ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ"

Transcript

1 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε το ακριβές αποτέλεσμα του πειράματος, εντούτοις είναι δυνατό να έχουμε κάποια πληροφορία σχετικά με αυτό Συγκεκριμένα, έστω ότι γνωρίζουμε ότι έχει ή ότι θα) πραγματοποιηθεί ένα ενδεχόμενο Β Ποια θα είναι σε αυτή την περίπτωση η πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο Α δεδομένου ότι συνέβη ή ότι θα συμβεί) το Β; Ας συμβολίσουμε την πιθανότητα αυτή με Επειδή τώρα γνωρίζουμε ότι έχει συμβεί το Β, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο νέος δειγματικός χώρος του πειράματος είναι ο Β Α B Α Β Ω Επομένως, ζητώντας την πιθανότητα του Α δεδομένου του Β είναι σαν να ζητάμε την πιθανότητα του Α Β στο νέο δειγματικό χώρο Β Θα πρέπει λοιπόν!, όπου διαιρούμε με την πιθανότητα ώστε να ισχύει ότι B η πιθανότητα να συμβεί το B δεδομένου ότι συνέβη το Β θα πρέπει προφανώς να είναι ) Επομένως, φυσιολογικά οδηγούμαστε στον παρακάτω ορισμό Ορισμός 7 Έστω δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω και Β) > 0 Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α δεδομένου ότι έχει ή ότι θα) πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β ορίζεται! Η καλείται και δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος του Β Άσκηση Μία οικογένεια έχει δύο παιδιά Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και τα δύο αγόρια δεδομένου ότι τουλάχιστον ένα από αυτά είναι αγόρι; υποθέστε ότι η πιθανότητα γέννησης α ή κ είναι ½ και ½ αντίστοιχα) Λύση Τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος εδώ είναι Ω{α,α),α,κ),κ,α),κ,κ)} όπου πχ το στοιχειώδες ενδεχόμενο {α,κ)} αντιστοιχεί στο αποτέλεσμα: πρώτο παιδί αγόρι, δεύτερο παιδί κορίτσι κοκ Επειδή η πιθανότητα γέννησης α ή κ είναι ½ και ½ αντίστοιχα, τα 4 στοιχειώδη ενδεχόμενα του Ω είναι ισοπίθανα Έστω Α{και τα δύο παιδιά είναι αγόρια}{α,α)} και Β{τουλάχιστον ένα από τα παιδιά είναι αγόρι}{α,α),α,κ),{κ,α)} Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 5

2 Ζητείται η! { a)}) / 4 { a), ),, a)}) 3/ 4 3 Άσκηση 3 Ποια είναι η πιθανότητα το αποτέλεσμα της ρίψης δύο ζαριών να έχει άθροισμα ίσο με 7 α) χωρίς να έχουμε καμία πληροφορία για το αποτέλεσμα β) δεδομένου ότι και τα δύο ζάρια είχαν ένδειξη μεγαλύτερη του, και γ) δεδομένου ότι τα δύο ζάρια είχαν διαφορετική ένδειξη; Λύση Ο δειγματικός χώρος Ω είναι γνωστό ότι περιλαμβάνει όλες τις διατάξεις των έξι στοιχείων {,,,6} ανά δύο με επανάληψη, δηλαδή Ω{,),,),,6,6)} και Ω 6 36 α) Έστω Α {άθροισμα δύο ζαριών ίσο με 7}{,6),,5), 3,4), 4,3), 5,), 6,)} Θα ισχύει ότι 6 P Ω 36 6 β) Έστω Β {και τα δύο ζάρια έχουν ένδειξη μεγαλύτερη του }{3,3), 3,4),, 6,6)} Το ενδεχόμενο Β περιλαμβάνει όλες τις διατάξεις των 4 στοιχείων {3,4,5,6} ανά δύο με επανάληψη Επομένως Β 4 6 και! {3,4),4,3)}) /36 6/ γ) Έστω Γ {τα δύο ζάρια έχουν διαφορετική ένδειξη} Το ενδεχόμενο Γ περιλαμβάνει όλες τις διατάξεις των 6 στοιχείων {,,3,4,5,6} ανά δύο χωρίς επανάληψη) Επομένως Γ 6) 30 και! Γ) 6/36 6 Γ) Γ) Γ) 30/ Είναι χρήσιμο να παρατηρήσουμε ότι για συγκεκριμένο σταθερό) B η συνολοσυνάρτηση η οποία απεικονίζει κάθε ενδεχόμενο Α του Ω στο Α ικανοποιεί τα αξιώματα Kolmogorov και άρα είναι πιθανότητα Πράγματι, Α [0,) για κάθε ενδεχόμενο Α, Ω! Β) Β) Ω Β) Β) Β) και αν Α,Α, είναι μία ακολουθία ξένων ανά δύο ενδεχομένων του Ω " i " i )! "! ) i i! i αφού Α Β, Α Β, είναι και αυτή μία ακολουθία ξένων ανά δύο ενδεχομένων του Ω Συνεπώς ισχύουν και για τη δεσμευμένη πιθανότητα όλα τα θεωρήματα και οι ιδιότητες που ισχύουν για πιθανότητες Για παράδειγμα αν Α, Β, C τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με C)>0) τότε βλ Πρόταση )) i Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 6

3 ) C C) C) ) 0 P C) 3) P C) 0 4) B C) C) B C) 5) P " B C) C) + B C)! B C) 6) P " B C) C) + B C) ανισότητα Boole για δεσμευμένες πιθανότητες) 7) P! B C) C) + B C) ανισότητα Bonferroni για δεσμευμένες πιθανότητες) 8) Αν Β Α τότε Β C) Α C) μονοτονία της δεσμευμένης πιθανότητας) κοκ Παρατήρηση Αξίζει να υπογραμμιστεί ότι η συνάρτηση για σταθερό Β) έχει της ιδιότητες μιας πιθανότητας αλλά δεν ισχύει το ίδιο και για τη συνάρτηση Α ) για σταθερό Α) Δηλαδή γενικά δεν ισχύουν εκφράσεις της μορφής Α B Γ) Β) + Γ) Β Γ) κοκ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του Ω με Β)>0 Παρατηρούμε ότι σε αρκετές περιπτώσεις είναι δυνατό η πιθανότητα πραγματοποίησης του Α δεδομένου ότι έχει πραγματοποιηθεί το Β να είναι ίση με την πιθανότητα του Α χωρίς καμία δέσμευση) Δηλαδή, P Σε αυτή την περίπτωση η πιθανότητα πραγματοποίησης του Α δεν επηρεάζεται καθόλου από την πραγματοποίηση του Β Δηλαδή τα ενδεχόμενα Α,Β είναι κατά κάποιο τρόπο «ανεξάρτητα» Παρατηρούμε ότι η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναμη με την! P! Τα παραπάνω μας οδηγούν στην εισαγωγή του ακόλουθου ορισμού Ορισμός 8 Δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω θα καλούνται στοχαστικά) ανεξάρτητα αν ισχύει ότι P! Όπως είδαμε και παραπάνω, αν δύο ενδεχόμενα Α, Β είναι ανεξάρτητα και Β)>0 τότε ενώ επίσης αν Α)>0 τότε,!! B Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε και πάλι το πείραμα της ρίψης δύο ζαριών Είναι διαισθητικά προφανές ότι οποιαδήποτε πληροφορία γνωρίζουμε για το αποτέλεσμα της ρίψης του πρώτου ζαριού, δεν προσφέρει κάποια επιπλέον πληροφορία για το αποτέλεσμα της ρίψης του δεύτερου ζαριού Πχ αν Α{αποτέλεσμα ρίψης πρώτου ζαριού 6}, Β{αποτέλεσμα ρίψης δεύτερου ζαριού > 3} τότε διαισθητικά θα πρέπει Α Β) Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί στη συγκεκριμένη περίπτωση εύκολα να επαληθευτεί και μέσω του ορισμού της δεσμευμένης πιθανότητας και της Πρότασης Επίσης, δύο πειράματα θα θεωρούνται στοχαστικά ανεξάρτητα αν και Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 7

4 μόνο αν για κάθε δύο ενδεχόμενα Α, Β έτσι ώστε το Α «αφορά» το πρώτο πείραμα και το Β «αφορά» το δεύτερο πείραμα, να ισχύει ότι δηλ τα Α, Β είναι ανεξάρτητα) Η στοχαστική ανεξαρτησία μπορεί εύκολα να γενικευτεί και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα Συγκεκριμένα, τα ενδεχόμενα Α,Α,,Α n θα καλούνται στοχαστικά ανεξάρτητα αν P!!! ) ) ) ), a a a a a a για κάθε διαφορετικούς ανά δύο) δείκτες a,a,,a {,,,n} και για κάθε, 3,, n Πχ για να είναι τέσσερα ενδεχόμενα Α, Α, Α 3, Α 4 ανεξάρτητα θα πρέπει η παραπάνω ισότητα να ι- σχύει για κάθε δύο διαφορετικά) Α i, δηλαδή, P! ) ) ),! ) ) ),! 4 ) ) 4 ), P! ) ) ),! 4 ) ) 4 ),! 4 ) ) 4 ), και για κάθε τρία διαφορετικά) Α i, δηλαδή, P!! ) ) ) ),!! 4 ) ) ) 4 ), P!! 4 ) ) ) 4 ),!! 4 ) ) ) 4 ), και για κάθε τέσσερα διαφορετικά) Α i, δηλαδή, P!!! ) ) ) ) ) Υπογραμμίζεται ότι για να είναι n ενδεχόμενα στοχαστικά ανεξάρτητα, δεν αρκεί να είναι ανά δύο ανεξάρτητα Η έννοια των δύο ανεξάρτητων στοχαστικών) πειραμάτων γενικεύεται και αυτή για περισσότερα από δύο πειράματα: n πειράματα θα θεωρούνται στοχαστικά) ανεξάρτητα αν και μόνο αν για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α,Α,,Α n ώστε το Α i ενδεχόμενο να «αφορά» το i- πείραμα, i,,,n) τα Α,Α,,Α n είναι μεταξύ τους στοχαστικά ανεξάρτητα Αρκετές φορές προκειμένου να υπολογίσουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου, προσπαθούμε να εκφράσουμε το ενδεχόμενο αυτό ως μια τομή ενδεχομένων που αφορούν στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα Ως συνέπεια, η αρχική πιθανότητα θα είναι ίση με την πιθανότητα μιας τομής ανεξάρτητων ενδεχομένων η οποία ισούται με το γινόμενο των πιθανοτήτων των επί μέρους ενδεχομένων οι οποίες ενδεχομένως να είναι γνωστές) Η τεχνική αυτή γίνεται περισσότερο φανερή στις ασκήσεις που ακολουθούν Άσκηση 4 Έστω ότι εκτελούμε ένα σύνθετο) πείραμα το οποίο αποτελείται από τρεις ανεξάρτητες δοκιμές απλά πειράματα) Η πιθανότητα επιτυχίας στην i-δοκιμή είναι ίση με p i, i,, 3 α) Ποιός είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος; β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ό- λων των στοιχειωδών ενδεχομένων του Είναι τα ενδεχόμενα αυτά ισοπίθανα; γ) ποια είναι η πιθανότητα να παρατηρηθούν τουλάχιστον επιτυχίες στις 3 αυτές δοκιμές; Λύση α) Προφανώς, ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι ο Ω {0,0,0),,0,0), 0,,0),,,0), 0,0,),,0,), 0,,),,,)}, έχουμε θέσει : επιτυχία, 0:αποτυχία) δηλαδή αποτελείται από όλες τις διατάξεις των δύο στοιχείων {0,} ανά 3 τρεις δοκιμές) με επανάληψη β) Αρχικά ας υπολογίσουμε την πιθανότητα του στοιχειώδους ενδεχομένου {0,0,)} Σύμφωνα με μία παραπάνω παρατήρηση, θα προσπαθήσουμε να εκφράσουμε το ενδεχόμενο αυτό ως μια τομή ενδεχομένων που αφορούν στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα Αν ορίσουμε τα C C C ενδεχόμενα Α i {επιτυχία στην i-δοκιμή}, i,, 3 τότε {0,0,)}!! και τα, C, Α 3 αφορούν στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα διότι έχουμε 3 ανεξάρτητες δοκιμές) Άρα θα ισχύει ότι Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

5 C C C C {0,0,)}) P!! ) ) ) ) p ) p )p 3 3 Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να υπολογιστούν οι πιθανότητες όλων των στοιχειωδών ενδεχομένων του πειράματος Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι συνοπτικά θα ισχύει ότι { x x x p p p p p p, x, x, x 3 {0,} x x x x x3 x3,, 3)}) ) ) 3 3) Προφανώς, τα στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα μόνο όταν p p p 3 ½ γ) Έστω Α {τουλάχιστον επιτυχίες στις 3 δοκιμές} {,,0),,0,),0,,),,,)}, Θα ισχύει ότι P {,,0)}) + {,0,)}) + {0,,)}) + {,,)}) p p p + p p p + p p p + p p p 3) ) 3 ) Αν πχ p p p 3 ½ τότε /8+/8+/8+/8 4/8 γεγονός που θα μπορούσε να είχε βρεθεί και μέσω της Πρότασης που αφορά ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα φυσικά, στη γενικότερη περίπτωση που p i ½, δεν είναι δυνατή η χρήση της Πρότασης ) Άσκηση 5 Μία οικογένεια έχει δύο παιδιά Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και τα δύο αγόρια δεδομένου ότι τουλάχιστον ένα από αυτά είναι αγόρι; υποθέστε ότι η πιθανότητα γέννησης α ή κ είναι 049 και 05 αντίστοιχα) Λύση Τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος εδώ είναι Ω{α,α),α,κ),κ,α),κ,κ)} όπου πχ το στοιχειώδες ενδεχόμενο {α,κ)} αντιστοιχεί στο αποτέλεσμα: πρώτο παιδί αγόρι, δεύτερο παιδί κορίτσι κοκ Σε αντίθεση με την άσκηση 3 τα στοιχειώδη ενδεχόμενα εδώ δεν είναι ισοπίθανα Έστω Α{και τα δύο παιδιά είναι αγόρια}{α,α)} και Β{τουλάχιστον ένα από τα παιδιά είναι αγόρι}{α,α),α,κ),{κ,α)} Ζητείται η! { a)}) P { a), ),, a)}) Επειδή το δεύτερο παιδί είναι α ή κ ανεξάρτητα από το πρώτο και αντίστροφα, θα έχουμε ότι Α Β) Α) το πρώτο παιδί αγόρι και το δεύτερο παιδί αγόρι) το πρώτο παιδί αγόρι)το δεύτερο παιδί αγόρι) 049 και B C ) το πρώτο παιδί κορίτσι και το δεύτερο παιδί κορίτσι) το πρώτο παιδί κορίτσι)το δεύτερο παιδί κορίτσι) 05 Άρα τελικά,! % 3 Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 9

6 Άσκηση 6 Η πιθανότητα να πετύχει ένας σκοπευτής ένα στόχο είναι p/3 α) Ποια είναι η πιθανότητα να πυροβολήσει 5 φορές μέχρις ότου χτυπήσει το στόχο μία φορά β) Ποια είναι η πιθανότητα να χρειαστούν περισσότεροι από 0 πυροβολισμοί για να πετύχει το στόχο μία φορά; Λύση Για το ερώτημα α) θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι Ω {α,α,,α 5 ), α i {0,}}, Ω 5 και Α 5 {5 πυροβολισμοί μέχρις ότου χτυπηθεί ο στόχος} {0,0,0,0,)} Επειδή οι 5 πυροβολισμοί είναι ανεξάρτητοι ως στοχαστικά πειράματα, θα ισχύει ότι Α 5 ) άστοχος ο ος πυροβ και άστοχος ο ος πυροβ και και στο στόχο ο 5 ος πυροβ) άστοχος ο ος πυροβ)άστοχος ο ος πυροβ) στο στόχο ο 5 ος πυροβ) p) 4 p 36% Η Πρόταση θα μπορούσε να είχε χρησιμοποιηθεί μόνο στην περίπτωση που p ½ β) Εδώ, μας βολεύει να θεωρήσουμε ότι Ω {α,α,,α 0 ), α i {0,}} Θέτουμε Β {περισσότεροι από 0 πυροβολισμοί μέχρις ότου χτυπηθεί ο στόχος} Θα ισχύει ότι άστοχος ο ος πυροβ και άστοχος ο ος πυροβ και και άστοχος ο 0 ος πυροβ) άστοχος ο ος πυροβ)άστοχος ο ος πυροβ) άστοχος ο 0 ος πυροβ) p) 0 Εναλλακτικά, όμοια με το α) μπορούμε να αποδείξουμε ότι i ) i πυροβολισμοί μέχρις ότου χτυπηθεί ο στόχος) p) i- p, και επομένως, P " i 0 i 0 i i 0 ) ) p) p p p) p) p p) p) i i i i 0 p) 0 0 p p) p) Παραπάνω είδαμε ότι για δύο ενδεχόμενα Α, Β γενικά ισχύει ότι! και άρα P! Ο παραπάνω τύπος μπορεί να γενικευτεί για την πιθανότητα της τομής περισσότερων ενδεχομένων Ειδικότερα ισχύει ή επόμενη πρόταση Πρόταση 7 Πολλαπλασιαστικός κανόνας για την πιθανότητα τομής ενδεχομένων) Αν Α, Α,, Α είναι οποιαδήποτε ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου τότε!!! )!! )!! ) ) ) ) Απόδειξη Αρχικά παρατηρούμε ότι ενώ! P!!! )!! )!! ) P!! )!! )!! ) κοκ για την P!! ) και η απόδειξη συμπληρώνεται με επαγωγή Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 30

7 Σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση, η πιθανότητα να συμβούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α, Α,, Α είναι ίση με την πιθανότητα να συμβεί το Α επί την πιθανότητα να συμβεί το Α δεδομένου ότι συνέβη το Α επί την πιθανότητα να συμβεί το Α 3 δεδομένου ότι συνέβη το Α και Α κοκ επί την πιθανότητα να συμβεί το Α δεδομένου ότι συνέβησαν τα Α,,Α - Άσκηση 7 Τραβάμε τρία χαρτιά χωρίς επανάθεση) από μια τράπουλα με 5 χαρτιά Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε 3 άσσους Λύση α τρόπος) Έστω Β{,,,5} τα 5 χαρτιά της τράπουλας και έστω ότι οι άσσοι είναι τα τέσσερα πρώτα,,3,4 Ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από όλες τις τριάδες {α,α,α 3 } διαφορετικών στοιχείων του Β δηλαδή από όλους τους συνδυασμούς των 5 ανά 3 Το ενδεχόμενο Α {τρεις άσσοι} αποτελείται από όλες τις τριάδες {α,α,α 3 } διαφορετικών στοιχείων του {,, 3, 4} δηλαδή από όλους τους συνδυασμούς των 4 στοιχείων ανά 3 Τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου μπορούν να θεωρηθούν ισοπίθανα και συνεπώς από την Πρόταση θα ισχύει ότι 4 3 4! 3! 5 3)! 4 3 P Ω 5 3 3! 4 3)! 5! το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει αν θεωρήσουμε τις παραπάνω τριάδες {α,α,α 3 } διατεταγμένες, χρησιμοποιώντας διατάξεις αντί συνδυασμούς) β τρόπος) Θα χρησιμοποιήσουμε τον πολλαπλασιαστικό κανόνα Έστω ότι εκλέγουμε ένα-ένα τα τρία χαρτιά χωρίς επανάθεση) και έστω Α i {i χαρτί άσσος}, i,,3 Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου Α Α Α 3 Θα ισχύει ότι P!! ) ) )! ) Παρατήρηση Η πιθανότητα 3 ) που εμφανίζεται στον β τρόπο λύσης της Άσκησης 7 αποτελεί ένα παράδειγμα πιθανότητας μιας τομής εξαρτημένων ενδεχομένων Πράγματι, στην συγκεκριμένη περίπτωση τα Α, Α, Α 3 δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχονται από ανεξάρτητα πειράματα διότι πχ το αποτέλεσμα του πρώτου πειράματος η επιλογή χαρτιού) επηρεάζει το δεύτερο πείραμα η επιλογή χαρτιού) αφού η επιλογή αυτή γίνεται χωρίς επανάθεση το χαρτί που τραβήξαμε μένει εκτός της τράπουλας και συνεπώς η επόμενη επιλογή χαρτιού γίνεται από τράπουλα με διαφορετική σύνθεση) Είναι προφανές ότι τα Α,Α,Α 3 θα ήταν ανεξάρτητα μόνο αν η επιλογή γίνονταν με επανάθεση Άσκηση 8 Ένας παίκτης Lotto ισχυρίζεται ότι όταν ένας αριθμός από τους 49 δεν έχει εμφανιστεί στις 30 τελευταίες κληρώσεις τότε αυξάνεται η πιθανότητα να εμφανιστεί στην επόμενη κλήρωση Συμφωνείτε; Λύση Έστω Α το ενδεχόμενο να μην εμφανιστεί ο αριθμός στις 30 τελευταίες κληρώσεις και Β το ενδεχόμενο να εμφανιστεί στην επόμενη κλήρωση Ο παίκτης ισχυρίζεται ότι B > Είναι όμως προφανές ότι τα ενδεχόμενα Α και Β αφορούν στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα Το αποτέλεσμα της επόμενης κλήρωσης δεν επηρεάζεται από τα αποτελέσματα των τελευταίων 30 κληρώσεων αυτό φυσικά ισχύει όταν η κλήρωση δεν είναι «στημένη») Επομένως B και ο ισχυρισμός του παίκτη δεν είναι σωστός Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 3

8 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε ορισμένες περιπτώσεις ένα σύνθετο) στοχαστικό πείραμα μπορεί να θεωρηθεί ότι α- ποτελείται από δύο βήματα πειράματα) Τα δύο αυτά πειράματα είναι έτσι ώστε, οι πιθανότητες των ενδεχομένων που αφορούν το δεύτερο πείραμα να εξαρτώνται από το αποτέλεσμα του πρώτου πειράματος Είναι ενδιαφέρον σε αυτή την περίπτωση να δούμε πως μπορεί να γίνει ο υπολογισμός της πιθανότητας ενός ενδεχομένου που αφορά το δεύτερο πείραμα ή συνολικά και τα δύο πειράματα) Για παράδειγμα, έστω ότι αρχικά ρίχνουμε ένα νόμισμα Αν έρθει κεφαλή τότε επιλέγουμε τυχαία μία σφαίρα από ένα κουτί που περιέχει 5 μαύρες και 3 λευκές σφαίρες Αν έρθει γράμματα τότε επιλέγουμε τυχαία μία σφαίρα από ένα άλλο κουτί που περιέχει 6 μαύρες και λευκές σφαίρες Ποια θα είναι η πιθανότητα εκλογής μαύρης σφαίρας αν δούμε αυτά τα δύο βήματα σαν ένα πείραμα; Αρχικά θέτουμε Κ το ενδεχόμενο να φέρουμε κεφαλή και Γ το ενδεχόμενο να φέρουμε γράμματα στη ρίψη του νομίσματος Αν Μ είναι το ενδεχόμενο επιλογής μαύρης σφαίρας τότε θα ισχύει ότι P M ) M! K) " M! Γ)) M! Κ) + M! Γ) P M K) K) + M Γ) Γ) Αλλά, P M K) 5/ 8 και P M Γ) 6/ 8 ενώ P K) Γ) / Συνεπώς, 5 6 P M ) Η συγκεκριμένη μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στην περίπτωση που τα αποτελέσματα του πρώτου βήματος είναι περισσότερα από δύο Ακόμη γενικότερο είναι το επόμενο θεώρημα που είναι γνωστό και ως θεώρημα ολικής πιθανότητας Θεώρημα Θεώρημα ολικής πιθανότητας) Έστω,,, n ξένα ανά δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και Α Α Α n Ω Αν Β είναι ένα ενδεχόμενο του Ω τότε P B ) ) + B ) ) + + B ) ) n n Απόδειξη Επειδή τα,,, n είναι ξένα ανά δύο έπεται ότι το ίδιο θα ισχύει και για τα ενδεχόμενα Β, Β,, Β n Επομένως, από τα αξιώματα Kolmogorov θα ισχύει ότι P B! Ω) B! " " )) B! ) " " B! )) n n P B! ) + + B! ) B ) ) + + B ) ) n n n Άσκηση 9 Οι φοιτητές μιας σχολής κρίνονται ικανοί ή μη ικανοί να περάσουν ένα μάθημα βάσει γραπτών εξετάσεων Η πιθανότητα να κριθεί ικανός ένας πολύ καλός ΠΚΛ), καλός ΚΛ), μέτριος Μ), κακός ΚΚ) και πολύ κακός ΠΚΚ) φοιτητής είναι 95%, 75%, 50%, 5%, 5% αντίστοιχα Αν το ποσοστό των ΠΚΛ, ΚΛ, Μ, ΚΚ, ΠΚΚ ανάμεσα στους φοιτητές της σχολής είναι 3%, 7%, 40%, 30%, 0% αντίστοιχα, να βρεθεί η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος φοιτητής -τρια) να περάσει το μάθημα Ποια είναι η πιθανότητα κάποιος να είναι πολύ καλός δεδομένου ότι πέρασε το μάθημα; Λύση Για να βρούμε την πιθανότητα να περάσει το μάθημα ένας φοιτητής θα πρέπει πρώτα να γνωρίζουμε σε ποια από τις πέντε κατηγορίες ανήκει Έστω ΠΚΛ, ΚΛ, Μ, ΚΚ, ΠΚΚ τα ενδεχόμενα να ανήκει στους πολύ καλούς, καλούς, μέτριους, κακούς και πολύ κακούς φοιτητές αντίστοιχα Αν Ι είναι το ενδεχόμενο να κριθεί ο φοιτητής ικανός, από το Θεώρημα ολικής πιθανότητας τα ενδεχ ΠΚΛ,,ΠΚΚ είναι ξένα και η ένωσή τους δίνει τον Ω) θα ισχύει ότι P I) I ΠΚΛ) ΠΚΛ) + I ΚΛ) ΚΛ) + I Μ) Μ) + Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 3

9 + P I ΚΚ) ΚΚ) + I ΠΚΚ) ΠΚΚ) % Στη συνέχεια αναζητούμε την πιθανότητα ΠΚΛ Ι) Θα ισχύει χρησιμοποιώντας και τον πολλαπλασιαστικό κανόνα) ότι ΠΚΛ! Ι) Ι ΠΚΛ) ΠΚΛ) ΠΚΛ Ι) I) I ) % 0436 Είναι ενδιαφέρουσα η παρατήρηση ότι στην παραπάνω άσκηση ζητήθηκε ο υπολογισμός της δεσμευμένης πιθανότητας ΠΚΛ I) ενώ ήταν γνωστές οι πιθανότητες ΠΚΛ),, ΠΚK) και οι δεσμευμένες πιθανότητες I ΠΚΛ),, I ΠΚΚ) Οι ΠΚΛ),, ΠΚK) εκφράζουν την πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος φοιτητής να είναι ΠΚΛ,, ΠΚΚ αντίστοιχα, πριν μάθουμε αν έχει κριθεί ικανός στις εξετάσεις Ενώ οι πιθανότητες ΠΚΛ I),, ΠΚΛ I) εκφράζουν την πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος φοιτητής να είναι ΠΚΛ,, ΠΚΚ αντίστοιχα, αφότου μάθουμε ότι έχει κριθεί ικανός στις εξετάσεις Το συγκεκριμένο πρόβλημα όπως θα δούμε στη συνέχεια εμφανίζεται αρκετά συχνά Για το λόγο αυτό ας το εξετάσουμε στη γενικότερη περίπτωση n Έστω Α,Α,,Α n ξένα ανά δύο ενδεχόμενα με " i Ω και έστω ότι γνωρίζουμε τις πιθανότητες Α i ), Β Α i ), i,,,n για κάποιο ενδεχόμενο Β Ω Με ποιο τρόπο θα υπολογίσουμε τις πιθανότητες Α i Β); Στο συγκεκριμένο πρόβλημα, οι πιθανότητες Α i ), i,,,n συνήθως καλούνται και «εκ των προτέρων» ή «a priori») πιθανότητες ενώ οι Α i Β), i,,,n καλούνται και «εκ των υστέρων» ή «a posteriori») πιθανότητες Συνοπτικά θα έχουμε: Γνωστές: ), ),, n ) «εκ των προτέρων» πιθανότητες των Α i B ), B ),, B n ) δεσμευμένες πιθανότητες του Β Άγνωστες:,,, n «εκ των υστέρων» πιθανότητες των Α i Το πρόβλημα λύνεται εύκολα ακολουθώντας τη διαδικασία που ακολουθήθηκε και κατά την λύση της προηγούμενης άσκησης Συγκεκριμένα έχουμε το επόμενο αποτέλεσμα το οποίο είναι γνωστό και ως τύπος ή Θεώρημα του Bayes Θεώρημα Θεώρημα ή τύπος του Bayes) Έστω,,, n ξένα ανά δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και Α Α Α n Ω Αν Β είναι ένα ενδεχόμενο του Ω τότε B ) ) B ) ) + B ) ) + + B ) ), i,,, n n Απόδειξη Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας θα έχουμε ότι B! ) B ) ) Από το θεώρημα ολικής πιθανότητας προκύπτει τελικά το ζητούμενο Άσκηση 30 Όταν κάποιος παίρνει λεωφορείο για τη δουλειά του πηγαίνει καθυστερημένος στο 30% των περιπτώσεων και όταν παίρνει ταξί πηγαίνει καθυστερημένος στο 0% των περιπτώσεων Προτιμά λεωφορείο στο 80% και ταξί στο 0% των περιπτώσεων α) Ποια η πιθανότητα να πάει καθυστερημένος στη δουλειά του μια ημέρα; β) Αν μία ημέρα πήγε καθυστερημένος στη δουλειά του, ποια η πιθανότητα να πήγε με λεωφορείο; Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 33

10 Λύση Ας ορίσουμε τα ενδεχόμενα K: καθυστερημένος, Λ: παίρνει λεωφορείο, Τ: παίρνει ταξί Η πιθανότητα να πάει καθυστερημένος στη δουλειά του μια ημέρα είναι ΘΟΠ) P K) K Λ) Λ) + K T ) T ) Η πιθανότητα να πήγε με λεωφορείο δεδομένου ότι πήγε καθυστερημένος είναι K Λ) Λ) P Λ K) 09 K) 06 Άσκηση 3 Έστω ότι η πιθανότητα ορθής διάγνωσης καρκίνου της μήτρας με το τεστ Pap είναι 99% Ποια είναι η πιθανότητα γυναίκα με θετικό τεστ πράγματι να έχει την ασθένεια, αν είναι γνωστό ότι το ποσοστό των γυναικών που έχουν καρκίνο της μήτρας είναι 00%; Πόσες φορές πρέπει να βγει θετικό το συγκεκριμένο τεστ ώστε η πιθανότητα να έχει την ασθένεια να είναι τουλάχιστον 99%; Λύση Έστω ότι επιλέγουμε τυχαία μία γυναίκα και πραγματοποιούμε το συγκεκριμένο τεστ Συμβολίζουμε με Θ το ενδεχόμενο να βρεθεί θετικό το τεστ, με Y το ενδεχόμενο να είναι υγιής και το ενδεχόμενο να είναι ασθενής με καρκίνο της μήτρας η συγκεκριμένη γυναίκα Ζητείται η πιθανότητα Θ) Από τον τύπο του Bayes θα έχουμε ότι Θ Θ) % Θ Y) Y ) + Θ ) Παρατηρούμε δηλαδή ότι, δεδομένης της πληροφορίας του θετικού τεστ η πιθανότητα να είναι ασθενής η γυναίκα αυξήθηκε από το 00% αδέσμευτη πιθανότητα, ) στο % περίπου Παρόλη την αύξηση αυτή, δεν μπορούμε προφανώς να πούμε με βεβαιότητα ότι η γυναίκα είναι πράγματι ασθενής και θα πρέπει να πραγματοποιήσουμε ξανά το τεστ Έστω τώρα ότι το τεστ πραγματοποιείται φορές και έστω Θ i το ενδεχόμενο να βρεθεί το τεστ θετικό την i-φορά, i,,, Θα υπολογίζουμε την πιθανότητα Θ!! Θ ) να έχει η γυναίκα την ασθένεια δεδομένου ότι το τεστ είναι θετικό και τις φορές Θα έχουμε και πάλι από τον τύπο του Bayes ότι Θ Θ!! Θ!! Θ ) Θ!! Θ Y ) Y ) + Θ!! Θ Αν τώρα θεωρήσουμε τα τεστ στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους δεδομένου του Α), τότε Όμοια μπορούμε να θεωρήσουμε ότι και άρα τελικά Θ!! Θ Θ Θ 0 P 99 Θ!! Θ Y ) Θ Y ) Θ Y) 0, P P Θ!! Θ ) ) Για, 3, 4 βρίσκουμε αντίστοιχα την παραπάνω πιθανότητα ίση με 0495, 09898, Επομένως για να είναι έχει μία γυναίκα καρκίνο με πιθ 99% θα πρέπει να έχει βρεθεί θετικό τεστ 3 συνεχόμενες φορές Άσκηση 3 Η τιμή ενός προϊόντος αυξομειώνεται στο χρόνο Το τελευταίο διάστημα έχει με κάποιο τρόπο εκτιμηθεί ότι όταν η τιμή αλλάζει, αυτή είτε μειώνεται με πιθανότητα 5% είτε αυξάνεται με πιθανότητα 85% Ένας αναλυτής προβλέπει ότι η επόμενη κίνηση της τιμής θα είναι Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 34

11 καθοδική ενώ ένας ανεξάρτητος δεύτερος ότι θα είναι ανοδική Ποιον αναλυτή να εμπιστευτούμε αν ο πρώτος κάνει σωστή πρόβλεψη στο 90% και ο δεύτερος στο 70% των περιπτώσεων; Λύση Έστω Α το ενδεχόμενο να αυξηθεί η τιμή και Μ το ενδεχόμενο να μειωθεί Ας συμβολίσουμε με i, M i τα ενδεχόμενα να προβλέψει ο i-αναλυτής αύξηση, μείωση αντίστοιχα της τιμής Η πιθανότητα να αυξηθεί η τιμή δεδομένου ότι ο πρώτος αναλυτής προέβλεψε μείωση και ο δεύτερος αύξηση είναι M ) M Οι δύο αναλυτές είναι ανεξάρτητοι, άρα και Επομένως τελικά, M + M M ) M ) P M M 0 07 P M M ) M M ) M ) M ) % Άρα δεδομένων των στοιχείων που έχουμε οι εισηγήσεις των δύο αναλυτών) είναι πιθανότερο να έχουμε αύξηση 595%) αντί μείωση %) της τιμής Στη συγκεκριμένη περίπτωση λοιπόν, ίσως θα πρέπει να εμπιστευτούμε το δεύτερο αναλυτή αν και δεν είναι τόσο αξιόπιστος όσο ο πρώτος Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 35

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πιθανότητες και Στατιστική ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων εσμευμένη πιθανότητα Ολική πιθανότητα Κανόνας του Bayes Υποκειμενική πιθανότητα Πιθανότητες και βακτηριουρία

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Συμπληρωματικές Ασκήσεις Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες Ασημίνα Ασβεστά, Κωνσταντίνα Ζαχαροπούλου, Σοφία Αιζενμπαχ Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1.1 Απαρίθμηση και καταγραφή 1.2 Η αρχή του αθροίσματος 1.3 Η πολλαπλασιαστική αρχή 1.4 Άλλοι κανόνες απαρίθμησης 1.5 Πιθανότητες σε πεπερασμένους δειγματικούς χώρους 1.6 Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα

Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Ενότητα 0 Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Τα δεδομένα με τα οποία ασχολείται η Στατιστική προέρχονται από παρατηρήσεις και πειράματα που εμπίπτουν σε οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β);

Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β); Μια παρέα αποτελούμενη από 10 άντρες και 5 γυναίκες, με τυχαίο τρόπο χωρίζονται σε ομάδες 3 ατόμων. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε κάθε ομάδα θα υπάρχει ένας τουλάχιστον άνδρας. Απάντηση: Έστω το γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης,

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, 3ο Κεφάλαιο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν Ω είναι δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, τότε Ρ (Ω) = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόµενο ενός πειράµατος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. *

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΟΜΙΚΩΝ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ Σ.Τ.Ε.Φ Τ.Ε.Ι. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ 008 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ I. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας 0 1 2 3 4 f () 1/16 4/16 6/16 c 1/16 Να βρεθούν α) η τιμή της σταθεράς c β) η πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα.

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 1 3.1 ΕΙΓΜΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα