούνται στις ηλεκτρικές ηλεκτρονικές

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Νέα µέθοδος προσδιορισµού κατανοµής µεγέθους πόρων για νανοπορώδη υλικά

Νέα µέθοδος προσδιορισµού κατανοµής µεγέθους πόρων για νανοπορώδη υλικά ΑΚΜΩΝ Νέα µέθοδος προσδιορισµού κατανοµής µεγέθους πόρων για νανοπορώδη υλικά Νέα µέθοδος προσδιορισµού κατανοµής µεγέθους πόρων για νανοπορώδη υλικά Τα πορώδη υλικά αποτελούν µια πολύ σηµαντική κατηγορία

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΠΙΝΑΚΩΝ..................................... 13 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΣΧΗΜΑΤΩΝ................................... 14 ΠΡΟΛΟΓΟΣ............................................. 15 ΜΕΡΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

Tεχνική Πληροφορία Διαδικασία Derating για Sunny Boy και Sunny Tripower

Tεχνική Πληροφορία Διαδικασία Derating για Sunny Boy και Sunny Tripower Tεχνική Πληροφορία Διαδικασία Derating για Sunny Boy και Sunny Tripower Με τη διαδικασία Derating, ο μετατροπέας μειώνει την απόδοσή του, ώστε να προστατεύσει τα εξαρτήματα από υπερθέρμανση. Αυτό το έγγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής 1.Σκοπός Άσκηση 9 Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής υγρών Σκοπός της άσκησης είναι ο πειραματικός προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδες) ενός υγρού. Βασικές θεωρητικές γνώσεις.1

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα