Hamiltonian φορμαλισμός

Transcript

1 ΦΥΣ - Διαλ.0 Hamltonan φορμαλισμός q = H H Οι εξισώσεις Hamlton είναι:, p = p q Ø (p,q) ονομάζονται κανονικές μεταβλητές Ø Η είναι συνάρτηση που ονομάζεται Hamltonan Ø Κανονικές μεταβλητές ~ θέση και ορμή Ø Δεν συνδέονται με την σχέση p = mv? q Θέση και ορμή σαν ανεξάρτητες μεταβλητές Ø Επιτρέπει μεγαλύτερο εύρος μετασχηματισμών µεταβλητών σε σχέση με τον Lagrangan φορμαλισμό Ø Ο φορμαλισμός είναι πιο καθαρός και βοηθά στην ανεύρεση και αποδοτική χρήση διατηρούµενων ποσοτήτων εποµένως συµµετριών Ø Υπάρχουν πολλές ομοιότητες με το τι ακολουθεί η QM H = p q L( q, q )

2 ΦΥΣ - Διαλ.0 Επιτυχία μέσα από την αποτυχία... Η αναζήτηση εργαλείων για την επίλυση του προβλήματος 3-σωμάτων απέτυχε Εκτός βέβαια και αν κάποιος θεωρήσει επιτυχία την ανάπτυξη των super computers Αποτέλεσμα αυτής της αναζήτησης είχε σαν επακόλουθο την ανάπτυξη μεθόδων (Lagrangans και Hamltonans) που αποτελούν τις βάσεις της Κβαντομηχανικής Η ανάπτυξη της QM οδηγήθηκε από αναλογίες στους φορµαλισµούς Lagrange και Hamlton Οι θεμελιωτές της QM μεγάλωσαν με κλασική μηχανική Η Κλασική μηχανική είναι ο συνδετικός κρίκος μεταξύ Newton και Schröndnger

3 ΦΥΣ - Διαλ.0 3 Τι θα μελετήσουμε λοιπόν Σύντομη αναδρομή Νευτώνιας Μηχανικής Εξισώσεις Lagrange και αρχή Hamlton Πρόβλημα κεντρικής δύναμης Κίνηση στερεού σώματος Ταλαντώσεις Εξισώσεις Hamlton και κανονικοί μετασχηματισμοί Συμμετρίες Χάος

4 ΦΥΣ - Διαλ.0 4 Στόχος για σήμερα Ανακεφαλαίωση των βασικών αρχών της Newtonan μηχανικής Σύντομα ώστε να μην κοιμηθείτε Συζήτηση της κίνησης ενός σωματιδίου Ορισμός των συμβόλων και τη χρησιμοποίησή τους Ορμές, νόμοι διατήρησης, κινητική και δυναμική ενέργεια Συζήτηση της κίνησης πολλών σωµατιδίων Όλα αυτά πρέπει να σας είναι ήδη γνωστά

5 ΦΥΣ - Διαλ.0 5 Υλικό σημείο q Υλικό σημείο = το αντικείμενο με αμελητέο μέγεθος Ø Ηλεκτρόνιο μέσα σε ένα καθοδικό σωλήνα Ø Η μπάλα του baseball που ρίχνει ένας ptcher Ø H γη που περιστρέφεται γύρω από τον ήλιο q Έχει μάζα m και θέση r ² Ταχύτητα ² Γραμμική ορμή v = d r dt = r " p = m v = m " r q Ο ος νόμος του Newton για την κίνηση F = d p dt = p " = m "" r

6 ΦΥΣ - Διαλ.0 6 Αδρανειακό σύστημα q Η αρχή O του r είναι κάπως αφηρημένη Ø Εκλογή σημείου αρχής μέτρησης à σύστημα αναφοράς q Αδρανειακό σύστημα = σύστημα αναφοράς στο οποίο ισχύει F = "p Ø Ακριβέστερη διατύπωση του ου νόμου του Newton: Υπάρχουν συστήματα αναφοράς για τα οποία η παράγωγος της γραμμικής ορμής ως προς το χρόνο ισούται με την δύναμη Ø Και υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων συστημάτων

7 ΦΥΣ - Διαλ.0 7 Αδρανειακά συστήματα Έστω αδρανειακά συστήματα Α κα Β Ένα υλικό σημείο έχει r A ως προς το A και r B ως προς το B Αρχή συντεταγμένων του Α είναι στη θέση r B r A του Β O Α r A r B F = mr A = mr B r B r A = 0 r B r A = σταϑερο r B -r A Οποιαδήποτε αδρανειακά συστήματα κινούνται με σταθερή σχετική ταχύτητα O Β Ο Γαλιλαίος έδειξε την ισοδυναμία αυτών των συστημάτων

8 ΦΥΣ - Διαλ.0 8 Στροφορμή Ορίζουμε: Ø Στροφορμή Ø Ροπή q Από τη σχέση F = "p L = r p τ = r F εξάγουμε: τ = " L Η σειρά έχει σημασία q Οι ορισμοί εξαρτώνται από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων Ο Ø αφού r εξαρτάται από το Ο τ = L " Ø Η εξίσωση ισχύει για οποιαδήποτε Ο

9 ΦΥΣ - Διαλ.0 9 Διατήρηση της Ορμών Δυο θεωρήματα διατήρησης: q Από: F = "p q Από: τ = " L Αν η ολική δύναμη είναι μηδέν τότε η ορμή διατηρείται Αν η ολική ροπή είναι μηδέν τότε η στροφορμή διατηρείται

10 ΦΥΣ - Διαλ.0 0 Έργο από εξωτερική Δύναμη Υλικό σημείο κινείται από τη θέση στη θέση κάτω από την επίδραση της δύναμης F q Το έργο W που παράγει η δύναμη F ορίζεται ως To έργο που παράγεται ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας W = F δs F d s q H κινητική ενέργεια ορίζεται ως T mv v q Έχουµε τότε: = m d v W dt d = F d s s = = md v d s dt mv W = T T

11 ΦΥΣ - Διαλ.0 Συντηρητική δύναμη q Αν W είναι το ίδιο για κάθε δυνατή διαδρομή από το στο, τότε η F είναι συντηρητική q W εξαρτάται μόνο από τις θέσεις και όχι από τη διαδρομή q Ισοδύναμα άν εκτελέσει μια κλειστή διαδρομή, τότε το έργο είναι μηδέν " F d s = F d s + F d s = 0

12 ΦΥΣ - Διαλ.0 Δυναμική Ενέργεια q Αν η F είναι συντηρητική <-> η F εκφράζεται ως Ø V είναι η δυναμική ενέργεια q Το έργο W εκφράζεται τότε από W = F d s = και V d s = dv W = V V x, y, z F = V r ( ) Ø αλλά βρήκαμε πριν ότι είναι ίσο με Τ -Τ επομένως: Τ + V = T + V Αν η δύναμη είναι συντηρητική τότε η ολική ενέργεια E = Τ + V διατηρείται Θεώρημα διατήρησης Ενέργειας

13 ΦΥΣ - Διαλ.0 3 Σύστημα πολλών υλικών σημείων q Περισσότερο από ένα σημεία à περισσότεροι δείκτες στις εξισώσεις F = " p τ = " L Ø Υπάρχει μια ιδιαιτερότητα: Η F µπορεί να υπάρχει επίσης λόγω της αλληλεπίδρασης µεταξύ των υλικών σηµείων του συστήµατος Ø Ξεχωρίζουμε μεταξύ εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων Δύναμη δρούσα στο σημείο e F F = e F j F F F j + F (e) Δύναμη από το σημείο j Εξωτερική δύναμη

14 ΦΥΣ - Διαλ.0 4 Αθροίζοντας ως προς όλα τα σημεία q Η ολική δύναμη που ασκείται στο σύστημα βρίσκεται αν αθροίσουμε τη προηγούμενη δύναμη ως προς όλα τα σημεία F = F j + F (e) = F j + F (e) ( j ) + F, j j < j Αυτός ο όρος μηδενίζεται όταν Ασθενής νόμος δράσης-αντίδρασης F j = F j F = Ø Δυνάμεις που σημεία αναπτύσσουν το ένα στο άλλο είναι ίσες και αντίθετες q Ο ισχυρός νόμος της δράσης αντίδρασης: Δυνάμεις που σημεία αναπτύσσουν το ένα στο άλλο είναι ίσες, αντίθετες και κατά μήκος της ευθείας που τα ενώνει F (e)

15 ΦΥΣ - Διαλ.0 5 Αθροίζοντας ως προς όλα τα σημεία q Ας δούμε πως γράφονται οι εξισώσεις κίνησης F = F (e) = q Ορίζουμε σαν κέντρο μάζας MR = " F (e) " p = d dt R " F (e) m r m r m = m M r Το κέντρο μάζας κινείται σαν ένα σημείο με μάζα Μ υπό την επίδραση εξωτερικής δύναμης F (e)

16 ΦΥΣ - Διαλ.0 6 Ολική γραμμική ορμή q Το άθροισμα των γραμμικών ορμών είναι P = p = m " r = M R " q Παραγώγηση ως προς τον χρόνο δίνει: " P = M "" R = F (e) q Διατήρηση της ολικής γραμμικής ορμής Η εξίσωση κίνησης του Newton για το κέντρο μάζας (CM) Αν η ολική εξωτερική δύναμη F (e) είναι μηδέν τότε η ολική γραμμική ορμή P διατηρείται Ø Υποθέσαμε ασθενή νόμο δράσης - αντίδρασης

17 ΦΥΣ - Διαλ.0 7 Ολική στροφορμή q Το άθροισμα των στροφορμών είναι: L = L = r p q Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο και από τη σχέση: " L = r F j +, j j " p = F = j F j + F (e) r F e ( ) Ολική εξωτερική ροπή Αυτός ο όρος μηδενίζεται αν και μόνο αν η δύναμη F j ικανοποιεί τον ισχυρό νόμο δράσης αντίδρασης

18 ΦΥΣ - Διαλ.0 8 Ολική στροφορμή q Υποθέτοντας ισχυρό νόμο δράσης αντίδρασης " L = r F e ( ) = ( ) τ e = τ (e) Διατήρηση της ολικής στροφορμής Αν η ολική εξωτερική ροπή τ (e) είναι μηδέν, η ολική στροφορμή διατηρείται Ένα σύστημα πολλών σημείων (= εκτενές σώμα) μπορεί να θεωρηθεί σαν υλικό σημείο αν οι εσωτερικές δυνάμεις υπακούν στον ισχυρό νόμο της δράσης αντίδρασης

19 ΦΥΣ - Διαλ.0 9 Νόμοι δράσης - αντίδρασης q Οι περισσότερες δυνάμεις που ξέρουμε υπακούν στον ισχυρό νόμο δράσης - αντίδρασης z Ø Βαρύτητα Ø Ηλεκτροστατική δύναμη q Υπάρχουν εξαιρέσεις: x Β (από q ) Ø Η δύναμη Lorentz που εμφανίζεται σε κινούμενα φορτία v Β (από q ) q v q F F y Ø Η γραμμική ορμή και στροφορμή δεν διατηρούνται q Αν όμως πάρουμε υπ όψη το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Ø Τα σωματίδια ανταλλάσουν δυνάμεις με το πεδίο Ø Το πεδίο από μόνο του έχει γραμμική ορμή και στροφορμή Ø Για ταχύτητες v<<c η μαγνητική δύναμη μεταξύ q και q είναι πολύ μικρή σε σχέση με τη δύναμη Coulomb. Οι νόμοι διατήρησης επανήλθαν

20 ΦΥΣ - Διαλ.0 0 Νόμοι διατήρησης Ασθενής νόμος δράσης αντίδρασης Ισχυρός νόμος δράσης αντίδρασης Διατήρηση της Διατήρηση της P L Ø Θα δούμε αργότερα ότι P και L πρέπει να διατηρούνται αν οι νόμοι της φυσικής είναι ισοτροπικοί στο χώρο ² Δεν υπάρχει κάποια προτιμητέα αρχή ² Δεν υπάρχει προτιμητέα κατεύθυνση ή προσανατολισμός Αν δεχθούμε αυτές τις συμμετρίες σα θεμελιώδεις αρχές τότε όλες οι δυνάμεις πρέπει να ικανοποιούν το νόμο της δράσης - αντίδρασης «Απόδειξη» του 3 ου νόμου του Newton

21 ΦΥΣ - Διαλ.0 Ολική στροφορμή q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r = r R q Ορίζουμε επίσης τις ταχύτητες: v = " r v = και R " Ø Υπολογίζουμε την ολική στροφορμή L = r p = L = R M v + ( r + R ) m v + v ( ) r m v Η στροφορμή της κίνησης συγκεντρωμένη στο CM Στροφορμή της κίνησης γύρω από το CM

22 Ολική στροφορμή q Θεωρήστε τη κίνηση ενός πλανήτη γύρω από τον ήλιο (υποθέτουμε ότι εξαιτίας της μάζας του είναι ακίνητος). L πλαν. = L περιστρ. + L spn q Ο διαχωρισμός είναι χρήσιμος γιατί πολύ συχνά τα τμήματα διατηρούνται το καθένα ξεχωριστά: L περιστρ. = R P " Lπεριστρ. = " R P + R "P = R F (e) 0 = " R M "R L περιστρ. μεταβάλλεται σαν ο πλανήτης να ήταν υλικό σημείο με όλη τη μάζα του συγκεντρωμένη στο CM. Αν η δύναμη του ήλιου στο πλανήτη ήταν ακριβώς κεντρική τότε η F (e) //R και η στροφορμή θα ήταν σταθερή. Πολύ κοντά στην πραγματικότητα ΦΥΣ - Διαλ.0 q Η μεταβολή της ιδιο-στροφορμής (spn) βρίσκεται αν γράψουμε: L spn = L πλαν. L περιστρ. Lspn " = Lπλαν ". Lπεριστρ. " () L " πλαν. = r " F (e) = ( r + R ) F (e) = r F (e) + R F (e) (3) " Αντικαθιστώντας () και (3) στη () έχουμε: L spn = r F (e) = (e) τ ως προς CM ()

23 ΦΥΣ - Διαλ.0 3 Ολική στροφορμή q Η μεταβολή της ιδιοστροφορμής ισούται με την εξωτερική ροπή μετρούμενη ως προς το CM L " spn = r F (e) = (e) τ ως προς CM Ø Είναι λίγο απρόσμενο μια και ένα σύστημα αναφοράς συνδεδεμένο με το CM δεν είναι αδρανειακό. Ø Από τη στιγμή που η ροπή που ασκεί ο ήλιος ως προς το CM ενός οποιουδήποτε πλανήτη είναι πολύ μικρή, L spn είναι σχεδόν σταθερή Ø Στην πραγματικότητα υπάρχει μια μικρή ροπή (π.χ. για τη γη, η εξόγκωση του ισημερινού) και L spn δεν είναι σταθερή Σαν αποτέλεσμα προκαλείται περιστροφή του άξονα περιστροφής της γης ως προς τους αστέρες κατά 50 δεύτερα ακτινίου το χρόνο

24 ΦΥΣ - Διαλ.0 4 Κινητική ενέργεια q Το έργο που παράγεται από δύναμη είναι Οι θέσεις και είναι τώρα καταστάσεις του συστήματος (σύνολο θέσεων) T = W = T T όπου T = m v m ( v + v ) ( v + v ) = m v + m v + v d dt W = F ds q Χρησιμοποιώντας την εξίσωση της κίνησης βρίσκουμε την κινητική ενέργεια v dv W = F ds = m dt ds = m dv ds = dt m v Ø Χωρίζουμε την Τ σε μέρη (θυμηθείτε r = r + R v = v + v) m r 0 Η κίνηση επικεντρώνεται στο CM T = Mv + m v Η κίνηση γύρω από το CM

25 ΦΥΣ - Διαλ.0 5 Δυναμική ενέργεια,, x y z Υποθέτουμε συντηρητική εξωτερική δύναμη (e) F d S = V d S = V F (e) = V Υποθέτουμε ακόμα συντηρητικές εσωτερικές δυνάμεις F j = V j Για να ικανοποιεί τον ισχυρό νόμο δράσης-αντίδρασης: V j = V j r r j ( ) Δυναμικό εξαρτάται μόνο από την απόσταση, j j F j d S = V j d S πράξεις, j j, j j V j

26 ΦΥΣ - Διαλ.0 6 Διατήρηση της ενέργειας q Αν όλες οι δυνάμεις είναι συντηρητικές, μπορούμε να ορίσουμε την ολική δυναμική ενέργεια V = V + V j, j j Εσωτερική δυναμική ενέργεια Και έπεται ότι η ολική ενέργεια Τ+ V διατηρείται Εξαρτάται από την ενδο-ατομική απόσταση όλων των υλικών σημείων του συστήματος Είναι σταθερή αν η σχετική ενδοατομική κατάσταση των σημείων είναι καθορισμένη και αμετάβλητη Στερεό σώμα