... (...) :

Transcript

1 ... (....) : : : : :

2 2

3 ,. 3

4 ) 21 ) 22 ) 24 2., 27 ). 27 i) 27 ) 30 ) 40 ) 42 ) 47 ) 51 ) 59 4

5 3. 70 ) 70 ) 75 ) ) µ 85 )

6 3,,..,...,, ,,

7 ....,... : 1.,, 2 ( ), ,,,.,,,,.,,,,,. Κατανεῖμαι δὲ τὴν χώρην Αἰγυπτίοισι ἅπασι τοῦτον ἔλεγον τὸν βασιλέα, κλῆρον ἴσον ἑκάστῳ τετράγωνον διδόντα, καὶ ἀπὸ τούτου τὰς προσόδους ποιήσασθαι, ἐπιτάξαντα ἀποφορὴν ἐπιτελέειν κατ ἐνιαυτόν. Εἰ δέ τινος τοῦ κλήρου ὁ ποταμός τι παρέλοιτο, ἐλθὼν ἂν πρὸς αὐτὸν ἐσήμαινε τὸ γεγενημένον ὁ δὲ ἔπεμπε τοὺς ἐπισκεψομένους καὶ ἀναμετρήσοντας ὅσῳ ἐλάσσων ὁ χῶρος γέγονε, ὅκως τοῦ λοιποῦ κατὰ λόγον τῆς τεταγμένης ἀποφορῆς τελέοι. Δοκέει δέ μοι ἐνθεῦτεν γεωμετρίη εὑρεθεῖσα ἐς τὴν Ἑλλάδα ἐπανελθεῖν. Πόλον μὲν γὰρ καὶ γνώμονα καὶ τὰ δυώδεκα μέρεα τῆς ἡμέρης παρὰ Βαβυλωνίων ἔμαθον οἱ Ἕλληνες. 2.,, 274c5 274d6 1,.,

8 :,.,,.,,. [ ],. ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Ηκουσα τοίνυν περὶ Ναύκρατιν τῆς Αἰγύπτου γενέσθαι τῶν ἐκεῖ παλαιῶν τινα θεῶν, οὗ καὶ τὸ ὄρνεον ἱερὸν ὃ δὴ καλοῦσιν Ἶβιν αὐτῷ δὲ ὄνομα τῷ δαίμονι εἶναι Θεύθ. τοῦτον δὴ πρῶτον ἀριθμόν τε καὶ λογισμὸν εὑρεῖν καὶ γεωμετρίαν καὶ ἀστρονομίαν, ἔτι δὲ πεττείας τε καὶ κυβείας, καὶ δὴ καὶ γράμματα. βασιλέως δ αὖ τότε ὄντος Αἰγύπτου ὅλης Θαμοῦ περὶ τὴν μεγάλην πόλιν τοῦ ἄνω τόπου ἣν οἱ Ἕλληνες Αἰγυπτίας Θήβας καλοῦσι, καὶ τὸν θεὸν Ἄμμωνα, παρὰ τοῦτον ἐλθὼν ὁ Θεὺθ τὰς τέχνας ἐπέδειξεν, καὶ ἔφη δεῖν διαδοθῆναι τοῖς ἄλλοις Αἰγυπτίοις. 3.,, 981b20 25,,, [ ]. -,. ὅθεν ἤδη πάντων τῶν τοιούτων κατεσκευασμένων αἱ μὴ πρὸς ἡδονὴν μηδὲ πρὸς τἀναγκαῖα τῶν ἐπιστημῶν εὑρέθησαν, καὶ πρῶτον ἐν τούτοις τοῖς τόποις οὗ πρῶτον ἐσχόλασαν διὸ περὶ Αἴγυπτον αἱ μαθηματικαὶ πρῶτον τέχναι συνέστησαν, ἐκεῖ γὰρ ἀφείθη σχολάζειν τὸ τῶν ἱερέων ἔθνος. 4.,, , [ ] [ ] [ ].. [ ] 8

9 , [ ], [ ] [ ] [ ].,,.,. Καθὼς ἡμᾶς ὁ παλαιὸς διδάσκει λόγος, οἱ πλεῖστοι τοῖς περὶ τὴν γῆν μέτροις καὶ διανομαῖς ἀπησχολοῦντο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη. ἡ δὲ τῆς μετρήσεως ἐπίνοια ηὕρηται παρ Αἰγυπτίοις διὰ γὰρ τὴν τοῦ Νείλου ἀνάβασιν πολλὰ χωρία φανερὰ ὄντα τῇ ἀναβάσει ἀφανῆ ἐγίγνετο, πολλὰ δὲ καὶ μετὰ τὴν ἀπόβασιν, καὶ οὐκέτι ἦν δυνατὸν ἕκαστον διακρίνειν τὰ ἴδια διὰ τοῦτο ἐπενόησαν οἱ Αἰγύπτιοι τήνδε τὴν μέτρησιν, ποτὲ μὲν τῷ καλουμένῳ σχοινίῳ, ποτὲ δὲ καλάμῳ, ποτὲ δὲ καὶ ἑτέροις μέτροις. ἀναγκαίας τοίνυν τῆς μετρήσεως οὔσης εἰς πάντα ἄνθρωπον φιλομαθῆ περιῆλθεν ἡ χρεία. 5.,, [ ], [ ],.,.,..,,,,,. ἐπεὶ δὲ χρὴ τὰς ἀρχὰς καὶ τῶν τεχνῶν καὶ τῶν ἐπι στημῶν πρὸς τὴν παροῦσαν περίοδον σκοπεῖν, λέγομεν, ὅτι παρ Αἰγυπτίοις μὲν εὑρῆσθαι πρῶτον ἡ γεωμετρία παρὰ τῶν πολλῶν ἱστόρηται, ἐκ τῆς τῶν χωρίων ἀναμετρήσεως λαβοῦσα τὴν γένεσιν. ἀναγκαία γὰρ ἦν ἐκείνοις αὕτη διὰ τὴν ἄνοδον τοῦ Νείλου τοὺς προσήκοντας ὅρους ἑκάστοις ἀφανίζοντος. καὶ θαυμαστὸν οὐδὲν ἀπὸ τῆς χρείας ἄρξασθαι τὴν εὕρεσιν καὶ ταύτης καὶ τῶν ἄλλων ἐπιστημῶν, ἐπειδὴ πᾶν τὸ ἐν 9

10 γενέσει φερόμενον ἀπὸ τοῦ ἀτελοῦς εἰς τὸ τέλειον πρόεισιν. ἀπὸ αἰσθήσεως οὖν εἰς λογισμὸν καὶ ἀπὸ τούτου ἐπὶ νοῦν ἡ μετάβασις γένοιτο ἂν εἰκότως. ὥσπερ οὖν παρὰ τοῖς Φοίνιξιν διὰ τὰς ἐμπορείας καὶ τὰ συναλλάγματα τὴν ἀρχὴν ἔλαβεν ἡ τῶν ἀριθμῶν ἀκριβὴς γνῶσις, οὕτω δὴ καὶ παρ Αἰγυπτίοις ἡ γεωμετρία διὰ τὴν εἰρημένην αἰτίαν εὕρηται.. 2., (.., ). ( ).,, W.Richard Knorr, The ancient tradition of geometric problems, Dover publications, New York

11 , ( ). :,,, (In Primum Euclidis Elementorum Librum Commentarii),. G. Friedlein, Leipzig, B. G. Teubner, 1873, [ ], [ ],.,.,..,,,,,.,,,,., 3,. [ ],, 4. [ ],, 3.. W. Burkert, Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, tr. E. L. Minar, Jr., Cambridge, Mass., Harvard University Press, 1972, ( ), ( )... L. Zhmud, «Pythagoras as a Mathematician», Historia Mathematica 16 (1989),

12 , [ ].,,,,.,, [ ],,.,,.,, [ ], [ ], 5.,,,,, [ ],. 6,,,,.,, 7 [ ].,,,,.., [ ] [ ].,,,,. [ ],,.,, [ ], [ ],. 5. 6,. W. R. Knorr, The Evolution of the Euclidean Elements. A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and Its Significance for Early Greek Geometry, Dordrecth, Reidel, 1975, (G. Friedlein). 12

13 , [ ],,,, [ ].,, [ ],.,..,.,,.,,,., [ ]., [ ],,,,., [ ],,,.,, [ ],,,,.,,. [ ] ;,, [ ],.,, [ ],,. 8,,. 8. F. Acerbi, «Euclid s Pseudaria», Archive for History of Exact Sciences 62 (2008), ,

14 Ἐπεὶ δὲ χρὴ τὰς ἀρχὰς καὶ τῶν τεχνῶν καὶ τῶν ἐπιστημῶν πρὸς τὴν παροῦσαν περίοδον σκοπεῖν, λέγομεν, ὅτι παρ Αἰγυπτίοις μὲν εὑρῆσθαι πρῶτον ἡ γεωμετρία παρὰ τῶν πολλῶν ἱστόρηται, ἐκ τῆς τῶν χωρίων ἀναμετρήσεως λαβοῦσα τὴν γένεσιν. ἀναγκαία γὰρ ἦν ἐκείνοις αὕτη διὰ τὴν ἄνοδον τοῦ Νείλου τοὺς προσήκοντας ὅρους ἑκάστοις ἀφανίζοντος. καὶ θαυμαστὸν οὐδὲν ἀπὸ τῆς χρείας ἄρξασθαι τὴν εὕρεσιν καὶ ταύτης καὶ τῶν ἄλλων ἐπιστημῶν, ἐπειδὴ πᾶν τὸ ἐν γενέσει φερόμενον ἀπὸ τοῦ ἀτελοῦς εἰς τὸ τέλειον πρόεισιν. ἀπὸ αἰσθήσεως οὖν εἰς λογισμὸν καὶ ἀπὸ τούτου ἐπὶ νοῦν ἡ μετάβασις γένοιτο ἂν εἰκότως. ὥσπερ οὖν παρὰ τοῖς Φοίνιξιν διὰ τὰς ἐμπορείας καὶ τὰ συναλλάγματα τὴν ἀρχὴν ἔλαβεν ἡ τῶν ἀριθμῶν ἀκριβὴς γνῶσις, οὕτω δὴ καὶ παρ Αἰγυπτίοις ἡ γεωμετρία διὰ τὴν εἰρημένην αἰτίαν εὕρηται. Θαλῆς δὲ πρῶτον εἰς Αἴγυπτον ἐλθὼν μετήγαγεν εἰς τὴν Ἑλλάδα τὴν θεωρίαν ταύτην καὶ πολλὰ μὲν αὐτὸς εὗρεν, πολλῶν δὲ τὰς ἀρχὰς τοῖς μετ αὐτὸν ὑφηγήσατο, τοῖς μὲν καθολικώτερον ἐπιβάλλων, τοῖς δὲ αἰσθητικώτερον. μετὰ δὲ τοῦτον Μάμερκος ὁ Στησιχόρου τοῦ ποιητοῦ ἀδελφός, ὃς ἐφαψάμενος τῆς περὶ γεωμετρίαν σπουδῆς μνημονεύεται, καὶ Ἱππίας ὁ Ἠλεῖος ἱστόρησεν ὡς ἐπὶ γεωμετρίᾳ δόξαν αὐτοῦ λαβόντος. ἐπὶ δὲ τούτοις Πυθαγόρας τὴν περὶ αὐτὴν φιλοσοφίαν εἰς σχῆμα παιδείας ἐλευθέρου μετέστησεν, ἄνωθεν τὰς ἀρχὰς αὐτῆς ἐπισκοπούμενος καὶ ἀΰλως καὶ νοερῶς τὰ θεωρήματα διερευνώμενος, ὃς δὴ καὶ τὴν τῶν ἀλόγων πραγματείαν καὶ τὴν τῶν κοσμικῶν σχημάτων σύστασιν ἀνεῦρεν. μετὰ δὲ τοῦτον Ἀναξαγόρας ὁ Κλαζομένιος πολλῶν ἐφήψατο τῶν κατὰ γεωμετρίαν καὶ Οἰνοπίδης ὁ Χῖος, ὀλίγῳ νεώτερος ὢν Ἀναξαγόρου, ὧν καὶ ὁ Πλάτων ἐν τοῖς ἀντερασταῖς ἐμνημόνευσεν ὡς ἐπὶ τοῖς μαθήμασι δόξαν λαβόντων. ἐφ οἷς Ἱπποκράτης ὁ Χῖος ὁ τὸν τοῦ μηνίσκου τετραγωνισμὸν εὑρών, καὶ Θεόδωρος ὁ Κυρηναῖος ἐγένοντο περὶ γεωμετρίαν ἐπιφανεῖς. πρῶτος γὰρ ὁ Ἱπποκράτης τῶν μνημονευομένων καὶ στοιχεῖα συνέγραψεν. Πλάτων δ ἐπὶ τούτοις γενόμενος μεγίστην ἐποίησεν ἐπίδοσιν τά τε ἄλλα μαθήματα καὶ τὴν γεωμετρίαν λαβεῖν διὰ τὴν περὶ αὐτὰ σπουδήν, ὅς που δῆλός ἐστι καὶ τὰ συγγράμματα τοῖς μαθηματικοῖς λόγοις καταπυκνώσας καὶ πανταχοῦ τὸ περὶ αὐτὰ θαῦμα τῶν φιλοσοφίας ἀντεχομένων ἐπεγείρων. ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ καὶ Λεωδάμας ὁ Θάσιος ἦν καὶ Ἀρχύτας ὁ Ταραντῖνος καὶ Θεαίτητος ὁ Ἀθηναῖος, παρ ὧν ἐπηυξήθη τὰ θεωρήματα καὶ προῆλθεν εἰς ἐπιστημονικωτέραν σύστασιν. Λεωδάμαντος δὲ νεώτερος ὁ Νεοκλείδης καὶ ὁ τούτου μαθητὴς Λέων, οἳ πολλὰ προσευπόρησαν τοῖς πρὸ αὐτῶν, ὥστε τὸν Λέοντα καὶ τὰ στοιχεῖα συνθεῖναι τῷ τε πλήθει καὶ τῇ χρείᾳ τῶν δεικνυμένων ἐπιμελέστερον, καὶ διορισμοὺς εὑρεῖν, πότε δυνατόν ἐστι τὸ ζητούμενον πρόβλημα καὶ πότε ἀδύνατον. Εὔδοξος δὲ ὁ Κνίδιος, Λέοντος μὲν ὀλίγῳ νεώτερος, ἑταῖρος δὲ τῶν περὶ Πλάτωνα γενόμενος, πρῶτος τῶν καθόλου καλουμένων θεωρημάτων τὸ πλῆθος ηὔξησεν καὶ ταῖς τρισὶν ἀναλογίαις ἄλλας τρεῖς προσέθηκεν καὶ τὰ περὶ τὴν τομὴν ἀρχὴν λαβόντα παρὰ Πλάτωνος εἰς πλῆθος προήγαγεν καὶ ταῖς ἀναλύσεσιν ἐπ αὐτῶν χρησάμενος. Ἀμύκλας δὲ ὁ Ἡρακλεώτης, εἷς τῶν Πλάτωνος ἑταίρων καὶ Μέναιχμος ἀκροατὴς ὢν Εὐδόξου καὶ Πλάτωνι δὲ συγγεγονὼς καὶ ὁ ἀδελφὸς αὐτοῦ Δεινόστρατος ἔτι τελεωτέραν ἐποίησαν τὴν ὅλην γεωμετρίαν. Θεύδιος δὲ ὁ Μάγνης ἕν τε τοῖς μαθήμασιν ἔδοξεν εἶναι διαφέρων καὶ κατὰ τὴν ἄλλην φιλοσοφίαν καὶ γὰρ τὰ στοιχεῖα καλῶς συνέταξεν καὶ πολλὰ τῶν ὁρικῶν καθολικώτερα ἐποίησεν. καὶ μέντοι καὶ ὁ Κυζικηνὸς Ἀθήναιος κατὰ τοὺς αὐτοὺς γεγονὼς χρόνους καὶ ἐν τοῖς ἄλλοις μὲν μαθήμασι, μάλιστα δὲ κατὰ γεωμετρίαν ἐπιφανὴς ἐγένετο. διῆγον οὖν οὗτοι μετ ἀλλήλων ἐν Ἀκαδημίᾳ κοινὰς ποιούμενοι 14

15 τὰς ζητήσεις. Ἑρμότιμος δὲ ὁ Κολοφώνιος τὰ ὑπ Εὐδόξου προηυπορημένα καὶ Θεαιτήτου προήγαγεν ἐπὶ πλέον καὶ τῶν στοιχείων πολλὰ ἀνεῦρε καὶ τῶν τόπων τινὰ συνέγραψεν. Φίλιππος δὲ ὁ Μενδαῖος, Πλάτωνος ὢν μαθητὴς καὶ ὑπ ἐκείνου προτραπεὶς εἰς τὰ μαθήματα, καὶ τὰς ζητήσεις ἐποιεῖτο κατὰ τὰς Πλάτωνος ὑφηγήσεις καὶ ταῦτα προύβαλλεν ἑαυτῷ, ὅσα ᾤετο τῇ Πλάτωνος φιλοσοφίᾳ συντελεῖν. οἱ μὲν οὖν τὰς ἱστορίας ἀναγράψαντες μέχρι τούτου προάγουσι τὴν τῆς ἐπιστήμης ταύτης τελείωσιν. οὐ πόλυ δὲ τούτων νεώτερός ἐστιν Εὐκλείδης ὁ τὰ στοιχεῖα συναγαγὼν καὶ πολλὰ μὲν τῶν Εὐδόξου συντάξας, πολλὰ δὲ τῶν Θεαιτήτου τελεωσάμενος, ἔτι δὲ τὰ μαλακώτερον δεικνύμενα τοῖς ἔμπροσθεν εἰς ἀνελέγκτους ἀποδείξεις ἀναγαγών. γέγονε δὲ οὗτος ὁ ἀνὴρ ἐπὶ τοῦ πρώτου Πτολεμαίου καὶ γὰρ ὁ Ἀρχιμήδης ἐπιβαλὼν καὶ τῷ πρώτῳ μνημονεύει τοῦ Εὐκλείδου, καὶ μέντοι καί φασιν ὅτι Πτολεμαῖος ἤρετό ποτε αὐτόν, εἴ τίς ἐστιν περὶ γεωμετρίαν ὁδὸς συντομωτέρα τῆς στοιχειώσεως ὁ δὲ ἀπεκρίνατο, μὴ εἶναι βασιλικὴν ἀτραπὸν ἐπὶ γεωμετρίαν. νεώτερος μὲν οὖν ἐστι τῶν περὶ Πλάτωνα, πρεσβύτερος δὲ Ἐρατοσθένους καὶ Ἀρχιμήδους. οὗτοι γὰρ σύγχρονοι ἀλλήλοις, ὥς πού φησιν Ἐρατοσθένης. καὶ τῇ προαιρέσει δὲ Πλατωνικός ἐστι καὶ τῇ φιλοσοφίᾳ ταύτῃ οἰκεῖος, ὅθεν δὴ καὶ τῆς συμπάσης στοιχειώσεως τέλος προεστήσατο τὴν τῶν καλουμένων Πλατωνικῶν σχημάτων σύστασιν. πολλὰ μὲν οὖν καὶ ἄλλα τοῦ ἀνδρὸς τούτου μαθηματικὰ συγγράμματα θαυμαστῆς ἀκριβείας καὶ ἐπιστημονικῆς θεωρίας μεστά. τοιαῦτα γὰρ καὶ τὰ ὀπτικὰ καὶ τὰ κατοπτρικά, τοιαῦται δὲ καὶ αἱ κατὰ μουσικὴν στοιχειώσεις, ἔτι δὲ τὸ περὶ διαιρέσεων βιβλίον. διαφερόντως δ ἄν τις αὐτὸν ἀγασθείη κατὰ τὴν γεωμετρικὴν στοιχείωσιν τῆς τάξεως ἕνεκα καὶ τῆς ἐκλογῆς τῶν πρὸς τὰ στοιχεῖα πεποιημένων θεωρημάτων τε καὶ προβλημάτων. καὶ γὰρ οὐχ ὅσα ἐνεχώρει λέγειν ἀλλ ὅσα στοιχειοῦν ἠδύνατο παρείληφεν, ἔτι δὲ τοὺς τῶν συλλογισμῶν παντοίους τρόπους, τοὺς μὲν ἀπὸ τῶν αἰτίων λαμβάνοντας τὴν πίστιν, τοὺς δὲ ἀπὸ τεκμηρίων ὡρμημένους, πάντας δὲ ἀνελέγκτους καὶ ἀκριβεῖς καὶ πρὸς ἐπιστήμην οἰκείους, πρὸς δὲ τούτοις τὰς μεθόδους ἁπάσας τὰς διαλεκτικάς, τὴν μὲν διαιρετικὴν ἐν ταῖς εὑρέσεσι τῶν εἰδῶν, τὴν δὲ ὁριστικὴν ἐν τοῖς οὐσιώδεσι λόγοις, τὴν δὲ ἀποδεικτικὴν ἐν τοῖς ἀπὸ τῶν ἀρχῶν εἰς τὰ ζητούμενα μεταβάσεσι, τὴν δὲ ἀναλυτικὴν ἐν ταῖς ἀπὸ τῶν ζητουμένων ἐπὶ τὰς ἀρχὰς ἀναστροφαῖς. καὶ μὴν καὶ τὰ ποικίλα τῶν ἀντιστροφῶν εἴδη τῶν τε ἁπλουστέρων καὶ τῶν συνθετωτέρων ἱκανῶς ἐστιν ἐν τῇ πραγματείᾳ ταύτῃ διηκριβωμένα θεωρεῖν, καὶ τίνα μὲν ὅλα ὅλοις ἀντιστρέφειν δύναται, τίνα δὲ ὅλα μέρεσι καὶ ἀνάπαλιν, τίνα δὲ ὡς μέρη μέρεσιν. ἔτι δὲ λέγομεν τὴν συνέχειαν τῶν εὑρέσεων, τὴν οἰκονομίαν καὶ τὴν τάξιν τῶν τε προηγουμένων καὶ τῶν ἑπομένων, τὴν δύναμιν, μεθ ἧς ἕκαστα παραδίδωσιν. ἢ καὶ τὸ τυχὸν προσθεὶς ἢ ἀφελὼν οὐκ ἐπιστήμης λανθάνεις ἀποπεσὼν καὶ εἰς τὸ ἐναντίον ψεῦδος καὶ τὴν ἄγνοιαν ὑπενεχθείς; ἐπειδὴ δὲ πολλὰ φαντάζεται μὲν ὡς τῆς ἀληθείας ἀντεχόμενα καὶ ταῖς ἐπιστημονικαῖς ἀρχαῖς ἀκολουθοῦντα, φέρεται δὲ εἰς τὴν ἀπὸ τῶν ἀρχῶν πλάνην καὶ τοὺς ἐπιπολαιοτέρους ἐξαπατᾷ, μεθόδους παραδέδωκεν καὶ τῆς τούτων διορατικῆς φρονήσεως, ἃς ἔχοντες γυμνάζειν μὲν δυνησόμεθα τοὺς ἀρχομένους τῆς θεωρίας ταύτης πρὸς τὴν εὕρεσιν τῶν παραλογισμῶν, ἀνεξαπάτητοι δὲ διαμένειν. καὶ τοῦτο δὴ τὸ σύγγραμμα, δι οὗ τὴν παρασκευὴν ἡμῖν ταύτην ἐντίθησι, Ψευδαρίων ἐπέγραψεν, τρόπους τε αὐτῶν ποικίλους ἐν τάξει διαριθμησάμενος καὶ καθ ἕκαστον γυμνάσας ἡμῶν τὴν διάνοιαν παντοίοις θεωρήμασι καὶ τῷ ψεύδει τὸ ἀληθὲς παραθεὶς καὶ τῇ πείρᾳ τὸν ἔλεγχον τῆς ἀπάτης συναρμόσας. τοῦτο μὲν οὖν τὸ βιβλίον καθαρτικόν ἐστι καὶ γυμναστικόν, ἡ 15

16 δὲ στοιχείωσις αὐτῆς τῆς ἐπιστημονικῆς θεωρίας τῶν ἐν γεωμετρίᾳ πραγμάτων ἀνέλεγκτον ἔχει καὶ τελείαν ὑφήγησιν. 16

17 , : 1.,, ,. Τὸ μὲν οὖν διχοτομεῖσθαι τὸν κύκλον ὑπὸ τῆς διαμέτρου πρῶτον Θαλῆν ἐκεῖνον ἀποδεῖξαί φασιν, αἰτία δὲ τῆς διχοτομίας ἡ τῆς εὐθείας ἀπαρέγκλιτος διὰ τοῦ κέντρου χώρησις. 2.,, [ ] [ ] [ ].,,. λέγεται γὰρ δὴ πρῶτος ἐκεῖνος ἐπιστῆσαι καὶ εἰπεῖν, ὡς ἄρα παντὸς ἰσοσκελοῦς αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι εἰσίν, ἀρχαϊκώτερον δὲ τὰς ἴσας ὁμοίας προσειρηκέναι. 3.,, ,, [ ] ( ). Τοῦτο τοίνυν τὸ θεώρημα δείκνυσιν, ὅτι δύο εὐθειῶν ἀλλήλας τεμνουσῶν αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ἴσαι εἰσίν, εὑρημένον μὲν, ὡς φησὶν Εὔδημος ὑπὸ Θαλοῦ πρώτου, τῆς δὲ ἐπιστημονικῆς ἀποδείξεως ἠξιωμένον παρὰ τῷ στοιχειωτῇ. 4.,, [ ]. Εὔδημος δὲ ἐν ταῖς γεωμετρικαῖς ἱστορίαις εἰς Θαλῆν τοῦτο ἀνάγει τὸ θεώρημα. τὴν γὰρ τῶν ἐν θαλάττῃ πλοίων ἀπόστασιν δι οὗ τρόπου φασὶν αὐτὸν δεικνύναι τούτῳ προσχρῆσθαί φησιν ἀναγκαῖον

18 5., ( ), I, , [ ],, [ ].,,. παρά τε Αἰγυπτίων γεωμετρεῖν μαθόντα φησὶ Παμφίλη πρῶτον καταγράψαι κύκλου τὸ τρίγωνον ὀρθογώνιον, καὶ θῦσαι βοῦν. οἱ δὲ Πυθαγόραν φασίν, ὧν ἐστιν Ἀπολλόδωρος ὁ λογιστικός : 11 «µ». µ, µ, µ, µ µ : - µ 10 Loeb Classical library, Greek Mathematical Works, I, From Thales to Euclid, Translated by Ivor Thomas, Harvard university press, vol 1, Special problems ,, (,.) 11 W.Richard Knorr, The ancient tradition of geometric problems, Dover publications, New York ,. 18

19 µ, µ µ,, µ µ. 19., 3.., x.,. 19

20 1..,, 3...,.,.,,.,,,. " ". Valckenaer Wilamowitz,. 20

21 ) ( ) 1., Περὶ τῶν κατὰ τὸ μαθηματικὸν χρησίμων εἰς τὴν Πλάτωνος ἀνάγνωσιν (Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium),. E, Hiller, Leipzig, B. G. Teubner, 1878, [ ],, [ ],.,. Ἐρατοσθένης μὲν γὰρ ἐν τῷ ἐπιγραφομένῳ Πλατωνικῷ φησιν ὅτι, Δηλίοις τοῦ θεοῦ χρήσαντος ἐπὶ ἀπαλλαγῇ λοιμοῦ βωμὸν τοῦ ὄντος διπλασίονα κατασκευάσαι, πολλὴν ἀρχιτέκτοσιν ἐμπεσεῖν ἀπορίαν ζητοῦσιν ὅπως χρὴ στερεὸν στερεοῦ γενέσθαι διπλάσιον, ἀφικέσθαι τε πευσομένους περὶ τούτου Πλάτωνος. τὸν δὲ φάναι αὐτοῖς, ὡς ἄρα οὐ διπλασίου βωμοῦ ὁ θεὸς δεόμενος τοῦτο Δηλίοις ἐμαντεύσατο, προφέρων δὲ καὶ ὀνειδίζων τοῖς Ἕλλησιν ἀμελοῦσι μαθημάτων καὶ γεωμετρίας ὠλιγωρηκόσιν. 21

22 ) 2., (Commentarii in libros de sphaera et cylindro, ii),. J. L. Heiberg. Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii, iii, Leipzig, B. G. Teubner, 1881, [ ],, :.,,..,.,,, [ ].,,,,, [ ],.,,,,. [ ] [ ], [ ] 22

23 .,,,.,,, [ ] [ ] [ ]. Βασιλεῖ Πτολεμαίῳ Ἐρατοσθένης χαίρειν. Τῶν ἀρχαίων τινὰ τραγῳδοποιῶν φασιν εἰσαγαγεῖν τὸν Μίνω τῷ Γλαύκῳ κατασκευάζοντα τάφον, πυθόμενον δέ, ὅτι πανταχοῦ ἑκατόμπεδος εἴη, εἰπεῖν μικρόν γ ἔλεξας βασιλικοῦ σηκὸν τάφου διπλάσιος ἔστω, τοῦ καλοῦ δὲ μὴ σφαλεὶς δίπλαζ ἕκαστον κῶλον ἐν τάχει τάφου. ἐδόκει δὲ διημαρτηκέναι τῶν γὰρ πλευρῶν διπλασιασθεισῶν τὸ μὲν ἐπίπεδον γίνεται τετραπλάσιον, τὸ δὲ στερεὸν ὀκταπλάσιον. ἐζητεῖτο δὲ καὶ παρὰ τοῖς γεωμέτραις, τίνα ἄν τις τρόπον τὸ δοθὲν στερεὸν διαμένον ἐν τῷ αὐτῷ σχήματι διπλασιάσειεν, καὶ ἐκαλεῖτο τὸ τοιοῦτον πρόβλημα κύβου διπλασιασμός ὑποθέμενοι γὰρ κύβον ἐζήτουν τοῦτον διπλασιάσαι. πάντων δὲ διαπορούντων ἐπὶ πολὺν χρόνον πρῶτος Ἱπποκράτης ὁ Χῖος ἐπενόησεν, ὅτι, ἐὰν εὑρεθῇ δύο εὐθειῶν γραμμῶν, ὧν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονός ἐστι διπλασία, δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, διπλασιασθήσεται ὁ κύβος, ὥστε τὸ ἀπόρημα αὐτῷ εἰς ἕτερον οὐκ ἔλασσον ἀπόρημα κατέστρεφεν. μετὰ χρόνον δὲ τινάς φασιν Δηλίους ἐπιβαλλομένους κατὰ χρησμὸν διπλασιάσαι τινὰ τῶν βωμῶν ἐμπεσεῖν εἰς τὸ αὐτὸ ἀπόρημα, διαπεμψαμένους δὲ τοὺς παρὰ τῷ Πλάτωνι ἐν Ἀκαδημίᾳ γεωμέτρας ἀξιοῦν αὑτοῖς εὑρεῖν τὸ ζητούμενον. τῶν δὲ φιλοπόνως ἐπιδιδόντων ἑαυτοὺς καὶ ζητούντων δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσας λαβεῖν Ἀρχύτας μὲν ὁ Ταραντῖνος λέγεται διὰ τῶν ἡμικυλίνδρων εὑρηκέναι, Εὔδοξος δὲ διὰ τῶν καλουμένων καμπύλων γραμμῶν συμβέβηκε δὲ πᾶσιν αὐτοῖς ἀποδεικτικῶς γεγραφέναι, χειρουργῆσαι δὲ καὶ εἰς χρείαν πεσεῖν μὴ δύνασθαι πλὴν ἐπὶ βραχύ τι τὸν Μέναιχμον καὶ ταῦτα δυσχερῶς. ἐπινενόηται δέ τις ὑφ ἡμῶν ὀργανικὴ λῆψις ῥᾳδία, δι ἧς εὑρήσομεν δύο τῶν δοθεισῶν οὐ μόνον δύο μέσας, ἀλλ ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ. 23

24 ) 3.,, Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements,1570,,,,, [ ] [ ],, [ ] [ ],.,,. Ἡ δὲ ἀπαγωγὴ μετάβασίς ἐστιν ἀπ ἄλλου προβλήματος ἢ θεωρήματος ἐπ ἄλλο, οὗ γνωσθέντος ἢ πορισθέντος καὶ τὸ προκείμενον ἔσται καταφανές, οἷον ὥσπερ καὶ τοῦ διπλασιασμοῦ τοῦ κύβου ζητηθέντος μετέθεσαν τὴν ζήτησιν εἰς ἄλλο, ᾧ τοῦτο ἕπεται, τὴν εὕρεσιν τῶν δύο μέσων, καὶ τὸ λοιπὸν ἐζήτουν, πῶς ἂν δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι ἀνάλογον εὑρεθεῖεν. πρῶτον δέ φασι τῶν ἀπορουμένων διαγραμμάτων τὴν ἀπαγωγὴν ποιήσασθαι Ἱπποκράτην τὸν Χῖον, ὃς καὶ μηνίσκον ἐτετραγώνισε καὶ ἄλλα πολλὰ κατὰ γεωμετρίαν εὗρεν εὐφυὴς περὶ τὰ διαγράμματα εἴπερ τις ἄλλος γενόμενος. 24

25 ΣΧΟΛΙΟ Ένα ερώτημα που προκύπτει από τις μαρτυρίες της προέλευσης του Δήλιου προβλήματος, το οποίο αφορά την σκοπιά του ιστορικού των μαθηματικών είναι για το αν επρόκειτο για την επίλυση ενός πρακτικού προβλήματος ή μήπως οι θεωρητικές αναζητήσεις ήταν εκείνες που οδήγησαν στην διατύπωση του: 25

26 26

27 2.,,, (6.. ).,. ). i)., (Commentarii in libros de sphaera et cylindro, ii),. J. L. Heiberg. Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii, iii, Leipzig, B. G. Teubner,

28 πάντων δὲ διαπορούντων ἐπὶ πολὺν χρόνον πρῶτος Ἱπποκράτης ὁ Χῖος ἐπενόησεν, ὅτι, ἐὰν εὑρεθῇ δύο εὐθειῶν γραμμῶν, ὧν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονός ἐστι διπλασία, δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, διπλασιασθήσεται ὁ κύβος, ὥστε τὸ ἀπόρημα αὐτῷ εἰς ἕτερον οὐκ ἔλασσον ἀπόρημα κατέστρεφεν. μετὰ χρόνον δὲ τινάς φασιν Δηλίους ἐπιβαλλομένους κατὰ χρησμὸν διπλασιάσαι τινὰ τῶν βωμῶν ἐμπεσεῖν εἰς τὸ αὐτὸ ἀπόρημα, διαπεμψαμένους δὲ τοὺς παρὰ τῷ Πλάτωνι ἐν Ἀκαδημίᾳ γεωμέτρας ἀξιοῦν αὑτοῖς εὑρεῖν τὸ ζητούμενον. τῶν δὲ φιλοπόνως ἐπιδιδόντων ἑαυτοὺς καὶ ζητούντων δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσας λαβεῖν Ἀρχύτας μὲν ὁ Ταραντῖνος λέγεται διὰ τῶν ἡμικυλίνδρων εὑρηκέναι, Εὔδοξος δὲ διὰ τῶν καλουμένων καμπύλων γραμμῶν συμβέβηκε δὲ πᾶσιν αὐτοῖς ἀποδεικτικῶς γεγραφέναι, χειρουργῆσαι δὲ καὶ εἰς χρείαν πεσεῖν μὴ δύνασθαι πλὴν ἐπὶ βραχύ τι τὸν Μέναιχμον καὶ ταῦτα δυσχερῶς. ἐπινενόηται δέ τις ὑφ ἡμῶν ὀργανικὴ λῆψις ῥᾳδία, δι ἧς εὑρήσομεν δύο τῶν δοθεισῶν οὐ μόνον δύο μέσας, ἀλλ ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ.,,,,, [ ],.,,,,. [ ] [ ], [ ].,,,.,,, [ ] [ ] [ ]. 28

29 ,. 2..,. ( ) µ µ (. µ µ µ, : µ µ µ µ µ 2 µ µ,, : 3 =2 3 µ µ µ, : x=. 29

30 ii),,. 1 A 2 B ( = ),,. 1 2 : ( 1) + ( 2) = A ' B = : ( 1) + ( 2) = 30

31 Loeb Classical library, Greek Mathematical Works, I, From Thales to Euclid,Translated by Ivor Thomas, Harvard university press, vol 1 31

32 32

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 38

39 ,.,. 39

40 ),,,,. [ ] [ ], [ ]. μετὰ χρόνον δὲ τινάς φασιν Δηλίους ἐπιβαλλομένους κατὰ χρησμὸν διπλασιάσαι τινὰ τῶν βωμῶν ἐμπεσεῖν εἰς τὸ αὐτὸ ἀπόρημα, διαπεμψαμένους δὲ τοὺς παρὰ τῷ Πλάτωνι ἐν Ἀκαδημίᾳ γεωμέτρας ἀξιοῦν αὑτοῖς εὑρεῖν τὸ ζητούμενον. τῶν δὲ φιλοπόνως ἐπιδιδόντων ἑαυτοὺς καὶ ζητούντων δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσας λαβεῖν Ἀρχύτας μὲν ὁ Ταραντῖνος λέγεται διὰ τῶν ἡμικυλίνδρων εὑρηκέναι, Εὔδοξος δὲ διὰ τῶν καλουμένων καμπύλων γραμμῶν 40

41 ΣΧΟΛΙΑ Σύμφωνα με τον Ευτόκιο, ο οποίος κατείχε ένα κείμενο, του οποίου η γνησιότητα είναι αμφίβολη, σχετικά με την λύση του Ευδόξου και ειδικότερα για το πρόβλημα της εύρεσης δύο μέσων αναλόγων.στην εισαγωγή του κειμένου αυτού φένεται ότι ο Εύδοξος προέβηκε στην λύση του προβλήματος διαμέσου των κυρτών γραμμών, αλλά στην συνέχεια, εκτός από την χρησιμοποίηση των κυρτών γραμμών, βρίσκει ακόμη μια ιδιαίτερη διακριτή αναλογία και την χρησιμοποιεί έπειτα σαν να ήταν συνεχής. αυτό θα ήταν αδύνατο για τον Ευτόκιο. Οι μελετητές έχουν δικαιολογημένα θρηνήσει την απόφαση του Ευτόκιου να παραλειψει περαιτέρω λεπτομέρειες πάνω σε αυτήν την μέθοδο. Σίγουρα όμως και αυτό το ελαττωματικό κείμενο συντήρησε τη βάση για μια ικανοποιητική αναδημιουργία υποθέσεων. Παρόλη αυτήν την παράλειψη, διάφορες προτάσεις έχουν γίνει. Η μια πρόταση είναι ότι : ο Εύδοξος κάνει χρήση των καμπύλων γραμμών που αναφέραμε, σε σύνδεση με την ανάλυση που οδηγεί στην λύση του Αρχύτα. Μια δεύτερη πρόταση που την υποστηρίζει ο Tannery : ξεκινάει και αυτή από την λύση του Αρχύτα, Ο Tannery προτείνει ότι o Εύδοξος εξέτασε την ορθογώνια προβολή των καμπυλών της διατομής επάνω στη βασική γραμμή.μια άλλη διαφορετική πρόταση του ιστορικου R.Riddell ο οποίος συνδέει τη διαμόρφωση των τριγώνων με τη μέθοδο του Αρχύτα, με μια κινηματική διαμόρφωση που προέρχεται από την εργασία του Εύδοξου πάνω στη γεωμετρική αστρονομία. 41

42 ) µ, µ µ, µ, µ µ µ µ µ 2 µ µ. µ, µ µ 2. µ // µ µ, µ. 42

43 µ : µ. µ,. µ,,,µ µ,,, µ µ., µ µ,. 43

44 Loeb Classical library, Greek Mathematical Works, I, From Thales to Euclid,Translated by Ivor Thomas, Harvard university press, vol 1 44

45 45

46 46

47 ),, 2=2 2=.., 47

48 Loeb Classical library, Greek Mathematical Works, I, From Thales to Euclid,Translated by Ivor Thomas, Harvard university press, vol 1 48

49 49

50 50

51 ) 51

52 : µ µ =2 = µ µ µ. µ µ µ µ µ µ µ µ µ. µ µ µ µ µ µ. µ 9µ µ µ µ. µ. µ, µ. µ,. µ,. == µ µ. : µ : 2 = ( µ ). µ µ,, : =. : 2 =. µ, ~ ~ =1. µ. µ. µ µ,. 52

53 µ ; µ,. µ. 53

54 µ. µ µ, µ : 54

55 . µ µ µ. µ µ µ.. µ = /2., µ =60. µ, µ =60 µ µ µ µ µ. µ µ =2 =.,, Loeb Classical library, Greek Mathematical Works, I, From Thales to Euclid,Translated by Ivor Thomas, Harvard university press, vol 1 55

56 56

57 57

58 58

59 ), µ,.6 µ, µ, µ... µ µ µ. µ µ. µ ( ). µ µ µ. µ µ µ., µ ( ). µ µ ( ) µ, µ µ µ µ µ. µ. µ, ( ) µ µ. µ µ, µ =µ >µ 59

60 . µ,., µ µ. 60

61 H µ µ µ. µ µ µ. µ. 61

62 62

63 µ µ µ, µ : µ µ =2 =. µ. µ µ µ = = =. ( 0., µ, µ µ, µ µ, µ,., µ, µ µ. µ µ., µ µ =2 =, µ = =. 63

64 ,, Loeb Classical library, Greek Mathematical Works, I, From Thales to Euclid,Translated by Ivor Thomas, Harvard university press, vol 1 64

65 65

66 66

67 67

68 68

69 69

70 3. ),..., G.J.Toomer ,.,..,..,.,,, Loeb Classical library, Greek Mathematical Works, I, From Thales to Euclid,Translated by Ivor Thomas, Harvard university press, vol 1 70

71 71

72 72

73 73

74 74

75 ),,. J. L. Heiberg, Archimedis opera omnia cum commentaries Eutocii, 3 vols, Leipzig, B. G. Teubner, ,. 3, [ ],,,,,,,,,,,,,., [ ], [ ],,,,,, [ ],,,,,,, : :: :,, : :: :., : :: : :: :.,,, : :: :, : :: :, : :: : :: :., : :: :, : :: : :: :., : :: :., : :: : :: :., : :: :, : :: :, : :: :., : :: : :: :., [ ],,.,,,, [ ],,, [ ] [ ], [ ],,. 75

76 ,,,.,,,, [ ].. 12 «,,.,.,,,.,,,.,,,,,, [ ].,. [ ],., [ ] [ ],,,.,, [ ] [ ]. «[ ],,, [ ]. [ ],. «,,,,,,,,.,,.,.,,,,. 12,,. 76

77 ,,.» Ὡς Ἐρατοσθένης Δεδόσθωσαν δύο ἄνισοι εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, αἱ ΑΕ, ΔΘ, καὶ κείσθω ἐπί τινος εὐθείας τῆς ΕΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, καὶ ἐπὶ τῆς ΕΘ τρία συνεστάτω παραλληλόγραμμα ἐφεξῆς τὰ ΑΖ, ΖΙ, ΙΘ, καὶ ἤχθωσαν διάμετροι ἐν αὐτοῖς αἱ ΑΖ, ΛΗ, ΙΘ ἔσονται δὴ αὗται παράλληλοι. μένοντος δὴ τοῦ μέσου παραλληλογράμμου τοῦ ΖΙ συνωσθήτω τὸ μὲν ΑΖ ἐπάνω τοῦ μέσου, τὸ δὲ ΙΘ ὑποκάτω, καθάπερ ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος, ἕως οὗ γένηται τὰ Α, Β, Γ, Δ κατ εὐθεῖαν, καὶ διήχθω διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ σημείων εὐθεῖα καὶ συμπιπτέτω τῇ ΕΘ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ ἔσται δή, ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἐν μὲν ταῖς ΑΕ, ΖΒ παραλλήλοις ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἐν δὲ ταῖς ΑΖ, ΒΗ παραλλήλοις ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ. ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ καὶ ἡ ΚΖ πρὸς ΚΗ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΓ, ἐν μὲν ταῖς ΒΖ, ΓΗ παραλλήλοις ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἐν δὲ ταῖς ΒΗ, ΓΘ παραλλήλοις ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς ΚΓ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ καὶ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ. ἀλλ ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ καὶ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ. ἀλλ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἡ ΑΕ πρὸς ΒΖ, ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, ἡ ΓΗ πρὸς ΔΘ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΒΖ, ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ καὶ ἡ ΓΗ πρὸς ΔΘ. ηὕρηνται ἄρα τῶν ΑΕ, ΔΘ δύο μέσαι ἥ τε ΒΖ καὶ ἡ ΓΗ. Ταῦτα οὖν ἐπὶ τῶν γεωμετρουμένων ἐπιφανειῶν ἀποδέδεικται ἵνα δὲ καὶ ὀργανικῶς δυνώμεθα τὰς δύο μέσας λαμβάνειν, διαπήγνυται πλινθίον ξύλινον ἢ ἐλεφάντινον ἢ χαλκοῦν ἔχον τρεῖς πινακίσκους ἴσους ὡς λεπτοτάτους, ὧν ὁ μὲν μέσος ἐνήρμοσται, οἱ δὲ δύο ἐπωστοί εἰσιν ἐν χολέδραις, τοῖς δὲ μεγέθεσιν καὶ ταῖς συμμετρίαις ὡς ἕκαστοι ἑαυτοὺς πείθουσιν τὰ μὲν γὰρ τῆς ἀποδείξεως ὡσαύτως συντελεῖται πρὸς δὲ τὸ ἀκριβέστερον λαμβάνεσθαι τὰς γραμμὰς φιλοτεχνητέον, ἵνα ἐν τῷ συνάγεσθαι τοὺς πινακίσκους παράλληλα διαμένῃ πάντα καὶ ἄσχαστα καὶ ὁμαλῶς συναπτόμενα ἀλλήλοις. Ἐν δὲ τῷ ἀναθήματι τὸ μὲν ὀργανικὸν χαλκοῦν ἐστιν καὶ καθήρμοσται ὑπ αὐτὴν τὴν στεφάνην τῆς στήλης προσμεμολυβδοχοημένον, ὑπ αὐτοῦ δὲ ἡ ἀπόδειξις συντομώτερον φραζομένη καὶ τὸ σχῆμα, μετ αὐτὸ δὲ ἐπίγραμμα. ὑπογεγράφθω οὖν σοι καὶ ταῦτα, ἵνα ἔχῃς καὶ ὡς ἐν τῷ ἀναθήματι. τῶν δὲ δύο σχημάτων τὸ δεύτερον γέγραπται ἐν τῇ στήλῃ. «Δύο τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ. δεδόσθωσαν αἱ ΑΕ, ΔΘ. συνάγω δὴ τοὺς ἐν τῷ ὀργάνῳ πίνακας, ἕως ἂν κατ εὐθεῖαν γένηται τὰ Α, Β, Γ, Δ σημεῖα. νοείσθω δή, ὡς ἔχει ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἐν μὲν ταῖς ΑΕ, ΒΖ παραλλήλοις ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἐν δὲ ταῖς ΑΖ, ΒΗ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἡ ΚΖ πρὸς ΚΗ. ὡς δὲ αὗται πρὸς ἀλλήλας, ἥ τε ΑΕ πρὸς ΒΖ καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ. ὡσαύτως δὲ δείξομεν, ὅτι καί, ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΓΗ, ἡ ΓΗ πρὸς ΔΘ ἀνάλογον ἄρα αἱ ΑΕ, ΒΖ, ΓΗ, ΔΘ. ηὕρηνται ἄρα δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσαι. «Ἐὰν δὲ αἱ δοθεῖσαι μὴ ἴσαι ὦσιν ταῖς ΑΕ, ΔΘ, ποιήσαντες αὐταῖς ἀνάλογον τὰς ΑΕ, ΔΘ τούτων ληψόμεθα τὰς μέσας καὶ ἐπανοίσομεν ἐπ ἐκείνας, καὶ ἐσόμεθα πεποιηκότες τὸ ἐπιταχθέν. ἐὰν δὲ πλείους μέσας ἐπιταχθῇ εὑρεῖν, ἀεὶ ἑνὶ πλείους πινακίσκους καταστησόμεθα ἐν τῷ ὀργανίῳ τῶν ληφθησομένων μέσων ἡ δὲ ἀπόδειξις ἡ αὐτή «Εἰ κύβον ἐξ ὀλίγου διπλήσιον, ὦγαθέ, τεύχειν 77

78 φράζεαι ἢ στερεὴν πᾶσαν ἐς ἄλλο φύσιν εὖ μεταμορφῶσαι, τόδε τοι πάρα, κἂν σύ γε μάνδρην ἢ σιρὸν ἢ κοίλου φρείατος εὐρὺ κύτος τῇδ ἀναμετρήσαιο, μέσας ὅτε τέρμασιν ἄκροις συνδρομάδας δισσῶν ἐντὸς ἕλῃς κανόνων. μηδὲ σύ γ Ἀρχύτεω δυσμήχανα ἔργα κυλίνδρων μηδὲ Μεναιχμείους κωνοτομεῖν τριάδας διζήσῃ, μηδ εἴ τι θεουδέος Εὐδόξοιο καμπύλον ἐγ γραμμαῖς εἶδος ἀναγράφεται. τοῖσδε γὰρ ἐν πινάκεσσι μεσόγραφα μυρία τεύχοις ῥεῖά κεν ἐκ παύρου πυθμένος ἀρχόμενος. εὐαίων, Πτολεμαῖε, πατὴρ ὅτι παιδὶ συνηβῶν πάνθ, ὅσα καὶ Μούσαις καὶ βασιλεῦσι φίλα, αὐτὸς ἐδωρήσω τὸ δ ἐς ὕστερον, οὐράνιε Ζεῦ, καὶ σκήπτρων ἐκ σῆς ἀντιάσειε χερός. καὶ τὰ μὲν ὣς τελέοιτο, λέγοι δέ τις ἄνθεμα λεύσσων τοῦ Κυρηναίου τοῦτ Ἐρατοσθένεος.» O " ", ( ),,.. O 78

79 µ «µ» µ. µ 79

80 µ µ µ µ, µ ( µ µ ) µ µ µ, µ µ,. µ, µ.. 80

81 µ µ. 81

82 ) ( ),.,.,... : (, c. 60), ( ), ( ), ( ), ( ).,.,,.,,,.., ( ). " " :,, ( ),,. " ", ( ). " " ( ),,,. " ",. 82

83 ,, Loeb Classical library, Greek Mathematical Works, I, From Thales to Euclid,Translated by Ivor Thomas, Harvard university press, vol 1 83

84 84

85 - ) µ.,..., 350.,.( K.Gauss, R.Descartes ) 3 - = 0 Holder F.Enriques F.Enriques, Fragen der elementargeometrie, (.)..,,,.., R.Descartes, Oeurs de Descartes, Paris 1902., H.Kortum, J.Smith F.London Zeitschrift fur mathematische Physik,

86 86

87 87

88 88

89 1. G. Loria,,, ,, L.N.H. Bunt, P.S. Jones, J.D. Bedient,, ,,, B.L. van der Waerden,,, ,,, M. Gardner,,, H. Eves,, T, H. Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover Publications, New York Bunt, Lycas...,, ,,,,,.40) ,,,, 16. Guedj Denis.,,, Heath, Thomas.,, ( 1, 7) 18.,., +,. 19.,. -,,, Nelsen, Roger.,,, Arpad Szabo,,, W.Richard Knorr, The ancient tradition of geometric problems, Dover publications, New York. 89

90 23. Loeb Classical library, Greek Mathematical Works, I, From Thales to Euclid,Translated by Ivor Thomas, Harvard university press, vol 1,vol 2 90

91 13.( ) 1. A Aaboe, Episodes from the early history of mathematics (New York, 1964). 2. W H Abdi et al. (eds.), Interaction between Indian and central Asian science and technology in mediaeval times (New Delhi, 1990). 3. J Aczél (ed.), Functional equations : history, applications and theory (Dordrecht, 1984). 4. D Adamson, Blaise Pascal : mathematician, physicist and thinker about God (London, 1959). 5. A A Al-Daffa', The Muslim contribution to mathematics (London, 1977). 6. D J Albers, G L Alexanderson and C Reid, International mathematical congresses : an illustrated history, (Berlin, 1987). 7. J Albree, Primary resource materials in the history of mathematics in the United States located in the special collections of the Gorgas Library of the University of Alabama : bibliography (Montgomery, Ala., 1986). 8. D S Alexander, History of complex dynamics : from Schröder to Fatou and Julia (Braunschweig, 1994). 9. G J Allman, Greek geometry from Thales to Euclid (Dublin, 1889: New York, 1976). 10. F Amodeo, Il valore matematico degli Arabi e dei Mori intorno al millenio (Napoli, 1912). 11. K B Andersen, Taylor's work on linear perspective : a study of Taylor's role in the history of perspective geometry (New York, 1992). 12. W S Anglin, Mathematics : a concise history and philosophy (New York, 1994). 13. W S Anglin, The heritage of Thales (New York, 1995). 14. T M Apostol et al. (eds.), A Century of calculus (Washington, D.C., 1992). 15. R C Archibald, A semicentennial history of the American Mathematical Society, (New York, 1980). 16. R C Archibald, Benjamin Peirce, : biographical sketch and bibliography (Oberlin, Ohio, 1925). 17. R C Archibald, Outline of the history of mathematics (Buffalo, 1949). 18. G Arrighi (ed.), Lettere di Ruggiero Giuseppe Boscovich a Giovanni Attilio Arnolfini (Lucca, 1963). 19. G Arrighi, Piero della Francesca e Luca Pacioli : rassegna della questione del "plagio" e nuove valutazioni (Florence, 1968). 20. M Artin, H Kraft and R Remmert, Duration and change : fifty years at Oberwolfach (Berlin, 1994). 21. W Aspray and P Kitcher (eds.), History and philosophy of modern mathematics (Minneapolis, 1988) ( ). 91

92 22. E Atkinson (ed.), Ludwig Ferdinand von Helmholtz : an autobiographical sketch : an address delivered on the occasion of his jubilee, 1891 (London, 1893). 23. P V Aubry, Monge : le savant ami de Napoleon Bonaparte, (Paris, 1954). 24. L Auger, Un savant meconnu : Gilles Personne de Roberval ( ) : son activite intellectuelle dans les domaines mathematique, physique, mecanique et philosophique (Paris, 1962). 25. E Ausejo and M Hormigon (eds.), Messengers of mathematics : European mathematical journals ( ) (Mexico, D.F., 1993). 26. C Avelsgaard, Women in mathematics : the silent minority, The Mathematical intelligencer 10 (4) (1988), M Böttcher, H E Gross and U Knauer (eds.), Materialien zur Entstehung der mathematischen Berufe : Daten aus Hochschulstatistiken sowie Volks- und Berufszuhlungen von 1800 bis 1990 (Munich, 1994). 28. K M Baker, Condorcet : from natural philosophy to social mathematics (Chicago, 1975). 29. E Balaguer Periguell, La introduccion del modelo fisico-matematico en la medicina moderna : analisis de la obra de G.A. Borelli ( ) : de motu animalium (Valencia, 1974). 30. F Barbieri and A R Venturi (eds.), Materiali per la storia delle matematiche nelle raccolte delle Biblioteche estense e universitaria di Modena : mostra documentario-bibliografica (Modena, 1987). 31. S Barna, Bolyai Janos (Budapest, 1978). 32. M E Baron, Greek mathematics : prepared for the Open University (Milton Keynes, 1974). 33. M E Baron, Open University History of mathematics : counting, numerals and calculation (Milton Keynes, 1975). 34. M E Baron, Open University History of mathematics : origins and development of the calculus (Milton Keynes, 1975). 35. M E Baron, The origins of the infinitesimal calculus (New York, 1987). 36. J D Barrow, Pi in the sky : counting, thinking and being (Oxford, 1992). 37. T A Bass, The Newtonian casino (London, 1991). 38. H Behnke, Otto Toeplitz zum Gedachtnis (1949). 39. H Behnke, Semesterberichte : ein Leben an deutschen Universitaten im Wandel der Zeit (Göttingen, 1978). 40. B Belhoste, Augustin-Louis Cauchy : a biography (New York, 1991). 41. E T Bell, Men of mathematics (New York, London, 1937, 1953 ). 42. E T Bell, The development of mathematics (New York, 1945). 43. E T Bell, The last problem(london, 1962). 44. W W Beman and D E Smith (eds.), Karl Fink, , A brief history of mathematics (Chicago, 1903). 45. S Benko, Apa es fiu : Bolyai-tanulmanyok (Budapest, 1978). 46. J Bennett, The measurers : a Flemish image of mathematics in the sixteenth century (Oxford, 1995). 47. J L Berggren, Episodes in the mathematics of medieval Islam (New York, 1986). 48. B C Berndt and R A Rankin (eds.), Ramanujan : letters and commentary (Providence, R.I., 1995). 92

93 49. W Bernhardt, Philipp Melanchthon als Mathematiker und Physiker (Walluf bei Wiesbaden, 1973). 50. J Bernoulli, Der Briefwechsel von Johann Bernoulli (Basel, 1955). 51. D Bertoloni Meli, Equivalence and priority : Newton versus Leibniz : including Leibniz's unpublished manuscripts on the Principia (Oxford, 1993). 52. J Bibby, Notes towards a history of teaching statistics (Edinburgh, 1986). 53. K R Biermann, Die Mathematik und ihre Dozenten an der Berliner Universitat : Stationen auf dem Wege eines mathematischen Zentrums von Weltgeltung (Berlin, 1988). 54. K L Biernatzki, Die Arithmetik der Chinesen (Walluf bei Wiesbaden, 1973). 55. G Birkhoff and U Merzbach (eds.), A source book in classical analysis (Cambridge, Mass., 1973). 56. V Bjerknes, Carl Anton Bjerknes : Gedachtnisrede gehalten vor der Gesellschaft der Wissenschaften zu Christiania am 17. April 1903 (Leipzig, 1903). 57. R Bkouche et al., La rigeur et le calcul : documents historiques et epistemologiques (Paris, 1982). 58. I M Bochenski, A history of formal logic (Notre Dame, Ind., 1961). 59. E Bompiani, In ricordo di Ettore Bortolotti (Modena, 1947). 60. B Boncompagni, Intorno ad alcune opere di Leonardo Pisano : matematico del secolo decimoterzo (Rome, 1854). 61. R Bonola, Non-euclidean geometry (New York, 1955). 62. K Bopp, Drei Untersuchungen zur Geschichte der Mathematik (Berlin, 1929). 63. H J M Bos (ed.), Studies on Christiaan Huygens : invited papers from the Symposium on the Life and Work of Christiaan Huygens, Amsterdam, August 1979 (Lisse, 1980). 64. H J M Bos, Lectures in the history of mathematics (Providence, R.I., 1993). 65. U Bottazzini, The higher calculus : a history of real and complex analysis from Euler to Weierstrass (New York, 1986). 66. N Bourbaki, Eléments d'histoire des mathématiques (Paris, 1974). 67. N Bourbaki, Elements of the history of mathematics (Berlin, 1994). 68. A H Bowley, A memoir of Professor Sir Arthur Bowley ( ) and his family (1972). 69. C B Boyer, A history of mathematics (New York, 1989). 70. C B Boyer, History of analytic geometry (New York, 1956). 71. C B Boyer, The history of the calculus and its conceptual development (New York, 1959). 72. F E Brasch, Sir Isaac Newton : an essay on Sir Isaac Newton and Newtonian thought as exemplified in the Stanford collection of books, manuscripts, and prints concerning celestial mechanics, optics, mathematics, and related disciplines as a history of natural philosophy (Stanford, Calif., 1962). 73. J W Brewer and M K Smith (eds.), Emmy Noether : a tribute to her life and work (New York, 1981). 74. C Brezinski, History of continued fractions and Pade approximants (Berlin, 1991). 75. A Brigaglia, Il Circolo matematico di Palermo (Bari, 1982). 76. J L Britton, Pure mathematics : with a section on Turing's statistical work (Amsterdam, 1992). 77. W H Brock and R M MacLeod, Natural knowledge in social context : the journals of Thomas Archer Hirst FRS (London, 1980). 93

94 78. E Brockmeyer, H L Halstrom and A Jensen, The life and works of A K Erlang (Copenhagen, 1948). 79. P Brunet, La vie et l'oeuvre de Clairaut ( ) (Paris, 1952). 80. C P Bruter, De l'intuition a la controverse : essai sur quelques controverses entre mathematiciens (Paris, 1987). 81. W K Buhler, Gauss : a biographical study (Berlin, 1981). 82. L H N Bunt, P S Jones and J D Bedient, The historical roots of elementary mathematics (Englewood Cliffs, N.J., 1976). 83. J J Burckhardt, Ludwig Schlafli (Basel, 1948). 84. J J Burckhardt, E A Fellmann and W Habicht (eds.), Leonhard Euler : Beiträge zu Leben und Werk (Basel, 1983). 85. K H Burmeister, Georg Joachim Rhetikus : eine Bio-Bibliographie (Wiesbaden, 1967). 86. D M Burton, Burton's history of mathematics : an introduction (Dubuque, Iowa, 1995). 87. D M Burton, The history of mathematics (Boston, 1985). 88. B Bydzovsky, Jan Sobotka (v Praze, 1932). 89. F Cajori, A history of mathematics (New York, 1980). 90. F Cajori, A history of elementary mathematics : with hints on methods of teaching (New York, 1917). 91. F Cajori, A history of mathematical notations (Chicago, 1974). 92. F Cajori, History of mathematics in the United States (Washington, D.C., 1890). 93. F Cajori, The early mathematical sciences in North and South America (Boston, 1928). 94. F Cajori, William Oughtred : a great seventeenth-century teacher of mathematics (Chicago, 1916). 95. R S Calinger (ed.), Classics of mathematics (Oak Park, Ill., 1982). 96. R Calinger, Vita mathematica : historical research and integration with teaching (Washington, D.C., 1996). 97. P Campbell and L Grinstein, Women of mathematics (New York, 1987). 98. D M Cannell, George Green : mathematician and physicist : the background to his life and work (London, 1993). 99. J T Cannon and S Dostrovsky, The evolution of dynamics : vibration theory from 1687 to 1742 (New York, 1981) M Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (Leipzig, ) B E Carpenter and R W Doran (eds.), A.M. Turing's ACE report of 1946 and other papers (Cambridge, Mass., c1986) E Carruccio, Appunti di storia delle matematiche, della logica, della metamatematica (Bologna, 1977) E Carruccio, Mathematics and logic in history and in contemporary thought (Chicago, 1964) B A Case (ed.), A Century of mathematical meetings (Providence, R.I., 1996) M Castellet (ed.), El Desenvolupament de les matematiques al segle XIX (Barcelona, 1984) J Cavailles and S Ramirez, Metodo axiomatico y formalismo (Mexico, 1992) M Chamcowna, Jan Sniadecki (Krakow, 1963). 94

95 108. R I Champagne, The role of five eighteenth-century French mathematicians in the development of the metric system (Ann Arbor, Mich., 1982) B Chandler and W Magnus, The history of combinatorial group theory: a case study in the history of ideas (New York, 1982) M Chasles, Apercu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géomértie (Paris, 1889) M Chasles, Reprints from Comptes rendues des seances de l'academie des Sciences, tome ( ) D P Chattopadhyaya et al., Mathematics, astronomy, and biology in Indian tradition : some conceptual preliminaries (New Delhi, 1995) S Chikara, S Mitsuo and J W Dauben (eds.), The intersection of history and mathematics (Basel, 1994) P R Christopher, Mathematics in Albania, The Mathematical intelligencer 19 (1) (1997), M Clagett, Archimedes in the Middle Ages (Madison, ) E F Clark, George Parker Bidder : the calculating boy (Bedford, 1993) V Clayton, History of mathematics (Monash University, 1975) J J Cleary, Aristotle and mathematics : aporetic method in cosmology and metaphysics (Leiden, 1995) M P Closs (ed.), Native American mathematics (Austin, Tex., 1986) R S Cohen et al. (eds.), For Dirk Struik : Scientific, historical and political essays in honor of Dirk J Struik (Dordrecht, 1974) E Condon, Curiosities of mathematics (Girard, Kan., 1925) L Conti (ed.), La Matematizzazione dell'universo : momenti della cultura matematica tra '500 e '600 (Perugia, 1992) R Cooke, The mathematics of Sonya Kovalevskaya (New York, 1984) J L Coolidge, A history of geometrical methods (New York, 1963) J L Coolidge, History of the conic sections and quadric surfaces (Oxford, 1945) J L Coolidge, The mathematics of great amateurs (Oxford, 1990) L Corry, Modern algebra and the rise of mathematical structures (Basel, 1996) P Costabel et al., L'oeuvre scientifique de Pascal (Paris, 1964) S Couchard, Mathematiques egyptiennes : recherches sur les connaissances mathematiques de l'egypte pharaonique (Paris, 1993) M J Crowe, A history of vector analysis : the evolution of the idea of a vectorial system (New York, 1995) W Cudworth, Life and correspondence of Abraham Sharp, the Yorkshire mathematician and astronomer, and assistant of Flamsteed : with memorials of his family, and associated families (London, 1889) H Dörrie, 100 great problems of elementary mathematics : their history and solution (New York, 1965) U D'Ambrosio, The history of mathematics and ethnomathematics : how a native culture intervenes in the process of learning science, Impact of science on society 160 (1991), A Dahan Dalmedico, Mathématisations : Augustin-Louis Cauchy et l'ecole Francaise (Choix, 1992). 95

96 135. A Dahan-Dalmedico and J Peiffer, Une histoire des mathematiques : routes et dedales(paris, 1986) A I Dale (ed.), Pierre Simon marquis de Laplace, , Philosophical essay on probabilities (New York, 1995) A I Dale, A history of inverse probability : from Thomas Bayes to Karl Pearson (New York, 1991) P Damerow and W Lefevre (eds.), Rechenstein, Experiment, Sprache : historische Fallstudien zur Enstehung der exakten Wissenschaften (Stuttgart, 1981) J W Dauben (ed.), Mathematical perspectives (New York, 1981) J W Dauben et al. (eds), History of mathematics : states of the art : Flores quadrivii - studies in honor of Christoph J Scriba (San Diego, Calif., 1996) J W Dauben, Georg Cantor : his mathematics and philosophy of the infinite (Cambridge, Mass., 1979) J W Dauben, The history of mathematics from antiquity to the present : a selective bibliography (New York, 1985) L v David, Die beiden Bolyai (Basel, 1951) H M Davidson, Pascal and the arts of the mind (Cambridge, 1993) P J Davis and R Hersh, Erfahrung Mathematik (Basel, 1994) P J Davis and R Hersh, The mathematical experience (Boston, 1981) Ministère de la culture, Blaise Pascal, mathématicien, physicien, ingénieur : 350e anniversaire de la conception de la machine arithmétique : 18 septembre-17 octobre 1993 (Paris, 1993) S E De Morgan, Memoir of Augustus De Morgan (London, 1882) A De Pace, Le matematiche e il mondo : ricerche su un dibattito in Italia nella seconda metà del Cinquecento (Milan, 1993) P Dear, Discipline & experience : the mathematical way in the scientific revolution (Chicago, Ill., 1995) P Dedron and J Itard, Mathematics and mathematicians (London, 1974) S Delorme et al., Fontenelle : sa vie et son oeuvre, (Paris, 1961) J Desbois, Mathematiques et mesure du temps, Association nationale des collectionneurs et amateurs d'horlogerie ancienne 57 (1990), C Desmaze, Ramus : sa vie, ses ecrits, sa mort ( ) (Geneva, 1970) F-N Deubner, Adam Ries : Leben und Wirken des grossen Rechenmeisters (Leipzig, 1959) K J Devlin, Mathematics : the new golden age (Harmondsworth, 1988) A Dick, Emmy Noether : (Basel, 1970, 1981) L E Dickson, History of the theory of numbers (New York, 1966) J Dieudonné, Abrégé d'histoire des mathématiques : (Paris, 1978) J Dieudonné, History of algebraic geometry : an outline of the history and development of algebraic geometry (Monterey, 1985) J Dieudonné, History of functional analysis (Amsterdam, 1981) J Dieudonné, Mathematics : the music of reason (Berlin, 1992). 96

97 163. J Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain : les mathematiques aujourd'hui (Paris, 1987) E J Dijksterhuis, Simon Stevin ('S-Gravenhage, 1943) A Djebbar, Enseignement et recherche mathematiques dans le Maghreb - des XIIIe - XIVe siecles : etude partielle (Orsay, 1981) G Dragoni, Eratostene e l'apogeo della scienza greca (Bologna, 1979) L G Du Pasquier, Leonard Euler et ses amis (Paris, 1927) J M Dubbey, Development of modern mathematics (London, 1970) J M Dubbey, The mathematical work of Charles Babbage (Cambridge, 1978) P Dugac, Richard Dedekind et les fondements des mathematiques (avec de nombreux textes inedits) (Paris, 1967) R Dugas, A history of mechanics (New York, 1955) H S Dumas, K R Meyer and D S Schmidt (eds.), Hamiltonian dynamical systems : history, theory, and applications (New York, 1995) W Dunham, Journey through genius : the great theorems of mathematics (New York, 1990) W Dunham, The mathematical universe : an alphabetical journey through the great proofs, problems, and personalities (New York, 1994) G W Dunnington, Carl Friedrich Gauss : titan of science : a study of his life and work (New York, 1995) C Dupin, Essai historique sur les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge (Paris, 1819) P Duren, R A Askey and U C Merzbach (eds.), A Century of mathematics in America (Providence, R.I., ) H Ebert, Hermann von Helmholtz (Stuttgart, 1949) J Echeverria, A Ibarra and T Mormann (eds.), The Space of mathematics : philosophical, epistemological, and historical explorations (Berlin, 1992) H M Edwards, Fermat's last theorem : A genetic introduction to algebraic number theory (New York, 1977) R Einhorn, Vertreter der Mathematik und Geometrie an den Wiener Hochschulen (Vienna, 1985) G Elfving, The history of mathematics in Finland (Helsinki, 1981) F Engel and P Stäckel, Die Theorie der Parallelinien von Euklid bis auf Gauss (1968, reprint of 1895) H Eves, An introduction to the history of mathematics (Philadelphia, 1990) H Eves, Great moments in mathematics (after 1650) (Washington, D.C., 1981) W Ewald (ed.), From Kant to Hilbert : a source book in the foundations of mathematics (Oxford, 1996) J Ewing (ed.), A Century of mathematics : through the eyes of the `Monthly' (Cambridge, 1996) L Félix, The modern aspect of mathematics (New York, 1960) L D Faddeev, 40 years in mathematical physics (Singapore, 1995) J Fang and K P Takayama, Sociology of mathematics and mathematicians : a prologomenon (Hauppauge, N.Y., 1975). 97

98 191. J Fauvel and J Gray (eds.), The History of mathematics : a reader (Basingstoke, 1987) J Fauvel, Mathematics through history : a resource guide (York, 1990) J Fauvel, R Flood and R Wilson (eds.), Möbius and his band : mathematics and astronomy in nineteenth-century Germany (Oxford, 1993) A Favaro, Don Baldassarre Boncompagni e la storia delle scienze matematiche e fisiche (Bologna, ) L Felix (ed.), Message d'un mathematicien : Henri Lebesgue pour le centenaire de sa naissance (Paris, 1974) L Felix, L'aspect moderne des mathematiques (Paris, 1957) I S Fenyo, Leonardo da Vinci e la matematica, Rendiconti del Seminario matematico e fisico di Milano 54 (1984), T Ferris, A plumb line to the sun : finding the scale of the solar system (1989) G Fischer et al. (eds.), Ein Jahrhundert Mathematik : Festschrift zum Jubilaum der DMV (Braunschweig, 1990) J O Fleckenstein, Johann und Jakob Bernoulli (Basel, 1949) G Flegg, Open University History of mathematics - Unit 2: The real numbers (Milton Keynes, 1974) G Flegg, Open University History of mathematics - Unit 3: Greek mathematics, three problems (Milton Keynes, 1974) G Flegg, Open University History of mathematics - Unit 4: The solution of equations (Milton Keynes, 1974) G Flegg, Open University History of mathematics - Unit 6: Coordinate geometry (Milton Keynes, 1974) G Flegg, Open University History of mathematics - Unit 8: Noneuclidean geometry (Milton Keynes, 1974) G Flegg, Open University History of mathematics - Unit 10: Paradoxes and the infinite (Milton Keynes, 1974) G H Flegg, Open University History of mathematics : Modern algebra (Milton Keynes, 1976) G H Flegg, Open University History of mathematics : Projection (Milton Keynes, 1975) M Folkerts and U Lindgren (eds.), Mathemata : Festschrift fur Helmuth Gericke (Stuttgart, 1985) M Folkerts and J P Hogendijk (eds.), Vestigia mathematica : studies in medieval and early modern mathematics in honour of H L L Busard (Amsterdam, 1993) C E Ford, Dmitrii Egorov : mathematics and religion in Moscow, The Mathematical intelligencer 13 (2), A A Fraenkel, Lebenskreise : aus den Erinnerungen eines judischen Mathematikers (Stuttgart, 1967) P Frascolla, Wittgenstein's philosophy of mathematics (London, 1994) P M Fraser, Eratosthenes of Cyrene : lecture on a master mind (London, 1971) H A Freebury, A history of mathematics for secondary schools (London, 1958) G Frei, Die Mathematiker an den Zurcher Hochschulen (Basel, 1994) R Fueter, Leonhard Euler (Basel, 1948). 98

99 218. P H Fuss, Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (New York, 1968) E Gamba and V Montebelli, Le scienze a Urbino nel tardo Rinascimento (Urbino, 1988) R Gatto, Tra scienza e immaginazione : le matematiche presso il collegio gesuitico napoletano ( ca.) (Florence, 1994) S Gaukroger (ed.), Descartes : philosophy, mathematics and physics (Brighton, 1980) K Gavroglu, J Stachel and M W Wartofsky (eds.), Physics, philosophy, and the scientific community : essays in the philosophy and history of the natural sciences and mathematics : in honor of Robert S. Cohen (Dordrecht, 1995) T Gerardy (ed.), Nachtrage zum Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Heinrich Christian Schumacher (Göttingen, 1969) H Gericke, Mathematik in Antike und Orient : Mathematik im Abendland : von den romischen Feldmessern bis zu Descartes (Wiesbaden, 1992) H Gericke, Mathematik in Antike und Orient (Berlin, 1984) G C Giacobbe, Alle radici della rivoluzione scientifica rinascimentale : le opere di Pietro Catena sui rapporti tra matematica e logica (Pisa, 1981) J Gies and F Gies, Leonard of Pisa and the new mathematics of the middle ages (New York, 1969) H V Gill, Roger Boscovich, ( ) : forerunner of modern physical theories (Dublin, 1941) D Gillies, Revolutions in mathematics (Oxford, 1992) C C Gillispie and A P Youschkevitch, Lazare Carnot, savant, et sa contribution a la theorie de l'infini mathematique : avec trois memoires inedits de Carnot (Paris, 1979) C C Gillispie, Dictionary of scientific biography (New York, ) S G Gindikin, Horloges, pendules et mécanique céleste : mathématiciens et physiciens de la Renaissance à nos jours (Paris, 1995) S G Gindikin, Tales of physicists and mathematicians (Boston, 1988) B R Goldstein (ed.), The astronomy of Levi ben Gerson ( ) : a critical edition of chapters 1-20 with translation and commentary (New York, 1985) H H Goldstine, A history of numerical analysis from the 16th through the 19th century (New York, 1977) H H Goldstine, A history of the calculus of variations from the 17th through the 19th century (New York, 1977) H Henderson, Modern mathematicians (New York, 1996) L Golland, B McGuinness and A Sklar (eds.), K Menger, Reminiscences of the Vienna Circle and the Mathematical Colloquium (Dordrecht, 1994) D C Goodman and J H Brooke, Towards a mechanistic philosophy (Milton Keynes, 1974) J Gow, A short history of Greek mathematics (London, 1884) J V Grabiner, The centrality of mathematics in the history of Western thought, Mathematics magazine 61 (1988),