Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ"

Transcript

1 Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο R Οι εικόνες των µιγαδικών είναι σηµεία και αυτά ή ταυτίζονται ή είναι διαφορετικά. Έτσι και οι µιγαδικοί ή θα είναι ίσοι ή θα είναι διαφορετικοί, όχι άνισοι. εν έχει νόηµα να «µιλάµε» και για κάθε διαδικασία που περιέχει, κάθε έννοια θετικού ή αρνητικού αριθµού. Παράδειγµα εν γράφουµε + i < + i, παρά µόνο + i + i Παράδειγµα εν µπορούµε να γράφουµε + i Από τη σχέση z + w 0, δεν µπορούµε να πούµε ότι z w 0 αφού κάτι τέτοιο στο R το λέγαµε για τον λόγο ότι το άθροισµα µη αρνητικών ποσοτήτων µηδενίζεται µόνο όταν αυτές ταυτόχρονα γίνονται Μηδέν. Εδώ, επειδή η έννοια των µη αρνητικών ποσοτήτων απουσιάζει, δεν µπορούµε να γράψουµε κάτι τέτοιο, παρά µόνο µπορούµε να γράψουµε ότι z + w 0 ή z i w 0 ή z ( iw) 0 ή ( z iw)( z + iw) 0 ή z iw, z iw Απαγορεύεται να έχουµε δυνάµεις µε εκθέτες πέρα από ακέραιους αριθµούς. µ ν Στο R, η δύναµη α µε µ, ν µη µηδενικούς φυσικούς είχε οριστεί µόνο αν α > 0 Παράδειγµα εν µπορούµε να γράψουµε i i ( i ) Η µόνη περίπτωση που µπορούµε να κινηθούµε στην έννοια των ανισοτήτων είναι η περίπτωση που ο µιγαδικός είναι πραγµατικός. Παράδειγµα Από + κi > 0, υπονοούµε σίγουρα ότι κ 0 Ασκήσεις α. Ο αριθµός i είναι ένας θετικός φανταστικός αριθµός. α. Αν ο z έχει εικόνα στο I τεταρτηµόριο, θα είναι z + z 0 και άρα > z + i α. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς, ώστε > 0 + i > z

3 Παρουσίαση Θέµα Έστω ο µιγαδικός z + i, µε z και ο µιγαδικός z ο + i Θα προσδιορίσουµε τον z, ώστε το µέτρο z z να γίνει µέγιστο. Απάντηση Θα δούµε πρώτα το θέµα αλγεβρικά. ο Είναι z z z + ( z ) z + z z + z ηλαδή z z ο 6 Πρώτα να θυµηθούµε τα πιο κάτω. ο ο ο Μία σχέση της µορφής f() f() για κάθε τιµή της µεταβλητής f() από το πεδίο ορισµού της συνάρτησης, δεν δηλώνει ότι η f παρουσιάζει απαραίτητα και µέγιστο το O ο Για να συµπεράνουµε ότι έχει µέγιστο πρέπει να διαπιστώσουµε ότι υπάρχει, ώστε f ( ) δηλαδή, να είναι τελικά f() f( ) για κάθε από το πεδίο ορισµού της f Ανάλογα σκεφτόµαστε για το ελάχιστο. Θα ελέγξουµε αν είναι δυνατόν να συµβεί η ισότητα z z ο 6 Από z z ο 6 C f είναι ( ) + ( ) 6 ή ( ) + ( ) 6 ή Επειδή z, θα είναι + Οπότε, ισοδύναµα, η προηγούµενη σχέση γίνεται ή + Τότε από + είναι ή + 6 ή ή ή ( + ) 0 ή και έτσι είναι ηλαδή, υπάρχει µιγαδικός z, ο z i ma z z ο +, ώστε το ( ) 6

4 Παρουσίαση Θα µπορούσαµε να δούµε το θέµα και γεωµετρικά. Ας βρούµε την ευθεία ( ε) που διέρχεται από τα σηµεία Ο (0,0) και Μ(z ) Μ (,) ο ο Μ Μ(z ) Ο Μ Μ ο z z ο Μ Μ(z) Μ(z ) (,) ο Είναι 0 λ ε και έτσι ( ε) : 0 (ε) Ας δούµε, σε ποια σηµεία αυτή τέµνει τον κύκλο (κ) : + Επειδή 6, είναι + ή ή 9 και και Άρα ε) (κ) M,,M (, Το M M(z), είναι η εικόνα εκείνου του µιγαδικού, µε το µέγιστο µέτρο z z ο Πραγµατικά Μο Μ ΜοΟ + ΟΜ ή Μ ομ ΜοΟ + ΟΜ ή ΜοΜ ΜοΜ ηλαδή το µήκος Μ ομ είναι µεγαλύτερο από το τυχόν άλλο ΜοΜ z zο Να τονίσουµε επίσης ότι το ελάχιστο ανάλογα θα παρατηρείται στη θέση Μ Αυτό το µέγιστο µήκος είναι z z ο + i Το µέγιστο µέτρο τεκµηριώνεται και µε τον εξής τρόπο: ΟΜο + ΟΜ + 6 Το M M(z ) είναι η εικόνα εκείνου του µιγαδικού που δίνει το ελάχιστο µέτρο.

5 Παρουσίαση Θέµα Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z (λ + ) + (λ ) i, λ R Αφού αποδείξουµε ότι οι εικόνες των z για τις διάφορες τιµές του λ R βρίσκονται σε ευθεία, στη συνέχεια από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς θα αποδείξουµε ότι ο µιγαδικός i έχει το µικρότερο δυνατό µέτρο. Απάντηση z (λ + ) + (λ )i Θέτουµε λ + Οπότε και λ + z λ + λ : ( ε) ηλαδή οι εικόνες των αριθµών z βρίσκονται στην ευθεία ( ε) Θα βρούµε τώρα την ευθεία ( δ) που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετη στην ( ε) Επειδή (δ) (ε) είναι προφανώς και τελικά ( δ) : λ δ Λύνοντας το σύστηµα των ( ε),(δ), είναι και συνεπώς Οπότε, οι ευθείες ( ε),(δ) τέµνονται στο σηµείο Μ M(z ) (, ) Συνεπώς, πρόκειται για το µιγαδικό αριθµό z ο ο i Να τονίσουµε ότι το σηµείο αυτό είναι δεκτό, αφού η ευθεία ( ε) που βρήκαµε αποτελεί και τον τόπο των εικόνων των z αφού το πεδίο τιµών της συνάρτησης f(λ) λ +, λ R, είναι το R Ένας άλλος τρόπος για να διαπιστώσουµε ότι το Μ ο είναι και σηµείο του τόπου θα ήταν να αποδείξουµε ότι υπάρχει λ, ώστε λ + και λ το οποίο όµως είναι προφανές, αφού υπάρχει λ και προφανώς είναι ο λ 0 Μάλλον όµως, ο «καλύτερος τρόπος» για το ελάχιστο είναι ο παρακάτω: z (λ + ) + (λ )i ( λ + ) + (λ ) λ + λ + + λ λ + 8λ + το οποίο ελαχιστοποιείται για λ 0 Οπότε, πρόκειται για τον µιγαδικό αριθµό i z ο O M(z) M(z ) (, ) (ε) ( δ) :

6 Παρουσίαση 6 Τα πιο πάνω είναι σηµαντικά στην εξέλιξη του θέµατος. Για να δούµε τη σηµαντικότητά τους, ας προσέξουµε και το πιο κάτω θέµα. Θέµα Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z (λ + ) + λ i, λ R Θα βρούµε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z, για τις διάφορες τιµές του λ R Από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς θα αποδείξουµε ότι ο µιγαδικός αριθµός z, έχει το µικρότερο δυνατό µέτρο. Απάντηση Έστω ο µιγαδικός z (λ + ) + λ i z M(z) Θέτουµε λ + λ O A(,0) Οπότε και λ λ και ισοδύναµα : ( ε) (ε) ( δ) : + ηλαδή, οι εικόνες M(z) (λ,λ ) είναι σηµεία της ευθείας ( ε) : Όµως, πολύ απλά εδώ διαπιστώνεται ότι ο τόπος δεν είναι ολόκληρη η ευθεία (ε) αφού λ 0 και ισοδύναµα ηλαδή, ο γεωµετρικός τόπος, είναι η ηµιευθεία ( Αz) :, µε A (,0 ) Όµως δεν έχει νόηµα να προσδιορίσουµε την ευθεία ( δ) : για να εντοπίσουµε το σηµείο τοµής των ( ε), ( δ) το Μο M(z ), αφού αυτό δεν είναι σηµείο του τόπου. Να τονίσουµε ότι εδώ ο ζητούµενος µιγαδικός αριθµός µε το ελάχιστο µέτρο είναι προφανώς ο αριθµός z αφού προφανώς η εικόνα του Α είναι το σηµείο της ηµιευθείας Αz που απέχει από την αρχή Ο τη µικρότερη δυνατή απόσταση.

7 Παρουσίαση 7 Επαναληπτικές ασκήσεις 0 Αν για τους µιγαδικούς z, z ισχύει z z z z να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους z, z έχει µέτρο ίσο µε Έστω ότι + z και z + z, µε Im( z ) > 0 z Α) Να βρείτε τους z και z Β) Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τις εικόνες των 0, z, z Γ) Να αποδείξετε ότι z z Έστω ο µη πραγµατικός µιγαδικός z, ώστε Α ) Να αποδείξετε ότι Im( z) Re(z) Α ) Να αποδείξετε ότι z + i Α ) Να αποδείξετε ότι z + z 0 0 z (+ i) z i Έστω και οι µιγαδικοί w, ώστε w i + ( w i) w+ i + (w i)(w+ i) Β ) Να αποδείξετε ότι w i Β ) Να αποδείξετε ότι z w 6 Β ) Να αποδείξετε ότι (z w)(z w) + (z w)(z w) 7 Έστω * z C και v A (z) z, v N Α) Για ν, να υπολογίσετε την παράσταση Α( + i ) + Α( i ) Β) Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς v, ώστε Α ( + i ) > 0 Γ) Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς v, ώστε Α ( + i ) + Α( i ) 0 Έστω οι µιγαδικοί z και z µε z, ώστε να ισχύει ( z )z Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών z διαγράφουν µία ευθεία. Αν Re ( z z ) 0 z να αποδείξετε πρώτα ότι Re 0 z και µετά ότι z + z z z 6 Αν z C, µε z + και z +, να αποδείξετε ότι z 7 Οι αριθµοί z κ, z λ επαληθεύουν τη σχέση Να αποδείξετε ότι Α) zκ z λ Β) z z z z κ λ λ κ z 007 και Re(z z ) κ λ + Γ) Im( z z ) κ λ

8 Παρουσίαση 8 8 Έστω οι µιγαδικοί z, για τους οποίους ισχύει z + z( + i) + z( i) 0 Α) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z Β) Να αποδείξετε ότι z Γ) Αν z και z είναι µιγαδικοί που ικανοποιούν την αρχική ισότητα, να βρείτε το µέγιστο του µέτρου z z 9 Έστω ο µιγαδικός z µε z Να αποδείξετε ότι Α) + z + + z + + z 6 Β ) z z z Β ) z z + + z Γ ) z z z + + Γ ) z z + + z + 0 Έστω ο µιγαδικός z και ο µιγαδικός m (z) az + a z, a < 0 Γνωρίζουµε ότι m ( m(z) ) m(z) Α) Να αποδείξετε ότι z I Β) Να αποδείξετε ότι m (z) 0 Αν + i ( + i), µε ν * Ν ν και, R, να αποδείξετε ότι + 0 ν Έστω ο µιγαδικός z v α + βi και οι θετικοί α και β µε α β και ο ακέραιος ν >, ώστε ( + iz) β + αi Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των z ανήκουν στον κύκλο (κ) : + ( ) χωρίς το O ( 0,0) z) Έστω ο µιγαδικός z, ώστε + ai + a 0, α z Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z Im( 0 Αν z C µε z 8 z + 0, να αποδείξετε ότι Α) z z Β) z z + 0 Αν z, αποδείξτε ότι για τον z i w είναι w και z w i z

9 Παρουσίαση 9 Απαντήσεις των ασκήσεων 0 Από z z z z έχουµε ( z ) z z z z z z z z z z z z z z z 0 ( z )( z ) 0 και τελικά καταλήγουµε ότι z z Α) Από + z z είναι ( z z ) Οπότε + z z z + i, z i Β) E βυ Γ) z z ( z z ) z ( z) τ.µ Α ) Από z (+ i) z i z z + 0 είναι και z (+ i) ( z ) Οπότε Im( z) Re(z) z Α ) Θέτοντας η σχέση z k + ki, όπου k z z (+ i) z i δίνει τελικά k, οπότε z + i Α ) z + z i + + i 0 0 Β ) Η σχέση w i + ( w i) w+ i + (w i)(w+ i) δίνει τελικά w i w i + 0 ( w i ) 0 Β ) Από z w + i w + i + i w Προφανής w i εφαρµόζοντας την τριγωνική ανισότητα, παίρνουµε z w 6 Β ) (z w)(z w) + (z w)(z w) z w + w z z w z i + i w 7

10 Παρουσίαση 0 Α) Α ( + i ) + Α( i ) ( + i) + ( i) 8 8 Β) Α ( i ) > 0 ν + ( + i) > 0 ( i) 0 Γ) Α ( i ) + Α( i ) 0 ν > i ν > 0 ν ρ + ( + i) + ( i) 0 Θέτοντας z + i καταλήγουµε ότι z ( + i ) 0 ( ) Οπότε ν ρ +, ρ Ν ν ν ν ν ν Από z )z είναι ( z z z + z + Οπότε z και άρα z z + z Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουµε z z + Re( z ) Οπότε z + ki, δηλαδή M( z ) (ε) : Από ( z z ) 0 Re καταλήγουµε z z z z z z I Οπότε z bi, b R δηλαδή z bz i z Η σχέση z + z z z ισοδύναµα καταλήγει σε προφανές αν θέσουµε z bz i 6 Από z + είναι z + και τελικά z + z z z Από z + είναι z + και τελικά z + z z z Οπότε, η σχέση z + z z z υψούµενη στο τετράγωνο δίνει z z z z + και τελικά z

11 Παρουσίαση 7 Α) Είναι z 007 κ, z 007 λ και µετρώντας έχουµε zκ, z λ Οπότε και z z κ λ Β) Η σχέση zκ z λ υψούµενη στο τετράγωνο δίνει z z + z z κ λ λ κ Γ) Αφού Re(zκ z λ ) είναι zκ z λ + βi Αντικαθιστώντας στη σχέση z z κ παίρνουµε Im( z z ) λ κ λ 8 Α) Θέτοντας z + i η σχέση z + z( + i) + z( i) 0 γίνεται ( ) + Β) Από τη γεωµετρική ερµηνεία. Γ) Από τη γεωµετρική ερµηνεία είναι z z ma 9 Α) + z + + z + + z + z + + z + + z 6 Β ) z z z z z Β ) z z z z + + z z + + z Γ ) z z z z z + z z + + Γ ) Αν πολλαπλασιάσουµε µε z τη σχέση z z z z z + + z z + + παίρνουµε την z z + + z + 0 Α) ( m(z) ) m(z) m α m(z) + α m(z) αz + a z Τελικά καταλήγουµε z z z I Β) Είναι z βi, β R και συνεπώς m (z) αβi αβi 0

12 Παρουσίαση Από + i ( + i) είναι ν + i ( + i) ν + 0 ν Από ( iz) v α + βi + θέτοντας z + i β + αi είναι και ( iz) v α + βi + + iz β + αi ( 0) + ( ) Να τονίσουµε ότι z 0, γιατί αν z 0 προκύπτει άτοπο. z) Από + ai + a 0 z Im( 0 παίρνουµε z Im(z) και θέτοντας z + i τελικά παίρνουµε Οπότε, ο τόπος είναι η ηµιευθεία ( ε) :, µε τεταγµένες αρνητικές. Α) Από z 8 z + 0 είναι z και παίρνοντας µέτρα καταλήγουµε z z 0 z 8 Β) Από z 8 z + 0 είναι z 8 + z και παίρνοντας µέτρα καταλήγουµε z z Από w z i i z είναι z i w( i z) z ( w + ) (w + ) i Παίρνοντας µέτρα, έχουµε z( w + ) (w + )i ή z w + i w + ή w + w + και καταλήγουµε ότι w z w z + w

13 Παρουσίαση ΚΛΑΣΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ζ Επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε τη µονοτονία Να τονίσουµε ότι, στην περίπτωση που µία συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα, δεν µπορεί να δεχτεί δύο διαφορετικές ρίζες. ηλαδή, ή δε θα δέχεται καµία ρίζα ή θα δέχεται ως ρίζα µοναδικό αριθµό. Να τονίσουµε, ότι είναι λάθος να λέµε ότι θα δέχεται ή µία ρίζα ή καµία ρίζα. Γιατί υπάρχει περίπτωση µία ρίζα να µην είναι πολλαπλότητας ένα. Για παράδειγµα, η f(), ενώ είναι γνήσια αύξουσα, έχει ρίζες ίσες µε 0 Στην πράξη όµως, συνηθίζεται να χρησιµοποιούµε την πιο πάνω λαθεµένη έκφραση. Είναι λοιπόν βέβαιο ότι, αν εντοπίσουµε µία ρίζα της, δεν µπορεί να δεχτεί ως ρίζα κάποιον άλλο αριθµό. Πραγµατικά Έστω η γνήσια αύξουσα συνάρτηση f Αν ο αριθµός ρ είναι µία ρίζα της f, θα είναι f (ρ) 0 Αν τώρα θεωρήσουµε τον αριθµό ρ ο > ρ επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα, θα είναι και f(ρ ο ) > f(ρ) ή f(ρ ο ) > 0 Όµοια, αν θεωρήσουµε και τον αριθµό ρ ο < ρ, θα είναι f(ρ ο ) < 0 ηλαδή, διαπιστώσαµε ότι f(ρ ο ) 0 και συνεπώς το ρ ο δεν είναι ρίζα της f Όµοια, αν η f είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση. Παράδειγµα Έστω η γνήσια αύξουσα στο R συνάρτηση f, µε f (0) Θα λύσουµε την εξίσωση f( ) Πραγµατικά f( ) f( ) f(0) 0 ηλαδή, η εξίσωση f( ) έχει µοναδική ρίζα τον αριθµό Για το πλήθος λύσεων των εξισώσεων που δεν επιλύονται αλγεβρικά µε τις γνωστές µεθόδους παραγοντοποίησης, τα φέρνουµε όλα σε ένα µέλος θεωρούµε συνάρτηση και κινούµαστε µε τη βοήθεια της µονοτονίας. Παράδειγµα Θα αποδείξουµε ότι η εξίσωση + έχει µοναδική λύση την Πραγµατικά Να τονίσουµε ότι αυτή έχει µόνο µία ακέραια ρίζα, τον αριθµό Θεωρούµε την f() + και θα αποδείξουµε ότι αυτή έχει µοναδική ρίζα. Έστω, R µε <, τότε είναι και < Οπότε + < + ή + < +, δηλαδή f( ) < f( ) ηλαδή, η f είναι γνήσια αύξουσα και συνεπώς το είναι µοναδική ρίζα της f

14 Παρουσίαση Να παρατηρήσουµε επίσης κάτι πολύ σηµαντικό: Όταν λύνουµε την εξίσωση f (), ως προς πρέπει να «κινηθούµε» ισοδύναµα, γιατί αλλιώς δεν βρίσκουµε πεδίο τιµών αφού δεν ξέρουµε αν όλα τα της σχέσης f () είναι δεκτά. Παράδειγµα Έστω η συνάρτηση f, ώστε f () + f(), R Από f () είναι και f () Προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε f + () + f() + ή Επειδή δεν κινηθήκαµε ισοδύναµα αφού προσθέσαµε κατά µέλη τις ισότητες, δεν µπορούµε να εντοπίσουµε το πεδίο τιµών. Ας προσέξουµε όµως την πιο κάτω τεχνική. Έστω τώρα το τυχόν + R, ώστε Η αρχική σχέση γίνεται f () + f() + + Επειδή η συνάρτηση r() είναι γνήσια αύξουσα. η σχέση f () + f() + δίνει r ( f() ) r() ή f () Οπότε, για τον τυχόντα R υπάρχει ένας τουλάχιστον R, ώστε f () Άρα f (R) R Ας προσέξουµε και το πιο κάτω: Η πιο πάνω σχέση + µας δηλώνει προφανώς ότι το τυχόν f(r) R αντιστοιχίζεται µε ένα µόνο, το + και συνεπώς η f : Οπότε δε χρειάζεται να αποδείξουµε ότι αυτή είναι µε τη διαδικασία του ορισµού.

15 Παρουσίαση Τώρα, αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο R ( όχι γνήσια φθίνουσα) και η γραφική παράσταση C f τέµνεται µε την γραφική παράσταση C f τότε θα τέµνεται πάνω στη διχοτόµο ( δ) : του Ι και ΙΙΙ τεταρτηµορίου. Πραγµατικά Έστω ότι τα διαγράµµατα C f, C f τέµνονται στο σηµείο Μ (, ) Θα αποδείξουµε ότι Πραγµατικά ο ο Είναι f ( ) f( ) Έστω ότι < ή f ( ) < Επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα στο R θα είναι f( f ( )) < f( ) < f( ) < f ( ) Άτοπο Όµοια, αν υποθέσουµε ότι >, καταλήγουµε σε άτοπο. Οπότε, είναι f ( ) f( ) f( ) f Με βάση τα προηγούµενα, διαπιστώνουµε ότι αν η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα, οι εξισώσεις f () f(), f () και f () είναι ισοδύναµες έχουν δηλαδή, τις ίδιες λύσεις. Αυτές θα δίνουν ως λύση, τις τετµηµένες των σηµείων τοµής αν υπάρχουν. ( ) O C f Μ ο ( δ) : C f Παράδειγµα Έστω η γνήσια αύξουσα στο R συνάρτηση f Ξέρουµε ότι f() f () {,, } Είναι προφανές ότι οι γραφικές παραστάσεις των f, g O ( δ) : C f Γ Β Α C f τέµνονται στην ( δ) :, µε f() f (), f() f (), f() f () ηλαδή, οι C, C τέµνονται στα σηµεία f g Α,Β, Γ και µόνο σ αυτά. Είναι προφανές ότι αν η γραφική παράσταση µίας γνήσιας αύξουσας συνάρτησης f C f ( δ): C f δεν τέµνει το διάγραµµα της f τότε το διάγραµµα της f δεν τέµνει και τη διχοτόµο (δ) : O

16 Παρουσίαση 6 Παράδειγµα Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, µε f (R) R C f ( δ) : ώστε f () + f(), R Θα αποδείξουµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. O C f Μετά θα αποδείξουµε ότι f () + Τέλος, θα λύσουµε την εξίσωση f() f () Πραγµατικά Θεωρούµε τα τυχόντα, R µε < f Τότε είναι ( ) + f( ) < f ( ) + f( ) f ( ) + f( ) f ( ) f( ) < 0 < ( ) f( )) ( f ( ) + f( )f( ) + f ( ) + ) 0 f( ( ) f( ) 0, αφού ( ) + f( )f( ) + f( ) + > 0 f < f ( ) f( ) f < f( < ) f ( ) 0 Καταλήξαµε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα και συνεπώς η f είναι αντιστρέψιµη. Από f () και f () Προσθέτοντας κατά µέλη, είναι f () + f() + και φυσικά + Οπότε f () +, f(r) R Όπως ξέρουµε, ο τρόπος αυτός µας δίνει πληροφορίες και για το Τέλος, η εξίσωση f() f () είναι ισοδύναµη µε την f () ή + ή 0 ή 0

17 Παρουσίαση 7 Επαναληπτικές ασκήσεις 6 Έστω η συνάρτηση f : R R, ώστε f() + f( ) + Α) Να αποδείξετε ότι f (0) + f() και ότι f () + f() Β) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι 6 Λύστε την εξίσωση Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε f( ) f( ) 0 για κάθε R Α) Να αποδείξετε ότι f( ) f( ) + 8 Β) Να αποδείξετε ότι f () 6 Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε f ( f() ) +, για κάθε R Α) Να αποδείξετε ότι f () f( ) + και µετά ότι f() f( + ), R Β) Αν το 000 είναι ρίζα της f, να αποδείξετε ότι το 998 δεν είναι ρίζα της f 66 Αν f( ) + f(), για κάθε R, αποδείξτε ότι η f δεν είναι 67 Αν f( ) f (), για κάθε R, αποδείξτε ότι η f δεν είναι 68 Αν f( ) f( ) +, για κάθε R, αποδείξτε ότι η f δεν είναι 69 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) έχει µοναδική ρίζα τον αριθµό 7 70 Έστω ότι f () + f () f ( ) + f ( ), για κάθε R Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. 7 7 Έστω ότι + f( + ) f()f() e, για κάθε, R Α) Να αποδείξετε ότι f (0) Β) Να αποδείξετε ότι f ( )f() Γ) Να αποδείξετε ότι f () e

18 Παρουσίαση 8 Απαντήσεις των ασκήσεων 6 Α) Η σχέση f() + f( ) + για δίνει f () + f(0) και για δίνει f () + f() Οπότε f () f(0) και συνεπώς η f δεν είναι Β) 6 Για η εξίσωση επαληθεύεται + 0 αφού Επίσης η συνάρτηση f() είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισµα των γνήσιων αυξουσών f (),, f 9 () 0 6 Α) Η σχέση f( ) f( ) 0 για το 6 δίνει f( ) f() 8 Β) Η αρχική γίνεται f( ) ( f( ) + 8 ) 0 ή f () 6 Α) Η σχέση f ( f() ) + για το () f δίνει f ( f( f() )) f() + f ( + ) f() + Αυτή για το δίνει f () f( ) + Β) Αυτή για το 000 δίνει f (000) f(998) + f(998) 66 Η σχέση f( ) + f() για δίνει f () 0 και για 0 δίνει f (0) 0

19 Παρουσίαση 9 67 Η σχέση f( ) f () για δίνει f () και για 0 δίνει f (0) 68 Η σχέση f( ) f( ) + για δίνει f (0) 0 και για δίνει f ( ) 0 69 Θεωρούµε τη συνάρτηση f() + Τότε η εξίσωση ( + ) γίνεται f( + ) 0 f() Θεωρούµε τη συνάρτηση 7 g() + 7 Τότε η εξίσωση f () + f () f ( ) + f ( ) γίνεται g( f() ) g( f( ) ) f() f( ) 7 7 Α) Η σχέση f( + ) f()f() + e για 0 δίνει f(0) f (0) > 0, δηλαδή f(0) και f(0) Οπότε f (0) Β) Η + f( + ) f()f() e για το δίνει f()f( ) Οπότε f ( )f() Γ) Από + f( + ) e για 0 και το είναι f( ) e ή f() e ή f() e και τελικά είναι f () e

20 Παρουσίαση 0 ΟΡΙΑ θ Κριτήριο παρεµβολής Είδαµε το κριτήριο παρεµβολής, το οποίο αποτελεί ένα κριτήριο ύπαρξης ορίων. Πιο συγκεκριµένα, το θεώρηµα έχει αποδειχτεί για πεπερασµένα αποτελέσµατα. Αν h() f() g() «κοντά» στο ο και lim h() lim g() R τότε θα υπάρχει το όριο lim f() και θα ισούται µε l Απόδειξη* ο l ο ο Είναι lim g() l ο, lim h() l ο, οπότε και lim ( g() h() ) 0 ο f() h() f() h() g() h() Έτσι ( g() h() ) f() h() g() h(), και προφανώς lim ( f() h() ) 0 Οπότε lim f() ο ο lim ( f() + h() h() ) lim ( f() h() ) + lim h() 0 + l l ο ο ο ώσαµε την απόδειξη χάριν εξάσκησης. Το κριτήριο παρεµβολής ισχύει και όταν τα όρια απειρίζονται. Πιο συγκεκριµένα: Αν h() f() g() «κοντά» στο ο και lim h() lim g( + ο ) ο ο τότε θα υπάρχει το όριο lim f() και θα ισούται µε + Απόδειξη* Επειδή lim h() +, lim g() + ο ο και συνεπώς 0 < h() f() g() «κοντά» στο είναι h () > 0 και g () > 0 Οπότε g() και προφανώς είναι lim lim 0 f() h() g() h() Άρα, από το κριτήριο παρεµβολής, είναι lim 0 f() θα είναι lim f() + ο ώσαµε την απόδειξη χάριν εξάσκησης. Όµοια για το και επειδή f () > 0

21 Παρουσίαση Το προηγούµενο θεώρηµα, ειδικότερα, γίνεται και όπως πιο κάτω: Αν f() g() για κάθε τιµή του «κοντά» στο και lim f() + τότε θα υπάρχει το όριο lim g() και µάλιστα lim g() + Απόδειξη* Αφού lim f() + > 0 κοντά στο σηµείο και συνεπώς, αντιστρέφοντας είναι θα είναι f () > 0 και συνεπώς θα είναι 0 < f() g() 0 < g() f() Από το κριτήριο παρεµβολής είναι lim 0 0 και lim 0 f() + Άρα lim 0 g() και επειδή () 0 ώσαµε την απόδειξη χάριν εξάσκησης. g > θα είναι lim g() + Επίσης Αν f() g() για κάθε τιµή του «κοντά» στο και lim g() τότε θα υπάρχει το όριο lim f() και µάλιστα lim Η απόδειξη γίνεται εντελώς αντίστοιχα µε προηγούµενα. f() Παράδειγµα Αν υποθέσουµε ότι, για τη συνάρτηση f είναι f () + ηµ τότε θα είναι και f (), αφού ηµ 0 Επειδή lim + θα είναι και lim f () + ή + + Οπότε, το όριο της f στο + ισούται µε + lim + f () ή lim f() + + +

22 Παρουσίαση Ασκήσεις η. Έστω ότι ( f() g() ) και ( f() g() ) lim 0 lim 0 lim 0 lim g() 0 + Να αποδείξετε ότι ( f() ) και ( ) και ότι ( f() g() ) 8 η.6 Αν ( f()g() ) 8 και ( f() : g() ) lim 0 α) Να αποδείξετε ότι lim f() 0 lim 0, f () > 0 lim + 0 β) Να διαπιστώσετε ότι «κοντά» στο 0 είναι g () > 0 γ) Να βρείτε το lim g() 0 f () + f() η.7 Αν lim f() 0, να βρείτε το όριο lim 0 0 f() f() η.8 Αν lim f() +, να αποδείξετε ότι lim e 0 0 η.9 Αν lim + + f() 6, να αποδείξετε ότι lim f() + + f() f() η.0 Αν lim, να αποδείξετε ότι lim f() f() η. Έστω ότι lim lim L R και 0 < f() < 0 f() 0 f() L L α) Να αποδείξετε ότι L + L + β) Να αποδείξετε ότι L 0 f( + ) f( ) η. Αν lim 0 και 0 η. Αν lim f() lim f() 0 f( + ) f() lim L 0, να αποδείξετε ότι ( f f) () lim 0, δείξτε ότι L 0 f() + g() η. Αν lim f() +, lim g() +, δείξτε ότι lim f() g() f()g() + + η. Έστω η συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύει lim ( f() ) α) Να αποδείξετε ότι lim f() + f () 8f() 00 β) Να αποδείξετε ότι lim + f () f() + +

23 Παρουσίαση Απαντήσεις των ασκήσεων η. Επειδή ( f() g() ) και ( f() + g() ) lim 0 lim 0 προσθέτοντας παίρνουµε ( f() ) lim 0 lim f() 0 και αφαιρώντας παίρνουµε ( g() ) lim 0 lim g() 0 η.6 α) Από ( f()g() ) 8 lim 0 και ( f() : g() ) lim 0 πολλαπλασιάζοντας παίρνουµε ( f ()) 6 lim 0 και επειδή f () > 0 είναι lim f() 0 β) Αφού ( f()g() ) 8 0 lim > 0 «κοντά» στο 0 είναι f()g() > 0 και επειδή f () > 0, είναι και g () > 0 γ) ιαιρώντας τις ( f()g() ) 8 lim 0 και lim f() 0 είναι lim g() 0 η.7 lim 0 f ) () + f() f () + f() f () f() + f( lim 0 f() f () f() + f() lim lim 0 0 f() f () f() + f () f() + ( f() ) ( f() ) η.8 Επειδή lim 0 0 f() f(), είναι lim e lim e 0 0

24 Παρουσίαση η.9 Θέτουµε + + f() g() f() g() + + Συνεπώς lim f() + g() + lim + + g() lim + lim lim f() η.0 Θέτουµε g() f () g()( ) + lim f() lim ( g()( ) + ) f() ( )g() Οπότε lim lim +... f() η. Θέτουµε g() f() g() f() + g () Οπότε g() L lim 0 g() + L lim f() 0 + f() Θέτουµε g () f() f() g () + g () Οπότε g () L lim 0 g () + L lim f() 0 + Πρέπει + L L + L L 0 ή L Απορρίπτεται αφού 0 < f() < και συνεπώς lim f() 0 0

25 Παρουσίαση η. f( + ) f( ) f( + ) f() + f() f( ) 0 lim lim 0 0 f( + ) f() f( ) lim lim 0 0 Θέτουµε z f() f( + ) f() f( + z) f() f( + h) f() lim lim lim z 0 z h 0 h η. lim( f f) () lim( f(f() ) lim ( f(f() ) lim f() 0 0 f() + f() + g() g() f() η. lim lim 0 0 f() g() f()g() g() g() η. α) Θέτουµε f() g() g() f(), οπότε lim f() f () 8f() 00 f() f() f() β) lim + lim f () f() f() f ()

26 Παρουσίαση 6 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ε Πεδίο τιµών Είναι γνωστό ότι µε τη βοήθεια της µονοτονίας και της συνέχειας µπορούµε να προσδιορίσουµε το πεδίο τιµών µίας συνάρτησης. Παράδειγµα Έστω η συνάρτηση f() + +, µε D [0, + ) Επειδή είναι προφανές ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής είναι f(d) f(0), lim f() [, + ) + Αργότερα, στην παραγώγιση, θα δούµε αρκετά εύχρηστα κριτήρια µονοτονίας. Να τονίσουµε τώρα, κάτι πολύ σηµαντικό! Το πεδίο τιµών µας πληροφορεί για ύπαρξη ορίων! Όταν π.χ. η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής στο διάστηµα [0, + ) γράφουµε ότι f(d) f(0), lim f() + και σηµαίνει ότι υπάρχει το όριο lim f() Παράδειγµα + και µάλιστα είναι µεγαλύτερο του f (0) Έστω η γνήσια αύξουσα και συνεχής στο R συνάρτηση f ώστε f () + f() +, για κάθε R Θα αποδείξουµε ότι το πεδίο τιµών της, είναι το R, δηλαδή, ότι Πραγµατικά Επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής στο R το πεδίο τιµών της είναι το f(r) lim f(), lim f() + Αν το όριο lim f() l ήταν πεπερασµένο +, θα είχαµε lim ( f () + f() ) lim ( + ) από f () f() + Άτοπο Οπότε, το όριο l ως αριστερό άκρο διαστήµατος ισούται µε Όµοια, καταλήγουµε ότι l lim f() + + l f (R) ή l R + l lim f() και συνεπώς f (R) (, + ) Είχαµε δει το ίδιο θέµα στην κλασική ανάλυση χωρίς χρήση της συνέχειας. Αργότερα θα δούµε ότι µία συνάρτηση σαν την πιο πάνω είναι και συνεχής και συνεπώς θα µπορούσε να µη δοθεί στην υπόθεση.

