ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ"

Transcript

1 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε το ακριβές αποτέλεσμα του πειράματος, εντούτοις είναι δυνατό να έχουμε κάποια πληροφορία σχετικά με αυτό Συγκεκριμένα, έστω ότι γνωρίζουμε ότι έχει ή ότι θα) πραγματοποιηθεί ένα ενδεχόμενο Β Ποια θα είναι σε αυτή την περίπτωση η πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο Α δεδομένου ότι συνέβη ή ότι θα συμβεί) το Β; Ας συμβολίσουμε την πιθανότητα αυτή με Επειδή τώρα γνωρίζουμε ότι έχει συμβεί το Β, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο νέος δειγματικός χώρος του πειράματος είναι ο Β Α B Α Β Ω Επομένως, ζητώντας την πιθανότητα του Α δεδομένου του Β είναι σαν να ζητάμε την πιθανότητα του Α Β στο νέο δειγματικό χώρο Β Θα πρέπει λοιπόν!, όπου διαιρούμε με την πιθανότητα ώστε να ισχύει ότι B η πιθανότητα να συμβεί το B δεδομένου ότι συνέβη το Β θα πρέπει προφανώς να είναι ) Επομένως, φυσιολογικά οδηγούμαστε στον παρακάτω ορισμό Ορισμός 7 Έστω δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω και Β) > 0 Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α δεδομένου ότι έχει ή ότι θα) πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β ορίζεται! Η καλείται και δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος του Β Άσκηση Μία οικογένεια έχει δύο παιδιά Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και τα δύο αγόρια δεδομένου ότι τουλάχιστον ένα από αυτά είναι αγόρι; υποθέστε ότι η πιθανότητα γέννησης α ή κ είναι ½ και ½ αντίστοιχα) Λύση Τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος εδώ είναι Ω{α,α),α,κ),κ,α),κ,κ)} όπου πχ το στοιχειώδες ενδεχόμενο {α,κ)} αντιστοιχεί στο αποτέλεσμα: πρώτο παιδί αγόρι, δεύτερο παιδί κορίτσι κοκ Επειδή η πιθανότητα γέννησης α ή κ είναι ½ και ½ αντίστοιχα, τα 4 στοιχειώδη ενδεχόμενα του Ω είναι ισοπίθανα Έστω Α{και τα δύο παιδιά είναι αγόρια}{α,α)} και Β{τουλάχιστον ένα από τα παιδιά είναι αγόρι}{α,α),α,κ),{κ,α)} Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 5

2 Ζητείται η! { a)}) / 4 { a), ),, a)}) 3/ 4 3 Άσκηση 3 Ποια είναι η πιθανότητα το αποτέλεσμα της ρίψης δύο ζαριών να έχει άθροισμα ίσο με 7 α) χωρίς να έχουμε καμία πληροφορία για το αποτέλεσμα β) δεδομένου ότι και τα δύο ζάρια είχαν ένδειξη μεγαλύτερη του, και γ) δεδομένου ότι τα δύο ζάρια είχαν διαφορετική ένδειξη; Λύση Ο δειγματικός χώρος Ω είναι γνωστό ότι περιλαμβάνει όλες τις διατάξεις των έξι στοιχείων {,,,6} ανά δύο με επανάληψη, δηλαδή Ω{,),,),,6,6)} και Ω 6 36 α) Έστω Α {άθροισμα δύο ζαριών ίσο με 7}{,6),,5), 3,4), 4,3), 5,), 6,)} Θα ισχύει ότι 6 P Ω 36 6 β) Έστω Β {και τα δύο ζάρια έχουν ένδειξη μεγαλύτερη του }{3,3), 3,4),, 6,6)} Το ενδεχόμενο Β περιλαμβάνει όλες τις διατάξεις των 4 στοιχείων {3,4,5,6} ανά δύο με επανάληψη Επομένως Β 4 6 και! {3,4),4,3)}) /36 6/ γ) Έστω Γ {τα δύο ζάρια έχουν διαφορετική ένδειξη} Το ενδεχόμενο Γ περιλαμβάνει όλες τις διατάξεις των 6 στοιχείων {,,3,4,5,6} ανά δύο χωρίς επανάληψη) Επομένως Γ 6) 30 και! Γ) 6/36 6 Γ) Γ) Γ) 30/ Είναι χρήσιμο να παρατηρήσουμε ότι για συγκεκριμένο σταθερό) B η συνολοσυνάρτηση η οποία απεικονίζει κάθε ενδεχόμενο Α του Ω στο Α ικανοποιεί τα αξιώματα Kolmogorov και άρα είναι πιθανότητα Πράγματι, Α [0,) για κάθε ενδεχόμενο Α, Ω! Β) Β) Ω Β) Β) Β) και αν Α,Α, είναι μία ακολουθία ξένων ανά δύο ενδεχομένων του Ω " i " i )! "! ) i i! i αφού Α Β, Α Β, είναι και αυτή μία ακολουθία ξένων ανά δύο ενδεχομένων του Ω Συνεπώς ισχύουν και για τη δεσμευμένη πιθανότητα όλα τα θεωρήματα και οι ιδιότητες που ισχύουν για πιθανότητες Για παράδειγμα αν Α, Β, C τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με C)>0) τότε βλ Πρόταση )) i Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 6

3 ) C C) C) ) 0 P C) 3) P C) 0 4) B C) C) B C) 5) P " B C) C) + B C)! B C) 6) P " B C) C) + B C) ανισότητα Boole για δεσμευμένες πιθανότητες) 7) P! B C) C) + B C) ανισότητα Bonferroni για δεσμευμένες πιθανότητες) 8) Αν Β Α τότε Β C) Α C) μονοτονία της δεσμευμένης πιθανότητας) κοκ Παρατήρηση Αξίζει να υπογραμμιστεί ότι η συνάρτηση για σταθερό Β) έχει της ιδιότητες μιας πιθανότητας αλλά δεν ισχύει το ίδιο και για τη συνάρτηση Α ) για σταθερό Α) Δηλαδή γενικά δεν ισχύουν εκφράσεις της μορφής Α B Γ) Β) + Γ) Β Γ) κοκ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του Ω με Β)>0 Παρατηρούμε ότι σε αρκετές περιπτώσεις είναι δυνατό η πιθανότητα πραγματοποίησης του Α δεδομένου ότι έχει πραγματοποιηθεί το Β να είναι ίση με την πιθανότητα του Α χωρίς καμία δέσμευση) Δηλαδή, P Σε αυτή την περίπτωση η πιθανότητα πραγματοποίησης του Α δεν επηρεάζεται καθόλου από την πραγματοποίηση του Β Δηλαδή τα ενδεχόμενα Α,Β είναι κατά κάποιο τρόπο «ανεξάρτητα» Παρατηρούμε ότι η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναμη με την! P! Τα παραπάνω μας οδηγούν στην εισαγωγή του ακόλουθου ορισμού Ορισμός 8 Δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω θα καλούνται στοχαστικά) ανεξάρτητα αν ισχύει ότι P! Όπως είδαμε και παραπάνω, αν δύο ενδεχόμενα Α, Β είναι ανεξάρτητα και Β)>0 τότε ενώ επίσης αν Α)>0 τότε,!! B Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε και πάλι το πείραμα της ρίψης δύο ζαριών Είναι διαισθητικά προφανές ότι οποιαδήποτε πληροφορία γνωρίζουμε για το αποτέλεσμα της ρίψης του πρώτου ζαριού, δεν προσφέρει κάποια επιπλέον πληροφορία για το αποτέλεσμα της ρίψης του δεύτερου ζαριού Πχ αν Α{αποτέλεσμα ρίψης πρώτου ζαριού 6}, Β{αποτέλεσμα ρίψης δεύτερου ζαριού > 3} τότε διαισθητικά θα πρέπει Α Β) Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί στη συγκεκριμένη περίπτωση εύκολα να επαληθευτεί και μέσω του ορισμού της δεσμευμένης πιθανότητας και της Πρότασης Επίσης, δύο πειράματα θα θεωρούνται στοχαστικά ανεξάρτητα αν και Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 7

4 μόνο αν για κάθε δύο ενδεχόμενα Α, Β έτσι ώστε το Α «αφορά» το πρώτο πείραμα και το Β «αφορά» το δεύτερο πείραμα, να ισχύει ότι δηλ τα Α, Β είναι ανεξάρτητα) Η στοχαστική ανεξαρτησία μπορεί εύκολα να γενικευτεί και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα Συγκεκριμένα, τα ενδεχόμενα Α,Α,,Α n θα καλούνται στοχαστικά ανεξάρτητα αν P!!! ) ) ) ), a a a a a a για κάθε διαφορετικούς ανά δύο) δείκτες a,a,,a {,,,n} και για κάθε, 3,, n Πχ για να είναι τέσσερα ενδεχόμενα Α, Α, Α 3, Α 4 ανεξάρτητα θα πρέπει η παραπάνω ισότητα να ι- σχύει για κάθε δύο διαφορετικά) Α i, δηλαδή, P! ) ) ),! ) ) ),! 4 ) ) 4 ), P! ) ) ),! 4 ) ) 4 ),! 4 ) ) 4 ), και για κάθε τρία διαφορετικά) Α i, δηλαδή, P!! ) ) ) ),!! 4 ) ) ) 4 ), P!! 4 ) ) ) 4 ),!! 4 ) ) ) 4 ), και για κάθε τέσσερα διαφορετικά) Α i, δηλαδή, P!!! ) ) ) ) ) Υπογραμμίζεται ότι για να είναι n ενδεχόμενα στοχαστικά ανεξάρτητα, δεν αρκεί να είναι ανά δύο ανεξάρτητα Η έννοια των δύο ανεξάρτητων στοχαστικών) πειραμάτων γενικεύεται και αυτή για περισσότερα από δύο πειράματα: n πειράματα θα θεωρούνται στοχαστικά) ανεξάρτητα αν και μόνο αν για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α,Α,,Α n ώστε το Α i ενδεχόμενο να «αφορά» το i- πείραμα, i,,,n) τα Α,Α,,Α n είναι μεταξύ τους στοχαστικά ανεξάρτητα Αρκετές φορές προκειμένου να υπολογίσουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου, προσπαθούμε να εκφράσουμε το ενδεχόμενο αυτό ως μια τομή ενδεχομένων που αφορούν στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα Ως συνέπεια, η αρχική πιθανότητα θα είναι ίση με την πιθανότητα μιας τομής ανεξάρτητων ενδεχομένων η οποία ισούται με το γινόμενο των πιθανοτήτων των επί μέρους ενδεχομένων οι οποίες ενδεχομένως να είναι γνωστές) Η τεχνική αυτή γίνεται περισσότερο φανερή στις ασκήσεις που ακολουθούν Άσκηση 4 Έστω ότι εκτελούμε ένα σύνθετο) πείραμα το οποίο αποτελείται από τρεις ανεξάρτητες δοκιμές απλά πειράματα) Η πιθανότητα επιτυχίας στην i-δοκιμή είναι ίση με p i, i,, 3 α) Ποιός είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος; β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ό- λων των στοιχειωδών ενδεχομένων του Είναι τα ενδεχόμενα αυτά ισοπίθανα; γ) ποια είναι η πιθανότητα να παρατηρηθούν τουλάχιστον επιτυχίες στις 3 αυτές δοκιμές; Λύση α) Προφανώς, ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι ο Ω {0,0,0),,0,0), 0,,0),,,0), 0,0,),,0,), 0,,),,,)}, έχουμε θέσει : επιτυχία, 0:αποτυχία) δηλαδή αποτελείται από όλες τις διατάξεις των δύο στοιχείων {0,} ανά 3 τρεις δοκιμές) με επανάληψη β) Αρχικά ας υπολογίσουμε την πιθανότητα του στοιχειώδους ενδεχομένου {0,0,)} Σύμφωνα με μία παραπάνω παρατήρηση, θα προσπαθήσουμε να εκφράσουμε το ενδεχόμενο αυτό ως μια τομή ενδεχομένων που αφορούν στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα Αν ορίσουμε τα C C C ενδεχόμενα Α i {επιτυχία στην i-δοκιμή}, i,, 3 τότε {0,0,)}!! και τα, C, Α 3 αφορούν στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα διότι έχουμε 3 ανεξάρτητες δοκιμές) Άρα θα ισχύει ότι Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

5 C C C C {0,0,)}) P!! ) ) ) ) p ) p )p 3 3 Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να υπολογιστούν οι πιθανότητες όλων των στοιχειωδών ενδεχομένων του πειράματος Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι συνοπτικά θα ισχύει ότι { x x x p p p p p p, x, x, x 3 {0,} x x x x x3 x3,, 3)}) ) ) 3 3) Προφανώς, τα στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα μόνο όταν p p p 3 ½ γ) Έστω Α {τουλάχιστον επιτυχίες στις 3 δοκιμές} {,,0),,0,),0,,),,,)}, Θα ισχύει ότι P {,,0)}) + {,0,)}) + {0,,)}) + {,,)}) p p p + p p p + p p p + p p p 3) ) 3 ) Αν πχ p p p 3 ½ τότε /8+/8+/8+/8 4/8 γεγονός που θα μπορούσε να είχε βρεθεί και μέσω της Πρότασης που αφορά ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα φυσικά, στη γενικότερη περίπτωση που p i ½, δεν είναι δυνατή η χρήση της Πρότασης ) Άσκηση 5 Μία οικογένεια έχει δύο παιδιά Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και τα δύο αγόρια δεδομένου ότι τουλάχιστον ένα από αυτά είναι αγόρι; υποθέστε ότι η πιθανότητα γέννησης α ή κ είναι 049 και 05 αντίστοιχα) Λύση Τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος εδώ είναι Ω{α,α),α,κ),κ,α),κ,κ)} όπου πχ το στοιχειώδες ενδεχόμενο {α,κ)} αντιστοιχεί στο αποτέλεσμα: πρώτο παιδί αγόρι, δεύτερο παιδί κορίτσι κοκ Σε αντίθεση με την άσκηση 3 τα στοιχειώδη ενδεχόμενα εδώ δεν είναι ισοπίθανα Έστω Α{και τα δύο παιδιά είναι αγόρια}{α,α)} και Β{τουλάχιστον ένα από τα παιδιά είναι αγόρι}{α,α),α,κ),{κ,α)} Ζητείται η! { a)}) P { a), ),, a)}) Επειδή το δεύτερο παιδί είναι α ή κ ανεξάρτητα από το πρώτο και αντίστροφα, θα έχουμε ότι Α Β) Α) το πρώτο παιδί αγόρι και το δεύτερο παιδί αγόρι) το πρώτο παιδί αγόρι)το δεύτερο παιδί αγόρι) 049 και B C ) το πρώτο παιδί κορίτσι και το δεύτερο παιδί κορίτσι) το πρώτο παιδί κορίτσι)το δεύτερο παιδί κορίτσι) 05 Άρα τελικά,! % 3 Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 9

6 Άσκηση 6 Η πιθανότητα να πετύχει ένας σκοπευτής ένα στόχο είναι p/3 α) Ποια είναι η πιθανότητα να πυροβολήσει 5 φορές μέχρις ότου χτυπήσει το στόχο μία φορά β) Ποια είναι η πιθανότητα να χρειαστούν περισσότεροι από 0 πυροβολισμοί για να πετύχει το στόχο μία φορά; Λύση Για το ερώτημα α) θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι Ω {α,α,,α 5 ), α i {0,}}, Ω 5 και Α 5 {5 πυροβολισμοί μέχρις ότου χτυπηθεί ο στόχος} {0,0,0,0,)} Επειδή οι 5 πυροβολισμοί είναι ανεξάρτητοι ως στοχαστικά πειράματα, θα ισχύει ότι Α 5 ) άστοχος ο ος πυροβ και άστοχος ο ος πυροβ και και στο στόχο ο 5 ος πυροβ) άστοχος ο ος πυροβ)άστοχος ο ος πυροβ) στο στόχο ο 5 ος πυροβ) p) 4 p 36% Η Πρόταση θα μπορούσε να είχε χρησιμοποιηθεί μόνο στην περίπτωση που p ½ β) Εδώ, μας βολεύει να θεωρήσουμε ότι Ω {α,α,,α 0 ), α i {0,}} Θέτουμε Β {περισσότεροι από 0 πυροβολισμοί μέχρις ότου χτυπηθεί ο στόχος} Θα ισχύει ότι άστοχος ο ος πυροβ και άστοχος ο ος πυροβ και και άστοχος ο 0 ος πυροβ) άστοχος ο ος πυροβ)άστοχος ο ος πυροβ) άστοχος ο 0 ος πυροβ) p) 0 Εναλλακτικά, όμοια με το α) μπορούμε να αποδείξουμε ότι i ) i πυροβολισμοί μέχρις ότου χτυπηθεί ο στόχος) p) i- p, και επομένως, P " i 0 i 0 i i 0 ) ) p) p p p) p) p p) p) i i i i 0 p) 0 0 p p) p) Παραπάνω είδαμε ότι για δύο ενδεχόμενα Α, Β γενικά ισχύει ότι! και άρα P! Ο παραπάνω τύπος μπορεί να γενικευτεί για την πιθανότητα της τομής περισσότερων ενδεχομένων Ειδικότερα ισχύει ή επόμενη πρόταση Πρόταση 7 Πολλαπλασιαστικός κανόνας για την πιθανότητα τομής ενδεχομένων) Αν Α, Α,, Α είναι οποιαδήποτε ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου τότε!!! )!! )!! ) ) ) ) Απόδειξη Αρχικά παρατηρούμε ότι ενώ! P!!! )!! )!! ) P!! )!! )!! ) κοκ για την P!! ) και η απόδειξη συμπληρώνεται με επαγωγή Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 30

7 Σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση, η πιθανότητα να συμβούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α, Α,, Α είναι ίση με την πιθανότητα να συμβεί το Α επί την πιθανότητα να συμβεί το Α δεδομένου ότι συνέβη το Α επί την πιθανότητα να συμβεί το Α 3 δεδομένου ότι συνέβη το Α και Α κοκ επί την πιθανότητα να συμβεί το Α δεδομένου ότι συνέβησαν τα Α,,Α - Άσκηση 7 Τραβάμε τρία χαρτιά χωρίς επανάθεση) από μια τράπουλα με 5 χαρτιά Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε 3 άσσους Λύση α τρόπος) Έστω Β{,,,5} τα 5 χαρτιά της τράπουλας και έστω ότι οι άσσοι είναι τα τέσσερα πρώτα,,3,4 Ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από όλες τις τριάδες {α,α,α 3 } διαφορετικών στοιχείων του Β δηλαδή από όλους τους συνδυασμούς των 5 ανά 3 Το ενδεχόμενο Α {τρεις άσσοι} αποτελείται από όλες τις τριάδες {α,α,α 3 } διαφορετικών στοιχείων του {,, 3, 4} δηλαδή από όλους τους συνδυασμούς των 4 στοιχείων ανά 3 Τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου μπορούν να θεωρηθούν ισοπίθανα και συνεπώς από την Πρόταση θα ισχύει ότι 4 3 4! 3! 5 3)! 4 3 P Ω 5 3 3! 4 3)! 5! το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει αν θεωρήσουμε τις παραπάνω τριάδες {α,α,α 3 } διατεταγμένες, χρησιμοποιώντας διατάξεις αντί συνδυασμούς) β τρόπος) Θα χρησιμοποιήσουμε τον πολλαπλασιαστικό κανόνα Έστω ότι εκλέγουμε ένα-ένα τα τρία χαρτιά χωρίς επανάθεση) και έστω Α i {i χαρτί άσσος}, i,,3 Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου Α Α Α 3 Θα ισχύει ότι P!! ) ) )! ) Παρατήρηση Η πιθανότητα 3 ) που εμφανίζεται στον β τρόπο λύσης της Άσκησης 7 αποτελεί ένα παράδειγμα πιθανότητας μιας τομής εξαρτημένων ενδεχομένων Πράγματι, στην συγκεκριμένη περίπτωση τα Α, Α, Α 3 δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχονται από ανεξάρτητα πειράματα διότι πχ το αποτέλεσμα του πρώτου πειράματος η επιλογή χαρτιού) επηρεάζει το δεύτερο πείραμα η επιλογή χαρτιού) αφού η επιλογή αυτή γίνεται χωρίς επανάθεση το χαρτί που τραβήξαμε μένει εκτός της τράπουλας και συνεπώς η επόμενη επιλογή χαρτιού γίνεται από τράπουλα με διαφορετική σύνθεση) Είναι προφανές ότι τα Α,Α,Α 3 θα ήταν ανεξάρτητα μόνο αν η επιλογή γίνονταν με επανάθεση Άσκηση 8 Ένας παίκτης Lotto ισχυρίζεται ότι όταν ένας αριθμός από τους 49 δεν έχει εμφανιστεί στις 30 τελευταίες κληρώσεις τότε αυξάνεται η πιθανότητα να εμφανιστεί στην επόμενη κλήρωση Συμφωνείτε; Λύση Έστω Α το ενδεχόμενο να μην εμφανιστεί ο αριθμός στις 30 τελευταίες κληρώσεις και Β το ενδεχόμενο να εμφανιστεί στην επόμενη κλήρωση Ο παίκτης ισχυρίζεται ότι B > Είναι όμως προφανές ότι τα ενδεχόμενα Α και Β αφορούν στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα Το αποτέλεσμα της επόμενης κλήρωσης δεν επηρεάζεται από τα αποτελέσματα των τελευταίων 30 κληρώσεων αυτό φυσικά ισχύει όταν η κλήρωση δεν είναι «στημένη») Επομένως B και ο ισχυρισμός του παίκτη δεν είναι σωστός Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 3

8 ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε ορισμένες περιπτώσεις ένα σύνθετο) στοχαστικό πείραμα μπορεί να θεωρηθεί ότι α- ποτελείται από δύο βήματα πειράματα) Τα δύο αυτά πειράματα είναι έτσι ώστε, οι πιθανότητες των ενδεχομένων που αφορούν το δεύτερο πείραμα να εξαρτώνται από το αποτέλεσμα του πρώτου πειράματος Είναι ενδιαφέρον σε αυτή την περίπτωση να δούμε πως μπορεί να γίνει ο υπολογισμός της πιθανότητας ενός ενδεχομένου που αφορά το δεύτερο πείραμα ή συνολικά και τα δύο πειράματα) Για παράδειγμα, έστω ότι αρχικά ρίχνουμε ένα νόμισμα Αν έρθει κεφαλή τότε επιλέγουμε τυχαία μία σφαίρα από ένα κουτί που περιέχει 5 μαύρες και 3 λευκές σφαίρες Αν έρθει γράμματα τότε επιλέγουμε τυχαία μία σφαίρα από ένα άλλο κουτί που περιέχει 6 μαύρες και λευκές σφαίρες Ποια θα είναι η πιθανότητα εκλογής μαύρης σφαίρας αν δούμε αυτά τα δύο βήματα σαν ένα πείραμα; Αρχικά θέτουμε Κ το ενδεχόμενο να φέρουμε κεφαλή και Γ το ενδεχόμενο να φέρουμε γράμματα στη ρίψη του νομίσματος Αν Μ είναι το ενδεχόμενο επιλογής μαύρης σφαίρας τότε θα ισχύει ότι P M ) M! K) " M! Γ)) M! Κ) + M! Γ) P M K) K) + M Γ) Γ) Αλλά, P M K) 5/ 8 και P M Γ) 6/ 8 ενώ P K) Γ) / Συνεπώς, 5 6 P M ) Η συγκεκριμένη μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στην περίπτωση που τα αποτελέσματα του πρώτου βήματος είναι περισσότερα από δύο Ακόμη γενικότερο είναι το επόμενο θεώρημα που είναι γνωστό και ως θεώρημα ολικής πιθανότητας Θεώρημα Θεώρημα ολικής πιθανότητας) Έστω,,, n ξένα ανά δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και Α Α Α n Ω Αν Β είναι ένα ενδεχόμενο του Ω τότε P B ) ) + B ) ) + + B ) ) n n Απόδειξη Επειδή τα,,, n είναι ξένα ανά δύο έπεται ότι το ίδιο θα ισχύει και για τα ενδεχόμενα Β, Β,, Β n Επομένως, από τα αξιώματα Kolmogorov θα ισχύει ότι P B! Ω) B! " " )) B! ) " " B! )) n n P B! ) + + B! ) B ) ) + + B ) ) n n n Άσκηση 9 Οι φοιτητές μιας σχολής κρίνονται ικανοί ή μη ικανοί να περάσουν ένα μάθημα βάσει γραπτών εξετάσεων Η πιθανότητα να κριθεί ικανός ένας πολύ καλός ΠΚΛ), καλός ΚΛ), μέτριος Μ), κακός ΚΚ) και πολύ κακός ΠΚΚ) φοιτητής είναι 95%, 75%, 50%, 5%, 5% αντίστοιχα Αν το ποσοστό των ΠΚΛ, ΚΛ, Μ, ΚΚ, ΠΚΚ ανάμεσα στους φοιτητές της σχολής είναι 3%, 7%, 40%, 30%, 0% αντίστοιχα, να βρεθεί η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος φοιτητής -τρια) να περάσει το μάθημα Ποια είναι η πιθανότητα κάποιος να είναι πολύ καλός δεδομένου ότι πέρασε το μάθημα; Λύση Για να βρούμε την πιθανότητα να περάσει το μάθημα ένας φοιτητής θα πρέπει πρώτα να γνωρίζουμε σε ποια από τις πέντε κατηγορίες ανήκει Έστω ΠΚΛ, ΚΛ, Μ, ΚΚ, ΠΚΚ τα ενδεχόμενα να ανήκει στους πολύ καλούς, καλούς, μέτριους, κακούς και πολύ κακούς φοιτητές αντίστοιχα Αν Ι είναι το ενδεχόμενο να κριθεί ο φοιτητής ικανός, από το Θεώρημα ολικής πιθανότητας τα ενδεχ ΠΚΛ,,ΠΚΚ είναι ξένα και η ένωσή τους δίνει τον Ω) θα ισχύει ότι P I) I ΠΚΛ) ΠΚΛ) + I ΚΛ) ΚΛ) + I Μ) Μ) + Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 3

9 + P I ΚΚ) ΚΚ) + I ΠΚΚ) ΠΚΚ) % Στη συνέχεια αναζητούμε την πιθανότητα ΠΚΛ Ι) Θα ισχύει χρησιμοποιώντας και τον πολλαπλασιαστικό κανόνα) ότι ΠΚΛ! Ι) Ι ΠΚΛ) ΠΚΛ) ΠΚΛ Ι) I) I ) % 0436 Είναι ενδιαφέρουσα η παρατήρηση ότι στην παραπάνω άσκηση ζητήθηκε ο υπολογισμός της δεσμευμένης πιθανότητας ΠΚΛ I) ενώ ήταν γνωστές οι πιθανότητες ΠΚΛ),, ΠΚK) και οι δεσμευμένες πιθανότητες I ΠΚΛ),, I ΠΚΚ) Οι ΠΚΛ),, ΠΚK) εκφράζουν την πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος φοιτητής να είναι ΠΚΛ,, ΠΚΚ αντίστοιχα, πριν μάθουμε αν έχει κριθεί ικανός στις εξετάσεις Ενώ οι πιθανότητες ΠΚΛ I),, ΠΚΛ I) εκφράζουν την πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος φοιτητής να είναι ΠΚΛ,, ΠΚΚ αντίστοιχα, αφότου μάθουμε ότι έχει κριθεί ικανός στις εξετάσεις Το συγκεκριμένο πρόβλημα όπως θα δούμε στη συνέχεια εμφανίζεται αρκετά συχνά Για το λόγο αυτό ας το εξετάσουμε στη γενικότερη περίπτωση n Έστω Α,Α,,Α n ξένα ανά δύο ενδεχόμενα με " i Ω και έστω ότι γνωρίζουμε τις πιθανότητες Α i ), Β Α i ), i,,,n για κάποιο ενδεχόμενο Β Ω Με ποιο τρόπο θα υπολογίσουμε τις πιθανότητες Α i Β); Στο συγκεκριμένο πρόβλημα, οι πιθανότητες Α i ), i,,,n συνήθως καλούνται και «εκ των προτέρων» ή «a priori») πιθανότητες ενώ οι Α i Β), i,,,n καλούνται και «εκ των υστέρων» ή «a posteriori») πιθανότητες Συνοπτικά θα έχουμε: Γνωστές: ), ),, n ) «εκ των προτέρων» πιθανότητες των Α i B ), B ),, B n ) δεσμευμένες πιθανότητες του Β Άγνωστες:,,, n «εκ των υστέρων» πιθανότητες των Α i Το πρόβλημα λύνεται εύκολα ακολουθώντας τη διαδικασία που ακολουθήθηκε και κατά την λύση της προηγούμενης άσκησης Συγκεκριμένα έχουμε το επόμενο αποτέλεσμα το οποίο είναι γνωστό και ως τύπος ή Θεώρημα του Bayes Θεώρημα Θεώρημα ή τύπος του Bayes) Έστω,,, n ξένα ανά δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και Α Α Α n Ω Αν Β είναι ένα ενδεχόμενο του Ω τότε B ) ) B ) ) + B ) ) + + B ) ), i,,, n n Απόδειξη Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας θα έχουμε ότι B! ) B ) ) Από το θεώρημα ολικής πιθανότητας προκύπτει τελικά το ζητούμενο Άσκηση 30 Όταν κάποιος παίρνει λεωφορείο για τη δουλειά του πηγαίνει καθυστερημένος στο 30% των περιπτώσεων και όταν παίρνει ταξί πηγαίνει καθυστερημένος στο 0% των περιπτώσεων Προτιμά λεωφορείο στο 80% και ταξί στο 0% των περιπτώσεων α) Ποια η πιθανότητα να πάει καθυστερημένος στη δουλειά του μια ημέρα; β) Αν μία ημέρα πήγε καθυστερημένος στη δουλειά του, ποια η πιθανότητα να πήγε με λεωφορείο; Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 33

10 Λύση Ας ορίσουμε τα ενδεχόμενα K: καθυστερημένος, Λ: παίρνει λεωφορείο, Τ: παίρνει ταξί Η πιθανότητα να πάει καθυστερημένος στη δουλειά του μια ημέρα είναι ΘΟΠ) P K) K Λ) Λ) + K T ) T ) Η πιθανότητα να πήγε με λεωφορείο δεδομένου ότι πήγε καθυστερημένος είναι K Λ) Λ) P Λ K) 09 K) 06 Άσκηση 3 Έστω ότι η πιθανότητα ορθής διάγνωσης καρκίνου της μήτρας με το τεστ Pap είναι 99% Ποια είναι η πιθανότητα γυναίκα με θετικό τεστ πράγματι να έχει την ασθένεια, αν είναι γνωστό ότι το ποσοστό των γυναικών που έχουν καρκίνο της μήτρας είναι 00%; Πόσες φορές πρέπει να βγει θετικό το συγκεκριμένο τεστ ώστε η πιθανότητα να έχει την ασθένεια να είναι τουλάχιστον 99%; Λύση Έστω ότι επιλέγουμε τυχαία μία γυναίκα και πραγματοποιούμε το συγκεκριμένο τεστ Συμβολίζουμε με Θ το ενδεχόμενο να βρεθεί θετικό το τεστ, με Y το ενδεχόμενο να είναι υγιής και το ενδεχόμενο να είναι ασθενής με καρκίνο της μήτρας η συγκεκριμένη γυναίκα Ζητείται η πιθανότητα Θ) Από τον τύπο του Bayes θα έχουμε ότι Θ Θ) % Θ Y) Y ) + Θ ) Παρατηρούμε δηλαδή ότι, δεδομένης της πληροφορίας του θετικού τεστ η πιθανότητα να είναι ασθενής η γυναίκα αυξήθηκε από το 00% αδέσμευτη πιθανότητα, ) στο % περίπου Παρόλη την αύξηση αυτή, δεν μπορούμε προφανώς να πούμε με βεβαιότητα ότι η γυναίκα είναι πράγματι ασθενής και θα πρέπει να πραγματοποιήσουμε ξανά το τεστ Έστω τώρα ότι το τεστ πραγματοποιείται φορές και έστω Θ i το ενδεχόμενο να βρεθεί το τεστ θετικό την i-φορά, i,,, Θα υπολογίζουμε την πιθανότητα Θ!! Θ ) να έχει η γυναίκα την ασθένεια δεδομένου ότι το τεστ είναι θετικό και τις φορές Θα έχουμε και πάλι από τον τύπο του Bayes ότι Θ Θ!! Θ!! Θ ) Θ!! Θ Y ) Y ) + Θ!! Θ Αν τώρα θεωρήσουμε τα τεστ στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους δεδομένου του Α), τότε Όμοια μπορούμε να θεωρήσουμε ότι και άρα τελικά Θ!! Θ Θ Θ 0 P 99 Θ!! Θ Y ) Θ Y ) Θ Y) 0, P P Θ!! Θ ) ) Για, 3, 4 βρίσκουμε αντίστοιχα την παραπάνω πιθανότητα ίση με 0495, 09898, Επομένως για να είναι έχει μία γυναίκα καρκίνο με πιθ 99% θα πρέπει να έχει βρεθεί θετικό τεστ 3 συνεχόμενες φορές Άσκηση 3 Η τιμή ενός προϊόντος αυξομειώνεται στο χρόνο Το τελευταίο διάστημα έχει με κάποιο τρόπο εκτιμηθεί ότι όταν η τιμή αλλάζει, αυτή είτε μειώνεται με πιθανότητα 5% είτε αυξάνεται με πιθανότητα 85% Ένας αναλυτής προβλέπει ότι η επόμενη κίνηση της τιμής θα είναι Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 34

11 καθοδική ενώ ένας ανεξάρτητος δεύτερος ότι θα είναι ανοδική Ποιον αναλυτή να εμπιστευτούμε αν ο πρώτος κάνει σωστή πρόβλεψη στο 90% και ο δεύτερος στο 70% των περιπτώσεων; Λύση Έστω Α το ενδεχόμενο να αυξηθεί η τιμή και Μ το ενδεχόμενο να μειωθεί Ας συμβολίσουμε με i, M i τα ενδεχόμενα να προβλέψει ο i-αναλυτής αύξηση, μείωση αντίστοιχα της τιμής Η πιθανότητα να αυξηθεί η τιμή δεδομένου ότι ο πρώτος αναλυτής προέβλεψε μείωση και ο δεύτερος αύξηση είναι M ) M Οι δύο αναλυτές είναι ανεξάρτητοι, άρα και Επομένως τελικά, M + M M ) M ) P M M 0 07 P M M ) M M ) M ) M ) % Άρα δεδομένων των στοιχείων που έχουμε οι εισηγήσεις των δύο αναλυτών) είναι πιθανότερο να έχουμε αύξηση 595%) αντί μείωση %) της τιμής Στη συγκεκριμένη περίπτωση λοιπόν, ίσως θα πρέπει να εμπιστευτούμε το δεύτερο αναλυτή αν και δεν είναι τόσο αξιόπιστος όσο ο πρώτος Boutsias MV 003), Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 35

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής:

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής: Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 26 Οκτωβρίου 2009 Η διερεύνηση, σε γενικές γραµµές, της δεσµευµένης πιθανότητας και η σύγκρισή της µε την απόλυτη πιθανότητα αποκαλύπτει

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Εστω (Ω,A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο (ή µια πιθανότητα) P

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Συμπληρωματικές Ασκήσεις Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πιθανότητες και Στατιστική ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων εσμευμένη πιθανότητα Ολική πιθανότητα Κανόνας του Bayes Υποκειμενική πιθανότητα Πιθανότητες και βακτηριουρία

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.

Στατιστική. Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία Γεώργιος Ζιούτας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

10/10/2016. Στατιστική Ι. 2 η Διάλεξη

10/10/2016. Στατιστική Ι. 2 η Διάλεξη Στατιστική Ι 2 η Διάλεξη 1 2 Δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος του Β (1) Αν Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης και P(Β)>0, τότε η δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη διακριτή πιθανότητα

Εισαγωγή στη διακριτή πιθανότητα Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στη διακριτή πιθανότητα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Ross 1976, Grinstead and Snell 2012 και Hoel, Port, and Stone 1971. 11.1 Πειράματα 11.1.1 Ρίψη

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

P (X = x) = (0.001) x (0.999) 1000 x

P (X = x) = (0.001) x (0.999) 1000 x Τμημα Επιστημης Υπολογιστων, Πανεπιστημιο Κρητης ΗΥ-7: Πιθανότητες 5ο Φροντιστήριο Επιμέλεια: Καράλας Κώστας 9 Οκτωβρίου 04 Πρόβλημα Παρακολουθείτε ένα βίντεο στο YouTube το οποίο περιέχει 0 καρέ το δευτερόλεπτο.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής. Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας)

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής. Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας) Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας) Διάφορες Ασκήσεις πάνω στην η Ενότητα: (Αξιωματικός Ορισμός, Δεσμευμένη-Ολική Πιθανότητα,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Στην Ξένια και στην Μαίρη

Στην Ξένια και στην Μαίρη Στην Ξένια και στην Μαίρη Περιεχόμενα 3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Πολλές φορές θέλουμε να μελετήσουμε φαινόμενα ή συστήματα τα οποία εξελλίσονται, κυρίως αναφορικά με τον χρόνο, και των οποίων η μελλοντική συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότητες ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 19 Οκτωβρίου 2009 ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Εστω Ω δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ή ϕαινοµένου).

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5

Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5 5ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Τι είδαμε την προηγούμενη φορά

Τι είδαμε την προηγούμενη φορά HY8-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 04/05/207 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mal: argyros@csd.uoc.gr 04-May-7 04-May-7 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Μίατυχαία μεταβλητήvείναι κάθε μεταβλητή η

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1.1 Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα i. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: 1. Προσδιορίζουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 1 1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 26 28 Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Ένα κουτί έχει τρεις μπάλες, μια άσπρη, μια μαύρη και μια κόκκινη. Κάνουμε το εξής πείραμα : παίρνουμε από το κουτί μια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q 7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα