Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Transcript

1 Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων, όχι απαραίτητα μαθηματικών. Οι έννοιες με τις οποίες θα ασχοληθούμε είναι η συνεπαγωγή, η ισοδυναμία, ο σύνδεσμος «ή» και ο σύνδεσμος «και».

2 Εισαγωγικό κεφάλαιο 4 Η συνεπαγωγή Παράδειγμα 1 Αν ο Γιώργος είναι μαθητής της πρώτης Λυκείου, τότε έχει ηλικία μεγαλύτερη από 14 χρόνια. Στην παραπάνω πρόταση, έχουμε δύο ισχυρισμούς. Ο ένας είναι: «Ο Γιώργος είναι μαθητής της πρώτης Λυκείου» και ο άλλος είναι: «Ο Γιώργος έχει ηλικία μεγαλύτερη από 14 χρόνια». Παρατηρούμε ότι αν ο πρώτος είναι σωστός, τότε και ο δεύτερος είναι σωστός. (Ένας μαθητής της πρώτης Λυκείου είναι πάντα μεγαλύτερος από 14 χρόνων). Σ αυτή την περίπτωση λέμε ότι ο «Ο Γιώργος είναι μαθητής της πρώτης Λυκείου» συνεπάγεται τον ισχυρισμό «Ο Γιώργος έχει ηλικία μεγαλύτερη από 14 χρόνια». Αν ονομάσουμε P τον πρώτο ισχυρισμό και Q τον δεύτερο ισχυρισμό, τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον ισχυρισμό Q, και μπορούμε να το γράψουμε χάριν συντομίας χρησιμοποιώντας σύμβολα: P Q. Τον ισχυρισμό P Q τον ονομάζουμε συνεπαγωγή και διαβάζεται O P συνεπάγεται τον Q ή αλλιώς Αν P, τότε Q Τον ισχυρισμό P τον ονομάζουμε υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ τον Q τον ονομάζουμε συμπέρασμα της συνεπαγωγής. Μία συνεπαγωγή είναι λανθασμένη (ή ψευδής όπως συνηθίζουμε να λέμε), μόνο στην περίπτωση που ενώ η υπόθεση είναι σωστή (αληθής), το συμπέρασμα είναι λάθος. Ας πούμε, ότι η υπόθεση του παραδείγματός μας ήταν η ίδια, αλλά το συμπέρασμα ήταν «ο Γιώργος έχει βάρος μεγαλύτερο από εκατό κιλά». Προφανώς, ένας μαθητής της πρώτης Λυκείου, δεν έχει απαραίτητα βάρος μεγαλύτερο από εκατό κιλά, οπότε το συμπέρασμα στο οποίο καταλήξαμε ήταν λάθος. Σ αυτή την περίπτωση λέμε ότι η συνεπαγωγή μας ήταν λάθος (ψευδής).

3 Εισαγωγικό κεφάλαιο 5 Παράδειγμα Ας είναι χ κάποιος πραγματικός αριθμός. Ονομάζουμε P τον ισχυρισμό «ο χ είναι μεγαλύτερος από το 5» και Q τον ισχυρισμό «ο χ είναι μεγαλύτερος από το 3». Προφανώς αν ο χ είναι μεγαλύτερος από το 5, θα είναι και μεγαλύτερος από το 3, οπότε ο P Q είναι αληθής. Αν θέλαμε να γράψουμε αλλιώς αυτή τη συνεπαγωγή θα γράφαμε: χ > 5 χ > 3. Στο παράδειγμά μας ο χ > 5 είναι η υπόθεση, ο χ > 3 είναι το συμπέρασμα, και η συνεπαγωγή μας: χ > 5 χ > 3 είναι αληθής. Παράδειγμα 3 Ας είναι πάλι χ κάποιος πραγματικός αριθμός. Ονομάζουμε P τον ισχυρισμό «ο χ είναι μεγαλύτερος από το 5» και Q τον ισχυρισμό «ο χ είναι ίσος 6». Είναι σ αυτή την περίπτωση η συνεπαγωγή P Q αληθής; Αν ο αριθμός χ είναι μεγαλύτερος από το 5, είναι απαραίτητα ίσος με 6; Όχι βέβαια, αφού υπάρχουν αμέτρητοι αριθμοί μεγαλύτεροι από το 5, οπότε ο χ μπορεί να είναι ένας οποιοσδήποτε απ αυτούς, και όχι απαραίτητα ο αριθμός 6. Σ αυτή την περίπτωση θα λέγαμε ότι η συνεπαγωγή: x> 5 x= 6 είναι ψευδής. Η ισοδυναμία ή αλλιώς διπλή συνεπαγωγή

4 Εισαγωγικό κεφάλαιο 6 Παράδειγμα 4 Έστω α κάποιος πραγματικός αριθμός. Ονομάζουμε P τον ισχυρισμό «ο α είναι ίσος με τον αριθμό 5» και Q τον ισχυρισμό «ο διπλάσιος του αριθμού α ( ή αλλιώς ο αριθμός α ) είναι ίσος με τον αριθμό 10». Στην περίπτωση αυτή ο P Q είναι αληθής, αφού ανα = 5, τότε α = 5= 10. Στην περίπτωση που ο Q (δηλαδή ο «ο διπλάσιος του αριθμού α είναι ίσος με τον αριθμό 10») ήταν η υπόθεση, ενώ ο P (δηλαδή ο «ο α είναι ίσος με τον αριθμό 5») ήταν το συμπέρασμα, θα ήταν αληθής η ισοδυναμία Q P ; Αν α=10 τότε ο αριθμός α είναι ίσος με το μισό του 10, δηλαδή α=5. Είναι δηλαδή στο παράδειγμα αυτό αληθής τόσο η ισοδυναμία P Q, όσο και η ισοδυναμία Q P. Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο Ρ, να αληθεύει και ο Q, και αντίστροφα, όταν αληθεύει ο Q, να αληθεύει και ο Ρ, όταν δηλαδή, είναι αληθείς οι ισοδυναμίες P Q και Q P, τότε λέμε ότι οι ισχυρισμοί Ρ και Q είναι ισοδύναμοι και γράφουμε P Q. Ο P Q λέγεται ισοδυναμία και διαβάζεται «Ρ αν και μόνο αν Q». Για τους ισχυρισμούς του παραπάνω παραδείγματος μπορούσαμε να γράψουμε : α = 5 α = 10 και να το διαβάσουμε: «ο αριθμός α είναι ίσος με 5 αν και μόνο αν ο αριθμός α είναι ίσος με 10». Θα μπορούσαμε ακόμα να γράψουμε : α = 10 α = 5 και να το διαβάσουμε: «ο αριθμός α είναι ίσος με 10 αν και μόνο αν ο αριθμός α είναι ίσος με 5». Θα παρουσιάσουμε μερικά ακόμη παραδείγματα ισοδύναμων ισχυρισμών, όπως και κάποια παραδείγματα ισχυρισμών που δεν είναι ισοδύναμοι. Παράδειγμα 5

5 Εισαγωγικό κεφάλαιο 7 Ισχυρισμός P: Το 1 3 των μαθητών της πρώτης τάξης του ου Λυκείου Μενεμένης είναι κορίτσια. Ισχυρισμός Q: Τα αγόρια της πρώτης τάξης του ου Λυκείου Μενεμένης είναι διπλάσια από τα κορίτσια της τάξης αυτής. Για να ελέγξουμε αν είναι ισοδύναμοι οι ισχυρισμοί P και Q, πρέπει να δούμε αν είναι αληθείς οι συνεπαγωγές P Q και Q P. o Έστω ότι είναι αληθής ο P. Αν λοιπόν, το 1 3 των μαθητών της παραπάνω τάξης είναι κορίτσια, τα υπόλοιπα 3 θα είναι αγόρια. Ο αριθμός 3 είναι διπλάσιος από τον αριθμό 1, άρα τα αγόρια είναι διπλάσια 3 από τα κορίτσια, οπότε είναι αληθής και ο Q. Υποθέτοντας ότι ισχύει ( είναι αληθής) ο P, συμπεράναμε ότι είναι αληθής και ο Q, ισχύει δηλαδή η συνεπαγωγή P Q Ας υποθέσουμε τώρα ότι είναι αληθής ο Q. Αν τα αγόρια της τάξης είναι διπλάσια από τα κορίτσια, τότε για κάθε δύο αγόρια της τάξης θα υπάρχει και ένα κορίτσι, δηλαδή κάθε τρία παιδιά, θα έχουμε ένα κορίτσι και δύο αγόρια. Είναι επομένως κορίτσια το 1 των μαθητών της τάξης, άρα είναι αληθής ο P. 3 Υποθέτοντας ότι ισχύει ( είναι αληθής) ο Q, συμπεράναμε ότι είναι αληθής και ο P, ισχύει δηλαδή η συνεπαγωγή Q P Αφού είναι αληθής και η συνεπαγωγή P Q και η συνεπαγωγή Q P, οι ισχυρισμοί P και Q του παραδείγματος αυτού είναι ισοδύναμοι, και επομένως μπορώ να γράψω P Q Παράδειγμα 6

6 Εισαγωγικό κεφάλαιο 8 Ας είναι οι α,β,γ πραγματικοί αριθμοί και οι P και Q ισχυρισμοί που αφορούν τους αριθμούς αυτούς. Ισχυρισμός P: α + β = γ Ισχυρισμός Q: α = γ β Θα χρησιμοποιήσουμε ιδιότητες των πράξεων που μάθαμε στο Γυμνάσιο, για να εξετάσουμε αν ισχύουν οι συνεπαγωγές P Q και Q P. Έστω ότι είναι αληθής ο P. α + β = γ α + β β = γ β Μπορούμε να αφαιρέσουμε και από τα δύο μέλη μιας ισότητας τον ίδιο αριθμό (στην περίπτωση μας τον αριθμό β ) α = γ β Αν λοιπόν ισχύει ο P παρατηρούμε ότι ισχύει και ο Q. Άρα η συνεπαγωγή P Q είναι αληθής. Έστω τώρα ότι είναι αληθής ο Q α = γ β α + β = γ β + β Μπορούμε να προσθέσουμε και στα δύο μέλη μιας ισότητας τον ίδιο αριθμό ( στην περίπτωση μας τον αριθμό β ) α + β = γ Παρατηρούμε ότι όταν ισχύει ο Q, τότε ισχύει και ο P. Είναι δηλαδή αληθής η συνεπαγωγή Q P. Αφού είναι αληθείς και οι δύο συνεπαγωγές, οι ισχυρισμοί P και Q είναι ισοδύναμοι. ( P Q) Παράδειγμα 7

7 Εισαγωγικό κεφάλαιο 9 Ισχυρισμός P: Βρέχει στην πόλη μας αυτή τη στιγμή. Ισχυρισμός Q: Ο ουρανός είναι συννεφιασμένος στην πόλη μας αυτή τη στιγμή. Έστω ότι είναι αληθής ο P, έστω δηλαδή ότι βρέχει αυτή τη στιγμή. Αφού βρέχει, δεν μπορεί παρά να είναι συννεφιασμένος ο ουρανός, άρα στην περίπτωση αυτή είναι αληθής ο Q. Αν λοιπόν είναι αληθής ο P, τότε είναι αληθής και ο Q. Επομένως η συνεπαγωγή P Q είναι αληθής. Για να είναι ισοδύναμοι οι P και Q, πρέπει εκτός από την P Q, να είναι αληθής και η συνεπαγωγή Q P. Αν ο ουρανός είναι συννεφιασμένος, είναι σίγουρο ότι βρέχει; Προφανώς όχι, και άρα η συνεπαγωγή Q P δεν είναι αληθής, οπότε και η ισοδυναμία P Q δεν είναι αληθής. Παράδειγμα 8 Ας εξετάσουμε αν είναι ισοδύναμοι οι ισχυρισμοί του δεύτερου παραδείγματος. Ισχυρισμός P: Ο πραγματικός αριθμός χ είναι μεγαλύτερος από το 5. Ισχυρισμός Q: Ο πραγματικός αριθμός χ είναι μεγαλύτερος από το 3. Όπως είδαμε η συνεπαγωγή P Q είναι αληθής. Για να είναι ισοδύναμοι οι P και Q, πρέπει να είναι αληθής και η συνεπαγωγή Q P. Αν λοιπόν ο αριθμός χ είναι μεγαλύτερος από το 3, είναι σίγουρα μεγαλύτερος και από το 5; Μεταξύ του 3 και του 5 υπάρχουν άπειροι αριθμοί ( για παράδειγμα το 4) που ενώ είναι μεγαλύτεροι του 3, δεν είναι μεγαλύτεροι του 5. Άρα η συνεπαγωγή Q P είναι ψευδής, οπότε οι ισχυρισμοί P και Q δεν είναι ισοδύναμοι. ( Αλλιώς η ισοδυναμία P Q είναι ψευδής) Είναι σημαντικό να μπορούμε να διακρίνουμε πότε κάποιος Ρ συνεπάγεται έναν ισχυρισμό Q και πότε οι ισχυρισμοί Ρ και Q είναι ισοδύναμοι, ώστε

8 Εισαγωγικό κεφάλαιο 10 να χρησιμοποιούμε το κατάλληλο σύμβολο. Στη διάρκεια αυτής της σχολικής χρονιάς, όπως και στη διάρκεια της σχολικής χρονιάς, όπως και στη διάρκεια των επόμενων χρόνων, θα βρεθούμε συχνά μπροστά σ αυτό το πρόβλημα. Στο γυμνάσιο, δεν ήταν απαραίτητο να χρησιμοποιούμε τα σύμβολα της συνεπαγωτής και της ισοδυμαμίας. Τξώρα είμαστε υποχρεωμένοι να δείχνουμε τη σχέση που έχουν μεταξύ τους, διαδοχικοί ισχυρισμοί μας. Ο σύνδεσμος «και» Χρησιμοποιούμε τον σύνδεσμο και για να συνδέσουμε δύο ισχυρισμούς (τους ισχυρισμούς P, Q ) και να δημιουργήσουμε έναν νέο ισχυρισμό, τον ισχυρισμό P και Q. Ο P και Q είναι αληθής μόνο στην περίπτωση που και ο P και ο Q είναι αληθείς. Ο P και Q λέγεται σύζευξη των ισχυρισμών P και Q. Παράδειγμα 9 Ισχυρισμός P: Ο πραγματικός αριθμός χ είναι μεγαλύτερος από τον πραγματικό αριθμό 3. ( x > 3 ) Ισχυρισμός Q: Ο πραγματικός αριθμός χ είναι μικρότερος από τον πραγματικό αριθμό 4. ( x < 4 ) Ισχυρισμός P και Q: Ο πραγματικός αριθμός χ είναι μεγαλύτερος από τον πραγματικό αριθμό 3 και μικρότερος από τον πραγματικό αριθμό 4. (3< x < 4) Ο P και Q είναι αληθής μόνο στην περίπτωση που ο πραγματικός αριθμός χ είναι κάποιος αριθμός ανάμεσα στο 3 και στο 4, δηλαδή μόνο στην περίπτωση που ισχύουν τόσο ο P όσο και ο Q. Παράδειγμα 10 Ισχυρισμός P: Ο αριθμός α είναι άρτιος (ακέραιο πολλαπλάσιο του αριθμού )

9 Εισαγωγικό κεφάλαιο 11 Ισχυρισμός Q: Ο αριθμός α είναι πρώτος αριθμός (φυσικός αριθμός που οι μόνοι διαιρέτες του είναι ο εαυτός του και η μονάδα) Ισχυρισμός P και Q: Ο αριθμός α είναι άρτιος και πρώτος αριθμός. Ο P και Q είναι αληθής μόνο στην περίπτωση που ο α είναι και άρτιος και πρώτος αριθμός, δηλαδή μόνο στην περίπτωση που α=. Παράδειγμα 11 Ισχυρισμός P: Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει όλες τις πλευρές του ίσες. (ρόμβος) Ισχυρισμός Q: Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει όλες τις γωνίες του ορθές. (ορθογώνιο) Ισχυρισμός P και Q: Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει όλες τις πλευρές του ίσες και τις γωνίες του ορθές. Ο P και Q είναι αληθής μόνο στην περίπτωση που το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. Κάποιος μπορεί να είναι ισοδύναμος με τη σύζευξη δύο άλλων ισχυρισμών. Αυτό ισχύει στο παράδειγμα που ακολουθεί. Παράδειγμα 1 Ισχυρισμός P: x = 0 Ισχυρισμός Q: ψ = 0 Ισχυρισμός P και Q: x = 0 και ψ = 0 Ισχυρισμός R: x + ψ = 0 Έστω ότι είναι αληθής ο P και Q, έστω δηλαδή ότι είναι αληθείς οι ισχυρισμοί x = 0 και ψ = 0. x = 0. Αν x = 0 τότε Αν ψ = 0 τότε ψ = 0. Είναι δηλαδή x + ψ = 0+ 0= 0. Άρα είναι αληθής η συνεπαγωγή: P και Q R. (1) Έστω ότι ισχύει ο R, έστω δηλαδή ότι ισχύει x + ψ = 0 Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός, ισχύει δηλαδή x 0 και ψ 0. Αν ήταν κάποιος από τους x, ψ θετικός, τότε για να είναι το άθροισμα x + ψ ίσο με 0, θα έπρεπε ο άλλος να είναι αρνητικός, που

10 Εισαγωγικό κεφάλαιο 1 δεν ισχύει αφού είπαμε ότι ψ = 0, και επομένως 0 x 0 και x = και ψ = 0. Άρα είναι αληθής η συνεπαγωγή R P και Q. () ψ 0. Αναπόφευκτα λοιπόν είναι x = 0 και Αφού είναι αληθείς οι (1) και (), ο R είναι ισοδύναμος με τη σύζευξη των ισχυρισμών P και Q. Εξετάστε αν ο R: «Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο» είναι ισοδύναμος με τη σύζευξη των ισχυρισμών P : «Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος» και Q : «Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο» Ο σύνδεσμος «η» Χρησιμοποιούμε τον σύνδεσμο «ή» για να συνδυάσουμε δύο ισχυρισμούς (τους ισχυρισμούς P, Q) και να δημιουργήσουμε έναν νέο ισχυρισμό, τον ισχυρισμό P ή Q. Ο P ή Q είναι αληθής μόνο στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς P και Q είναι αληθής. Δεν απαιτείται να είναι και οι δύο αληθείς, χωρίς όμως αυτό να αποκλείεται. Απαραίτητο είναι να είναι ένας από τους δύο ισχυρισμούς αληθής. Ο P ή Q ονομάζεται διάζευξη των ισχυρισμών P, Q. Παράδειγμα 13 Ισχυρισμός P: Ο πραγματικός αριθμός χ είναι μεγαλύτερος από τον πραγματικό αριθμό 3. ( x > 3 ) Ισχυρισμός Q: Ο πραγματικός αριθμός χ είναι λύση της εξίσωσης x 4x= 0 Ισχυρισμός P ή Q: x > 3 ή x λύση της εξίσωσης x 4x= 0. Για να είναι ο P ή Q αληθής αρκεί να είναι αληθής ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς P και Q. Οι λύσεις της εξίσωσης x 4x= 0 είναι οι αριθμοί 0 και 4. Αν χ=0, τότε είναι αληθής μόνο ο Q. Αν χ=4, τότε είναι αληθείς και οι δύο ισχυρισμοί.

11 Εισαγωγικό κεφάλαιο 13 Αν χ είναι οποιοσδήποτε αριθμός μεγαλύτερος του 3, χωρίς αυτός να είναι ο αριθμός 4, τότε είναι αληθής μόνο ο P. Και στις τρεις περιπτώσεις ο P ή Q είναι αληθής. Παρατηρείστε ότι ο P και Q θα ήταν αληθής μόνο στην περίπτωση που ίσχυε χ=4. Παράδειγμα 14 Ισχυρισμός P: Ο πατέρας της Νεφέλης είναι καθηγητής Μαθηματικών. Ισχυρισμός Q: Ο πατέρας της Νεφέλης είναι αριστερόχειρας. Ο P ή Q είναι αληθής αν ο πατέρας της Νεφέλης είναι καθηγητής Μαθηματικών ή αν είναι αριστερόχειρας, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι δεν είναι αληθής αν είναι και καθηγητής Μαθηματικών και αριστερόχειρας. Παράδειγμα 15 Ισχυρισμός P: x = 0 Ισχυρισμός Q: x 3= 0 Ο P ή Q είναι αληθής αν είναι αληθής ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς P, Q. Ισοδύναμος με τον ισχυρισμό P ή Q είναι ο R: x( x 3) = 0 (Ένα γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες του γινομένου είναι ίσος με μηδέν). Παράδειγμα 16 Ισχυρισμός P: α > 0 Ισχυρισμός Q: α < 0 Ο P ή Q είναι αληθής αν είναι αληθής ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς P, Q, είναι δηλαδή αληθής, αν και μόνο αν ο αριθμός α δεν είναι ίσος με το μηδέν. Ισοδύναμος, επομένως, με τον ισχυρισμό P ή Q είναι ο R: α 0

12 Εισαγωγικό κεφάλαιο 14

13 Εισαγωγικό κεφάλαιο 15 Απαντήσεις στις ερωτήσεις κατανόησης I. α = 9 α = 3 Ψ Αν α = 9, τότε α = 3 ή α = 3 Επεξήγηση: Η συνεπαγωγή α = 3 α = 9 είναι αληθής. α = α α = 1 Ψ Για να είναι αληθής η παραπάνω ισοδυναμία, πρέπει να είναι αληθής τόσο η συνεπαγωγή α = 1 α = α όσο και η συνεπαγωγή α = α a = 1. Η συνεπαγωγή α = 1 α = α είναι αληθής, αφού αν α = 1, τότε πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ισότητας με α, προκύπτει α = α. Αν α = α, τότε α α = 0. Παραγοντοποιώντας έχω α( α 1) = 0. Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι ίσο με μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον απ αυτούς είναι ίσος με μηδέν, οπότε α( α 1) = 0 α = 0 ή α 1= 0 α = 0 ή α = 1 Επομένως η συνεπαγωγή α = α α = 1 δεν είναι αληθής, γιατί αν α = α, τότε το α δεν είναι απαραίτητα ίσο με 1, αφού είναι δυνατόν να είναι το α ίσο με 0. Άρα η ισοδυναμία α = α α = 1 είναι ψευδής.

14 Εισαγωγικό κεφάλαιο 16 α α α 1 Α Αν ήταν α = 1, τότε θα ήταν όπως είδαμε στο προηγούμενο ερώτημα α = α. Αν είναι α α, τότε α 1. Επεξήγηση: Αν είναι α ( ( ) α, τότε α 1 και α 0. α α α α 0 α α 1 0 α 0 και α 1) Η ισοδυναμία α α α 1 είναι ψευδής, η συνεπαγωγή α α α 1 είναι αληθής, όπως αληθής είναι και η συνεπαγωγή α α α 0 ή η συνεπαγωγή α α α 1 και α 0 α α 4 ψ Για να είναι αληθής αυτή η ισοδυναμία, θα έπρεπε να είναι αληθείς οι συνεπαγωγές α α 4 και α 4 α Αν α 4, τότε είναι α (αν ήταν το α ίσο με, τότε το α θα ήταν ίσο με 4, ενώ η υπόθεση μας είναι α 4 ). Επομένως η συνεπαγωγή α 4 α είναι αληθής, δεν ισχύει όμως το ίδιο και για την συνεπαγωγή α α 4, γιατί είναι δυνατόν να είναι α, χωρίς να ισχύει α 4. Αυτό συμβαίνει για α =. Στην περίπτωση αυτή, ενώ είναι αληθής ο α, δεν είναι αληθής ο α 4 ( ( ) = 4) α 4 α > > Α Γνωρίζουμε από τις ιδιότητες της διάταξης που μάθαμε στην Τρίτη τάξη του γυμνασίου, ότι αν πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα που έχει την ίδια φορά με τις αρχικές ανισότητες.

15 Εισαγωγικό κεφάλαιο 17 Αν λοιπόν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις ανισότητες α > και α >, οι οποίες είναι αληθείς από υπόθεση, τότε προκύπτει η ανισότητα α > 4. Επεξήγηση: Ο πραγματικός αριθμός α (το ένα μέλος της ανίσωσης) είναι θετικόςαφού γνωρίζουμε ότι είναι α > και > 0, άρα α > 0 α < α < 4 ψ Στην περίπτωση αυτή δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω ιδιότητα, επειδή δεν είναι βέβαιο ότι τα δύο μέλη της ανίσωσης είναι θετικά. Αν για παράδειγμα είναι α = 3, τότε, ενώ η υπόθεσή μας είναι αληθής ( 3< ), το συμπέρασμά μας είναι ψευδές. (( 3) = 9> 4) α < 4 α < Α Όπως είδαμε στο πέμπτο ερώτημα αυτής της άσκησης, αν α >, τότε α > 4. Αν πάλι είναι α =, τότε είναι α = 4. Από υπόθεση έχουμε α < 4. Αυτό δεν μπορεί να συμβαίνει, όπως είδαμε, αν είναι α > ή αν είναι α =. Αν είναι επομένως αληθής η υπόθεση α < 4, τότε δεν μένει παρά να είναι α <. Επεξήγηση: Αυτή η μέθοδος που ακολουθήσαμε ονομάζεται μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο, χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους Αρχαίους Έλληνες και θα αναφερθούμε σ αυτήν διεξοδικά στο επόμενο κεφάλαιο αυτού του βιβλίου. Ένας άλλος τρόπος για να απαντήσουμε αν είναι αληθής ή όχι η παραπάνω συνεπαγωγή θα ήταν με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ψ = χ.

16 Εισαγωγικό κεφάλαιο 18 ψ=χ Όπως παρατηρούμε στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = x οι τιμές της συνάρτησης είναι μικρότερες του 4 όταν το x παίρνει τιμές ανάμεσα στο - και το. Αν λοιπόν είναι αληθές ότι x < 4 ( αντίστοιχα α < 4 ) τότε είναι αληθής ο x < ( αντίστοιχα α < ). α > 4 α > Ψ Είχαμε διαπιστώσει στο ερώτημα 5 ότι αν είναι αληθής ο α >, τότε είναι αληθής και ο α > 4, είναι δηλαδή αληθής η συνεπαγωγή α > α > 4. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε με την βοήθεια ενός αντιπαραδείγματος. Αν για παράδειγμα είναι α = 3, τότε α = ( 3) = 9> 4. Παρατηρούμε ότι ενώ είναι αληθής ο γιατί α = 3<. α > 4, ο α > είναι ψευδής

17 Εισαγωγικό κεφάλαιο 19 Άρα η συνεπαγωγή α > 4 α > είναι ψευδής. Άλλος τρόπος για να διαπιστώσουμε ότι είναι ψευδής η συνεπαγωγή αυτή, θα ήταν με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης του ερωτήματος 7. Παρατηρούμε ότι x > 4 για τιμές του x μεγαλύτερες του αλλά και για τιμές του x μικρότερες του -. Αληθής επομένως θα ήταν η συνεπαγωγή α > 4 α > η α < α < και β < 3 α β < 6 ψ Αν γνωρίζαμε ότι οι πραγματικοί αριθμοί α,β ήταν θετικοί αριθμοί, τότε η παραπάνω συνεπαγωγή θα ήταν αληθής ( όπως αναφέραμε και στο ερώτημα 5 αν πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα που έχει την ίδια φορά με τις αρχικές ανισότητες ). Στην περίπτωση μας δεν γνωρίζουμε ότι οι α, β είναι θετικοί αριθμοί. Αν για παράδειγμα είναι α=-5 και β=-4, τότε, ενώ είναι αληθής η υπόθεση ( α = 5< και β = 4< 3), δεν είναι αληθές το συμπέρασμα, γιατί ( ) ( ) α β = 5 4 = 0> 6 Μην απογοητευθείτε αν σας φάνηκαν δύσκολα τα ερωτήματα αυτής της άσκησης. Απλά ξαναδείτε τα αφού τελειώσετε το πρώτο κεφάλαιο αυτού του βιβλίου και θα διαπιστώσετε τότε, ότι με τη βοήθεια της νέας γνώσης που θα έχει γίνει κτήμα σας, τα ερωτήματα αυτά θα σας φανούν πολύ πιο εύκολα.

18 Εισαγωγικό κεφάλαιο 0 II. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους ισχυρισμούς της ομάδας Α με τον ισοδύναμό του ισχυρισμό από την ομάδα Β. Α ΟΜΑΔΑ x x = 0 1 ( ) x( x ) x = 4 x = 4 και x< 0 5 x( x ) και x( x ) 6 = 0 1 = 0 x = 4 και x> 0 Β ΟΜΑΔΑ Α x 0 και x Β x = Γ x = η x = Δ x = 0 Ε x = 0 η x = Ζ x = Ισχυρισμός 1: x( x ) = 0 ( ) x x = 0 x = 0 η x = 0 x = 0 η x = Ένα γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες του γινομένου είναι ίσος με μηδέν. Ο 1 της ομάδας Α είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό Ε της ομάδας Β. Ισχυρισμός : x( x ) 0 Όπως μόλις είπαμε, ένα γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες του γινομένου είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, ένα γινόμενο είναι διαφορετικό από το μηδέν αν και μόνο αν κανένας από τους παράγοντες του γινομένου δεν είναι ίσος με μηδέν. ( ) x x 0 x 0 και x 0 x 0 και x Ο της ομάδας Α είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό Α της ομάδας Β.

19 Εισαγωγικό κεφάλαιο 1 Ισχυρισμός 3: x = 4 x = 4 1. Μεταφέρω το 4 στο πρώτο μέλος της εξίσωσης στην προσπάθειά μου να δημιουργήσω ένα γινόμενο ίσο με μηδέν. x 4= 0. Γράφω το 4 στη μορφή, για να δημιουργήσω το πρώτο μέλος της α β = α + β α β ταυτότητας ( )( ) x = 0 3. Εφαρμόζω την παραπάνω ταυτότητα (στην θέση του α έχω το x, και στην θέση του β έχω το ) ( x ) ( x ) + = 0 4. Ένα γινόμενο είναι ίσο με το μηδέν αν και μόνο αν... x + = 0 η x = 0 5. Λύνω τις απλές εξισώσεις που προέκυψαν. x = η x = Ο 3 της ομάδας Α είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό Γ της ομάδας Β. Ισχυρισμός 4: x = 4 και x< 0 Ο 4 είναι σύζευξη του ισχυρισμού x = 4 και του ισχυρισμού x < 0. Είδαμε ότι ο x = 4 είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό x = η x =. Για να είναι αληθής η σύζευξη δύο ισχυρισμών, πρέπει να είναι αληθείς και οι δύο ισχυρισμοί, πρέπει δηλαδή να είναι x < 0 και επίσης να ισχύει x = η x =. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο όταν είναι x =. Επομένως, ισοδύναμος με τον ισχυρισμό 4 είναι ο Ζ.

20 Εισαγωγικό κεφάλαιο Ισχυρισμός 6: x = 4 και x> 0 Ο 6 είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό Β για τους λόγους που επικαλεστήκαμε όταν βρίσκαμε τον ισοδύναμο του ισχυρισμού 4. Προσπάθησε να εξηγήσεις γιατί ο 6 είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό Β. Ισχυρισμός 5: x( x ) και x( x ) = 0 1 = 0 Αν οι μέχρι τώρα αντιστοιχίσεις μας είναι σωστές, τότε ο 5 είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό Δ. Αν όμως έχουμε κάνει έστω και ένα λάθος στις προηγούμενες αντιστοιχίσεις; Ας βρούμε λοιπόν τον ισοδύναμο του ισχυρισμού 5. Ονομάζουμε P τον ισχυρισμό x( x ) = 0, Q ονομάζουμε τον ισχυρισμό x( x 1) = 0 και R ονομάζουμε τον ισχυρισμό x = 0. Ο x( x ) και x( x ) = 0 1 = 0 είναι η σύζευξη των P,Q. Για να αποδείξω ότι ( P και Q) R, πρέπει να αποδείξω ότι είναι αληθείς οι συνεπαγωγές: ( P και Q) R και R ( P και Q) είναι αληθής γιατί: Αν είναι αληθής ο R, αν δηλαδή είναι x = 0, τότε x( x ) = 0 ( 0 ) = 0, άρα αν είναι αληθής ο R, τότε είναι αληθής και ο P. Ομοίως αν είναι αληθής ο R, αν δηλαδή είναι x = 0, τότε x x 1 = = 0, άρα αν είναι αληθής ο R, τότε είναι αληθής και ο Q. Η R ( P και Q) ( ) ( ) Όπως είδαμε αν R αληθής, τότε είναι αληθής και ο P και ο Q, άρα και η σύζευξή τους. R P και Q είναι αληθής. Επομένως, η συνεπαγωγή ( ) Η ( P και Q) R είναι αληθής γιατί: Αν είναι αληθής η σύζευξη των P και Q, τότε είναι αληθής και ο P και ο Q. Ο P είναι ο 1 αυτής της άσκησης, που είδαμε ότι είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό x = 0 η x =. Για τους ίδιους λόγους ο Q είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό x = 0 η x = 1. Οι ισχυρισμοί P και Q υποθέσαμε ότι είναι αληθείς και οι δύο.

21 Εισαγωγικό κεφάλαιο 3 Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο όταν είναι x = 0, δηλαδή, αν είναι αληθείς οι P και Q, τότε είναι αληθής και ο R. Επομένως, και η συνεπαγωγή ( P και Q) R είναι αληθής. Αφού είναι αληθείς οι παραπάνω συνεπαγωγές, είναι αληθής και η ισοδυναμία P και Q R, άρα ισοδύναμος του ισχυρισμού 5 είναι ο Δ. ( ) Τα συμπεράσματά μας μπορούμε να τα συνοψίσουμε στον παρακάτω πίνακα αντιστοίχισης. Ισχυρισμός της Ομάδας Α Ισοδύναμός του από την Ομάδα Β 1 Ε Α 3 Γ 4 Ζ 5 Δ 6 Β

22 Εισαγωγικό κεφάλαιο 4 1. Έστω οι ισχυρισμοί: P: Ο Άρης είναι Έλληνας. Q: Ο Άρης είναι Βαλκάνιος. R: Ο Άρης είναι Ευρωπαίος. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς και ποιοι είναι ψευδείς; P Q Q P P Q P R R P P η Q R P η R Q R η Q P P και Q R P και R Q R και Q P Αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.. Έστω οι ισχυρισμοί: P: x < 3, Q: x < 5 και R: x = 8 Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς και ποιοι είναι ψευδείς;

23 Εισαγωγικό κεφάλαιο 5 P Q P R Q P Q R R Q R P P Q P R Q R P και Q P P και Q Q P η Q P P η Q Q P η Q P και Q P και Q P η Q Αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 3. Κατασκευάσετε αληθείς ισοδυναμίες και συνεπαγωγές χρησιμοποιώντας τους παρακάτω ισχυρισμούς. Α: x = 1 Β: x = 1 Γ: x = 1 η x = 1 Δ: x( x 1) = 0 Ε: x <

24 Εισαγωγικό κεφάλαιο 6 4. Συμπληρώσετε τις στήλες του παρακάτω πίνακα (ενδεικτικά έχει συμπληρωθεί η τρίτη στήλη). Αν ο P είναι Και ο Q είναι Τότε ο P Q Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Α Τότε ο Q P Τότε ο P Q Τότε ο P η Q Τότε ο P και Q Αν ο P είναι Και ο Q είναι Τότε ο P η Q P Τότε ο P και Q P Τότε ο Pκαι Q Pη Q Τότε ο P η Q Pκαι Q Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Οι λύσεις των προτεινόμενων ασκήσεων βρίσκονται στη σελ. 49 του παρόντος τεύχους.

25 Εισαγωγικό κεφάλαιο 7 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός είναι ο ορισμός που έδωσε ο Cantor για τα σύνολα. Τα αντικείμενα από τα οποία αποτελείται ένα σύνολο τα ονομάζουμε στοιχεία του συνόλου. Ας δούμε όμως τι ορίζει σαν σύνολο ο Cantor. Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων : Οποιαδήποτε συλλογή αντικειμένων που ικανοποιεί τους περιορισμούς που θέτει παρακάτω ο ορισμός, μπορεί να θεωρηθεί σύνολο. Δεν χρειάζεται τα αντικείμενα να είναι ομοειδή. Για παράδειγμα: Ο αριθμός 7, το γράμμα θ και η πόλη Θεσσαλονίκη μπορούν να αποτελέσουν ένα σύνολο. Οι λέξεις σύνολο, συλλογή, αντικείμενο, διανόηση μπορούν να αποτελέσουν ένα σύνολο. Τα χρώματα του ουράνιου τόξου ή οι μαθητές ενός σχολείου μπορούν επίσης να αποτελέσουν ένα σύνολο. Που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας: Υπάρχουν αντικείμενα που μπορούμε να αντιληφθούμε με τις αισθήσεις μας, όπως ήχοι, εικόνες, οσμές, υλικά σώματα και άλλα που προέρχονται από τη διανόησή μας, όπως αριθμοί, σύμβολα, άτομα ενός χημικού στοιχείου, έννοιες. Όλα αυτά μπορούν να αποτελέσουν στοιχεία ενός συνόλου, αρκεί κάποιος από εμάς να τα θεωρήσει μέλη μιας ομάδας. Είναι καλά ορισμένα: Δεν επιτρέπεται ασάφεια στην περιγραφή των στοιχείων ενός συνόλου. Για παράδειγμα δεν μπορούμε να μιλάμε για το σύνολο των σημαντικότερων Ελλήνων ποιητών, αφού δεν είναι ορισμένο ποιοι είναι οι σημαντικότεροι Έλληνες ποιητές. Ομοίως δεν μπορούμε να αναφερόμαστε στο σύνολο των μικρών πραγματικών αριθμών ή στο σύνολο των οξέων ήχων.

26 Εισαγωγικό κεφάλαιο 8 Διακρίνονται το ένα από το άλλο: Δεν μπορεί σε ένα σύνολο να υπάρχει δύο ή περισσότερες φορές το ίδιο στοιχείο. Εμείς θα ασχοληθούμε κυρίως με σύνολα αριθμών ή γενικότερα μαθηματικών αντικειμένων λόγω της σχέσης τους με το γνωστικό μας αντικείμενο. Για να συμβολίσουμε (ονομάσουμε) ένα σύνολο στα Μαθηματικά, χρησιμοποιούμε συνήθως κάποιο κεφαλαίο γράμμα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου. Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει κάποια σύνολα αριθμών. Αυτά είναι: Το σύνολο των φυσικών αριθμών ( 0,1,,3,4,... ) το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα Ν. Το σύνολο των ακεραίων αριθμών ( όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους) το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα Ζ. Το σύνολο των ρητών αριθμών ( κάθε αριθμός που μπορεί να γραφεί σαν κλάσμα με αριθμητή και παρονομαστή ακέραιους αριθμούς) το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα Q Το σύνολο των πραγματικών αριθμών (κάθε αριθμός που έχετε μάθει μέχρι τώρα είναι στοιχείο αυτού του συνόλου) το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα R. Τα σύμβολα και Χρησιμοποιούμε το σύμβολο για να δηλώσουμε ότι κάποιο στοιχείο ανήκει σε κάποιο σύνολο και το σύμβολο για να δηλώσουμε ότι κάποιο στοιχείο δεν ανήκει σε κάποιο σύνολο. Για παράδειγμα, η μαθηματική πρόταση «x Α» διαβάζεται «το (στοιχείο) χ ανήκει στο ( σύνολο) Α» και σημαίνει ότι το χ είναι στοιχείο του συνόλου Α, ενώ η πρόταση «α Α» διαβάζεται «το α δεν ανήκει στο Α» και σημαίνει ότι το α δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α. Αν για παράδειγμα είχαμε ονομάσει Δ το σύνολο των άρτιων αριθμών, που είναι μεγαλύτεροι του 3 και μικρότεροι του 11, τότε οι παρακάτω ισχυρισμοί θα ήταν αληθείς. 4 Δ 3+ 7 Δ 3 Δ 1 Δ α Δ

27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 9 Παράσταση συνόλου Έχουμε δύο τρόπους με τους οποίους συνήθως παριστάνουμε ένα σύνολο. Μπορούμε είτε να αναγράψουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου, είτε να τα περιγράψουμε. Α) Αναγραφή των στοιχείων: Γράφουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου μεταξύ δύο αγκίστρων, χωρίζοντας τα με κόμματα. Παράδειγμα: Το σύνολο των άρτιων αριθμών, που είναι μεγαλύτεροι του 3 και Δ= 4, 6,8,10 μικρότεροι του 11 θα το γράφαμε { } Όταν το σύνολο έχει άπειρα ή παρά πολλά στοιχεία, τότε γράφουμε μερικά απ αυτά και αποσιωπούμε τα υπόλοιπα, αν από τα στοιχεία που έχουμε γράψει, είναι δυνατόν να συμπεράνουμε αυτά που αποσιωπήθηκαν. Α=, είναι φανερό ότι αναφερόμαστε στο σύνολο των γραμμάτων της Ελληνικής αλφαβήτου. Παράδειγμα: Όταν γράψουμε { α, βγδ,,,..., ω} Με το συμβολισμό Β= { 0,1,,3,...,50} μπορούμε να παραστήσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 50, ενώ με τον συμβολισμό B = { 0,1,,3,4,... } παριστάνουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών. Β) Περιγραφή των στοιχείων : Αν τα στοιχεία του συνόλου που θέλουμε να παραστήσουμε έχουν κάποια κοινή ιδιότητα, τότε μπορούμε να παραστήσουμε το σύνολο, αναφερόμενοι στην κοινή ιδιότητα των στοιχείων του. Παράδειγμα: Το σύνολο Β= { 0,1,,3,...,50}, με περιγραφή των στοιχείων του θα γράφονταν Β= { x R/ x 50} και θα διαβάζονταν «το σύνολο των φυσικών αριθμών χ, όπου χ μικρότερος ή ίσος του 50» Το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών, αν θέλαμε να το γράψουμε με περιγραφή, θα μπορούσαμε, χρησιμοποιώντας το σύνολο Ζ των ακεραίων, να γράψουμε x Ζ/ x 0 { } Ίσα σύνολα

28 Εισαγωγικό κεφάλαιο 30 Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα (Α=Β), όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Αν κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α είναι και στοιχείο του Β και αντιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α, τότε τα σύνολα Α και Β είναι ίσα. Παραδείγματα ίσων συνόλων: Α= { 1, } και Β={,1 } 1, και Β={ x R/0< x } Α= { } 1, και Β={ x R/ x λυση της εξισωσης x 3x+ = 0} Α= { } Α= { α,ο,η} και Β = { χ γράμμα της Ελληνικής αλφαβήτου/ χ φωνήεν της λέξης άποψη} Υποσύνολα συνόλου Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Όταν θέλουμε να γράψουμε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β, γράφουμε Α Β Παραδείγματα: Το σύνολο Α= { 1, } είναι υποσύνολο του συνόλου Β={ 1,, 3 }. Α Β

29 Εισαγωγικό κεφάλαιο 31 Το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών είναι υποσύνολο του συνόλου Ζ των ακεραίων αριθμών. ( Α Β ) Συνέπειες του ορισμού του υποσυνόλου κάποιου συνόλου είναι οι παρακάτω: Α Α, για κάθε σύνολο Α. Κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α, είναι στοιχείο του συνόλου Α, οπότε σύμφωνα με τον ορισμό του υποσυνόλου ισχύει Α Α Αν Α Β και Β Γ, τότε Α Γ Κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β γιατί το Α είναι υποσύνολο του Β. Κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Γ γιατί το Β είναι υποσύνολο του Γ. Επομένως κάθε στοιχείο του Α, ως στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Γ. Είναι δηλαδή το Α υποσύνολο του Γ, ή αλλιώς Α Γ Αν Α Β και Β Α, τότε Α=Β. Από τη σχέση Α Β συμπεραίνουμε ότι κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Αν υπήρχε έστω και ένα στοιχείο του Β που να μην είναι και στοιχείο του Α, τότε το Β δεν θα ήταν υποσύνολο του Α. Όμως γνωρίζουμε ότι Β Α, οπότε τα Α και Β έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Άρα Α=Β Το κενό σύνολο Κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν έχει στοιχεία. Το κενό σύνολο το συμβολίζουμε με δύο άγκιστρα χωρίς κανένα στοιχείο ανάμεσα σ αυτά { } ή με το σύμβολο. Κενό είναι για παράδειγμα το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης 0x = 5, αφού όπως έχουμε μάθει από την προηγούμενη τάξη, η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη. Έχουμε κάνει την παραδοχή ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.

30 Εισαγωγικό κεφάλαιο 3 Διαγράμματα Venn Για να απεικονίσουμε σύνολα και τις μεταξύ τους σχέσεις χρησιμοποιούμε διαγράμματα που ονομάζονται διαγράμματα Venn. Όταν εργαζόμαστε με σύνολα, θεωρούμε ένα σύνολο που ονομάζουμε βασικό σύνολο, τέτοιο ώστε, κάθε σύνολο που πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε να είναι υποσύνολο του βασικού συνόλου. Το βασικό σύνολο το συμβολίζουμε με Ω και το απεικονίζουμε χρησιμοποιώντας ένα ορθογώνιο. Κάθε στοιχείο του Ω βρίσκεται στο εσωτερικό του ορθογωνίου αυτού. Ω Κάθε υποσύνολο του Ω παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό του Ω. Ω Α Αν ένα σύνολο Α είναι υποσύνολο ενός συνόλου Β ( Α Β ), τότε το Α παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που βρίσκεται στο εσωτερικό της κλειστής καμπύλης η οποία παριστάνει το Β.

31 Εισαγωγικό κεφάλαιο 33 Ω Β Α Α Α Β Ω Πράξεις με σύνολα Πράξεις με σύνολα Ένωση συνόλων Έστω Ω ένα βασικό σύνολο και Α, Β δύο υποσύνολά του. Το σύνολο που σαν στοιχεία του έχει κάθε στοιχείο που ανήκει σε ένα τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β, ονομάζεται ένωση των Α και Β και συμβολίζεται με Α Β Αν για παράδειγμα είναι Ω= { 1,,3, 4,5,6,7}, Α= { 1,3,5, 7} και { 3, 4, 7} Α Β= { 1, 3, 4, 5, 7} Β= τότε Το 1 είναι στοιχείο του Α Β, επειδή είναι στοιχείο του συνόλου Α. Το 3 είναι στοιχείο του Α Β, επειδή είναι στοιχείο του συνόλου Α (θα μπορούσαμε βέβαια να ισχυριστούμε ότι είναι στοιχείο του Α Β επειδή είναι στοιχείο του Β) Το 4 είναι στοιχείο του Α Β, επειδή είναι στοιχείο του συνόλου Β. Το 5 είναι στοιχείο του Α Β, επειδή είναι στοιχείο του συνόλου Α. Το 7 είναι στοιχείο του Α Βείτε ως στοιχείο του Α είτε ως στοιχείο του Β. Το και το 6 αν και στοιχεία του Ω δεν είναι στοιχεία του Α Β, αφού δεν ανήκουν ούτε στο Α ούτε στο Β. Αν θέλαμε να περιγράψουμε την ένωση δύο συνόλων Α και Β θα γράφαμε: Α Β= { x Ω/ x Α η x Β } Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε μια απεικόνιση της ένωσης δύο συνόλων Α, Β.

32 Εισαγωγικό κεφάλαιο 34 Τομή συνόλων Έστω Ω ένα βασικό σύνολο και Α, Β δύο υποσύνολά του. Το σύνολο που σαν στοιχεία του έχει κάθε στοιχείο που ανήκει και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β, ονομάζεται τομή των Α και Β και συμβολίζεται με Α Β Ας είναι όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα Ω= { 1,,3, 4,5,6,7}, Α= { 1,3,5, 7} και Β= { 3, 4, 7}. Στοιχεία του συνόλου Α Β είναι το 3 και το 7, αφού μόνο αυτά είναι στοιχεία τόσο του Α όσο και του Β. Α Β= 3, 7 Είναι δηλαδή { } Αν θέλαμε να περιγράψουμε την τομή δύο συνόλων Α και Β θα γράφαμε: Α Β= x Ω/ x Α και x Β { } Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε μια απεικόνιση της τομής δύο συνόλων Α, Β.

33 Εισαγωγικό κεφάλαιο 35 Όπως παρατηρούμε με τη βοήθεια των δύο διαγραμμάτων του Venn που αφορούν την ένωση και την τομή των συνόλων Α και Β ισχύει: Α Β Α Α Β Ω και Α Β Β Α Β Ω Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς που μόλις μάθατε, εξηγήστε γιατί ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις για οποιαδήποτε σύνολα Α και Β, όπου Α και Β είναι υποσύνολα ενός βασικού συνόλου Ω. Συμπλήρωμα συνόλου Αν Α είναι υποσύνολο ενός βασικού συνόλου Ω, τότε συμπλήρωμα του Α ονομάζεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α Αν είναι Ω= { 1,,3, 4,5,6,7}, Α= { 1,3,5, 7} και { 3, 4, 7} τότε Α= {, 4,6} και Β= { 1,, 5, 6} Β=, Αν θέλαμε να περιγράψουμε το συμπλήρωμα ενός συνόλου Α θα γράφαμε: Α= x Ω/ x Α { } Στο παρακάτω διάγραμμα απεικονίζεται το συμπλήρωμα ενός συνόλου Α.

34 Εισαγωγικό κεφάλαιο 36 Αν είναι Ω= { 1,,3, 4,5,6,7}, Α= { 1,3,5, 7} και { 3, 4, 7} Α Β, Α Β, Α Β, Α Β ( ) ( ) Β= να βρείτε τα σύνολα: Τι παρατηρείτε; Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς που μάθατε μπορείτε να εξηγήσετε τις παρατηρήσεις σας;

35 Εισαγωγικό κεφάλαιο 37

36 Εισαγωγικό κεφάλαιο 38 Απαντήσεις στις ερωτήσεις κατανόησης I , π, Ν Ζ Q R Ν ονομάζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών. Ν= 0,1,,3, 4,... { } Ζ ονομάζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών. Ζ= 0, 1,1,,, 3,3, 4, 4,... { } Q ονομάζουμε το σύνολο των ρητών αριθμών. Ρητοί ονομάζονται εκείνοι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν στη μορφή α, όπου οι α και β β είναι ακέραιοι αριθμοί με β 0 Όλοι οι αριθμοί της πρώτης γραμμής του πίνακα είναι πραγματικοί αριθμοί, οπότε σημειώνουμε όλα τα τετραγωνάκια της τελευταίας γραμμής του πίνακα.

37 Εισαγωγικό κεφάλαιο 39 Στη μορφή α, όπου οι α και β είναι ακέραιοι αριθμοί με β 0 μπορούν να β γραφούν οι αριθμοί: 3,5 =, 0 =, =, , 3 =, 3 5, = 10 = και 5 = 1 1 Ακέραιοι είναι οι αριθμοί 0, 0 = 4, 100 = 10 και Φυσικοί είναι το 0, το = 4 και το =. Οι αριθμοί που είναι πραγματικοί αριθμοί αλλά δεν είναι ρητοί ονομάζονται άρρητοι αριθμοί. 3.

38 Εισαγωγικό κεφάλαιο 40 II. 1. Α= { x Ν / x διαιρέτης του 16 }. Τα στοιχεία του συνόλου Α είναι οι φυσικοί αριθμοί ( x Ν ) οι οποίοι είναι διαιρέτες του 16. Αυτοί είναι οι αριθμοί 1,, 4, 8 και 16. Α= 1,, 4,8,16 Άρα, { } Β= { x Ν / x διαιρέτης του 4 }. Τα στοιχεία του συνόλου Β είναι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι είναι διαιρέτες του 4. Αυτοί είναι οι αριθμοί 1,, 3, 4, 6, 8,1 και 4. Β= 1,,3, 4,6,8,1, 4 Άρα, { } Η ένωση των συνόλων Α και Β ( Α Β ) είναι το σύνολο των στοιχείων του Ν (στην άσκηση αυτή το βασικό σύνολο είναι το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών) τα οποία είναι στοιχεία ενός τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β. Επομένως, Α Β= { 1,,3, 4,6,8,1,16, 4} Η τομή των συνόλων Α και Β ( Α Β ) είναι το σύνολο των στοιχείων του Ν τα οποία είναι στοιχεία και του συνόλου Α και του συνόλου Β. Επομένως, Α Β= { 1,, 4,8}. α) Η ένωση των συνόλων Α και Β ( Α Β ) είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω, τα οποία είναι στοιχεία ενός τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β. Επομένως, στοιχεία του Α Β είναι εκείνα τα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου που είναι στοιχεία του Α (όλα τα φωνήεντα) ή του Β (τα σύμφωνα). Άρα Α Β=Ω β) Η τομή των συνόλων Α και Β ( Α Β ) είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω τα οποία είναι στοιχεία και του συνόλου Α και του συνόλου Β. Επομένως στοιχεία του Α Β είναι εκείνα τα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου που είναι και φωνήεντα ( για να είναι στοιχεία του Α) αλλά και σύμφωνα ( για να είναι στοιχεία του Β). Δεν υπάρχουν βέβαια γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου που να είναι ταυτόχρονα και φωνήεντα και σύμφωνα. Άρα, Α Β= γ) Το συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν είναι στοιχεία του Α, που δεν είναι δηλαδή φωνήεντα. Επομένως το συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο των συμφώνων του ελληνικού αλφαβήτου, είναι δηλαδή το Β. Άρα, Α=Β

39 Εισαγωγικό κεφάλαιο 41 δ) Β=Α Αιτιολόγησε, όπως κάναμε στα προηγούμενα ερωτήματα, γιατί το συμπλήρωμα του Β είναι το Α. III. 1. Η τομή δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που είναι στοιχεία και του Α και του Β. α) Α Α Β Για να είναι το Α υποσύνολο του Α Β, πρέπει κάθε στοιχείο του Α να είναι και στοιχείο του Α Β, δηλαδή κάθε στοιχείο του Α να είναι στοιχείο και του Α και του Β. Αυτό θα συνέβαινε μόνο στην περίπτωση που κάθε στοιχείο του Α, θα ήταν και στοιχείο του Β, δηλαδή μόνο στην περίπτωση που το Α ήταν υποσύνολο του Β. Ο Α Α Β δεν είναι σωστός επειδή δεν ισχύει για οποιαδήποτε Α, Β. β) Β Α Β Κι αυτή η πρόταση είναι λάθος για τους ίδιους λόγους που αναφέραμε στο προηγούμενο ερώτημα. Σε ποια ειδική περίπτωση θα ήταν σωστός ο παραπάνω ; γ) Α Β Α Κάθε στοιχείο του Α Β είναι στοιχείο του Α, άρα το Α Β είναι υποσύνολο του Α. Ο είναι σωστός. δ) Α Β Β Κάθε στοιχείο του Α Β είναι στοιχείο του Β, άρα το Α Β είναι υποσύνολο του Β. Η πρόταση είναι σωστή. Ας επαληθεύσουμε τις απαντήσεις που δώσαμε με τη βοήθεια των παρακάτω διαγραμμάτων του Venn. Πρώτη περίπτωση: Τα Α και Β έχουν κάποια κοινά στοιχεία, αλλά δεν είναι το Α υποσύνολο του Β, ούτε το Β υποσύνολο του Α.

40 Εισαγωγικό κεφάλαιο 4 Παρατηρούμε ότι το Α Β είναι υποσύνολο του Α, όπως είναι και υποσύνολο του Β. Το αντίστροφο δεν ισχύει Δεύτερη περίπτωση: Το Β είναι υποσύνολο του Α Τρίτη περίπτωση: Το Α είναι υποσύνολο του Β. Το Α Β ταυτίζεται ( είναι ίσο) με το Β. Ισχύει ότι το Α Β είναι υποσύνολο του Α, όπως είναι και υποσύνολο του Β. Ειδικά σ αυτή την περίπτωση ισχύει Β Α Β ( επειδή είναι Β=Α Β και κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του) Το Α Β ταυτίζεται ( είναι ίσο) με το Α. Ισχύει ότι το Α Β είναι υποσύνολο του Α, όπως είναι και υποσύνολο του Β. Ειδικά σ αυτή την περίπτωση ισχύει Α Α Β ( επειδή είναι Α=Α Β και κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του) Τέταρτη περίπτωση: Τα Α και Β δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο.

41 Εισαγωγικό κεφάλαιο 43 Σ αυτή την περίπτωση Α Β=. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, επομένως ισχύει Α Β Α, όπως ισχύει και Α Β Β. Τα σύνολα Α και Β θα ήταν υποσύνολα του Α Β μόνο αν ήταν κενά σύνολα.. Η ένωση δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β. α) Α Α Β Κάθε στοιχείο του Α είναι στοιχείο του Α Β, αφού ανήκει σε ένα από τα Α και Β ( στην περίπτωσή μας ανήκει στο Α). Άρα, ο Α Α Β είναι σωστός. β) Α Β Β Στοιχεία του Α Β είναι εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα Α και Β. Όσα απ αυτά ανήκουν στο Α δεν είναι βέβαιο ότι ανήκουν και στο Β. Επομένως το Α Β δεν είναι υποσύνολο του Β για οποιαδήποτε σύνολα Α και Β. Αυτό θα συνέβαινε μόνο αν κάθε στοιχείο του Α ήταν και στοιχείο του Β, δηλαδή μόνο στην περίπτωση που ήταν το Α υποσύνολο του Β. Άρα, ο Α Β Β δεν είναι σωστός. γ) Α Β Α

42 Εισαγωγικό κεφάλαιο 44 Κι αυτή η πρόταση είναι λάθος για τους ίδιους λόγους που αναφέραμε στο προηγούμενο ερώτημα. Σε ποια ειδική περίπτωση θα ήταν σωστός ο παραπάνω ; δ) Β Α Β Κάθε στοιχείο του Β είναι στοιχείο του Α Β, αφού ανήκει σε ένα από τα Α και Β ( στην περίπτωσή μας ανήκει στο Β). Άρα, ο Β Α Β είναι σωστός. Πρόταση: Επαληθεύσετε τις απαντήσεις που δώσαμε με τη βοήθεια διαγραμμάτων του Venn. IV. 1. Αν είναι Α ένα υποσύνολο ενός βασικού συνόλου Ω, τότε το συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο των σημείων που ανήκουν στο Ω και δεν ανήκουν στο Α. Το συμπλήρωμα του Α το ονομάζουμε Α. α) Το συμπλήρωμα του κενού συνόλου είναι το σύνολο των σημείων του Ω που δεν ανήκουν στο κενό σύνολο. Αφού το κενό σύνολο δεν έχει κανένα σημείο, συμπλήρωμα του είναι το σύνολο των σημείων του Ω, δηλαδή =Ω β) Το συμπλήρωμα του βασικού συνόλου Ω είναι το σύνολο των σημείων του Ω, τα οποία δεν ανήκουν στο Ω, δηλαδή είναι το κενό σύνολο. Άρα Ω= γ) Σύμφωνα με τον ορισμό του συμπληρώματος, συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο των σημείων του Ω τα οποία δεν ανήκουν στο Α. Αφού δεν ανήκουν στο Α ανήκουν στο Α, άρα ( Α ) =Α.

43 Εισαγωγικό κεφάλαιο 45 Αν είναι Α και Β δύο υποσύνολα ενός βασικού συνόλου Ω, τότε το Α ονομάζεται υποσύνολο του Β αν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. α) Το Α είναι υποσύνολο του Β, οπότε κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Επομένως όλα τα στοιχεία του Α είναι και στοιχεία του Β, δηλαδή όλα τα στοιχεία του Α είναι στοιχεία της τομής των Α και Β. Στοιχεία που δεν ανήκουν στο Α δεν μπορούν να ανήκουν στην τομή των Α και Β, αφού στοιχεία του Α Β είναι εκείνα που ανήκουν και στο Α και στο Β. Επομένως, Α Β Α Β=Α. β) Ένωση των Α και Β είναι το σύνολο των σημείων του Ω που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα Α και Β. Το Α όμως είναι υποσύνολο του Β, οπότε όλα τα στοιχεία του Α είναι και στοιχεία του Β. Επομένως, Α Β Α Β=Β.

44 Εισαγωγικό κεφάλαιο 46 Α. Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. 5 { 1,3,7,15}. 3 { x R/ ( x 3)( x+ 3) = 0} 3. 3 { x N/ ( x 3)( x+ 3) = 0} 4. Το σύνολο { 0,1,,3,...,50 } είναι το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών. 5. Το σύνολο { x R/ x Q} 6. { 1, 3} = { x R / x 1 = 0 η x 3= 0} 7. { 5,10} = { x Z / x 5 = 0 και x 10 = 0} είναι το σύνολο των άρρητων αριθμών. 8. R Z 9. N Z 10. R Z ή N Z 11. R Z και N Z 1. Α Q Α R 13. Α N Α R x/ x Ελληνας x/ x Ε υρωπαίος x/ x Bαλκάνιος x/ x Ελληνας 14. { } { } 15. { } { } 16. = { 0} 17. Α για οποιοδήποτε σύνολο Α Ω 0. Α Α 1. Αν Α Β και Α Γ, τότε Β Γ. Αν Α Β και Β Α, τότε Β =Α 3. Αν Α =Β, τότε Α Β και Β Α 4. Α=Β Α Β και Β Α Αν Α Ω και Β Ω, τότε: Α Β= x Α και x Β 6. Α= { x Ω/ x Α } 7. Α Β Α 8. Β Α Β 9. Α Β Α 5. { }

45 Εισαγωγικό κεφάλαιο Β Α Β 31. Α Β Α Β 3. Α Β Α 33. Α Α = και Α Α =Ω 34. Αν Α Β και Α Β, τότε Β =Ω Β. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Αν είναι Ω= { 1,,3,5,8,13 }, Α= { 1, 3,8} και { 3,5,8} σύνολα : α) Α Β β) Α Β γ) Α δ) Β Β= να βρείτε τα ε) Α Β ζ) Α Β η) ( Α Β ) θ) ( Α Β ) Όπως παρατηρείτε ισχύει Α Β = ( Α Β ) και Α Β = ( Α Β ) Αυτές οι δύο ισότητες ισχύουν για κάθε ζεύγος υποσυνόλων του Ω. Αιτιολογήσετε γιατί συμβαίνει αυτό.. Δίνονται με περιγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα: x Ω= { x Z/0< x< 11}, Α= x Ω/ Z x / x 1 Γ = x Β/ x Β Β= { Ω + Α } και { } α) Να γραφούν τα παραπάνω σύνολα με περιγραφή των στοιχείων τους. β) Να αντιστοιχίσετε σε καθένα από τα σύνολα της πρώτης στήλης το ίσο του από τη δεύτερη στήλη.

46 Εισαγωγικό κεφάλαιο 48 Στήλη 1 Στήλη Α Α Β Β Ω ( Β ) Α Β Α Γ Β Γ Α Β Β Γ ( Α Β ) ( Α Β ) Γ 3. Aν Α, Β, Γ είναι υποσύνολα ενός βασικού συνόλου Ω, με τη βοήθεια διαγραμμάτων Venn να επαληθεύσετε τις ισότητες i) A (B Γ)=(Α Β) (Α Γ) ii) A (Β Γ)=(Α Β) (Α Γ). Οι λύσεις των προτεινόμενων ασκήσεων βρίσκονται στη σελ. 57 του παρόντος τεύχους.

47 Εισαγωγικό κεφάλαιο Έστω οι ισχυρισμοί: P: Ο Άρης είναι Έλληνας. Q: Ο Άρης είναι Βαλκάνιος. R: Ο Άρης είναι Ευρωπαίος. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς και ποιοι είναι ψευδείς; P Q. Αληθής. Αν ο Άρης είναι Έλληνας τότε είναι και Βαλκάνιος. Q P. Ψευδής. Αν ο Άρης είναι Βαλκάνιος, δεν είναι βέβαιο ότι είναι Έλληνας.(Δεν είναι Έλληνας ο κάθε Βαλκάνιος.) P Q. Ψευδής. Οι ισχυρισμοί θα ήταν ισοδύναμοι αν ήταν αληθείς οι συνεπαγωγές P Q και Q P. Ο Q P ήταν ψευδής, άρα οι ισχυρισμοί δεν είναι ισοδύναμοι. P R. Αληθής. Αν ο Άρης είναι Έλληνας τότε είναι και Ευρωπαίος. R P. Ψευδής. Αν ο Άρης είναι Βαλκάνιος, δεν είναι βέβαιο ότι είναι Έλληνας. (Δεν είναι Έλληνας ο κάθε Ευρωπαίος). P η Q R. Αληθής. Ο P η Q είναι αληθής όταν ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς P, Q είναι αληθής. Έστω ότι είναι αληθής ο P, έστω δηλαδή ότι ο Άρης είναι Έλληνας.Τότε είναι και Ευρωπαίος, οπότε είναι αληθής ο R. Αν πάλι είναι αληθής ο Q, αν δηλαδή ο Άρης είναι Βαλκάνιος( δεν αποκλείεται να είναι και Έλληνας, αλλά δεν μας ενδιαφέρει αυτό), τότε είναι και Ευρωπαίος, οπότε είναι αληθής ο R Άρα, η συνεπαγωγή P η Q R είναι αληθής. P η R Q. Ψευδής.

48 Εισαγωγικό κεφάλαιο 50 Ο P η R είναι αληθής όταν ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς P, R είναι αληθής. Αν λοιπόν είναι αληθής ο P, αν δηλαδή ο Άρης είναι Έλληνας, τότε είναι και Βαλκάνιος, δηλαδή είναι αληθής ο Q. Αν όμως, ο Άρης είναι Ευρωπαίος, χωρίς να είναι Βαλκάνιος (αν για παράδειγμα είναι Ιταλός), τότε ενώ είναι αληθής ο P η R, δεν είναι αληθής ο Q.Άρα η συνεπαγωγή P η R Q δεν είναι αληθής. R η Q P. Ψευδής. Αν ο Άρης είναι Ευρωπαίος, χωρίς να είναι Έλληνας( αν για παράδειγμα είναι Ιταλός), τότε ενώ είναι αληθής ο R η Q, δεν είναι αληθής ο P. P και Q R. Αληθής. Ο P και Q είναι αληθής αν και μόνο αν είναι αληθής και ο P και ο Q. Αν ο Άρης είναι και Έλληνας και Βαλκάνιος, αν δηλαδή είναι Έλληνας, τότε είναι και Ευρωπαίος. P και R Q Αληθής. Ο P και R είναι αληθής αν και μόνο αν είναι αληθής και ο P και ο R. Αν ο Άρης είναι και Έλληνας και Ευρωπαίος, αν δηλαδή είναι Έλληνας, τότε είναι και Βαλκάνιος. R και Q P. Ψευδής. Αν ο Άρης είναι και Βαλκάνιος και Ευρωπαίος, αν δηλαδή είναι Βαλκάνιος, δεν είναι σίγουρο ότι είναι Έλληνας.. Έστω οι ισχυρισμοί: P: x < 3, Q: x < 5 και R: x = 8 Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι αληθείς και ποιοι είναι ψευδείς; P Q. Αληθής. Έστω x < 3. Ισχύει 3<5. Άρα x < 5

49 Εισαγωγικό κεφάλαιο 51 P R. Ψευδής. Ο x = 8 είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό x = 4. Αν είναι x < 3, τότε προφανώς δεν είναι x = 4. Q P. Ψευδής. Έστω x < 5. Δεν είναι πάντα x < 3. Για παράδειγμα, αν x = 4, ενώ είναι x < 5, δεν ισχύει x < 3 Q R. Ψευδής. Αν είναι x < 5, δεν είναι σίγουρο ότι είναι x = 4 R Q. Αληθής. Αν είναι x = 4, τότε x < 5 R P. Ψευδής. Αν είναι x = 4, τότε δεν ισχύει x < 3 P Q. Ψευδής. Για να είναι αληθής η ισοδυναμία P Q, πρέπει να είναι αληθείς οι συνεπαγωγές P Q και Q P. Όπως είδαμε παραπάνω, η συνεπαγωγή Q P είναι ψευδής. Επομένως και η ισοδυναμία P Q είναι ψευδής. P R. Ψευδής. Για να είναι αληθής η ισοδυναμία P R, πρέπει να είναι αληθείς οι συνεπαγωγές P R και R P. Όπως είδαμε παραπάνω, και οι δύο αυτές ισοδυναμίες είναι ψευδείς, άρα ψευδής είναι και η συνεπαγωγή P R. Q R Ψευδής. Για να είναι αληθής η ισοδυναμία Q R, πρέπει να είναι αληθείς οι συνεπαγωγές Q R και R Q. Όπως είδαμε παραπάνω, η συνεπαγωγή Q R είναι ψευδής. Επομένως και η ισοδυναμία Q R είναι ψευδής. P και Q P. Αληθής. Έστω ότι είναι αληθής ο P και Q, έστω δηλαδή ότι ισχύει x < 3 και x < 5. Για να ισχύουν και οι δύο ισχυρισμοί πρέπει να είναι το χ ένας πραγματικός αριθμός μικρότερος από το 3, οπότε η πρόταση P ( x < 3 ) είναι αληθής, άρα και η συνεπαγωγή P και Q P είναι αληθής.

50 Εισαγωγικό κεφάλαιο 5 P και Q Q. Αληθής. Όπως είδαμε στο προηγούμενο ερώτημα αν ισχύει x < 3 και x < 5, τότε είναι x < 3. Αν όμως είναι το χ ένας πραγματικός αριθμός μικρότερος από το 3, θα είναι μικρότερος και από το 5, οπότε η πρόταση P είναι αληθής, άρα και η συνεπαγωγή P και Q Q είναι αληθής. P η Q P. Ψευδής. Για να είναι αληθής ο P η Q πρέπει ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς P, Q να είναι αληθής. Έστω ότι είναι αληθής ο P ( x < 3 ). Τότε ο P είναι αληθής. Αν όμως είναι αληθής ο Q ( x < 5 ), τότε δεν είναι σίγουρο ότι είναι αληθής ο P ( x < 3 ).Επομένως η συνεπαγωγή P η Q P δεν είναι αληθής. P η Q Q. Αληθής. Για να είναι αληθής ο P η Q πρέπει ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς P ( x < 3 ), Q ( x < 5 ) να είναι αληθής. Όποιος από τους δύο κι αν είναι αληθής ο πραγματικός αριθμός χ είναι μικρότερος από 5, οπότε ισχύει ο Q. Άρα η συνεπαγωγή P η Q Q είναι αληθής. P η Q P και Q. Ψευδής. Για να είναι αληθής ο P η Q, πρέπει ένας τουλάχιστον από τους P ( x < 3 ), Q ( x < 5 ) να είναι αληθής. Για να είναι αληθής ο P και Q πρέπει να είναι αληθείς και οι δύο ισχυρισμοί. Αν είναι αληθής ο Q, αλλά όχι ο P, ( αυτό συμβαίνει όταν είναι x < 5, αλλά όχι x < 3 ) τότε, ενώ ο P η Q είναι αληθής, ο P και Q είναι ψευδής. Επομένως η συνεπαγωγή P η Q P και Q είναι ψευδής. P και Q P η Q. Αληθής. Προφανώς, αν είναι αληθείς και οι δύο ισχυρισμοί, τότε θα είναι αληθής και ένας τουλάχιστον απ αυτούς. Άρα η συνεπαγωγή P και Q P η Q είναι αληθής.

51 Εισαγωγικό κεφάλαιο Κατασκευάσετε αληθείς ισοδυναμίες και συνεπαγωγές χρησιμοποιώντας τους παρακάτω ισχυρισμούς: Α: x = 1 Β: x = 1 Γ: x = 1 η x = 1 Δ: x( x 1) = 0 Ε: x < x x x = 1 1= 0 1 = 0 ( x )( x ) = 0 x 1= 0 η x+ 1= 0 x= 1 η x= 1 Άρα, ο Α είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό Γ. ( ) x x 1 = 0 x= 0 η x 1= 0 x= 0 η x= 1 Άρα ο Δ είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό x = 0 η x = 1. Σχέσεις που υπάρχουν ανάμεσα στους Α,Β,Γ,Δ,Ε. Αν ισχύει ο Β τότε ισχύει και καθένας από τους άλλους τέσσερις ισχυρισμούς. Είναι αληθείς επομένως οι συνεπαγωγές: Β Α, Β Γ, Β Δ και Β Ε. Όποιος από τους Α, Β, Γ, Δ κι αν είναι αληθής, είναι αληθής και ο Ε. Είναι αληθείς επομένως οι συνεπαγωγές: Α Ε, Β Ε, Γ Ε, Δ Ε.Όπως είδαμε και στην αρχή αληθής είναι και η ισοδυναμία Α Γ

52 Εισαγωγικό κεφάλαιο Συμπληρώσετε τις στήλες του παρακάτω πίνακα. ( ενδεικτικά έχει συμπληρωθεί η τρίτη στήλη) Αν ο P είναι Και ο Q είναι Τότε ο P Q Τότε ο Q P Τότε ο P Q Τότε ο P η Q Τότε ο P και Q Α Α Α Α Α Α Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α Α Ψ Ψ Αν ο ισχυρισμό ς P είναι Και ο ισχυρισμό ς Q είναι Τότε ο P η Q P Τότε ο P και Q P Τότε ο Pκαι Q Pη Q Τότε ο P η Q Pκαι Q Α Α Α Α Α Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Α Α Q P Μια συνεπαγωγή είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση που η υπόθεση είναι αληθής και το συμπέρασμα ψευδές. Άρα η συνεπαγωγή Q P είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση που είναι ο Q αληθής και ο P ψευδής. Αν ο P είναι Και ο Q είναι Τότε ο Q P Α Α Α Α Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α P Q. Η ισοδυναμία P Q είναι αληθής αν και μόνο αν είναι αληθείς οι συνεπαγωγές P Q και Q P. Αν ο Και ο Τότε ο Τότε ο Τότε ο P είναι Q είναι P Q Q P P Q Α Α Α Α Α

53 Εισαγωγικό κεφάλαιο 55 Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Α P η Q. Ο P η Q είναι αληθής αν ένας τουλάχιστον από τους P και Q είναι αληθής. Αν ο P είναι Και ο Q είναι Τότε ο P η Q Α Α Α Α Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ P και Q. Ο P και Q είναι αληθής αν και μόνο αν είναι αληθείς οι ισχυρισμοί P και Q. Αν ο P είναι Και ο Q είναι Τότε ο P και Q Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ P η Q P. Μια συνεπαγωγή είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση που η υπόθεση είναι αληθής και το συμπέρασμα ψευδές. Άρα η συνεπαγωγή P η Q P είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση που είναι ο P η Q αληθής και ο P ψευδής. Αν ο P είναι Και ο Q είναι Τότε ο P η Q Τότε ο P η Q P Α Α Α Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α P και Q P. Μια συνεπαγωγή είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση που η υπόθεση είναι αληθής και το συμπέρασμα ψευδές. Άρα η συνεπαγωγή P και Q P είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση που είναι ο P και Qαληθής και ο P ψευδής.

54 Εισαγωγικό κεφάλαιο 56 Αν ο P είναι Και ο Q είναι Τότε ο P και Q Τότε ο P και Q P Α Α Α Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Pκαι Q Pη Q. Μια συνεπαγωγή είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση που η υπόθεση είναι αληθής και το συμπέρασμα ψευδές. Άρα η συνεπαγωγή Pκαι Q Pη Q είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση που είναι ο P και Qαληθής και ο Pη Q ψευδής. Αν ο P είναι Και ο Q είναι Τότε ο P και Q Τότε ο P η Q Τότε ο Pκαι Q Pη Q Α Α Α Α Α Α Ψ Ψ Α Α Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α P η Q Pκαι Q Μια συνεπαγωγή είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση που η υπόθεση είναι αληθής και το συμπέρασμα ψευδές. Άρα η συνεπαγωγή P η Q Pκαι Q είναι ψευδής μόνο στην περίπτωση που είναι ο Pη Q αληθής και ο P και Qψευδής. Αν ο P είναι Και ο Q είναι Τότε ο P η Q Τότε ο P και Q Τότε ο P η Q Pκαι Q Α Α Α Α Α Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α. Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

55 Εισαγωγικό κεφάλαιο { 1,3,7,15}. Σωστό. Ο αριθμός 5 δεν είναι στοιχείο του συνόλου { 1,3,7,15 }. 3 { x R/ ( x 3)( x+ 3) = 0}. Σωστό. Στοιχεία του συνόλου { x R/ ( x 3)( x 3) 0} οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει ( x )( x ) ( x 3)( x+ 3) = 0 x 3= 0 η x+ 3= 0 x= 3 η x= 3 + = είναι εκείνοι = 0. Ένα γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες του γινομένου είναι ίσος με μηδέν. Επομένως στοιχεία του συνόλου { x R/ ( x 3)( x+ 3) = 0} είναι οι αριθμοί 3 και -3. Άρα το 3 ανήκει στο { x R/ ( x 3)( x+ 3) = 0} 3. 3 { x N/ ( x 3)( x+ 3) = 0}. Λάθος. Στοιχεία του συνόλου { x N/ ( x 3)( x 3) 0} οι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει ( x )( x ) + = είναι εκείνοι = 0. Ο αριθμός -3 δεν είναι φυσικός αριθμός και επομένως δεν είναι x N/ x 3 x+ 3 = 0 δυνατόν να ανήκει στο σύνολο { ( )( ) } 4. Το σύνολο { 0,1,,3,...,50 } είναι το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών. ı Λάθος. Το σύνολο { 0,1,,3,...,50 } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών οι οποίοι είναι μικρότεροι ή ίσοι του 50. Αν θέλαμε να γράψουμε με αναγραφή το σύνολο των φυσικών έπρεπε να γράψουμε { 0,1,,3,... } 5. Το σύνολο { x R/ x Q} είναι το σύνολο των άρρητων αριθμών. Σωστό. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών ( x R ) οι οποίοι δεν είναι ρητοί ( x Q ) είναι το σύνολο των άρρητων αριθμών. 6. { 1, 3} { x R / x 1 0 η x 3 0} = = =. ı Σωστό.

56 Εισαγωγικό κεφάλαιο 58 Το σύνολο { x R/ x 1 0 η x 3 0} = =, έχει για στοιχεία του εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει x 1= 0 η x 3= 0, δηλαδή το 1 και το { 5,10} { x Z / x 5 0 και x 10 0} Το σύνολο { x Z/ x 5 0 και x 10 0} = = =. ı Λάθος. = =, έχει για στοιχεία του εκείνους τους ακέραιους αριθμούς ( x Z ) για τους οποίους ισχύει x 5= 0 και x 10 = 0. Δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός για τον οποίο να ισχύει ταυτόχρονα x 5= 0 και x 10 = 0. x Z/ x 5= 0 και x 10 = 0 είναι το κενό Επομένως το σύνολο { } σύνολο και όχι το σύνολο { 5,10 } 8. R Z. ı Λάθος. Ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι δεν είναι ακέραιοι. ( Για 1 παράδειγμα οι αριθμοί, και,4 είναι πραγματικοί αριθμοί, χωρίς να 3 είναι ακέραιοι.). Επομένως το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν είναι υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων. Αυτό που ισχύει είναι ότι το σύνολο των ακεραίων είναι υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών. 9. N Z. ı Σωστό. Κάθε φυσικός αριθμός είναι και ακέραιος. 10. R Z ή N Z. ı Σωστό. Για να είναι αληθής (σωστή) η διάζευξη δύο ισχυρισμών, πρέπει να είναι σωστός ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς. Ο N Z είναι σωστός, οπότε σωστή είναι και η διάζευξη R Z ή N Z. 11. R Z και N Z ı Λάθος. Για να είναι αληθής (σωστή) η σύζευξη δύο ισχυρισμών, πρέπει να είναι σωστοί και οι δύο ισχυρισμοί. Ο R Z είναι λάθος, οπότε λάθος είναι και η σύζευξη R Z και N Z.

57 Εισαγωγικό κεφάλαιο Α Q Α R ı Σωστό. Αν είναι το Α υποσύνολο του συνόλου Q των ρητών αριθμών, τότε κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Q, δηλαδή κάθε στοιχείο του Α είναι ρητός αριθμός, οπότε είναι και πραγματικός (επειδή Q R). Επομένως, αν είναι αληθής ο Α Q, είναι αληθής και ο Α R, άρα είναι αληθής η συνεπαγωγή Α Q Α R 13. Α N Α R. ı Λάθος. Για να είναι αληθής η ισοδυναμία Α N Α R, πρέπει να είναι αληθείς οι συνεπαγωγές Α N Α R και Α R Α N. Η συνεπαγωγή Α N Α R είναι αληθής ( Η εξήγηση είναι όμοια με την εξήγηση του προηγούμενου ερωτήματος), δεν είναι όμως αληθής η συνεπαγωγή Α R Α N γιατί μπορεί να υπάρξει στοιχείο του Α το οποίο να είναι πραγματικός αριθμός χωρίς να είναι όμως και φυσικός. 14. { x/ x Ελληνας } { x/ x Ε υρωπαίος} Σωστό. Κάθε στοιχείο του συνόλου { x/ x Ελληνας}, δηλαδή κάθε Έλληνας, είναι και Ευρωπαίος, δηλαδή στοιχείο του συνόλου { x/ x Ε υρωπαίος} 15. { x/ x Bαλκάνιος } { x/ x Ελληνας}. ı Λάθος. Κάθε Βαλκάνιος δεν είναι Έλληνας. 16. = { 0} ı Λάθος. Το σύνολο { 0 } δεν είναι το κενό σύνολο, αφού έχει ένα στοιχείο, το Α για οποιοδήποτε σύνολο Α. ı Σωστό. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. 18. ı Σωστό. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, άρα είναι υποσύνολο και του κενού συνόλου. 19. Ω ı Σωστό. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, άρα και του βασικού συνόλου Ω 0. Α Α ı Σωστό.

58 Εισαγωγικό κεφάλαιο 60 Κάθε στοιχείο του Α, είναι στοιχείο του Α, οπότε από τον ορισμό του υποσυνόλου προκύπτει ότι το Α είναι υποσύνολο του εαυτού του. 1. Αν Α Β και Α Γ, τότε Β Γ. ı Λάθος. Γνωρίζουμε ότι κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β, όπως και το ότι κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Γ, αλλά δεν γνωρίζουμε αν τα στοιχεία του Β είναι και στοιχεία του Γ. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι η συνεπαγωγή Α Β και Α Γ Β Γ είναι λάθος με τη βοήθεια ενός αντιπαραδείγματος. Έστω ότι είναι Α= { 1, }, Β= { 1,, 3} και Γ οποιοδήποτε σύνολο που έχει για στοιχεία του τους αριθμούς 1 και, αλλά όχι τον αριθμό 3 (Για παράδειγμα Γ= { 1,, 4,5}. Σ αυτή την περίπτωση, ενώ το Α είναι υποσύνολο τόσο του Β όσο και του Γ, δεν είναι το Β υποσύνολο του Γ, γιατί το 3 που είναι στοιχείο του Β, δεν είναι στοιχείο του Γ.. Αν Α Β και Β Α, τότε Β =Α. Σωστό. Αν είναι Α Β, τότε κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Αν είναι Β Α, τότε κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α. Επομένως, αν είναι Α Β και Β Α, τότε κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β, όπως και κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α, δηλαδή τα στοιχεία του Α ταυτίζονται με τα στοιχεία του Β, άρα Α=Β 3. Αν Α =Β, τότε Α Β και Β Α ı Σωστό. Μάθαμε ότι δύο σύνολα είναι ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Επομένως, αν είναι Α =Β, τότε κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β, οπότε είναι Α Β και κάθε στοιχείο του Β είναι στοιχείο και του Α, άρα Β Α. 4. Α=Β Α Β και Β Α. ı Σωστό. Η ισοδυναμία Α=Β Α Β και Β Α είναι αληθής όταν είναι αληθείς οι συνεπαγωγές Α =Β Α Β και Β Α και Α Β και Β Α Α=Β, οι οποίες, όπως είδαμε στα δύο προηγούμενα ερωτήματα, είναι αληθείς. 5. { x και x } Α Β= Α Β. ı Σωστό Εξ ορισμού, τομή των Α,Β είναι το σύνολο των στοιχείων τα οποία είναι στοιχεία και του Α και του Β.

59 Εισαγωγικό κεφάλαιο { x / x } Α= Ω Α. ı Σωστό. Το συμπλήρωμα Α ενός συνόλου Α έχει σαν στοιχεία κάθε στοιχείο του βασικού συνόλου Ω που δεν είναι στοιχείο του Α. Επομένως, κάθε στοιχείο του Α είναι στοιχείο του Ω που δεν ανήκει στο Α ( είναι δηλαδή το Α το συμπλήρωμα του Α ). 7. Α Β Α. ı Σωστό. Η τομή δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο των κοινών στοιχείων των Α, Β. Επομένως, κάθε στοιχείο του Α Β είναι και στοιχείο του Α, άρα το σύνολο Α Β είναι υποσύνολο του Α ( όπως είναι υποσύνολο και του Β). 8. Β Α Β. ı Λάθος. Για να είναι το Β υποσύνολο του Α Β, πρέπει κάθε στοιχείο του Β να είναι και στοιχείο του Α Β, δηλαδή κάθε στοιχείο του Β να είναι στοιχείο και του Β ( που ισχύει) αλλά και του Α (που ισχύει μόνο στην περίπτωση που το Β είναι υποσύνολο του Α). 9. Α Β Α. ı Λάθος. Η ένωση δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα Α και Β. Για να είναι το Α Β υποσύνολο του συνόλου Α θα πρέπει κάθε στοιχείο του Α Β να είναι στοιχείο του Α. Αυτό συμβαίνει μόνο στην περίπτωση που είναι το Β υποσύνολο του Α. 30. Β Α Β. ı Σωστό. Κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α Β, άρα το Β είναι υποσύνολο του Α Β. 31. Α Β Α Β. ı Σωστό. Κάθε στοιχείο του Α Β είναι στοιχείο και του Α και του Β, άρα είναι και στοιχείο ενός τουλάχιστον από τα Α και Β, δηλαδή είναι στοιχείο του Α Β. Επομένως το Α Β είναι υποσύνολο του Α Β. 3. Α Β Α. ı Λάθος. Για να είναι το Α Β υποσύνολο του Α πρέπει κάθε στοιχείο του Α Β να είναι και στοιχείο του Α.

60 Εισαγωγικό κεφάλαιο 6 Τα στοιχεία του Α Β είναι τα κοινά στοιχεία του Α και του Β. Αφού είναι στοιχεία του Α, δεν είναι στοιχεία του Α, επομένως το σύνολο Α Β δεν είναι υποσύνολο του Α. 33. Α Α = και Α Α =Ω. ı Σωστό. Για να είναι σωστή η σύζευξη δύο ισχυρισμών, πρέπει να είναι σωστοί και οι δύο ισχυρισμοί. Ο Α Α = είναι σωστός, γιατί, εξ ορισμού, στοιχεία του Α είναι εκείνα τα στοιχεία του Ω, τα οποία δεν είναι στοιχεία του Α. Επομένως τα σύνολα Α και Α δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο. Ο Α Α =Ω είναι επίσης σωστός, γιατί η ένωση των Α και Α είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα Α και Α. Επομένως στοιχεία του Α Α είναι όσα στοιχεία του Ω ανήκουν στο Α και όσα δεν ανήκουν στο Α ( όσα ανήκουν στο Α ), δηλαδή Α Α =Ω. Αφού είναι αληθείς και οι δύο ισχυρισμοί, αληθής είναι και η σύζευξή τους «Α Α = και Α Α =Ω». 34. Αν Α Β και Α Β, τότε Β =Ω. ı Σωστό. Κάθε στοιχείο του Ω είναι στοιχείο είτε του Α (αν ανήκει σ αυτό), είτε του Α (αν δεν ανήκει στο Α ). Αν τόσο το Α, όσο και το Α είναι υποσύνολα του Β, τότε και κάθε στοιχείο τους είναι στοιχείο και του Β. Είναι δηλαδή κάθε στοιχείο του Ω, στοιχείο και του Β. Το Ω είναι το βασικό σύνολο, οπότε κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Ω. Επομένως, τα στοιχεία του Β είναι ακριβώς τα ίδια με τα στοιχεία του Ω. Είναι δηλαδή Β =Ω. Β. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Αν είναι Ω= { 1,,3,5,8,13 }, Α= { 1, 3,8} και { 3,5,8} σύνολα : α) Α Β β) Α Β γ) Α δ) Β Β= να βρείτε τα ε) Α Β ζ) Α Β η) ( Α Β ) θ) ( Α Β ) Όπως παρατηρείτε ισχύει Α Β = ( Α Β ) και Α Β = ( Α Β ) Αυτές οι δύο ισότητες ισχύουν για κάθε ζεύγος υποσυνόλων του Ω. Αιτιολογήσετε γιατί συμβαίνει αυτό.

61 Εισαγωγικό κεφάλαιο 63 α) Τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β είναι το 3 και το 8. Α Β= 3,8 { } β) Η ένωση των συνόλων Α και Β είναι εκείνο το σύνολο που για στοιχεία του έχει οποιοδήποτε στοιχείο ανήκει σ ένα τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β. Α Β= { 1, 3, 5, 8} γ) Το συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω, τα οποία δεν ανήκουν στο Α. Α=,5,13 { } δ) Β= { 1,,13} ε) Τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β είναι το και το 13. Α Β=,13 { } στ) Η ένωση των συνόλων Α και Β είναι εκείνο το σύνολο που για στοιχεία του έχει οποιοδήποτε στοιχείο ανήκει σ ένα τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β. Α Β= 1,,5,13 { } ζ) Το συμπλήρωμα του Α Β είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω, τα οποία δεν ανήκουν στο Α Β. Α Β = 1,,5,13 ( ) { } η) Το συμπλήρωμα του Α Β είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω, τα οποία δεν ανήκουν στο Α Β. Α Β =,13 ( ) { } Α Β= ( Α Β ). Το Α Β είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω, τα οποία είναι στοιχεία και του Α και του Β, είναι δηλαδή το σύνολο εκείνων των στοιχείων του Ω, τα οποία δεν ανήκουν ούτε στο Α ούτε στο Β. Το ( ) Α Β είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω, τα οποία δεν είναι στοιχεία του Α Β, δηλαδή είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω, τα οποία δεν ανήκουν ούτε στο Α, ούτε και στο Β, γιατί αν κάποιο στοιχείο του Ω

62 Εισαγωγικό κεφάλαιο 64 ήταν στοιχείο του Α ή του Β, θα ήταν στοιχείο και της ένωσης. Επομένως, τα στοιχεία του Α Β ταυτίζονται με τα στοιχεία του ( Α Β ) Α Β= ( Α Β ). Ένας τρόπος για να αποδεικνύουμε ότι δύο σύνολα είναι ίσα, είναι το να αποδεικνύουμε ότι καθένα απ αυτά είναι υποσύνολο του άλλου. Αν Α Β και Β Α, τότε Α=Β. Θα αποδείξουμε την ισότητα των Α Β και ( Α Β ) με τον τρόπο αυτό. Έστω λοιπόν χ κάποιο τυχαίο στοιχείο του Α Β. Αφού το χ είναι στοιχείο του Α Β, είναι στοιχείο ενός τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β. Αν είναι στοιχείο του Α, τότε δεν είναι στοιχείο του Α, οπότε δεν είναι και στοιχείο του Α Β ( τα στοιχεία του Α Β ανήκουν και στο Α και στο Β). Αν πάλι είναι στοιχείο του Β, τότε δεν είναι στοιχείο του Β, οπότε δεν είναι και στοιχείο του Α Β ( τα στοιχεία του Α Β ανήκουν και στο Α και στο Β). Επομένως το τυχαίο στοιχείο χ του Α Β δεν ανήκει στο Α Β, ανήκει δηλαδή στο ( ) Α Β. Άρα κάθε στοιχείο του το Α Β υποσύνολο του ( Α Β ). Α Β είναι και στοιχείο του ( ) Ας είναι τώρα χ κάποιο τυχαίο στοιχείο του ( ) Α Β. Α Β Αφού το χ είναι στοιχείο του ( Α Β ), δεν είναι στοιχείο του Α Β., είναι δηλαδή Στοιχεία του Α Β είναι εκείνα τα στοιχεία του Ω, τα οποία ανήκουν και στο Α και στο Β. Επομένως το χ δεν είναι στοιχείο ενός τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β. Είναι δηλαδή στοιχείο ενός τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β, άρα στοιχείο του Α Β. Επομένως, είναι το ( Α Β ) υποσύνολο του Α Β. Αποδείξαμε ότι ισχύει: Α Β ( Α Β ) και ( Α Β) Α Β. Επομένως, είναι ( ) Α Β= Α Β

63 Εισαγωγικό κεφάλαιο 65 Αν ο x Α είναι: Ενδιαφέρον παρουσιάζει και ο τρόπος που θα παρουσιάσουμε παρακάτω. Θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες αλήθειας-ψεύδους ανάλογους μ αυτούς που χρησιμοποιήσαμε στην άσκηση 4 της παραγράφου Ε 1. Έστω χ στοιχείο του βασικού συνόλου Ω, Α και Β δύο υποσύνολα του Ω και οι ισχυρισμοί x Α και x Β. Και ο Τότε ο Άρα ο x Β είναι: x Α Β είναι: Α Α Ψ Ψ Αν ο x Α είναι: Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Και ο x Β είναι: Τότε ο x Α είναι: Και ο x Β είναι: x ( Α Β ) είναι: Άρα ο x Α Β είναι: Α Ψ Α Ψ Συμπληρώσετε τα κενά κελιά των παραπάνω πινάκων. Τι παρατηρείτε σχετικά με την τελευταία στήλη των δύο πινάκων; Μπορείτε, χρησιμοποιώντας τους πίνακες αυτούς, να εξηγήσετε την ισότητα των συνόλων Α Β και ( Α Β ) ; Κατασκευάσετε κατάλληλους πίνακες για να αποδείξετε την ισότητα ( ) Α Β= Α Β Η απόδειξη της ισότητας Α Β= ( Α Β) με τον τρόπο αυτό βρίσκεται στο τέλος αυτής της ενότητας.. Δίνονται με περιγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα: x Ω= { x Z/0< x< 11}, Α= x Ω/ Z x / x 1 Γ = x Β/ x Β Β= { Ω + Α } και { } α) Να γραφούν τα παραπάνω σύνολα με περιγραφή των στοιχείων τους.

64 Εισαγωγικό κεφάλαιο 66 β) Να αντιστοιχίσετε σε καθένα από τα σύνολα της πρώτης στήλης το ίσο του από τη δεύτερη στήλη. Στήλη 1 Στήλη Α Α Β Β Ω ( Β ) Α Β Α Γ Β Γ Α Β Β Γ ( Α Β ) ( Α Β ) Γ α) Στοιχεία του Ω είναι οι ακέραιοι αριθμοί, που είναι μεγαλύτεροι από το 0 και μικρότεροι από το 11. Ω= 1,,3, 4,5,6,7,8,9,10 { } Στοιχεία του Α είναι εκείνα τα στοιχεία του Ω, των οποίων το μισό είναι ακέραιος αριθμός. Α=, 4,6,8,10 { } Στοιχεία του Β είναι εκείνα τα στοιχεία του Ω, τα οποία αυξημένα κατά 1 μονάδα, είναι στοιχεία του Α. Β= 1,3,5, 7,9 { } Στοιχεία του Γ είναι εκείνα τα στοιχεία του Β, των οποίων το τετράγωνο είναι στοιχείο του Β. Γ= 1, 3 { } β) Στοιχεία του Α είναι εκείνα τα στοιχεία του Ω, τα οποία δεν είναι στοιχεία του Α. Α= 1,3,5, 7,9 Άρα Α =Β. { } Στοιχεία του Β είναι εκείνα τα στοιχεία του Ω, τα οποία δεν είναι στοιχεία του Β.

65 Εισαγωγικό κεφάλαιο 67 {, 4,6,8,10} Β= Άρα Β =Α Συμπλήρωμα του Β είναι το Β. Άρα ( ) Β =Β Δεν έχουν τα Α και Β κανένα κοινό στοιχείο. Άρα Α Β= Δεν έχουν τα Α και Γ κανένα κοινό στοιχείο. Άρα Α Γ= Τα κοινά στοιχεία των Β και Γ είναι το 1 και το 3. Άρα Β Γ= { 1, 3} =Γ Α Β= { 1,,3, 4,5,6,7,8,9,10} =Ω Β Γ= { 1,3,5, 7,9} =Β ( ) Α Β =Ω = ( ) Α Β = =Ω 3. Aν Α, Β, Γ είναι υποσύνολα ενός βασικού συνόλου Ω, με τη βοήθεια διαγραμμάτων Venn να επαληθεύσετε τις ισότητες α. A (B Γ)=(Α Β) (Α Γ) β. A (Β Γ)=(Α Β) (Α Γ). i)

66 Εισαγωγικό κεφάλαιο 68 Το χρωματισμένο τμήμα είναι το σύνολο Β Γ. Το σκούρο μπλε τμήμα είναι το Α ( Β Γ ).

67 Εισαγωγικό κεφάλαιο 69 Το χρωματισμένο τμήμα είναι το σύνολο Α Β. Το χρωματισμένο τμήμα είναι το σύνολο Α Β.

68 Εισαγωγικό κεφάλαιο 70 Το χρωματισμένο τμήμα είναι το σύνολο ( Α Β) ( Α Γ ). ii) Το σκιασμένο τμήμα είναι το Β Γ.

69 Εισαγωγικό κεφάλαιο 71 Το σκιασμένο τμήμα είναι το Α ( Β Γ ). Το σκιασμένο τμήμα είναι το Α Β.

70 Εισαγωγικό κεφάλαιο 7 Το σκιασμένο τμήμα είναι το Α Γ Το πιο σκούρο τμήμα είναι το ( Α Β) ( Α Γ ) Απόδειξη της ισότητας Α Β= ( Α Β ) με τη βοήθεια πινάκων Α-Ψ Αν ο x Α είναι: Και ο x Β είναι: Τότε ο x Α Β είναι: Άρα ο x ( Α Β ) είναι: Α Α Α Ψ Α Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α