27 Παρουσίαση 7 γ Θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών Στην ουσία, το θεώρηµα των ενδιάµεσων τιµών, µας πληροφορεί ότι, στην περίπτωση που ξέρουµε δύο τιµές του πεδίου τιµών µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης, τότε αυτή θα παίρνει και όλες τις ενδιάµεσες τιµές. Παράδειγµα Αν για την πολυωνυµική συνάρτηση f ξέρουµε ότι f( ) και f () τότε, αν πάρουµε µία τυχούσα τιµή µεταξύ των και ο π.χ. την τιµή αυτή θα ανήκει στο πεδίο τιµών, δηλαδή, θα υπάρχει (,), ώστε f( ) Αν και εφαρµόζοντας το Θ.Blzan δεν χρειάζεται να σκεφτόµαστε το Θεώρηµα των ενδιάµεσων τιµών εντούτοις, µ αυτό, διευκολυνόµαστε στις πιο κάτω περιπτώσεις. Να παρατηρήσουµε, όπως έχουµε αναφέρει και ξανά αν η f δεν είναι συνεχής τότε δεν θα παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάµεσες τιµές. η O Ας δούµε τα πιο κάτω θέµατα: Θέµα Έστω η συνεχής στο R συνάρτηση f, µε () 8 Θα αποδείξουµε ότι f (8) και µετά ότι f (0) 0 Απάντηση f και f ( f() ) f() 0 +, R Για, η f (f()) + f() 0 δίνει f (f()) + f() 0 ή f(8) ή f (8) Επειδή η f είναι συνεχής στο διάστηµα [,8] και f(8) < 0 < 8 f() σύµφωνα µε το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,8), ώστε f (ξ) 0 Για ξ, η f (f()) + f() 0 δίνει f (f(ξ)) + f(ξ) 0 ή f(0) ή f(0) 0 Να τονίσουµε ένα σύνηθες λάθος. Από Οπότε f () είναι ( f() ) f() f() f και τελικά f () f( f() ) + f() 0 και για 0 προκύπτει f (0) 0 + ή 0 + f() Αυτό όµως είναι λάθος, αφού δεν γνωρίζουµε αν το 0 τελικά ανήκει στο f (R) Πάντως ο τύπος της f είναι f() 0 Είναι προφανές ότι η αρχική συνθήκη f()8, δεν είναι τυχούσα.

28 Παρουσίαση 8 Επαναληπτικές ασκήσεις 6 Έστω f() ln + e, > 0 Α) Να βρείτε το σύνολο των τιµών της f Β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς ο > 0, ώστε e 7 Έστω οι ορισµένες και συνεχείς στο D [,] συναρτήσεις f, g f( ) + f() ώστε g( ) + g() f(ρ) + Να αποδείξετε ότι υπάρχει ρ [, ], ώστε g(ρ) 8 Να βρείτε την ορισµένη και συνεχή στο R συνάρτηση f αν γνωρίζουµε ότι f() + + f(), για κάθε πραγµατική τιµή του 9 Έστω η περιττή στο R συνάρτηση f Αν η f είναι συνεχής στο, αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής και στο σηµείο 0 Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε f() ( f() ) 0 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0, R Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 f () + f() 00, R Έστω η ορισµένη στο R και συνάρτηση f Αν η f είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η f θα είναι συνεχής στο ( ) f Έστω η συνάρτηση f() λ + κ, ώστε κ λκ + κ + 0 Αφού αποδείξετε ότι η f δέχεται µία ρίζα, µετά να αποδείξετε ότι λ κ Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε f () + f() +, R Α) Να αποδείξετε ότι η πιο πάνω συνάρτηση f είναι µοναδική. Να αποδείξετε ότι Β ) f() f( ) f () + f( )f() + f ( ) + Β ) f () + f( )f() + f ( ) + Β ) f() f( ) Γ) Μετά να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R ) Μετά να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται, µε f () +, R

29 Παρουσίαση 9 Απαντήσεις των ασκήσεων * + 6 Α) f( R ) R Η f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής Β) Επειδή 0 R υπάρχει R, ώστε f( ) 0 Οπότε ln + 0 ln e f( ) + f() 7 Από g( ) + g() είναι f ( ) + g( ) ( f() + g() ) Εφαρµόζουµε γενίκευση Θ.Blzan για την h () f() + g() στο [, ] 8 Από f() + + f() είναι f(), + + Λόγω της συνέχειας στο είναι f() + + αν αν Τελικά f() lim f() lim f( ) lim f() f() f( ) 0 f() ( f() ) 0 f () f() + f() Από το κριτήριο παρεµβολής διαπιστώνουµε ότι lim f() f(0) 0

30 Παρουσίαση 0 Από f () f() 00 + f() ( f () + ) Οπότε f() f () + Από το κριτήριο παρεµβολής διαπιστώνουµε ότι lim f() f(0) 0 lim f () lim f () lim f (f()) lim f ( ) f( ) f() f( ) Εφαρµόζουµε το Θ.Blzan για την f() λ + κ στο [ 0,] Α) f () + f() + και f ( ) + f( ) + Β ) Αφαιρώντας είναι f () f ( ) + f() f( ) + 0 και τελικά f() f( ) f () + f( )f() + f ( ) + Β ) Το f () + f( )f() + f ( ) + είναι τριώνυµο και έχει µέγιστο το f ( ) + α Συνεπώς f () + f( )f() + f ( ) + άρα και f () + f( )f() + f ( ) + Β ) Από f() f( ) f () + f( )f() + f ( ) + είναι τελικά f() f( ) Γ) Εφαρµόζουµε κριτήριο παρεµβολής ) Από f() έχουµε f () +, R

31 Παρουσίαση

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι µιγαδικοί αριθµοί και w συνδέονται µε την σέση a β w =, όπου γ α,β,γ R Όταν =0 τότε w= και όταν =-i τότε w=- i Να βρείτε τις σταθερές α,β,γ α Αν το άθροισµα και το γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες)

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες) Α Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Α Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα