Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:"

Transcript

1 Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας Ένα δείγµα θα πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικό (representative), δηλαδή να αντικατοπτρίζει ικανοποιητικά τη δοµή και τα χαρακτηριστικά του πληθυσµού, από τον οποίο προέρχεται. Για οποιαδήποτε στατιστική ανάλυση, λαµβάνουµε ένα δείγµα n παρατηρήσεων (Χ 1, Χ n ) το οποίο θα πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικό. Η παρατήρηση i είναι τυχαία µεταβλητή, εφόσον υπάρχει αβεβαιότητα ως προς το ποια τιµή θα πάρει (τουλάχιστον µέχρι τη στιγµή της λήψης του δείγµατος). Πάντοτε συµβολίζεται µε κεφαλαίο γράµµα. Για παράδειγµα Χ ι ~Ν(µ,σ 2 ). Μετά τη λήψη του δείγµατος η παρατήρηση i είναι ένας αριθµός και για αυτό παριστάνεται µε µικρό γράµµα. Γιατί πρέπει ένα δείγµα να είναι τυχαίο? ιότι η τυχαιότητα του δείγµατος οδηγεί στην αντιπροσωπευτικότητα του και µας επιτρέπει να διατυπώσουµε προτάσεις για τις παραµέτρους του πληθυσµού (Στατιστική συµπερασµατολογία). 2. Στατιστικές και οι κατανοµές πιθανότητάς τους (κατανοµές δειγµατοληψίας). Μια συνάρτηση των n παρατηρήσεων ενός τυχαίου δείγµατος (Χ 1, Χ n ), η οποία δεν περιλαµβάνει άγνωστες παραµέτρους ονοµάζεται στατιστική (statistic). Για παράδειγµα µπορείτε να θεωρήσετε το δειγµατικό µέσο. εδοµένου ότι οι παρατηρήσεις Χ 1, Χ n είναι τυχαίες µεταβλητές, και οι στατιστικές, οι οποίες είναι συναρτήσεις των Χ 1, Χ n, είναι τυχαίες µεταβλητές. Η κατανοµή πιθανότητας µίας στατιστικής ονοµάζεται κατανοµή δειγµατοληψίας (sampling distribution). Θεωρητικά η κατανοµή δειγµατοληψίας προκύπτει αν δηµιουργήσουµε όλα τα δυνατά δείγµατα µεγέθους n από τον πληθυσµό και για κάθε από αυτό υπολογίζουµε τη στατιστική που Τιµόθεος Αγγελίδης 1

2 µας ενδιαφέρει. Η κατανοµή συχνότητας της στατιστικής αυτής θα αντιπροσωπεύει την κατανοµή δειγµατοληψίας. 3. Η κατανοµή δειγµατοληψίας του δειγµατικού µέσου Έστω ότι επιθυµούµε να εκτιµήσουµε την άγνωστη τιµή του µέσου ενός πληθυσµού, χρησιµοποιώντας ένα δείγµα. Προφανώς θα χρησιµοποιήσουµε την συνάρτηση του δειγµατικού µέσου (estimate) του, ενώ η στατιστική. Η τιµή που θα προκύψει ονοµάζεται εκτίµηση ονοµάζεται εκτιµητής (estimator). Ισχύει ότι:. Ωστόσο, αν έχουµε χρησιµοποιήσει µόνο ένα δείγµα, η µέση του τιµή ( ) είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα διαφέρει από τη µέση τιµή του πληθυσµού. Για να προσεγγίσουµε το πραγµατικό µέσο θα πρέπει να αυξήσουµε το µέγεθος του δείγµατος, έτσι ώστε ο µέσος όλων των δειγµατικών να ισούται µε τον πληθυσµιακό (Ιδιότητα αµεροληψίας). 3.1 Αύξηση του µεγέθους του δείγµατος και µείωση του σφάλµατος εκτίµησης. εδοµένου ότι αρκεί και µόνο µία παρατήρηση για να ισχύει ότι, γιατί θα πρέπει να χρησιµοποιούµε δείγµατα µεγαλύτερου µεγέθους? Ο λόγος είναι ότι αν, τότε ο δειγµατικός µέσος εκτιµάει τον πληθυσµιακό ( ) µε µεγαλύτερη ακρίβεια, αφού η διακύµανση του µέσου ( ) είναι µικρότερη από τη διακύµανση του ( ). Απόδειξη: Εφόσον οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες, ισχύει ότι: και εποµένως αν. Η τυπική απόκλιση του, η οποία ονοµάζεται και τυπικό σφάλµα (standard error) του και η οποία συµβολίζεται µε Τιµόθεος Αγγελίδης 2

3 Η παραπάνω ανάλυση αφορούσε την περίπτωση που τα δείγµατα προέρχονταν από ένα άπειρο πληθυσµό. Αν υποθέσουµε ότι τα δείγµατα µεγέθους προέρχονται από ένα πεπερασµένο πληθυσµό, τότε ισχύει (χωρίς απόδειξη): Συµπερασµατικά, το τυπικό σφάλµα του µέσου µικραίνει καθώς το µέγεθος του δείγµατος αυξάνει. Η σχέση αυτή µπορεί να παρουσιαστεί και γραφικά: Ν=1 Ν=100 Ν=1000 Παράδειγµα Έστω ότι το µηνιαίο καθαρό εισόδηµα πέντε επιχειρήσεων (Ν=5), είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας. α) Να βρείτε το µέσο και την διακύµανση του πληθυσµού. β) Να βρείτε το µέσο όλων των δειγµάτων (χωρίς επαναφορά) και την διακύµανση της κατανοµής των µέσων για n=2 και n=3. Οικογένειες Α Β Γ Ε Καθαρό µηνιαίο εισόδηµα (σε χιλιάδες) Τιµόθεος Αγγελίδης 3

4 Λύση α) µ = = σ 2 = 5 i= 1 ( x µ ) i 5 β) Για n=2 έχουµε, είγµατα ΑΒ ΑΓ Α ΑΕ ΒΓ Β ΒΕ Γ ΓΕ Ε 2 = 2599,98 Μέσοι δειγµάτων Άθροισµα 1100 Ο µέσος των µέσων όλων των δειγµάτων είναι, ~ xi x = = 1100/10 = 110 = µ (ο µέσος του 10 πληθυσµού). Η διακύµανση της κατανοµής των µέσων των δειγµάτων είναι, σ 2 x = [( ) 10 + (90 110) (80 110) ] = 975. Επίσης µπορούµε να εφαρµόσουµε τον τύπο, 2 2 σ σ x = n N n N , = = Για n=3, έχουµε Τιµόθεος Αγγελίδης 4

5 είγµατα Μέσοι δειγµάτων ΑΒΓ 130 ΑΒ 133,33 ΑΒΕ 126,66 ΑΓ 90 ΑΓΕ 83,33 Α Ε 86,66 ΒΓ 126,66 ΒΓΕ 120 Β Ε 123,33 Γ Ε 80 Άθροισµα 1100 Ο µέσος των µέσων όλων των δειγµάτων είναι, ~ xi x = = 1100/10 = 110 = µ (ο µέσος του 10 πληθυσµού). Η διακύµανση της κατανοµής των µέσων των δειγµάτων είναι, 2 2 σ σ x = n N n = 433,33. N 1 4. Η κατανοµή δειγµατοληψίας της διακυµάνσεως,. Ο εκτιµητής της διακύµανσης του πληθυσµού,, ορίζεται από την επόµενη σχέση: Στον παρονοµαστή χρησιµοποιούµε αντί για γιατί ο εκτιµητής έχει την επιθυµητή ιδιότητα της αµεροληψίας (που θα δούµε στη συνέχεια), δηλαδή. Θεώρηµα: Αν ο πληθυσµός από τον οποίο προέρχεται το δείγµα είναι κανονικός µε διακύµανση, τότε: Τιµόθεος Αγγελίδης 5

6 Παράδειγµα: Έστω ότι σε µία µεγάλη πόλη η ετήσια δαπάνη για κρέας µίας τετραµελούς οικογένειας κατανέµεται κανονικά µε τυπική απόκλιση εκατοµµύρια δραχµές. Σε ένα τυχαίο δείγµα οικογενειών, ποια είναι η πιθανότητα η τυπική απόκλιση να υπερβαίνει τα 0.3 εκατ. δραχµές? Λύση: Γνωρίζω ότι. Εποµένως 5. Οι κατανοµές δειγµατοληψίας των στατιστικών και, όταν ο πληθυσµός είναι κανονικός. Στην επαγωγική Στατιστική χρησιµοποιούµε τα ακόλουθα θεωρήµατα: Θεώρηµα: Αν ο πληθυσµός από τον οποίο προέρχεται το δείγµα είναι κανονικός µε µέσο και γνωστή διακύµανση, τότε µπορούµε να συµβολίσουµε και συνεπώς: Θεώρηµα: Αν ο πληθυσµός από τον οποίο προέρχεται το δείγµα είναι κανονικός µε µέσο και άγνωστη διακύµανση την οποία την αντικαθιστούµε µε τη δειγµατική διακύµανση : Σηµείωση: Είναι σηµαντικό να αναφερθεί ότι και αν ακόµη οι µεταβλητές δεν ακολουθούν την κανονική κατανοµή, η µέση τιµή του δείγµατος τείνει προς την κανονική κατανοµή ασυµπτωτικά. ηλαδή, ισχύει η σχέση. Η κατανοµή της προσεγγίζει ικανοποιητικά την κανονική όταν για Τιµόθεος Αγγελίδης 6

7 ανεξάρτητα από το είδος της κατανοµής του πληθυσµού από τον οποίον προέρχονται τα δείγµα. Αν, η προσέγγιση είναι καλή µόνο αν η κατανοµή του πληθυσµού δεν διαφέρει πολύ από την κανονική κατανοµή. Παράδειγµα: Έστω ότι η ετήσια αποταµίευση (σε εκατ. δρχ. ) µίας κατηγορίας νοικοκυριών είναι µία τυχαία µεταβλητή, Χ, η οποία ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέσο και τυπική απόκλιση. Αν πάρουµε ένα τυχαίο δείγµα νοικοκυριών από τον πληθυσµό αυτών, ποια είναι η πιθανότητα ο µέσος του δείγµατος να υπερβαίνει τα 6 εκατ. δρχ.? Λύση: Εφόσον το δείγµα προέρχεται από κανονικό πληθυσµό µε γνωστή διακύµανση, ισχύει ότι: Αν δεν γνωρίζαµε την τυπική απόκλιση του πληθυσµού, τότε θα εργαζόµασταν µε την δειγµατική τυπική απόκλιση. Έστω ότι η δειγµατική τυπική απόκλιση ισούται µε : 6. Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Έχει αποδειχθεί ότι ανεξάρτητα από τη µορφή του πληθυσµού, η κατανοµή του δειγµατικού µέσου προσεγγίζει την κανονική καθώς το µέγεθος του δείγµατος τείνει στο άπειρο ( ). Στην πρόταση αυτή βασίζεται το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα. Θεώρηµα: Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα: Έστω ότι είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές που έχουν όλες την ίδια κατανοµή, η οποία έχει πεπερασµένο µέσο ( ) και πεπερασµένη διακύµανση ( ) και έστω ότι ο αριθµητικός µέσος των. Καθώς ισχύει ότι Τιµόθεος Αγγελίδης 7

8 Η σχέση αυτή ουσιαστικά εκφράζεται ως: Αν, η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής συγκλίνει στην τυποποιηµένη κανονική κατανοµή. Η ασυµπτωτική κατανοµή του µέσου είναι η εξής: Συµπερασµατικά, όταν η κατανοµή του µέσου είναι άγνωστη, τότε µπορούµε να την προσεγγίσουµε µε την κατανοµή, µε την προϋπόθεση ότι το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάλο (>30). Κάτω από αυτή την υπόθεση, η κατανοµή της προσεγγίζεται από την και συνεπώς µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τους πίνακες της τυποποιηµένης κατανοµής. Στην περίπτωση η στατιστική συνάρτηση που µας ενδιαφέρει είναι η κατανοµή του αθροίσµατος, ισχύει ότι Παράδειγµα: Το καθαρό βάρος (σε κιλά) 1000 πακέτων ζυµαρικών έχει και. Αν επιλέξουµε τυχαία 100 πακέτα, ποια είναι η πιθανότητα το µέσο βάρος τους να είναι µικρότερο από 4.5 κιλά? Λύση: Έχουµε. Επειδή ο πληθυσµός είναι πεπερασµένος, το τυπικό σφάλµα θα ισούται µε. εδοµένου ότι το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάλο, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα. Συνεπώς Στην περίπτωση που η διακύµανση του πληθυσµού θεωρείται άγνωστη, η αντικαθίσταται µε την δειγµατική τυχαία µεταβλητή. Η τυχαία µεταβλητή, η οποία ακολουθεί την κατανοµή, µπορεί να θεωρηθεί ότι ακολουθεί προσεγγιστικά την, ανεξάρτητα από την µορφή του πληθυσµού, Τιµόθεος Αγγελίδης 8

9 εφόσον το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάλο (n>30). Κάτω από αυτή τη συνθήκη µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον πίνακα της αντί της. Παράδειγµα: Στο προηγούµενο παράδειγµα θεωρείστε ότι δεν γνωρίζαµε ότι είχαµε υπολογίσει τη δειγµατική εκτίµηση, αλλά Λύση: και συνεπώς Παράδειγµα: Ο ιευθυντής του αεροδροµίου µελετά τις καθυστερήσεις των αναχωρήσεων. Από τα στατιστικά στοιχεία προκύπτει ότι σχεδόν το 84,1% των πτήσεων έχουν καθυστέρηση µικρότερη των 25 λεπτών ενώ περίπου το ένα πέµπτο των πτήσεων καθυστερούν το πολύ 15,8 λεπτά. Με την υπόθεση ότι ο χρόνος καθυστέρησης κατανέµεται κανονικά ποια είναι η µέση διάρκεια (µ) και η τυπική απόκλιση (σ) των καθυστερήσεων. Λύση: Από τον πίνακα των εµβαδών της κανονικής κατανοµής µε στοιχείο εισόδου τις αθροιστικές πιθανότητες έχουµε: Ρ(Ζ < 1) = 0,841 και Ρ(Ζ < -0,84) = 0,200 και εποµένως (25 - µ)/σ = 1 25= σ + µ και (15,8-µ)/σ = -0,84 15,8= -0,84σ + µ Από τη λύση του συστήµατος έχουµε σ = 5 λεπτά και µ = 20 λεπτά. Παράδειγµα: Μία µεγάλη κατασκευαστική εταιρεία πρόκειται να χρηµατοδοτήσει έναν ποδηλατικό αγώνα που διοργανώνει ο δήµος της πόλης. Αναµένεται να δηλώσουν συµµετοχή περίπου άτοµα. Από προηγούµενες εκδηλώσεις είναι γνωστό ότι ο χρόνος κάλυψης της διαδροµής (γύρος της πόλης) κατανέµεται κανονικά µε µέσο 180 λεπτά και Τιµόθεος Αγγελίδης 9

10 τυπική απόκλιση 20 λεπτά. 1. Πόσα µετάλλια θα χρειαστούν εάν η εταιρία δώσει από ένα σε όσους τερµατίσουν σε χρόνο κάτω από 2 ώρες. 2. Πόσα φούτερ θα χρειαστούν εάν η εταιρία δώσει δωρεάν από ένα σε όσους τερµατίσουν σε χρόνο κάτω από 3,5 ώρες (αλλά πάνω από 2 ώρες). 3. Πόσα µπλουζάκια θα χρειαστούν για όσους τερµατίσουν σε χρόνο περισσότερο από 3,5 ώρες. 4. Τέλος, ποιό είναι το προβλεπόµενο κόστος της εκδήλωσης µε βάση τις εξής τιµές αγοράς των δώρων: µετάλλιο 40, φούτερ 20, και µπλουζάκι 5. Λύση: Η λύση βασίζεται στα εµβαδά της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής, και µε την προϋπόθεση ότι οι χρόνοι τερµατισµού θα εκφράζονται σε λεπτά. Έτσι, 1. Για χρόνο < 2 ώρες, δηλαδή Χ < 2 60 = 120 λεπτά Ζ = (Χ-µ)/σ = ( )/20 = -3 Ρ(Ζ<-3) = 0,00135 δηλαδή, (30.000) (0,00135) = 41 µετάλλια 2. Για χρόνο > 2 ώρες και < 3,5 ώρες, δηλαδή 120 <Χ< 210 Ζ 1 =-3 και Ζ 2 = (Χ 2 -µ)/σ = ( )/20 = 1,5 Ρ(-3<Ζ<1,5)=Ρ(Ζ<1,5)-Ρ(Ζ<-3)=0, ,00135=0,93184 Τιµόθεος Αγγελίδης 10

11 δηλαδή, (30.000) (0,93184) = φούτερ 3. Για χρόνο > 3,5 ώρες, δηλαδή Χ > 210 λεπτά ή Ζ > 1,5 Ρ(Ζ>1,5) = 1-Ρ(Ζ<1,5) = 1-0,93319 = 0,06681 δηλαδή, (30.000) ( 0,06681) = µπλουζάκια 4. Με βάση τα παραπάνω το προβλεπόµενο κόστος είναι: µετάλλια: 41 x 40 = φούτερ: x 20 = µπλουζάκια: x 5 = Σύνολα δώρα Παράδειγµα Έστω Χ= αριθµός των ωρών ανά εβδοµάδα που βρίσκονται στο «campus» οι φοιτητές, τότε Χ~Ν(µ,5 2 ). Θέλουµε να βρούµε n ώστε P( X µ < 1) 0,90. Από τα στοιχεία πιο πάνω ξέρουµε ότι X N 2 5, n ~ µ, τότε, X µ 1 1 P( X µ < 1) = P = < P Z < 5 n 5 n 5 n = n P Z < 5 (... παριστά την απόλυτη τιµή). Από το πίνακα της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής πρέπει να βρούµε εκείνο το αριθµό που αφήνει 5% του εµβαδού δεξιά, δηλαδή 1,645. Τότε έχουµε, n 5 = 1,645, λύνουµε και βρίσκουµε n=68. Τιµόθεος Αγγελίδης 11

12 7. Προσέγγιση της ιωνυµικής και της Poisson κατανοµής µε την Κανονική Έστω είναι µια διωνυµική κατανοµή, όπου είναι ανεξάρτητες Bernoulli µεταβλητές µε, όπου είναι η πιθανότητα επιτυχίας κάθε δοκιµής και είναι ο αριθµός των επιτυχιών. Όταν το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάλο, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα: Εποµένως, µπορούµε να βασισθούµε στην κατανοµή για τον υπολογισµό των διωνυµικών πιθανοτήτων. Τέλος, θα πρέπει να σηµειωθεί ότι ακρίβεια της προσεγγίσεως δεν εξαρτάται µόνο από το, αλλά και από το. Για να είναι ικανοποιητική η προσέγγιση θα πρέπει: και. Για να προσεγγιστεί η Poisson από την κανονική, θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε ότι η τυχαία µεταβλητή αριθµός συµβάντων κατά τη χρονική περίοδο έχει Poisson κατανοµή µε είναι «µεγάλο». ιαιρούµε τη χρονική µονάδα σε ίσα υποδιαστήµατα, το καθένα µήκους και ορίζουµε τις µεταβλητές ως τον αριθµό των συµβάντων (0,1) στο πρώτο, δεύτερο, n-στο υποδιάστηµα, αντίστοιχα. Με αυτόν µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η τυχαία µεταβλητή, όπου είναι µια Bernoulli µε και συνεπώς. 8. Η κατανοµή δειγµατοληψίας της αναλογίας του δείγµατος Η αναλογία των επιτυχιών, µε βάση µιας ακολουθίας Bernoulli µεταβλητών, ορίζεται Η στατιστική είναι ο εκτιµητής της παραµέτρου. Επειδή η τυχαία µεταβλητή έχει διωνυµική κατανοµή µε µέσο και διακύµανση ισχύει Τιµόθεος Αγγελίδης 12

13 και Ο παραπάνω τύπος ισχύει όταν το µέγεθος του πληθυσµού είναι πολύ µεγαλύτερο από το µέγεθος του δείγµατος. Σε αντίθετη περίπτωση, όπως και για τη διακύµανση του µέσου, θα πρέπει αυτή η ποσότητα να πολλαπλασιαστεί µε. Συνοψίζοντας, το τυπικό σφάλµα της αναλογίας συµβολίζεται µε και υπολογίζεται ανάλογα µε το µέγεθος του πληθυσµού Ασυµπτωτικά, η κατανοµή της στατιστικής είναι Με βάση το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα και τη σχέση οποία διαιρούµε µε προκύπτει:, την Παράδειγµα: Έστω ότι προκηρύσσεται µία θέση στο δηµόσιο και το σύνολο των υποψηφίων που θα επιθυµούσαν να υποβάλλουν αίτηση είναι 300 άτοµα, από τα οποία τα 90 είναι γυναίκες. Εξαιτίας ανεπαρκούς διαφηµίσεως της θέσης, µόνο 48 υποψήφιοι µαθαίνουν τυχαία για τη θέση και υποβάλλουν τα δικαιολογητικά. Ποια είναι η πιθανότητα το ποσοστό των υποψηφίων γυναικών στο δείγµα να είναι µικρότερο από 20%. Λύση: Τιµόθεος Αγγελίδης 13

14 Επειδή ο πληθυσµός είναι πεπερασµένος, ο σωστός τύπος του τυπικού σφάλµατος της αναλογίας του δείγµατος είναι, οπότε. Άρα, µε βάση τη σχέση, Παράδειγµα Είναι γνωστό από έρευνα µεταξύ των ιδιοκτητών ακινήτων ότι το 40% συµφωνούν µε την επιβολή του φόρου ακίνητης περιουσίας. Στην τελευταία γενική συνέλευση της ένωσης ιδιοκτητών ακινήτων επιλέγεται µε τυχαίο τρόπο µία 9-µελής επιτροπή. Ποια είναι η ακριβής κατανοµή πιθανοτήτων του αριθµού των µελών της επιτροπής που είναι υπέρ του φόρου ακίνητης περιουσίας, και ποια η προσέγγιση της µε τη χρήση της κανονικής κατανοµής. Λύση: Με την υπόθεση ότι το p είναι σταθερό (π.χ. η επιλογή γίνεται µε επανατοποθέτηση ή ότι ο αριθµός των µελών είναι µεγάλος) η ακριβής κατανοµή ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή. Οι ακριβείς πιθανότητες δίνονται από τους Πίνακες της διωνυµικής κατανοµής, ενώ οι προσεγίσεις θα προκύψουν από την κανονική κατανοµή. Για παράδειγµα, µε βάση τους πίνακες, για n=9 και p=0,40, Ρ(Χ=5)=0,1672 ενώ µε βάση την κανονική κατανοµή έχουµε: µ = n p = 9 0,4 = 3,6 και σ = [n p (1-p)] 1/2 = [9 0,4( (1-0,4)] 1/2 = 1,470 και µε βάση τον συντελεστή διόρθωσης της συνέχειας Ρ(Χ=5) = Ρ(4,5<Χ<5,5) = Ρ(Χ<5,5) - Ρ(Χ<4,5)= Ρ[Ζ<(5,5-µ)/σ] - Ρ[Ζ<(4,5-µ)/σ]= Ρ[Ζ<(5,5-3,6)/1,47] - Ρ[Ζ<(4,5-3,6)/1,47]= Ρ[Ζ<1,29] - Ρ[Ζ<0,61] = 0, ,72907 = 0,172 Τιµόθεος Αγγελίδης 14

15 Ο Πίνακας δίνει τις ακριβείς πιθανότητες της διωνυµικής κατανοµής και τις αντίστοιχες προσεγγίσεις της κανονικής κατανοµής. X Ακριβείς πιθανότητες Προσεγγιστικές πιθανότητες Σύνολο Η κατανοµή δειγµατοληψίας της διαφοράς των µέσων δύο ανεξάρτητων δειγµάτων,. Έστω ότι έχουµε δύο πληθυσµούς, τα µεγέθη των οποίων είναι, ενώ οι µέσοι και οι διακυµάνσεις τους είναι. Αν πάρουµε δύο ανεξάρτητα δείγµατα από τους πληθυσµούς αυτούς µεγέθους, τότε η στατιστική χρησιµοποιείται ως εκτιµητής της παραµέτρου. Ο µέσος και το τυπικό σφάλµα της στατιστικής αυτής είναι: Τιµόθεος Αγγελίδης 15

16 Στην περίπτωση που απαιτείται διόρθωση του τυπικού σφάλµατος, τότε ο σωστός τύπος είναι: Αν οι αρχικοί πληθυσµοί είναι κανονικοί, τότε και συνεπώς Αν οι αρχικοί πληθυσµοί δεν είναι κανονικοί, αλλά και, τότε σύµφωνα µε το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα: Με βάση τη προηγούµενη σχέση προκύπτει η ασυµπτωτική κατανοµή της διαφοράς : Παράδειγµα: Ένας καθηγητής που διδάσκει το ίδιο µάθηµα στα Πανεπιστήµια Α και Β, όπου είναι γραµµένοι και παρακολουθούν 100 και 120 φοιτητές, αντίστοιχα. Για να διαπιστώσει αν υπάρχει διαφορά µεταξύ των δύο τάξεων ως προς την κατανόηση της ύλης, υποβάλλει τις ίδιες περίπου ερωτήσεις στις δύο τάξεις, επιλέγοντας τυχαία το φοιτητή ή τη φοιτήτρια για να απευθύνει µία ερώτηση και βαθµολογώντας τις απαντήσεις µ ένα µη αρνητικό αριθµό. Κατά τη διάρκεια ενός εξαµήνου, ο καθηγητής απευθύνει το πολύ µία ερώτηση σε κάθε φοιτητή ή φοιτήτρια. Έστω ότι οι µέσοι βαθµοί στους δύο πληθυσµούς είναι 600 και 650 και οι διακυµάνσεις 8000 και 9000, αντίστοιχα. Αν υποθέσουµε ότι σ ένα συγκεκριµένο εξάµηνο ο καθηγητής υπέβαλε 45 και 52 ερωτήσεις στις δύο τάξεις αντίστοιχα, ποια είναι η πιθανότητα ο µέσος του δείγµατος της τάξεως Β να υπερβαίνει αυτόν της τάξεως Α τουλάχιστον κατά 80 µονάδες? Λύση: Τιµόθεος Αγγελίδης 16

17 Θέλουµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα. Το τυπικό σφάλµα της διαφοράς, χρησιµοποιώντας τη διόρθωση, ισούται µε Επειδή (µεγάλο δείγµα) υπολογίζουµε 10. Η κατανοµή δειγµατοληψίας της διαφοράς των µέσων δύο εξαρτηµένων δειγµάτων. Έστω ότι οι παρατηρήσεις των δύο δειγµάτων µπορούν να εκληφθούν περισσότερο ως ζεύγη παρατηρήσεων παρά ως δύο ανεξάρτητα δείγµατα, όπως υποθέσαµε στα προηγούµενα παραδείγµατα. Ένα παράδειγµα εξαρτηµένων δειγµάτων είναι η µέτρηση της πίεσης του αίµατος των ίδιων ατόµων πριν και µετά από την λήψη ενός φαρµάκου. Υποθέτουµε ότι και υπολογίζουµε τις τιµές µιας νέας µεταβλητής,, ως τη διαφορά των τιµών των 2 µεταβλητών. Όπου δηλώνουν την παρατήρηση στο πρώτο και δεύτερο δείγµα. Στη συνέχεια υπολογίζουµε το µέσο της µεταβλητής τη διακύµανσή της και το τυπικό σφάλµα,. Συνεπώς Τιµόθεος Αγγελίδης 17

18 Παράδειγµα: Έστω Χ= παραγωγικότητα ενός εργάτη µίας εταιρείας πριν από την εισαγωγή µίας καινούργιας µεθόδου παραγωγής και Υ = παραγωγικότητα του ίδιου εργάτη µετά την εισαγωγή της µεθόδου. Αν η τυχαία µεταβλητή ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέσο, ποια είναι η πιθανότητα η διαφορά των µέσων ενός τυχαίου δείγµατος 7 εργατών να υπερβαίνει τη µονάδα αν έχουµε εκτιµήσει ότι? Λύση: 11. Η κατανοµή δειγµατοληψίας της διαφοράς των αναλογιών δύο ανεξάρτητων δειγµάτων,. Έστω ότι έχουµε δύο πληθυσµούς τα µεγέθη των οποίων είναι και και στους οποίους οι πιθανότητες επιτυχίας είναι και, αντίστοιχα. Θεωρείστε ότι παίρνουµε δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγµατα από τους πληθυσµούς αυτούς, µεγέθους και. Η διαφορά αναλογιών στα δύο δείγµατα, χρησιµοποιείται ως εκτιµητής της πληθυσµιακής αναλογίας. Ο µέσος και το τυπικό σφάλµα της στατιστικής : µε την προϋπόθεση ότι και είναι µεγάλοι αριθµοί σε σχέση µε τα και. Αν δεν είναι, το τυπικό σφάλµα θα πρέπει να διορθωθεί:, Σύµφωνα µε το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα: Τιµόθεος Αγγελίδης 18

19 Συνεπώς, για µεγάλα δείγµατα και ισχύει ότι, τότε ασυµπτωτικά ισχύει: Παράδειγµα: Έστω σε δύο µεγάλες πόλεις, Αθήνα και Θεσσαλονίκη, τα ποσοστά των οπαδών ενός κόµµατος είναι 25% και 20%. Αν από τις δύο πόλεις πάρουµε τυχαία δείγµατα των 200 και 100 ψηφοφόρων, ποια είναι η πιθανότητα το ποσοστό στο δείγµα της Αθήνας να υπερβαίνει αυτό της Θεσσαλονίκης τουλάχιστον κατά 10 ποσοστιαίες µονάδες. Λύση:. Επειδή οι δύο πληθυσµοί είναι µεγάλοι, δεν χρειάζεται να υπολογίσουµε το τυπικό σφάλµα µε τη διόρθωση και εποµένως. Επειδή ισχύουν οι κανόνες για τη χρησιµοποίηση της ασυµπτωτικής θεωρίας: 12. Η κατανοµή δειγµατοληψίας της Προφανώς στη στατιστική ανάλυση µας ενδιαφέρει και η διαφορά διακυµάνσεων. Θεώρηµα: Αν δυο ανεξάρτητα τυχαία δείγµατα µεγέθους και που προέρχονται από δύο κανονικούς πληθυσµούς µε διακυµάνσεις, τότε. Παράδειγµα: Σε προηγούµενο παράδειγµα, µας ενδιέφερε η διακύµανση της µεταβλητής =ετήσια δαπάνη για κρέας των τετραµελών οικογενειών µιας πόλης. Είχαµε υποθέσει ότι, και η κατανοµή των ήταν κανονική µε τυπική απόκλιση. Υποθέστε ότι έχετε ένα παρόµοιο δείγµα από µία άλλη πόλη, όπου η κατανοµή της είναι επίσης κανονική µε διακύµανση. Ποια είναι η πιθανότητα η διακύµανση του δευτέρου δείγµατος να είναι τουλάχιστον τετραπλάσια της διακυµάνσεως του πρώτου δείγµατος; Τιµόθεος Αγγελίδης 19

20 Λύση εδοµένου ότι, µπορούµε να υπολογίσουµε ότι: Από τους πίνακες δεν γνωρίζουµε την τιµή της τυχαίας µεταβλητής, αλλά τις συναρτήσεις και. Εποµένως µπορούµε να κάνουµε µια προσέγγιση θεωρώντας: και και εποµένως Τιµόθεος Αγγελίδης 20

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Έστω τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από πληθυσμό του οποίου η κατανομή εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους, π.χ. μ. Επειδή σε κάθε δείγμα αναμένεται διαφορετική τιμή του μ, είναι προτιμότερο να επιδιώκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Δ.Ε. της παραμέτρου θ: ˆ θ cv σ < θ < ˆ θ + cv σ ˆ θ ˆ θ θ = η παράμετρος που θέλουμε να εκτιμήσουμε, ˆ θ = η εκτίμηση της θ που προκύπτει από το τ.δ. cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη)

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να κατανοηθεί η έννοια της εκτίµησης σηµείου και της εκτίµησης διαστήµατος. Επίσης να κατανοηθεί η έννοια της δειγµατικής κατανοµής παραµέτρου και να υπολογισθούν µε χρήση της Κεντρικού

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός και Ιδιότητες

Ορισμός και Ιδιότητες ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 9Α: Απλή Τυχαία Δειγματοληψία Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Άσκηση 1: Μια τράπεζα ενδιαφέρεται να μελετήσει την αποταμιευτική συμπεριφορά των πελατών της. Θεωρείται ως δεδομένο ότι η ετήσια αποταμίευση των πελατών της

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ Σ.Α.Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 3 ) Αρχικό σήµα ( ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα περιοδικό σήµα ( ), το οποίο έχει ληφθεί από

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα (Risky Business 1)

Παράδειγµα (Risky Business 1) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 3 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Συµπεράσµατα για την αβεβαιότητα Θέµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το το σύνολο N * = {,, 3, 4.} και σύνολο αφίξεως το R Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) ή (β ν ) κ.λ.π.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α

ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ) Έχουμε κατασκευάσει 4 δοκίμια. Να βρεθεί προσεγγιστικά ο αριθμός των δοκιμίων που περιέχονται μεταξύ των σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα